К теории интегро-дифференциальных уравнений дифракции электромагнитных волн на импедансной поверхности вращения.

2013
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
№75 Т.2
УДК 621.396:517.9
К ТЕОРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИФРАКЦИИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ИМПЕДАНСНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
В.С.Эминова, С.И.Эминов
FOR THE THEORY OF INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS
OF ELECTROMAGNETIC WAVE DIFFRACTION BY THE IMPEDANCE ROTARY SURFACE
V.S.Eminova, I.S.Eminov
Институт электронных и информационных систем НовГУ, [email protected]
Исследовано интегро-дифференциальное уравнение задачи дифракции электромагнитных волн Н-поляризации на
импедансной поверхности вращения. В основе исследования лежит выделение главного положительно определенного
оператора. Доказана эквивалентность уравнению Фредгольма второго рода. Предложен численный метод решения.
Ключевые
слова:
интегро-дифференциальное,
гиперсингулярный,
уравнение,
импедансная
поверхность,
положительно-определенный, базисные функции, метод Галеркина, сходимость
This article researches the integro-differential equation of diffraction of H-polarization electromagnetic waves by the impedance
rotary surface. The study is based on the allocation of the main positive definite operator. The equivalence with a Fredholm equation of
second kind is shown. The numerical solution is proposed.
Keywords: integro-differential equation, hypersingular operator, impedance surface, diffraction, positive definite operator,
basis functions, Galerkin method, convergence
1
1
2
1
a at 
ln
ut dt 

 t   t
1. Введение. Постановка задачи

В работе изучается интегро-дифференциальное
уравнение вида
~
A u  Zu  Ku 
1
1


1
1

1

1
a at  ln
ut dt 

t   t
1  
1 
  aat  ln
 ut dt 
   t 
  t 


1
1

1

1
 aat   ln   t ut dt  Z u 
1
1

 Z  u   K  , t ut dt  f  ,
(1)

1

1

a at  ln
1
ut dt 
t
1
1
1
 K , t ut dt  f  .
(2)
1
Введем в рассмотрение интегро-дифференциальные операторы
где a  — гладкая функция, удовлетворяющая условию 0  a0  a при всех .
 Au   
Уравнение (1) встречается в различных приложениях электродинамики и теории упругости. Когда
функция a   1 и поверхностный импеданс Z = 0, то
уравнение (1) описывает распределение токов на поверхности идеально проводящей вибраторной антенны [1]. При Z  0 и a   1 получаем уравнение импедансного вибратора [2]. В данной работе рассматривается общий случай задачи дифракции электромагнитных волн на импедансной поверхности вращения. Функцию поверхностного импеданса Z   полагаем непрерывной.
1

1

a at ut 
2
1
ln
dt ,
 t   t
(3)
1
1
1
2
1
 A0u     ut  t ln   t dt.
(4)
1
Как доказано в работах [1,3], интегродифференциальный гиперсингулярный оператор A0
является положительно определенным в пространстве
квадратично суммируемых функций L2 1,1 . Используя это утверждение, докажем предложение.
Теорема 1. Оператор А является положительно
определенным в пространстве L2 1,1 .
Доказательство. Имеем
2. Выделение главного оператора. Энергетическое
пространство положительно-определенного
оператора
1
 Au , u  

Продифференцируем ядро первого оператора
(1), в результате получим

52
1

1 1
1 1

at ut 
11
2
2
1
ln
a u dtd  
t   t
1
  vt  t ln   t vdtd   A v, v .
0
11
2013
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Далее воспользуемся положительной определенностью A0 и тем условием, что 0  a0  a . В
результате получим
Доказательство этого предложения основано
на полной непрерывности оператора А–1 и приводится
в монографии Михлина [4].
Обратимся к уравнению (2). Оператор умножения на поверхностный импеданс Z  u  является
1
 Au, u    Av, v   2v, v  2 a2  u 2 dt 2a02 u, u ,

1
ограниченным в пространстве L21,1, даже при бо-
и предложение доказано.
Оператор А является симметричным положительно-определенным оператором в гильбертовом
пространстве L2 1,1 . Кроме того, оператор А имеет
плотную область определения, так как определен на
гладких функциях, обращающихся в нуль на концах
отрезка 1,1 .
Введем энергетическое пространство H A [4]
симметричного положительно- определенного оператора А как гильбертово пространство со скалярным
произведением
u, v   Au, v
(5)
и нормой
лее общих предположениях на функцию Z   . Также
ограниченным является оператор вида
1
1

1
a at  ln
ut dt .

t   t

1
Заметим, что в ядре последнего оператора
проводится дифференцирование один раз, в отличие от оператора А. Наконец, ограниченным является интегральный оператор K, ядро которого имеет логарифмическую особенность. Поэтому уравнение (2) можно записать лаконично в операторном
виде
Au  Lu  f
(8)
u2   Au, u .
(6)
Уравнение (2) будем рассматривать в энергетическом пространстве H A симметричного положительно- определенного оператора А.
с ограниченным оператором А. Отсюда с учетом теоремы 3 получаем предложение.
Теорема 4. Уравнение (2) эквивалентно уравнению Фредгольма второго рода
3. Эквивалентность уравнению Фредгольма
второго рода
u  A1Lu  A1 f
в энергетическом пространстве H A положительно
Исследование уравнения (2) основано на свойствах оператора А. Для любого положительно определенного оператора А в гильбертовом пространстве
обратный оператор А–1 является ограниченным. Мы
не утверждаем, что обратный оператор определен на
всем пространстве L21,1, поэтому он рассматривается на области значений R(A).
Для нашего конкретного оператора будет доказано более сильное утверждение, а именно вполне
непрерывность обратного оператора.
Теорема 2. Обратный оператор А–1 определяется по формуле
1
A1 f   1  af at t  ln
t
№75 Т.2
определенного оператора А.
4. Метод Галеркина на основе полиномов
Чебышева второго рода
Введем в рассмотрение систему функций
n   
2
2
sinn arccos  
1  2 U n   ,
n
n
n  1,2,3,... .
(9)
Здесь , означает скалярное произведение в
L21,1, а U   — полиномы Чебышева второго ро-
(7)
dt
да: U1   1, U 2    2, U 3   42  1 и т. д.
1  t  1  2 1  t 2
и является вполне непрерывным в пространстве
L21,1.
1
Для решения уравнения (8) используем метод
Галеркина. Согласно этому методу, решение ищется в
виде
Доказательство. Для оператора A0 обратный
N
оператор A01 построен в работе [3] в виде ряда по
u   
 c   .
n n
(10)
n 1
A01
полиномам Чебышева. В работе [5] оператор
представлен в замкнутой форме, которая соответствует формуле (7) при a   1 . Оттуда следует формула (7). Далее оператор А–1 является интегральным
оператором, ядро которого имеет логарифмическую
особенность. Интегральные операторы с такими ядрами являются вполне непрерывными операторами в
пространстве L21,1. Таким образом, доказана вполне непрерывность оператора А–1.
Теорема 3. Для любого оператора B, ограниченного в пространстве L21,1, оператор А–1B впол-
Подставим (10) в (8) и умножим скалярно в
пространстве L2 1,1 на базисные функции
1, 2 ,... N . В результате получим систему линей-
ных алгебраических уравнений
N
N
c A ,   c L ,    f ,   , n  1,2,..., N. (11)
m
m 1
m
n
m
m
n
n
n 1
После решения системы (11) из (10) определяем неизвестную функцию токов. Теорема 4 обеспечивает, как доказано в монографии [4], сходимость приближенного решения к точному.
не непрерывен в энергетическом пространстве H A.
53
2013
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
№75 Т.2
Bibliography (Transliterated)
1.
1.
2.
3.
4.
5.
Эминов С.И. Теория интегрального уравнения тонкого
вибратора // Радиотехника и электроника. 1993. Т.38.
Вып.12. С.2160-2168.
Васильев Е.Н. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и
связь, 1987. 271 с.
Эминов С.И. Аналитическое обращение гиперсингулярного оператора и его приложения в теории антенн //
Письма в ЖТФ. 2004. Т.30. Вып.22. С.8-16.
Михлин С.Г. Вариационные методы в математической
физике. М.: Наука, 1970. 420 с.
Вайнико Г.М., Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения. М.: Янус-К, 2001. 508 с.
2.
3.
4.
5.
54
Eminov S.I. Teoriia integral'nogo uravneniia tonkogo
vibratora // Radiotekhnika i elektronika. 1993. T.38. Vyp.12.
S.2160-2168.
Vasil'ev E.N. Vozbuzhdenie tel vrashcheniia. M.: Radio i
sviaz', 1987. 271 s.
Eminov S.I. Analiticheskoe obrashchenie gipersinguliarnogo
operatora i ego prilozheniia v teorii antenn // Pis'ma v ZhTF.
2004. T.30. Vyp.22. S.8-16.
Mikhlin S.G. Variatsionnye metody v matematicheskoi
fizike. M.: Nauka, 1970. 420 s.
Vainiko G.M., Lifanov I.K., Poltavskii L.N. Chislennye
metody v gipersinguliarnykh integral'nykh uravneniiakh i ikh
prilozheniia. M.: Ianus-K, 2001. 508 s.