Горячие тригонометрические формулы ● Математика для заочников и не только © http:// mathprofi . ru Высшая математика – просто и доступно! Распространение данного материала ра зрешено при условии сохранения копирайта Горячие тригонометрические формулы В данный обзор я включу ходовые тригонометрические формулы, которые наиболее часто используются в ходе решения задач по высшей математике. Знать обязательно или держать под рукой необходимо: Основное тригонометрическое тождество: 1 cos sin 2 2 и некоторые вещи , которые из него следуют: ) sin 1 )( sin 1 ( sin 1 cos 2 2 ) cos 1 )( cos 1 ( cos 1 sin 2 2 Простейшие манипуляции с тангенсом и котангенсом , как от них избавиться (или, наоборот – «собрать» из синуса и косинуса) : cos sin tg , sin cos ctg Формулы двойного угла: cos sin 2 2 sin 2 2 sin cos 2 cos Есть еще тангенс двойного угла, но я не припомню, чтобы в практических заданиях он где - то требовался, экзотика, одним словом. ! Очень важ ные следствия из данных формул: 2 sin 2 2 cos 1 2 cos 2 2 cos 1 или, то же самое, в другом виде: 2 2 cos 1 sin 2 , 2 2 cos 1 cos 2 Запомните их, или держите под рукой, натыкаться в вышке на данные формулы будете на каждом ш агу! Данные преобразования часто выполняются при вычислении пределов, производных, интегралов Пожалуйста, обратите также внимание, на тот факт, что параметр может быть не только буковкой x , но и сложной функ цией, например: 1 ) 10 4 ( cos ) 10 4 ( sin 2 2 2 2 x x x x 2 3 cos 2 3 sin 2 2 3 2 sin 3 sin x x x x ) 3 cos(ln ) 3 sin(ln ) 3 (ln x x x tg Горячие тригонометрические формулы ● Математика для заочников и не только © http:// mathprofi . ru Высшая математика – просто и доступно! Распространение данного материала ра зрешено при условии сохранения копирайта А теперь рассмотрим формулы, которые используются реже: Полезно знать о чудесной взаимосвязи тангенса и котангенса: 1 ctg tg , ctg tg 1 , tg ctg 1 а то, иногда , хитрый преподаватель подсунет что - нибудь вроде ctg 1 , и потом сидишь, не знаешь, что с этим делать. Упомянем также экзотический секанс и косеканс: cos 1 sec , sin 1 cos ec …и всего - то лишь… Студентов - заочников, обычно секансами не пугают, а у очников, нет - нет, да и проскакивает. Иногда (обычно в интегралах), приходится использовать: x tg 2 2 cos 1 1 , x ctg 2 2 sin 1 1 На самом деле, это не самостоятельные фор мулы, а следствия основного тригонометрического тождества, но в интегралах иногда бывает необходимо заменить x 2 cos 1 на 1 2 tg . Ну и еще куча похожих друг на друга формул: Сразу скажу, что у данной группы формул есть одно замечательное свойство – упорно не запоминаться. Я сотни раз искал их в с правочнике, так и не запомнилась ни одна . Раз sin cos cos sin ) sin( sin cos cos sin ) sin( sin sin cos cos ) cos( sin sin cos cos ) cos( Два 2 ) sin( ) sin( cos sin 2 ) cos( ) cos( cos cos 2 ) cos( ) cos( sin sin Горячие тригонометрические формулы ● Математика для заочников и не только © http:// mathprofi . ru Высшая математика – просто и доступно! Распространение данного материала ра зрешено при условии сохранения копирайта Три 2 cos 2 sin 2 sin sin 2 cos 2 sin 2 sin sin 2 cos 2 cos 2 cos cos 2 sin 2 sin 2 cos cos Есть еще аналогичные формулы для тангенсов и котангенсов, но о них не будем, в 99,99% случаях – не встретите. Что - н ибудь из перечисленных формул Раз, Два, Три иногда требуется применить для преобразований в пределах и подынтегральных выражениях. ИНОГДА требуется. Но требуется. О гипе рболических синусах, косинусах умолчим … По - крайне мере, пока. Ими запугивают еще ре же, чем секансами, да и то, только зазнавшихся отличников Еще раз подчеркиваю, что во ВСЕХ тригонометрических формулах параметры и могут быть не только буковками x и y , но и сложными функциями. Успехов!
Автор
1/--страниц