close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Основные квадратичные формы поверхностей в конформно-евклидовых пространствах.

код для вставкиСкачать
Вестник ТГПИ
Так как
всех z
Естественные науки
| ( z) | 1 , и | ( z ) | <1 при условии (21) и, следовательно, | ( z ) | | ( z ) |
∂D, то по теореме Руше [3] функции
(z ) и
тот же индекс в области D. Поэтому для индекса n= ind
ind ( z )
1
2
Итак, если
1
2
ind ( z )
D
arg( e
2i
)
( z)
( z)
для
( z ) имеют один и
(z ) , имеем:
D
arg
1
2
D
( z)
( 2 )
2.
(0, 1) удовлетворяет условию (21), т. е.
1
2
1
max 1
4 D
g
cos 2
e
f
sin 2
e
,
(21')
то индекс n краевой задачи A есть отрицательное число, и потому задача A имеет только нулевое
решение.
5. Доказательство теоремы
Пусть поверхность F с краем ∂F подвергнута СhRG − бесконечно малой деформации и переведена в поверхность F*. В силу условия K ≥ k0 > 0, k0=соnst, указанная деформация описывается системой уравнений эллиптического типа, если коэффициент рекуррентности
(0, 1).
В силу того, что коэффициент рекуррентности удовлетворяет условию (21'), то по теореме
(*) краевая задача A не имеет нетривиального решения. Следовательно, при условии (21') поверхность допускает только тривиальное решение. Отсюда следует, что поверхность F является жесткой в пространстве Е3. Теорема доказана.
Автор приносит благодарность профессору В.Т. Фоменко за постановку и руководство данной задачи.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
2.
3.
Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз., 1959.
Фоменко В.Т. Об однозначной определенности овалоидов положительной кривизны в классе
СhRG − преобразований // Сб. науч. работ по межвузовской научной программе «Университеты
России – фундаментальные исследования». Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 1999.
Шабат Б.А. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1969.
Е.А. Кульчинская
ОСНОВНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
В КОНФОРМНО-ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Исследование различных видов бесконечно малых деформаций поверхности в римановых
3
пространствах R , как правило (см. [1]), сходится к решению дифференциальных уравнений, тип
которых (эллиптический, параболический, гиперболический) определяется соотношениями, выраженными через уравнения рассматриваемой поверхности. Чтобы придать инвариантный характер этим соотношениям, необходимо методами тензорного исчисления знать выражение метрического тензора поверхности, тензора второй квадратичной формы и других характеристик поверх16
Раздел I. Геометрия
ности в римановом пространстве. В связи с этим в настоящей статье найдены выражения метрического тензора и тензора второй инвариантной формы в конформно-евклидовых пространствах с
метрикой ds 2 E ( x, y, z )( dx 2 dy 2 dz 2 ) поверхностей, заданных уравнениями z f ( x, y) ,
D . Получено выражение для внешней кривизны рассматриваемой поверхности.
( x, y )
п.1. Метрика пространства. Символы Кристоффеля пространства
Рассмотрим
ds
2
E ( x, y, z )( dx
риманово
2
dy
dz ) , где E
2
R3
пространство
2
в
координатах
здесь и далее по индексам
a
с метрикой
0.
R 3 в общем виде дается формулой:
Основная квадратическая форма риманова пространства
ds 2
( x, y, z )
dy dy
, где y1
x; y 2
y; y 3
z;
, , ,... введется суммирование от 1 до 3.
Таким образом, для рассматриваемого пространства
E ( x, y , z )
0
0
a
0
E ( x, y , z )
0
R 3 имеем:
0
0
E ( x, y , z )
Введем в рассмотрение контравариантный метрический тензор
Таким образом, матрица тензора
a13
a 23
. Имеем:
0.
дается формулой:
a
1
E ( x, y , z )
0
0
0
1
E ( x, y , z )
0
0
0
1
E ( x, y , z )
a
a
1
;
E ( x, y , z )
a11 a 22 a 33
a12
(1.1)
(1.2)
*
Вычислим символы Кристоффеля первого рода
*
Г
1
,
2
( a
a
Г
,
пространства по формуле:
a );
, ,
1,2,3
Имеем:
Г 1,11
1
Ex
2
*
*
*
Г 1,12
Г 1, 21
*
Г 2,11
,
1 ,
Ey
2
(
1
Ey )
2
*
Г 3,11
*
Г 3,12
(
1
Ez ) ,
2
*
Г 3, 21
(1.3)
0,
17
Вестник ТГПИ
Естественные науки
,
*
*
1
Ez
2 ,
*
Г 1,13
Г 1,31
,
*
Г 1, 23
Г 1,32 0
*
*
Г 3, 23
Г 3,32
1
Ex
2
*
Г 3, 22
Г 3, 22
1
Ey ,
2
1
( Ez )
2
,
1
Ey ,
2
1
( Ey )
2
*
Г 2, 22
Г 2,33
E
,
x
E
,
y
*
1
Ez
2
Г 2,32
*
Ey
*
Г 2,31 0
,
где
Ex
*
Г 3,31
,
*
1
Ex ) ,
2
1
( Ex ) ,
2
Г 1,33
*
Г 2,23
Г 1,22 (
*
*
*
Г 3,13
,
,
*
Г 2, 21
Г 2,13
*
1
Ex
2
*
Г 2,12
*
*
Г 3,33
Г 3,33
1
Ez ,
2
,
E
,
z
Ez
Найдем символы Кристоффеля второго рода по формуле:
*
*
Г
a Г
, где
,
, ,
1,2,3
Имеем:
* 1
* 2
Г 11
Ex
,
2E
Г 11
*1
*1
* 2
Г 12
Ey
Г 21
Г 12
E
,
(
Ey
2E
* 2
Г 21
* 3
Г 11
Ex
2E
Г 12
Г 21
* 3
Г 13
* 3
Г 31
0,
Ex
2E
Г 13
* 1
* 2
Ez
2E
Г 31
Г 13
*2
Г 23
,
* 3
* 3
Ey
*1
Г 23
*1
Г 22
*1
Г 33
*1
Г 32
0,
*2
Ex
(
),
2E
Ex
(
),
2E
(
* 3
,
* 1
Ez
),
2E
),
* 3
* 2
Г 31
0,
*2
Г 32
Ez
,
2E
*2
Г 22
Г 22
*2
Г 33
*2
Г 33
,
Ey
2E
(
,
Г 23
2E
(1.4)
2E
,
*3
,
Ey
Г 32
Г 22
)
* 3
Г 33
(
Ez
),
2E
Ez
.
2E
2
п.2. Метрическая форма поверхности F
в конформно-евклидовом пространстве
Рассмотрим в римановом пространстве
18
R 3 поверхность F 2 , заданную уравнениями:
Раздел I. Геометрия
y ( x1 , x 2 ),
y
Метрика
ds 2
a dy dy
ds 2
здесь и далее индексы
( x1 , x 2 )
D
2
риманова пространства индуцирует на поверхности F метрику
g ij dxi dx j , где g kl
F2
a y,k y,l
;
y, k
y
;
xk
i, j, k , l ,... пробегают значения от 1 до 2.
Будем далее считать, что поверхность
уравнениями:
y1
F 2 конформно-евклидовом пространстве R 3 задана
x; y 2
y; y 3
f ( x, y)
В этом случае имеем:
ds 2
F2
f x2 )dx 2
G(1
f y2 )dy 2 , где G E( x, y, f ( x, y)) .
2Gf x f y dxdy G(1
Таким образом, метрический тензор g ij дается формулой:
(1
g ij
f x2 )G
f x f yG
f x f yG
(1 f y2 )G
(2.1)
Введем в рассмотрение контравариантный метрический тензор
g 11
g 22
2
g11 g 22
g12
g 12
g 21
f
g11 g 22
2
x
G (1
G (1
f x2
f x2
Таким образом, матрица тензора
f y2 )
g ij дается формулой:
1
g ij
f y2 )
f x2
1
2
g12
f y2 )
( fx fy )
( g12 )
2
g11 g 22 g12
g11
g 22
f y2 )
(1
G (1
f y2
( fx fy )
2
x
G (1 f
f y2 )
( fx fy )
G (1
f x2
f y2 )
f x2
f y2 )
1 f x2
G (1 f x2
f y2 )
G (1
п.3. Нормальный вектор к поверхности
Пусть
нормали n
g ij .
F 2 в R3
n – единичный тензор нормали к поверхности F 2 . Координаты единичного тензора
(
1,2,3 ) вдоль поверхности
F 2 находятся из трех следующих условий:
19
Вестник ТГПИ
Естественные науки
1) Условие ортогональности
n координатным тензорам
a
n
i
y ,i :
i
0
В развернутом виде эти условия представляются следующим образом:
a11 11n1 a12 11n 2
a11 12 n1 a12 12 n 2
a13 11n3 a21 12 n1 a22 12 n 2 a23 12 n3 a31 13n1 a32 13n 2 a33 13n3 0
a13 12 n3 a21 22 n1 a22 22 n 2 a23 22 n3 a31 32 n1 a32 32 n 2 a33 32 n 3 0
Согласно (1.1) имеем a
0 , если
.
Таким образом, последняя система записывается в виде:
a11
a11
1 1
1
1 1
2
n
n
2
1
2
2
a 22
a 22
n2
n2
2
Для рассматриваемой поверхности F : y1
имеем:
1
Так как
a11
a22
a33
a33
x; y 2
{1,0, f x };
2
n3
n3
y; y 3
0,
0.
(3.1)
f ( x, y ) , где
( x, y )
D,
(3.2)
{0,1, f y }
E ( x, y, z ) , то система (3.1) записывается следующим образом:
a33
E ( x, y, z )(n1
f x n3 )
1
f yn )
2) Условие единичной длины вектора нормали
;
a11
(3.3)
0.
n :
a n n
0 , если
0,
3
E ( x, y, z )(n
Учитывая, что a
3
1
3
2
a22
1
E ( x, y, z ) , согласно (1.1), данное
a33
условие представляется в виде:
E ( x, y, z )(( n1 ) 2
3) Условие, что
(n 2 ) 2
(n 3 ) 2 ) 1
(3.4)
n составляет острый угол с направлением оси z : {0,01} .
Для того чтобы угол между векторами был острым необходимо и достаточно, чтобы косинус между ними был положительным, то есть:
a
cos(n , z )
a
Это условие может быть записано в виде:
20
z z
z n
a n n
0
Раздел I. Геометрия
a z n
Учитывая, что
z1 z 2 0 , а z
3
0
1 , при этом a
) , a33 E ( x, y, z )
0 (
(согласно (1.1)), последнее неравенство приобретает вид:
E ( x, y , z ) n 3
0
(3.5)
Так как три указанных условия должны выполняться одновременно, то, исходя из (3.3),
(3.4), (3.5), координаты
n находятся из системы:
E ( x, y, z )( n1
E ( x, y, z )( n 2
E ( x, y, z )(( n1 ) 2
f x n3 )
f y n3 )
(n 2 ) 2
E ( x, y , z ) n
Так как
3
0
0
(n 3 ) 2 )
1
0
E ( x, y, z ) 0 , то последняя система может быть записана в следующем виде:
n1
n2
f x n3
f y n3
E ( x, y, z )(( n 3 ) 2 f x2
(3.6)
(n 3 ) 2 f y2
n3
(n 3 ) 2 ) 1
0
Учитывая последнее неравенство системы (3.6), решаем третье уравнение этой системы относительно
n3 :
1
n3
E ( x, y, z )(1
,
f x2
f y2 )
тогда
fx
n1
E ( x, y, z )(1
f x2
f y2 )
f x2
f y2 )
fy
n2
E ( x, y, z )(1
Таким образом, координаты единичного тензора нормали
ют вид:
n
{
fx
E ( x, y, z )(1 f
2
x
2
y
f )
;
n вдоль поверхности F 2 име-
fy
E ( x, y, z )(1 f
2
x
2
y
;
f )
1
E ( x, y, z )(1 f x2
f y2 )
}
(3.7)
F2,
вычисленные по метрическому тензору g ij
п.4. Символы Кристоффеля поверхности
21
Вестник ТГПИ
Естественные науки
Найдем символы Кристоффеля первого рода поверхности
F 2 , вычисленные по метриче-
скому тензору g ij с помощью формул:
1
Г l , ij
( i g jl
2
j g li
l , i, j 1,2.
l g ij ) ,
Имеем:
Г1,11
Г1,12
Г1, 22
1
Gx (1
2
1
Г1, 21
1
2
2
f x2 )
Gf x f xx
f y2 )
G y (1
Gf x f xy
Gx (1 f y2 ) G y f x f y Gf x f yy
Г 2,11
Gx f x f y
Г 2,12
Г 2, 21
Г 2, 22
1
G y (1
2
1
G y (1
2
1
Gx (1
2
f x2 )
f y2 )
(4.1)
Gf y f x
Gf y f xy
f y2 ) Gf y f yy
Найдем символы Кристоффеля второго рода по формуле:
Г ijl
1
Г11
1
Г 12
1
Г 22
Г 112
2
Г 12
Г
2
22
l, i, j 1,2.
g lp Г p ,ij
f x2
G x (1
f y2
f x2 f y2 )
2G (1
2
y
f )
2
f x2 ) f x f y
G x (1
f
f
f x2 )(1
f ) fx fy
f
2
x
2
x
2Gf x f xy
2
y
f )
2Gf x f yy
(4.2)
f )
f x2 ) 2
2Gf y f xx
2
y
f )
f y2 )
G y (1
f y2 )
2
y
f x2 ) f x f y
G y (1
2G (1
2
y
f x2 )(1
f ) fx fy
G y (1
2G (1
G x (1
f )
G y (1
2
x
2Gf x f xx
2
y
2
y
G y (1
2G (1
2
Г 21
2
x
2G (1
G x (1
G x (1
f
f x2 ) f x f y
G x (1
1
Г 21
f x2 ) f x f y
G y (1
f
f
2
x
2
x
2G (1
f
f x2
2Gf y f xy
2
y
f )
2
y
f x2 f y2 ) f x f y
2Gf y f yy
f y2 )
п.5. Смешанные ковариантные производные в
Вычислим ковариантные производные в
22
R 3 вдоль F 2
R 3 вдоль F 2 по формуле:
Раздел I. Геометрия
*
i
где
x1
x; x 2
j
x
*
j
i
Г
j
Г ijk
i
, i, j 1,2 ,
k
1,2,3 ,
y.
