close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Квадратичные формы

код для вставкиСкачать
Тема 6. «Квадратичные формы»
Основные понятия:
1. Основные определения
2. Виды квадратичных форм
3. Определение квадратичных форм
завершить
1. Основные определения
Квадратичной формой L ( x 1 , x 2 , ..., x n ) от n переменных
называется сумма, каждый член которой является либо
квадратом одной из переменных, либо произведением двух
разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:
n
L ( x 1 , x 2 , ..., x n ) n
i 1
a ij x i x j .
j 1
Пример 1.
далее назад
Пример 1.
1)
Квадратичная форма от двух переменных:
2
L ( x1 , x 2 ) 2
i 1
2
a ij x i x j j 1
a
i1
x i x1 a i 2 x i x 2
i 1
a 1 1 x1 x1 a 1 2 x1 x 2 a 2 1 x 2 x1 a 2 2 x 2 x 2
a 1 1 x1 a 1 2 a 2 1 x1 x 2 a 2 2 x 2 .
2
Например:
или
2
L ( x1 , x 2 ) 9 x1 1 2 x1 x 2 4 x 2
2
2
L ( x1 , x 2 ) x1 6 x1 x 2 1 0 x 2 .
2
2
далее
Пример 1.
2)
Квадратичная форма от трех переменных:
3
L ( x1 , x 2 , x 3 ) 3
i 1
a ij x i x j a 1 1 x 1 a 2 2 x 2 a 3 3 x 3 2
2
2
j 1
a 1 2 a 2 1 x1 x 2 a 1 3 a 3 1 x1 x 3 a 2 3 a 3 2 x 2 x 3 .
Например:
или
L ( x1 , x 2 , x 3 ) 3 x1 2 x1 x 2 2 x 2 x 3
2
2
2
L ( x1 , x 2 , x 3 ) 7 x1 3 x 2 x 3 2 x1 x 3 2 x 2 x 3 .
2
2
2
назад
Матрицей квадратичной формы называется
симметричная матрица, составленная из ее коэффициентов
a1 1
a 21
A ...
a n1
a1 2
...
a 22
...
...
...
an2
...
a1n a2n
... a nn Пример 2.
далее назад
Пример 2. Составить матрицу квадратичной формы
1) L ( x 1 , x 2 ) 9 x 1 1 2 x 1 x 2 4 x 2
2
2
2) L ( x , x ) x 6 x x 1 0 x
1
2
1
1 2
2
2
2
9
A 6
6 4 1
A 3
3 10 3) L ( x , x , x ) 3 x 2 2 x x 2 x 2 x 2 1
2
3
1
1 2
2
3
3
A 1
0
1
2
0
0
0
1 назад
Рангом квадратичной формы называется ранг r ее
матрицы А (r = rangA).
Если r = n, матрица А называется невырожденной,
если r < n, матрица А называется вырожденной.
Пример 3.
далее назад
Пример 3. Вычислить ранг матрицы квадратичной формы
1) L ( x , x ) 9 x 2 1 2 x x 4 x 2
1
2
1
1 2
2
2) L ( x 1 , x 2 ) x 1 2 6 x 1 x 2 1 0 x 2 2
3) L ( x 1 , x 2 , x 3 ) 3 x 1 2 2 x 1 x 2 2 x 2 2 x 3 2
4)
L ( x1 , x 2 , x 3 ) 7 x1 3 x 2 x 3 2 x1 x 3 2 x 2 x 3 .
2
2
2
Ответ
назад
Ответ (Пример 3):
1) A
2)
A
3) A
4) A
9
6
1
3
3
1
0
7
0
1
6 к.ф. вырожденная
rangA 1
4 3 к.ф. невырожденная
r
a
n
g
A
2
10 1 0 2
0 r a n g A 3 к.ф. невырожденная
0
1 0
1
к.ф. невырожденная
3
1 rangA 3
1
1 назад
В матричной записи квадратичная форма имеет вид:
L X
T
AX
переменных.
, где
X ( x 1 , x 2 , ..., x n )
T
- матрица-столбец
Пример 4.
далее назад
Пример 4. Представить квадратичные формы в матричной
записи
1) L ( x 1 , x 2 ) 9 x 1 1 2 x 1 x 2 4 x 2
2
2
2) L ( x 1 , x 2 , x 3 ) 3 x 1 2 2 x 1 x 2 2 x 2 2 x 3 2
Ответ
назад
Ответ (Пример 4):
1)
L ( x1 , x 2 ) 9 x1 1 2 x1 x 2 4 x 2 2
L ( x1 , x 2 ) 2)
2
9
x2 6
x1
6 x1 .
4 x2 L ( x1 , x 2 , x 3 ) 3 x1 2 x1 x 2 2 x 2 x 3 2
L ( x1 , x 2 ) x1
2
x2
3
x3 1
0
2
1
2
0
0 x1 0
x .
2 1 x 3 назад
Главным (угловым) минором 1-го порядка матрицы А
называется определитель вида: 1 a 1 1
Главным (угловым) минором 2-го порядка матрицы А
a1 1
a1 2
называется определитель вида:
2 a 21
a 22
Главным (угловым) минором 3-го порядка матрицы А
называется определитель вида: a
a
a
11
12
13
3 a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
è ò.ä .
Пример 5.
назад
Пример 5. Вычислить главные (угловые) миноры
следующих квадратичных форм:
1)
L ( x1 , x 2 ) 9 x1 1 2 x1 x 2 4 x 2
2)
L ( x1 , x 2 , x 3 ) 3 x1 2 x1 x 2 2 x 2 x 3
2
2
2
2
2
Ответ
назад
Ответ (Пример 5):
1)
2)
9
A 6
3
A 1
0
6 1 9;
4 1
2
0
2 9
6
6
4
0
3
0 1 3; 2 1
1
0.
1
5;
2
3 det A 5.
назад
2. Виды квадратичных форм
Квадратичная форма
Знакоопределенная
Знаконеопределенная
Полуопределенная
Положительно
определенная
Неположительно
определенная
Отрицательно
определенная
Неотрицательно
определенная
назад
3. Определение квадратичных форм
Невырожденная квадратичная форма является положительно
определенной тогда и только тогда, когда
а) либо все главные (угловые) миноры матрицы квадратичной
формы положительны (критерий Сильвестра);
б) либо все собственные значения матрицы квадратичной
формы положительны.
Пример 6.
далее назад
Пример 6. Исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму L ( x 1 , x 2 , x 3 ) 3 x 1 2 2 x 1 x 2 2 x 2 2 x 3 2 .
3
Решение:
1) Матрица квадратичной формы A 1
2) По критерию Сильвестра
1 3 0; 2 3
1
1
2
0
1
2
0
0
0 .
1 5 0; 3 d et A 5 0 квадратичная форма является положительно определенной.
назад
Невырожденная квадратичная форма является
отрицательно определенной тогда и только тогда, когда
а) либо все главные миноры матрицы квадратичной формы
четного порядка положительны, а нечетного отрицательны (критерий Сильвестра);
б) либо все собственные значения матрицы квадратичной
формы отрицательны.
Пример 7.
далее назад
Пример 7. Исследовать на знакоопределенность квадратичную
форму L ( x 1 , x 2 , x 3 ) 7 x 1 2 3 x 2 2 x 3 2 2 x 1 x 3 2 x 2 x 3 .
Решение:
1) Матрица квадратичной формы
2) По критерию Сильвестра
1 7 0; 2 7
0
0
3
7
A 0
1
0
3
1
1
1 .
1 2 1 0; 3 d et A 1 1 0 квадратичная форма является отрицательно определенной.
назад
Положительно определенные и отрицательно определенные
квадратичная форма называются знакоопределенными
квадратичными формами.
Невырожденные квадратичные формы неявляющиеся
положительно определенными или отрицательно
определенными называются знаконеопределенными
квадратичными формами.
Пример 8.
далее назад
Пример 8. Исследовать на знакоопределенность квадратичную
форму L ( x 1 , x 2 , x 3 ) 2 x 1 2 3 x 3 2 4 x 1 x 2 4 x 1 x 3 8 x 2 x 3 .
Решение:
1) Матрица квадратичной формы
2) По критерию Сильвестра
1 2 0; 2 2
2
2
0
2
A 2
2
2
0
4
2 4 .
3 4 0; 3 d et A 1 2 0 квадратичная форма является знаконеоопределенной.
назад
Вырожденные квадратичные формы, нормальный
(канонический) вид которых состоит из квадратов
одного знака, называются полуопределенными.
Квадратичная форма L ( x 1 , x 2 , ..., x n ) называется
канонической, если все ее коэффициенты a i j при
i j
равны нулю:
n
L ( x 1 , x 2 , ..., x n ) a ij x i a 1 1 x 1 a 2 2 x 2 ... a n n x n
2
2
2
2
i 1
Пример 9.
назад
Пример 9. Исследовать на знакоопределенность квадратичные
формы: 1) L ( x 1 , x 2 ) 9 x 1 2 1 2 x 1 x 2 4 x 2 2
2) L ( x , x , x ) x 2 x 2 x 2 2 x x
1
2
3
1
2
3
Решение 1):
9
1) Матрица квадратичной формы A 6
1
2
6 .
4 Т.к. d et A 0 квад. форма полуопределенная.
2) L x1 , x 2 3 x 1 2 x 2 y 1 0 2
2
квад. форма является неотрицательно определенной.
далее
Решение 2):
0 1 1
1) Матрица квадратичной формы A 1 1 0 .
0
0
1
Т.к. d et A 0 квад. форма полуопределенная.
2) L x1 , x 2 x1 x 2 x 3 y 1 y 2 0 2
2
2
2
квад. форма является неположительно определенной.
назад
Спасибо за внимание!
Не забывайте готовиться к
лекциям и семинарам!
(Тема следующей лекции
«Векторы на плоскости и в пространстве»)
Удачи!
Документ
Категория
Презентации
Просмотров
1 073
Размер файла
368 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа