close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Обратная задача для гиперболического уравнения второго порядка с неизвестным коэффициентом зависящим от времени.

код для вставкиСкачать
УДК 517.956
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С НЕИЗВЕСТНЫМ
КОЭФФИЦИЕНТОМ, ЗАВИСЯЩИМ ОТ ВРЕМЕНИ
Р.Р. Сафиуллова
Работа посвящена исследованию разрешимости обратной задачи с неизвестным
коэффициентом, зависящим от времени для гиперболических уравнений второго порядка, единственности ее решения. Суть задачи состоит в том, что требуется вместе
с решением определить неизвестный коэффициент. Задача рассматривается в прямоугольной области, задаются условия обычной начально-краевой задачи и некоторое
условие переопределения, необходимое для нахождения неизвестного коэффициента.
При решении исходной задачи осуществляется переход от обратной задачи к некоторой прямой вспомогательной задаче с нулевыми граничными условиями. Доказывается разрешимость вспомогательной задачи в описанном выше классе функций. Затем
вновь производится переход к исходной задаче, в результате делается вывод о разрешимости обратной задачи. При доказательстве используются метод продолжения
по параметру, метод неподвижной точки, методы срезки и регуляризации. В работе
доказываются теоремы существования, единственности решения в рассматриваемых
классах.
Ключевые слова: обратная задача; гиперболическое уравнение; нагруженные уравнения; метод продолжения по параметру; метод неподвижной точки; метод регуляризации.
1. Постановка задачи
Пусть D есть интервал (0, 1), Q есть прямоугольник D Ч (0, T ) конечной высоты T , x
есть точка области D, t есть точка интервала (0, T ). Далее, пусть f (x, t), ?0 (t), ?0 (t), u0 (x),
u1 (x), µ(t) есть заданные функции, определенные при x ? D, t ? [0, T ].
Обратная задача: найти функции u(x, t), q(t), связанные в Q уравнением
utt ? uxx + q(t)ut = f (x, t),
(1)
при выполнении для функции u(x, t) условий
x ? D,
(2)
ux (0, t) = ?0 (t), ux (1, t) = ?0 (t),
t ? (0, T ),
(3)
u(0, t) = µ(t),
t ? (0, T ).
(4)
u(x, 0) = u0 (x), ut (x, 0) = u1 (x),
Задачами в близкой постановке занимались Валитов И.Р. [1, 2] и Павлов С.С. [3].
В работе [3] рассматривались многомерные обратные задачи с неизвестным коэффициентом q(t), однако условия переопределения были другие, а именно задавалось интегральное
условие переопределения
?
K(x)u(x, t)dx = µ(t).
?
В работах [1, 2] рассматривались близкие к рассматриваемой задачи, но с тождественно
нулевыми функциями ?0 (t) и ?0 (t).
2013, том 6, ќ 4
73
Р.Р. Сафиуллова
2. Разрешимость обратной задачи
При доказательстве теоремы будем пользоваться неравенством
?1
v (x) ?
2
2d20
vx2 dx
0
) ?1
(
2
+ 1+ 2
v 2 dx,
d0
0
справедливым для любого x ? D, здесь d0 произвольное положительное число.
Положим
f (0, t) ? µ?? (t)
,
µ? (t)
A(t) =
?1 (t) =
B(t) =
??0 (t)
,
µ? (t)
1
µ? (t)
?1 (t) =
B0 = max |B(t)|,
,
[0,T ]
?0? (t)
,
µ? (t)
x2
[?1 (t) ? ?1 (t)] + x?1 (t),
2
b(x, t) = ?a(x, t)axx (0, t) ? att (x, t) + axx (x, t),
}
{ 2
x
??
[?1 (0) ? ?1 (0)] + x?1 (0) u??0 (0),
w0 (x) = u0 (x) ?
2
{ 2
}
x
??
??
w1 (x) = u1 (x) ? u1 (0)
[?1 (0) ? ?1 (0)] + x?1 (0) ?
2
{ 2
}
x
??
?u0 (0)
[?1t (0) ? ?1t (0)] + x?1t (0) ,
2
a(x, t) =
ge(x, t) = fxx (x, t) ? a(x, t)fxx (0, t),
m1 = max[bx (x, t) ? axt (x, t)A(t)]2 ,
Q
m = max[bt (x, t) ? at (x, t)A(t)]2 ,
Q
1
n0 = 16 max a2x + m1 + 2 max a2xt ,
2
Q
Q
n2 =
n4 =
1 1
1
+ n0 + max A(t),
2 4
2 [0,T ]
1
+ 2 max a2x ,
32
Q
n1 =
n 3 = n1 +
n5 = 1 + 2m1 ,
1
+ n0 ,
2
1
max A(t),
2 [0,T ]
n6 = 1 + 4 max a2xt ,
Q
1
n
e1 = 1 + 8 max a2 (x, t) + m + max a2t (x, t),
2
Q
Q
s1 = max |at (x, t)|B0 ,
Q
s2 = max |axt |B0 ,
Q
?
)
)
(
3
2
2
k1 = 2d20 + 1 + 2 [s1 + s2 ] +
2d0 + 1 + 2 B0 ,
2
2
d0
d0
{
}
(
)
2 2
4
k2 = 8s2 4d0 + 1 + 2
,
d0
(
)
(
)(
)
(
)
1
1
1
1
2
1
r1 = ? n4 +
, r 2 = + n5 +
1 + 2 , r3 = n3 +
+ 2d20 (n6 + 1),
2
32
2
2
2
d0
74
Вестник ЮУрГУ. Серия
(
1 ?
?Математическое
моделирование и программирование?
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
(
)
2
1
r4 = n
e1 + (n6 + 1) 1 + 2 , r =
(11 ? 2s2 )) ,
32
d0
{
(
)
(
)}
5
1
2
k0 = max r2 , r3 , r4 , n2 +
, 2d0 n5 +
,
2
2
1
R1 =
2
?1
3
[w12 (x) + w0?2 (x) + w02 (x)]dx +
4
0
1
+
2
?1
?1
[w1?2 (x) + w0??2 (x)]dx+
0
1
[w1??2 (x) + w0???2 (x)]dx +
2
0
?t
0
ci = 4ki?1 ,
A1 = c3 +
c1 3c2
+
,
2
4
?1
?t ?1
21
ge2 dxd? +
8
gex2 dxd?,
0
0
i = 1, 2, 3,
A0 = c0 +
0
c0 = 4R1 ,
T
[c2 + 2] ,
4
T? =
1
.
A0 A1
Теорема 1. Пусть для функций f (x, t), ?0 (t), ?0 (t), µ(t), u0 (x) и u1 (x) выполняются
включения f (x, t) ? W23 (Q), ?0 (t) ? W24 ([0, T ]), ?0 (t) ? W24 ([0, T ]), u0 (x) ? W25 (D), u1 (x) ?
W24 (D), µ(t) ? W23 ([0, T ]). Кроме того, пусть выполняются условия
µ(0) = u0 (0),
?
?
?0 (0) = u1 (0),
?
u0 (1) = ?0 (0),
???0 (t) + A(t)??0 (t) ? fx (0, t) ? 0,
r1 > 0,
T < T ?,
r > 0,
µ? (t) ?= 0,
0 < t < T,
?0?? (t) + A(t)?0? (t) ? fx (1, t) ? 0,
A(t) ? ?0 > 0,
?0
A0
[?
?
?
1 ? A1 T A0
B0
2d0 + 1 +
2
d20
0 ? t ? T,
].
(6)
Тогда обратная задача (1) (4) имеет решения {u(x, t), q(t)} такие, что u(x, t) ? V , q(t) ?
L? ([0, T ]).
Доказательство. Рассмотрим следующую краевую задачу: найти функцию w(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения
wtt ? wxx + [A(t) + B(t)w(0, t)]wt = ge(x, t) ? a(x, t)wxx (0, t)+
(7)
+b(x, t)w(0, t) ? 2at (x, t)wt (0, t) ? at (x, t)[A(t) + B(t)w(0, t)]w(0, t),
и удовлетворяющую условиям:
wx (0, t) = wx (1, t) = 0,
w(x, 0) = w0 (x),
wt (x, 0) = w1 (x).
(8)
(9)
Определим необходимое ниже пространство V :
V = {v(x, t) : v(x, t) ? W22 (Q), vxx (x, t) ? W21 (Q), vxxxt (x, t) ? L2 (Q)}.
Норму в этом пространстве определим естественным образом
||v||V = ||v||W22 (Q) + ||vxx ||W21 (Q) + ||vxxxt ||L2 (Q) .
Положим
2013, том 6, ќ 4
? = ?a(x, t)wxx (0, t) ? at (x, t)[A(t) + B(t)w(0, t)]w(0, t)?
75
Р.Р. Сафиуллова
?[A(t) + B(t)w(0, t)]wt (x, t) + b(x, t)w(0, t) ? 2at (x, t)wt (0, t).
Пусть ? есть произвольное положительное число. Рассмотрим задачу: найти функцию
w(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения
wtt ? wxx ? ?wxxt = ge(x, t) + ?
(10? )
и удовлетворяющую условиям (8) и (9).
Определим срезывающую функцию G(?) следующим образом:
?
? ?, |?| ? M0 ,
M0 , ? > M0 ,
G(?) =
?
?M0 , ? < ?M0 ,
?0
где M0 = B
.
0
Пусть W (x, t) есть заданная функция из пространства V .
Положим
?1 (x, t, w, W (0, t)) = ?a(x, t)wxx (0, t) ? at (x, t)[A(t) + B(t)G(W (0, t))]w(0, t)?
?[A(t) + B(t)G(W (0, t))]wt (x, t) + b(x, t)w(0, t) ? 2at (x, t)wt (0, t).
Рассмотрим задачу: найти функцию w(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения
?
wtt ? wxx ? ?wxxt = ge(x, t) + ?1
(10? )
и удовлетворяющую условиям (8) и (9).
Далее при ? фиксированном воспользуемся методом продолжения по параметру. Пусть
? есть число из отрезка [0,1]. Рассмотрим задачу: найти функцию w(x, t), являющуюся в
прямоугольнике Q решением уравнения
?
wtt ? wxx ? ?wxxt = ge(x, t) + ??1
(10?,? )
и удовлетворяющую условиям (8) и (9).
Обозначим через ? множество тех чисел ? из отрезка [0, 1], для которых краевая задача
?
(10?? ), (8), (9) разрешима в пространстве V при произвольной функции ge(x, t) из пространства L2 (Q).
Как известно, если множество ? не пусто, открыто и замкнуто одновременно, то оно
?
совпадает со всем отрезком [0, 1]. А это и будет означать, что краевая задача (10?? ), (8), (9)
имеет решение из пространства V .
Множество ? не пусто, поскольку число ? = 0 принадлежит ему [4]. Доказательство открытости и замкнутости ? устанавливается при помощи априорных оценок решений задачи
?
(10?? ), (8), (9) из пространства V .
Пусть Qt есть прямоугольник {(x, ? ) : x ? D, 0 < ? < t, t ? T }.
?
Дифференцируя уравнение (10?? ) по переменной x, получаем:
wxtt ? wxxx ? ?wxxxt = gex (x, t) + ??1x (x, t).
?
Умножая это уравнение на функцию wxt ? (x ? 12 )wxx ? ?wxxxt , уравнение (10?? ) на функцию
wt (x, t), интегрируя по Qt = {(x, ? ) : x ? (0, 1), 0 < ? < t}, пользуясь леммой Гронуолла,
приходим к априорной оценке
?1
2
2
[wt2 (x, t) + wx2 (x, t) + w2 (x, t) + wxt
(x, t) + wxx
(x, t)]dx+
0
76
Вестник ЮУрГУ. Серия
?Математическое
моделирование и программирование?
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
?t ?1
?1
2
wx?
dxd?
+?
0
+?
0
2
2
[wxx
(1, ? ) + wxx
(0, ? )]d? +
+
0
0
?1
?t ?1
2
wxxx
(x, t)dx
+?
?t
2
wxxt
(x, t)dx
+?
0
?t ?1
2
wxx?
dxd?
0
2
wxxx?
dxd? ? N,
2
+?
0
0
(11)
0
где N постоянная, определяемая лишь входными данными задачи и числом ?.
Из данной оценки и следует открытость и замкнутость множества ?. Как уже говорилось выше, непустота, открытость и замкнутость множества ? означают [7] его совпадение
?
с отрезком [0, 1]. Следовательно, краевая задача (10? ), (8), (9) разрешима в пространстве V .
Далее, оценка (11) позволяет применить метод неподвижной точки именно, восполь?
зоваться теоремой Шаудера. Краевая задача (10? ), (8), (9) порождает оператор M , переводящий пространство V в себя: M (W ) = w.
Из оценки (11) с помощью стандартных рассуждений (см., например [5, 6]) заключаем,
что оператор M будет переводить некоторое ограниченное множество пространства V в себя
и будет вполне непрерывным на нем.
Согласно теореме Шаудера, оператор M будет иметь неподвижную точку в пространстве
V : M (w) = w. Эта неподвижная точка w(x, t) представляет собой решение уравнения
wtt ? wxx ? ?wxxt = ge(x, t) + ?1 (x, t, w, w(0, t)),
(12)
удовлетворяющее условиям (8) и (9).
Перейдем теперь к осуществлению процедуры предельного перехода при ? ? 0 и в
дальнейшем к построению решения задачи (100 ).
Рассмотрим продифференцированное по x уравнение (12), записанное в переменных x, ? .
Вновь умножим его на функцию wx? ? (x ? 12 )wxx ? ?wxxx? и проинтегрируем по области
Qt . После интегрирования по частям, применения неравенства Юнга, с учетом введенных
обозначений и с использованием неравенства A(t) + B(t)G(?) ? 0, приходим к соотношению:
1
4
?1
2
[wxt
(x, t)
+
2
wxx
(x, t)]dx
1
+
4
0
?
+
2
?t
2
2
[wxx
(1, ? ) + wxx
(0, ? )]d? +
0
?1
2
wxxt
(x, t)dx
?
+
2
0
?t ?1
?1
2
wxxx
(x, t)dx
+?
0
?t ?1
2
wxx?
dxd?
0
+?
0
2
wxxx?
dxd? ?
2
0
0
(
) ?t ?1
(
) ?t ?1
1
5
2
2
? n3 +
wx? dxd? + n2 +
wxx
dxd? +
2
2
0
21
+ ?2
32
0
w?2 (0, ? )d?
0
?1
0
0
?
0
?t
2
wxxx?
dxd?
0
?t
0
?t ?1
?t
?1
0
0
+
?t
2
wxx
(0, ? )d?
+ n4
0
?t
+n6
0
(13)
w2 (0, ? )d? +
+ n5
0
{
}
1
B(? )G(w(0, ? ))wx? (x ? )wxx dxd? ?
2
{
}
1
ax? (x, ? )B(? )G(w(0, ? ))w(0, ? ) wx? ? (x ? )wxx ? ?wxxx? dxd? + K1 ,
2
2013, том 6, ќ 4
77
Р.Р. Сафиуллова
где K1 постоянная, определяемая лишь входными данными задачи.
Умножим равенство (12) на функцию wt (x, t) и проинтегрируем по цилиндру Qt . Интегрируя по частям, применяя неравенство Юнга, приходим к соотношению:
1
2
?1
?t ?1
[wt2 (x, t)
wx2 (x, t)
+
+ w (x, t)]dx + ?
0
0
?t ?1
1
+
2
0
1
w2 dxd? +
32
0
?t
?t ?1
2
wx?
dxd?
2
1
2
wxx
(0, ? )d? +
2
?n
f1
0
0
?t
0
w?2 dxd? +
0
?t
w?2 (0, ? )d? ?
w2 (0, ? )d? +
0
0
?t ?1
?
a? (x, ? )B(? )G(w(0, ? ))w(0, ? )w? dxd? + K2 ,
0
(14)
0
где K2 постоянная, определяемая лишь входными данными задачи.
Сложим неравенства (13) и (14). Получим:
1
2
?1
[wt2 (x, t)
+
wx2 (x, t)
1
+ w (x, t)]dx +
4
0
2
2
[wxt
(x, t) + wxx
(x, t)]dx+
0
1
+
4
?t
?t ?1
2
[wxx
(1, ? )
+
2
wxx
(0, ? )]d?
0
?
+
2
?1
2
2
wx?
dxd? +
+?
0
?1
0
?t ?1
2
[wxxt
(x, t)
+
2
wxxx
(x, t)]dx
+?
0
0
?t
?1
?n
f1
1
+
2
w?2 dxd?
0
0
?t
?1
?t ?1
2
wxx?
dxd?
+?
0
0
(
1
w dxd? + n4 +
32
0
0
) ?t
2
0
2
wxxx?
dxd? ?
2
2
wxx
(0, ? )d? +
0
) ?t ?1
(
) ?t ?1
(
?t ?1
5
21?2
1
2
2
2
+ n3 +
wx? dxd? + n2 +
wxx dxd? +
wxxx?
dxd? ?
2
2
32
0
0
0
0
0
0
?t ?1
?
a? (x, ? )B(? )G(w(0, ? ))w(0, ? )w? (x, ? )dxd? +
0
0
?t ?1
+
0
?t ?1
?
0
(15)
1
B(? )G(w(0, ? ))wx? (x ? )wxx dxd? ?
2
0
(
)
1
ax? (x, ? )B(? )G(w(0, ? ))w(0, ? ) wx? ? (x ? )wxx ? ?wxxx? dxd? +
2
0
(
) ?t
?t
1
2
+ n5 +
w (0, ? )d? + (n6 + 1) w?2 (0, ? )d? + R1 .
2
0
78
Вестник ЮУрГУ. Серия
0
?Математическое
моделирование и программирование?
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Рассмотрим по отдельности последние пять интегральных слагаемых неравенства (15).
Обозначим
?t ?1
J1 = ?
a? (x, ? )B(? )G(w(0, ? ))w(0, ? )w? (x, ? )dxd?.
0
0
Поскольку |G(?)| ? |?|, то
?t
|J1 | ? max |at (x, t)|B0
?1
|w? |dxd?.
2
w (0, ? )
Q
0
0
Воспользуемся неравенством, приведенным перед формулировкой теоремы. Имеем
?1
w (0, ? ) ?
2
2d20
wx2 (x, ? )dx
0
(
) ?1
2
+ 1+ 2
w2 (x, ? )dx.
d0
(16)
0
Отсюда
?t
|J1 | ? s1
?
?2d20
?1
0
0
?
(
) ?1
2
wx2 (x, ? )dx + 1 + 2
w2 (x, ? )dx? · (|w? |dx) d?.
d0
0
Применяя неравенство Гельдера, получим
?t
|J1 | ? s1
?
?2d20
0
?1
0
? 21
? ? 1
(
) ?1
?
2
wx2 (x, ? )dx + 1 + 2
w2 (x, ? )dx? · ? w?2 dx? d?.
d0
0
0
Обозначим
?1
2
2
[w2 (x, t) + wt2 (x, t) + wx2 (x, t) + wxx
(x, t) + wxt
(x, t)]dx.
y(t) =
0
Тогда
(
) ?t
(
) ?t
1
3
2
2
2
2
|J1 | ? s1 2d0 + 1 + 2
y(? )y 2 (? )d? = s1 2d0 + 1 + 2
y 2 (? )d?.
d0
d0
0
0
Аналогичным образом можно оценить слагаемые J2 и J3 :
?t ?1
J2 = ?
0
(
)
1
ax? (x, ? )B(? )G(w(0, ? ))w(0, ? ) wx? ? (x ? )wxx ? ?wxxx? dxd?.
2
0
2
3
|J2 | ? s2 (2d20 + 1 + 2 )
2
d0
[
+16s2
2013, том 6, ќ 4
4d40
(
2
+ 1+ 2
d0
)2 ] ?t
?t
3
y 2 (? )d? +
0
s2
y (? )d? + ?2
32
?t ?1
2
0
2
wxxx?
dxd?.
0
0
79
Р.Р. Сафиуллова
t 1
?
[
] ?t
? ?
?
1
3
1
2
|J3 | = B(? )G(w(0, ? ))wx? (x ? )wxx dxd? ? B0
2d0 + 1 + 2
y 2 d?.
2
d0
2
0
0
0
Последние два слагаемых неравенства (15) оцениваются следующим образом
?t
?t ?1
w (0, ? )d? ?
2
2d20
0
wx2 dxd?
0
?t
) ?t ?1
(
2
w2 dxd?,
+ 1+ 2
d0
0
0
(
) ?t ?1
2
+ 1+ 2
w?2 dxd?.
d0
?t ?1
w?2 (0, ? )d?
?
2d20
0
2
wx?
dxd?
0
0
0
0
0
С учетом проделанных выкладок от (15) нетрудно перейти к неравенству
1
2
?1
[wt2 (x, t)
+
1
+ w (x, t)]dx +
4
wx2 (x, t)
0
2
2
[wxt
(x, t) + wxx
(x, t)]dx+
0
1
+
4
?t
?t
2
wxx
(1, ? )d?
?t ?1
2
wxx
(0, ? )d?
+ r1
0
?
+
2
?1
2
2
wx?
dxd? +
+?
0
0
?1
0
?t ?1
2
[wxxt
(x, t)
+
2
wxxx
(x, t)]dx
+?
0
0
?t ?1
? r4
0
+? r
0
2
wx?
dxd? +
w dxd? + r3
0
0
?t ?1
2
+ r2
2
wxxx?
dxd? ?
2
0
?t ?1
w?2 dxd?
0
?t ?1
2
wxx?
dxd?
0
0
(17)
0
) ?t ?1
(
) ?t ?1
(
1
5
2
2
wxx dxd? + 2d0 n5 +
wx2 dxd? +
+ n2 +
2
2
0
0
?t
0
3
y 2 (? )d? + R1 .
y 2 (? )d? + k2
+k1
0
?t
0
0
В силу условий теоремы следствием этого неравенства может служить следующее соотношение
?t
?t
?t
3
y(t) ? c1 y(? )d? + c2 y 2 (? )d? + c3 y 2 (? )d? + c0 .
(18)
0
0
0
Оценивая первое и второе слагаемые соотношения (18) с помощью неравенства Юнга,
получаем
?t
y(t) ? A1 y 2 (? )d? + A0 .
(19)
0
Воспользуемся обобщенной леммой Гронуолла, или леммой Бихари [8], согласно которой функция y(t) из соотношения (19) будет ограничена сверху некоторой функцией z(t),
являющейся решением дифференциального уравнения z ? (t) = A1 z 2 и удовлетворяющей начальному условию z(0) = A0 .
80
Вестник ЮУрГУ. Серия
?Математическое
моделирование и программирование?
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Решением данного дифференциального уравнения является функция
z(t) = A0 · (1 ? A1 tA0 )?1 .
При T < T ? имеем z(t) ? A0 · (1 ? A1 T A0 )?1 = A, и далее y(t) ? z(T ).
Вспоминая (17), получим окончательную оценку
?t
?t
2
wxx
(1, ? )d?
y(t) +
+ 4r1
0
2
wx?
dxd? +
+ 4?
0
?1
0
0
?t ?1
2
[wxxt
(x, t)
+2?
?t ?1
2
wxx
(0, ? )d?
+
2
wxxx
(x, t)]dx
+ 4?
0
?t ?1
2
wxx?
dxd?
0
+ 4r?
2
wxxx?
dxd? ?
2
0
0
0
3
2
? c1 T z(T ) + c2 T z (T ) + c3 T z 2 (T ) + c0 = R.
(20)
Из оценки (20), свойства рефлексивности гильбертова пространства [7], теорем вложения и теоремы о возможности выбора из последовательности, сходящейся сильно, подпоследовательности, сходящейся почти всюду [9], следует, что при выполнении условий теоремы существуют числовая последовательность {?m }, функциональная последовательность
?
{wm (x, t)} решений задачи (10?m ), (8), (9) и функция w(x, t) такие, что при m ? ? имеют
место сходимости ?m ? 0, wm (x, t) ? w(x, t) слабо в пространстве W22 (Q), wm (0, t) ? w(0, t)
почти всюду на отрезке [0, T ], ?m wmxxt (x, t) ? 0 слабо в пространстве L2 (Q). Очевидно, что
?
для функции w(x, t) будут выполняться уравнение (100 ) и условия (8) и (9).
Имеет место неравенство
?
{
}
?
2
|w(0, t)| ?
2d0 + 1 + 2 z(T ).
d0
Из этого неравенства и из условия (6) теоремы следует, что для функции w(x, t) выполняется уравнение (100 ).
С учетом вида z(T ), условия (6) теоремы, получим, что G(w(0, t)) = w(0, t), в силу чего
придем к решению задачи (7) (9).
Определим функцию v(x, t): v(x, t) = w(x, t) + a(x, t)w(0, t). Очевидно, что для функции
v(x, t) выполняется уравнение
vtt ? vxx + [A(t) + B(t)v(0, t)]vt = fxx ,
а также условия
vx (0, t) = ?1 (t)v(0, t),
??
v(x, 0) = u0 (x),
vx (1, t) = ?1 (t)v(0, t),
??
vt (x, 0) = u1 (x).
Определим функцию u(x, t) как решение задачи Коши
uxx (x, t) = v(x, t),
u(0, t) = µ(t),
ux (0, t) = ?0 (t).
Обозначим w1 (x, t) = utt (x, t) ? uxx (x, t) + [A(t) + B(t)uxx (0, t)]ut (x, t) ? f (x, t).
Для этой функции имеют место равенства
w1xx (x, t) = 0,
w1 (0, t) = w1x (0, t) = 0.
Следовательно, w1 (x, t) есть тождественно нулевая функция.
2013, том 6, ќ 4
81
Р.Р. Сафиуллова
Положим q(t) = A(t) + B(t)uxx (0, t). Очевидно, что функции u(x, t) и q(t) связаны в
прямоугольнике Q уравнением (1). Выполнение условий (2) для функции u(x, t) очевидно.
Покажем, что выполняется условие ux (1, t) = ?0 (t).
Положим ?(t) = ux (1, t) ? ?0 (t). Имеет место равенство
??
?
? (t) + q(t)? (t) = 0.
?
Из этого равенства и из условий ?(0) = ? (0) = 0 (следующих из условий согласования)
вытекает, что функция ?(t) есть тождественно нулевая функция. А это и означает, что
выполняется условие ux (1, t) = ?0 (t).
Принадлежность функций u(x, t) и q(t) требуемым классам очевидна. Таким образом,
найденные функции u(x, t) и q(t) дают требуемое решение искомой обратной задачи. Теорема
доказана.
Определим класс W1 :
W1 = {{u(x, t), q(t)} : u(x, t) ? V, ux (x, t) ? V, uxx (x, t) ? V, q(t) ? L? ([0, T ]), q(t) ? 0} .
Теорема 2. Пусть для функций f (x, t), ?0 (t), ?0 (t), µ(t), u0 (x) и u1 (x) выполняются все
условия теоремы 1. Тогда в множестве W1 обратная задача (1) (4) не может иметь
более одного решения.
Доказательство. Предположим, что обратная задача (1) (4) имеет в множестве W1 два
решения {u1 (x, t), q1 (t)} и {u2 (x, t), q2 (t)}.
Положим u(x, t) = u1 (x, t)?u2 (x, t), q(t) = q1 (t)?q2 (t). Для функции u(x, t) выполняются
равенства
1
utt ? uxx + q1 (t)ut + ? uxx (0, t)u2t = 0,
(21)
µ (t)
u(x, 0) = ut (x, 0) = 0,
ux (0, t) = ux (1, t) = 0.
Дифференцируя уравнение (21) по переменной x, полагая в полученном равенстве сначала x = 0, затем x = 1, получаем условия
uxxx (0, t) = ?1 (t)uxx (0, t),
uxxx (1, t) = ?1 (t)uxx (0, t).
Произведем повторное дифференцирование по переменной x.
Положим
v(x, t) = uxx (x, t),
?(t) = ?1 (t)uxx (0, t),
?(t) = ?1 (t)uxx (0, t).
Придем к функции v(x, t), для которой будут выполняться следующие равенства
vtt ? vxx + q1 (t)vt = ?
1
v(0, t)v2t ,
µ? (t)
Положим v0 (x, t) =
x2
2 [?(t)
vx (0, t) = ?(t),
vx (1, t) = ?(t),
v(x, 0) = vt (x, 0) = 0.
? ?(t)] + x?(t).
w(x, t) = v(x, t) ? v0 (x, t),
b(x, t) = ?a(x, t)axx (0, t) +
a(x, t)
v2t (0, t) ? att (x, t)+
µ? (t)
+axx (x, t) ? q1 (t)at (x, t) ?
82
Вестник ЮУрГУ. Серия
?Математическое
1
v2t (x, t).
µ? (t)
моделирование и программирование?
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Имеют место равенства
wtt ? wxx + q1 (t)wt = ?a(x, t)wxx (0, t) ? 2at (x, t)wt (0, t) + b(x, t)w(0, t),
(22)
wx (1, t) = wx (0, t) = 0,
(23)
w(x, 0) = wt (x, 0) = 0.
(24)
Дифференцируя равенство (22) по переменной x, умножая на функцию wxt ?(x? 21 )wxx ,
интегрируя по Qt , используя условия (23), (24), применяя неравенство Юнга, получим
1
4
?1
2
[wxt
(x, t)
+
?t
1
+
4
2
(x, t)]dx
wxx
2
2
[wxx
(1, ? ) + wxx
(0, ? )]d? ?
0
0
?t ?1
? p1
?t ?1
2
wx?
dxd?
0
+ p2
0
0
0
w?2 (0, ? )d?
3
+
4
0
где ?1 > 0,
p1 = 12 + 32 max q1 (t) +
[0,T ]
p2 =
1
2
?t
2
wxx
(0, ? )d? +
0
?t
3
+
2
3? 2
+ 1
4
2
wxx
dxd?
?t
w2 (0, ? )d?,
(25)
0
max a2x (x, t) + max a2xt (x, t) + 21 max b2x (x, t),
1
2?12
Q
Q
Q
+ 12 max q1 (t) + 4?12 max a2x (x, t) + 21 max a2xt (x, t) + 41 max b2x (x, t) некоторые ограничен[0,T ]
1
Q
Q
Q
ные величины.
Умножим равенство (22) на wt , проинтегрируем по Qt .
Используя условия (24), получим
1
2
?t ?1
?1
[wt2 (x, t)
wx2 (x, t)
+
+ w (x, t)]dx ? p3
w?2 dxd?
2
0
0
?t
?2
+ 1
2
2
wxx
(0, ? )d?
1
+
2
0
0
1
+
2
?t ?1
w2 dxd? +
0
?t
0
?t
2
w?2 (0, ? )d?,
w (0, ? )d? +
(26)
0
0
где p3 = 12 +max q1 (t)+ 2?12 max a2 (x, t)+max a2t (x, t)+ 12 max b2 (x, t) некоторая ограниченная
[0,T ]
1
Q
Q
Q
величина.
Сложим соотношения (25) и (26). Применяя неравенство (16), взяв ?1 =
1
2
?1
[wt2 (x, t)
+
wx2 (x, t)
1
+ w (x, t)]dx +
4
?t
2
[wxx
(0, ? )]d?
0
2
2
[wxt
(x, t) + wxx
(x, t)]dx+
0
1
+
4
?t
?t ?1
2
wxx
(1, ? )]d?
?s
0
где p4 = 94 + 2d52 , p5 = 52 d20 , p6 = p3 +
0
некоторые ограниченные величины.
2013, том 6, ќ 4
имеем
?1
2
0
1
+
8
?1 ,
10
2
2
[w2 + wx2 + w?2 + wx?
+ wxx
]dxd?,
0
5
2
+
5
,
d20
0
p7 = p1 + 5d20 , s = max{p2 , p4 , p5 , p6 , p7 } 83
Р.Р. Сафиуллова
Из этого неравенства и леммы Гронуолла следует оценка
?1
2
2
[wt2 (x, t) + wx2 (x, t) + w2 (x, t) + wxx
(x, t) + wxt
(x, t)]dx ? 0.
0
Отсюда w(x, t) ? 0 в Q. Следовательно, с учетом вида функции w(x, t), w(x, t) = v(x, t)?
v0 (x, t) ? 0, т.е. v(x, t) ? v0 (x, t).
При x = 0 имеем v0 (0, t) ? 0, а значит и v(0, t) ? 0.
Таким образом, получаем, что функция v(x, t) является решением уравнения
vtt ? vxx + q1 (t)vt = 0,
и для нее выполняются условия
vx (0, t) = vx (1, t) = 0,
v(x, 0) = 0,
vt (x, 0) = 0.
Решением этой задачи является тождественно нулевая функция: v(x, t) ? 0. Это равносильно тому, что uxx (x, t) ? 0. Граничные условия (21) дают тождество u(x, t) ? 0. Таким
образом u1 (x, t) ? u2 (x, t). При этом q1 (t) ? q2 (t). Теорема доказана.
Сделаем несколько замечаний.
Замечание 1. Точное значение чисел r1 , r и т.д. во многом определяется тем, как автор
подбирает коэффициенты в неравенстве Юнга. При ином, нежели у автора, выборе эти
числа изменятся.
Замечание 2. Условия ???0 (t) + A(t)??0 (t) ? fx (0, t) ? 0, ?0?? (t) + A(t)?0? (t) ? fx (1, t) ? 0 не
являются принципиальными; если эти функции не тождественно нулевые, то лишь незначительно изменятся выкладки.
Замечание 3. Переход от неравенства (18) к неравенству (19) выполнен лишь для удоб-
ства (именно, для точного определения числа T ? ). На самом деле вполне возможно сразу к
неравенству (18) применить обобщенную лемму Гронуолла.
Замечание 4. Выбор параметра M0 при построении функции G(?) определяется желани-
ем получить неизвестный коэффициент q(t) неотрицательным (что соответствует свойству
неотрицательности диссипации). От условия неотрицательности q(t) можно отказаться, параметр M0 можно считать произвольным, при получении неравенства (18) нужно будет
учитывать большее число слагаемых в правой части, и число T ? , вообще говоря, увеличится.
Литература
1. Валитов, И.Р. Обратные задачи для гиперболических уравнений: случай неизвестных
коэффициентов, зависящих от времени / И.Р. Валитов, А.И. Кожанов // Вестн. НГУ.
Сер. Математика, механика, информатика. 2006. Т. 6, ќ 1. С. 318.
2. Валитов, И.Р. О разрешимости двух обратных задач для гиперболических уравнений /
И.Р. Валитов // Тр. Стерлитамак. филиала Акад. наук республики Башкортостан. Сер.
Физико-математические и технические науки. 2006. ќ 3. С. 6473.
3. Павлов, С.С. Нелинейные обратные задачи для многомерных гиперболических уравнений с интегральным переопределением / С.С. Павлов // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 19, ќ 2. С. 128154.
84
Вестник ЮУрГУ. Серия
?Математическое
моделирование и программирование?
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
4. Якубов, С.Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения /
С.Я. Якубов. Баку: Элм, 1985.
5. Кожанов, А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи / А.И. Кожанов
// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. Т. 44, ќ 4.
С. 694716.
6. Кожанов, А.И. О разрешимости некоторых нелинейных обратных задач для уравнений
составного типа / А.И. Кожанов // Тр. III междун. конф. ?Нелокальные краевые задачи
и родственные проблемы биологии, информатики, физики?. Нальчик, 2006. ќ 5. С. 4251.
7. Треногин, В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин. М.: Наука, 1980. 488 с.
8. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. М.: Наука, 1967. 472 с.
9. Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа /
О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева. М.: Наука, 1973. 578 с.
Регина Рафаиловна Сафиуллова, кандидат физико-математических наук, кафедра ?Алгебра, геометрия и методика обучения математике?, Башкирский государственный университет (г. Стерлитамак, Российская Федерация), [email protected]
Bulletin of the South Ural State University.
Series ?Mathematical Modelling, Programming & Computer Software?,
2013, vol. 6, no. 4, pp. 7386.
MSC 35R30
Inverse Problems for the Second Order Hyperbolic Equation
with Unknown Time Depended Coecient
R.R. Saullova,
[email protected]
Bashkortostan State University, Sterlitamak, Russian Federation, regina-
We analyze the solvability of the inverse problem with an unknown time depended
coecient for a second-order hyperbolic equation. We also study uniqueness of the problem
solution. The problem is stated as follows: it is required to nd a solution and an unknown
coecient of the equation. Here the problem is considered in a rectangle area, with a
set conditions being typical of the rst boundary-value problem and an overdetermination
condition being necessary of the unknown coecient searching. To study solvability of
the inverse problem, we realize a conversion from the initial problem to a some direct
supplementary problem with trivial boundary conditions. We prove the solvability of the
supplementary problem in the class of the functions considered above. Then we realize a
conversion to the rst problem again and as a result we receive the solvability of the inverse
problem. To prove solvability of the problem, we use the method of continuation on a
parameter, xed point theorem, cut-o functions, and the method of regularization. In the
article we prove the theorems of the existence and the uniqueness of the problem solution
in the class of the functions considered above.
Keywords: inverse problem;
hyperbolic equation;
weighted equation;
continuation
method on parameter; method of a motionless point; regularization method.
2013, том 6, ќ 4
85
Р.Р. Сафиуллова
References
1. Valitov I.R., Kozhanov A.I. Inverse Problems for Hyperbolic Equations: Unknown Time
Depended Coecients Case [Obratnye zadachi dlya giperbolicheskikh uravneniy: sluchay
neizvestykh koetsientov, zavisyashchikh ot vremeni]. Vestnik NGU, Ser. Matematika,
mekhanika, informatika, 2006, vol. 6, no. 1, pp. 318.
2. Valitov I.R. On Solvability Two Inverse Problems for Hyperbolic Equations [O razreshimosti
dvukh obratnykh zadach dlya giperbolicheskikh uravneniy]. Trudy Sterlitamakskogo liala
Akademii nauk respubliki Bashkortostan, Ser. Fiziko-matematicheskie i tekhnicheskie nauki,
2006, no. 3, pp. 6473.
3. Pavlov S.S. Nolinear Inverse Problems for Many-Dimensional Hyperbolic Equations
with Integral Overdetermination [Nelineynye obratnye zadachi dlya mnogomernykh
giperbolicheskikh uravneniy s integral'nym pereopredeleniem]. Matematicheskie zametki
YaGU, 2011, vol. 19, no. 2, pp. 128154.
4. Yakubov S.Ya. Lineynye dierentsial'no-operatornye uravneniya i ikh prilozheniya [Linear
Dierential-Operated Equations and It's Applications]. Baku, ELM, 1985. 220 p.
5. Kozhanov A.I. Nonlinear Weighted Equations and Inverse Problems [Nelineynye
nagruzhennye uravneniya i obratnye zadachi]. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i
matematicheskoy ziki, 2004, vol. 44, no. 4, pp. 694716.
6. Kozhanov A.I. On Solvability Some Nonlinear Inverse Problems for Composite Type
Equations [O razreshimosti nekotorykh nelineynykh obratnykh zadach dlya uravneniy
sostavnogo tipa]. Trudy mezhdunarodnoy konferentsii ?Nelokal'nye kraevye zadachi i
rodstvennye problemy biologii, informatiki, ziki?. Nalchik, 2006, no. 5, pp. 4251.
7. Trenogin V.A. Funktsianal'nyy analiz [Functional Analysis]. Moscow, Nauka, 1980, 488 p.
8. Demidovich B.P. Lektsii po matematicheskoy teorii ustoychivosti [Lectures on the
Mathematical Theory of Stability]. Moscow, Nauka, 1967, 472 p.
9. Ladyzhenskaya, О.А., Ural'tseva N.N. Lineynye i kvazilineynye uravneniya ellipticheskogo
tipa [Linear and Quasilinear Elliptic Equations]. Moscow, Nauka, 1973, 578 p.
Поступила в редакцию 24 июля 2013 г.
86
Вестник ЮУрГУ. Серия
?Математическое
моделирование и программирование?
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
12
Размер файла
416 Кб
Теги
времени, неизвестный, уравнения, обратная, коэффициента, зависящим, задачи, порядке, второго, гиперболическое
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа