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Natprliche Empfindlichkeitsgrenzen bei Meinstrumenten II. Die Empfindlichkeitsgrenze des Galvanometers bei verschiedener Dmpfung

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91 1
NatiirlicAe E ~ ~ p ~ n & l i c h ~ e i t s y r e ? z x e n
bei MefWaetrurnenten
II. Die Empflndlbclbkeitsgrenze des Galvanometers
bei verschbedener Ditmpfung
Vow G u s t a f I s i n g
(Mit 2 F i p r e n )
A. Allgemeiner Teil
1. Dieser erste Teil .A gibt clie Hanptziige cler Herleitnng
mit 1-crmeidung liiugerer Rechnnngen wahrencl cler zweite
Teil €3 clie niitigeii Spezialausfiihrungen enthiilt. Die Paragraphen in H eotsprechen gewissen ron clenen in A nnd sjnd
clemgelnafi rloppcllt niiineriert, so claM z. R. 9 G (2b) in €3 die
Entwicklung in 9 2 komplettiert.
I n zwei friiheren Publikationen 9 hat cler Verf. die natiirliche Ernpfincllichkeitsgreuze des Galvanometers fiir den Spezialfall augegeben, wo (lie Dampfung krilisch (d. h. gerade hinreicheii d fiir speriodische Einstellu ng) un cl ans*chlieBlich elektroniagnetischen Ursprungs ist. ? 1\-enn die Dampfung einen
.
_______
1) Vgl. Literaturangaben in I.
21 In diesein Spezialfalle wird die B r o w n s c h e Uewegung des
Systems ausschlie6lich dnrch die spontanen Stromschwankungen in der
Spule veranldt, wie besonders von F. Ze r n i k e (a. a. 0.) hervorgehoben
worden ist. - Meine Herleitung war, n i e in der vorigen Abhandlung I
hervorgehoben , auf den Aquipartitionswert fur die potentielle Energie
des beweglichen Systems basiert [Formel ((43. Es war s c h o n l b g s t bekannt, z. B. durch die theoretische Eriirternng (1912) von Frau D e H a a s L o r e n t z , da6 dieser Aquipartitionswert erhalten wird unabhahgig von
der Art der Mechanismen, welche die Impulse und Widersttlnde bei
den Schwankungen herstellen. Es ist deswegen ein MiSverst&ndnis,
wenn gewisse Referenten (F. Z e r n i k e , 0.J g g e r ) mir den Gedanken
zugeschrieben haben, cla6 nur die StoUe der Luftmolekule die Sehwankungen hervorrnfen sollten. Das MiSverstiindnis wurde vielleicht dadurch veranlaSt, daS ich die Vornussetsungen fur die Herleitung ganz
912
G. Ising
beliebigen Wert erhiilt uncl zum Teil auch von der Lnftreibung
herriihrt, erhalt man fiir die Grenzempfindlichkeit einen allgemeineren Ausclruck , welcher unten angegeben wird. Damit
die Bedeutung des Diimpfungsgrades fur die praktische Terwendbarkeit des Galvanometers klar hervortreten mbge, ist es
zweckmafiig, in die Formel die EinsteZZxeit \T) an Stelle d e r
ungedampften Periode (To)einznfiihren.
8 2. Die Empfindlichkeitsgrenze bei gegebener Schwingungszeit To
Wenn x,, den Gleichgewichtsansschlag (von 2 = 0 ans)
bezeichnet, m-elcherdurch die Stroinsfarke i, bzw. die Spaunnng v'),
hervorgerufen w i d , so hat inan die Stromempfindlichkeit si
und die Spannullgsempfincllichkeit sv des Galvanometers
Wo -4 die Direktionskraft, B der Deviationsfalrtor (gewbhnlich ,,dynamische Galvanorneterk~nstante~~
genannt) nnd R
der Gesamtwiderstand des Galvanometerkreises ist. Fiir Galvanometer beliebiger Bauart gilt
wo 0 den inagnetischen InrluktionsfluB durch die Winclungen
bedeutet.
Die vorhmclene Diimpfung wird in der kritischen Diimpfung
als Einheit ausgeclriickt: die Dampfung durch mechanische
Reibung (Lnftdampfung) sei durch die Zahl n1 charakterisiert,
(lie elektromagnetische durch w 2 uncl die gesamte Diimpfung
kurz gefaet hatte uiid unter den Theoretikern nur v. S m o l u c h o w s k y
erwtihnte, weil seine ausfuhrliche Diskussion (1912, a. a. 0.) besonders
dam beitrug, eine allgemeinere Aufmerksamkeit auf die Lageschwankungen
eines elastisch gebunclenen Systems zu lenken.
1) Mit den in I. angewandten Bezeichnungen sollten diese UroBen
bzw. 8 x, 8 i, 8 I' geschrieben werden.
Xat urli che l3mpfndEi chkeit sgrenzen bei Meljinstrumen ten. I I 9 13
tlurcli 11 = u1 + t i 2 . Iladurch erhalt man noch eine Beziehung
x\\ischeii .-I untl B jvgl. 5 2b): l )
i3'1
Diirch tlir Iiombinntion von (1) untl
die 1)ekauuteri Austlriicke.9
E'iihrt mail sclilieBlich in (4) fiir q, den mittlereii Bra\\ n scheii -1iisschlag 5 =
i und
dy
ein und liist die Gleichungen iiach
auf, 30 erhtilt inan clie folgenden Mittelwerte der
wheinbxren Stroni- unil Spannungsschn ankungen, welche tlas
Galranonieter anxeigt :
77
k 9, kiinnen
Sach ($uadrierrii und Ersetzen yo11 E clurch
diese ( :leicliuiigeii :iiicIi i n folgender F'orni 3, geschrikben wertlen:
I
Fiir
(:renafall
..
nk3
RTO
1
* ?Iy
1 findet man die friiher fiir den aperiodischeii
mit ausschlieBlich elektromagnetischer Dlmpfung
7 1 =
~
1) Diese ist die in I. erwlihnte dritte Bezeichnung (7).welche notig
ist, om einen allgemeinen Busdruck f u r die mittlere Unsicherheit bei
der Messung von i oder 17 zu erhalten.
2) Diese werden gewohnlicherweise fur &dengalvanometer angegeben; wegen der allgemeinen Gultigkeit Ton (2) gelten sie aber
ebensogut fur NudeZgalvanometer.
3) Welche ohne Herleitung und mit etmas abmeichenden Dezeichnungen publiziert wurde in Beretning om drt 18 Skandinav. A7atitrforskerm6&, Tiopenhagen 1929, S. 352.
G. Ising
914
.:( nl = 0) angegebenen Susdriicke wieder. - Fuhrt inan in (5)
den bei Zimmertemperatur geltenden Wert ron E (2,OO.
Erg)
und die praktischen Einheiten Ampere, Volt nnd Ohm ein.
wobei Grogen, die in diesen Einheiten gemessen n-erden, dnrch
ein Akzent ausgezeichnet sincl, so erhalt mail:
I
I
IG
'-
8' =
1,12.10-1o1/;;
- ;;Volt.
Um die Verhaltnisse durch numerische Angaben dentlicher
zu machen, fiihren wir die untenstehende Tab. 1 ein, welche
nach (5b) mit n2 = 1 berechnet ist:
T a b e l l e 1.
R
Ohm
111
To = 2 Sek.
i'
I
To= 8 Sek.
I
t"
Volt
~~
10%
103
10'
106
106
9
'
I!
I
,
~~
~
i'
-~
0,792 .lo-''
2,50 .lo-''
7,92 .lo-''
2,50 .lo-'
7,92 -10-9
2,50 .lo-*
7,92 *lo-*
3. Die Empflndlichkeitsgrenxe bei gegebener Einetellseit
z
Es ist leicht einzusehen, daf3 zum praktischen Erreichen
der Hochstempfindlichkeit eines Galvanometers clrei Hanptbediagungen erfiillt werden miissen:
1. Bei gegebener Einstellzeit und gegebenem TTiderstand
soll die mittlere scheinbare Stromstarkeschwankung ;
mijglichst
kbin sein.
2. Die durch optische oder andere Hilfsmittel herrorgebrachte Vergrogerung des Aussddays soll so groW sein, daB
clie miitlere Scliwankung x einem beobachtbnren Bruchteil eiiies
h 1/1,, I), entspricht.
Skalenteils, z. B.
1) Die von
genommene Gr66e
hat, unnotig hoch,
daB die Schatzung
mir bei der ersten theoretischen Behandlong anvon '/, Skalenteil ist, wie spiitere Erfahrung gezeigt
vorausgesetzt da6 die Ablesegenauigkeit derartig ist,
voii Zehntel eines Skalenteils moglich ist.
h'at iir liche Einpfindlich7ceitsgren~e.elz
bei [email protected] I I 9 15
3. Die Stijrutigsfreiheit des Galvanometersystems soll derartis sein, cia8 die durch 5uBere Erschutterungen und magnetische T'ariationen hervorgebrachten mfalligen Nullpunktscerlrgerunpr durchschnittlich bedeutend kleiner als % sind.
I n dieser Abhandlung soll nur die mehr theoretische Hedingung 1. und cleren Zusamnienhaug iiiit der Luftdkmpfung
diskutiert werden. l) - Man ersieht uuinittelbar ails (5) claB
Nrtdelgalvanometer , auch wenn iiiau von iiul3eren Storungen
absieht, fur das Erreichen hochster Empfindlichkeit xenig geeignet sind: wegen ihres schwachen Magnetfeldes ist n g << l,
meuigsteus bei Schwingungszeiten die einige Sekunden nicht
iiberschreiteu. so daB der zweite Faktor
triichtlicher GrtiBe wird.
/'
1z
in ( 5 ) von be-
E'iir die xeitere Diskussion sind die dusdrucke ( 5 ) etwas
nngeeignet. d : ~sie teils To. teils ) i 2 enthalten. Aber bei der
praktischen Snwendung eines Instrumentes ist es nicht die nnged&iiil)fteSchwingungszeit To sondern die auch roin Dampfungsgrade abhangige Eiiistellzeit r , welche von Belang ist. Die
Einstelldauer ist diejenige Zeit, die vom SchlieBen des Stromes
yerstreicht, bis der dusschlag den Endwert erreicht hat innerhalb einer von der Reobachtungsgenauigkeit abhangigen Tolerauz, die gel\ ohnlich auf l / l o o oder l/looo des Kndausschlages
abgesch8tzt nerden kann. - T i r bezeichnen mit T~ und t2
die Zeiten. welche erforderlich sind, damit x definitiv 99/100
bzu. ~'99/1000 des Endausschlages xo emeicht habe. - Setzt man
so gelieii die Ausclriicke (5 a) in clie folgendeii iiber:
1 ) Die beiden ubrigen Bedingungen werdeu in der folgenden Abhandlnng eriirtert.
G. Isiiig
916
Die niittlere Unsicherheit ? einer Strommessuug ist ceferis
paribus
proportional und soniit die Grenzempfindlichkeit
proportional l/VF. T i e bei r , so bezeichnet auch bei den
Funktionen f und 9 eine Index 1 oder 2, da6 die Einstellgenauigkeit l/loo bzw. l/,oo,
ist.
Der Verlauf der Funktion .fp) bei den erwiihnten beiden
Toleranzgraden wird dnrch die beiden rollzogenen Kurven cler
Fig. 1 gezeigtl); die untere Kiirve stellt f, , die obere f 2 clar
(Fig. 1). Die fur n < 1 auftretenden Diskontinuitiiten, als I,
I1 usw. numeriert, sind rein geometrischer Natur ; angenghert
wird der Verlauf von f ( n ) in cliesem Gebiet durch die strichgezeichneten kontinuierlichen Kurven clargestellt, welche nsch
dem Exponentialfaktor a.llein im Ausdruck der gedampften
16
*
9
2
7
45
o
n
45
7
r5
Quotient zwischen Einstellzeit und Schwingungsperiode
bei verschiedener Dampfmg
Fig. 1
2
Schwingung berechnet sind (vgl. 3 3b). Wenn 9% gegen 00
wachst, gehen die Kurven asyniptotisch in die beiden Geraden f, = 1,466 n bzm. f, = 2,199 n uber. Der Verlauf cler
Funktion y2(n) wird von den drei Kurven der Fig. 2 gezeigt
fur die Werte 0,
und 1 des Parameters n,. (Fig. 2). V e i l
2.199
bei gro6em n
'Is
972
= ____
'
1 - 2
11
ia
so gehen sie alle drei gegen den Wert y , = 2,199.l)
1) Vgl. auch Tab. 3 in
5 3b S. 926.
Natiirliche Ernpfindlichkeits~renzenbei Mepinstrumenten. I I 91 'i
Es ist ersichtlich, (la6 bei Abwesenheit der Luftdampfung
ocler bei schvacher der Faktor ~p seinen kleinsten M'ert f'iir ?1
etwas unterhall) 1 erhllt; bei weiterer Verringeruug von 11
u\ic*list y sehr schnell iiber alle Grenzeii. Es ist somit iiotwendig, die elektromagnetische Dampfung bis an clie Nahe der
kritischen lrriugen zii kijnnen. n e m inail die hochzte E n i p
fincllichkeit. clie init Clem gegebeneu MYerstnncl und cler gegebenen Einstellzeit vereinbar ist, crreichen will. ,Inderer\eits
I
10
9
8
7
6
5
4
$3
2
7
O
n
1
2
3
4
5
6
Abhiingigkeit des inittleren Fehlerqriadrats einer Strommessung (- q 2 )
ron der Dampfung bei konstanter Einstellzeit
Fig. 2
iindert sich y. ziemlich unhedeutend, weim n Ton 1 bis 00 geht:
so ist z. B. fiir n, = 0, n = n2 = 1 (aperiodischer Grenzfall iiiit
ansschlieBlich elektrornagnetischer Dampfung) cpl = 1,057 uiid
ya = 1,470, wahrend fiir n--f 00 y1 = 1?446und y z = 3,199.
Die letzteren Werte sind nach Wurzelausziehnng niir etwa
20 Proz. griiSer als die ersteren, und man kommt somit bei
schwacher Luftdampfung zu dem ein wenig unerwarteten X e sult.ate. daS bei gegebener Einstellzeit ein Galvanometer mit be-
Ziebig hoher elektromagnetischer Dumpfung ungefahr dieselbe
Grenzempfinillic7eit besitzt taie ein Galvanometer mit kritisclzer
Dumpjung. dnch clie GraSe der Luftdampfung ist fur die GrijBe
-ion '1~'nnwesentlich, wenn iiur n n, gemncht werden kann. -
>
G. Issing
918
Bei gro6em n, wurde dies aber unerreichbare oder wenigstens
unbequem hohe magnetische Feldstarken bedeuten; praktisch
soll deswegen n, den Wert 1 nicht vie1 iiberschreiten und am
besten ein echter Bruch sein.
4. Berechnung der Luftdampfung
Bei der Dimensionieriing eines Galvanometersystems braucht
man wenigstens angeniihert clas von der Luft herriihrende
Friktionsmoment berechnen zu Iriinnen. Besonders, wenn die
Lange eines von iler Spnle ansgehenden Zeigers (bei niikroskopischer Sblesnng des Susschlagesj bestimmt werden soll,
ist es von groBter Wichtigkeit, die Lnftreibnng zu beriicksichtigen. Mnn kann dabei die Rechnung mit hinreichender
Genauigkeit durchfuhren unter cler Annahme, daB jedes Langenelement des Zeigers von einer Reibungskraft angegriffen wird,
die gleich den1 Produkte aus Lange und Geschwindigkeit
(senkrecht zur Langenrichtnng) des Elementes ma1 einem
Koeffizient p , welcher die Reibungskraft pro Lhgeneinheit
des Zeigers angibt, wenn dieser einer Quertranslation von der
Geschwindigkeit 1 unterworfen wird. Wenn z. B. der Zeiger
a m einem zylindrischen 8tabe der Lange 1 besteht, melcher
senkrecht yon einer Drehungsachse mit der Winkelgeschwindigkeit co ausgeht, dann berechnet sich das Reibungsmoment
§
1
(8)
Q = a , S p xac7 x = o p
13
*
0
Auch die Luftreibung gegen eine Spule mit kleinem Querschnitt der Windung kann nach derselben Methode angenahert
berechnet werden.
Es bleibt noch iibrig, einen praktisch verwendbaren Ausclruck fur die Reibungskonstante p bei verschiedener Dicke des
Zylinders zu finden. Fur einen Kreiszylinder, welcher sich in
einem unendlich ausgedehnten Fliissigkeitsraum befinden, haben
G. C. S t o k e s I ) und H. L a m b 2, theoretische Formeln hergeleitet. Diese stimmen aber ziemlich schlecht (am besten die
Formel von Stokes) init einigen friiheren Reobachtungen des
1) G.C. S t o k e s , Trans. Cambr. Phil. SOC.9. 1851.
2) H.L a m b , Phil. Mag. ‘21. S. 112. 1911.
S ~ t i i r l i c h eEnl~~~izdlichkeiisgrenzen
bei iMe/%nstrumenten.I I 9 19
Terfassers an clrnhtf6rlnigen Elektrometersystemen, wo die
Werte TOLL ,u bei drei verschiedenen Durchmessern d bestimint
I\ nrtle I):
Tabelle 2
rl cm
1,50.10-9
Z rg G
4,33.10-*
1
i,s3.10-2
(;,25.10-
i,oo.io-1
1
0,10 .lo-'
I3esonclers ergeben die theoretisclien Formeln eine Abhiinpiglteit des Reibungswiderstancle9 von der Schwingungszeit
1)m. der Geschwincligkeit, welche hei cliesen Versuchen nicht
zutage tmt. - Wahrscheinlich iibt die immer vorhandene
iiufiere Begreiazungsf1,fliiche des Flussigkeitsraumes einen EinfluB,
welcher von der Theorie berucksichtigt werden mug. Man
kanu die Vermntnng hegen, claB cliese Flache den Xiderstand
vergriiBert und denselben in erster Snnaherung von der Geschwincligkeit unabhangig niacht.
Anclererseits ergibt eine von A. 0 IJe r b e c k 2, f iir Ellipsoiden
hergeleitete Formel einen von der Geschwindigkeit unabhangigen
Wert cles 11.iderstandes. F u r eine langgestreckte Rotationsellipsoide mit den Halbachsen n untl c (c a), welche eine
anf c senkrechte Translationsgesch~-iiidigkeitu besitzt, liefert
die Formel on 0 b e r beck folgenden angenaherten Snsdruck
fiir den \\.iderstand F :
>
~ Y O // der Koeffizient der inneren Reibung bedeutet. Nach
Division mit 2 c erhiilt man fur den durchschnittlichen Xiderstand pro Lsngeueinheit der Ellipsoide:
-
p=-
4Z7]
2c
In -
*
(1
1) Die Geschwindigkeit war dabei von der GrGBenordnung einiger
Tausendstel Zentimeter pro Sekunde. - Diese wenigen Versuche sind
allerdings fiir eine gennue Priifung der theoretischen Formeln ganz unzureichend.
2 ) A. O b e r b e c k , Crelles Jonrn. 81. 8. 62. 187ti.
G. Issing
920
Dieser B U S ~ ~fiihrt
U Cunmittelbar
~
clam, fiir Drahte -rersuchs-*
weise z u setzen
p=-
(9)
c,
’
logs
d
\vo C, nnd C2 Konstanten sind.
Aus den erwiihnten Ver-
suchen berechnen sich die Konstanten C, = 1,51.10-3-
C,
= 4,71
cm, wobei d in Zentimeter, p in
crn-sec’
dyn
=
cm
cm-sec
cm sec
-
gemessen nnd B r i g g sche Logarithmen angewandt werden.
Das zugrundegelegte Beobachtungsmaterial ist zwar sehr gering,
aber andererseits beziehen sich die drei angefiihrten p-Werte
nuf sehr verschiedene Drahtstarken I d fallen alle genau anf
die durch (9) dargestellte Kurve. R e n n die Schwingnngszeit
des Drtlhtes und dessen Sbstand ron den G e f a h a n d e n nicht
allzuweit von den bei diesen Versuchen geltenden Verhaltnissen abweichen, diirfte man deshalb berechtigt sein, die bequeme halbempirische Formel (9) anzuwenden. - Da p sehr
langsam mit d variiert, ist es weiter wahrscheinlich, dai3 (9)
auch zu einer Abschatzung des Luftwiderstandes gegen Spulen
dienen kanu, deren Querschnitt etwas von der Kreisforin abweicht; man setzt dann fiir d einen Wert ein, der etwas
kleiner als cler groBte Dnrchniesser cles Querschnitts ist.
5. Die Empfindlichkeit des Galvanometers a18 Fluxmeter
Zuletzt mag eine berschlagsrechnung gemacht werden
uber die Empfindlichkeit des iiberaperiodisch gedampften Galvanometers, wenn dasselbe als Fluxmeter zur Messun, von
Anderungen des magnetischen Induktionsflusses durch eine
Priifspule verwendet wircL Die Theorie dieser MeBmethode
ist in den Hauptziigen die folgende: Wenn die Dampfung
sehr hoch ist (n>l), kBnnen das erste und dritte Glied der
Differentialgleichung (16) 6 6 gegen das zweite Glied rernachllissigt werden I); und wenn aiich die elektromagnetische Dampfung
..
1) Das dritte doch nur fur Zeiten, die nicht allzu lang sind.
Natiirliche Empfindlichkeitsgrenzen bei Mefinstrumenten. II 921
dieluftdampfung wesentlich iibertrifit (n, >n,), dann entnrtet die
Gleichung in (lie folgende:
B2 d x - Bq
11
dt
R
(10)
Wenn die iiuBere elektromotorische Kraft v durch die Variation
des mngnetischen Induktionsflusses W in einer eingeschaltenen
Pi-iifspule hervogebracht wird, clan11 hat man
I ] -d=.I: - - - ,
rl t
d @
(2 t
oder
+ W) = 0.
d
--(@
I1 t
(11)
Das Galvanometersystem stellt sich also in jedem Augenblick so ein, daB der gesamte InduktionsfiuB konstant bleibt.
Es ist jetzt von Interesse, einen angeniiherten Ausdruck
fur die Grenzempfindlichkeit cles E'lusmeters herznleiten: Man
hat die clrei Gleichungen
dM=-Hdx,
Kenii Ii iswischen deu beideii letxt,en eliminiert wird,
erhglt man
Fiihrt man diesen K e r t von B in die erste Gleicliung ciii
und gleichzeitig (7% =
setzt, so wird erhalteii
als der absolute Betrag derjenigen magnetischen FlnB~nderuiig.
die einein Ausschlage = entspricht. Dies ist aucli cin I L H -
s
Annalen der Physik.
-5.
Folge. 8.
(jU
G. Ising
922
l) Wert der mittleren Unsicherheit bei Messung von
FluBanderung en.
Als ein nnmerisches Beispiel fiihren wir die Werte n2 = 8,
R = 20 lo9 e. m. E., w o = 2 , 6 = 2
ein und erhalten
dann
= 0,OS Maxwell. - Es verdient bemerkt zu werden,
daB ein empfindliches Galvanometer mit einer zugekoppelten
Priifspule theoretisch erlaubt, L a g e a n d e r u n g e n fast infinitesimaler Kleinheit zu messen: Wenn z.B. eine Spule von
1000 Windungen mit 5 cm Durchmesser zur Halfte in ein
magnetisches Feld von 4000 Gauss eingetaucht ist, dann
erhalt man eine FluBanderung von 0,08 Maxwell fur eine Verschiebung der Spule uin 4.
cm! Auf die experimentellen
Mittel zur praktischen Durchfiihrung dieses MeBprinzips sol1
hier nicht naher eingegangen werden. Es mag nur noch
erwahnt werden, daB man nach dieser Induktionsmethode nicht
nur schneUe Verschiebungen, sondern auch eine solche, die
wahrend langerer Zeit vollbracht ist, zu messen imstande
sein wird. I m letzteren Falle verwendet man ein Magnet
variabler Starke und beobachtet die herrorgebrachte Anderung
des Induktionskoej’izienten zwischeo der Priifspule und den1
Magnet.
gejahrer
-
B. Speaieller Teil
5 6 (2b). Die Schwingungegleichung
Wir betrachten etwas naher die Differentialgleichung fur
die Bewegung des Galvanometersystems. Wenn die Konfiguration
des Systems durch eine einzige Koordinate x bestimmt idz),
gilt bei geschlossenem Stromkreis die Differentialgleichung
(13)
IL?+p,z+Az=Ri,
1) Nur ein ungefahrer. Wegen der starken Diimpfung existiert
namlich eine Korrelation noch zwischen zwei Ausschlggen q, und zt,
welche mit ziemlich groBer Zeitdifferenz (1) observiert werden. Dies
macht, dall eine schnelle Anderung des Ausschlages infolge einer [email protected] d @’ prinzipiell beobachtbar ist mit einem mittleren Fehler <
Ich werde in anderem Zusammenhang darauf zuriickkommen.
2) Wenn bei der Bewegung einer Saite die Oberschwingungen
fehlen, ist die Konfiguration angenahert bestimmt durch die Elongation
eines gewtihlten Punktes der Saite, z. B. des Mittelpunktes. Auch das
Saitengalvmometer lallt sich somit angenahert als System mit einem
einzigen Freiheitsgrade nach (13) behandeln.
z-
Natiirlich Empfindlichkeitsgrenzen bei Mefiinstrumenten. I I 923
wo K das Triigheitsinoment (in genereller Bedeutung) und p ,
eine den Luftwiderstand charakterisierende Reibungskonstante
ist. F u r den Deviationsfaktor B hat man den oben angegebenen
[email protected]
husdruck (2'1 B = .
d .I
Wenn eine B u / k r e l) elektroniotorische Iiraft v in tleni Kreis
vorhanden ist, so gilt m i t Vernuchlussigun,g der Eiviiuirkunq
der Se lbstinilu,klion
(14)
wo R der Gesamtwiclerstand des Kreises ist. Fiihrt nlan (14)
in (13) ein, so wircl erhalten
I<.?
(15)
+ p i + A .7: = -'H
wo p = p1 + p z = p ,
12
=
Hi'
.
B2
-t die totale Keibnngskonstante, Snmme
R
i. ) ;
der mechanischen (pl) und der elektromagnetischen pz = ist und i'
=
1?R ein fiktdver elektrischer Strom bezeichnet, der
mit dem wirklichen Strom i zusamnienfallt, wenn j . = 0 (1. h.
hei stillstehendem Syste~n.~)Der Gleichgewichtsausschlag x,,
wird aus (15) fiir .P = .f = 0 erhalteri:
Wenn 1' die Schwingungszeit (ganze Periode) bei der gedampften Bewegung! T o die Schwingungszeit ohne Dampfung
( p = 0) bezeichuen uncl nmn setzt w o =
a=
2K
2n
=
p,@=
2Tn !
To
= die 7)Cimlpfungskon.stn.nfe! so l%Bt sich die Glei-
chung (15) sc.hreiben
(16)
.?
+ au .f + w,,%
=
R ,%'
. .
Ii-
1) D. h. vou der Bewegung des Galvanometersystems unabhangige.
2) In der Abhandlung von H. B u s c h , das Kriechgalvanometer,
Ztschr. f. techn. Phys. 7. S. 361 (1926), welche sonst in verdienstvoller
Weise die Bedeutung der Triigheit und der Direktionskraft in der Theorie
des Fluxmeters dnrstellt: sind i und i' nicht auseinander gehalten.
A0 *
G. Ising
924
Man hat bekanntlich
(17)
ac2
+ m2 = wo2
Rei cler Grenze der Aperiodizitat (,,kritischer" Dampfung)
ist ac = a,,. Die Dampfungskonstante a kann ebenso wie p in
zwei Terme a, und a2 aufgeteilt werden, welche die Luftdampfung bzw. die elektromagnetische Dampfung bedeuten.
Wir erdriicken diese als Multipeln rler kritischen Diimpfung (0,)
aus uncl setzen
a = w,00 7
(18
II
a - 23- = n,, 0 ,
1-
a2=
211
B2
,
= n2wo
,
wo n = n1 + n 2 . Wenn die letzte Gleichung (18) mit 2 K
multipliziert wird, so erhalt man
was die Qleichung (3) ist.
8 7 (3b).
Berechnung von 5
To
Wenn man in die Gleichung (16) i' = 0, a = n o , einsetzt
und annimmt, daB zur Zeit t = 0 das System in einem Anfaugsausschlage x = 2, ruht, dann erhalt man fur n < 1, n = 1,
n > 1 heziehnngsweise die folgeuden Integrale:
DenVerlaufder Funktionen 3. = f, (n) nnd 5 = fi (n)findet
To
To
man dadurch, dab man fur eine Anza.hl n-Werte die linke
Seite rler Gleichnngen (19) gleicli l/lo,, lmv. l/looo setzt unil,
N a turlichc Empjin dlichkeitsgrenxen bei Mepinstrumenten. II 925
nt
iiach Einfiihrung von wo t = 2T,
die Gleichungen in bexug a.uf
I,
t / l ' , , auflost'. Das Resultat diesrr Berechnung ist bei P. C u r i e ' )
fiir eine Snzahl n-Werte
1 und fiir einige wenige ?a-Werte
< 1 augegeben. V e r f a s s e r hat die Tabelle von C u r i e komplet,tiert. liesouders dnrch die Berechnuug einiger cler fiir n < 1
auftretenden Diskontinuitaten, welche von C u r i e nicht ern-ahnt
sind. Diese Disliontiuiiitiiten eiitstelieii in folgeiider Weise:
Denkt, inan sicli (lie erste Gleicliuug (19) bei einein gewissen n - f e r t . geometrisch tlargestellt init t als Sbszisse nnd
5 als Ordinate, so erhalt inaii die bekanute Kurve einer gedampften Sinusschwinguiig. Parallel der AhsziBachse werden
die beiden Geratleii x
=
fr
G%
grzogeii.
Derjenige Schnitt-
punkt niit irgeiideiner dieser Gerndeii wo die Schwingungskurve drfiriitiv in tlas Gebiet zwisclieii deli Geraden eintaucht,
gibt dvn Mreit vou tl. Hei eineiii gewisseii n-JTert tnn!liert
die Kurve in ilireni ersten TYeuclepunkt (Miiiimuni) die Ger:de
~
II:
T
= - 2.Kine lieliebig lileine Erhiihnug des X-ertes von n
100
inacht, ilaB der erste TVentlepunktj tler Kurve oberhalb tlieser
Geraden fallt 1 1 n d der Wert. von tl (1urc.h den liedeutend
friiheren Schnittpunkt zwisc.hen '(lei Gerade x =
+ 100
s* und dern
ersten herabsteigenden Teil der dc,liwinguugsliurve gegeben wird;
man hat mit andereir \\?erten einr Diskontinuitat fi (n). Diesc
erste Diskoiltinuitat, ist, in der Fig. 1 mit I bezeichnet. Die
zweite T I tritt bei einein etwas iiieclrigeren .jr-Wert. auf, welclier
derartig ist, daB der zwrite JTenclepuiikt (Maxiriiurn) die GtJrade z = + -5
taiigiert
100
LISW.
Die Diskontinuitaten fa(.)
sind
in clerselben Weise numeriert. TI-eil die IT-endepunkte der
Schwingungskurve auf den lreideil Exponentialkurven
=+2
.
~1
- ?L I U < ,t
liegen, fiillt cler hochste der beiden t-M'erte iii jeder Diskontinuitat auf die kontinuierliche Kurve f " ( n ) (in der Fig. 1 gestrichelt), welche fiir verschiedene 1% angibt, wann der Expo1) Equations rkdoites pour le calcul des moiivements amortis: Oeuvres
p. 190, Tab. VII.
G. Isiny
926
nentialfaktur eauf '/,,, bzw. '/,,,,, gesunkeu ist. Die
uxakte, vollgezogene Kurve umschlingt diese.
Die untenstehende Tab. 3 gibt in den Kolonnen 2-5 eine
Zusammenstellung der Werte von f und f * ; die in der Tabelle
von Curie]) vorkommenden n-Werte sind durch ein C und
diejenigen n-Werte, welche Diskontinuititen von f, ocler f,
entsprechen, durch fetten Druck bezeichnet. Die rechte Halfte
der Tabelle (Kolonnen 6-9) enthalt die durch Division mit
)LW',t
Tabelle 3
fa
12
0,l
c 0,25
C
1,66911[1
0,4392
1,395
&
=
0,8260
0,85
0,9
0,9102
0,94
vi5
4
-
-
-
1,555 1,489
-
1,48tiII
1,255
1,486
0,8871
0,667
0,707
0,817
-
-
0,911
0,968 C 0,985
C 1,057
1,371
C 1,984
2,780
11
4,30
5,79
1,
8,75
(i
1
.4,62
10
71
1,466 18
n-tw
1
1,15
1,5
2
3
4
0,99 73,29$) 09,9 8)
4,40 11,734 17,59
- 3,80011
3,176
2,281
tg1v
4,044
2,199 2,796
3,146111
1,860 ?:!;I1
2,727
1,633
0,707 C 1,053
0,7396
-=
-
2,28111
2,013
2,022
0,5
C 1,398
1,24011 1,86011
0,5914
1,612
0,992
0,4817
-
1,396
1,331
1,2081
0,997
1,156
1,0i41
0,808
1,293 0,832
1,221 0,908
1,208 1,170 0,969
1,317
1,470
2,002
2,944
4,150
1,135 1,018
1,099 1,057
1,192
- 1,323
_. 1,390
-
6,43
8,67
.3,12
?1,91
2,199
1) Ein paar dort fur
sind korrigiert worden.
2) Aus f'.
, = 0,5
9s
____
-
-
=o
1
12 =
9s
a3
20,36
17,65
2,309
7,87
2,010II
0,698
6,204
5,242
-
-
1,642
1,479
1,328
1,0961
1,229
3,990
3,330
2,949
2,432
2,627
1,360
1,470
1,741
1,963
2,075
2,143
2,168
2,187
2,191
2,199
2,812
2,940
3,080
2,944
2,766
2,571
2,479
2,386
2,307
2,199
0,5 und n = 1 vorkommende kleine Fehler
Natiirlicl~?Empfind la chkeitqrenxen bei Me Pinstr umenten. II 92 7
erhaltenen y-M.erte. - Die Berechnungen sincl mit
Hilfe graphischer Interpolation und zum Teil auch eines Rechenschiebers ausgefuhrt worden, wodurch eine Unsicherheit vou
einer Einheit der letzten Dezimale irgendwo eingeschliclien
sein kann. I n Fig. 1 und 2 sind (lie Diskontinuitatspunkte
durch kleine Kreise bezeichnet.
Die beicleu letzten Zeilen der 'I'abelle xeigen, dab schoii
bei 11 = 10 f,(n) untl fap)innerhall) weniger Proniille durch
die linearen A4nsdriicke 1,466 n bzw. 2,199 'n dargestellt werden.
Diese Ausdriicke werdeii folgendermagen hergeleitet: bei groSeni
n geht die dritte Gleichung (19) angenahert in
n-?il
.I'
-
e-
o,ol
(1L
-
VIP
-
1)
-
;rt
C- I L T ~
fiber, worauh
Man kaiin such von derjenigen L)ift'ereutialgleichuiig USgehen, in welche (15) entartet, wenn die Dampfung so groB
wird, daB der 'I'ragheitsterm ver~iachliissigtwerden kann:
11
.i.
+ A .1: = 0
gibt
t
1
=
d
111
100.
A II'
Fiihrt iiian liier p = n 2ein. was eine nachherige Hen
rucksichtigung des Tragheitsmomentes bedeutet, so erhalt man
tl =
T , ?In
100, d. h. die erste Gleichung (20).
n
928 G. Ising. Naturliche Ennlpfindlichkeiisgrenxelz usw. I I
Zuaammenfaasung
Die naturliche Grenzempfindlichkeit eines Galvanometers,
bestimmt durch die mittleren scheinbaren Strom- und Spannungsschwankungen, welche der Bro wnschen Bewegung des Galvanometersystems entsprechen? wird fur beliebige Dampfung hergeleitet. Um die Konsequenzen der Formeln klarer hervortreten
zu lassen, wird an Stelle der (ungedampften) Schwingungsperiode
die Einstellxeit eingefiihrt. Dabei ergibt sich u. a., daB bei
gegebener Einstellxeit und schwacher Luftdampfung die theoretische Grenzempfindlichkeit fast unbeeinfluBt von der GroBe der
elektromagnetischen Dampfung bleibt ? wenn diese von dem
kritischen Wert (be; gerade aperiodischer Einstellung) bis unendlich wachst. - Ein angenaherter Ausdruck fur die Grenzempfindlichkeit des Galvanometers als Fluxmeter wird angegeben,
nebst Hinweis anf eine einfache Dlethode zur Messung sehr
kleiner Lageanderungen.
S t o c k h o l m , Physikal. hist. (1. Universitit, Dezember 1930.
(Eingegangen 4. Januar 1931)
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