ANNALEN D E R PHYSIK
7. F O L G E
rt
BAND 3,
HEFT 5-6
*
1959
Zur Absdttigung der KernkrdtYe
VW Wit1 of Brunner
>lit 2 Sbbildungen
Inhaltsiibersicht
I n der vorliegenden Arbeit wird die Frage diskutiert, ob abstoBende Mehrkorperkrafte zur Stabilisierung der Atomkerne bei normalen Dichten notig sind
oder ob der Absattigungscharakter der Kernkriifte allein durch die Annahme
von ,,hard cores" fur die Nukleonen erklart werden kann. Es soll gezeigt
werden, daB die in e i n e r h b e i t von W. Macke gegebene Naherungsdarstellung
zur Berechnung der Gesamtenergie eines Kerns zu einer Unterschiitzmg der
kinetischen Energie fuhrt und somit eine zu groBe Kerndichte ergibt. Eine
verbesserte Darstellung der kinetischen Energie liefert eine M den Faktor
10 verkleinerte Dichte. Daraus folgt, daD die Einfuhrung von abstodenden
Mehrkorperkriiften zur Stabilisierung der Kernmaterie bei normalen Dichten
bei meitem nicht so dringlich erscheint, wie in 1) vermutet.
$j1. Einleitung
Vor kurzem gab Ma c k e l) eine Abschatzung der Bindungsenergie der Atomkerne an, um zu entscheiden, ob der Kern bei normalen Dichten, abgesehen
von dem sicher vorhandenen 5oproz. Anteil von Austauschkraften, nur durch
den EinfluB der ,,hard cores" stabilisiert werden kann. Der genannte Autor
verwendete eine einfache Niiherungsdarstellung sowohl fur die kinetische als
auch fur die potentielle Energie. Als Ergebnis lieferte diese Untersuchung,
daI3 fur das Minimum der Gesamtenergie die Kerndichte den experimentell
bekannten Wert etwa um das 40fache ubersteigt. (Dabei sei erwiihnt, daB die
Lage des Minimums der Gesamtenergie in Abhangigkeit der Kerndichte vom
,,hard core"-Radius und auch von der Tiefe des Zweinukleonenpotentials
unabhangig ist.) Damit ergibt sich aber die Notwendigkeit, um den Kern
bei normalen Dichten zu stabilisieren, abstodende Mehrkorperkriifte einzufuhren, so daB also zur Absiittigung der Kernmaterie Austauschkrafte, der
EinfluB der ,,hard cores" und auch ein wesentlicher Anteil von Mehrkorperkriiften beitragen wiirden.
Es soll nun in der vorliegenden Arbeit gezeigt werden, daB dieses Ergebnis
im wesentlichen auf einer Unterschiitzung der kinetischen Energie der Nukleonen beruht , welche bedingt ist durch die vereinfachende Verwendung
einer ,,reduzierten Dichte" zur Berechnung der kinetischen Energie. Nach
entsprechender Verfeinerung der Darstellung der kinetischen Energie erhalt
~
l)
W. M a c k c , Ann. Physik 19, 89 (1966).
Ann. Physik. 7. Folge, Bd. 3
16a
234
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 3. 1959
man fiir den stabilen Grundzustand der Kerne eine Dichte, welche darauf
hindeutet, daR die Einfiihrung von Mehrkorperkraften nicht notig ist. Fur
die kinetische Energie werde dabei ein Ausdruck verwendet, den der Verfasser in einer Arbeit zu dem gleichen Problemkreis diskutierte [vgl. PuRnote *)]
und der scheinbar eine gute Darstellung fur die kinetische Energie der Nukleonen im Kern gibt, wie ein Vergleich mit dem entsprechenden Wert einer
Arbeit von Gomes, W a l e c k a und WeiRkopf2) zeigte.
Die Rechnung wird fur N = Z = A / 2 durchgefuhrt unter Vernachlassigung
von Coulombscher und Oberfliichenenergie.
Q 2. Darstellung der kinetischen Energie
In der oben genannten Arbeit l) wurde die kinetische Energie dargestellt
durch
v = uUg- Av,,
(
4n
3
u, = - R,", R,
,,hard core"-Radius
wobei mit v das den Nukleonen effektiv zur Verfugung stehende Volumen
und mit v, das Gesamt-Volumen des Kerns bezeichnet ist.
Bezeichnet man mit R den Kernradius, rnit R, den Radius des ,,hard core"
eines Nukleons und mit Re.. einen effektiven Radius, gemaD des den Nukleonen zur Verfugung stehenden effektiven Volumens, d a m gilt
R:ff= R3 - AR:
(3)
und die kinetische Energie geht uber in
Fur R,
<R
~
A'/S
liefert die Entwicklung, wenn man nach dem zweiten Gliede
abbricht,
Die durch die Existenz der ,,hard cores'' bedingte zusatzliche kinetische
Energie ist also, bis auf einen Proportionalitatsfaktor, gegeben durch
<AR leicht in guter
Diese zusatzliche Energie la& sich aber fur den Fall R,
1.
Naherung direkt berechnen. Es wurde dies von Lenz3) durchgefuhrt mit
~
~~
2,
3,
L. C. Gomes, J. D. W a l e c k a , V. F. V7ei0kopf, Ann. of Physics 3, 241 (1968).
W. L e n z , Z. Physili 5G, 778 (1929).
W . Brunner: Zur Absattigung der Kernlnafte
235
dem Ergebnis
Damit erkennt man durch Vergleich der Gln. (6)und (7), da13 die Beschreibung
der kinetischen Energie nach G1. (1)eine starke Unterschiitzung dieser Energie
liefert, weil das wegen der Kleinheit von A'Ia R, wesentliche lineare Glied
nicht mit erfaljt wird. Die Entwicklung beginnt nach G1. (6)erst mit (A'/.
%r.
Physikalisch beruht diese Unterschiitzung darauf, da13 die kinetische Energie
durch den Impuls bestimmt ist und dieser wiederum wegen der Randbedingungen der Wellenfunktion durch die linearen Abmessungen L eines
Volumens L3 gegeben ist,. Man uberzeugt sich nun leicht, da13 man eine zu
kleine kinetische Energie erhllt, wenn man die Energie mit einem fiktiven
mittleren Impuls berechnet, welcher aus der linearen Ausdehnung eines
effektiven Volumens bestimmt wurde.
Urn zu einer genaueren Beschreibung der kinetischen Energie zu gelangen,
wird man also einen Ausdruck fur Ekinfordern, der einerseits niiherungsR
R
weise fur hohe Kerndichten gilt R <
und der andererseits fiir R, __
<A'/%
(
in GI. (7) ubergeht. Eine hierfur geeignete Darstellung stellt eine von Lond 0n4) angegebene Interpolationsformel dar. Unter Verwendung dieser Gleichung werde die kinetische Energie in Anlehnung a n die Arbeit von Mac k e l)
in Abhangigkeit von der ,,reduzierten Dichte" dargestellt.
Nach L o n d o n ist zu schreiben (mit 2'1. m 1,0)
Dabei bedeutet R den Kernradius und R, den Radius eines ,,hard core".
Mit GI. (3) ist dann die ,,reduzierte Dichte" zu definieren als
und hieraus folgt
GI. (10) in (8) eingeset'zt liefert mit
Ekln = A x
R = 4n+ A B:
@; (
TI,=
2,24
- I---1 +
\($+ w,>" [($+
4n
w,~-w~/a]'
4)
)"'.
'
R,"
w:/a
'
[($ + wcy+ 0,71w:la
F. London, Prop. Roy. SOC. 153, 576 (1935).
16*
236
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 3. 1959
A
41
Set,zt man noch a =
v, , v b -- 2
- R3,)
3 (8;
x ale Variationsparameter gilt, dann wird schlieBlich
$3. Bestimmung des Minimums der Energie
Fur die potentielle Energie, welche mit einem
Zweinukleonenpotential nach Abb. 1erhalten d e ,
kann der in l) verwendete Ausdruck iibernommen
werden, welcher in der obigen Bezeichnungsweise
2
mit Q = - lautet
vb
L
Abb.
Das betrachtete
Zweinuklwnenpotential
Die Gleichung fur die Gesamtenergie ergibt sich
somit zu
x >A.
s)
Man erkennt unschwer, daD der Minimumswert x, sowohl von R, und Rb
(u =
als auch von der Tiefe des Zweinukleonenpotentials Vb ( 8 . Abb. 1)
abhangt.
Die Bestimmung des Minimums von E beziiglich x erfolgt zweckrnafiigerweise graphisch, indem E aJs Funktion von x und dem Parameter u aufgezeichnet werden soll. V , werde dabei so festgelegt, da13 die Bindungsenergie
pro Nukleon 8 M e V ) (Tab. 1) bzw. 15 MeVs) (Tab. 2) betrggt.
6 , Wiihrend die Bindungsenergie pro Nukleon in den realen Kernen etwa 8 MeV
A
betriigt, ist sie in der vorliegenden Niiherung N = Z = - , reine Volumenenergie mit
2
16 MeV &musetZen. Die Diskussion wurde mit beiden ~Wertendurchgefiihrt, urn auch
die Abhkngigkeit der einmlnen Grobn (V,,Ek,usw.) voh der Festlegung der Bindungsenergie zu zeigen. [Man w i d erwarten, da8 die Verhiiltnisse in den realen Kernen zumindest beztiglich der Dichte niiher den Werten der Tab. 1 liegen, wegen des bindungslockernden Charakters der in der vorliegenden Niiherung (EB= - 16 MeV) nicht beriicksiohtigten Energieanteile. Diese bedingen aber eine Verschiebung der zm-Werteder Tab. 2
zu kleineren Werten (und damit auch zu kleineren Ek,E, . usw.)] Diese Bind-auflockerung mag bei den Werten der Tab. 1 durch die Wahl der kleineren Bindungsener ‘e (BE = - 8 MeV) als angedeutet betrachtet werden.
g d i e s e r Stellemochte ich Herrn Prof. Dr. W. Macke, Dresden, fur einen wertvollen
Hinweis zu diesem Punkte meinen herzlichsten Dank aussprechen.
(
)
..
237
W . Brunner: Z s r Absattigung der Kernkrafte
Die Diskussion von G1. (14) erfolgt fiir 4 verschiedeiie Werte voii a und
3 Werte von R,. Das bedeutet, da13 bezuglich R,,R, und v b 12 verschieden
bemessene Zweinukleonen-Pot,entialein der Betrachtung erfaBt werden. Fiir
R, wurde R, = 0,35.
cm (dieser Wert wurde in Arbeit l ) angegeben),
R, = 0,4.
cm2) und R, = 0,53.
cms) gewlhlt. Die Werte fur a
wurden danach so festgelegt, daf3 damit der physikalisch interessante Wertebereich von R, (R,M (0,9. . . 2,5)
cm) erfaBt wird.
Der Zusammenhang zwischen z und dem Kernvolumen v ist nach G1. (2)
m i d der Definitionsgleichung fur z gegeben durch
-
z:* = ,4
($+ v,) .
(15)
Der Kernradius folgt hieraus zu
wahrend der experimentelle Wert zu
ankenommen werde .
0 4. Diskussion
Die aus der Minimumsbestimmung der Energie von G1. (14) erhaltenen
x,-Werte sind zusammen mit den dazugehorigen GroBen in den folgenden
Tabellen 1 und 2 dargestellt').
Die eingetragenen Energien
sind bezogen auf ein Nukleon
und angegeben in MeV. R,und
R, sind in Einheiten von A
cm angegeben. Abb. 2
zeigt die graphische Darstellung
von G1. (14) f i i r die drei ver50 schiedenen Werte von R, und
R, = 1.4 10-13 cm, E , =
7- 8 MeV. Unabhangige Variable
9.
ist der Dichteparameter 2. Die
IQO Berechnung desKernradiusnach Abb. 2. Abhilngigkeit der Gesamtenergie pro
E
Bestimmung des xm erfolgt Nukleon vom Dichteparameterzfur verschienach GI. (16).
A
Afan erkennt aus den snge- dene R,. Rb = 1,4 10-13 cm, EB = - 8MeV
gebenen Werten eine relativ
starke Abhiingigkeit des stabilen Kernradius und damit auch der Kerndichte, besonders vom ,,hard core"-Radius eineR Nukleons. Fur den relativ
1";
-
~
6)
7)
M. M. L e v y , Physic. Rev. 88, 726 (1962).
Bei der numerischen Auswertung wurde zur Vereinfachung wegen
0,008 stets v,
=
42
3
(It: - It?) w
4n
Rg gesetzt.
(27
=
0,06...
Annalen der Physik. 7. Folqe. B a d 3. 1959
Tabelle 1
&heor.
Bexp.
0,36
0,20
0,26
0,286
0,38
1,76
1,40
1,22
0,92
27,9
64,2
81,4
193,4
39,l
38,6
38,l
37,3
78,3
76,b
76,9
70,7
126,4
122,o
122,o
116,O
0,612
0,613
0,821
4,4b
4,36
4,34
4,16
0,40
0,20
0,26
0,286
0,38
2,oo
1,60
1,40
1,06
21,7
42,3
63,6
161,4
29,9
29,4
32,2
28,6
69,9
67,8
71,O
64,2
97,8
96,2
111,2
90,8
0,696
0,698
0,668
0,708
2,97
2,93
3,36
2,80
0,63
0,20
0,215
0,286
0,38
2,66
2,13
1,86
1,40
12,9
26,3
37.7
1 I
44,l
37,6
47.6
71,2
63,3
76,b
89,l
0,866
1,64
1,37
1,6%
1,86
19,l
17,7
19.9
0,608
0.900
0,860
0,812
---Tabelle 2
RC
vb
EI,
4
EPot.
----
~
0,20
1,76
29,2
44,l
101,4
160,b
0,670
0,26
0,286
0,38
1,40
1,22
0,91
66,7
86,3
203,2
40,8
46,8
37,3
86,9
109,7
70,7
141,7
170,6
123,O
0,693
0,662
0,621
0,40
0,20
0,26
0,286
0,38
2,oo
I ,60
1,40
1,04
22,8
44,8
67,O
160,4
37,O
31,3
36,l
38,2
96,O
663
82,9
107,2
148,O'
112,l
134,O
160,4
0,619
0,678
0,641
0,806
0,63
0,20
0,26
0,286
0,38
2,66
2,13
1,86
1,40
13,8
27,O
40,7
96,l
22,2
23,4
22,6
21,8
59,8
69,6
64,l
69,3
97,O
108,O
101,7
96,l
09806
0.783
0,36
I
6,4
4,2
3,2
3,8
4,6
I
lPg2
2.08
kleinen Radius von R,= 0,35 . 10-13 cm wird die theoretische Dichte (fur den
Fall E , = - 8MeV) ctwa urn den Paktor 4,3 ma1 grol3er als die experimentell
beobachtete, dagegen hetragt dieser Faktor fur R, = 0,53 . 10-13 cm nur etwa
1,4. Der Einflu6 von R, dagegen ist klein und erscheint praktisch nur als
eine Schmankung in dem durch R, vorgezeichneten Bereich (natiirlich nach
der bereits erwahnten Justierung von V b ) .
Vergleicht man einige der an den Nukleon-Nukleon-Streudaten normierten Potentiale bezuglich der Rc-, R,-und Vb-Werte mit den in dieser Arbeit
diskutierten Werten (welche an dem schematisierten Potential der Abb. 1
definiert wurden), so ist eine naherungsweise ubereinstimmung der oben dargestellten Resultate mit den tatsachlichen Verhaltnissen im Kern zu erwarten.
(Beziiglich der Werte fur die kinetische und die potentielle Energie, ebenso
wie auch fur V, scheint R, = 0 , 5 3 . lO-l3cm mit R, = 2,13-13 cm bzw.
Rb = 1,86 .
cm die vernunftigsten Werte zu liefern.) Daraus folgt aber,
daB die Kerndichte miiidestens um den Faktor 10mal kleiner ist als in der
FV. Brunner: Zur Absattigung der Kernkriijte
Arbeitl)
("?-
M
239
40) angegeben. Werin man noch bedenkt, daB diese Ab-
@em
schatzung rnit reinen Wigner-Kraften durchgefiihrt wurde, wahrend in den
realen Kernen die Austanschkrafte mit etwa 50 % an der Kernabsattigung
beteiligt sind, so wird man folgern, daB die Kernmaterie im wesentlichen
durch den EinfluB der ,,hard cores" bei normalen Dichten stabilisiert werden
kann ; die Einfiihrung von Mehrkorperkraften mit einem wesentlichen EinfluB
auf die Kernbindungsenergie scheint nicht notwendig zu sein. Dieses Ergebnis
ist in ubereinstimmung mit den Resultaten einer detaillierteren Berechnung
des Verhaltens der Kernmaterie von G o m e s , W a l e c k a und WeiBkopf2),
sowie auch mit einer vor kurzem vom Verfasser durchgefuhrtenArbeit8). Hierzu
sei noch erwahnt, daB der eventuelle EinfluB von ahstoRendeii Dreikorperkraften (W A4) in der Weise grob abgeschatzt werden kann, daB zur Gesamtenergie noch ein Energiebeitrag der Form
c . x3 . A addiert wird. Es ergibt
+
sich, daB selbst fur den bei E , = - 8 MeV ungunstigsten Fall
10-13 cm, damit
etheor.
N
1
R, = 0,35 .
(
4,4 das Verhaltnis von abstoBendem Dreikorper-
@em.
potential zu anziehenden Zweikorperpotential fur
*
M
1,0 kleiner als
@exp.
10 yo ist. Fur R, = 0,4.lO-13cm und R, = O,5R 10-13cm liegt der Prozentsatz
noch wesentlich tiefer. Dabei sei noch einmal darari erinnert, daB auch diese
Zahlenwerte mit reinen Wigner-Kraften ermittrlt wurden.
Als Ergebnis der hier durchgefuhrten quantitativen Abschatzung kann
folgendes festgehalten werden : Macht man die Annahme, daB die Nukleonen
einen ,,hard core" mit einem Radius R, besitzen und daB zwischen je zwei
Teilchen ein Potential, wie in Abb. 1 dargestellt, mit einem anziehenden
Bereich der Ausdehnung R, und der Tiefe V , wirkt, dann ergibt sich, daB die
aus dem Minimum fur die Gesamtenergie theoretisch zu bestimmende Kerndichte vorwiegend vom ,,hard core"-Radius R , abhangt. Der EinfluB von
R, ist relativ klein. Bei vernunftigen Werten fur R, ergibt sich
zu 1,4
@em.
bis 5,6. Das liiBt den SchluB zu, daB f i i r das Problem der Absattigung der
Kernmaterie die Einfiihrung eines wesentlichen Anteils von Mehrkorperkraften nicht erforderlich ist. Die Frage, ob Mehrkorperkrafte uberhaupt
einen merklichen, d. h. experimentellen nachweisbaren Beitrag zur Absattigung liefern, erfordert die genaue Kenntnis der in der Natur realisierten
.
8, Es wurde vom Verfasser ein einfaches Modell fur schwere Keriie zur Bcrechnung
der Bindungsenergie vorgeschlagen [Ann. Physik (7) 3, 137 (1969)], welches nur einen
bestimmten ,,hard core"-Radius R, und eine Mesonfeldstiirke (Kopplungskonstante g)
fur den Kern voraussetzt. Der aus diesem Modell folgende Ausdruck fur die potentielle
Energie geht mit wachsendem Kernradius Rk.p in den in der vorliegenden Arbeit
verwendeten Ausdruck fur die potentielle Energie uber. I% gilt fur Rk ,u>.1 dPr Zusammenhang
_ - V , (in MeV).
(4PI3 ~
240
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 3. 1959
Zwei- und Viel-Teilchenpotentiale (zumindest bei Anwendung des ublichen
Rechenverfahrens). Zur Beantwortung der letztgenannten Frage ist eine
genauere Diskussion, vor allem bezuglich des vorausgesetzten Potentials,
erforderlich .
Es sei an dieser Stelle noch auf einige Druckfehler in der unter zitierten Arbeit
des Verfassers hingewiesen, die leider nicht mehr rechtzeitig berichtigt werden konnten :
Seite 142, letzte Zeile, mu13 es statt . 8 3
richtig . . . 4 . . hei13en. G1. (20)
ist noch mit dem Korrekturfaktor 7,G1. (21) und GI. (22) mit 7 .p2 zu multiplizieren.
Auf Seite 147, letzte Zeile, mu13 es im Nenner der angegebenen Zahlenwertgleichung
richtig 2 6'Ia (statt 2 611r) heiaen, wahrend im Nenner von G1. (24) (2. Term) richtig
8 . n2 stehen mu13. Seite 148 ist im Abschnitt c) . . . G1. ( 1 9
zu ersetzen durch
. . G1. (16). . . , und endlich mu13 der Hinweis, Seite 160, 8. Leile von unten, statt . . .
(siehe G1. (6)) . . richtig . . (siehe a)) . . . heioen. Um MiOverstandnisse auszuschlieBen,
sei erganzend zu den Ausfuhrungen der oben erwahnten Arbeit noch folgendes bemerkt :
1. Es wurde der Variationsparameter I (bzw. I p ) , welcher ein Ma13 fiir die Breite
der Dichtevehilung ist und mit der Halbwertsbreite durch den Faktor v m 2 = 1,18
zusammenhlingt, mehrfach vereinfachend selbst als Halbwertsbreite bezeithret..
2. Die auf Seite 148 unter d) erwahnte Zusatzforderung zur Berechmrg dcr FGtentiellen Energiein der 4. Ordnung in g (die natiirlich auth bei der allpmeiren Eehardhrg,
Seite 146, zu stellen ist, bei der moglichen exakten Diagonalisierung von G1. (11) aber
entflllt) ist bereits als eine gewisse Weiterentwicklung der verwendeten Modellvorstellung
zu interpretieren. Diem Zusatzforderung hangt unmittelbar mit der (durch das Ziel der
Untersuchung bedingten) Annahme einer stijrungstheoretischen Entwicklung zusammen.
Hieriiber werde an anderer Stelle ausfiihrlicher berichtet.
.. ...
-
.
.
.
...
.
Zeu t h e n , Kernphysikalisches Institut der Deutschen Akademie der
Wissenschaften zu Berlin.
Bei der Redaktion eingegaiigen am 17. Oktober 1968.
Автор
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