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asna.18570462002

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AS T R O N 0 M I S CHI3 N A C H R I C H T E N .
x
1100.
Construction einer Tafel fiir die geradlinige Central - Bewegung mit negativer Gravitation, innerhalb
der Grenzen t =
und t unendlich, - verbunden mit einer neuen, unzweideutigeren
Controlle der Tafel des lapsus hyperbolicus, von Herrn Dr. Lehrnann.
IO09’*
ivp
(Fortsetzung der Ahhandlung desselben Verfassers uber die Construction einer solchen Tafel innerhalb der Grenzen r
und r = 2,55034980n).
= 2a
(Fortseteung von X 1095.)
dcr zu l g =
~ 0,34 his 0,88 gehiirigen s rnit rvenigeri Aus$ 63.
nahnien positiv, und die 6ten Differenzen niit fast ununterBezeichnen wir, was dem durch die Gleichung (159)
brachen abtvechselnden Zeichen und den1 absoluten Maximum
herausgchrnchten 197 an dcm iii die Tafel wirklich anfzu0,0000027; dagegen erschienen die 6tcn Differenzen der zu
nehnienden 197 fehlt, niit AZgr, s o rvird (rnit Benotzung des
197 = 0,78 bis 1,06 gehiirigen 8 (bis dahin nlnilich war,8
zur Berechnung der Gleichung (1 47) § 59 hereits angervandin i Bruchstellen angesetzt, fiir 191 = 1,08 aber nur noch
die erforderliclie Verbesten Werthes von J{q(:l in sechsen) =
+29 -58
+ I 2 6 -185
4-242 -333 4-384 -276
4-89
serung von s (aus der 7ten und 8tell geltenden Ziffer hestehend) durch die a m (147) fliesseridc (mit dreiziffrigen LoEinheiteii der 7tell Bruchstelle. Da n u n die Arizahl clieser
garitlirnen zu Iierechiiende) Gleichung
unmittelber auf einander folgenden auffallend grossen Differenzen mehr betragt als die urn 1 vergrosserte Ordnungszahl
der Differenzreihe, so mussten in z w e i Werthen von s Fehbestimmt werden kihnen.
ler obwalten. Uiii die Entdeckung derselben zu erleichtero,
wurde zuerst der init der absolut griissten Differenz 0,0000384
Schon hier ist es, urn versteckte Rechnungsfehler zu
in derselben Ilorizontallinie stehende Werth 8 = 7,6187825
entdecken, gut, cine Diferenzen-Controllc anzumenden ; doch
gepriift, d. h. es wurde der zu 8 = 7,6187825 gehorige 197
wird i n dersellwn (lie Stetigkeit da unterbrocherr, wo das in
vermittelst der Gleichung (159) § 62 v i i l l i g s t r e n g u n d
8 geltenden Ziffern ausgedrtcktc s (in Polge seines bei
o h n e I n t e r p o l a t i o n v o n T a f e l n berechnet, und dann
wachsendern Z9 7 allrniilig wachsenden Werthes) anfangt auf
s vermittelst der Gleichung (160) verbessert. Da fand sich
cine Bruchstelle weniger angesetzt zu werdcn. Die aufdenn in cler That s = 7,6187843, und die Revision derfallendsten Fehler, w o der aus siebenziffrigen Tafeln augejenigen
Rechnung, verniittelst welcher zu s = 7,61878 die
schlagene Logarithmus des 3ten Nlherungswerths vori s sich
7te und 8te geltende Ziffer bestiinmt worden war, gab ebenvon dem 2t“l Naherungswerth von Igs um mehr als 0,0000002
falls s = 7,6187843, und jene 9 auffallend grossen Diffeunterscheidet , entdcckeu sieh freilich schon ohne die Differenzen rediicirten sicb nun auf
renzen-Bildung ; wo aber jener Unterschied nur 0,0000001
oder gar 0,0000000 bctriigt, kann doch eiri Fehler obwalten,
+126 -167
+I34
- 6 3 f 2 4 -6
-24
+29 -58
der i n den hijhercn Differcnzreihen sehr auffallend hervortritt.
Einheiteii der 7tell Bruchstelle. So war Einer tler Werthe
So war z. 13. fik 1gr =
von s verbessert; n u n war noch ein Fehler i n dem mit den1
f>)
0,96
0,90
der 3te R’iherungsrverth von s anfangs resp.
6,6212523
gefunden worden, wozu 19s
0,8209101
7,6187825
=
0,8818856
gehiirt, wiihrend der 2te N2herungswerth
0,8209401
war.
VOII
0,8818857
Die Differenzen-Bildung aher gab die
P6r ]Id.
=
. . . . . . ( 161)
(9s
=
. .. . . .(162)
Differenzeri
nunniehrigen ;ibsoliitcir Maxiniiiin 0,00001 67 in deraelben
Borizontallinie stehenden s = 6,6212523 angezeigt. Da
wurde nu[ iilinliche Art verfahren, aber es wurde noch ein
Uebriges gethan; niiiiilich anstatt von s = 6,6212523 auszugehen, wurde von demjeiiigen 8 (=6,6212514) ausgegangen, welches sich nach der Methode der kleinsten Quadrate
(auf die i n Q 17 beschriebene Art) vorliiufig als das wahrscheinlichste herausstellte. Dadurch fand sich 8 = 6,6212515,
20
Nr. l l O O c
3a7
und die Revisioii derjenigen Rechnung , verniittclst welcher
zu 8 = 6,62125 die 7te untl 8te geltende Ziffer bestinwilt
worderi war, gab ebenfalls s = 6,6212515, und jene 9 auffallend grossen D i f f m redueiden sich Ron auf
+S
+!&l. -10
-7
+I4
+16
-15
-6
-24;
die Logaritbmeo
(161) abor verwandelten sicb nun viillig in
die Logaritbmen (162), s o dass nun alle zu Igr = 0,34
bis 1,06 geharigen 3" Naherungswerthe von s ale richtig
bewakrt waren. Dagegen wurde ein dritter Fehler in der
Bestimmung des 3ten Naherungswerthes von s bei Zg r = i , 1 0
begangen (wo der 3. Nfherungswerth von s sich anfangs
= 10,680467 fand), welcher Fehler sich ebenfalls nicht an
dem aus siebenziffrigen Tafeln aufgeschlagenen Logarithmus
des 3fm Nfherungswerths von s offenbarte; denn 19 10,680467
Gndet sich aus eiebenziffrigen Tafeln = 1,0285903, und der
2. Naberungswerth von Igs war = 1,0285902. Aber die
6trn Differenzen der zu Zgr = 0,96 bis 1,22 gefundenen s
(an die successiven Differenzen der in 7 Bruchstellen ausgedruckten s auf die in § 17 beschriebcne Art angeschlossen)
erschienen =
Se
-3
-10
-47
+30
f40
-21
+9
(163)
Einheiten der 6tfn Bruchstelle, rvorauf his zu / , T = 1,40
sechste Differenzen mit fast ununterbrochen a1wcchseltiden
Zeichen und dem absoluten Maximum 0,000010 folgten. Die
auffallend grossen Differenzeii
+30
-47
+40
-21
gaben sogleich einen Fehler in dem niit der griissteri derselben (- 0,000047) in eiocrlci IIorizontallinie stehenden
81 10,680467 zu erkennen. Die Revision gab A = 10,680465,
und reducirte die Differenzen (163) auf
+e
-12
+9
0
-7
+lo
-9
+7,
und Igs = 1,0285903 aaf den dem 2ten N6herungswerth
vallig gleichen Werth 1,0285902. Dadurch waren alle 3ten
Nlherungswerthe von s his zu lgr = 1,40 als richtig hewahrt.
Die fiir Igr
ehe die zu 19.
1,80
= 1,40
his 1,75 gefundenen s gahen, noch
=
1,85
1,90
...
308
gehiirigen 3tcn Nlherungswerthe von s bestimmt waren, die
[email protected]"Differerizeri =
+0,000352
--0,000111,
. . . . . .(164)
iiiit entgegengesetzten Zeichen und doch auffallend gross gegen alle diejenigeri 6tm Differenzen, welche fur 477 = 0,34
his 1,40 aus der kerichtigten Rechnung hervorgingen. D'ieser
Umetand, verbundea ntif &m, dass da6jenige s (=32,35888a),
welches mit deni. Maximum 0,000362 in derselben Horizontallinie stand,
= 1,5099.935 gab, wahrend der 2te Naherungswerth von Igs = 1,5099937 war, (welcher Unterschied
von 2 Einheiten der 7'- Bruchstelle bei richtiger Rechnuog
Busserst seltcn vorkommt), liegiinstigte den Verdacht eines
in s = 3'2,358883 eingeschlichenen Fehlers. Die Revision
gab s = 32,358896, und reducirte die Differenzen (1 64) auf
die mit gleichen Zeichen bebafteten
+0,000092
$0,000084,
wodurch die sehr kleine 7te Differenz = -0,000008 entstand; die Rechnung war also nun geniigend berichtigt, urn
so niehr, da I g s = 1,5099935 s k h i n den dcni 2t" Naherungsmerth viillig gleichen Werth 1,5099937 verwandelte.
Die auf -0,000008
folgende 7te Differenz = +0,000028
gab noch keinen Verdacht eines weiteren Fehlere, noch weniger die folgende i t e Differenz = -0.000006;
dann aber
folgte +0,000067, urid zugleich ein Unterschied = 0,0000002
zwischen dern dem I j r = 1,SO entsprechenden 2ten uncI
3te*' Niiherungswerth von lgs. Der dadurch erregte Verdircht
cines Fehlers in dern zu /g T = 1,90 gefundenen 8
75,136522
ward nocb melir verstarkt durch die folgende 7te Differenz
- - ~ , 0 0 0 ~ 0 9 ,und noch Inehr (lurch die folgende, welche
sich = +0,000611 fand. Es war daher eiue Revision angezeigt, welche iiun s = 75,436522 in 75,436493, den Unterschied zwischen den) 2ten und 31- Niherungswerth von Igs
in 0,0000000, und jene 3 auffallend grossen 7'a Differenzen in
=
-
+0,000038
-0,000006
+0,000032
(165)
verwanclelte. Sirid n u n hier 0,000038 und 0,000032 noch
wrdachtig? Darauf nntworten wir:
Wo noch ein Vcrdacht eiries Fehlers obwaltet, kiinnen
j e zwei unniittelbar auf eirinntler folgeride Werthe von s, die
wir mit s und s', und deren zugehiirige I wir niit r und r'
bezeichnen wollen, durch folgentle sehr schnoll convergirende
Reihen gepriift werden:
Nr. 1100.
309
wo
5-1
-..--__-(2(s -
51
-
1.2(s-
s 1
1.3
1.2(:!(~-1)'~)~' I .2.3
1)"
...
s- t
(2(s-1)2)4'
~.1 . 3 . 5
1.2.3.4
gleich erkerinen Iasst. Der Factor pfimlich, womit 7'-7 auf
cler rechten Seite cliever Gleichuog multiplicirt i d , ist (wie
'
a u s der Gleichung (166)
a
sclhst hervorpcht)
=t
8'-
-,
5.
ich
7 -7
nieine niimlich, wenn nian init r und
die zu (97 und (97'
7'
(au den wirklich irr die Tnfel onf~unehmenden Argumenten)
g e h l i r i p Zahlen, mit s und
...
vermittelst siel)en- uncl fiinhiffriger 1,ogarithmentafeln
berechnet wcrden kiinnen, und r'-r nu5 der i n Q 20 heschrieheneo Hecliuung heriibergenonmen rvertlen kann.
Es
lasfit sich lcicht bemeisen , class ( f i r einigcrrnaasseii grosOe
Werthe von s und einigercnaassen kleiue von 9'- 8 ) die etwsnigeri Fehler yon s und van 8' auf der rechten Seitc cler
Gleichung (166) so stark veriiiindert werdcn, d a s s die Vcrgleichung tler linken Seite init der rcchten j e n e Pehlcr sn-
8'
aber die ihnen entsprechen-
den r i c l i t i g e n Werthe vnn s nnd von s' bezeichnet, so ist
jeaer Factor
- 5= 6-,-,
legt nian aber der Berechnung dieses
r - T
Factors die etwariigen falschen Werthe v n n s untl van s' zum
Grunde, welche wir, wenn s utrd I' die richtigen Werthe hedeuteo, mit s
+A s und 61 + As' Iwzeichnen
wollen, so fintiet
man jenen Factor (wenu man
-.
r+Ar
setzt)
r'+Ar'=
=
= ~(s$As)"-2((r+As)
v(s'+AS))'
-4- Z g n a t ( s + A s - l + f ~ ~ ~ -2(s+As)),
+ h~n a t ( i + A s ' -
- 2(8'fAs')
s'+As'-
-( T + A ~ ) -
----
T'+ AT'
1 +V(s'+Ab')"- 2(s'+Ad))
(s+As)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 167)
Diesen Bruch rvollen wir in cine nach den Potenzen und Producten von A s und von As' geordnete Reihe entwickeln, und
dabei die Quadrate und Producte W O O A 8 und von A 8' vernachllssigen. Das geschieht vermittelst der partiellen DifferentialCoef'ficienten. W i r finderr
--__-
Entwickelt man
1
7-r
I
+
- in
r-r
i - 5
genrdnete Reihe,
ch)',
s setzt
-,
2
-
1
8-5
7'-r
+ (7e-r)'
5-8
5+5
..., und rcducirt sich,
-
y,
1
c$)',
2
- A ~ > ( ~S- ? ) -).' -(168)
~
7-7
7-7
5
... geordncte
Vernachliissigung der niit
Reihe entwickeln Ilsst, die bei
(%
: );
2
multiplicirten Glieder in
multiplicirten Glieder vernach-
Ilssigt, auf denjenigen Werth von
S + i
ds
eiire nach den Potenzen yon -,
(g.-6)',
s+s'
2)$:(
wenn man die mit
wenn man in der
. d-T -
s o enthalt diese Reihe die Potenzen
(=)I,
5+5
s+s'
a'-$
(T'--T)~
ds
-
dr'
rl s
ausdriirketidcrr
rl
T
(I. i. aul
d (5
+
welchen nian erhllt,
Function von s arrstatt
5')*
Setzt man diesen
Werth in die rcclite Seite der kleichukg ( I G t r j , wid setzt
2
2
mati ausserdem fiir 1 -- seirrcn Werth 1 5
welcher sich in eine nach den Potenzen
iibergebt, so verwaodelt sich die Glcichnng Ct68) in
S'--6
II (+)=
d. i. (wenn man
((1
-
4
s+i
s+s'
.
L.-4 )--4 -,),
6 - - s ...-
s+;
s++'-4
)-4nach
binomischeo Lehrsatz eotwickelt uiid dabei die mit
(
1
)
"
.
S+d
(*>: I multiplicirten Glieder vernachlassigt) in
s-5
S+s'
20 *
dem
Nr. 1300.
311
312
ftir die lntervalle von z91 = 1.40 bis Zgr = 2,OO (bis
wohin s i n 6 Bruchstellerr angesetzt wurde) vollzogen ; aussers-s
dem wucde jedesmal der Factor ----womit
Verwechselt niau in dieser Cleicliung s urid s' niit einander
(wodurch auch r und I' iiiit einander verwechselt werden),
so tiodet man
s'
2
-7-
(S+;)(S+S-~)
-s
,
. . . .(170)
Durch successive partielle Differentiation der Gleichungen
(169) und (170), nachdein man in diesen beiden Gleichungeo die veroachliissigten Glieder erganzt hat, wiirden sich
herleiten und mit Hiilfe derselben tier Bruch (165) in eine
nach den Potenzen u n d Productcn von A s und von A s ' geordnete Reihe entwickeln lassen ; jene successive partielle
Differentiation wird, s o wie die Erglnzung der in (169) und
(170) vernnchliissigten Glieder, unnljtliig, wenn man in dieser nach den Potenzeir und froducten von A s und van A s '
geordoeten Reihe die Quadrate uiid Producte von A s und
von AS' vernachl~issigen will. Wir Ibleiben also bei
stehcn. Der Fehler des Factors, rvomit 7'-r nuf tlcr rechten Seite der Gleichurrg (166) multiplicirt ist, ist d s o (fiir
einigeriiiaassen grosse Werthe von s wid cinigermaasscn
kleine VOII 6'-S) sehr nahe =
&(As+As')
s -s
i ( s +6')(.1(6+~')-22) .. r'-r'
der Fehler der ganzeri rechten Seite der Gleichung (166)
also sehr uahe =
4(As
+ As')
-(;-a),
Q (s+ 61) (A(s + 5') -2)
. . . . . . . . .(171)
also sehr klein gegeu den Fehler der linken Seite, melcher
ist; eine Ausnahnie von dieser Unvcrhiltnissmiissigkeit der Fehler der beiden Seiteri der Gleicliung (166)
findet nur dann statt, wenn in s uod s' ein sehr betriichtlicher und zwar sehr nahe d e r s e l h e und mit deniselben
I
Zeichen behaftete Fehler begangen
ist, w a s aber so leicht 1
- nicht vorkoninit. Die Berechnurig der Gleichung (166) wurde 1
= As'-As
As+A*'
2
mehr der Divisor
-7.
r-r
4(s+ S ' ) ( & ( S f i ) - 2 ) '
in dem Ausdruck (171) multiplicirt ist, (oder viel-
a
+
d) ca (s 6 1-2 ) , womit
(-6+
6-s
+&*
2
As
dividirt ist), durch dreiziffrig-logarithniische Rechnung bestimmt. Wir fanden
b+i) (4
(8S-s')
--2)
4;fI
s -s
a
/
1,425
1,475
1,525
1,575
1,625
1,675
1,725
1,775
1,825
1,875
I.,925
1,975
und den Ucberechiiss der linken Seite der Gleichuog (166)
iiber die rcclite =
0
---I+I 0
0
0
-1
0
0
0
0
-t
(173)
Einheiten der 6t~l1Bruchstelle. Hicrnach kihnen die Fehler
der rechtcn Seite der Gleichung (166) als viillig verschwindend, also jene Ueherschusse nls die Differenzen derjenigea
Fehler arrgesehen werden , welche i n der Berechourrg j e
zweier arrf einander folgender 3ter Naherungswerthe v o n s
hegangeu sind. Die zu Anfang der Reihe (173) steheaden
zwei Nullen rechtfertigen die Annahnie, dass in der Restininiung des 3tc" Naberungswerths von s fiir Zgr = 1,40 bis
i , 5 0 li e i n Fehler vorgekonimeir sei ; ehen s o rechtfertigen
die 6 iibrigen Nullen derselben Reihe und d a s zwischen
ihnen stehende - 1 (welches nur durch die i n 8 und S' vernachliissigten 7 ' Bruchstellen
~
und durch die Vergleichung
der linken, viillig streng berechneten Seite der Cleichuiig
(166) niit der rechten, theilweise vermittelst Interpolation
von Logarithmen-Tafeln berechneten Seite entstanden seio
kann und eigentlich ebenfalls 0 heissen sollte) die Annahme,
dass sich auch in die Berechnung des zu l y r = 1,60 bis
1 , 9 5 gehiirigen s keiu Fehler eingeschlichen habe. Verwandelt man jenes - 1 wirklich i n 0 , s o ist die algebraische
Sunime der 12 Glieder der Reihe (173) = -1, und die aus
dieser gebildete 13gliedrige (mit 0 heginnende und folglich
mit -1 schliessende) summatorische Reilie
0
0 0 - 1
0
0
0 0 0 0 0 0 - 1 ,
Nr. 1100.
3i3
deren 7te Differenzreihe (also die 6te Differenzreihe der
Reihe (173))
-35
4-21
-7
+I
0
-1
(174)
=
lautet, zeigt diejenigeo ,Fehler der f i r 297
1,40 bis 2,OO
gefundenen s an, welche als die wahrscheinlicbsten anzunehmen sein r v i i r d e n , wenn iiicht die (durch Subtraction der
einzeloen Glieder der Reihe (174) von den Gliedero der
Reihe
-8
+28
-6
+38
-6
+32')
(175)
+7
+1
$37
gedrfickten s auf die in § 17 beschriebene Art aogeschlossen)
erschienen =
4-2 + 1 + 5
-2
-6
4-33
...,
Einheiteo der 5'" Bruchstelle ; hier ist 29 ebensowenig anst6ssig als die in der Differenzen-Controlle fiir l g r = 1,40
bis 2,Oo vorgekommene 7te Differenz 0,000038.
Die in 5 Bruchstellen ausgedriickten s erstrecken sich
noch auf 197 =
2,1
299
390;
64.
Wir I'ahren fort in der Auseinnndersetzung der Resultate
der Differenzen-Controlle der 3tm Naherungswerthe von s.
Die 7tcnDifferenzen der zu <9r = 1,70 bis 2,70 gefundenen
c (an die successiven Differenzen der in 6 Bruchstellen aus*) Die 3 letzten Glioder dieser Reihe eind die ubeit niit (165)
2,2
2,3
...
=
3,O
gefundeneo s gebildet, uod hier fanden sich a l l e DifferenZen, selbst mit Einschluss der gten, positiv, uod diese letztere
oicht griisser als 0,00126, welches noch nicht die HLlfie
desjenigen Fehlers der Qtm Differenz ist , welcher stattfinden
wiirde, wenn die in s vernacblassigten 6tm Bruchstellen auf
die oachtheiligste Weise conspirirten.
Der Anschluss an die Differenzen der (nur in 4 Bruchstellen ausgedriickten) f i r l g r = 3 , l bis 4,O gefundenen s
zeigte sich eben so befriedigend, nlmlich folgende (aus den
zu 291 =
293
2,4
2,5
...
4,O
gehlirigen s gebildete) 9te Differenzen :
+I1
+17 +lO
+17
4-61 -32
+I00
+52
-14
Einheiten der 4tcn Bruchstelle; der Anschluss an die Differenzen der (nur i n 3 Bruchstellen ausgedriickten) fiir 197
= 4,2 bis 5,O gefundenen s brachte l a u t e r p o s i t i v e
(aus den zu igr =
294
2,6
2,8
5,0
gehtirigen s gehildete) Differenzen, selbst niit Einschluss der
13tm, und diese letztere nicbt griisser als 0,837 (so dass
der Einfluss auf die Interpolation nicht griisser seiri wurde
als a%2&m.0,837, d. i. nicht griisser ala 0,00002. .); ja
der Anschluss an die Differenzen der (nur in 2 Bruchstellen
ausgedriickten) fiir / g r = 5,2 bis 6,O gefundenen s zeigte
unter den absolut genommenen i4tm Differenzen der zii 1
'
7r=
-
2Y4
bezeiclineten.
4-7 ++II 1 4-4 -5 +29 -12 +22
es wurdeo also die Differemen der fiir Z97
eine zu unbedeutende Reduction des absoluten Maximums
der Glieder der Reihe (175) gaben (wobei iiberdies die
Summe der Quadrate der Glieder der Reihe (175) sich kaum
um ihren 30- Theil vermindert). Wir haben daher a l l e
diejenigen Glieder der Reihe (173), welche absolut genommen = 1 sind, als stellvertreteod f i r 0 anzusehen und den
Ursprung jedes solchen f l oder -1 auf die oben beschriebene Weise zu erklsren. Wir k6nnen folglich alle fiir 197
= 1,40 bis 3,OO gefundeiien 3ten Naherungswerthe von s als
richtig annehmen, und diirfen an den 7t~nDifferenzen (175)
keinen Anstoss nehmen, keine derselben als auffallend gross
betractiten; wir miissen uns vielmehr niit der Erwagung heruhigen, dass zu den in arithnietischer Reihe rvachsenden
Argumenten 497 Zahlen = r gehiiren. welche in g e o m e t r i s c b e r Reihe wachmn, daher auch s, wenn e s hinreichend gross gemorden, nahezu in geometrischer Reibe wachst
und folglich lauter solche successive I)ifferenzen giebt, welche
(wenngleich in der 7ten Differenzreihe schwnnkend , wegen
der in s vernachllssigten 9tcn geltenden Ziffern) ini A l l g e m c i u e n desto griisser werden, je grtisser s selhst wird.
Uebrigens kann die 7te Differenz 0,000038 schon darum nicht
als auffallend gross gelten, weil ihr Einfluss auf die Interpolation nicht griisser ist als 'zi~~x.0,000038,
d. i. 0,0000000927
- zu geschweigen, dass 0,000038 kaum die Hiilfte desjenigen Fehlers der i t e n Differenz IietrSgt, welcher stattfinden
wiirde, wenn die in s vernachlassigten 9ttn geltenden Ziffern
auf die nachtheiligste Weisc conspirirten.
8
+10 -2
298
sich ergebenden) 7'~"Differenzen
+27
314
geh6rigen
8
-46
2,8
6,O
keine gr6sser a h 2,05.
A b e r e s g i e b t e i n e vie1 u n z w e i d e u t i g e r e Cont r o l l e d e r g e f u n d e n e n W e r t h e v o n s, w c l c h e Z U g l e i c h (lie f u r d e n l a y s u s h y p e r b o l i c u s gcfiihrt e n R e c h n u n g e i i u m f a s s t , w i d welchc sich darauf
griindet, dass sehr grossc Werthe von s (verniiige der Gleichung (117) 5 46) sehr nalic = r - - ( l g n n t ( 2 ~ ) - 1 ) sind;
denn da f i r den lapsus hyperbolicus auf iihnlichc Art s =
r /gnat(2r)--l gefundco wird, s o niihcrt sich s-T-(r-s)
+
cwo d a s ausserhalb der K l a m m q befindliche o sich a d den
lhpsus hlyperbolictis, 8 innerhalb der Klammer aber sich auf
die geradlinige Centrai-Bewegnng mit negativer .Gravitation
beziehen SOH) ohne Ende dem Werthe 0 , wenn 7 ins Unendliche rviichst, und man wird also eine sehr unzweideutige
Controlle erhalten, wenii man (ftir die Fiille, wo die s bei
beiden Bewegungen d e n s e 1 b e n Tafel-Argumenten Cg 7 zugehiiren und in gleichviel Bruchstellen aogesetzt siad) von
8-r(r-s) die successiven Differenzen bildet. Und diesc
Controlle wird aucb yon 4 7 ~= 6,O bis l g r = 7,s (wo die
u n ni i t t e 1 b a r an s' aogebraclite Differenzen-Bildung, wegeu
der zu grossen Interrnlle, durchaus k e i n e ,Cootrolle giebt)
2.10i*5*
ibre g&g&C ffklle &den. Um aber diese Controlle sicherer zu macheir, ist die in die Griisse ~ - 7 - ( r - - ) eiafliessende Gr8sse 2 7 i n eben so vie1 Bruchziffern aozusetzen
aJs s, - pig Umstaod, worauf wir bei der Berechnung der
nu
cleni lapsu.s hyperbolicus zugehijrigen -- keine Riicksicht
dlgr
zu nehuien brauchten. Bei der Rechnung fiir den I a p w ~
hyperbolicus fanden wir 2. B. 101 5 5 = 35,48133:;:.
also geniihpt
35,481339.
Von letzterem Werth findet
sich der Logarithmus vermittelst der Kiihler'schen Tafel der
Logarithmen der Priirizahlen = 1,55000000:f..
= 1,55
a. 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 ~ ~.;
. also iet
..
."-
= 7 0 , 9 6 2 6 7 8 . ( t ~ 0 , 0 0 0 0 0 ~ 0 0 ,~.~+
. 1 . O , O O O O O O O O ~ ~.
.
1.2
= 70,962678
in 6 Bruchziffern
--
.0,00000000;; ... -+..1,
(da aucb d a s entsprechendc s in 6 Bruchziffern angesetzt ist).
...
2.101945 2.101'6"
+
.
1.2.3
hflhnliche Art wurden ( w m Behuf der Ermittelung von
2.101*40
..,
=
2.10297 2.102'8
2.102~9...
s - ~ - ( T
. 2.104.0
-
8))
2 . 1 0 4 ~ 2 2.104
J
... 2.106.0
2.106~5 2.107'0 2.107~a
neu berechnet, und wir fandep dann folgende Differenzen-Controlle der den Argumenten I ~ =
T 1,10 bis 7,s (welche unsern
beiden Tafeln fur den l n p s ~ hyperbolicus
s
und fiir die negative Gravitation genieinschaftlich sind) eritsprechenden s-7-(7--6):
-49r
s-r-(?-s)
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
0,352269
0,352102 -27777
0,294325 -25518
0,268777 -23470
0,215307
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,OO
2,05
0,223759
0,204000
0,185892
0,169312
0,154140
0,140267
0,127588
0,11601
0,10544
0,09580
0,08701
0,07900
0,07170
0,06505
0,05900
0,05350
2,lO
2,15
2,20
2,25
1,30
2,35
2.40
2,45
2,50
2,55
2,60
2,65
2,70
0,04850
0,04396
0,03983
0,03608
0,03266
0,02957
--
-x7
4"
~~~~~~
-18108
-16580
-15172
-13873
+2390
$2229
+2078
+I922
All1
Al"
+I0
- 5
23
z:,"f+
-138
+ i s 5 1 -123
+ I 528
+I408 +1299
+1194
-:::
+llO
-
- 5
+15
+ 3
t1:
2
+
0
-'I5'
zl:$
- 879
- 801
- 730
1
--
&
S--I-(T-S)
I
0,05350
0,04396
0,03608
0,02957
0,02421
0,01982
0,0162
0,0133
0,0108
0,0088
0,0072
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,O
3,l
3,2
393
3,4
3,5
3,6
3,7
0,0047
0,0039
-8
-7
398
090032
339
0,0026
__ 6
0,0059
4,O 0,0020
- 665
- 605
+65
- 550
__ 5oo
- 454
+ j 5
+50
+46
-5
- 413
- 375
- 342
- 309
+41
+38
33
- 3
- 5
+so
+
+
PI
-788
-65i
-536
-439
-36
-29
-25
-20
-16
'"
+I66
+I37
-22 + 7
-18 +4
97 -2
8 -.I +I
7 -3
-2
+4
+ 4 +1
+ 5
-1
-2
4 -1
0
-1
-2
1 +3
+5
4 -3
-6
I
4-3
..... 1
-- 1
0
++
+
+
+
-13
-12
6
A'"
+
+
+
+
I
S.
w
396
3,8
4,0
4,2
494
4Y6
4,8
5,0
5,2
5Y4
5,6
538
620
6,5
790
735
-
S7-(T-S)
0,005
0,003
0,002
0,002
Al
7
-20
A1
.
u
-,
1
0,000
0,000
0,000
0,oo
0,oo
0,oo
0,oo
0,oo
090
090
0
1
- 5
0
0
- - j
-4
+I
5
0
- 1
+ 2
- 2
+ s
33
nhlich s-T-(T-~)
= 0,OO fur l g r = 5,8, nachtlein
der anfangs fur Z ~ T= 5,8 gefundene auffallendc Werth
S--T--(T-S)
= -0,15 zur Revision cler Rechnung Veranlassung gegehen hatte, welche Revision den fur lgi- = 5,8
gelundenen Wcrth ( a u r Rewegung iuit negativer Gravitation
gehiirig) = 630914,15 in 630944,30 verwandelte. Uebrigens
veranschaulicht d a s Schema (176) (worin die mit l g r = 1,60
in tlerselben Horizontallinie stehende 4te Differenz=+0,000023
absolut genoiiimen kleiner ist als derjenige Fehler der 4"
Differenz, welcher stattfindeo rviirde, menn die in s, s und
Nr. 1 !00.
317
2 7 vernachlassigten Decimalen auf die oachtheiligste Weise
conspirirten) deutlich die oben erwiihote Eigenschaft von
8-7 - ( 7 -s),
bei uneodlich wachsendein 7 sich ohne Ende
dem Werthe 0 zu n%hern, indem die 4ten Differeozen, anfangs
ooch ziemlich hedeutend, in der Gegeod von lgr = 4,O
rerschwinden, worauf dann in der Gegeod VOD br = 4,4
318
auch die 2'- Differenaeo versch'tvinden, uod von 197 = 4,4
an uberfiaupt 5 - 7 - ( 7 - s )
versthwindet; nnd so verbiirgt
das Schema fe76) die Richtigkeit aller f i r 197 = 1,CO bis
7,s hei beiderlei Bewegungen gefundenen 3tm Naheruagswertbe von s.
(Fartsetzung folgt.)
Suite des Mesures microm6ttiques d' Etoiies doubles, faites par Mr. le Baron Dembowski.
- Etoiles mesurkes au moins
P r e m i k r e P a r t i e.
S.
13 --
= 7,l.
Epoquc
Distance
B
p.
Position
..
Oblongue
1855,514
- ,522
..
,536
- ,814
:.
1856,694
1855982 ....................
-
..
..
18559784
-
9801
-
9
107'8
9692
10091
10396
10991
103928
A
I.
y.
= 6,3, B = 6,6
CunCiforrne
Oblongue
..
7
6Ooc
G
G
509 D
60,
509
50,D
..
8
29
18
0 9
-
s. 60 - g Cassiopeae.
= 7,O
58
112"6
1855,809
7"69
7766
24
11375
- 7948
53
11490
- 9987
7958
7 9 58
17
11298
1856 9 023
- ,656
7919 *
69
11592
11498
7937
61
,750
7946
72
t14,O
- ,907
7930 *
76
11495
18579 113
1856740 . . . . . 79447 . . . . . . . . . .114900
1854991 . . . . . 7,844. . . . . . . . . .111985
-
S. 73
A
1855,508
- ,522
- ,536
est. 1"2
..
44
36
39
40
41
4G
10'
G
09 .0,
09
09
0,
09
109 G
-
-
..
Pogition
-
4
-
..
..
92'3
7094
.. 9294
.. 9496
1855988.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84910
- positioos
I1
38
27
14
28
40
35
30
w
14
43
23
27
45" G
309 G
459n
40,
I)
assez douteuses, malgrh
37
307"3
18559992
18"80
1856,031
18963
30
30791
56
30695
1856,626
18993
1856922 . . . . .18,818 . . . . . . ..306,94
A
= 6,7, B -c 7.9
UD
31
34
36
50'D
80, D
509
D
blanches - douteux.
..
34t08
1855,809 est.=l"2
-- ,984 - 190
.. 34499
1856,031 - 172
..
31372
- ,233 - 131 . . 34396
1856914 . . . . . . . 1 3 1 . . . . . . . . . . 343938
S. 138 - P. 1. 123.
7,1, B I
7,6 blonc jatirie
..
207'5
18559804 est.=1"6
21099
- 7888 - 1 ~ 3
-- 192
..
20994
- 9913
- 9987
- 193 .. 21190
- 192
. . 20795*
18569607
- ,883 - 192 . . 20790
1856918 ......... 193 . . . . . . . . .208775
5
..
29
I.
p.
S. 80 - P. 0.251.
A t 7,4 rouge; B = 8,8 rouge azur,
A
jaune clair.
334"8
.....
..
33595
- 193
..
33494
- ,811
192
..
33674
- 191
..
33494
1856,034
- ,105 - 1 7 1
..
33497
- 9563 - ir3
..
33517
- ,656 - 1 9 1
338r7
- ,973 - 192 .. 33891
1856908. . . . . . . . 192 . . . . . . . . . .335994
-
blanc jaunc clair.
s. 113 - 42 Ceti
-- 36 Andromedae.
= 6,1, B = 7,O
Obl.
Cun.
violet.
34
23
p.
-
-
1855 9 801
$891
- ,899
,921
oo -
852
30, G
.,
1855981 ....................
Trbs difficile; j'ai pen be confiamce dans ces mesures.
d = 3,O jauns clair; H
U
Trhs difficile,
certain accord.
bl. jaune clair.
272'9
10797
10691
105,02
Distance
U
7
19
26
12
- 66 Piscium.
= 6,9, B = 7,2
Epb'qhc
- ACassiopeae
S. &24
A
S. &Oq
Cephei 318.
= 7,1 blaocbes.
-----.4
deux fois.
30' d?
309 G
209
G
709 D
709 D
La distance est actuellement beaucoup plus forte,
mouvenient paralt e k e fortement prononci.
- le
14
2Oon
30, D
2070
30,n
clair.
25
19
23
25
33
23
20" Q
0,
09
-
10,D
207 G
209
G
S. 186 - P. 1.209
809
30, G
609 D
70, 0
24
25
16
A
= 6,9,
1855 Y 809
Otll.
-
9891
.
Cun
Obl.
Cun.
B z 7,4 blanc
..
..
9987
..
18579 031
..
1856918 .....................
jablie
74'6
25191
2.5279
1,5878
253960
clair.
23
33
19
14
70' (2
457 G
80, G
80, G
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