Спектр одной граничной задачи для модели двухскоростной жидкости.

Спектр одной граничной задачи для модели двухскоростной жидкости
??? 532.526/ 532.529
?.?. ?????, ?.?. ?????????
?????? ????? ????????? ??????
??? ?????? ?????????????? ????????
D.I. Popov, A.M. Sagalakov
The Spectrum of One Boundary Task
for a Two-Speed Liquid Model
???????? ?????? ???????, ?????????? ??????
???????????????? ????????? ??? ??????????????
?????. ???????????? ?????????????????? ????? ??????? ???????????? ?????? ??????? ?????????
? ?????????????? ????????? ????????.
The authors estimate field containing spectra of
linearized operator for mono-disperse mixture. They
produced pseudo-spectral scheme based on Galerkin?s
method using Chebyshev?s polinomials for spectral
problem.
???????? ?????: ????? ?????????, ?????????????????? ?????, ???????????? ???????, ??????????????
?????, ?????????? ????????.
Key words: Galerkin?s method, pseudo-spectral method,
parallel flow, mono-disperse mixture, Lyapunov?s
exponents.
????????. ?????? ?????????????? ?????, ????????? ?????????????? ? ??????? ???????????? ????? ?????? [1], ???????????? ????? ?????? ????????, ?? ?????????????? ???????? ???????????????
?????????????????? ????????, ???????? ?????
??????????????? ????????? ????????? ?????? ???
??????? ????????? ?????????? ????. ?????? ?????
????????? ????? ??????????? ? ????
???, ? ????? ???????????? ? ????????? ??????? ?????????? ??????????? ?? ???????. ????? ? ??????
???????? ???????????? ??????? ????????? ??????????.
????????? ??????. ?????????? ????????? (1)
? ??????????? ??????????? ????? {U, U, ? } ? ????
y = y ( x)e?t , ??????? ????????? ?????????:
? Pu+ P(U ?)u+ P(u?)U ?( ? /? ) P(? ? u) ?? P?u = Pf1 ,
(2)
?? + (U ?)? + (??)U ?(1/? )(u ?? ) = f 2 .
?u / ?t + ( u? ) u + ?p ???u ? ( ? / ? )( v ? u ) = f1 ,
?v / ?t + ( v? ) v ? (1 / ? )( u ? v ) = f 2 ,
?? / ?t + ( v? ) ? + ? ( ?v ) = f 3 . div u = 0 .
(1)
????? ???????? ? = SR ( v = 1/ R ) ? ????????????
????? ????????? ?????????? ??????????; R ? ?????
??????????; S ? ????????, ???????????? ???????
???????????? ???????; ? ? ???????????? ????????
????????? ???????. ???????????? ????????? ?????
??? ??????? ????????? (1) ? ????? ?????? ???????????? ????????? ?????????? ??????? ??????.
??? ?????? ????? ????? ???????????? ?????? ???????????????? ????????? ??? (1) ? ?????? ???????????? ?? ???????? ????????? ??????????? ?????
??????? (1). ???????? [2, 3], ??? ????????? ??????????? ???????? ???? ?? ????? ??????????? ?????? ??? ???? ?????? ??????????. ????????, ?????
???????????, ??? ???????????? ??????? ????? ???????? ????????? (1), ???? ??????? ??????????
??????? ????????? ? ????? ????? [1]. ?????????
??????????? ?????????? [1, 4], ??? ???????????
??????? ???????????? ???????????? ??????? ????????? ??????? ?????. ??????????? ? ??????????? ??????????? ????? ???????? ?? ??????????
???????????, ?????????? ??????? ?????? ??????-
????? ? =?i? C ? ?????????????????? ??????????
???????? [5], ? = const . ????? ???????, ??? ???????? ? ? ????????, ???????? ????????, ???????????? ?????????? ? E n (n = 2, 3) ? ?????????? ???????? ?? . ??? ?????????????? ????? ? ????? ?????
????????????? ?????????? ????????? ???????
u ?? = 0 , ( s? ) ?? = 0 , s ? ??????? ? ?? . ???????, ???,
?????? ??????, ????????? ??? ??????? ???? ???????? ? ??? ??????, ??? ??????? ??????? ????????
?? ??????? ? ????????? ?????????? ??????. ????????, ??????? ??????????? ???? ????????? ??????? ?? ?? . ? ?????? f1 = f 2 ? 0 ????? ???????? ??
?????????? (2) ? ?????????? ????????? ??? ? ???????????? ?????? ??? ?????????
?( ? /? ) P + PK ?? P? ? ( ? /? ) P ?
A= ?
,
K + (1/? ) I ??
? (1/? ) I
?
(3)
????????? ?? ????????? ????????????? ???????????? X = X 1 Ч X 2 (P ? ???????? ? X 1 ) ? ?????? ? ????????? ????????????? ?????????? ????:
181
u
2
X
= u1
2
X1
+ u2
2
X2
, u ,?
X
= (u1 ,?1 ) X1 + (u2 ,?2 ) X 2 ,
ФИЗИКА
??? u ={u1 , u2 } , ? ={?1 ,?2 } ? ???? ?????, ??? u1? X 1 ,
u2 ? X 2 , ?1?X 1? , ?2 ?X 2? .
????? X ? ?????????? ????????????? ???????????. ????????, ??? ?????? ?????? ?????????? ????????????? ????????? X ?= X 1?Ч X 2? . ? ??????????
???, ??? ???????, ????? ???????????? ?????? ??????????? ????????????. ????? ????? ???????? X
? ?????? ????????? ???????????? X 1 Ч X 2 .
?????????????? ????????????. ??????????
????????? ???????????:
H ?s (?) ={D k??L2,? (?), k = 0,?, s} ,
H 0,1 ? (?) ={??H ?1 (?),? ?? = 0} ,
?????????? ??????????????? ??????
12
? s
?
2
= ? ? ?? D k? ? dx ? .
s ,?
? ? k =0 ( k )
?
???? ??????? ??????? ? = 1 , ?? ??????????????? ?????? ?? ???????????. ?????????? ?????????
????????????
?
???, ? ?????????? ?????? X 1 = S 2 , X 2 =L2 , ??????? ????? ????????????? ? ????????????????
???????????? ??????????????. ??????? ????????X 2 =L2
?????????
?????????????
????
(? , ? ) X 2 = ? (? , ? ) L2 .
??? ????????? ? (3) ?????????? ? ?????? ?????????? T ?????, ??? PT ??????? ?? S 2 ? ???????
? S2 ???????? ??????????? D ( S ) (T ) = S 2 ? D (T ) ,
?.?. PT = ( PT )?? ??? ??????? T (??. [8]). ??? ??????????? ???????? ????? ???????, ??? ????????? T
?????????? ? ????????? ? L2 , ? PT ? S2 ???
u ? D ( S ) (T ) .
??????. ? ?????? ??????? ????????? ????????? ????? ? ?Z ??????????? ?????????, ??? ????-
??? ????????? ?????? ? y ? Ay = f ??? y? X , f ? X .
????????? ???????? ????? ????????? A ?????
Ay, y X = ( Au , u ) X1 + ( A? ,? ) X 2
Ay, y X = ?? (? u, u ) S2 + ( Ku , u ) S2 +? 1 (u , u ) S2 ?
L2 (?) =( L2 (?) ) , H ? (?) =( H ? (?) ) ,
n
H
1
0,?
s
(? ) = ( H
1
0,?
s
(? ) )
n
? 1 ( P? , u ) S ?? 1 (u,? ) L + ? ( K? ,? ) L +? 1 (? ,? ) L ,
2
n
2
(4)
2
u?S 2 , ??L2
??????????????? ???????????, ?????????? ??????????? ??????? ? ?????????? ??????????????.
???????? ? ???????????? ??????????? ?? ??????
???, ??? ??? ?? ???????? ?????????????. ?????????
????? S2 ????????? ? L2 ????????? ????????
V ={u : u?C 0? (?), div u = 0} ,
? ????? G2 ? ????????????? ?????????? S2 ? L2. ????????? ?????????? ????????? ?????????????? ?
??????? ??????? ??? ????????? ??????? ??????
????? ????? ? ??????? [6?8]. ????? ?????? ???
????, ??? ???????????? L2 ????????? ?????????? ??
????????????? ????? L2 = S 2 ? G2 . ??????? ???????????? ?? ??????? ??????? ?????????? ????:
S2 (?) = {u : u?L2 (?), div u = 0, u ? n ?? = 0} ,
G2 (?) = {u : u?L2 (?), u = grad p, p?W2(1) (?)} .
????????? ????? P ???????? ?????????????? ??
L2 ?? S2 ?????, ??? S2 = PL2. ????????, ??? ???????? P ????????? ? ??????????? ?????? (??.: [6, 7,
9]) P L ? S ?4c(??) . ????? ???????, ??????? ???
2
2
2
??????? ???????? ?????? ???? ?????????? S2,
????? ???, ?????? ??????, ??????? ??? ??????????
???? ???????? ????????? ?? L2 , ????????? ????????? ?? ???????? ??????????? ????????????? ???????. ?????? ? ??????????????? ?????? ?????????
?????????? ??? ?????? ????, ????????, ??????????? ? ?? ?????????? ??????. ?????? ? ?????? ?????
?????????? ? ?????? ??????????? ?????????? ???? ? ??????????? ??? ????????, ????? ???????
????????? ? ???????????? ??????? ??????????
????. ????????? ????? u ? S 2 ??????? ??? ??????? ???????? ? ? ? L2 ? ??? ???????. ????? ????-
P? , ???????? ?? S2, ???????? ?????????? ?=
???????? ? ??????? [6?8]. ????????, ??? ??? ?????? P? ?? S2 ?????????????
??? u?H 01 (?) ????????? ?=
???????????? ???????????? ????? ?? (? u, u ) =
S2
= ? [u , u ]? c u
S2
, ??? [u , u ] ? ???????? ???????. ???
????????? ???? ( P? , u ) S2 , ???????? ???????? ??????????????? ????????? P , ????? ???????????????
??????????
( P? , u ) S2 = ( P? , P ?u ) L2 = (? , ( P ?) 2 u ) L2 =
= (? , P ?u ) L2 = (? , u ) S2 , u?S 2 , ??L2 .
??????????? ??????????? ???????? ? ????????? ???????:
(u,? ) L2 = ( Pu ,? ) L2 = ( P 2 u ,? ) L2 = ( Pu , P ?? ) L2 = (? , u ) S2 ,
u?S 2 , ??L2 .
?????? ??????? ????????? ????????? ???
????? ?????????:
( P? , u ) S2 + (u ,? ) L2 = (? , u ) S2 + (? , u ) S2 = 2 Re{(? , u ) S2 } .
??????? ??? ????????? ? (4) ? ?????????? ? 1 ,
??????? ???????? u??
2
L2
?0 .
K
????????? ??? ?????????
????????
u?H 01 (?) , ??? ???? ????? ??????? ????????
( Ku , u ) S2 ? ( K? ,? ) L2 , ??????? ???????????????
???????????, ???????, ??? ?????????? ??????? U
???????? ????????? ?????? C 2 ,
182
?
n
i =1
(U i Di uk , uk ) L2 ? max U
?
? max U
?
?
n
i =1
uk
L2
?
n
i =1
Di uk
( Di uk , uk ) L2 ?
L2
?
Спектр одной граничной задачи для модели двухскоростной жидкости
(
?
?
n
i =1
+ ? i =1 Di uk
n
2
? (1/2) max U n uk
L2
(u
(U i Di uk , uk ) L2 ? (1/2) max U
?
2
k H1
2
L2
),
2
+ (n ?1) uk
L2
n
i =1
(u
(U i Di u , u ) L2 ? (1/2) max U
?
2
).
2
+ (n ?1) u
H1
L2
??? k-? ?????????? ??????? (u?)U ??????????? ??????????? ???????? ? ?????????? ?????????
?
n
i =1
(ui DiU k , uk ) L2 ? max D jU k
j ,k ,?
?
? max D jU k
j , k ,?
? (1/2) max D jU k
j ,k ,?
?
? (1/2) max
?
(
n
i =1
n
i =1
?
ui
n
i =1
?
i =1
uk
L2
L2
(u
2
i L2
n
(ui , uk ) L2 ?
?
+ uk
2
L2
? j ,k =1 ( D jU k )2
) (
1/2
u
2
L2
+ n uk
?????? ???????????? ???????
?
n
i =1
),
(ui DiU k , uk ) L2 ?
n
(ui DiU k , uk ) L2 ? n max
?
(?
n
j , k =1
( D jU k ) 2
)
2
L2
)
1/2
u
.
2
.
L2
????? ???????, ???????? ( K? ,? ) L2 ????? ??????? ????????? ???????:
2
( K? ,? ) L2 ?? ? L + ? ?
? = max
?
(?
2
n
( D jU k )
j , k =1
2
2
, ? = n? + (n ?1) ? ,
H1
)
1/2
, ? ? (1/2) max U .
?
?? ???????? ??????? u?S 2 . ? ???? ?????? ??? ????????? u?H 01 ? S 2 ????? ????????
( Ku, u) S2 = ?([U Ч rot u + u Ч rotU ], u) S2 .
?????? ????? ???????? ????????? ??????:
2
H1
+? u
2
S2
, ? = max rotU .
?
????? ???????, ????? ???????? ?????? ?????????????? ? ?????? ????? (4) ????????? ???????:
Re{ Ay, y
}?? [u, u]+? u?? + (Ku, u)
Re { Ay, y }?? [u , u ]+? u ??
2
(
X
S2
L2
1
X
+ ? (K?,?)L2 ,
2
L2
+
,
) +? u + ?? ?
}?? [u, u]+? u?? +? ( u + ? ? ) +
+ max(? ,? ) ( u + ? ? ) .
+? u
Re{ Ay, y
1
X
2
S2 ? H
1
+? ?
2
2
H
1
1
2
S2
L2
2
2
2
L2
S2 ? H1
H1
2
2
S2
L2
?????????? ????????? ????????? ? ??? ????,
??? ?????? ? <1 , ???????? ?????? ?????????, ??????? ?????? ? ????
2
Re { Ay, y X } ? (? 2 + max(? , ? ) ) y X +
.
2
2
+ (? + ? ) u S ? H 1 + ? ? H 1
(
2
X
}?? ( u
(
)
2
S2 ? H 1
2
S2
+? ?
+? ?
2
L2
2
H1
).
)+
????, ???????????, ??? ???????? ????? ????????? A ??????? ?????????? ? ????????? ?????????
?????????? Z(A) ??????????? ?????????. ????????, ??? ?????? ?( A) ?????????? ??? ????????? ?
???????? ??????? ?????????. ????? ???????, ?????????? Z(A) ?????? ? ????????????? ?????????
P(A) ????????? A, ? ?????? ???????? ?????????
? y ? Ay = f ?????????? ?????????. ????????, ???
????????? ?( A) ?? ?????.
???????????? ?????? ???????????? ??????? ???
???????????? ???????????? ??????? ?????? ??????? ???????? [5, 9]. ????????, ? ?????? n = 2 ???????????? ???????????? ????????? ????????????
?????????? ??????? U ?????????????? ????? ????? ??????????? ? ??????? ?????? ?????????? ???
? ??????? ?= I Ч(0, 2? /? ) , ??? I = (?1, +1) , ? ? ???????? ????? ??????????. ????? ????????????? ????????? ??????? ?? ?????????? ?????????? ????????? ????????? ? ?????????? (2) ??????????????
?????. ??? ????? ?????? ????? ???????? ????????? ??????:
Im { Ay, y
(5)
?????? ???????? ( Ku , u ) S2 ????????? ??????-
( Ku, u) S2 = ? u
Im { Ay, y
+ max(? , ? ) u
????????????? ?? k, ???????
?
).
???????? ??????????? ???????, ??? ??????
????? ??????? ?????? ? ????
X
} ?( 2?? + (1/2) max U ? ) ( u
?
2
S2
+? ?
2
L2
).
????? ?????????? ??????? ???????????? ??????. ????? ?????? ?? ??????????? ????? ???????????? ???????? ???????? ????? ????? ?????????? ? ?????????????? ???????? ??????
U ( y ) =U ( y )e x = (a0 y 2 + a1 y + a2 )e x .
? ?????? ?????? ??? ?????? (1) ?????????? ?????
?????????. ???????? ???????? ? ??????????? ??????? ??? ??????? ???????? ?????? ?????????????
??????? ????????????????, ?.?. u ={? ?, ?i?? }T .
????????? ????? u ,? ???????? ????????????, ???????????? ? ???????????? ??????? ???????. ????? ? ???????????? ????? ?????? ????? ??????? (1)
??????????? ? ????
? < A?1 , ? > ?
?< A? , ? >? =
2
?
?
( f /? )(? , u)
?( Ku, u)+? (?u, u)?( f /? )(u, u)
?
=?
?.
K
u
?
?
?
?
?
?
?
(1/
)(
,
)
(
,
)
(1/
)(
,
)
?
?
?
?????????? ???????? ? ??????????? ???????
?????? ???? ????????? ?????? W2( h ) ( I ) ?W2,0(1) ( I ) ,
??? h? 2 [7]. ??????? ??? ?????????? ???? ???????? ?????????? ?????? W2(1)
( I ) . ????????? ?????
,0
S N =span{T0 ,?,TN } ???????? ???????? ????????????? ? ????? ? ( y ) ??????????? ? ?????????????
??????????????, ? ????? VN = {? ? S N ,? (±1) = 0}.
183
ФИЗИКА
?????????? ???????????? ???????? ??????????
????:
H ?s ( I ) ={? ( k ) ?L2,? ( I ), k = 0, ?, s} ,
H 0,1 ? ( I ) ={??H ?1 ( I ),? (±1) = 0} ,
??????????
?
s ,?
=
(?
s
???????????????
?
k =0 I
?
(k ) 2
? dy
)
1/ 2
??????
??? ?????????????? ?????? ?? ??????????? ????????:
Lz = ? Bz .
(7)
???????????? ??????? L ???????????? ????????? ???????:
(0)
(1)
(2)
(12)
(3)
(13)
(4)
L(11)
ij =? I ij +I ij ?? 1 I ij , Lij =? 1 I ij , Lij = ?1? 1 I ij ,
. ????? ?????? ????-
(5)
(22)
(6)
(7)
(23)
(8)
L(21)
ij = ? 2 I ij , Lij =I ij ?? 2 I ij , Lij =I ij ,
?? [10], ????????? ????????????? ????????? ?????????? ????:
PN :L2 ,? ( I ) ? S N , ? N :H 01,? ( I ) ?VN ,
(9)
(32)
(33)
(6)
(7)
L(31)
ij =??1? 2 I ij , Lij = 0 , Lij =I ij ?? 2 I ij .
?????, ???????? ??????? (6), I ij( k ) ??????????
I ij(0) =? (? ??j ,? i??) +?12 [2(? ?j ,? i?) ??12 (? j ,? i )] ,
? N2 : H 0,1 ? ( I ) ? H ?2 ( I ) ? VN .
Iij(1) =??1[(U ?? ?j ,? i )+(U ??? j ,? i )+(U? ?j ,? i?)??12 (U? j ,? i )],
????? ??????????? ??????
u ? PN u ? ? CN ? s u s ,? ??? ?u?H ?s ( I ) , s ?0 ,
u ? ? N u ? ,? ? CN ? ? s u
I ij(2) = (? ?j ,? i?) ??12 (? j ,? i ) , I ij(3) =? (? ?j ,? i ) ,
(6)
I ij(4) = (? j ,? i ) , I ij(5) = I (3)
ji , I ij =??1 (U ? j , ?i ) ,
s ,?
I ij(7) = (? j , ?i ) , I ij(8) =? (U ?? j , ?i ) , I ij(9) = I (4)
ji ,
??? ?u?H ?s ( I ) ? H 0,1 ? ( I ) , s?1 , 0?? ?1 ,
u ? ? N2 u
? ,?
? CN ? ? s u
??? ?1=i? , ? 1= f /? , ? 2 =1/? ,
s ,?
? k? =? 2 y?k + (1? y 2 )? k? , ? k?? =? 2?k ? 4 y? k? + (1? y 2 )? k?? .
??? ?u?H ?s ( I ) ? H 0,1 ? ( I ) , s? 2 , 0?? ? 2 .
????????? ???????????? ??? ??????? ???????
???????? U ( y ) = 1? y 2 ? ????? ?????? ? = 1, R = 104
???????? ? ??????? 1. ??? ????????? ? ??????? ??? k ( y ) = (1? y 2 ) 2 Tk ( y ) ??? S 2 ,
?? ???????????? ? ????? ?????????? [11, 12]. ???k ( y ) = (1? y 2 )Tk ( y ) ??? L2 , k = 0, 1, ..., N.
???????? ??? ? = 1, R = 104 ??? ??????? ???????????
-5
????? ??????? ??????? ????? ???????????? ??- ??????? (S = 10 , f = 0,1) ? ??????? ??????? ??????-???????? U ( y ) = (1? A)(1? y 2 ) + Ay (A = 0,02) ????? { uN , ? N }, ??? uN ?S 2 ? ? N ?L2 , ? ???? ????
N
?????? ?????????????? ? ??????? 2. ?????, ???
uN = ? ak(1) (? k? e x ?i?? k e y ) ,
?????????? (3) ???? ?????????? ???????? ??? ??k =0
?????????? ????? ????? ????????? ???? ? ??????
N
(2)
(3)
? N = ? (ak ? k e x + ak ? k e y ) .
(6) ?????? ??????????? ???????, ???????????????
????? ????? ????????? (4). ??? ????????? ????????k =0
????? Tk(t) ? ??????? ???????? ??????? k. ?????? ??????????, ?????????? ??????? ????????????? ???????, ??????? ????????? ???????- ???????? ????????.
??????? 1
???????? ??????? ????
????? ????????????? ????????????? ???????????? S 2 Ч L2 , ????????? ????????? ?????? ???????:
? = 0,23752649
? = 0,23752708
? = 0,2375264888204
? = 0,2375264888206
+0,00373967i
+0,00373980i
+0,0037396706229i
+0,0037396706230i
Orszag [11]
Dongarra [11]
Pop (N = 96) [12]
N = 64
??????? 2
???????? ??????? ????
? = 0,233887554181
? = 0,233887554177
? = 0,2314841658415
? = 0,2314841658415
+0,002661357275i
+0,002661357296i
+0,0011000890122i
+0,0011000890123i
???????, ??? ???????? ????? ???????????????
?????????????? ?????? ? ????? ????? ?????????
(4) ??????????? ???????????? ??????????? ?? ?????????? ???????? ???? ???????????? ?????. ??????? ??????????? ??????????????? ? ??????????? ?? ????????, ????????? ???? ? ???????? ????-
? ???????????????? ????????
? N = 64
????????????????? ????????
? N = 64
?? ????????????? ????? ? ????????? ??????. ???????????? ?????? ????????? ?????? [12] (??. ?????? ?????? ????. 1), ? ??????? ??????? ???????????????? ???????? ?????? ???????? ????????????? ?????? ? ????????? (4) ??? ?????? ????????????????. ?????? ?????????? «??????????»
184
Спектр одной граничной задачи для модели двухскоростной жидкости
??????, ????????? ??? ?????????? N = 96, ?? ??????????? ? ?????? ????? ????????? ?? N = 1024.
????????? ??????. ???????? ?????????? ???
????, ??? ???????? ?????? (1) ??????? ?? ?????????? ??????????? ????? ? ? ???????? ??????????
???????? ????????? (1) ?? S2. ? ???? ?????? ??????
???????????? ??????????? ?????? ??????????,
??????? ????? ????????????? ? ???????? ??????????? ???????????? ?????? ??? ????????? ??????????? ??????????? ????????. ??????? ???????-
??? ?????? ?????????? ??? ?? S2 ?????????, ? ??????????? ?????????? ????????? ??????????????? ????????????. ?????? ?????????????? ?????
????? ??????? ?? ????? ?????? ??????. ? ????????????? ?????? ?????????? ???????? ??????????
???????? [13], ??? ????? ???????? ??????? ??????????? ???????? ?????????? ??????? ?? ?????????? (? ????? ?????? ?????? ?????????????? ????????? ???? ?????? ?????? ????-????????????; ??.
?????? ?? ???????? 1?3).
0
Re(?)
?0.2
?0.4
?0.6
?0.8
?1
Im(?)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
???. 1. ?????? ??????? ??????-???????? ????? ??? A = 0,1, ? = 1, R = 104, S = 10-5 ? f = 0,1
0
?0.4
?0.8
Re(?)
?1.2
?1.6
{ -clear
+ -10?4
?2
0
0.2
0.4 Im(?) 0.6
0.8
1
???. 2. ?????? ??????? ???????? ????? ??? ? = 1, R = 104, S = 10-4 ? f = 0,1
185
ФИЗИКА
0
?0.4
?0.8
Re(?)
?1.2
?1.6
{ -clear
+ -10?4
?2
0
0.2
0.4 Im(?) 0.6
0.8
1
???. 3. ?? ??. ????????? ?????? ???????????
??????? ??????????, ??? ?????? ? ??????????
???????????? ? ??????? (????????, ??. ???. 1) ??????? ??????? ????? ????????????? ???????, ??????????????????? ???????? 2. ? ?????? ???????,
????? ???????? ?? ???? ???????? ????? ???????,
??????????? ?????? ???????, ?????????? ??????.
????? ???????, ??? ?????? ?????????? ??????? ??
??????? ???????????? ?? ??? ????? ??????????
???????, ?????????? ??????? ??? ????? ??????? ???????????? ??????? ??????? ?? ?????????? ?????????????. ?????? «?????????? ????????», ???????
????? ????????? ? ??????? ? ?????? ?????? ?????
???????? ??????????? ???????????? ?????????????? ??????????? ??????? ???????????????? ???????????? ???????. ?????? ?????? ?????????? ????????????? ??????? ?????????????? ?????? ??
??????????? ???????? ??? ???????? ????????????? ???????????? ???????. ??????????? ???????? N
????? ???????? ???? ????, ??? ????? «??????????
????????» ???????????? ? ?????? Re(? ) =?1/? .
????? ???????, ?????????????????? ????? ???????,
?????????????? ?? ????? ???????, ??????????? ???
?????? ?????? ???????? (?????? ?? ???. 2), ????? ?
???????? ?????????? ?? ????? ????? ???????? ????? ??????????? ?????????, ????????????? ? ?????
??????????? ??????????
M = {?: Re(? ) =?1/? , 0 ? Im(? ) ? ?}.
????? ???????, ????????????? ? ?????????????? Re(? ) ?????? ?0,4 ? Re(? ) ?????? ?1,6,
?????? ??????????? ? ???????????? ?????? ?? ????????? ??????? ??? ???????????? ????????????
?????????? ?????????.
????????????? ??????? ????????? ? ???????
??????. ?????????? ???????????, ??????????
????? ???? ?? ??????? ?????????? ??? ?????? (1),
(? /4? )E =? 1 + D +? 2 + DS =? Re{v1?x v1 y }U ??
2
?(1/ R )[? 2 v1 + v1?x + v1?y ]? ? Re{v2? x v2 y }U ??
2
2
? ( ? / SR)[ v1 + v2 ]+ 2( ? / SR) Re{v1?x v2 x + v1?y v2 y }.
2
2
????? ?k ????????????? ????? ???????? ?????
???????? ???????? ? ????????????; D ? ??????????; DS = D1 + D2 ? ?????? ???? ??????; F = ?1 + D ?
????????? ??????? ????????? ??????? ??? ??????????? ??? ?????? ?????????? ?????. ?????, ??? ?
?????????????? ????????? ????????????? ??????? ????????? ?????????????? ?????? ???? ?????????? ??????.
??????? ? ????? ?????? ??????????? ??? ???????? ? ???????????? ???????
?p = (1/? )div?? ?u j ,i ui , j ? (1/? )u j ?, j + div F ,
?? / ? t =? div?? .
????? ??????? ??????????? ?? / ? xi =?,i , F ?
???????? ????. ? ???????? ?????? ??? ?????????? ???????????? ??????? ???????????? ?????????
?? =? f div ? ( g ) ?U i ?,i .
???????? ????????? ??? ????????, ????? ???????? ?? =???p ?i? div Ku +U i ?,i ??? ?? + iK 0 ? =???p ?
186
? 2i? div K1u. ????????, ??? ?????? ????????? ??? ????
???(?iK 0 ) . ? ????????? ?????? ?p =? 2idiv K1u =
= ? 2U ?u2 , ??? ???????? ?????? ? ?????? ??????????
Спектр одной граничной задачи для модели двухскоростной жидкости
?????????? ??????????, ?.?. Re al{?}= 0 . ???? ????? ???(?iK 0 ) , ??????? ????????? ???????????:
(1/? ) ? = ??p + 2i? divK1u ,
??????????? ????? ????? ??????????? ????????
???????????? ??????? ? ???????? ? ??????? ????????. ?????, ??? ??? ? ????????, ??? ? ?????????? ??????? ????????? ???????????? ??????? ??????????? ???????????????? ?????????????? ???????? ? ???? ????????? ? ??????? ????????.
?? ??????? 4 ???????????? ?????? ????????????? ????????????? ??????? ? ??????????? ??????
1
??? R = 5788,125 ( R? = 84554,40), f = 0,15 (a) ? R =
25000 ( R? = 33340,58), f = 0,1 (b) ??? S = 10-4. ?????,
??? ???????????? ??????? ????????? ?????????????? ???? ? ?????????? ????? ??????????? ???????????? ????, ? ???????? ??????? ????????? ????????? ?????? ?????????? ??? ? ????? ?????????? ??????? (?? ???? ?????? ??????????), ??? ? ? ????????
????? ?????? (??. ?????? 0 ?? ???. 4a). ??? y ?yc
???????? ????????? ???????? ??? ????????? ????????? ? ????.
1
Epert
Epert
1
1
3
0.5
3
0.5
0
0
0
0
2
2
?0.5
1
5
5
?0.5
4
4
?1
0
0.2
y
0.4
(a)
0.6
0.8
?1
1
0
0.2
0.4
y
0.6
0.8
1
(b)
???. 4. ????????????? ??????? ????????? ?? ??????? ?????? ??? f = 0,15 ? R = 5788,125 (a), f = 0,1 ? R = 25000 (b),
S = 10-4 ??? ??????? ????????. 0 ? ????????? ???????; 1 ? ?1(y); 2 ? F(y); 3 ? ?2(y); 4 ? DS(y); 5 ? DS(y) + ?2(y)
?????? 5 ???????? ?????? ?????? 3, 4 ? ?????????? ?????????????? ?????, ????????????? ??????
??????????? ?????, ? ?????? ???????. ?????????
?????? 0, 2, 5 ? ????????? (0, 0.7) ????????? ?? ???????? ??????????? ???????????? ? ??????????
????????????? ??????? ??? ??????????? ?????.
????????? ??????? ?2(y) ??????????????? ?????
???? ???????????????? ???????? ?1(y) ? ????????2
?????? ???????? SRU ? v1 y ( y ) . ?????? ??????2
??? ??????? ????? ????????? ???????? ??????
???????????? ???? ? ???????? ???? ?? ?????????
????????????? ???????. ????????? ?? ???????
?1(y) ?? ??? ?????????? (????????, ?????? ??? ?????? 1 ????????????? ?????? ??????????? ? ?????? 3
?? ??????? 4a. ?????? ??? ??????????? ???? ???
????? ??????????? ??????? |J|2(y) ?? ???????,
?.?. ??? ????? ????????? SR. ?????? ?????????,
????????? ????, ?????????? ????????? ?????????,
???????????? ???????? ?1(y), ? ????? ????????
2
SRU ?2 v1 y ( y ) ? ???????? ?2(y) ?????????? ?????
???????????? ? ??????????? ?????????? ?????????
??????? ?2(y).
??????????. ???????????? ???????? ???????????? ???????????? ??????????? ?????????, ?????????????? ?????????? ?????? ?????????? ???????
[5, 9]. ???????? ?????????????? ??????????, ??????? ? ???????????? ????????? ?????? ????????????, ??????????? ????? ?????????? ??????.
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