Используя формулы (1.4), (3.2) и условие (4.2) получаем:
*
1
1
1
1
2
1
1
3
1
1
1
2
*
*
*
*
1
*
E x (1 f x2 ) f x2
f x2 ) f x
E x (1
2 E (1
E x f x2 f x f y
Ex f f
2
2
2
y
2
2
2
2
2
3
2
2
x
f
f
f y2 ) f x2
E z f y2 f x
f y2 ) f x
2 Ef x f xy
2 Ef y f xy
2
y
f )
Ez f x f y
2
x
2 Ef xy
(5.1)
2
y
f )
f y2 )
f x2
f
2 E (1
f
2
x
f y2 ) f x
2 Ef x f yy
f y2 ) f y
2 Ef y f yy
f y2 )
2
x
f y2 ) f y
E y (1
E z (1
f y2 ) f y2
E y (1
2 E (1
E x (1
2 Ef xx
f )
E y f x f y (1
f x2 ) f x f y
f x2 )
E z (1
2
y
2 E (1
E x (1
f )
f )
Ey f y f x f y
2 E (1
2 Ef y f xx
2
y
2
x
f
f x2 ) f y
E z (1
2
y
E z f x2 f y
Ey f fx f y
Ex f x f x f y
f
2
x
2
y
2 E (1
E x (1
f
E y f x2 f y2
2 E (1
2
x
2
x
f x2 ) f y
E y (1
f y2 )
f x2 ) f x f y
E x (1
2 E (1
1
2
*
f x2 ) f y2
E y (1
3
2
*
E y (1 f x2 ) f x f y 2 Ef x f xx
2 E (1 f x2
1
*
E z (1 f x2 ) f x
E z (1
2
y
f )
E z (1
f y2 )
2 Ef yy
2
y
f )
п.6. Коэффициенты второй квадратичной формы
поверхности
F 2 в R3
Посчитаем коэффициенты второй квадратичной формы поверхности, используя общие
формулы:
*
bij
a
(
i
j
)n ,
i, j
1,2 .
Используя формулы (1.1), (3.7), (5.1) находим:
b11
(1
f x2 )( E x f x
2 E (1
Ey f y
f
2
x
Ez )
2 Ef xx
2
y
f )
23
Вестник ТГПИ
b12
b22
Естественные науки
f x f y (Ex f x
b21
2 E (1
f y2 )( E x f x
(1
Ey f y
Ey f y
2 E (1
f
В частности, для метрики
E
b11
b12
b22
2
x
E (1
f )
2 E (1
b21
f
b11
b12
b22
f y2 )
2 Ef yy
f x2
f y2 )
E( x 2
f x2
E f x f y ( xf x
E (1
E (1
f y2 )( xf x
E (1
z2):
y2
yf y
E (1
b21
коэффициенты второй квадратичной формы имеют вид:
2 Ef xy
f x2 )( xf x
E (1
f )
E( z)
2
x
f
f y2 )
Для метрики E
2 Ef yy
2
y
f y2 )
2 E (1
2 E (1
(6.1)
f )
Ez )
2
x
2 Ef xy
2
y
2 Ef xx
2
x
E fx fy
E (1
f
Ez )
2
x
f)
f y2 )
yf y
f)
f x2
f y2 )
yf y
f
2
x
Ef xx
f)
Ef xy
Ef yy
2
y
f )
п.7. Внешняя кривизна поверхности
F 2 в R3
Используя найденные значения коэффициентов второй квадратичной формы поверхности
2
F , посчитаем внешнюю кривизну поверхности F 2 в R 3 по формуле:
K
Используя (2.1), (6.1) и обозначая: D
K
f xx f yy
E 2 (1 f x2
f xy2
f y2 ) 2
f yy (1 f x2 )
b11b22
g11 g 22
Ex f x
b122
2
g12
Ey f y
f xx (1 f y2 ) 2 f x f y f xy
2 E 2 (1 f x2
f y2 ) 2
E z , получаем:
D
D2
4 E 3 (1 f x2
f y2 ) 2
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
Fomenko V.T. ARG – deformation hypersurface with a boundary in Riemannian space. Presented at the
90th Anniversary Conference of Akitsugu Kawaguchi’s Birth. Bucharest, Aug. 24-29, 1992.
В.В. Сидорякина, Н.С. Казарян
О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ EAG−ДЕФОРМАЦИЯХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
24
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
399 Кб
Теги
пространство, евклидовой, основные, конформных, квадратичної, поверхности, формы
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа