Коло і трикутник

Математична
рапсодія
Над роботою працювала
учениця 10 А класу Міносора Ольга
під керівництвом Чечель Світлани Василівни
Задачі підібрано зі збірника завдань для державної
підсумкової атестації 9 клас
Комбіновані задачі
• Коло може бути
вписане
• Коло може бути
описане
Властивості:
• Кут, вписаний у коло, дорівнює
половині відповідного центрального
кута.
• Кути, що спираються на діаметр,
прямі.
• Центром кола, вписаного в
трикутник, є точка перетину його
бісектрис.
• Центр кола, описаного навколо
трикутника, лежить на перетині
серединних перпендикулярів до його
сторін.
Розв'язування
експериментальних
задач
Задача 1
С
А
Н
В
Перпендикуляр, опущений з
точки кола на його діаметр,
ділить діаметр на два відрізки,
різниця яких дорівнює 21 см.
Знайдіть довжину кола, якщо
довжина перпендикуляра
дорівнює 10 см.
Розв'язання
АВ – діаметр кола, точка
С належить колу. СН ┴ АВ,
СН =10см.
Нехай НВ = х см, тоді АН = (21+х)см.
Вписаний кут АСВ прямий (спирається
на діаметр АВ),
тоді СН2 = АН НВ; 100 = (21 + х)х; х2
+21х - 100 = 0; х = 4;
НВ =4 см, АН = 25 см, АВ = 29 см.
Довжина кола С = АВ = 29 см.
Відповідь: 29 см.
Задача 2
В
М
А
N
С
K
Одна із сторін трикутника
дорівнює 25 см, а друга
сторона ділиться точкою
дотику вписаного кола на
відрізки завдовжки 22 см і
8 см, рахуючи від кінця
першої сторони. Знайдіть
радіус вписаного кола
Розв'язання
АВС – даний трикутник. М, N, К –
точки дотику вписанного кола,
АС = 25 см, ВМ = 8 см, МА = 22 см.
За властивістю дотичних,
проведем до кола через одну
точку, ВN = BM = 8 см, АК = АМ =
22 см. Тоді КC = NC = 3см; ВС =
11 см. Радіус вписаного кола
r = S ,де S – Площа трикутника,
p
p – його півпериметр.
25 30 11
P=
= 33 см,
2
S=
r=
33 ( 33 25 )( 33 30 )( 33 11 ) =
132
33
= 4(cм).
Відповідь: 4 см.
132(см2).
Задача 3
С
А
Н
В
Перпендикуляр, опущений з точки
кола на його діаметр, ділить
діаметр на два відрізки, один з
яких на 27 см більший за інший.
Знайдіть довжину кола, якщо
довжина перпендикуляра дорівнює
18 см.
АВ – діаметр кола, точка
С належить колу. СН ┴ АВ,
СН =18см. Нехай НВ = х см,
тоді АН = (27+х)см.
Вписаний кут АСB
прямий (спирається на діаметр АВ),
тоді СН2 = АН НВ;
Маємо 324 = х (27+х);
х2 +27х - 324 = 0; х = 9;
НВ =9 см, АН = 36 см, АВ = 45 см.
Довжина кола C = АВ = 45 см.
Відповідь: 45 см.
Задача 4
В
О
С
К
А
Коло дотикається до одного з
катетів рівнобедреного
прямокутного трикутника і
проходить через вершину
протилежного гострого кута.
Знайдіть радіус кола, якщо його
центр належить гіпотенузі
трикутника, а катет трикутника
дорівнює 10 см.
Розв'язання
АВС – даний прямокутний
трикутник
АС = ВС =10 см, точка О –
центр вказаного кола, ОК –
радіус кола, проведений у
точку дотику з катетом АС,
ОК ┴ АС.
АВ = АС 2 = 10 2
Трикутник АКО –
рівнобедрений прямокутний.
Нехай ОВ = ОК = r, тоді АО =
r 2 = 10 2 ;
r=
10
2
= 10(2 -
2
2 1
Відповідь: 10(2 -
2
) (cм).
) см.
Задача 5
Розв'язання
B
Д
А
Е
F
С
Коло, вписане в трикутник АВС,
дотикається до сторони АВ у
точці D, ВD = 1 см, АD = 5 см,
АВС = 120 . Знайдіть СD.
Нехай вписане коло дотикається до сторін ВС і АС
у точках E і F відповідно. Нехай СЕ = х см. За
властивістю дотичних, проведених до кола через
одну точку, ВЕ = BD = 1 см, AF = AD = 5 см, CF =
CE = x cм. Тоді
АВ = 6 см,
АС = (х + 5) см,
ВС = (х + 1) см.
З трикутника АВС :
АС2 =АВ2 + ВС2 – 2АВ ВС Соs ABC
Маємо:
(х + 5) 2 = 36 + (х + 1)2 – 2 6 (x + 1)Cos 120 ;
х2 + 10х + 25 = 36 + х2 + 2х + 1 + 6х + 6;
2х = 18; х = 9.
Отже ВС = 10 см.
СD2 = ВD2 + BD2 – 2BD BC Cos ABC
= 111,
CD = 111
Відповідь: 111
Дякуємо за увагу!