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Kohprenz in linearen Anordungen von Josephsonverbindungen mit induktiver Kopplung.

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Annalen der Phvsik. 7. Folge, Band 39, Heft 5, 1982, S. 349-361
J. A. Barth, Leipsig
Koharenz in linearen Anordnungen von Josephson\/erbindungen
mit induktiver Kopplung
Von W. KRECH
Sektion Physik der Friedrich-Schiller-Universitat
Jena
Inhaltsubersicht. &litHilfe von verkurzten Gleichungen fiir die Phasen der Spannungsoszillationen untersuchen wir das Synchronisationsverhalten einer linearen Anordnung von Josephsonverbindongen mit induktiver Kopplung. Als Beispiele dienen die Kopplung zwischen nachsten Nachbarn, die Kopplung grol3er Reichweite und die SQUID-Kopplung. Wir betrachten insbesondere die
Auspragung von koharenten Moden und deren Stabilitiitsverhalten, den Effekt der Gleichstromleitfahigkeit auf das phase-locking and die Toleranz der kritischen Strome der Josephsonverbindungen.
Coherence in Linear Arrays of Josephson Junctions with Inductive Coupling
Abstract. Using reduced equations for the phases of the voltage oscillations we investigate
the synchronization in a linear array of Josephson junations with inductive coupling. The examples
under consideration are the coupling between next neighbours, the large range coupling and the
SQUID coupling. Especially, we investigate the formation of coherent modes and their stability, the
effect of the dc conductivity on the phase locking and the tolerance of the junctions critical currents.
1. Eiiileitung
In vielen gerkitetechnischen Anwendungen von Josephsonelementen wird sowohl
eine VergroBerung der Amplitude der Spannungsoszillationen und damit der Strahlungsausgangsleistung als auch der Impedanz des Bauelements angestrebt (siehe z. B. [l]).
Dieses Ziel kann prinzipiell durch Formierung einer groBen Anzahl von Josephsonkontaliten zu kohkirenten Anordnungen erreicht werden. Das kollektive Verhalten von
linearen Systemen aus schwach supraleitenden Verbindungen wird seit einigen Jahren
sowohl experimentell als auch theoretisch untersucht. Gut verstanden ist der Synchronisationsmechanismus der Josephsonoszillationen in Zweifachanordnungen. Dies belegen
Experimente mit Diinnschicht-Mikrobricken (vgl. etwa [2 _..7]), andererseits existieren
hierzu auch detaillierte analytische Betrachtungen [S ...13]. Es ist aber auch festzustellen,
daB sich augenblicklich die Zahl der Publikationen zum dynamischen Verhalten (phase
locking) in vielkomponentigen Kollektiven mehrt [14.. .22].
Wir behandeln hier die Wechselwirkung von N Josephsonelementen in Serienschaltung mit verschiedenartigen Kopplungstypen von induktivem Charakter nach dem
sog. RSJ-Model1 [23, 241. Dazu werden in Abschn. 2 zunachst die verkiirzten Gleichungen der Josephsonphasen im Rahmen eines allgemeinen Kopplungsschemas knapp dargestellt. Sie werden in Abschn. 3 auf Systeme mit Kopplung zwischen nachsten Nachbarn sowie Kopplung groBer Reichweite unter Bezug auf Resultate einer friiheren Arbeit [ 221 angewandt. Besondere Aufmerksamkeit wird dabei der Ausbildung einer
,&ohairenten Mode", deren Stabilitatsverhalten und der Einbeziehung eines Nieder-
W. KRECH
350
frequenzleitwertes gewidmet. Die Synchronisation von SQUID-Ketten wird in Abschn. 4 wegen der physikalischen Spezifik (Einfang von MagnetfluB) eingehender betrachtet.
SchlieBlich erfolgt eine Diskussion der Ergebnisse im Hinblick auf kompliziertere
- experimentell realisierbare - koharente Anordnungen aus vielen Josephsonelementen; Rauscheffekte sind durchweg vernachlassigt.
2. Grandmodell der Kopplung von N Josephsonkonstanten
Wir betrachten eine lineare Anordnung aus N Josephsoneleaenten mit dem allgemeinen Kopplungsmechanismus k und der Gleichstromspeisung i nach dem Schema
von Abb. 1. Auf der Basis des sog. resistiven Modells [23, 241 geniigen die Josephsonphasen Gi den Bewegungsgleichungen
Ii = ICi
sin @,
+-+ i,[oj] (i,j = 1, ..., N ) ;
2eRi dt
[email protected]
Abb. 1. Allgemeines Kopplungsschema einer linemen Anordnung von N Jomphsonverbindungen
neben den Individualspeisungen I,treten die ,,Shuntstrome" f i als Funktionale der
auf. Zur Vereinfachung der folgenden Uberlegungen wird die einheitliche charakteristische Spannung
V, = R i . I,,
angenommen ; dann gestatten die Substitutionen
-
2e
I, , ds = a. = V,dt,
a
I,,
ti
die einfachere Schreibweise
ai = sin dri
(2)
fi
ai =-
Ici
+ 6,+
(3)
der Grundgln. (1).Der Punkt (.) bedeutet Differentiation nach der dimensionslosenZeit s.
Mit dem Losungsansatz (I ail > 1) [12]
.
5Idti - 4)
sin Qi = 1 ai cos (5,s - 6;) , @;=
(4)
ai
cos (5,s - Si)'
ai
cos (Ci - 6i)
wobei
To; = sgn a i . (a: 1)ll2, ii= sgn a i . [ (5 > 0 ) ,
kann das Problem auf die Behandlung der langsam variierenden Phasen di der Josephsonoszillationen mit den Frequenzen zuriickgefuhrt werden. Dabei ist ein Synchronismus der raschen Prozesse angenomnien; dies setzt natiirlich die enge Nachbarschaf t
+
+
+
-
ci
361
Kohiirenz in linearen Anordnungen von Josephsonverbindungen
der autonomen Brequenzen Itoilund der Xodenfrequenz 5 voraus (vgl. Abschn. 3.2.).
Pur schwache Kopplungen kann man schliel3lich in der harmonischen Naherung [13, 191
der Shuntstrome sog. verkiirzte Gleichungen (erster Ordnung)
herleiten. Die spitze Klammer bezeichnet dabei die Zeitmittelung heziiglich der schnellen
Vorgange:
(
ZXIC
(...) = - J' ds
27-z 0
....
An Hand der analytischen Struktur (4)der Nomentanspannung
die harmonischen Spannungsoszillationen bei der Ersetzung
ti+ -5i,
Bii erkennt
man, dafl
-so+
bi+ --6;
(7a)
ihr Vorzeichen nicht andern. Die Vorzeichentreue der Strorne tii (5) erfordert die Erganzung
(Oi+
K i i j KQ
(7b)
dieser Substitution. Dann sind aber auch die verkurzten Gln. (6) invariant, sie konnen
daher unter der vereinfachenden Annahnie positiver Brequenzen Coi > 0 und ti= [ > 0
weiterbehandelt werden. Nach einigen Umformungen ergibt sich
Diese Gleichungen konnen nicht allgemein gelost werden, wir beschranken uns daher
auf wichtige Spezialfalle Kii. Bei Annahme einer Kopplung zwischen nachsten Nachbarn
gilt (Abb. 2)
1
fur i = j & l
sonst.
Die Wechselwirkung habe insbesondere induktiven Charakter :
Es wird dazu bemerkt, daB in den Koeffizienten Kii prinzipiell nur mittlere Impedanzen
berucksichtigt werden. Hier ist R der Mittelwert der Kontaktwiderstande Ri,
und L(e),
R(e)sind die mittlere Induktivitat bzw. der mittlere Ohmsche Widerstand von externen
Shunts. I m induktiven Limit (1 >> 1, 51 9 v hat man
1
fur i = j &
1
2
I
0
fiir
i =j
sonst.
w.KRECH
352
Die weitreichende Kopplung ist durch
1
K..= 1.7
Z(e)
+N
(i, j = 1,
...,N)
festgelegt [19, 221, fur unsere Zwecke wieder mit der Einschrankung (10). Die Struktur
(9) ist durch einfache uberlegungen aus Formel (12) herleitbar.
.T
.....A.
1
2
3
N-1
N
Abb. 2. Kopplungen nLclister Nachbarn nnd grol3er Reichweite
3. Lineare Anorhiungen aus N Josephsonelementen mit induktiver Kopplung
Nach diesen Vorbereitungen mird nun das Spchronisationsproblem (im engeren
Sinn) fur Systeiiie mit induktioer Kopplung betrachtet. Es ist durch die Forderung
(13)
di = 8, (i, j = 1, ... , X )
bestimint. I n den reduzierten Gln. (8) sind soniit die rechten Seiten zeitunabhangig,
also die jialle gleich einer Konstanten, die nach Umdefinition von ( behoben wird. Synchronisierte Zustande (phase locking) sind also durch die stationaren Losungen der verkiirzten Gleichungen fiir die Phasen di gegeben.
3.1. Kopplung niichster Nachbarn (induktiver Grenzfall)
Es ist instrnktiv, zuerst die Xodellsituation (11) zu untersuchen. Die verkurzten
Gleichungen lauten bei Beriicksichtigung der Kettenenden :
1
1
h, = i” - l o - ( p + 1)”” + t sin (6, - d2),
g
353
Kohiirenz in linearen Anordnungen von Josepheonverbindungen
Dabei ist noch zur Vereinfachung Coi= To angenommen. Im stationiiren Fall
erhiilt man nach Addition slimtlicher Gleichungen
=0
t =to
und somit
= 0 (j = 1, ...,N
sin (6, -
- 1)
mit den Losungsmoglichkeiten
Zur Priifung des Stabilitatsverhaltens dieser Vielfalt moglicher synchroner Zustande
wird das System (14) mit den Differenzvariablen di = do - 8i+1(i = 1, ..., N - 1)
umgeschrieben ;
1
A - _1
- tz (p+ 1 p + 5
.
1
1
J.=-
Cl (t2+ 1Y2 + 5
AN-,
=-
I
(-2
sindl
+ sind,},
- 2 sind, + ~ i n d , + (~j )= 2, ... ,N - I),
(sin
1
Cl (C2
+ I)*/?+ r {sindN-, - 2 sindN-,}.
Da die ursprunglichen Differentialgleichungen (14) ein Gradientensystem bilden, kann
leicht die Liapunov-Funktion [25]
N-I
1
konstruiert werden, deren Zeitableitung
N-2
+ I)*/?+ 51 U = sin2dl + 2
51 [ ( ~ 2
(sind, - sindi+1)2
+ sin2dN-l
2o
,=1
positiv definit ist. Eine Taylorentwicklungin der Umgebung der stationaren Punkte (15)
1
U ( d , + E j ) = U(d7)- 2 0 (P
+
1
N-I
+5
liefert d a m die Aussage, da13 im Fall asymptotischer Stabilitat von
C0Sdi>O
(j=l,
{Ai}die Ungleichung
..., N - 1 )
erfiillt sein mu13. Daher ist die ,,koharente Mode"
($ I
-6
- 2 - ... = SN
(16)
gogeniiber allen anderen (instabilen) Synchronzustanden (15) favorisiert . Dies ist eine
Polge der speziellen induktiven Kopplung (und der Identitat
= to).Es ist zu erwarten, daB sich dieses Verhalten zumindest in der Tendenz auch bei anderen Anordnungen mit induktivem Kopplungscharakter auspragt .
coi
w.KRECH
3 54
3.2. Kopplung groSer Reichweite
Unter Venvendung der Koeffizienten (12) erhiilt man (wieder mit
Gleichungen
6.=5-5
0
(52
Q+ +
+ i 1y l 2 + Z;e'
1
r
N
2 ei(ai-di)}
Coj = Co)
die
(i,j = 1, ...,N ) ,
die mit der Definition
1
i[Z+r+
N - li5Z
i
+ r + N1 e - 4
die Phase 9 bzw.
die Gestalt
annehmen. Allgemein existiert immer eine kohiirente Mode unter der Bedingung [191
i 0%. - [ =
(C2
+
1
(i = 1, ...,N ) ,
+ 5 %e 2 K i j
i
welche hier erfiillbar ist. Wir konnten des Stationaritiitsproblem (18) vollstandig behandeln, es ergaben sich folgende Losungen [221 :
j --j 2
L-C=
-
... = birr,
1
(52
6,
+I
=
... = 6a
(0 I LJ!! 5 N ) ,
N ( N - 21i1)2 sin2ip
~2 coszip '
1
+ 1 ) ' p ~+ 5 . I i c ~+ r + NJ-'( N - 2 ~ 1 sin29
2
+
(1%
O
D
wobei die Phasendifferenz 6, - 6,w+l (fur 0 < M
sin (6, - a+),
*
o
cos (6, - 6iI1,l) =
=
< N ) durch
( 2 V - N ) M sin 9 cos ip [ N 2 - ( N - 2 ~ 1 1 ) ~ ]
~H(N
- M ) [ ( N - 2M)2 sin2 rp + ~2 cos2 91 '
+
+
N~(N
- 2111)2 - (Na - 2x31 2&P) [ ( N - 2M)2sin29 N 2 cos2p]
21kI(N - M) [ ( N - 2iM)2 sin2rp N 2 cos2p]
+
bestiinmt ist. I n dieser Konfiguration ist naturlich die koharente Mode fur LM = 0
bzw. ikI = N enthalten. Weiterhin existieren noch ,,inkoharente Moden":
Zur Bestimmung des Stabilitatsverhaltens der koharenten Mode gehen wir niit dein
ublichen Ansatz di = di
si,si = ii. e p 8 in die verkurzten Gleichungen ein:
+
365
Koharenz in linearen Anordnungen von Josephsonverbindungen
erhalten hier also
mit den Eigenwerten
pl = 0 entspricht lediglich einer Simultandrehung aller Phasen Bi (neutrales Gleichgewicht). Wegen cos fp < 0 (17) ist die kohlirente Mode stabil. Analog. llif3t sich zeigen
[22], daB die iibrigen Synchronlosungen (19, 20) samtlich instabil sind und daher
8, = 8, = ... = wieder favorisiert ist.
Es sol1 noch kurz a d die Frage der Parametertoleranz 61, (vgl. (1))eingegangen
werden. Mit der Annahme
501 = 5, =
= cO,W-l> 502 = 504 = ..* = <0,2&I (2nf = N ) ,
aN
- 0 .
welche die aufgeworfene Problematik wesentlich charakterisiert, ergeben sich im stationaren Fall zwei Gleichungen
1
M
(sin (dl - s', - - sin 91,
501 - 5 =
+ + 5 IN + + iill
1
M
{sin (s", - i1- 9) - sin
(C2 + 1)1p2+ 5 IN + r + it11
(C2
502
-5 =
(mit 8, = 8, =
Aussage
r
... = &M-l, J2 = 8,
=
... =
fp]
Subtraktion derselben gestattet die
Bei Spezialisierung auf den Grenzfall N 9 r ergibt sich fur N = 51 die optimale Toleranz
1
li01
- 5021 2 y (C2
1
+ l)l/z
+5
b:zw. die relative I,-Schwankung
<
die fur = 1rund 10% betragt. Diese Abschatzung beriiclisichtigt allerdings die eigene
Induktivitiit bzw. Kapazitiit der Josephsonkontakte nicht [19].
3.3. Einbeziehung des Niederfrequenzleitwertes
Die bisherigen Uberlegungen bezogen sich ausnahmslos auf Situationen ohne niederfrequente Anteile in den Shuntstromen Gi ( 5 ) . Bei Einfiihrung eines Niederfrequenzleitwertes rgl [ll, 191 sind die verkurzten Gln. (6) zu modifizieren:
S'Oi(5Oi
- Ti - 8J - "i 2
ro i
(ij
-
6j)
w.&ECH
356
die Darstellung beschriinkt sich auf Kopplungen groder Reichweite. Eine Herleitung
ist wie in Abschn. 2 auf direktem Weg mit der Stromzerlegung
Gi = a(!) + a?),
(a?) = 0,
N
.
2
<@,)
=
roai2)
j= 1
moglich, wobd der Ausdruck [12]
<@$> = 5'i
- 6i
(26)
der langsam variierenden Spannung zu benutzen ist. Es ist aber eine einfachere Interpretation moglich: Die Modifikation
der Speisestrome durch den NebenschluB bewirkt die h d e r u n g der autonomen Frequenzen
in erster Ordnung beziiglich r t ' . Einsetzen von
der Naherung
Tii in G1. (6) liefert dann G1. (24); mit
und den Koeffizienten (12) kann man dafiir
ci-t
schreiben. Die im Abschn. 2 verabredete positive Zahlung der Frequenzen
5>0
erfordert jetzt allerdings die Vorzeichenregelungfur die Spannungen in der ersten Summe
rechts. Man stellt fest, dad die Synchronisationsforderung (13) wieder auf die stationaren Losungen (19) und (20) mit einer Renormierung der Frequenz fuhrt, wobei eine
mogliche h d e r u n g des Stabilitatsverhaltens zu uberpriifen ist. Die Variation Si =
8, &eP8 des Systems (27) liefert die algebraischen Gleichungen
+
die wieder die Losung (vgl. (21))
z2
p1 = 0, 2, = = ... = iLV
(neutrales Gleichgewicht) enthalten. Andererseits sind die gegenseitigen Phssenlagen
durch
1
1
6. - 6. =
1
(52
1 ) 1 ~ ~ 'licl+ r + N I
+
N
+
2 {sin (Si- Sk - y) - sin (Sj - dk - p)>
k=l
Kohirenz in linearen Anordnungen von Josephsonverbindungen
367
bestimmt. Hier entfallt der ro'-Term; das Stabilitatsverhalten wird ebenso wie die
Struktur des phase locking durch die Einbeziehung eines Niederfrequenzleitwertes im
Fall der induktiven Kopplung groBer Reichweite nicht verandert.
4. Synchronisation in SQUID-Ketten
Die bisher verwendeten Shunts hatten eine verschwindende oder endliche Nieder1 Josephsonkontakte paarweise durch
frequenzleitfahigkeit, nun sollen N = 2M
supraleitende Drahte uberbruckt werden, so daB eine Anordnung bus insgesamt 2M
SQUIDs entsteht (Abb. 3). Die Gleichungen der Josephsonphasen lauten:
+
[email protected]
2eRi dt
i j = ICisin
(i = 1, ..., N
=
2M
+ 1).
i, = I , - i,,
+
ii = Ii
ii-l,i - ii,i+l ( j = 2,
i, = I N -I- i N - - I , N ,
..., N - 1)
q+i+l = .Lii,i+l ( j = 1, ..., N - l),
2n
Oj - Oi+l = -$- (Vj,j+1
0
+
(j= 1,
L
.. .
...,N
- 1).
+
(31)
...
I..
L
*le
L
1
I
n
1
L
Abb. 3. S QUID-Kopplung und kombinierte Kopplung
Die Speisestrome I i werden noch genauer fixiert, die Shuntstrome ij-l,iund ij,i+lerzeugen Magnetfliisse rpi,i+l, und diese sind zusammen mit externen Fliissen cp$:Til
iiber das FluGquantum O,, mit den Josephsonphasen der individuellen SQUIDs gekoppelt. Nach elementaren Umformungen ergibt sich
358
W. KRECE
+([email protected], 2nL
@O
@,q- @ , + l )
( j = 1, ... ,N - l),
Diese Gleichungen werden mit den neuen Variablen
(z.B. fur j = 2,
...,N
- 1)sowie
A=-.---- @o
(34)
2nLIc
(I,- mittlerer kritischer Stroni) dimensionslos formuliert :
+ + i ~-(@,@
),
~
ai= sin
+ ~5~+ A ( 2 s -~ [email protected] - C D , + ~ )( j = 2, ... ,N - I),
= sin di, + dN + t ( Q ~ Nal = sin C P ~
@l
@f
a,V
(35)
~jN-1).
Die normierten Spannungen poi = (a;.- 1)lI2miissen fur l + 0 wegen der supraleitenden Kurzschlusse alle gleich sein, die Speisestrome I j verhalten sich daher nach (33)
zueinander wie die kritischen Strome ICi.
Mit dem Losungsansatz
sin Qi=
+ OLi cos (5's - 6i) ,
ori + cos (5s - 6i)
1
.
=
@i
BOi(5
ai
nach dem Vorbild (4) in Abschn. 2 erhiilt man fur I
erster Ordnung
8,
= 5'
hi = 5' -poi
Fur
la
- Po1 - 7(81 - 6 2 ) - (a
I&
1
< 1wieder reduzierte Gleichungen
+ 5'K sin (6, - d,),
- - (26, - di-1 - 6,+1)
5'
Si = 0 wird zuntichst
- Si)
+ cos (5's - 6i)
a = (C2
+ l)l/Z,
359
Kohiirenz in linearen Anordnungen yon Jmephsonverbindungen
als Mittenfrequenz durch Aufsummieren aller Gln. (37) berechnet, damit gewinnt man
nach einigen Umstellungen die (separaten) Gleichungen
or
1
I
sin (8, - 6,) ,
t(&+-5')
die wegen
or
->
5
1
i"(a
+ t)
eirtdeutig losbar sind. Fur y$;il = 0 gilt Pol = Po, = ... = PON, somit hat man 6, =
8, = ... = .,8 Die Herausbildung der koharenten Mode wird im allgemeinen durch
endliche externe Magnetfelder unterbunden. Man stellt noch fest, da13 im Gegensatz
zu den Erorterungen in Abschn. 3.2. kein beschrankter Toleranzbereich der Po; existiert.
Wir betrachten die Gln. (38) eingehender. Fur kleine Werte g$fl1 @gl wird z.B.
die erste Gleichung entwickelt :
1
wobei
umf
unabhhgig vom Index j gilt. Bei gegebenem 5 wird also eine Erhohung von ~ ) k
ein FluBquant SP, durch die VergroBerung der Phasendifferenz 6, - 6, um 2x kompensiert. Man kann daher (effektive) externe Fliisse 0 < q:?) < CP, zusammen mit der
Beschrankung 0 < 6, - 6, < 2n annehmen. Analog ist niit den ubrigen Gln. (38) zu
verfahren. Wir diskutieren nun Stabilitiitsfragen. Die Gln. (37) bilden ein Gradientensystem
360
W. KRECH
mit der Liapunov-Funktion
v = v, + v,,
(41)
N
v, = ic
(5 - BOiPj.
=1
V wird a n der Stelle des stationaren Punktes iientwickelt :
nach den Ungleichungen (39) und (40) ist die durch das System (38) bestimmteSynchronlosung di also auch stabil.
5. SchluSbemerkungen
Die angegebenen Resultate sollen an Hand der durchstimmbaren Mikrowellenoszillatoren auf der Basis von Mikrobrucken nach JADI
und Mitarb. [16] zusammengefaBt
werden. Solche Anordnungen bestehen im Prinzip aus SQUID-Ketten, die zusiitzlich
mit einem L(e)R(e)-Shuntversehen sind (kombinierte Kopplung, Abb. 3). &litden Ausdriicken (10) und (35) fur I , r und il hat man die reduzierten Gleichungen
-
I
[(C2 + 1)1'2 + 615
{sin (Si - Q i - l )
+ sin (Si - d,,.,)}
wobei
p.
oa
+
1=
(3
-1
I,
I'&
2
+ m:y$l)} (i = 2) ..., N - 1).
(43)
Zur Vereinfachung wird von einer urnstandlichen Beschreibung der Kettenenden abgesehen. Es sind nur positive Frequenzen
= 5 > 0 benutzt, daher charakterisiert
das alternierende Vorzeichen in der letzten Summe (42) die wechselnde Polung der
Josephsonkontakte. Das Problem (42) kann nicht mehr exakt kalkuliert werden, es
sind aber folgende qualitative Betrachtungen m'oglich : Die SQUID-Konfiguration sichert die Existenz des phase locking ab. Die Differenzen di - diF1, Si - 6i+l kompensieren modulo 27z die qjf?), in Formel (43) fur poi wieder derart, daB mit effektiven
externen Magnetflussen 0 < qi,7J1< Go gerechnet werden kann. 1st N & 1 und
@, (L1J-l 9 1, dann wird die weitreichende Kopplung dominant (5 2 1). Es kommt
praktisch zur Auspragung einer koharenten Mode, die Anordnung besitzt eine optimale
Strahlungsausgangsleistung.
ci
Wir danken den Herren Prof. Dr. BERTHEL,Dr. BATJHARDTund Dr. H.-G. MEYER
fur hilfreiche Diskussionen.
Koharenz in linearen Anordnungen von Josephsonverbindungen
361
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Anschr. d. Verf.: Dr. W.KRECH
Sektion Physik der Friedrich-Schiller-Universitit
DDR-6900 Jena, JZax-Wen-Platz 1
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