close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

4521 dautova a. z. alimova j. s. djarasova g. s sandikh adisteri

код для вставкиСкачать
АН РЕСПУБЛИКАСЫ НЫ Ц Б1Л1М Ж Э Н Е ГЫ Л Ы М МИНИСТРЛ1Г1
С. ТОРАЙГЫ РОВ АТЫ НДАГЫ
ПАВЛОДАР МЕМЛЕКЕТТ1К УНИВЕРСИТЕТ!
САНДЬЩ ЭД1СТЕР1
Павлодар
519
б/н
С20 Сандык, эдютерп пэынен тэж1рибел1к тапсырмаларды орындауга
арналган эдютемелж нускаулык
/К,ураст.: Даутова А. 3. [жэне т. б.]
2017
1637.00
ш
е л о
К,азакстан Республикасыньщ Бш м жэне гылым министрл1п
С. Торайгыров атындагы
Павлодар мемлекетт!к университет!
Физика, математика жэне акпараттык технологиялар
факультет!
«Математика жэне информатика» кафедрасы
САНДЬЩ ЭД1СТЕР1
пэншен тэж 1рибел1к тапсырмаларды орындауга арналган
эд1стемел1к нускаульщ
Павлодар
Кереку
2017
О О Ж 519.6 (07)
КНЖ 22.193я73
467
С . Торяйгыров атындагы Павлодар мемлекептк университетшщ
физика, математика жэне акпаратты к технологиялар
ф акул ьтеттщ «М атематика жэне информатика» кафедрасынын
отырысында басылымга уеыиылган
Рецензент:
А. Ж . Асаинова - пед.гыл.кандидаты, С. Торайгыров атындагы
Павлодар мемлекетпк университеты» профессоры.
Курастыруш ылар:
А.
3.
Даутова,
Ж.
С.
Алимова,
Г. С. Джарасова
Ч67«Сандык яд!стерЬ> пэшнен тэж^рибелж тапсырмаларды орындауга
арналган эдютемелж нускаулык / кураст. А. 3. Даутова,
Ж . С. Алимова, Г. С. Джарасова. - Павлодар, 2017. - 62 б.
Эдютемелж нускаулыкта теориялык материалдар, есептерд1
шешудщ ти1мд| эдютерш колдана отырып шешу жолдары жэне
ездИнен орындауга арналган тапсырмалар бершген.
Эдютемелж нускаулык 5В060200 - Информатика, 5В070300 Акпараттык жуйелер мамандыгынын студенттерше арналган.
С. Торай^ыроп
атындагы ПМУ-^'М
акадеги'/.ч С.Еейсембло!
а о ж 519.6 (07)
К Б Ж 22.193я73
ьтундз» ы гылъ;:...1
г
© Даутова А. 3., жэне т.б. 2017
© С. Торайгыров ат. П М У, 2017
Материалдын дурыстыгына, грамматикалык жэне орфографиялык кате.и'ктсргс
авторлар жэне курастырушылар жауапты
К|ркпе
Математикалык модельдерд! тэж1рибелж юке асырудьщ ен
манызды куралы ретшде есептеуш математикасыныц эдютер1
колданьшады. Сондыкган, есептеу математикасыныц есептерш
шыгарганда тшмд1 жолдарды колдану, сонымен катар, есептерд1
сандык шешудщ рационалды стратегияларын колдану принциптерш
менгеру «Сандык эдютерЬ пэшшц непзп максаты болып табылады.
Осы курсты оку барысында студенттер талдаудыц жуык жэне
сандык зд1стер1 мен есептеу математикасыныц тэсшдерш уйренуч
керек. Демек, «Сандык эдютерЬ) пэншщ зергтеу объекплер1
сызыктык алгебралык, сызыктык емес алгебралык, трансцендентпк
тендеулер мен жуйелер жэне дифференциалды тендеулер болып
табьшады. Аталган такырыптарды жет1К уйрену ушш осы пэн
бойынша тэж1рибел1К гапсырмаларды орындауга арналган эд1стемелк
нускаулык курастырылып отыр. Эдютемелж нускаулык 5В060200 Информатика жэне 5В070300 - Акпараттык жуйелер мамандыгы
бойынша окитын студенттерге арналган. Эдютемелж нус каулыкта
бершген материалдар оку материалын пакты жэне кыска турде
усынылуымен
ерекшеленед!.
Усынылып
отырган
эдютемелж
нускауларды студенттер осы пэнд| ездшнше менгеру уинн
колдануына болады.
Эдютемелж нускаулыкка кыскаша теориялык мэл1меттер,
тапсырмаларды орындау мысалдары жэне студенттердщ ездюнен
орындауына арналган практикалык тансырмалар енпзшген.
Бул пэн «Оцтайландыру эдютер1 мен операцияларды зерттеу»,
«Шеш]мдерд1 кабылдау теориясы», «Баскару теориясы» сиякты
пэндерд! менгеруге дайындыкты камтамасыз етедь
3
Тлж1рибел1к жумыс № 1 Ж ар ты лай белу (дихотомия адк|)
Л нм ктам а 1
Я * )-0
(1.1)
туршдеп тендеу сызыцтьщ емес тецдеу деп аталады, мундагы
кслес! турдеп сызыктык емес функция:
- сызыктык емес алгебралык функция (полином немесе кепмуше)
</„г" + а„ , / ' + ... + а,х + ап;
трансцендентпк
функция
тригонометриялык,
кер1
григонометриялык.
логарифмдж,
керсеткш тк.
гиперболалык
функция;
- аралас функциялар, мысалы (х + х т х).
**
Л м м к тям а 2 (1.1) сызыктык емес тендеушщ шеппм) х
мэю
Полады, егер бул мэн ( 1.1) тендеу ше койганда оны тепе-тенджке
айналдырса.
1лж1риГ)сле кейде есептщ дэл шеш1М1 табылмайды. Осындай
жагдайда ( 1.1) тецдеуш шешу ушш жуыктау (сандык) эдютерш
колданадм.
*
Д н м к тя м а 3 (1.1) сызыкты емес тендеудщ жуык шеш!М1 х мэн!
болып табылады, егер бул мэнш ( 1.1) тендеуше койганда, тендеу
Цх)
|/'!л'*1<е
0СЯГ1Л1бф дэлджпен орындалатын болса, ягни, I
I
, мундагы е
к11111 он шама.
Ж уы к
шеш1мд1 табу
сандык
эдютер1 мен
есептеу
матсматикасынын непзш курайды.
Сызыктык емес тенлеулерд1 жэне сызыктык емес тендеулер
жуйелерш шешудщ коптеген эдгстер1 бар. Олар 3 топка жжтеледк
сандык, фафикалык жэне аналитикалык. Аналитикалык эдю
тецдеудщ шеипмшщ дэл мэнш аныктауга мумюндж бередь
Графикалык
эдютщ
д эл д т
темендеу
болганымен,
курдел ]
тендеулердщ дэл1рек шенлмш 1здеуд1 бастауга болатын ен жуык
мэндерд1 аныктап алуга мумкшдж бередь Сызыктык емес тендеудщ
шеиймш аныктаудын сандык эдйл ек1кезецнен турады: туб1рд1белю
алу жэне оны бершген нуктеге дейш нактылау.
4
с
\
и
1.1-сурет - Туб1рлерд1 граф икал ык эдюпен болш алу
Туб1рлеро1 бол'ш алудыц б1ршш1 т з с ш - графикалык. Бул эдю
аралыкгагы туб'флердщ санын аныктауга мумкшдж бередь Егер I ' л ’
карапайым аналитикалык турде бершсе, онда ( 1.1) тендеуже сэйкес
У~
функциясыныц графипн тургызуга болады. Мупдай
жагдайда, функция графипнщ обсцисса оамен киылысатын нуктеа,
бершген сызыктык емес тендеудж туб1рлержщ жуык мэндер! болып
табылады. Егер I ^л ' курдел! аналитикалык турде бершген болса,
онда оны ем карапайым функциялардыц айырмасы ретшде жазуга
болады:
= ФИ** —Ф_»(А) _ д х)
= о болгандыктан, Ф |Ы - Ф :> Ы
теиднт орындапады.
Ек1 фафик тургызамыз У* ~ Ф И Л^ Уз -Фз1\1 (1.1-сурет). Сонда
( 1. 1) сызыктык емес тендеуд1 шешудщ мшдетц осы ею графиктщ
киьшысу нуктелержщ абсциееасын 1здеу болады, жоне олар тендеудж
туб1рлержж жуык мэндер! болып табылады.
Теорема 1 Егер
функциясы 10,Н аралыгында узд!кс!з
болса, жэне аралыктьщ уштарындагы мэндержж тацбасы эртурл1
болса (ягни / ! °) / ( ^
туб!р1бар болады.
Теорема 2 Егер
болса,
онда [<(,/>] аралыгында ен болмаганда б1р
функциясы
\ а ,Ь \
аралыгында узд1КС13
/ 1°) / | Ь 1< 1) Тур;ндеГ1 шарТ орындалса жэне туындысы
аралыгында тацбасын сактайтын болса, онда бул аралыкта жалгыз
гана туб1р бар болады.
Теорема 3 Егер
табьшса, жэне
^ Л| функциясы п -дэрежел1 копмуше болып
аралыгыныц уштарындагы мэндержж тацбалары
эргурл! болса, онда
аралыгындагы туб1рлержщ саны шекс13
5
болады.
Лл
егер,
Iя-Н
аралыгынын
уштарындагы
мэндершщ
танбалары езгермейтш болса, онда ( 1. 1) тендеушш ">,,1 аралыкта
шеийм1жок болады немесе туб1рлершщ саны жуп болады.
Зерттеудщ аналитикалык эдюш колданганда ^ л ' функцияныц
монотондык интервалын аныктап алу керек. Ол ушш куджт!
.... 1,л табу керек, ягни, I
функциясынын б1рпнш
нуктелерд!
туындысы 0-ге тен болатын немесе мулдем болмайтын нуктелерь
;с с
|
Сонда жалпы сандар ос! монотондык аралыктарга 'Ь;> Ьм|' белшед1,
жэне
олардын
аныкталады, мундагы
эркайсысында ^ ' л'^туындысыныц
I
х' е
у
I
танбасы
и 1. Будан кейш Г(х) функциясы
танбасын озгертетш, ягни /
/ 1Ьм 11< (* тенс13Д1п орындалатын
(У К I
монотондык интервалдар '
«1 бол 111 алынады. ТуСнрд! аныктау
ушш осы интервалдардын эркайсысында туб1рлерд1 нактылау э/пс!
колданылады.
Лралыктагы туб1рлерд1 нактылау эдгстершц ен таралганы
итерациялык (жуыктау) эдю: жартылай белу эдкп (дихотомия эдю|),
хорда ЭД1С1, Ньютон эдкп (жанама эл ю ) жэне оныц модификациясы.
Туб'флерд! нактылау эдютершщ ен карапайымы аралыкты
жартылай
белу эд1С1, немесе дихотомия эд!С1. Бул эдю /(х)=0
функциясы туршде бершген тендеудщ туб1рлерш табуга арналган.
Узд1кс1з /(х) функциясы [а,Ъ] аралыгынын уштарында эртурл!
танбалы мэндерге ие болсын, ягни, ./(а)-/(Ъ) < 0 (1.2-сурет), онда бул
аралыкта ец болмаганда б 1р туб)р бар болады.
1.2-сурет - Аралыкты
интер претациясы
жартылай
белу эдкпнщ
графикалык
Аралыктын ортасын алайык с=(а+Ь)/2. Егер /(а)-/(с) < 0, онда
туб'ф я-мен (а+Ь)/2 аралыкта жэне кер1 жагдайда (а+Ь)/2 -дан Ь-га
дешнп аралыкта жатканы анык. Сондыктан осы ек1 аралыктын
кажеттюш аламыз да, онын дэл ортасындагы нуктеде функциянын
6
мэнш есептейм1з. Осылайша, аралыктыц узындыгы бершген
абсолютпк кателштен кем болганша (Ь-а) < е, есептеуд! журпзе
берем 13.
Бул эдютщ жинактылык жылдамдыгы сызыкты болып табылады.
Алгашкы шарт орындалган жагдайда ол унем1 шенпмге
жинакталады.
Егер дэлд1к бершген болса, онда кажегп итерациялар санын дэл
есептеуге болады. Расында да, кандайда б1р к кадамда туб1р1 бар
болатын аралыктьщ узындыгы ^
= е болады.
2*
Жартылай белу эдю1 физикалык; шынайы тендеулерд1 шешуде,
ягни тендеудщ ш еитп бар болатын аралык алдын-ала белгш болган
жагдайда колдануга ьщгайлы.
М ы салы . Жартылай белу эдкпн колданып х2 - 8т я г = 0
тендеушщ ец К1Ш1он туб1рш табу:
1) туб1рлерд1графиктш эдюпен белш алу;
2) жартылай белу эдЫмен туб1рд1нактылау.
Ш еш уп 1) Туб1рлерд| гр аф и т к эд1спен б о л т алу
Бершген тецдеуд! <р(х) = (</(*) тур шде жазайык. Бершген жагдайда
х2=8тлх.
у = х2 жэне ипл’хфункцияларыньщ фафигш гургызайык.
1.3-сурет- Функциялардьщ графин
[0,5; 1]аралыгында бершген тендеудщ б1р туб1р| х0 бар. Бул
1зделшд1ен К11ш он туб1р;
2)
Жартылай белу эдю1мен туб1рд| окшаулау аралыгын тарьшту.
/ (х ) = х2 - 8Ш лх
функциясы
узд1кс13,
демек
ол
аралыгында да уздшаз. Мэндерд1есептейм1з
/ (0 ,5) = -0,75 < 0, Д х) = 0.998, Д О , 5) •/(1 ) < 0
7
[0,5; 1]
Будан, бершген тендеудщ туб1р1 [0,5;1] аралыгында жататыны
аиык.
Мэндерд1есептейм1з с = (а+Ъ)/2 —*с = (0.5+1)/2 =0.75
Функциянын нуктелердеп мэндерш есептейм1з жэне шартты
тексерем 13
/0 .5 ) = - 0.75, /(1) = 0.998 /0.75) = - 0.145
Д а) •/(с)>0, келес1шартты тексерем13/(Ь ) •/(с)<0. Эр 1карай [а ,с]
аралыгын алып тастаймыз да, жана аралыкты зерттейм1з, мунда а
нуктееш с нуктесше коппрем!з. Будан шыгатыны, : [0.75; 1] аралыгы,
алгоритмд1 кайталай отырып, функциянын нуктедеп мэнш есептейм13
с = (а+Ь)/2 —*с = (0.75+1)/2 =0.875
Функциянын нуктелердеп мэндерш есептейм1з жэне шартты
тексерем 13
/0.75)= -0.145, /(1) = 0.998 /0.875) = 0.382
/ (а ) /(с) < 0, демек [с, Ь\ аралыгын алып тастаймыз жэне жана
аралыкта есептейм13, мунда Ь нуктеа с нуктесше кешедь Ж ана
аралык : [0.75; 0.875] туршде болады, алгоритмд1 кайталай отырып,
функциянын нуктедеп мэнш есептейм1з
с = (а+Ь)/2 — с = (0 .75+0.875)/2 =0.8125
Функциянын нуктелердеп мэндерш есептеймв жэне шартты
тексерем 13
/0.75) = - 0.145, /0.875) = 0.382 /(0.8125) = 0.104
/(а) / (с) < 0, демек [с, Ъ] аралыгын алып тастаймыз жэне жана
аралыкта есептейм13, мунда Ь нуктес1 с нуктесше кошеди Жана
аралык : [0.75; 0.8125] туршде болады, алгоритм/и кайталай отырып,
функциянын нуктедеп мэнш есептейм1з
с = (а+Ь)/2 —>с = (0.75+0.8125)/2 = 0.78125
Функциянын нуктелердеп мэндерш есептейм!з жэне шартты
тексерем п
/0.75) = -0.145, /(0.8125) = 0.104 /0.78125) =-0.025
8
/(а) /(с) > 0, келес1 шартты тексерем13 /(Ъ ) / (с) < О, демек [а,с]
аралыгын алып тастаймыз жоне жана аралыкга есептеймгз, мунда а
нуктеа с нуктесше кешед1. Жана аралык : : [0.78125; 0.8125] туршде
болады, алгоритмд! кайталай отырып, функцияныц нуктедеп мэнш
есептейм1з с = (а+Ь)/2 — с = (0.78125+0.8125)/2 =0.796875.
Функцияныц нуктелердеп мэндерш есептейм1з жэне шартты
тексерем!з
/0.78125) = -0.025, /(0.8125) = 0.104 /0.796875)= 0.038
/ (а ) ■/(с) < 0, демек [с, Ъ] аралыгын алып тастаймыз жэне жаца
аралыкта есептеймгз, мунда Ъ нуктеа с нуктесше кешедь Жаца
аралык : [0.78125; 0.796875] туршде болады, алгоритмд1 кайталай
отырып, функцияныц нуктедеп мэнш есептейм13
с = (а+Ь)/2 —*с = (0.78125+0.796875)/2 = 0.789063
Функцияньщ нуктелердеп мэндерш есептеймгз жэне шартты
тексерем13
/0.78125) = - 0.025 /0.796875) = 0.38, ДО. 789063) = 0.0064
/ (а ) ’ /(с) < 0 шартын тексерем1з, демек [с, Ь\ аралыгын алып
тастаймыз жэне жана аралыкта есептейм1з, мунда Ь нуктес1 с
нуктесше кешеди Жаца аралык : [0.78125; 0.789063] тур1нде болады,
алгоритмд1 кайталай отырып, функцияныц нуктедеп мэнш есептейм1з
с = (а+Ь)/2 —*с = (0.78125+0.789063)72 = 0.785156
Функцияньщ нуктелердеп мэндерш есептеймгз жэне шартты
тексерем1з
/0.78125) = - 0.025 /(0.789063) = 0.006, /0.785156) = -0.009
/ (а ) -/(с) > 0, келес1шартты тексерем1з /(Ъ ) ■/(с) < 0, демек [а,с]
аралыгын алып тастаймыз жэне жана аралыкта есептеймгз, мунда а
нуктес! с нуктесше кешед1. Жана аралык [0.785156; 0.789063] туршде
болады, алгоритмд1 кайталай отырып, функцияныц нуктедеп мэнш
есептейм1з
с = (а+Ь)/2 -*с = (0.785156+0.789063)72 = 0.7871
9
Функциянын нуктелердеп мэндерш ссептейм1з жэне шартты
тексерем 13
/0.785156) = - 0.009, ДО. 789063) = 0.006 ДО-7871) = -0.001
/ (а ) / (с ) > 0, келес! шартты тексерем 13/(Ъ ) - /(с) < 0, демек [а.с\
аралыгын алып тастаймыз жэне жана аралыкта есептейм1з, мунда а
нуктеа с нуктесше кошель Жана аралык [0.7871; 0.789063] туршде
болады, алгоритм/и кайталай отырып, функциянын нуктедеп мэнш
есептейм1з
с = (а+Ь)/2 ->с = (0.7871+0.789063)/2 = 0.7881
Функциянын нуктелердеп мэндерш есептейм1з жэне шартты
тексерем 13
Д0.7871) = - 0.001, /(0.789063) = 0.006 Д0.7881) = 0.002
/(а) /(с) < 0 шартын тексерем 13, демек [с, Ъ] аралыгын алып
тастаймыз жэне жана аралыкта есептейм13, мунда Ь нуктес1 с
нуктесше кешедь Жана аралык : [0.7871; 0.7881] туриаде болады,
алгоритм;!! кайталай отырып, функциянын нуктедеп мэнш есептейм!з
с = Га+Ь)/2 — с = (0.7871 +0.7881)/2 = 0.7876
\Ь-а\ < 0.001 шарты орындалганда есептеуд1 токтатамыз.
Итерация саны есептеулердш кайталану санына тен, ягни есть п = 10,
тендеудщ туб1р1 шамамен 0,7876 тен.
Тяпсмрмя. Тендеудщ туб|рлерш (оларды алдын ала белш алып)
жартылай белу эдкпн колданып (бисекция эд1С1мен) 0,001 дэлдкпен
табу.
9. х3+3х2-1 = 0;
1. х3- 4х + 2 = 0;
10. 2х3+9х2-4 =0.
11. 5х3+9х2+4 =0
12 2х3- 9х2-4 = 0
13 х3+Зх2- 4 =0
14 2х3+9х2+2 =0
15 Зх3+2х2-4 = 0
2. х3-2х-5 = 0;
3. х4+5х - 7 = 0;
4. х4+2х2- 6х +2 = 0;
5. х5-х-2 = 0;
6. е' - х - 2 = 0;
7. х3-Зх2- 5= 0;
8. х3 + х - 2 = 0;
10
Т эж 1рибел 1к жумыс № 2 Хорда ЭД1С1
Туб|рлерд1 эртурл1 тэсшмен белш алуга болады: фафикалык,
арнайы эртурл1компьютерлж программалардын комепмен жэне т.б.
Егер
/ (*) =0тендеу1нщ
туб1рД1 окшаулау
аралыгында
келес! шарттар орындалса:
1) /(*)> / '(* ),/ '(* ) УЗДжаз;
2) Д а ) •/(*)< 0;
3) / ’(*) и /"(х ) тацбаларын сактайды,
онда бастапкы туб^рге жинакталу нуктелершщ б1ргздш1пн аныктауга
болады.
Хорда ЭД1С1НДС итерация процес! мынадан ту рады: тендеудщ
жуык туб1р1 рет1нде хорданыц абсцисса ос1мен киылысу нуктелершщ
мэ1П
с>’...
кабылданады.
Функция
тацбасын
езгертетш
аралык
табылсын. (1,' , ,и,,жэне &.1-(Ь)) нуктелер: аркылы тузу журпзуге
болады.
у-1(о)
\-ч
ЦЬ)-Н(а)
1}—и
Оныц абсцисса оамен киылысу нуктеа
жуыктауга сэйкес келетш тецдеуд1аламыз
1>-и
Г1
(2.1)
- с° ’ У ~
ушш, нелдж
|
Р ф )- Р (ч)
(2.2)
Функция езшщ тацбасын езгертетш аралыкты орнатамыз. Оны
жана интервал ретшде аламыз да, жаца С| жуыктауды 1здейм1з жэне
т.б.
2.1-сурет - Сызыктык емес тендеуд! хорда эд 1С1мен шешу
11
Ескерту: ,л',у') жпне ,л" 1’ * нуктелер! аркылы отетш тузудщ
тендеу! мынадай:
у.,- у,
Х ..- Х ,
2.2-сурет - Сызыктык емес тендеуд1хорда эдкммен шешу
Уштарынын жылжымайтындыгын аныктау
шарты колданылады, мунда I = а немесе I = Ь.
уипм / ’’(х )■/(()>О
М м салм . л2- 8тл х =0 тендеушщ [0.5; 1] аралыгындагы ен кшн
он туб1р1н хорда эдю1мен табу.
Ш ешу!
/(х) = Х 2 - Х 1П и х ; Р ( х ) = 2 х - жсоз жх, туб1рд1нактылау у пин екшил
ретп туындыны табамыз / ’ ’(х) = 2 + ж -зт жх, оган мы на шарт
орыпдалуы керек / ” (х) > 0.
Есептеу унпн колданылатын формула
/(0.5) = -0.75
кестесше жазамыз:
/(1 ) = 0.998. есептеулердщ нэтижесш 2.1-
12
2.1-кесте
А
В
С
«а)
Г(Ь)
т
0,500
1,000
0,714
-0,750
0,998
-0,272
0,714
1,000
0,776
-0,272
0,998
-0,048
0,776
1,000
0,786
-0,048
0,998
-0,007
0,786
1,000
0,787
-0,007
0,998
-0,001
0,787
1,000
0,787
-0,001
0,998
0,000
Тендеудщ туб1рк 0,787
Тапсырма. Тендеудщ туб|рш табу (оларды алдын-ала бол'ш
алып), 0,001 дэлджпен хорда эд1С1мен есепте.
1. х3-4х+2 =0;
2. х 3 - 2 * - 5 = 0;
3. дс4+ 5лг-7 =0;
4. *4+2дГ~6л: +2=0;
5. х5-х-2 = 0;
6. е '- х - 2 =0;
7. х3-Зх2- 5= 0;
8. д:3 + л; - 2 = 0;
9. х3+Зх! -1 = 0;
10. 2л:3 + 9х2 - 4 = 0;
11 2х3+Здг-4 =0;
12 х3+9х~ -4 =0;
13 2х3+9х? +2 =0;
14 2*3+*2-3 =0;
15 Зд:3+дг2+4 =0.
13
Тэж1рибел1К жумыс № 3 Аралас эдк
/(дг)функциясыньщ \а,ь\ аралыгында узджЫз екшип ретп
туындысы бар болсын, аралыктын уштарындагы мэндершщ танбасы
эртурл1, сонымен катар б1ршип жэне екшип ретп туындылары осы
аралыкта танбасын сактайтын болсын.
[«,/>] аралыгынын, /(х ) функциясы мен оныц екшпн ретт!
туындысы / '(х )б 1рдей тацбалы мэндерге ие болатын ушын г0 ретшде
тандап алайык. Аралыктын екшип ушын х„ аркылы белгшешк.
у =/(х) кисыгына (20,/ (г 0)) нуктеа аркылы жанама журпзешк.
Бул жанама абсцисса осш [а, />] аралыгында жаткан
* у2о)
нуктесшде киып етед|.
(х0,/(х0)) жэне (г0,/(г0))нуктелер1н хордамен косамыз. Хорда
абсцисса осш мына нуктеде киып етед1:
/ ( 20)- / (* о)
/(*„)•
(3.1)
[а,ь\ аралыгында табылган х, жэне г, нуктелершде /(х)
функциясы тацбалары эртурлг болатын мэндерге ие.
Осылайша, жана а жэне Ь мэндер1 ретшде табылган х, жэне 2,
мэндерш алуга болады жэне осы процееп кайталау керек.
Аралыктын узындыгы тендеудщ туб1рш табуга койылган
дэл/пктен кши немесе тен болганда есептеуд! токтатамыз. Осы
жумыста дэлдж ретшде е = 0.000001 аламыз.
14
/(*)
^^о -Ж )
е=0.000001
М ы салы . Хорда жэне жанама од1стер! (аралас эдю) аркьшы
л2- 8ш лх = 0 тендеушщ ен юна он туб1рш табу. Туб1рлерд1 графиктж
турде бол 1п алу. Туб1рд1 хорда жэне жанама аралас эдю1 аркылы
нактылау (б1р кадам);
Ш еш ук 1) Тендеудщ туб1рш графикалык болш алу.
Бершген тендеуд!
<р(х) =у/(л) туршде жазамыз. Бершген
жагдайда: х~ =зтл х .
у = х2 жэне 8Ш тех функцияларыньщ графипн тургызамыз.
х
3.2-сурет - Функциялардын графин
Бершген тендеудщ б1р х0 туб1р! [0,5; 1] аралыгында жатыр. Бул
1зделщд1ен кша он туб1р;
2)
Туб1рд1окшаулау аралыгын сынама эдю1бойынша тарьшту.
/ (х ) = х2- зш я’хфункциясы
узд1КС13,
демек
ол
[0,5; 1]
интервалыгында да узджс1з.
Мэндерд! есептейм1з
/(0 ,5 ) =-0,75<0, /(1 ) = 1>0. Д 0 ,5 )- /(1 )< 0 .
Будан шыгатыны, бершген тендеудщ туб1р! [0,5;1] аралыгында
жатыр.
(0,5; 1) аралыгында жаткан б|р нуктеш аламыз, мысалы, х = 0,8
жэне есептейм1з
/(0 ,8 ) = 0,0522>0.
Мунда /(0 ,5 )- /(0 ,8 )< 0 . Демек, х0 е[0,5; 0,8].
15
Туб1
-рд1 окшаулау
аралыгынын
узындыгы
0,05
шамасына
жеткенше, сынама эд1сш жалгастыра берем 13:
/ (0 ,7 ) =-0,319 < 0, х0 е[0,7; 0,8];
/(0,75) = -0,1446<0, х0 €[0,75; 0,8].
3)
Туб^рдщ мэнш хорда жэне жанама аралас ЭД1С1 аркылы
нактылаймыз.
/ \х) жэне / " (х ) туындыларыньщ танбалары [0,75; 0,8]
аралыгында взгермейтшдМне кез жетюзешк:
/ '(х ) = 2 х - тссо5тгх>0 У х е [0,75;0,8];
/ " (х ) = 2 + л'251пл'х>0 Ух €[0,75; 0,8].
/(0 ,8 )- /"(0 ,8 ) > 0 болгандыктан, жанамалар формуласын Ь = 0,8
нуктесшде колдану керек
ах= а----— --- / (а ). Ь,
1
т - т
4
пь)
Бершген жагдайда:
а = 0,75, Ь = 0,8,
/ (а ) =/(0,75) = -0,1446, /(Ь) =/(0,8) =0,0522;
/'(0,8) = 2 •0,8 - л-соз(;г •0,8) = 4,1416,
а, =0,75---- ° ’8~ °’75--- (-0,1446) =0,7867,
1------ 0,0522-(-0,1446)
Ь, =0,8- 00522 =0,7874^
4,1416
х0 «0,787.
Тендеудщ туб|рц 0,787.
16
Ескерту. Егер /(а)/"(а)> 0, онда мына формулапарды колданган
/ ( °) . Ь,I. =Ь----------/(Ь)1.
Г/1.\
а.=а-~--г (а) *
т - т
(3.2)
Тапсырма. Тендеудщ туб1рлерш (алдын ала белш алып), аралас
эдюпен 0,001 дэлджпен табу.
1. х’ -4х+2 = 0;
2. х '- 2 х - 5 = 0;
3. х* +5х-1 = (У,
4. х* +2х2- 6л +2 = 0;
5. д:5-дг-2 =0;
6.
ех - х - 2 = 0',
7. х3- Зх2-5 = 0;
8. х3+х-2 =0;
9. л3+3х2-1 =0;
10. 2х3+9х2-4 =0;
11 2х3+Зх2-4 =0;
12 х3+9х2-4 =0;
13 2х3+9х2+2 =0;
14 2х3+х2-3 =0;
15 Зх3+х2+4 =0.
$/Н
С . Т о р и ь 'ы р о ь
|
атында^ь; ПМУ-д1:1
ака де;и «:< С . Бейсе ми.ю *
атындг»*а5
1/ г г ..
17
г •'
\
Тэж1рибел1К ж ум ы с №
ннтсрполяциялы к к о п м у Н1СС1
4
Интерполяция.
Л агрян ж ды н
[а, Ь] аралыгында п + 1 нуктелер х„ , х , , ...,
берйтген. Оларды
интерполяция туй шдер 1 деп атайды жэне кандай да б!р / (х)
функциясыньщ осы нуктелердеп / (хп) = у 0, /(х,) = у и
/(х„) = у„
мондер! болсын. Интерполяция туйшдершдс /(х) болгандагыдай
мэндерд! ягни. Г(х „) = у„, Р (х ,) = у,,
Р(х„) = у„ кабылдайтын, Р (х)
интерполяциялаушы функциясын тургызу керек.
Бул, бершген ( 1 = "
ушш ) нуктелер жуйес! Ш (х 1, уг) аркылы
отетш, кандай да б1р аныкталган типл у = Р(х) кисыгын табу керек
дегенд 1бшд1ред1. Осындай жолмен алынган_у = Р(х) интерполяциялык
формуласы, эдетте, интерполяция тушндершен баска х аргументЫн
мэндер1 уппн, бастапкы /(х ) функциясыньщ мэндерш есептеу кезшде
колданылады. Муцдай амал /(х) функциясын интерполяциялау деп
аталады. Бунымен катар, тар магынадагы интерполяциялауды (х
аргумент! [хО, хп] аралыгында жатады) жэне экстраполяциялауды (х
аргумент! бул аралыкта жатпайды) белш айтады.
Осындай турде койылган интерполяциялау есебМ ц ш еказ
коптеген шеппмдер! болуы мумкш. Жалгыз гана Р(х) функциясын алу
уппн, бул функция ерюн алынган емес, кандай да б|р косымша
шарттарды ка!!агаттандырады деп жору керек.
Ен карапайым жагдайда, у = /(х) тэуелдН эрб!р (х( , х,+/)
интервалында сызыктык болады деп карастырады. Сонда эрб1р
(х),х,+/) аралыгы уппн у = Р(х) интерполяциялык формуласы ретшде, М 1
(х,, у $ жэне М,, 1(хщ , у 1+1) нуктелер) аркылы отетш тузудщ тецдеу1
колданылады, жэне мына турде жазылады:
У “ У '+ *!+ !*(
(4.1)
Сызыктык интерполяция процедураларын профаммалау кезшде,
интерполяция есептерш (1.1) формуласын колданып шешу процес’1ею
кезецнен туратынын ескеру керек: х аргументшщ мэш жататын
(х/Я+д интервалын тандау жэне у =Р(х) функциясынын мэнш (4.1)
формуласымен есептеу.
Тэж 1рибе жузшде Р(х ) интерполяциялау функциясы ретшде.
дэрежес'1п-ней жогары емес жэне Р „ (хо) - уо, Р п (х/) = у /,..., Р п (х„) =
у„ болатын алгебралык кепмуше колданылады
Р п(х ) = ап + аух + (12-х2 + ... + а„х"
18
Р„(х ) интерполяциялык кепмушесш курудыц ен танымал ЭД1С1
Лагранж эдкм, итерациялык жэне айырымдылык эдютер1 болып
табьшады.
Лагранж формулаеы
Лагранждьщ интерполяциялык формулаеы, еркш турде бершген
интерполяция туШндер1ушш Р„(х ) алгебралык кепмушесш тургызуды
камтамасыз етедк хо, х / , х„ аргументами п+1 турл1 мэндер1жэне сол
мэндерге сэйкес функциялар / (хц) = у о, / (х/) = у/,
/ (х„) = у„ ушш
Лагранждьщ интерполяциялык формулаеы мына турде жазылады
^
“
•.
!I '
\ •.
(л -.V; И Г ~ \
-
••-
‘
-'
И'
-л
I
'
I .Л.л
'■
-л ;
/42 )
мундагы х - функциянын [хц, х„] интервалында жаткан
аргументшщ мэнк
Баска интерполяциялык формулалармен салыстырганда, Лафанж
формуласында, кейде ете мацызды болатын аныку, О = ' ) бар екенш
айта кету керек.
М ысалы . Кестеде бершген функциялар ушш Лагранждьщ
интерполяциялык кепмушесш тургызу
0
2
X
У
1
3
2
12
5
147
Шешу|
^ (* )
3
^
>»
( * - ^ Х х - ^ Х х - Х з )
( х - х 0)(д с-д :2 ) ( х - х з )
°(Х о - х ,)(д :0 -д:2Х х о - Х з)
(дс- дс0)(дс —л:,)(дс —л:3)
2 ( * 2 ~ * о Х * 2 - Х ,)(Х 2 - Х 3)
^
[
' (*, - * о )(А'| - * 2)(х 0 - х 3)
( х - х 0) ( х - х { ) ( х - х 2)
3 (Х } ~ Х 0)(Х } ~ Х ,)(Х } - Х т )
Интерполяцияньщ торт туйпп (я = 3) болтан жагдайда Лафанж
кепмушесш былай усынуга болады:
х, , у 1 (г =
айнымальшарын олардыц сандык мэндер1мен
алмастыру аркылы интерполяциялык кепмуше аламыз
19
= 2 (лг-1 )(л-2Х *-5) { з и -0 )(л :-2 )(х -5 ) |
(0 - 1 )(0 - 2 )(0 - 5 )
(1-0)(1-2)(1-5)
| ] 2 (л :- 0 )(л :- 1 Х ^ - 5 ) |
(х - 0) (* - 1) ( * - 2)
(2 - 0 X 2 - 1 X 2 - 5 )
|^ _
(5 - 0 X 5 - 1 X 5 - 2 )
Лагранж формуласы аркылы интерполяциялау улкен колемд!
есептеулермен байланысты, онын басым бел1п бгр функциянын /(х)
б|рнеше мэндерш Р „(х ) алу унмн кайталана береди Аргументпц
эртурл! мэндершдс б1р функциянын мэнш кайта-кайта есептеу упйн
Лафанж формуласын колданган кезде, есептеудщ к елем ш азайтуга
болады. Ол унпн Лафанж формуласы мына турде бершед!
я
Рл (х ) = ^ у , 1^ (.г )
мундагы
аныкталады
‘
'
-
Лафанж
(г
г,;)(г
1 . >- (1
г, ~
коэффициенттери
' •>;-])('
жэне былай
Ч . •)••■( г
г „)
К » ; “ *•.) ... ( V - 1 , . )(г. - г .. ).. (г. -
1 - 1.
...
1 —\
> -■»
.
.
0 *! . - Ч
■
>
>
Лагранж коэффициенттерш есептеу, компьютерд1 колданганда
ынгайлы болатын мынадай схемамен жузеге асады.
Айырымдылык
кестеа
курастырылады:
;-нпн
жолдын
элементтершш кебейтшдЫ К< аркылы белпленедь Осыдан лагранж
коэффициенттер! мына формуламен есептелед1
Сх)
А 1п-Ч
20
мунда //„+}(х) = (х - хо)(х - х])...(х - х ^ ~ кестенщ басты диагонал1
элементтершщ кебейт^ндюк Сонда Лагранж формулаеы мынадай
Р п Ы - 17-0у. •
-
Пп+1(х) • 1Г-0 ~
(4.3)
(4.3) формуласын колдану аркылы аргументтщ эртурл1
мэндераде лафанж коэффициенггерш аныктауды есептеудщ б1раз
белнш кыскартуга болады. Ол ушш айырымдылык кестесшдеп |-нпп
жолдын элементтершщ кебейтацце! К, = (х - х^ Д-туршде жазылады,
мунда Д - басты диагональдан баска жолдарда орналаскан барлык
элементтердщ кебейтшдкь Д 0 ~ " '
) шамасы х аргументшщ
мэшнен тэуелд1 емес жэне бершген функция уинн тек б1р рет
есептеуге болады.
М ысалы. Кестеде бершген функция ушш Лафанждыц
интерполяциялык полиномын куру:
X
Я х)
1
12
3
4
4
6
Функциянын х =2 нуктесшдеп мэнш есептеу.
Шешу1
Кестеден
байкаганымыздай,
д^=1,
лс, = 3,
х2=4,
ягни
интерполяциялык полиномнын дэрежес1 п скшнмсшен жогары емес.
(4.2) формуласын колданып
^(л ) = 12——
—+ 4 ———
(1-ЗХ1-4)
(3 —1X3—4)
(4-1X 4-3)
= 2(х2 -7дг+12)-
-2(х2-5д: + 4) + 2(х2- Ах + 3) = 2л:2- 1 2х + 22
Алынган копмушедеп х-тщ орнына х'= 2 мэнш койып, бершген
нуктедеп функциянын мэнш есептейм13
Ь2(2) = 2-2* - 12-2 + 22 = 8 - 24 + 22 = 6
Тапсырма. Лафанж интерполяциялык копмушесшщ кемепмен,
аргументшщ мэндер! бершген функциянын жуык мэнш табу (егер
функция кестенщ бIрдей кашыктыкта орналаскан тушндершде
бершген болса).
21
X
У
1.375
5.041
1.380
5.177
1.385
5.320
1 х = 1.383
1.390
5.470
1.395
5.629
4х = 1,391
2х*= 1.378
5х*= 1,394
Зх*= 1.389
X
У
0.210
4.832
0.215
4.723
0.220
4.619
6 х* = 0.212
0.225
4.519
0.230
4.424
9 х* = 0.226
7 х* = 0.217
10 х* = 0.211
8 х* = 0.222
X
У
0.420
3.832
0.440
3.723
0.460
3.619
11 х* = 0.422
0.480
3.519
14 х* = 0.482
12 х* = 0.444
15 х’ = 0.476
13 х* = 0.465
22
0.500
3.424
Тэж1рибел1к жумыс № 5 Ырдей кашыктыкта орналаскан
туй 1ндер ушш Ньютонныц интерполяциялы к формулалары
Интерполяциялау тушндер! х0, х /,
х„ б1рдей кашыктыкта
орналаскан деп аталады, егер де
1 ~ ~1
~ 11 1 ' болса,
мунда к - интерполяциялау кадамы. Дегенмен, кейб1р/(х) функциясы
ушш кесте туршдеп мэндер бершед! у< =/(х1), где х, = хо + Иг.
Интерполяциялаудьщ 61рдей кашыктыкта орналаскан тушндер1
ушш Ньютонныц ею формуласы бар. Олар сэйкесшше Ньтонныц
б1ршш1 жэне екшил интерполяциялык формуласы деп аталады жэне
мына турде бершедг.
(5-1)
01 Я - 1
;
({!■'!- 1
я1—»• —1 >
н!
(5.2)
Бул формулаларда Д,- у; - акыргы айырымдар, мунда / айырымныц рет1, у - оныц ретпк ном1р1,1 жэне ^ параметрлер1 былай
аныкталады:
1 - ( х - Х ( ,) / \ \ ^ = (х - х^ /) \.
(5.3)
Б1ршип ретт1 акыргы айырымдар былай есептелед1 Дуу- = _уу+/ — ,
мунда ] = "
колданылады:
Л;
одан жогары реттер ушш белгип формула
А
~
Л " (1 = 2 ,3 ,
-
)
(5.4)
Алынатын акыргы айырымдарды кесте туршде жазган ыцгайлы,
мысалы, 5.1-кестес1
>>
<1
5.1-кесте - Акыргы айырымдардыц горизонталь кестес!
X
Д2 у
ДзУ
ду
У
Хо
Дг Уо
Дз Уо
Дуо
Уо
Ду,
Х|
Дз У1
Д2 У1
У1
Дг Уг
ДзУ2
Дуг
Х2
У2
хз
Д2 Уз
Дуз
Уз
Хц
У4
Х5
У5
23
Д4 у
А* Уо
Д4У1
-
-
Ньютоннын б|р!нип формуласы интерполяция унпн алга жэне
экстраполяция ушш артка колданылады, ягни, жолдары толтырылган
жэне
акыргы
айырымдарынын
саны
жеткЫ кп
болатын,
айырымдылык кестесшщ бас жагында колданылады. Бул формуланы
интерполяция уппн колданганда х аргументшщ мэш \хо, х/]
интервалында жатуы ти!с.
Бунымен катар, х„
рет1нде
интерполяциянын кез-келген х* туйшш
индекамен алуга
болады, мунда т - акыргы айырымдардын максималды ретй
Ньютоннын екнпш формуласы интерполяция уппн артка, ал
экстраполяция уппн алга колданылады, ягни, акыргы айырымдар
кестесшщ сонында. Бул кезде х аргументшщ мэш [х„./, х„]
интервалында жатуы ти1с жэне х„ рет1нде интерполяциянын кезкелген туйнйн
' алуга болады.
Акыргы айырымдардын ен манызды касиеттер1Н1ц б!р1 мынада.
Егер /-НШ1 ретт! (/ < п ) акыргы айырымдар туракты болса, онда
функция /-пни дэрежел! полином болып табылады. Демек, Ньютон
формуласы 1-нш1 дэрежеден жогары емес болуы керек. Компыотерд1
колданган кезде, мына шарт орындалганда, акыргы айырымдарды
есептеу токтайды:
мунда Ь. - функциянын мэшндеп ут1рден кей1нг! цифрлардын
саны.
Айта кету керек, Ньютон формуласы Лагранж формуласы нын
езгертшген тур1. Дегенмен, Лагранж формуласында кураушылардын
б1рде-б1р1н ескермеуге болмайды, ойтксмм олардын эркайсысы тен
кукылы жэне и-пп дэрежел1 копмушен! бередк Ньютоннын
формулаларында кураушылар ретчнде, артып отыратын дэрежел)
копмушелер алынады, жэне олардыц коэффициенттер1 релнде
факториалга
бол1нген
акыргы
айырымдар
алынады.акыргы
айырымдар эдетте тез азаяды да, ньютон формулаларындагы
кураушыларды ескермеуге мумкшдш беред), ейткен1 олардыц
коэффициенттер! ете К1нп болып калады. Бул, функциянын аралык
мэндер1н карапайым интерполяциялык формулалар аркылы дэл
есептеуге мумкшдж беред1.
М ысалы . Б|рдей кашыктыкта орналаскан туЙ1ндердег1
интерполяциялык кесте бершген.
24
X
У
1
0
-1
4
-3
16
Ныотоннын интерполяциясын
есептеу.
Шешу|
3
4
5
16
колданып, у(-2) жуык мэнш
Акыргы айырымдарды курамыз жэне кестеге ^ жэне ^ У акыргы
айырымдар жолдарын косамыз.
X
У
Ду
'"У
1
0
4
8
-1
4
-4
8
-3
16
-12
8
3
4
12
-
5
16
-
Будан, ек|Ш1П акыргы айырымдар туракты екенш корсм1з. Демек,
^ У ■ 0 жэне 2-нл ретп кенмушемен шектелуге болады:
41■ —11 (л* =.>>□+? Ду0 + ----------Д
л=
_ -2 + 3 _ 1
Кестенщ б1ршип жолын жэне
мынаны аламыз
А
2 мэнш колданып,
Ц(-2) = 16 + 1/2(-12) + 1/21/2(-1/2)-8 = 9
Тапсырма. Ныотоннын б1рннш жэне екшип интерполяция
формулаларын
колданып,
аргументтщ
бершген
мэндершде
функциянын мэнш есептеу. Айырымдылык кестесш курастырганда
есептеулерд! бакьшау.
X
У
0.101 0.106 0.111
1.262 1.276 1.291
№ нуска
1
2
3
XI
0.102
0.103
0.104
0.116 0.121
1.306 1.321
0.126 0.131 0.136 0.141
1.336 1.352 1.367 1.383
Аргументтщ мэндеп!
Х2
х3
0.140
0.130
0.139
0.120
0.122
0.137
25
Х4
0.114
0.132
0.117
Тэж1рибел1к жумыс № 6 И кбуры ш тар эдк!
Б1ркатар есептерде кандай да б1р функциянын аныкталган
интегралын есептеу керек болады:
(6. 1)
мунда
1- !''• I аралыгында узджаз, интеграл асты функция.
Интефалдыц
аралыгында
11
геометриялык
магынасы
'' болса, онда
мынада,
егер
'
интегралы сан жагынан,
1 " ' 1 ' функциясыныц фафипмен, абсцисса ос1мен жэне '■ “ жэне
1 - ' гузулер1мен шектелген фигураныц ауданына тен болады (6.1сурет). Осылайша, интефалды есептеу кисыксызыкгы трапецияны
есептегенмен б:рдей.
6.1-сурет- Интефалдыц геометриялык магынасы
Сандык интефалдаудыц М1ндет1 бастапкы интефал асты
функцияны кандайда б1р аппросимациялаушы функциямен алмастыру
болып табьшады (эдегге полиноммен).
Сандык интефалдау мына жагдайда колданылады:
- интефал асты функциянын 031 аналитикалык бершмеген,
мысалы, мэндер кестес! туршде усынылган;
- интефал асты функция аналитикалык гурде усынылган, б1рак
онын алгашкы функциясы аналитикалык функциялар аркылы
бершмеген.
27
X
У
0.15
0.20 0.25 0.30
0.35
1.866 1.754 1.621 1.610 1.521
0.40 0.45 0.50 0.55
1.436 1.352 1.267 1.183
Аргументтщ мэндер!
№ нуска
4
5
6
X
>'
XI
Х2
хз
Х4
0.1511
0.1535
0.1526
0.4125
0.415
0.420
0.143
0.120
0.122
0.6
0.56
0.65
0.10
0.20 0.30
1.866 1.754 1.621
0.50
0.40
1.610 1.521
0.60
0.70 0.80 0.90
1.436 1.352 1.267 1.183
Аргументтщ мэндер!
№ нус ка
7
8
9
Х|
Х2
хз
Х4
0.1511
0.1535
0.1526
0.4125
0.415
0.420
0.642
0.120
0.122
0.881
0.863
0.892
0.12
0.22
0.32 0.42
0.52
1.866
1.754
1.621
1.521
1.610
У.___
X
0.62
0.72 0.82 0.92
1.436 1.352 1.267 1.183
Аргументтщ мэндер!
№ нуска
10
11
12
XI
Х2
хз
Х4
0.1511
0.1535
0.1526
0.4125
0.415
0.420
0.143
0.120
0.122
0.832
0.856
0.865
26
Аныкталган интегралдарды сандык есептеу тэсшдер1 интегралды
акыргы косындымен алмастыруга непзделген
I /■ . ■,Л-
^ с
/•' •
( 6. 2)
мунда
- сандык коэффипиенттер, олар тандап алынган сандык
интегралдау эдютерше байланысты тандалады;
- интефалдау туйпщер! (
'
'....... ).
(6.2) ернепн квадратуралык формула деп атайды.
аралыгын бтрдей N болжтерге болем1з, ягни, N элемснтар
аралыктарга. Эрб1р элементар аралыктын узындыгы
(6.3)
Сонда интефалдын мэнш мына турде усынуга болады
(6.4)
Бул ернектен, [" "1 аралыгында сандык интефалдау ушш, эрбтр
жеке
аралыктагы квадраттык формуланы тургызсак
жсткш1кт1 екеш кершедь
Квадратуралык ернектщ кател т мына ернекпен аныкталады
Ц-" • *'■V .
(6.5)
жэне ол '
коэффициенттерш тандаудан жэне
тушндершщ
орналасуынан тэуелдк
Сандык
интефалдаудын
кател1п
белу
кадамдарымен
аныкталады.осы кадамдарды азайта отырып, жогары дэлджке кол
жетквуге болады.
Интефал асты функцияны Лагранждын интерполяциялык
кепмушес1мен, эрб!р жеке интефалдау аралыгын б|рдей п бел 1кке
28
беле отырып, алмастыру аркылы Ньютон-Котес формулаеы алынады.
Алынган формулалар интерполяция туйшдершдеп интеграл аеты
функциялардыц мэнш колданады жэне тушндердщ санына тэуелд!
болатын барлык х дэрежел! копмушелер ушш дэл болып табылады.
Интерполяциялык
кепмушенщ
дэрежесш
арттырган
сайын
формуланыц да дэлд1п артады.
Пкбурышгар ЭД1С1
Сандык интегралдаудыц ец карапайым эдютершщ б1р!
т1кбурыштар эд1С1. ^ '■ '
дербес аралыкта, интефал аеты
функцияны Лагранждьщ б1р нуктеде тургызылган нелд1к регл
полиномымен алмастырмыз. Эрине бул нукте рет1нде ортацгы нуктеш
—> {I */;
алган дурыс:
. Сонда жеке аралыктагы ингегралдыц
МЭН1
( 6 .6)
Бул орнект! (6.5) орнепне койып, ортацгы тжбурыштардыц
курама формуласын аламыз
(6.7)
Ортацгы т1кбурыштар эдюшщ фафикалык иллюсграциясы 6.2а
сурепнде керсетшген. Сурегген керетш1М1здей, кисык сызыкты
трапецияныц ауданы N тшбурыштардан туратын копбурыштыц
ауданысен алмастырылады. Осылайша, аныкталган инетгралды
есептеу N элементар тжбурыштардыц косындысын табуга экеледь
(6.7) формуласын баска турде де усынуга болады
немесе
*•
(6.8)
Бул формулалар сэйкесшше оц жэне сол тшбурыштардыц
формулаеы деп
аталады.
Оц жэне
сол тшбурыштардыц
формуласыныц ф аф ип 6.2 б, в суретшде корсетшген. Дегенмен, оц
жэне сол тшбурыштардыц формулаларындагы симметрияныц
29
бузылуына байланысты, олардын кател т
эдюше Караганда кеб1рск болады.
ортангы тжбурыштар
а) ортангы
тжбурыштар
в) он жак
тжбурыштар
б) сол жак
т1кбурыштар
6.2-сурет -Тжбурыштар эдЫмен интефалдау
М ысалы. Интефалды
он, сол жэне ортангы тжбурыштар
эдЫмен есептеу. Мунда п = 10 деп алып, ал дэлд1кп алынган
нэтижелсрд! салыстыру аркылы багалаймыз.
1
I
-ч/ х 2 + 5 <1х
+ л /.
Ш еш у|
п = 10 болганда, он, сол т!кбурыштар формулалары бойынша
есептеу уш!н, интефалдау аралыгын 10 белжке болем!з жэне кадамы
// = Ь - а
п
1 -0
10
0. 1
Аралыкты белу нуктелершдеп интефал асты функциясы ушш
мэндср ксстсс1н курам 1,13:
6.1-кесте - Интеграл асты функциясы унпн мэндер кестес 1
1
1
0
1
2
2
0
0,1
0,2
3
0,3
л/^45
3
2,236
2,238
2,245
2,256
2х + >1х2+1
4
1,000
1,205
1,420
1,644
30
У\
5
2,236
1,858
1,581
1,372
у.
у.
6
2,236
1,858
1,581
1,372
7
1,858
1,581
1,372
6.1 -кестен1ц жал гас ы
2
1
3
4
2,272
0,4
4
6
7
1,210
1,210
1,877
5
1,210
5
0,5
2,291
2,118
1,082
1,082
1,082
6
0,6
2,315
2,366
0,7
2,343
2,621
0,978
0,894
0,978
7
0,978
0,894
0,894
8
0,8
2,375
2,881
0,824
0,824
0,824
9
0,9
2,410
3,145
0,766
0,766
0,766
10
1
2,449
3,414
0,717
Функция мэндершщ косындысы 1=0 ден 9-га дешн
0,717
12.802
11.284
Функция мэндершщ косындысы 1=1 ден 10-га
дешн
9
Кестеде косындылардьщ мэш табылган
У, 1
1=0
У, —12.802 ;
10
^
2
1=1
У/ = 11 -284
Интегралдьщ
жуык
мэнш
табамыз.
Сол
ткбурыштар формуласы аркылы аламыз
/, = И
1
= Л X Л = 0.1-12 .802 = 1.2802
1=0
Сол пкбурыштар формуласы аркылы аламыз
10
/ 2 = и ■^
= и •]Г у. = о . 1 •11 .284 = 1.1284
2
1= 1
Бул нэтижелердщ айырмашылыгы жузд1к улеспен гана. Алынган
мэндердщ орташа мэнш сонгы шеиим ретшде аламыз да, ондыккд
дешн децгелектейм1з
= /, + /2
2
1.2802 + 1.1284
2
_ } ^
Тапсы рм а
Интефалды он, сол жэне ортацгы тшбурыштар эдгамен есептеу.
Мунда п = 10 деп алып, ал дэлд"па 1алынган нэтижелсрд! салыстыру
аркылы багалаймыз.
31
Л2
, 1т
I
с!х
( , = т * °-785 )
Г
Ах
2 1
1+ х
Ох
Ю ^ соз2х
0
Ах
^ 81ПX
(I = 1п 2 = 0,693 )
я.
2
3 Л
О
51114 Х&
Г
4 ]
I
ч
0 = 0,5)
Иг
л/ГГ7 Т '
3<1г
12 ^ сояЗдг
о
(I = 1п(1 + л/2) * 0,881)
Г—
13 | « 2 *
2
I
I'
2 Ох
14 ^ з т 2 *
О
2
1п( х+\)<1х
(I = 21п 2 -1 ~ 0,386 )
2
Л
*С08 ДГ(&
(
_
^
р
_Т
0
1
8 I
\ + е 2х
С05 3
х(1х
=
а г с (%
* 0,433
(I = 0 )
32
I
Ох
15 Л сов4дс
О
Тэннрибелпс жуммс № 7 Трапеция э д т жэне Симпсон эд!С1
ь
1 = \ / (х ) вх
(7.1)
а
интефалыныц мэнш табу ушш трапеция эдюш пайдаланамыз. Ол
унпн [а, Ъ] интервалын б)рдей N белжке белем!з. Эрб1р белжтщ еш
Ь - а
к - ----п
Аралыктын уштарыныц координаттары
х ,+| = х, + I •к
/ = 0 ,2 ,..., п - 1
Интефалды
осы
аралыктардыц
непзшде
тургызылган
трапециялардьщ аудандарыныц косындысы ретшде карастырамыз
(7.1-сурет).
7.1-сурет - Аныкталган интефалды трапеция эдЫмен есептеу
/-ШI турган трапецияныц ауданы
5 =н / ( * , ) + /(*,+■)
1
2
Интефалды багалау, осылайша, мына формуламен бершеуп
/ = 2 $ ,= а
1=0
/< «) + / № )
,
+ !/ (* ,)
1
/=I
33
Байкаганымыздай, Л шамасы кем болтан сайын (интефалдау
интервалын кеб|рек аралыктарга болген сайын), интефалды багалау
дшпрек болады.
М ы салы . Жуыктан аныкталган интефалды трапеция эдЫмен,
ут1рден кейш ею санга дешн дэлджпен (0,01 дешн) есептеу
5 <*г
/ = [1х
Шешу!
Алдымен интефалдау аралыгы 5 белжке болшедк Формула
+ (Л) : +•
»
Кадамы
I
Я *)
0
2
1.44270
1
2.6
1.04656
5
2
3.2
0.85973
I
) +/ (
)|
5
3
3.8
0.74906
4
4.4
0.67494
5
5
0.62133
Нэтижесшде
Ы рйш п нэтижеден кешн аралыктар саны ею есе артады. Бершген
жагдайда аралыкты 10-г болем!з. я =10 уш ш трапеция формуласы
былай болады
*( л0) + / .л,,;
‘« - 1 Й
■
■
2
: + /:л
1-/■>.* 1т / 1Л; » *• КЛ 1+ /
)
Ка газ жузшде жазуды екпнш катарга туаре салуга болады.
Белу кадамын аныктаймыз
1:
Есептеулер нэтижесш кестеге жазамыз
1
X»
0
2
1.44
27
1
2.3
1.20
06
2
2.6
1.04
66
3
2.9
0.93
92
4
3.2
0.85
97
5
3.5
0.79
82
6
3.8
0.74
91
7
4.1
0.70
87
8
4.4
0.67
49
9
4.7
0.64
62
10
5
0.621
3
Нэтижесшде
2.1 к 1* 1.1г:,
Енд 1, нэтижем13 каиш алыкты жаксарганын есептейм1з
Мунда модуль белпсш колданамыз, ойткет бш е абсолюгп
айырымдылык керек.
Есептеу нэтижесшде алынган кателж койылган талаптан артык
0,02080>0.017. Сондыктан аралыкты белу санын тагы да ек! есе
арттыру керек. п=20, Ьп- Ьп- ~ 2.59123 есептейм1з. Тагы да кателжт1
багалаймыз
Кател1кт1ц алынган мэш талап ет'шетш дэлджтен кпш
0.00536<0.01.
Енд 1 тек, сонгы нэтижеш 1;п- ~ 2.59123 ут1рдеи кейш ею санга
дейш донгелектеу гана калды.
/ = | ^ — “ 2,59
Жауабы:
>“ х
, 0,01 дэлджпен.
1) Интефалды трапеция формуласымен есептеу;
жеке аралыктардыц саны /7= 10. Абсолют кател1кт1 мына формуламен
есептеу
Тапсы рм а:
|г| < ——
Мг = тах |/"(лс)|,
35
х&\а,Ь\>
2) Интегралды Симпсон формуласымен есептеу: п - 16 (Зц) жэне
и = 8 (8ц) болганда. Абсолют кател1кт! мына формуламен есептеу
г < К ~ $16 |
15
Тапсырма нускалары
1 а) | I ^
;
\^2х +1,3
2,7
2 а) |
Ь) \
0,2х + *
^
2,4
.
;
Ь) | (А + 1)8тха!л:.
1,2 V -'-2 +3,2
1,6
За ) ] ~ Г Т = :
1 \ 2 х + 1 ,3
1.2
. ч г
4 а) I
Ь
) ) ^
,
1,4
со8дг ,
Ь) Г <1х.
их
===;
0 ,2 \х
.
о,2 А‘ + *
+1
0,6 л: + 1
1,4
(1х
5а )1 " Г Т Т ;
Ь )1 ^
0 ,8 \2 а 2 + 3
2,4
•С08 х2 с1х .
1,6
ба
1,4 Л/За2 —1
,
2,6
1,2
1.2 л/З а 2 +1
1.2
8 а) |
0 ,4 * + 2
Л’
‘’2
Ь) | (2д:+0,5)-8тА'а!х- .
0,4 V л 2 + 3
0,6Л/2а
1,3
10 а) /
0,5 \ Х
*
0,9
о,4
+1
0,4
2а
‘’8
+1
Ь) | л/аТТ-С08 х 2 с1х .
— ;
+2
0,2
36
Тэж 1рибел 1К ж уммс № 8 Гаусс ЭД1С1. Кер| матрицаны есептеу
а „ дг, + а,2х2 +.. •+ «|.*„ = Ьх
ап х\+ а п хг +. •+ « 2Л = Ь
( 8. 1)
«„1*1 + а„2х2+. .. + я„„х„ =Ь,
туршдеп л белпс!31 бар л сызыктык тендеулер жуйесшщ б1р гаиа
шеш1М1бар болады, егер А^ * О шарты орындалса.
/
мунда А =
Ь,
« II
«12
• • «1.
«21
«22
•••
°2п
Ъг
« „;
. ■■
ат
ь.
А
'
жуйеа коффициенттершщ
,
матрицасы ( 8.1).
Басты элементп тапдауга болатын Гаусс эдю1 дал эдютерге
жатады. А матрицасынын а,у элементтершщ арасынан модул!
бойынша ен улкенш тандап аламыз, оны басты элемент дейм1з. Бул
а ру элемент! болсын. Басты элемент жаткан р нем1рл! катары басты
катар деп атапады. Енд1 кобейткйнтерд! есептейм!з: т , = - - барлык
арч
1 Ф р уипн. Будан кейш матрицаны турленд1рем1з: эрб1р басты емес
катардан т 1-ге кебейтшген басты катарды мушелеп алып тастаймыз.
Нэтижесшде, а рд-ден абска барлык элементгер1 нелге тец болатын
<
7-1111 баганы бар матрицаны аламыз. Осы баганды ж лне басты
катарды коспай жаца Л\ матрицасын аламыз. Мунда жолдар мен
катарлардыц саны алдыцгыдан 1-еу 1 кем болады. Осы амалдарды А\
матрицасына колдаш.т /Ь матрицасын аламыз жзне т.с.
Б1
'р гана басты катардан туратын матрица калганша осындай
турленд!рулерд1 жасай берем13. Сосын сонгысынан бастап барлык
басты жолдарды б1р1кт1рем13. Б1ршама орындарын ауыстырганнан
кейш, олар бастапкыга эквиваленгп ушбурышты матрицага айнапады.
Осымен тузу журю деп аталатын есептеу кезеш аякталады. Алынган
ушбурышты матрица коэффициенттершщ жуйесш шенпп, б 1ртшдеп
белпс1здерд1ц х( (/ =1,2,...,л) мэнш табамыз. Есептеудщ бул кезещ
кер! жур1с деп аталады.
37
Басты элемента тандаудын магынасы мынада,
кншрейту аркылы есентеулердщ катели ш азайту.
/и, санын
С ы зы к ты к тецдеулер ж уйес! уш ш кер| матрицаны есептеу
Айкын емес матрица бершсш А = («,у), мунда (/, у = 1, 2,..., п).
Кер! матрицанын элементтерш табу ушш А~1= (л,у), мунда (<,у = 1,
2,... п) мына катынасты колданайык
А ■А' = Е, мунда Е - б1рл1к матрица.
(8.2)
А жэне А 1 матрицаларын квбейпп жэне олардыц тещйпн Е
матрицасына колданып, мына турдеп п сызыктык тецдеулер жуйесш
аламыз:
п
X <4кх к] =&и (< *= 1, 2,
и;у- озгермейдО,
(8.3)
к=1
с
П. 1 = ]
мунда О:
/ =<
1
10, I * /
Алынган п сызыктык тендеулер жуйеа, б1рдей А матрицасына
жэне эртурл! босмушелер баганына ие. Мундай жуйелерд! Гаусс
эдкймен есептеуге болады. ЖуйелерД! шешу нэтижесшде А б1рлж
матрицаеын аламыз.
М ы салы
Гаусс эдкммен (немесе белпс!здерд1 жою эдюмен) сызыктык
алгебралык тецдеулер жуйесшщ шеиимш табу.
х^ + 2х ^ +3х^ -2х4 =6
2х1 -х 2 -2х3 -3х4 =8
3х1 +2х^ -х3 + 2х4 =4
2х1 -Зх2 + 2х3 +х4 =-8
38
Шешу|
Бершген жуйенщ В кенейтшген матрицасын жазамыз жэне оны
баспалдакты (ступенчатый) турге келт1рем!з.
'1
2
3
-2
6'
2
-1
-2
-3
8
3
2
-1
2
4
,2
-3
2
1
- 8,
Б 1р1нш1 катарды б 1ртшдеп (- 2) кебейтем!з жэне оны екшпЛ
катарга косамыз, одан кешн (-3) кебейтт ушшип катарга косамыз,
сосын (- 2) кебейтем13 жэне оны тертшпп катарга косамыз, сонда
'\
2
3
-2 1 6 "
0
-5
-8
1 | -4
0
-4
-10
8 | -14
-7
-4
5 | -20,
Алынган матринанын екшпп катарына (—1) -ге кебейтшген
уппнип катарды косамыз, одан кейш кайтадан жана матрица аламыз.
Мунда уипнип катарды (- % ) кобсйтемгз, ал тертшпп катарды (-1)-ге,
сосын екшпп катарды 2-ге кебейтт, оны ушшип катарга косамыз, 7-ге
кебейтт тертшип катарга косамыз,
'\
2
3 -2
6'
0 -1
2 -7
10
0
2
5 -4
7
,0
7
4 -5
20,
3
-2
6^
-1
2
-7
10
0
0
9
-18
,0
0
18 -54
2
0
Алынган матрицанын уипнип катарын
27
90,
тертжиисш
кебейтем13, будан кейш уипнип катарды (-1) -ге кебейтт тертшпп
катарга косамыз, сонда
39
г\
2
0
-1
0
,0
3 -2
6'
1
2
-7
10
0
-1
0
1 -2
3
0
1 -3
2
—>
5,
0
3 -2
6'
-7
10
0
1 -2
3
0
0
2,
2
-1
Табылган матрица ушбурышты турге келд1; осы матрица
бойынша, бастапкы жуйеге эквиваленгп болатын тендеулер жуйесш
жазамыз
х, + 2х, +Зх 3- 2х4 =6
- х , + 2х3-7х4 =10
х, - 2х4 =3
- х 4= 2
Соцгы тецдеуден бастап б1рпндеп белпс1здерд1 табамыз. л4=-2 ;
табылган х4мэнш ушншп тецдеуге койып, х, есептейм1з, х, =-1;
будан кейш екпшп тецдеуден х, табамыз, л, =2; б1ршш1тецдеуден
табамыз, х, =1.
Жауабы: хх=1 ,х 2 = 2 ,х г = —1,л:4 =-2
Тапсы рм а
1) Бершген тендеулер жуйесш, басты элементп таццайтын Гаусс
зд1С1мен есептеу;
2) А матрицасы уипн А '1 кер! матрицаны Гаусс эднпн колданып
аныктау. А матрицасы Ах = Ь тендеулер жуйес1мен бершген.
5А| ■
+
■8л"2~~х$ ——7;
Зл'| + 2х 2 “^Хз —5;
Л| 4-2х 2 +Зх3 =1;
2х\
2х\ -Зх2+2хз =9.
2хх+ х2+Зх3 = 11.
л‘| + 2
Х\ +2х 2+4хз =31;
х
-4 ;
+Зх 2+х3 =1;
3x1 —5дг2+Злг3 =1;
5л'( +х 2+2х^ =29;
2л] + 7х2-*з = 8 .
Зл_[ —Хг+д^з = 10.
40
3*1 + 2х2+ х^ = 5;
X] +х2 + 2*з = -1;
2х\ +ЗХ 2+Х3 = 1;
2х\ —Х2 "Ь 2x3 = —4;
2х\ + х 2+3хз =11.
4 х] + Х2 + 4 х 3 = - 2 .
х\ + 2 х 2+4дгз = 3 1 ;
5дГ] + Х
Зх] - Х 2 =
2+ 2Х3 = 2 9 ;
10
5;
- 2х| +Х2 +Х3 = 0;
Зх1 - х 2+х3 =10.
2^1 ~ х 2 + 4 х3 = 15 .
4х| - 3^2 + 2х з = 9;
2 х х + 4 х 2 = 3;
2х| + 5 х 2 - З х 3 = 4 ;
- л-, + х 2 + Зх3 = 6;
5х] + 6 х 2 - 2 х 3 = 18 .
Зх,
+ х 2 + 2 х ) = 2.
2х( -х2 -х3 =4;
2 дг,
+ 4 х 2 + 2 х 3 = 8;
Зх) + 4 x 2 ~ 2хз = 11;
- х } + х 2 + Зх3 = 6;
Зх[ - 2x 2 +4х3 = 10.
Зх,
41
+ х 2 + 2 х г = 2.
Т э ж 1|)ибел1к ж у м ы с № 9 Крам ер эд к!
а и х , + а и х г+ --- + аых п - ь ,
«21*1 + а и х 2 + ... + а1пх п = Ь.
.«„1*1 + а„2х 2 + ... + атх п = Ь,
туршдеп сызыктык гендеулер жуйесш шешу керек болсын.
Мунда, Л;, .V:.....х„ - белпш айнымалылар;
ич, I = I. 2..... и,7 = /. 2...... и - сандык коэффициенттер;
Ь], Ь2, .... Ъ„ - бос мушелер.
Жуйенщ барлык тендеулер:» гепе-тенджке айналдыратын х/, х;„
мэндердщ жиынтыгы САТЖ шеитп болып табылады.
Матрицалык турде оны былай жазуга болады
А Х = В,
а,,
а„
мунда А =
элеменггер!
табылады;
... а,.
- жуйенщ непзп матрицасы, оньщ
белпаз
й=
(9.1)
айнымалылардыц
коэффициенттер!
болып
матрица-бос мушелер баганы;
Я ,
Х=
- матрица-белпаз айнымалылар баганы.
х/. Х2.....х„ белпегз айнымалыларды тапканнан кейш, матрица
42
X=
тецдеулер жуйесшщ шеппм! болады жэне А ■X = В тешнп
тепе-тенджке А - Х - В айналады.
А матрицасы айкындалмаган деп есептешк, ягни, онын
аныктауышы нел емес. Бул жагдайда сызыктык алгебралык тендеулер
жуйесшщ б1р гана шепим! бар болады, жэне ол Крамер эд1С1мен
есептеледь
Крамер эд1с1мсн сызыктык алгебралык тендеулер жуйесш
шешудщ алгоритм»! жазып алайык.
1) Жуйенщ непзп матрицасынын аныктауышын есептеймгз
Д=
ап2 ■
■
■ ажэне оньщ нелге тен емес екенд1пне коз жетк1зем1з;
2) Аныктауыштарды табамыз:
Д. =
Д, =
Ь2 аг
я„
а,2 ... 6,
я,,
а „ ... Ь-,
\ап1 °п2
43
Булар, А матрицасыньщ Л-пшы (к = 1, 2,
п) баганын бос
мушелер багацымен ауыстыру аркылы алынган матрицалардьщ
аныктауыштары болып табылады.
3)
Ьделш д!
XI, хг,
х„ белпс!3
айнымалыларды
х
Х‘
Д ’
д. =^
Д
д. =
А
формулалары бойынша есептейм1з.
4)
Бастапкы сызыктык тендеулер жуйесше х/, Х 2, .... х„ мэндерш
койып, нэтижелерД1 тексерем гз. Жуйенщ барлык тендеулер! тепетендшке айналуы керек. Матрицалардьщ кобейтшд^сш табуга болады
А X, егер нэгижеанде Д-га ген матрица шыкса, онда жуйенщ шеапм|
дурыс табылды. Эйтпесе, есептеу кезшде кателж кеткен.
М ы салы . Крамер эдгамен сызыктык алгебралык тендеулер
жуйесш шешу
2х,
■Зх, =3
Зх, +4х2-5х3= -8
2х2+ 7х3 =17
Ш ешуь Жуйенщ шенпмш Крамер формулаеы бойынша табамыз
Д,
Д,
Д,
*! =-*■, х, ==2- .
Д
Д
5
д
Жуйенщ аныктауышын есептейм1з А
2 -1 -3
Д=3
4
0
2
-5 =56-18+20+21 =79.
7
А-да бяртшдеп, бIр 1нш 1, екпш п, уш пш п багандарды бос мушелер
баганымен ауыстыра отырып, мынаны аламыз
3
-1
д.= -8
17
4
2
-3
= 221=5
-5 = 395,х,
Д
7
44
79
2
3
-3
3 -8
-5
О 17
7
158
д
' 79
-2
2-13
3
4 -8
О
2
Ж ауаб ы : х, —5 , Х2 — 2
: 2 3 7 ,^ = 2 3 1 =3.
Д
17
, 3
79
.
Тапсы рм а. Бершген тендеулер жуйесш Крамер эд!С1мен шешу
Х\ +2Х 2+Х3 =4;
5.Т[ + 8х 2-х3 =-7;
1 . х\
Зх| -5 х 2+Зхз =1;
+2х 2+Зх3 =1;
2х\
2х| +7х2~хз = 8.
-Зх 2+2хз =9.
ЗХ] + 2Х 2+Х3 = 5;
X] + 2х2+4х3 =31;
3 . 2х|+ЗХ2+Х3 =1;
4 . 5х] + х т +2х3 = 29;
2х| + х 2+Зх3 = 11.
Зх| - Х 2+Х3 =10.
Зх] + 2Х 2+Х3 = 5 ;
X] + 2Х 2-ИХ3 =31;
5 ■2х]+ ЗХ2+ Х3 =1;
6.
II
1
2х| + 5х2 - Зх3 = 4;
1
{Г
ГА
4х| -3x2 +2хз =9;
7
5Х| + х 2+2 х3 = 29 ;
Зх| -Х2+ Х3 = 10.
2х| +Х2+ЗХ3 = 11.
8 Зх, + 4x2 - 2х3 =11;
5х] + 6х2 - 2х3 = 18.
Зх| - 2х2 +4х3 =10.
X] + х 2 + 2х3 = -1 ;
Зх) - х 2 = 5 ;
9 2x1-х 2 +2х3 =-4;
4x1 +
- 2х] + х2 + х3 = 0;
2х) -
+ 4 х 3 = —2.
45
Х2 + 4 хз = 15
Тэжйрнбелйк жумыс № Ю Эйлер эдк 1
п-ш1 регп карапайым дифференциалдык тендеу (КД Т) деп —
1здел1нд1у(х) функциясынан б 1р немесе б1рнеше туындысы бар, мына
турдеп тендеуд1айтамыз
о & ,у ,у ',...У ^ .У ™ )- О,
мунда у(п) - кандай да б1р у(х) функциясыньщ и-1ш регп
туындысы; х - тэуелсгз айнымалы.
Коп
жагдайда дифференциалдык тецдеулерд!,
алдыцгы
туындысы анык турде бершген турге турлещйруге болады. Осындай
формада жазылган тендеуд1 - алгашкы туындыга катысты шепплген
тендеу деп атайды (бмрак та, тендеудщ оц бел1пнде алдыцгы туынды
жок).
у ^ = У0с,у,у',...,/^>'>
(ю л )
у(.х) функциясына жэне оныц барлык туындыларына катысты
сызыкгы болатын тендеу сызыктык дифференциалды тендеу деп
аталады. Теменде б1р1нип жэне еюнцл регп сызыктык карапайым
дифференциальдык тендеулер (КД Т) мысал ретшде келт1ршген
,
у'-х?у= )пх
созх . »
1
--- у - х у =--- г +2X
1+х^
Аныкгалган акырлы немесе шекс1з интервалда болса дах-тж кезкелген мэшнде осы тендеуд! канагагтандыратын у(х) функциясын
карапайым дифференциалдык тендеудщ (КДТ) шеипм1 деп атайды.
Дифференциалдык тецдеуд! шешу процесш дифференциалдык
тендеуд1интегралдау деп атайды.
и-1ш регп КДТ жалпы шеипм1нде п еркш константалар с и с2,
..., с„бар болады
/(х ,у,С „С 2, : С я)
Бул эрине, аныкталмаган интефал - интеграл аеты орнектщ
алгашкы функциясына интегралдау константасын косканга тец екещцпшц салдары болуы мумкш
| г ( х ) * = 0 ( х )+ С
46
л-нп ретп дифференциалдык тендеуд! шешу уипн п рет
иитегралдау керек болгандыктан, жалпы шеппмде де интегралдаудыц
п константасы пайда болады.
Карапайым дифференциалдык тендеудщ (КД Т) дербее шеилм!
жалпы шеинмнен алынады, егер интефалдау константаларына кандай
да б|р мэндерд! берсек, оларга кандай да б!р коеымша шарттар койеак,
шарттардьщ саны барлык аныкталмаган интефалдау константаларын
есептеуге мумкшдж беретш болса.
Дифференциалдык тендеудщ дэл (аналитикалык) шенпм! (жалпы
немесе дербес) 1зделшд1 шемпмд: (у(х) функциясын) элементар
функциялардыц врнектер! туршде алу дстенд! бшйредь Бул унем1
мумкш бола бермейд1, тшт1Снршпп ретт1тецдеулер у ш ш де.
Дифференциалдык тендеуд! сандык шешу (дербес) дегешм!зкандай да б!р аныкталган аралыкта жататын алдын-ала бершген
нуктелерде у(х) функциясын жэне оныц туындыларын
есептеу болып табылады. Ягни, и-цн ретп дифференциалдык тендеуд!
шепнмш темендеп сандар кестеа туршде алынады (алгашкы туынды
мэндершщ баганы мэндерд1 тендеуге кою аркылы есептелед! ( 10. 1кесте)):
10.1-кесте - п-ш\ ретп дифференциалдык тендеудщ шеиммдершщ
сандар кестес!__________________________ _____________ _____
X
У
XI
У(х.)
У’
у„и»
•••
У,п” (х ,)
Хг
У(хг)
У’(х 2)
XN
У Ы
У'(XN)
У(п' П(х 2)
__ у,п-"(хО
Мысалы, б1р1нш1 ретп дифференциалдык тендеу ушш
тургызылган кестеде ек1баган гана болады -х жэне у.
Функциянын
мэнш
аныктайтын
абсциссанын
мэндер!
{^ Л .- Л г } ТОр деп аталады.онда у(х) функциясы аныкталады. Лл.
координаталарды тордьщ туйшдер1деп атайды. Кебшде, ыцгайлылык
ушш, елшем1 б1рдей тор колданылады, ягни, корин жаткан
тушндердщ айырмасы туракты болады жэне тордьщ кадамы немесе
дифференциалдык тецдеуд1интефалдау кадамы ден аталады
Н =х,-х,_1 немесе *<= д»-г+" ,
47
1= 1, ...,Ы
Дербес шеппм;н аныктау унпн интегралдау константасын
есептеуге мумкшдж беретш косымша шарттар беру керек. Жэне бул
шарттардьщ саны п -ге тен болуы керек. Ырншп ретп тендеулер ушш
- б1реу1, екшпп ретп ушш - екшшкп жэне т.с.с осы шарггардын
бершу тэсшше байланысты дифференциалдык тендеуд1 шешу кезшде
уш тиггп есептерд1айтуга болады:
Коши есептер1 (бастапкы есен): дифференциалдык тендеудщ,
бершген б1р нукгеде аньнсгалган шарттарды канагаттандыратындай
дербес шенпмш табу керек
■-Г.. V -V •-
=
ягни, тэуелс1з айнымалыньщ (х«) аньнсгалган мэш бершген, жэне осы
нуктедеп функциянын мэш мен оныц барлык туындыларыныц мэш
бершген. Мысалы, егер б1ршнп ретп дифференциалдык тендеуд1
шешу керек болса, онда алгашкы шарт сандардын жубы ретшде
0рнектелед1(хц, у о)
*о.Л =
Мундай есептер, мысалы, химиялык рекцияньщ' кинетикасын
табу сиякты, КДТ шешу кезаде кездеседк Бул жагдайда бастапкы
уакыттагы (/ = 0) заттыц концентрациясы белгып, жэне кандай да б1р
уакыт (!) еткеннен кейшп заттьщ концентрациясын табу керек. Мысал
ретшде, жылу ауыстыру немесе масса ауыстыру (диффузия) туралы
есепгерд1, куштщ эсершен материалдык нуктенщ козгалыс тендеуш
жэне т.б. кел пруге болады.
Б1рщпи ретп карапайым дифференциалдык тендеулердщ Коши
есептерш шешудщ кейб1р сандык эдютерш карастырайык. Бершген
тендеуд1жалпы турде жазамыз (тендеудщ он жагы б|рпшп туындыдан
тэуелд1емес)
у'= & -= П х ,у)
( 10.2)
Тордьщ бершген нуктелер1ндеп у функциясыныц мэндерш табу
керек, егер бастапкы мэндер1
белгш болса, мунда У* =Х хд).
у(х) функциясыныц хо бастапкы нуктедеп мэш.
Тендеуд1 с1х-ке кобейпндйх' турленд|рем13
Ау - Р (х ,у )с к
48
Енд 1 тордыц /-Ш1 жэне 1+7-ии туйш дерш щ арасындагы сол жэне
он жагын интегралдаймыз
Уф=| ГСх.уУ&с
>
■
'
(10.3)
Л *1=Л + / Г(х,У>Ь
л
Тордьщ /-Ш1туйЫндеп х жэне у мэндер! аркылы интегралдаудын
1+1 туйЫндеп шеипмш тургызатын орнект1 алдык. Дегенмен, он
жактагы интеграл анык емес бершген функциянын интегралы,
сондыктан оны жалпы жагдайда аналитикалык турде табу мумкш
еместт киындык тугызады. КДТ шешудщ сандык эдгстери КДТ
сандык интегралдау формуласын куру уипн, бул интегралдыц мэнш
эртурл1тэсшмен аппроксимациялайды (жуыктатады).
Эйлер ЭД1С1. Тарихи тургыдан ал ганда, б1ршип ретп КДТ ушш
Коши есептерш шешудщ ен алгашкы жэне карапайым сандык эдЫ
Эйлер ЭД1С1 болып табылады.
Оныц непзшде, б1ркелк1 тордыц
туйшдершщ арасындагы (х) тэуелш айнымалылары мен (у)
тэуелдюЫц
акыргы
есшдшерЫц
катынасыныц
туындысын
аппроксимациялау жатыр
ф
'
Ау
- >'/
"I
- .-с.
мунда у,+/ - бул функциянын х,+/ нуктесшдеп 1зделшд1мэш.
Егер енд1 бул тендеуд! турлещцретш болсак. жэне тордыц
б1ркелкшпн ескерсек, онда, х, нуктесшде у,- белгцп болатын болса,
3>;+/-д1есептеуге мумюндж беретш итерациялык формуланы аламыз
7й,=7|+^С*;л)А
(Ю .4)
Эйлер формуласын жалпы ернекпен салыстырып, интегралды
жуыктап есептеу уипн Эйлер эдгсшде карапайым интефалдау
формулаеы - кесшдЫц сол жак шет1 бойынша лкбурыштар
формулаеы колданылатынын керуге болады.
Эйлер ЭД1С1Н1Ц фафип де еш киындык тугызбайды (сурет 10.1).
Есептелш
жаткан
тендеудщ тур] не
49
карап,
■
Р'(Х1'У^
мэш
у(х)
функциясыньщ х=х( нуктеандеп туындысыньщ мэнше тен
екенд1П шыгады, жэне осьшайша ол у(х) функциясы графипнщ х=х,
нуктесше журпзшген жанаманыц колосу бурышыныц тангенсше тец.
Суреттеп пкбурышты ушбурыштан мынаны табуга болады
Ум~ >, =
= №<?с,,у,)
Будан Эйлер формуласы пайда болады. Осылайша, Эйлер
ЭД1С1Н1Ц туй ни мынада, интегралдау аралыгындагы у(.х) функциясын
графикт'щ х=х, нуктесшдеп жанаманыц тузу сызыгымен алмаетыру.
Егер 1здел1нд1 функцияньщ интефалдау аралыгындагы сызыктан
айырмашылыгы коп болса, онда есептеу кателт де улкен болады.
Эйлер эд1сшщ кате.'пг! интегралдау кадамынатура пропорционал
10.1-сурет - Эйлер эдкп
Есептеу процесс темендепдей. Алгы шартгар белгш болса, ха
жэне уо есептелед!
У =V +
V,.'/:
.у ,« х ,
уг - V- + >4 ,;.’,')/'!
X* - X, +■■!
у - у. * 5\ с., V’.. "?
-т.
С.(
-Н
Осылайша, [х1к хл] аралыгында х бойынша белгш (И) кадаммен
у(х) функциясыньщ мэндершщ кестеа тургызылады. к кадамыньщ
узындыгы каншалыкты кшжентай болса (интефалдау формуласыныц
50
дэлдИмен аныкталады), у(х^) мэнш аныктаудын кателИ соншалыкты
аз болады.
И улкен болганда Эйлер эдЫ дэл емес. Интегралдау кадамын
к1ш1рейткенде гана ол дшпрек жуык шеипмд! беред|. Егер [лг,-. х,+/]
аралыгы оте улкен болса, онда эрб|р \х„ х,+/] аймагы интегралдау
аралыктарына N белшед! жэне олардын эркайсысына Эйлер
формуласы
N
кадамымен колданылады, ягни, интегралдау
кадамы И тордын кадамынан кпш болатындай етш алынады.
Мысалы. Эйлер эдгсш колданып, [0; 1] интервалында, кадамы
0,1 болатын торда, келеа Коши есептершщ жуык шепймш тургызу
0-= х-у
аЬс
'
(*= > ,= 0)
( 10.5)
Ш ешу1. Бершген тендеу стандарт™ турде жазылган.
^ =Р(х ,у)
<Лх
Сондыктан. есептелетш тендеу унпн
Г(х ,у)= х - у
Интегралдау кадамын тордын кадамымен б1рдей ет'ш аламыз А =
0,1. Б1рак, тордын эрб1р туйш 1 уппн тек б5р мэн;п гана есептейм1з
(N=1). Тордын алгашкы торт туйнп уппн есептеу былай орындалады:
Д-, =.у(0.1) » у л + Л Г(*„,^ 0) = 0 + 0.1-(0-0) = 0
у 2 = >(0.2) * у, + НР'(х1,у 1) = 0 + 0.1 -(0.1 - 0) = 0.01
у , = у(0.3) * у, + ИР(хг,у г ) = 0.01 + 0.1 •(0.2- 0.01) = 0.029
у< = у(0.4) * у , + НГ(х,,у,) = 0.029+0.! ■(0.3-0.029) = 0.0561
жэне т.б.
Толык нэтижес) (ут1рден кейш 5-нм танбага дейшп дэлд1кпен)
10.2-кестеде ушшип баганда - А = 0.1 (А1=1) келт!ршген.
51
Кестенщ екпшп баганында салыстыру уипн, бершген У = е +1-1
тенД1*«т1аналитикалык шешу бойынша есептелген мэндер келт'фшген.
Кестенщ екшш! бел1мшде алынган шеипмдердщ абсолют
кател1ктер| бершген. к =0,1 болганда кателш вте улкен, б1ршнп туйш
х=0,1 уипн 100% дейш жеге/п.
Ю.2-кссте - Эйлер эднлмен (10.5) тендеуш шешу (багандарда
интегралдау кадамы жэне тордьщ туйшдершщ арасында интефалдау
кес1НД1лер1НЩ А'саны керсетшген)__________________________________
0,025
0,00625 0,001562 0,000781
К,
4
64
128
0 0,0 00000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000
0,1 0,004837 0,000000 0,002500 0,003688 0,004554 0,004767 0,004802
п.2 0,018731 0,010000 0,014506 0,016652 0,018217 0,018603 0,018667
X
Дм
0,1
0,05
ЩСШ1М1
1
2
0,3 0,040818 0,029000
0,4 0,070320Г0,056100
0,5 0,106531 0,090490
0,6 0,148812 0,131441
0,7 0,196585 0,178297
0,8 0,249329 0,230467
0,9 0,306570 0,287420
1 0,367879 0,348678
0,035092
0,063420
0,098737
0,140360
0,187675
0,240127
0,297214
0,358486
0,037998
0,066920
0,102688
0,144642
0,192186
0,244783
0,301945
0,363232
0,040121
0,069479
0,105580
0,147779
0,195496
0,248202
0,305423
0,366727
0,040644
0,070110
0,10629?
0,148554
0,196314
0,249048
0,306284
0,367592
0,040731
0,070215
0,106412
0,148683
0,196449
0,249188
0,306427
0,367736
0,000195
512
0,000000
0,004829
0,018715
0,040797
0,070294
0,106501
0,148779
0,196551
0,249294
0,306534
0,367844
Интефалдау кадамын ек1есе м 1шрейтем1з к = 0.05. Бул жагдайда
тордын эрб|р туЙ1Н1 уппп есептеу ек1 кадамга (N=2) орындалады.
Осылай, х=0,1 б1р1нш1туй1н уш1н аламыз
у(0.05) ~~у о + кР(хи,уи) =0 + 0,05(0-0) = 0
у, =у(0,1)~у(0,05)+ кР(х0,у(0,05)) =0 + 0,05(0,05 - 0) = 0,0025
Осылайша кесшджщ сонына деЙ1н орындай берем13.
10.2-кестеден (N=2, терт1НШ1 баган) есептеу кател1п шамамен
ект еседей тез темендегенн! корсм'п, б1рак эл! де болса улкен.
Интегралдау кадамы к=0,025 болганда тордыц эрб^р туйпп
уши! Эйлер формулаеы бойынша (N=4) аралык нуктелерде 4 есептеу
журпзу керек.
52
- о с'0о25 +г:,.-'':' с.
у, = у; О Г)
= |)| ''.
- :■о ~'гх'.?5'.' =. о.оэ1*5 ???:г
у С '»7‘" : 1 Ъ Р ГО
V''. м
у ГО. >?*•■=
■•••| 7''. ~ г,г:01 '
-'У
(Баска туйшдердеп мэндер 10.2-кестеде N=4 баганында
келлршген).
10.2-кестеде салыстыру ушш, Л/-нщ баска да мэндершдеп, тшт1
512-ге дешн, есептеулер келт1ршген. Интефалдау кадамын
кшпрейткенде дэлдк ете акырын артатыны кершед1, жэне кажетп
дапджке жету ушш ете юшкентай кадам алу керек (салдарынан Р(х,у)
мэнш кеп рет есептеуге тура келед1).
Кандайда б|р \| нуктесшде КДТ шешу туракты деп аталады, егер
функциянын бул нуктеде аныктапган у,- мэш интефалдау кадамын
кшпрейткенде аз гана езгеретш болса. Турактылыкты осылайша
тексеру ушш, (у$ мэнш ею рет есептеу керек - интефалдау
кадамымен И жэне кшпрейтшген кадаммен (мысалы, ей есе)
И,-Турактылык критери! ретшде интефалдау кадамын юилрейтш
есептегеннен кейш алынган нэтижешн езгерю1 ете аз екендИн
колдануга болады (е - алдын-ала бершген кшп шама)
в
Тапсырма
Ыршпп ретп карапайым дифференциалдык тендеулер ушш \0.2;
1.2]
аралыгында сыныктардыц жет1лд1р1лген эдкммен, алгашкы
шарты у(0.2) = 0.25, кадамы 0.1, Коши ееебнпц шенпмш куру. Барлык
есептеулерд! терт ондык тацбамен орындау керек.
53
1 у 1= 0.1 3 3 (х2 +51п2 х ) + 0.872у
2 у' = 0.175(х2 +сокх) + 1.215у
3 у1= 0.142-(х 2 +ап1.3х) + 0.532у
4 у' = 0.263 (х2 +51п2.2 х ) + 0.872у
5 у1= 0.422 (х2 +со:>2х) + 0.872у
6 у' = 0.341 (х2 +81п2х) + 1.276у
7 у' = 0.172 •(х2 +ИП1,5х) + 0.642у
8 у1= 0.244 (х2 +ип2х) + 0.872у
9 у' = 0 .133 (х 2 +81п1.6х) + 0.358у
10 у' = 0.162-(х2 +8ш2х) + 0.654у
11 У = 0.1 (х2 +1е2х) + О.бу
12 у = 0.62-(х2 +ыпх) + 0.54у
13 у = 0.12 (х2 +81пЗх) + 0.654у
14 у = 0.43-(х2 +я1п4х) + 0.522у
15 у = 0.652-(х2 +зш2х) + 0.224у
54
Тэж1рибел1К жумые № 11 Эйлердш жет1лд1р1лген эд к ь Гюн
ад|С1
Эйлер эдгсшщ ДЭЛД1Г1Н арттыруга болады, егер интефалды
аппроксимациялау уппн интефалдаудын дэл1рек формуласын трапеция формуласын колданатын болсак.
Ум =У<+т [-Г & ,Л ) + - Г О ^ ы ) ]
( 11 . 1)
Бершген формулами/-ге (бул мэн орнсктщ ернектщ он жагында
да еол жагында да бар) катысты анык емес екен, ягни, у1+/-ге катысты
тецдеу болып табылады. Оны, мысалы, кандайда б1р итерациялык
эдют1 колдана отырып сандык есептеуге болады (мундай турде оны
карапайым итерациялык эдютш итерациялык формуласы ретшде
карастыруга болады). Дегенмен, баскаша ютеуге де болады, мысалы,
функциянын мэнш 1+1 туйшшде Эйлердш карапайым формуласы
аркылы шамамен есептеу:
&и = Я +л*’Сг„Л),
жэне оны кейш ( 11. 1) бойынша есептеуде колданугада болады.
Осылайша. кайта есептей отырып, Г юн ЭД1С1 немесе Эйлер эдю1
алынады. Интефалдаудын эрб1р туйнп ушш мынадай есептеулер
журпзтед 1:
Ум =>’| +А^С^,л)
Ум =л + + * ■ < * „ , & * ) ]
( 11-2)
Интефалдаудын дэл1рек формуласынын аркасында, Гюн эдкйнщ
кателИ интефалдау кадамынын квадратына пропорционал.
Кате кател 1к ~ Ь2
Гюн эдгсшде колданылган тэсш. болжау жэне тузету эдгстерш
куру ушш колданылады.
55
М ы с алы
с1у
— =х - у
=0)
тендеуш [0; 1] инетрвалында кадамы 0,1
болатын горда Гюн Эд1с 1и1н кемепмен есептеймЬ.
Интегралдау кадамы к=0,1 тордыц X] б1ршип туйшшде мынаны
аламыз
V, * у,. + 1)?. ,^, " , ) - О Т
V. “ у„
;*1г
г ‘.'.у,, V, } •* р
I ■’
-
0» - 0
. • .....................
Ц,!.2--1' -0 + ; 1-К: - I МСО
Бул нэтиже Эйлер эдкммен алынган мэннен элдекайда дэл1рек.
11.1-кестеде й= 0,1 болганда Эйлер жэне Гюн эд1стер1мен ееептелген
мэндердщ еалыетырмалы нэтижес! келт1ршген.
11.1-кесте - Тецдсуд! Эйлер жэне Г юн эд1стер1мен шешу
ГЮ Н ЭД1С1
Эйлер ЭД1С1
X
дэл
салыст.кателж
салыст.кателж
У
— У 0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0,000000
0,00000
0,004837
0,018731
0.040818
0,070320
0,106531
0,148812
0,196585
0,249329
0,306570
0,367879
0,00500
0,01903
0,04122
0,07080
0,10708
0,14940
<3,19721
0,24998
0,30723
0,36854
3,36%
1,57%
0,98%
0,69%
0,51%
0,40%
0,32%
0,26%
0 ,21%
0,18%
0,00000
0,00000
0,01000
0,0290(Г
0,05610
0,09049
0,13144
0,17830
0,23047
0,28742
0,34868
100,00%
46,61%
28,95%
20,22%
15,06%
11,67%
9,30%
7,57%
6,25%
5,22%
Гюн эдйпмен есептеу нэтижелершщ дэлдпт Эйлер эд1сшен
элдекайда артык. Мысалы, х=0.1 туй М ушш Гюн эдЫмен аныкталган
функциянын мэншщ еалыетырмалы ауыткуы 30 еее кем болып
шыкгы. Эйлер формулаеы бойынша есентегенде, дэл осындай нэтиже
интефалдау кес1ндй:шщ N саны шамамен 30 болганда алынады екен.
Демек, Гюн эдкш колданганда, есептеудэлд1ктер! б1рдей болганда,
Эйлер эд 1С1мен салыстырганда, компыогерлж уакыт шамамен 15 еее
аз кетедк
56
Тапсырма. Б1рмнш ретп карапайым дифференциалдык тендеудщ
Коши есептершщ шеппмш Гюн эд!С1мен куру. Ллгы шарт у(0.2) =
0.25, [0.2; 1.2] аралыгында, 0.1 кадаммен. Барлык есептеулерд1 торт
опдыкпен орындау.
1 у1= 0.133 (х2 +81п2х) + 0.872у
2 у ' = 0 .1 7 5 -(х2 + С08Х) + 1 .2 1 5 у
3 у' = 0.142(х2+81п 1.3х ) + 0.532у
4 у = 0.263 (х2 +яп2.2х) + 0.872у
5 у' = 0.422 (х2 +со«2х) + 0.872у
6 у' = 0.341 (х2 +яп2х) + 1.276у
7 у' = 0.172 (х2+яп1.5х) + 0.642у
8 у' = 0.244 (х2 +81п2х) + 0.872у
9 у' = 0.133 (х2 +яп1.6х) + 0.358у
10 у' = 0.162 (х2+81п2х) + 0,654у
11 у'= 0. 1 (х2+1§2х) + 0 .6у
12 у' = 0.62-(х2+8т х ) + 0.54у
13 у' = 0.12 (х2 +8шЗх) + 0.654у
14 у' = 0.43-(х2+81п4х) + 0.522у
15 у' = 0.652-(х" +81п2х )+ 0.224у
57
Тэж 1рибел|к жумыс № 12 Монте - Карло ЭД1С1
Практикалык косымшаларда кебше есел1 интегралдардыц
мэндерш есептеуге тура келедк Есел1 интеграл туйык шектеул1
кополшемд1 аудандагы коп айнымалысы бар функция ушш
ееептеледк Есептеу схемасы мынадай: интегралдау ауданынын
ш ш деп эрб1р айнымалыныц взгеруше сэйкес келетш интервал,
кесшдйлердщ белгш санына белшедь Осылайша, интегралдау
ауданы элементар копелшемд! келемдердщ белгш б 1р санына
белшедь Орб1р элементар келемшц 1шшен б1р нуктеден алып, осы
нуктелер ушш интеграл асты функцияньщ мэндер! есептелед1 де,
алынган мэндер косылады. Интегралдыц еселйш арттырган сайын
косылгыштардыц да саны тез артады. Мысалы, эрб1р айнымалыныц
езгеру интервалын он болжке белем1з деп алайык. Он есел1
интегралды есептеу ушш косылгыштарыныц саны 10ш санымен
аныкталатын косынды кажет. Бундай косындыны есептеу заманауи
жылдамдыгы жогары Э ЕМ ушш де киындык тугызары анык.
Мундай жагдайда, интегралдыц мэнш аныктау ушш Монте-Карло
эдюш колданган ыцгайлы. / интегралыныц 1зделшд1 мэнш багалау
ушш бел г!л 1 катынас колданылады: 1= у* а, мунда у
- интеграл
асты функциясыньщ интефалдау ауданыныц кандайда б1р «орта»
нуктесшдеп мэш, ал а - (кополшемд!) интегралдау ауданыныц
колем к Жэне де интеграл асты функциясы (оны / деп белплешк)
интегралдау ауданында узджаз деп есептеледь Осы ауданда и
кездейсок нуктелерд1 Л/, тандап алайык. п кажетшше улкен болса
жуыктап былай есептеуге болады
/ = - Х Л М ,).
( 12.1)
«/=1
Интефалдыц мэнш Монте-Карло эдюмен багапаудыц дэлд1п
кездейсок сынактар саныньщ квадрат туб1рше пропорционал жэне
интегралдыц еселптиен тэуелс1з. Осыган орай, бул эдют1 улкен есел1
интефалдарды есептеу ушш колданган дурыс. Эдют1 интегралдьщ
карапайым жагдайы ушш колданып керешк
1 =Ь
\Дх)с1х.
а
Бул жагдайда су = Ъ -а жэне (1 1. 1)теид 1П мына турге келед!
58
»
1=1
мунда х,- (/ = 1, 2,...л) - [а;Ъ] интервалында жаткан кездейсок
нуктелер.
Мундай нуктелерд! алу унпн. [0; 1] интервалында б|ркелк1
орнатылган х,- кездейсок нуктелердщ реттЫп непзшде, мына
»
турленд|руд! орындаган жеткйпкт!: х,- =а + (Ь - а )х 1.
I =
/(х)с!х(1у
туршдеп
интегралды
есептеу
мысалын
а
карастырайык, мунда а -жазыктыктагы туйык аудан.
М ы салы
Монте-Карло эд1С1мен есептеу / = || (х 2 + V2
.
а
Интефалдау ауданы ег келес) тежмзджтермен аныкталады
0< у < 2х -1
сг интефалдау ауданы
0 < х < 1, 0 < _у < 1.б!рл 1к квадратынын
шпнде жатыр.
Есепт! шешу унпн кездейсок сандар кестесш колданамыз. п=20
жагдайы унпн (компьютерД1 колданганда эдетте п улкен мэн
колданылады) есептеулер журпзу аркылы алатынымыз: б’ф лк
квадратта жаткан кездейсок сандардын 20 жубынан тек тортеVI гана
а ауданында жатыр.
а ауданында жаткан нуктелер ушш
/ (х ,у ) мэндершщ
косындысын есептеп, мынаны аламыз
-,О I —=V/,0,96, С
2* =--3,837
</
7—
— —, / = г* -сг = 0,96 — = 0,24.
4
4
4
59
Тапсырма: 1) [а; Ь\ аралыгында бершген аныкталган интефалды
Монте-Карло эдкпмен есептеу;
2) Монте-Карло эдкпмен кое интефалдарды есептеу Д с1хс!у,
<т
Я/(х,у)сЪсс1у.
сгауданы - жазыкгыктьщ, уштарыныц А , В, С
а
координаталарымен бершген ушбурыш туршдеп туйык ауданы.
х^(1х
,
1.2 V * + °.5
2.6
1 а) |
Ь) А(0;0), В(3;4,), С(5;0), / (х ,у ) = х2
1.2
2 а) Г
, Ь) А(0;5), В(6;4,), С(6;0), / (х , у )= у 2 +ху.
0,4 л'" + 1
2.4
/
3 а) } ~ р ? = , Ь) А(0;8), В(6;4,), С(3;0), Д х ,у ) = у 2 + 2лу.
1.6 \1х2 + 1
1,8 /- 2 ,
4 а) Г
с1х, Ь) А(0;4), В(5;8,), С(4;0), / (х ,у ) = 2 у2 +4ху.
0,2
Х+ 1
28
2
Ь) А(0;0), В ( 6;8,), С(5;0), Д х ,у ) = у 2 +5ху.
5 а) |
1.2 у4х2 +1
2.4 ■
6 а) Г
0,8
Ь) А(0;6), В(5;3,), С(3;0), / (х ,у )= х 2 +2л7 ■
х +1
‘•8 /?7 7 7
Т
7а) Г ^ Ц ^ ^ . Ь ^ О ^ В ^ Х О Д О ) , /(лг,.у)=2л: + 4д^0,4 * 2 +1
2.4
8 а) | ^
со$хс1х, Ь) А(0;9), В(8;5,), С(4;0), / (х ,у ) =х+'$х у.
1.2
2.4
,
9 а) | - = _ , Ь)А(0;0), В ( 8;8), С(6;0), /(*,>>) = 2* +3А‘У .
1.4 у1х 2 + 0,5х
1,2
,
,------Ю а) Г л
, Ь) А(0;8), В(4;5), С(4;0), / (х ,у ) = ^ х + х 2у 2 ■
0”4 V 2х +1
60
Эдебиеттер
1 Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные
методы. - М. : Лаборатория базовых знаний. 2003. - 530 с.
2 Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. - М. :
ФизМатЛит, 1962. - 180 с.
3 Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры.
-М . : Наука, 1977.-280 с.
4 Воробьева Г. И., Данилова А. И. Практикум по вычислительной
математике. - М .: Вые. школа, 1990. - 241 с.
5 Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. - М. : Радио
и связь, 1985. - 260 с.
6 Иванов В. В. Методы вычислений на ЭВМ . Справочное
пособие. - Киев : Наукова думка. 1986. - 320 с.
7 Копченова Н. В., Марон И. А. Вычислительная математика в
примерах и задачах. - М. : Наука, 1972. - 186 с.
8 Мудров А. Е. Численные методы на П ЭВМ на языке Бейсик,
Фортран, Паскаль. - Томск, 1991. - 320 с.
9 Форсайт Дж., Мальком М., Моулер К. Машинные методы
математических вычислений. - М. : Мир, 1980. - 480 с.
61
М аш уны
К 1ркпе
Тэж1рибе жум ысы № 1
3
Жартылай белу эдгс1
(ДИХОТОМИЯ ЭД1С1)
Тэж1рибе жумысы № 2
Тэж1рибе жумысы № 3
Тэж1рибе жумысы № 4
Тэж1рибе жумысы
Тэж1рибе жумысы
Тэж1рибе жумысы
Тэж1рибе жумысы
Тэж 1рибе жумысы
Тэж1рибе жумысы
Тэж 1рибе жумысы
Тэж1рибе жумысы
Одебиеггер
Хорда эдгс1
Аралас эдгс
Интерполяция. Лагранждыц
интерполяциялык К0пмушес1
№5
Ырдей кашыктыкта орналаскан
тушндер унпн Ньютоннын
интерполяциялык формулалары
№ 6
'Пкбурыштар эдю1
№ 7
Трапеция эдйп жэне Симпсон эдю1
№ 8
Гаусс эдгск Кер> магрицаны е с е п т е у
№9
Крамер эдкй
№ 10 Эйлер ЭД1С1
№ 11 Эйлердщ ж е т 1Л Д |р ш г е н ЭД1С1.
Г Ю Н ЭД1С1
№ 12 Монте-Карло эдкп
4
11
14
18
23
27
33
37
42
46
55
58
61
А. 3. Даутова, Ж. С. Алимова, Г. С. Джарасова
С А Н Д Ы К ЭД1СТЕР1
Эдютемелж нускау
Техникалык редактор 3. Ж. Шокубаева
Жауапты хатшы 3. С. Искакова
Басу га 15.02.2017 ж.
Эрш тур! Т1тез
Ш ш 1м 60x90/16. Офсегпк кагаз
Шартты баспа табагы 3,57 Таралымы 300 дана
Тапсырыс № 2953
«К ЕР ЕК У » Баспасы
С.Торайгыров атындагы
Павлодар мемлекетпк университет!
140008, Павлодар к., Ломов к., 64
Курастырушылар: А. 3. Даутова, Ж. С. Алимова, Г. С. Джарасова
«Математика жэне информатика» кафедрасы
Сандьщ эд1стер1
пэшнен тэяарибелнс тапсырмаларды орындауга арналган
эдютемелж нускаулык
Кафедра мэжшсшде макулданган 20УУ ж. /9. О/
Кафедра медгеруш1С1
Н. Н. Оспанова
КЕЛ1С1ЛД1
4>МжАТФ деканы
Н. А. Испулов
А ж С М Б н/б
Баяхметова
М А КУ Л Д А Н Д Ы
л
б Э Б бастыгы ______ М У '
№ /О хаттама
20/У ж. Ю
20/^ж. 3 $
О-/
О /
А. Б. Тем1ргапиева 20____ ж ._____
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
9
Размер файла
1 164 Кб
Теги
djarasova, adisteri, 4521, sandikh, dautova, alimov
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа