close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Ряды Дирихле с периодическими коэффициентами и функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции декартовых решёток.

код для вставкиСкачать
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОНИК
Том 11 Выпуск 2 (2010)
УДК 511.9.
ЯДЫ ДИИХЛЕ С ПЕИОДИЧЕСКИМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ
УАВНЕНИЕ ДЛЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
ДЕКАТОВЫХ ЕШњТОК1
М. Н. Добровольский (г. Москва)
Аннотация
В данной работе получено ункциональное уравнение для дзета-ункции произвольной декартовой решјтки. анее аналогичный результат автор получил относительно дзета-ункции и гиперболической дзета-ункции только для произвольной целочисленной решетки ([8?, [9?).
1
Необходимые сведения о решетках
Сначала напомним некоторые определения.
~?1 , . . . , ~?m , m 6 s линейно независимая система
векторов из R . Множество ? всех векторов вида a1~
?1 + . . .+ am~?m , где ai , 1 6
i 6 m независимо пробегают все целые числа, называется m-мерной решјткой
s
в R , а векторы ~
?1 , . . . , ~?m базисом этой решјтки.
Определение
s
1.
Пусть
Если m = s, то решјтка называется полной, в противном случае неполной.
В этой работе под решјтками понимаются полные решјтки. Очевидно, что Zs
решјтка, еј ещј называют ундаментальной решјткой.
Пусть ? произвольная целочисленная решетка в Rs , т.е. ? подрешетка ундаментальной решетки Zs , тогда
? = {m1~?1 + . . . + ms~?s |m1 , . . . , ms ? Z}
и ~?1 , . . . , ~?s линейно независимая система целочисленных векторов.
Определение
жество
2
2.
Для решјтки
?
взаимной решјткой
?? = {~y | ? ~x ? ? (~y , ~x) ? Z} .
1 абота
2 Здесь
выполнена по гранту ФФИ 08-01-00790
и далее скалярное произведение
(~y, ~x) = y1 x1 + . . . + ys xs .
??
называется мно-
(1)
26
М. Н. ДОБОВОЛЬСКИЙ
Очевидно, что взаимная решјтка ?? для решјтки ? задается взаимным базисом ~??1 , . . . , ~??s , определяемым равенствами
(
~?? , ~?j = ?i j = 1 при i = j,
(2)
i
0 при i 6= j.
Нетрудно видеть, что ундаментальная решјтка Zs совпадает со своей взаимной решјткой и является подрешјткой взаимной решјтки любой целочисленной
решјтки. Кроме того, если ?1 ? ? ? Zs , то Zs ? ?? ? ??1 ; для любого C 6= 0
имеем (C?)? = ?? /C . Для любой решјтки справедливо равенство для детерминантов решјток: det ?? = (det ?)?1 .
Остановимся на понятии декартовой решетки и приведем без доказательства
необходимые акты из [2?.
Определение
решјтка
? + ~x
3.
Простой
декартовой решјткой называется сдвинутая
вида
? + ~x = (t1 · Z + x1 ) Ч (t2 · Z + x2 ) Ч . . . Ч (ts · Z + xs ),
где
tj 6= 0
(j = 1, . . . , s).
Другими словами, если сдвинутая решјтка ? + ~x простая декартова решјтка, то она получается из ундаментальной решјтки растяжением по осям
с коэициентами t1 , . . . , ts и сдвигом на вектор ~x.
Определение
4.
Декартовой решјткой называется сдвинутая решјтка,
представимая объединением конечного числа простых декартовых решјток.
Определение
5.
Декартовой решјткой называется сдвинутая решјтка,
у которой найдется сдвинутая подрешјтка, являющаяся простой декартовой
решјткой.
Теорема
Теорема
1.
2.
Определения
4 и 5 эквивалентны.
Любой сдвиг рациональной решјтки является декартовой
решјткой.
где
Две решјтки ? и ? называются подобными, если
1
1
? = D(d1 , . . . , ds ) · ?, ? = D
,...,
· ?,
d1
ds
?
?
d1 . . . 0
?
?
D(d1 , . . . , ds ) = ? ... . . . ... ?
0 . . . ds
ЯДЫ ДИИХЛЕ С ПЕИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ...
27
произвольная диагональная матрица, d1 · . . . · ds 6= 0.
Множество всех невырожденных вещественных диагональных матриц порядка s будем обозначать
Ds (R) = {D(d1, . . . , ds ) | d1 · . . . · ds 6= 0}.
Относительно операции матричного умножения Ds (R) мультипликативная
абелева группа.
Множество всех унимодулярных вещественных диагональных матриц
DUs (R) является подгруппой группы Ds (R). Кроме того,
Ds (R) ?
= DUs (R) Ч R+ ,
где изоморизм ? между Ds (R) и прямым произведением DUs (R) Ч R+ устанавливается по правилу
?(D(d1 , . . . , ds )) =
!
!
p
d1
ds
s
= D p
,..., p
, |d1 · . . . · ds | .
s
s
|d1 · . . . · ds |
|d1 · . . . · ds |
Обозначим
D(d1 , . . . , ds ) с
через
DMs,? (R)
множество
всех
диагональных
матриц
kD(d1 , . . . , ds )k 6 ?,
?
а через DMs,?
(R) множество всех диагональных матриц D(d1, . . . , ds ) с
?d1
?ds 6 ?.
,...,
kD(d1 , . . . , ds )k 6 ?, и D
1 + d1
1 + ds ?
?
Так как DMs,?
(R) компактное подмножество множества Ms,?
(R), а T s (0, ?)
компактное подмножество тора, то для любой сдвинутой решјтки ? + ~x ее
замкнутая ? окрестность траектории Ds (R) · (? + ~x) при достаточно малом ?
будет полным метрическим пространством.
Теорема
3.
Произвольная декартова решјтка подобна сдвинутой цело-
численной решјтке.
Определение
6.
ция на любую координатную ось совпадает с
Теорема
4.
Любая целочисленная решјтка
которая однозначно определяется решјткой
Теорема
5.
?
Z.
Целочисленную решјтку
назовем простой, если проек-
?
подобна простой решјтке,
?.
Для любой декартовой решјтки
?,
являющейся решеткой,
существует единственное представление
? = D(t1 , . . . , ts ) · ?0 ,
где
?0
простая решјтка.
t1 , . . . , ts > 0,
(3)
28
М. Н. ДОБОВОЛЬСКИЙ
Дадим следующее определение.
Определение
~ · Zs
D(d)
D(d~1 ) · Zs
7.
Для целочисленной решјтки
?
декартова подрешетка
называется минимальной, если для любой декартовой подрешјтки
решјтки
?
выполнены соотношения
~ · Zs ? D(d~1 ) · Zs .
? ? D(d)
Если минимальная декартова подрешјтка существует, то ее определитель
будет минимальным среди всех определителей декартовых подрешјток решјтки
?.
Теорема
6.
Для любой целочисленной решјтки
?
существует минима-
льная декартова подрешјтка.
Обозначим через M ? (?) множество точек решјтки ?, попавших в полуоткрытый s мерный куб [0; det ?)s , таким образом для любой целочисленной
решјтки ? множество M ? (?) является полной системой вычетов решјтки ? по
подрешјтке det ? · Zs .
Докажем следующую теорему о разбиении произвольной декартовой решетки ? + ~x на простые декартовые решетки.
Теорема
7.
?+~x существует единствен? подобна простой решетке ?0
Для любой декартовой решјтки
ная простая решетка
?0
такая, что решетка
с диагональной матрицей
D(t1 , . . . , ts ).
Справедливо разбинение на непересека-
ющиеся декартовы подрешјтки:
?
? + ~x = D(t1 , . . . , ts ) · ?
[
y
~ ?M ? (?0 )
где
?
(det ?0 · Zs + ~y + ~z)? ,
(4)
~x = D(t1 , . . . , ts ) · ~z.
Доказательство. Действительно, если решјтка ? является декартовой
решјткой, то по теореме 5 имеет место единственное представление (3) с однозначно определенной простой решјткой ?0 .
Так как простая решјтка разбивается на непересекающиеся классы вычетов
по подрешјтке det ?0 · Zs :
?0 =
[
y ?M ? (?
~
0)
(det ?0 · Zs + ~y ) ,
то из (3) и (5) следует утверждение теоремы.
(5)
ЯДЫ ДИИХЛЕ С ПЕИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ...
2
29
иперболическая дзета-ункция решјтки
ассмотрим произвольную решјтку ? ? Rs , s > 2.
8. иперболической дзета-ункцией решјтки ? называется
?H (?|?), ? = ? + it, задаваемая при ? > 1 абсолютно сходящимся
Определение
ункция
рядом
?H (?|?) =
X?
~
x ??
где
P?
означает, что из суммирования исключен
ных значений
x
полагаем
Определение
9.
называется ункция
(6)
(x?1 · . . . · x?s )?? ,
~x = ~0, а
для всех веществен-
x? = max(1, |x|).
?
~
? + b ? , ? = ?+it, задаваемая при ? > 1 абсолютно
Обобщенной гиперболической дзета-ункцией решјтки
?H
?H
сходящимся рядом
X?
~
? + b ? =
(x?1 · . . . · x?s )?? .
(7)
~
x ??+~b
Как обычно через N(~x) = |x1 . . . xs | будем обозначать мультипликативную
норму вектора ~x. Она отлична от нуля только для точек общего положения, т. е.
точек, не имеющих нулевых координат. Используя мультипликативную норму,
дадим новые определения.
Определение
?(?|?), ? = ? + it,
10.
Дзета-ункцией
задаваемая при
?(?|?) =
?>1
X
решјтки
?
называется
ункция
рядом
~
x ??, N (~
x)6=0
|x1 · . . . · xs |?? .
(8)
Вообще говоря, дзета-ункция решјтки существует не для всякой решјтки
?, так как соответствующий ряд может расходиться для любого значения ? =
? + it, но для произвольной декартовой решјтки ? она очевидно существует
при ? > 1.
Нетрудно видеть, что гиперболическая дзета-ункция целочисленной решјтки ? непосредственно выражается через сумму дзета-ункции решјтки ? и
дзета-ункций соответствующих целочисленных решјток меньших размерностей, которые получаются отбрасыванием нулевых координат. Более точно это
утверждение будет приведено далее в тексте работы.
Заметим, что гиперболическая дзета-ункция не является однородной, как
ункция решјтки, а дзета-ункция решјтки является.
?(T · ?|?) = T ?s? ?(?|?),
?(D(t1 , . . . , ts ) · ?|?) = (t1 . . . ts )?? ?(?|?).
30
М. Н. ДОБОВОЛЬСКИЙ
11
. Обобщенной дзета-ункцией решјтки ?
~
? ? + b ? , ? = ? + it, задаваемая при ? > 1 рядом
Определение
ункция
? ? + ~b ? =
X
~
x ??+~b, N (~
x)6=0
называется
(9)
|x1 · . . . · xs |?? .
При получении ункционального уравнения гиперболической дзета-ункции использовался новый подход. Если ранее для доказательства существования аналитического продолжения гиперболической дзета-ункции произвольной декартовой решјтки использовалось только разложение целочисленной решјтки ? по подрешјтке det ? · Zs и затем ункциональное уравнение урвица,
то теперь использовались тригонометрические суммы решјтки, что позволило
использовать известные свойства рядов Дирихле с периодическими коэициентами. Кроме этого необходимо отметить, что понятие дзета-ункции решјтки
позволяет упростить рассуждения и ормулы.
3
Сетки и тригонометрические суммы решјток
Для реализации этого подхода приведем необходимые сведения о тригонометрических суммах решјтки.
Через Gs = [0; 1)s будем обозначать s-мерный полуоткрытый куб. Под сеткой мы понимаем произвольное непустое конечное множество M из Gs . Под
сеткой с весами будем понимать упорядоченную пару (M, ?), где ? произвольная числовая ункция на M . Для удобства будем отождествлять сетку M
с упорядоченной парой (M, 1), т. е. с сеткой с единичными весами: ? ? 1.
Определение
из
Gs
12.
Произведением двух сеток с весами
называется сетка с весами
M = { {~x + ~y } | ~x ? M1 , ~y ? M2 },
где
(M1 , ?1 )
и
(M2 , ?2 )
(M, ?):
?(~z ) =
X
?1 (~x)?2 (~y ),
{~
x+~
y} = ~
z,
~
x ?M1 , y
~ ?M2
{~z } = ({z1 }, . . . , {zs }).
Произведение сеток с весами (M1 , ?1 ) и (M2 , ?2 ) обозначается через (M1 , ?1 ) ·
(M2 , ?2 ). Кроме этого, если (M, ?) = (M1 , ?1 ) · (M2 , ?2 ), то будем писать M =
M1 · M2 и говорить, что сетка M произведение сеток M1 и M2 .
Определение
13.
Тригонометрической
суммой
сетки
m
~ называется
X
~ x)
S(m,
~ (M, ?)) =
?(~x)e2?i(m,~
.
и произвольного целочисленного вектора
~
x ?M
с весами
выражение
(M, ?)
ЯДЫ ДИИХЛЕ С ПЕИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ...
31
Легко видеть, что для любых сеток с весами (M1 , ?1 ) и (M2 , ?2 ) справедливо
равенство
S(m,
~ (M1 , ?1 ) · (M2 , ?2 )) = S(m,
~ (M1 , ?1 )) · S(m,
~ (M2 , ?2 )).
Определение
14.
(10)
Если справедливо равенство
(M, 1) = (M1 , 1) · (M2 , 1),
то сетки
M1
и
M2
называются взаимно простыми.
Таким образом, если M1 и M2 взаимно простые сетки, то равенство ~z =
{~x + ~y } имеет не более одного решения для ~x ? M1 и ~y ? M2 . Поэтому для
взаимно простых сеток и только для них справедливо равенство
|M1 · M2 | = |M1 | · |M2 |.
При ? ? 1 приходим к определению тригонометрической суммы сетки.
Определение
15.
Тригонометрической суммой сетки
целочисленного вектора
m
~
M
и произвольного
называется величина
S(m,
~ M) =
X
~ x)
e2?i(m,~
.
~
x ?M
Легко видеть, что для любых взаимно простых сеток M1 и M2 справедливо
равенство
S(m,
~ M1 · M2 ) = S(m,
~ M1 ) · S(m,
~ M2 ).
(11)
ассмотрим для произвольной целочисленной решјтки ?, целого вектора m
~
и произвольного вектора ~x из взаимной решјтки ?? величины:
~ ? ?,
1, если m
1, если ~x ? Zs ,
?
?? (m)
~ =
?? (~x) =
s
0, если m
0, если ~x ? ?? \ Zs .
~ ? Z \ ?,
Символ ?? (m)
~ является многомерным обобщением известного теоретикочислового символа Коробова
1, если m ? 0 (mod N),
?N (m) =
0, если m 6? 0 (mod N).
Определение
16. Обобщенной параллелепипедальной
M(?) = ?? ? Gs .
сеткой
M(?)
назы-
вается множество
Для целочисленной решјтки ? еј обобщенная параллелепипедальная сетка
M(?) является полной системой вычетов взаимной решјтки ?? по ундаментальной подрешјтке Zs . Отсюда следует равенсто |M(?)| =
= det ?.
32
М. Н. ДОБОВОЛЬСКИЙ
Определение
17.
Полной линейной кратной тригонометрической суммой
целочисленной решјтки
?
будем называть выражение
X
s(m,
~ ?) =
m
~
~ x)
e2?i(m,~
,
~
x ??? /Zs
~
x ?M (?)
где
X
~ x)
e2?i(m,~
=
произвольный целочисленный вектор.
Ясно, что для обобщенной параллелепипедальной сетки M(?) справедливо
равенство S(m,
~ M(?)) = s(m,
~ ?).
18. Полной линейной кратной тригонометрической суммой
?
решјтки ? целочисленной решјтки ? будем называть выражение
Определение
взаимной
X
?
s (~x, ?) =
2?i(m,~
~ x)
e
=
m
~ ? Zs /?
где
~x
N
X
~ j ,~
x)
e2?i(m
,
j =1
произвольный вектор взаимной решјтки
система вычетов решјтки
s
Z
по подрешјтке
??
и
m
~ 1, . . . , m
~N
полная
?.
Справедливы следующие двойственнные утверждения.
Теорема
8.
Для
s(m,
~ ?)
справедливо равенство
s(m,
~ ?) = ?? (m)
~ · det ?.
Для любого m
~ ? ? и любого ~x ? M(?) имеем
(m,
~ ~x) ? Z, поэтому
X
X
~ x)
s(m,
~ ?) =
e2?i(m,~
=
1 = det ?.
Доказательство.
~
x ?M (?)
~
x ?M (?)
~ y)
Если m
~ 6? ?, то найдется ~y ? M(?) такой, что (m,
~ ~y ) 6? Z и, значит, e2?i(m,~
6= 1.
Отсюда и из свойств полной системы вычетов решјтки относительно подрешјтки получим
X
X
~ x)
~ x+~
y)
~ y)
s(m,
~ ?) =
e2?i(m,~
=
e2?i(m,~
= e2?i(m,~
s(m,
~ ?).
~
x ?M (?)
Следовательно,
~ y)
(e2?i(m,~
? 1)s(m,
~ ?) = 0,
9. Для любой целочисленной
~x ? ?? справедливо равенство
Теорема
извольного
~
x ?M (?)
s(m,
~ ?) = 0.
решјтки
s? (~x, ?) = ??? (~x) · det ?.
?
с
det ? = N
и для про-
ЯДЫ ДИИХЛЕ С ПЕИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ...
33
~ j)
Если ~x ? Zs , то e2?i(~x, m
= 1 и утверждение очевидно.
s
?
s
Если ? ? Z и ? 6= Z , то ? \ Z 6= ? и для любого ~x ? ?? \ Zs найдется
m
~ ? Zs такой, что (~x, m)
~ ?
/ Z. Отсюда и из определения полной системы вычетов
~ j0 )
следует, что найдется m
~ j0 такое, что (~x, m
~ j0 ) ?
/ Z, т. е. e2?i(~x,m
6= 1. Далее из
свойств полной системы вычетов и определения взаимной решјтки следует, что
Доказательство.
s
s? (~x, ?) =
N
X
~ j)
e2?i(~x, m
=
j =1
и, следовательно,
4
N
X
~ j +m
~ j0 )
~ j0 ) ?
e2?i(~x, m
= e2?i(~x, m
s (~x, ?)
j=1
s? (~x, ?) = 0.
яды Дирихле с периодическими коэициентами
В дальнейшем будет использоваться периодизированная по параметру b дзета-ункция урвица
X
? ?(?; b) =
(n + b)?? , (? > 1).
0<n+b
Нетрудно выписать различные явные ормулы для аналитического продолжения на всю комплексную плоскость кроме точки ? = 1 периодизированной
дзета-ункции урвица. В этой точке при всех вещественных значениях b периодизированная дзета-ункции урвица имеет полюс первого порядка с вычетом равным 1. Приведенные ниже ормулы покрывают всю комплексную
плоскость, задавая явный вид аналитического продолжения ? ? (?; b).
? P
(n + b)?? ,
?
?
?
0<n+b
?
?
?
R? {x}2 ?{x}dx
?
1
1
?
?
+
?
?(?
+
1)
,
{b} = 0,
? 2 ??1
2x?+2
1
?
? (?; b) =
R? {x}2 ?{x} dx
1
1
?
?
+
?
?(?
+
1)
, {b} =
6 0,
?
2{b}?
(??1){b}??1
2(x+{b})?+2
?
?
1
?
?
?
?
P
P
?
??
cos
2?nb
??
sin
2?nb
?
??1
?2(2?) ?(1??) sin
+cos
,
2
n=1
n1??
2
n=1
n1??
? > 1,
? > ?1,
? > ?1,
(12)
? < 0.
ассмотрим частный случай рядов Дирихле с периодическими коэициентами вида
X
bm
?
b
e2?i n
l ?,
=
(? > 1)
(13)
?
n
m
m=1
34
М. Н. ДОБОВОЛЬСКИЙ
и докажем для этого ряда Дирихле в нужной для дальнейшего орме частный
случай общей теоремы (см. [7, с. 88?) об аналитическом продолжении рядов
Дирихле с периодическими коэициентами на всю комплексную плоскость.
Лемма
1.
При
?>1
справедливо тождество
?
??(?)
b
n
1 P
j
l ?,
=
2?i bj
?
? ?
e n ? ?,
n
n j=1
n
при
?n (b) = 1,
при
?n (b) = 0.
(14)
Действительно, при ?n (b) = 1 утверждение тривиально, так
bm
как e2?i n = 1.
b
Пусть ?n (b) = 0, тогда e2?i n 6= 1. Далее имеем:
Доказательство.
X
b(j+mn)
n X
?
n
?
b
e2?i n
1 X 2?i bj X
n
=
=
e
l ?,
n
(j + mn)? n? j=1
m=0
j=1 m=0
j
n
1
? =
+m
n
j
1 X 2?i bj ?
n
= ?
e
? ?,
n j=1
n
и лемма полностью доказана.
Лемма
2.
При
Z?
?>0
и
?n (b) = 0
2?i b[t]
n
e
dt = (? + 1)
t?+1
1
Доказательство.
справедливо тождество
b[t]
b
n ?e2?i n
b
2?i n
?1
e
Z? e2?i
+ e2?i
b[t]
n
t?+2
{t}
dt.
(15)
1
ассмотрим ункцию
f (t) =
Zt
[t]?1
b[u]
2?i n
e
du =
X
2?i bk
n
e
+
k=1
1
=
b[t]
2?i n
e
?e
b
2?i n
e
b
2?i n
?1
Zt
e2?i
b[t]
n
du =
[t]
+ e2?i
b[t]
n
{t},
которая непрерывна для любого t > 1 и кусочно диеренцируема во всех
точках, кроме натуральных значений аргумента.
Пусть k натуральное и k < c < d < k + 1, тогда в силу ормулы интегри-
ЯДЫ ДИИХЛЕ С ПЕИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ...
35
рования по частям имеем:
Zd
c
d
b[t]
Zd
f (t) f (t)
e2?i n
dt = ?+1 + (? + 1)
dt =
?+1
t
t
t?+2
c
c
b[d]
b
e2?i n ?e2?i n
b
e2?i n ?1
=
b[d]
2?i n
+e
{d}
d?+1
+(? + 1)
?
b[c]
b
e2?i n ?e2?i n
b
e2?i n ?1
b[c]
n
{c}
c?+1
b[t]
b
n ?e2?i n
b
e2?i n ?1
e2?i
Zd
+ e2?i
+ e2?i
b[t]
n
{t}
t?+2
+
dt.
c
Переходя к пределу по d и по c, получим
Zk+1
2?i b[t]
n
e
dt =
t?+1
e2?i
bk
n
b
?e2?i n
e2?i
bk
+ e2?i n
b
e2?i n ?1
b
?e2?i n
b
e2?i n ?1
?
(k + 1)?+1
bk
n
k ?+1
+
k
+(? + 1)
b[t]
b
n ?e2?i n
b
e2?i n ?1
Zk+1 e2?i
+ e2?i
b[t]
n
{t}
t?+2
e2?i
dt =
b(k+1)
b
n
?e2?i n
b
e2?i n ?1
(k + 1)?+1
e2?i
bk
n
b
?e2?i n
b
e2?i n ?1
?
k ?+1
+
k
+(? + 1)
b[t]
b
n ?e2?i n
b
e2?i n ?1
Zk+1 e2?i
+ e2?i
b[t]
n
t?+2
{t}
dt.
k
Суммируя по k от 1 до ?, получим равенство несобственных интегралов
Z?
2?i b[t]
n
e
dt = (? + 1)
t?+1
1
b[t]
b
n ?e2?i n
b
e2?i n ?1
Z? e2?i
+ e2?i
b[t]
n
{t}
t?+2
dt
1
и лемма полностью доказана.
Теорема
10.
Для натуральных
го продолжения ункции
представления
l ?,
b
n
n,
целых
b
с
?n (b) = 0
и аналитическо-
на всю комплексную плоскость справедливы
?
bm
? e2?i n
?
P
?
?
,
?
?
?
?
m=1 m
?
?
? 2?i b[t]
b R
b
?
?
n
?e2?i n
e
e2?i n
?
,
b
?+1 dt ? 2?i b
?
t
2?i
? e n ?1 1
n ?1
e
b
b[t]
b
l ?,
=
b[t]
2?i n
2?i n
e
?e
+e2?i n {t}
?
n
?
b R
b
b
2?i n
?
2?i
?(?+1)e
?
n ?1
e2?i n
e
?
dt
?
,
?
b
?+2
b
t
2?i
2?i
?
n ?1
n ?1
e
e
?
1
?
?
?i(??1)
??i(??1)
?
?
?
P
P
?
2
2
e
e
??1
?
,
?(2?) ?(1??)
1?? +
1??
b
b
m=1 (m?{ n })
m=0 (m+{ n })
? > 1,
? > 0,
(16)
? > ?1,
? < 0.
36
М. Н. ДОБОВОЛЬСКИЙ
Аналитическое продолжение у ункции l ?, nb существует в
силу предыдущей леммы и свойств периодизированной дзета-ункции урвица.
При ? > 1 утверждение теоремы совпадает с определением ункции l ?, nb .
Для доказательства второго случая, применив теорему Абеля, получим
Доказательство.
P 2?i bm
e n
Z? 2?i b[t]
Z?
b
b
?e2?i n
e n ?1
16m6t
l ?,
=?
dt =
dt =
b
?+1
n
t
t?+1
e2?i n ? 1
1
1
b
=
?e2?i n
b
e2?i n ? 1
Z?
1
b[t]
2?i n
b
e2?i n
e
dt
?
b
t?+1
e2?i n ? 1
и этот случай доказан, так как последний интеграл абсолютно сходится при
? > 0.
Третий случай непосредственно вытекает из второго и леммы 2, так как
соответствующий интеграл сходится при ? > ?1.
Перейдем к доказательству последнего случая. Для этого запишем выражение периодизированной дзета-ункции урвица в комплексной орме
!
?
?
2?i mj
?2?i mj
n
n
?i(??1) X e
??i(??1) X e
j
. (17)
? ? ?;
= (2?)??1 ?(1 ? ?) e 2
+e 2
1??
1??
n
m
m
m=1
m=1
Суммируя по j , найдем
n
b
j
1 X 2?i bj ?
(2?)??1 ?(1 ? ?)
l ?,
= ?
e n ? ?,
=
Ч
n
n j=1
n
n?
Ч
+e
e
?i(??1)
2
?
X
1
m=1
??i(??1)
2
= (2?)??1 ?(1? ?) e
?
X
m1??
1
m1??
m=1
?i(??1)
2
?
X
n
X
mj
bj
e2?i n e2?i n +
j=1
n
X
2?i bj
n
e
?2?i mj
n
e
j=1
1
1??
(m?{ nb })
m=1
+e
!
=
??i(??1)
2
?
X
1
(m+{ nb })
m=0
1??
!
и теорема полностью доказана.
Полученный результат применим к ещј одному виду рядов Дирихле с периодическими коэициентами. Пусть
bm
?
X
b
e2?i n
l ?,
=
n
m?
m=??
?
(?? > 1).
(18)
ЯДЫ ДИИХЛЕ С ПЕИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ...
37
Через ряды Дирихле последнего вида непосредственно выражается гиперболическая дзета-ункция целочисленных решјток при ? > 1, если воспользоваться
тригонометрическими суммами решјток, а именно, для любой целочисленной
решјтки ?:
?H (?|?) + 1 =
X?
~
x ??
=
X
(x?1 · . . . · x?s )?? + 1 =
1
det ?
X
s
m?Z
~
2?i(m,~
~ x)
X
?? (m)
~
=
(m?1 · . . . · m?s )?
e
=
(m?1 · . . . · m?s )?
s
~
~
x ?M (?) m?Z
s
?
s
X Y
X
X Y
1
e2?imj xj
1
bj (~x)
?
=
=
l ?,
,
?
det ?
m?
det
?
det
?
j
j=1 m =??
j=1
~
x ?M (?)
(19)
~
x ?M (?)
j
где bj (~x) = xj det ? целое число (j = 1, . . . , s) для любой точки ~x = (x1 , . . . , xs )
? M(?).
11.
Теорема
Для натуральных
l
го продолжения ункции
?
?,
b
n
представления
n,
b
целых
с
?n (b) = 0
и аналитическо-
на всю комплексную плоскость справедливы
?
bm
?
P
e2?i n
?
?
?
?
? ,
?
m
m=??
?
?
b[t]
?
R? e2?i b([t]+1)
n
?
?e?2?i n
?
?
?
dt,
b
?+1
t
b
e2?i n ?1 1
?
l ?, =
?
n ?
?(?+1) R g(t,b,n)
?
?
b
?+2 dt,
?
?
e2?i n ?1 1 t
?
?
?
?
P
?
1??
?
?1 + 2(2?)??1 ?(1??) cos ?(??1)
·
n
2
? > 1,
? > 0,
? > ?1,
1
1??
nm+b
)
m=?? (
где
b
2?i n
e
g(t, b, n) =
2?i
e
b[t]
n
2?i nb
?e
b([t]+1)
+ e2?i n
b
?2?i
+e
b[t]
n
e2?i n ? 1
b[t]
? e?2?i n {t}.
(20)
?2?i nb
?e
? < 0,
+
Аналитическое продолжение у ункции l? ?, nb существует
так как для неј справедливо следующее представление.
b
b
b
?
= l ?,
+ 1 + l ?, ?
.
l ?,
(21)
n
n
n
Доказательство.
l
?
При ? > 1
?, nb .
утверждение
теоремы совпадает с определением ункции
38
М. Н. ДОБОВОЛЬСКИЙ
Для доказательства второго случая, применив теорему 10 к равенству (21),
получим
Z? 2?i b[t]
b
b
b
?e2?i n
e2?i n
e n
l ?,
=
dt ?
+ 1+
b
b
n
t?+1
e2?i n ? 1
e2?i n ? 1
?
1
+
?e
b
e?2?i n ? 1
b
?e2?i n
=
?
Z?
?
b
e2?i n ? 1
Z?
b
?2?i n
b
e2?i n ? 1
b[t]
?2?i n
e
t?+1
1
?
Z
1
b[t]
b[t]
b
e2?i n ? 1
1
b
e2?i n
e2?i n
dt ?
+ 1?
b
t?+1
e2?i n ? 1
1
dt +
b
e?2?i n
e?2?i n
dt
?
=
b
t?+1
e?2?i n ? 1
=
?
b
e2?i n ? 1
Z?
e2?i
b([t]+1)
n
? e?2?i
b[t]
n
t?+1
dt
1
и этот случай доказан, так как последний интеграл абсолютно сходится при
? > 0.
Аналогично получается третий случай:
l
?
b
2?i n
b
?(? + 1)e
?,
=
b
n
e2?i n ? 1
+
?2?i nb
?(? + 1)e
b
e?2?i n ? 1
=
?
Z?
Ч
e
b[t]
n
{t}
t?+2
b[t]
b
n ?e?2?i n
b
e?2?i n ?1
Z? e?2?i
b
dt ?
+ e?2?i
b[t]
n
{t}
t?+2
b
e2?i n ? 1
Z?
b[t]
b
n ?e2?i n
b
e2?i n ?1
Z? e2?i
+ e2?i
e2?i n
+ 1+
b
e2?i n ? 1
b
dt ?
1
?(? + 1)e
?1
+ e2?i
1
2?i nb
?(? + 1)
2?i nb
b[t]
b
n ?e2?i n
b
e2?i n ?1
Z? e2?i
b[t]
n
{t}
t?+2
e?2?i n
b
e?2?i n ? 1
=
dt?
1
b[t]
b
e?2?i n ?e?2?i n
b
e?2?i n ?1
+ e?2?i
t?+2
1
b[t]
b[t]
b
b
b
e2?i n e2?i n ?e2?i n +e?2?i n ?e?2?i n
b
e2?i n ?1
t?+2
b[t]
n
{t}
dt =
?(?+1)
Ч
b
e2?i n ?1
b([t]+1)
b[t]
+ e2?i n ? e?2?i n {t}
dt.
1
Перейдем к доказательству последнего случая. Так как при ?n (b) = 0 справед-
ЯДЫ ДИИХЛЕ С ПЕИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ...
39
ливо равенство ? nb = 1 ? nb , то при ? < 0 получим
b
b
b
?
l ?,
= l ?,
+ 1 + l ?, ?
=
n
n
n
!
??i(??1)
?i(??1)
?
?
X
X
2
2
e
e
= (2?)??1 ?(1??)
b 1?? +
b 1?? + 1+
m
?
m
+
m=0
m=1
n
n
!
??i(??1)
?i(??1)
?
?
X
X
2
2
e
e
+(2?)??1 ?(1??)
b 1?? +
b 1?? = 1+
m
?
?
m
+
?n
m=0
m=1
n
+(2?)
??1
?
X
?(1??)
m=0
+
?1
X
e
?i(??1)
2
e
?i(??1)
2
m + ? nb
?
X
+
1??
?1
X
m=0
e
e
??i(??1)
2
m+
??i(??1)
2
b 1?? +
n
!
b 1?? +
b 1?? =
?m
?
?
?m
?
m=??
m=??
n
n
?
?
??i(??1)
?i(??1)
?
?
X
e 2
e 2
? X
?
+
= 1 + (2?)??1 ?(1??) ?
1??
b
b 1?? ? .
m=?? m +
m=?? m + ?
n
n
Заметим, что
?
X
?
?
X
X
1
1
n1??
=
=
1?? ,
b 1??
b 1??
m=?? m +
m=?? m + ?
m=?? nm + b
n
n
поэтому
?
b
?(? ? 1) 1?? X
1
?
l ?,
= 1 + 2(2?)??1 ?(1??) cos
·n
1??
n
2
m=?? nm + b
и теорема полностью доказана.
Замечание.
виде
l
?
b
?,
n
Последнее равенство не изменится, если его переписать в
= 1 + 2(2?)
??1
?
?(? ? 1) 1?? X
1
?(1??) cos
·n
1?? ,
2
nm + b
m=??,
nm+b6=0
которое остается верным и при ?n (b) = 1:
?
0
?(? ? 1) X 1
?
??1
l ?,
= 1 + 2?(?) = 1 + 2(2?) ?(1??) cos
=
n
2
m1??
m=1
= 1 + 2(2?)
??1
?
?(? ? 1) 1?? X
1
?(1??) cos
·n
1?? .
2
m=??, (nm)
nm6=0
40
5
М. Н. ДОБОВОЛЬСКИЙ
Аналитическое продолжение в случае целочисленных решеток
Теперь мы получим явный вид ?H (? | ?) в левой полуплоскости для произвольной целочисленной решјтки ?, при этом нам потребуются присоединенная
решјтка ?(p) , которая определяется соотношением
(22)
?(p) = det ? · ?? .
Для любой целочисленной решјтки ? еј присоединенная решјтка ?(p) также
является целочисленной. Так как эти решјтки частные случаи декартовых
решјток, то как известно существуют аналитические продолжения
?H (? | ?) и ?H (?(p) | ?)
на всю комплексную ?плоскость, за исключением точки ? = 1, в которой у
них полюс порядка s.
Для удобства введем следующие обозначения:
N = det ?,
M (p) (?) = det ? · M(?),
M ? (?) = ? ? [0; det ?)s .
Ясно, что справедливы следующие разложения:
[
[
?=
(~x + NZs ) , ?(p) =
~
x?M ? (?)
(23)
(24)
(~x + NZs ) .
~
x?M (p) (?)
Через Jt,s будем обозначать множество целочисленных векторов ~j = (j1 , j2 ,
. . . , js ) таких, что координаты j1 , j2 , . . . , js являются перестановкой чисел 1, 2,
. . . , s с дополнительными условиями упорядоченности j1 < j2 < . . . < jt , jt+1 <
jt+2 < . . . < js . Нетрудно видеть, что |Jt,s | = Cst .
Пусть ~jt ? Jt,s . Через ?(~jt ) будем обозначать координатное подпространство
?(~jt ) = {~x | xj? = 0 (? = t + 1, . . . , s)}.
Если положить ~jt? = (jt+1 , . . . , js , j1 , . . . , jt ), то ~jt? ? Js?t,s и
M
Rs = ?(~jt )
?(~jt? )
разложение в прямую сумму координатных подпространств. Заметим, что
(1)
(2)
если через (? + ~a)~j и (? + ~a)~j обозначаются проекции сдвинутой решјтки
t
t
на кооридантные подпространства ?(~jt ) и ?(~jt? ) в соответствии с разложением
пространства в прямую сумму этих координатных подпространств, а еј
T пересечения с координатными подпространствами через (? + ~a)~jt = (? + ~a) ?(~jt ) и
T
(1)
(2)
(?+~a)~ ? = (?+~a) ?(~jt? ), то вообще говоря (?+~a) 6= (?+~a)~ и (?+~a) 6= (?+
jt
~jt
jt
~jt
ЯДЫ ДИИХЛЕ С ПЕИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ...
41
~a)~jt? . авенство возможно тогда и только тогда, когда ?+~a = (?1 +~a1 )Ч(?2 +~a2 ),
?1 + ~a1 = (? + ~a)~jt и ?2 + ~a2 = (? + ~a)~jt? .
Напомним, что
??
2?(1 ? ?)
M(?) =
sin
1??
(2?)
2
и для произвольной целочисленной решјтки ? дзета-ункция ?(? | ?) в правой
полуплоскости задается равенством
?(? | ?) =
Теорема
12.
~
x??, N (~
x)6=0
|x1 . . . xs |?? .
Для дзета-ункции произвольной целочисленной решјтки
в левой полуплоскости
?<0
?(? | ?) =
Доказательство.
X
?
справедливо ункциональное уравнение
s
1
M(?)N 1?? ? ?(p) 1 ? ? .
N
(25)
Из ормулы (19) и теоремы 11 легко следует
s 1 X Y ?
bj (~x)
?(? | ?) =
l ?,
?1 =
N
N
~
x ?M (?) j=1
s
1 X Y
?(1 ? ?) 1??
2(2?)??1 ?(1??) cos
N
Ч
=
N
2
~
x ?M (?) j=1
?
?
X
s
1
? 1 X
Ч
M(?)N 1?? Ч
1?? ? =
N
m=??,
N · m + bj (~x)
~
x?M (?)
N·m+b (~
x)6=0
j
Ч
?
X
m1 ,...,ms =??
N·mj +bj (~
x)6=0
=
1
1?? =
N · m1 + b1 (~x) . . . N · ms + bs (~x)
s
1
M(?)N 1?? ? ?(p) 1 ? ? .
N
(26)
T
Согласно предыдущим обозначениям (?)~jt = ? ?(~jt ) пересечение решјтки с координатным подпространством. Через ?~jt будем обозначать t-мерную
решјтку, которая получается из решјтки (?)~jt отбрасыванием у каждой точ(p)
ки s ? t нулевых координат. Таким образом ?~j "присоединеная" t-мерная
t
решјтка.
42
М. Н. ДОБОВОЛЬСКИЙ
Теорема
13. Для гиперболической дзета-ункции произвольной целочис? в левой полуплоскости ? < 0 справедливо ункциональное
ленной решјтки
уравнение
?H (? | ?) =
s
X
X
M?t N ??t
t=1
~jt ?Jt,s
N
t?1
?
(p) ?~j 1
t
?? .
(27)
Из определения гиперболической дзета-ункции решјтки и
определения дзета-ункции решјтки следует
Доказательство.
?H (? | ?) =
s
X
X
t=1 ~jt ?Jt,s
? ?~jt ? .
(28)
Применяя к каждому слагаемому в правой части предыдущую теорему, получим доказываемое утверждение.
6
Аналитическое продолжение в случае декартовых решеток
Случай произвольной декартовой решетки ? = D(d1 , . . . , ds )?0 , где ?0 произвольная простая решетка, а D(d1 , . . . , ds ) диагональная матрица с d1 ,
. . . , ds > 0, более сложен для получения явного вида ?H (? | ?) в левой полуплос(p)
?
кости, при этом нам потребуются присоединенные решјтки ?0 = det ?0 · ?
0 и
?(p) = det ? · ?? . Из равенств det ? = (d1 . . . ds ) det ?0 , ?? = D d11 , . . . , d1s ??0
(p)
следует равенство ?(p) = (d1 . . . ds )D d11 , . . . , d1s ?0 .
Для удобства введем следующие обозначения:
N0 = det ?0 ,
M (p) (?0 ) = det ?0 · M(?0 ),
M ? (?0 ) = ?0 ? [0; det ?0 )s ,
из которых следует равенство N = d1 . . . ds N0 .
Ясно, что справедливы следующие разложения:
[
[
(p)
?0 =
(~x + N0 Zs ) , ?0 =
~
x?M ? (?
0)
x
~ ?M (p) (?
(~x + N0 Zs ) .
(29)
(30)
0)
~ при d~ = (d1 , . . . , ds ), d1 , . . . , ds > 0 будем обоПусть ~jt ? Jt,s . Через ?(~jt , d)
значать координатный брус
( (
)
|x | > 1 , при (? = 1, . . . , t)
j
?
dj?
? ~jt , d~ = ~x .
|xj? | < d1j , при (? = t + 1, . . . , s)
?
ЯДЫ ДИИХЛЕ С ПЕИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ...
43
Имеет место следующее разбиение пространства на 2s непересекающихся координатных брусов
[ [
~
Rs =
?(~jt , d).
06t6s ~jt ?Jt,s
В соответствии с этим разбиением получаем представление гиперболической
дзета-ункции решетки в виде теоремы 14.
Напомним, что
??
2?(1 ? ?)
M(?) =
sin
1??
(2?)
2
и для произвольной декартовой решјтки ? вида ? = D(d1 , . . . , ds )?0 дзетаункция ?(? | ?) в правой полуплоскости задается равенством
X
?(? | ?) =
|x1 . . . xs |?? .
~
x??, N (~
x)6=0
Дальнейшие осложнения возникают из того, что выражение гиперболической дзета-ункции
решјток ? = D(d1, . . . , ds )?0 при ? > 1 через
декартовых
b
более сложное, чем ормула (19). Введем при d > 0
ряды Дирихле l? ?,
n
b
аналитическую на всей комплексной ??плоскости ункцию r ?, , d с поn
мощью равенства
?
X
X
mb
b
1
1
1
2?i
2?i mb
e n 1 ? ? ? . (31)
r ?, , d =
e n
? ? ? =
?
n
d
m
d m
(dm)
1
m=??
|m|< d
Теорема
14.
? = D(d1 , . . . , ds )?0 , где ?0 прогиперболической дзета-ункция ?H (? | ?) спра-
Для декартовой решетки
?>1
стая решетка, при
для
ведливо равенство
1
?H (?|?) + 1 =
det ?0
bj (~x) = xj det ?0
xs ) ? M(?0 ).
где
X
~
x ?M (?0 )
целое число
Доказательство.
?H (?|?) + 1 =
s Y
bj (~x)
1 ?
bj (~x)
r ?,
, dj + ? · l ?,
, (32)
det
?
d
det
?
0
0
j
j=1
X?
x ??
~
=
(j = 1, . . . , s)
для любой точки
~x = (x1 , . . . ,
Действительно,
(x1 · . . . · xs )?? + 1 =
1
det ?0
X
X
s
~
~
x ?M (?0 ) m?Z
1
=
det ?0
X
~
x ?M (?0
X
??0 (m)
~
=
(d1 m1 · . . . · ds ms )?
s
m?Z
~
2?i(m,~
~ x)
e
=
(d1 m1 · . . . · ds ms )?
s
?
Y
X
e2?imj xj
? .
d
m
j
j
) j=1 mj =??
(33)
44
М. Н. ДОБОВОЛЬСКИЙ
Так как
?
X
X e2?imj xj
X e2?imj xj
e2?imj xj
=
+
?
?
? =
d
m
d
m
d
m
j
j
j
j
j
j
1
1
mj =??
|m|< d
=
X
e2?imj xj
|m|< d1
j
|m|> d
j
X e2?imj xj
bj (~x)
1 ?
bj (~x)
+
= r ?,
, dj + ? · l ?,
, (34)
d?j mj ?
det ?0
dj
det ?0
1
|m|> d
j
j
где bj (~x) = xj det ?0 целое число (j = 1, . . . , s) для любой точки ~x = (x1 , . . . ,
xs ) ? M(?0 ), то из (33) и (34) вытекает
s X Y
bj (~x)
1 ?
bj (~x)
1
?H (?|?) + 1 =
r ?,
, dj + ? · l ?,
, (35)
det ?0
det ?0
dj
det ?0
j=1
~
x ?M (?0 )
что и доказывает утверждение теоремы.
Теорема
15.
D(d1 , . . . , ds )?0 ,
Для дзета-ункции произвольной декартовой решјтки
где
?0
простая решјтка, в левой полуплоскости
?<0
?=
спра-
ведливо ункциональное уравнение
?(? | ?) =
Доказательство.
s
1
M(?)N 1?? ? ?(p) 1 ? ? .
N
(36)
Из однородности дзета-ункции следует:
?(? | ?) = (d1 . . . ts )?? ?(?0|?),
(p)
?(?(p) | 1 ? ?) = (t1 . . . ds )(??1)(s?1) ?(?0 |?).
(37)
Положим D = d1 . . . ds , тогда N = D · N0 . Воспользуемся ункциональным
уравнение для дзета-ункции целочисленной решетки, получим
s (p) 1
?(? | ?) = D ?? ?(?0 |?) = D ??
M(?)N01?? ? ?0 1 ? ? =
N0
(p) ?? D
1?? ??1 s
=D
M(?)N
D
? ?0 1 ? ? =
N
s
1
(p)
=
M(?)N 1?? D (??1)(s?1) ?(?0 | 1 ? ?) =
N
s
1
=
M(?)N 1?? ? ?(p) 1 ? ? ).
(38)
N
T
Согласно предыдущим обозначениям (?)~jt = ? ?(~jt ) пересечение решјтки с координатным подпространством. Через ?~jt будем обозначать t-мерную
решјтку, которая получается из решјтки (?)~jt отбрасыванием у каждой точ(p)
ки s ? t нулевых координат. Таким образом ?~j "присоединеная" t-мерная
t
решјтка.
ЯДЫ ДИИХЛЕ С ПЕИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ...
Теорема
45
16. Для гиперболической дзета-ункции произвольной целочис? в левой полуплоскости ? < 0 справедливо ункциональное
ленной решјтки
уравнение
1
?H (? | ?) = ?1 +
det ?0
+
X
~
x ?M (?0 )
s Y
bj (~x)
1
r ?,
, dj + ? +
det ?0
dj
j=1
?
X
?
?(? ? 1)
1
2(2?)??1
?
?(1??) cos
· det ?01??
1?? ? .
?
dj
2
m=?? det ?0 m + bj (~
x)
Доказательство.
ливо равенство
(39)
Согласно теореме 14 в правой полуплоскости ? > 1 справед-
1
?H (?|?) + 1 =
det ?0
X
~
x ?M (?0 )
s Y
bj (~x)
1 ?
bj (~x)
r ?,
, dj + ? · l ?,
. (40)
det
?
d
det
?
0
0
j
j=1
Все ункции в правой части аналитично продолжаются на всю комплексную
??плоскость. Поэтому гиперболическая дзета-ункция декартовой решетки
? = D(d1 , . . . , ds )?0 аналитически продолжается на всю комплексную ??плоскость с сохранением равенства
(40). Подставляя в правую часть ункциональ
b
(~
x
)
j
ное уравнение для l? ?,
, получим доказываемое утверждение.
det ?0
Замечание. Полученное ункциональное уравнение для гиперболической дзета-ункции декартовых решеток оказалось существенно более сложным чем ункциональное уравнение для дзета-ункции декартовых решеток
и ункциональное уравнение для гиперболической дзета-ункции целочисленных решеток. Поэтому его нельзя считать окончательным и необходимы дальнейшие исследования с целью его упрощения.
В заключение выражаю благодарность своему научному руководителю проессору Чубарикову Владимиру Николаевичу за неоценимую помощь в работе.
СПИСОК ЦИТИОВАННОЙ ЛИТЕАТУЫ
[1? Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-ункция имана. М.: ФизМатЛит,
1994.
[2? Добровольский Н. М. Многомерные теоретико-числовые сетки и решетки
и их приложения. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого,
2005. 195 с.
[3? Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука. ФизМатЛит, 1983.
46
М. Н. ДОБОВОЛЬСКИЙ
[4? Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. (второе издание) М.: МЦНМО, 2004.
[5? Титчмарш Е. К. Теория дзета-ункции имана. М.: Из-во И. Л., 1953.
[6? Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Мир,
1974.
[7? Чудаков Н. . Введение в теорию L-ункций Дирихле. М.: ОИЗ остехиздат, 1947.
[8? Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической
дзета-ункции целочисленных решјток. // ДАН. Т. 412, ќ3, Январь 2007.
С. 302 304.
[9? Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической
дзета-ункции целочисленных решјток // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2007. ќ3. С. 18 23.
Поступило 21.11.2010
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа