ФЕДОРОВ А.В. Сборник заданий на курсовую работу по дисциплине "Оптимальное управление ЛА" (8 семестр). Утверждено На заседании кафедры "_____"___________2007 г. Протокол № 2007-02-28 1. Вертикальная посадка КА на планету. КА должен совершить мягкую посадку на планету с использованием только силы тяги двигателя. Рассматривается движение в вертикальной плоскости при действии только сил тяжести и тяги двигателя. Сила тяжести направлена по нормали к плоской поверхности планеты. Силу тяги двигателя, направленную вертикально вверх, можно регулировать по величине изменением секундного расхода топлива. Математическая модель движения ЛА , , ,, гдеh - высота; m - масса КА; P - сила тяги двигателя; J - удельный импульс; β - секундный расход топлива; βm - максимально возможный расход топлива; g - ускорение силы тяжести; g0 - ускорение силы тяжести на поверхности планеты; RP - радиус планеты. В начальный момент времени известны: - высота - вертикальная скорость - масса КА - запас топлива Найти программу управления секундным расходом топлива, которая обеспечивает мягкую посадку на Луну при минимальном расходе топлива. 2. Программирование управления спуском с орбиты. Летательный аппарат совершает посадку на планету (Луна, астероид) с облетной орбиты по траектории в плоскопараллельном гравитационном поле. ЛА оснащен нерегулируемым маршевым двигателем. В начальный момент времени ЛА находится в перицентре облетной орбиты. известны высота, скорость, масса конструкции и масса топлива на борту. В момент касания поверхности планеты вертикальная и горизонтальная составляющие скорости должны быть в допустимых пределах. Модель движения гдеh - высота; m - масса ЛА; P - сила тяги двигателя; J - удельный импульс; β - секундный расход топлива; βm - максимально возможный расход топлива; g - ускорение силы тяжести; g0 - ускорение силы тяжести на поверхности планеты; RP - радиус планеты. Критерий оптимальности - расход топлива (максимум конечной массы). С помощью необходимых условий оптимальности найти программу управления , доставляющую минимум критерию оптимальности при заданных граничных условиях. 3. Параметрическая оптимизация управления спуском с орбиты Летательный аппарат совершает посадку на планету с эллиптической орбиты в плоскопараллельном гравитационном поле. ЛА оснащен нерегулируемым маршевым двигателем. В начальный момент времени ЛА находится в перицентре облетной орбиты. известны высота, скорость, масса конструкции и масса топлива на борту. В момент касания поверхности планеты вертикальная и горизонтальная составляющие скорости должны быть в допустимых пределах. Модель движения гдеh - высота; m - масса ЛА; P - сила тяги двигателя; J - удельный импульс; β - секундный расход топлива; βm - максимально возможный расход топлива; g - ускорение силы тяжести; g0 - ускорение силы тяжести на поверхности планеты; RP - радиус планеты. Программа управления задана в параметрической форме , где , , - неизвестные параметры. Критерий оптимальности - расход топлива (максимум конечной массы). Найти решение - параметры , , , при которых затраты топлива минимальны с учетом краевых условий. Для решения использовать методы нулевого порядка. Выбрать наиболее эффективный метод 4. Синтез системы стабилизации Угловое движение ЛА относительно связанной оси Z (тангаж) с достаточной степенью точности можно представить уравнением моментов , , где - угол тангажа; α - угол атаки; θ - угол наклона траектории; δ - угол отклонения руля: ; - угловая скорость вращения вокруг оси Z; - момент инерции; , , - частные производные момента относительно оси Z по соответствующим переменным. Упрощения: собственное демпфирование мало : . Угол наклона траектории изменяется очень медленно. Найти закон управления углом δ, который обеспечит минимальное время регулирования при условиях . 5. Синтез системы стабилизации Угловое движение ЛА относительно связанной оси Z (тангаж) с достаточной степенью точности можно представить уравнением моментов , , где - угол тангажа; α - угол атаки; θ - угол наклона траектории; δ - угол отклонения руля: ; - угловая скорость вращения вокруг оси Z; - момент инерции; , , - частные производные момента относительно оси Z по соответствующим переменным. Упрощения: собственное демпфирование мало : . Угол наклона траектории изменяется очень медленно. Найти закон управления углом δ, который обеспечит минимальное время регулирования при условиях , . 6. Синтез системы стабилизации Угловое движение ЛА относительно связанной оси Z (тангаж) с достаточной степенью точности можно представить уравнением моментов , , где - угол тангажа; α - угол атаки; θ - угол наклона траектории; δ - угол отклонения руля: ; - угловая скорость вращения вокруг оси Z; - момент инерции; , , - частные производные момента относительно оси Z по соответствующим переменным. Упрощения: собственное демпфирование мало : . Угол наклона траектории изменяется очень медленно. Найти закон управления углом δ, который обеспечит минимум критерия . 7. Программирование оптимального управления КА. Необходимо перевести КА из одной точки круговой орбиты с радиусом r0 в другую, считая при этом, что на КА имеется двигательная установка малой тяги, способная создавать управляющее ускорение по нормали к радиус-вектору. Исходные уравнения движения заданы в полярной системе координат: где r - радиус-вектор; φ - угловая полярная координата; VR, VT - радиальная и трансверсальная составляющие скорости; μ - гравитационная постоянная Земли: fT - управляющее ускорение. Полагая, что в процессе перевода отклонения , , , фазовых координат r, VR, VT от соответствующих значений r0, , VR=0, на круговой орбите радиуса достаточно малы, линеаризуйте уравнения и приведите модель движения в отклонениях к виду , где , u = fT. Начальное состояние по условию задачи - нулевой вектор. Терминальное состояние определяется вектором , - заданное угловое расстояние; Т - длительность процесса перевода подлежит определению. Оптимальное управление u(t) должно обеспечить выполнение терминальных условий и минимизировать критерий, характеризующий энергетические затраты . Терминальные требования аппроксимировать квадратичным штрафом. Примечание. В уравнениях движения целесообразно перейти к безразмерным переменным с использованием соотношений: , , , , где . 8. Программирование оптимального управления КА. Необходимо перевести КА из одной точки круговой орбиты с радиусом r0 в другую, считая при этом, что на КА имеется двигательная установка малой тяги, способная создавать управляющее ускорение по нормали к радиус-вектору. Исходные уравнения движения заданы в полярной системе координат: где r - радиус-вектор; φ - угловая полярная координата; VR, VT - радиальная и трансверсальная составляющие скорости; μ - гравитационная постоянная Земли: fT - управляющее ускорение по касательной к орбите; fR - управляющее ускорение по радиусу орбиты; Полагая, что в процессе перевода отклонения , , , фазовых координат r, VR, VT от соответствующих значений r0, , VR=0, на круговой орбите радиуса достаточно малы, линеаризуйте уравнения и приведите модель движения в отклонениях к виду , где , u =( fК, fT). Начальное состояние по условию задачи - нулевой вектор. Терминальное состояние определяется вектором , - заданное угловое расстояние; Т - длительность процесса перевода подлежит определению. Оптимальное управление - вектор u(t) должно обеспечить выполнение терминальных условий и минимизировать критерий . Примечание. В уравнениях движения целесообразно перейти к безразмерным переменным с использованием соотношений: , , , , где . 9. Синтез оптимального управления КА. Необходимо перевести КА из одной точки круговой орбиты с радиусом r0 в другую, считая при этом, что на КА имеется двигательная установка малой тяги, способная создавать управляющее ускорение по нормали к радиус-вектору. Исходные уравнения движения заданы в полярной системе координат: где r - радиус-вектор; φ - угловая полярная координата; VR, VT - радиальная и трансверсальная составляющие скорости; μ - гравитационная постоянная Земли: fT - управляющее ускорение. Полагая, что в процессе перевода отклонения , , , фазовых координат r, VR, VT от соответствующих значений r0, , VR=0, на круговой орбите радиуса достаточно малы, линеаризуйте уравнения и приведите модель движения в отклонениях к виду , где , u = fT. Начальное состояние по условию задачи - нулевой вектор. Терминальное состояние определяется вектором , - заданное угловое расстояние; Т - длительность процесса перевода подлежит определению. Оптимальное управление u(x) должно обеспечить выполнение терминальных условий и минимизировать критерий, характеризующий энергетические затраты . Терминальные требования аппроксимировать квадратичным штрафом. Примечание. В уравнениях движения целесообразно перейти к безразмерным переменным с использованием соотношений: , , , , где . 10. Синтез оптимального управления орбитой КА. Необходимо перевести КА из одной точки круговой орбиты с радиусом r0 в другую, считая при этом, что на КА имеется двигательная установка малой тяги, способная создавать управляющее ускорение по нормали к радиус-вектору. Исходные уравнения движения заданы в полярной системе координат: где r - радиус-вектор; φ - угловая полярная координата; VR, VT - радиальная и трансверсальная составляющие скорости; μ - гравитационная постоянная Земли: fT - управляющее ускорение по касательной к орбите; fR - управляющее ускорение по касательной к орбите; Полагая, что в процессе перевода отклонения , , , фазовых координат r, VR, VT от соответствующих значений r0, , VR=0, на круговой орбите радиуса достаточно малы, линеаризуйте уравнения и приведите модель движения в отклонениях к виду , где , u =( fК, fT). Начальное состояние по условию задачи - нулевой вектор. Терминальное состояние определяется вектором , - заданное угловое расстояние; Т - длительность процесса перевода подлежит определению. Оптимальное управление - вектор u(x) должно обеспечить выполнение терминальных условий и минимизировать критерий . Примечание. В уравнениях движения целесообразно перейти к безразмерным переменным с использованием соотношений: , , , , где . 11. Перелет между некомпланарными орбитами Космический аппарат, оснащенный нерегулируемым двигателем малой тяги, должен совершить некомпланарный перелет с низкой круговой на высокую круговую орбиту, имеющие разные наклонения плоскости к экватору. Двигатель в процессе перелета работает постоянно. В течение одного оборота вокруг Земли вектор тяги в пространстве постоянно ориентирован так, что создается управляющее ускорение вдоль переходной орбиты и по нормали к ее плоскости. При этом переходная траектория представляет собой раскручивающуюся спираль. Переходную траекторию аппроксимируем последовательностью круговых орбит радиуса rk Уравнения движения в безразмерных переменных для рассматриваемого случая имеют следующий вид1 где - безразмерный радиус в начале k-го витка; ik - наклонение к плоскости экватора; Vk - безразмерная круговая скорость; tk - безразмерное время. Заметим, что есть безразмерный период обращения на k -м витке. Требуется определить последовательность , и число N, которые доставляют минимум времени перелета (при постоянно работающем двигателе это эквивалентно минимизации затрат топлива) при следующих терминальных условиях: ,,, где r* и i* - заданные значения безразмерного радиуса конечной орбиты и наклонения. Для учета терминальных требований рекомендуется ввести в рассмотрение квадратичный штраф , где , , - весовые множители. Начальные условия: ; i1 = 60о; Конечная орбита: r* = 2...6; i* = 0..50о; Безразмерное ускорение a = 0.0001...0.001. 12. Разгон до параболической скорости при минимальном времени работы ДУ Космический аппарат, оснащенный нерегулируемым двигателем малой тяги, стартует с начальной круговой орбиты и должен разогнаться до параболической скорости. Уравнения движения в безразмерных переменных имеют вид2: где r - радиус; u - радиальная скорость; v - трансверсальная скорость; φ - полярный угол, a - постоянное реактивное ускорение; λ - угол, определяющий ориентацию вектора тяги двигателя в плоскости орбиты; tM - моторное время; . Требуется найти функции и , которые обеспечивают минимум времени работы двигателя при заданном времени разгона tk и при условии достижения параболической скорости в момент времени t = tk: . 13. Оптимизация траектории движения носителя Допущения: - аэродинамические силы отсутствуют; - гравитационное поле - плоско-параллельное; - Земля не вращается. Модель движения в начальной стартовой системе координат: , гдеh - высота; m - масса ЛА; P - сила тяги двигателя; J - удельный импульс; β - секундный расход топлива; βm - максимально возможный расход топлива; g - ускорение силы тяжести; g0 - ускорение силы тяжести на поверхности планеты; RP - радиус планеты. Используя необходимые условия оптимального управления, найти программы управления вектором тяги и расходом топлива, , которые обеспечат максимум горизонтальной скорости на заданной высоте y* при минимальных затратах топлива. 14. Оптимизация траектории движения носителя Допущения: - аэродинамические силы отсутствуют; - гравитационное поле - плоско-параллельное; - Земля не вращается. Модель движения в начальной стартовой системе координат: , гдеh - высота; m - масса ЛА; P - сила тяги двигателя; J - удельный импульс; β - секундный расход топлива; βm - максимально возможный расход топлива; g - ускорение силы тяжести; g0 - ускорение силы тяжести на поверхности планеты; RP - радиус планеты. Программа управления задана в параметрической форме . Требуется найти параметры , , при которых достигается максимум горизонтальной скорости на заданной высоте y* при минимальных затратах топлива. 15. Выведение на орбиту Допущения: - аэродинамические силы отсутствуют; - гравитационное поле - центральное; - Земля не вращается. Модель движения , , ; , ., где R0 - радиус сферической Земли; μ - гравитационная постоянная; m - масса топлива; m0 - масса сухого ЛА; P - сила тяги двигателя; J - удельный импульс; β - секундный расход топлива; βm - максимально возможный расход топлива; h - высота над поверхностью сферической Земли. g0 - ускорение силы тяжести на поверхности Земли В конечный момент времени КА должен быть выведен на круговую орбиту заданного радиуса R* при минимальном расходе топлива. Найти программу управления углом тангажа, используя необходимые условия оптимального управления. 16. Выведение на орбиту Допущения: - аэродинамические силы отсутствуют; - гравитационное поле - центральное; - Земля не вращается. Модель движения , , ; , ., где R0 - радиус сферической Земли; μ - гравитационная постоянная; m - масса топлива; m0 - масса сухого ЛА; P - сила тяги двигателя; J - удельный импульс; β - секундный расход топлива; βm - максимально возможный расход топлива; h - высота над поверхностью сферической Земли. g0 - ускорение силы тяжести на поверхности В конечный момент времени КА должен быть выведен на круговую орбиту заданного радиуса R* при минимальном расходе топлива. Программа управления углом тангажа задана в параметрической форме . Следует найти неизвестные параметры , , сведением исходной задачи программирования управления к задаче нелинейного программирования. 17. Перевод КА в заданное положение на орбите Космический аппарат орбитальной группировки необходимо перевести в новое место орбитальной структуры. Перевод осуществляется в плоскости опорной круговой орбиты импульсами тяги, прикладываемыми по касательной к орбите. Можно считать, что переходная орбита остается близкой к круговой, а состояние КА можно характеризовать двумя координатами: x1 = Δφ - отклонение аргумента широты КА от требуемого при прохождении характерной точки орбиты, например - восходящего узла; x2 - скорость дрейфа, численно равная изменению аргумента широты за один драконический период (т.е. между двумя проходами восходящего узла) опорной орбиты. При импульсной коррекции орбиты математическую модель можно представить в виде , , где N - количество коррекций; - интервал времени (измеряется в оборотах) между коррекциями; uk - величина k-го импульса скорости дрейфа; μk - гауссовская центрированная случайная величина с дисперсией . Статистические характеристики переменных начального состояния заданы. Цель управления - выполнить терминальные требования , при минимальных затратах топлива. Критерий оптимальности и ограничения аппроксимируем квадратичными функционалами3. Найти управление , которое обеспечивает минимум энергетических затрат при условии , где ; , , - константа, выбираемая так, чтобы терминальные требования выполнялись бы с достаточной вероятностью. Для решения задачи ввести критерий Лагранжа . Исследовать зависимости и при различных N. Длительности пассивных участков могут быть произвольными положительными (заданы). 18. Разгон КА до параболической скорости за минимальное время. Космический аппарат, оснащенный нерегулируемым двигателем малой тяги, стартует с начальной круговой орбиты и должен разогнаться до параболической скорости за минимально возможное время. Уравнения движения в безразмерных переменных имеют вид4: где r - радиус; u - радиальная скорость; v - трансверсальная скорость; φ - полярный угол, λ - угол, определяющий ориентацию вектора тяги двигателя в плоскости орбиты; - начальное ускорение; V - скорость истечения реактивной струи. Требуется найти программу управления , которая обеспечивает минимум времени достижения параболической скорости при заданных начальных условиях, ускорении и скорости истечения. Условие достижения параболической скорости имеет вид (при t = tk) . 19. Синтез управления при самонаведении Основные допущения 1). Движение ЛА в трехмерном инерциальном пространстве задается как движение материальной точки под действием управляющего ускорения. 2). Ограничения на направление и величину вектора ускорения отсутствуют 3). Интервал времени, на котором реализуется управление, фиксирован и известен. 4). Начальное состояние ЛА задано. 5). Конечное состояние ЛА определяется положением цели в момент окончания процесса наведения и некоторыми дополнительными условиями. Уравнения движения: , , где V - вектор скорости, up - искомый вектор управления. Начальные условия известны. Критерий оптимальности , где - заданная положительно-определенная матрица. Требуется найти управление u(t), которое минимизирует критерий при условии . где rц - заданный вектор. Указание. Для решения задачи использовать методику, приведенную в учебном пособии "Динамическое проектирование систем управления автоматических маневренных летательных аппаратов" под ред. акад. Е.А.Федосова. ( разд.7.3). 20. Синтез управления при самонаведении с учетом терминальной скорости Основные допущения 1). Движение ЛА в трехмерном инерциальном пространстве задается как движение материальной точки под действием управляющего ускорения. 2). Ограничения на направление и величину вектора ускорения отсутствуют 3). Интервал времени, на котором реализуется управление, фиксирован и известен. 4). Начальное состояние ЛА задано. 5). Конечное состояние ЛА определяется положением цели в момент окончания процесса наведения и некоторыми дополнительными условиями. Уравнения движения: , , где V - вектор скорости, up - искомый вектор управления. Начальные условия известны. Критерий оптимальности , где - заданная положительно-определенная матрица. Требуется найти управление u(t), которое минимизирует критерий при условиях , , где rц и V* - заданные векторы. Указание. Для решения задачи использовать методику, приведенную в учебном пособии "Динамическое проектирование систем управления автоматических маневренных летательных аппаратов" под ред. акад. Е.А.Федосова. ( разд.7.3). 21. Оптимальная система стабилизации ЛА Уравнения движения вокруг центра масс имеют вид , , где - угол тангажа; α - угол атаки; θ - угол наклона траектории; δ - угол отклонения руля:; - угловая скорость вращения вокруг оси Z; - момент инерции; , , - частные производные момента относительно оси Z по соответствующим переменным. Упрощения: собственное демпфирование мало : . Угол наклона траектории изменяется очень медленно. Найти закон управления углом δ, обеспечивающего минимум функционалу . 22. Оптимальная по быстродействию система управления угловым движением КА Вращательное движение осесимметричного КА относительно некоторой связанной оси при отсутствии демпфирования можно представить уравнением моментов , где - угловая скорость вращения КА вокруг связанной оси; J - момент инерции; f - реактивное ускорение двигателя ориентации, ; m - масса КА; L - плечо точки приложения ускорения f. Пусть ( - угол, характеризующий отклонение ориентации КА по связанной оси относительно опорной. Найти закон управления ускорением f, который минимизирует время, в течение которого угловое отклонение и угловая скорость обнуляются. 23. Оптимальная по быстродействию система управления угловым движением КА Вращательное движение осесимметричного КА относительно некоторой связанной оси при отсутствии демпфирования можно представить уравнением моментов , где - угловая скорость вращения КА вокруг связанной оси; J - момент инерции; f - реактивное ускорение двигателя ориентации, ; m - масса КА; L - плечо точки приложения ускорения f. Пусть ( - угол, характеризующий отклонение ориентации КА по связанной оси относительно опорной. Найти закон управления ускорением f, который минимизирует время, в течение которого осуществляется переориентация КА на заданный угол. Начальная и терминальная угловая скорость равна нулю. 1 Салмин В.В. Оптимизация космических перелетов с малой тягой. - М.:Машиностроение, 1987. 2 Лебедев В.Н. Расчет движения космического аппарата с малой тягой. ВЦ АН СССР, вып,5, 1968. 3 Лебедев А.А, Красильщиков М.Н., Малышев В.В. Оптимальное управление движением космических летательных аппаратов. М., Машиностроение, 1974. 4 Лебедев В.Н. Расчет движения космического аппарата с малой тягой. ВЦ АН СССР, вып,5, 1968. --------------- ------------------------------------------------------------ --------------- ------------------------------------------------------------ 24
Автор
1/--страниц