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Raumgitterinterferenzen und Resonanzvorgnge.

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ANNALEN D E R PHYSIK
5. FOLGE
HEFT 3
BAND 36
U.
4
OKTOBEK 1 9 3 9
R a ~ ~ ~ ~ t t e r ~ ~ t ~und
r f eResowamnxvorgange
r e m ~ e ~
Von W. K o s s e l
(Mit 1 Abbildung)
L a u e s Grundgedanke iiber 'die Wellenausbreitung in Raumgittern Tvird am knappsten durch Beschreibung der Umsteuerung
eines Strahlvektors dargestellt. Die drei L a u e schen Gleichungen
geben a n , wie sich die Komponenten dieser impulsartigen GroBe
beim Passieren des Gitters andern konnen, wahrend ihr Betrag erhalten bleibt. Die Braggsche Transformation dieser Gleichungen
in eine Spiegelungsbedingung und die Interferenzbedingung fur ein
lineares Gitter zeigt, daB es praktisch ist, die Normalkomponenten
des Strahlvektors zu den Netzebenen hervorzuheben. Nur diese
Normalkomponente andert sich (,,spiegelnde Reflexion"), und zwar um
einen vom Netzebenenabstand diktierten Betrag oder ein ganzes
Vielfaches davon (,,Braggbedingung"). Das Gitter stellt also ein
System von zu Netzebenen senkrechten ImpulsgroEen bereit, urn die
einfallende Strahlvektoren abgeandert werden konnen. Gebrauchlich
ist, yon den Endpunkten clieser gittereigenen Impulsvektoren als dem
,,reziprokeu Gitter" zn sprechen. Indes trifft die gewohnte rein
geometrische Kennzeichnung, die mit einem Raum reziproker Langen
operiert, nicht das Resentliche'). Xicht die Punkte - wie die Streuzentren des Lagengitters - sondern die sie verkniipfenden Vektoren
sincl physikalisch im Spiel, - man befindet sich im Impulsrauni.
Das System kann als ,,Spektrum" des Gitters bezeichnet werden,
wenn dieser Begriff uber das Gewohnte hinaus verscharft wird. Sol1
das Spektrum eines Korpers die Strahlungen angeben, die er vermoge
seines Baus aufzunehmen und auszustrahlen vermag. so ist das auf
dem iiblichen Frequenzband nicht erschopfend darzustellen, - er
tsuscht ja iiicht Frequenzen aus, sondern Lichtquanten, also Impulse. Kur da, wo Unordnung die Richtungseigenschaften verwischt,
reicht das Frequenzband aus, das Beobachtbare darzustellen, das gewohnte nach v geordnete Spektrum beschriinkt sich notgedrungen auf die Absolutwerte der Strahlvektoren. Das Gitter
des Einkristalls aber zeigt scharf die dem einheitlich gebauten
I) Ergebn. d. exakt. Naturw. 16. S. 295. 1937.
Annalen der Physik. 5. Folge. 36.
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Z U M 6o.GEBUKTSTAGE
GEIVIDMET VOK
FREUNDEN U N D SCHOLERN
9. O k t o b e r 1 9 3 9
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Annalen der Physili. 5. Folge. Band 36. 1939
Korper eigene Bindung an die Richtung, indem es auf bestimmte
Frequenzen nur in bestimmten Einfallsrichtungen und umgekehrt in
bestimmten Richtungen nur auf bestimmte Frequenzen und deren
Vielfache reagiert. Sein Spektrum kann also nicht skalar dargestellt
werden, sondern ist das betrachtete Vektorsystem (Abb. I). D a die
ausgetauschten Impulse dem Kristall gegeben oder genommen tverden,
ist es zugleich das System der Bewegungszustande, die der Kristall
d u d 1 Bustausch mit Strahlung anzunehmen vermag. Die Lauesche
Entdeckung kennzeichnet ein dem Gitter eigentiimliches Vektorgeriist, das dem Drehimpulsvektorgerist des Atoms korrespondiert,
1
1
I
(OOR
Abb. 1. Ausschnitt aus dem Impulsspektrum (reziproken Gitter)
des Diamantgitters (110-Ebene)
bei dem wir j a ebenfalls wissen, daB eine angemessene Behandlung
nicht allein nach der ausgetauschten Spektralfrequenz, sondern nach
den ausgetauschten ImpulsgroBen zu fragen und diese nach der Lage
am Atomkorper zu ordnen hat.
Die elementare Gewohnung wird einwenden, das sei rein formal.
Man habe zwei grundverschiedene Dinge: ini Spektrum die AuBerung
eines durch eine Dynamik gegebenen Systems von Eigenwerten, in
den Interferenzgesetzen rein geometrisch begriindete Beziehungen
zwischen Xellenlangen, Gitterabstanden und Winkeln. %Sir wollen,
indem wir eingehende Darstellung fur spater vorbehalten, versuchen,
in kurzen Worten die dnsicht zu begriinden, daB die Analogie
sachgemaB ist. Es ist fruchtbar, behaupten wir, die Laueinterferenz,
die Braggreflexion mit einem Resonanzphanomen zu vergleichen.
1% beginnen niit einer Dimension. Die Grundannahme handlc es sich nun urn Ladungsdichten bei elektromagnetischen.
W . Xossel. Raumgitterinterferenxen u n d Rcsoiianxcorgiinge 1'31
Potentiale bei Schrodingerwellen --- ist periodisch wechselndes Streuvermogen der Raumelemente. Wir konzentrieren , d a das Grundproblem der dynamischen Theorie mit Ausdehnung der Ladungswolken nichts zu tun hat, in der elenientar gewohnten Weise auf
streuende Punkte, im eindimensionalen Fall, den man durch ebene
Wellen realisiert denken wird, also auf streuende Ebenen. Eine
solche erzeugt vor sich stehende Wellen. Mit einer zweiten streuenden
Ebene, die man in diesen von den primaren und den zuriicklaufenden
Wellen erfiillten Raum einschaltet, sind die notwendigen Klemente
fiir die Erscheinungen beieinander, um die es sich handelt. Die
zwei Ebenen grenzen einerseits einen eigenschwingungsfahigen Raunz
ab und bilden andererseits das Element eines Gitters von Ebenen,
wie es in der Rontgeninterferenz wirksam ist.
In dieser Moglichkeit, denselben Apparat in zweierlei Sinn
aufzufassen, auBert sich die Beziehung, die wir hervorheben wollen.
Nimmt man zur Verdeutlichung die riickwartige Ebene voriibergehend
als vollkommenen Spiegel an, so wird deutlich, daJ3 die Anregung des
nun entstandenen linearen Resonators - einer offenen Pfeife zu erzwungener Schwingung in nichts anderem besteht, als in einer
oberlagerung der vom offenen Ende eingetretenen und vielfach im
Inneren hin- und herreflektierten Bewegungen, - die Dynamik dieses
Oszillators beruht auf der Dynamik des erfiillenden Mediums (Dichte,
Elastizitatsmodnl), die in einfachster Form, durch die Phasengeschwindigkeit, eingeht. Ebenso ist die Emission des freieti oberen Endes
nichts als eine oberlagerung von Teilbetragen, die nach verschiedener
Zahl von Hin- und Herwegen oben austreten. Der lineare Charakter,
die Tatsache der einfachen Superposition der Teilbewegungen ist
entscheidend. Nicht anders ist die Bewegung aufgebaut, die von den
Einzelteilen eines Gitters ausgeht und zusammengefaBt wird. Folgen
den beiden ersten weitere streuende Ebenen, so sind die eingeschalteten Strecken, auch wenn mehrfache Hin- und Herwege im
Inneren, gegenseitige Zustreuung der Ebenen beachtet, also ,,dynamische" Gittertheorie getrieben w i d , keine anderen, als sie zwischen
dem ersten Paar moglich sind. Es steht frei, die SchBrfe, niit der
im elementaren Versuch die in einem Rohr niit beweglichem Boden
eingeschlossene Luftsaule unter einer Stimnigabel nur auf engem
Langenbereich starke Emission in den freien Raum gibt, wie iiblich
als Resonanz des eigenschwingungsfahigen linearen Gebildes oder
als das scharf selektive Arbeiten eines Interferenzapparates aufmfassen, in dem, wegen guter Reflexion an den Enden, hohe Gangunterschiede vorkomnien. Hier ware nun einerseits die Miiglichkeit
zu betonen, auch den Raum zwischen den Platten eines PBrot-Fabry
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Amialew der PI~ysik. 5. Folye. B a d 36. 1939
als eigenschwingungsf ahiges Gebilde aufzufassen, andererseits zu den
dynamischen Eigenschaften des lineareu Gitters fortzuschreiten , die
man in der dynamischen Gittertheorie - etwa der Tellenmechanik
der Leitungselektronen -, von einer fur das Innere des Mediums
angesetzten Differentialgleichung, in der elektrotechnischen und
akustischen Praxis von den Eigenschaften der resonanzfahigen
Einzelglieder her anzugehen pflegt, und die sich in dem Auftreten
von Sperr- oder Durchlassigkeitsgebieten endlicher Frequenzbreite
und den damit verkniipften Wirkungen auf die Phase Bugern, die
auch als Veranderungen der Phasengeschwindigkeit, also als Dispersion
in der Nahe der kritischen Gebiete gelten konnen.
Die Hauptlinie der fjberlegung fiihrt nun auf den Punkt, der
begrifflich die meisten Schwierigkeiten zu machen pflegt : zu deli
Vorgangen bei schragem Einfall. Die Welleulange, auf die das Gitter
etwa mit Braggscher Reflexion reagiert, ist doch mit dem Neigungswinkel veranderlich! Wie kann es da einen Sinn haben, mit einem
eigenschwingungsfahigen Gebilde zu vergleichen?
Man mug sich zunachst lebendig machen, daB bei Einfall unbegrenzt breiter ebener Wellenfronten, wie er stets vorausgesetzt
wird, die im stationaren Zustand zuriickflutende Bewegung bei
schragem Einfall nicht anders aus den von den Netzebenen des
lnnern zuriickkehrenden Betragen aufgebaut ist, wie fur senkrechten
Einfall. Niemand zweifelt, daB fur diesen - den oben behandelten
linearen Fall, bei dem die Bewegung in sich selbst zuriickkehrt die Verknupfung mit Resonanzbetrachtungen sachgemafi ist. Beim
Herausschwenken aus der Normalen andert sich nichts am Aufbau,
der Ubergang ist - seitlich unbegrenzte Wellenfronten und stationarer Zustand vorausgesetzt -- vollig stetig. E s behalt also auch
der Fall der Ubereiristimmung in der Phase, der wegen der Verkiirzung
der Gangunterschiede n u n f u r kiirzere Wellenlange eintritt, seine
Eigenschaften nach resultierenden Amplituden und Phasen bei.
Man durchliuft dieselbe Ileihe von Erscheinungen, ob man bei
senkrechtem Einfall und fester Gitterkonstante die Frequenz, oder
bei senkrechtem Einfall und fester Frequenz die Gitterkonstante
oder schliefilich bei fester Gitterkonstante und Frequenz den
Einfallswinkel den ,,Eesonanz"wert passieren lafit. So sieht man.
indem man sich auf den physikalischen Aufbau dessen. was bei
Resonanz zu beobachten ist, besinnt. dab sich analoge Anderungen
der Ausbreitungsbediiigungen, wie man sie in der NBhe einer Eigenfrequenz als anomale Dispersion kennt, in der Nahe des Braggschen
Winkels ini Kristall als Winkelfunktion zeigen mussen. Deshalb erscheint es sachgemiifi, auch die E l d e r solcher U'inkelabhhgigkeit,
It-. liossel. Raui)igitte,.i,~terfe,.ei~,-et~
ujid Resorlcitl:/.o,.~ii)l~e
1%
wie wir sie hier z. B. kiirzlich fur Elektronen gaben. nls Dispersionserscheinuugeu zu bezeichneu l), zumal auch der Anblick der Erscheinungen die Analogie mit den Dispersionserscheinungen im gewohnten reinen Freqnenzspektruni deutlich niacht.
Will man sich schlie6lich die Beziehung zur erzwungenen
Schwingung des einfachsten Oszillators, des quasielastisch gebundenen
Massenpuuktes, klarmachen, so ist nijtig, zur zeitlichen Summierung
iiberzugehen. Man beginnt etwa nieder mit der Bewegung am offenen
Ende des einfachen linearen Resonators, beachtet, daf3 die Teilbewegungen, je weitere Wege sie im Innern zuruckgelegt haben, aus
desto friiheren Zeiteh der Anregung dnrch die Primarbewegung
stammen nnd behandelt den analogen Anfban der augenblicklichen
Beschleunigung des schwingenden R1assenpunktes. J e weiter zuriick
Beitriige liegen, die entgegen der Daiiipfung noch mitwirken, desto
groBer ist ihre Zahl, desto scharfer die Resonanz - im Aufbau
entsprechend der Wirkung hoher Bundelzahl im Interferenzspektroskop. Die dnalogie des Phasenwechsels an der Resonanzstelle beim
Oszillator, die man dort primitiv dynamisch abzuleiten pfiegt , zu
dem rauiiilichen Phasenwechsel im Braggreflex, wie er in den
Helldunkellinien der Gitterquellenbilder sichtbar wirc12), gab den
AnlaI3, sich die Analogie in der Struktur der Erscheinungen lebendig
zu machen.
1) W . K o s s e 1 u. G. M o l l e n s t e d t , Ann. d. Phys. [5] 36. S. 113. 1939.
Abschn. 7.
2) W . K o s s e 1 u. H . V o g e s , Ann. d. Phys. [5]’23. S.677. 1935. Abschn.10.
D a n z i g - L a n g f u h r , Physikalisches Institut der Technischen
Hochschule.
(Eingegangen 23. August 1939)
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