close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одном семействе алгебраических кривых вписанных в эллипс.

код для вставкиСкачать
УДК 519.65+519.644.2
ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ, ВПИСАННЫХ В ЭЛЛИПС
Ю.Я. Агранович, С.Л. Подвальный, М.В. Федорова
В статье рассматривается одна из возможных конструкций, вписанных в эллипс кривых 4-го порядка
Ключевые слова: определение вписанных кривых, расстояние от точки до эллипса, огибающая семейства
окружностей

Определение многоугольника, вписанного в
коническое сечение обычно не вызывает больших
затруднений и после некоторых не сложных
пояснений вполне доступно каждому школьнику.
Гораздо сложнее обстоит дело с определением
кривых, вписанных в конические сечения. Для того,
чтобы давать здесь адекватные определения
необходимо и достаточно глубокие исследования.
Некоторые нетривиальные случаи «вписывания»
кривых 4-го порядка в эллипс рассмотрены в данной
работе. Отметим, прежде всего, что в литературе
изучен случай окружностей, вписанных в эллипс. В
работах [1] и [2] показано, что эллипс с
каноническим уравнением
x
2
y
2
(1)
=1
a
b2
может быть представлен в виде огибающей
семейства окружностей
2
+
x  x1  2 + y 2 = b 2 c 2  x12 
2
(2)
c
с центрами  x1 ,0 , принадлежащими отрезку
εc  x  εc , где ε - эксцентриситет эллипса, а с половина межфокусного расстояния. Рассмотрим
функцию F  x1  — расстояние (с учётом знака) от
точки
плоскости с координатами  x0 , y0  до
окружности из семейства (2) с центром в точке
x1 ,0 . Для построения обещанных выше кривых 4го порядка особую роль играет следующая
Теорема. Критические точки функции F  x1 
соответствуют центрам окружностей из семейства
(2), касающимся эллипса (1) в точках, для которых
расстояние от  x0 , y0  до эллипса принимает
наибольшее или наименьшее значение.
Наше доказательство использует некоторый
результат, полученный В.Л. Рвачёвым в [3].

Агранович Юрий Яковлевич – ВГТУ, д-р физ.-мат. наук,
профессор, e-mail: [email protected],
тел. (473)2 67-04-52
Подвальный Семён Леонидович– ВГТУ, д-р техн. наук,
профессор, e-mail: [email protected],
тел. (473)2 43-77- 18
Федорова Мария Владимировна – Dynamic Pixels,
ведущий специалист, e-mail: [email protected]
x0 , y0 
тогда F  x1 
Пусть, для определённости, точка
находится вне эллиптического диска,
принимает вид
b 2
2
2
2
(3)
F  x1  =  x1  x0  + y0 
c  x1
c
вычитаемое в (3) — это радиус соответствующей
dF
=0
окружности из семейства (2). Условие
dx1
немедленно приводит к следующему уравнению для
определения x1 :
c x0  x1  c2  x1 = bx1
x1  x0  2 + y0 2
2
(4)
Возведя обе части уравнения (4) в квадрат,
получим уравнение


(5)
c 2 x0  x1  c2  x1 = b 2 x1 x1  x0  + y0
Отметим, что уравнение (5) определяет
критические точки всех функций вида
b 2

2
2
2 
Fabs  x1  = ±  x1  x0  + y0 ±
c  x1  (6)
c


что
позволяет,
во-первых,
рассматривать
произвольные точки плоскости  x0 , y0  , а во
вторых,
как
минимальное
расстояние
до
окружности, так и максимальное. Обозначим далее
тангенс угла наклона отрезка, соединяющего точку
x0 , y0  и центр окружности x1 ,0 к оси Ох, через
2
λ , тогда λ =
2
2
2
2
y0
, y0  0 , откуда
x0  x1
λx0  y0
(7)
λ
Подставив x1 из (7) в (5), получим уравнение
для определения λ :
2
2
y  
 λx  y0  
c 2  0  c 2   0
 =
λ
 λ  

 
(8)
2
b 2 y0
1


λx0  y0  2  2 +1
=
λ2
λ

из (8) после некоторых преобразований:
x1 =
c 4 λ 2  c 2  λx0  y0  = b 2 λ 2  λx0  y0  +
2

2
+ b 2  λx0  y0 

2
λx0  y0 2 b 2 + c 2 + b 2 λ 2 = c 4 λ 2 ,
2
λx0  y0 2 a 2 + b 2 λ 2  = a 2  b 2  λ 2
,
(9)
Уравнение (9) совпадает с известным
уравнением в задаче Аполлония о нормалях к
эллипсу (см. [3], стр. 97, уравнение (4.17)).
Рассмотрим отдельно случай, когда y0 = 0 . В
этом случае уравнение (5) принимает вид


= 0
2
2
2
2
c 2 x0  x1  c 2  x1 = b 2 x1 x0  x1  ,
x0  x1 
(i) Если
то
из
2
c
4
a
2
2
x1
(10)
x0 принадлежит интервалу  εс, εc ,
(10)
следует,
что
x1 = x0 ,
а
x  x1 
2


2
2
x  x0 
b2 2
2
 =
+ y0 1+
c  x1

2
c
 x0  x1 
2
2
x  x1  2 + y0 2 x  x1  2 = b 2 c 2  x12 
x0  x1  c
x  x1 
2
x  x1 
2
2
  y
  b2 2
2
0
1+ 
 =
c  x1


2
  x0  x1   c



=

b 2  x0  x1  c 2  x1
c2

2
x0  x1  + y0
2
2

2



b
x0  x1 
c
c 2  x1
y0

x0  x1

b
 x1  x0 ±  x0  x1 
c



b
= y0 + y0   1 ±
c


= ±y 0
c 2  x1
2
x0  x1  2 + y0 2
c 2  x1
2
x0  x1  2 + y0 2
c 2  x1
b
c
2
x0  x1  2 + y0 2
x = y0 +
также
± c2
x0 , y0  в
x1 =
= ±c . Так как точка
a
рассматриваемом случае лежит внутри критической
астроиды, то задача Аполлония имеет два
локальных минимума — они соответствуют точкам
касания окружности с центром x1 = x0 и эллипса; и
два локальных максимума — концы больших
полуосей, и это — точки касания окружностей с
центрами x1 = ±c и эллипса. Таким образом,
теорема и в этом случае остаётся справедливой.
(ii) Если x0  > εc , то из (10) следует,
что x1 = ±c и экстремальные значения снова
достигаются на окружностях из семейства (2),
которые касаются эллипса в концах больших
полуосей и справедливо утверждение (ii).
Тем самым теорема полностью доказана.
Рассмотрим теперь кривую, точки которой
определяются пересечением секущей, проходящей
через  x0 , y0  и  x1 ,0 и окружности из семейства (2)
с центром в точке  x1 ,0 . Из доказанной теоремы
следует,
что
такая
кривая
принадлежит
эллиптическому диску и касается эллипса в точках,
которые определяют решение задачи Аполлония о
нормалях к эллипсу.
Получим параметрическую форму этой
кривой. Кривая опущенная, точками пересечениях
секущих и окружностей из данного семейства:
y0
y  y0 =
, y0  0
x0  x1
(11)
b2 2
2
2
2
x  x1  + y = 2 c  x1 .
c
y0
 x  x0 
y = y0 +
x0  x1

x = x1 ±

=



=


2
x0  x1  2 + y0 2
Таким образом, в параметрической форме
указанная кривая имеет вид:
x  x1  = x1 ±
b  x0  x1 
c
b
y  x1  = ±y 0
c
c 2  x1
2
x0  x1  2 + y0 2
c 2  x1
(12)
2
x0  x1  2 + y0 2
Кривую (12) можно записать в алгебраической
форме:
y
x1  = ± b
y0
c
x  x1   x1
c 2  x1
2
x0  x1  2 + y0 2
x 
= x  x  y 1
0
1
,
(13)
y0
Из второго уравнения (13) найдём

x0  y
y 
= x1 1  
y0
 y0 
xy 0  x0 y
= x1
y0  y
Из (14) и (12) получим:
x1 :
x
(14)
2
 xy  x0 y 

c   0
y0  y 
b

y = ±y 0
c 
xy  x0 y 
 x0  0
+ y0 2
y

y
0


2
2
 xy  x y 
c 2   0 0 
b
 y0  y 
y = ±y 0
c 
xy  x y 
 x0  0 0 + y0 2
y0  y 

 y

y
 0
2

b2
 =

2
c 2 y0

b
=
2
2
c y0
2
2


 c 2   xy 0  x0 y   y0  y  2 
 y y  


 0
 

=

 x0  x  2 +  y 0  y  2 






c 2  y0  y  2   xy 0  x0 y  2 


2
2
  x0  x  +  y0  y 

Отсюда:
c 2  y0  y  2   xy 0  x0 y  2 
(15)
c2 y 2 = b2 

2
2
  x0  x +  y0  y 

Таким образом, получаем алгебраическую
кривую четвертого порядка:
c 2 y 2  y  y 0  + с 2 y 2  x0  x  
2
2
(16)
2
2
 b 2 c 2  y0  y  + b 2  xy 0 x0  y  = 0
Естественно считать, что данная кривая
«вписана» в эллипс. Тем самым мы получили
семейство
кривых
четвёртого
порядка,
параметризованное точками плоскости  x0 , y0  и
каждая кривая из этого семейства «вписана» в
фиксированный эллипс. Отметим, что соотношение
(16) содержательно лишь при c  0 . В случае c = 0
эллипс
вырождается
в
окружность,
а
соответствующая кривая стягивается в отрезок
центральной секущей этой (теперь единственной в
семействе) окружности.
Рассмотренный
подход
может
иметь
практическое применение в задачах аварийной
диагностики объектов [4-7] различной природы.
Литература
1. Donoghue W. F. et al. On the numerical range of a
bounded operator //The Michigan Mathematical Journal. –
1957. – Т. 4. – №. 3. – С. 261-263.
2. Lyubich Y., Markus A. Connectivity of level sets of
quadratic forms and Hausdorff-Toeplitz type theorems
//Positivity. – 1997. – Т. 1. – №. 3. – С. 239-254.
3. Рвачёв В. Л. Геометрические приложения алгебры
логики. – 1967. – С. 212.
4. Подвальный, С.Л. Информационно-управляющие
системы мониторинга сложных объектов [Текст] / С.Л.
Подвальный. - Воронеж, 2010.
5.
Подвальный,
С.Л.
Концепция
многоальтернативного управления открытыми системами:
истоки, состояние и перспективы [Текст] / С.Л.
Подвальный, Е.М. Васильев // Вестник Воронежского
государственного технического университета. - 2013. Т. 9. - № 2. - С. 4-20
6. Podval'ny, S.L. Intelligent modeling systems:Design
principles [Text] / S.L. Podval'ny, T.M. Ledeneva //
Automation and Remote Control. - 2013. - Т. 74. - №7. С.1201-1210.
7. Подвальный, С.Л. Имитационное управление
технологическими объектами с гибкой структурой [Текст]
/ С.Л. Подвальный, В.Л. Бурковский. – Воронеж, 1988.
Воронежский государственный технический университет
Dynamic Pixels
ON A FAMILY OF ALGEBRAIC CURVES, INSCRIBED IN THE ELLIPSE
Yu.Ya. Agranovich, S.L. Podvalny, M.V. Fedorova
In the article one case 4th order curves, inscribed in the ellipse are obtaineds
Key words: inscribed curves , the distance from a point to the ellipse, envelope of circles
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
347 Кб
Теги
вписанные, эллипсо, одной, кривые, семейство, алгебраический
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа