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Fresnelsche Beugungserscheinungen; Interferenzen hoher Ordnungszahl.

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177
Xresmetsche Beugungserscheinungen;
Interferernxem hoher OrdnungsxahZ
Vom W4lheZm MiiIZer
(Gekurzte Frankfurter Dissertation)
(Mit 10 Figuren)
1. Einleitung
Ausgehend von der Absicht, durch die Ausmtssung von
Beugungsbildern an zylindrischen Drahten ein optisches Verfahren zur Dickenbestirnmung derselben auszubilden, wurden
die F r e s n e l schen Beugungserscheinungen an dunnen Drahten
einer naheren Untersuchung unterzogen. I n derselben Absicht
hat J. R u n g e (1) durch Verwendung Frau nh o fe rs c h e r Beugungserscheinungen ein Mikrometer konstruiert, das nach Angabe der Verfasserin fur Drahtdurchmesser von 10-80 p
brauchbare Werte liefert.
Bei der Verfolgung des genannten Zieles zeigten sich jedocli
bei dunnen Drahten Erscheinungen, die in der Literatur (2) bisher
nur andeutungsweise behandelt sind und deshalb eine genauere
experimentelle Untersuchung der Beugungserscheinungen an
dunnen Drahten rechtfrrtigen. Besonderer Wert wurde auf
einwandfreie photographische Bilder der Beugungserscheinungen und auf ihre Auswertung mit einem Registrierphotometer gelegt. Die experimentellen Ergebnisse wurden sodann
mit theoretischen Unterauchungen von F r e s n el und von
W. v. I g n a t o w s k y verglichen.
2. Versuchsanordnung
Die Versuchsanordnung fiir Fresnelsche Beugung ist an
und fur sich sehr einfach. Ein nidglichst feiner Spalt, der rnit
monochromatischem Licht beleuchtet wird, client als Lichtquelle.
Davor befindet sich in endlicher Entfernung der beugende
Gegenstand, dessen Schatten in einem endlichen Abstand auf
Annalen der Physik. 5 . Folge. 11
12
178
It'. Miiller
einern Schirm aufgefangen werclen kann. Lichtstarktlr beobachtet man in Durclisicht gegen eine Mattscheihe, noch besser
mit einer scharfen Lupe, in deren Objektebene die Streifen
gesehen werden. So sind leicht etwa funf Streifen auf jeder
Seite zu erhalten. Will man aber veiter liomnien, so sind alle
Teile der Spparatur aufs auI3erste zu verfeinern. Es gelang his
zu 100 Streifen zu zahlen.
Die endgultige T'ersuchsanordnung zeigt Fig. 1. Hg ist eine
Uviolglasquecksilberlampe (Schott & Gen., Jena), die durch die
Lime L auf den Vorspalt S (Spektroskopspalt) eines lichtstarken
Die Apparatur
Fig. 1
Spekt,rographen nacli Z e n n e c k (3) abgebildet wurde. Von dem
Hg-fipektrnni wurde eine beliebige Linie (meist die griine) auf
den Prazisionsspalt B (Beugungsspalt) geworfen. I m hbst8anda
von ihni befand sich auf einer langen optischen Bank verschiebbar der Draht D ;in Y,ebenfalls verschiebbar, im dbstancl b
von D der Schirm bzw. die Lupe oder die photographische
Plat t e.
Die Einstellung - es kommt auf grol3tmogliche Parallelitat
von Spalt B und Draht ll an - geschieht bei geoffnet,em Spalt..
Der Draht, ist in einem Rahmen eingespannt, in dem er leicht
in der zur opt'ischen Bank senkrechten Ebene justiert werden
kann. J e besser die Parallelit'at ist, desto mehr Streifen erscheinen uncl desto scbarfer werden sie. Macht man nun den
Fresnelsche Beu~ungserschei~rau~rigen
179
Spalt sehr fein, so nirrimt die hnzahl der wahrnehmbaren
Streifen imrner rnelir zu, dieselben werden jedoch uni so lichtschwacher.
Ursprunglich wurden die Streifen mit, dem Kathetometer
ausgemessen. Bei groBeren Abstanden - Lichtweg (a b) bis
8,5 m - wird die Erscheinung so lichtschwach, daI3 man zur
photographischen Aufnahme schreiten muB. I n diesem Fall
wurde bei P die Kassette mit einer fur Grun hochempfindlichen
Platt,e angebracht. Durch lange Balge war die Platte gegen
diffuses Heitenlicht geschut'zt. Die Belichtungszeiten lagen meist
zwischen ll2-3 Std., doch kamen auch Belichtungen bis zu
12 Std. vor.
Eine weitere Schwierigkeit bringen die starken Intensitatsunterschiede, die oft weit uber den geradlinigen Teil der Schwarzungslrurve der photographischen Platte hinausgehen, zum Beispiel der Unterschied zwischen den inneren und auaeren Streifen
bei der Beugung am Draht. Weiche Entwicklung ist in diesern
Fall vorteilhaft. Mit dem Komparat>orsind zwar hartere Platten
leichter auszumessen, fur die Photometrie dagegen mussen sie
recht zart entwickelt sein.
+
3. Die photometrische Auswertung
Bei genauerer Betrachtung der zunachst vorliegenden Aufnahmen zeigte es sich, daB die Interferenzen bald enger und
scharf, bald weiter und verwaschen waren, und daB dazwischen
Kebenmaxima in regelmafiiger Folge schwebungsartig auftraten.
Urn diese Erscheinung genauer zu verfolgen, muBte der Weg
der direkten Betrachtung der Beugungsbilder verlassen werden,
da er ja nur die Extremmerte bringt. An seine Stelle trat einma1 die moglichste Vervollkommnung der photographischen
hufnahmen selbst, sodann aber ihre photometrische huswer tung .l)
Bei der Beugung a n einer Halbebene (Fig. 2 und Fig. Sa)
zeigt die Photometerkurve normalen, ungestorten Verlauf. Die
winzigen Schwankungen sind Kornzacken, die durch die einzelnen Bromsilberkorner der Emulsion der Aufnahmeplatte her1 ) Die Photometrierung wurde im Sommer 1927 im Physikalischen
Staatsinstitut der Universitlt Hamburg vorgenommen. Hrn. Prof. P. I?.
K o c h sowie seinem Assistenten Hm. Dr. K u h l m a n n sei auch a n dieser
Stelle aufrichtig gedankt.
12 *
180
W . Miiller
vorgerufen sind. Das gleiche gilt von den Beugungsst'reifen an
Schneide und Rucken eines Rasiermessers. Hierbei findet sich
die von A r k a d i e w ( 4 )
gefundene UnabhBngigkeit der Beugungsfigur
von dem Krumrnungsradius der brugmden
Kante best,%t'igt..
Bei Aufnahmen an
Zylindern oder schmalen
Bandern erhalt man jedoch unter bestimmt'en
GroBenverhBltnissen
Interferenzsysterrie bzw.
Photometerkurven, die
einen Schwebungscliarakter
aufweisen (vgl.
Halbebene
Fig. 3 und 4 bzw. Fig. 8 c
(Registrierphotometerkurve)
und d), das heifit ihre
Fig. 2
Deut'lichkeit wechselt periodisch.
Verringert man
bei sonst gleichbleibenden h b standsverhaltni ssen den Durchmesser des Draht'es,
so ruekt die St,elle
der ersten Yerwaschung (erstes
Schwebungsminimum der Phot'ometerkurve) weiter
nach auBen (vgl.
Fig. 5 und Pig. tle).
Silberband 0,5 x 0,03 mm (a= 75 cm, b = 75 cm) Bei sehr dunnen
Fig. 3
Drahten hat dies
zur Folge, daB
man die Schwebungen praktisch uberhaupt nicht, mehr beobachten kann, da sie bei zu hohen Ordnungszahlen der Int,er-
Fresnelsche Beugungserscheinungen
181
ferenzen liegen; zum Beispiel fallt die erste Verwaschung fur
l o p DrBhte etwa auf den 30. bis 40. Streifen (Fig. 6 und Fig. 8f).
Geht man andererseits au dickeren Drahten als 0,2 mm
Durchmesser uber, so ruckt die Stelle der ersten Verwaschung
Stahldraht (a = 9 cm, b
=
84 cm)
Fig. 4
Silberband 0,138 x 0,0028 mm (a = 7 5 cm, b = 7 5 cm)
Fig. 5
weiter nach innen, dabei nimmt aber auch gleichzeitig der Einflu8 der Storung ab, so daD die Kurven niehr den Charakter
des Interferenzsystems bei der Halbebene zeigen, auf das sich
die Storung nur noch durch kleinere Zacken uberlagert. Be-
182
TI'. nliiller
sonders zu beacht,en ist das Auftreten mehrerer kleiner Maxima
und Minima auf dem steilen Intensitatsabfall zwischen dem
geometrischen
Schatten ixnd dem
ersten auBeren
Streifen (vgl. Fig. 7
und Fig. 8b). h u s
dern syinrnetrischen
Auftreten
dieser Zacken 1aBt
sich feststellen, daB
es sich hierbei n i c k
uni die bei der
Halbebene erwahnten
Kornzctelien
liandelt.
Die
gleiche
Platindraht 10 p
SchwelmngsFig. (j
erscheinung wie an
metallischen Drahten (Sg, Cu, Fe, Pt usw.) von kreisforriiigeni Quersclinitt und
an den metallisclien Silluerbandchen, deren Dicke nur den 20. bis
Kupferdraht 1 mm (a = 15 mm) b = 7 4 5 mm)
Fig. 7
50. Teil ihrer Breite betrug, zeigen die Aufnahmen a m dielektrischen Zylinder (Piceinfaden) und am dielektrischen Band
(schwarzer Papierstreifen). Auch bei Benutzung verschiedener
Wellenlangen bleiht der Charakter der Schwebung erhalten.
d
b
C
d
e
f
a = Halbebene
b = Kupferdraht 1,0 mm
c = Silberband 0,5 mm
Eisendraht 0,25 mm
Silberband 0,135 mm
f = Platindraht 0,Ol mm
d
e
=
=
Fig. 8
Ferner wurden einige orientierende Versuche mit polarisiertem Licht gemacht. Dabei wurde festgestellt, daB die Storung bei
parallel zum Draht polarisiertem Licht enger liegt im Vergleich
zu der Aufnahme mit senkrecht zum Draht polarisiertem Licht.
W . Muller
184
4. Theoretische Erklirung der Ergebnisse
Die beste, streng genommen allerdings nur qualitative
Ubersicht uber die F r e s n elschen Beugungserscheinungen ergibt
eine Diskussion an Hand der Cornuschen Spirale (z. B. D r u d e ,
Optik 3. Aufl. Leipzig 1912, S. 181ff.). Die Fresnelschen Integrale sind fur jeden bestimmten Wert des Parameters 21 als
rechtwinklige Koordinaten eines Punktes E aufgetragen. Bei
kontinuierlicher Anderung des v beschreibt dann E eine Doppelsyirale (vgl. Fig. 9), die sich in unendlich vielen, iinmer enger
werdenden Windungen urn die Punkte F ( f 4, +&) und
F' (- 4,-*) herumschlangelt.
Fur den schmalen Schirm wird die Intensitat proportional
J = c2 + s 2 ,
mo
c
=fees
7c
V2dV
+
2
und
abi
- const.
ist, also proportional dem Quddrat der Strecke F' E', welehe man
(lurch geonietrische Addition der Strecken F' E, und E, F
= El&' erhalt. Dabei ist wieder a der Abstand voni Spalt bis
zum Draht, b der hbstand vom Draht bis zum Schirm, d der
Drahtdurchmesser und I. die Wellenlange des benutzten Lichtes.
Kei gleichem a, b und 3, unterscheiden wir drei Falle.
1. Der Schirm ist breit (bei den hier benutzten Abatanden
:> 1 rnm), d. h. zi2 - v1
2.
Schon fur die Mitte des Beugungsbildes (v2 = - vl) liegen
E, und E2 weit in den beiden Windungen der Spiralen. F' E ,
und E, F sind parallel und gleichgerichtet, so da13 die Mitte des
Beugungsbildes immer hell bleibt, doch nirnmt ihre Intensitat
niit wachsender Drahtdicke ab, da F' El bzw. E,F um so
kleiner werden, je mehr El sich F' bzw. E, sich F nahert. Da
das Reugungsbild symmetrisch ist, betrachten wir nur die
>
11
- 13
Punkte v2 1
--. *
Dabei Iauft F
El im Uhrzeigersiiin und
Fresnelsche Beuyungserscheinuriyen
185
immer schneller wachsend aus dern um P' geschlagenen Teil
der Ypiralen heraus, wahrend E , F im entgegengeseteten Sinne
zwar immer schneller umlaufend aber immer langsamer wachsend
in die Windungen um F hineinkriecht. Da beide Vektoren in
entgegengesetztem Sinn laufen, entstehen Maxima und Minima,
die durch den starkeren Vektor F' El zu groBeren Intensitaten
gehoben werden, wahrend die Schwankung, durch den ab-
C o r n u sehe Spirale
Fig. 9
nehmenden Vektor E, F geringer werdend, sich uberlagert. Bei
*ill = 0 uberschreitet E' die Grenze des geometrischen Schattens.
P' El beherrscht das Kurvenbild als Grundschwingung (genau
wie bei der Halbebene) und fuhrt, wahrend El nun in entgegengesetztem Umlaufsinne sich F nahert, eine pendelnde Bewegung
aus, iiber die E, zwar im gleichen Sinne aber immer schneller
laufend als Oberschwingung Rich uberlagert. Dadurch entstehen die gezeigten Nebenmaxima und -minima der BuBeren
Streifen.
2. Bei einem Schirm von mittlerer Breite ist 27, - v1 von
der GroBenordnung von 2.
TI'. N i i l l e r
186
F' Elund €2, F sind g r d e r wie im erst en Falle, die Int,ensit:dt,
in der Mit8tedes Beugungshildes ist bedeutend gestiegen. E" El
verlaBt, schnell wachsend die Windungen der Spirale, die inneren
St,reifen werden hrller und nehmen rasch an Zahl ab (nur nocb
ein St'reifen auf jeder Seite). E, F , der sich noch in den auBeren
Windungen befindrt, hat an EinfluB gewonnen und gibt dein
Kurvenbild imnier mehr den C,harakter einer Schwebung, (la er
F' El voranrilend den resultierenden Prktor 3" E' bald verstarkt', bald schwachi.
3. Bei einern schmalen Scliirm riiclien El und E , sehr nalie
zusa.mmen, da
- v1 Q 1 ist.
In tler Mit8t'edes Heugungsbildes liegen El und E , nahe
bei 0, die Yelitoren E" El und E, F sind grolS und ihre Addition
ergibt. eine grol3e Int,ensitiit, die bis zur SeEiat,t,engre,nzenur
w-enig abnimnit'. Deshalb sind die Beugungsbilder an selir dunnen
Draht,en in der Mitte sehr hell und gelien oline innere Streifen
rnit wenig geschwachter Int,ensit.Bt in das BuBere Gebiet iibrr.
a) Fiir 'v, - o1 0,6 ist', menn R, Rein Maximum erreiclit,
(hei E', in Fig. 9), E, in E4 angelangt; die Velit'oren sind parallel
und gleichgerichCet und es findet eine 7-erstarkung der erstsen
Streifen st8att (im Vergleich zu den Mnsima und Minima bei
der Halbebene). Dies ist die relativ groBt'e uberhaupt vorkoniniende Intensitat. R,F hat nodl nielir an EinfluB gewonnen
und der 8c.h~ebungsc.liaraliter
wird imnier st.arker.
0,l liegen El und E, sehr nahe beisammen.
b) Fur v, -- u1
Der EinfluB von B,F ist am starlrst'en geworden, indern er die
Masima und Minima von F' E, baId verst,arkt, bald sc,hwacht,
cla er durch seine inimer noch groBere Umlaufszahl F' Elbald
gleich - bald enCgegengeseCzt gerichtet ist,.
I?,
-
-
5 . Berechnung der Intenaitiitskurven
Fur den genaueren T'ergleich der Rechnung rnit den Yersuchsergebnissen wurde die Intensitatsverteilung in den Beugungsstreifen rechnerisch verfolgt. Durch geeignete Unterteiliing der Integrationsgrenzen erhalt man die zur Berechnung
geeignete Endformel
J
=
(1
+ C',
-
C,)2
+ (1 + s,
-
S,),,
wobei C', und G, bzw. S, und S, die Fresne ls c h e n Integrale
zwischen den Grenzen 0 und 7i1 bzw. v, bezeichnen. Die nach
Fresizelsche Beugungsersc~aeinungen
187
dieser Formel berechneten Kurven sind in der Fig. log, h, i und
m, n zusamniengestellt.
Zum Vergleich mit dieser einfaclieren Itechnnng nach
F r e s n e l wurden die Arbeiten von W. v. I g n a t o m s k y ( 5 )
Kupferdraht
1 mm
a = 37,5 em
b = 53,O em
Silberdraht
0,5 mm
a = 75 cm
7) = 75 em
Silberband
0,22 x 0,Ol mm
a = 75 cni
b = 75 em
Eisendraht
0,26 mm
a = 9 em
b = 75 e m
Silberband
0,138 x 0,0025 mm
a = 75 cm
b = 75 cm
Fig. 10
herangezogen. Auf Grunc des Po y n tin g sc h e n Satzes eiLLalt
I g n a t o w s k y aus den Maxwellschen Gleichungen den Mittelwert des Energiestromes B , welcher durch die Flacheneinheit
in der Zeit,einheit flieBt,
@
N
Q’1
AP + N2
+ -2--(Jl
+N).
W . Miiller
3 88
Hierbei ist
=
N
c (n-c - 4) + c (m + p),
S
(VL -
q)
+ S (m + q ) ,
wo C und S wieder die Fresnelschen Integrale zwischen den
Grenzen 0 bis m - p bzw. m
4 bedeuten, endlich
+
rl die Ent'fernung vom Aufpunkt zuin Spalt,
s der Abstand des Draht'es vom Spalt,
9 der Draht'radius,
R der Abstand vorn Aufpunkt zur Drahtachse,
d der Abstand vom Aufpunkt zur S-Achse und
R die Wellenliinge des Lichtes ist.
Nach dieser Formel wurden die Kurven Fig. 10d, e, f berechnet.
Ferner wurden in Fig. 10a, b, c und k, 1 die mtsprechenden
.Photometerkurven in geeigneter VergroBerung daruber eingezeichnet. Dahei sei besonders darauf hingewiesen, daB die
Photomet,erkurven keine reinen Intensitiitskurven sind. I)a die
:Photometerempfindlichkeit nicht linear ist, sind die Ordinaten
verzerrt und nur die Ahszissen vergleichbar.
Wie man sieht, besteht nur bei dem Draht von 1 mm Durchinesser (Fig. 10a, d, g) Ubereinstimmung der Kurven. Ebenso
ergaben noch dickere Draht'e stets richtige Werte. Fur Drahte
von 0,5 mm und noch nwhr fur solche von 0,25 mm Durehmesser
meichen sowohl die nach I g n a t o w s k y als auch die nach
F r e s n e l berechneten Kurven von der Photonieterkurve erheblich ah, doch scheint die Theorie von W. v. I g n a t o w s k y eine
-- wenn auch nur wenig - bessere Annaherung zu bringm. Fur
sehr diinne Drahte zeigen die beiden letzten Kurven (Fig. 10 1, n),
daB die Abweichungen immer starker werden und zwar rucken
hierbei die Schwebungen irn Vergleich mit den theoret,iseh berechneten Kurven immer weiter nach aul3en.
Vorliegende Arbeit wurde in den Jahren 1924-1 937 im
Physikalischen Institut der Universitat Fmnkfurt a. 11. ausgefuhrt .
F r e s n e b c l i e BeuyzLngsersc~ieinungen
189
Hrn. Geh. Rat Prof. Dr. R. W a c h s m u t h , der die Anregung zu dieser Arbeit gab, schulde ich fur stete Anteilnahme und liebenswurdige Fiirderung, Hrn. Prof. Dr. K. 1%'.
MeiBner fur vielfache Unterstutzung und freundliche Beratung
aufrichtigen Dank.
Literatur
1) J. R u n g e , Ein optisches Mikrometer, Ztschr. f. techn. Phys. 9.
S. 484. 1928.
2) E.v. L o m m e l , Abh. d. bayr. Akad. 16. 6. 531. 1886.
3) J. Z e n n e c k , Phys. Ztschr. 19. S. 1199. 1911.
4) W. A r k a d i e w , Phys. Ztschr. 14. S. 832. 1913.
5) W . V . I g n a t o w s k y , Ann. d. Phys. 23. S. 875. 1907.
(Eingegangen 12. Juni 1931.)
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