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Fnr welche elektromagnetischen Felder gilt die Newtonsche Abbildungsgleichung.

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I$'. Glaser u. E. Lammel. Neiutonsclie ribbildungsgleichuiig
367
Tur welche elektromagnetischen Belder
g i l t die Newt onsche Abbildungsgleichung?
Von W a l t e r G l a s e r und &rr&stL a m m e l
In der Elektronenoptik betrachtet man die optischen Eigenschafter
der EIektronenbahnen. Optische Rigenschaften sind dabei solche, die
nichb der Einzelbahn, sondern vielmehr Bahngesamtheiten zukomman,
Darin liegt der Unterschied zur Betrachtungsweise der Mechaiiik
welche sich auf den Verlauf und die Eigenschaften der Eirizelbahnen
erstreckt. Untersuchungen der Struktur von Elelitronenstrahlbideln
spielen fiir viele technische Anwendungen eine wichtige Rolle. Hal
doch die systematische Entwicklung der Elektronenoptik von einerr
technischen Problem, nimlich der Strahlkonzentrierung in Braun.
schen Rohren ihren Ausgang genommen. Nun aber hat sich weitei
gezeigt, daf3 mit Elektronenstrahlen auch optische Abbildungen erzielt
werden konnen. Der Hauptsatz der Elektronenoptik besagt, da8 in
einem beliebigen rotationssymmetrischen elektromagnetischen Feld die
flachen und achsennahen Elektronenbahnen, welche don den Punkten
einer achsensenkrechten Ebene ausgehen, durch die Feldwirkung
wieder so vereinigt werden, daf3 die Gesamtheit ihrer Vereinigungs.
punkte wieder eine achsensenkrechte Ebene bildet, die ein iihnlicheE
Abbild der Ausgangsebene darstdlt. Die Elektrdnenbahnen werden
im allgemeinen vollig krummlinig verlaufen, und zwischen Ding- und
Bildort wird eine komplizierte gegenseitige Beziehung bestehen. Schon
in diesem ellgemeinen Falle von Hauptpunkten und Brennweiten in
Analogie zur Lichtoptik sprechen zu wollen, ist unzulassig, da diese
GroSen noch gar nicht sinnvoll definiert werden konnen. Fur die
technischen Anwendungen der Abbildung ist dies natiirlich unwesent.
lich. Verlauft der ganze Strahlengang im Feldbqreich, z. B. ganz
innerhalb einer langen Magnetspule, so kann auch von brennpunkten
nicht gesprochen werden. Kommen jedoch die Strahlen aus einem
praktisch schon feldfreien Gebiet, so werden alle dort achsenparallel
einfallenden Elektronenbahnen die Achse in einem Punkte schneiden,
den wir als ,,Brennpunkt" bezeichnen k6nnen. Er stellt das Bild des
unendlichfernen Dingpunktes auf der Achse dar. Dieser Brennpunkt
kann nun entweder noch in den Feldbereich fallen oder bereits in
daa praktisch feldfreie Gebiet zu liegen komnien, 60 da8 die durch
368
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 40. 1942
ihn gehenden Strahlen geradlinig verlaufen. Gilt dies sowohl fui
links- als auch rechtseinfallende Parallelstrahlen, so wirkt das rotationssymmetriqche Feld auf die Elektronenbahnen ebenso wie eine Glaslinse von endlicher Dicke euf den Strahlengang des Lichtes. Alle hier
geltenden Bcgriffe .ubertragen sich daher auch auf die Elektronenoptik. So versteht man unter der bildseitigen Hauptehene eine achsensenkrechte Ebene durch den Schnittpunkt der Verlangerung des von
links einfallenden achsenparallelen Strahles mit seiner geradlinigen
Ruckverlangerung durch den Brennpunkt. Der Schnitt dieser Hauptebene mit der Achse heil3t bildveitiger Hauptpunkt und seine Entfernung vom bildseitigen Brennpunkt heil3t bild seitige Brennweite.
Entsprechend sind die dingseitigen Grol3en definiert. Das Bild kann
daher in bekannter Weise nach der Listingschen Bildkonstruktion
gefuriden werden. Der Zusammenhang zwischen Ding- und Bildort
wird durch die Newtonsche Abbildungsggleichunggegeben. Bedeuten
2 und 2, die Ding- und Bildabszisse in bezug auf die Brennpunkte
nnd sind f und f, vordere und hintere Brennweite, so lautet diese:
Bezieht man Ding- und Bildabszisse auf einen beliebigen Anfangspunkt
und werden diese mit z und z, bezeichnet, SO besteht zwischen ihnen
die projektive Beziehung
Z,=-'
(2)
az+ b
cz+ d
Der dingseit,ige Brennpunkt z, ergibt sich aus (2) durch Nullsetzen
des Nenners, da or dem unendlich fernen Bildpunkt entspricht, zu
d
+=-a;
andog erhalt man fur den bi1dsei;igen Brennpunkt
2sl
=-.ac
+
Setzt man x = 2 z, und z1= 2,s q, und geht damit in die Abbildungsgleichung (2), so erhiilt diese die Gestalt (1) mit
(4)
ad-bc
ff1=-.7.
Reicht die Feldwirkung nicht hin, um sowohl die von rechts als auch
Ton links einfallenden achsenparailelen Strahlen noch innerhalb eines
Bereiches, wo das Feld noch nicht merklich abgeklungen ist, mit der
W . Glaser u.E. Lammel. Newtonsche Abbildungsgleichung
369
Achse zum Schnitt zu bringen, so wollen wir das Feld ,,schwachLL
nennen. Nur in diesem Falle liegen die Brennpunkte im feldfreien
Bereich. Wir konnen daher bagen: Die Newt onsche Abbildungsgleichung (1) gilt fiir ,,schwache" Elektronenlinsen. Da fur eine
reelle Abbildung som-oh1 Gegenstand wie auch Bild stets auBerhalb
der zugehorigen Brennpunkte liegen mussen, sind somit schwache
Linsen auch dadurch gekennzeichnet,, daB fur sie sowohl Ding- wie
auch Bildraum feldfrei sind, die Elektronenbahnen also hier ebenso
wie die Lichtstrahlen in der gewohnlichen Optik geradlinig verlaufen.
Da aber bei der wichtigsten Anwendung der Elektronenoptik, der
Ubermikroskopie, der Gegenstand in Gebieten starker Feldstkke liegt,
erhebt sich die Frage, ob es auch ,,nichtschwache" Felder mit
Newt onscher Abbildungsgleichung gibt,. In. einer frulieren Arbeitl)
wurde gezeigt, daB das Magnetfeld H =
Ho
eine elektronenI+
(8
optische Abbildung mit der Abbildungsgleichung (1) der gewohnlichen
Optik erzeugt. In der vorliegenden Arbeit st'ellen wir uns die Aufgabe,
alle elektrischen und magnetkchen nichtschwachen Felder mit
Newt onscher Abbildungsgleichung (1) bzw. (2) zu bestimmen. Da
eine derartige projektive Abbildung durch drei Angaben, niimlich das
Produkt der beiden Brennweiten und die Lage der beiden Brennpunkte
bzw. durch die drei Verhaltnisse a/c, b/c und d/c nach 2 bestimmt ist,
hat die durch ein derartiges Feld bestimmte Abbildung die physikalische Eigenschaft, daB man die game Abbildung fur alle beliebigen
Punkte kennt, wenn man sie fur drei Punkte bestimmt hat.
Um dem Leser das Nachschlagen fruherqr Arbeiten zu ersparen
und um die Satze sugleich in der Allgemeinheit herzuleiten, vie sie
im folgenden gebraucht werden, wollen wir zunachgt die an sich
bekannten Abbildungsgesetze in einem uberlagerten rotationssymmetrischen elektrischen und magnetischen Feld in einer vereinfachten
Art herleiten.
5 1. Die dlgemeinen Abbildungsgesetze
in rotationasymmetrieohen elektromagnetiachen Feldern')
Die Rotationssymmetrie des elektrischen Feldes druckt sich in
Zylinderkoordinaten r, 2, y darin aus, daB das Potential (r,z) vom
Azimut p unabhangig ist, also allein eine Funktion von r und a darstellt. 1st keine Raumladung vorhanden, so mussen in ein bestimmtes
Volumen gleichviel elektrische Kraftlinien ein- wie austreten. 1st Ez
1) W. Glaser, Ztschr. f. Phys. 117. S. 285ff. 1941.
2) Vgl. hierzu auch H. Busch, Arch. f..Elektrotechn.18. S. 553. 1927.
Bnnalen der I’hysik. 5. Folye. Band 40. 1941
370
die axiale, E,. die radiale Komponente des elektrischen Feldes (die
zirkulare E,,, verschwindet nach Voraussetzung), so folgt fur einen
unendlich kleinen Hohlzylinder der Hohe d x und der Dicke dr
(E 2 r a z ) + - ( E , 2 n r a:)
(E, 2 n a r), + d z
(5)
+
{
- ( E Z 2 n r d r ) ,= 0
oder
(6)
a
(rEJ
+ a (YE,)
=0.
Mit
gilt also
(7)
Setzt man
+
+
+ --
9 (r, x ) = 0 (3) r 2 Q2 (2) r 4 Q., (z) * ,
wobei demnach 0 (2) = v (0,z) das Feld Iiings der Achse bedeutet,
so ergeben sich durch Einsetzen von (8) in (7) unmittelbar durch
Koeffizient.envergleich die Funktionen Qz, O4. . ., so daI3 also 9 (r,x)
lautet:
p ( r , x ) =0((~)-~0”(~)+--63(4)(~)-...
rz
r4
(8)
9)
64
Das Magnetfeld kann auf folgende Weise in Reihenform bestimmt
werden. Es sei H , (r,z) die axiale Feldkomponente. Der magnetische
Flu13 Y (r,z) durch eine achsensenkrechte Kreisfliiche vom Radius T
an der Stelle z ist dann durch
gegeben. Der KraftfluB P
! (r,z) kann durch Messungen mittels Induktionsspule und ballistischem Galvanometer unmittelbar bestimmt
werden. Wir wollen daher im folgenden Y (T,z) als gegeben betrachteri.
Nach G1. (10) ergibt sich aus Y (r,z) die axia.le Feldstlirke H,(r,z)
durch Differentiation in der’ Gestalt
Da auch fur das Magnetfeld die Zahl der in ein Volumen eintretenden
Kraftlinien gleich sein mu13 der Zahl der austretenden, gilt auch fiir H ,
und Hr die m (5) und (6) entsprechende Gleichung
a(2nr~1.1
(12)
ar
+
a(2nrH.)
az
=o.
W.Glaser u.E. Lammel. Mewtonsche Abbildungsgleichung 371
Wenn man hierin fur H, nach (11) einsetzt, ergibt sich durch Vertauschung der Differentiationsfolge
Hieraus folgt, daB der Klammerausdruck eine Funktion x (z) bloB
von z sein kann. Fur die radiade Komponente H, erhalt man so
Da nun aber H, als Funktion von T und z fur
muS, so ist x = O und H , wird endgultig
= O endlioh bleiben
T
Bei Abwesenheit von Stromen ist das Magnetfeld wirbelfrei und
daher ist
Diese Gleichung kann uns dazu dienen, den magnetischen KraftfluB
Y (r,z) durch die axiale Feldstarke H fz) =HE (0,z) liings der Achse
auszudrucken. Setzt man namlich
Y =r2Y2+r4Y4+-..
(15)
[Yo
= 0, weil nach (19) H , fiir
naoh (11) und (13)
H, =
;
(16)
1
(Y,
= 0 endlich bleiben muB], so folgt
T
+ 2r2 Y4+ -..)
und
H,=-
(17)
Also ist
(1 8)
Aus (14) folgt
-5(Y,t
2n
+
7.2
Y,‘
+
Y2(2) = z H , ( 0 , ~ =
) zH
?P4(z) =-
1
(z)
-jj-
* *
*)
(2)
.
.
.
Also besteht nach (18)und (16) fur Y (r,z)und H,(r,z) die Entwicklung
(19)
und
(20)
r2
[
Y (r,z) = r a n H ( z ) - s H ” ( z )
H,(r,z) = H
(2)
-
f-2
H” (z)
+--.
1
+--
372
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 40.. 1941
Sind eF und e , Einheitsvektoren in radialer und zirkularer Richtung, so ist der Radiusvektor r von der Achse senkrecht zum Elektron
gegeben durch
r
=err
und die Beschleunigung ist in bekannter Weise gegeben durch
+
+
i: = e, (i' - r $?)
ev (r y 21; $J) ,
(21)
wobei r G2die sogenannte Zentrifugal- und 2 I' $ die Coriolisbeschleunigung bedeuten.
Da die Kraft auf ein Elektron der Geschwindigkeit b in einem
Magnetfeld Q auf der Ebene durch @ urid 9 im Sinne eines Rechtssystems senkrecht steht und durch eH,v gegeben ist, wobei H,,die
zu b senkrechte Feldkomponente bedeutet und ferner die Geschwindigkeitskcmponenten in radialer, asialer und zirkularer Richtung P , i
und r $ sind, folgen fiir die Kraftkomponenten in den gleichen Richtungen die Ausdriicke
wobei wir zugleich die elektrischen Anteile hinzugefugt haben. Die
entsprechenden Beschleunigungen lauten nach (21)
b , = i: - r +z,
b, = Z ,
b,Y = r y
+ 2 + $ =-.rI
d
-( r 2 + ) ,
dt
so daB die Bewegungsgleichungen mit q =
(23 a)
r(g-4
i'-+=
z =q
(23 b)
d
-
(23c)
at
(T24)
gegeben sind:
H*),
(g+ r + H , ) ,
=qr
(?If2- i H , ) .
Wenn man fur H , und H , aus (11) und (18) einsetzt, erhalt dio letzte
Gleichung die Gestalt
a
d t (r
oder integriert
(24)
2
'
q)=,",
-
(ad;.
a2
'!P
r2qi =-T Y + C ,
2n
) ='IE
2n
dt
W . Glaser u. E. Lammel. Newtonsche Abbildungsgleichung 373
wobei C eine Integrationskonstante bedeutet. Durch Einsetzen von
(24) in (23) kann man diese auf die Form bringen:
Die meridionale Bewegung r = r (t) und z
eine Bewegung im Potentialfeld .
Q (r,z)
=q
=x
1
y - __
'
1y/
2rz ( 2 n
It) kann demnach als
+c ) ~
angesehen werden, wobei 9 das skalare Potential und Y den Kraftflu13l) bedeuten, wie wohl bekannt ist.
Wir wollen uns hier insbesondere mit den flachen und achsennahen Strahlen befassen. ,,Achsennah" heifit ein Strahl dann, wenn
wir in den Differentialgleichungen die zweiten und hoheren Potenzen
von r/L gegenuber der ersten vernachliissigen konnen. L sol1 dabei
die gesamte Strahllange bedeuten. Wir brauchen daher in G1. (9)
nur die beiden ersten, in G1. (20) nur das erste Glied beizubehalten.
Die G1. (23a) und (24) erhalten dann die Gestalt
(2W
i: - r
q2=- T2 @ " r - q + r H
(z).
r 2 $ = = 2r T 2 H + C .
Durch die Gfco13e C wird der Anfangsdrehimpuls yo2 $, festgelegt.
Wurde man C = 0 setzen und kame der Strahl aus einem feldfreien
Gebiet, so wurde dies ro2qO=O bedeuten. Es miiBte also eiitweder
der Strahl von einem Achsenpunkt ausgehen (ro=O) oder es muBte
i0=
0 sein, d. h. es handelt sich in beiden Fallen um einen Meridionalstrahl. Fur einen zur dchse windschief ausgehenden Strahl ist also
C 0. Wurde man von vornherein, wie das vielfach geschieht, C = 0
setzen, so konnte man die Abbildungseigenschaften zwar in einfacherer
Weise, aber nur fur Meridianstrahlen beweisen, wiihrend jedoch die
Tatsache, dal3 sie auch fur windschiefe Strahlen bestehen, fiir die
Elektronenoptik wesentlich ist.
*
1) P steht mit der zirkulgren Komponente des Vektorpotentiales A , = A
(die andern verschwinden) in folgendkr Beziehung: ZY = 2 n r A , wie sich auf
Grund von
Y=$pdf=$rotcUdf
= J%dd$=2nrA
ergibt.
374
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 40. 1941
Die GI. (26b) schreiben wjr in der Gestalt
(27)
r2(2jl-+~
x durch
x =y - 2 S H
Fuhrt man also ein neues Azimut
(28)
3
2
-4 H oder
=y
1=c.
2
dt
2
20
ein, so-erhdt (26a) die Gestalt
i;
d
-ri2=-
3
(29)
und (26b) bzw. (27)
(30)
@"+
r 2 i = C oder differenziert
+HZ)T
r
X + 2 i r =0 .
Die G1. (30) besagt, da13 im System, welches rnit der Winkelgeschwin
digkeit ti =?
H ( 2 ) rotiert und in welchem das Azimut x= y - 1
2
lautet, die zirkulare Beschleunikmg 6, = r X 2 1' 2 verschwindet
Bezeichnet man daher den Einheitsvektor in radialer Richtung rnit .e,
den in zirkularer Richtung rnit e x , multipliziert (29) rnit e,, (30) rnit e
und addiert, so erhiilt man.
+
(31)
+ e,
e, (i - P j 2 )
(r jj
+ 2i. 2) =- 32 (a''-+ 2 H 2) e, r .
Schreibt man fiir den achsensenkrechten Radius zum Elektron
z = e,r
also f = e, ( i ' - r i 2 )
+ e,
(rj+ 2ri),
so erhalt (31) die Gestalt
jr.
(
[email protected] +TH2
(32)
2
"
2
Zur Elimination der Zeit benutzen wir den Energiesatz
+ +
m
- (22
~2
r2 y a ) = e p .
(33)
2
Fiir ,,flache" und ,,achsennahe" Elektronenbahnen bnn dieser wegei
+ < i 2 , d. h. ($)"<1
und r y 2 < P , d. h. T ~ ( % ) ~ < :
in der Form
(34)
dz
dt =
im
oder
d
d
dl = 1 2 0~(z)dz
geschrieben werden. Damit erhalt (32) die Gestalt
W . Glaser
u. E.
Lammel. A-eultonsche Abbildungsgleicllung 375
Der Radiusvektor t (im rotierenden System) geniigt also einer linearen
homogenen Differentialgleichung 2. Ordnung.
Es seien t lz) und s (z) zwei unabhhgige Losungen der Differentialgleichung
y3; (15%)+-;
(36)
p+ 5 HZ)
u =0 .
Mit zwei konstanten Vektoren a und b als Integrationskonstanten
lautet dann die allgemeine Losung von (35) :
bs(z).
1st r, der Radiusvektor zum Punkt Po (Dingpunkt), t, der Radiusvektor zum Punkt P I , so muB also
t =ai(z)+
To = a t (z,)
+5s
+
(zo)
rl = a t (2,) b s (zl)
gelten. Wenn man den Wert fur b aus der ersten Gleichung in dio
xweite einsetzt, erhalt man
(37)
Damit alle den verschiedenen a-Werten entsprechenden und durch r,
gehenden Elektronenbahnen auch durch rl gehen, muB zl aus zo SO
bestimmt werden, daB die eokige Klammer in (37) verschwindet, also
(38)
t (21) s (20) - t (zo) s (21) = 0
ist. Nach (37) ist dann rl proportional r,:
:39)
30
I1 =
daB
s (zo)
8
(a
7
die ,,VergroBerung Y" darktellt. GI. (38), welche uns
den Zusammenhan6 zwischen Dingpunkt z, und Bildpunkt z1 darstellt,
sol1 ,,Abbildungsgleichung" heiBen. Die Differentialgleichung (35)
bzw. (36) erhalt eine etwas einfachere Gestalt, wenn wir
:w
!
I
?
[email protected]'I*
r bzw. v [email protected]'iau
setzen. Fur R und v ergeben sich dann
Efind
e
und
(I
zwei partikulere Losungen yon (41), so gilt also
t (z) = @ -
l/a
Q
(z)
,
s
(2)
[email protected] -
(I (2)
,
37 6
Annalen der
Physik. 5. Folge. Band 40. 1941
und die Abbildungsgleichung (38) lautet in den beiden beliebigen
Losungen e und p von (41)
e (21) 0 (20)
(42)
- e (40 (4 = 0 ’
wahrend die VergroBerung durch
(43)
gegeben ist. Die Abbildungsgleichung (42) wollen wir im folgenden
in-der Gestalt
(44)
verwenden.
6 2. Bestimmung aller elektromagnetischen Felder
mit N e w t onscher Abbildungsgleichung
Die Differeritialgleichung der achsennahen Elektronenbahnen hat
nach (41) die allgemejne Gestalt
(45)
R”
=-
Sind Q und o zwei unabhangige Losungen von (45), so gilt fiir den
Zusammenhang zwischen Bildort z, und Dingort z die Gleichung
Sol1 also der Bildort z1 durch eine projektive Transformation (2) mit
dem Dingort z zusammenhiingen, so folgt demnach fur den Quotienten
(47)
zweier partikularer Integrale nach (46) die Funktionalgleichung
az+ b
f (cz+d)=f (4 *
Unsere Aufgabe ist es, aus der Bedingung (48) die allgemeine Gestalt
der Funktion F (2) in (45) zu bestimmen. Um die Bedeutung der
Bedingung (48) zu erkennen, unterwerfen wir sowoh1 z als auch z,
der folgenden Transformation :
(49)
wobei die GroBen A und B die Abszissen der beiden Fixpunkte von (2)
sind, also die beiden Wurzeln der Gleichung
a z f b
(50) z =-e z + d oder c z2
+ ( d - a) x - b = c (z --A)
(z --B)
=O
W.Glaser u. E . Lammel. Newtonschs Abbildungsgleichung 377
darstellen. Sie sind demnach durch die Konstanten a, b, c und d auf
folgende Weise gegeben :
(51)
A=
a-d+
V ( U - ~ +) ~4 b c , B =
2c
+
~ - d - - ~ y ( ~ - d ) ~
4bc
2c
Wir setzen im folgenden zur Abkiirzung
-A =(a-d)2+4bc.
(52)
In den neuen Koordinaten El und
Z nimmt die allgemeine yrojektiva
Transformation (2) die .einfache Form
(53)
E,=kZ
an, wobei die Gr6Be k durch
(54)
gegeben ist. Fiirf
von (49) nach 2
(2)
erhiilt man beim Obergang zu z durch Auflosung
Wegen (53) muB also die Funktion g (2) der Funktionalgleichung
g (k 3 = g (I)
(56)
genugen. Schreibt man
g (2) = g (e’n
Z)
= h (In 2) ,
so besagt (56) fiir h (In?)
(57)
h (Ink E) = h (In a+ Ink) = h (ln 3) ,
d. h. also, daB h (w) eine periodische Funktion ihres Argumentes mit
der Periode In k sein muB. Indem wir dies weiterhin von der Funktion
h (w)vorausseteen, wollen wir nun nachsehen, welche Folgerungen
sioh daraus fiir f(z) ergeben. Es ist
(58)
9 (3=
f ( G ) =f
(
also mit
(59)
Annalen der Phgsik. 6. Folge. 40.
InZ=w
26
A n m h der Physik. 5. Folge. Band 40, 1941
878
Fur
ut
erhiilt man nach (59) und (49)
2-A
w =Inf=ln-. 2 - B
(61)
Der Quotient (47) der beiden partikqlaren Integrale ist daher durch
gegeben. Wir wiasen also : Wem der Quotient zweier unabhangiger
llpezieller Elektronenbshnen die Gestalt (62) hat, wobei h(w) eine
beliebige periodieche Funktion ihres Argumentes mit der Periode In k
ist, so besteht zwischen Ding- und BiIdort der Zusammenhang (2).
Urn nun alle elektromagnetischen Felder zu bestimmen, welohe eine
derartige Abbildung rwlisieren, mussen wir uns aus f (2) die Funktion F (2) in der Differentialgleichung (46) der achsennahen Elektronenbahnen bestimmen. Aus e”= -F e und a‘‘ = - F u ergibt sioh
e’
@3)
(I
- e u‘ = C (konstant) .
LEierin darf man C = 1 set,zen, da jede L8sung mit einem konstant,en
Faktor multipliziert werden kann. Dividiert man durch a*, so erh&lt man
(64)
also wegen (47)
(65)
0”
fur F =- folgt nun aus (65)
Fuhrt man hierin fiir f die h k t i o n
f (2) = h [ln (z --A) - In (z - B)]
(67)
ein, 80 ergibt die Ausreehnung
1
1
A-B
f’= (x-x)
h’ = ( Z - A ) (Z - B )
h’ 9
W.Glaser u. E . Lammel. Newtonsche Abbildunpgleichung 379
Durch Einsetzen von (68), (69) und (70) in (66) ergibt sich nach entsprechender Reduktion
1st in der Differentialgleichung (45) die Funktion F (2) durch (71)
gegeben, so lauten nach (65) und (68) die beiden Losungen e und o
(72)
~ = l / ( z - A ) ( . z - . B ) - ,1
= ~ ( z - A ) ( z - B ) - -h- ,
Yi2
VP
diese beiden Gleichungen vereinfachen sich, wenn man
(73)
1
=q
also l ~ ' = q - ~
yh''
z -A
set&. Da k eine beliebige periodische Funktion von In z--B
mit
der Periode In k ist, stellt nunmehr q eine beliebige ganz- oder wegen
des Exponenten 2 in (75)halbperiodische Funktion des gleichen Argumentes mit der Helbperiode In k dar.
(74)
Mit (75) erhiilt (71) die Gestalt
(75)
und die Losungen (72) werden
Von den beiden Fixpunkten A und B gehen wir nun wieder zu den
Konstanten a, b, c, d zuriiok. Aus physikalkhen Griinden ist klar,
daB die beiden Fixpunkte stets imaginiir sein miissen. Denn die
Abbildung wird ja durch mei aufeinanderfolgende Achsenschnittpunkte der Elelitronenbahnen vermittelt und dabei kann nattirlicb
kein reeller Punkt in bioh selbst abgebildet werden. Die GroSe
A =- [(u - d)B+ 4 b c] in (51) und (54) ist daher stets pobitiv, so
daE 0 reell id. Fiir k kann man daher naoh (54) wepn 1 k 1 = 1
(77)
(c = e - a * a
also I n k = - - t i a
setzen, wobei a nach (54) durch
26 *
Annalen der Physik. 5. Folga. B d 4.1941
380
bestimmt ist. a w/3 &her groher als Null and k l e i w als n umaw
Z -A
gesetzt zoerhn. Fiir In z--B erhlilt man nach (51)
wobei
(80)
t
durch
1
cot 5 = __
)/2( 2 c z - a + 4
gegeben ist. Die Funktion q (- 2 i C) mit der .Periode - 2 i a muB
naturlich reel1 sein. Wir wollen Bie daher mit p (t) bezeichnen.
(81)
4 ( - 2 2 i ) =p(t).
Es ist also p (5) eine beliebige ganz- oder halbperiodische Funktion
mit der Halbperiode a, wobei 5 durch (80) und a ditrch (78) gegeben
ist. Wegen
1
q" (- 2 i 5) I
4 P" to
erhdt man daher endgultig fur F, wenn man noch fiir A und B aus (50)
und (51) einsetzt:
vobei p die Eigenschaft hat:
P ( 5 f 4 =Ij,P(O.
p ist nach Voraussetzung eine gane- oder halbperiodische Funktion
yon [ rnit der Halbperiode m. Es ist daher
eine pcriodische Funktion mit der Periode a, also
+
J (t a) = J
(84)
Gibt man sich J (5) vor, so ist
(t)-
+
p" J (5) p = 0
eine Hill sche Differentialgleichung und deren periodische und halbperiodische. Losungen p r[) sind Hillsche Funktionenl). Das Ergebnis
konnen wir daher folgendermaBen zuwmmenfassen :
(85)
1) M. Y . 0. Strutt, Lamtjsche, Matbieusche und verwandte Funktionen in
Physik und Technik. Berlin 1932. S. 22ff.
W . Glaser u. E. Lammel. Newtonsclie Abbildungsgleichung
'381
Zwischen Ding- und Bildort z bzw. z, besteht dann u n d nw
eine Abbildungsgleichung vom T y p u s der gewohnlichen Optik
&nv
az+ b
cz+ d
z1 = - bzw. Z 2, =ffi
,
wenn das elektromagnetische Feld langs der Achse die allgevteine Gestalt hut:
i o Argumentes
n
w o k 2 ([) eine periodische ~ u n ~ ~ des
mit der Periode
a = arc cot
a+d
y - [ ( a - + 4 b c]
d)2
ist. Die zugehorigen Elektronenbahnen sind dann durch.
0
=vcz2
+ (d - a )
z
-bp([),
e =vcz2
+ (d - a ) z - b p ( t ) J - dzPI
gegeben, wobei p (5) die halb- oder ganzperiodischen Lasungen cEer H i l l schen Differentialgleichung
+
p"
J ( 0 p =o
mit der Halbperiode (Periode) M darstellelen.
Statt der Koiistanten a, b, c und d in, GI. f2) wollen wir nun
.die ublichen optischen Konstanten, namlich Brennpunktsabszissen z,
und zfl nach (3a) und (3b) und die beiden Brennweiten f, fi nach (4)
einfuhren. Fiir d ergibt sich
d. h.
A =-
c2[(zfi
- Zf)2
I -I
I *
m >
Zf.
Fiir F erhiilt man
+4 . m >0 ,
zf
382
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 40. 1941
Fiir die Elektronenbahnen ergibt sich
(89)
0
= 1122 - (Zfi
+ +
Zf) 2
Zf, 2s
-f f l p
(0
f
Legt man den Koordinatenursprung in die Mi+te zmischon die
beiden Brennpunkte, so ist
2fi =- Zf
(90)
Mit der Abkurzung
-
9
2
-ff, - 2;l = 1
(91)
erhalt F die Gest,alt
mit,
(93)
z = E cot
C
und
zfl= 1 cot cc
und die Elektronenbahn wird
(94)
wobei p
(7
= T/xz
+ l2 p (0,
(C) eine halbperiodische (periodische) Funktipn
%
mit der Halb-
ist.
periode (Periode) cc =arc cot
Setst man fiir p (5) die einfachste periodische Funktion, nhmlicb
(95)
0 0 wird
(96)
p
(0= sin -1f
F
(2)
5,
x 2 12
+
= ____
(9 l 2 ) 2 *
Da die Halbperiode von (95)
(97)
ist, gilt
(98)
Betrechtet man 'das Feld als rein magnetisches, so ist bekanntlich
f =-fi, und nach (91) und (98) erhiilt map
(99)
Damit haben sicb all0 Formeln fur die optischen Konstanten des
in der oben zitierten Arbeit behandelten Feldes (96) ergeben, das also
aus der Klasse der FeIder mit New tonscher AbbildungsgIeichung das
einfachste ist.
W . Glaser u. E. Lammel. Newtonsche Abbildungsgleichung 383
8 3. Feldverlauf und KennsahlgrSBm von Xagnetfeldern
mit Newtonecher Abbildungagleichung
I m folgenden wollen wir die Elektronenbahnen in rein magnetisohen Feldern betrachten, deren Differentialgleichung lautet
y“+
(100)
Setzen wir
80
e
Ha ( Z ) T
8m U
=0
.
kann man sie in der Gestalt schreiben:
T” (E)
(102)
Setzt man
+ ka H’
x=cot[
(103)
so geht (102) uber in
(z)T (z)= 0 .
und
T=-,
P (C)
sin 5
Aus dem Fruheren ergibt sich, daB
H 2 (cot C)
____
sin4 5
eine periodische Funktion von 5 mit der Periode a< n sein muB. Da
diese Funktion die Periode n hat, mu8 also
aein, wobei n eine von Eins verschiedene natiirliche Zahl ist.
Eine notwendige Bedingung dafur, daB das betrachtete Magnetfeld eine Abbildung vom Typus (1) oder (2) vermittelt, ist sonach, daB
eine Periode u = f hat ( d e r konstant ist).
Damit dies auch hinreicht, muB die Differentialgleichung (104)
(106)
p”
+ (1 + ka Q 0)p = 0 , Q (l+ f)=Q (0
halbperiodische Losungen mit der Halbperiode n/n haben.
Da nach dem Floquetschen Theoreml) die Losungen von (106)
die allgemeine Form
p = eirE u (0
1) G . Floquet, Ann. &,ole norm. 12.
S.47ff. 1883.
384
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 40. 1941
( +7
haben, wobei u 5
= u (0ist, so ist also p ([) dann eine halbperiodische Funktion mit der Halbperiode n/n,wenn y =m n ist, mit
Da der ,,charakteristische" Exponent y bei gem = & 1, f2 , .
gebenem Q (0 eine Funktion ,LL (lc2) sein wird, mussen also jene Parameterwerte kk gewahlt werden, fur welche ,u (kk) = m n. Fur jedes
Magnetfeld, das der Bedingung (105) genugt, gibt es also eine Folge
von Kennzahlen ki =-e H,Z 12 , fur welche die Elektronenbahnen eine
8mW
Newtonsche Abbildung ergeben.
..
Zusammenfaseun g
Es wird untersucht, auf welche elektronenoptische Abbildungen
sich die aus der gewohnlichen Optik bekannten Begriffe der Rrennweiten, der Kaupt- und Brennpunkte ubertragen lassen, indem alle
,,nichtschwachen" elektromagnetischen Felder mit Newt on scher
Abbildungsgleichung bestimmt werden.
Prag , Institut fur theoretische Physik der Deutschen KarlsUniversitiit und Technischen Hoohschule.
(Eingegangen 21. Juli 1941)
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