close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О компактной форме выражения динамических уравнений Эйлера при относительном движении тела.

код для вставкиСкачать
Вестник РУДН
Серия Математика. Информатика. Физика.
№ 2. 2009. С. 74–78
Теоретическая механика
УДК 531.31:62–56
О компактной форме выражения динамических
уравнений Эйлера при относительном движении
тела
И. А. Мухаметзянов
Кафедра теоретической механики
Российского университета дружбы народов
ул. Миклухо-Маклая, 6, Москва, Россия, 117198
Получено компактное выражение динамических уравнений Эйлера при относительном движении тела с помощью планарного тензора инерции.
Ключевые слова: тензор инерции, планарный тензор, годограф, эллипсоид энерции.
1.
Постановка задачи
Как известно, динамическое уравнение Эйлера для абсолютного движения
тела вокруг центра масс  в осях системы координат , связанных с телом, в
векторной форме имеет вид
(1)
 =   ×   +   ( ),
где  – тензор инерции тела в точке , являющийся известной (3 × 3)-матрицей
с постоянными элементами;   ,  – векторы абсолютной угловой скорости и


углового ускорения тела;   ,   – главные моменты переносной и кориолисовой
сил инерции относительно точки ,   ( ) – главный момент внешних физических
сил относительно .
Подставляя
  =   +   ,  =  +  +   ×   ,
где   ,   ,  ,  – относительные и переносные угловая скорость и угловое ускорение тела в уравнение (1), получим
 = − +   ×   +   ×   +   ×   +   ×   + [  ×   ] +   ( ).

Так как главный момент переносных сил инерции   выражается лишь через

  и  , а кориолисовых сил инерции   – через   и   , то из этого уравнения
следует


  = − +   ×   ,   =   ×   +   ×   + [  ×   ].
(2)

Из (2) видно, что нет необходимости в приведении вектора   к более ком
пактной форме. По отношению к вектору   такое приведение представляется
целесообразным.

Поставим задачу о приведении вектора   к более компактной форме в виде
одного векторного произведения двух векторов вместо трех произведений в (2).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (06-01-00664) и Министерства образования
и науки РФ.
О компактной форме выражения динамических уравнений Эйлера при . . .
2.
75
Решение задачи
Для этого введем понятие планарного кинетического момента инерции тела в
точке  от переносного вращения тела
′
  = ′   ,
⃦ ′
⃦
⃦ 
′
 = ⃦
⃦
⃦
где
′
=

∑︁
′
 2 ,
=1

′

=

∑︁
(3)
⃦
 ⃦
⃦
 ⃦
⃦,
′ ⃦
 2 ,
′
(4)
=
=1

∑︁
 2
=1
являются планарными моментами инерции тела [1] относительно координатных
плоскостей , , . Внедиагональные элементы матрицы (4) являются известными центробежными моментами инерции тела. Матрицу (4) назовем планарным тензором инерции тела в точке . Если оси системы  являются главными
осями инерции тела, то матрица (4) становится диагональной, так как при этом
внедиагональные элементы обращаются в нуль.
Имеет место теорема:
Теорема. Главный момент кориолисовых сил инерции относительно центра масс тела равен удвоенному векторному произведению относительной угловой скорости тела на его планарный кинетический момент от переносного
вращения.
Согласно этой теореме имеет место равенство

  = 2[  × ′   ].
(5)
Заметим, что убедиться в справедливости (5) можно было бы сравнением про
екций правых частей   в (2) и в (5) на оси системы . Такой путь, кроме
трудоемкости, обладает еще тем недостатком, что при этом невольно возникает
вопрос о том, каким образом авору удалось догадаться ввести понятия планарного момента инерции в виде (3) и планарного тензора инерции в виде (4).

Поэтому используем более очевидный путь определения   в виде суммы
моментов кориолисовых сил инерции всех частиц тела относительно точки 


= −2

∑︁

(6)
 ×  [  ×   ],
=1
где  – радиус-вектор частицы тела массой  относительно . Вектор (6) раз
ложим по направлениям   и  

  = −2 

∑︁
(︁

)︁
  ·   + 2
=1

∑︁

=1


Подставляя в (7) значение   =   +   ×  и учитывая
 · [  ×  ] = 0, получим

(7)
   ( ·   ) .
  = 2  ×

∑︁
=1
  (  ·  ).

∑︀
=1
  = 0,
(8)
76
Мухаметзянов И. А.
Проектируя

∑︀
=1
 (


  (  ·  ) на оси , , , соответственно, получим

∑︁
(︃
 2 )
=1
(︃ 
∑︁
=1
(︃ 
∑︁
+


∑︁
)︃
  
(︃
+

=1
)︃
   
(︃
+

)︃
  
+


∑︁
=1
(︃ 
∑︁
=1
)︃
 2
+

)︃
   
+
=1
Из (9) следует представление вектора

∑︀
=1

∑︁

∑︁
)︃
     ,
=1
(︃ 
∑︁
)︃
   ,
=1
(︃ 
)︃
∑︁

2

   .
=1
(9)
  (  ·  ) в (8) в виде
  (  ·  ) = ′   .
(10)
=1

Итак, подставляя (10) в (8), получим выражение вектора   в виде (5).
Следовательно, динамические уравнения Эйлера в случае относительного движения тела в компактной форме выражаются в виде
 =   ×   −  +   ×   + 2[  × ′   ] +   ( ).
(11)
3. Уравнения относительного движения тела
вокруг центра масс в главных осях инерции
Как известно, когда оси системы координат  являются главными осями
инерции тела, то центробежные моменты инерции  обращаются в нуль. При
этом матрицы  и ′ становятся диагональными. Следуя традиции диагональные
элементы  ,  ,  матрицы  обозначим через , , , а матрицы ′ через ′ ,
 ′ ,  ′ . Проекции вектора   на оси , ,  обозначим через , , , а вектора
  — через  ,  ,  . Тогда проекции (11) на оси , ,  выражаются в виде
˙ = ( − ) − ˙ + ( − )  + 2( ′  −  ′  ) +  ( ),
 ˙ = ( − ) −  ˙ + ( − )  + 2(′  −  ′  ) +  ( ),
′
(12)
′
 ˙ = ( − ) −  ˙ + ( − )  + 2(  −   ) +  ( ).
В этих уравнениях ′ ,  ′ ,  ′ можно заменить их выражениями через , , 
′ = ( +  − )/2,  ′ = ( +  − )/2,  ′ = ( +  − )/2
Эти соотношения следуют из ( +  + ) = 2
учитывая ′ =

∑︀
=1
′
 2 ,  =

∑︀
=1

∑︀
=1
 (2 + 2 + 2 ). Например,
 (2 + 2 ), получим ′ = ( +  − )/2.
Выражения  ′ и  получаются аналогично.
Попутно заметим,
с известным понятием эллипсоида инерции
√ что по
√ аналогии
√
тела с полуосями 1/ ,1/ , 1/  напрашивается
√
√ введение
√ понятия планарно′
′
го эллипсоида инерции тела с полуосями 1/  ,1/  , 1/  ′ .
В связи с тем, что одними из возможных обобщенных координат, характеризующих относительное движение тела, являются углы Эйлера , , , определяющие ориентацию системы координат  относительно системы 1 1 1 , в
О компактной форме выражения динамических уравнений Эйлера при . . .
77
уравнения (12) необходимо подставить значения , , , выражаемые следующими
кинематическими уравнениями Эйлера:
 = ˙ sin  sin  + ˙ cos ,  = ˙ sin  cos  − ˙ sin ,
 = ˙ + ˙ cos .
(13)
Аналогичным образом выражаются проекции  1 , 1 , 1 вектора   на оси
системы координат 1 1 1 через углы Эйлера  ,  ,  , определяющие ориентацию 1 1 1 относительно неподвижной (абсолютной) системы координат
0 0 0 0 в виде
 1 = ˙  sin  sin  + ˙ cos  , 1 = ˙  sin  cos  − ˙ sin  ,
  = ˙  + ˙  cos  .
(14)
1
Проектируя векторы  1 = 1  1 ,  1 =  1 1 ,  1 =  1 1 , где 1 ,  1 ,  1 –
орты осей системы 1 1 1 , получим
 = 1 sin  sin  +  1 cos  cos  + 1 sin  cos ,
 = 1 sin  cos  −  1 cos  sin  − 1 sin  sin ,
 = 21 cos  − 1 cos  sin  −  1 sin  sin .
(15)
Подставляя (13) и (15) в уравнение (12), получим систему трех уравнений
второго порядка относительно искомых переменных , , .
4.
Вращательное движение тела вокруг центра
масс с устойчивым геометрическим местом
годографа вектора относительной угловой
скорости
Рассмотрим случай, когда главный момент физических сил уравновешивает
главный момент переносных сил инерции. При этом
(16)
  ( ) =  +   ×   ,
а уравнение (11) принимает вид

 
=   ×   + 2[  × ′   ].

Скалярно умножая это уравнение на   , получим (    )/2 = 0. Следовательно, при условии (16), независимо от характера движения центра масс тела,
кинетическая энергия (2 + 2 +2 )/2 вращательного движения вокруг центра
масс сохраняется, оставаясь равной ее начальному значению (20 + 02 + 02 )/2.
Отсюда вытекает, что эллипсоид
2 +  2 + 2 = 20 + 02 + 02
(17)
с полуосями
√︁
√
20 + 02 + 02 / ,
√︁
√
20 + 02 + 02 / ,
√
20 + 02 + 02 / 
√︁
является геометрическим местом годографа вектора угловой скорости   . Следовательно, на полуоси эллипсоида (17), соответствующей наибольшей из величин
78
Мухаметзянов И. А.
, , , имеет место наименьшее значение |  |. Например, при  <  <  на полуоси, соответствующей , имеет место max |  |, а на полуоси, соответствующей
, — min |  |. Следовательно, имеет место соотношение
max |  |/ min |  | =
√︁
/ = const.
(18)
Отсюда следует, что при любых начальных значениях | 0 (0 , 0 , 0 )| при условии (16), независимо от характера движения тела, отношение max |  |/ min |  |
остается постоянным, зависимым лишь от соотношений максимальной и минимальной из величин , , . Заметим, что при малых 0 , 0 , 0 значение |  |
при всех  > 0 остается тоже малым, но соотношение (18) при этом сохраняется.
Очевидно, что при  =  =  значение |  | остается неизменным и равным | 0 |.
Литература
1. Раус Э. Д. Динамика системы твердых тел. — М.: Наука, 1983. — Т. 1, 464 с.
UDC 531.31:62–56
On Compact Form of Eulers Dynamic Equations for Relative
Motion of Body
I. A. Mukhametzyanov
Department of Theoretical Mechanics
People’s Friendship University of Russia
Miklukho-Maklaya str. 6, Moscow, Russia, 117198
The compact expression of Eulers equations of dynamics for the relative motion of a body
through the planar tensor of inertia is obtained.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
522 Кб
Теги
выражения, уравнения, движение, тела, эйлера, компактных, формы, динамическое, относительные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа