close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

вопрос 29

код для вставкиСкачать
29 Формула Коши. Правило Лопиталя.
Теорема 7.12 Пусть:
1) f(x) и g(x) определены и непрерывны на сегменте [a, b],
2) f(x) и g(x) дифференцируемы в интервале (a, b),
3) g'(x)  0  x  (a, b).
Тогда:  точка c  (a, b): .(1)
(это формула Коши)
Доказательство.
Прежде всего отметим, что знаменатель в левой части формулы (1) не равен нулю, то есть g(a)  g(b). В самом деле, если допустить, что g(a) = g(b), то функция g(x) будет удовлетворять всем условиям теоремы Ролля, и тогда найдется такая точка на интервале (a, b), в которой g'(x) = 0, что противоречит условию 3) нашей теоремы.
1-й способ.
f(b) - f(a) = f'(c)(b - a),
g(b) - g(a) = g'(c)(b - a).
Разделив эти равенства друг на друга, получим формулу (1). Это доказательство не годится, так как точки c, вообще говоря, разные.
2-й способ.
Введем функцию F(x) = f(x) - f(a) -(g(x) - g(a)).
F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В частности, F(a) = F(b) = 0.
По теореме Ролля,  точка c  (a, b): F'(c) = 0.
f'(c) - g'(c) = 0. .
Теорема доказана.
Формула Лагранжа является частным случаем формулы Коши в случае, когда g(x) = x. В этом случае g'(c) = 1, g(a) = a, g(b) = b.
Правило Лопиталя.
Пусть f(x) = 0, g(x) = 0.
мы называем неопределенностью типа .
Правило Лопиталя позволяет в определенных случаях раскрыть эту неопределенность, то есть вычислить этот предел.
Теорема 7.13. Пусть:
1) f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в проколотой  - окрестности точки a,
2) Пусть f(x) = g(x) = 0,
3) g'(x)  0 в любой точке из указанной проколотой  - окрестности точки a,
4)  .(1)
Тогда:  = .
Доказательство.
Доопределим f(x) и g(x) в точке a по непрерывности, то есть положим f(a) = g(a) = 0. Тогда f(x) и g(x) будут непрерывны в некоторой окрестности точки a.
(здесь рисунок)
Возьмем произ. x  a из этой окрестности и применим формулу коши для сегмента [a, x].
, где c  [a, x]. Отсюда получаем:
.(2)
Перейдем в (2) к пределу при x  a. При этом c  a. В силу условия 4) предел правой части равенства (2) существует, следовательно, существует предел левой части равенства, и он равен пределу правой части, то есть = .
Теорема доказана.
Примеры.
1) == 1.
2) ==axln a - axa-1 = aa(ln a - 1).
3) ===.
tg x - x  x3 при x  0. tg x - x - x3 = o(x3) при x  0. tg x = x + x3 + o(x3) при x  0.
//Замечание 1. Если условие 4) теоремы 7.13 заменить условием =  (то есть - бесконечно большая функция при x  a), то = . Это следует из (2).
//Замечание 2. Если условие (2) теоремы 7.13 заменить условием f(x) = , g(x) = , то теорема 7.13 остается в силе.
//Замечание 3. Правило Лопиталя верно также для односторонних пределов и для пределов при x  .
Примеры.
1) Найдем xx. xx = exlnx. xlnx = ==(-x) = 0. xx = 1.
2) Найти ( > 0). === 0.
Таким образом, при x  + логарифмическая функция растет медленнее, чем степенная с любым показателем степени. ln x << x при x  + ( > 0).
3) Найти (n - натуральное, a > 1). == ... == 0. Таким образом, при x  + степенная функция растет медленнее, чем показательная. xn << ax при x  + (a > 1).
4) Из того, что не существует , не следует, что не существует .
Пример.
Рассмотрим . не существует.
Вместе с тем, ==.
Документ
Категория
Разное
Просмотров
33
Размер файла
128 Кб
Теги
вопрос
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа