close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

otchet (2)

код для вставкиСкачать

РОСЖЕЛДОР
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Ростовский государственный университет путей сообщения"
(ФГБОУ ВПО РГУПС)
Кафедра: "ВТ И АСУ"
"Расчет начального состояния системы"
Лабораторные работы
по дисциплине:
"Информационные системы на транспорте"
ИТТ 12.04 ЛР
Выполнил студент гр.Д-4-221: Ковалева Д.А.
Руководитель: проф. Линденбаум М.Д.
2013
Лабораторная работа №1
Цель работы: произвести расчет вероятности состояния системы после третьего шага, если известна матрица вероятностей перехода однородной дискретной цепи Маркова из состояния i в состояние j и известно начальное состояние системы.
Задание:
Ход работы.
1.Краткая теоретическая справка
Пусть имеется физическая система, которая под влиянием случайных факторов может переходить мгновенно из одного состояния в другое. Число состояний системы может быть конечно (или счетно). Тогда говорят, что в системе происходит случайный процесс с дискретным (или счетным) множеством состояний.
Рассмотрим входящий поток заявок в систему, как последовательность точек t1, t2, ... , ti, ... - моментов поступления заявок на оси времени Ot (рис.1) Здесь t0 - начальный момент. Рисунок 1- Входящий поток событий
Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то, вообще говоря, случайные моменты времени.
Случайный процесс, протекающий в какой-либо физической система S, называется марковским (или процессом без последействия), если он обладает следующим свойством: для любого момента времени t0 (рис. 1.1) вероятности любого состояния системы в будущем (при t > t0) зависят только от ее состояния в настоящем (при t = t0) и не зависят от того, когда и каким образом система S пришла в это состояние (иначе: при фиксированном настоящем будущее не зависит от предыстории процесса - от прошлого).
При этом, если переход из состояния в состояние происходит в строго фиксированные моменты времени , называемые шагами, то имеем Марковский случайный процесс с дискретным множеством состояний и дискретным временем (цепь Маркова с дискретным временем). Если переход из состояния в состояние происходит в случайные моменты времени, то имеем Марковский случайный процесс с дискретным множеством состояний и непрерывным временем (цепь Маркова с непрерывным временем).
Простейший поток событий - поток однородных событий, удовлетворяющий следующим условиям: стационарности, ординарности и без последействия, (без предыстории).
Поток событий называется стационарным, если вероятность того, что за промежуток времени произойдет m событий потока, зависит только от длины интервала времени и не зависит от начала его отсчета . Интенсивность потока (среднее число событий в единицу времени) для стационарного потока постоянна. Это позволяет рассчитывать характеристики системы в среднем.
Поток событий называется потоком без последействия, если для любых непересекающихся промежутков времени число событий, приходящихся на один из них, не зависит от того, сколько событий произошло за другие промежутки времени.
Поток событий называется ординарным, если вероятность того, что за малый промежуток времени произошло не менее двух событий, пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью того, что за промежуток времени произошло одно событие. Это означает, что события в систему поступают по одному.
Стационарный, ординарный без последействия поток называется простейшим потоком (или потоком Пуассона). Нестационарный, ординарный без последействия поток называется нестационарным потоком Пуассона.
Промежуток времени Т между двумя соседними событиями простейшего потока распределен по показательному (экспоненциальному) закону с параметром . Его среднее значение (математическое ожидание) и среднее квадратическое отклонение равны , т.е. математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны.
При рассмотрении процессов, протекающих в системах с дискретным множеством состояний и непрерывным временем, можно считать, что переход системы из состояния в состояние происходит под действием потоков событий. Если все потоки, переводящие систему из состояния в состояние, будут пуассоновские (стационарные или нестационарные), то процесс, протекающий в системе, будет марковским.
1.2 Марковский процесс с дискретным множеством состояний и дискретным временем (цепь Маркова с дискретным временем)
Важнейшими вероятностными характеристиками этого процесса являются вероятность перехода системы из состояния на шаге в состояние на k шаге (переход за один шаг) и вероятность того, что за k шагов система перешла из начального состояния в состояние .
Марковское свойство процесса выражается в том, что вероятность зависит лишь от состояния , в которое попала система на шаге, и не зависит от того, как и когда система пришла в это состояние.
Если вероятности не зависят от номера шага, то цепь Маркова называется простой (или однородной): , - вероятность перехода системы за один шаг из состояния в состояние .
Рассмотрим простую цепь Маркова в системе с конечным множеством состояний: . Матрица , составленная из переходных вероятностей , называется матрицей перехода за один шаг.
, (1) а матрица
. (2) матрицей перехода системы за k шагов.
Очевидно,
Зная матрицу , можно найти вероятности с помощью равенства Маркова
(3) или в матричной форме
2.Расчет по заданию.
Вероятность состояний системы на втором шаге получим путем перемножения исходной матрицы Р1 на саму себя. При этом напомним, что вероятности состояний системы на первом шаге есть переходные вероятности, стоящие в первой строке матрицы Р1.
Р11(3)=0,2; Р12(3)=0,1; Р13(3)=0,5; Р14(3)=0,2
Соответственно на втором шаге имеем характеристики:
Р11(3)=0,15; Р12(3)=0,04; Р13(3)=0,61; Р14(3)=0,2
На третьем шаге составляется следующая результирующая матрица:
Р11(3)=0,134; Р12(3)=0,035; Р13(3)=0,631; Р14(3)=0,2
Вывод: В ходе данной работы был произведен расчет состояний вероятностей системы после третьего шага, исходя из поставленного задания.
Лабораторная работа № 2
Цель работы: Определить предельные вероятности состояний для заданной системы.
Задание:Система может находиться в одном из четырех состояний:S1,S2,S3,S4. В системе осуществляется Марковский процесс с непрерывным временем. Имея размеченный граф состояний, найти предельные вероятности состояний системы.
Рисунок 2- Заданный граф состяний
Ход работы.
Краткая теоретическая справка
Марковский случайный процесс с дискретным множеством состояний и непрерывным временем (непрерывная цепь Маркова)
Важнейшей вероятностной характеристикой этого процесса является интенсивность вероятности перехода , определяемая как предел отношения
Здесь - вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии , а за время переходит в состояние .
Если не зависит от t, то марковских процесс называется однородным.
Для анализа однородных марковских процессов удобно пользоваться размеченным графом состояний - геометрической схемой, где прямоугольниками изображаются возможные состояния системы, стрелками - возможные переходы из состояния в состояние, против каждой стрелки, ведущей из состояния в состояние, ставится интенсивность вероятности ,соответствующей стрелке перехода (рис.2.1).
Обозначим через вероятность того, что в момент времени t система будет находиться в состоянии (вероятность состояния системы). Имея размеченный граф состояний системы, для вероятностей состояний можно составить систему дифференциальных уравнений, пользуясь правилом Колмогорова: в левой части каждого уравнения стоит производная по времени от вероятности состояния системы в правой части уравнения столько членов, сколько стрелок связано непосредственно с данным состоянием. При этом, если стрелка ведет в данное состояние, член имеет знак плюс, если ведет из данного состояния, член имеет знак минус. Каждый член равен интенсивности вероятности перехода по данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого стрелка исходит.
Если в начальный момент времени система находилась в состоянии , то систему уравнений Колмогорова следует решать при начальных условиях:
Число уравнений Колмогорова может быть уменьшено на единицу, если учесть, что в любой момент времени t выполняется условие (5)
Если при определенных условиях существуют предельные (финальные) вероятности состояний
независящие от того, в каком состоянии система находилась в начальный момент времени, то это означает, что с течением времени в системе устанавливается предельный стационарный режим (t = const).
Система, для которой существуют предельные вероятности состояний, называется эргодической, а возникающий в ней случайный процесс - эргодическим.
Введем ряд понятий. Состояние называется существенным, если найдется такое состояние , что из состояния в состояние перейти можно, а из состояния в состояние можно вернуться. Состояние называется несущественным, если оно не является существенным. Два существенных состояния и называются сообщающимися, если из состояния можно перейти в состояние и из состояния можно вернутся в состояние .
Рисунок 2.1 - Размеченный граф состояний
На рис. 2.1 представлены несущественное состояние и существенные сообщающиеся состояния и .
Справедлива теорема: для того, чтобы Марковский процесс с дискретным множеством состояний и непрерывным временем имел предельное распределение вероятностей состояний, необходимо и достаточно, чтобы все существенные состояния сообщались между собой.
Система уравнений для предельных вероятностей состояний (предельный стационарный режим, т.е. t=const) может быть получена из системы уравнений Колмогорова, если приравнять нулю производные от вероятностей состояний , а вероятности заменить вероятностями . Кроме того, .
Можно составить эту систему уравнений по правилу: для каждого состояния сумма произведений для стрелок, выходящих из -го состояния, равна сумме произведений для стрелок, входящих в -ое состояние.
2 . Расчет по заданию.
Опираясь на задание, по указанному графу (рисунок2), найдем предельную вероятность для системы.
Система уравнений Колмогорова для вероятностей состояний имеет вид:
Принимая во внимание то,что в системе есть предельный стационарный режим, можно прировнять левые части уравнений к нулю.
Далее заменяем вероятностные временные функции p_1 (t) предельными вероятностными состояниями, имеем систему уравнений следующего вида:
Решив эту систему, найдем р1=0,133333; р2=0,2; р3=0,4; р4=0,266667.
Вывод: полученный результат можно интерпретировать так: система в среднем 0,133333 времени проводит в состоянии S1; 0,2 времени - в состоянии S2; 0,4 времени - в состоянии S3; 0,266667 времени - в состоянии S4.
Лабораторная работа № 3
Цель работы: Прибор состоит из m узлов, которые могут заменять друг друга. Для нормальной работы прибора достаточно функционирования хотя бы одного узла. При выходе из строя трех узлов прибор не работает. Среднее время безотказной работы одного узла t часов, среднее время ремонта распределено по показательному закону и равно в среднем часов. Поток отказов простейший. В начальный момент времени все узлы исправны. Найти среднюю производительность прибора, если с выходом из строя каждого узла прибор теряет (100/m) % своей номинальной производительности.
Задание:m=5, t=12, S=6.
Ход работы.
1 Краткая теоретическая справка
Процесс гибели и размножения. Процессом гибели и размножения называется Марковский процесс с непрерывным временем, размеченный граф состояний которого представлен на рис.3.
λ0 λ1 λ2λk-1λkλn-1
... ...
µ1µ2 µ3µk µk+1µn
Рисунок 3 - Граф процесса гибели и размножения
Все состояния системы являются существенным, сообщающимися, следовательно, существуют предельные вероятности состояний.
Система уравнений для предельных вероятностей состояний имеет вид:
Решив эту систему, получим выражения для предельных вероятностей состояний:
(6)
2 Расчет по заданию.
Обозначим состояния прибора по числу вышедших из строя узлов: - 3 узла исправны; - 1 узел вышел из строя; - 2 узла вышли из строя; - 3 узла вышли из строя, S4 - четыре узла вышли из строя, S5 - пять узлов вышли из строя.
Потоки отказов восстановлений простейшие. Следовательно, промежуток времени между отказами и промежуток времени между восстановлениями распределены по показательному закону с параметрами (интенсивностями) и соответственно.
Они вычисляются по формулам
где - среднее время безотказной работы узла; - среднее время восстановления узла.
По условию задачи суток, суток. Следовательно,
.
Размеченный граф состояний изображен на рисунке 3.1. Рисунок 3.1 - Размеченный граф состояний
Каждый из этих узлов может за время выйти из строя с вероятностью . Следовательно, за время прибор может перейти из состояния в состояние с вероятностью (из строя может выйти один из 5 узлов). Тогда интенсивность перехода прибора из состояния в состояние (коротко обозначим ) будет: .
Аналогично найдем остальные интенсивности переходов. Соответственно - интенсивности переходов .
В описанной системе происходит процесс гибели и размножения с числом состояний . Используем формулы для вычисления предельных вероятностей состояний:
=(1+2,5+2,5+1,25+0,3125+0,03125)-1=(7,594)-1=0,1317
Проверка: р0+р1+р2+р3+р4+р5=0,1317+0,3292+0,3292+0,1646+0,04115+0,004115=1
Вывод: Средняя производительность прибора в установившемся режиме
П=100% р0+90% р1+80% р2+70% р3+60% р4+20% р5=
=(100 0,1317+90 0,3292+80 0,3292+70 0,1646+60 0,04115+20 0,004115)%=
=80,21%.
Лабораторная работа № 4
Цель работы: Цех локомотивного депо, обслуживаемый двумя ЭВМ, нормально функционирует, если работает хотя бы одна ЭВМ. Ремонт ЭВМ производится первой и второй бригадами соответственно. Среднее время безотказной работы первой ЭВМ - t1 часов, второй - t2 часов, среднее время ремонта первой ЭВМ - t3 часов, второй - t4 часов. Потоки ремонта и отказа ЭВМ простейшие. Найти средний доход предприятия за 1000 часов работы предприятия, если при двух работающих ЭВМ доход составляет b1 условных единиц в час, при одной работающей ЭВМ - b2 условных единиц в час, при двух ремонтируемых ЭВМ предприятие не приносит дохода. В начальный момент компьютер неисправен.
Задание: Ход работы.
1 Расчет по заданию.
Возможные состояния системы: - обе ЭВМ исправны; - первая ЭВМ ремонтируется, вторая - исправна; - вторая ЭВМ ремонтируется, первая ЭВМ исправна; - ремонтируются обе ЭВМ.
Размеченный граф состояний системы изображен на рисунке 5.
Рисунок 5 - Размеченный граф состояний системы
Из состояния в состояние систему переводит поток отказов первого узла с интенсивностью отказов в сутки; из состояния в состояние - поток отказов второго узла с интенсивностью отказов в сутки. Из состояния в состояние систему переводит поток восстановлений первого узла с интенсивностью восстановление в сутки, из состояния в состояние - поток восстановлений второго узла с интенсивностью восстановления в сутки. Аналогично можно получить
.
Все состояния системы существенные, сообщающиеся. Следовательно, предельные вероятности состояний существуют. Для предельных вероятностей состояний имеем систему линейных однородных алгебраических уравнений
Кроме того, выполняется нормировочное условие:
Предыдущая система равносильна системе уравнений
Решение этой системы имеет вид
где: Следовательно,
Подставив полученные вероятности в нормировочное условие , получим Вывод: Средняя стоимость П ремонта узлов за 1000 часов работы устройства определяется следующим образом:
П=1000 4 0,89+1000 1 (0,05+0,067)=3677 (условных единиц).
Лабораторная работа № 5
Цель работы: ЭВМ в случайные моменты времени может выходить из строя (давать сбои). Среднее время безотказной работы ЭВМ - t1 часов, среднее время поиска неисправности - t2 часов, среднее время ремонта ЭВМ - t3 часов, среднее время подготовки ЭВМ к работе - t4 часов. Потоки отказов, поиск неисправностей, ремонта и подготовки к работе простейшие. Найти среднее время работы на ЭВМ за месяц работы (30 дней) вычислительного центра, если работа ведется круглосуточно.
Задание: t1=45, t2=3, t3=2, t4=2.
Ход работы.
1 Краткая теоретическая справка.
Циклический процесс. Марковский случайный процесс с непрерывным временем, граф состояний которого представлен на рисунке 5, называется циклическим.
Рисунок 5 - Граф состояний циклического процесса
Уравнения для предельных вероятностей состояний имеют вид:
Предельные вероятности состояния p0,p1,...,pn удовлетворяют условию:
p0 + p1+ ...+ pn =1, или . Из системы уравнений получим выражение для предельных вероятностей состояний:
3 Расчет по заданию.
Рисунок 5.1 - Размеченный граф состояние системы ЭВМ может находиться в одном из этих состояний:
S0 -исправно работает
S1-неисправно, ведется поиск неисправностей
S2-неисправность найдена, ведется ремонт
S3-ремонт закончен, ведется подготовка к работе
В системе осуществляется циклический процесс. Предельные вероятности состояний найдем по формулам :
p_0=1/(1+1/45(3+2+1))=0,865
Проверка: p0+p1+p3 = 0.865+0.059+0.038+0.038=1.
Средняя стоимость простоя следящего устройства (убыток вагонного депо) составляет:
П1=(0,059+0,038+0,038)*100*340,5 (условных единиц).
Средняя прибыль предприятия за счет работы следящего устройства составляет:
П2=0,865*100*5=432,5 (условных единиц).
Вывод: Предприятие получило за 100 часов работы прибыль:
П=432,5-40,5=392(условных единиц).
Лабораторная работа № 6
Расчет показателей системы "прилегающие участки - парк приема"
Расчет показателей системы рассмотрим на примере системы "прилегающий участок - парк приема" (система № 1 таблица 1).
Система № 1 - "прилегающие участки - парк приема"
Элементы системыТип системыобщие для всех системв рассматриваемой задачеВходящий поток требований
Очередь
Обслуживающее устройство
Выходящий поток
Совокупности моментов прибытия поездов в расформирование
Очередь, образуемая составами поездов, ожидающих начала обслуживания
Технический осмотр состава, находящегося в парке
времени Совокупность моментов окончания технического осмотра составов поездов, прибывающих в расформированиеПри работе одной бригады технического осмотра система будет одноканальной, при работе двух бригад - двухканальной. В целом эта система с приоритетом, так как составы поездов с замыкающими группами должны обрабатываться в первую очередь
Дано: С прилегающего участка в парк приема станции в сутки поступает 73 поезда (N). В парке 9 путей. Осмотр и ремонт составов выполняют две бригады вагонников, продолжительность осмотра состава одной бригадой tобр =0,4 ч.
Требуется: Определить состояние системы массового обслуживания, среднее число составов, ожидающих обработки, среднюю длину очереди для пуассоновского входящего потока поездов и показательного времени обслуживания (осмотра, ремонта).
Решение 1) определим интенсивность входящего потока, среднюю длину очереди для пуассоновского входящего потока требований (поездов) в единицу времени (ч):
2) найдем интенсивность обслуживания требований (поездов):
3) определим устойчивость работы системы:
- система работает устойчиво,
где n - число бригад(n = 2).
4) составим граф состояния системы:
х0
х1
х2
х3
х4
х5
х6
х7222222
Здесь х0 - система свободна, поездов в парке приема нет;
х1 - в парке приема 1 поезд, занята одна бригада; очереди нет;
х2 - в парке приема 2 поезда, заняты 2 бригады; очереди нет;
х3 - заняты 2 бригады, в очереди 1 поезд;
х4 - заняты 2 бригады, в очереди 2 поезда;
х5 - заняты 2 бригады, в очереди 3 поезда;
х6 - заняты 2 бригады, в очереди 4 поезда;
х7 - заняты 2 бригады, в очереди 5 поездов;
х8 - заняты 2 бригады, в очереди 6 поездов;
х9 - заняты 2 бригады, в очереди 7 поездов.
Дифференциальные уравнения, описывающие это состояние:
,
,
,
,
,
,
,
.
При левые части уравнений превратятся в нули, т.е. система дифференциальных уравнений превратится в систему алгебраических уравнений. Разделив каждое уравнение на и обозначим , получим:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
5) определим состояние системы p0, p1, p2,..., p9,
.
Расчет производим с помощью программы MS Excel:
6) найдем среднее число поездов в очереди:
состава.
7) определим среднее время ожидания обработки состава:
.
Средняя потеря времени всеми заявками в сутки:
.
ВЫВОДЫ: В среднем вероятность неприема станции Pk равна 3,6%; бригады заняты на 71%; средняя длина очереди r составляет 1,6 состава.
Лабораторная работа № 7
Расчет показателей системы "парк приема - горка"
Расчет показателей системы рассмотрим на примере системы "парк приема - горка" (система № 2 таблица 2).
Система № 2 - "парк приема - горка"
Элементы системыТип системыобщие для всех системв рассматриваемой задачеВходящий поток требований
Очередь
Обслуживающее устройство
Выходящий поток
Совокупность моментов окончания технического осмотра составов поездов, прибывших в расформирование, т. е входящим потоком для системы № 2 является выходящий поток системы № 1
Очередь, образуемая готовыми составами поездов в ожидании расформирования
Сортировочная горка
Совокупность моментов времени окончания расформирования составов поездовНезависимо от горочных локомотивов система будет одноканальной. В целом эта система с приоритетом, так как составы поездов с замыкающими группами должны
обрабатываться в первую очередь
Дано: Количество поездов - 73;
Количество путей -6;
Продолжительность осмотра toбс=0,4ч.
Требуется: Определить состояние системы массового обслуживания, среднее число составов, ожидающих обработки, среднюю длину очереди для пуассоновского входящего потока поездов и показательного времени обслуживания (осмотра, ремонта).
Решение 1) определим интенсивность входящего потока, среднюю длину очереди для пуассоновского входящего потока требований (поездов) в единицу времени (ч):
.
2) найдем интенсивность обслуживания требований (поездов):
3) определим устойчивость работы системы:
- система работает устойчиво,
где n - число бригад(n = 2).
4) составим граф состояния системы:
n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)х0
х1
х2
х3
х4
х5
х622222
Здесь х0 - горка не занята;
х1 - на горке один состав, очереди нет;
х2 - на горке один состав, 1 состав в очереди;
х3 - на горке один состав, 2 состава в очереди;
х4 - на горке один состав, 3 состава в очереди;
х5 - на горке один состав, 4 состава в очереди;
х6 - на горке один состав, 5 составов в очереди.
n-число подъездных путей(n=6) к горке и два подгорочных локомотива.
Дифференциальные уравнения, описывающие это состояние:
,
,
,
,
,
,
.
При левые части уравнений превратятся в нули, т.е. система дифференциальных уравнений превратится в систему алгебраических уравнений. Разделив каждое уравнение на и обозначим , получим:
;
;
;
;
;
;
.
;
;
;
;
;
.
5) определим состояние системы p0, p1, p2,..., p6,
.
Расчет производим с помощью программы MS Excel:
6) найдем среднее число поездов в очереди:
состава.
7) определим среднее время ожидания обработки состава:
.
Средняя потеря времени всеми заявками в сутки:
.
ВЫВОДЫ: В среднем вероятность неприема станции Рк равна 4,3%; бригады заняты на 91%; средняя длина очереди r равна 0,8 состава. Лабораторная работа № 8
Расчет показателей системы рассмотрим на примере системы "сортировочный парк - вытяжка формирования" (система № 3, 3а).
Система № 3 - "сортировочный парк - вытяжка формирования"
Элементы системыТип системыобщие для всех системв рассматриваемой задачеВходящий поток требований
Очередь
Обслуживающее устройство
Выходящий поток
Совокупность моментов завершения накопления составов на группе сортировочных путей, прикрепляемых к данной вытяжке (данному подгорочному локомотиву)
Накопленные составы поездов, ожидающие начала формирования
Маневровая вытяжка (маневровый локомотив)
Совокупность моментов времени окончания выставки сформированных на данной группе сортировочных путей составов и парк отправленияОдноканальная с обслуживанием требований в порядке поступления
Дано: Количество поездов - 73;
Количество путей -6;
Продолжительность осмотра toбс=0,4ч.
Требуется: Определить состояние системы массового обслуживания, среднее число составов, ожидающих обработки, среднюю длину очереди для пуассоновского входящего потока поездов и показательного времени обслуживания (осмотра, ремонта).
Решение 1) определим интенсивность входящего потока, среднюю длину очереди для пуассоновского входящего потока требований (поездов) в единицу времени (ч):
.
2) найдем интенсивность обслуживания требований (поездов):
3) определим устойчивость работы системы:
- система работает устойчиво,
где n - число бригад(n = 2).
4) составим граф состояния системы:
n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)х0
х1
х2
х3
х4
х5
х622222 х0 - система свободна, составов к формированию нет;
х1 - локомотив формирует 1 состав, очереди нет;
х2 - локомотив формирует 1 состав и 1 состав в очереди;
х3 - локомотив формирует 1 состав и 2 состава в очереди;
х4 - локомотив формирует 1 состав и 3 состава в очереди;
х5 - локомотив формирует 1 состав и 4 состава в очереди;
х6 - локомотив формирует 1 состав и 5 составов в очереди.
n-число составов(n=6) и два горочных локомотива
Дифференциальные уравнения, описывающие это состояние:
,
,
,
,
,
,
.
При левые части уравнений превратятся в нули, т.е. система дифференциальных уравнений превратится в систему алгебраических уравнений. Разделив каждое уравнение на и обозначим , получим:
;
;
;
;
;
;
.
;
;
;
;
;
.
5) определим состояние системы p0, p1, p2,..., p6,
.
Расчет производим с помощью программы MS Excel:
ВЫВОДЫ: В среднем вероятность неприема станции Рк равна 4,3%.
Бригады заняты на величину К=91%.
Средняя длина очереди r составляет 0,63состава.
Система № 3 а - "сортировочный парк - вытяжки формирования"
Элементы системыТип системыобщие для всех системв рассматриваемой задачеВходящий поток требований
Очередь
Обслуживающее устройство
Выходящий поток
Совокупность моментов завершения накопления составов на всех путях сортировочного парка
Накопленные составы поездов, ожидающие начала формирования
Маневровые вытяжки (маневровые локомотивы)
Совокупность моментов времени окончания выставки сформированных (на
всех путях сортировочного парка) составов и парк отправленияМногоканальная (в зависимости от числа под горочных локомотивов двух- или трехканальная) с oбcлyживaниeм требований в порядке поступления
Дано: Количество поездов - 73;
Количество путей -6;
Продолжительность осмотра toбс=0,4ч.
Требуется: Определить состояние системы массового обслуживания, среднее число составов, ожидающих обработки, среднюю длину очереди для пуассоновского входящего потока поездов и показательного времени обслуживания (осмотра, ремонта).
Решение 1) определим интенсивность входящего потока, среднюю длину очереди для пуассоновского входящего потока требований (поездов) в единицу времени (ч):
.
2) найдем интенсивность обслуживания требований (поездов):
3) определим устойчивость работы системы:
- система работает устойчиво,
где n - число бригад(n = 2).
4) составим граф состояния системы:
n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)х0
х1
х2
х3
х4
х5
х622222 х0 - система свободна, составов к формированию нет;
х1 - локомотив формирует 1 состав, очереди нет;
х2 - локомотив формирует 2 состав и 1 состав в очереди;
х3 - локомотив формирует 2 состав и 2 состава в очереди;
х4 - локомотив формирует 2 состав и 3 состава в очереди;
х5 - локомотив формирует 2 состав и 4 состава в очереди;
х6 - локомотив формирует 2 состав и 5 составов в очереди.
n-число составов(n=6) и два горочных локомотива
Дифференциальные уравнения, описывающие это состояние:
,
,
,
,
,
,
.
При левые части уравнений превратятся в нули, т.е. система дифференциальных уравнений превратится в систему алгебраических уравнений. Разделив каждое уравнение на и обозначим , получим:
;
;
;
;
;
;
.
;
;
;
;
;
.
5) определим состояние системы p0, p1, p2,..., p6,
.
Расчет производим с помощью программы MS Excel:
Таким образом, в среднем вероятность неприема станции Рк равна 4%; Бригады заняты на величину К=84%; средняя длина очереди r составляет 0,29 состава.
Вывод: Поскольку вероятность неприема станции и средняя длина очереди во втором случае меньше, чем в первом, и занятость бригады повысилась незначительно, то целесообразно выбрать вторую систему. Лабораторная работа №9 Расчет показателей системы рассмотрим на примере системы "вытяжки формирования - парк отправления" (система № 4).
Система № 4 - "парк отправления - технические операции по отправлению"
Элементы системыТип системыобщие для всех системв рассматриваемой задаче
Входящий поток требований
Очередь
Обслуживающее устройство
Выходящий поток
Совокупность всех
моментов окончания выставки составов из сортировочного парка. При обслуживании одними и теми же бригадами и составов транзитных
поездов, обрабатываемых в этом парке, в качестве входящего потока следует принимать совокупность всех моментов выставки составов из сортировочного парка и прибытия транзитных поездов
Составы поездов, ожидающих начала технических операций
Технический осмотр составов
Совокупность моментов времени окончания технических операцийВ зависимости от числа бригад система будет одноканальной или двухканальной
Дано: С прилегающего участка в парк приема станции в сутки поступает 73 поезда (N). В парке 7 путей. Осмотр и ремонт составов выполняют две бригады вагонников, продолжительность осмотра состава одной бригадой tобр =0,4 ч.
Требуется: Определить состояние системы массового обслуживания, среднее число составов, ожидающих обработки, среднюю длину очереди для пуассоновского входящего потока поездов и показательного времени обслуживания (осмотра, ремонта).
Решение 1) определим интенсивность входящего потока, среднюю длину очереди для пуассоновского входящего потока требований (поездов) в единицу времени (ч):
2) найдем интенсивность обслуживания требований (поездов):
3) определим устойчивость работы системы:
- система работает устойчиво,
где n - число бригад(n=3).
х0
х1
х2
х3
х4
х5
х6
х7233333
х0 - система не занята, все 3 бригады свободны;
х1 - занята одна бригада, очереди нет;
х2 - занято две бригады, очереди нет;
х3 - занято три бригады, очереди нет;
х4 - занято 3 бригады, 1 состав в очереди;
х5 - занято три бригады, 2 состава в очереди;
х6 - занято три бригады, 3 состава в очереди;
х7 - занято 3 бригады, 4 состава в очереди.
n- число составов(путей n=7) и три бригады.
Дифференциальные уравнения, описывающие это состояние:
,
,
,
,
,
,
.
При левые части уравнений превратятся в нули, т.е. система дифференциальных уравнений превратится в систему алгебраических уравнений. Разделив каждое уравнение на и обозначим , получим:
;
;
;
;
;
;
.
;
;
;
;
;
;
5) определим состояние системы p0, p1, p2,..., p7,
.
Расчет производим с помощью программы MS Excel:
Вывод: В среднем вероятность неприема станции Рк составляет 3,4%; бригады заняты на величину К = 92%; средняя длина очереди r составляет 0,9 состава. Следовательно, технологию работы ПТО и приемосдатчиков изменять не стоит.
Лабораторная работа № 10
Расчет показателей системы рассмотрим на примере системы "парк отправления - прилегающий участок" (система № 5).
Система № 5 - "парк отправления - прилегающий участок"
Элементы системыТип системыобщие для всех системв рассматриваемой задаче
Входящий поток требований
Очередь
Обслуживающее устройство
Выходящий поток
Совокупность моментов появления в парке готовых к отправлению (после завершения технических операций) поездов своего формирования и транзитных поездов
Очередь, образуемая готовыми составами поездов (транзитных и своего формирования) в ожидании отправления на данный (один) участок
Участок, на который отправляются поезда
Совокупность моментов времени отправления поезда на данный участокОдноканальная. Транзитные поезда могу иметь приоритет в отправлении
Дано: Количество поездов - 73;
Количество путей -4;
Продолжительность осмотра toбс=0,4ч.
Требуется: Определить состояние системы массового обслуживания, среднее число составов, ожидающих обработки, среднюю длину очереди для пуассоновского входящего потока поездов и показательного времени обслуживания (осмотра, ремонта).
Решение 1) определим интенсивность входящего потока, среднюю длину очереди для пуассоновского входящего потока требований (поездов) в единицу времени (ч):
.
2) найдем интенсивность обслуживания требований (поездов):
3) определим устойчивость работы системы:
- система работает устойчиво,
где n - число бригад(n = 2).
4) составим граф состояния системы:
n(n-1)(n-2)х0
х1
х2
х3
х4
х0 - перегон свободен;
х1 - перегон занят, очереди нет;
х2 - перегон занят, 1 поезд ожидает отправления;
х3 - перегон занят, 2 поезда ожидают отправления;
х4 - перегон занят, 3 поезда ожидают отправления.
n - число составов (n=4) и один перегон.
Дифференциальные уравнения, описывающие это состояние:
,
,
,
,
.
При левые части уравнений превратятся в нули, т.е. система дифференциальных уравнений превратится в систему алгебраических уравнений. Разделив каждое уравнение на и обозначим , получим:
;
;
;
;
.
;
;
;
.
5) определим состояние системы p0, p1, p2,..., p4,
.
Расчет производим с помощью программы MS Excel:
Вывод: На основании таблицы можно сделать вывод, что в среднем вероятность неприема станции Рк составляет 8%; бригады заняты на величину К равную 82,9 %; средняя длина очереди r составляет 0,451 состава. Технологию работы ПТО вагонов и приемосдатчиков изменять не стоит.
Лабораторные работы № 11, 12
Задача 1
Дано На подъездном пути, примыкающем к сортировочной станции, для выгрузки однородных грузов имеется четыре (n=4) крытых склада. В каждом складе выгрузка производится с помощью одной электрокары. В среднем в течение смены под выгрузку прибывает 12 четырехосных вагонов. Поток заявок (вагонов) на подъездной путь пуассоновский. Производительность электрокары 4 вагона в смену.
Требуется Оценить работу электрокар по выгрузке вагонов.
Решение 1 Определим параметр при = 12, = 4
2 Вероятность не занятости электрокар
3 Вероятность занятости всех электрокар
4 Среднее время выгрузки одного вагона
.
5 Время ожидания вагонами начала выгрузки
6 Средняя длина очереди вагонов в ожидании выгрузки
7 Среднее число вагонов на складе (ожидающих выгрузки и под выгрузкой)
8 Среднее число электрокар, свободных от работы,
Задача 2
Дано В товарной конторе работают два товарных кассира по раскредитованию документов на выдачу грузов. Поток клиентов в товарную контору - пуассоновский с параметром = 9 клиентов в час. Более опытный кассир в час обслуживает 6 клиентов ( = 6), менее опытный - четырех клиентов (2 = 4). Выбор клиентами кассира равновероятен ( = 0,5).
Требуется Оценить работу товарных кассиров.
Решение 1 Определим параметры
;
.
2 Вероятность того, что оба товарных кассира будут свободны
3 Среднее число требований (клиентов), находящихся в очереди,
4 Вероятность того, что более опытный кассир занят обслуживанием, а второй свободен
5 Вероятность того, что второй кассир занят, а первый свободен
Задача 3
Дано. На пункте технического осмотра станции вагоны ремонтируются четырьмя бригадами. В среднем в течение смены (tсм =12 ч) в ремонт поступает 9 вагонов. Поступающие в ремонт вагоны образуют пуассоновский поток. Производительность бригады в смену 3 вагона.
Требуется Оценить работу ПТО.
Решение 1 Определим параметр при =9 и = 3
2Вероятность не занятости бригад ремонтом вагонов
3 Вероятность занятости всех бригад
4 Среднее время ремонта одного вагона
5 Время ожидания вагонами начала ремонта
6 Средняя длина очереди вагонов в ожидании ремонта
7 Среднее число вагонов, находящихся на ПТО
8 Среднее число простаивающих бригад
9 Коэффициент простоя бригад
Задача 4
При исходных данных задачи 3 оценить работу ПТО, если на нем будут работать 5 и 6 бригад в смену.
Решение сведено в таблицу .
ХарактеристикаЧисло бригад456Р00,0380,0470,048П0,5130,2380,108tож (ч)2,050,480,14Мож (вагонов)610,22М (вагонов)942,73N0 (бригад)11,822,95Кn0,250,360,49
Документ
Категория
Рефераты
Просмотров
115
Размер файла
758 Кб
Теги
otchet
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа