Однозначная разрешимость одной нестандартной краевой задачи (задачи о струне).

UNIQUE SOLVABILITY OF AN UNUSUAL PROBLEM (THE PROBLEM OF THE STRING)
Kokoreva Valentina Vladimirovna, PhD of Physical and Mathematical Sciences,
Stavropol State Pedagogical Institute, Stavropol
Chmeleva Galina Ale?eevna, PhD of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor,
North-Caucasus Humanitarian-Technical Institute, Stavropol
The paper considers the question of the solvability of a non-standard boundary-value problem (the
problem of the string).
Keywords: boundary value problem, the fundamental system of solutions of the problem of the string,
the canonical basis, the operation of the Green.
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?а?и?у?а?, 1959. ? 684 ?.
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? ?. XVII, ?1. ? ?. 12-15.
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