MU k PZ Vypusk 5 Funkts pr

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К практическим занятиям По курсу "Математика. Раздел: Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы" Выпуск 5.
Тема 5: Функциональные преобразования случайных величин
Для решения задач по данной теме необходимо освоить теоретический материал в соответствии с программой курса: раздел 4.2, подразделы 1 и 2. Для этого необходимо изучить разделы учебных пособий: [1], глава 9.
1. Решение типовой задачи. Рассмотрим задачу 14.
Согласно общей схеме одномерного функционального преобразования находим:
. (1)
Подставляем (1) в общую формулу:
. (2) 2. Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. Случайные величины X и Y связаны соотношением mX+nY=c, где m,n,с  неслучайные величины. Найти коэффициент корреляции rxy и отношение x/y .
Задача 2. Случайная величина Х распределена равномерно в интервале (0, 1) и связана с Y функциональной зависимостью Найти плотность распределения случайной величины Y.
Задача 3. Положение случайной точки с координатами (X, Y) равновероятно внутри квадрата, сторона которого равна 1, а центр совпадает с началом координат. Определить плотность вероятности с.в. Z = XY. Задача 4. Система случайных величин (X,Y) подчинена нормальному закону распределения
Какому закону распределения подчиняется с.в. Z = XY ?
Задача 5. Найти плотность вероятности распределения модуля радиус-вектора , если X и Y - нормальные случайные величины, совместная плотность вероятности которых определяется формулой
.
Задача 6. Найти плотность вероятности распределения случайной величины Z=X/Y, если Задача 7. Совместная плотность распределения случайных величин X и Y имеет вид
.
Найти распределение с.в. Z = X/Y.
Задача 8. Задано распределение двумерной случайной величины Найти распределение случайной величины Z = X12+X22 .
Задача 9. Случайные величины X и Y имеют распределения .
Найти распределение случайных величин Z = X/Y и V = Y/X.
Задача 10. Определить плотность распределения случайной величины Z = XY, если .
Задача 11. Оба корня квадратного уравнения с равной вероятностью могут принимать значения от 1 до +1. Определить плотность распределения вероятности для коэффициентов  и .
Задача 12. Прямоугольные координаты (Х,Y) случайной точки имеют распределение Найти плотность распределения вероятностей полярных координат .
Задача 13. Задано нелинейное преобразование Y1 = X1 +X2, Y2 = X1 X2. Найти совместное распределение двумерной случайной величины (Y1,Y2) , если (X1, X2) имеет двумерное нормальное распределение с параметрами m1 = m2 = 0, 1 =2=, r = 0,5.
Задача 14. Случайная величина Х распределена по закону Коши
Найти распределение величины Y = aX 2 .
Задача 15. Случайная величина Х распределена по закону Коши
Найти распределение величины Y = arc tg X .
Задача 16. Случайная точка (Х,Y) имеет постоянную плотность распределения в области . Найти распределение .
Задача 17. Найти распределение случайной величины , если X и Y независимы и распределены по нормальному закону с параметрами [0; 1].
Задача 18. На окружность радиуса r наудачу ставятся две точки, которые затем соединяются с центром окружности и между собой. Найти распределение и математическое ожидание площади треугольника.