close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Приближенный метод вычисления интегралов с логарифмической особенностью специального вида.

код для вставкиСкачать
Математика
У
МАТЕМАТИКА
УДК 519.6
ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
С ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Докт. физ.-мат. наук, проф. МЕЛЕШКО И. Н.,
канд. физ.-мат. наук, доц. ЛАСЫЙ П. Г., асп. ДОВГА Ю. А.
Белорусский национальный технический университет
Интегралы с известной плотностью:
Зададим на отрезке [−1, 1] систему точек
1
1
f (t ) ln t − x dt , x ∈ [−1, 1]; (1)
π −∫1
=
J1 ( x) J1=
( f ; x)
=
J2 ( x) J=
2 ( f ; x)
=
1
1
dt
f (t ) ln t − x
, x ∈ [−1, 1];
∫
π −1
1 − t2
(2)
1
(3)
а также интегральные уравнения, содержащие
такие операторы, встречаются в решениях важных задач из разных разделов механики, физики и математической физики (например, [1, 2]
и библиографии в них).
Полученные в данной статье квадратурные
формулы для интегралов (1)–(3) имеют неотрицательные коэффициенты, сравнительно просты, устойчивы и позволяют оценивать погрешность вычислений.
1. Преобразуем интегралы (1), (2) и определим аппроксимацию плотностей этих интегралов:
1
1
2
ln 2
f (t ) ln
dt +
f (t )dt ; (4)
∫
π −1
t−x
π −∫1
1
1
2
dt
− ∫ f (t ) ln
+
J2 ( f ; x ) =
π −1
t − x 1 − t2
1
ln 2
dt
+
.
f (t )
π −∫1
1 − t2
Наука
№ 3, 2012
итехника,
Science & Technique
n
∑ θk ( x) f ( xk ),
(6)
k =−n
1
τ−ϕ
f (τ) ln sin
d τ, ϕ∈ [−π, π],
=
∫
2
π −1
1
2
2 n +1
и аппроксимацию плотности f(x) на этом отрезке определим формулой
~
f (t ) ≈ f ( x) =
J (ϕ
) J ( f ;ϕ
)
=
=
J1 ( f ; x ) = −
xk = kh, k = − n, ... , − 1, 0, 1, ... n, h =
h
h

в которой θk ( x) = 1, если x ∈  xk − ; xk +  и
2
2

h
h

θk ( x) = 0, если x ∉  xk − ; xk + .
2
2

Очевидно, что если функция f(x) непрерывна на отрезке [–1; 1], то
~
f ( x) − f ( x) ≤ ω( f ; h), x ∈ [−1, 1],
где ω=
( f ; h)
max
x′, x′′∈[ −1, 1]
x′ − x′′ ≤ h
f ( x′′) − f ( x′)
(7)
– модуль
непрерывности функции f(x).
Если же f(x) – непрерывно дифференцируемая функция на этом отрезке, то с помощью
формулы Тейлора легко установить, что
~
M
f ( x) − f ( x) ≤ 1 h, x ∈ [−1, 1],
2
(8)
где M1 = max f ′( x) .
(5)
x∈[ −1, 1]
2. Подставив в выражение (4) для J1 ( f ; x)
вместо плотности f(x) ее приближения (6), получим квадратурную формулу
47
Математика
J1 ( f ; x) ≈ J1 ( f ; x) =
J1 ( x) =
0
(9)
h ln 2 n
= ∑ Ak ( x) f ( xk ) +
f
(
x
),
∑ k
π k=
−n
−n
k=
−1
n
в которой коэффициенты
(10)
Очевидно, что все Ak (x) неотрицательны
для всех х ∈ [–1; 1].
Вычисляя интегралы в правой части равенства (10), находим
h
h
1


Ak ( x=
)
(1 + ln 2)h +  xk − − x  ln xk − − x −
2
2
π 



h
h


−  xk + − x  ln xk + − x  .
2
2



Оценим погрешность квадратурной формулы (9).
Теорема 1. Если плотность интеграла
J1( f ; x ) непрерывна на отрезке [–1; 1], то
имеет место равномерная по х ∈ [–1; 1] оценка
погрешности
2
~
(11)
J1 ( x) − J1 ( x) = ω( f , h).
π
Если же плотность f(x) – непрерывно дифференцируемая функция на этом отрезке, то
M
~
J1 ( x) − J1 ( x) = 1 h, x ∈ [−1, 1].
π
(12)
=−
J1 ( f , x) − J1 ( f , x)=
1
 f (t ) − f (t )  ln t − x dt ≤
=

π ∫
0
I ( x) = 2 − 2 x + ln
∫ ln t − x dt
является
четной функцией, положим 0 ≤ x ≤ 1 и преобразуем этот интеграл
I ( x) =
∫ ln t − x dt + ∫ ln t − x dt =
−1
48
1
0
0
1+ x
+ x ln(1 − x 2 ), x ∈ [0, 1]
1− x
(14)
max I=
( x) I=
(0) 2.
Из соотношений (13), (14) и неравенств (7),
(8) вытекают оценки (11), (12).
3. Заменим плотность f(x) в представлении
интеграла J 2 ( f , x) (5) по формуле (6). В результате получим квадратурную формулу для
этого интеграла
J2 ( f , x) ≈ J2 ( f , x) ≈ J2 ( x) =
(15)
ln 2 n
+
−
= − ∑ Ak ( x) f ( xk ) −
∑ (ηk − ηk ) f ( xk ),
π k=
−n
−n
k=
n
h

где η±k = arccos xk ± , а коэффициенты
2

1
π
Ak ( x) =
xk +
h
2
2
∫ h ln t − x
xk −
dt
1− t2
.
(16)
2
Снова замечаем, что все Ak (x) неотрица-
xk +
(13)
−1
0
1− x
x∈[ −1,1]
h
2
∫h
xk −
1
1
1
∫ ln t + x dt − ∫ ln t − x dt.
находим, что
1
≤ max f ( x) − f ( x) ∫ ln t − x dt.
x∈[ −1, 1]
π −1
I ( x) =
∫ ln t + x dt −
1
тельны для всех x ∈ [ −1, 1].
Вычислим коэффициенты (16). Имеем последовательно:
Доказательство:
Заметив, что
0
1− x
После исследования функции
h
1 xk +
2
Ak ( x) = ∫ h2 ln
dt.
−
x
π k 2
t−x
J1 ( x) − J1 ( x)=
1
= − ∫ ln t + x dt − ∫ ln t − x dt =
xk +
−
xk −
1− t
2
= ηk− − ηk+ ;
(17)
2
h
2
∫ h ln t − x
dt
dt
1− t2
2
=(η+k − η−k )ln 2 + 2
η+k +η
2
∫
ηk− +η
2
η k+
= ∫ ln cos σ − cos η dσ =
η k−
ln sin τ d τ + 2
η+k −η
2
∫
(18)
ln sin τ d τ.
ηk− −η
2
Наука
№ 3, 2012
итехника,
Science & Technique
Математика
Обращаясь к формуле разложения логарифма в ряд по косинусам и пользуясь равенствами
(17), (18), после простых преобразований
найдем, что
1
 2(η−k − η+k ) ln 2 + N 2 (η − η−k ) −
Ak=
( x)
π
− N 2 (η + η+k ) + N 2 (η − η+k ) − N 2 (η − η−k )  ,
∞
sin kθ
где η = arcos х, а функция N 2 (θ) = ∑ 2 –
k =1 k
значения мнимой части полилогарифма второго порядка на единичной окружности L2 ( z ) =
zk
= ∑ 2 (дилогарифма Эйлера) [3]. Известно
k =1 k
∞
также, что N 2 (θ) связана с функцией Лобачевского [4]
θ
L(θ) = − ∫ ln cos τ d τ, 0 ≤ θ ≤
равенством [3]
0
∫  f (t ) − f (t )  ln t − x
−1
dt
1 − t2
1
1
≤ max f (t ) − f (t ) ∫ ln t − x
x∈[ −1,1]
π −1
1
dt
1− t2
(19)
≤
dt
Наука
№ 3, 2012
Science & Technique
h=
2π
2 n +1
и приблизим плотность интеграла J ( f ; ϕ) на
этом отрезке по формуле
n
∑ θk f (ϕk ),
h
h

ϕ ∈ ϕ k − , ϕ k +  и
2
2

h
h

θk (ϕ) = 0, если ϕ ∉ ϕk − , ϕk + .
2
2

Получается следующая квадратурная формула:
1− t
θ k (ϕ) = 1,
когда
2
k =−n
где
Ak (ϕ) = −
.
≤ 3 ln 2
имеет место следующая, равномерная по х ∈
∈ [ −1, 1] , оценка погрешности квадратурной
итехника,
ϕk = k h, k = − n, ..., − 1, 0, 1, ..., n,
n
~
~
J ( f ; ϕ) ≈ J ( f ; ϕ) = J (ϕ) = − ∑ Ak (ϕ) f (ϕk ), (20)
легко доказывается следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть плотность интеграла
J 2 ( f , x) непрерывна на отрезке [ −1, 1] , тогда
формулы (15):
логично. Возьмем на отрезке [− π, π] систему
точек
где
С помощью неравенств (7), (8), (19) и известной оценки [5]
1
ln t − x
π −∫1
4. Квадратурную формулу для интеграла
J (ϕ) (3) будем строить и исследовать анна-
k =−n
J2 ( x) − J2 ( x=
) J2 ( f , x) − J2 ( f , x=
)
1
3
~
J 2 ( x) − J 2 ( x) ≤ M 1 ln 2 .
2
π
2
Получим теперь неравенства для оценки погрешности квадратурной формулы (15)
1
π
если же f (x) – непрерывно дифференцируемая
функция на этом отрезке, то
~
f (ϕ) ≈ f (ϕ) =
π−θ
N 2 (θ) = (π − θ) ln 2 − 2 L
.
 2 
=
J2 ( x) − J2 ( x) ≤ 3ω ( f ; h) ln 2,
1
π
ϕk +
h
2
∫ h ln sin
ϕk −
τ−ϕ
dτ.
2
(21)
2
Из представления (21) для коэффициентов
видно, что все они неотрицательны для всех
ϕ∈ [ −π, π].
Для вычисления интегралов в (21) воспользуемся разложением логарифма в ряд по косинусам
ϕk +
h
2
τ−ϕ
ln sin
dτ
∫ h=
2
ϕk −
2
h
ϕk + −ϕ
2
2=
∫ ln sin t dt
h
ϕk − −ϕ
2
49
Математика
ϕk +
sin 2 t sin 4 t


=
−2 t ln 2 +
+
+ ...
2
2
2⋅2


ϕk −
J ( ϕ) − J (ϕ) ≤ 2ln 2 ω( f ; h), ϕ∈ [ −π, π].
h
−ϕ
2
2
h
−ϕ
2
.
2
Теперь после простых преобразований для
коэффициентов Ak (ϕ) получается единая формула
1
h

Ak (ϕ)
h ln 2 + N 2  ϕ − ϕk +  −
=

2
π

h 

− N 2  ϕ − ϕk −  ,
2 

2
где функция N (θ) определена выше в п. 3.
Займемся оценкой погрешности квадратурной формулы (20). Очевидно, что в случае непрерывности плотности f (ϕ) на отрезке [–π, π]
f (ϕ) − f (ϕ) ≤ ω( f , ϕ), ϕ∈ [−π, π].
(22)
Если же f (ϕ) непрерывно дифференцируема на этом отрезке, то
M
f (ϕ) − f (ϕ) ≤ 1 h, ϕ∈ [ −π, π] ,
2
=
M1
(23)
max f ′(ϕ) .
ϕ∈[ −π , π]
~
Сравнивая J (ϕ) и J (ϕ), получаем
J ( ϕ) − J (=
ϕ) J ( f ; ϕ) − J ( f ; =
ϕ)
=
1
π
π
∫  f (τ) − f (τ)  ln sin
−π
τ−ϕ
dτ ≤
2
(24)
π
Замечаем, что
π
(25)
Из неравенств и соотношений (22)–(25) вытекает следующее.
Теорема 3. В случае непрерывности плотности интеграла J ( f ; ϕ) на отрезке [−π, π]
50
5. В качестве примера возьмем интеграл
1
τ−ϕ
(sin ϕ + τ cos τ) ln sin
d τ, ϕ∈ [ −π, π].
π∫
2
Нетрудно получить для него точное равенство
ϕ

J (sin τ + τ cos τ; ϕ) = −2 sin ϕ ln 2 cos .
2

Результаты численного эксперимента по
точной формуле и с помощью квадратурной
формулы (20) приводим в табл. 1.
Таблица 1
ϕ
π/12
π/4
Число верных
знаков (п = 10)
2
2
Число верных
знаков (п = 50)
3
4
ВЫВОД
Для интегралов с логарифмической особенностью специального вида получены квадратурные формулы с неотрицательными коэффициентами. Равномерные оценки погрешностей
приближенных формул позволяют вычислять
такие интегралы с заданной точностью.
ЛИТЕРАТУРА
1
τ−ϕ
≤ max f (τ) − f (τ) ∫ ln sin
d τ.
ϕ∈[ −π , π]
π −π
2
1
τ−ϕ
ln sin
dτ = 2 ln 2.
∫
π −π
2
Если же плотность f (ϕ) – непрерывно
дифференцируемая функция на этом отрезке,
то равномерно по ϕ ∈ [− π, π]
~
J ( ϕ) − J (ϕ) ≤ ln 2 M 1.
1. Александров, В. М. Контактные задачи тел с тонкими покрытиями и прослойками / В. М. Александров,
С. М. Мхитарян. – М.: Наука, 1983. – 487 c.
2. Габдулхаев, Б. Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода / Б. Г. Габдулхаев. – Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1994. – 288 с.
3. Пыхтеев, Г. Н. Полилогарифмы и их свойства
и методы вычисления / Г. Н. Пыхтеев, И. Н. Мелешко. –
Минск: Изд-во БГУ, 1976. – 68 с.
4. Градштейн, Н. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / Н. С. Градштейн, И. М. Рыжик. – М.:
Наука, 1971. – 1108 с.
5. Мелешко, И. Н. Специальные формулы для интегралов типа Коши и их приложения / И. Н. Мелешко. –
Минск: ВУЗ-ЮНИТИ, 1999. – 197 с.
Поступила 28.10.2011
Наука
№ 3, 2012
итехника,
Science & Technique
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
22
Размер файла
1 021 Кб
Теги
особенности, интеграл, логарифмических, вычисления, метод, вида, специальное, приближенные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа