Методы решения тригонометрических уравнений

Выполнили ученики 10 А класса:
Литвинова Александра,
Игнатова Валерия,
Ледовской Владимир,
Каневский Антон.
Руководитель: Герасимчук Л.Т.
Математика
«Методы решения тригонометрических
уравнений»
Цель работы: изучить методы решения тригонометрических
уравнений, исследовать применение их к решению уравнений
повышенной сложности
Исследовательские задачи:
- рассмотреть исторические сведения о тригонометрических
уравнениях;
- изучить общие сведения о простых тригонометрических
уравнениях;
- изучить методы решения тригонометрических уравнений;
- исследовать применение методов решения тригонометрических
уравнений к решению уравнений повышенной сложности ;
-применить различные методы к решению одного уравнения.
Введение вспомогательного аргумента
Стандартным путем преобразования выражений вида
- угол, задаваемый равенствами
Для любых
Если
a > 0
a
и
b > 0
b
a
cos =
a
2
, sin
b
2
a cos x b sin x
b
=
a
такой угол существует. Таким образом
или
a > 0, b < 0
, =
b
a
2
b
2
a b cos ( x )
a cos x b sin x =
, в других случаях Пример. Решим уравнение 12cosx - 5sinx = -13
является следующий прием: пусть
= 2
b
a
.
2
.
Многие тригонометрические уравнения можно решить с помощью
формул универсальной тригонометрической подстановки
2 tg
x
1 tg
2
sin x =
1 tg
2
x
,
2
x
2
2 ,
x
cos x =
1 tg
2
2
Следует отметить, что применение формул может приводить к сужению
x
не определен в точках x = 2 k ,
ОДЗ исходного уравнения, поскольку
2
поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы x = 2 k ,
корнями исходного уравнения.
Пример. Решим уравнение
Решение тригонометрических уравнений с
помощью формул
Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул
и преобразований тригонометрических выражений.
Решение уравнений с применением формул понижения степени
При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют
формулы .Понижение степени происходит с использованием формул:
cos2α =2cos2α - 1
,
Пример 1..
6 sin
2
x 2 cos 2 x 4
Выразим sin
2
x через cos2x.
3 (1 cos 2 x ) 2 cos 2 x 4
3-3cos2x+2cos2x=4
cos 2 x 1,
2 x 2 n , n Z
x : 2 2 n , n Z
cos2α =1-2sin2α
Решение уравнений с применением формул
тройного аргумента
Пример 3.Решить уравнение
.
Решение. Применим формулу , получим уравнение
Ответ.
;
.
Решение тригонометрических уравнений с
помощью разложения на множители
Пример Решить уравнение
Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, уравнение представим в виде
(2sinx-cosx)(1+cosx)=1-cos2 x
(2sinx-cosx)(1+cosx)-(1-cos2 x)=0
(1+cosx)(2sinx-cosx-1+cosx)=0
(1+cosx)(2sinx -1)=0
(1+cosx) =0
(2sinx -1)=0
cosx =-1
2sinx =1
Ответ.
;
.
Решение однородных тригонометрических
уравнений
Пример1. Решите уравнение
. Разделим обе его части на
Решение. Это уравнение однородное первой степени
получим:
Ответ.
,
.
,
,
Пример2.При
получим однородное уравнение вида
Решение.
, тогда разделим обе части уравнения на
Если
, получим уравнение
которое подстановкой
легко приводится к квадратному:
. Если
, то уравнение имеет действительные корни
,
,
Пусть
Ответ.
.
, тогда получим
. Исходное уравнение будет иметь две группы решений:
,
.
,
,
.
Равенство одноименных тригонометрических
функций
Пример1. Решить уравнение
Решение.
Ответ.
,
.
Домножение на некоторую
тригонометрическую функцию
Пример1. Решить уравнение
Решение. Видно, что множество
левой и правой части уравнения на
Имеем
Ответ.
;
.
является решением исходного уравнения. Поэтому умножение
не приведет к появлению лишних корней.
Сведение тригонометрических уравнений к
алгебраическим
Пример1. Решить уравнение
Решение. Перенесем
выразим через
в левую часть, заменим ее на
и
и
После упрощений получим:
. Разделим почленно на
:
Возвращаясь к
,
, найдем
.
, сделаем замену
Уравнения, решаемые с помощью тождеств
Полезно знать следующие формулы:
Пример 1.Решить уравнение
Решение. Используя , получаем
Ответ.
Домножение на некоторую
тригонометрическую функцию
Пример1. Решить уравнение
Решение. Видно, что множество
является решением исходного уравнения.
Поэтому умножение левой и правой части уравнения на
не приведет к появлению лишних корней.
Имеем
Ответ.
;
.
Симметрические тригонометрические уравнения
Уравнения вида f(sinx
cosx; sin2x)=0, где f-рациональная функция от указанных в скобках аргументов
могут быть сведены к уравнению относительно неизвестного y=sinxcosx, тогда sinx cosx=
»+» берется при замене y=sinx+cosx и знак «-« для y= sinx-cosx. Исходное уравнение приводится к уравнению f(y)=0.
Пример1..
Решить уравнение. сos x + sin x +sin x cos x = 1 (1)
Решение.
Замена 1. Обозначим sin x +cos x = y (2). Обе части уравнения (2) возведем в квадрат.
Получим (sin x + cos x)2= y 2 , (sinx + 2sin x cos x + cosx) = y2
1+ 2sin x cos x = y2;
2sin x cos x = y -1
Sin x cos x =
Замена 2.
Подставим значения Sin x + cos x =y и Sin x cos x =
в исходное уравнение (1). Получим уравнение относительно переменной у.
y+
=1
2y+y2-1=2
y +2y-3=0 D=16 y =1 y =-3
Возвращаемся к исходным данным sin x + cos x =y
sin x + cos x =1 или sin x + cos x = -3-решений нет
sin(x+
) = 1; sin(x+
x = 2Пn или x =
)=
;x+
+2Пn;
Ответ: x = 2Пn, x =
+2Пn, n
=
+2Пn или x +
=П -
+2Пn.