close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

196 mustafina r. m. mustafina g. m. orazova g. o. teoriya nelineynih cepey

код для вставкиСкачать
Р. М. Мустафина, Г.М.Мустафина, Г. О. Оразова
ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
Учебное пособие
для студентов специальностей 050702 «Автоматизация и
управление», 050718 «Электроэнергетика», 050719
«Радиотехника, электроника и телекоммуникации»
Павлодар
Министерство образования и науки Республики Казахстан
Павлодарский государственный университет
им. С. Торайгырова
Р. М. Мустафина, Г.М.Мустафина, Г. О. Оразова
ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
Учебное пособие
для студентов специальностей 050702 «Автоматизация и
управление», 050718 «Электроэнергетика», 050719
«Радиотехника, электроника и телекоммуникации»
Павлодар
Кереку
2010
УДК 621.3.011(075.8)
ББК 31.211 я 73
М 91
Рекомендовано к изданию решением Ученого совета
Павлодарского государственного университета
им. С. Торайгырова
Рецензенты:
В. Ф. Говорун – доктор технических наук, профессор кафедры
электроэнергетики, ПГУ им. С. Торайгырова;
С. А. Цырук – кандидат технических наук, профессор,
заведующий
кафедрой
«Электроснабжение
промышленных
предприятий» МЭИ (ТУ).
Мустафина Р. М., Мустафина Г. М., Оразова Г. О.
У79 Теория нелинейных цепей : учебное пособие для студентов
специальностей 050702 «Автоматизация и управление», 050718
«Электроэнергетика», 050719 «Радиотехника, электроника и
телекоммуникации» / Мустафина Р. М., Мустафина Г. М.,
Оразова Г. О. – Павлодар : Кереку, 2010. – 116 с.
ISBN 9965-573-80-8
В учебном пособии излагается теория нелинейных
электрических и магнитных цепей при постоянном и переменном
токе.
УДК 621.3.011(075.8)
ББК 31.211 я 73
...еее
ISBN 9965-573-80-8
© Мустафина Р. М., и др., 2010
© ПГУ им. С. Торайгырова, 2010рppрр
За достоверность материалов, грамматические и орфографические ошибки
ответственность несут авторы и составители
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по УР
ПГУ им. С. Торайгырова
___________ Н. Э. Пфейфер
«__»__________2010 г.
Составители: к.т.н, профессор Мустафина Р. М.;
ст. препователь Мустафина Г. М.;
ассистент Оразова Г. О.
Кафедра радиотехники и телекоммуникаций
Теория нелинейных цепей
Учебное пособие для студентов специальностей 050702
«Автоматизация и управление», 050718 «Электроэнергетика», 050719
«Радиотехника, электроника и телекоммуникации»
Утверждено на заседании кафедры «____»_______2010 г. Протокол
№ ______
Заведующий кафедрой _________________ А. Д. Тастенов
Одобрено учебно-методическим Советом ЭФ «__» _______2010 г.
Протокол № ______
Председатель УМС _________________ М. М. Кабдуалиева
СОГЛАСОВАНО
Декан ЭФ________________ А. П. Кислов «___»____________2010 г.
Нормоконтролер ОМК _________ Г. С. Баяхметова «___»_____2010 г.
ОДОБРЕНО
Начальник ОП и МОУП_________ А. А. Варакута «___»_____2010 г.
Введение
Электротехника есть наука о техническом (практическом,
прикладном) использовании электрических и магнитных явлений во
всех отраслях современной промышленности, сельского хозяйства и в
быту. Широкое использование электроэнергии объясняется тем, что
электрическая энергия передается на большие расстояния и
относительно просто преобразуется в другие виды энергии –
механическую (электрификация механических процессов), тепловую,
химическую, световую (электрификация технологических процессов).
Кроме того, электротехника позволяет решать вопросы передачи и
преобразования сигналов и информации (электротехника связи).
Начало развития практической электротехники приходится на
1880-1890 годы. К ученым, внесшим свой вклад в развитие
электротехники, относятся М.В.Ломоносов, А.Вольт, А. Ампер,
А.С.Попов, В.В.Петров, М.Фарадей, Э.Х.Ленц, Джоуль, Г.Кирхгоф,
П.Н.Яблочков, А.Н.Лодыгин, А.П.Столетов, Н.А.Умов и др.
Выдающийся изобретатель, ученый П.Н.Яблочков в 1876 году
изобрел дуговую лампу – электрическую свечу. М.О.ДоливоДобровольский является основоположником трехфазной системы
электрических токов, изобретателем трехфазного асинхронного
двигателя. Изобретения М.О.Доливо-Добровольского положили
начало коренным преобразованиям в электротехнике вследствие того,
что трехфазная система имеет большие технические и экономические
преимущества перед постоянным и однофазным переменным током.
В связи с тем, что все области электротехники тесно связаны
между собой, дисциплина «Теоретические основы электротехники»
служит теоретическим фундаментом для изучения профильных
электротехнических дисциплин.
В учебном пособии излагается теория нелинейных
электрических и магнитных цепей при постоянном и переменном
токах.
3
1 Нелинейные электрические цепи постоянного тока
1.1 Основные определения
В предыдущих разделах курса «Теоретических основ
электротехники» рассмотрены основные свойства и методы расчета
линейных электрических цепей, существенная особенность которых
заключается в применимости к ним метода наложения
(суперпозиции).
Напомним, что в линейном пассивном элементе ток связан с
напряжением линейным уравнением – алгебраическим или
дифференциальным – первого порядка. Линейные сопротивления,
индуктивности и емкости имеют соответственно линейные
зависимости тока от напряжения, потокосцепления от тока и заряда от
напряжения.
Эта часть курса посвящена изучению основных свойств и
методов расчета нелинейных цепей. Электрическая цепь считается
нелинейной, если она содержит хотя бы один нелинейный элемент
(НЭ), то есть такой элемент, ток и напряжение на зажимах которого
связаны нелинейно. Процессы в нелинейных электрических цепях
описываются
нелинейными
алгебраическими
или
дифференциальными уравнениями. Следует твердо запомнить, что
метод наложения к таким цепям в общем случае неприменим.
Как уже отмечалось ранее, деление электрических цепей на
линейные и нелинейные является в известной мере условным, так как
реальные электротехнические устройства в силу физических
процессов, происходящих в них, строго говоря, не подчиняются
линейному закону.
Нелинейные элементы могут быть классифицированы по
разным признакам.
В зависимости от способности рассеивать электрическую
энергию в виде тепла или накапливать магнитную и электрическую
энергию различают нелинейное сопротивление и нелинейные накопители энергии – нелинейную индуктивность и нелинейную емкость.
Характеристики этих НЭ, получаемые экспериментально,
задаются графиками (или таблицами) или приближенными
аналитическими выражениями. Они представляют соответственно
нелинейные зависимости тока от напряжения (вольт-амперная
характеристика нелинейного сопротивления), потокосцепления или
магнитного потока от тока (магнитная характеристика нелинейной индуктивности), заряда от напряжения (электрическая характеристика
нелинейной емкости).
4
В данной главе, посвященной нелинейным электрическим цепям
постоянного тока, рассматриваются только цепи с нелинейными
сопротивлениями (цепи без накопителей энергии).
В зависимости от отсутствия или наличия управляющего
фактора, дополнительно воздействующего на НЭ, различают
неуправляемые и управляемые НЭ.
Характеристика неуправляемого НЭ изображается одной кривой. В следующем параграфе приведены типовые вольт-амперные характеристики некоторых неуправляемых НЭ.
Характеристика основной цепи управляемого НЭ изменяется
под воздействием управляющего фактора. Поэтому управляемый НЭ
характеризуется семейством кривых, параметром которых является
управляющий фактор.
1.2 Некоторые нелинейные элементы и их вольт-амперные
характеристики
В зависимости от вида вольт-амперной характеристики
различают нелинейные элементы с симметричной (относительно
начала координат) и несимметричной характеристикой.
Условия работы НЭ с симметричной характеристикой не
меняются при перемене знака тока и напряжения одновременно.
Режим же работы НЭ с несимметричной характеристикой
существенно зависит от изменения знака тока и напряжения на его
зажимах.
На рисунке 1.1 показаны симметричные характеристики:
I  U    I   U  . Характеристику типа рисунка 1.1,а имеет, например,
лампа накаливания с металлической нитью. Загиб кривой I(U)
обусловлен тем, что по мере увеличения тока нить нагревается
сильнее и ее сопротивление возрастает.
Характеристику, представленную на рисунке 1.1,б имеет
бареттер, то есть проводниковый электровакуумный прибор, с
помощью которого поддерживается неизменный ток при колебаниях
напряжения в определенных пределах (стабилизатор тока).
Бареттер представляет собой стальную или вольфрамовую нить,
помещенную в стеклянный баллон, наполненный водородом (при
давлении в несколько десятков миллиметров ртутного столба).
Бареттер включается последовательно с нагрузкой и благодаря
резкому увеличению его сопротивления при сравнительно небольшом
возрастании тока колебания напряжения в определенных пределах
почти не отражаются на нагрузке.
5
а)
б)
в)
а – лампа накаливания с металлической нитью; б – бареттер; в –
лампа накаливания с угольной нитью
Рисунок 1.1 – Симметричные характеристики
а)
б)
в)
а – электронный диод; б – ионный диод; в – полупроводниковый
диод
Рисунок 1.2 – Несимметричные характеристики
Вольт-амперную характеристику, изображенную на рисунке
1.1,в имеют лампа накаливания с угольной нитью, вилит и некоторые
другие НЭ, сопротивления которых уменьшаются с увеличением тока.
На рисунке 1.2 показаны несимметричные характеристики.
Обладающие такими характеристиками НЭ называются вентилями,
так как они способны пропускать ток практически только в одном
направлении.
Вольт-амперную характеристику, изображенную на рисунке
1.2,а имеет электронный диод (двухэлектродная лампа). Электрод,
основным назначением которого является испускание (эмиссии)
6
электронов, называется катодом. Он выполняется в виде нити или
цилиндра и нагревается непосредственно электрическим током (катод
прямого накала) или специальным подогревателем (катод косвенного
накала). Нагревание катода производится до такой температуры, при
которой кинетическая энергия электронов становится больше так
называемой работы выхода из металла и возникает термоэлектронная
эмиссия.
Если второй электрод, называемый анодом, имеет нулевой
потенциал относительно катода, то часть электронов, достигших
анода, образует небольшой ток, а другая часть заполняет
пространство между катодом и анодом (объемный заряд). При
положительном потенциале анода относительно катода ток
возрастает, плотность объемного заряда уменьшается, и возникает
новое состояние равновесия, соответствующее увеличенной скорости
движения электронов к аноду. С уменьшением плотности объемного
заряда по мере роста потенциала анода ток стремится к предельному
значению – току насыщения. Дальнейшее увеличение тока возможно
лишь при повышении температуры катода.
Начальная часть вольт-амперной характеристики электронного
диода подчиняется «закону трех вторых»: I   U
где  j –
постоянный коэффициент, зависящий от конструкции лампы.
Вольт-амперную характеристику, представленную на рисунке
1.2,б имеет газоразрядный (ионный) электровакуумный прибор —
газотрон.
Последний в отличие от электронного диода после откачки
воздуха заполняется парами ртути или инертным газом (аргоном,
неоном или гелием). Газотрон способен пропускать больший рабочий
ток, чем электронный диод того же габарита.
К числу газоразрядных приборов с аналогичной вольт-амперной
характеристикой относится ионный диод с тлеющим разрядом,
имеющий холодный катод при малой плотности тока. Как видно из
рисунка 1.2,б, в определенном диапазоне токов напряжение на
газоразрядном приборе практически мало изменяется. Поэтому он
может
использоваться
для
стабилизации
напряжения.
Вольт-амперную характеристику, изображенную на рисунке 1.2,в,
имеет полупроводниковый диод – медно-закисный, селеновый,
германиевый, кремниевый.
Способность электронных, ионных и полупроводниковых
диодов пропускать ток практически только в одном направлении
широко используется для преобразования переменного тока в
постоянный.
3/2
7
Преимущества полупроводниковых приборов – долгий срок
службы, малые размеры и вес, малая чувствительность к сотрясениям,
отсутствие расхода электроэнергии на подогрев – обусловили их
широкое применение в различных областях техники, особенно в
авиации.
1.3 Полупроводниковый диод
К полупроводникам, как известно, относятся вещества с
удельным сопротивлением от 10-5 до 102 Ом*м. По своим
электрическим свойствам они занимают промежуточное положение
между металлами (   10 Ом  м ) и изоляторами (   10 Ом  м ).
Сопротивление полупроводника подвержено влиянию многих
факторов: оно сильно зависит от температуры (с ростом температуры
сопротивление уменьшается), зависит от освещения (под действием
света сопротивление уменьшается) и т. д.
Напомним, что полупроводниковые диоды, применяемые в
качестве вентилей, представляют собой сочетание полупроводящих
слоев с разного типа проводимостями. Большое распространение за
последнее время получили полупроводниковые диоды из германия и
кремния. Из физики известно, что атомы этих веществ располагаются
в пространстве в определенном порядке, образуя кристаллическую
решетку; места, занимаемые атомами, называются узлами
кристаллической решетки.
Германий и кремний имеют четыре валентных электрона
(валентными называются электроны, находящиеся на внешней
орбите).
В зависимости от рода примеси в полупроводнике преобладает
одна из проводимостей — электронная или дырочная. Допустим, что в
кристалл германия или кремния внедрен примесный атом с
избыточным по сравнению с основным веществом валентным
электроном, например, атом пятивалентного мышьяка или сурьмы.
Примесный атом займет в узле кристаллической решетки место атома
основного вещества, и его четыре валентных электрона будут связаны
с валентными электронами вещества. Пятый валентный электрон
примесного атома окажется свободным; он будет относительно
свободно перемещаться в кристалле и будет участвовать в явлении
проводимости. Следует заметить, что примесный атом при этом уже
не будет нейтральным, а станет положительным ионом (закрепленным
в узле кристаллической решетки).
Проводимость, создаваемая свободными (избыточными)
электронами, называется электронной или проводимостью n-типа (от
8
12
8
слова negative — отрицательный).
Если в кристаллическую решетку германия или кремния ввести
примесный атом, имеющий на один валентный электрон меньше, чем
атом основного вещества, например атом трехвалентного индия или
галлия, то такой примесный атом образует с соседними атомами
основного вещества три полноценные связи.
В четвертой связи один электрон будет отсутствовать, в
результате чего в кристаллической решетке образуется вакантное
место («дырка»).
Под действием электрического поля электрон из соседнего
атома может заполнить вакантное место, в результате чего примесный
атом превратится в отрицательный ион. На своем прежнем месте
электрон оставит вакансию или дырку. Поскольку отсутствие
электрона можно рассматривать как локальный положительный заряд,
то можно говорить об упорядоченном движении дырки как условного
носителя положительного заряда в направлении, противоположном
движению электронов. Проводимость, создаваемая движением дырок,
называется дырочной или проводимостью р-типа (positive –
положительный). Дырочную проводимость не следует отождествлять
с ионной, так как носителями тока по-прежнему являются электроны.
При электронной проводимости свободный электрон проходит весь
путь в кристалле, а при дырочной проводимости электроны
поочередно заменяют друг друга в связях.
Основной частью полупроводникового диода является так
называемый р-n-переход. Он получается, если часть кристалла имеет
проводимость n-типа, а другая часть – р-типа. Обе эти области
должны быть получены в одном монолитном кристалле с однородной
решеткой; р-n-переход нельзя получить механическим соединением
двух кристаллов с различными типами проводимости.
Основные носители тока – дырка в р-области и свободные
электроны в n-области – диффундируют из одной области в другую.
Вследствие рекомбинации (взаимной нейтрализации зарядов)
электронов и дырок между областями р и n образуется слой
полупроводника, обедненный носителями тока (запирающий слой).
Избыточный заряд создается отрицательными ионами р-области и
положительными
ионами
n-области,
причем
весь
объем
полупроводника в целом остается электрически нейтральным. В
результате этого в месте р-n-перехода возникает электрическое поле,
направленное из n-области к р-области и препятствующее дальнейшей
диффузии дырок и электронов.
В р-n-переходе образуется разность
электрических
9
потенциалов, то есть возникает потенциальный барьер. Распределение
потенциала в переходном слое в зависимости от расстояния
изображено на рисунке 1.3,а за нуль потенциала условно принят
потенциал в р-области непосредственно вблизи р-n перехода, где нет
объемного заряда.
а)
б)
в)
а – без внешнего источника; б, в – с внешним источником
Рисунок 1.3 – Распределение потенциала в р-n переходе
Можно показать, что р-n-переход обладает выпрямительным
свойством. Если к р-области присоединить отрицательный полюс
источника постоянного напряжения, то потенциальный барьер
возрастет на величину приложенного напряжения и основные
носители тока не смогут проходить через p-n-переход (рисунок 1.3,б).
В этом случае диод будет обладать весьма высоким сопротивлением и
так называемый обратный ток будет очень мал.
Если же к р-области присоединить положительный, а к nобласти – отрицательный полюс источника, то потенциальный барьер
снизится и основные носители тока получат возможность проходить
через p-n-переход (рисунок 1.3,в). В цепи возникнет прямой ток,
который будет расти с увеличением напряжения источника.
На рисунке 1.4 показана характеристика германиевого диода.
Для удобства изображения характеристики на одном рисунке прямой
и обратный токи, а также прямое и обратное напряжения даны в
разных масштабах.
10
Рисунок 1.4 – Характеристика германиевого диода
Так как потенциальный барьер кремниевого диода больше
германиевого, то кремниевый диод способен работать при более
высоких температурах (130 – 1500С), чем германиевый (80 – 1000С).
1.4
Последовательное,
параллельное
и
смешанное
соединения нелинейных элементов
Нелинейные электрические цепи простой конфигурации удобно
рассчитывать графическим методом.
В данном параграфе рассматривается графический метод
расчета нелинейных цепей с последовательным, параллельным и
смешанным соединением НЭ. Расчет нелинейной цепи сводится к
нахождению токов и напряжений на участках цепи с помощью
вольт-амперных характеристик.
1.4.1 Последовательнее соединение
На рисунке 1.5,а показано последовательное соединение двух
НЭ, характеристики которых представлены на рисунке 1.5,б. Эти два
НЭ можно заменить одним с характеристикой I(U). Для этого,
задаваясь
произвольными
значениями
тока,
суммируют
соответствующие им абсциссы характеристик
заданных НЭ.
Аналогично может быть построена результирующая характеристика
участка цепи и с несколькими последовательно соединенными НЭ.
11
а)
б)
а – схема; б – характеристики
Рисунок 1.5 – Последовательное соединение двух НЭ
а)
б)
а – два НЭ; б – один НЭ
Рисунок 1.6 – Графическое определение тока, и напряжений на
двух последовательно соединенных элементах
Полученная характеристика I(U) позволяет непосредственно
находить для любого значения напряжение U, приложенного к цепи,
ток и напряжения на НЭ.
При фиксированном значении U ток и напряжение могут быть
найдены без построения результирующей характеристики.
Для этого одну из заданных вольт-амперных характеристик
12
следует перенести параллельно самой себе вдоль оси абсцисс вправо
от начала координат на величину приложенного напряжения U и
повернуть ее так, чтобы получить зеркальное изображение этой
кривой относительно вертикали (рисунок 1.6,а). Тогда точка
пересечения кривой зеркального изображения характеристики одного
нелинейного элемента с характеристикой другого НЭ определит
искомый ток в цепи и напряжения U1 и U2 на нелинейных элементах.
Когда вторым элементом является линейное сопротивление r,
построение упрощается, как показано на рисунке 1.6,б (здесь
r  m tg  , m  m / m – масштабный множитель сопротивление; mU
и mI – масштабы напряжения, В/мм, и тока, А/мм, на рисунке).
Изменениям величины линейного сопротивления r при
фиксированном значении приложенного напряжения U соответствует
семейство прямых, имеющих различные углы наклона и сходящихся в
общей точке U на оси абсцисс (рисунок 1.7, а).
В свою очередь изменениям величины приложенного
напряжения U при фиксированном значении r соответствует
семейство параллельных прямых, составляющих с вертикалью угол 
и отсекающих на оси абсцисс разные значения U (рисунок 1.7, б).
r
r
U
I
а)
б)
Рисунок 1.7 – Изменения линейного сопротивления (а) или
приложенного напряжения (б)
13
Рисунок 1.8 – Характеристика участка цепи, содержащего НЭ и
источник постоянной ЭДС
Если последовательно с НЭ включен источник постоянной ЭДС
то вольт-амперная характеристика участка цепи, содержащего НЭ и
источник, получается смещением характеристики НЭ на величину
ЭДС источника влево или вправо в зависимости от полярности
источника (рисунок 1.8). Следует обратить внимание на то, что на
рисунке 1.8 положительное направление для напряжений выбрано
совпадающим с положительным направлением тока.
Если изменить положительное направление напряжения, то
получится характеристика I(-U), отличающаяся от исходной I(U)
только знаком координат напряжения: кривые I(U) и I(-U)
симметричны относительно оси токов.
Если изменить положительное направление тока, то
характеристики I(U) и -I(U) будут отличаться знаком координат тока:
они симметричны относительно оси напряжений.
Наконец, если изменить положительные направления тока и
напряжения одновременно, то изменятся знаки координат тока и
напряжения: кривые I(U) и -I(-U) симметричны относительно начала
координат.
14
I(-U )
I
I(U )
U
0
-I(-U )
-I(U )
Рисунок 1.9 – Вольт-амперная характеристика в зависимости от
выбора положительных направлений тока и напряжения
Сказанное иллюстрировано рисунком 1.9, на котором
изображена
некоторая
характеристика
I(U)
и
показаны
соответствующие характеристики I(-U), -I(U) и -I(-U).
Такие построения учитывают полярность включения НЭ с
несимметричными характеристиками.
Нелинейные цепи удобно рассчитывать с помощью теоремы об
эквивалентном генераторе (активный двухполюсник).
В случае, когда нелинейный элемент присоединен к
какой-нибудь линейной электрической цепи, по теореме об
эквивалентном генераторе данная линейная электрическая цепь может
быть заменена источником напряжения, то есть ЭДС с
последовательно соединенным линейным сопротивлением. Тогда
схема приводится к только что рассмотренной одноконтурной схеме с
нелинейным элементом и линейным сопротивлением, соединенными
последовательно и подключенными к источнику ЭДС.
1.4.2 Параллельное соединение
На рисунке 1.10,а показано параллельное соединение двух НЭ,
характеристики которых представлены на рисунке 1.10,б. Эти два НЭ
могут быть заменены одним с характеристикой I(U), изображенной
жирной линией. Для этого, задаваясь произвольными значениями
напряжения, суммируют соответствующие ординаты характеристик,
заданных для НЭ.
Аналогично
может
быть
построена
результирующая
характеристика цепи и при параллельном соединении нескольких НЭ.
Для нахождения токов в параллельно соединенных НЭ
15
построение результирующей характеристики не требуется, так как в
данном случае токи находятся непосредственно по характеристикам
НЭ.
а)
б)
а – схема; б – характеристики
Рисунок 1.10 – Параллельное соединение двух НЭ
Результирующая характеристика параллельно соединенных НЭ
используется в том случае, когда по заданному току I требуется
определить напряжение U, а также при смешанном соединении
элементов.
16
Рисунок 1.11 – Характеристика участка цепи, содержащего НЭ и
источник постоянного тока
Если параллельно с НЭ включен источник постоянного тока, то
вольт-амперная характеристика участка цепи, содержащего НЭ и
источник, получается смещением характеристики НЭ. на величину
тока источника в сторону положительных или отрицательных
значений тока в зависимости от полярности источника (рисунок 1.11).
В случае, когда нелинейное сопротивление присоединено к
какой-нибудь линейной электрической цепи, можно, применив
теорему об эквивалентном источнике тока, получить схему с тремя
параллельно соединенными элементами: идеальным источником тока,
линейным и нелинейным сопротивлениями. Предлагаем читателям
распределить токи в такой схеме с помощью «секущей», по аналогии
с рисунком 1.7.
1.4.3 Смешанное соединение
Случай смешанного трех НЭ показан на рисунке 1.12,а. После
замены двух параллельно соединенных НЭ одним эквивалентным
схема со смешанным соединением приводится к рассмотренной ранее
схеме последовательного соединения двух НЭ. Графическое
построение для определения токов и напряжений приведено на
рисунке 1.12,б.
17
а)
б)
а – схема; б – характеристики
Рисунок 1.12 – Смешанное соединение
Пример 1.1 Для стабилизации тока в цепи с сопротивлением
нагрузки r = 30 Ом применен бареттер, вольт-амперная
характеристика которого показана на рисунке 1.13. Требуется
определить возможные пределы изменения приложенного к цепи
напряжения, при которых ток в цепи будет изменяться от 0,25 до 0,3А.
На характеристике бареттера находим точки 1 и 2,
соответствующие заданным пределам изменения токов. Через эти
точки проводятся прямые под углом  к вертикальной оси, причем
  arctg  r / m  .
Эти прямые пересекают ось абсцисс в двух точках,
определяющих пределы изменения напряжения: 20 и 45 В.
Пример 1.2 Лампа накаливания и линейное сопротивление г,
соединенные последовательно, подключены к источнику напряжения
U=220 В. Номинальное напряжение лампы 127 В; ее характеристика
задана таблицей:
r
Uл, В 0 20 40 60
80 100 120 140 160 180 200 220
I, А
0 0,2 0,3 0,38 0,44 0,5 0,56 0,61 0,65 0,69 0,71 0,75
18
Рисунок 1.13 – Пример 1.1
Какова мощность, потребляемая лампой, если напряжение сети
снизится до 180 В?
По характеристике напряжению 127 В соответствует ток 0,57 А.
При этом напряжение на сопротивлении r:
U
 U  U
r
л
 220  127  93 В
,
откуда сопротивление
r  93 / 0 . 57  165 Ом
Пользуясь построением, аналогичным рисунку 1.6, найдем ток в
цепи 0,5 А при напряжении источника питания 180 В, а также
напряжение на лампе 100 В. Искомая мощность равна 100*0,5=50 Вт.
1.5 Расчет нелинейной цепи с двумя узлами
1.5.1 Графический метод
В предыдущем параграфе пояснялась возможность получения
характеристики нелинейного элемента, эквивалентного двум
параллельно соединенным НЭ. Аналогичное построение возможно и
для нескольких параллельных ветвей, которые наряду с НЭ могут
содержать
и
источники
постоянной
ЭДС,
включенные
последовательно с НЭ. (рисунок 1.14,а).
Для
этого
предварительно
строится
вольт-амперная
характеристика каждой ветви; в рассматриваемом здесь случае она
получается смещением соответствующей характеристики НЭ
(рисунок 1.14,б) на величину заданной ЭДС влево от начала координат (рисунок 1.14,в). Затем строится результирующая
характеристика I  I  I параллельных ветвей, показанная на
1
2
3
19
рисунке 1.14,в и г пунктиром. Она смещена влево от начала координат
на величину Е, которую можно рассматривать как ЭДС эквивалентной
цепи.
На рисунке 1.14,г изображены характеристики эквивалентной
цепи, состоящей из источника постоянной ЭДС. Е и последовательно
соединенного с ним нелинейного сопротивления. Характеристика
этого нелинейного сопротивления показана на рисунке 1.14,г
сплошной линией.
Так как сумма токов I  I  I  I в узле равна нулю, то в эквивалентной цепи ток отсутствует. Следовательно, Е равно напряжению
верхнего узла относительно нижнего узла исходной схемы.
Отсюда находятся напряжения на каждом НЭ:
U1  E1  E
;
U
1
2
2
 E
3
2
 E
;
U
3
 E3  E
Ток в каждом НЭ определяется по соответствующей
вольт-амперной характеристике.
Характеристики эквивалентной цепи, изображенные на рисунке
1.14,г, могут быть использованы для расчета, если к заданной
двухузловой схеме добавится какая-либо новая ветвь (с линейным или
нелинейным элементом).
Описанный метод расчета применим и в том случае, когда
источники ЭДС содержатся не во всех параллельных ветвях.
Графический метод расчета требует большой точности
выполнения чертежа. При недостаточной точности или малом
масштабе результат может получиться неудовлетворительным
а)
20
б)
в)
а – схема; б – характеристики н. э.; в – определение
напряжения между узлами и токов в ветвях; г – эквивалентная цепь и
ее характеристика
Рисунок 1.14 – Нелинейная цепь с двумя узлами
1.5.2 Численный метод
Численный метод дает возможность найти достаточно точное
решение при минимуме графических построений. Расчет удобно вести
в табличной форме:
Е
U1  E1  E
U
2
 E
2
 E
U
3
 E3  E
I
Задаются каким-нибудь ожидаемым значением напряжения Е
между верхним и нижним узлами; производят расчет в указанной
последовательности и находят соответствующее значение  I .
Задаваясь другими значениями напряжения между узлами,
продолжают эту операцию до тех пор, пока  I не изменит знака.
Затем по данным таблицы строят в большом масштабе участок кривой
 I  f  E  вблизи перехода через нуль.
Искомое значение Е соответствует  I  0 .
К расчету схемы с двумя узлами может быть сведена и задача на
нахождение токов в двух ветвях, содержащих НЭ и подключенных к
произвольной, сложной активной линейной цепи (с независимыми
источниками электрической энергии). Такая активная цепь по
отношению к рассматриваемым двум ветвям представляет автоном-
21
ный активный четырехполюсник (рисунок 1.15,а).
а)
б)
в)
Рисунок 1.15 – Преобразование активной линейной цепи в цепь
с двумя узлами
В первой части курса указывалось, что если в две ветви
одновременно ввести по две противоположно направленные
ЭДС, равные напряжением холостого хода на этих ветвях (U1 и U2), то
токи в них найдутся из схемы на рисунке 1.15,б.
Здесь буквой П обозначен тот же четырехполюсник без
источников электрической энергии (пассивный четырехполюсник).
Следовательно, заданный активный четырехполюсник (рисунок
1.15,а) заменяется пассивным и двумя ЭДС (на рисунок 1.15,б
обведены пунктиром). В свою очередь пассивный четырехполюсник
может быть представлен в виде Т-образной схемы, в результате чего
электрическая цепь, обведенная на рисунке 1.15,б пунктиром,
эквивалентна схеме рисунка 1.15,в. Если теперь к зажимам 1 – 1' и 2 –
22
2' схемы рисунка 1.15,в НЭ, то получится нелинейная цепь с двумя узлами, токи в которой могут, быть рассчитаны описанным выше способом.
1.6 Статические и дифференциальные сопротивления
Для сопротивлений нелинейных элементов применяются два
понятия: статическое и дифференциальное сопротивления.
Под статическим сопротивлением НЭ понимается отношение
постоянного напряжения на НЭ к току в нем:
r ст 
Дифференциальным
rд 
dU
U
I
сопротивлением
характеризующая
НЭ
при
называется
малых
величина
отклонениях
от
dI
рассматриваемой
точки
нелинейной
характеристики.
Дифференциальное
сопротивление
определяет
крутизну
характеристики в каждой точке.
Рисунок 1.16 – Определение статического и дифференциального
сопротивлений по характеристике
Соответственно различают статическую и дифференциальную
проводимости НЭ:
g ст 
1
;
r ст
gд 
1
rд
В
общем
случае
статическое
и
дифференциальное
сопротивления не равны друг другу: эти понятия совпадают только
23
для линейных сопротивлений.
Как видно из рисунка 1.16 статическое сопротивление
пропорционально тангенсу угла  , образованного секущей,
проведенной из начала координат в рассматриваемую точку
характеристик, с осью I
r ст  m r tg 
Дифференциальное сопротивление пропорционально тангенсу
угла  , образованного касательной в рассматриваемой точке
характеристики с осью I
r ст  m r tg 
1.7
Замена
нелинейного
элемента
линейным
сопротивлением и ЭДС
Допустим, что область работы НЭ не выходит за пределы
участка вольт-амперной характеристики, который с известной
степенью приближения может быть заменен прямой линией (рисунок
1.17,а, кривая 1). Будучи продолжена, эта прямая пересекает ось
абсцисс в точке Е1. В соответствии с тем, что было сказано в § 1.4,
рассматриваемый нелинейный элемент с ломаной характеристикой
может быть заменен источником постоянной ЭДС E1 и линейным
сопротивлением rд1 равным дифференциальному сопротивлению
нелинейного элемента на прямолинейном участке (рисунок 1.17,б).
Следует обратить внимание на то, что здесь направление ЭДС
источника совпадает с положительным направлением тока.
На рисунке 1.17,в показан другой случай замены нелинейного
элемента линейным сопротивлением rд2 и постоянной ЭДС Е2, когда
ЭДС источника направлена противоположно положительному
направлению тока.
24
а)
б)
Рисунок 1.17 – Замена НЭ линейным сопротивлением и
источником ЭДС
После замены НЭ линейным сопротивлением и ЭДС цепь
рассчитывается как линейная. При этом обязательно должно
соблюдаться условие, что рабочая точка не выходит за пределы
прямолинейного участка характеристики НЭ.
2 Магнитные цепи при постоянном магнитном потоке
2.1 Назначение и типы магнитных цепей
Магнитной цепью называется совокупность устройств,
содержащих ферромагнитные тела, служащих для сосредоточения
магнитного потока в определенной части пространства. Магнитные
цепи включают в себя участки из ферромагнитных материалов с
высокой магнитной проницаемостью  . В силу непостоянства 
магнитные цепи нелинейны.
Различают цепи с постоянными магнитами и цепи, в которых
магнитный поток создается током в обмотке, насаженной на
ферромагнитный сердечник.
Если вся магнитная цепь выполнена из какого-либо одного
ферромагнитного материала, ее называют однородной. При
25
включении в магнитную цепь материалов с различными магнитными
свойствами ее называют неоднородной.
Магнитная цепь, во всех сечениях которой магнитный поток
одинаков (см. § 2.2), называется неразветвленной. В разветвленной
магнитной цепи потоки на различных участках неодинаковы.
На рисунке 2.1, а – в показаны примеры неразветвленных
магнитных цепей, а на рисунке 2.1, г – пример разветвленной
магнитной цепи. Все эти примеры даны в упрощенном виде без
обмоток.
а)
б)
в)
г)
а – магнитоэлектрический прибор; б – электромагнитное реле; в
– электромагнит; г – электрическая машина
Рисунок 2.1 – Магнитная цепь
Расчет магнитных цепей при постоянном магнитном потоке
имеет некоторое сходство с рассмотренным в предыдущей главе
расчетом нелинейных электрических цепей постоянного тока.
Существенное отличие в данном случае вносит явление
магнитного гистерезиса. Кроме того, для магнитных цепей характерна
соизмеримость продольных и поперечных размеров. Поэтому при
расчете магнитных цепей приходится в большей мере привлекать
понятия теории поля, учитывая изменение магнитных величин от
точки к точке в пространстве.
Так же как и электрические цепи, магнитные цепи в частных
случаях могут приниматься за линейные; при этом расчеты носят
приближенный характер и справедливы лишь для определенных
режимов работы.
2.2 Основные законы магнитной цепи и свойства
ферромагнитных материалов
Одним из основных законов, используемых при расчете
магнитной цепи, является закон полного тока
26



H d l  I
он формулируется следующим образом: циркуляция вектора
напряженности магнитного поля Н по замкнутому контуру равна
алгебраической сумме токов  I , охватываемых этим контуром; знак
тока определяется по правилу правоходового винта. Если длина l
измеряется в метрах, ток I – в амперах, то напряженность Н имеет
размерность ампер на метр. В случае, когда контур интегрирования
охватывает w витков катушки, через которую проходит ток I, закон
полного тока принимает вид
Hdl
∫
(2.1)
 Iw  F
где F – намагничивающая сила (НС) или магнитодвижущая сила
(МДС), измеряемая в амперах или ампер-витках.
-
С вектором напряженности магнитного поля
-
магнитной индукции
или, что то же, Вб/м2
B
H
связан вектор
, модуль которого измеряется в теслах (Тл)
B   0 H   a H
где

0
а
– относительная магнитная проницаемость (безразмерная
величина, определяется экспериментально и задается в
справочной литературе);
– магнитная постоянная, равная 4   10 Гн / м ;
– абсолютная магнитная проницаемость, Гн/м.
7
-
-
Векторы B и H необязательно совпадают друг с другом по
направлению. Несовпадение может быть в материалах анизотропных
в магнитном отношении, то есть в материалах, у которых величина 
-
зависит от направления вектора H . Большинство практических
расчетов производят в предположении совпадения по направлению
-
-
векторов B и H .
Контур интегрирования обычно выбирают таким образом,
-
чтобы он совпадал с линией вектора напряженности H , что позволяет
заменить подынтегральное выражение в (2.1) произведением
скалярных величин Н dl.
Для практических расчетов интеграл заменяют суммой
27
произведений H l , где индекс k указывает участок, вдоль которого Н
и  принимаются неизменными. В результате формула (2.1)
записывается в виде закона магнитной цепи:
k
k
kn

kn
H k lk 
k 1

k 1
Bk
 ak
(2.2)
lk  F
где n – число участков.
Произведение Hklk при отсутствии обмотки с током на k-м
участке носит название разности скалярных магнитных потенциалов
двух точек или падения магнитного напряжения вдоль участка путь и
обозначается 
, где m и n – начало и конец участка.
Для воздушных зазоров магнитная проницаемость может быть
принята равной магнитной постоянной  и связь между В и Н
приобретает вид
Mm n
0
H 
B
0

B
4   10
7
 0 , 8  10
6
B
(2.3)
Если измерять Н – в А/см, а В – в Тл, получается соотношение Н
[А/см] = 0,8В [гс].
Так как линии магнитной индукции непрерывны и замкнуты, то
поток вектора магнитной индукции сквозь замкнутую поверхность
равен нулю
Ф 
 ВdS
 0
(2.4)
Из уравнения (2.4) вытекает следующее важное положение: в
неразветвленной магнитной цепи поток на всех ее участках одинаков,
а в разветвленной цепи поток на участке, подходящем к месту
разветвления, равен сумме магнитных потоков на участках,
отходящих от места разветвления. В этом отношении поток Ф в
магнитной цепи подобен току в электрической цепи и именно в
данном смысле можно говорит о том, что в разветвленной магнитной
цепи поток Ф подчиняется первому закону Кирхгофа. При этом,
однако, необходимо помнить, что прохождение тока в электрической
цепи физически совершенно отличается от появления магнитного
потока в магнитной цепи. Речь может идти только об аналогии двух
принципиально различных явлений.
28
Рисунок 2.2 – Петля гистерезиса
Если принять, что вектор индукции В одинаков во всех точках
поперечного сечения S неразветвленной магнитной цепи и направлен
перпендикулярно этому сечению, то его поток
Ф 
 BdS
можно
S
записать как
(2.5)
Ф  Bk Sk
где индекс k указывает участок, вдоль которого В и S могут быть
приняты неизменными.
В
результате
подстановки
в
(2.2)
Вk 
Ф
Sk
получается
зависимость между магнитным потоком и НС, которую называют
законом Ома для магнитной цепи (НС – намагничивающая сила)
F
Ф 

lk

F

r мk

F
,
rм
 ak S k
где rм–магнитное сопротивление цепи, имеющее размерность 1/Гн.
При неизменных поперечном сечении S и магнитной
29
проницаемости
à
rм 
l ср
aS
где lcр – длина средней линии магнитной индукции.
В случаях, когда магнитная цепь состоит из участков с
различной магнитной проницаемостью, говорят о магнитных
сопротивлениях
участков. Величина,
обратная
магнитному
сопротивлению, называется магнитной проводимостью

м

1
rм
Закон Ома для магнитной цепи в большинстве случаев не может
быть применен для расчета вследствие того, что связь между В и Н
нелинейна. Примерная графическая зависимость B=f(H) для
ферромагнитных материалов показана на рисунке 2.2, такая
двузначная зависимость называется петлей гистерезиса. При
возрастании индукция В изменяется (возрастает) по нижней части
петли гистерезиса, а при убывании Н индукция В изменяется
(уменьшается) по верхней части петли. При Вмакс = - Вмин получается
симметричная петля гистерезиса. Индукция Вr при H=0 называется
остаточной. Ширина петли в основном зависит от свойств материала,
в некоторой степени от максимальной напряженности H и от скорости
dH/dt, с которой происходит изменение H. Чтобы практически
исключить влияние dH/dt, снимают статическую петлю гистерезиса
при достаточно медленном перемагничивании образца. Ширина петли
равна удвоенному значению коэрцитивной силы Hс.
Ферромагнитные материалы с широкой петлей гистерезиса
(Hс>4 000 A/м) называются магнитно-твердыми; их применяют для
постоянных магнитов. Ферромагнитные материалы с узкой петлей
гистерезиса (Hс<200 A/м) называются магнитно-мягкими; их
применяют в переменных магнитных полях, а также в постоянных
магнитных полях, когда желательна возможность регулирования
магнитной индукции В посредством изменения напряженности
магнитного поля H. Деление ферромагнитных материалов на эти две
категории условно, так как имеются материалы с характеристиками,
отличными от упомянутых.
Если построить для большого числа постепенно возрастающих
максимальных напряженностей Hмакс какого-либо магнитно-мягкого
материала семейство статических петель гистерезиса, то вершины
петель расположатся на кривой, называемой основной кривой
30
намагничивания 5 данного материала. Эти кривые часто называются
просто кривыми намагничивания и приводятся в справочниках. В
качестве примера на рисунке 2.3 приведены такие кривые
намагничивания.
Зависимость между В и Н при непрерывном увеличении их от
нуля, т. е. при постепенном намагничивании предварительно
размагниченного
образца
материала,
называется
кривой
первоначального намагничивания. Обычно эта кривая располагается
несколько выше основной кривой намагничивания того же образца
материала.
Впервые нелинейность зависимости B=f(H) установил
выдающийся русский физик А. Г. Столетов, описавший эту
зависимость в 1821г. А. Г. Столетов также впервые указал на большой
эффект, получаемый в результате применения замкнутых
ферромагнитных сердечников
Тл
1 ,8
1
1 ,6
1 ,4
1
1 ,2
1 ,0
2
0 ,8
0 ,6
0 ,4
0 ,2
0
0
2000
4000
6000
8000
10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
А /м
А /м
Рисунок 2.3 – Кривые намагничивания; 1 – листовая сталь Э-31;
2 – литая сталь
2.3 Неразветвленная магнитная цепь
Простейшей неразветвленной магнитной цепью является
замкнутый магнитопровод с одинаковым поперечным сечением и
одинаковой магнитной проницаемостью по всей длине, например
тороидальный магнитопровод (рисунок 2.4) при lв≠0
31
Рисунок 2.4 – Тороидальный магнитопровод
В силу соотношения (2.5) магнитная индукция В во всех точках
такой цепи одинакова. Напряженность магнитного поля Н также
одинакова. Выражение (2.2) в этом случае принимает вид
Hl
cp
 F
где lcр – длина средней линии напряженности магнитного поля.
Часто в состав неразветвленной магнитной цепи входят участки
из различных материалов с неодинаковыми поперечными сечениями.
Вследствие того, что магнитный поток во всей цепи одинаков,
значения магнитной индукции Bk на различных участках неодинаковы
и в соответствии с (2.5) определяются выражением
Âk 
Ô
Sk
Расчет неразветвленной цепи сравнительно прост, если задан
магнитный поток Ф и требуется определить НС. F; это так называемая
прямая задача расчета магнитной цепи, которая заключается в
определении Hk по значениям Вk и суммировании произведений Нklk.
Решение прямой задачи иллюстрировано в примере 2.1.
Сложнее обратная задача расчета магнитной цепи, когда по
заданному значению НС требуется определить магнитный поток.
Расчет для такой задачи может быть выполнен с помощью магнитной
характеристики цепи F = f(Ф).
Для построения такой характеристики необходимо задаться
несколькими значениями Ф и найти соответствующие значения F,
решая, таким образом, несколько прямых задач, причем необходимо,
32
чтобы какие-то значения F были больше и меньше заданного. С
помощью магнитной характеристики по заданной НС определяется Ф.
Для сокращения вычислений желательно ограничиться
возможно меньшим числом точек характеристики, для чего
необходимо задаться первым (исходным) значением Ф, по
возможности близким к истинному. Если имеется воздушный зазор,
представляющий основную часть магнитного сопротивления цепи,
первое значение магнитного потока находится из выражения
Ф 
F

F aSв
r мв

lв
FS
(2.6)
в
0 , 8  10 l в
6
где rмв – магнитное сопротивление воздушного зазора;
Sв – поперечное сечение магнитного потока, проходящего через
воздушный зазор;
lв – толщина воздушного зазора.
Магнитный поток Ф' в этом случае заведомо больше
действительного, поскольку в выражении (2.6) магнитное
сопротивление цепи определяется только воздушным зазором, а
магнитное сопротивление стали не учитывается.
Решение обратной задачи показано в примере 2.2.
Пример 2.1 Магнитная цепь, изображенная на рисунке 2.5,
представляет собой сердечник из листовой электротехнической стали
с обмоткой из w = 300 витков. Требуется найти ток в обмотке,
создающий в сердечнике магнитный поток Ф  1, 3  10 Вб.
Цепь может быть разбита на четыре участка с длинами отрезков
средней линии магнитной индукции
4
l1= 0,025 м; l2 = 0,12 м; l3 = 0,025 м; l4 =
0 , 5  10
3
м,
и поперечными сечениями
S1 = S3 = S4 =
2  10
4
м2; S2 = 1  10 м2.
4
Значения индукции в поперечных сечениях
B l  B 3  B 4  Ф / S 1  1 , 3  10
B 2  1 , 3  10
4
/ 1  10
4
/ 2  10
4
4
 1 , 3 Tл
 0 , 65 Tл
;
Напряженности магнитного поля в стали в соответствии с
33
кривой намагничивания, изображенной на рисунке 2.3, равны
Í
1
 Í
3
 100 À / ì
;
Í
2
 650 À / ì
.
Напряженность магнитного поля в воздушном зазоре согласно
выражению (2.3)
Н
4
 0 , 8  10
6
 В 4  0 , 8  10
 0 , 65  520  10
6
3
А/ м
Рисунок 2.5
Намагничивающая сила обмотки
F   H k l k  H 1 l 1  H 2 l 2  H 3 l 3  H 4 l 4  100  0 , 025  650  0 ,12  100  0 , 025 
 520  10
3
 0 , 5  10
3
 343
А
Ток к обмотке
F
I =
343
=
w
= 1 ,14 A
300
Пример 2.2 В магнитной цепи, рассмотренной в примере 2.1,
требуется найти магнитный поток Ф в сердечнике, если ток в обмотке
I = 1,25 A.
Цепь разбивается на такие же участки, как и в примере 2.1.
Первое приближенное значение магнитного потока в соответствии с
(2.6)
Ф
1 , 25  300  2  10
4
0 , 8  10
3
6
 0 , 5  10
34
 1 , 87  1  10
4
Вб
Н3, a/м
Н4, a/м 103
l1 , м
l2 , м
l3 , м
l4, м 10-3
Н1l1 a
Н2l2 a
Н3l3 a
Н4l4 a
 Нl a
I, a
1,82 0,94 1,82 0,94 0,94 194
1,6 0,8 1,6 0,8
0,8 135
1,45 0,225 1,45 0,225 0,225 120
1,3 0,65 1,3 0,65 0,65 100
Н2, a/м
Н1, a/м
В4, тл
В3, тл
В2, тл
В1, тл
Ф, Вб 10–4
Расчет магнитной характеристики к примеру 2.2
12200
4300
1400
630
194
135
120
100
250
640
580
520
0,025
0,025
0,025
0,025
0,12
0,12
0,12
0,12
0,025
0,025
0,025
0,025
0,5
0,5
0,5
0,5
4,85
3,38
3,0
2,5
2060
515
168
25,5
4,85
3,38
3,0
2,5
325
320
290
260
2404
842
464
341
8,01
2,81
1,55
1,14
Расчет для удобства сведен в таблицу 2.1. По данным расчета
строится магнитная характеристика цепи, показанная на рисунке 2.6.
При помощи этой характеристики по заданной НС
определяется искомый магнитный поток
F  1, 25  300  375 A
Ф  1 , 36  10
Вб .
Для магнитной цепи с воздушным зазором можно применить
графический метод, удобный в случае однородного ферромагнитного
сердечника с воздушным зазором, изображенного на рисунке 2.4.
Построение выполняется соответственно рисунку 6.6,б с той
разницей, что вместо напряжения U по оси абсцисс откладывается
напряженность поля Н в масштабе mH А/мм и вместо тока I по оси
ординат откладывается индукция В в масштабе mв Тл/мм. Кривая при
этом
представляет
собой
кривую
намагничивания
В(H)
ферромагнитного материала сердечника. Наклонная прямая
пересекает ось абсцисс при напряженности wI / l (вместо U1+U2),
здесь l  l  l - длина участка средней линии напряженности в
стали.
4
ст
ñò
ñð
â
Рисунок 2.6
35
Угол

определяется выражением
  arctg
m âlâ
 0 m H l ñò
 arctg 0 , 8  10
6
m
m
â
lâ
H
l ñò
.
Можно обойтись без определения  , если провести прямую
через точку на оси ординат, соответствующую индукции  wI / l ,
когда эта ордината помещается в пределах чертежа.
Точка пересечения кривой и прямой определяет на оси абсцисс
напряженность магнитного поля Нст в сердечнике (вместо U1 на
рисунок 1.6, б) и приведенную напряженность Н'в воздушном зазоре
(вместо U2 на рисунке). Приведенная и истинная напряженности
связаны выражением
а
H
â
 H
в
l ñò
lâ
Индукция В в сердечнике определяется как ордината точки
пересечения. Нетрудно заметить, что в данном случае
B
H
 0
. При
в
изменении зазора lв угол  меняется. При изменении тока I в обмотке
меняется абсцисса с нулевой ординатой наклонной прямой и, если lв
остается неизменным, наклонную прямую необходимо перемещать
параллельно самой себе. В качестве иллюстрации описанного метода
может служить пример 2.5.
В случае магнитной цепи, состоящей из нескольких участков с
различными материалами и поперечными сечениями, необходимо
строить кривую
B    H k cт
 ; здесь
B 
Ф

Sб
приведенная индукция, a Sб –
базисное сечение (обычно сечение воздушного зазора).
Сумма приведенных напряженностей цепи равна
 H kñò  
H
kñò
l kñò
,
lá
где индексы k соответствуют ферромагнитным участкам с
различными значениями Hk; lб – базисная длина, обычно длина
сердечника. Точка пересечения наклонной прямой с осями абсцисс и
36
Iw
ординат определяется соответственно величинами
Истинная напряженность в воздушном зазоре
Н
в
 Н в
lб
lв
lб
и
0
I
.
lб
.
Приведенные напряженности и индукции используются в
расчетах элементов автоматики.
2.4 Разветвленная магнитная цепь
В разветвленной магнитной цепи могут существовать несколько
магнитных потоков, которые складываются или вычитаются на
некоторых участках.
По аналогии с разветвленной электрической цепью такая цепь
может быть разбита на ветви и узлы. Намагничивающие силы в этом
случае аналогичны ЭДС электрической цепи, а разность скалярных
магнитных потенциалов между концами участков аналогична
напряжениям между концами ветвей электрической цепи.
На рисунке 2.2 показаны разветвленная магнитная цепь и
аналогичная ей электрическая цепь. В разветвленной цепи действуют
первый и второй законы Кирхгофа.
Рисунок 2.2 – Разветвленная магнитная цепь и аналогичная ей
электрическая цепь
37
Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма магнитных
потоков в узле равна нулю  Ф  0 .
При этом магнитным потокам, направленным к узлу,
приписывается один знак (например, положительный), а магнитным
потокам, направленным от узла, противоположный знак.
Второй
закон
Кирхгофа:
алгебраическая
сумма
намагничивающих сил в любом контуре равна алгебраической сумме
произведений потоков на соответствующие магнитные сопротивления
данного контура.
При этом необходимо задаться положительным направлением
обхода контура.
Разветвленные магнитные цепи, так же как и неразветвленные,
обычно являются нелинейными и расчет их приходится производить с
помощью магнитных характеристик подобно расчету нелинейных
электрических цепей.
В некоторых случаях можно произвести однократный расчет без
применения магнитных характеристик, например для цепи,
изображенной на рисунке 2.8. Здесь на участке l1 предполагается
заданным магнитный поток Ф1 и требуется определить НС,
создаваемую обмоткой.
k
Рисунок 2.8 – Разветвленная магнитная цепь, для которой
можно произвести однократный расчет
Каждый из участков имеет одинаковое сечение и одинаковую
магнитную проницаемость по всей своей длине. Расчетные величины
в этом случае определяются в следующем порядке: разность
скалярных магнитных потенциалов между точками в и г
k 3
U
мвг


k 1
38
H k lk
напряженность магнитного поля на участке l8, H  U / l .
Далее по кривой намагничивания находится индукция В8, по
которой определяется Ф  В S , что дает возможность вычислить
потоки Ф  Ф  Ф  Ф , и индукции В  Ф / S и В  Ф / S . По кривой
намагничивания находится H4 и H5, что позволяет вычислить разность
скалярных магнитных потенциалов
мвг
8
8
4
5
1
8
8
8
8
4
4
4
5
5
5
V ìàá  V ìâã  H 4 l 4  H 5 l 5
Аналогичным образом определяется H6l6 и в итоге НС
k6
F 

H klk
.
k 1
В разветвленной магнитной цепи с двумя узлами, для которой
заданы НС и магнитные характеристики, могут быть определены
магнитные потоки аналогично тому, как находятся токи в нелинейной
электрической цепи с двумя узлами. Если положительные
направления магнитных потоков, выбранные одинаково относительно
узлов, совпадают с заданными направлениями НС, то магнитные
характеристики смещаются влево на соответствующие величины НС.
39
Рисунок 2.9 – Разветвленная трехстержневая цепь с двумя узлами
Результирующая характеристика пересечет ось абсцисс в
некоторой точке и ординаты характеристик, соответствующие данной
точке, дадут искомые потоки. Сказанное иллюстрировано рисунке 2.9,
где в виде примера рассмотрена трехстержневая магнитная цепь с
обмотками на двух стержнях. Задача может быть также решена и
численным методом.
2.5 Потоки рассеяния в магнитной цепи
В зависимости от назначения цепи понятие о потоке рассеяния
ФS имеет различный смысл.
В катушках со стальным сердечником потоком рассеяния
называют поток, замыкающийся частично или полностью помимо
ферромагнитного сердечника (рисунок 2.3), для которого магнитное
сопротивление в основном определяется участком с постоянной
магнитной проницаемостью, обычно принимаемой равной  . Часть
потока рассеяния при этом может не сцепляться с частью витков
обмотки. В трансформаторах потоком рассеяния называют магнитный
поток, сцепленный с рассматриваемой обмоткой и не сцепленный с
другими обмотками. В реле, контакторах и тому подобных
устройствах потоком рассеяния называют магнитный поток,
замыкающийся мимо якоря и поэтому не участвующий в создании
силы тяги. Во всех случаях величина ФS в основном определяется
магнитным сопротивлением неферромагнитной среды.
Потоки рассеяния появляются, когда между отдельными
участками магнитной цепи имеются разности скалярных магнитных
потенциалов, вызванные воздушными зазорами, неравномерностью
распределения обмотки, неоднородностью магнитной цепи и т. п.
Если все точки магнитной цепи эквипотенциальны, потока рассеяния
0
40
не будет. Например, не будет потока рассеяния в цепи, изображенной
на рисунке 2.4, при отсутствии воздушного зазора lв и равномерном
распределении обмотки но всей длине.
Для цепи рисунке 2.1,б поток рассеяния может быть весьма
значительным и будет увеличиваться с увеличением отношения
длины цепи к расстоянию между параллельными участками.
На рисунке 2.10 приведена цепь электромагнитного реле с
обмоткой, состоящей из w витков, равномерно распределенных вдоль
сердечника 1 длиной l.
Рисунок 2.10 – Магнитная цепь электромагнитного реле с
обмоткой, распределенной вдоль сердечника
Вследствие
относительной
близости
и
достаточной
протяженности сердечника 1 и параллельной ему части корпуса 2 в
неферромагнитном пространстве между 1 и 2 появляется
существенный поток рассеяния ФS, который необходимо учитывать
при определении зависимости между НС обмотки и потоком в якоре
Фя.
Рассматриваемую магнитную цепь приходится рассчитывать как
цепь с распределенными параметрами аналогично электрической
цепи, рассмотренной в одиннадцатой главе первой части, с той
разницей, что первичные параметры в данном случае не линейны.
Первичными параметрами являются удельное магнитное
сопротивление rмх, представляющее собой сумму удельных
сопротивлений сердечника и корпуса, и удельная проводимость
неферромагнитной среды gмx потоку рассеяния ФS.
Обозначим, Uмх – разность скалярных магнитных потенциалов
между сердечником и корпусом в сечении, находящемся на
41
расстоянии х от начала обмотки;  U  приращение Uмх на участке
 х; Фх – магнитный поток в сечении стержня или корпуса на
расстоянии х от начала обмотки;  Ф – приращение потока на участке
 х. Следует заметить, что где  Ф – магнитный поток рассеяния,
ограниченный плоскостями x  const и x   x  const .
Уравнения для приращений разности магнитных потенциалов и
магнитного потока на участке  х пишутся следующим образом:
мх
х
S
U
мх
   r мх Ф х     х
;


  Ф х   g мх  U


мх

U
2
мх

x

(2.2)
где удельная НС
 
I
l
При устремлении
уравнения

dU
dx

мх
х к нулю получаются дифференциальные
 r мх Ф х  
;

dФ х
dx
 g мх U
мх
(2.8)
В уравнениях (2.2) и (2.8) rмх является функцией Фх, gмx не
зависит от Фх, но может зависеть от координаты х. Методы
определения gMx приводятся в специальной литературе.
Уравнения (2.2) и (2.8) на практике решают следующими
приближенными методами: а) численного интегрирования; б)
графоаналитическим методом Б.С. Сотскова; в) двойного
графического интегрирования; г) изоклин; д) с помощью
коэффициентов рассеяния; е) аналитическим методом А. В. Гордона.
Ниже приводятся основные указания по расчету цепи (рисунок
2.10) методом численного интегрирования. Этот метод сравнительно
прост и может быть применен при изменяющемся в зависимости от х
параметре gмх. Изложение других методов громоздко и с ними в
случае необходимости можно ознакомиться по специальной
литературе.
Расчет методом численного интегрирования начинается с
разбивки цепи вдоль длины l на n участков, каждый длиной  х ,
причем длины участков могут быть неодинаковыми. Индекс k
соответствует концу участка (k=1, 2, 3 и т.д.). Предполагается, что
k
42
поток Ф  Ф на длине участка остается неизменным, а на границе
двух участков меняется скачком и Ф  Ф   Ф , где приращение
потока
х
k
k 1
Ф k   g

U

мk
мk

U
k
k

xk

мk
2
2.5.1.Расчет магнитной цепи с учетом потоков рассеяния
методом численного интегрирования
Номер
x, x
участка
м k
k
1
2
H
k2
 x k 1   x k , м
3
Фk
Фk
Iw
gмk,
,T л B k 
,T л H
 
, A / м   xk , A Bk 
Гн/м
S2
S1
l
4
5
6
2
8
, A / м  U мk , B  Ф k , Bб
10
11
2
1
H
k1
 H
12
k2
  x
k
,A U
мk
U
мk  1
13
 U
14
мk
k1
,A/ м
9
, B Ф k  1 , Вб
15
Поток Ф1 может быть принят равным потоку Ф0 в воздушном
зазоре, определяемому по силе, с которой должен притягиваться
якорь. Если поток Ф0 фиксирован, необходимо задаться некоторым
произвольным первоначальным током I1, по которому вычисляется  .
Истинное
значение
I
определяется
последовательными
приближениями, как объяснено ниже. Первоначальный ток I может
быть определен способом, показанным в примере 2.1. Такой ток будет
заведомо меньше истинного тока, определяемого в итоге расчета.
Приращение разности скалярных магнитных потенциалов
U
мk

   r мk Ф k   x    x k  H
k1
 H
k2
 x
k
где H и H – напряженности в сердечнике и корпусе, определяемые
по индукциям В и В и соответствующим кривым намагничивания.
Расчет удобно вести в табличной форме (таблица 2.2).
Значение Фk+1, в 15-й графе таблицы, находящееся в строке к,
используется для вычисления величин в графах 2.14 следующей
строки k+l. В процессе вычислений может оказаться, что на одном из
участков U меняет знак. При этом соответствующее значение Фk
будет максимальным. По достижении Фn и Uмn в конце последнего
k1
k2
k2
k2
мk
участка
определяется
H
2

U
мn
l 2
,
где
индекс
2'
указывает на
принадлежность к вертикальной части корпуса (рисунок 2.10). Затем
43
по кривой намагничивания определяется В2' и производится сравнение
Фn с S2', В2', где S2' – площадь поперечного сечения участка 2'. Если
окажется, что Фn>S2'В2' то необходимо увеличить ток I и вновь
повторить расчет. При Фn<S2'В2' ток I необходимо уменьшить.
Расчет можно закончить по достижении
Ф n  S 2 B 2
Фn
   0 ,1  0 , 2 
На основе описанного выше порядка вычислений при
фиксированном Ф0 нетрудно выполнить вычисления при
фиксированном токе I и изменяемого в конце каждого цикла расчета
Ф0.
2.6 Магнитные цепи с постоянными магнитами
Постоянные магниты широко применяются для создания
магнитного поля в разнообразных устройствах, таких, как магнето,
электрические
генераторы,
измерительные
приборы,
реле,
радиорепродукторы и т. п. В каждом из этих устройств магнитный
поток, созданный постоянным магнитом, проходит через участки из
магнитно-мягких материалов, называемые арматурой, и воздушные
зазоры, преодолевая при этом некоторое магнитное сопротивление.
Так как в такой магнитной цепи отсутствует обмотка, создающая НС,
то по закону полного тока интеграл по замкнутой средней линии
напряженности магнитного поля равен нулю.
В арматуре и воздушных зазорах имеется напряженность
магнитного поля, совпадающая с направлением индукции,
следовательно, напряженность магнитного поля в теле постоянного
магнита Нм направлена навстречу магнитной индукции Вм.
Если пренебречь по малости падением магнитного потенциала в
арматуре по сравнению с воздушным зазором, то можно записать
Н м l м  Н в lв  0
,
(2.9)
где Нвlв – падение магнитного потенциала в воздушных зазорах;
lм – средней линии напряженности магнитно го поля в теле
постоянного магнита.
Отсюда следует, что напряженность магнитного поля в
воздушных зазорах
Н
в
 Н
44
lм
м
lв
.
(2.10)
При этом предполагается, что и Н неизменны вдоль
соответствующих участков.
Связь между индукцией в воздушном зазоре В и индукцией в
магните В если пренебречь потоком рассеяния, определяется
выражением
Вв 
Фм
 Вм
Sв
Sм
,
Sв
где Sм и Sв и сечения магнита и зазора соответственно, откуда
напряженность в зазоре
Н
в

Вв
0

ВмSм
0Sв
.
(2.11)
Если целью расчета является определение индукции в
воздушном зазоре В при заданных геометрических размерах,
пользуются характеристикой Вм=f(Нм) участка петли гистерезиса,
находящегося во второй четверти и называемого кривой
размагничивания (рисунок 2.11). Подстановка (2.10) в (2.11) дает
Вм  Н
lм
м
lв
0
Sв
Sм
.
Полученное выражение представляет уравнение прямой линии,
но так как Вм=f(Hм) одновременно определяется кривой
размагничивания; ордината точки h (рисунок 2.11) есть истинное
значение Вм по которому затем определяется Вв.
Внесение в воздушный зазор ферромагнитного тела
эквивалентно уменьшению зазора. Увеличение индукции Вм при этом
будет определяться не кривой размагничивания, а линией hmn.
Возврат индукции к прежнему значению три удалении из зазора
внесенного ферромагнитного тела будет определяться линией nkh.
Петля hmnkh называется частной петлей гистерезиса. Чем
значительнее уменьшение воздушного зазора, тем длиннее частная
петля гистерезиса и при полной ликвидации воздушного зазора точка
n попадает на ось Вм. Путь, по которому таким образом перемещается
точка n, имеющий, как правило, небольшую кривизну, носит название
линии возврата.
45
С целью упрощения расчетов предполагают, что изменение
индукции при изменении воздушного зазора определяется линиями
возврата, изображенными приближенно в виде прямых.
В некоторых случаях в результате экспериментальных
исследований образцов постоянных магнитов получают зависимость
 ì  f   ;
величина
 
1 dB
 0 dH
называется коэффициентом возврата.
Примерный вид такой зависимости Вм показан на рисунке 2.11. Линии
возврата графически могут быть построены как интегральные кривые
по уравнению Â     dH . Построение начинается с точки на
кривой
размагничивания,
соответствующей
максимальному
воздушному зазору. Иногда качество материала постоянного магнита
характеризуют напряженностью, H при которой материал полностью
размагничивается. Величина Hc определяется точкой, из которой
линия возврата 4 (рисунок 2.11) попадает в начало координат.
При значительном потоке рассеяния различают полезную
магнитную проводимость  , по которой замыкается полезный поток
1, и магнитную проводимость рассеяния  , по которой замыкается
поток рассеяния. На рисунке 2.11,б показана электрическая схема
замещения магнитной цепи, где роль магнитных проводимостей
выполняют электрические проводимости gп и gs. Такая схема
замещения применяется при расчетах различных устройств с
постоянными магнитами.
ì
0
c
п
s
а)
46
б)
Рисунок 2.11 – Кривые (а) и схема замещения (б), применяемые
при расчете постоянных магнитов; 1– кривая размагничивания;
2  В   Н  ; 3  В    ; 4 – линия возврата
м
м
Если поперечное сечение магнита Sм по всей длине одинаково,
то на основании выражений (2.10) и (2.11) объем магнита
V м  S мlм
Ф
2
BмH
lв
м
Sв0
,
(2.12)
где магнитный поток
Ф  S м В м  SвВв
Величина
ВмН
.
, имеющая размерность Дж/м3, представляет
м
2
собой энергию магнитного поля в воздушном зазоре, отнесенную к
единице объема магнита. Эту величину называют удельной энергией
магнита.
Из выражения (2.12) следует, что чем больше В Н , тем
меньше объем Vм и, следовательно, вес магнита. Для каждого
материала на кривой его размагничивания существует только одна
точка, соответствующая В Н макс. Рационально сконструированный
магнит должен иметь такие размеры и такую арматуру, чтобы В Н
было равно или возможно близко к В Н макс.
Величина В Н макс характеризует качество материала, из
которого изготовлен постоянный магнит; чем В Н макс больше, тем
качество материала считается более высоким. Увеличение В Н макс
достигается не только за счет увеличения остаточной индукции Вr и
коэрцитивной силы Hс (рисунок 2.11), но также и за счет получения
м
м
м
м
м
м
м
м
м
м
м
м
47
м
м
кривой размагничивания, по возможности близкой по форме к
прямоугольной.
На рисунке 2.12 приведены кривые размагничивания и удельной
энергии некоторых материалов. Линии возврата, показанные
пунктиром, служат для ориентировки при вычерчивании линии
возврата, берущей начало на кривой размагничивания в точке,
соответствующей расчетному воздушному зазору.
Пример 2.3 Магнитная цепь, изображенная на рисунке 2.13,
имеет размеры а=1 см; с=1,1 см; lв = 0,4 см. Постоянный магнит
изготовлен из сплава АНКО1. Магнитный поток в цепи Ф = 0 , 7  10 Bб
4
а)
б)
Рисунок 2.12 – Свойства некоторых материалов для постоянных
магнитов. а – АНКО1 (сплав железа, алюминия, никеля и кобальта); б
– сплав платины и кобальта; 1 – кривая размагничивания 2 – кривая
удельной энергии (пунктиром показаны линии возврата)
48
Требуется определить b и lм. Напряженность магнитного поля в
якоре (Я) и в полюсных наконечниках (П) считать равной нулю.
Постоянный магнит должен работать в режиме максимальной
магнитной энергии.
Из кривой магнитной энергии 2 (рисунок 2.12,а) видно, что
В Н макс соответствует индукции в теле магнита Вм = 0,42 Тл.
м
м
Рисунок 2.13
Этой индукции по кривой размагничивания 1 соответствует
напряженность Н   3 ,8  10 A / м . Следовательно,
4
м
b 
Sм

a
Ф
аВ

м
0 , 7  10
4
0 , 01  0 , 42
 1, 7  10
2
м  1, 7 см
.
Индукция в воздушном зазоре
Вв 
ВмS
м

Sв
В мbа

0 , 42  1 , 7  1
1 , 7  1 ,1
bc
 0 , 382 Tл
.
Напряженность в воздушном зазоре
Н
в

Вв
0

0 , 382
4   10
7
 30 , 4  10
4
A/м
.
Длина средней линии напряженности магнитного поля в теле
постоянного магнита
49
l м  lв
H
в
 H
 0 ,4
30 , 4
 3 , 2 см
3 ,8
м
.
Пример 2.4 Определить магнитный поток в цепи,
рассмотренной в примере 2.3, в случае уменьшения воздушных
зазоров до lв = 0,2 см.
Так как между магнитной индукцией Вм и напряженностью
существует соотношение (2.11), а между Нв и Нм – соотношение
(2.10), напряженность поля Нм определяется как абсцисса точки n,
получающейся в результате пересечения линии возврата (рисунок
2.12,а), начинающейся на кривой 1 при Вм = 0,42 Тл, и прямой 3,
уравнение которой
Вм  Н
lм
м
lв
0
Sв
S
м
 Н
3,2
м
 4   10
7
1 , 7  1 ,1
0 ,2
1, 7  1
 Н
 2 , 21  10 Тл
5
м
Индукция, соответствующая точке n,
Вм=0,49 Тл
Магнитный поток
Ф  S м В м  1 , 7  10
4
 0 , 49  0 , 83  10
4
Вб
3 Нелинейные цепи при переменном токе
3.1 Некоторые общие свойства нелинейных элементов при
переменном токе
В главе 1 было показано, что нелинейные сопротивления
существенно отличаются от линейных следующими общими
свойствами:
1) при переходе от одного участка вольт-амперной
характеристики к другому статические и дифференциальные
сопротивления не остаются постоянными;
2) статические и дифференциальные сопротивления в общем
случае не равны друг другу (они могут совпадать по величине только
в отдельных точках или на отдельных участках характеристики);
3) нелинейный элемент (НЭ) может иметь несимметричную
характеристику; в этом случае сопротивление НЭ зависит от знака
приложенного напряжения, иначе говоря, НЭ обладает вентильным
50
свойством.
Указанные свойства характерны для НЭ как при постоянном,
так и при переменном токе. Кроме того, в цепях переменного тока
обнаруживается ряд специфических особенностей НЭ, связанных с частотой воздействующих колебаний.
0
t
u
t
u

0

u ( t)
0
i
i
i
i
u ( t)
0


t
t
а)
б)
Рисунок 3.1 – Преобразование спектра частот с помощью НЭ
В достаточно широком диапазоне частот многие нелинейные
элементы (электронные и полупроводниковые диоды и др.) являются
безинерционными: их нелинейная характеристика выражает
зависимость между мгновенными значениями тока и напряжения.
Если к такому НЭ подвести синусоидальное напряжение, то
вследствие
нелинейности
характеристики
ток
будет
несинусоидальным (рисунок 3.1,а). Для удобства построения кривой
тока оси времени функций u(t) и i(t) расположены соответственно по
вертикальной и горизонтальной осям нелинейной характеристики.
В свою очередь, если через НЭ будет проходить
синусоидальный ток, то напряжение на НЭ будет несинусоидальным
(рисунок 3.1,б). Следовательно, НЭ обладает способностью
преобразовывать спектр воздействующих на него колебаний; в токе
появляются гармонические составляющие, которые в приложенном
напряжении отсутствуют, а в другом случае в напряжении появляются
гармонические составляющие, отсутствующие в токе.
Эта важная особенность НЭ наряду с другими их свойствами
лежит в основе многих применений НЭ в современной автоматике и
радиотехнике.
Нелинейность
характеристик
некоторых
нелинейных
сопротивлений обусловлена изменением температуры в результате
нагрева их током. Так как тепловые процессы (нагревание и
51
охлаждение) являются инерционными процессами, то даже при
сравнительно низкой частоте (например, 50 Гц) температура таких НЭ
и соответственно сопротивление их в течение периода практически не
изменяются. Поэтому зависимость i(u) между мгновенными
значениями тока и напряжения сохраняется линейной; зависимость же
I(U) между действующими значениями тока и напряжения будет
нелинейной. Такие НЭ называются инерционными. К их числу
относятся электрические лампы накаливания, бареттеры, полупроводниковые термосопротивления и др.
3.2 Аппроксимация нелинейных характеристик
Расчет
электрических
цепей
переменного
тока
с
безинерционными нелинейными элементами в общем случае
представляет сложную задачу; при этом следует иметь в виду, что
принцип наложения применим только в некоторых частных случаях.
Если пассивные элементы линейной части цепи, к которой
присоединен НЭ, можно в расчете не учитывать, то задача
значительно упрощается и сводится к нахождению тока в НЭ под
воздействием приложенного к нему напряжения. В этом случае ток
определяется по заданной характеристике НЭ.
Нелинейные характеристики НЭ задаются обычно в виде кривых, снятых экспериментально. Замена заданной нелинейной характеристики аналитической функцией, приближенно выражающей
заданную зависимость, называется аналитической аппроксимацией
нелинейной характеристики. Точная аппроксимация характеристик
обычно приводит к сложным математическим выражениям, что
сильно затрудняет анализ. Кроме того, и сами нелинейные
характеристики не являются абсолютно точными и стабильными: они
зависят от различных внешних факторов (температуры и т.д.); характеристики разных образцов одного и того же типа НЭ не идентичны.
Поэтому на практике не стремятся к особо точной аппроксимации
характеристик.
Аппроксимация нелинейной характеристики достаточно
простой аналитической функцией позволяет исследовать процесс в
НЭ аналитически. На практике пользуются различными способами
аппроксимации нелинейной характеристики: степенным полиномом,
ломаной прямой (кусочно-линейная аппроксимация) и т. д.
3.2.1 Аппроксимация степенным полиномом
Если функция i(u) непрерывна и имеет производные i'(u0), i"(u0)
и т.д. при u = u0, то она может быть представлена рядом Тейлора:
52
u  u0
i u   i u 0  
1!
u
i  u 0  
 u0 
2
i   u 0    
2!
 a 0  a 1 u  u 0   a 2 u  u 0   
2
а при u0=0 – рядом Маклорена
i u   a 0  a 1 u  a 2 u
2
 a 3u
3

Такой степенной ряд при большом числе слагаемых достаточно
точно аппроксимирует действительную характеристику. Для
упрощения часто ограничиваются степенью полинома не выше
третьей (см. пример 3.1).
Если к НЭ, характеристика которого аппроксимирована полиномом третьей степени, подвести синусоидальное напряжение и
u  U sin  t , то выражение для тока будет иметь вид
m
i  a 0  a 1U
sin  t  a 2 U
m
2
m
2
sin
 t  a 3U
3
m
sin
3
t
.
Используя известные тождества
sin
2
t 
1

2
sin
3
t 
3
1
cos 2  t
;
2
sin  t 
4
1
sin 3  t
,
4
получим

a 2U
i   a0 

2

2
m
 
   a 1U

 
m

3
4
a 3U
3
m
1

 sin  t  a 2 U
2

2
m
cos 2  t 
1
4
a 3U
3
m
sin 3  t .
Следовательно, ток содержит постоянную составляющую и гармоники частот, кратных частоте приложенного синусоидального напряжения, причем наивысший коэффициент кратности равен степени
аппроксимирующего полинома.
Постоянная составляющая тока
I0  a0 
амплитуда первой гармоники
53
a 2U
2
2
m
I 1 m  a 1U
m
3

4
a 3U
3
m
амплитуда второй гармоники
1
I 2m 
2
2
a 2U
m
a 3U
m
амплитуда третьей гармоники
1
I 3m 
4
3
Приведенные выражения показывают, что постоянная
составляющая и амплитуды четных гармоник тока зависят только от
коэффициентов при четных степенях полинома, а амплитуды
нечетных гармоник – от коэффициентов при нечетных степенях.
Пример 3.1 Аппроксимировать степенным полиномом
характеристику, выраженную законом трех вторых
u 

i  1  
a 

3/2
Пользуясь рядом Маклорена
i   0 
i  u   i  0   i   0 u 
u
2

2!
находим
i  u  
3
2

1 
u 
1  
a 
a 
1/ 2
3
i 0  
2a
i   u  
1 
u 
  2 1  
2 2 a 
a 
1
3
3
i   0  
4a
54
2
.
1 / 2
,
С учетом того, что i(0)=1, имеем
3
i u   1 
3
u 
2a
8a
2
u

2
3.2.2 Аппроксимация показательной функцией
В ряде случаев характеристика НЭ аппроксимируется
показательной
функцией.
Например,
характеристика
полупроводникового диода приближенно выражается зависимостью

i  a e
где
a
1
bu
,
и b – постоянные.
Показательная функция может быть разложена в ряд
e
bu
1
bu

 bu 
1!
2

 bu 
2!
3

3!
Следовательно, как и в рассмотренном выше случае, ток
получается в виде степенного ряда
 bu

 bu 
 bu 
i  a


  .
 1!

2!
3!


2
Если положить

i  a  bU


u U
m
sin  t
2
m
sin  t 
b U
3
, то
2
m
3
2
sin
t 
2!
b U
3!
3
m
sin
3

 t    .

С учетом известных тригонометрических тождеств выражение
для тока преобразуется к виду
i  A 0  A1 sin  t  A 2 sin 2  t  A 3 sin 3  t   .
3.2.3 Аппроксимация графоаналитическим методом трех
(или пяти) ординат
Допустим, что характеристика i(u) НЭ имеет вид, показанный на
рисунок 3.2. Приложенное к НЭ напряжение косинусоидально
u  U
m
cos  t
55
Рисунок 3.2 – Метод трех ординат
Ограничиваясь тремя слагаемыми ряда Фурье в выражении для
тока, имеем
i  I 0  I 1 m cos  t  I 2 m cos 2  t .
Неизвестные I0, I1m и I2m находятся по трем ординатам
характеристики, соответствующим фазам приложенного напряжения
 t  0,  / 2 è 
i U
m

I 0  I 1m  I 2 m ;
i 0   I 0  I 2 m ;
i  U
m

I 0  I 1m  I 2 m .
Решение этих уравнений дает
I0 
1
4
i U m   i   U m  
I 1m 
I 2m 
1
4
1
2
1
i  0 ;
2
i U m   i   U m ;
i U m   i   U m  
1
i  0 .
2
Если точность аппроксимации по методу трех ординат
недостаточна и требуется определить амплитуды гармоник более
высокого порядка, то составляется большее число уравнений.
Например, если ограничиться четырьмя слагаемыми ряда Фурье, то
56
положив
 t  0,
  2
, ,
è ,
3 2 3
получим систему из пяти уравнений с
пятью неизвестными (см. задачу 3.2).
3.2.4 Кусочно-линейная аппроксимация
Метод кусочно-линейной аппроксимации заключается в замене
заданной нелинейной характеристики ломаной прямой с одной или
несколькими
точками
излома.
Такая
замена
нелинейной
характеристики позволяет вести расчет аналитически с помощью
линейных уравнений. Для прямолинейных участков записываются
линейные уравнения, решения которых «припасовываются»:
электрические величины для конца участка приравниваются
соответствующим величинам для начала следующего участка.
Применение кусочно-линейной аппроксимации иллюстрировано
ниже на примерах исследования цепей с вентилями и сглаживающими
фильтрами (§ 3.3 и 3.4), цепи с катушкой, имеющей сердечник с прямоугольной петлей гистерезиса (§ 4.1). Кусочно-линейная
аппроксимация используется для расчета как установившихся, так и
переходных процессов.
Наиболее просто решается задача в частном случае, когда
нелинейность характеристики мала или когда участок характеристики,
в пределах которого работает НЭ известен и может быть
аппроксимирован прямой без излома. В этом случае НЭ заменяется
источником постоянной ЭДС и линейным сопротивлением, равным
дифференциальному сопротивлению НЭ; цепь рассчитывается как
линейная (см. пример 3.2).
Пример 3.2. Цепь, состоящая из последовательно соединенных
r, L и нелинейного сопротивления, питается источником ЭДС
e  E  E sin  t (рисунок 3.3,а), причем известно, что НЭ работает в
пределах прямолинейного участка характеристики, показанного на
рисунке 3.3,б.
0
m
i

u
0
E
а)
б)
Рисунок 3.3 – Пример 3.2
57
в)
Найти ток в функции от времени и его действующее значение.
Нелинейное сопротивление заменяется источником постоянной ЭДС
Е (направленной навстречу тока) и линейным дифференциальным
сопротивлением r  m tg  . На основании схемы замещения рисунка
3.3,в
ä
i 
r
E0  E
r  rд

Em
r
 rд    L 
2
sin  t   ,
2
где
  arctg
I 
 E0  E


 r  rд
2
L
r  rд
;

Em
 
.
2
2

2  r  rд   2  L 

2
0
u
Рисунок 3.4 – Вентиль (а) и характеристика идеального вентиля (б)
В общем случае, при замене нелинейной характеристики
ломаной прямой схема замещения нелинейного сопротивления наряду
с источниками и линейными сопротивлениями включает в себя
идеальные вентили (один или несколько). Идеальный вентиль имеет
сопротивление, равное нулю при положительных значениях u и i, и
бесконечно большое при отрицательных u и i. Его вольт-амперная
характеристика имеет излом в точке u = 0, i = 0 (рисунок 3.4, б).
В таблице 3.1 показаны схемы замещения, соответствующие
различным типам ломаных характеристик. Рекомендуется читателям
самостоятельно
графическим
построением
характеристик
последовательно или параллельно соединенных элементов убедиться
в том, что характеристики и схемы, приведенные в таблице 3.1, друг
другу соответствуют. При этом следует обратить внимание на то, что
перемена полярности идеального вентиля равносильна изменению
58
i
r
i
r
1
u
0
u
i
положительных направлений тока и напряжения. Поэтому
соответствие схем характеристикам обеспечивается как надлежащим
подбором элементов, так и соответствующей полярностью включения
идеальных вентилей и источников.
E
2
0
i
u
E
u
i
r
E
i
r
Таблица 3.1
Кусочно-линейные характеристики и схемы замещения
3
0
u
E
u
i
r
r
i
r
1
i
4
0
u
E
r
u
0
u
u
i
r 1. r 2
r 1+ r 2
i
r1
r
E
2
0
i
i
5
0
E
u
E
r2
u
E
u
u
i
i
r
r
E
0
1
r
2
i
6
i
r
3
r
1
r
0
u
2
u
E
u
u
i
i
E
r
r
-E
7
4
r
I
i
r
0
0
2
1
1
E
E
u
E
u
r
9
i
i
0
I
u
E
2
r
i
u
i
u
u
i
r 1. r 2
r 1+ r 2
E
r
-E
0
r
i
r
0
8
5
r
r1
E
u
E
E
u
10
i
r
r2
0
i
I
u
2
-I
u
u
u
i
Методом кусочно-линейной аппроксимации вольт-амперных
характеристик нелинейных сопротивлений, содержащихся в заданной
электрической
цепи,
можно
получить
результирующую
эквивалентную схему замещения всей цепи. В зависимости от
постановки задачи может потребоваться построение вольт-амперной
характеристики этой цепи или передаточной характеристики
(например, зависимости выходного напряжения от входного).
Графическое построение вольт-амперных характеристик при
последовательном, параллельном и смешанном соединениях,
описанное в главе 1, применимо, и для схемы с одним источником
переменной ЭДС или переменного тока.
Возможен и другой способ построения результирующей
r
r
1
r
2
1
i
6
r
0
2
u
u
59
характеристики, основанный на том факте, что вольт-амперная (или
передаточная) характеристика цепи, имеющей кусочно-линейные
элементы, должна быть кусочно-линейной. Координаты точек излома
результирующей характеристики находятся из условия, что в изломе
каждого идеального вентиля, входящего в эквивалентную схему
замещения, напряжение и ток равны нулю.
i

E
r
2
0
E rr
u
1
а)
2
б)
а – схема; б – характеристика
Рисунок 3.5 – Построение кусочно-линейной вольт-амперной
характеристики цепи
Построим в качестве примера вольт-амперную характеристику
i(u) для схемы рисунка 3.5,а.
В изломе вентиля 1 u1 = 0, i = 0. При этом ввиду отсутствия тока
в сопротивлении r1 ветвь с r1 можно мысленно разомкнуть.
Идеальный вентиль 2 при этом открыт:
i2 
E
r2
. В силу того, что
напряжения на вентилях 1 и 2 и на сопротивлении r1 в этом случае
равны нулю, входное напряжение получается также равным нулю:
u=0. Следовательно, первый излом вольт-амперной характеристики
находится в точке u = 0, i = 0.
В изломе вентиля 2 u2 = 0 и i2 = 0. Сопротивление r2 проходит
ток
E
. Поскольку ток i2 = 0, должно соблюдаться условие
r2
причем
u  r1 i  E
вентиль 1 должен быть открыт, то есть
r1
.
Следовательно,
второй
излом
i2 
E
,
r2
u1= 0. Тогда
вольт-амперной
r2
характеристики имеет координаты
u  E
r1
r2
и
i 
E
.
r2
Между двумя
найденными
изломами
характеристика
прямолинейна (рисунок 3.5,б). Слева от первой точки излома вентиль
60
1 закрыт и i = 0; характеристика совпадает с отрицательной полуосью
напряжений. Правее второй точки излома вентиль 1 открыт, а вентиль
2 закрыт; поэтому характеристика продолжается под углом
  arctg
r1  r 2
m
.
r
3.3 Выпрямление переменного тока
Нелинейные сопротивления с несимметричной вольт-амперной
характеристикой широко применяются для преобразования
переменного тока в постоянный. Такие НЭ, обладающие
односторонней проводимостью, называются выпрямителями или
электрическими вентилями.
Ниже рассмотрено однополупериодное и двухполупериодное
выпрямление однофазного тока при помощи электронных или
полупроводниковых диодов. В конце параграфа рассмотрено
выпрямление трехфазного тока.
3.3.1 Однополупериодное выпрямление
На рисунке 3.6,а и б показаны простейшие схемы с одним
электронным или полупроводниковым диодом, включенным
последовательно с нагрузкой (сопротивление r).
Если обратный ток диода равен нулю, ток проходит через
сопротивление только в течение положительных полупериодов
переменного напряжения, подведенного к цепи с выпрямителем; в
этом случае выпрямленный ток получается прерывистым.
Графический способ нахождения выпрямленного тока показан
на рисунке 3.6,б. Здесь i(uд) – характеристика диода; i(uн) –
характеристика линейного сопротивления; i(u) – характеристика цепи.
Сопротивление
диода,
определяемое
крутизной
характеристики, не является постоянной величиной. Однако для
упрощения расчета характеристика часто заменяется прямой,
проходящей через начало координат и точку, соответствующую
максимальному току диода. При таком допущении сопротивление
диода Ri постоянно и характеристика цепи линейна. Результат расчета
получается достаточно точным, так как фактическая характеристика
цепи, показанная на рисунке 3.6,б, близка к прямой (когда r>> Ri).
61
а)
б)
в)
а – электронный диод; б – полупроводниковый диод; в –
выпрямленный ток
Рисунок 3.6 – Однополупериодное выпрямление
В ряде случаев сопротивление диода прямому току принимается
равным нулю; при этом диод рассматривается как идеальный с
характеристикой, изображенной на рисунке 3.4. Очевидно, диод с
постоянным сопротивлением Ri можно рассматривать как
последовательное соединение идеального диода и линейного
сопротивления Ri (первая строка таблицы 3.1).
Характеристика
идеального
газоразрядного
прибора
представляется ломаной прямой, приведенной во второй строке
таблицы 3.1. Там же показана схема замещения, состоящая из
источника ЭДС и идеального диода; ЭДС, равная напряжению, на
величину которого прямолинейная характеристика газоразрядного
62
прибора смещена вправо от оси ординат, направлена в схеме
замещения противоположно току.
i
Im
I = Im
I с р = Im
0




Рисунок 3.7 – Ток при однополупериодном выпрямлении
Если к цепи, состоящей из выпрямителя и нагрузки r,
соединенных
последовательно,
приложено
синусоидальное
напряжение
u U
m
sin  t
,
то при сделанном допущении, что Ri =const, ток представляет
периодическую несинусоидальную функцию в виде положительных
полуволн синусоиды (рисунок 3.7)
i  I m sin  t при
0   t  2
и
   t  2 ,
i  0 при
где
Im 
U
m
Ri  r
;
здесь угол  t   , после которого ток до конца цикла равен нулю,
называется углом отсечки.
Постоянная составляющая (среднее значение) тока
I ср 
1
2

I
m
sin  td  t 
0
63
Im

.
Действующее значение тока

1
I 
I
2
2
m
2
sin
 td  t 
0
Im

.
Таким образом, если последовательно с нагрузкой включить
амперметр, то показание прибора в зависимости от его системы будет
равно
Im

(магнитоэлектрическая система) или
Im
(электромагнитная
2
система).
Тот же результат получится, если к линейному сопротивлению
Ri+r подвести периодическое несинусоидальное напряжение,
имеющее вид положительных полуволн синусоиды
u  u

U
2
m


U
m
sin  t 
2
2


U
cos n  t
  n  1  n  1  ,
m
n 1
где n – четные числа.
Первое слагаемое ряда – постоянная составляющая тока,
остальные слагаемые представляют гармоники, тока
i 
Im


Im
2
sin  t 
3
2
I m cos 2  t  
Первая гармоника тока имеет частоту источника питания; ее
амплитуда равна действующему значению суммарного тока.
Амплитуды остальных гармоник быстро убывают.
Активная мощность, подводимая к выпрямителю и нагрузке,
равна
P   R i  r I
2

Ri  r
4
2
Im
Так как напряжение, подведенное к выпрямителю с нагрузкой,
синусоидально, а ток в цепи несинусоидален, то активная мощность
на зажимах цепи не равна полной мощности
S 
U
m
2
I 
Ri
 r I m I m
2
64
2

Ri  r
2
2
2
Im
.
То обстоятельство, что коэффициент мощности
P
S

2
 0 , 707
2
меньше единицы, объясняется не наличием реактивной мощности, а
мощностью искажения. Реактивная мощность на зажимах цепи равна
нулю, так как основная гармоника тока совпадает по фазе с
синусоидальным напряжением, подводимым к цепи.
Мощность искажения, обусловленная различием форм кривых
тока и напряжения, равна:
T 
S
2
 Q
2
 P

2
Ri  r
2
Im.
4
Выпрямление требуется для получения на зажимах нагрузки
постоянного напряжения и постоянного тока. Поэтому полезная
мощность, отдаваемая нагрузке, условно определяется мощностью
постоянных составляющих
Pн  rI
2
ep

r

2
2
Im.
Эффективность, с которой переменный ток преобразуется в
постоянный, можно оценить коэффициентом
 
Pн
P
100 % 
4r

2
Ri
 r
100 % 
1
1
Ri
40 , 6 %,
r
С уменьшением Ri/r сокращается доля потери мощности в
сопротивлении диода и при Ri/r  0 коэффициент  стремится к
предельному
значению
40,6%.
Дальнейшее
повышение
эффективности выпрямления достигается с помощью сглаживающих
фильтров (см. § 3.5), увеличивающих постоянную составляющую тока
в нагрузке и уменьшающих гармоники в нагрузке.
Максимальное напряжение на диоде в интервале, когда диод
закрыт, называется максимальным обратным напряжением. При
отсутствии сглаживающего фильтра максимальное значение
обратного напряжения на диоде равно амплитудному. Диод должен
иметь достаточную электрическую прочность, чтобы выдерживать это
напряжение.
То обстоятельство, что при однополупериодном выпрямлении
используется только один полупериод, когда диод открыт, приводит к
65
сильной «пульсации» тока. Этот недостаток в значительной мере
устраняется двухполупериодным выпрямлением.
Пример 3.3 Линейные сопротивления r = 500 Oм и rн = 1000 Ом
соединены последовательно с идеальным диодом и источником ЭДС
е= 475 sin 314 t.
Определить: 1) постоянную составляющую напряжения на
сопротивлении нагрузки; 2) максимальное обратное напряжение на
диоде; 3) максимальное мгновенное значение тока; 4) мощность
нагрузки.
1. В положительном полупериоде ЭДС e(t):
rн
uн 
e t  
r  rн
1000
475 sin 314 t  316 sin 
0
    .
1500
Постоянная составляющая
U
2. U
макс . обр
3.
i макс 
4.
Р 
1
2
н . ср

2
1
2

u нd 
0
 е макс  475 В
е макс
r  rн

475

1
2
 316
sin  d  
316

0
 100 B .
.
 0 , 316 А .
1500
2

pd  ,
0
где
p 
e
2
rн
P 
316

2
sin
2
  100 sin
2
;
1000
100
2

 sin
2
 d   25
Вт .
0
Пример 3.4 Аккумуляторная батарея, имеющая ЭДС Е = 7 В,
заряжается через идеальный диод от источника синусоидальной ЭДС
e  10 sin 314 t (рисунок 3.3). Сопротивление цепи rl + r2= 1 Ом.
66
а)
i
e
E
i


0

б)
Рисунок 3.3 – Пример 3.4
Определить: 1) количество электричества, поступившего в
аккумуляторную батарею за 1 ч; 2) максимальное значение тока; 3)
максимальное значение обратного напряжения на диоде.
1) Q=3600 Iср
I ср 
Так как

I ср 
2
1
2
а2

E m sin   E
r1  r 2
а1
   1,
1
2

1
2
 E m cos   E 
a2
a1
.
то
E m cos    1   E    1   E m cos  1  E  1  
1

При
d 
  1 e  E
m
2
2 E m
sin  1  E
 1  arcsin
I ср 
cos  1  2 E  1   E  .
1
2
20
E
arcsin
0 , 7  0 , 775 ðàä
;
Em
cos  1  14  1  7    0 , 478 A
67
;
Q  3 600  0 ,478  1720
2)
i макс 
3) U
Em  E
r1  r2
макс . обр

10  7
 3 A
1
 E m  E  17 B
K
.
.
.
3.3.2 Двухполупериодное выпрямление
Для того чтобы в нагрузку поступал ток в течение обоих
полупериодов входного синусоидального напряжения, применяется
схема с двумя (рисунок 3.9,а) или четырьмя (рисунок 3.9,б) диодами.
В схеме с двумя диодами в одном полупериоде открыт один
диод, а в другом – второй. Диоды включены так, что ток в нагрузке в
течение обоих полупериодов имеет одинаковый знак (рисунок 3.9,в).
Среднее и действующее значения тока в этом случае те же, что и при
синусоидальном токе
I ср 
I 
2
I m  0 , 637 I m

Im
2
здесь
Im 
U
m
Ri  r
.
 0 , 707 I m
Следовательно,
;
;
при
двухполупериодном
выпрямлении постоянная составляющая вдвое больше, чем при
однополупериодном.
а)
б)
68
i
I
I = 0 ,7 0 7 I
I = 0 ,6 3 7 I
cp
m
m
m


0

в)
а – схема с двумя диодами; б – мостовая схема с четырьмя
диодами; в – выпрямленный ток
Рисунок 3.9 – Двухполупериодное выпрямление
Ток в нагрузке равен сумме постоянной составляющей и
гармоник. Он равен току, который получился бы, если к линейному
сопротивлению Ri+r подвести периодическое несинусоидальное
напряжение, имеющее вид «выпрямленной» синусоиды:
u 
2U
m


4U

m

cos n  t
  n  1  n  1  .
n2
В отличие от предыдущего случая в токе отсутствует гармоника
основной частоты
i 
2Im


4Im

cos 2  t 
4Im
15 
cos 4  t  
Полезная
мощность,
отдаваемая
двухполупериодном выпрямлении,
нагрузке
при
2
Р н  rI
2
cp
 2  2
 r  Im
 
.
Активная мощность, подводимая к выпрямителям и нагрузке,
P   R i  r I
2
 Ri  r 
2
Im
.
2
Эффективность, с которой переменный ток преобразуется в
постоянный, характеризуется коэффициентом
69
 
8r

2
Ri
 r
100 % 
1
1
Ri
81 , 2 %
r
При
R i / r  0   81 , 2 %
.
Более высокий коэффициент  может быть достигнут
применением сглаживающего фильтра (§ 3.5), увеличивающего
постоянную составляющую тока в нагрузке и препятствующего
прохождению гармоник тока через нагрузку.
Максимальное значение обратного напряжения равно
удвоенному амплитудному.
На
рисунке
3.9,б
изображена
мостовая
схема
двухполупериодного выпрямления. Ввиду того, что ток в каждом
полупериоде проходит через два последовательно соединенных диода,
в предыдущих выражениях для Im и  сопротивление Ri должно быть
удвоено.
Обратное напряжение, прикладываемое к каждому из диодов, в
2 раза меньше, чем в схеме рисунка 3.9,а.
3.3.3 Трехфазное выпрямление
В рассмотренных выше однофазных схемах выпрямления
наблюдалась резко выраженная пульсация тока. С увеличением числа
фаз в схеме выпрямления форма кривой тока получается более
сглаженной.
На рисунке 3.10 приведены схемы трехфазного выпрямления с
тремя и шестью диодами. В схеме с тремя диодами (рисунок 3.10,а),
предложенной В. Ф. Миткевичем в 1904 г., нагрузка включена между
узлом, образованным диодами, и нейтральной точкой трехфазного
источника питания. На рисунке 3.10,б показаны положительные
полуволны фазных напряжений uА, uB, uC. Рассматривая идеальные
диоды, легко убедиться в том, что диоды будут работать поочередно:
когда положительное ив превысит uА, диод в фазе А окажется
запертым и работать начнет диод в фазе В. Затем, когда
положительное значение uC превысит uВ, диод в фазе В запрется,
откроется диод в фазе С и т. д.
Кривая тока в сопротивлении подобна кривой, показанной на
рисунке 3.10,б жирной линией, огибающей положительные
полуволны фазных напряжений.
На рисунке 3.10,в показана мостовая схема, предложенная А. Н.
70
Ларионовым. Она обеспечивает еще большее сглаживание
выпрямленного тока (рисунок 3.10,г) и исключает необходимость
нейтрального провода.
UA
U
UA
UB
UB
UC
UA
UC
r
i
t
а)
б)
A
B
C
i
r
в)
б)
а, б – схема с тремя диодами и выпрямленное напряжение; в, г –
схема с шестью диодами и выпрямленное напряжение
Рисунок 3.10 – Трехфазное выпрямление
3.4 Сглаживание пульсации фильтрами
При выпрямлении переменного тока по любой из разобранных
выше схем получается пульсирующий ток в нагрузке. Пульсация
обусловливается наличием гармоник. Для оценки степени пульсации
применяется понятие коэффициент пульсации; этот коэффициент
определяется как отношение действующего значения всех гармоник
тока в нагрузке к постоянной составляющей тока.
При этом под действующим значением всех гармоник тока в
нагрузке подразумевается корень квадратный из суммы квадратов
действующих значений всех гармоник
71


I~ 
2
Ik
k 1
Так как действующее значение несинусоидального тока в
нагрузке
I 
I cp  I ~
2
2
То
I~ 
I
2
 I cp
2
откуда коэффициент пульсации равен
I~
I cp

 I 


 I 
 cp 
2
1 
kф  1
2
здесь kф – коэффициент формы кривой тока в нагрузке.
При однополупериодном выпрямлении коэффициент пульсации
равен 1,21, при двухполупериодном – 0,432.
Для уменьшения пульсации используются сглаживающие
фильтры: емкостный, индуктивный, индуктивно-емкостный.
3.4.1 Емкостный фильтр
При однополупериодном выпрямлении, которое применяется в
тех случаях, когда выпрямленный ток относительно мал, емкостный
фильтр может обеспечить приемлемое сглаживание формы тока.
Сглаживающее действие емкостного фильтра (рисунок 3.11,а)
основано на том, что через емкость замыкаются гармоники тока, а
через сопротивление проходит в основном постоянная составляющая.
Процесс сглаживания выпрямленного тока с помощью
емкостного фильтра удобно анализировать, исходя из того, что
емкость – накопитель электрической энергии. Ради упрощения
допустим, что диод идеальный. Когда напряжение на входе
выпрямителя достигает напряжения на емкости, диод открывается и
емкость начинает заряжаться.
72
а)
б)
а – схема; б – напряжение на нагрузке и ток в диоде
Рисунок 3.11 – Сглаживание емкостным фильтром при
однополупериодном выпрямлении
После того, как напряжение на емкости достигнет амплитудного
значения входного напряжения, диод запрется и емкость будет
разряжаться на сопротивление; напряжение на емкости будет
постепенно спадать. Когда положительное значение входного
напряжения достигнет напряжения на емкости, емкость снова начнет
заряжаться и т. д.
Через диод проходят короткие импульсы тока в интервале от 
до  и т. д. (рисунок 3.11,б).
При     
1
2
1
2
sin 
;
sin  
U
uC  U
i  C
du
C

uC
dt
  CU
r
m
cos  
U
m
m
r
m
1   rC

2
sin   
,
(3.1)
r
где
  arctg
При
  
2
i  0
 rC  
  arctg
   rC  .
. Следовательно,
  СU
m
cos 
2
Откуда
73

U
r
m
sin 
2
,
(3.2)

2
 arctg
   rC  .
(3.3)
Угол  заходит во вторую четверть; угол  расположен в
первой четверти.
На основании (3.1) – (3.3) выражение импульса тока,
проходящего через диод, может быть представлено так
2
1
 
U
m
1   rC

2
sin 
r
при
1    
2
2


.
При     2    диод заперт и напряжение на емкости,
разряжаемой через сопротивление, изменяется экспоненциально
2
1
u C  Ae
 

  2
.
 rC
Постоянная А определяется из того условия, что при
 u  U sin  . Поэтому
2
C
m
2
uC  U
m
sin  2 e

  2
 rC
.
(3.4)
При больших значениях (т. е. при большой емкости или
большом сопротивлении) напряжение uC спадает медленно –
пульсация тока в нагрузке мала. Однако при этом получаются
большие импульсы тока в диоде. Именно поэтому емкостный фильтр,
как правило, используется только в выпрямителях с малыми токами
нагрузки, в которых импульсы тока в диоде не достигают опасных
величин.
При r   напряжение на емкости стремится к Um, т. е. в
предельном случае при отсутствии нагрузки ( r   ) напряжение на
емкости в течение всего периода равно Um.
На этом основан принцип устройства приборов, измеряющих
амплитуды тока или напряжения.
Подстановка в выражение (3.4) значения     2  приводит к
трансцендентному уравнению
1
sin  1  sin  2 e
74

 1  2  
 rC
2
,
(3.5)
выражающему зависимость между
1
и

2
а)
б)
в)
а – схема; б, в – напряжение на нагрузке
Рисунок 3.12 – Сглаживание емкостным фильтром при
двухполупериодном выпрямлений
На основании (3.3) и графического решения уравнения (3.5)
можно определить  и  в функции от r. С увеличением r угол 
возрастает, а угол  убывает, стремясь в пределе к  / 2 .
Постоянная составляющая напряжения на нагрузке
1
2
1
2
U
cp

1
2
2
 rid 
1

U
m
2
1   rC
 1 
2
cos 
2
  1  .
3.5 Нелинейная емкость в цепи переменного тока
Если диэлектрическая проницаемость изолирующего вещества
конденсатора зависит от напряженности электрического поля, то и
емкость конденсатора зависит от напряжения на нем. Зависимость
заряда q такого конденсатора от напряжения и нелинейная.
75
Зависимость диэлектрической проницаемости от напряженности
электрического поля впервые была обнаружена у сегнетовой соли
(NaKC4H4O6.4H2O), в связи с чем диэлектрики, обладающие этим
свойством, называют сегнетоэлектриками. Электрические свойства
сегнетоэлектриков, по дробно исследованные И. В. Курчатовым и др.,
в
значительной
степени
подобны
магнитным
свойствам
ферромагнитных
веществ.
Характер
зависимости
q(u)
сегнетоконденсатора аналогичен зависимости  i  для катушки с
ферромагнитным сердечником.
При периодическом изменении напряжения на конденсаторе
характеристика q(u) имеет вид петли гистерезиса, причем площадь,
ограниченная петлей, определяет потерю электрической энергии в
диэлектрике за один цикл.
Если зависимость заряда от напряжения имеет гистерезисный
характер, схема замещения конденсатора не может быть представлена
в виде чистой емкости, так как часть электрической энергии,
поступающей в него, расходуется на нагрев. В этом случае схема
замещения представляется в виде емкости и сопротивления,
соединенных параллельно. Ей соответствует дифференциальное
уравнение
i 
dq

dt
1
u
.
r
С другой стороны для схемы замещения катушки с
ферромагнитным сердечником дифференциальное уравнение имеет
вид
u 
d
 ri
dt
где
– потокосцепление;
u – напряжение на катушке;
i – ток в ней.
Приведенные уравнения показывают, что цепь с нелинейной
емкостью может быть дуальна цепи с нелинейной индуктивностью.
Это
может послужить основанием для
построения
сегнетоэлектрической аппаратуры, аналогичной ферромагнитной.
В том случае, когда диэлектрические потери в емкости малы и
ими можно пренебречь, кривая q(u) имеет вид, указанный на рисункe
3.20,а.

76
Остановимся несколько подробнее на дуальности нелинейных
накопителей энергии. Если две электрические цепи дуальны, то
соблюдается пропорция между напряжениями и токами дуальных
элементов. Следовательно, дуальные нелинейные накопители энергии удовлетворяют условию
uL
uC

iC
Отсюда
d  i 
dt
:
dq  u 
 k
 i 
, то есть
q u 
dt
С учетом того, что
C u 

 k
.
.
и q(u)=C(u)u,
  i   L  i i
L i 
 k
iL
 i  u
q u  i
 k
2
.
Полученные выражения показывают, что можно так выбрать
масштабные коэффициенты, чтобы характеристики потокосцепления
и заряда (и соответственно индуктивности и емкости) графически совпадали. В этом случае отношения масштабных коэффициентов удовлетворяют условиям
m
mu

mq
 k и
mi
mL
 k
2
mC
Рассмотрим для примера нелинейные индуктивность и емкость
с экспоненциальными характеристиками
L  Ae
i
и C  Be
 bu
Эти нелинейные элементы дуальны, если
A e
B e
i
 bu
 k
2
или
 
B

e b 
k
u 
k 
A

2
Взяв натуральный логарифм от обеих частей равенства,
получим условие
a

b 
k


 B
k
 u  ln 

 A
2



77
, которое выполняется при любом
значении u, если
b
a
k
 0 и
B
k
2
1.
A
Итак, коэффициенты a , b, А и В экспоненциальных
характеристик дуальных накопителей энергии должны отвечать
условию
a 
  
B
b 
A
2
 k
2
.
а)
б)
а – синусоидальное напряжение; б – синусоидальный ток
Рисунок 3.20 – Конденсатор с сегнетоэлектриком
Если к нелинейной емкости подвести синусоидальное
напряжение, то кривая тока будет иметь несинусоидальную,
заостренную форму. Ток будет содержать нечетные гармоники,
причем наиболее резко будет выделяться третья гармоника.
Графическое построение кривой тока при синусоидальном
напряжении показано на рисунок 3.20,а.
Сначала по заданной характеристике u(q) строится кривая q(t), а
затем
с
учетом
того,
что
i 
dq
,
путем
графического
dt
дифференцирования кривой q(t) строится кривая i(t).
Если же через нелинейную емкость проходит синусоидальный
ток, го напряжение на ней имеет резко выраженную третью
гармонику. Построение кривой напряжения на емкости при
78
прохождении через нее синусоидального тока показано на рисунок
3.20,б.
а)
б)
а – схема; б – выходное напряжение
Рисунок 3.21 – Утроитель частоты
С помощью нелинейных емкостей можно осуществить
электрическую цепь, которая будет выполнять роль утроителя
частоты. Мостовая схема такой цепи приведена на рисунке 3.21,а. В
ней две емкости С1 имеют одинаковые линейные характеристики
q=C1u', а две другие имеют одинаковую нелинейную характеристику
q(u"). Непосредственно из рассмотрения схемы вытекают следующие
равенства
u 1  u   u  и u 2  u   u 
,
где u1 – мгновенное значение синусоидального напряжения источника
в одной диагонали моста;
u2 – мгновенное значение напряжения в другой диагонали моста;
u' и u" – мгновенные значения напряжения соответственно на
линейных и нелинейных емкостях.
Так как заряды емкостей и любой момент времени равны (во
второй диагонали ток отсутствует), то по известным характеристикам
u'(q) и u"(q) линейных и нелинейных емкостей нетрудно построить и
кривые u  q   u   q   u   q  и u  q   u   q   u   q  . По этим кривым,
1
2
79
зная напряжение источника как функцию времени u1(t), можно
построить и кривую u2(t).
Такое построение показано на рисунке 3.21,б. Из него видно,
что напряжение u  t  имеет частоту в 3 раза большую, чем
напряжение источника u1(t).
2
4. Цепи переменного тока с ферромагнитными элементами
4.1 Некоторые особенности цепи переменного тока с
ферромагнитными элементами
Основной частью всякой цепи переменного тока с
ферромагнитным элементом является обмотка, насаженная на
ферромагнитный сердечник. Наиболее простой пример такой цепи –
это катушка со стальным сердечником. Развитие современной техники
обусловило появление большого числа весьма сложных устройств, в
некоторых случаях с сердечниками специальной формы или с
включением в цепь обмотки емкостей. В качестве материала для
сердечников наряду со сталью применяются и другие специальные
ферромагнитные материалы с различными зависимостями B = f(H),
где В – магнитная индукция; Н – напряженность магнитного поля. В
технической литературе нелинейные электромагнитные цепи
называют цепями со сталью.
Существенное отличие нелинейных электромагнитных цепей,
рассматриваемых в данной главе, от нелинейных электрических цепей
переменного тока, рассмотренных в предыдущей главе, заключается в
том, что токи в обмотках и магнитные потоки в сердечниках
взаимосвязаны. С одной стороны магнитный поток зависит от токов в
обмотках и поэтому при исследовании приходится в значительной
мере пользоваться методами, разработанными для магнитных цепей
при постоянном магнитном потоке (см. гл. 2). С другой стороны токи
в обмотках зависят от характера изменения магнитного потока. Такая
взаимосвязь весьма усложняет исследования. Поэтому при расчетах
вводят ряд допущений, упрощающих рассмотрение явлений, и
определяют основные величины, характеризующие данную цепь,
пренебрегая теми величинами, которые не оказывают существенного
влияния на процесс в рассматриваемом режиме. Например, в
некоторых случаях предполагают связь между В и Н линейной, но
учитывают потери в стали; в других случаях пренебрегают потерями в
стали, но предполагают связь между В и Н нелинейной. Такие
упрощения неизбежно вносят погрешности в расчет, но на практике с
80
этим приходится мириться, довольствуясь в ряде случаев
приближенными результатами.
При расчетах цепей со сталью в большинстве случаев нельзя
принимать индуктивность L и взаимную индуктивность М
постоянными и поэтому приходится пользоваться непосредственно
зависимостями между ЭДС и магнитным потоком или
потокосцеплением ψ.
Для
косинусоидального
магнитного
потока
Ф  Ф cos  t  Ф sin(  t  90 )
эта связь имеет вид (при отсутствии
рассеяния)
0
m
m
e  w
dФ
dt
  w Ф m sin  t  E m sin  t
,
откуда действующее значение ЭДС
E 
Em
2

2
2
fw Ф m  4 , 44 fw Ф m
.
Следует обратить внимание на то, что ЭДС е отстает по фазе от
потока Ф на  /2.
В цепях со сталью возникают несинусоидальные напряжения и
токи (см. § 4.3). В ряде случаев такие напряжения и токи удобно
заменять эквивалентными синусоидами. Амплитуда эквивалентной
синусоиды равна действующему значению соответствующей
несинусоидальной величины, умноженному на 2 , а сдвиг фаз между
эквивалентными синусоидами напряжения и тока определяется по
формуле
  arccos
P
,
UI
где U – действующее значение напряжения u;
I – действующее значение тока i;
Р– активная мощность несинусоидального тока.
В ряде расчетов за эквивалентную синусоиду принимается
первая гармоника несинусоидальной величины.
Если одна из величин (u или i) синусоидальна в ряде расчетов за
эквивалентную
синусоиду
принимается
первая
гармоника
несинусоидальной
величины,
то
эквивалентная
синусоида,
полученная для второй величины, ориентируется по фазе
81
относительно первой. В случае, если несинусоидальны как u, так и i,
за начальную фазу эквивалентной синусоиды напряжения может быть
выбрана начальная фаза основной гармоники напряжения u.
Представление
несинусоидальных
величин
в
виде
эквивалентных синусоид позволяет производить анализ их с помощью
векторных диаграмм и комплексного метода расчета.
4.2 Основные свойства ферромагнитных материалов при
переменных магнитных полях
При изменении магнитного поля в ферромагнитном материале
часть энергии магнитного поля преобразуется в тепло. Мощность,
соответствующая этой части энергии, называется потерями в стали и
обозначается Рст; в расчетах обычно пользуются удельными потерями
в стали Ро, измеряемыми в ваттах на килограмм.
Потери в стали состоят из потерь от гистерезиса (потерь от
перемагничивания) и динамических потерь. Удельные потери от
гистерезиса, обозначаемые рг, вызываются необратимыми процессами
в стали при перемене ориентации областей самопроизвольного
намагничивания [6] и пропорциональны частоте. Для вычисления
удельных потерь от гистерезиса применяется приближенная формула

pг  
где
г1
Bm  
2
г2
 ,
Bm f
(4.1)
– коэффициенты, зависящие от сорта материала;
f – частота;
Вm – амплитуда магнитной индукции.
Динамические потери вызываются вихревыми токами,
индуктированными в массе магнитного материала, и отчасти
магнитной вязкостью [6], которая особенно заметно проявляется на
крутых участках петли гистерезиса (вблизи Н = НС) при малых
изменениях поля. В большом числе практических случаев
динамические потери можно отождествлять с потерями от вихревых
токов (Нс – коэрцитивная сила при В = 0).
Точное исследование вихревых токов и потерь, связанных с
ними, проводится методами теории электромагнитного поля. Ниже
приводится приближенный вывод формулы потерь от вихревых токов.
В итоге вывода показано, что одним из способов уменьшения потерь
от вихревых токов является разделение магнитопровода на листы,
располагаемые вдоль линий магнитной индукции. На рисунке 4.1
показана в упрощенном виде часть такого магнитопровода с
навитыми витками обмотки, обтекаемой током i. Вихревые токи

г1
и 
г2
82
вызываются вихревыми ЭДС
eB  
dФ
,
dt
наводимыми в соответствии с законом электромагнитной индукции
изменяющимся магнитным потоком Ф, распределенным по сечению
магнитопровода.
Элементарный вихревой ток циркулирует в слое толщиной dx.
Длина контура (показанного пунктиром), по которому циркулирует
элементарный вихревой ток, приближенно равна 4x + 2h; так как х
значительно меньше h, можно принять длину контура равной 2h.
Поперечное сечение пути элементарного вихревого тока равно ldx.
Активное сопротивление этого пути
rB  
2h
,
ldx
где  – удельное сопротивление материала магнитопровода. При
частотах порядка нескольких сотен герц можно принять rв не
зависящим от частоты.
Если допустить, что индукция распределена равномерно по
сечению листа и равна B  B sin  t , ЭДС в контуре
m
eB  h2x
где
E Bm  4 hx  fB
m
dB
dt
  h 2 x  B m cos  t   E Bm cos  t
(  2  f )
83
,
Рисунок 4.1 – Часть магнитопровода, разделенного на листы
Действующее значение вихревой ЭДС
EB  2
2  hxfB
m
Мощность, расходуемая на элементарном пути вихревого тока,
2
2
dp
B

EB

2  hxfB
 ldx
2
m
2

 2h
rB
4  hx
2
2
2
f B m ldx
.

Мощность, расходуемая во всем листе,
a/2
PB 

dp
B

4
0

2
hlf
2
x
2
Bm
3
a/2

3
0

2
6
3
hla
2
2
f Bm
где а – толщина листа.
Удельные потери от вихревых токов
pB 
где


В
PB
hla 


2
6 
a
2
f
2
Bm  
2
B
f
2
2
Bm
,
(4.2)
– плотность стали;
– коэффициент, зависящий от сорта стали и толщины листа.
Из выражения (4.2) видно, что Рв пропорционально квадрату
84
частоты и квадрату толщины листа. Следовательно, одним из
способов уменьшения рв является уменьшение толщины листа.
Однако листы нельзя изготовлять чрезмерно тонкими. В частности,
уменьшению толщины листов препятствует то обстоятельство, что
при этом увеличиваются удельные потери от гистерезиса рг. Для
различных частот существуют различные оптимальные толщины
листов. Например, при частоте 400 Гц применяют листы толщиной
0,1÷0,35 мм, а при частоте 50 Гц листы толщиной 0,35÷0,5 мм.
При синусоидальном магнитном потоке вихревые токи можно
считать отстающими от магнитного потока на четверть периода.
Намагничивающая сила, создаваемая вихревыми токами,
должна компенсироваться частью намагничивающей силы обмотки.
Поэтому ток в обмотке должен иметь составляющую, находящуюся в
противофазе с вихревыми токами, то есть опережающую магнитный
поток на четверть периода.
При частотах порядка тысяч Герц и выше сказывается
поверхностный эффект, в результате которого магнитная индукция не
одинаково распределяется по сечению магнитопровода (она больше
на периферии и меньше в центре сечения).
Из-за поверхностного эффекта и увеличения потерь в стали
применение сердечников, собранных из стальных листов, при
высоких частотах нецелесообразно. При высоких частотах применяют
сердечники из ферритов, обладающих большим удельным
электрическим сопротивлением.
Различие в зависимостях рг и рв от частоты (выражения (4.1) и
(4.2)) позволяет определить, какая именно часть потерь в сердечнике
затрачивается на гистерезис и какая на вихревые токи, или, как
говорят, разделить потери.
Для разделения потерь достаточно знать суммарные потери в
сердечнике для двух частот при неизменной Вm (см. пример 4.2).
Потери в стали обусловливают несовпадение по фазе индукции
В и напряженности поля Н, характеризуемое углом потерь  . Если В
и Н несинусоидальные функции времени, то  является сдвигом фаз
между соответствующими эквивалентными синусоидами. Подробнее
об угле потерь сказано в § 4.3.
Если представить индукцию и напряженность поля в виде комплексных амплитуд

B m  B m  0 и H
m
 H
m

,
то магнитная проницаемость может быть представлена в комплексной
85
форме
~  0 
где
B m
H
  0        cos   j  sin 

 0  1  j 2  ,
m
Гн/м – магнитная постоянная;
 è  –
действительная и мнимая части относительной
комплексной магнитной проницаемости (квазиупругая
и поглощающая проницаемости).
Понятие о комплексной магнитной проницаемости было
введено В. К. Аркадьевым в 1413 г. Дальнейшее развитие этот вопрос
получил в работах [6 и 10].
Зависимость между амплитудными значениями индукции Вm и
напряженности Нm при определенной частоте в предположении, что
эти величины синусоидальны, называется динамической кривой
намагничивания.
При одном и том же материале сердечника с увеличением
частоты динамические кривые намагничивания располагаются ниже и
становятся более пологими, как показано на рисунке 4.2. Эти кривые
приближенно характеризуют зависимость В = f(H) и не отображают ее
неоднозначность. Неоднозначная зависимость B=f(H) характеризуется
динамической петлей гистерезиса. Ширина петли возрастает с
увеличением частоты магнитного поля. Расширение петли гистерезиса
вызывается увеличением составляющей, компенсирующей вихревые
токи (динамические потери). При этом учитываются одновременно не
только гистерезис, но и вихревые токи, что в ряде случаев весьма
удобно.
Листовые ферромагнитные материалы с целью улучшения
магнитных свойств подвергают особой обработке, в результате
которой материалы приобретают магнитную анизотропию, то есть
зависимость магнитной проницаемости  от направления магнитного
поля. Сердечники при этом конструируют таким образом, чтобы
направление магнитного поля соответствовало наибольшим
значениям  . Такая конструкция сердечников дает возможность
производить расчет магнитной цепи так же, как и в случае
изотропных материалов. Магнитные свойства некоторых типов
материалов резко ухудшаются при появлении в них механических
напряжений. Сердечники из таких материалов приходится помещать в
специальные кожухи из диэлектрика, на который наматывается
обмотка, для предотвращения механического сжатия сердечника
 0  4   10
1
7
2
86
витками обмотки.
Рисунок 4.2 – Динамические кривые намагничивания; 1 – при
частоте 50 Гц; 2 – при частоте 1 000 Гц
Свойством изменения  в зависимости от механических
напряжений обладают по существу все ферромагнитные материалы.
На этом, например, основано определение механических напряжений
в стальных конструкциях посредством измерения переменных
магнитных полей, создаваемых в отдельных небольших участках этих
конструкций. Однако для большого количества электрических машин,
трансформаторов, реле и т. п. механические напряжения, обычно
появляющиеся в магнитопроводах, практически не оказывают
влияния на их работу.
При расчете любого устройства, содержащего магнитную цепь с
переменным магнитным полем, необходимо учитывать явления,
обусловленные главным образом гистерезисом и вихревыми токами.
Для учета этих явлений используются такие величины, как потери в
стали, угол потерь, комплексная магнитная проницаемость и т. д., а
также динамическая кривая намагничивания и динамическая петля
гистерезиса.
Указанные величины и характеристики можно принимать в
качестве основных свойств ферромагнитных материалов при
переменных магнитных полях. Они не описывают полностью всех
процессов, происходящих в материале магнитопровода, но дают
возможность достаточно точно рассчитать число витков обмоток и
размеры магнитопровода [10].
87
4.3 Катушка с ферромагнитным сердечником
Основные свойства ферромагнитного материала определяют в
результате экспериментального исследования катушки с сердечником
из
однородного
ферромагнитного
материала,
одинакового
поперечного сечения, без воздушного зазора. Для такого
исследования предпочтительна тороидальная форма сердечника, так
как при этом обеспечиваются наиболее точные измерения.
Схема, показанная на рисунке 4.3, позволяет определить
основные характеристики материала сердечника.
При исследовании обычно известны число витков обмотки w,
активное сопротивление r, сечение магнитопровода Sст, длина средней
линии напряженности lср и частота f. По показаниям
электроизмерительных приборов определяются ток I, напряжение U
на зажимах обмотки и потребляемая мощность Р (при определении Р
из показания ваттметра необходимо вычесть мощность потерь в
амперметре и вольтметре).
Действующее значение напряженности Н магнитного поля определяется по формуле
H 
lw
l ср
При синусоидальном напряжении амплитуда магнитного
потока, замыкающегося по сердечнику катушки, согласно § 4.1,
Фm 
E
2
w

E
(4.3)
4 , 44 fw
где Е – действующее значение ЭДС, наводимой в обмотке
вышеуказанным магнитным потоком.
Кроме магнитного потока Ф, замыкающегося по сердечнику
катушки, имеется еще магнитный поток рассеяния ФS, замыкающийся
через воздух и показанный на рисунке 4.3 условно (поток рассеяния
может быть сцеплен, лишь с частью витков обмотки). Так как
магнитное сопротивление воздуха значительно больше магнитного
сопротивления сердечника, поток ФS можно считать совпадающим по
фазе с током и прямо пропорциональным ему. Это дает возможность
учитывать ЭДС, наводимую потоком рассеяния, с помощью
сопротивления рассеяния XS'.
88
Рисунок 4.3 – Схема для приближенного определения
параметров катушки с ферромагнитным сердечником при переменном
токе в обмотке
Так как положительные направления для тока и наведенной
потоком Ф ЭДС совпадают, то сумма приложенного напряжения и
наведенной ЭДС равна падению напряжения в активном
сопротивлении и сопротивлении рассеяния
U  E   r  jx
S
 I ,
откуда U   E   r  jx  I .
В большинстве случаев Е мало отличается от U. Амплитуда
магнитной индукции
S
Bm 
Фm
S ст
.
Разность между мощностью, потребляемой катушкой, и
мощностью, затрачиваемой на нагрев обмотки, равна потерям
мощности в стали сердечника
P  rI
2
 Pст
.
Удельные потери в стали
po 
где
 ñò
P ст

ст
l ср S ст
,
– удельный вес материала сердечника.
89
Для катушки с ферромагнитным сердечником характерными
являются два режима работы:
1) напряжение на зажимах обмотки синусоидально, а ток в
обмотке несинусоидален;
2) ток в обмотке синусоидален, а напряжение на зажимах
несинусоидально
Рисунок 4.4 – Графическое определение тока в катушке при
синусоидальном магнитном потоке
В первом случае при r  0 можно принять магнитный поток
синусоидальным и построить кривую тока i(t). Порядок построения
кривой i(t) показан на рисунке 4.4. На кривой магнитного потока Ф(t)
произвольно выбирается точка 1 посредством горизонтальной линии
1–2, пересекающей кривую Ф(i), и вертикальной линии 2–3
определяется значение тока г, равное абсциссе 0–3, соответствующее
значению (ординате) потока в точке 1; это значение тока
откладывается в виде ординаты 0–4 и переносится в координатную
систему i(t) посредством проведения горизонтальной линии 4–5 до
пересечения с вертикальной прямой 1–5. При выборе исходных точек
на нисходящей части кривой abc значение тока i определяется также
по нисходящей ветви abc петли Ф(i).
Изображенная на рисунке 4.4 кривая i(t) симметрична
относительно оси абсцисс, что означает отсутствие четных гармоник.
Эквивалентная синусоида тока iЭ сдвинута по фазе относительно
магнитного потока Ф на угол  .
При синусоидальном приложенном напряжении ЭДС,
наводимая в обмотке, несинусоидальна вследствие появления высших
гармонических составляющих в токе. Однако искажение ЭДС обычно
незначительно и, представляя ее в виде эквивалентной синусоиды,
90
можно принять
напряжения
U
 E  U ô
, где
U
ô
– составляющая приложенного
, затрачиваемого на преодоление ЭДС Е.
Отношение
I
U ф


 Y0  y 0   
 
 2

комплексная проводимость
ветвей намагничивания и потерь в стали; y0–полная проводимость
ветвей намагничивания и потерь в стали (напоминаем, что угол
между
E è Ô
m
ðàâåí

)
2


Y 0  y 0 cos 
    jy
 2



sin 
    y 0 sin   jy
 2

0
0
cos   g 0  jb 0
,
где g0 – проводимость ветви потерь в стали,
b0–проводимость ветви намагничивания.
Иногда в расчетах применяется комплексное сопротивление
ветвей намагничивания и потерь в стали
Z0 
1
Y0
 r0  jx
0
.
Ток в обмотке представляется в виде двух составляющих:
намагничивающего тока I  b U и тока потерь в стали I  g U .
Если принять, что Фm совпадает с действительной осью комплексной
плоскости, то ток I  I  jI  I  
ô
ô
0
ô
ï
0
ô
ï
Рисунок 4.5 – Схема замещения катушки с ферромагнитным
сердечником
В соответствии со сказанным изображаются схема замещения
(рисунок 4.5) и векторная диаграмма (рисунок 4.6) катушки с
ферромагнитным сердечником.
91
На рисунке 4.6 показаны вектор магнитной индукции
Фm

B m 
 Bm 0
S ст
и вектор напряженности
H
 w
m
I
m
 H m
l ñð
.
Активная мощность, поглощаемая катушкой,
P  Pобм  Р ст  rI
2
 U ф I п  UI cos 
.
Иногда при расчетах пользуются комплексным магнитным
сопротивлением
Z
 r M  jx
M
M
,
 zM 
где
rM 
Iф
2w
Фm
Iф

U
w
2
 b 0 w
2
ф
и
xM 
Iп
2w
Фm
 g п w
2
.
Рисунок 4.6 – Векторная диаграмма катушки с ферромагнитным
сердечником
Катушку
с
ферромагнитным
92
сердечником
удобно
характеризовать
некоторой
усредненной
нелинейной
индуктивностью, зависящей от напряжения на ее зажимах. При
определении такой индуктивности по вольтамперной характеристике
для действующих значений U и I различают две индуктивности:
L
 U / I
эквивалентную
статическую
и
эквивалентную
дифференциальную
ñò . ý
L д .э 
1


dU
dI
При определении по вольтамперной характеристике для первых
гармоник различают соответственно
L ст . 1  U 1 /  I 1
и
L д .1 
1


dU
1
dI 1
, где
U1 и I1 – действующие значения первых гармоник.
Определение по показаниям приборов напряженности
магнитного поля, магнитной индукции, потерь в сердечнике и
построение векторной диаграммы катушки с ферромагнитным
сердечником иллюстрированы примерами 4.1–4.3.
Пример 4.1 Определить значения Вm и Нm в стали сердечника
катушки по результатам измерений в схеме (рисунок 4.3), если
приложенное напряжение U = 120 B, ток I = 0,3 A, частота f = 400 Гц.
Сердечник катушки изготовлен из листовой стали (рисунок 7-4) и
имеет размеры dвн = 56 мм, dн = 83,5 мм, b=20 мм, Iв=0, коэффициент
заполнения поперечного сечения сталью (коэффициент заполнения
стали) kст = 0,4; обмотка сердечника состоит из 200 витков. Для
упрощения расчета активное сопротивление обмотки принимается
равным нулю.
Магнитный поток сердечника согласно (4.3)
Фm 
E

4 , 44 fw
120
4 , 44  400  200
 3 , 38  10
4
Вб
.
Активное сечение стали сердечника
S ст 
d н  d вн
2
bk
ст

83 , 5  56
20  0 , 9  10
6
 2 , 4  10
2
Амплитуда индукции в сердечнике
Bm 
Фm
S ст

3 , 38  10
2 , 4  10
93
4
4
 1, 41 Тл
4
м
2
.
Длина средней линии напряженности магнитного поля
d н  d вн
l ср 
78  51 , 5
 
2
10
3
  0 , 219 м
.
2
Амплитуда напряженности магнитного поля в сердечнике
H
m

Iw
2

0 , 3  200 
l cp
2
 387 А / м
.
0 , 219
Пример 4.2 Для сердечника, рассмотренного в примере 4.1,
определить удельные потери в стали, если при частоте f1=400 Гц,
напряжении U=120 B и токе I1 = 0,3 A мощность, измеряемая
ваттметром (рисунок 4.3), равна P1 = 10 Bт.
Произвести разделение потерь, если при уменьшении частоты
до f2=100 Гц, напряжения до U2 = 30 B и тока до I2 = 0,28 A показание
ваттметра равно Р2 = 3 Bт. Сопротивление обмотки сердечника,
измеренное при постоянном токе, равно r = 20 Oм. Потери в
измерительных приборах принимаются равными нулю.
Вес сердечника
.
G с т   с т S с т l с p  7 ,8  0 , 24  0 , 219  0 , 41 кг
Так как ЭДС E
приближенно имеем
U1
U
 4 , 44 B m S ñò f

120

30
2
E1

E2
прямо пропорциональна частоте, то
4 , 44 B 1 m S ст f 1
4 , 44 B 2 m S ст f 2

B 1 m 400
B 2 m 100
откуда B  B . Применяя методику, указанную в § 4.3, производим
разделение потерь.
Удельные потери в стали при частоте f1 = 400 Гц
1m
2m
P1  rI 1
2
p ст 
1
G ст

10  20  0 , 3 
2
 20 Вт / кг
.
0 , 41
Удельные потери в стали при частоте f2=100 Гц
94
p ст

P2  rI
2
2
2

3  20  0 , 28
G ст

2
.
 3 , 5 Вт / кг
0 , 41
В соответствии с выражениями (4.1) и (4.2) можно принять, что
p ст  20  k г f 1  k в f 1  k г 400  k в 400
2
p ст  3 , 5  k г f 2  k в f 2  k г 100  k в 100
2
2
1
2
2
;
,
где kг и kв – коэффициенты пропорциональности:
k г  2 , 98  10
2
Вт  сек / кг и k в  5 , 04  10
5
Вт  сек
2
/ кг
При частоте f=400 Гц удельные потери от гистерезиса
2
р г  k г f 1  2 , 98  10
 400  11 , 9 Вт / кг
1
и от вихревых токов
р в  k в f 1  5 , 04  10
2
5
1
  400

2
 8 ,1 Вт / кг
;
при частоте f2=100Гц
2
р г  k г f 2  2 , 98  10
 100  2 , 98 Вт / кг
2
р в  k в f 2  5 , 04  10
2
2
5
 100

2
;
 0 , 504 Вт / кг
.
Пример 4.3 Построить векторную диаграмму катушки,
рассмотренной в примерах 4.1 и 4.2, при частоте f = 400 Гц, если
индуктивность рассеяния катушки LS = 5 мГн.
Индуктивное сопротивление обмотки или, что то же,
сопротивление рассеяния
x S  2  fL
Сдвиг фаз
напряжением
S
 2  3 ,14  400  5  10
3
 12 , 6 Ом
между эквивалентной
  arccos
P
 arccos
UI
95
10
120  0 , 3
.
синусоидой тока и
 73  5 0 
Комплексное сопротивление катушки
Z 
U
 
I
120
 73  5 0   400  73  5 0   111  j 384
Ом
0 ,3
Комплексное сопротивление ветвей намагничивания и потерь в
стали
Z 0  Z  r  jx
S
 111  j 384  20  j12 , 6  91  j 371 , 3  382  76  1 3  Ом .
Комплексная проводимость ветвей намагничивания и потерь в
стали
Y0 
1
382  76  1 3 
 26 , 2  10
4
  76  1 3   6 , 23  10
4
 j 25 , 4  10
проводимость ветви потерь в" стали
g 0  6 , 23  10
4
Cм
;
проводимость ветви намагничивания
b 0  25 , 4  10
4
Cм
;
ток потерь в стали
Iп  I
g0
 0 ,3
y0
6 , 23  10
4
26 , 2  10
4
25 , 4  10
4
26 , 2  10
4
 0 , 071 A
Намагничивающий ток
Iф  I
Iф
 0 ,3
y0
 0 , 291 A .
Угол потерь
  arctg
Iп
 arctg
Iф
0 , 071
0 , 291
Электродвижущая сила обмотки
96
 13  4 7 
4
Cм
E  z 0 I  382  0 , 3  114 , 5 B
.
Магнитный поток в сердечнике по выражению (4.3)
Фm 
114 , 5
4 , 44  400  200
По значениям Фm, Е, Iф,
диаграмма.

 3 , 24  10
, Iп, I,

4
B
.
, r, xS, U строится векторная
4.4 Особенности работы катушки, имеющей сердечник с
прямоугольной петлей гистерезиса
В устройствах автоматики и вычислительной техники получили
распространение элементы с сердечниками, имеющими так
называемую прямоугольную петлю гистерезиса (ППГ). Эта петля
отличается от изображенной на рисунке 2.2 большим наклоном в
области перемагничивания и малым наклоном в области насыщения,
вследствие чего может быть приближенно заменена почти
вертикальными и почти горизонтальными отрезками прямых, как
показано на рисунке 4.17.
Рисунок 4.17 – Прямоугольная петля гистерезиса
Индукции В2, В3 и В1, В4 соответствуют границам участков,
которые могут считаться прямолинейными. Отношение
называется
коэффициентом
прямоугольности,
97
а
Br
BM
 K
пр
отношение
 4

B
Hc
 6

4

B H c 
3

 K
кв
коэффициентом квадратности; здесь

4
6
H
c
и
3
H
4
c
–
абсциссы, которым соответствуют индукции с этими индексами.
Характеристики В(Н) отечественных материалов с ППГ
приводятся в соответствующей литературе [2].
Особый интерес представляет сопротивление обмотки,
имеющей сердечник с ППГ при прохождении импульса тока i
прямоугольной формы с длительностью Т, большей времени
перемагничивания сердечника Т0. Предполагается, что в сердечнике
имеется индукция –Br, a ток направлен так, что сердечник под
воздействием напряженности
iw
H 
перемагничивается до значения
l ñð
индукции, равной Вм; здесь lср – длина средней линии магнитной
индукции; w – число витков обмотки.
Величина Т0 зависит от ряда причин [6, стр. 105–107] и может
быть приближенно представлена выражением
T0 
a
H  H
,
к
где a – постоянная величина для определенного материала и
определенной температуры, причем с увеличением температуры а
уменьшается; обычно a = 0,6–1 сек.А/м; Hк – критическая
напряженность, зависящая от материала и скорости процесса
перемагничивания, которая в свою очередь определяется величиной
отношения Н/Нк: обычно Hк = 50–200 A/м. При достаточно больших
отношениях Н/Нк можно принять
T0 
a
H
,
т.е. полагать, что время T0
обратно пропорционально величине тока i.
В процессе перемагничивания сердечник поглощает энергию
T0
Wп 
 iwS
0
dB
dt
dt  iwS
B r
 BM

H
M
B r
 B M l cp S ,
где S – поперечное сечение сердечника.
Часть этой энергии переходит в тепло, а другая часть – в
потенциальную энергию магнитного поля.
По истечении времени T, когда импульс тока прекращается,
98
индукция в сердечнике уменьшается от ВM до Вr и сердечник
возвращает в цепь обмотки энергию
BM
 HdB .
W 0  l cp S
Br
Если принять участок петли гистерезиса между ВM и Вr
прямолинейным, то
BM
W 0  l cp S
H
B  Br
M
Br
BM  Br
dB 
H
M
2
B M
 B r l cp S ,
где Hм – абсцисса, соответствующая ВM.
Отношение
W0
Wп

1 BM  Br
2 BM  Br

1 1 K
пр
2 1 К
пр
мало, так как числитель близок к нулю.
Рисунок 4.18 – Ток в обмотке с сердечником, имеющим
прямоугольную петлю гистерезиса
Для применяемых на практике сердечников Кпр= 0,8–0,46 и,
99
следовательно, в процессе перемагничивания сердечник безвозвратно
поглощает более 45 % получаемой энергии. Поэтому можно
приближенно заменить сердечник эквивалентным сопротивлением rэ,
включенным в цепь обмотки в течение времени Т0
rэ 
Wп
2

w
2
i T0
B M
H
M
 B r S
l cp T 0
Рассмотрим особенности работы при переменном токе. На
рисунке 4.18 показана идеализированная прямоугольная петля
гистерезиса в системе координат Ф, i. Если обмотку с числом витков
w и малым со противлением r, насаженную на сердечник с такой
петлей
гистерезиса,
питать
синусоидальным
напряжением
u  U sin  t , ток i и магнитный поток Ф в установившемся режиме
будут изменяться в соответствии с выражениями, приведенными в
таблице 4.1.
В интервалах I и III абсолютная величина производной потока
m
dФ
по времени больше нуля
и приложенное напряжение в
 0
dt
основном уравновешивается ЭДС
dФ
e  w
(напряжение на r мало);
dt
при этом ток i весьма мал. В интервалах II и IV
dФ
 0
, е = 0 и ток
dt
i 
u
, изменяющийся по синусоидальному закону, может значительно
r
превосходить ток в интервалах I и III.
Пренебрегая слагаемым ri можно найти Ф(t) в интервале I
Ф  Ф мин 
1
w
t
U
m
sin  td  t  Ф m  Ф макс  Ф m cos  t
0
здесь учтено, что Фмакс = – Фмин и
Фm 
U
m
w
 Ф макс .
Угол насыщения равен



 1   t  arccos  1 
Соответственно в интервале III
100
2 Ф макс 
.

Фm 
;
Ф  Ф макс  Ф m  Ф m cos  t и 
2
 1  
.
Таблица 4.1
Интервал
I
u
w
dФ
 ri
dt
II
Ф
i
1 
dФ 
u  w

r 
dt 
u
ri
Ф мин 
1
w
  t

 u
 ri  d 
Фмакс
1  
r
III
w
dФ
dt
IV
ri
 ri
1 
dФ 
1
u  w
 Ф макс 
r 
dt 
w
u
0  1
0

 u
 ri  d 
 2

Фмин

2
 2
r
5 Цепи с управляемыми ферромагнитными элементами
5.1 Управляемые ферромагнитные элементы
Наряду с электровакуумными и полупроводниковыми
управляемыми элементами на практике широко применяются
управляемые
ферромагнитные элементы, основанные на
использовании нелинейности ферромагнитных сердечников.
Магнитные потоки в сердечниках таких элементов образуются в
результате совместного действия НС различных частот (вплоть до
нулевой), создаваемых различными обмотками.
При подаче входного сигнала на одну из обмоток, называемую
управляющей, за счет энергии вспомогательного источника
происходит изменение режима в другой обмотке, называемой
рабочей.
Управляемые ферромагнитные элементы используются для
усиления напряжения, тока и мощности (при сохранении по
возможности формы входного сигнала). Такие управляемые
ферромагнитные элементы называются магнитными усилителями.
Управляющая обмотка магнитного усилителя играет такую же роль,
как и сетка триода.
Управляемые ферромагнитные элементы используются также
для преобразования частоты переменного тока, например, для
удвоения частоты. Кроме того, они применяются в устройствах
вычислительной техники.
Область применения управляемых ферромагнитных элементов
отличается
от
области
применения
управляемых
цепей,
101
рассмотренных в предыдущей главе, диапазонами рабочих мощностей
и частот. Ферромагнитные элементы обычно применяются для
управления относительно большими мощностями с помощью
сигналов малой мощности при сравнительно невысоких частотах.
Преимуществами
их
являются
долговечность,
малая
зависимость параметров от времени, стойкость к вибрациям и т. д.
В данной главе рассматриваются принципы работы основных
типов управляемых ферромагнитных элементов. Более подробное
изучение их свойств, схем и методов расчета этих элементов
относится к специальным дисциплинам.
5.2 Магнитный усилитель
Рисунок 5.1 – Схема простейшего МУ
Простейший магнитный усилитель (МУ), называемый также
дросселем насыщения 1, показан на рисунке 5.1. Управляющая
обмотка с числом витков wу подключена через регулируемое
сопротивление r к источнику постоянного напряжения; рабочая
катушка с числом витков wр и последовательно соединенная с ней
нагрузка zН подключены к вспомогательному источнику питания с
синусоидальным напряжением u.
Цепь обмотки wу для краткости будем называть входной цепью,
а цепь обмотки wp и нагрузки zH – выходной.
Магнитный поток, создаваемый током Iу в обмотке wy, называют
потоком подмагничивания. Параметры выходной цепи подобраны
таким образом, что при отсутствии тока во входной цепи, т. е. при
отсутствии подмагничивания, сердечник не насыщен; выходную цепь
представляет по существу последовательное соединение нагрузки и
катушки со стальным сердечником. Индуктивность этой катушки (т.е.
обмотки wp), пропорциональная магнитной проницаемости, велика.
При наличии тока во входной цепи, т. е. при подмагничивании
сердечника, магнитная проницаемость уменьшается и индуктивность
102
обмотки wр снижается, в результате этого уменьшается напряжение
Up, увеличиваются ток в выходной цепи Iн и напряжение на нагрузке
UH.
Сказанное может быть также пояснено рисунком 5.2. В левой
части изображена динамическая характеристика сердечника Ф(iw).
Кривые магнитного потока Ф(t) создаваемого рабочей обмоткой при
отсутствии и при наличии тока iу во входной цепи, обозначены на
рисунке 5.2 соответственно Ф  и Ф  .
Ток iн в первом приближении можно считать синусоидальным.
Кривые произведений тока на число витков для рассматриваемых
двух случаев обозначены i  w и i w .
Амплитуда Ф  велика и, следовательно, при отсутствии
подмагничивания велика ЭДС самоиндукции рабочей обмотки, что
равносильно большому индуктивному сопротивлению этой обмотки.
При наличии тока во входной цепи поток Ф  становится
несинусоидальным, а пределы его изменения значительно меньше,
чем 2 Ф  . В этом случае в обмотке wp наводится значительно меньшая
ЭДС, что равносильно уменьшению индуктивного сопротивления
этой обмотки (см. пример 5.1).
Таким образом, относительно небольшое изменение тока
входной цепи вызывает значительное изменение тока в выходной
цепи. Зависимость между входным и выходным токами или
напряжениями в установившемся режиме называется характеристикой
вход-выход. При этом под входным и выходным напряжениями
магнитного усилителя подразумеваются соответственно напряжения
на обмотке wy и на нагрузке zH. В зависимости от условий может быть
принято среднее или действующее значение напряжения
р
н
p
р
н
p
pm
р
pm
103
Рисунок 5.2 – Графическое определение потоков в МУ
Рисунок 5.3 – Разложение переменной составляющей
магнитного потока Ф на гармоники; 1 – первая гармоника; 2 – вторая
гармоника
Упрощенная схема рисунка 5.1 приведена здесь только для
уяснения принципа работы усилителя. Практическому ее применению
препятствуют следующие недостатки:
1) переменный магнитный поток, созданный током в обмотке
wp, наводит переменную ЭДС в обмотке wy, вследствие чего в цепи
управления
возникает
переменный
ток,
вызывающий
104
дополнительные потери мощности и ухудшение .работы усилителя:
2) ввиду того что переменная составляющая магнитного потока
в сердечнике несинусоидальна, причем содержащаяся в ней вторая
гармоника относительно велика (рисунок 5.3), в кривых напряжения
uн и тока iн появляются нежелательные вторые гармоники.
Указанные недостатки устраняются в усилителях с двумя
одинаковыми сердечниками (рисунок 5.4), рабочие обмотки которых с
числами витков
w
p
намотаны в противоположных направлениях при
2
одинаковом направлении намотки управляющих обмоток с числами
витков
w
y
. При такой схеме соединения первые гармоники ЭДС,
2
индуктированные
в
управляющих
обмотках,
взаимно
компенсируются, вторые же гармоники – суммируются. Появление
четных гармоник в токе управляющей обмотки не вызывает
существенной потери мощности (ввиду значительной индуктивности
входной цепи). Наряду с этим НС, создаваемая током четных
гармоник в обмотке wy, в силу закона Ленца уменьшает амплитуды
четных гармоник переменной составляющей магнитного потока.
Что касается четных гармоник ЭДС, наводимых в рабочих
обмотках, то они взаимно компенсируются.
Важными характеристиками магнитного усилителя являются
коэффициенты усиления по напряжению, току и мощности
Рисунок 5.4 – Схема МУ с двумя сердечниками
105
Коэффициент усиления по напряжению – отношение
приращения выходного напряжения к приращению напряжения на
входе
K

U
U
H
U
y
.
Коэффициент усиления по току – отношение приращения
выходного тока к приращению входного тока
K
I

IH
Iy
.
Коэффициент усиления по мощности – отношение приращения
выходной мощности к соответствующему приращению мощности на
входе
K
p

 PH
 Py
.
В некоторых случаях коэффициент усиления по мощности
определяют как произведение коэффициентов усиления по
напряжению и по току.
Коэффициенты. КU и KI обычных усилителей могут достигать
нескольких десятков, а коэффициент Кp – ста и более.
Частота напряжения и вспомогательного источника обычно
выбирается в пределах от 400 до 2 000 Гц. При этом период колебаний
входного сигнала должен быть больше нескольких периодов
напряжения u.
В МУ, как и в электронных и других типах усилителей, широко
применяется обратная связь – положительная или отрицательная.
Положительная обратная связь обеспечивает высокие коэффициенты
усиления, а отрицательная – повышает стабильность. Существует
большое число разновидностей обратной связи МУ. На рисунке 5.5
показаны две схемы: с внешней (рисунок 5.5,а) и с внутренней
(рисунок 5.5,б) обратной связью.
Особенностью схемы, приведенной на риунок 5.5,а, является
наличие дополнительной обмотки обратной связи wo.c, через которую
проходит выпрямленный ток нагрузки. За счет этого получается
дополнительное подмагничивание сердечников.
106
Во второй схеме (рисунок 5.5,б) отсутствует специальная
обмотка обратной связи, а дополнительное подмагничивание
получается в результате однополупериодного выпрямления тока в
рабочих обмотках МУ.
Для исследования работы магнитного усилителя удобно
пользоваться семейством характеристик Up=f(IH) при заданных
значениях Iу. Здесь Uр и IH — действующие значения uр и iH.
Для упрощения дальнейших построений можно по оси абсцисс
вместо IH откладывать rHIH, считая нагрузку активной при одинаковом
масштабе для Up и rHIH (рисунок 5.6). По мере увеличения Iу
сердечник насыщается, и индуктивность рабочей обмотки
уменьшается,
соответственно
снижается
и
Up.
Поэтому
характеристики располагаются ниже кривой, соответствующей Iу=0
а)
б)
Рисунок 5.5 – Схемы МУ с положительной обратной связью
107
Рисунок 5.6 – Вольтамперные характеристики МУ
С увеличением IH возрастает переменная НС рабочей обмотки и
снижается влияние постоянной НС управляющей обмотки;
характеристики постепенно приближаются к верхней характеристике,
соответствующей Iу = 0.
Пренебрегая высшими гармониками и считая, что rH отстает по
фазе от uр почти на  /2, получаем
U
2
p
  rH I H

2
 U
2
.
(5.1)
где U – действующее значение напряжения u.
Уравнение (5.1) представляет уравнение окружности с центром
в начале координат и с радиусом, равным U. Точки пересечения ее с
характеристиками определяют зависимость IH и Iу.
На принципе работы магнитных усилителей основана работа так
называемых трансформаторов постоянного тока. В этом случае вместо
нагрузки zH включается измерительный прибор, шкалу которого
градуируют по току Iу; при этом коэффициент усиления по току KI<1.
Пример 5.1 Сердечники МУ, изображенные на рисунке 5.4,
имеют числа витков обмоток
w
y
=2 000 и
2
w
p
=50. Нагрузка активная:
2
rH=800 Oм. Определить ЭДС Eр и коэффициенты усиления,
задано: i  w  200 sin 2512 t A , при I  w  0 i  w  30 sin 2512 t A ,
I  w  100 A ;
сопротивление управляющей обмотки 15
сопротивлением рабочей обмотки можно пренебречь.
Приближенные
значения
амплитуд
(рисунок
H
y
p
y
y
108
y
H
p
если
при
Oм,
5.2)
4
  0 , 3  10
Вб и Ф pm
4
.
Действующие значения ЭДС рабочей обмотки (§4.1)
Ф pm  2  10
Вб
E p  4 , 44  2  10
4
 400  200  71 B ;
E p  4 , 44  0 , 3  10
4
 400  200  10 , 7 B .
Коэффициент усиления по току
K
I

 30
100
 20  2000
2  100
 1 , 41 .
Коэффициент усиления по напряжению
KU 
800  30  20  2000
100
2  100  15
 75 , 5 .
Коэффициент усиления по мощности
K
p
 K
I
 K U  1 , 41  75 , 5  106 , 5 .
5.3 Преобразование частот с помощью управляемых
ферромагнитных элементов
Нелинейность характеристик ферромагнитных элементов
позволяет осуществлять преобразование гармонического состава
магнитного потока и сигнала.
109
Рисунок 5.7 – Схема удвоителя частоты
5.3.1 Удвоение частоты
В предыдущем параграфе было показано, что при
подмагничивании постоянным магнитным потоком в переменной
составляющей потока появляется вторая гармоника (рисунок 5.3). Это
явление используется для удвоения частоты посредством схемы,
изображенной на рисунке 5.7.
Постоянный ток I0 создает в обоих сердечниках одинаковые
магнитные потоки Ф0. Переменный ток i1 создает в сердечниках
одинаковые магнитные потоки Ф1 Витки обмоток w02 и w12 намотаны
таким образом, что если в одном сердечнике магнитные потоки Ф0 и
Ф1 совпадают по направлению, в другом сердечнике в этот момент
времени Ф0 и Ф1 направлены встречно. Поэтому ЭДС вторых
гармоник, наводимые в обмотках w1/2, будут взаимно компенсировать
друг друга.
Витки обмоток w2/2 намотаны таким образом, чтобы наводимые
в них ЭДС вторых гармоник были направлены согласно, при этом
ЭДС первых гармоник в обмотках w2/2 будут направлены встречно и,
следовательно, напряжение u2 будет содержать только вторые
гармоники, если пренебречь гармониками более высоких порядков.
Таким образом, мощность, поступающая в обмотки w1/2 при частоте f,
трансформируется в мощность, поступающую в нагрузку zH при
частоте 2f.
Вследствие того, что напряжения u1 и u2 имеют различные
частоты, положительные направления. u1 и u2 не могут быть связаны и
поэтому положительное направление u2 на рисунке 5.7 принято
произвольно. Индуктивность L, показанная на рисунке 5.7,
предназначена для уменьшения второй гармоники тока в цепи
обмотки w0, что улучшает работу удвоителя частоты.
Удвоение частоты может быть получено при помощи
ферромагнитного
элемента
с
взаимно
перпендикулярными
магнитными полями. Сердечник такого элемента (рисунок 5.8,а)
изготовляется в виде тороида, разрезанного на две части, во
внутреннюю полость которого укладывается обмотка w1 с. витками,
расположенными вдоль полости, после совмещения двух частей на
сердечник наматывается обмотка w2. По этим обмоткам могут
проходить либо переменные токи с одинаковыми или различными
частотами, либо постоянный ток по одной и переменный по другой.
Материалом для сердечников подобного типа обычно служат
ферриты
110
а)
в)
б)
г)
д)
а – сердечник; б, в, г и д – геометрическое суммирование индукции
Рисунок 5.8 – Взаимно перпендикулярные магнитные поля
Существенным отличием элементов с такими сердечниками от
элементов с сердечниками с продольными магнитными полями
является то обстоятельство, что при постоянном токе i2 в обмотке w2
(рисунок 5.8,б) и переменном токе i1 в обмотке w1 влияние
насыщения, вызванного постоянной магнитной индукцией В2,
одинаково как для положительной, так и для отрицательной полуволн
переменной индукции В1. Объясняется это тем, что векторы индукций
В2 и B1 располагаются в пространстве перпендикулярно друг другу. В
случае же совпадения направления переменной индукции и
постоянной индукции подмагничивания, как это, например, имеет
место в схеме МУ на рисунке 5.4, полуволны, получающиеся в
результате сложения индукций, отличаются от полуволн,
получающихся в результате вычитания.
На рисунке 5.8,б указаны положительные направления векторов
В2 и В1 рисунка 5.8,в, г и д иллюстрируют получение их
геометрической суммы В для трех моментов времени,
соответствующих прохождению Bi через максимальное, нулевое и
минимальное значения.
Из этих построений видно, что направление индукции В
111
относительно обмотки ш2 все время определяется правилом
правоходового винта как для положительной, так и для отрицательной
полуволны переменной индукции.
Вместе с тем по абсолютной величине индукция В дважды за
половину периода или 4 раза за период меняется по величине от
максимального до минимального значения. Изменяющаяся во всех
точках сердечника индукция В, суммируясь (геометрически) по его
объему, создает пульсирующий магнитный поток с частотой, в 2 раза
большей, чем частота тока i1.
Эта пульсация магнитного потока вызывает появление в
обмотке w2 переменной ЭДС двойной частоты.
Литература
1 Атабеков Г. И. Теоретические основы электротехники. В 3 т.
Линейные электрические цепи. – М. : Энергия, 1978. – Т.1. – 592 с.
2 Атабеков Г. И., Купалян С. Д., Тимофеев А. Б., Хухриков С.
С. / под ред. Г. И. Атабекова. Теоретические основы электротехники.
В 3т. Теория электромагнитного поля: учебник для ВУЗов. – М. :
Энергия, 1979. – Т.3. – С. 224 – 225; С. 243 – 247.
3 Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. – М. :
Высш. школа, 1986. – 487 с.
4 Демирчян К. С., Нейман Л. Р., Коровкин Н. В. Теоретические
основы электротехники: Учебник для вузов. 5-е изд. – СПб. : Питер,
2009. – Т.1. – 512 с.
5 Евдокимов Ф. Е. Общая электротехника: учебник для
электротехнических вузов. − М., 1996. − 356 с.
6 Зевеке Г .В. и др. Основы теории цепей. − М. : Энергия, 1989.
− 552 с.
7 Лосев А. К. Теория линейных цепей. − М. : Энергоиздат, 1987.
− 284 с.
8 Нейман Л. Р., Демирчян К. С. Теоретические основы
электротехники. В 2т. Теория электромагнитного поля : учебник для
ВУЗов. – Л. : Энергоиздат, 1981. – Т.2, – С. 232 – 237; С. 251 – 254.
112
Содержание
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.4.1
1.4.2
1.4.3
1.5
1.5.1
1.5.2
1.6
1.7
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.5.1
2.6
3
3.1
3.2
3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.2.4
3.3
3.3.1
3.3.2
Введение.………………………………………………………...
Нелинейные электрические цепи постоянного тока………….
Основные определения…………………………………………
Некоторые нелинейные элементы и их вольт-амперные
характеристики…………………………………………………..
Полупроводниковый диод……………………………………...
Последовательное, параллельное и смешанное соединения
нелинейных элементов………………………………………….
Последовательнее соединение………………………………….
Параллельное соединение………………………………………
Смешанное соединение…………………………………………
Расчет нелинейной цепи с двумя узлами……………………...
Графический метод……………………………………………...
Численный метод………………………………………………..
Статические и дифференциальные сопротивления…………...
Замена нелинейного элемента линейным
сопротивлением и ЭДС………………………………………....
Магнитные цепи при постоянном магнитном потоке………...
Назначение и типы магнитных цепей………………………….
Основные законы магнитной цепи и
свойства ферромагнитных материалов………………………...
Неразветвленная магнитная цепь………………………………
Разветвленная магнитная цепь…………………………………
Потоки рассеяния в магнитной цепи…………………………..
Расчет магнитной цепи с учетом потоков рассеяния
методом численного интегрирования………………………….
Магнитные цепи с постоянными магнитами………………….
Нелинейные цепи при переменном токе………………………
Некоторые общие свойства нелинейных элементов
при переменном токе……………………………………………
Аппроксимация нелинейных характеристик………………….
Аппроксимация степенным полиномом……………………….
Аппроксимация показательной функцией…………………….
Аппроксимация графоаналитическим методом трех
(или пяти) ординат………………………………………………
Кусочно-линейная аппроксимация…………………………….
Выпрямление переменного тока……………………………….
Однополупериодное выпрямление…………………………….
Двухполупериодное выпрямление…………………………….
3
4
4
5
8
11
11
15
17
19
19
21
23
24
25
25
26
31
37
40
43
44
50
50
52
52
55
55
57
61
61
68
Трехфазное выпрямление………………………………………
Сглаживание пульсации фильтрами…………………………...
Емкостный фильтр………………………………………………
Нелинейная емкость в цепи переменного тока………………..
Цепи переменного тока с ферромагнитными элементами…...
Некоторые особенности цепи переменного тока
с ферромагнитными элементами……………………………….
4.2
Основные свойства ферромагнитных материалов
при переменных магнитных полях…………………………….
4.3
Катушка с ферромагнитным сердечником…………………….
4.4
Особенности работы катушки, имеющей сердечник
с прямоугольной петлей гистерезиса…………………………..
5
Цепи с управляемыми ферромагнитными элементами………
5.1
Управляемые ферромагнитные элементы……………………..
5.2
Магнитный усилитель…………………………………………..
5.3
Преобразование частот с помощью
управляемых ферромагнитных элементов…………………….
5.3.1 Удвоение частоты……………………………………………….
Литература……………………………………………………….
3.3.3
3.4
3.4.1
3.5
4
4.1
4
70
71
72
75
80
80
82
88
97
101
101
102
109
110
113
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
15
Размер файла
3 698 Кб
Теги
teoriya, mustafina, 196, cepei, nelineynih, orazova
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа