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asna.18430200603

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Nr. 462.
97
ce qui se fait par une simple quadrature.
x
y
z
.
98
On formera ensuite les six quantitQa variables
= r ( c o s a cosu - sin&?, cosi sinu),
= (sin&!,cosu + cos&!,cosi sinu),
= rsinisinu,
..
x1 = r l ( c o s a cosu,y, =
(sin&?,cosu,+
c1 = r l h i l s i n u l ,
I
et les six coastantes
5' = l % X + P X l ,
a1x+P1x1,
a,y+P,y,,
El=
f,=
azx+Pax1,
i**m
uz= %Y+P2,YI,
<z= &zZ +PGl,
<1=
+PlZl,
Voilh donc le problime de trois corps r6duit B l'intkgration dee
six Cquations ( I h V I ) et & une quadrature. L e s siz e'quaZions diff6rentielles (I & VI) sont toutes du premier degrd,
hors une seule qui est du second, et it n'y entre aucune
trace des noeiicls.
<
I
..............(4)
invariahle 6tant pris pour celui des x et y , par les formulea
u=
apris quoi on aura les coordonnies rectangulaires du Soleil et
des deux planites, rapportCes B leur centre de graviti, le plan
sin&?, cosil & n u l ) ,
c o s a cosil s i n v l ) ,
UytPy,,
= +PZl,
u1=
UeLer Jacobi's Auflosung des Problems der drei Korper.
Von Herrn Th. Clausen,
Observator an der Dorpater Sternwarta
Nr. 6, 8 Aodt 1842 bat Jacobi durch eine sinnreiche Umformung der Aufgabe die Benutzung der vier bekannten Integrationen sehr vereinfacht. Den Lesern der Astron. Nachrichten,
die dirses Werk nicht zu Gesicbt bekommen, wird es nicht
<
<,
und analogc? fiir u, und
g. 1st rn der Centralkiirper und
von vie1 griifserer Masse als rn'und mi'; so ist das mit m r m f f
multiplicirte Glied von einer um einen Grad hiihern Ordnung
in Beziehung auf die stiirenden Krafte als die beiden andern,
die die auf den Mittelpunct des Centralkiirpers oder der Sonne
bezogenen variablen Constanten der Bahn enthalten. Da c
eine absolute Constante bedeutet, so giebt die Gleichung , wenn
mail die Bahn des einen Planeten bis zur n + 1tm Ordnung
der stlirenden Krafte incl.; des andern l i s zur ntm Ordnung
kennt, diesen Parameter des letztern ebenfalls bis zur n
Ordnung genau.
Jacobi bestimmt nun die Bahn zweier Puncte, die von dem
Schwerpuncte beider Planeten blofs um Griifsen von der Ordnung der stiirenden Krafte entfernt sind; und zu den Coordi-
+
00r Dd.
sehen.
Bekanntlich sind die drei Integrale, wenn man die Massen
m ym', m" setzt und die Coordinaten 0, q,f " ; u, u', v";
{ i f auf rechtwinklichte Axen bezieht, folgeode:
<, <,
naten der drei Kiirper eine constaute Beziehung habeir. Die
Coordinaten der Gctiven Puucte seien: x , x ' ; y , y ' ; z, Z'
und
.
ax f fix';
v
f'
="YfPY,
<=
v'
= a'x +p'x' ;
= Ccy' + P'y' ;
$-If
= anx f p'x';
= ""y+ P'fy';
1
....(2)
az+pz';
g'=$zfL3'zf;
<"=r%+p'z';
da d 2 x und d'x' ganzlich von einander unabhangig sind, und
m dZ$
+ m' dZF+ mIfd2g" = o
und eben s o f i r die beiden iibrigen Coordiuaten sind; so mufs
rn a -/- rn'a'+ rnffa'I
mp
m',6'+ m"Pff
+
=
= oO I .............(3)
seyn. Durch die Substitution dieser Ausdriicke wird das Integral,
7
Nri 462.
99
so verwandelt sich das Integral in:
(5,
P(
5
dy--y dx
d
t
)+
(6).
.........m u g +
Man hat fiir die beiden iibrigen Coordinaten, zu zwei
genommen , ganz analoge Gleichungen , die einfacher als die
von Lagranye und Laplace gefundenen sind. Insbesondere
bemerkenswerth ist , dafs die Knoten der beiden fictiven Bahnen
auf die invariable Ebene bezogen bestZndig zusammenfallen.
--) - c.
z'dy'- y'cir'
Rt
P'.'(-
der
Addirt man z' der Bedinfiungsgleichung (4) das
beiden Gleichungen (3) und dividirt durch rn+rn'f m"; so
erhalt man :
rn'cr'p'+
miiuif,Oli
=v
100
I
Die vierte Gleichung hingegen, die sich auf die beiden
halben grofsen Axen bezieht, ist:
Day wenn a und a', die beiden halben grofsen Axeu der um die Sonue als Brennpunct beschriebenen Ellipsen sind:
. +
. +
z (m rn'+ m#)
(u'- u>"+
z (m
m'+ mil)
V ( ( FElZ+
60
V((4"- .az+(u'f-
mird
mm'
-+,-
a
mmii
-
v>"+
1
-
(<--<IZ)
- G-
(g.-
-T =
2m'mii. (m
kf+v((f'--E",'+(v'-
1
{>Z)
+m'+
V")"+
mil)
(gl-g")")
Durch die Umformung von .hcobi verschwindet das Glied
d ( p - 4")" d (u'- uii)'+ d ($- pi)" aus dem Ausdrucke,
wie die Griifsen m'm'i((g"-F'> d(u"-u') -(v"-u')
d(Eii-F'))
und analoge aus ( 5 ) ; e s kiimmt aber statt dessen zrvei, oder
wenigstens ein neues Glied hinzu, das die Unterschieda der den
Entfernungen des Plaireten und seines resp. fingirten Puncts
vom Sonnenmittelpuncte reciproken Griifsen ausdruckt , hinzu;
dafs also an Einfachheit dieses Integrals nicht gewonnen ist.
d(~'-4)2+d(u'--v)Z+d(g'--)2
dt"
d(4"-k)2+ d(v"u)Z+
d(<"-()%
dP
-
m' mil ( d
(F- E">"+
ti(u'-
J
ut/)"+
d(r-
<'I>")
clr"
*) Von einer fiinften neuen Integration, deren Jacobi in der
Einleitung erwahnt, Bnde ich aber in diesem Aufsatze keine
Spur; die von den 12 Integrationen iibriggebliebenen 7 sind
alle 1). 255 als noch zu integriren aufgeziihlt; nemlich die Quadratur der Llnge des gemeinschaftlichen Knotens auf der invariablen Ebene, und 6 Integrationen, von denen eine doppelt ist.
+
T h. C l a u s e n.
*) Das Folgende in Herrn CZausens Aufaatze bczieht sich auf die Worte in den Comptes rendus p. 238: .,,Par suite, l'on a fait
cinq integrations. Les integralcs connues n'dtant qu'au nombre de quatrc on pourra donc dire que I'on a fait une integration
de plus dane le systhme du monde. Je dis dana le systhme du monde, puisque la mdme mdthode s'applique a un nombre quelconque de corpe.cc Herr Profeseor Jacobi hat diesen Worten bei dem jetzigen Wiederabdrucke, um jcden Anstors zu heben, eine
etwas veriinderte Richtung gegeben.
S.
Bemerkungen des Herrii Professors Jacobi zu den1 Aufsatze des Herrn Observators CZmsen.
B e i Integrationen von Differentialgleichungen sehen viele Analytiker die Quadraturen als zugestandene Operationcn an,
welche nicht mitgezlhlt werden. So z. B. wenn man in dem
Problem der drei Kbrper die ersten Differentialquotienten der
Coordinaten als endliche Functionen der Zeit gefunden hztte,
wiirde man sich riihmen das Problem vollstzndig integrirt zu
haben, obgleich in dem Sinne des Herrn Clausen auch dann
fast noch eben so vie1 Integrationen zu machen sind, als in
~
ist aber wirklich die Ordnung des Systems um eine Einheit
verringert worden.
Wollte mau z. B. alle Griifsen aufser
r und u eliniiniren , so wiirde die Differentialgleichung zwischen
diesen beiden Griifsen in deli gewiihnlicheu Formeln auf die 7te,
in der hier gegebenen auf die 6te Ordnung steigen. Uebrigens
ist das hier gefundene Resultat nur ein besonderer Fall eines
allgerneinen Satzes. Wenn namlich in irgend eirtem mecha-
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