Математика Задачи к экзаменам 1 курс

1-й тип
Задача №1
Найти значение k и B, если прямая y=kx+B проходит через точку (x_o; y_o) и образует с осью OX угол α Дано:
α=π/4
x_o=2
y_o=-3
Решение:
k=tgα
k=tg π/4=1 k=1
y=kx+B
-3=1*2+B
-3-2=B
B=-5Найти: k, B -?Ответ:k =1; B=-5
Задача №2
Найти значение kи B, если прямая y=kx+B проходит через точку (x_o; y_o) и образует с осью OX угол αДано:
α=π/4
x_o=-3
y_o=2
Решение:
k=tgα
k=tg π/4=1 k=1
y=kx+B
2=1*(-3)+B
2+3=B
B=5Найти: k, B -?Ответ: k=1; B=5
Задача №3
Найти значение k и B, если прямая y=kx+B проходит через точку (x_o; y_o) и образует с осью OX угол αДано:
α=-π/3
x_o=1
y_o=1
Решение:
k=tgα
k=tg(-π/3)=-√3
k=1
y=kx+B
1=-√3*1+B
1+√3=B
Найти: k, B -?Ответ: k=-√3;B=1+√3
Задача №4
Найти значение k и B, если прямая y=kx+B проходит через точку (x_o; y_o) и образует с осью OX угол αДано:
α=-π/6
x_o=-1
y_o=-1Решение:
R=tgα
R=tg(-π/6)=-tg π/6=-1/√3 R=-1/√3
y=kx+B
〖-1〗^(\√3)=-1/√3*(-1)+B
-1-1/√3=BНайти k, B -?Ответ: k=-1/√3;B=(-√3-1)/√3
2 тип
Задача №1
Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) и в точке с абсциссой x_o.Дано:
f(x)= x^3
x_o=1Решение:
k=f^' (x)
(1) 〖f^' (x^3)〗^'=〖3x〗^2
f^' (x_0 )=3*1^2=3Найти: k =?Ответ: k =3
Задача №2
Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) и в точке с абсциссой x_o.Дано:
f(x)= sin⁡x
x_o=π/4Решение:
k=f^' (x)
f^' (x)=〖(sin⁡x)〗^'=cos⁡x
k= f^' (x_0 )= cos π/4 = √2/2
Найти: k =?Ответ: k= √2/2
Задача №3
Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) и в точке с абсциссой x_o.Дано:
f(x) = ln x
x_o=1Решение:
f^' (x)= k f '(x) = ( l n x )^' = 1/x k = f^' (x_0 )= 1/1 = 1
Найти k - ?Ответ : k = 1Задача №4
Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) и в точке с абсциссой x_o. Дано: f(x) = e^x
x_o= l n 3Решение:
k=f^'= (x)
f^' (x) = (e^x )^' = e^x
k = f^' (x_0 )= e^ln3 = е^log_е⁡3 = 3
Найти k - ?Ответ : k = 3
3-й тип
Задача №1
Найти угол между касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x_o и осью ОХ Дано: f(x) = 1/3 Х^3
x_o= 1Решение:
f^' (x)=tg α
f^' (x) = (1/3 Х^3 )=1/3*3Х2=Х2
f^' (x_0 )= 1^2 = 1
tg α=1 , α=arctg1, α=π/4Найти α - ?Ответ : α = π/4
Задача №3
Найти угол между касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x_o и осью ОХ Дано: f(x) = 2√х x_o= 3Решение:
f^' (x)=tg α
f^' (x) = (2√х)^'=2(√х)^'=2*(х^(1/2) )=2*1/(2 ) Х^(1/2-1)=х^(-1/2) = 1/√х
f^' (x_0 )= 1/√3 = √3/3
, α=arctg1/√3, α=π/6Найти α - ?Ответ : α = π/6
4-й тип
Задача №1
Написать уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x_o Дано: f(x) =х2+х+1
x_o= 3Решение:
У=f(х_0 )+〖 f〗^' (х_0 )*(х-х_0) f(х_0 )=3^2+3+1=9+3+1=13
〖 f〗^' (х)=(х2+х+1)'=2х+1
f^' (x_0 )=2*3+1
У=13+7*(х-3)=13+7х-21=7х-8
У=7х-8
Написать уравнение касательнойОтвет : у=7х-8
Задача №3
Написать уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x_o Дано: f(x) = 1/х
x_o= 3Решение:
У=f(х_0 )+〖 f〗^' (х_0 )*(х-х_0 )
f(х_0 )=1/3
〖 f〗^' (х)=(1/х)^'=-1/х^2 f^' (x_0 )=-1/3^2 =-1/9
У=1/3-1/9*(х-3)=1/3-1/9 х+1/3=2/3-1/9 х
У= - ( 1)/9 х+2/3
Написать уравнение касательнойОтвет : У= - ( 1)/9 х+2/3
Тема: Геометрический смысл производной