close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1704 makushev yu. p integralnoe i differencialnoe ischisleniya v prilojenii k tehnike monografiya yu. p. makushev t. a. polyakova v. v. rindin i dr

код для вставкиСкачать
Ю. П. Макушев, Т. А. Полякова,
В. В. Рындин, Т. Т. Токтаганов
ИНТЕГРАЛЬНОЕ И
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЯ В ПРИЛОЖЕНИИ К
ТЕХНИКЕ
17
7
6
3
4
5
8
9
2
10
1
11
12
14
15
16
13
Павлодар
2012
Министерство образования и науки Республики Казахстан
Павлодарский государственный университет
им. С. Торайгырова
Ю. П. Макушев, Т. А. Полякова,
В. В. Рындин, Т. Т. Токтаганов
ИНТЕГРАЛЬНОЕ И
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЯ В ПРИЛОЖЕНИИ
К ТЕХНИКЕ
Монография
Павлодар
Кереку
2012
УДК 621.43, 51-7
ББК 31.365.22.11
М 17
Рекомендовано к изданию Учёным советом
ПГУ им. С. Торайгырова
Рецензенты:
В. В. Шалай – доктор технических наук, профессор Омского
государственного технического университета;
А. И. Володин – доктор технических наук, академик Академии
транспорта РФ, профессор Омского государственного университета путей
сообщения;
А. Н. Нуржауов – доктор технических наук, профессор Павлодарского государственного университета им. С. Торайгырова.
Макушев Ю. П.
М17 Интегральное и дифференциальное исчисления в приложении к
технике : монография / Ю. П. Макушев, Т. А. Полякова,
В. В. Рындин, Т. Т. Токтаганов; под ред. Ю. П. Макушева. 
Павлодар : Кереку, 2012.  330 с.
ISBN
В монографии приведены основы дифференциального и интегрального
исчисления функции одной действительной переменной. Рассмотрены
дифференциальные уравнения и показано их практическое применение при
решении технических задач. Даны примеры расчёта систем двигателей с
применением интегральных и дифференциальных уравнений.
Вывод формул, определение производных, интегралов, построение
графиков даётся как обычными математическим методами, так и с
применением системы Mathcad. Дан расчёт цикла тепловозного дизельного
двигателя с автоматическим построением индикаторной диаграммы в
системе Mathcad.
Монография предназначена для студентов технических специальностей при изучении как математики, так и прикладных дисциплин, а также
инженерам и аспирантам.
УДК 621.43, 51-7
ББК 31.365.22.11
ISBN
© Макушев Ю. П. и др., 2012
© ПГУ им. С. Торайгырова, 2012
За достоверность материалов, грамматические и орфографические ошибки ответственность
несут авторы и составители
Содержание
Введение…………………………………………………………………. 6
Основы дифференциального исчисления функции одной
1
действительной переменной…………………………………………... 8
1.1 Понятие производной функции……………………………………….. 8
1.1.1 Физический и геометрический смысл производной………………… 17
1.1.2 Основные правила дифференцирования................................................ 32
1.1.3 Производная сложной функции.............................................................. 32
1.1.4 Производная обратной функции.............................................................. 34
1.1.5 Производная неявно заданной функции................................................. 37
1.1.6 Производные функций, заданных параметрически............................... 39
1.2 Производные высших порядков.............................................................. 40
1.2.1 Производные высших порядков явно заданной функции.................... 40
1.2.2 Производные высших порядков неявно заданной функции................ 40
1.2.3 Производные высших порядков функций, заданных параметрически 45
1.3 Дифференциал.......................................................................................... 46
1.3.1 Геометрический и механический смысл дифференциала..................... 50
1.3.2 Свойства дифференциала........................................................................ 53
1.3.3 Дифференциал сложной функции.......................................................... 54
1.3.4 Дифференциалы высших порядков........................................................ 55
Основы интегрального исчисления функции одной действительной
2
переменной................................................................................................ 57
2.1 Неопределенный интеграл....................................................................... 58
2.2 Определенный интеграл.......................................................................... 65
2.2.1 Свойства определенного интеграла........................................................ 66
2.2.2 Вычисление определенного интеграла................................................... 67
2.3 Приложения определенного интеграла Вычисление определенного
интеграла................................................................................................... 69
2.3.1 Физические приложения определенного интеграла............................. 71
2.3.2 Геометрические приложения определенного интеграла....................... 76
3
Дифференциальные уравнения................................................................ 90
3.1 Понятие дифференциального уравнения............................................... 90
3.2 Дифференциальные уравнения первого порядка.................................. 93
3.2.1 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными..... 94
3.2.2 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка................ 96
3.3 Дифференциальные уравнения высших порядков (линейные
дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными
коэффициентами)..................................................................................... 100
3.3.1 Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка
с постоянными коэффициентами........................................................... 101
3.3.2 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го
порядка с постоянными коэффициентами.............................................. 104
4
Определение скорости и ускорения поршня с помощью производных 112
4.1 Определение пути поршня....................................................................... 113
Определение скорости поршня............................................................... 115
Определение ускорения поршня............................................................. 116
Приближенные вычисления пути, скорости и ускорения поршня
120
Расчетное определение давления в цилиндре и построение
индикаторной диаграммы....................................................................... 123
5.1 Основные термины и определения......................................................... 123
5.2 Общее устройство и принцип работы двигателя внутреннего
сгорания..................................................................................................... 124
5.2.1 Четырехтактный рабочий цикл................................................................ 126
5.2.2 Индикаторная диаграмма двигателя...................................................... 127
5.3 Методика построения индикаторной диаграммы и определение
положительной работы при помощи интегрирования.......................... 128
5.4 Экспериментальное определение давления газов в цилиндре
Двигателя................................................................................................... 136
5.5 Диагностика двигателя по анализу индикаторной диаграммы.......... 138
Определение момента инерции элементов коленчатого вала............. 142
6
6.1 Расчетно-экспериментальное определение момента инерции
части коленчатого вала............................................................................ 143
6.2 Расчетное определение момента инерции элементов коленчатого
вала............................................................................................................. 144
Определение момента инерции маховика............................................. 147
7
7.1 Расчетно-экспериментальное определение момента инерции
маховика..................................................................................................... 148
7.2 Расчетное определение момента инерции маховика
149
Расчет маховик.......................................................................................... 151
8
8.1 Определение момента инерции маховика по результатам
динамического расчета двигателя........................................................... 151
8.2 Пример расчета маховика......................................................................... 155
9
Расчет коленчатого вала двигателя на крутильные колебания
157
9.1 Свободные крутильные колебания вала с одной массой..................... 157
9.2 Вынужденные крутильные колебания вала с одной массой................ 160
9.3 Последовательность расчета коленчатого вала на крутильные
колебания.................................................................................................. 163
9.3.1 Приведение крутильной системы вала
163
9.3.2 Определение частоты собственных крутильных колебаний
приведенной системы............................................................................... 164
9.3.3 Определение резонансной критической частоты вращения
165
9.3.4 Выработка рекомендаций, устраняющих крутильные колебания....... 167
10 Методика построения дифференциальной и интегральной
характеристик подачи топлива................................................................ 169
10.1. Расчет цикловой подачи топлива и выбор эффективного
проходного сечения распылителя........................................................... 169
10.2 Методика построения дифференциальной характеристики
подачи топлива.......................................................................................... 171
4.2
4.3
4.4
5
10.3 Расчет при помощи современной вычислительной техники
дифференциальной характеристики впрыскивания.....................
176
10.4 Формы дифференциальной характеристики впрыскивания................. 177
10.5 Построение интегральной характеристики впрыскивания................... 180
11 Расчет параметров струи дизельного топлива....................................... 182
11.1 Расчет мелкости распыливания жидкого топлива................................. 182
11.2 Определение формы распыленного топливного факела при
впрыске в неподвижную среду............................................................... 188
12 Расчет центробежного компрессора и центростремительной турбины 192
12.1 Методика расчёта центробежного компрессора с радиальными
лопатками................................................................................................. 192
12.2 Расчёт радиально-осевой турбины........................................................ 201
13 Основы расчета теплообменных аппаратов.......................................... 209
13.1 Основные формулы теории теплообмена............................................... 209
13.2 Расчёт рекуперативного теплообменника.............................................. 217
13.3 Пример расчета теплообменного аппарата типа «труба в трубе»....... 221
14 Гидравлический расчет трубопроводов и насосной установки........... 226
14.1 Основные расчетные формулы............................................................... 226
14.2 Насосная установка.................................................................................. 232
14.3 Совмещенная характеристика насоса и трубопровода......................... 236
14.4 Регулирование режимов работы насоса................................................. 237
14.5 Выбор основных параметров центробежного насоса........................... 238
14.6 Пример расчета колеса центробежного насоса..................................... 242
15 Истечение жидкости................................................................................. 247
15.1 Истечение жидкости через отверстия..................................................... 247
15.2 Истечение жидкости через насадки........................................................ 249
.15.3 Истечение жидкости при переменном напоре....................................... 250
15.4 Принцип работы простейшего карбюратора.......................................... 254
15.5 Расчет простейшего карбюратора........................................................... 255
16 Устройство, принцип действия и основы расчета двигателя
внешнего сгорания.................................................................................... 259
16.1 Идеальный цикл Стирлинга.................................................................... 259
16.2 Основные формулы, описывающие протекание процессов цикла
двигателя Стирлинга................................................................................ 261
16.3 Принцип действия двигателя Стирлинг................................................ 264
16.4 Схема работы двигателя Стирлинга с кривошипно-шатунным
механизмом и его расчёт......................................................................... 266
Приложение А Таблицы производных, дифференциалов и интегралов 273
Приложение Б Математические константы и логарифмы................... 276
Приложение В Вычисление площадей и объемов некоторых фигур 282
Приложение Г Начальные сведения для работы в среде Mathcad....... 283
Приложение Д Расчёт цикла четырёхтактного тепловозного двигателя типа ЧН 26/26 в системе Mathcad.........................................
301
Литература................................................................................................. 327
Введение
Двигатели внутреннего сгорания вырабатывают более 60 %
энергии, используемой человеком (транспорт, сельское хозяйство,
строительство, энергетика, добыча нефти, газа). Любая машина
(транспортная, воздушная, морская, строительная, дорожная) в своем
составе имеет двигатель. В данном учебном пособии предложена методика расчета некоторых систем и механизмов двигателей внутреннего сгорания при помощи интегрального и дифференциального исчисления. Пособие может быть полезно студентам любой технической
специальности, которые изучают дисциплину «Высшая математика».
Первые три главы пособия посвящены основным вопросам
дифференциального и интегрального исчисления функции одной действительной переменной.
Дифференциальное исчисление  раздел математики, в котором изучаются способы вычисления производных, дифференциалов и
их применение к исследованию свойств функций.
Интегральное исчисление  раздел математики, в котором
изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения (определения работы, площади, объемов). Именно с созданием
дифференциального и интегрального исчисления связывают возникновение «высшей математики». С их появлением получен аппарат,
позволяющий анализировать различные процессы, что важно для
объяснения физических явлений и построения научной картины мира.
Без помощи производных и интегралов практически невозможно исследовать функции, характеризующие зависимость одних величин от других. Законы природы и техники можно описать с использованием производных и интегралов. Например, соотношения между
пройденным расстоянием и скоростью движения, уравнением кривой
и площадью под этой кривой представляют собой те конкретные вопросы, на основе которых сложились дифференциальное и интегральное исчисления. Понятия производной и интеграла применимы не
только к перечисленным вопросам, но и к самым различным областям
науки и техники. В качестве примера следует назвать исследование
горения топлива в цилиндрах двигателей внутреннего сгорания, колебательные процессы в механических, гидравлических и электрических
системах.
Производная, интеграл, теорема Ньютона-Лейбница связаны
между собой и представляют определённый язык, приспособленный
для описания различных законов природы и техники.
6
Для преобразования поступательного движения поршня в цилиндре во вращательное движение коленчатого вала служит кривошипно-шатунный механизм (КШМ). Этот механизм является главным
для двигателя.
Все процессы в работающем двигателе переменны. При движении поршня в цилиндре изменяется во времени его скорость и ускорение. Изменение скорости и ускорения поршня по времени определялось при помощи производных.
По данным теплового расчета двигателя построена индикаторная диаграмма. Линии сжатия и расширения на ней определялись при
использовании «текущей» величины сжатия и степени расширения.
Расчет индикаторной работы цикла осуществлялся с использованием
определенного интеграла.
Качество процесса подачи топлива оценивалось дифференциальной и интегральной характеристиками. В работе приведена методика их построения и показан расчет на электронных вычислительных
машинах (ЭВМ).
Для расчета коленчатого вала приведены дифференциальные
уравнения свободных и вынужденных крутильных колебаний с одной массой, дано их решение.
При определении времени вытекания жидкости через отверстие
из резервуара при переменном напоре использовалось интегральное
исчисление.
Вывод формул, определение производных, интегралов, построение графиков, расчёт систем и механизмов тепловых двигателей даётся как обычными математическим методами, так и с применением системы Mathcad. Дан расчёт цикла тепловозного дизельного двигателя
с автоматическим построением индикаторной диаграммы в системе
Mathcad. Приведены начальные сведения, достаточные для работы в
среде Mathcad.
Целью данной монографии является формирование теоретических и практических знаний у студентов технических специальностей
при изучении дисциплины «Высшая математика», а также при изучении прикладных дисциплин, связанных с математическими расчётами.
7
1 Основы дифференциального
одной действительной переменной
исчисления
функции
1.1 Понятие производной функции
В процессе решения задач, возникающих в физике, химии, технике, достаточно часто приходится сталкиваться с зависимостями одних величин от других, с так называемыми функциональными зависимостями (функциями). Функциональная зависимость одной величины у от другой величины х означает, что каждому значению х соответствует определенное значение у. Величина х при этом называется
независимой переменной (аргументом), а у – зависимой переменной (функцией). В переводе с латинского функция означает «исполнение». Функция является одним из основных математических понятий.
Обозначается функция следующим образом: y  y  x  ; y  f  x  .
Пусть функция y  f ( x ) определена в некотором интервале
 a ; b  (рисунок 1.1). Возьмем произвольную точку x 0   a ; b  . Для
любого x   a ; b  разность x  x 0 называется конечным приращением аргумента x в точке x 0 и обозначается  x (читается как «дельта
икс»)
 x  x  x0 .
(1.1)
Следовательно, x  x 0   x (см. рисунок 1.1). Обозначение
x 0   a ; b  означает, что точка х0 принадлежит интервалу  a ; b  .
а)
б)
Рисунок 1.1 – Приращение аргумента и приращение функции
8
Разность соответствующих значений функции f ( x )  f ( x 0 )
называется приращением функции f ( x ) в точке x 0 и обозначается
 y (см. рисунок 1.1):
 y  f ( x)  f ( x0 )
или  y  f ( x 0   x )  f ( x 0 ) .
(1.2)
Необходимо понимать, что  − это не множитель, а символ, и
 x − не произведение  на x . Символ  − это прописная греческая
буква «дельта», заменяющая слово «приращение».
Заметим, что приращения  x и  y могут быть как положительными, так и отрицательными числами (см. рис. 1.1). Так, например, на
рисунке 1.1, а  x  0  x  x 0  и  y  0  f  x   f  x 0   , а на рисунке 1.1, б  x  0  x  x 0  , но  y  0 ( f  x   f  x 0  ).
Задачи, приводящие к понятию производной. Классическими
задачами, приводящими к понятию производной, считаются задача о
нахождении скорости прямолинейного движения материальной точки
и задача о касательной к кривой.
Скорость прямолинейного движения. Задачи о движении тел
с постоянной скоростью  приводят к простым арифметическим и алгебраическим расчетам, основанным на том, что путь равен произведению скорости на время, то есть по элементарной формуле S    t ,
где S – путь, t – время,  − скорость. Однако в природе мы, как правило, имеем дело с движением, скорость которого меняется с течением времени. Исследование таких движений приводит к важным физическим понятиям пути и скорости как функций времени. Здесь возникают основные понятия высшей математики – понятия производной
и интеграла.
Итак, пусть материальная точка М (например, автомобиль) движется неравномерно по прямой линии (рисунок 1.2).
Рисунок 1.2 – Движение материальной точки
Каждому значению времени t соответствует некоторое расстояние ОМ  S от фиксированной точки О. В нашем примере точка М
движется вправо от точки О . Это расстояние зависит от истекшего
9
времени t, поэтому мы имеем дело с функциональной зависимостью
пути S от времени t. Закон движения материальной точки М выражается функцией S  S  t  . Найдем скорость движения материальной
точки. В общем случае неравномерного движения скорость не остается постоянной. С течением времени она меняется, а потому скорость
 так же, как и путь S , является функцией времени t ,     t  ).
Наша задача заключается в том, чтобы выразить эту неизвестную
функцию   t  через известную функцию S  t  .
Если в некоторый момент времени t точка займет положение М,
то в момент времени t   t (  t − приращение времени, некоторый
малый промежуток времени) точка займет положение М 1
(см. рисунок 1.2). При этом О М 1  S   S , то есть за время  t точка
М переместится на расстояние  S  S  t   t   S  t  , (  S − приращение расстояния). При этом средняя скорость движения материальной
точки М за время
t
будет определяться отношением  с р

S
t
.
Заметим, что средняя скорость зависит от значения  t и с
уменьшением  t средняя скорость точнее выражает скорость движения точки в данный момент времени t. Предел средней скорости движения при стремлении к нулю (малому значению) промежутка времени  t называется скоростью движения материальной точки в данный момент времени, или мгновенной скоростью. Обозначив эту скорость через  , получим
  lim
S t  t   S t 
t
t 0
 lim
t 0
S
t
.
(1.3)
Буквы lim (начальные буквы латинского слова «limes» – «предел») обозначают предел; под ним записано, о каком именно пределе
идет речь – при  t  0 (  заменяет слово «стремящимся»). Чтобы
понять, что означает выражение «предел» («стремление к пределу»),
обратим внимание на следующее. При вычислении скорости вся суть
расчета заключалась в том, чтобы «брать» малые  t и соответствующие им малые  S . При этом получается каждый раз вполне определенное отношение
 S
t
. Когда
t
уменьшается (стремится к нулю), то
величина ΔS уменьшается пропорционально
 S
t
t
, а потому отношение
остается приблизительно постоянным. Отношение
к определенному пределу при стремлении
10
t
 S
t
стремится
к нулю, но не достигая
нуля. Величина этого предела и есть мгновенная скорость   t  в случае, когда S − путь, а t − время.
Задача 1.1 При движении материальной точки М по прямой
наблюдалась зависимость
t
S 
1
1 t
2
проходимого пути
S
от времени
(рисунок 1.3). Чему равна средняя скорость движения  с р на интер-
вале от момента t до
момент времени t ?
t  t
? Чему равна мгновенная скорость  м г н в
Рисунок 1.3 – График функции
2
S  1 / (1  t )
Рассмотрим правую часть графика при t ≥ 0, так как согласно
условию задачи 1.1 t  время. При t = 0 значение S = 1. При t,
стремящемся к 0, предел данной функции также равен 1, поскольку
функция непрерывна в точке t = 0. При увеличении t значение пути
уменьшается согласно зависимости
S 
1
1 t
2
и стремится к нулю. По
подобной зависимости движется по прямой клапан, например, механизма газораспределения, приводимый в действие кулачком вогнутой
формы.
Решение. Согласно изложенному выше средняя скорость движения материальной точки может быть найдена как отношение  S к
 t , где  t  приращение времени (некоторый малый промежуток
времени),  S  приращение расстояния (расстояние, на которое переместится материальная точка за время  t ), а мгновенная скорость
11
есть предел средней скорости при
t  0
:  ср

S
;  м гн
t
S
 li m
t 0 t
.
Следовательно, используя данные задачи, найдем  с р и  м г н .

1  t  1  t   t 
2
1
 ср 
S
t

1 t



S t   t   S t 
t
2

 1 t
2
1  t   t 
2

 1 t
2 t t  t 
2

2

2


1 t

t
1   t   t    1  t    t
 
2
2
2

1 t

1  t   t 
2
 2t t  t
2

 1 t


 1 t
2

2

t

.

2t   t

 lim
 lim 
2
2
t 0  t
t 0 
1  t   t   1  t




2
S

2
1   t   t    1  t    t
2
2
2
t
 t  2t   t 
2t   t

1   t   t    1  t 
2
1  t   t 
2
2
1 t
t
 2t t  t
 
 м гн

1  t   t 
1
2


2t

 

2
1 t




2
.
График полученной функции мгновенной скорости (скорости в
данной точке или в данный момент времени) представлен на
рисунке 1.4.
Рисунок 1.4 – График функции 
2
  2 t /(1  t )
2
Использование математической системы Mathcad для определения скорости и её графического построения. В приложении Г
12
описаны основные возможности системы Mathcad, а также приведены
инструкции по применению этой системы. Здесь же отметим лишь,
что как на смену счёт и логарифмических линеек пришёл калькулятор,
так и на смену калькулятору приходит компьютерная математическая
система Mathcad. Одной из задач данной книги как раз и является
обучение студентов приёмам работы в системе Mathcad с целью дальнейшего использования этой системы при выполнении курсовых проектов и дипломных работ.
Последние достижения компьютерной алгебры позволяют решать задачи в аналитическом виде. Для расчёта выражения для скорости по известной функции пути от времени S ( t )  1/(1  t 2 ) с помощью
предела необходимо записать конечное приращение пути за конечный
промежуток времени  S ( t ) = S ( t   t )  S ( t ) ; выбрать на панели Math
(Математика) панель Calculus (Вычисления) и нажать кнопку lim , в
a
открывшемся шаблоне заполнить затенённые клеточки, а затем ввести
знак символьного вычисления  (сочетание клавиш [Ctr+>] (больше), то сразу появится решение:
S ( t ): 
1
1 t
2
 S ( t ):= S ( t   t )  S ( t )
 ( t ):= lim
t 0
 S (t )
t
2t
 
(t
2
 1)
2
.
Для построения графиков пути и скорости необходимо вызвать
панель Graph (График), выбрать шаблон для декартового графика и
заполнить соответствующие ячейки, как это сделано на рисунке 1.5.
Рисунок 1.5 – Графики функций
13
S (t ) и  (t )
Примечание. Рассмотрим функцию
S 
1
1 t
2
. Согласно усло-
вию задачи 1.1 функция S выражает путь, пройденный материальной
точкой, а переменная t − время. Следовательно, S и t − размерные величины. Если путь S выражен в м, а время t − в с, то для соблюдения
требования размерности (единиц величины) надо записать функцию
пути S в виде
S 
a
bt
2
, где коэффициент a имеет единицу
м с
2
,а
b имеет единицу c2. В нашем примере a  1 м  с 2 , b = 1 c2.
Если рассмотреть полученную нами в результате решения задачи функцию  м г н
 
2t

1 t
2

2
, выражающую скорость движения ма-
териальной точки в момент времени t (мгновенную скорость или скорость в данной точке), то здесь также соблюдается требование размерности. Действительно, числитель полученной дроби имеет единицу м  с 2  с  м  с 3 (после преобразований коэффициент a  1 м  с 2 как
множитель останется в числителе, а время t выражено в с). Знаменатель полученной дроби имеет единицу с4 [b = 1 c2, время t выражено в
с, следовательно, знаменатель имеет единицу с 2  2  с 4 ]. После соответствующего сокращения единиц мы получим значение скорости в
м/с
м с
3
с
4
 м с
.
При измерении приращения функции ΔS в м, а аргумента Δt в с
отношение ΔS/Δt равное, например, 0,5, следует понимать как
скорость, равную 0,5 м/с.
Касательная к кривой. Рассмотрим график функции y  f ( x ) ,
определенной и непрерывной на интервале ( a ; b ) (рисунок 1.6) (например, речь может идти о движении материальной точки М, тогда значению y будет соответствовать путь S , x − время t ). Фиксируем произвольную точку х интервала  a ; b  и рассмотрим приращение  x  0
аргумента x , настолько малое, что значение x   x также принадлежит интервалу ( a ; b ) . Пусть М и Р – точки графика функции y  f ( x ) ,
абсциссы которых соответственно равны x и  x . Тогда координаты
точек М и Р соответственно равны: М  x ; f  x   , P  x   x ; f  x   x   .
Прямую, проходящую через две заданные точки М и Р графика
функции y  f ( x ) , называют секущей (рисунок 1.4). Секущая прямая
«режет», «рассекает» в нужном месте график функции y  f ( x ) .
14
Пусть точка Р, двигаясь по кривой, приближается к точке М (при
стремлении  x к нулю,  y также стремится к нулю в силу непрерывности функции y  f ( x ) ). Тогда секущая, поворачиваясь от точки
Р, стремится к некоторому предельному положению Т (секущая МР
примет одинаковое положение с касательной Т). Другими словами,
когда две точки М и Р графика функции y  f ( x ) сближаются, секущая МР приближается к касательной Т.
Определение. Касательной к кривой в данной точке М называется предельное положение секущей МР, проходящей через точку М,
когда вторая ее точка пересечения Р неограниченно приближается по
кривой к точке М.
Рисунок 1.6 – Касательная к кривой (геометрический смысл
производной)
Проведем к графику непрерывной кривой y  f ( x ) невертикальную касательную Т в точке М (см. рисунок 1.6). Найдем ее угловой коэффициент k  tg  , численно равный тангенсу угла наклона
 касательной к оси Ох.
Рассмотрим угол  между секущей МР и осью Ox . При анализе
рисунка 1.6 можно заметить, что угловой коэффициент секущей равен
k с е к  tg  
y
x

f
x 
x   f
x
x
.
(1.4)
Напомним, что в прямоугольном треугольнике тангенс острого
угла равен отношению противолежащего катета (например, приращения функции  y ) к прилежащему (приращению аргумента  x ).
15
При  x  0 в силу непрерывности функции y  f ( x ) приращение  y также стремится к нулю (  y  0 ); поэтому точка Р неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая МР, поворачиваясь вокруг точки М, переходит в касательную. При этом угол
   , то есть lim    , а следовательно, и lim tg   tg  .
x 0
x 0
Воспользовавшись вышеприведенными формулами, выразим
угловой коэффициент касательной k:
y
k  tg   lim tg   lim
x 0
x 0
x
 lim
f
x 
x   f
x
x 0
x
.
(1.5)
Заметим, что пределы (1.3) и (1.5), полученные нами при решении задачи о скорости прямолинейного движения материальной точки
и задачи о касательной к кривой, имеют одинаковый вид: везде требуется найти предел отношения приращения функции к приращению
аргумента. Этот предел называют производной.
Определение. Производной функции y  f ( x ) в данной фиксированной точке x  x 0 называется предел отношения приращения
функции  y к приращению аргумента  x при стремлении приращения аргумента к нулю (при условии, что этот предел существует).
Таким образом, по определению:
f ( x 0 )  lim
x 0
f
 x0
 x   f
x
 x0 
 lim
x 0
y
x
.
(1.6)
Обозначение производной: y x , y , f   x  .
Название «производная» связано со следующим обстоятельством. Если f  x  есть функция аргумента x , то предел (1.6) зависит
как от вида функции f  x  , так и от того значения аргумента x , при
котором вычисляется этот предел, то есть этот предел также есть
функция аргумента x  новая функция, которая задается (порождается или производится) функцией f  x  . А потому эту новую функцию естественно называть производной функцией, где прилагательное
«производная» подчеркивает ее зависимость от исходной, или основной функции f  x  .
Определение. Функция y  f ( x ) , имеющая производную в каждой точке интервала  a ; b  , называется дифференцируемой в этом
интервале. Операция по нахождению производной функции называется дифференцированием.
16
1.1.1 Физический и геометрический смысл производной
Равенство
  li m
S
t 0 t
, полученное нами при решении задачи о
скорости прямолинейного
(см. п. 1.1), перепишем в виде
движения
материальной
  S t ,
точки
(1.7)
то есть скорость  прямолинейного движения материальной точки в
момент времени t есть производная пути S по времени t. Именно в
этом заключается механический смысл производной.
В общем случае, если функция y  f ( x ) описывает какой-либо
физический процесс, то производная y  есть скорость протекания этого процесса1. В этом заключается физический смысл производной.
Именно со скоростью отождествлял производную английский
ученый, разработчик интегрального и дифференциального исчисления
Исаак Ньютон (1642–1727). При этом свойства производной воспринимались им как физические свойства скоростей. Ньютон называл производную флюксией, а исходную функцию, для которой вычисляется
производная, флюентой (от латинского слова «fluere» – «течь»). Этим
подчеркивалось, что рассматриваемые величины являются переменными. При этом флюксия возникла как скорость изменения флюенты,
а флюента восстанавливалась по флюксии как путь по скорости.
В задаче о касательной к кривой (см. 1.1) был найден угловой
коэффициент касательной
k  tg   lim
y
x 0 x
. Опираясь на определе-
ние производной, это равенство мы можем переписать в виде
f   x   tg   k
то есть производная
f  x 
,
(1.8)
в точке x равна угловому коэффициенту
касательной к графику функции y  f ( x ) в точке, абсцисса которой
равна х. В этом заключается геометрический смысл производной.
Заметим, что в точке касания M  x 0 ; y 0  угловой коэффициент
Обычно под скоростью протекания процесса понимается отношение приращения какой-либо величины к приращению времени, то есть это понятие применяется для величин, зависящих от времени. Например, dp(t) /dt – скорость изменения давления; dT(t) /dt – скорость изменения температуры. Если величина
зависит от координаты, то отношение приращения величины к приращению координаты связывают с понятием градиента. Например, dT(x) /dx – модуль градиента температуры.
1
17
касательной есть
ке имеет вид
k  f   x0  .
Тогда уравнение касательной в этой точ-
y  y 0  f  x 0    x  x 0  .
(1.9)
Определение. Прямая, перпендикулярная к касательной в точке
касания, называется нормалью к кривой. Ее уравнение имеет вид
y  y0  
1
f   x0

  x  x0
.
(1.10)
Предел, к которому стремится отношение приращения функции
к приращению аргумента при стремлении к нулю приращения аргумента, имеет первостепенное значение и для самой математики, и для
многих ее приложений. Так, выше, при рассмотрении задачи о скорости прямолинейного движения мы видели, например, что такое важнейшее понятие, как мгновенная скорость движения, находится с помощью подобного предела. К подобному же пределу сводится ряд
других важных задач. Перечислим некоторые из них:
а) если Q  Q ( t )  количество электричества (Кл), проходящего
через поперечное сечение проводника за время t (с), то сила тока I
(1 А = 1 Кл/с) в момент времени t равна
I  Q t  lim
Q t  t   Q t 
t
t 0
 lim
t 0
Q
t
;
(1.11)
б) если N  N ( t ) − количество вещества (кг), вступившего в химическую реакцию за время t (с), то скорость химической реакции V
(кг/с) в момент времени t равна
N t   t   N t 
V  N t  lim
t
t  0
в) если
m  m( x )
ного между точками
стержня

 lim
N
t  0
t
;
(1.12)
 масса неоднородного стержня, расположенO  0;0 
и
М
 x ; 0  , то линейная плотность
в точке х равна
  m x  lim
x 0
m  x  x  m  x 
x
 lim
x 0
m
x
.
(1.13)
Поясним, что мы понимаем в данном случае под линейной
плотностью. Рассмотрим тонкий стержень. Величина  (кг/м) есть
18
произведение объемной плотности материала d (кг/м3) и площади S
сечения стержня (м2):   d  S . Так как стержень может иметь переменные по длине, то есть зависящие от x сечение и плотность материала, из которого сделан стержень, то  является функцией координаты     x  . Величину  называют линейной плотностью, или плотностью на единицу длины [11]. Толщину стержня считаем бесконечно
малой, а потому графически стержень представляет собой прямую линию – отрезок оси Ох.
Примечание. Вообще, плотность вещества  (кг/м3) определяется как отношение массы вещества m (кг) к занимаемому им объему V (м3):  
m
. В математических расчетах приходится сталкивать-
V
ся с такими понятиями, как линейная плотность (плотность на единицу длины) (кг/м), поверхностная плотность (плотность на единицу
площади) (кг/м2), объемная плотность (плотность на единицу объема)
(кг/м3).
Пример 1.1 Теплоёмкостью (удельной теплоемкостью) того
или иного вещества называется количество тепла (Дж), которое
необходимо для нагревания 1 кг рассматриваемого вещества (например, воды, стали) на 1 оС 1. Но при различных начальных температурах для нагревания 1 кг вещества на 1 0С или 1 К требуется разное количество тепла. В связи с чем теплоемкость вещества с является
функцией начальной температуры Т: с  с Т  . Так, например, для
нагревания 1 кг стали, взятой при температуре 0 оС, на 1 оС требуется
440,857 Дж теплоты, а для нагревания на 1 оС того же количества стали, взятой при температуре 50 оС, нужно уже 470,583 Дж (сталь –
сплав железа с углеродом, где содержание углерода до 2 %).
Определим теплоемкость тела, отвечающую данной фиксированной температуре Т. Пусть Q – количество тепла (Дж), которое надо
передать 1 кг рассматриваемого вещества для нагревания его от исходной температуры (не важно какой) до температуры Т. Очевидно, что Q
зависит от Т: Q  Q  T  . Тогда для нагревания 1 кг вещества от температуры T 1 до температуры T 2 понадобится Q  T1 ,T 2   Q  T 2   Q  T1  −
Строго говоря, такая формулировка неверна, так как теплоёмкость не является количеством тепла (Дж) – это другая величина (Дж/(кг.К). Можно говорить лишь о численном равенстве теплоёмкости и количества тепла, подведённого к телу единичной массы при изменении его температуры на один градус [36].
1
19
теплоты; для нагревания тела от температуры T до  T   T  оС (  T 
очень малое приращение температуры) понадобится теплоты –
Q T   T
  Q T  
Q
.
Поэтому средняя теплоемкость c с р на участке от
T
 T
T
до
 , оС, определится как отношение
сср 
Q T   T  Q T
T

Q

T
.
(1.14)
Мгновенная теплоемкость c м г н (прилагательное «мгновенная» в
данном случае относится не к определенному моменту времени, а к
фиксированной температуре T тела) определяется как значение сср,
отвечающее очень маленькому приращению  Т температуры, причем полученное таким путем значение теплоемкости c м г н будет тем
точнее, чем меньшее  Т мы берем. Заметим, что в подавляющем большинстве случаев уже значение  Т  1 К (1 оС) будет достаточно мало
для точного определения величины с  с  Т  . Здесь выражение «достаточно мало» означает, что полученное таким путем значение теплоемкости с практически не будет отличаться от значения, к которому
мы придем, выбрав меньший интервал  Т изменения температуры.
Таким образом,
c м г н  Q T  lim
Q T   T  Q T
T
T  0

 lim
Q
T  0 T
.
(1.15)
Проиллюстрируем сказанное выше на примере нагревания 1 кг
стали от 0 до Т оС. Количество тепла Q  Q  T  , необходимого для
нагревания 1 кг стали от 0 до Т оС, дается следующей эмпирически
наблюдаемой зависимостью [12]:
Q T

4 4 0 ,8 5 7 T  0 , 2 9 7 2 5 T
2
.
Тогда в соответствии с вышесказанным
сср 

Q
T

Q T   T  Q T
T
4 4 0 ,8 5 7 T  0 ,2 9 7 2 5 T
T


4 4 0 ,8 5 7  T   T   0 ,2 9 7 2 5  T   T

T
2
 4 4 0 ,8 5 7  0 , 5 9 4 5 T  0 , 2 9 7 2 5  T
Следовательно,
20
.
2

Q
c м г н  lim
T  0 T
 lim
T  0
 4 4 0 ,8 5 7
 0 ,5 9 4 5 T  0 , 2 9 7 2 5  T


 440 , 857  0 , 5945 T
.
Аналогичный результат мы получим более коротким путем, взяв
производную от выражения Q  T   4 4 0 ,8 5 7 T  0 , 2 9 7 2 5 T 2 по переменной Т, воспользовавшись таблицей производных A.1:
Q T
Таким


4 4 0 ,8 5 7 T  0 , 2 9 7 2 5 T
образом,
2


 4 4 0 ,8 5 7  0 , 5 9 4 5 T
.
Дж/(кг∙град), а например,
с ( 1 0 0 )  4 4 0 , 8 5 7  0 , 5 9 4 5  1 0 0  5 0 0 , 3 0 7 Дж/(кг∙град). Обычно удельную теплоемкость с выражают в Дж/(кг∙К).
Рассмотрим также вариант графического решения задач на
нахождение производной функции на примере задачи 1.2 и примера 1.2 (нахождение скорости по графику функции перемещения).
с ( 0 )  4 4 0 ,8 5 7
Задача 1.2 Пусть материальная точка движется по закону S  t 2 ,
где S = S(t) – функция зависимости пути от времени; t  время. Найти
графически изменение скорости движения материальной точки за
промежуток времени от нуля до двух секунд.
Замечание. Как и в задаче 1.1, для соблюдения требований размерности считаем
S  k t
2
, где коэффициент k имеет единицу м/с2. В
нашем случае считаем k  1 м /с 2 .
Решение. Построим график зависимости пути от времени.
Пусть вертикальная ось соответствует перемещению S, а горизонтальная – времени t (рисунок 1.7). По условию задачи t   0 ; 2  . График
представляет собой ветвь параболы на участке изменения t от 0 до 2.
Рисунок 1.7 – График перемещения материальной точки
21
Разобьем отрезок [0;2] на 10 частичных отрезков [ti-1 ;ti] равной
длины Δ ti = 0,2 (i принимает значения от 1 до 10). Найдем Δ Si =
= S(ti) − S(ti-1) − изменение пути, соответствующее изменению времени Δ ti на каждом участке. Например, на участке [0; 0,2]
Δ S1 = S(t1) − S(t0) = S(0,2) − S(0) = 0,22 − 02 =0,04; на участке [0,2; 0,4]
Δ S2 = S(t2) − S(t1) = S(0,4) − S(0,2) = 0,42 − 0,22 = 0,16 − 0,04 = 0,12.
Результаты заносим в таблицу 1.1.
Таблица 1.1 – Определение скорости движения материальной точки
ti , с
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
Si=S(ti ), м
0
0,04
0,16
0,36
0,64
1,0
1,44
1,96
2,56
3,24
4,0
Δ Si , м
0
0,04
0,12
0,2
0,28
0,36
0,44
0,52
0,6
0,68
0,76
 c p i = Δ Si /Δ t, м/с
0
0,2
0,6
1,0
1,4
1,8
2,2
2,6
3
3,4
3,8
Далее на каждом интервале найдем отношение Δ Si /Δ ti. Это
отношение равно средней скорости движения материальной точки
 c p i на каждом участке изменения времени (см. 1.1). Результаты также заносим в таблицу 1.1. Используя полученные данные (первый и
четвертый столбцы таблицы 1.1), в координатах V – t обозначаем точки (ti;  c p i ) (рисунок 1.8, а). Плавно соединив эти точки, строим график изменения средней скорости движения материальной точки c
течением времени (см. рисунок 1.8, а).
Получить график изменения скорости движения материальной
точки за данный промежуток времени можно предварительно отыскав
производную пути по времени. Согласно формуле (1.7)   S t , сле
довательно, в нашем примере   S   t    t 2   2 t . То есть график
изменения скорости движения материальной точки в координатах
 −t представляет собой прямую линию (рисунок 1.8, б). Сравнительный анализ рисунков 1.8, а и 1.8, б показывает, что эти графики
практически совпадают. Точный график скорости движения матери22
альной точки изображен на рисунке 1.8, б. С уменьшением Δ ti
график рисунка 1.8, а будет в большей степени соответствовать графику, изображенному на рисунке 1.8, б, в связи с тем, что
  lim  c p  lim
t 0
t 0
S
t
(1.3).
Рисунок 1.8 – Скорость движения материальной точки
Пример 1.2 Графическое решение задачи нахождения скорости
поршня по его перемещению. Рассмотрим движение поршня в кривошипно-шатунном механизме (КШМ) двигателя внутреннего сгорания.
КШМ служит для преобразования возвратно-поступательного движения поршня во вращательное движение коленчатого вала (кривошипа).
При вращении кривошипа 1 (рисунок 1.9) длиной АБ и радиусом R точка Б описывает окружность. Разобьем половину окружности
на 18 точек через 100. Кривошип перемещает шатун 2, который в точке С соединен при помощи пальца с поршнем 3. Поршень под действием давления газов совершает движение по оси цилиндра 4.
Выполним чертеж КШМ в определенном масштабе (например,
1:1). В нашем примере радиус кривошипа R = 37 мм, а длина шатуна
L = 125 мм. Конструктивный параметр КШМ λ = R/L для автомобиль23
ных двигателей лежит в пределах 0,250,35. Частота вращения кривошипа 5600 мин-1 (двигатель типа ВАЗ).
Рисунок 1.9 – Определение пройденного пути поршнем в зависимости от положения кривошипа (угла  )
За исходное примем положение, когда ось кривошипа 1 и шатуна 2 совмещены с осью цилиндра 4. Для анализа движения поршня
важны три его функции  путь, скорость, ускорение, зависящие от
времени или угла поворота φ кривошипа.
Рассмотрим перемещение поршня 3 от точки С по оси цилиндра
4 при повороте кривошипа 1 на 10, 20 , 30о и т. д. до 180о. От 180 до
360о движение поршня симметрично, и на данном участке измерения
не производим. При повороте кривошипа, например, на 30о шатун
следует за кривошипом и перемещает поршень (смотрите отметки на
оси цилиндра). Приращение хода поршня (изменение функции) обозначим через ΔS. Результаты измерений заносим в таблицу 1.2, по
данным которой строим график зависимости перемещения поршня S
от угла поворота кривошипа  (рисунок 1.10).
Функция S = S(  ) является исходной (начальной) и с ее помощью можно получить другие функции, например, скорости, ускорения поршня в зависимости от угла или времени поворота кривошипа.
Заметим, что путь поршня можно определить и расчетным способом
по формуле (см. раздел 4)
S  R  (1  c o s  ) 
R 
4
24
 ( 1  cos2 ) .
Таблица 1.2 – Изменение перемещения и скорости поршня в
зависимости от угла поворота кривошипа
,
град
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
Перемещение
поршня S, мм
0
0,72
2,87
6,33
10,93
16,47
22,67
29,27
36,00
42,60
48,85
54,58
59,67
64,00
67,30
70,00
72,00
73,98
74,00
Приращение
хода поршня
(функции) ΔS, м
0
0,72·10 -3
2,15·10 -3
3,46·10 -3
4,60·10 -3
5,54·10 -3
6,20·10 -3
6,60·10 -3
6,73·10 -3
6,6·10 -3
6,25·10 -3
5,73·10 -3
5,08·10 -3
4,37·10 -3
3,3·10 -3
2,70·10 -3
2·10 -3
1·10 -3
0
Скорость
поршня  ,
м/с
0
2,42
7,16
11,53
15,33
18,46
20,66
22,00
22,43
22,00
20,83
19,10
16,93
14,56
11,00
9,00
6,60
3,30
0
Рисунок 1.10 – Зависимость перемещения поршня от угла
поворота кривошипа
25
Для определения скорости и ускорения поршня необходимо
знать время в секундах при повороте кривошипа на 10 о. Время в секундах, угол  в градусах и частота вращения кривошипа n (мин-1)
связаны выражением
 t   /  6  n   1 0 /  6  5 6 0 0   3 1 0
4
c.
Для каждого участка в интервале 10о приращение аргумента
равно 3·10–4 c. Чтобы определить скорость поршня при повороте кривошипа от 0 до 180о в интервале через 10о, необходимо приращение
пути ΔS (м) на каждом участке разделить на приращение аргумента
Δt = 3·10 – 4 c. Получим значение средней скорости (м/с) на каждом
участке Δ и занесем в таблицу 1.2. Для определения ускорения
поршня приращение скорости Δ на каждом расчетном участке делим на приращение аргумента Δ t = 3·10 – 4 c.
Например, рассмотрим рисунок 1.10 на участке изменения пути,
от 40 до 50о. Выделим прямоугольный треугольник, один из катетов
которого численно равен приращению пути ΔS = 5,54 мм
(ΔS = 16,47–10,93 = 5,54) (данные табл. 1.2), а другой − приращению
времени Δ t = 3·10 – 4 c. В рассматриваемом прямоугольном треугольнике отношение ΔS/Δt численно равно тангенсу угла  (рисунок
1.11): tg    S /  t  5 , 5 4  1 0  3 /  3  1 0  4   1 8 , 4 6 . С другой стороны, это отношение равно средней скорости движения поршня на данном участке пути за данный промежуток времени. То есть при приращении пути поршня на данном участке, равном 5,54·10-3 м за время
3·10–4 с, средняя скорость достигнет 18,46 м/с.
Таким образом, средняя скорость поршня на каждом участке
изменения времени равна отношению приращения пути к приращению времени. По полученным данным таблица 1.2 мы можем построить график изменения средней скорости
движения поршня в КШМ. Однако, как и
в предыдущей задаче 1.2, чем меньшие
значения Δ t мы будем брать (меньше шаг
расчета), тем точнее полученный график
будет соответствовать действительному
графику скорости движения поршня. Такой подход к решению рассматриваемой
задачи согласуется с определением производной функции как предела отноше- Рисунок 1.11 – Определение
ния приращения функции к приращению средней скорости поршня
аргумента при стремлении последнего к
нулю (малому значению) и иллюстрирует ее механический смысл.
26
Напомним, что производная является скоростью изменения процесса,
а в нашем примере скоростью движения поршня.
На рисунке 1.12 представлен график изменения скорости движения поршня (первой производной пути по времени) в зависимости от
угла поворота кривошипа  или соответствующего времени.
Рисунок 1.12 – Зависимость скорости поршня от угла поворота
кривошипа
Следует отметить, что график пути поршня в зависимости от
положения кривошипа существенно отличается от графика скорости
поршня как по форме, так и по единицам величины (м и м/с). Ход
поршня не зависит от частоты вращения кривошипа, а скорость зависит. Таким образом, используя понятие производной, расчетным путем из исходного графика пути поршня мы получили новый график
зависимости скорости поршня от угла поворота кривошипа.
Зная приращение скорости на отдельных участках, можно обратным путем определить приращение пути. Например, при повороте
кривошипа от 40 до 50о среднее значение скорости равнялось (15,33 +
+18,46)/2 = 16,89 м/с. Умножим полученное значение скорости на
время 3·10–4 c, соответствующее 10о (шагу расчета), получим среднее
приращение пути, равное 5,06·10-3 м. Полученный результат согласуется с данными таблицы 1.2 (4,6·10-3 + 5,5·10-3)/2 = 5,05·10-3 м).
Теорема 1.1 (Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции). Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.
Непрерывность функции в точке x 0 означает, что функция
имеет в этой точке предел, равный значению функции в этой точке:
lim f  x   f  x 0  . Или, что то же самое, каждому бесконечно малому
x  x0
приращению аргумента  x [формула (1.1)] функции y  f  x  соответствует бесконечно малое приращение функции  y , определенное
по формуле (1.2), то есть li m  y  0 . Графически непрерывность
x 0
27
функции в точке означает, что график функции в этой точке строится
«не отрывая руки».
Заметим, что обратное утверждение неверно, так как непрерывная в
данной точке функция может и не иметь
в ней производной. Например, речь идет
о функции y  x . На рисунке 1.13
представлен ее график.
Данная функция непрерывна в
точке x 0  0 , однако производной в
этой точке функция не имеет. Покажем
почему. Для этого по определению произРисунок 1.11 – График
водной посчитаем предел:
функции y=|x|
lim
x 0
 lim
y
x
x
x 0
y (0 + Δ x )  y (0 )
Δx
x 0
y( x0   x )  y( x0 )
 lim
Δ x 0
= lim
 x 0  x
Δx
Δx 0
x
 lim
Следовательно, в точке x 0  0 предел

 1 , x  0
 
  1 , x  0
y
lim
.
не существует, а
 x 0  x
значит, функция y  x не имеет в этой точке производной.
Найдем по определению производные некоторых элементарных
функций.
Пример 1.3 Найти производную функции y  x 2 .
Решение. Функция y  x 2 непрерывна в каждой точке действительной оси Ох. Найдем предел
 
x
2

 lim
y
x 0  x
2
 lim
x 0
x 0 x
x
x 0
2
x
.
y (x   x )  y (x )
 lim
x  2 x  x    x   x
y
lim
 lim
x 0
 lim
x  0
2 x
  x  2x
y  x
3
 lim
2
x
x 0


.
Пример 1.4 Найти производную функции
Решение. Функция
x
 x  2 x   x 
2
x
2
x
x 0
2 x  x    x 
2
 x x
 lim
y  x
3
.
непрерывна в каждой точке действи-
28
тельной оси Ох. Найдем предел
x 
3

 lim
y
2
 lim
2
3
 lim
 lim
x
x 0
 lim
x 0
3x
2
3

2
2
2
2
x
3 x  x  3 x    x     x 
3
3

x
x 0
 x  ( 3 x  3 x  x    x  )
3
x
x 0
x
x 0
 xx
 lim
x
x 0
x  3 x  x  3 x    x     x   x
3
.
x 0 x
y (x   x )  y (x )
 lim
x 0 x
y
lim
 3x  x  x
  3x
2
2
.
В общем случае вывод производной степенной функции
аналогичен. При этом
n
y  x ,n  N
 
x
n

 nx
n 1
.
Пример 1.5 Найти производную функции y  c o s x .
Решение. Функция y  c o s x непрерывна в каждой точке действительной оси Ох. Найдем предел
 cosx 

y
 lim
x 0 x
 2 s in
x
x 0
s in
2
s in
  lim
x 0
2 x x
2
s in
 2 s in
2 x x
2
x
2 x x 

  lim  s in
  lim
2
x 0 
 x 0
s in
2x
  s in
 1   s in x
2

x
2
x
2

x
s in
2
x
x 0
2
x
x
x 0
 lim
x
x 0
cos x   x  cosx
 lim
x x x
2
 lim
.
x 0 x
y (x   x )  y (x )
 lim
xx x
y
lim

2
. Таким образом,  cos

x    sin x
.
Заметим, что при нахождении предела мы воспользовались
формулой разности косинусов
c o s   c o s    2 s in
 
 s in
 
2
же первым замечательным пределом lim
 0
s in φ
φ
1
2
, а так-
(в нашем случае
  x
).
Аналогично можно найти производную функции
 s in x 

 cosx
y  s in x
:
.
Обратим внимание на то, что функции y  s in x и y  c o s x играют важную роль в расчетах двигателей внутреннего сгорания. С их
29
помощью описывают движение поршня (раздел 4); свободные и вынужденные крутильные колебания вала (раздел 6), работу турбины
двигателя, движение жидкостей в трубопроводах и работу, совершаемую в насосных установках.
Графики периодических функций y  s in x и y  c o s x представлены на рисунке 1.14. Наименьший положительный период этих
функций T  2  , при этом справедливы формулы s in  x  2  k   s in x ;
c o s  x  2  k   c o s x (k = 0; ± 1; ± 2; ± 3; …).
Рисунок 1.14 – Графики функций: а) y=sin x; б) y=cos x
Расчёт производных в системе Mathcad. Для определения
производных необходимо на панели Математика выбрать панель Вычисления и нажать кнопку d , в открывшемся шаблоне заполнить заdx
тенённые клеточки, а затем ввести знак символьного вычисления  :
d
dx
c o s ( x )   s in ( x ) ;
d
dx
s in ( x )  c o s ( x ) .
Для построения графиков s i n ( x ) и c o s ( x ) необходимо вызвать
панель Graph (График), выбрать шаблон для декартового графика и
заполнить соответствующие ячейки, как это сделано на рисунке 1.15.
30
Рисунок 1.15 – Графики периодических функций s i n ( x ) и c o s ( x )
1.1.2 Основные правила дифференцирования
Пусть u  u ( x ) ,    ( x ) − дифференцируемые в некотором интервале  a ; b  функции. Сформулируем для них правила дифференцирования:
1) производная произведения функции на константу равна
произведению константы на производную данной функции (константа
выносится за знак производной);


 Сu   C   u  .
(1.16)
2) производная суммы (разности) двух функций равна сумме
(разности) производных этих функций;

u     u     .
(1.17)
Заметим, что данное правило распространяется на случай, когда
число слагаемых  2 ;
3) производная произведения двух функций равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведение первой функции на производную второй;
u   

 u   u  .
4) производная частного двух функций
(1.18)
u (x )
 (x )
(при условии
 (x )  0 )
равна дроби, числитель которой есть разность произведений
знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на
производную знаменателя, а знаменатель равен квадрату знаменателя
исходной дроби

u    u  
 u 
  
2


31
.
(1.19)
1.1.3 Производная сложной функции
Пусть y  f ( u ) и u   ( x ) , тогда y  f (  ( x ) ) − сложная функция
с промежуточным аргументом и и независимым аргументом х.
Тогда, если функция u   ( x ) имеет производную u x в точке х, а
функция y  f ( u ) имеет производную y u в соответствующей точке
u   ( x ) , то сложная функция y  f (  ( x ) ) имеет производную y x в
точке х, которая находится по формуле
y x  y u  u x .
(1.20)
Таким образом, для нахождения производной сложной функции
необходимо сделать следующее: производную данной функции по
промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.
В том случае, когда функция содержит несколько промежуточных аргументов, это правило остается в силе (пример 1.7).
Пример 1.6 Найти производную функции y  3 sin x  2 .
Данная функция является сложной. Ее можно представить в ви1
де цепочки простых функций: y  u 3 ,u  s in x  2 . Следовательно,
воспользовавшись формулой (1.20), получим
1
y x  y u  u x 
1
u
3
1
 cosx 
1

2
3
u
 cosx 
3
3
3
1

3
3
1
 cosx
 s in x  2 
2
 s in x  2 

2
3
 cosx 
.
(1.21)
Определение производной в системе Mathcad:
y (x ): 
3
s in ( x )+ 2
,
d
dx
y (x ) 
c o s (x )  3 s in (x )+ 2
3  (s in (x )+ 2 )
.
(1.22)
Выражение (1.21) принимает вид (1.22), если числитель и знаменатель умножить на 3 s in ( x )+ 2 .
Пример 1.7 Найти производную функции y  ctg 3  ln  3 x  1   .
Данная функция также является сложной. Как и в предыдущем
примере, ее можно представить в виде цепочки простых функций:
3
y  u , u  ctg v, v  ln q , q  3 x  1 .
Тогда
1  1
2 
2
y x  y u  u v  v q  q x  3 u   
  3  3 c tg  ln  3 x  1  
2 
 s in v  q
32

1

 s in 2  ln  3 x  1  

 1
1
1
2


. (1.23)
 3   9 c tg ln  3 x  1 
2
 3 x 1
s in  ln  3 x  1   3 x  1



Определение производной в системе Mathcad:
d
2
3
c o t(ln (3 x  1 ))  
2
9  c o t(ln (3 x  1 ))  (c o t(ln (3 x  1 ))  1)
3 x 1
dx
. (1.24)
Выражение (1.24) преобразуется в (1.23), если использовать известную зависимость между синусом и котангенсом (в Mathcad котангенс ctg обозначается cot)
2
2
s in   1/(1 + c tg  ) .
33
1.1.4 Производная обратной функции
Пусть y  f ( x ) и x   ( y ) − взаимно-обратные функции.
Тогда, если функция y  f ( x ) строго монотонна на интервале
 a ; b  и имеет неравную нулю производную f x в произвольной точке
этого интервала, то обратная ей функция x   ( y ) также имеет производную  y в соответствующей точке, определяемую равенством
1
 y 
или
f x
1
x y 
.
y x
(1.25)
Пример 1.8 Найти производную функции y  arctg x .
Для решения задачи рассмотрим обратную функцию
По формуле производной обратной функции (1.25):
y x 
1
x y
x  tg y
.
. Следова-
тельно,
y x 
1
 tg y 


y
1
1

1
2
cos
2
1  tg y

1
2
1  tg
 arctg
x

1
1 x
2
.
y
В процессе преобразований мы воспользовались следующими
тригонометрическими формулами:
1
1 + tg 2  
cos
2
tg (arctg  )   .
;

Определение производной в системе Mathcad ( a rc tg x
d
a ta n ( x ) 
dx
1
2
x 1
y x 
1
 y 5 


 4 
5


1
x y
y
5
4x  5
5
. Следовательно,
4
5

4


5y
y
4
4

5

5
4x5

4
Определение производной в системе Mathcad:
d
5
4x  5 
dx
34
4
5
):
.
Пример 1.9 Найти производную функции y 
зуя формулу производной обратной функции.
По формуле (1.25) y x 
 a ta n x
4x  5
5  (4 x  5)
.
.
, исполь-
Производные основных элементарных функций записаны в виде
таблицы (см. таблицу A.1). Заметим, вывод этих формул основан на
определении производной и на приведенных выше правилах нахождения производной.
Пример 1.10 Найти производные следующих функций:
а) y  cos 7 x  6 3 x  tg 4  ln 2 x ;
б) y  ctg  3 x  8   arccos
x
в) y 
ln
3
 3
5 x
2
7x
;
2
 6
.
Решение
а) Для нахождения производной функции
y  cos7 x  6
3x
 tg 4   ln 2 x
необходимо воспользоваться правилом дифференцирования суммы
двух и более функций (1.17), а также правилом дифференцирования
сложной функции (1.20), поскольку функции c o s 7 x , 6 3 x , ln 2 x − сложные.

y   cos 7 x  6
3x
 tg 4  ln 2 x
  7 s in 7 x  3  6
3x





3x 
  cos 7 x   6
  tg 4    ln 2 x  

 ln 6  0  2 
1

  7 s in 7 x  3  6
3x
2x
 ln 6 
1
x
.
Определение производной в системе Mathcad:
d
(c o s (7 x )  6
3x
+ ta n (4 ) + ln (2 x )) 
dx
1
x
 3 6
3x
ln (6 )  7 s in (7 x ) .
б) Для нахождения производной функции y  c tg  3 x  8   a rc c o s 2 7 x
необходимо воспользоваться правилом дифференцирования произведения двух функций (1.18), а также правилом дифференцирования
сложной функции (1.20), поскольку функции c tg  3 x  8  , a rc c o s 2 7 x −
сложные.

y   сtg  3 x  8   arccos

2
 a rc c o s 7 x


2

7x
1
 
s in

  a rc c o s 7 x   
2
3 x 8 

s in
2
7 x  ctg  3 x  8  

2
  3 x  8   a rc c o s 7 x  c tg  3 x  8   2 a rc c o s 7 x 
1
2

  ctg  3 x  8    arccos
3 x 8 
 3  a r c c o s 7 x  c tg  3 x  8   2 a r c c o s 7 x 
2
35

1
 
2

1  7 x 

 
2

3  a rc c o s 7 x
1
   7 x  = 
 c tg  3 x  8   2 a rc c o s 7 x 
 7=
2
2

s in  3 x  8 
1 4 9 x

2
3  arccos
2
sin
3 x
7x
 8
.
y (x ):= c o t(3 x  8 )  a c o s (7 x )
2
(1.26)
2
1  49 x
Определение производной в Mathcad, где
d
1
 14 ctg  3 x  8   arccos 7 x 
a c o s x  a rc c o s x
2
1 4 a c o s (7 x )  c o t(3 x  8 )
2
y (x )   a c o s (7 x )  (3 c o t(3 x  8 )  3 ) 
:
dx
1 4 9 x
2
. (1.27)
Выражение (1.27) преобразуется в (1.26), если использовать известную зависимость между синусом и котангенсом (в Mathcad
c tg x  c o t x
)
2
2
1 + c tg  = 1 /s in 
.
x
в) Для нахождения производной функции y 
 3
2
необ5 x  6 
ходимо воспользоваться правилом дифференцирования частного двух
функций (1.19), а также правилом дифференцирования сложной
2
функции (1.20), поскольку функции  x  3  , ln 3  5 x  6  − сложные.
ln

  x  3 2 
 
y  
 ln 3  5 x  6  




 x  3  
2
3
5 x
5 x
5 x
5 x
6
5 x
2
5 x
2
ln
5 x
6
5 x
2
ln
6
5 x
36
2

 6



2
5 x
 6    ln  5 x  6  
 6
1
5x  6
 5 x  6 

2
5 x
 6
1
5x  6
 6
2
5 x
 6
5

15
5x  6



 6
 6    x  3   ln

 6
5 x
 6
 6    x  3   3 ln

3
3
3
 6
2
5 x
2  x  3   ln
2
 6    x  3   3 ln
ln
3
6

 6    x  3   ln
2

2  x  3   ln
5 x
 6    x  3   3 ln
ln
3
3
ln

2   x  3    x  3   ln
2   x  3   1  ln
 ln
3


x
 3    2  5 x  6  ln  5 x  6   15  x  3  
 5 x  6   ln  5 x  6 
Определение производной в системе Mathcad:
d
4
(x + 3 )
2
d x ln (5 x  6 ) 3

2x+6
ln (5 x  6 )
3

1 5 (x + 3 )
4
(1.28)
.
2
ln (5 x  6 )  (5 x  6 )
.
(1.29)
Выражение (1.29) преобразуется в (1.28), если правую часть
привести к общему знаменателю.
1.1.5 Производная неявно заданной функции
Под явным заданием функции понимают ее задание в виде
уравнения y  f  x  , разрешенного относительно y . Например,
y  x
2
 4
.
Под неявным заданием функции понимают ее задание в виде
уравнения F  x , y   0 , не разрешенного относительно y . Например,
y
2
 2 xy  y  sin x  6 .
Для нахождения производной y x функции, заданной неявно
уравнением F  x , y   0 , необходимо продифференцировать это уравнение по x , рассматривая при этом y как функцию от x (y = y(x)), а
затем полученное уравнение (если это необходимо) разрешить относительно y  .
Пример 1.11 Найти производную функции y , заданной неявно
уравнением x  y  2 cos y .
Решение. Согласно правилу дифференцирования неявно заданной функции, продифференцируем уравнение по x , рассматривая при
этом y как функцию от x , то есть y  y  x  .

1
2
x 
1

x
y
2
 1 
y   

2 x 

x
  2 cos y 

x


x

x 
y

x
  2 cos y  x

 1

1
 y    2 sin y  y   y   
 2 sin y   
2 y

y
2 x


 1

 1 

 2 sin y   y    

2 y

2
x




y  
y

x  1 4
37
y  sin y

.
 1  4 y  sin y 




2 y


Пример 1.12 Найти производную функции y , заданной неявно
уравнением
x
arcsin
 y ln x
.
y
Решение. Рассуждая аналогично, получаем:

x 

 x   y ln x  x ;
y 

 x 

   x  y   ln x  y   ln x  x ;
 y

 arcsin

1
1  x y 
2
1
x
1
y

2
y
y
2
y

 x
1  y  x  y
y
2
y  x  y
y
y
1
y
2
 x
2
2
y
 x
2
;
1
;
2
 y   ln x  y 
y 

x 

 x
2
 x
2
1
x

1
 ln x   y  

x

1
2
 y   ln x  y 
y
2
;
x
y
x
y
 y   ln x  y 
x  y



 y 
 y


y  


 x
1
x
y  x  y
2
2
2
 y   ln x  y 


 y

1
;
x
1
y
x
y
2
 x
2
2
 x
;
2

 ln x 


.
1.1.6 Производные функций, заданных параметрически
Пусть x  x ( t ) , y  y ( t ) – однозначные функции, определенные
на отрезке t1 ; t 2  . Каждому значению t  t1 ; t 2  соответствуют определенные значения x, y, которые в свою очередь на координатной
плоскости Oxy являются координатами некоторой точки P(x, y). Когда
t изменится от t1 до t2, точка P на координатной плоскости Oxy опишет
некоторую кривую.
Определение. Уравнения x  x ( t ) , y  y ( t ) ( t  t1 ; t 2  ) называются параметрическими уравнениями кривой, t  параметром, а
способ задания кривой параметрическими уравнениями − параметрическим.
38
Заметим, что в математике параметр (от греч. «parametron» −
«отмеривающий») − это величина, числовые значения которой позволяют выделить определенный элемент (например, кривую) из множества элементов (кривых) того же рода. В технике параметр − это величина, характеризующая какое-либо свойство процесса, явления или
системы, машины, прибора (например, электрическое сопротивление,
теплоемкость, масса, коэффициент трения).
Пусть x и y заданы как функции некоторого параметра t :
 x  x ( t ),

 y  y ( t ),
где x ( t ), y ( t ) − имеют необходимое число производных по переменной t в рассматриваемой области изменения этой переменной. Тогда
производная функции y  f  x  , определяемой параметрическими
уравнениями x  x ( t ) , y  y ( t ) , считается по формуле
y t
y x 
x t
.
(1.30)
Пример 1.13 Найти производную функции
Решение. По формуле (1.30)
y t
y t
y x 
x t
 x  t 4  9 ,

2
 y  16 t  1 .
. Следовательно, найдем
и x t , а затем подставим их в формулу.
x t  4 t ; y t  3 2 t  y x 
3
32 t
4t
3
 y x 
8
t
2
.
Определение производной в системе Mathcad:
d
x (t):= t
4
9;
y (t):= 1 6 t
2
1;
y x (t):  d t
d
y ( t)

x ( t)
8
t
2
.
dt
Пример 1.14 Найти производную функции
 x  sin 3 t ,

3
 y  cos t .
Решение.
y x 
y t
x t
3


cos t 

sin t 
3

3 cos
2
3 sin
t    sin t 
2
t  cos t
39
 
cos t
sin t
  сtg t
.
Определение производной в системе Mathcad:
d
x (t):= s in (t)
3
;
y (t):= c o s (t)
3
y x ( t) :  d t
d
;
y ( t)
 
c o s ( t)
s in ( t)
x ( t)
.
dt
1.2 Производные высших порядков
1.2.1 Производные высших порядков явно заданной функции
Пусть функция y  f  x  − дифференцируема на некотором интервале  a ; b  . Тогда, дифференцируя ее, получим первую производную (производную первого порядка)
y   f ( x ) 
df ( x )
,
(1.31)
dx
которая также является функцией от x .
Если найти производную дифференцируемой функции
y   f   x  , то получим вторую производную (производную второго
порядка) функции y  f  x  :
d
y   f  ( x ) 
2
f (x)
dx
y  

 y   или
d
2
dx
y
2

,
2
d  dy 


dx  dx 
(1.32)
.
(1.33)
Этот процесс взятия производных можно продолжить и далее,
находя производные порядка n:
y
n 

 y
n 1 

или
d
n
dx
y
n
n 1
d d
y


dx  dx n  1




,
(1.34)
то есть n-й производной (производной n-го порядка) называется
производная от производной  n  1  - го порядка.
Заметим, что вторая производная имеет важный физический
смысл. Так, если S  S  t  − зависимость пути от времени, то, как было рассмотрено ранее [формула (1.3)]: S   t    − скорость движения.
Тогда S   t    '  t  − «скорость изменения скорости», или ускорение:
S   t    '  t   a
40
.
(1.35)
Ускорение обычно обозначается буквой а («acceleration» –
«ускорение» по-французски). Так как единица скорости см/с или м/с,
то единица ускорения см/с2, или м/с2. Именно тот смысл, который
имеет вторая производная (ускорение), делает ее понятие особенно
важным для физики. Ведь согласно второму закону Ньютона именно
ускорение является главной характеристикой движения (сила в Н равна произведению массы тела в кг на его ускорение в м/с2).
Задача 1.3 Найдите ускорение материальной точки в момент
времени t по данным задачи 1.1.
Решение. Напомним, что в задаче 1.1 требовалось найти скорость
движения материальной точки в момент времени t , если закон движения материальной точки выражается функцией
решения задачи мы получили  м г н
 
S 
2t

1 t
2

1
1 t
2
. В процессе
(далее обозначим
2
 м г н   ). Заметим, что к такому результату мы пришли путем непо-
средственного нахождения предела
S
lim
(без использования пра-
t 0 t
вил дифференцирования). Поэтому прежде чем находить ускорение
а   t  S tt (1.35), найдем  как первую производную функции
S  S  t  (1.7), воспользовавшись таблицей А.1 и основными правилами дифференцирования (1.1.2).

 1 

2
  S t  
  1 t

2

1 t 


1


2
  1 1  t



 11
2t  
2t
1  t 
2
2
.
Как видим, результаты совпадают. Найдем далее ускорение a
как первую производную скорости  или как вторую производную
перемещения S .

2t

а  S tt   t  

2

1 t


 

2  1 t
2

2



1  t 
2
4


2

2
 2t  1 t


2t  1 t

 


2


 1 t

2
 2 t 2  1 t

2

2
2 t
 

2  1 t


2




2
2





  1  t  4 t  2  3 t  1 

4
1  t 
1  t 
2
2
2
2
2
2
3
Таким образом, мы получили, что ускорение материальной точки,
41
движущейся по закону S 
1
1 t
a 
, в момент времени t равно
2

2
2  3t
1
1  t 
2
3
.
Расчёт скорости и ускорения в системе Mathcad:
1
S (t):=
1+t
2
d
a (t):=
d
;  (t):=
dt
2
2
dt
2
(t + 1 )
3
2

2
(t + 1 )
2
;
2
(t + 1 )
8t
 (t) 
2t
S (t)  
;
или, используя шаблон второй производной
d
a (t):=
2
dt
2
8t
S (t) 
2
2
(t + 1 )
3
2

2
(t + 1 )
2
.
Пример. 1.15 Найти производные указанных порядков для следующих функций:
а)
y 
1
3x  1
б)
, y   ?
y  xe
2x
, y   ?
Решение
а)
y  
 y 


найдем сначала производную первого порядка y  :

1


y  
 
 3x  1

3 x  1  
1
  1  3 x  1 
2
3  
3
3 x
 1
2
.
Тогда

3
y    
2

  3 x 1 


  3 



 3 x  1
2


  3    2    3 x  1
3
3 
18
 3 x 1 
3
.

б) y    y   , следовательно, найдем сначала производную первого порядка y  :

y   xe
2x


 1e
2x
 x e
2x
2  e
Тогда производная второго порядка
щим образом:

y   e
2x
 1  2 x 


 e
2x
 2  1  2 x   e
42
y 
2x
2x
 1  2 x  .
будет найдена следую-
2  e
2x
 2  4 x  2  
 1  x  .
2x
 4e
Расчёт производных высших порядков в системе Mathcad:
y (x ):=
1
3x  1
2x
y (x ):= x  e
d
;
2
dx
d
;
2
y (x ) 
18
(3 x  1 )
3
.
2
dx
2
y (x )  4 e
2x
 4xe
2x
;
в задаче б) по заданию требовалось найти производную
d
y   ?
3
dx
3
y (x )  1 2 e
2x
 8xe
2x
.
1.2.2 Производные высших порядков неявно заданной функции
Пусть функция y  f  x  задана неявно уравнением F  x , y   0 .
Для нахождения производной первого порядка y  воспользуемся
правилом дифференцирования неявно заданной функции (1.1.5), а
именно продифференцируем это уравнение по переменной x и разрешим его относительно y  . Продифференцировав далее по x первую
производную y  , получим вторую производную от неявно заданной
функции. В нее войдут x , y , y  . Подставляя уже найденное значение
y  в выражение второй производной y  , выразим y  через x и y .
Пример 1.16 Для неявно заданной функции 4 x 2  y 3  2 xy
найти производную второго порядка y xx .
Решение. По правилу дифференцирования неявно заданной
функции (см. 1.1.5) найдем y x , продифференцировав левую и правую
части исходного равенства по переменной x , считая y функцией от x
(y = y(x)).
4 x
2
 y
3


x
  2 xy


x
 8x  3 y
2
y  2 y  2 x y.
Разрешим полученное выражение относительно
y 
Найдем далее y xx
ченное выражение для
8x  2 y
2x  3y
(или просто
y .
43
2
y :
.
y  ),
продифференцировав полу-
 y 

 8x  2 y

2

 2x  3y
y  


8  2 y    2 x  3 y 2  8 x  2 y    2  6 y y  
  y  
;
2 2

2
x

3
y


16 x  24 y
2
 4 x y  6 y
y  

2
2

24 y  4 y  2 y 3 y  2 x  24 xy
2
2
2
2
2 4 y  4 x y  6 y y  4 8 x y y  4 y
2x3 y 

y   16 x  48 x y y   4 y  12 y y 
2
2 x  3 y 
2


2
2
2x3 y 
2
2

;
.
Далее, в случае необходимости, в полученное выражение можно
подставить уже найденное значение y  и выразить y  через x и y .
24 y
2
8x  2 y
 4y  2
2x  3y
y  

 3y
2
2 x  3 y 
2
6 y
 4
2

2
 y  2x  3y
  4 x 
2

 2 x  24 xy

2

y 3y
2 x  3 y 
2
2
 2 x  24 xy
3
.
Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим
y   8 
9y
4
 4x
2
 24 xy
2
2
 48 x y  4 xy
2 x  3 y 
2
3
.
1.2.3 Производные высших порядков функций, заданных
параметрически
Пусть x и y заданы как функции некоторого параметра t :
 x  x ( t ),

 y  y ( t ).
Тогда, если первая производная (производная первого порядка)
y x
определяется по формуле
y x 
y t
x t
[формула (1.30)], то вторая про-
изводная y xx находится по формуле

y xx 
 y x  t
x t

y tt  x t  x tt  y t
 x t 
3
.

 
Аналогично получаем y xxx
 y xx  t
x t
44
(1.36)

;
y
IV
xxxx

  t
 y xxx
x t
.
Пример 1.17 Найти производные y x , y xx для функции
 x  t  arctg t ,

3

t
 1 , заданной
y 
3

параметрич
ески .
Решение. Найдем сначала y x [формула (1.30)].
y x 
y t
x t

t3
 1 

3


t

 arctg t 
1

2
 3t
3

1

1
1 t
2
t
2
1 t
2
1 t
t

1
t
2
2
1 t
2
1 t
2
.
2
По формуле (1.36) найдем y xx .
y xx 
x t
2


1  t 

 y x  t
t
t
 arctg t 
2t


t
t

2

2 1 t
2
.
t
1 t
2
Решение в системе Mathcad:
d
x ( t) := t  a ta n ( t) ; y (t):=
t
3
dt
y x (t): 
d
1;
3
y (t)
 
x (t)
dt
d
y x ( t) :  1  t
2
dt
y x x (t): 
d
y x (t)
2t
 
x (t)
2
1
2
;
1
t +1
2
2
1
2
dt
t
;
1
y x x ( t) :=
2 (1 + t )
t
t +1
Контрольные вопросы
1. Какие основные задачи, приводящие к понятию производной,
вы знаете? В чем сходство всех таких задач?
2. Сформулируйте определение производной функции в точке и
на интервале.
3. В чем заключается геометрический, физический и механический смысл производной?
4. Следует ли из условия непрерывности функции в точке ее
дифференцируемость в этой точке?
5. Назовите основные правила дифференцирования.
6. Сформулируйте правило нахождения производной сложной
функции.
45
7. Сформулируйте правило нахождения производной обратной
функции.
8. Какое задание функции называют неявным и что необходимо
сделать, чтобы найти производную неявно заданной функции?
9. По какому правилу считаются производные высших порядков
для неявно заданных функций?
10. Назовите формулы, позволяющие находить производные
первого и второго порядков функций, заданных параметрически.
11. В чем заключается механический смысл производной второго порядка?
12. Сформулируйте понятие производной n -го порядка. Приведите примеры.
1.3 Дифференциал
Из анализа формулы (1.6) следует, что для нахождения производной f   x  функции y  f  x  по определению необходимо совершить следующие действия:
1)задать некоторое значение x и приращение  x [формула (1.1)];
2)найти f  x  и f  x   x  ;
3)найти приращение
y  f (x  x)  f (x)
4)составить отношение
lim
x  0
y
x
y
x
;
и найти его предел при  x  0 :
. Этот предел, в случае его существования, и будет равен
производной функции y  f  x  , а именно lim
x  0
y
x
 f  x  .
Таким образом, точное равенство между производной f   x  и
отношением
y
x
достигается лишь в пределе. Если предел «опу-
стить», то мы получим приближенное равенство
тельно,
y
x
f ( x   x )  f ( x )   y  f  x    x .
 f  x  .
Следова-
(1.37)
Можно сказать, что равенство в формуле (1.37) становится
«точным в пределе» при  x  0 . Здесь выражение «точно в пределе»
вовсе не означает, что при  x  0 левая и правая части приближенного равенства совпадают (равны нулю), оно подчеркивает, что при ма-
46
лых  x левая и правая части (1.37) «почти равны» в том смысле, что
их разность гораздо меньше самих этих выражений.
Таким образом,  y  f   x    x , тогда как точное равенство для
приращения  y  f ( x   x )  f ( x ) имеет вид
 y  f  x    x  
,
(1.38)
где  − бесконечно малая функция более высокого порядка, чем  x
(это означает, что при  x  0  стремится к нулю гораздо быстрее
x
). Именно это мы имели в виду, говоря, что равенство
является «точным в пределе»: само по себе отношение
говоря, отлично от f   x  , но вот lim
x  0
y
x
 f  x  ,
y
x
y
x
 f  x 
, вообще
поскольку при ма-
лых  x слагаемым  , в силу его малости, в правой части равенства
(1.38) можно пренебречь. Поэтому первое слагаемое равенства (1.38)
f   x    x называют главной линейной частью приращения  y .
Определение. Дифференциалом функции y  f  x  в точке x
называется главная линейная часть приращения функции, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df  x  ).
dy  f   x    x .
(1.39)
Заметим, что слово «дифференциал» происходит от латинского
«differentia» − «разность, различие, приращение». Русским словом
«приращение» мы называем величины  y и  x – конечные приращения, а латинским термином «дифференциал» – «почти приращения»
dy и dx – бесконечно малые приращения. Что не случайно, поскольку  y и  x имеют точные значения, тогда как dy и dx связаны с
пределом (с некоторым приближением).
Рассмотрим функцию y  x и найдем дифференциал независимой переменной x . Так как y   x   1 , то согласно предыдущей формуле dy  dx   x  мы можем записать dx   x , то есть дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.
Таким образом, формулу для дифференциала можно записать в виде
dy  f   x  dx
47
.
(1.40)
Следовательно, f   x  
dy
, а потому обозначение производной
dx
dy
можно рассматривать как отношение дифференциалов
и
dy
dx
.
dx
Заметим, что понятие дифференциала и запись
dy
для произ-
dx
водной были введены немецким ученым Готфридом Вильгельмом фон
Лейбницем (1646 – 1716).
Пусть функция y  f  x  дифференцируема в точке x 0 . Следоy
вательно, существует предел lim
x  0
(1.39)  y  f   x 0    x (или
(x
 0
 f  x 0  .
x
 y  dy
По формулам (1.37),
) при достаточно малых
x
). Так как  y  f  x 0   x   f  x 0  , то предыдущее равенство
можно переписать в виде f  x 0   x   f  x 0   f   x 0  x или
f  x 0   x   f  x 0   f   x 0  x
.
(1.41)
Формула (1.41) позволяет находить приближенные значения
функции y  f  x  в точке x  x 0   x по известному значению этой
функции и ее производной в точке x 0 .
Пример 1.18 Найти дифференциал
и приращение
dy
y
функ-
ции y  x 2 : а) при произвольных значениях x и  x ; б) при x  1 ,
 x  0 , 01 .
Решение
а) Найдем в общем виде приращение функции Δy и дифференциал dy.
y  y x  x   yx   x  x   x
2
2
 x
2
 2x  x  x
2
 x
2

2
 2 x  x  x .
2 
d у  y  x    x  x
 x  2 x  x
 
.
б) Подставив в полученные выражения приращения функции Δy
и дифференциала dy значения x  1 ,  x  0 , 01 , получим
 y  2  1  0 , 01   0 , 01   0 , 0201
2
dy  2  1  0 , 01  0 , 02
.
Погрешность при замене  y на dy равна 0,0001, составляет
0,5 %, и ею можно пренебречь. Таким образом, на данном примере нетрудно заметить, что при достаточно малых Δx справедливо прибли48
,
женное равенство
лениях.
 y  dy
, используемое при приближенных вычисПример 1.18 наглядно иллюстрируется
рисунком 1.16.
Действительно,
функция y  x 2 выражает площадь квадрата со стороной x. Обозначим эту площадь S1 (S1=y(x)=x2). Зададим стороне
квадрата x очень малое приращение Δx.
В результате мы получим квадрат со стороной x+Δx, площадь которого S2
может быть найдена по формуле
S 2  yx  x   x  x 
2
. Тогда  y
выражает разность площадей S2 и S1:
 y  S 2  S 1 . На рисунке 1.16 эта разность равна площади всей заштрихованной фигуры.
Рисунок 1.16 – Иллюстрация
примера 1.18
Дифференциал dy функции y  x 2 на рисунке 1.16 численно равен сумме площадей двух прямоугольников со сторонами х и Δx. Действительно, согласно нашим предыдущим вычислениям dy  2 x   x ,
но величина x   x численно равна площади прямоугольника со сторонами х и Δx. Таких прямоугольников у нас 2, поэтому сумма их
площадей равна 2 x   x .
Тогда из рисунка 1.16 видно, что площадь всей заштрихованной
фигуры, численно равная приращению функции  y  2 x   x   x 2 ,
отличается от суммы площадей двух прямоугольников со сторонами х
и Δx, численно равной дифференциалу функции dy  2 x   x , на величину площади квадрата со стороной  x . Так как величина  x достаточно мала, то эта разница незначительна, и ею можно пренебречь.
В результате будет справедливо приближенное равенство:  y  dy .
Пример 1.19 Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение 3 24 .
Решение. Воспользуемся формулой приближенных вычислений
(1.41): f  x 0   x   f  x 0   f   x 0  x .
Рассмотрим функцию f  x  
49
3
x
. Ближайшее к 24-м значение
x,
для которого можно найти точное значение данной функции, равно
27. Пусть x 0  27  f  x 0   f  27   3 27  3 .
Так как x  24 , а x 0  27 , то  x  x  x 0  24  27   3 .
Чтобы воспользоваться формулой (1.41), нам осталось вычислить значение f   x 0  . Для этого найдем f   x  :
f  x  
f   x 0   f   27

1
  27

3

3
x
2
3



 x


1
3
1
3

2
1

3


x


3

 
 3
2
3  3

1
3
 
 3
2
3  3

1
3
2
1

3
.
27
Мы нашли все значения неизвестных, которые необходимо подставить в формулу (1.41):
довательно,
3
24  3 
1
x 0  27 ;  x   3 ; f  x 0   3 ; f   x 0  
  3   3 
27
1
9

26
 2 , 89
1
.
Сле-
27
.
9
1.3.1 Геометрический и механический смысл дифференциала
Геометрический смысл дифференциала. Для того чтобы исследовать геометрический смысл дифференциала, проведем к графику
функции y  f  x  в точке M  x ; y  касательную l и рассмотрим ординату этой касательной для точки Q , абсцисса которой равна x   x
(рисунок 1.17).
На рисунке 1.14 MQ 1   x , M 1 Q 1   y . Рассмотрим прямоугольный треугольник MNQ 1 . В нем: tg  
NQ
1
 tg    x
tg   f   x  .
NQ
MQ
1
1

NQ
x
1
, 
. Но, согласно геометрическому смыслу производной,
Следовательно, NQ 1  f   x    x . Сравнив полученный
результат с определением дифференциала [формула (1.39)], приходим
к выводу, что NQ 1  dy .
Таким образом, дифференциал функции y  f  x  в точке x равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в
рассматриваемой точке, когда x получает приращение  x . Именно в
этом заключается геометрический смысл дифференциала.
50
Рисунок 1.14. Геометрический
дифференциала первого порядка
и
механический
смысл
Существует некоторое отличие в толковании в математике и
физике смысла обозначения типа dy. Символом d в математике принято обозначать дифференциал – главную линейную часть приращения функции  y , в том смысле, что (при фиксированном хо) dy
есть линейная функция от  x и разность  y – dy есть бесконечно
малая относительно  x . В физике же символ d используют для обозначения малых ("элементарных") приращений как аргумента dx (в
математике dx =  x ), так и самой функции dy (в математике оно обозначается  y ), а символ  используют для обозначения конечных
x
приращений:  x   x 2 d x  x 2  x1 . В физике производную трактуют
1
как отношение не математических дифференциалов функции и аргумента, а малых (элементарных) приращений функции и аргумента.
Следовательно, в физике рассматривают такие малые приращения аргумента (дифференциалы аргумента), когда приращение функции
можно считать линейным, т. е. равным дифференциалу функции [36].
Пояснить сказанное можно с помощью рисунка 1.18. В соответствии с рисунком можно записать следующие соотношения:
tg  
 y
x

dy
 f ( x ) ;
(1.42)
dx
для конечных изменений
 y   y    f  ( x )  x + 
для бесконечно малых изменений:
51
;
(1.43)
в математике
D y  d y    f ( x ) d x    d y  f ( x ) d x
в физике
D y  d y  f ( x ) d x
y
.
,
(1.44)
(1.45)
y=f(x)


dy
Dy
dx

 y
y
x
x
Рисунок 1.18 – Конечные и бесконечно малые приращения
функции и аргумента
Здесь приняты следующие обозначения:
 y – конечное приращение функции;
 y  f  ( x )  x – конечное приращение ординаты касательной –
главная линейная часть приращения  y функции (1.43);
 x – конечное приращение аргумента;
   y   y – разность приращений функции и ординаты касательной – конечная величина;
D y – бесконечно малое приращение функции;
d y  f  ( x ) d x в математике – дифференциал функции y(x) –
главная линейная часть приращения D y функции, бесконечно малое
приращение ординаты касательной (1.44);
d y  f  ( x ) d x в физике – бесконечно малое приращение функции, равное бесконечно малому приращению ординаты касательной
(1.46);
  D y  d y – разность бесконечно малых приращений функции
и ординаты касательной – величина высшего порядка малости, чем dx.
Механический смысл дифференциала. Понятию дифференциала можно также придать механический смысл. Предположим, что на
рисунке 1.17 абсцисса x − это время [сверху над осью Ох (t)], а ордината y − путь (S). Нас интересует процесс изменения пути с течением
времени: y  f  x  . Представление о постоянно меняющейся под влиянием каких-то сил скорости не слишком просто, поэтому при изуче52
нии движения в окрестности какого-то момента времени (положение
тела в этот момент на графике движения изображено точкой М) удобно считать, что, начиная с этого момента, скорость перестала меняться
(это предположение равносильно гипотезе о том, что в рассматриваемый момент времени мы «отключили» все действующие на тело силы,
предоставив ему далее двигаться по инерции, то есть с постоянной
скоростью). Тогда, начиная с этого момента x , скорость все время будет оставаться равной мгновенной скорости   x  
(или
dS
dy
dx
в момент x
в момент времени t ), и пройденный за это время  x путь бу-
dt
дет равен:   x    x  f   x    x  dy .
Таким образом, механический смысл дифференциала заключается в том, что он равен пути, который прошла бы материальная
точка за очень малый промежуток времени  t , если бы ее движение
стало равномерным, со скоростью, взятой в момент времени t.
На рисунке 1.17 равномерному движению тела соответствует
прямая l , в то время как графиком исходного, неравномерного движения, служит кривая y  f  x  . При малых  x этот предполагаемый
путь NQ 1  dy (или dS ) будет отличаться от истинного пути
M 1 Q 1   y (или  S ) весьма мало, а именно на малую величину
NM 1   более высокого порядка, чем PQ   x (или  t ).
Именно в таком «механическом» обличии появился дифференциал у Ньютона, который назвал его термином «момент».
1.3.2 Свойства дифференциала
Задача нахождения дифференциала функции равносильна
нахождению производной, так как, умножив производную на дифференциал аргумента, получим дифференциал функции.
Следовательно, большинство теорем и формул, относящихся к
производным, сохраняют свою силу и для дифференциалов.
Пусть u  u ( x ),    ( x ) − дифференцируемые в точке x
функции, тогда непосредственно из определения дифференциала и
основных правил дифференцирования (1.1.2) следует:
1)
d u  
2)
d u 
3)
d  Cu
  u

  u  
   Cu 




dx   u      dx  u dx    dx  du  d 
;
d x   u   u   d x  u  d x  u  d x   d u  u d 
dx  C  u dx  C du
53
;
;
4)

u   u  
u  dx  u   dx
 du  u d 
u  u 
d      dx 
dx 

2
2
2



   
1.3.3 Дифференциал сложной функции
Пусть y  f ( u ) и u   ( x ) − две дифференцируемые функции.
Найдем дифференциал сложной функции y  f (  ( x )) , воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции:
 f   x   
dy 

dx  f u  u x dx  f u du
,
(1.46)
то есть дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.
Если сравнить формулы dy  f x  dx и dy  f u  du , то можно заметить, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли x независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.
Однако между записями dy  f x  dx и dy  f u  du существует
принципиальное различие: в первой формуле x − независимая переменная, следовательно, dx   x , во второй формуле u есть функция
от x , поэтому du   u .
С помощью определения дифференциала и основных его свойств
таблицу производных можно преобразовать в таблицу дифференциалов (таблица А.2).
Пример 1.20 Найти дифференциалы следующих функций:
а)
y  arctg
б)
y  cos x
в)
y 
x  2
;
   ln 3 x  ;
2
x  2
x
2
1
.
Решение. Воспользуемся формулой
а)

dy  y dx  arctg
x  2

 dx
1

1

1
1 x  2
1

2
x  2
dx 
54
dy  y dx

x  2

2
. Следовательно,


1
2x  3 
x  2
x  2
dx
.

 dx

б)

  ln  3 x  


   ln  3 x   dx
dy  y dx  cos x
2
 dx    sin  x
2


2 
2
  cos  x 
 ln  3 x   cos  x  



  2 x  ln  3 x   cos
x 
2
 


 3  dx 
3x

1

2 
2
   2 x  ln  3 x   sin x 
 cos  x   dx
x


в)


 x  2 
dy  y dx  
 dx 
2
 x 1

1 x
2

 1  x  2   2 x
x
2
1

2
dx 
x
2
.


2
2
 2   x  1  x  2   x  1


x
x
1
 1 2x
x
2
1
2

2
 4x
2

1


2
dx 
 x
2
x
dx 
 4x  1
2
1

2
dx
.
1.3.4 Дифференциалы высших порядков
Пусть y  f  x  − дифференцируемая функция, а x − независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy  f   x dx есть
также функция от x . Найдем дифференциал этой функции.
Определение. Дифференциал от дифференциала функции
y  f  x  называется ее вторым дифференциалом (дифференциалом второго порядка) и обозначается d 2 y или d 2 f  x  .
То есть d 2 y  d  dy  . Найдем его выражение для функции
y  f x .
d
2
y  d  dy   d
 f   x  dx    f   x  dx 
 f   x   dx

2

dx  f   x  dx  dx 
 f   x  dx
d y  f   x  dx
2
2
.
2
;
(1.47)
Из формулы (1.47) следует, что обозначение для производной
второго порядка
f   x  
d
2
dx
y
2
можно трактовать как отношение диф-
ференциала второго порядка d 2 y функции y  f  x  к квадрату  dx 
дифференциала первого порядка аргумента х.
Аналогично тому, как был определен дифференциал второго порядка, находятся дифференциалы третьего, четвертого, пятого и более
2
55
порядков.
Таким образом, по формуле
n 
 x  dx n
(1.48)
может быть найден дифференциал n -го порядка. Однако необходимо
помнить, что приведенные формулы справедливы только в том случае, когда x − независимая переменная. Если же для функции
y  f  x  величина x является функцией от какой-то другой независимой переменной, то дифференциалы второго и третьего порядков не
обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Например, в этом случае
d
n
y  f
d y  f   x  dx
2
2
 f  x  d x
2
.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте определение дифференциала.
2. В чем заключается геометрический смысл дифференциала?
3. Сформулируйте механический смысл дифференциала первого
порядка.
4. Чему равен дифференциал суммы, разности, произведения и
частного двух дифференцируемых функций?
5. В чем заключается свойство инвариантности формы первого
дифференциала?
6. Каким образом дифференциал может быть применен к приближенным вычислениям?
7. Каким образом считаются дифференциалы высших порядков?
56
2 Основы интегрального
действительной переменной
исчисления
функции
одной
Интегральное исчисление возникло из задач определения площадей, объемов и центров тяжести, требующих вычисления определенных интегралов − пределов одного и того же типа. Понятие интеграла распространяется на функции, заданные в какой-либо области
плоскости (двойные интегралы) или пространства (тройной интеграл).
Рассмотрим две различные на первый взгляд задачи:
1) нахождение суммы большого числа малых слагаемых вида
 ( t )  t или  ( t ) dt ;
2) нахождение функции S ( t ) , производная  ( t ) которой нам известна
dS
dt
 ( t ) .
Многие задачи физики, химии, математики возникают как задачи типа 1), то есть задачи суммирования большого числа малых величин. Действительно, сама их формулировка уже подсказывает простой
путь вычисления интересующей нас величины – с помощью прямого
суммирования тех (малых) слагаемых, о которых идет речь в задаче.
Однако этот прямой метод решения задач 1) не позволяет выразить
ответ в виде формулы, и высшая математика возникла тогда, когда
была установлена связь между задачами 1) и 2), что открыло путь к
общим приемам (алгоритмам) решения задачи 1).
Итак, что же такое интеграл и как он связан с приведенными
выше задачами? Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним, что в 1.1
задача об определении мгновенной скорости движения  ( t ) по заданной зависимости S  S ( t ) положения S тела от времени t привела
нас к понятию производной
dS
dt
  (t )
(1.7).
Обратная задача заключается в определении положения S  S ( t )
тела (то есть пути, пройденного телом за данный отрезок времени t ),
если мгновенная скорость  ( t ) задана как функция времени. Эта задача приводит ко второму важнейшему понятию высшей математики
– понятию интеграла.
2.1 Неопределенный интеграл
Итак, задача дифференциального исчисления – по данной функции f ( x ) найти ее производную (или дифференциал). Задача интегрального исчисления – найти функцию F ( x ) , зная ее производную
F  ( x )  f ( x ) (или дифференциал). Искомую функцию F ( x ) называ57
ют первообразной функции f ( x ) .
По данной функции f ( x ) ищется такая первообразная функция
F ( x ) , для которой f ( x ) есть производная. Интегрирование есть
действие, обратное дифференцированию.
Определение. Функция F ( x ) называется первообразной функции f ( x ) на интервале  a ; b  , если для любого x   a ; b  выполняется
равенство
F  ( x )  f ( x ) (или dF ( x )  f ( x ) dx ).
(2.1)
Теорема 2.1 Если функция F ( x ) является первообразной функции f ( x ) на интервале  a ; b  , то множество всех первообразных для
f ( x ) задается формулой F ( x )  С , где С – константа.
Другими словами, каждая функция имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на некоторую постоянную величину – константу.
Например, первообразной функции y  x 3 , x  R , является
функция
F (x) 
x
4
, так как
4
также функция
F (x) 
x
 x4

F (x)  
 4


3

4x
3
 
 x  f (x) ,

4

а
4
 3,
так как
4

3
 x4

4x
3
F ( x )  
 3 
 0  x  f (x)
 4

4


вида
F (x) 
x
, и вообще любая функция
4
 С
, где С − константа, поскольку
4

3
 x4

4x
3



F (x) 
 С

 0  x  f (x)
 4

4


(воспользовались тем, что
производная константы равна нулю).
Определение. Множество всех первообразных функций
F ( x )  С для функции f ( x ) называется неопределенным интегралом от функции f ( x ) и обозначается  f ( x ) dx , а операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием.
Таким образом, по определению
58
 f ( x ) dx  F ( x )  C ,
подынтегральная функция; f ( x ) dx
(2.2)
где f ( x ) −
− подынтегральное
выражение; x − переменная интегрирования;  − знак неопределенного интеграла.
Неопределенный интеграл иногда называют первообразной
функцией, воспринимая этот термин как обратный к понятию «производная»: речь идет о той функции, от которой берется (уже известная
нам) производная. Заметим, что слово «интеграл» образовано от лат.
«integer» − «целый», а знак  («интеграл») происходит от латинской
буквы S, первой буквы слова «сумма»: он получился растягиванием
буквы S в вертикальном направлении (символ  ввёл Лейбниц). Каким образом интеграл связан с понятием «суммы», мы рассмотрим
ниже.
Приведем (без доказательства) основные свойства неопределенного интеграла:
1)  
f ( x ) dx


 ( F ( x )  C )   f ( x );
2) d   f ( x ) dx   f ( x ) dx ;
3)  dF ( x )  F ( x )  C ;
4)  C  f ( x ) dx  C   f ( x ) dx ;
5)  ( u  v ) dx   udx   vdx ,
где
u  u ( x ), v  v ( x )
– некоторые функции, зависящие от х.
Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для удобства
значения неопределенных интегралов большинства элементарных
функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее
часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому в приложении А настоящего пособия приведена таблица
А.3 основных интегралов, с помощью которых можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.
Существуют три основных метода интегрирования:
1) метод непосредственного интегрирования – метод, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подын-
59
тегральной функции (подынтегрального выражения) и применения
свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
Пример 2.1
8
8
 x

x
 4 cos x  4 x  dx   7 dx   dx  4  cos xdx  4  dx 
7 
x
x



7
x
 8 ln x  4 sin x  4 x  C .
ln 7
Вычисление интегралов в системе Mathcad. Для интегрирования выражений в символьном виде необходимо на панели Математика выбрать панель Вычисления (Calculus) и нажать кнопку неопределённого интеграла  , в открывшемся шаблоне ввести выражение
искомого интеграла, а затем ввести знак символьного вычисления  :
 (7
x

8
+ 4 c o s (x )  4 x ) d x 
x
4 ln (7 ) s in (x )  8 ln (7 ) ln (x )+ 7
x
2
 2 x ln (7 )
ln (7 )
Результат интегрирования отличается от приведённого в примере выше. Проверять Mathcad не нужно – ошибку в приведённом выше
расчёте предлагается найти самому читателю.
Пример 2.2


3
x 5

2
6
dx 

x
5
1
 11

dx    x 2  10 x 2  25 x 2


3
x  10 x  25
x
1 2
11
5
10 x dx  25  x
2

1
2
dx 
5
1
2
x
11
 10
1
2
20
7
x
7
1
2
 50 x 2  C 
x
5
1

2
 25
1
2
x
6
x 
13
1
2
x

2
1

 d x 

1
C 
1
2
11
x
2
dx 
13
x
2

13
2
20
x
3
x  50
x C.
7
При нахождении данного неопределенного интеграла мы
воспользовались 4-м и 5-м свойствами неопределенного интеграла и
таблицей А.3.
60
Вычисление в системе Mathcad:
3

(x + 5 )
2
13
dx  x
20
(
2
x
7x
3
+
50
x
6
2
+
).
13
Данное выражение приводится к полученному выше путём замены x 1 3 / 2  x 6 x ;
2) метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)
– метод, заключающийся во введении новой переменной интегрирования. При этом исходный интеграл сводится к табличному значению.
Если требуется найти интеграл  f ( x ) dx , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x   ( t ) и dx    ( t ) dt получается
 f ( x ) dx   f ( ( t ))   ( t ) dt
.
(2.3)
Метод замены переменной может быть применим в следующих
случаях:
а) под знаком интеграла содержится сложная функция
f (  ( x )) , следовательно, замена:  ( x )  t ;   ( x ) dx  dt (например,
f ( x )  sin
x 
1
x  t,
2
dx  dt
);
x
б) под знаком интеграла содержится полный дифференциал одной из входящих функций. Тогда заменяем на переменную t ту функцию, полный дифференциал которой содержится под знаком интеграла.
Например,
при
вычислении
интегралов
вида
ax

bx
2
 c
ax
dx ; 
bx
2
dx
,
 c

ющую замену переменной: bx
ax
dx
c  bx
2
2
необходимо сделать следу-
 c  t  2 bxdx  dt  xdx 
dt
.
2
Пример 2.3
8x  7  t
 8 x  7 
24
dx  8 dx  dt
dx 
1
dx  
1
t
24
8
dt 
1
8
dt
8
61

t
25
25
 C 
8 x
 7
200
25
 C
.
Вычисление в системе Mathcad:
 (8 x
 7)
24
dx 
(8 x  7 )
25
.
200
Пример 2.4

3x  5
x
2
dx 
 2
3x

x
2
dx 
 2
5

x
2
x
 3
x dx
x
2
 5 ln x 
x
 2
2
 2
2
x dx
dx  3  
x
x
2
 2  2 x d x  2 td t  3  
 2  3 t  5 ln x 
 5 ln x 
x
2
 2
x
2

 2
2
 2  t
x d x  td t
 3  dt  5 ln x 
2
dx
 5
x
2
 2  C
td t
 5 ln x 
x
2
 2 
t
 2  C  3
x
2
 2 
.
Вычисление в системе Mathcad:

3x  5
x
2
d x  5 ln ( x 
x
2
 2)3
x
2
 2
;
 2
3) метод интегрирования по частям – метод, заключающийся
в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей u и dv , а затем, после нахождения v и du , используется формула
интегрирования по частям:
 udv  u  v   vdu
.
(2.4)
Вывод формулы основан на следующих соображениях. Пусть
u  u  x  и v  v  x  − функции от x . По свойствам дифференциала
d u  v   vdu  udv . Проинтегрировав это равенство, получим:
 d ( u  v )   udv   vdu
. По приведенному выше свойству 3) неопре-
деленного интеграла: u  v   udv   vdu или  udv  u  v   vdu .
В таблице 2.1 представлены основные типы интегралов, берущихся по частям. При этом в таблице 2.1 указано, в каком случае выражение под знаком интеграла принимается за u и за v .
62
Таблица 2.1 – Основные типы интегралов, берущихся методом
интегрирования по частям
1 тип
2 тип
 e ax  b ,



ax  b
c

,
 P (x)  
  dx
sin(
ax

b
),


 cos( ax  b ) 


 ln( ax  b ),



arcsin( ax  b ),




 P ( x )   arccos( ax  b ),   dx
 arctg ( ax  b ), 


 arcctg ( ax  b ) 
Р(х) – многочлен степени n от х
1 ) u  P ( x )  du  P  ( x ) dx
 ln( ax  b ),



arcsin( ax  b ),




1 ) u   arccos( ax  b ),  
 e ax  b ,



ax  b
c

,
2) 
 dx  dv 
 sin( ax  b ), 
 arctg ( ax  b ),

 arcctg ( ax  b )
 cos( ax  b ) 






 ln( ax  b ),



arcsin( ax  b ),




du   arccos( ax  b ),  dx
 e ax  b ,



ax  b
c

,
 
 dx  v
 sin( ax  b ), 
 arctg ( ax  b ),

 arcctg ( ax  b )
 cos( ax  b ) 





2 ) P ( x ) dx  dv  v   P ( x ) dx
Пример 2.5
u  2 x  3  du  2dx
  2 x  3  cos4 xdx
 2x  3 
1
4
s in 4 x 


dv  cos4 xdx  v 
1
s in 4 x  2 d x 
2x  3
4

 cos4 xdx  v 
s in 4 x 
4
2x  3
s in 4 x 
4
1
8
63
cos 4 x  C .
1
2

1
4
1

s in 4 x
4
(  cos4 x )  C 
Вычисление в системе Mathcad:
 (2 x + 3 )  c o s (4 x ) d x
c o s (4 x )

3 s in (4 x )

8

x  s in (4 x )
4
.
2
Пример 2.6
u  ln x  d u 

ln x
x
5
1
dx
x
dx 
dv 
1
x
5
dx  v 

1
x
5
1  1
1
1

 

d
x



ln
x

4 
4
4
4x
 4x  x
1
 
4x
4
dx  v 

1
x
5
x
1
 ln x 
16 x
4
4x
1
4x
1
 
4
dx  
 
4
4
C
 ln x 
1
4x
4
 ln x 
4
1 
1 
 
C 
4  4x4 
.
Вычисление в системе Mathcad:

ln (x )
x
5
dx  
4 ln (x )  1
16x
4
.
О методах интегрирования некоторых специальных типов
функций: дробно-рациональных, тригонометрических, иррациональных − можно узнать из специальной литературы по высшей математике, например [7, 12, 13, 25, 31, 32].
Контрольные вопросы
1. В чем заключаются задачи дифференциального и интегрального исчисления и как они связаны между собой?
2. Какую функцию называют первообразной для данной функции y  f ( x ) ?
3. Какая функция называется интегрируемой?
4. Назовите основные свойства неопределенного интеграла.
5. Назовите основные методы интегрирования.
6. В чем заключается метод непосредственного интегрирования?
7. Что общего и различного между таблицами производных и
интегралов?
8. В чем заключается суть метода подстановки? В каких случаях
применяется этот метод интегрирования?
9. В чем заключается суть метода интегрирования по частям?
10. Для нахождения интегралов каких типов удобен этот метод?
64
2.2 Определенный интеграл
Пусть функция y  f ( x ) определена и непрерывна на отрезке
[a;b], a<b. Произвольным образом разобьём отрезок [a;b] на n частей
точками
Каждый отрезок
a  x 0  x1  x 2  ...  x n  1  x n  b .
 x i  1 ; x i  , i  1 , 2 ,... n , назовем частичным отрезком, а разность
 x i  x i  x i  1 − длиной частичного отрезка. Внутри каждого частичного отрезка произвольным образом выберем точку с i , i  1 , 2 ,...n , и
найдем в ней значение функции y i  f ( с i ) . Умножив каждое значение
y i  f ( с i ) на длину соответствующего частичного отрезка  x i , получим f ( c i )   x i .
Сумма вида
n
 f ( c i )  x i  f ( c 1 )  x 1  f ( c 2 )  x 2  ...  f ( c n )  x n
(2.5)
i 1
называется интегральной суммой для функции
a ;b  .
y  f (x)
на отрезке
f (ci ) xi
имеет пре-
n
Определение. Если интегральная сумма 
i 1
дел I (при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков  x i
стремится к нулю), не зависящий ни от способа разбиения отрезка
 a ; b  на частичные отрезки, ни от выбора точек с i в них, то число I
называется определенным интегралом от функции y  f ( x ) на отрезке  a ; b  и обозначается
b
 f ( x ) dx
. Таким образом,
a
b

a
n
f (x )d x 
lim

m a x  xi  0 i 1
n 
f (ci ) xi
,
(2.6)
где числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования; f ( x ) − подынтегральной функцией;
f ( x ) dx − подынтегральным выражением; x – переменной интегрирования, отрезок  a ; b  − областью (отрезком) интегрирования.
Отметим, что запись dx (вместо  x ) в записи определенного
интеграла означает, что для получения точного значения интеграла
необходимо перейти к пределу, когда все промежутки  x стремятся к
нулю (подобно тому, как производная
65
df
dx
получается из отношения
f
x
, если устремить
к нулю и перейти к пределу).
x
Определение. Функция
y  f (x)
существует определенный интеграл
, для которой на отрезке  a ; b 
b
 f ( x ) dx
, называется интегриру-
a
емой на этом отрезке.
Теорема 2.2 (Теорема существования определенного интеграла). Если функция y  f ( x ) непрерывна на отрезке  a ; b  , то определенный интеграл
b
 f ( x ) dx
существует.
a
2.2.1 Свойства определенного интеграла
a
1)
 f ( x ) dx  0
;
a
b
2)
b
 Af ( x ) dx  A  f ( x ) dx
a
a
b
3)
b
b
 ( f 1 ( x )  f 2 ( x )) dx   f 1 ( x ) dx   f 2 ( x ) dx
a
a
b
4)
;
;
a
a
 f ( x ) dx    f ( x ) dx
a
;
b
5) для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство
b
c
b
 f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx
b
a
a
6) если
f (x)   (x)
на
отрезке
[a, b]
(a < b),
то
b
 f ( x ) dx    ( x ) dx
a
;
c
.
a
Теорема 2.3. (Теорема о среднем). Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке существует точка с такая,
что
b
 f ( x ) dx  f ( с )  ( b  a ) .
a
Это далеко не полный список свойств определенного интеграла.
Весь список свойств с подробным доказательством представлен в
учебниках и учебных пособиях по высшей математике [31,30]. В
настоящем пособии мы приводим те основные свойства, знание которых позволит нам применять их в задачах технического содержания.
66
2.2.2 Вычисление определенного интеграла
Формула Ньютона-Лейбница.
Теорема 2.4 (Теорема Ньютона–Лейбница). Если функция
y  f ( x ) непрерывна на отрезке  a ; b  и F(x) – какая-либо ее первообразная, то имеет место формула
b
 f ( x ) dx  F ( b )  F ( a ) .
(2.7)
a
Это выражение называют формулой Ньютона – Лейбница.
Пример 2.7

2


x
1
2
x

s
in
2
x
d
x

2

   cos2 x  



2
2


0

 0
2

 cos 0  
2


0

2
x  cos2 x
11  
2



2

   cos2  
0
.
Вычисление определённого интеграла в системе Mathcad.
Для интегрирования выражений в символьном виде необходимо на
панели Математика выбрать панель Вычисления (Calculus) и нажать
b
кнопку определённого интеграла  , в открывшемся шаблоне ввести
a
выражение искомого интеграла, а затем ввести знак символьного вычисления  :

0
(2 x + s in (2 x )) d x  
2
.
При вычислении определенных интегралов часто приходится
пользоваться формулой замены переменной и формулой интегрирования по частям. Рассмотрим особенности этих формул применительно
к определённым интеграла.
Формула замены переменной в определённом интеграле.
b
Пусть для вычисления интеграла
 f ( x ) dx
от непрерывной функции
a
сделана подстановка x   ( t ) . Если функция  ( t ) и ее производная
  ( t ) непрерывны на отрезке  ;   , причем a   (  ); b   (  ) , то
справедлива формула
b

a

 f ( x ) dx   f   t     t  dt
67
.
(2.8)
Пример 2.8
x  t
16

1
3
dx
1
4
4
dx  4 t dt

2
4 t dt
 
x 1 t 1
x
3
2
 4
1 t
1
3
t 11
1
1 t
2
dt  4  
1
3
( t  1)  1
t 1
dt 
x  16  t  2


2
2
2
2
 2 t3  1

1
( t  1)  t  t  1
1


 4 
dt  
dt  4  
dt  4  
dt 
 t 1

t

1
t

1
t

1
1
1
1
1


 4   t
2
2
 t  1 dt
2
 4  ln t  1
1
1
2
 t3

t
 4 

 t
 3

2


2
 4   ln 3  ln 2  
1
4
1
1
3
11
3
22
3
8

 4     2    1   4  ln
 4
 4  ln

 4 ln .
3
2
2
6
2
3
2
3 2

Вычисление в системе Mathcad:
1
16
1
1+
4
d x  ln (1 6 )  ln (8 1 )+
22
.
3
x
Пример 2.9
1 c o s 6 x  t
6 s in 6 x d x  d t

4
s in 6 x d x
 1 c o s 6 x
 x


4
9

x
9
1

 t 1

1
 t
dt
6  1 
6
t
2
1
1

1
dt

1
1
 ln t

6
t
1
1 
1 
  ln1  ln  
6 
2 
2
2
2
 
1
 ln
6
1

2
1
 ln 2 .
(2.9)
6
Вычисление в системе Mathcad:
π

4
π
9
s in (6 x )
1  c o s (6 x )
ln (
3
2
dx  
)
.
(2.10)
6
Результаты интегрирования (2.9) и (2.10) не совпадают; как уже
отмечалось, проверять Mathcad не следует – ошибку следует искать
при переходе к переменной t.
Формула интегрирования по частям в определённом интеграле. Если функции u  u ( x ) ,v  v ( x ) имеют непрерывные частные
68
производные на отрезке  a ; b  , то имеет место формула
b
b
b
 udv   u  v    vdu
a
a
.
(2.11)
a
Пример 2.10
u  x  du  dx
0,2
 xe
5x
0
0,2
 
0
1
5
e
5x
dx 
dv  e
dx  0 , 2 
1
e
5x
dx  v   e
5 0 ,2
5

5x
0,2
1
1
25
1
e
5x
 x
5
0,2
e
5x

0
5
1 1 5x
 0  e
5 5
e
1
dx  v 
1
e
25
1 0
 1 5 0 ,2
e
e

e  
25
25
 25

1

0
1

25
.
25
Вычисление в системе Mathcad:
0 .2
0
x e
5x
dx 
1
25
.
Таким образом, что касается приемов вычисления определенных
интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые используются при нахождении неопределенных интегралов. Точно также применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, используются те
же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, рациональных и иррациональных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подынтегральную функцию, но и на пределы
интегрирования. Помните: заменяя переменную интегрирования,
не забудьте изменить соответственно пределы интегрирования.
2.3 Приложения определенного интеграла
Прежде чем начать разговор о приложениях определенного интеграла, обозначим общую схему его применения к решению задач.
Итак, пусть требуется найти значение некоторой геометрической или физической величины А (это может быть площадь фигуры,
объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину, путь,
пройденный телом), связанной с отрезком изменения независимой переменной х. Предполагается, что эта величина А обладает свойством
аддитивности (от лат. «additivus» — прибавляемый), то есть при разбиении отрезка  a ; b  точкой с   a ; b  на части  a ; c  и  c ; b  значение
69
величины А, соответствующее всему отрезку  a ; b  , равно сумме ее
значений, соответствующих отрезкам  a ; c  и  c ; b  .
Для нахождения величины А опишем метод интегральных
сумм. Именно на этом методе в дальнейшем основывается вывод ряда
формул, используемых для нахождения многих геометрических и физических величин. Например, данный метод используется при решении задач, рассматриваемых в гл. 5 и гл. 10.
Метод интегральных сумм включает в себя следующие основные этапы:
1) отрезок  a ; b  произвольным образом разбивается точками
x 0  a , x1 , x 2 , x 3 ,..., x n  1 , x n  b на n частей – n частичных отрезков
 x i  1 ; x i  , i  1 , 2 ,... n . Длина каждого частичного отрезка обозначается
 xi  xi  xi 1 ;
2) внутри каждого частичного отрезка  x i  1 ; x i  , i  1 , 2 ,... n , произвольным образом выбирается точка с i ;
3) находится значение определяемой из условия задачи функции
f ( x ) в точке с i , то есть значение f ( с i ) . Умножая это значение на
длину  x i
соответствующего частичного отрезка  x i  1 ; x i 
( i  1 , 2 ,... n ) , получаем n произведений вида A i  f  c i    x i ;
4) составляется
сумма
всех
таких
произведений:
n
n
i 1
i 1
А n  A1  A 2  ...  A n   A i   f ( c i )   x i
− интегральная сумма.
Заметим, что при нахождении величины A i допустимы некоторые упрощения. Например, дугу на малом участке можно заменить
хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом
участке пути можно приближенно считать постоянной, так же как и
силу, действующую на движущуюся материальную точку. В связи с
чем величина A n дает приближенное значение величины А:
n
A  An   f (ci )   xi
.
(2.12)
i 1
Точное значение величины А равно пределу интегральной суммы A n при условии, что длина наибольшего частичного отрезка
 x i  1 ; x i  стремится к нулю при неограниченном увеличении числа частичных отрезков (при n   ).
A 
lim
max  x i  0
n 
An 
n
b
 f ( c i )  x i   f ( x ) dx
lim
max  x i  0 i  1
n 
70
a
.
(2.13)
Заметим, что указанный метод интегральных сумм основан на
представлении интеграла как суммы бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.
Итак, проследим, каким же образом данная схема может быть
применена для выяснения геометрического и физического смысла
определенного интеграла.
2.3.1 Физические приложения определенного интеграла
Вычисление массы стержня. Пусть  ( x ) − линейная плотность неоднородного стержня [см. примечание к формуле (1.13)], расположенного на отрезке  a ; b  оси Ox. Рассмотрим произвольное разбиение отрезка  a ; b  на частичные отрезки  x i  1 , x i  , длины
 x i  x i  x i  1 , i  1 , 2 ,... n . Внутри каждого частичного отрезка выберем произвольную точку  i и составим сумму по всем частичным отрезкам:
n
m n    ( i )  x i
.
(2.14)
i 1
Так как эта сумма, являющаяся интегральной суммой для функции  ( x ) на отрезке  a ; b  , дает приближенное значение массы
стержня, то точное значение этой массы будет равно пределу суммы
n
m    ( i )  x i
при стремлении к нулю наибольшей длины частич-
i 1
ных отрезков, то есть будет равно интегралу:
m 
lim
max  x i  0
n 
mn 
n
lim
b
  (  i )  x i    ( x ) dx
max  x i  0 i  1
n 
.
(2.15)
a
Вычисление работы по перемещению материальной точки
из положения а в положение b оси Ox под действием силы F(x), действующей параллельно оси Ox (считаем, что направление перемещения совпадает с направлением действия силы). В случае постоянства
силы работа силы равна произведению силы на перемещение. Однако
на практике чаще приходится иметь дело с переменной силой. В этом
случае, используя метод интегральных сумм, разбиваем весь путь на
малые интервалы  x i  x i  x i  1 , i  1, 2 , 3 ,... n , и суммируем выражения F  i    x i (  i   x i  1 ; x i  ), получаемые в предположении, что на
рассматриваемом малом интервале  x i сила не меняется. В результате
71
n
мы приходим к «интегральной сумме» 
F ( i ) xi
, в которой для полу-
i 1
чения выражения для проделанной работы А необходимо перейти к
пределу, считая все отрезки  x i неограниченно убывающими. Этот
b
предел равен интегралу  F ( x ) d x , который дает точное значение рабоa
ты А:
b
A   F ( x ) dx
.
(2.16)
a
Путь, пройденный телом. Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью    t  . Найдем путь S,
пройденный ею за промежуток времени от t1 до t 2 . Из физического
смысла производной известно, что при движении точки в одном
направлении «скорость прямолинейного движения равна производной
dS
от пути по времени», то есть  ( t ) 
dS   ( t ) dt
dt
. Отсюда следует, что
. Интегрируя полученное равенство в пределах от t1 до
t 2 , получим
t2
S    ( t ) dt
.
(2.17)
t1
Заметим, что к данной формуле можно прийти и с использованием метода интегральных сумм, разбивая путь S (отрезок  a ; b  , где
a  t1 , b  t 2 ) на частичные отрезки и суммируя расстояния, пройденные на участках пути S i   t i    t i , где  t i  t i  t i  1 − время прохождения i-го участка пути t i  1 , t i  , i  1 , 2 ,... n . Весь путь будет равен
S 
lim
max  t i  0
n 
Sn 
n
t2
  ( t i )  t i    ( t ) dt .
lim
max  t i  0 i  1
n 
t1
Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры. Пусть дана плоская фигура (материальная пластинка),
ограниченная кривой y  f  x  ( f ( x )  0 на отрезке  a ; b  ) и прямыми
х=а, x=b, y=0 (рисунок 2.1). Полагая, что поверхностная плотность
пластинки постоянна   const (кг/м2), получим, что масса всей пластинки (кг) равна m =   S , где S − площадь пластинки (м2);  −
плотность пластинки, отнесенная к единице площади (поверхностная
72
плотность). Толщина пластинки настолько мала, что ей можно пренебречь. Таким образом,
b
m     f  x  dx
.
(2.18)
a
Статическим моментом S x
( S y ) системы материальных точек относительно оси Ox ( Oy ) называется
сумма произведений масс этих точек
на их ординаты (абсциссы). СтатичеРисунок 2.1 – Координаты ские моменты S , S вычисляются по
y
x
центра тяжести плоской фигуры
формулам
Sx 
1
2
b
b
2
   y dx , S
y
    xydx
.
(2.19)
a
a
Если точка С  х с , у с  − центр тяжести плоской фигуры (пластинки), то его координаты вычисляются по формулам
b
xc 
S
b
  xydx
y

m
 xydx

a
b
a
  ydx
yc 
Sx
m

2
(2.20)
 ydx
a
1
;
b
a
b
b
  y dx
2
2

a
b
  ydx
a
1
2
 y dx

a
b
.
(2.21)
 ydx
a
Это далеко не весь список задач, для решения которых применяется определенный интеграл. С помощью определенного интеграла
можно находить: работу газов в цилиндре двигателя, давление жидкости на вертикальную пластину, работу растяжения пружины, массу вытекающей из сосуда жидкости, массу деталей сложной конфигурации.
Задача 2.1 Скорость тела меняется согласно выражению
2
  0 , 03 t  м с  . Какой путь пройдет тело за 10 с от начала движения?
Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой (2.17)
t2
S    ( t ) dt
. В нашем случае  ( t )  0 , 03 t 2 , t1  0 , t 2  10 . Следова-
t1
тельно (см. таблицу А.3):
73
10
2
S   0 , 03 t dt  0 , 03 
0
t
2 1
2 1
10
 0 , 03 
t
3 10
3
0
74
 0 , 01  10
0
3
 10 м
.
Задача 2.2 Для растяжения пружины на 1 м необходимо совершить работу 5 Дж (Н·м). На какую длину нужно растянуть пружину,
чтобы совершить работу в 15 Дж.
Решение. Согласно закону Гука упругая сила, растягивающая
пружину, пропорциональна этому растяжению х, т.е. F ( x )  k  x , где
k – коэффициент пропорциональности (жесткость пружины, Н/м).
Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно знать значение этого коэффициента. Для его нахождения воспользуемся формулой (2.16):
b
A   F ( x ) dx
. По условию задачи
a  0 , b  1, A  5 ,
следовательно:
a
1
5 

k  x dx  5 
kx
2
2
0
1

0
k
 k  1 0 Н /м
.
2
Таким образом, F ( x )  10 x . Чтобы найти длину, на которую
можно растянуть пружину, совершив работу в 15 Дж, мы также воспользуемся упомянутой выше формулой, в которой нам теперь неизвестен параметр b. То есть
b
15   10 xdx  15 
0
10 x
2
2 b
 30  10 b
2
 3  b
2
 b 
3  1, 73
.
0
Следовательно, пружину нужно растянуть примерно на 1,73 м.
Проиллюстрируем ситуацию, описанную в задаче графически
(рисунки 2.2 и 2.3). На рис. 2.2 показаны пружины растяжения и сжатия в состоянии покоя.
а) растяжение
б) сжатие
Рисунок 2.2 – Пружины в состоянии покоя
В случае если пружина предварительно не растянута
(см. рисунок 2.2), то при ее деформации сила F , растягивающая пружину, определяется по формуле F  k  x . На плоскости (см. рисунок
2.3) этому выражению соответствует уравнение прямой y  k  x (в
нашем примере k = 10, соответствующая прямая y  10 x изображена
на рисунке 2.3). Так, например, по графику (см. рисунок 2.3) видно,
что при растяжении пружины с жесткостью в 10 Н/м (k = 10) на 1 м
(x = 1) сила пружины составит 10 Н (F = 10). Свойство растяжения
пружины может быть использовано при изготовлении эспандера для
развития мышц рук.
75
В случае предварительного растяжения пружины по ее оси действует сила F  k  x  b , где b − величина предварительного растяжения пружины; k − жесткость пружины, Н/м. На графике данному
выражению функции F соответствует прямая y  k  x  b , расположенная параллельно прямой y  k  x (в нашем примере, это прямая
y  10 x  5 , см. рисунок 2.3).
Жесткость пружины (k) − это
величина, показывающая, какое усилие в Н нужно приложить к ней для ее
растяжения (сжатия) (в нашем примере для растяжения на 1 м). Обычно
жесткость имеет единицу величины в
Н/мм. У пружин форсунок автомобильных дизелей жесткость лежит в
Р и с у н о к 2 .3 – Х а р а к т е р и с т и к и
пределах 200 − 300 Н/мм.
пруж ины
Пружины растяжения и сжатия
с различной жесткостью применяются в технике. В двигателях внутреннего сгорания их используют в форсунках, насосах высокого давления, регуляторах, клапанах.
На рисунке 2.4 показан общий вид форсунки двигателя семейства Ярославского моторного завода [8].
1 – сопловые отверстия;
2 – игла;
3 – корпус распылителя;
4 – гайка распылителя;
5 – корпус;
6 – шток;
7 – опорная шайба;
8 – пружина;
9 – регулировочный винт;
10 – контргайка;
11 – колпак;
12 – сетчатый фильтр;
13 – уплотнитель;
14 – штуцер;
15 − канал
Рисунок 2.4 – Форсунка
Под действием высокого давления игла форсунки 2 перемещается и через шток 6 сжимает пружину 8. Через открытые сопловые
76
отверстия 1 топливо в распыленном виде подается в камеру сгорания.
После окончания впрыска пружина 8 разжимается и при помощи штока 6 действует на иглу 2, закрывая сопловые отверстия 1. Усилие
пружины сжатия 8 регулируют винтом 9.
2.3.2 Геометрические приложения определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции. Криволинейной трапецией
называется фигура, ограниченная сверху графиком непрерывной
функции y  f  x  ( f ( x )  0 на отрезке  a ; b  ), снизу − осью Ох, слева
и справа − соответственно параллельными прямыми х = a и x = b
(рисунок 2.5).
Используя метод интегральных сумм, докажем, что площадь
криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой
y  f  x  , двумя параллельными
прямыми х=a, x=b и осью Ох в
случае, если f ( x )  0 на отрезке
 a ; b  , вычисляется по формуле
b
Рисунок 2.5 – Криволинейная
трапеция
S   f ( x ) dx
.
(2.22)
a
1 Произвольным образом точками x 0  a , x1 , x 2 , x 3 ,..., x n  1 , x n  b
отрезок  a ; b  разбиваем на n частей − n частичных отрезков  x i  1 ; x i  ,
i  1 , 2 ,... n .  x i  x i  x i  1 − длина i -го частичного отрезка (рисунок 2.6).
2 Внутри каждого частичного отрезка  x i  1 ; x i  , i  1 , 2 ,... n , произвольным образом выбираем точку с i .
3 Находим значение определяемой функции f ( x ) в точке с i , то
есть значение f ( с i ) [из точки с i проводим прямую, параллельную
оси Оу, до пересечения с графиком функции y  f  x  ; ордината полученной точки пересечения даст нам искомое значение функции f ( с i ) ]. Значение f ( с i ) численно равно высоте h i i-го прямоугольника. Умножаем это значение на длину соответствующего частичного отрезка  x i  1 ; x i  ( i  1 , 2 ,... n )  x i . В результате получаем n
произведений вида S i  f  c i    x i , выражающих площадь прямоугольников с основанием  x i высотой h i  f  c i  .
77
4 Составим сумму всех таких произведений (сумму площадей):
n
n
i 1
i 1
f  c1  x1  f  c 2  x 2  ...  f  c n  x n   f ( c i )   x i   S i  S n
.
Полученная сумма S n равна площади ступенчатой фигуры
(см. рисунок 2.6) и приближенно равна площади криволинейной трапеции S . То есть
n
S  S n   f (ci )   xi
.
(2.23)
i 1
5 При  x i  0 точность приближения криволинейной трапеции
ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Следовательно, за точное значение площади S криволинейной
трапеции принимается предел S , к которому стремится значение
площади ступенчатой фигуры S n , когда n неограниченно возрастает
так, что max  x i  0 . Таким образом, мы получаем
S  lim S n 
n 
b
n
 f ( c i )   x i   f  x  dx
lim
max  x i  0 i  1
n 
.
(2.24)
a
Рисунок 2.6 – Площадь криволинейной трапеции
Геометрический смысл определенного интеграла
b
 f ( x ) dx
от
a
неотрицательной функции y  f ( x ) ( f ( x )  0 на отрезке  a ; b  ) заключается в том, что он численно равен площади криволинейной
трапеции, ограниченной данной кривой.
Если же
f (x)  0
на отрезке  a ; b  (рисунок 2.7), то
b
S    f ( x ) dx
a
78
.
(2.25)
В общем случае
b
S   f ( x ) dx
.
(2.26)
a
Площадь фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми
y 1  f 1 ( x ) , y 2  f 2 ( x ) и двумя прямыми х=a, x=b, где f 1 ( x )  f 2 ( x )
на отрезке  a ; b  (рис. 2.8), может быть найдена по формуле
b
S    f 2 ( x )  f 1 ( x ) dx .
(2.27)
a
Рисунок 2.7 – Площадь криволинейной трапеции в случае f ( x )  0
В
случае
Рисунок 2.8 – Площадь фигуры, ограниченной кривыми y1  f1 ( x ) , y 2  f 2 ( x )
параметрического
задания
 x  x ( t ),

 y  y ( t ),
кривой
y ( t )  0 , t1  t  t 2 ,
площадь криволинейной трапеции, ограниченной
этой кривой прямыми х=a, x=b и отрезком  a ; b  оси Ох, может быть
найдена по формуле
t2
S   y ( t ) x  ( t ) dt
,
(2.28)
t1
при этом a   ( t1 ), b   ( t 2 ) .
Площадь криволинейного
сектора, ограниченного кривой
r  r (  ) и двумя полярными радиусами    1 ,    2 (где
 1   2 ) (рисунок 2.9), вычисляРисунок 2.9 – Криволинейный сектор ется по формуле
79
S 
2
1
2
 r ( ) d 
2
.
(2.29)
1
Площадь круга. Используя общую формулу (2.29), получим
формулу для площади круга радиусом r в системе Mathcad:
S :=
1
2
r
dr
2π

2
r dφ  πr
2
.
0
Площадь круга можно также вычислить как сумму площадей бесчисленного
числа элементарных колец. Площадь малого
d S  2  rd r
кольца d S  2  r  d r находится как площадь
Рисунок 2.10 – Расчёт прямоугольной полоски длиной 2  r , равной
площади круга как длине окружности текущего радиуса r, и шисуммы площадей колец риной dr (рисунок 2.10):
R
R
S к р у г а := 2   
 r dr
 πR
2
.
0
Площадь сферической поверхности. Выведем формулу для
расчёта площади поверхности шара как сумму площадей бесчисленного числа боковых поверхно  0
стей усечённых конусов. Развёртку
r
d l= R d 
конуса представляем в виде полоски
длиной 2  r и высотой, равной

длине образующей конуса – длине
d
хорды d l  R d  . Текущий радиус в
dS=2  r dl
R
соответствии с рисунком 2.11 определяется по формуле r  R s i n  , а
площадь
полоски
  
d S  2  r  d l  2  R s in  R d  . ИнтеРисунок 2.11 – Расчёт площади грируя это выражение в системе
шара как суммы площадей Mathcad, получим формулу для расконических поверхностей
чёта площади сферы радиусом R:

S ш а р а := 2   R
2
  s in (  ) d   4 π R
2
.
0
Длина дуги кривой. Пусть кривая на плоскости задана уравнением y  f  x  . Тогда длина дуги этой кривой АВ (рисунок 2.12), заключенной между точками с абсциссами х=a, и x=b, может быть
80
найдена по формуле
b
l  
1
 f  ( x ) 2 dx .
(2.30)
a
В случае параметрического задания кривой
 x  x ( t ),

 y  y ( t ),
где x ( t ), y ( t ) − непрерывно дифференцируемые на отрезке  a ; b  функции, длина дуги кривой, соответствующей монотонному изменению параметра t от t1 до t 2 , вычисляется
по формуле
Рисунок 2.12 – Вычисление
длины дуги кривой
t2
l  
 x ( t )  2
  y  ( t )  dt
2
.
(2.31)
t1
Если задана пространственная кривая
t2
l  
 x ( t )  2   y ( t )  2
 x  x ( t ),

 y  y ( t ), t1  t  t 2 ,
 z  z ( t ),

  z  ( t )  dt
2
.
то
(2.32)
t1
r 
Если кривая задана в полярных координатах уравнением
r (  ) ,    1 ,    2 (  1   2 ), то
2
l  
 r    2   r   2 d  .
(2.33)
1
 
Если кривая задана уравнением в полярных координатах
 (  ) , то длина дуги
2
l 

2

2
1
 d 
 
 d
d



.
(2.34)
В случае окружности   r  c o n s t подынтегральное выражение становится равным r d   d l – элементарная длина дуги и форму2
ла (2.34) упрощается l   r d  . Применяя эту формулу к окружности,
1
81
найдем её длину как бесконечной суммы элементарных длин дуг:
2
C: 

r d  2r
.
0
Объем тела вращения. Пусть вокруг оси Ох вращается боковая
поверхность криволинейной трапеции, ограниченная непрерывной
линией y  f  x  ( f ( x )  0 на отрезке  a ; b  ), осью Ох, параллельными прямыми х=a и x=b. Полученная от вращения фигура называется
телом вращения (рисунок 2.13).
Если известны площади сечений S этого тела плоскостями,
перпендикулярными некоторой оси,
например, оси Ох: S  S  x  , то действуя по алгоритму метода интегральных сумм, можно показать, что объем
V тела вращения будет равен
b
V   S  x  dx
.
(2.35)
a
Рассмотрим рисунок 2.13. Заметим, что сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную
точку х оси  x  a ; b  , есть круг радиуса y  f  x  . Следовательно,
Рисунок 2.13 – Тело вращения
x .
Тогда, в соответствии с предыдущей формулой, объем полученного таким образом тела вращения вычисляется по формуле
S    y
2
   f
2
b
Vx     f
2
.
( x ) dx
(2.36)
a
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции x    y  (  ( y )  0 на отрезке c ; d  ) осью Оу, прямыми
y  c , y  d ,  c  d  , то объем тела, образованного вращением этой
трапеции вокруг оси Оу, вычисляется по формуле
d
Vy    
2
( y ) dy
.
(2.37)
c
Приведём примеры расчёта объёма шара двумя методами:
как суммы цилиндрических слоёв и как сумму шаровых слоёв.
Расчёт объёма шара в виде суммы цилиндрических слоёв.
Согласно рисунку 2.14 объём элементарного цилиндрического слоя
82
радиусом r и высотой dh равен d V   r 2 d h . Бесконечная сумма (интеграл) этих объёмов при изменении h от 0 до R даст объём полусферы, поэтому полный объём шара будет равен двум таким суммам.
Связь между r и h устанавливается по теореме Пифагора. Определение выражения для объёма шара в системе Mathcad выглядит так:
r:=
R
2
 (R  h )
2
;
V := 2 
R
2
πr dh 
4π  R
0
3
.
3
Расчёт объёма шара как суммы шаровых слоёв. Согласно
рисунку 2.15 объём элементарного шарового слоя будет равен произведению площади поверхности сферы (шара)
радиуса r на приращение этого радиуса dr.
h
dh
r
R -h
dSш  4r
dS ш  4 r
R
2
текущего
2
dr
r
R
dV ц=  r dh
2
2
d V ш .с  4  r d r
Рисунок 2.14 – Расчёт
объёма шара как суммы
объёмов цилиндров
Рисунок 2.15 – Расчёт
объёма шара как суммы
объёмов шаровых слоёв
Решение в системе Mathcad будет таким:
V := 
y 
R
2
4π  r dr 
0
4π  R
3
.
3
Задача 2.3 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
3 / x, x  y  4  0.
Решение. Построим область, площадь которой необходимо
найти. Кривая y 
3
представляет собой гиперболу, расположенную в
x
первой и третьей четвертях; x  y  4  0 − прямая линия (рисунок 2.16).
Воспользуемся формулой (2.27), определим а и b. Найдем точки
пересечения графиков функций
y 
3
x
83
и
y  4 x
. Составим и решим
систему уравнений:
3

3
y  ,
2
x

 4  x  3  4x  x


x
 y  4  x
квадратное
2
, получим
уравнение
 4x  3  0
.
Дискриминант полученного
квадратного уравнения равен
x
D    4   4  1  3  16  12  4 ,
2
следовательно, корни уравнения
4 
x1 
4
 1;
x2 
2
4 
4
 3
.
2
x1  1
Найденные значения
и
x 2  3 будут соответственно исРисунок 2.16 – Фигура, огра- комыми значениями а и b.
ниченная графиками функций
3
Таким
образом,
f
(
x
)

,
1
y = 3/x и x + y – 4 = 0
x
b  3.
f 2 ( x )  4  x , a  1,
2


3
x

S    4  x   dx   4 x 
 3 ln x 
x 
2



1
3
 12 
9
 3 ln 3  4 
2
3
1
1
Тогда
9
1

 

  1 2   3 ln 3    4   3 ln1  
2
2

 

2
 0  4  3 ln 3 е д .
2
Так как мы находим площадь, то в роли ед2 могут быть, например, см2, м2.
5
Построение графиков в системе Mathcad
4
Задаём функции y1 и y2 от х:
y 1 (x ):=
3
x
,
y 2 (x ):= 4  x
.
Для построения графиков
этих функций необходимо вызвать панель Graph (График), выбрать шаблон для декартового
графика и заполнить соответствующие ячейки, как это сделано на рисунке 2.17.
Как видно из полученного
y ( x) 3
1
y ( x)
2
2
1
0
0
1
2
3
x
Рисунок 2.17 – Графики
y = 3/x и y = 4 – х, построенные в системе Mathcad
84
4
графика пересечение этих линий находится вблизи точек 1 и 3. Не
каждое пересечение кривых попадает в точку пересечения координатных линий, как в данном случае, поэтому задачу решаем в общем случае, принимая значения х приближённо. Точное решение находим путём использования вычислительного блока Given – Find (Дано –
Найти). Система уравнений записывается между операторами Given и
Find. Причём в уравнениях, входящих в систему, стоит знак жирного
равно (вводится при одновременном нажатии клавиш ctrl и =). Заранее
необходимо задать некоторые значения всех величин, входящих в систему.
Поскольку в точках пересечения y 1 (x ) = y 2 (x ) , то решаемое
уравнение будет 3/х = 4 – х.
Вычисление в системе Mathcad:
Задаём приближённые значения для первого корня
3
Given
 4 x
x := 0 . 5
a : = F i n d ( x ) =. Следовательно,
1
искомое зна-
x
чение первого корня х1 = 1.
Задаём приближённые значения для второго корня
3
Given
 4x
x := 3 . 5
b : = F i n d ( x ) = . 3Следовательно,
искомое зна-
x
чение второго корня х2 = 3.
Для вычисления площади между кривыми запишем формулу 2.27
в виде
S: 
S: 
b
a
b
a
(y 2 (x )  y 2 (x )) d x  4  ln (2 7 )
(4  x 
3
) d x  4  ln (2 7 ) .
или в полном виде
Учитывая, что ln27 = 3 ln3,
x
получим числовое значение площади в таком виде {S} = 4 – 3 ln3.
Задача 2.4 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
2
2 y  3  x, y  x , y  0 .
Решение. Построим область, площадь которой необходимо
найти. Кривая y  x 2 представляет собой параболу; 2 y  3  x − прямая линия, y  0 − уравнение оси Ох (рисунок 2.18).
По рисунку легко заметить, что, двигаясь по области снизу вверх,
мы пересекаем не две, а три границы области. В связи с чем для
нахождения площади S интересующей нас области необходимо в точке пересечения границ области разбить ее на две части, площади которых соответственно равны S 1 и S 2 .
85
Рисунок 2.18 – Фигура, ограниченная графиками функций
2
2 y  3  x, y  x , y  0
Чтобы найти абсциссу точки пересечения границ области, необходимо составить и решить систему уравнений:
y  x2,
2
2
 2x  3  x  2x  x  3  0

2 y  3  x
.
Найдем
корни
полученного
квадратного
уравнения
2
2
2 x  x  3  0 . Его дискриминант D  1  4  2    3   1  24  25 ,
следовательно,
x2 
1
25
корни
уравнения
x1 
1
25
 
4
3
;
2
 1.
4
Нас интересует значение x 2  1 , так как именно оно принадлежит
указанной области в отличие от значения x 1  
Тогда площадь криволинейной трапеции
3
(см. рисунок 2.18).
2
1
2
S 1   x dx
(в данной обла-
0
сти х принимает значения от 0 до 1).
Для нахождения S 2 необходимо знать абсциссу точки пересечения прямых 2 y  3  x и y  0 . Подставив в первое уравнение значение y  0 , получим значение x  3 . Выразив из уравнения прямой
2y  3 x y 
1
 3  x  ,
получим
2
1
1
 3  x  dx . Таким образом:
2
2
1 
x 

  x dx    3  x  dx 
 3x 


2
3
2
2
0
0
1


1
S  S1  S 2
3
S2  
3
2
1
x
86
3
1
3

1

1
1 
9
1
1
1
1
4
9 
 3  

2 
1
ед
2 
2
2
3
2
3
3

3
2
.
Как и в предыдущем примере, в роли ед2 могут быть см2, м2.
Вычисление в системе Mathcad:
Вводим обозначения функций и строим их графики
y 1 (x ): 
3 x
;
2
Ищем координату х1 = а
точки пересечения параболы и
оси х. Для уравнений этих кривых можно записать равенство
y 2 (x )  x
2
 y 3 (x )  0
.
Отсюда следует, что х1= 0.
Координату х2 точки пересечения правой ветви параболы
с прямой линией определяем
путём решения системы, которую можно записать в виде равенства
y 2 (x )  x
2
 y 1 (x ) 
3 x
y 2 (x ):  x
; y 3 (x ):  0 .
5
4
y1( x)
3
y2( x)
y3( x)
2
1
0
 4
 3
 2
 1
0
1
2
3
4
x
Р и с у н о к 2 .1 9 – Г р а ф и к и у = ( 3 – х ) /2 ,
2
y = x ,
.
2
у = 0
в с и с т е м е M a th c a d
2
Вычисление в системе Mathcad
Задаём начальное приближение, например, x :  0 . 8 .
Given
x
2

3 x
x2:= Find(x) = 1.
2
Следовательно, х2 = b = 1.
Координату х3 точки пересечения прямой с осью Х находим, решая систему, которую можно записать для точки пересечения в виде
Given
3 x
 0
x3:= Find(x) = 3.
2
Следовательно, х3 = с =3.
Площадь под параболой на участке а-b (0-1) определится интегралом
S ab 
интегралом
b
a
y 2 (x ) d x
S bc 
, под прямой линией на участке b-c (1-3) –
c
b
y1 ( x ) d x
.
87
Вычисление всей площади в системе Mathcad:
S 
1
0
2
x dx 
3 x
3
1
dx 
2
4
 1 .3 3 3
.
3
Задача 2.5 Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом,
 x  4 cos t ,

 y  6 sin t .
Решение. В данном примере кривая (эллипс), ограничивающая
фигуру на плоскости (рисунок 2.20), задана параметрически, следоваt2
тельно, необходимо воспользоваться формулой S   y ( t ) x  ( t ) dt .
t1
Найдем t1 и t 2 . Для этого построим эллипс и проследим, каким образом меняется параметр t (в данном примере в роли параметра t выступает угол).
Так как в построенной нами области
имеются симметричные части, то достаточно найти площадь одной из них S 1 , а
затем умножить ее на количество симметричных частей. В нашем случае их 4. То
есть S  4 S 1 , значение x меняется от 0 до
4 (a=0, b=4). Найдем значения t1 и t 2 из
условий [см. формулу (2.28), случай параметрического задания кривой]:
a  x ( t1 ), b  x ( t 2 )  0  4 cos t1 ,
Рисунок 2.20 – Фигура,
ограниченная эллипсом
4  4 cos t 2  t 1 
Таким образом:
0
0

2
, t2  0 .
0

S 1   6 sin t   4 cos t  dt  24  sin t    sin t  dt   24  sin



2
2
2
0
  24 

2
1  cos 2 t
2
2
t dt 
0
1


dt   12   1  cos 2 t  dt   12   t  sin 2 t 

2


0


2
2

1


  12   0 
 sin    6  ед
2
2



2

S  4 S 1  4  6   24  ед
В роли ед2 могут быть, например, см2, м2.
88
2
.
В общем случае площадь фигуры, ограниченной эллипсом, заx
данным уравнением
a
2
2

y
b
 x  a cos t ,
2
2
1
(неявное задание) или 
 y  b sin t ,
где 0  t  2  (параметрическое задание), может быть найдена по
формуле S    a  b .
Окружность является частным случаем эллипса при равенстве
его полуосей (a = b). Тогда если радиус окружности равен R
 R  a  b  , то площадь ограниченного ею круга вычисляется по
формуле S   R , или
2
S 
 d
2
, где
d  2R
− диаметр окружности.
4
Заметим, что форму в виде эллипса применяют при изготовлении щек определенной толщины, которые соединяют коренную шейку с шатунной шейкой коленчатого вала.
Вычисление в системе Mathcad:
По условию известны значения малой и большой полуосей:
a :  4 и b :  6 . Из канонического уравнения эллипса (оси координат совпадают с осями эллипса)
x
a
y ( x ) := b 
 x 
1  
 a 
2

y
b
2
2
1
находим
2
и строим график эллипса (рисунок 2.17).
Параметрическое задание
кривой: x ( t) := 4 c o s ( t) ,
y ( t) := 6 s in ( t) .
Задаём первое приближение
t:= 0 . Для х1 = 0 и х2 = 4 находим
соответствующие значения t:
Given 4 c o s ( t) = 0 ;
t 1 := F in d (t) 
Given
2
4 c o s ( t) = 4

7
7
y
6
5
4
3
y ( x)
2
1
0
x
 y ( x)  1
 2
 3
 4
;
2
;
t 2 := F in d (t)  0
.
Площадь верхней правой части эллипса находим по формуле
(2.28), а умножая её на 4 части эллипса, получим всю его площадь
89
 5
 7  6
 7
 5 4 3 2 1 0
 5
x
1
2
3
4
5
5
Рисунок 2.17 – Эллипс, построенный в системе Mathcad
(оси добавлены в Word)
S := 4 
t2
t1
y (t) 
d
x (t) d t  2 4    7 5 . 3 9 8
(чтобы вывести результат в ра-
dt
дианах, необходимо ответ умножить на  ).
Если задать х1 = – 4, х2 = 4, то для х1 параметр t1 будет равен
Given 4 c o s ( t) =  4 ; t 1 := F in d (t)   .
Площадь верхней части эллипса находим по формуле (2.28), а
умножая её на 2 части эллипса, получим всю его площадь
0
d

dt
S := 2  y (t) 
x (t) d t  2 4    7 5 . 3 9 8 .
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте определение определенного интеграла.
2. Назовите условие существования определенного интеграла.
3. Назовите основные свойства определенного интеграла.
4. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?
5. В чем заключается физический смысл определенного интеграла?
6. С помощью какой формулы находят значение определенного
интеграла?
7. Назовите и поясните формулу интегрирования заменой переменной в определенном интеграле и формулу интегрирования по частям. Чем они отличаются от формул замены переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле? На что необходимо
обращать особое внимание при использовании этих формул?
8. В чем заключается суть метода интегральных сумм?
9. Какие геометрические приложения определенного интеграла
вы знаете?
10. Какие физические и механические приложения определенного интеграла вы знаете?
90
3 Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения представляют собой основной
аппарат естествоиспытателя и инженера. Математический анализ явлений природы обычно начинается с попыток представить те или
иные естественнонаучные законы в виде дифференциальных уравнений. Эти уравнения связывают переменные величины, с помощью которых описывается интересующее нас явление. Однако нужно понимать, что такое представление зачастую является не «абсолютным», а
составляет лишь приближенное описание реальной картины.
3.1 Понятие дифференциального уравнения
Определение. Дифференциальным уравнением называют уравнение, содержащее помимо независимых переменных x1 , x 2 ,..., x n и
искомой функции от них y  x1 , x 2 ,..., x n  , производные искомой функции или ее дифференциалы.
Определение. Если функция, относительно которой составлено
дифференциальное уравнение, зависит только от одной независимой
переменной, то это уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
Обыкновенное дифференциальное уравнение для искомой
функции y  y  x  одной независимой переменной может быть записано в виде
n 
(3.1)
F  x , y , y  , y  ,..., y   0 .
Определение. Если искомая функция зависит от нескольких независимых переменных, то это уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Определение. Наивысший порядок производных, входящих в
уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.
Примеры:
1)
5 cos x  y   8 y  tg x  0
3
− обыкновенное дифференциальное
уравнение 1 – го порядка. В общем виде записывается
2)
x
d
2
dx
уравнение
y
2
 y
dy
 x
2
 4y
F ( x , y , y )  0
;
− обыкновенное дифференциальное
dx
2-го
F ( x , y , y  , y  )  0
порядка.
В
;
91
общем
виде
записывается
3)
y
2
z
x
 x ln y
z
y
 0
− дифференциальное уравнение в част-
ных производных первого порядка.
Определение. Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция, которая при подстановке в
исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение
в тождество. График любого решения дифференциального уравнения
называется интегральной кривой, а процесс отыскания решения дифференциального уравнения − интегрированием.
Дифференциальные уравнения используются для решения различных задач, возникающих в математике, физике, химии. Естественнонаучные законы и конкретные свойства тех или иных систем и механизмов весьма часто записываются в виде дифференциальных уравнений, так что во многих случаях существенная часть изучения интересующего нас явления состоит в анализе и решении соответствующего уравнения. При этом дифференциальное уравнение выступает в
роли математической модели рассматриваемого процесса или явления. Рассмотрим несколько задач, приводящих к дифференциальным
уравнениям.
Пример 3.1 Рассмотрим простейший случай равноускоренного
движения материальной точки.
Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле
S   0t 
at
2
.
2
В свою очередь ускорение a является производной по времени t
от скорости  , которая также является производной по времени t от
перемещения S:
d
2
d  dS 
d S
 
; a 


 
2
dt
dt
dt  dt 
dt
dS
Тогда получаем:
S   0t 
S  ( t )  t
2
.
2
− уравнение связывает
функцию S  t  с независимой переменной t и производной второго
порядка функции S  t  .
Задача 3.1 Материальная точка массы m замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды пропорционально
квадрату скорости . Найти зависимость скорости от времени.
92
Решение. Пусть    t  − скорость движения материальной
точки (функция от времени t ); t − время, отсчитываемое от начала
движения; a 
d
− ускорение движущегося тела.
dt
По второму закону Ньютона сила, действующая на тело в процессе движения, равна F  m  a . По условию задачи F   k   2 , где
k  0 − коэффициент пропорциональности (знак « − » указывает на
то, что скорость тела уменьшается).
d
Следовательно, m  a   k   2 , или m 
  k 
2
. Таким об-
dt
разом, мы получили дифференциальное уравнение, решением которого является функция    t  . Чтобы ответить на вопрос задачи, решим полученное уравнение. Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными
(ниже мы выпишем общий вид и метод решения уравнений такого типа). Следовательно:
m 
d
 k 
2

dt
 
или
 
1

 
m
1
k
k
t  C 
d

2
1

 
kdt
m

 
k t  C m
d

2
 
m
  
m
k
  dt 
m
k t  C m
,
, где С − константа.
t  C
m
Задача 3.2 Пусть в начальный момент тело массы m имеет температуру T 0 . Температура окружающей среды постоянна и равна T c .
При этом T 0  T c . Найти закон охлаждения тела.
Решение. При решении задачи используем закон Ньютона (для
охлаждающегося тела): скорость изменения температуры тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды.
Если T − температура тела в любой момент времени t ,
dT
−
dt
скорость изменения температуры тела, то
dT
dt
 k  T  T c
 − закон
Ньютона для охлаждающегося тела, где k = const коэффициент пропорциональности.
Данное уравнение также является дифференциальным уравне93
нием первого порядка с разделяющимися переменными. Следовательно,
dT
dt
  k  T  T c  
dT
T  Tc
  k  dt  
 ln T  T c   kt  C  T  T c  e
 kt  C
dT
T  Tc
  k  dt 
 T  Tc  e
 kt  C
,
где е ≈ 2,71 − основание натурального логарифма.
В главе 9 «Расчет коленчатого вала двигателя на крутильные
колебания» настоящего пособия также рассматривается задача, приводящая к дифференциальному уравнению.
Заметим, что теории дифференциальных уравнений посвящено
много учебников и учебных пособий, а потому в настоящем пособии
мы ограничимся лишь тем, что рассмотрим несколько основных
(наиболее часто встречающихся) типов дифференциальных уравнений
и приведем алгоритмы их решения. Подробнее о дифференциальных
уравнениях и методах их решения смотрите [11, 12, 25].
3.2 Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения первого порядка в общем случае
можно записать в виде
F ( x , y , y )  0 .
(3.2)
В случае если данное уравнение можно разрешить относительно
производной y  , то полученное уравнение y   f  x ; y  называют
дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения
первого порядка называется функция y    x , C  , содержащая одну
произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:
1) функция y    x , C  является решением дифференциального
уравнения при каждом фиксированном значении С;
2) каково бы ни было начальное условие y  x 0   y 0 , можно
найти такое значение постоянной C  C 0 , что функция y    x , C 0 
удовлетворяет данному начальному условию.
Равенство типа Ф  x , y ,C   0 , неявно задающее общее решение,
называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Определение. Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется любая функция y    x , C 0  , полученная из общего решения y    x , C  при конкретном значении
94
Соотношение Ф  x , y ,C 0   0 называется частным интегралом
дифференциального уравнения.
Итак, далее мы рассмотрим три основных типа дифференциальных уравнений первого порядка.
C  C0 .
3.2.1 Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными
Определение. Дифференциальное уравнение вида
Р 1  x   Q 1  y dx  Р 2  x   Q 2  y dy  0
,
(3.3)
где Р 1  x , P2  x  − функции, зависящие только от х, Q 1  y , Q 2  y  −
функции, зависящие только от y, называется уравнением с разделяющимися переменными.
Уравнение
(3.3)
путем
деления
на
произведение
Q 1  y   P2  x   0 приводится к уравнению с разделенными переменными
P1  x 
Q y
dx  2
dy  0 ,
P2  x 
Q1  y 
или
 ( x ) dx   ( y ) dy  0 ,
(3.4)
Q y
P x 
где   x   1
− функция, зависящая только от x , а   y   2
−
Q1  y 
P2  x 
функция, зависящая только от y .
Данная операция, приводящая уравнение с разделяющимися переменными (3.3) к уравнению с разделенными переменными (3.4),
называется разделением переменных.
Проинтегрировав почленно уравнение (3.4), получим его общий
интеграл
 ( x ) dx   ( y ) dy  0    ( x ) dx    ( y ) dy  C .
Заметим, что уравнению (3.3) могут удовлетворять решения, потерянные при делении на Q 1  y   P2  x  , то есть получаемые из уравнения Q 1  y   P2  x   0 . Если эти решения не входят в найденный общий
интеграл, то они являются особыми решениями уравнения (3.3).
Уравнение вида
y   f1 ( x )  f 2 ( y ) ,
где f 1  x  − функция, зависящая только от x , а f 2  y  − функция, зависящая только от y , сводится к уравнению с разделенными перемен-
95
dy
ными (3.4). Для этого достаточно представить y  
переменные (полагаем, что f 2  y   0 ).
dy
dx
dy
 f1 ( x )  f 2 ( y ) 
f2 y 
и разделить
dx
 f 1 ( x ) dx  0  
dy
f2 y 
  f 1 ( x ) dx  С .
Заметим, что уравнения такого типа наиболее часто встречаются
на практике. Сложности при решении таких уравнений могут возникнуть только на этапе нахождения интегралов. Вопросы интегрирования функции одной независимой переменной были нами затронуты в
разделе. 2 настоящего пособия.
В задачах 3.1 и 3.2 решены уравнения с разделяющимися переменными. Рассмотрим еще несколько примеров дифференциальных
уравнений с разделяющимися переменными и приведем их решения.
Пример 3.2 Решить уравнение y    2 y  1   tg x .
Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные x и y и проинтегрируем
полученные выражения
dy
dy
  2 y  1   tg x 
2y 1
dx
1
2

dy
y  1
  tg x  dx 
2
В качестве константы
1
C
ln y 
2
 ln
y
1
2
 ln
C1
cosx
 tg x  dx  

ln y 
2
1
2y 1
  tg x  dx
  ln cos x  C
;
.
2
возьмем C  ln C 1 , тогда
1
2
y
1
dy
1
2
  ln cos x  ln C 1 

C1
cosx
 y
1
2
2

C1
2
cos x
2
 y 
C1
2
cos x

1
.
2
Задача 3.3 Тело движется со скоростью, пропорциональной
пройденному пути. Какой путь пройдет тело за 5 секунд от начала
движения, если известно, что за 1 секунду оно проходит путь 8 метров, а за 3 секунды – 40 метров?
Решение. Пусть    t  − скорость движения тела в момент
времени t , S  S  t  − путь, пройденным телом за время t . По условию задачи:   k  S , где k − коэффициент пропорциональности. Из
физического смысла производной (п. 1.1.1) нам известно, что
 t   S  t  . Тогда S   k  S . Решим полученное дифференциальное
96
уравнение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися
переменными, следовательно,
dS
 k S 
dt
dS
 k  dt  
S
dS
S
 k  dt  ln S  kt  C  S  e
kt  C
.
Мы получили закон движения тела, соответствующий условию
задачи.
Для того чтобы найти путь, который пройдет тело за 5 минут от
начала движения, необходимо найти коэффициент пропорциональности k и константу С . Эти величины найдем, подставив в полученное
k C
решение
начальные
условия:
;
S 1   8  8  e
S  3   40  40  e
3k C
.
Составим и решим систему:
 8  e k  e C ,

3k
C
 40  e  e .
8
Из первого уравнения выразим e C 
e
8
уравнение.  40  e 3 k 
e
образом, S  e
ln 5
2
t
8

Тогда
S 5 
k
2k
 k 
и подставим во второе
ln 5
8
; eC 
2
. Таким
ln 5
2
e
.
ln 5
e
 5  e
k
2
ln 5 5
2
e
5 ln 5
8

 8e
ln 5
e
2

l n5
2
 8e
2 ln 5
 8 5
2
 200
м.
2
В процессе вычислений мы воспользовались свойствами натурального логарифма (см. приложение Б.3).
3.2.2 Линейные дифференциальные уравнения первого
порядка
Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
y  px   y  qx  ,
(3.5)
где p  x , q  x  − заданные функции. При q  x   0 данное уравнение
называется однородным, а при q  x   0 − неоднородным.
Рассмотрим однородное линейное уравнение y   p  x   y  0 .
Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, поэтому для его решения достаточно «разделить» переменные
97
и найти соответствующие интегралы:
dy
 p  x   y  0;
dx
dy
  p ( x ) dx
;
y
ln y    p ( x ) dx  ln C ;
ln
y
C
   p ( x ) dx ;
y  Ce
  p ( x ) dx
.
(3.6)
Для решения линейного неоднородного дифференциального
уравнения первого порядка y   p  x   y  q  x  воспользуемся методом Бернулли [Иоганн Бернулли (1667−1748) − швейцарский математик].
Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций y  u  v , где
u  u  x , v  v  x  − неизвестные функции от x , причем одна из них
произвольна (но не равна нулю).
При этом по правилу дифференцирования произведения двух
функций y   u   v  u  v  (1.18).
Подставляя значения для y и y  в исходное уравнение, получаем
u   v  u  v   p ( x )u  v  q ( x ) ;
u   v  u  v   p ( x )  v   q ( x ) .
Так как первоначальная функция была представлена нами в виде
произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению. Таким образом, можно одну из составляющих произведения
функций выбрать так, что выражение v   p ( x )  v  0 .
Таким образом, появляется возможность получить функцию v ,
проинтегрировав полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме а:
v  Ce
  p ( x ) dx
.
(3.7)
Заметим, что зачастую на практике при нахождении v константу C «опускают» (например, в данном случае возьмем ее равной 1),
тогда полученное решение будет иметь вид v  e   p ( x ) dx .
Для нахождения второй неизвестной функции u подставим по98
лученное выражение для функции v в исходное уравнение
u   v  u   v   p ( x )  v   q ( x ) с учетом того, что выражение, стоящее
в скобках, равно нулю. Следовательно,
  p ( x ) dx
u   Сe
du 
1
e
 q ( x );
p ( x ) dx
 q ( x );
C
1
 p ( x ) dx
 q ( x ) dx ;
 du 
e
C
1
 p ( x ) dx
u 
 q ( x ) dx  C 1 .
e
C
получим искомую функцию y , подставив
В итоге
ние найденные значения u и v .
 1

y  u v  
e
C
y  e
p ( x ) dx
  p ( x ) dx

 q ( x ) dx  C 1   Ce

 q  x   e
 p ( x ) dx
(3.8)
в ее выраже-
  p ( x ) dx
dx  C 2
;
,
(3.9)
где C 2  C 1  C .
Это соотношение может считаться решением неоднородного
линейного дифференциального уравнения первого порядка в общем
виде по методу Бернулли.
Пример 3.3 Решить уравнение  x 2  1  y   2 xy  3 .
Решение. Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Действительно, после небольших алгебраических преобразований оно соответствует общему виду
линейного дифференциального уравнения y   p  x   y  q  x  .
2x
y 
x
2
1
3
 y 
x
2
1
, где p  x  
2x
3
; q x  
2
x 1
y  u v, 
2
.
x 1
y  u   v  u  v .
Решение будем искать в виде
Подставим в исходное уравнение и решим его методом Бернулли.
2x
u   v  u  v 
x
2
1
3
u v 
x
2
1
2x
3


u  v  u   v 
v 
2
2
x 1
x 1


2x
а) v  
x
2
1
v  0 
dv
dx
2x
 
x
99
2
1
v 
dv
v
;
;
2x
 
x
2
1
 dx 

dv

2x
 
v
x
2
1
.
dx
Найдем
2x
 
x
2
1
dx 
x
2
1 t
dt
 
2 xdx  dt
  ln t   ln x
2
1
 1  ln
t
x
2
1
.
Таким образом,
1
ln v  ln
x
б)
u v 
3
2
x 1
 u
1
2

2
x 1
1
x
2
x
3
1
2
1
;
 u  3  u 
2
x 1
1
в) y  u  v   3 x  C  
1
 v 
 3dx 
u  3x  C
;
.
Задача 3.4 (Задача о переменном синусоидальном токе). Пусть
дана электрическая лампа, которая питается от источника переменного тока. Найти закон изменения тока в зависимости от времени, если
напряжение U изменяется по синусоидальному закону.
Решение. Примем за начальный момент времени t 0 , при котором U 0  0 . Тогда можно положить U  U 0 sin   t  , где  − частота, например, переменного тока 50 Гц, или 50 колебаний в с.
Уравнение изменения силы тока в электрической цепи
с сопротивлением R
и самоиндукцией L
примет вид
dI
dt

R
I 
L
U
0
 sin   t  .
Это линейное дифференциальное уравнение
L
первого порядка, решаемое методом Бернулли. Итак, решим это уравнение.
Воспользуемся подстановкой I  u  v , I   u   v  u  v  . Следовательно, получим уравнение
u   v  u  v 
R
u v 
L
R


u   v  u   v 
v 
L


U
0
L
U0
 sin   t  ;
 sin   t  .
L
а) Пусть
v 
R
L
v  0 
dv
dt
 
R
L
v 
dv
 
v
ln v  
L
R
L
100
R
t;
dt  
dv
v
 
R
L
 dt ;

v  e
R
t
 e
L

R
t
L
.
б) Чтобы найти u , решим уравнение u   v 
U
0
 sin   t  ,
под-
L
ставив вместо v найденную в предыдущем пункте функцию
u e
R

t

L
U
v  e

R
t
L
:
 sin   t  ;
0
L
du 
U
R
 sin   t   e
0
t
L
 dt
;
L
 du 
R
U
u 
0
L

U
  sin   t   e
L
t
L
 dt
 sin   t    cos   t 

L
в)
R
0

2
R
L

;
R
e
t
 C
L
.
2


R
R
R  sin   t    cos   t 
t
 t
U 0

L
L
I  u v  

e
 С e L 
2
2
R
 L




L


R
U
0
L

L
U

R
2
 sin   t    cos   t 


2
R
L

 С e

R
L
t

2
  R  sin   t   L    cos   t    С  e
0
 L 
2

2

R
t
.
L
Таким образом,
U
I 
R
2
0
 L 
2
2
  R  sin   t   L    cos   t    С  e

R
L
t
.
3.3 Дифференциальные уравнения высших порядков
(линейные дифференциальные уравнения высших порядков
с постоянными коэффициентами)
В настоящем пункте мы также рассмотрим не все типы дифференциальных уравнений высших порядков. Остановимся только на
линейных дифференциальных уравнениях высших порядков с постоянными коэффициентами, поскольку они наиболее часто встречаются
на практике, в частности, в главе 6 настоящего пособия.
101
Определение. Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида
(n)
(3.10)
F ( x , y , y  ,..., y
)  0.
В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y(n):
(n)
( n 1 )
(3.11)
y
 f ( x , y , y  ,..., y
).
Так же, как и уравнение первого порядка, уравнения высших
порядков имеют бесконечное количество решений.
Определение. Решением дифференциального уравнения n-го
порядка, как и уравнения первого порядка, называется дифференцируемая функция y  y  x  , которая при ее подстановке в исходное уравнение обращает его в верное равенство.
Общее решение уравнения n-го порядка зависит от переменной x и n произвольных констант C 1 , C 2 ,..., C n , то есть имеет вид
y  y  x , C 1 , C 2 ,..., C n  .
(3.12)
Определение. Линейным дифференциальным уравнением n-го
порядка с постоянными коэффициентами называется любое уравнение
вида
(n)
( n  1)
(n  2)
(3.13)
y
 a1 y
 a2 y
 ...  a n  1 y   a n y  f ( x ) ,
где a 1 , a 2 ,... a n  2 , a n  1 , a n − некоторые действительные числа;
функция f  x  задана и непрерывна в некотором интервале  a ; b  . В
случае, если f  x   0 , уравнение называется линейным однородным
(или уравнением без правой части), если f  x   0 − линейным неоднородным (или уравнением с правой частью).
3.3.1 Линейные однородные дифференциальные уравнения
n-го порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение
n-го порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ), то есть уравнение вида
(n)
( n  1)
(n  2)
(3.14)
y
 a1 y
 a2 y
 ...  a n  1 y   a n y  0 .
Для нахождения его частных решений составляем характеристическое уравнение
k
n
 a1k
n 1
 a2k
n2
 ...  a n  1 k  a n  0
,
(3.15)
которое получается из исходного уравнения путем замены в нем про-
102
изводных искомой функции y на соответствующие степени
y
n 
n
 k ;y
n 1
 k
n 1
k
:
;...; y   k ; y   k ; y  1 .
2
(3.16)
Полученное характеристическое уравнение является обычным
алгебраическим уравнением n -й степени относительно k , а потому
имеет n корней, действительных или комплексных, среди которых
могут быть и равные.
Общее решение ЛОДУ имеет вид y  C 1 y 1  C 2 y 2  ... C n y n
(где C 1 , C 2 ,..., C n − произвольные постоянные) и строится в зависимости от характера корней характеристического уравнения по следующему правилу:
1) каждому действительному простому корню k в общем решении соответствует слагаемое вида
C e
k
;
(3.17)
2) каждому действительному корню кратности
m
в общем реше-
нии соответствует слагаемое вида
C
1
 C 2 x  ...  C m x
m 1
 e
kx
;
(3.18)
3) каждой паре комплексных сопряженных простых корней
k1
2
    i
в общем решении соответствует слагаемое вида
e
x
  C 1 cos  x  C 2 sin  x  ;
(комплексными числами называют числа вида
z  a  b i,
(3.19)
где
a,b  R
(действительные числа), i 2   1 (мнимая единица). В частности,
квадратное уравнение, дискриминант которого <0, имеет комплексные корни. Для их нахождения достаточно умножить отрицательный
дискриминант на i 2 , а далее искать корни по обычным формулам вычисления корней квадратного уравнения. Два комплексных числа вида
z  a  b  i и z  a  b  i называются комплексно сопряженными [`12,
32]);
4) каждой паре комплексных сопряженных корней k 1 2      i
кратности m в общем решении соответствует слагаемое вида
e
x

C
1
 C 2 x  ...  C m x
m 1
  c o s  x   A1  A 2 x  ...  A m x m 1   s in  x  . (3.20)
Запишем схему решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, являющегося
103
частным случаем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами n - го порядка (табл. 3.1).
Таблица 3.1 – Нахождение общего решения ЛОДУ второго порядка
Дифференциальное
уравнение
Характеристическое
уравнение
Дискриминант
характеристического
уравнения
Корни характеристического уравнения
Общее решение
y   p  y   q  y  0
k
2
 p k  q  0
D  0
D  0
k1  k 2  R
k1  k 2  k  R
C 1e
k1 x
 C 2e
C 1
k2x
D  0
 C 2 x e
k1
e
kx
 x
2
   i
  C 1 cos  x 
C 2 sin  x 
Пример 3.4. Найти решение уравнений:
а)
y   2 y   4 y  0
;
в)
y   6 y   18 y  0
;
б)
y   6 y   9 y  0
г)
y   3 y   0
;
.
Решение. Все представленные уравнения являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами, причем уравнения под буквами а, б, в −
второго порядка, а значит их решение мы будем искать с помощью
таблицы 3.1. Уравнение г – ЛОДУ 3-го порядка.
а)
y   2 y   4 y  0
. Составим характеристическое уравнение и
найдем его корни: k 2  2 k  4  0 ; D    2   4    4   1  20  0 
данное характеристическое уравнение имеет 2 различных действи2
тельных
корня
Следовательно,
y  C 1e
б)
1 

5 x
2 
k1 
 C 2e
y   6 y   9 y  0
1
2
общее
1 
20

5 x
решение
5;
k2 
ЛОДУ
2 
20
1
5
.
2
имеет
вид
.
. Составим характеристическое уравнение и
найдем его корни: k 2  6 k  9  0 ; D  36  36  0  данное характеристическое уравнение имеет 1 корень кратности 2, а именно,
k  3 .
Следовательно, общее решение ЛОДУ имеет вид
3 x
.
y  C 1  C 2 x  e
104
в)
y   6 y   18 y  0
. Составим характеристическое уравнение и
найдем его корни:
k
2
 6 k  18  0 ; D  36  72   36  0  D  36 i
2
,
а потому данное характеристическое уравнение имеет 2 комплексных
сопряженных корня k 1 2 
6  6i
 3  3i
. Следовательно, общее ре-
2
шение ЛОДУ имеет вид y  e 3 x  C 1 cos 3 x  C 2 sin 3 x  .
г)
y   3 y   0
. Составим характеристическое уравнение и
найдем его корни: k 3  3 k 2  0  k 2  k  3   0 . Полученное характеристическое уравнение имеет три корня: k 1  k 2  0 ; k 3   3 , следовательно, общее решение ЛОДУ имеет вид
y  C 1  C 2 x  e
0x
 C 3e
3 x
 C1  C 2 x  C 3e
3 x
.
Обратите внимание, что в главе 9 настоящего пособия будет
рассмотрено решение уравнения свободных колебаний вала с одной
массой, являющегося линейным однородным дифференциальным
уравнением с постоянными коэффициентами второго порядка.
3.3.2 Линейные
неоднородные
дифференциальные
уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ), то есть
уравнение вида
y
(n)
 a1 y
( n  1)
 a2 y
(n  2)
 ...  a n  1 y   a n y  f  x  , f  x   0 .
(3.21)
Общее решение ЛНДУ у н может быть найдено по формуле
yн  у0  у

, где у о − общее решение ЛОДУ, соответствующего дан-
ному ЛНДУ ( f  x   0 ); y  − частное решение данного ЛНДУ.
Общее решение ЛОДУ у о можно найти согласно приведенному
выше алгоритму, тогда как для нахождения y  используют так называемый метод подбора (метод неопределенных коэффициентов). Однако этот метод применим не всегда. В таблице 3.2 приведены наиболее распространенные частные случаи вида правой части [функции
f  x  ] ЛНДУ
и соответствующие им частные решения y  .
105
Таблица 3.2 – Частные решения ЛНДУ
Вид частного решения y  ЛНДУ
Правая часть
 не является корнем
 является корнем
f  x  ЛНДУ
характеристического характеристического
уравнения
уравнения
1
0 – не корень
0 – корень кратности s


s
f  x   Pn  x 
 y  Qn x 
 y  x  Q n x 
− многочлен сте- − многочлен степени n − многочлен степени
пени n от х
от х
n  s от х
2
 – не корень
 – корень

x
x
кратности s
 y  e
 Q n x 
f  x   e  Pn  x 
 y
− не корень
 i
3
f  x   Pn  x   cos  x 
 Q m  sin  x
 y

 M
k
 x  cos  x
 e
x
x
s
 Q n x 
− корень
кратности s
 i

 N k  x  sin  x ,
k  max

где
n ; m 
 x  cos  x
 N k  x  sin  x  , где
 y

 x  M
s
k

n ; m 
   i − корень
кратности s
k  max
4
f x   e
x
  i
− не корень
  Pn  x   cos xy   e  x   M
 Q m  sin  x 
 x  cos  x 
 N k  x  sin  x  , где
k  max
 y
k
n ; m 
 M


s
 x e
x

 x  cos  x 
N k  x  sin  x  , где
k
k  max
n ; m 
Выпишем общий вид многочленов Q n  x  ( n  0 , 1 , 2 , 3 ,…;
A,B,C,D − константы). Эти выражения будут нам необходимы при
отыскании частного решения с помощью таблицы 3.2:
Q0 x   A
Q 1  x   Ax  B
Q 2  x   Ax
Q 3  x   Ax
3
2
 Bx  C
 Bx
2
 Cx  D
Пример 3.5. Найти общее решение уравнения
y   9 y   20 y  126 e
2 x
.
Решение. Данное уравнение является ЛНДУ второго порядка.
106
Решение ищем в виде y н  у 0  у  , где у о − общее решение ЛОДУ
; y  − частное решение данного ЛНДУ.
а) Найдем у о . Для этого рассмотрим ЛОДУ y   9 y   20 y  0 ,
составим характеристическое уравнение, найдем его корни и выпишем по таблице 3.1 его решение. Характеристическое уравнение
2
k  9 k  20  0 имеет 2 различных действительных корня, поскольку
y   9 y   20 y  0
его дискриминант
D 1 0,
следовательно,
9 1
k 1 ,2 
2
 k1  4 ; k 2  5 .
Таким образом у о  C 1  e 4 x  C 2  e 5 x .
б) Найдем y  . Для этого рассмотрим правую часть ЛНДУ,
функцию f  x   126 e  2 x и воспользуемся таблицей 3.2. Вид нашей
функции соответствует второй строке таблицы, при этом    2 − не
является корнем характеристического уравнения ЛОДУ, соответствующего ЛНДУ, следовательно, y  ищем в виде y   e  2 x  A , где
A  Q 0  x  − многочлен нулевой степени от
x , поскольку
Pn  126  n  0 . Подставим выбранное с помощью таблицы 3.2
частное решение y   e  2 x  A в исходное уравнение и методом неопределенных коэффициентов найдем А. Прежде найдем y  и y  .

y   Ae
2x


  2 Ae
4 Ae
2 x
2x
; y    2 Ae

 9   2 Ae
2 x
42 A  e
2 x
2x


 4 Ae
  20 Ae
 126 e
2 x
2 x
2x
. Таким образом,
 126 e
2 x
,
,
42 A  126  A  3 .
Следовательно,
y

 3e
2 x
 y  y0  y

 C1  e
4x
 C2 e
5x
 3e
2 x
.
Обращаем ваше внимание на то, что в главе 9 настоящего пособия будет рассмотрено решение уравнения вынужденных колебаний
вала с одной массой, являющегося линейным неоднородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами второго
порядка.
Далее приведем пример задачи прикладной механики, которую
исследуем и решим с помощью линейных дифференциальных уравнений.
Пример 3.6. Дифференциальное уравнение механических колебаний на примере колебаний пружины амортизатора.
107
Амортизатор (от фр. «смягчать») применяют для гашения колебаний при движении автомобиля (рисунок 3.1). Он состоит из вспомогательной пружины 1 жесткостью К равной, например, 50 Н/мм.
Амортизатор дополнительно имеет гаситель колебаний (демпфер), который состоит из цилиндра 5, заполненного маслом 4, и штока 2 с
поршнем 3. При помощи втулки 6 амортизатор крепится к ходовой
части автомобиля. В поршне имеются отверстия, и при движении
штока вместе с поршнем в цилиндре масло перемещается в верхнюю
или нижнюю полость, что приводит к гашению колебаний. В качестве
амортизационной жидкости применяют, например, АЖ-12Т на основе
трансформаторного масла. Ее кинематическая вязкость составляет
12 мм2/c при 50 0С, а динамическая − 14·10–3 Па·с, плотность −
900 кг/м3.
На автомобилях амортизатор устанавливают в центр главной
пружины, которая воспринимает колебания, возникающие при движении по неровной дороге.
Рисунок 3.1 – Общий вид амортизатора
Рассмотрим работу амортизатора автомобиля, применяя дифференциальные уравнения. Пусть груз массой М (часть массы автомобиля) находится на упругой пружине жесткостью К = 300 Н/мм (рисунок
3.2). На рисунке 3.2, а пружина находится в свободном состоянии. На
рисунке 3.2, б пружина сжата под действием груза массой М и находится в положении равновесия. Отклонение груза от положения равновесия (см. рисунок 3.2, в) обозначим через перемещение у. При
М = 300 кг сила тяжести груза составит примерно 3000 Н. При жесткости пружины К = 300 Н/мм величина у = 10 мм. Движение вниз примем за положительное, вверх  за отрицательное. В положении равновесия сила веса уравновешивается силой упругости пружины [34].
Силу, стремящуюся вернуть груз в положение равновесия, назовем восстанавливающей (сила пропорциональна отклонению).
Восстанавливающая сила (Н) равна Ку. Пружины, у которых восстанавливающая сила пропорциональна отклонению, называются пружинами с «линейной характеристикой».
108
а − в свободном состоянии; б − при сжатии грузом;
в − в состоянии колебания
Рисунок 3.2 – Положение пружины
Предположим, что движению груза массой М препятствует сила
сопротивления, возникающая в амортизаторе. Она направлена в сторону, противоположную направлению движения, и пропорциональна
скорости движении груза относительно нижней точки пружины. Сила
(Н), возникающая в штоке амортизатора, равна
 λ =  λ dу / dt ,
(3.22)
где λ = const > 0  постоянная амортизатора;
  скорость движения штока.
Величина λ представляет собой массовый секундный расход
масла (кг/с) через отверстия в поршне. Масло выжимается через отверстия в поршне из одной полости цилиндра в другую. Шток и поршень с отверстиями в данном случае движутся со скоростью .
Запишем дифференциальное уравнение движения груза, расположенного на пружине. На основании второго закона Ньютона
(F = ma, сила F (Н) равна произведению массы тела на его ускорение)
получим

dу
dt
2
2
   у   
dу
,
(3.23)
dt
где К и λ  положительные постоянные числа.
Выражение (3.23) является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Уравнение (3.23) можно переписать в виде
dу
dt
2
2
 p
dу
dt
109
 qу  0
,
(3.24)
где р = λ / М; q = К /М  постоянные коэффициенты.
Найдем в общем виде решение этого уравнения. Для чего составим характеристическое уравнение, соответствующее уравнению
(3.24) (см. 3.3.1). Оно будет иметь вид
2
k
 p k  q  0.
Найдем корни полученного квадратного уравнения. Дискриминант D  p 2  4 q . Подставим в дискриминант значения р = λ/М и
q =К/М. Получим

D 
M
2

2
4K


2
 4KM
M
M
2
. Возможны следующие
три случая (см. табл. 3.1):
1)  2  4 KM  0 , следовательно, характеристическое уравнение
имеет 2 действительных корня:



2

M
k1 
 p 
k1 / 2 
D
 4KM
M
 
2


2
2
 4KM
;
2M
  
k2 
или,
2
  4 KM
2
.
2M
В этом случае решение уравнения (3.24) будет иметь вид
 
y  C1  e
k1t
 C2 e
k2t

 C1  e
2
 4 KM
t
2M
 

 C2 e
2
 4 KM
2M
t
,
где С1, С2 − константы;
2)  2  4 K M  0 , следовательно, характеристическое уравнение
имеет 1 действительный корень кратности 2:
p
k 

 
2
.
2M
В этом случае решение уравнения (3.24) будет иметь вид
y   C1  C 2  t  e
kt
  C1  C 2  t  e


2M
t
,
где С1, С2 − константы;
3)  2  4 K M  0 , следовательно, характеристическое уравнение
имеет 2 комплексных сопряженных корня

k1 / 2 

 i
4KM  
M
M
2
2

2
  i 
4KM  
2M
110
2
.
В этом случае решение уравнения (3.24) будет иметь вид (см.
табл. 3.1)
 t
y  e
  C 1 cos  t  C 2 sin  t  ; так как

  
4 KM  
; 
2M
y  e


2M
t

  C 1 cos


2
, то
2M
4 KM  
2M
2
t  C 2 sin
4 KM  
2M
2

t,


где С1, С2 − константы.
Усложним задачу тем, что нижняя точка пружины амортизатора
совершает вертикальное движение по закону z =  (t). Нижний конец
пружины (амортизатора) прикрепим к колесу автомобиля, которое
вместе с пружиной движется по неровности (рисунок 3.3).
В этом случае восстанавливающая сила будет равна не  Ку, а
−К [у +  (t)], сила сопротивления будет λ[у /+  /(t)] и вместо уравнения (3.23) получим уравнение

dу
dt
2
2
  
dу
 К  у   К   (t )     (t )
/
.
(3.25)
dt
После преобразования выражения (3.25) получим
dу
dt
2
2
 p
dу
 q  у  f (t ) ,
(3.26)
dt
где f ( t )   [ К   ( t )     / ( t )] /  .
Рисунок 3.3 – Движение пружины с грузом и колеса по
неровной дороге
111
Полученное выражение (3.26) является неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка. Уравнение (3.24) представляет собой уравнение свободных колебаний, а уравнение (3.26) 
уравнение вынужденных колебаний.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение обыкновенного дифференциального уравнения.
2. Что такое порядок дифференциального уравнения?
3. Что называют решением дифференциального уравнения?
4. В каких областях знаний применяются дифференциальные
уравнения?
5. Приведите примеры задач, приводящих к дифференциальным
уравнениям.
6. Уравнения какого вида называются уравнениями с разделяющимися переменными? Каким образом находят решения уравнений с
разделяющимися переменными?
7. Какие уравнения называют линейными дифференциальными
уравнениями первого порядка?
8. В чем заключается метод Бернулли решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка?
9. На какие два вида делятся линейные дифференциальные
уравнения первого порядка? От чего это зависит?
10. Уравнения какого вида называют дифференциальными
уравнениями n-го порядка?
11. Функцию какого вида называют решением дифференциального уравнения n-го порядка?
12. Какие уравнения называют линейными дифференциальными
уравнениями n-го порядка? В зависимости от чего они делятся на однородные и неоднородные?
13. Опишите алгоритм решения линейного однородного дифференциального уравнения. Что такое характеристическое уравнение и
как оно строится?
14. Опишите, каким образом находят решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.
15. Приведите пример линейного однородного и линейного неоднородного дифференциальных уравнений, описывающих свободные и вынужденные колебания пружины при работе амортизатора.
16. Для какой цели служит амортизатор, назовите принцип его
работы?
112
4 Определение скорости
помощью производных
и
ускорения
поршня
с
В двигателях внутреннего сгорания процессы наполнения, сжатия, сгорания и выпуска отработавших газов являются неустановившимися и протекают за короткое время. Например, процесс сгорания
топлива в цилиндре быстроходного двигателя протекает за время менее 0,002 с. Давление газов в цилиндре и его температура изменяются
во времени. Скорость изменения любого процесса во времени можно
оценить при помощи производной.
Для понятия производной рассмотрим движение толкателя 2
при вращении вала без кулачка и с кулачком (рисунок 4.1). Толкатель применяют, например, для перемещения (открытия и закрытия) клапана механизма газораспределения двигателя.
2
2
1
1
а)
б)
Рисунок 4.1 – Механизмы привода толкателя
Из анализа рисунка 4.1, а следует, что при вращении вала 1
путь толкателя 2 и его скорость будут равны нулю (наружная поверхность вала симметрична относительно оси вращения). Толкатель неподвижен даже при вращении вала, и производная постоянного числа будет равна нулю. На рисунке 4.1, б показан вал 1,
выполненный с кулачком. При вращении вала кулачок приводит
в поступательное движение толкатель, изменяя его путь с учетом
профиля. При этом изменяется и скорость толкателя 2. Скорость
толкателя является первой производной пути по времени. В зоне
вала, где нет кулачка, путь не изменяется, скорость толкателя и
«производная» равны нулю.
В главе 1 настоящего пособия было дано понятие производной
функции в точке. Напомним его применительно к рассматриваемой
ситуации. Итак, производной функции y  f  x  в точке хо называется
предел отношения приращения функции (например, перемещения
113
толкателя)  y  y 1  y 0 к приращению аргумента (например, угла
поворота вала или времени)  x  x1  x 0 . При этом значение x 1 стремится к величине хо, а приращение аргумента стремится к нулю
(очень малой величине), но не достигает значения, равного нулю.
Физический смысл производной – это скорость изменения процесса, а геометрический – тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в указанной точке к оси Ох (гл. 1). Тангенс
угла в прямоугольном треугольнике  это отношение противолежащего катета (например, приращения функции) к прилежащему (например, приращению аргумента).
4.1 Определение пути поршня
Центральным кривошипным шатунным механизмом (КШМ)
называется механизм, у которого ось цилиндра пересекает ось коленчатого вала. При помощи этого механизма давление газов в цилиндре
двигателя передается на днище поршня и его поступательное движение преобразуется во вращательное движение коленчатого вала (рисунок 4.2). Работа газов (Дж) равна произведению давления в цилиндре (Па) на изменение объема (м3).
Изменение направления движения поршня в цилиндре происходит в
верхней и нижней мертвых точках. В
мертвых точках скорость поршня
равняется нулю, а ускорение достигает максимальной величины.
Отрезок ОВ является радиусом
R кривошипа, B A  равен длине шатуна L, а   угол поворота коленчатого
вала (см. рисунок 4.2).
Верхней мертвой точкой (ВМТ)
называют крайнее положение поршня, при котором он максимально удален от оси коленчатого вала (точка
А).
Нижней мертвой точкой (НМТ)
Рисунок 4.2 – Схема кривоназывают крайнее положение поршня
шипно-шатунного механизма
в цилиндре, при котором он минимально удалён от оси коленчатого вала (точка A  ).
Ходом поршня называется расстояние по оси цилиндра между
мертвыми точками. Полный ход поршня равен двум радиусам кривошипа S n  2 R .
114
Величина   это угол отклонения оси шатуна от оси цилиндра. Значение  
R
 это отношение радиуса кривошипа к длине
L
шатуна (конструктивный параметр двигателя). Для современных двигателей значение  может находиться в пределах 1/3 − 1/4.
Зависимость между углом поворота коленчатого вала (град) и
соответствующим ему временем t (с) выражается формулой
   t 
2  n
t 
180  n  t
60
 6 n t
,
(4.1)
30
где ω  угловая скорость вращения коленчатого вала, c  1 ;
n  частота вращения коленчатого вала, мин-1.
Определим зависимость перемещения поршня от угла поворота
коленчатого вала. Принимаем за исходное положение КШМ такое,
при котором поршень находится в ВМТ (см. рисунок 4.2 точка А).
'
S  OA  OA ,
OA  R  L ,
OA '  R  cos   L  cos 
, тогда
S  ( R  L )  ( R  cos   L  cos  ),
S  (R  L
R
)  ( R  cos   L
R
R
 cos  )
.
(4.2)
R
Вынесем значение R за скобку
S  R  [( 1 
L
)  (cos  
R
Заменяя далее
L
R

1

L
cos  )] .
R
, получим
S  R  [( 1 
1

)  (cos  
Значение выражения A  (1 
1

1

cos  )] .
)  (cos  
1

(4.3)
cos  )
для раз-
личных  и  даны в приложении [34].
Путь поршня может быть определен графическим способом.
Для этого вычерчивают в определенном масштабе (например, 1:1)
КШМ при положении кривошипа и шатуна на оси цилиндра. Поворачивают кривошип на угол, соответствующий 10о, вычерчивают КШМ
в новом положении и определяют путь, пройденный поршнем. Затем
кривошип поворачивают ещё на 10о (до 360о) и во всех точках определяют путь поршня. Строят график зависимости пути поршня от угла
поворота коленчатого вала, который необходим для определения
115
давления в цилиндре в координатах р-V и перестроения индикаторной диаграммы в координаты р- .
4.2 Определение скорости поршня
Скорость поршня для любого угла поворота коленчатого вала
является первой производной от его перемещения по времени (гл. 1).
Функция S  S   , выражающая перемещение поршня, является
сложной, поскольку  − угол поворота коленчатого вала, зависит от
времени t (4.1). То есть S  S  t   . Следовательно:
V 
dS

dt
где  
d
dS

d
d
 
dt
dS
,
d
(4.4)
 угловая скорость вращения коленчатого вала в рас-
dt
сматриваемый момент времени
 n 

 
.
30 

Напомним, что производная константы равна нулю, производ

ная  cos     sin  ;  sin    cos  (см. табл. A.1).
Так как текущий путь поршня определяется выражением
S  ( R  L )  ( R  cos   L  cos  ),
то, подставив в формулу скорости V значение пути S, получим
V  R  sin 
d
 L  sin 
d
dt
.
(4.5)
dt
Из анализа рисунка 4.2 следует:
BC  R  sin   L  sin 
.
(4.6)
Продифференцировав это равенство по t, получим
R  cos  
d
 L  cos  
dt
L
d
d
,
(4.7)
dt
 R  
dt
cos 
cos 
.
С учетом полученного равенства и того, что
d
 
, формулу
dt
(4.5) можно переписать в виде
V  R    s in   R   
c o s   s in β
cosβ
 s in   c o s β + c o s   s in β 
 R  

c
o
s
β


116
 sin     
 R  
.
cos



Численные значения выражения
B 
(4.8)
sin(    )
cos 
для различных
величин λ и φ приведены в работе [34].
Степень быстроходности двигателей определяется по средней
скорости поршня (табл. 4.1).
V ср 
2  Sn  n

Sn  n
60
.
(4.9)
30
Таблица 4.1 – Степень быстроходности двигателей
Тихоходные
Средней быстроходности
Быстроходные
Сверхбыстроходные
5–6 м/с
6−9 м/с
9−12 м/с
Более 12 м/с
По средней скорости поршня Vср, площади поршня Fп, выбранной площади впускного трубопровода Fвп (в 3−4 раза меньше Fп)
находят скорость во впускном трубопроводе:
V вп  V ср 
Fn
.
(4.10)
F вп
Определив величину Vвп , вычисляют потери давления в линии
всасывания и величину давления в конце такта впуска. В линии всасывания потери давления происходят в основном в воздушном фильтре и в зоне впускного клапана.
4.3 Определение ускорения поршня
Напомним, как уже было показано ранее в главе 1 (1.35) настоящего пособия, ускорение является первой производной скорости.
Поэтому ускорение поршня является первой производной от его скорости по времени. В процессе дифференцирования необходимо помнить, что функция V  V   , выражающая скорость поршня, является
сложной, поскольку  − угол поворота коленчатого вала, зависит от
времени t (4.1). То есть V  V  t   , а потому
117
dV
j 
dV


d
dt
d

dt
dV
.
d
(4.11)
Тогда
d
cos(    )  (1 
j  R
2
d

cos
 R 
2
[
cos(    )

cos 

cos   cos
 R 
2
2
2

2

2


2
 cos(    )
cos   (cos   sin


2
cos

cos 

2  cos   
 R  
cos 



  sin   sin   cos 
sin   sin   cos   cos   sin
2
 sin(    )
d

cos
cos
d
)  cos   sin  

cos 
cos


2
d
d

d
d

]
 ) d 
2

d 

d 
 
d 
.
В процессе вычислений мы воспользовались формулами косинуса суммы и синуса суммы двух углов:
cos      cos   cos   sin   sin  ,
sin   

sin   cos   cos   sin 
.
Таким образом,
2  cos   
j  R  
cos 



cos 
cos
2

d 

d 

.
(4.12)
Из равенства (4.7) следует
R
L

cos 
cos 

d
dt

dt
d
  
cos 

cos 
Подставив полученное выражение для
d
d
d
d
.
в уравнение (4.12),
получим
j  R 
2
 cos(    )
cos 
cos  

 

 ,
2
cos

cos

cos



j  R 
2
 cos(    )
cos
  

cos 
cos

118
2
 
3
 
 ,
(4.13)
j  R 
2
C
.
(4.14)
Для различных значений φ и λ численные значения постоянной величины
2
 co s( + β )
cos  
С  
+λ 

3
cos β 
 cosβ
приведены в приложении работы [34].
Численное значение ускорения поршня необходимо для определения сил инерции от поступательных масс КШМ и расчета на прочность деталей двигателя. Для расчета сил инерции от поступательно
движущихся масс Pj используют выражение
(4.15)
P j   m пос  j ,
где mпос  масса от поступательных частей, равная массе поршня в
комплекте и 1/3 массы шатуна.
Графики пути, скорости, ускорения поршня удобнее строить,
заполнив таблицу 4.2, в которой указаны расчетные коэффициенты А,
В, С, абсолютное значение пути, скорости, ускорения поршня и их
значения с учетом выбранного масштаба.
В качестве примера рассмотрим двигатель с   1 3 ,8 ,
R = 0,05 м, частотой вращения коленчатого вала 6000 мин-1, угловой
скоростью
  628 с
1
и частично заполним таблицу 4.2.
В таблице 4.2 S  , V  , J  − значения пути, скорости и ускорения
поршня, которые заносятся в таблицу с учетом выбранного масштаба.
Таблица 4.2 – Определение пути, скорости и ускорения поршня в
зависимости от угла поворота коленчатого вала
φ,
град Знак
0
+
30
+
60
+
90
+

360
Путь, м
Скорость, м/с
Ускорение, м/с2
A
S
S* Знак B
V V* Знак C
j
J*
0,0 0,0
+ 0,0 0,0
+ 1,26 24850
0,17 0,008
+ 0,61 19
+ 1,0 19720
0,60 0,03
+ 0,98 31
+ 0,37 7300
1,13 0,056
+ 1,0 32
+ 0,27 5324
В таблице 4.3 приведены результаты кинематического расчета
на ЭВМ двигателя на базе ВАЗ-2108 с частотой вращения 4900 мин-1,
угловой скоростью 513 с-1,  = 0,26 и радиусом кривошипа 0,035 м.
119
Таблица 4.3 – Результаты кинематического расчета двигателя
φ, град
S, м
V, м/с
J, м/с2
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
0,000
0,006
0,021
0,040
0,057
0,067
0,071
0,067
0,057
0,040
0,021
0,006
0,000
0,000
11,153
17,817
18,207
13,718
7,054
0,000
-7,054
-13,718
-18,207
-17,817
-11,153
0,000
11765,45
9300,542
3454,933
-2427,79
-5882,72
-6872,75
-6909,87
-6872,75
-5882,72
-2427,79
3454,933
9300,542
11765,45
На рисунках 4.3, 4.4, 4.5 показаны графики изменения перемещения поршня, его скорости и ускорения [8]. Применение быстродействующих ЭВМ позволяет уменьшить шаг расчета до 10 и менее, что
повышает точность расчета.
Рисунок 4.3 –Перемещение поршня
Рисунок 4.4 – Скорость поршня
120
Рисунок 4.5 – Ускорение поршня
4.4 Приближенные вычисления пути, скорости и ускорения
поршня
При расчете коленчатого вала на крутильные колебания и анализе уравновешенности двигателя выражения для определения S, V, j
желательно иметь в виде функции только угла поворота коленчатого
вала φ.
Из анализа рисунка 4.2 следует, что
BC  R  sin   L  sin  ;
sin  
R
sin    sin 
.
(4.16)
L
sin
2
Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством
2
  cos   1 , получим
cos  
1  sin
2
 
1 
2
2
sin

  1 
2
sin
2


1/2
.
(4.17)
Разложим выражение (4.17) в ряд по формуле бинома Ньютона,
получим
cos   1 
1
 sin
2
2
 
2
1
 sin
4
4
.
(4.18)
8
При λ = 0,25 и   90 0 второй член разложения составляет от
первого 3 % , а третий 0,05 %. Поэтому с достаточной для практики
степенью точности считаем, что
cos   1 
1

2
sin
2
 .
(4.19)
2
Преобразуем выражение (4.3)
S  R  [(1 +
1
λ
)  (c o s  +
1
λ
c o s β )] .
Для
этого раскроем скобки и сгруппируем слагаемые следующим образом:
121
S  R  1  cos   
R

 1  cos 
.
Тогда с учетом выражения (4.19) получим
R 
1 2
1  1   sin
 
2
S  R  (1  cos  ) 
S  R  (1  cos  ) 
R 


,


2
 2
R 
S  R  (1  cos  ) 
2
sin
sin
2
 ,
2
.
2
Так как
sin
2
 
1  cos 2 
, то
2
S  R  (1  cos  ) 
R 
 (1  cos 2  )
.
(4.20)
4
Формула (4.20) показывает, что перемещение поршня можно
условно представить состоящим из 2-х гармонических перемещений
S  S 1  S 2 , где S 1  R  1  cos   − перемещение поршня первого
порядка, если бы шатун имел бесконечно большую длину, зависящую
от величины радиуса); S 2    R  1  cos 2   / 4 − перемещение
поршня второго порядка или дополнительное перемещение, зависящее от конечной длины шатуна и определяемое вторым членом бинома.
Для приближенных расчетов изменения хода поршня выражение (4.20) можно представить в упрощенном виде
S  R  1  cos 
.
(4.21)
Полный ход поршня от ВМТ до НМТ останется без изменения и
будет равен 2R. Незначительно изменятся промежуточные значения
хода поршня в результате отсутствия влияния отклонения шатуна от
оси цилиндра на перемещение поршня. Считаем, что шатун имеет
бесконечно большую длину.
Для определения хода поршня необходимо знать значение cos φ
при различных углах поворота кривошипа φ. В таблице 4.4 приведены
значения cos φ для некоторых углов φ.
Таблица 4.4 –Значения функции cos φ
φ, град 0
30
60
90
120
150
122
180
210
240 270 330
360
cos φ
1 0,86
0,5
0
- 0,5 - 0,86 - 1 - 0,86 - 0,5
0
0,86
1
Определив путь по формуле (4.20), находим скорость и ускорение поршня как первую и вторую производную пути по времени. При
этом воспользуемся таблицей производных (табл. П.1.1) и формулами
(4.4), (4.11).
V 
dS
dt

R 

 
    R  (1  cos  ) 
 (1  cos 2  )  
d
4


dS
R 





    R  sin  
 sin 2   2   R     sin  
 sin 2   .
4
2




Таким образом,



V  R     sin  
 sin 2   .
2


(4.22)
Рассуждая аналогично, найдем ускорение поршня как первую
производную скорости или вторую производную перемещения. По
формуле (4.11): j 
dV

dt

j 
     R 
d

dV
dV
d
.
Следовательно,


  sin  
 sin 2 
2

 R 
2





 R 
  cos    cos 2 
2



  cos  
 2  cos 2   
2


.
Таким образом,
.
(4.23)
В результате проделанной работы мы осуществили вывод формул для определения пути, скорости, ускорения поршня в зависимости от угла поворота коленчатого вала с использованием производных, а также показали их практическое применение.
j  R 
2
  cos     cos 2 
Контрольные вопросы
1. Как определяется ход (путь) поршня в зависимости от радиуса
кривошипа и длины шатуна?
2. Как находят скорость и ускорение поршня?
3. С какой целью вычисляют путь, скорость, ускорение поршня?
4. Как по средней скорости поршня определяют быстроходность
двигателя?
5. Зачем вычисляют путь, скорость, ускорение поршня в зависимости только от угла поворота коленчатого вала?
123
6. Как найти максимальное значение силы инерции от движущихся масс КШМ ?
124
5 Расчетное и экспериментальное определение давления в
цилиндре и диагностика двигателя по индикаторной диаграмме
5.1 Основные термины и определения
Мощность численно равна работе, совершаемой в единицу времени, и определяется как отношение работы ко времени (Вт)
N 
A

.
(5.1)
При поступательном движении поршня работа (Дж) равна произведению силы F на перемещение  L
(5.2)
Α  F  L .
Давление – это физическая величина, характеризующая интенсивность сил, действующих на поверхность тела. Давление
(Па) определяется отношением нормальной силы к площади
P 
F
.
(5.3)
S
Для перевода давления в другие единицы необходимо помнить,
что
1 техническая атмосфера = 1 кгс/см2 = 0,981·105 Па =
= 735,6 мм рт. ст. = 10 м вод. ст. ≈ 0,1 МПа
На рисунке 5.1 показаны различные виды давления.
Давление различают атмосферное, избыточное, абсолютное,
вакуумметрическое
(последний
термин рекомендуется заменять на
«разрежение»). Недостаток давления до атмосферного называют вакуумметрическим (разрежением).
Давление больше атмосферного является избыточным. В цилиндрах
ДВС работу совершает избыточное Рисунок 5.1 – Виды давления
давление, воздействуя на днище
поршня.
Сила, действующая на поршень, определяется по формуле
F  P S
,
а механическая работа для среднего давления (для изобарного процесса) находится из выражения
(5.4)
A  P  S  L  P  V  P Vh ,
125
где Vh − рабочий объём цилиндра.
Для поршневых двигателей внутреннего сгорания
(5.5)
A  P  i Vh ,
где i − число цилиндров.
Угол поворота коленчатого вала и время определяются выражением
  6  n  ,
(5.6)
где n − частота вращения,
мин
1
.
Время одного цикла 4-тактного двигателя 


6n

720
0

120
6n
.
n
Эффективную мощность двигателя вычисляют по формуле
Ne 
Pe  i  V h  n
120

Pe  i  V h  n
30  m
,
(5.7)
где т − тактность двигателя (для четырехтактного двигателя − 4,
двухтактного − 2).
Из анализа формулы (5.7) следует, что при постоянном рабочем
объёме Vh в литрах и числе цилиндров i величину Ne в кВт можно
увеличить, повышая n в мин-1 и Pe. Величина Pe представляет собой
среднее эффективное давление в МПа.
5.2 Общее устройство и принцип работы двигателя
внутреннего сгорания
Двигатель внутреннего сгорания представляет собой совокупность механизмов и систем, преобразующих тепловую энергию сгорающего топлива в механическую.
На современных автомобилях подавляющее распространение
получили поршневые двигатели внутреннего сгорания следующих
двух типов: бензиновые и дизели.
Бензиновые двигатели и дизели могут иметь несколько цилиндров. При числе цилиндров от двух до шести они обычно размещаются в один ряд, и такие двигатели называют рядными. Если число цилиндров более шести, то их размещают обычно в два ряда, расположенные под углом друг к другу от 60 до 900 и такие двигатели называют V-образными.
Наибольшее применение в технике получили четырехтактные
бензиновые двигатели и дизели.
Четырехтактный бензиновый двигатель или дизель включает в
себя два механизма и четыре системы:
126
1) кривошипно-шатунный механизм – преобразует возвратнопоступательное движение поршней, воспринимающих давление газов, во вращательное движение коленчатого вала;
2) газораспределительный механизм – обеспечивает своевременный впуск горючей смеси или воздуха в цилиндры и выпуск из
цилиндров отработавших газов;
3) система смазки – подводит смазку к трущимся поверхностям
деталей, удаляет продукты износа;
4) система охлаждения – поддерживает заданный тепловой режим двигателя путем принудительного отвода теплоты от его деталей к окружающему воздуху;
5) система питания – подает топливо и воздух в цилиндры двигателя, отводит отработавшие газы из цилиндров;
6) система зажигания – осуществляет принудительное воспламенение горючей смеси в точно заданный момент времени.
Общее устройство одного цилиндра четырехтактного двигателя
показано на рисунке 5.2.
6
7
VС
5
VП
Ход
поршня
4
VЦ
3
1 – цилиндр; 2 – поршень;
3 – впускной трубопровод;
2
4 – впускной клапан;
5 – свеча зажигания бензино- ВМТ
вого двигателя или форсунка
дизельного двигателя;
6 – выпускной клапан;
7 – выпускной трубопровод;
НМТ
8 – шатун;
1
9 – коленчатый вал;
VЦ – рабочий объем цилиндра;
VС – объем камеры сгорания;
VП – полный объем цилиндра
8
9
Рисунок 5.2 – Схема четырехтактного двигателя
В цилиндре 1 размещен поршень 2, шарнирно соединенный
шатуном 8 с коленчатым валом 9. При вращении коленчатого вала 9
поршень 2 совершает возвратно-поступательные движения между
нижней и верхней мертвыми точками:
127
– верхняя мертвая точка (ВМТ) – крайнее верхнее положение
поршня 2, наиболее удаленное от оси коленчатого вала 9;
– нижняя мертвая точка (НМТ) – крайнее нижнее положение
поршня 2, наиболее приближенное к оси коленчатого вала 9.
В мертвых точках поршень меняет направление движения на
противоположное. Коленчатый вал 9 приводит в действие газораспределительный механизм, который обеспечивает своевременное открытие и закрытие:
– впускного клапана 4, через который при ходе поршня 2 от
ВМТ к НМТ из впускного трубопровода 3 в цилиндр 1 поступает горючая смесь у бензинового двигателя или воздух у дизеля;
– выпускного клапана 6, через который при ходе поршня 2 от
НМТ к ВМТ из цилиндра 1 отработавшие газы отводятся в выпускной
трубопровод 7.
Воспламенение горючей смеси осуществляется:
– в бензиновом двигателе – от электрической искры (температура в центре искры 10 000 К), создаваемой свечой зажигания 5, работу
которой обеспечивает система зажигания;
– в дизеле – самовоспламенением после впрыска распыленного
топлива через форсунку 5. Температура воздуха в конце такта сжатия
достигает 670−770 К, а температура самовоспламенения дизельного
топлива составляет 520−570 К.
5.2.1 Четырехтактный рабочий цикл
Тактом называют часть рабочего цикла двигателя, происходящего при движении поршня от одной мертвой точки к другой. Рабочий процесс (цикл) четырехтактных двигателей совершается за четыре хода поршня (четыре такта) или за два оборота коленчатого вала и
состоит из последовательно чередующихся тактов: 1) впуска;
2) сжатия; 3) рабочего хода; 4) выпуска.
Такт впуска (рисунок 5.2). Поршень 2 движется от ВМТ к НМТ.
Выпускной клапан 6 закрыт, впускной клапан 4 открыт. Движение
поршня 2 создает разрежение в цилиндре 1. Под действием разрежения в цилиндр двигателя через открытый впускной клапан всасывается воздух у дизеля или горючая смесь у бензинового двигателя.
Горючая смесь перемешивается с остаточными отработавшими газами, образуя рабочую смесь.
Такт сжатия. Поршень 2 движется от НМТ к ВМТ. Выпускной 6
и впускной 4 клапаны закрыты. Объем пространства над поршнем
уменьшается, а давление в цилиндре увеличивается и вместе с ним
128
повышается температура в цилиндре. В конце такта сжатия происходит воспламенение рабочей смеси:
– в бензиновом двигателе – вследствие электрической искры,
создаваемой свечой зажигания 5;
– в дизеле – в результате впрыска через форсунку 5 распыленного топлива, которое перемешивается с воздухом и остаточными отработавшими газами, создавая рабочую смесь, и воспламеняется вследствие высокой температуры в цилиндре.
Такт рабочего хода. Выпускной 6 и впускной 4 клапаны закрыты. Рабочая смесь быстро сгорает (в течение 0,001−0,002 с) в цилиндре. Температура и давление образовавшихся в результате горения газов в цилиндре возрастают. Под действием давления газов поршень 2
движется от ВМТ к НМТ и совершает полезную работу, вращая через
шатун 8 коленчатый вал 9. По мере перемещения поршня к НМТ и
увеличения пространства над поршнем давление и температура в цилиндре снижаются.
Такт выпуска. Поршень 2 движется от НМТ к ВМТ. Впускной
клапан 4 закрыт, выпускной клапан 6 открыт. Отработавшие газы вытесняются поршнем из цилиндра через открытый выпускной клапан.
Давление и температура в цилиндре уменьшаются.
После окончания такта выпуска рабочий цикл повторяется и
вновь начинается такт впуска. В рабочем цикле четырехтактного двигателя полезная работа совершается только в течение одного такта –
рабочего хода. Остальные три такта (впуск, сжатие, выпуск) являются
вспомогательными, и на их осуществление затрачивается часть энергии, вырабатываемой в такте рабочего хода.
5.2.2 Индикаторная диаграмма двигателя
Для анализа рабочего процесса двигателя применяют индикаторную диаграмму двигателя – зависимость давления р в цилиндре от
объема V пространства над поршнем (рисунок 5.3).
Проведем анализ индикаторной диаграммы:
– в такте впуска (линия АВ) поршень движется от ВМТ к НМТ,
давление р в цилиндре ниже атмосферного р0 и практически не меняется с увеличением объема V пространства над поршнем;
– в такте сжатия (линия ВС) поршень движется от НМТ к ВМТ,
по мере уменьшения объема V возрастает давление р в цилиндре. На
подходе к ВМТ (точка 1) происходит воспламенение горючей смеси,
давление в цилиндре резко возрастает;
– такт рабочего хода (линия СD) сопровождается резким повы129
шением давления Р, которое достигает максимума (точка 2), а затем
снижается по мере увеличения объема пространства над поршнем V
(движения поршня от ВМТ к НМТ);
– такт выпуска (линия DA), когда поршень движется от НМТ к
ВМТ, осуществляется при небольшом избыточном давлении, которое
практически остается постоянным при уменьшении объема V пространства над поршнем.
2
Р
С
1
D
А
Р0
В
VЦ
VC
V
НМТ
ВМТ
Рисунок 5.3 – Индикаторная диаграмма четырехтактного двигателя
Индикаторные диаграммы бензинового двигателя и дизеля отличаются друг от друга тем, что при одинаковых геометрических параметрах цилиндров и поршней в тактах сжатия и рабочего хода дизеля создается гораздо более высокое давление, чем в бензиновом двигателе.
5.3 Методика построения индикаторной диаграммы
и определение положительной работы при помощи
интегрирования
Индикаторная диаграмма позволяет определить изменение давления в цилиндре двигателя в зависимости от положения поршня [2].
Строится по данным теплового расчета, позволяет определить среднее
давление, работу, мощность. По максимальному давлению в цилиндре
проводят расчет на прочность деталей кривошипно-шатунного механизма.
130
При построении индикаторной диаграммы её масштаб выбирают таким образом, чтобы высота была в 1,2−1,5 раза больше её основания. Объем цилиндра пропорционален ходу поршня. Длину диаграммы выбирают равной ходу поршня или в два раза больше, если
ход поршня малый. Например, ход поршня 90 мм, выбираем масштаб
2:1 и основание диаграммы Vh (рабочий объем цилиндра) принимаем
равным 180 мм.
Выбрав длину основания индикаторной диаграммы в координатах PV (например, 180 мм), выбираем высоту диаграммы, которая зависит от
значения максимального
давления сгорания топлива Pz (рисунок 5.4). В
нашем примере величина
Pz равна 5,4 МПа. Если
1 МПа примем равным
отрезку в 40 мм, то высота диаграммы составит
216 мм.
Степень сжатия ε
характеризует, во сколько
раз полный объем цилиндра (при нахождении
поршня в НМТ) больше Рисунок 5.4 – Теоретическая индикаторобъема
камеры ная диаграмма бензинового двигателя
сгорания (при нахождении поршня в ВМТ). Под степенью сжатия обычно понимают отношение полного объема цилиндра к объему камеры сгорания.
Зная степень сжатия ε, определим объем камеры сгорания в
условных линейных единицах по формуле
Vс = Vh / ( ε – 1) = 180 / (10 – 1) = 20 мм.
(5.8)
При ε =10 полный объем цилиндра в линейных единицах составит
Vа = Vс· ε = 20 ·10 = 200 мм.
(5.9)
Для построения индикаторной диаграммы в координатах P-V из
теплового расчета двигателя берут значения давления в конце наполнения Pа (например, 0,08 МПа для двигателя без наддува), давления в
конце сжатия Рс , максимальное давление сгорания Pz , давление в
131
конце расширения Рв и давления в конце выпуска отработавших газов
Рг (например, 0,12 МПа).
Процесс наполнения свежим зарядом цилиндра (воздухом у дизеля, топливом и воздухом у бензинового двигателя) происходит при
постоянном давлении, значение которого на 10 – 20 % меньше атмосферного (двигатели без наддува) или давления наддува. Поршень
движется от ВМТ к НМТ, проходя точки 110. Впускной клапан
открыт.
Процесс сжатия воздуха начинается в НМТ (клапаны закрыты),
поршень движется к ВМТ, проходя точки 10 – 1. Процесс сжатия протекает политропно (кривая между значениями давления Ра и Рс) и
определяется выражением
Ртек. сж = Pа · εn1тек ,
(5.10)
где Ртек.сж  текущие значения давления на линии сжатия; εтек  текущее значение степени сжатия в цилиндре при различных положениях
поршня (в нашем примере εтек изменяется от 1 до 10); n1  среднее
значение политропы сжатия для бензиновых двигателей 1,3−1,37.
Величина εтек зависит от полного объема цилиндра Vа, текущего
объема сжатого воздуха перед поршнем Vтек и определяется выражением
εтек = Vа / Vтек .
(5.11)
Для положения поршня в цилиндре 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 (см.
рисунок 5.4) текущая величина сжатия εтек равна 1 (10/10); 1,11 (10/9);
1,25 (10/8); 1,42 (10/7); 1,66 (10/6); 2,0 (10/5); 2,5 (10/4); 3,3 (10/3); 5,0
(10/2); 10 (10/1).
Давление в конце такта сжатия Рс определим по формуле
Рс = Pа · εn1 .
(5.12)
В нашем примере Рс = 0,08·101,35 =1,8 МПа. Значение Рс для бензиновых двигателей достигает давления, равного 1,5−2,0 МПа.
В конце процесса сжатия горючая смесь, состоящая примерно из
15 частей воздуха и 1 части распыленного топлива (бензина), воспламеняется при помощи искры и фронт пламени распространяется по
объему камеры сгорания со скоростью 40 − 60 м/с. Температура в процессе сгорания достигает 2200 − 2400 К, а давление 4−6 МПа. Повышение давления при сгорании λ = Рz / Pc зависит от степени сжатия,
угла опережения зажигания, частоты вращения и может достигать
значения, равного 3−4. В нашем примере λ = 3.
В процессе расширения (объем увеличивается) совершается
работа давлением газов (такт расширения, поршень движется от ВМТ
132
к НМТ, проходя точки 110). Давление газов снижается и в конце
расширения достигает значения Рв = 0,3−0,5 МПа. Давление в конце
расширения определяется по формуле Рв= Рz /εn2. Промежуточные
значения давления на линии расширения находим из выражения
Ртек. рас = Pz / δ n2тек ,
(5.13)
где n2 – показатель политропы расширения, равный для бензиновых
двигателей 1,251,30; δтек− текущая степень расширения, равная для
нашего примера 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
В некоторых учебных пособиях величину Ртек рас определяют по
формуле
Ртек. рас = Pв · δ n2тек ,
(5.14)
что может привести к ошибкам в расчетах. Так, при δтек= 5 по формуле (5.13) Ртек.рас = 0,73 МПа, а по формуле (5.14) − 2,24 МПа.
Для построения линий сжатия и расширения индикаторной диаграммы по формулам (5.10) и (5.13) делаем вычисления и заносим их
в таблицу 5.1. Затем в соответствующем масштабе откладываем точки
на линии сжатия и расширения. Участки диаграммы 1–10 относятся к
линии расширения, а 10–1 к линии сжатия (изменяется направление
движения поршня).
Для определения индикаторных показателей – работы сжатия,
расширения, индикаторной работы, среднего индикаторного давления
на участках диаграммы 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-7, 7-8, 8-9, 9-10 сначала
определяем работу сжатия (Н·м) по формуле:
ΔАтек.сж = ΔРтек. сж· ΔV ,
(5.15)
где ΔРтек.сж – среднее текущее значение давления на расчетном участке диаграммы; ΔV – объем цилиндра на расчетном участке.
На участке 10–9 (см. рисунок 5.4, таблица 5.1) величина ΔРтек сж
равна: ΔРтек.сж = (0,08+0,09)/2 = 0,085 МПа или 0,085·106 Па. При диаметре цилиндра D = 8 см и ходе поршня S = 9 см рабочий объем цилиндра Vh будет равен
Vh =π·D2·S /4 = 3,14· 82 · 9/4 = 450 см3 = 0,45 л = 4,5·10−4 м3 . (5.16)
Так как объём рабочего цилиндра разделен на 9 частей (шаг
расчета), то 1/9 часть объема ΔV= 0,5·10 -4 м3. Для повышения точности расчета диаграмму разделяют на большее число участков.
133
Таблица 5 1 – Расчетные данные для построения линий сжатия и
расширения
Линия сжатия «а – с»
Номер
Ра ·εn1тек,
n1
ε
ε
тек
тек
участка
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1,0
1,11
1,25
1,42
1,66
2,0
2,5
3,3
5,0
10
1,0
1,137
1,35
1,6
1,98
2,55
3,44
5,0
8,78
22,4
Линия расширения «z – в»
МПа
Номер
участка
δтек
δn2тек
Pz / δn2тек,
МПа
0,08 (Ра)
0,09
0,108
0,128
0,158
0,20
0,275
0,40
0,70
1,80 (Рс)
1
2
3
4
5
6
5
8
9
10
1
2
3
4
5
6
5
8
9
10
1,0
2,38
3,94
5,6
7,47
9,4
11,4
13,4
15,6
17,8
5,4 (Рz)
2,27
1,37
0,96
0,73
0,57
0,47
0,40
0,35
0,30 (Рв)
На рисунке 5.5 показано определение работы по величине среднего давления газов ΔР на участке изменения объема в цилиндре ΔV. Подобным способом находим работу расширения газов (Дж) в цилиндре двигателя на
выделенных участках:
ΔАтек.рас= ΔРтек. рас ΔV . (5.17)
Результаты расчетов сводим в таблицу 5.2.
Индикаторная работа на каждом
участке равна разности работы расширения и работы сжатия. В виду малости работы на газообмен (впуск и выпуск) ее
величиной пренебрегаем. Суммарная работа Асум находится путем сложения
Рисунок 5.5 – Участок индикаторной работы каждого участка и
индикаторной диаграммы и составляет 344 Дж.
определение работы на нём
К такому же результату можно
прийти, воспользовавшись определенным интегралом. Вычислим посредством интегрирования работу расширения Арас и работу сжатия
Асж газов. Индикаторная работа двигателя А будет определяться выражением
А= Арас Асж .
Разобьем диаграмму (см. рисунок 5.4) на n участков (в процессе
предыдущих вычислений мы разбивали на 9 участков, каждый из которых соответствовал ходу поршня в 1 см). Обозначим ΔVi  измене-
134
ние текущего объема над поршнем на i-м участке диаграммы (1≤ i ≤ n);
(Pрас)i − текущее значение давления на линии расширения на i-том
участке диаграммы. Величина (Aрас)i = (Pрас)i∙ΔVi (5.17) является работой расширения газов в цилиндре на i-м участке диаграммы (см.
рисунок 5.5).
Таблица 5.2 – Результаты расчёта индикаторной работы
Номер
Работа
Работа расши- Индикаторная Суммарная
участка диасжатия, Дж рения, Дж
работа, Дж
работа, Дж
граммы
10-9
4,25
16,25
12,0
9-8
5,0
19,0
13,0
25,0
8-7
6
21
15,0
40,0
7-6
7,0
25,0
18,0
58,0
6-5
9
32
23
81,0
5-4
12
39
27,0
108,0
4-3
16,8
58
41,0
149,0
3-2
28
91
63,0
212,0
2-1
63
195
132,0
344
Если число участков диаграммы n бесконечно увеличивать таким образом, что максимальное значение ΔVi стремится к нулю (малому значению), то работа расширения газов в цилиндре Арас будет
равна пределу интегральной суммы   А рас
n
i 1
i или определенному ин-
тегралу от функции, определяющему работу текущего расширения
по dV
[2, с. 261–262, 278–279]:
Va
А рас   P рас dV
,
(5.18)
Vc
где Vc – объем камеры сгорания, Vc≤V≤ Va; Va – полный объем цилиндра двигателя. Величина Vc определяется по формуле Vc = Vh /(ε-1). По
формуле (5.16) Vh = 4,5∙10-4 м3, тогда при ε = 10 объем камеры сгорания Vc = 4,5∙10-4 /9 = 0,5∙10-4 м3.
Величина Vа вычисляется по формуле
Va = Vc+Vh = 0,5∙10-4 + 4,5∙10-4 = 5∙10-4 м3.
Рассуждая аналогично, получим формулу для вычисления Асж :
Va
А сж   Pсж dV
Vc
135
.
(5.19)
Прежде чем перейти к вычислению интегралов (5.18) и (5.19),
выразим давление на линии расширения Ррас и линии сжатия Рсж через
текущее значение объема перед поршнем  V. Ранее было показано,
что на каждом участке индикаторной диаграммы (рисунок 5.4) давление (Ррас)i = Pz /  nтек2 . При этом текущее значение степени расширения
тек определяется по формуле тек=V/Vc. Подставляя полученные выражения в формулу (5.18), находим Арас:
Va
Va
А рас   P рас dV  
Vc

Vc

Va
Pz
dV  
n 2
тек
Vc
n
Pz  V c 2

V
V


 Vc
 n 2 1




dV  
n 2
Va
 n2  1
Pz  V c
Va
Pz
n 2
Pz  V c

1  n2
Vc
dV  P z  V c
n2
V
Vc
n 2
V
n 2
Va
 V
n 2
dV 
Vc
1 n 2
a
1 n 2
 Vc
.
(5.20)
Значение давления на линии сжатия определяется по формуле
(5.10) Pcж=Ра εn1тек. При этом εтек=Vа /V − текущее значение величины
сжатия. Тогда по формуле (5.19) находим Асж:
Va
Va
А сж   Pсж dV   Р а  
Vc
n1
тек

Va
dV   Р а 
Vc
n
Pa  V a 1
n1
Va
V
Vc

V
 n 11
 n1  1
Va
n1

Vc
Pa  V a
1  n1
n1
dV  Pa  V a
n1
V
Va
  V
n 1
dV 
Vc
1 n 1
a
1 n 1
 Vc
.
(5.21)
Таким образом, для нахождения значений Арас и Асж подставим в
полученные выражения (5.20) и (5.21) значения:
Vc = 0,5∙10-4 м3, Va = 5∙10-4 м3, n1 = 1,35; n2 = 1,25; Pz = 5,4∙106 Па;
Pа = 0,08∙106 Па.
А рас 
А сж 
5 , 4  10
6

 0 , 5  10
4

1 , 25
1  1, 25
0 , 08  10
6

 5  10
1  1, 35
4


4

1  1 , 25
 0 , 5  10

4

1  1 , 35
 0 , 5  10
 5  10
1 , 35
 5  10

4

1  1 , 25
  473
Па.

4

1  1 , 35
  142
Па.
Тогда индикаторная работа двигателя А будет равна
А = Арас – Асж = 473 – 142 = 331 Па.
(5.22)
Таким образом, результаты расчетов в обоих случаях практически совпадают, погрешность не превышает 1 %.
Отметим, что теоретическая индикаторная диаграмма бензино136
вого двигателя отличается от действительной диаграммы меньшей величиной максимального давления примерно на 15 % (Рд = 0,85 Рz).
У дизельных двигателей подвод теплоты (сгорание топлива)
осуществляется смешанным способом – при постоянном объеме (как
у бензиновых двигателей) и при постоянном давлении. Степень повышения давления при сгорании λ = Pz / Рс у дизелей без наддува лежит в пределах 1,5−2,5, а степень предварительного расширения
(Vz / Vc) – 1,2−1,5. Степень сжатия у дизелей без наддува лежит в
пределах 16−18, а с наддувом 12−16.
На рисунке 5.6 показана верхняя часть индикаторной диаграммы дизельного двигателя. Процесс сгорания от точки P'z до точки Pz
протекает при постоянном давлении. На этом участке продолжается
подача топлива форсункой, и хотя поршень движется к НМТ, давление газов на теоретической индикаторной диаграмме остается постоянным.
Для определения давления в конце расширения дизельных двигателей используют формулу
Рв=Рz /δn2,
(5.23)
где Pz – максимальное давления сгорания, МПа; δ = ε / ρп – степень последующего расширения; ρп – степень предварительного расширения
(для бензиновых двигателей 1, а дизелей: 1,2−1,4).
Например, ε =16 , ρп = 1,3, тогда
δ = 12,3. Давление в конце расширения определяем при δ =12,3, а текущие значения давления на линии
Vc – объем камеры сгорания; расширения определяем при изменеVz – объем предварительного нии δ от 1,3 до 16.
расширения
После такта расширения отРисунок 5.6 – Верхняя часть
индикаторной диаграммы дизеля крывается выпускной клапан, и отработавшие газы вытесняются поршнем из цилиндра. Давление при выпуске отработавших газов Рг равно
давлению наддува или больше атмосферного давления на 10 − 20 % у
двигателей без наддува.
Цикл – круговой процесс, состоящий из тактов впуска, сжатия,
расширения (рабочего хода), выпуска и возвращающийся в начальное
положение. Для определения работы цикла используют среднее индикаторное давление, которое представляет собой условное постоянное
137
давление, совершающее работу за ход поршня, равную работе газов,
совершенную за весь цикл.
Среднее индикаторное давление находим из выражения
Рi = Асум / Vh = 331 / 4,5·10 -4 = 0,74·106 Н/м2, или 0,74 МПа. (5.24)
Зная Pi , Vh , число цилиндров i и частоту вращения коленчатого
вала двигателя nд (мин-1), определим индикаторную мощность двигателя:
Ni = Pi · Vh · i· nд / 120 = 0,74·106· 4,5·10-4·4·5600 /120= 62 кВт. (5.25)
Механический КПД (ηм) учитывает потери мощности на трение,
газообмен и привод вспомогательных механизмов (0,75−0,9). Приняв
ηм= 0,8, определим эффективную (снимаемую с коленчатого вала)
мощность по формуле
Nе = Ni · ηм = 62· 0,8 = 50 кВт.
(5.26)
Зная величину Nе , определим эффективный крутящий момент
на коленчатом валу:
Ме = 9550 · Nе / nд = 9550·50/ 5600 = 85 Н·м.
(5.27)
5.4. Экспериментальное определение давления газов в
цилиндре двигателя
Для сравнения результатов расчета необходимо экспериментальным путем определить изменения давления в цилиндре двигателя.
Для измерения давления в цилиндре двигателя предлагается тензометрический датчик, изображенный на рисунке 5.7.
Чувствительный элемент 2 состоит из двух мембран, жестко соединенных между собой штоком. В полость датчика подводится
охлаждающая жидкость. Датчик записывает изменения давления в зависимости от угла поворота коленчатого вала (развернутую индикаторную диаграмму) при помощи усилителя и
осциллографа.
1 – корпус датчика;
2 – чувствительный элемент;
3 – прокладка уплотняющая;
4 – втулка распорная;
5 – резиновое кольцо;
6 – гайка;
7 – тензометрический элемент;
8 – компенсатор; 9 – разъем
Рисунок 5.7 – Датчик давления
138
На рисунке 5.8 показана осциллограмма давления газов в цилиндре дизеля типа Д-440 Nе = 66 кВт, n = 1750 мин-1, снятая датчиком давления, изображенным на рисунке 5.7. Для полного анализа
протекания рабочего процесса на осциллограмме дана отметка времени и приведен ход иглы hи , зафиксированный индуктивным датчиком.
МПа
3
К
Tz
7
2200
4
6
2100
Т
2000
5
Рг
4
2
P
Рс
3
i
1
2
hи
1
1мс
0
-40
-20
ВМТ
20
40
◦
1 – начало подачи топлива; 2 – отрыв линии сгорания от линии
сжатия (начало видимого сгорания); 3 – максимальное давление при
сгорании топлива;4 – максимальная температура в цилиндре
Рисунок 5.8 – Осциллограммы изменения хода иглы hи
давления газов в цилиндре Рг:
и
Процесс сгорания топлива у дизеля условно разбиваем на четыре фазы:
1) индукционный период (период задержки воспламенения поданного топлива, от точки 1 до точки 2); 2) период резкого нарастания давления (фаза быстрого сгорания, от точки 2 до 3); 3) период основного горения (от точки 3 до 4); 4) период догорания.
Индукционный период начинается от момента впрыска топлива
до начала горения. Период резкого нарастания давления наблюдается
от начала горения до максимального значения давления в цилиндре.
На данном участке определяют жесткость процесса сгорания – отно139
шение приращения давления к одному градусу поворота вала. Период
основного горения продолжается от максимального давления до максимальной температуры в цилиндре двигателя.
5.5 Диагностика двигателя по анализу индикаторной
диаграммы
По анализу индикаторной диаграммы рабочего процесса можно
судить о состоянии поршневой группы и механизма газораспределения [16]. По эталонной индикаторной диаграмме сравнительным способом можно определить возможные неисправности двигателя.
Диаграмму сжатия Рс получают без подачи топлива в цилиндр
двигателя. По максимальному значению Рс можно определить компрессию в цилиндре в процессе сжатия (утечку заряда). Снижение величины Рс может происходить от прогорания клапана, износа тарелки
клапана и ее посадочного седла, износа компрессионных колец и зеркала цилиндра.
По расположению точки 3 (см. рисунок 5.8) (максимального
давления в цилиндре) относительно верхней мертвой точки (ВМТ)
можно определить правильность установки опережения подачи топлива. У быстроходных дизелей точка 3 на диаграмме располагается за
5−10о после ВМТ.
На процесс сгорания топлива наибольшее влияние оказывает
качество работы топливной аппаратуры – неточность цикловой подачи, неравномерная подача топлива по цилиндрам, ухудшение распыливания топлива, потеря подвижности иглы распылителя, образование
коксовых отложений в каналах сопловых отверстий распылителя.
5.6 Расчет процесса сгорания топлива
Расчет процесса сгорания предусматривает определение доли
выгоревшего топлива, скорости сгорания, вычисление температуры и
давления в цилиндре в разное время.
Уравнение выгорания топлива, поданного форсункой в распыленном виде в камеру сгорания, зависит в основном от характера сгорания m и отношения величины текущего времени t к продолжительности сгорания tZ [6]:
х 1 е
 t 
 6 ,9 0 8 
 t 
 z 
m 1
.
(5.28)
Показатель сгорания m определяет характер развития процесса
сгорания и зависит от сорта топлива (цетанового числа), качества распыливания, угла опережения впрыска, процесса смесеобразования,
степени сжатия и давления наддува. В современных дизелях с объем140
ным смесеобразованием и высокой турбулентностью сгорания величина m лежит в пределах от 0 до 1,5. Продолжительность сгорания достигает 60 − 750 поворота коленчатого вала.
На рисунке 5.9 показаны зависимости изменения доли сгоревшего топлива Х от величины m и относительного времени t/tz [6].
Рисунок 5.9 – Зависимость доли сгоревшего топлива от m и t/tz
Для бензиновых двигателей величина m лежит в пределах 2−5.
Данную характеристику можно назвать интегральной, так как по ней
определяют суммарное количество выгоревшего топлива в любой момент времени.
Скорость сгорания топлива находится из выражения (5.29), и её
изменение от величины m и относительного времени t/tz показаны на
рисунке 5.10.
Рисунок 5.10 – Зависимость скорости сгорания от величин m и t/tz
141
Данную характеристику можно назвать дифференциальной, так
как по ней определяют часть сгоревшего топлива в данный момент
времени. Под кривой, например, с m = 1 определяют общее количество сгоревшего топлива.
 t 

w 0  6 , 908  m  1   


t
 z 
m
e
m 1
 t 

 6 , 908 


 tz 
.
(5.29)
Для определения давления и температуры весь процесс сгорания
(от точки 2 до точки 4 см. рисунок 5.8) топлива разбиваем на отдельные небольшие участки. Для каждого участка уравнение первого закона термодинамики будет иметь вид
v2
q 1  2  c v 1  2  ( T 2  T 1 )   pdv
,
(5.30)
v1
где q 1  2 − использованная теплота сгорания топлива, приходящаяся
на участок 1  2; c v 1  2 − средняя теплоемкость при постоянном объеме
на участке 1  2; T1 и T2 − абсолютные температуры в начале и конце
участка 1  2.
Принимая разность аргумента v1 – v2 (удельных объемов) достаточно малыми, можно записать
v2
 pdv  0 , 5 ( p 2  p 1 )  ( v 2  v 1 )
.
(5.31)
q 1  2  q z   x 2  x1   q z   x ,
(5.32)
v1
Доля топлива, сгоревшая на участке 1 2,
где qz − общая удельная использованная теплота сгорания.
Заменим в выражении (5.30) значения температуры соответствующим давлением, используя уравнение состояния газа pv = RT.
Применяя уравнение cp - cv = R и введя отношение средних теплоемкостей на участке 1  2 к = cp / cv , вычислим значение р2 (величина р1
известна). Определив давление, находим температуру в процессе сгорания топлива по методике [6].
С использованием данной методики уточнен тепловой расчет,
позволяющий определять долю сгоревшего топлива, скорость сгорания, температуру и давление в цилиндре бензиновых и дизельных
двигателей.
142
По содержанию данной главы следует отметить:
1 Рассмотрено устройство, принцип действия двигателя внутреннего сгорания и дан анализ индикаторной диаграммы.
2 Приведена методика построения индикаторной диаграммы
двигателя с использованием «текущей» величины сжатия и «текущей» степени расширения, определена индикаторная работа
расчетно-графическим методом и путем интегрирования.
3 Дан пример построения индикаторной диаграммы бензинового двигателя и ее анализ.
4 Для экспериментального определения давления в цилиндре
двигателя предложена конструкция тензометрического датчика,
позволяющая дополнительно определять техническое состояние
двигателя.
5 Приведен расчет процесса сгорания топлива по методике
профессора И. И. Вибе [6], составлена программа теплового расчета двигателя внутреннего сгорания.
Контрольные вопросы
1 .Дайте определение цикла в двигателе внутреннего сгорания.
2. Что представляет собой индикаторная диаграмма в координатах P-V?
3. Что называют давлением, виды давления ?
4. Как производится подвод теплоты в камерах сгорания при постоянном объеме и при постоянном давлении?
5. Напишите формулы для определения работы и мощности.
6. Что называют средним индикаторным (эффективным) давлением и как оно определяется?
7. Особенности построения индикаторной диаграммы расчетно-графическим методом.
8. Как при помощи интеграла определили индикаторную работу
на диаграмме в координатах P-V ?
9. Как при помощи тензометрического датчика определяют давление газов внутри цилиндра?
10. Какие вы знаете фазы процесса сгорания топлива в дизельном
двигателе?
11. Как по анализу индикаторной диаграммы определяют неисправность (износ) поршневой группы?
12. Как определяется доля сгоревшего топлива и его скорость
выгорания?
143
6 Определение момента инерции элементов коленчатого вала
Кинетическая энергия тела массой m, поступательно движущегося со скоростью  , определяется выражением
EК 
m 
2
.
2
Окружная скорость при вращательном движении равна   R   ,
где ω – угловая скорость; R – радиус вращения.
Тогда кинетическая энергия вращательного движения вычисляется по формуле
EB 
m R
2

2
. Величина J  m  R 2 называется мо-
2
ментом инерции материальной точки относительно оси вращения.
При расчете коленчатого вала двигателя на крутильные колебания необходимо знать моменты инерции элементов коленчатого вала
и маховика.
Момент инерции является мерой инертности материальной точки
(системы) при вращательном движении, характеризует распределение
масс в телах.
Моментом инерции системы материальных точек J, кг·м2, относительно оси называют сумму произведения масс этих точек на квадрат
их расстояния до оси

n
2
J   mk  Rk
.
(6.1)
k 1
В частном случае сплошного тела сумму следует заменить интегралом (см. главу 2):
2
(6.2)
J   R dm ,
где dm – масса элементарной части тела.
Если известны масса тела и средний радиус вращения R ср , то
момент инерции находят из выражения
(6.3)
J  1 / 2  m  R ср .
Плотность тела представляет собой массу, сосредоточенную в
данном объеме. Если известны плотность ρ тела (кг/м3) и его объем V
(м3), то его массу (кг) находят из выражения
m   V .
(6.4)
В тех случаях, когда имеется готовая деталь, целесообразно использовать экспериментальный способ определения момента инерции.
Наиболее простой – метод бифилярного подвеса (фильера – французское «нить», «проволока», би – латинское «дважды»).
144
6.1 Расчетно-экспериментальное определение момента
инерции части коленчатого вала
Исследуемая деталь подвешивается на 2-х стальных нитях, расположенных на равных расстояниях от оси вращения, проходящей через центр тяжести, другие концы нитей укрепляют так, чтобы их длины были равны между собой, а направления их – параллельны оси
вращения. На рисунке 6.1 показано колено с хвостовиком вала.
Одна из щек имеет противовес. Так как центр тяжести кривошипа
не лежит на его оси вращения, то при закреплении его на подвеске
добиваются того положения, чтобы ось симметрии подвеса проходила
через центр тяжести и ось вращения кривошипа была бы вертикальна.
Рисунок 6.1 – Схема крепления колена вала на двух нитях
Экспериментальное определение момента инерции колена вала
заключается в следующем. Поворотом на угол 20−300 деталь приводится в колебательное движение, замеряя секундомером время колебаний. Опыт повторяют не менее трех раз, определяя среднюю величину периода полного колебания по формуле
Т 

,
(6.5)
n
где  – время, с (в нашем примере 50 с); n – число колебаний 50.
Момент инерции колена с носком вала находят по формуле
JЭ 
T
2
a
2
m g
16    l
 m B
2
,
(6.6)
где а – расстояние между нитями, 0,14 м; т – масса детали, 4,7 кг;
l – длина нитей, 0,5 м; В – смещение центра тяжести, 0,01 м;
145
g – ускорение свободного падения, 9,81 м/с2.
При данных размерах колена, подвесных нитей и периода колебаний экспериментальное значение момента инерции равно
0,012 кг·м2. Значение момента инерции колена необходимо для расчета вала на крутильные колебания в главе 9.
6.2 Расчетное определение момента инерции элементов
коленчатого вала
При расчете коленчатого вала на крутильные колебания необходимо знать момент инерции собственно колена вала (с учетом противовесов, если они имеются).
Для определения момента инерции только колена вала из экспериментального значения JЭ необходимо отнять момент инерции носка
вала и половину момента инерции коренной шейки, которые можно
найти расчетным путем.
Момент инерции носка вала [34]:
 dН
4
JН 
 lH  
32
,
(6.7)
где dН – диаметр носка вала (в нашем примере 0,04 м); lН – длина носка вала, 0,086 м;  – плотность стали, 7800 кг/м3.
Момент инерции половины коренной шейки
 dK
4
JK
/2

32

lK
 ,
(6.8)
2
где dК – диаметр коренной шейки, 0,064 м;
lК – длина коренной шейки, равная 0,039 м.
Таким образом,
Э
 JЭ  JH  JK
.
(6.9)
При отсутствии готового колена вала его момент инерции можно
найти расчетным путем, используя данные чертежа. Момент инерции
колена при делении его на 4 части (две половины коренных шеек, шатунная шейка без противовеса и с противовесом)
J КОЛ
J
 dK
Р
КОЛ
 J
К
 J
Ш
 JЩ
1
/2
 J
Щ 2
,
(6.10)
4
где
JK 
32
 lK  
– момент инерции 2-х половин коренных шеек;
JШ – момент инерции шатунной шейки относительно оси вращения.
При вычислении момента инерции тела относительно оси вращения, параллельной оси, проходящей через центр тяжести и отстоящей
от неё на расстоянии R, применяют известную формулу перехода [8, 34]:
146
 dШ
4
J
Ш
 J
/
Ш
 mШ R
2

 dШ
2
lШ   
32
4
lШ   R
2
, (6.11)
/
где J Ш – момент инерции шатунной шейки относительно оси, проходящей через центр вала; тШ – масса шатунной шейки; R – радиус
кривошипа, 0,046 м; dШ – диаметр шатунной шейки, 0,058 м;
lШ – длина шатунной шейки, 0,028 м; J Щ , J Щ – момент инерции
щеки без противовеса и с противовесом (рисунки 6.2 и 6.3).
Форма щеки, в простейшем случае (см. рисунок. 6.2), может быть
представлена в виде параллелепипеда, тогда момент инерции её массы
относительно оси коленчатого вала
1
JЩ
 
где J Щ
1
h1  b1
12

/
1
 JЩ

 h1  b1  e  
2
2
2
2
1
 m Щ  a1
1
,
(6.12)
– полярный момент инерции массы
параллелепипеда относительно оси, проходящей через центр тяжести,
кг·м2; m Щ 1  e  h1  b1   – масса щеки, кг; e, h1, b1 – толщина, ширина
и высота щеки, е = 0,02 м; h1 = 0,092 м; b1= 0,12 м. Расстояние от центра коренной шейки до центра тяжести щеки а2 = 0,022 м.
Форма второй щеки с противовесом (см. рисунок 6.3) значительно отличается от формы параллелепипеда, поэтому момент инерции
массы щеки относительно оси коленчатого вала Jщ2 можно найти приближенно, разбивая щеку на отдельные слои дугообразной формы.
Разбиваем противовес дугами окружностей на К элементов со
средним радиусом ri, шириной Δri, углом αi и находим момент инерции элементарных масс относительно центральной оси коренной
шейки по формуле
ΔJi = Δmi· ri2,
(6.13)
где Δmi –элементарная выделенная масса сложной формы щеки, равная (π /1800)· αi· ri· Δri· е·ρ.
Суммируя моменты инерции элементарных масс, получим
К
J
щ2
=  Ji .
(6.14)
i 1
Точность расчетов увеличивается с уменьшением размера ∆r и,
следовательно, с увеличением числа выделенных слоев. Размеры щеки
приведены на рисунке 6.3.
147
Рисунок 6.2 – Форма вала
Рисунок 6.3 – Схема щеки вала
без противовеса
с противовесом
без противовеса
Момент инерции щеки с противовесом можно найти приближенно по формуле
JЩ
где 
/
JЩ
2

b 2  b CP
12
/
2
 JЩ
( b 2  b CP )  e  
2
2
2
2
 mЩ
2
;
mЩ
 e  b 2  b CP  
2
 a2
,
(6.15)
кг;
b2 = 0,167 м; bС Р = 0,099 м; а2 = 0,001 м.
Далее вычисляем погрешность (не более 5 − 10 %) при определении момента инерции колена вала расчетным и экспериментальным
путем.
Р
 
Э
J КОЛ  J КОЛ
Р
 100 %
.
(6.16)
J КОЛ
Контрольные вопросы
1. Что называют моментом инерции системы материальных точек относительно оси?
2. В чем суть определения момента инерции методом бифилярного подвеса?
3. Расчетное определение момента инерции шатунной, коренной
шейки относительно оси вращения коленчатого вала.
4. Расчетное определение момента инерции щеки простой и
сложной формы.
5. Для каких расчетов ДВС определяются моменты инерции
элементов коленчатого вала?
148
7 Определение момента инерции маховика
Крутящий момента двигателя изменяется по времени. Неравномерность изменения крутящего момента зависит от особенности протекания рабочего процесса двигателя, кинематики КШМ и режима работы. Для равномерного вращения коленчатого вала применяется маховик. Момент инерции маховика составляет 70  90 % от момента
инерции всех движущихся масс двигателя. Крутящий момент на валу
двигателя МК в каждый момент времени уравновешивается суммарным моментом сопротивления МС со стороны потребителя мощности
и моментом сил инерции J0 всех движущихся масс двигателя, приведенных к оси коленчатого вала. Эта взаимосвязь выражается уравнением
М
К
 М
С
 J0
d
d
,
(7.1)
d
угловое ускорение коленчатого вала, 1/с2.
где –
d
Величину
d
d
запишем в виде
d
d
где
 
 n
30

d
dt

d
d

,
− угловая скорость при данной частоте вращения, мин-1;
φ – угол поворота коленчатого вала.
Для установившегося режима работы двигателя МК = МС. Если
МК>МС, то избыточная работа крутящего момента поглощается движущимися частями двигателя. Избыток работы идёт на увеличение
кинетической энергии и, следовательно, скорости вращения коленчатого вала. При недостатке работы происходит отдача энергии от движущихся частей, что замедляет вращение коленчатого вала.
Маховик выполняет и другие функции. Он служит для плавного
движения автомобиля, трактора с места, размещения муфты сцепления и стартерного зубчатого венца. Во время пуска маховик позволяет
осуществить вспомогательные такты рабочего цикла двигателя.
Значение момента инерции маховика используется при расчете
коленчатого вала на крутильные колебания и при расчете его на плавное вращение.
149
7.1 Расчетно-экспериментальное
определение
момента
инерции маховика
Исследуемый маховик бензинового двигателя автомобиля «Волга» подвешивается на 3-х нитях одинаковой длины, параллельных оси
вращения маховика (рисурок 7.1). Свободные концы нитей закреплены на одинаковом расстоянии от оси вращения.
Рисунок 7.1 – Схема крепления маховика на трех нитях
Поворотом маховика на 20−300 его приводят в колебательное
движение, замеряя секундомером время 50 колебаний. Опыт повторяют три раза, определяя среднюю величину периода полного колебания маховика Т (с) по формуле
(7.2)
T   /n ,
где τ и n – соответственно время (с) и число колебаний маховика.
Э
Момент инерции (экспериментальный) маховика J М (кг·м2) вычисляем по формуле
J
Э
М

m g a
2
T
4  l
2
,
(7.3)
где m – масса маховика, m = 11,40 кг; g – ускорение свободного падения; a – расстояние между нитями, 0,17 м; l – длина нити 0,7 м.
В процессе проведения опыта 50 колебаний маховика соверше150
но за 50 с. Момент инерции маховика массой 11,4 кг при данных размерах нитей по формуле (7.3) составил 0,11 кг·м2. Величина момента
инерции маховика необходима в дальнейшем при расчете коленчатого
вала на крутильные колебания.
7.2 Расчетное определение момента инерции маховика
При отсутствии маховика, выполненного в металле, его момент инерции
можно
определить
расчётным
путем, используя данные чертежа
(рисурок 7.2).
Для этого маховик разбиваем на 4
простых фигуры и определяем их моменты инерции. Тело маховика разбивается на кольцевые элементы с простейшей геометрией сечения. В каждом
элементе определяется центр поперечного сечения. В этом случае, например,
момент инерции наружного обода будет
равен
(7.4)
2
J  m об  R ср ,
где mоб и Rср − масса обода (кг) и расстояние (м) от оси вращения до центра
поперечного сечения наружного обода.
1 Момент инерции наружного
обода [8, 16, 34]

н
J об 
d
32
4
5
Рисунок 7.2 – Разрез маховика

 d 4  B4   ,
4
(7.5)
где d4 – внутренний диаметр обода, 0,256 м;
d5 – внешний диаметр обода, 0,376 м;
B4 – ширина наружного обода, 0,022 м;
ρ – плотность стали, 7800 кг/м3.
2 Момент инерции диска
J
Д


32
d
4
4

 d 3  B3   ,
4
(7.6)
где d3 – внутренний диаметр диска, 0,14 м; B3 – ширина диска, 0,09 м.
151
3 Момент инерции фланца
Jф 
где

d
4
3
32
4
 d1
 B
1
 ,
(7.7)
d3 – внешний диаметр фланца, 0,14 м;
d1 – внутренний диаметр фланца, 0,074 м;
B1 – ширина фланца, 0,013 м.
4 Момент инерции внутреннего обода
В
J об 

d
32

 d3  B2   ,
4
2
4
(7.8)
где d2 – внешний диаметр внутреннего обода, 0,165 м;
d3 – внутренний диаметр внутреннего обода, 0,14 м;
B2 – ширина внутреннего обода, 0,02 м.
5 Расчетное значение момента инерции маховика находим по
формуле
P
Н
В
(7.9)
J
 J
 J
 J  J
.
об
M
Д
Ф
об
Вычисляем погрешность (не более 5  10 %) при определении
момента инерции маховика расчетным и экспериментальным путем
 
J
P
M
 J
J
Э
M
P
M
 100
% .
Контрольные вопросы
1. Что представляет собой момент инерции, определение, размерность?
2 С какой целью определяют момент инерции маховика?
3. Назначение маховика?
4. Каким образом маховик «накапливает» и «отдаёт» энергию?
5. Методика экспериментального и расчётного определения момента инерции маховика?
6. В каких расчётах ДВС применяют момент инерции маховика?
152
8 Расчет маховика
Основное назначение маховика – обеспечение равномерного
вращения коленчатого вала двигателя и создания необходимых условий для плавного движения машины с места.
Для автомобильных двигателей, работающих обычно с большой
недогрузкой, характерен облегченный разгон машины и поэтому их
маховики имеют минимальные размеры.
В тракторных двигателях кинетическая энергия маховика должна обеспечить плавное движение машины с места и преодоление
кратковременных перегрузок. Поэтому маховики тракторных двигателей по сравнению с автомобильными имеют большую массу и размеры.
Расчет маховика сводится к определению момента инерции маховика JМ, основных его размеров, массы и максимальной окружной
скорости.
8.1 Определение момента инерции маховика по результатам
динамического расчета двигателя
Показателем, характеризующим изменение скорости вращения
коленчатого вала за цикл, является коэффициент неравномерности
хода
 
 max   min
 cp
,
(8.1)
где  max ,  min – максимальная и минимальная угловые скорости
вращения коленчатого вала за цикл;  cp

 n
– средняя угловая
30
скорость за цикл, с-1 (n – частота вращения коленчатого вала, мин-1).
Для автомобильных двигателей коэффициент неравномерности
хода δ = 0,02 −0,03; для тракторных δ = 0,01−0,02.
Задаваясь значением δ, можно приближенно найти требуемый
момент инерции маховика. Для этого вначале определяют момент
инерции всех движущихся масс двигателя относительно оси вала по
формуле [34]:
J0 
L изб
   СР
2
,
(8.2)
где Lизб – наибольшая избыточная работа суммарного крутящего момента, Н·м. Вывод данной формулы буден сделан ниже.
153
Для определения Lизб многоцилиндрового двигателя строят график набегающего крутящего момента МКР . Для этого нам необходимо знать изменение удельной касательной силы Т (Н/м2) или
М КР  Т  F n  R (Н·м) в зависимости от угла поворота коленчатого вала
φ. Следует напомнить, что Fn – площадь поршня, R – радиус кривошипа.
На рисунке 8.1 показано изменение удельной силы Т в зависимости от φ. График построен по данным теплового расчета и расчета
удельных сил, действующим в КШМ.
Рисунок 8.1 – График изменения удельной тангенциальной
силы в зависимости от 
На рисунке 8.2 в качестве примера показана схема коленчатого
вала четырехцилиндрового двигателя с кривошипами под углом,
равным 1800.
Рисунок 8.2 – Схема коленчатого вала
Через вал от первого, второго, третьего, четвертого цилиндров и
к маховику, от которого производится отбор мощности, передается
крутящий момент. В нашем примере удельная сила Т.
Для определения набегающего крутящего момента на каждой
коренной шейке, и особенно на последней, необходимо знать начальные фазы в каждом отдельном цилиндре. Положение поршня первого
154
цилиндра будем считать в ВМТ, соответствующее началу такта впуска. Начальную фазу примем равной α = 0. Начальная фаза і–го цилиндра, определяющая какой такт или часть такта протекает в данном
цилиндре, может быть определена по схеме работы цилиндров или
вычислена по формуле
(8.3)
 i  ( z  m  1)   ,
где z – число цилиндров; m – порядковый номер вспышки;
γ – интервал между вспышками.
Для 4-тактного двигателя  =7200/z. Для 2-тактного двигателя
 =3600/z.. Так, например, для дизеля 4Ч13/14 (Д-440) α1 = 00, α2 = 1800,
α3 = 5400, α4 = 3600.
Для определения набегающего крутящего момента на промежуточные коренные шейки и суммарного крутящего момента на шейку
4–0 составим таблицу (табл. 8.1), в которую в соответствии с начальными фазами для каждого цилиндра внесем значения Т.
Таблица 8.1 – Значение силы Т на различных коренных шейках
φ = α, Т1, Т1-2,
град МПа МПа
0
0
0
10 -0,3 -0,3
α2, Т2, Т2-3,
град МПа МПа
180
0
0
190 -0,1 -0,4
α3, Т3, Т3-4,
град МПа МПа
540
0
0
550 -0,1 -0,5
α4, Т4, Т4-0,
град МПа МПа
360
0
0
370
1
0,5
Складывая алгебраические значения Т, МПа, получим значение
набегающего момента на каждой коренной шейке. Последнее необходимо для оценки наиболее нагруженной шейки. В таблице 8.1 в качестве примера показано определение значения Т на каждой коренной
шейке для 2-х значений φ. Значение Т4-0 представляет собой сумму
удельных сил Т, действующих от всех кривошипов.
На рисунке 8.3 показан график изменения Т4-0. Периодичность
изменения графика служит для контроля правильности выполнения
расчетов.
Для определения среднего значения Т4-0 определяем длину периода l, а также площадь, заключенную между кривой и осью абсцисс
Т 40 
 F

  F

.
(8.4)
l
Выше среднего значения крутящего момента располагается избыточная положительная работа (от значения углов φ1=1000 до φ2 =1700,
рисунок 8.3).
2
L изб   ( М
к
 М с )d  J 0
1
155
1
2
(  max   min ) .
2
2
(8.5)
Преобразуем выражение (8.5), умножив числитель и знаменатель на величину  ср2 :
L изб  J 0
где
 
 max
(

2
min
)  ср
2

 J 0     ср
2
 ср
2
2
  min
 ср
2
max
  max
  min


2
 ср
,
 max   min
2

(8.6)
2
2
2
ср
.
Откуда момент инерции всех вращающихся частей двигателя
J0 
L изб
   ср
2
.
(8.7)
Далее определяется значение максимальной избыточной площади Fизб.max (м2) на участке l (м) выше линии Т4-0 ср. Затем определяется
наибольшая избыточная работа
L изб  Fизб max   ,
(8.8)
где µ – масштаб площади суммарной диаграммы крутящего момента,
Н·м/м2.
     М  R 
где  ф


180


 D
2
,
(8.9)
4
− масштаб, который определяет, сколько радиан со-
l
держит (вмещает) абсцисса длиной в 1 м;
 М – масштаб, показывающий сколько паскалей (Н/м2) содержит ордината длиной в 1 м; R – радиус кривошипа, м;
D – диаметр цилиндра, м.
Рисунок 8.3 – График изменения силы T на коренной шейке 4  0
156
По формуле (8.8) определяем Lизб , а по формуле (8.7) величину
J0. Момент инерции маховика, его масса и средний радиус связаны
выражением [34]:
2
JM  m 
2
R CP

m  D CP
.
(8.10)
4
В расчетах можно принять, что момент инерции маховика
(8.11)
J M  ( 0 , 75  0 , 9 ) J 0 .
Для автотракторных двигателей D CP  0 , 3  0 , 5 м.
Для приближенных расчетов можно принять
(8.12)
D CP  ( 2  3 )  S ,
где S – ход поршня, м.
Величина DСР зависит от габаритных размеров двигателя, размеров муфты сцепления, стартерного венца. Определив DСР, по формуле (8.12) находим массу маховика.
Момент инерции маховика (кг·м2) для двигателей ГАЗ-53 =
0,29; ЗИЛ-130 = 0,610; ЯМЗ-236 = 2,45.
На рисунке 8.4 показан разрез маховика двигателя. По условиям
прочности внешний диаметр маховика DМ должен быть выбран с учетом обеспечения допустимых окружных скоростей.
Окружная скорость на внешнем обходе
маховика
М 
  DM  n
.
(8.13)
60
Допустимая окружная скорость для маховиков, выполненных из чугуна, должна быть
меньше 30 − 40 м/с, для стальных меньше
Рисунок 8.4 – Разрез 50−60 м/с.
маховика
8.2 Пример расчета маховика
Предположим, что уже построен график суммарно крутящего
момента, например для дизеля 4Ч13/14.
Известно, что l = 0,09 м, Fизб max =12·10-4 м2 (12 см2),  =1800.
Рассмотрим только 1/4 часть диаграммы суммарного крутящего
момента от 0 до 1800. При повороте коленчатого вала от 180 до 7200
вид диаграммы повторяется, что указывает о правильности вычислений.
Определим по формуле (8.9) масштаб суммарной диаграммы
157
крутящего момента
 
3 ,14
180

180
 2  10
8
 0 , 07 
3 ,14  0 ,13
0 , 09
2
 65  10
4
Н·м/ м2.
4
По формуле (8.8) вычислим наибольшую избыточную работу
4
L изб  12  10
Задаваясь значением 
 65  10
 0 , 01
 ср 
4
Н·м.
 780
и определив
3 ,14  1750
 183 с
1
,
30
находим по формуле (8.2) момент инерции всех движущихся масс
двигателя
J0 
780
0 , 01  183
2
 2 ,3
кг·м2.
Момент инерции маховика вычислим по формуле (8.11):
J М  0 ,8  2 , 3  1,84
кг·м2.
Принимая DСР = 0,35 м, определим массу маховика
т 
4JМ
2

4  1 , 84
D СР
0 , 35
2
 60
кг.
Принимая DМ = 0,4 м и материал маховика – сталь, по формуле
(8.13) находим окружную скорость
М 
3 ,14  0 , 4  1750
 36 , 3
м/с.
60
Окружная скорость не превышает допустимых значений
50 − 60 м/с.
Контрольные вопросы
1. Назначение маховика.
2. Что называют коэффициентом неравномерности хода?
3. Как определяют момент инерции маховика?
4. Как находится начальная фаза в цилиндре двигателя?
5. Как вычисляется наибольшая избыточная работа по диаграмме набегающего момента?
6. Как определяют масштаб площади суммарной диаграммы
крутящего момента?
158
9 Расчет коленчатого вала двигателя на крутильные
колебания
При эксплуатации двигателей внутреннего сгорания, даже полностью уравновешенных, на определенных скоростных режимах появляются вибрации и стуки, приводящие иногда к разрушению коленчатого вала. Причиной этого являются крутильные колебания вала,
которые возникают вследствие недостаточной жесткости коленчатого
вала под действием переменных по величине и направлению крутящих моментов двигателя [8, 34]. Крутильные колебания могут быть
собственными и вынужденными.
Собственные колебания коленчатый вал совершает выведенный
из состояния покоя под действием только момента сил упругости вала
Муп и момента сил инерции Мин от вращающихся масс. Вынужденные
колебания коленчатого вала возникают в процессе работы двигателя
вследствие действия периодически изменяющихся крутящих моментов,
которые вызывают упругие деформации скручивания коренных шеек.
При совпадении частот собственных крутильных колебаний с
вынужденными колебаниями возникает резонанс. Создаются большие
дополнительные напряжения кручения, приводящие к поломке вала.
9.1 Свободные крутильные колебания вала с одной массой
Рассмотрим колебания вала с маховиком. Вал жестко закреплен
на свободном конце (рисунок 9.1). Крутильная система имеет маховик
массой m и моментом инерции Jм, вал длиной L с наружным диаметром d.
Колебание – движение, повторяемое во времени.
Период – время в секундах одного полного колебания.
Приложим к маховику крутящий момент Мкр и закрутим вал на
угол φс (например, 100). Мгновенно устраним действие Мкр. Под действием момента сил упругости Муп закрученный вал вернется в первоначальное положение. Далее, под действием момента сил инерции
маховика Мин , вал закрутится в противоположную сторону на угол φс.
Предположим, что сопротивления колебаниям отсутствуют, а инерцией вала пренебрегаем. Тогда
M
ин
 М
уп
,
 M
ин
 М
уп
 0
.
(9.1)
Предположим, что одно полное колебание произошло за 2 с.
159
Период колебания Т равен 2 с.
Амплитуда колебания равняется значению  с или максимальному углу поворота от своего нейтрального положения.
Частотой колебаний (кол/с)
называют число колебаний за единицу
времени
 
1
.
(9.2)
T
Таким образом, в нашем примере
  0 , 5 кол/с .
Круговая частота (1/с)  с –
число полных колебаний, которые совершаются за 2π единиц времени.
с  2    
2
Т
.
(9.3)
В нашем примере угловая скорость  с    3 ,14 1/с.
Из формулы (9.3) находим период
Рисунок 9.1. Гармонические
колебания системы вала с
одной массой
T 
2
с
.
При частоте вращения 1 1/с (за
1 с совершается оборот) система проходит 3600, или 6,28 радиан
(2  рад). Один радиан равен 57,30.
Момент касательных сил инерции M ин определяется выражением
d 
2
M
d 
ин
 J
м

2
dt
2
где
dt
2
– угловое ускорение маховика 1/с
2
Момент упругости вала М
М
уп
уп

,
 d 2
d 



2

dt 
 dt
(9.4)
.
, согласно закону Гука, равен
G J
р
 ,
L
где G – модуль упругости материала при сдвиге (кручении), Па;
160
(9.5)
J
р

 d
32
4
– момент инерции сечения вала диаметром d, в м4;
 – угол закручивания вала при деформации; L – длина вала, м.
Уравнение (9.5) можно представить в виде
M уп  С   ,
где С 
G J
p
(9.6)
– жесткость вала, представляющая собой крутящий
L
момент, Н·м, необходимый для закручивания вала на 10.
Используя выражение (9.1), запишем
d 
2
J
м

dt

2
G J
р
  0.
(9.7)
L
Разделим обе части выражения (9.7) на величину J м , получим
d 
2

2
dt
G J
р
LJ
м
  0 .
(9.8)
Таким образом, мы получили линейное дифференциальное
уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, алгоритм решения которого описан в 3.3.1 настоящей монографии.
Введем обозначение
G J
с 
LJ
р
м

с
J
.
(9.9)
м
Окончательно получим
d 
2
dt
2
 с  0,
2
(9.10)
где  с − круговая, циклическая частота собственных крутильных
колебаний, 1/с.
Уравнение (9.10) является дифференциальным уравнением свободных колебаний вала с одной массой. Найдем его решение (см. главу 3). Так как соответствующее характеристическое уравнение
2
2
k   c  0 имеет два комплексных сопряженных корня   c i , следовательно, по таблице 3.1 решение уравнения (9.10) будет иметь вид
  e
0 t
 A  sin  c t
 B  cos  c t   A  sin  c t  B  cos  c t
. (9.11)
Постоянные величины A и B находят из начальных условий.
Начало движения – момент максимального угла закручивания
161
d
вала при t  0 ;    c ;
 0.
dt
Из уравнения (9.11) получим

t0
  c  A  sin 0  B  cos 0  B  B   c .
Для нахождения коэффициента
d
начальным условием, а именно
 0
воспользуемся вторым
A
. Для этого найдем
dt
d
выра-
dt
жения (9.11) функции  .
d
dt
  A  sin  c t  B  cos  c t 

 A   c  cos  c t  B   c    sin  c t  
t
 A   c  cos  c t  B   c  sin  c t .
Тогда
 d 
 A  c cos 0  B  c sin 0  0  A  0 .


 dt  t  0
Таким образом, подставив в выражение (9.11) значения A  0 ,
B   c , получим
(9.12)
   c cos  c t .
Уравнение (9.12) выражает гармоническое колебательное движение, в котором  c является амплитудой или максимальным углом
поворота маховика от своего нейтрального положения.
9.2 Вынужденные крутильные колебания вала с одной массой
Если к маховику приложить возмущающий момент М В , изменяющийся по гармоническому закону
M
B
 M
0
 cos  B t ,
(9.13)
где М 0 – амплитуда гармонически возмущающего момента (зависит
от значения крутящего момента двигателя);  В – круговая частота
возмущающего момента, то уравнение (9.7) примет вид
d 
2
J
м

dt
2

G J
р
  М
L
0
cos  В t
(9.14)
или
d 
2
dt
2

G J
LJ
р
 
м
162
М
J
0
м
cos  В t
.
(9.15)
Учитывая содержание уравнения (9.10) и вводя обозначения
q 
M
J
0
, получим уравнение
м
d 
2
dt
2
  с   q cos  В t  0 ,
2
(9.16)
которое представляет собой уравнение вынужденных колебаний вала
с одной массой.
Данное уравнение − неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Перепишем его
d 
2
в виде
dt
2
  с   q cos  В t
2
щее начальным условиям 
и найдем его решение, удовлетворяю c;
t0
d
 0
.
dt
Решение уравнения (9.16) находим в виде (см. главу 3):
   1  2 ,
где  1  решение соответствующего однородного уравнения (9.10);
 2  частное решение неоднородного уравнения (9.16).
а) Значение  1 , соответствующее начальным условиям
(
t0
 c;
d
 0,
найдено
в
предыдущем
пункте
9,

dt
 1   c cos  c t
(9.12).
б) Для нахождения частного решения неоднородного уравнения
(9.16) величину  2 определим по данным таблицы 3.2.
d 
2
Рассмотрим правую часть уравнения
dt
2
  с   q cos  В t
2
,
функцию f t   q cos  В t . Данный вид функции соответствует третьей строке таблицы 3.2. Заметим, что     B  не является корнем
характеристического уравнения k 2   c2  0 , соответствующего однородному уравнению (9.10), следовательно,  2 ищем в виде
 2  С cos  B t  D sin  B t .
Для нахождения С и D воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Для этого найдем  2 и подставим его и  в
исходное уравнение (9.16).

 2   С cos  B t  D sin  B t    С  B sin  B t  D  B cos  B t ;
163

 2    С  B sin  B t  D  B cos  B t    С  B cos  B t  D  B sin  B t .
2
2
При подстановке найденных выражений  2 ,  2 в уравнение
(9.16), получим
 С  B cos  B t  D  B sin  B t   c  С cos  B t  D sin  B t   q cos  В t
2
2
2
;
 С  B cos  B t  D  B sin  B t  С  c cos  B t  D  c sin  B t  q cos  В t ;
2
2

2


2

С  c   B cos  B t  D  c   B sin  B t  q cos  В t
2
2
2
2
.
Приравняв коэффициенты при cos  B t и sin  B t в левой и правой частях полученного равенства, составим и решим систему уравнений:
q

2
2

C

,
С




q


c
B
2
2






c
B
2
2

 D  0.
D c   B  0





При решении системы мы воспользовались тем, что выражение
2
 B  0.
Таким образом, мы получим
2
c
 2  С cos  B t  D sin  B t 
Пусть  В

q
c  В
2
2
q

2
c
B
2
 cos  B t
.
, тогда  2   В cos  В t .
Следовательно, решение уравнения (9.16), удовлетворяющее
начальным условиям 
t0
 c;
   1 
где  В

q

2
c
В
2
2
d
 0
имеет вид
dt
  c cos  c t   В cos  В t
,
(9.17)
.
Угол  В является амплитудой вынужденных колебаний.
При  с   В 
c
J
, где
с 
G J
р
 частота собственных ко-
L
м
лебаний, равная частоте вынужденных, амплитуда колебаний достигает бесконечности
(9.18)
В   .
Данное явление называется резонансом и приводит к резкому
164
повышению деформации кручения и возможным поломкам коленчатого вала.
9.3 Последовательность расчета коленчатого вала на
крутильные колебания
Расчет коленчатого вала на крутильные колебания включает:
1 Приведение крутильной системы вала.
2 Определение частоты собственных крутильных колебаний приведенной системы.
3 Определение резонансной критической частоты вращения.
4 Выработку рекомендаций, устраняющих крутильные колебания.
9.3.1 Приведение крутильной системы вала
На рисунке 9.2 представлены схемы крутильной системы четырехцилиндрового двигателя автомобиля типа ВАЗ с маховиком и
эквивалентная схема, состоящая из двух масс.
Рисунок 9.2 – Приведенная система коленчатого вала (слева);
двухмассовая система коленчатого вала (справа)
При расчете крутильной системы вала учитывают массы коленчатого вала, поршней и шатунов. Приведение крутильной системы состоит из следующих этапов:
1 Вычерчивается схема коленчатого вала.
2 Определяется длина отдельных участков коленчатого вала.
Длины соответствующих участков прямолинейного вала должны
иметь крутильную жесткость, равную жесткости участков действительного вала.
3 Оцениваются моменты инерции насаженных на приведенный
вал дисков (момент инерции колена вала, шатуна и поршня), кинети165
ческая энергия которых при крутильных колебаниях должна быть
равна кинетической энергии действительной системы.
Диаметр приведенного вала равен диаметру коренной шейки
коленчатого вала. Диаметр коренной шейки примем 0,05 м, радиус
кривошипа 0,0375 м, массу поршня 0,34 кг, массу шатуна 0,5 кг.
Отношение диаметра коренной шейки к диаметру цилиндра D
(dk / D = 0,6−0,7), длины коренной шейки Lк / D = 0,6−0,7; длины шатунной шейки Lш / D = 0,5−0,8; толщины щеки Eщ / D = 0,2.
Длина одного колена вала lкол равняется (1,3−1,5)D. Принимаем
длину колена вала lкол , равной 1,315·D. При диаметре цилиндра
D = 0,076 м величина lкол = 0,1 м.
9.3.2 Определение
частоты
собственных
крутильных
колебаний приведенной системы
Для упрощения расчетов систему, состоящую из нескольких
масс, заменяем эквивалентной, состоящей из двух масс. Объединенный момент инерции должен быть равен сумме моментов инерции
приведенных масс каждого цилиндра:
J об   J i
.
(9.19)
Пусть
= 0,1 м,
l1  l 2  l 3  l 4  l кол
(9.20)
где l кол − приведенная длина колена.
Приведенная общая длина равна
l об 
J 1 l1  J 2 l 2  J 3 l 3  J 4 l 4
J1  J 2  J 3  J 4
где J 1  J 2  J 3  J 4  J Д ;
J
Д
J
Д
,
(9.21)
– момент инерции диска.
 J кол  J н .ч . ш  J п .ч ,
(9.22)
где J кол − момент инерции колен вала (в нашем примере значение
J кол = 0,01 кг·м2); J н .ч . ш − момент инерции вращающейся нижней
части шатуна
2
J н .ч . ш  m 2  R .
(9.23)
J н .ч . ш  2 / 3  0 , 5  0 , 0375
J п .ч
2
 0 , 00047
кг  м
2
.
− момент инерции от поступательно движущихся масс;
J
п .ч .
 0 ,5 m
166
j
R
2
.
(9.24)
J п .ч  0 , 5   0 , 34  1 / 3  0 , 5   0 , 0375
J
Д
2
 0 , 014
 0 , 01  0 , 00047  0 , 014  0 , 03
кг  м
2
.
кг· м2.
J об   J i  0 , 03  4  0 ,12 кг  м
2
.
Жесткость вала
G J
с1  с 2  с 3  с 4 
р
,
(9.25)
l кол
где G = 81010 Н/м2 − модуль упругости при кручении материала;
Jр= ∙dk4/32 – полярный момент инерции сечения вала, м4
dк − диаметр коренной шейки 0,05 м.
Жесткость вала представляет собой момент (Нм), который
необходимо приложить к валу, чтобы закрутить его на 10.
Общая жесткость системы, расположенной между массой маховика и объединенной массами коленчатого вала,
С об 
С об 
G J
р
р
.
(9.26)
l об
10
8  10

G J
 3 ,14  0 , 05
4
 480 000 Н  м
32  0 ,1
l об
.
Круговая частота собственных колебаний приведенной двухмассовой, одноузловой системы
 С  1,1 
С об  J об  J
J об  J
1
м

1/с ,
(9.27)
м
где J м − момент инерции маховика, 0,12 кг.м2.
 С  1,1 
С об  J об  J
J об  J
1
м

 1 ,1 
480 000  ( 0 ,12  0 ,12 )
0 ,12  0 ,12
м
 3100
1/ с .
9.3.3 Определение резонансной критической частоты вращения
Период и число колебаний двухмассовой приведенной системы
T 
 
60   С
2
1
2
C
кол/мин
с
T 
,
2  3 ,14
 0 , 002 с.
(9.28)
3100
1
,
 
60  3100
2  3 ,14
167
 29 600 кол/мин
. (9.29)
Частота вращения коленчатого вала двигателя, соответствующая резонансному режиму,
nр 
2
1
мин
,
(9.30)
z
где z – число цилиндров.
nр 
2  29 600
 14 800 мин
1
.
4
Если величина n p окажется в указанном диапазоне минимальной и максимальной частоты вращения, то в процессе работы двигателя могут возникнуть резонансные колебания, вследствие чего в коленчатом валу появятся дополнительные напряжения, опасные в отношении его прочности.
Резонансное число оборотов двигателя определяют исходя из
основного уравнения резонанса
K 
р
 C
1
,
(9.31)
где K – это порядок резонирующей моторной гармоники. Для четырехтактных двигателей значение К = 0,5;1;1,5;2;2,5;3 и т.д. Для двухтактных двигателей К = 1;2;3;4 и т.д.;

р

 np

3 ,14  14800
30
 1549 1 / c
– средняя угловая скорость
30
вращения коленчатого вала двигателя при резонансном числе оборотов n p коленчатого вала по отношению к K-й гармонике.
Для обеспечения равенства левой и правой частей уравнения
(9.31) величина К должна быть равна 9,5.
Так как двигатель работает в диапазоне n min  600 мин  1 до
(например, n max  6000 мин  1 ), то для того, чтобы К-я гармоника возбудила резонансное колебание, необходимо выполнение еще
одного условия [8, 21]:
n max
n min 
Величина
30   C
 K
1
30   C
 K
1
 n max .
(9.32)
=30·3100/(3,14·9,5) = 3120 мин-1 лежит в диа-
пазоне частот вращения коленчатого вала двигателя (600 − 6000 мин-1).
168
9.3.4 Выработка рекомендаций, устраняющих крутильные
колебания
Если резонансное число оборотов находится в зоне частот работы двигателя, то для устранения резонанса и уменьшения амплитуд
вынужденных крутильных колебаний изменяют конструкцию кривошипно-шатунного механизма или применяют гасители крутильных
колебаний.
На рисунке 9.3 показаны конструкции гасителей крутильных
колебаний, установленные на свободном конце коленчатого вала.
Маховик 1 (рисунок 9.3, а) соединен с диском 3 упругим резиновым слоем 2. При возникновении крутильных колебаний маховик 1
скручивает и раскручивает резиновый слой 2. Часть энергии возмущающих моментов поглощается внутренним трением резинового
слоя. Данная система «расстраивает» возникшие крутильные колебания, уменьшает опасную амплитуду резонанса.
а)
б)
а – с резиновым упругим слоем; б – жидкостного типа
Рисунок 9.3 – Гасители крутильных колебаний
На некоторых двигателях применяют гасители колебаний жидкостного типа (рисунок 9.3, б). В закрытом корпусе гасителя, который
жестко прикреплен к свободному концу коленчатого вала, расположен
диск (маховик). Между поверхностями вращающегося диска и корпусом демпфера имеются зазоры 0,2−2,5 мм, которые заполнены силиконовой жидкостью. Полиметилсилоксановая (силиконовая) жидкость
имеет хорошую смазывающую способность, низкую температуру застывания, малую зависимость вязкости от температуры.
169
При резонансных колебаниях скорость вращения корпуса и диска становятся различными. Диск, двигаясь относительно корпуса, создает силу жидкостного трения. Энергия крутильных колебаний снижается, что уменьшает амплитуду колебаний и устраняет резонанс.
Согласно закону Ньютона сила внутреннего трения (Н), возникающая между слоями силиконовой жидкости и диском, определится
выражением
Т    S   / х
где
,
(9.33)
 – коэффициент динамической вязкости, (Па·с);
S – площадь соприкасающихся слоёв, м2;
  /  х – градиент скорости между диском и жидкостью, 1/с.
Подводя итог, отметим следующее. Крутильные колебания коленчатого вала были оценены с использованием дифференциального
исчисления. Значение частоты вращения коленчатого вала, соответствующей резонансному числу оборотов n p =14 800 мин-1, находится
вне диапазона частот вращения двигателя. Из выражения (9.32) следует, что при частоте вращения коленчатого вала, равной 3120 мин-1
двигателя автомобиля типа ВАЗ и резонирующей моторной гармонике, соответствующей 9,5, могут возникнуть резонансные колебания. В
данном случае необходимо изменить конструкцию кривошипношатунного механизма (размеры, жесткость, массы) или применить
гаситель крутильных колебаний.
Контрольные вопросы
1. Причины возникновения крутильных колебаний коленчатых
валов двигателей.
2. Что называют колебанием, периодом, частотой, амплитудой?
3. Свободные крутильные колебания вала с одной массой.
4. Вынужденные крутильные колебания вала с одной массой.
5. Последовательность расчета вала на крутильные колебания.
6. Как определяются моменты инерции маховика, колена вала,
шатуна, поршня?
7. Что называют резонансом?
8. Устройство гасителей крутильных колебаний.
170
10 Методика
построения
дифференциальной
интегральной характеристик подачи топлива
и
10.1 Расчет цикловой подачи топлива и выбор эффективного
проходного сечения распылителя
Экономические и экологические показатели дизеля зависят от
величины и характеристики подачи топлива, согласованного движения воздушного вихря в камере сгорания и струи распыленного топлива. Для четырехтактного двигателя КамАЗ мощностью 220 кВт общее количество топлива за впрыск или цикловая подача (мм3/цикл)
определится выражением [30]:
Vц 
qе  N е1 0 0 0
i  nн   т  6 0

2 2 0  2 2 0 1 0 0 0
8  1 2 0 0  0 ,8 2  6 0
 100 м м
3
,
(10.1)
где qе – удельный эффективный расход топлива, 220 г/(кВт·ч);
Nе – эффективная номинальная мощность;
ρТ – плотность топлива 0,82 г/см3, или 820 кг/м3., 220 кВт;
i – число цилиндров 8;
nн – частота вращения вала насоса, 1200 мин-1.
Главным параметром распылителя является его эффективное
проходное сечение  F . Обычно коэффициент расхода  равен
0,6−0,8 и представляет собой отношение действительного расхода
топлива к теоретическому. Суммарная площадь сопловых отверстий F
зависит от диаметра отверстий и их количества. Величина  F для
распылителей автотракторных дизелей лежит в пределах
0,15−0,4 мм2. Для конкретного двигателя величина  F должна иметь
строго определенное значение.
Для двигателей семейства КамАЗ мощностью от 154 до 265 кВт
у топливной аппаратуры 33-02 значение  F =0,1850,205 мм2; для
33-10 – 0,2150,235 мм2; 337-20 – 0,260,28 мм2; 337-20.04 –
0,250,27 мм2.
На рисунке 10.1 приведена зависимость эффективного сечения
распылителя  F двигателя КамАЗ от подъема (хода) иглы Х [42].
Максимальный ход иглы у новых распылителей лежит в пределах
0,25−0,3 мм.
Из анализа рисунка 10.1 следует, что при подъеме иглы более
0,25 мм значение  F остается неизменным. Из этого следует, что
максимальный ход иглы не должен быть более 0,30 мм. С увеличением хода иглы возрастают ударные нагрузки на посадочный конус, что
171
может привести к его разрушению. Дополнительно создаются условия
для проникновения горячих газов из цилиндра двигателя в каналы
распылителя и образования коксовых отложений.
Для приближенного определения
эффективного проходного сечения распылителя  F автотракторных дизелей можно применить номограмму, изображенную
на рисунке 10.2. Для этого необходимо
знать требуемую цикловую подачу q ц и
продолжительность впрыскивания топлива  в . Например, для q ц  100 мм 3 и
Рисунок 10.1 – Зависимость  в  10 значение  F будет находиться в
проходного сечения распы- поле между прямыми 2 и 3 и соответстволителя от хода иглы
вать 0,21 мм2. Номограмма построена для
0
частоты вращения вала насоса 900 мин-1, максимального давления в
полости форсунки 50 МПа, а среднего – 30 МПа.
Рисунок 10.2 – Номограмма для определения µF при различных
значениях qц и φВ
Значение  F окончательно выбирается после моторных испытаний по анализу нагрузочных и скоростных характеристик дизеля.
172
Оптимальное значение  F должно соответствовать минимальному
расходу топлива и допустимой токсичности отработавших газов.
Для цикловой подачи 100 мм3 и  F  0 , 25 мм 2 продолжительность топливоподачи, согласно рисунку 10.2, будет соответствовать
9 − 100. Максимальный ход иглы примем равным 0,25 мм.
10.2 Методика
построения
дифференциальной
характеристики подачи топлива
Для построения характеристик топливоподачи необходимо
иметь осциллограммы (графики) изменения давления в канале форсунки и хода иглы распылителя. Для этого обычно используют результаты эксперимента или расчета топливной аппаратуры.
На рисунке 10.3 показано изменение давления топлива в форсунке и хода иглы распылителя в зависимости от угла поворота валика насоса. При подъеме иглы объем в полости форсунки увеличивается и давление снижается. Динамическое давление начала открытия
(подъема) иглы Рфод больше статического Рфос и зависит от массы иглы, штанги, пружины, частоты вращения валика насоса n.
Из анализа осциллограммы изменения давления топлива в форсунке виден пик снижения давления в начале подъема иглы. Уменьшение давления происходит из-за увеличения объема в полости форсунки в результате подъема иглы.
Для быстроходных автотракторных дизелей в интервале частот
вала насоса от 0 до 1500 мин-1 с достаточной для практики точностью
величина динамического давления начала подъема иглы Рфод может
быть определена по формуле
Рф од  Рф ос  1 5  n / 1 5 0 0 М П а
.
(10.2)
Статическое давление открытия иглы форсунки Рфос для автотракторных дизелей с неразделенными камерами сгорания и объемным смесеобразованием лежит в пределах 18−30 МПа, зависит от
усилия затяжки пружины и диаметра направляющей части иглы.
Давление начала посадки иглы на седло Рнп обычно меньше
статического давления начала открытия иглы и определяется по формуле
Р н п  (0 ,5  0 ,7 )  Р ф о с .
173
(10.3)
1 – изменение давления топлива в канале форсунки; 2 – изменение хода
иглы в процессе подачи топлива; 3 – отметка времени, равная 0,001 с
Рисунок 10.3 – Осциллограмма процесса топливоподачи в
распылителе форсунки
Давление конца посадки Ркп меньше давления Рнп на 30 − 50 % и
повышается с уменьшением диаметра иглы. Например, при уменьшении диаметра направляющей части иглы с 6 до 4,5 мм давление посадки иглы на седло при работе двигателя Д-440 на номинальном режиме увеличилось с 8 до 16 МПа [30]. Для снижения образования
кокса в каналах распылителя необходимо, чтобы давление топлива в
полости распылителя в период посадки иглы на седло было больше
давления газов в цилиндре дизеля.
Рассмотрим методику построения характеристик впрыскивания
топлива в камеру сгорания дизеля. Выбираем шаг расчета, например,
10, разбивая ход иглы (в нашем примере 100) на 10 участков. Применение современных компьютеров позволяет шаг расчета уменьшить
до 0,010, что обеспечит более точную форму характеристики впрыска.
В современных быстроходных дизелях с интенсивным процессом подачи топлива в камеру сгорания продолжительность впрыска составляет 8−120 поворота кулачкового вала насоса.
Секундный объемный расход (м3/с) топлива Q, вытекающего из
распылителя, определим из выражения
Q  F Т  F 
174
2  Р / 
Т
,
(10.4)
где  F – эффективное проходное сечение распылителя, м2;
 T – теоретическая скорость истечения топлива, м/с;
ΔР – среднее значение давления топлива в канале форсунки, Н/м2;
 T – плотность топлива, 820 кг/м3.
Для  F  0 , 25 мм
Q  F 
2  Р / 
Т
2
и
 P  40 МПа
 0 , 25  10
6
величина Q будет равна
2  400 00000
/ 820  0 , 00078
3
м /c
.
Для упрощения расчетов при определении Q величину  Р
можно взять как среднее значение (0,6 Рф mах) за впрыск при максимальном значении  F . При учете противодавления воздуха в конце
процесса сжатия (4−6 МПа) подача топлива уменьшается. Например,
давление топлива перед сопловыми отверстиями 60 МПа, а давление
воздуха в камере сгорания 5 МПа, величина перепада давления будет
равна 55 МПа.
Методика построения дифференциальной характеристики при
впрыске топлива без противодавления следующая. Для каждого
участка определяем среднее значение  F (рисунок 10.1) в зависимости от подъема иглы и величину среднего давления в канале распылителя форсунки (перед сопловыми отверстиями). Например, для
2
0 , 25  10  6 м 2  , значение среднего давления для
 F1  0 , 25 мм
участка подъема игла 2-3  Р  45 000 000 Н/м 2 (450 ат).
Объемное количество топлива Vц , поданного в камеру сгорания
за время впрыска tв , определяют по формуле
(10.5)
V  Q  tв .
Время впрыска tв в секундах и общая продолжительность
впрыска φв в градусах зависят от частоты вращения кулачкового вала
n в мин-1 и связаны выражением
(10.6)
 в  6  n  tв ,
откуда
tв 
в
6n

10
6  1200
 0 , 00138 с.
Время, соответствующее шагу расчета, равному одному градусу, составит 0,00138/10 = 0,000138 с. За шаг расчета (один градус поворота кулачкового вала насоса) на участке подъема иглы 2-3
(табл. 10.1) при среднем давлении топлива 45 МПа объемная подача
будет равна
10
 V  Q  t  0 ,0 0 0 0 8 2 8  0 ,0 0 0 1 3 8  1 1 4 1 0
м3/град = 11,4 мм3/град.
175
Таблица 10.1 – Определение подачи топлива на участках подъема иглы
Номер
участка
Подъем
подъема иг- иглы, мм
лы
0
0-1
1-2
2-3
3-4
4-5
5-6
6-7
7-8
8-9
9-10
10
0,0
0,05
0,15
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,17
0,05
0,0
µF, мм2
Давление
топлива,
МПа
Подача
топлива,
мм3 за 10
0,0
0,1
0,23
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,23
0,1
0,0
25
26
30
45
58
67
67
57
44
28
21
15
0,0
3,6
8,6
11,4
13
14
14
13
11
8,2
3,2
0,0
Суммарная
подача
топлива, мм3
0,0
3,6
12,2
23,6
36,6
50,6
64,6
77.6
88.6
96.8
100
100
Далее определяем значение подачи топлива за каждый градус
поворота валика насоса (еще 9 точек). Суммарное значение подачи
топлива за весь впрыск (под кривой характеристики) должно составить 100 мм3. Общая подача за впрыск называется цикловой подачей
топлива и обозначается Vц. Построенная характеристика называется
дифференциальной (рисунок 10.4). Для обеспечения высокой экономичности рабочего процесса дифференциальную характеристику желательно иметь П-образной формы [30].
Условия впрыскивания определяются моментом подачи топлива
на такте сжатия до ВМТ поршня, скоростью поступления топлива в
цилиндр, динамикой струй и дисперсностью (мелкостью) распыливания, а также областью камеры сгорания, куда поступает топливо [42].
Между этими условиями имеется связь, влияющая на экономичность,
эксплуатационные характеристики и токсичность отработавших газов.
При оптимизации показателей рабочего процесса дизеля изменение
одного из условий требует корректировки других.
Требуемая скорость поступления топлива оценивается дифференциальной характеристикой его впрыскивания. Она представляет
собой количество топлива, поступившее в цилиндр дизеля в единицу
времени или за градус поворота кулачкового вала насоса. По ее анализу можно судить о продолжительности впрыскивания и скорости
(интенсивности) поступления топлива в каждый момент впрыскива-
176
ния. При экспериментальном снятии дифференциальной характеристики и наличии характеристики распылителя можно решить обратную задачу – определить давление в распылителе.
Рисунок 10.4 – Дифференциальная характеристика впрыска
Дифференциальная характеристика [2] представляет собой
расход топлива, поступивший из распылителя форсунки в любой момент времени
Qф 
где
dV
впр
dV
впр
,
(10.7)
dt
− скорость подачи топлива из распылителя форсунки, мм3/с
dt
или мм3/град.
Количество топлива за конкретный промежуток времени определяют по формуле
(10.8)
 Vi  Q i  ti ,
 V i   Fi   T  t i   Fi 
i
2   Pi  T  t i ,
где ΔV− подача топлива (мм3) за время t i , соответствующее одному
градусу поворота вала насоса; µFi − эффективное проходное сечение
распылителя для определенного хода (подъема) иглы (см. рисунок 10.1); ΔPi − средняя величина давления топлива (Па) перед
сопловыми отверстиями на различных участках подъема иглы
(см. рисунок 10.3).
По данной характеристике определяют количество топлива
3
(мм ), поданного на любом участке подачи топлива (в зависимости от
хода иглы).
177
10.3 Расчет при помощи современной вычислительной
техники дифференциальной характеристики впрыскивания
Расчет на ЭВМ значительно снижает время, связанное с определением параметров дифференциальной характеристики впрыска. Но
последовательность расчета и формулы остаются без изменения. В
таблице 10.2 приведены результаты расчета топливной аппаратуры
дизеля КамАЗ -740 с использованием ЭВМ на режиме номинальной
мощности. Частота вращения кулачкового вала насоса равнялась
1300 мин-1, давление открытия иглы (статическое) 22 МПа, цикловая
подача – 80 мм3.
Дифференциальная характеристика (скорость подачи топлива в
3
мм за один градус поворота валика насоса) получается расчетным путем на ЭВМ. Программа позволяет определить величину давления за
сопловыми отверстиями, что очень важно при расчете характеристик
распыливания топлива. Дополнительно программа может определить
величину давления в штуцере насоса, ход нагнетательного клапана,
значение давления прямой и отраженной волн, нагрузку на привод
плунжерной пары кулачок  толкатель.
Таблица 10.2 – Результаты расчета на ЭВМ топливной аппаратуры
дизеля КамАЗ -740
Угол
поворота
кулачкового вала
Подъем
иглы, мм
µF, мм2
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
0,0
0,0
0,0
0,008
0,232
0,300
0,300
0,300
0,300
0,300
0,298
0,075
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,025
0,35
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,39
0,05
0,0
0,0
Давление
Давление
Подача
топлива
топлива перед
топлива,
в форсунке,
сопловыми
мм3 за 10
МПа
отверстиями, МПа
6,35
11,28
19,42
31,52
30,45
39,63
50,26
51,76
43,47
29,30
11,99
10,42
13,76
10,07
178
0,0
0,0
0,0
0,588
13,80
10,72
12,10
12,31
11,31
9,32
3,50
0,20
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,11
58,59
35,34
45,07
46,65
39,38
26,71
33,62
3,78
0,0
0,0
10.4 Формы дифференциальной характеристики впрыскивания
Экономичность и токсичность двигателя в значительной степени зависят от формы дифференциальной характеристики впрыска.
Общие требования для выбора дифференциальной характеристики
впрыскивания могут быть сформулированы следующим образом:
1 В начале впрыска скорость подачи топлива в цилиндр должна
быть небольшой. Впрыск малой порции топлива до основной порции
уменьшит период задержки самовоспламенения топлива и снизит
жесткость процесса сгорания.
2 Основная масса топлива должна подаваться с возрастающей
скоростью, обеспечивая достижение распыленному топливу наиболее
удаленных точек камеры сгорания, улучшая использование кислорода
воздуха.
3 Впрыск топлива должен заканчиваться резко.
4 Процесс топливоподачи должен быть согласован с движением
воздушного заряда.
5 Для выполнения указанных выше условий необходимо управление интенсивностью подачи топлива и интенсивностью воздушного
вихря или создание интеллектуальной (умной) системы топливоподачи и смесеобразования.
На рисунке 10.5 представлена форсунка с электромагнитным
управлением иглы.
Применение форсунок с электронным управлением (см. рисунок 10.5) позволяет получать характеристики различной формы − ступенчатой, многофазной (многоточечной). Ступенчатая характеристика
применяется для снижения жесткости сгорания топлива. Под средней
жесткостью понимают изменение давления за градус поворота коленчатого вала на участке резкого повышения давления. Считается,
что при повышении давления на 0,2−0,5 МПа за один градус поворота
коленчатого вала двигатель дизельный работает мягко, при повышении давления до 0,6−0,9 МПа – жестко, а при повышении давления
более 0,9 МПа – очень жестко.
При ранней подаче в цилиндр малой (запальной) порции топлива (5−10 %) оно самовоспламеняется и горит, повышая температуру в
камере сгорания. В этот момент подается основная порция топлива,
которая воспламеняется без задержки и сгорает более эффективно с
малой жесткостью.
В последнее время вместо механических пружин стали применять пьезокварцевые. При подаче высокого напряжения на столбик
пьезокварцевых пластин его длина изменяется, что позволяет осуществлять несколько подъемов и посадок иглы форсунки за время
179
подачи топлива в камеру сгорания.
1 – магистраль обратного слива топлива; 2 – штекер электрического
подключения, 3 – электромагнитный клапан; 4 – магистраль высокого
давления; 5 – шарик клапана; 6 – дроссельное отверстие отвода топлива; 7 – дроссельное отверстие подачи топлива; 8 – камера управляющего клапана; 9 – плунжер управления иглой распылителя;
10 – канал подвода топлива к распылителю; 11 – игла распылителя
Рисунок 10.5 – Форсунка с электромагнитным управлением иглы
(а – состояние покоя,
b – состояние подачи топлива)
Время срабатывания пьезоэлектрической форсунки – менее
0,0001 с. В ней используется пакет из нескольких сотен миниатюрных
кристаллов, встроенных в корпус форсунки. Пакет пьезометрических
кристаллов передает усилие на иглу без трения. Повышение быстродействия дает возможность уменьшить интервал между последовательными впрысками и повысить управляемость процесса впрыска и
сгорания топлива. Управление подачей топлива позволяет снизить
расход топлива, шум двигателя и токсичность отработавших газов.
На рисунке 10, б показаны различные формы дифференциальных характеристик впрыска. Ступенчатую характеристику (рисунок
180
10.6, а) можно получить с гидромеханическим управлением иглы. В
корпусе форсунки имеются две пружины с различной жесткостью.
Форсунка имеет устройство, ограничивающее ход иглы в интервале
0 − 0,1 и 0,1−0,3 мм. В первом интервале срабатывает одна пружина, а
во втором – две.
Для получения двухфазной подачи топлива желательно применение электрогидравлического управления движением иглы (рисунок 10.6, б). Для многофазных характеристик необходимы форсунки
с электронным или пьезокварцевым управлением иглы (рисунок 10.6, в и 10.6, г).
Рисунок 10.6 – Ступенчатые и многофазные дифференциальные
характеристики впрыскивания топлива
Энергию топлива в виде давления накапливают в аккумуляторе
(топливная рампа), который соединяется с форсунками при помощи
трубопроводов высокого давления. В аккумуляторе поддерживается
постоянное давление, например 150 МПа. При открытии иглы распылителя форсунки (например, при помощи электромагнита) необходимая порция распыленного топлива подается в камеру сгорания
(см. рисунок 10.5). Такая подача топлива реализована в системе
Common Rail (аккумулятор высокого давления) [39]. Насос имеет три
плунжера малого диаметра. Плунжеры расположены радиально по
окружности через 1200 . Три рабочих хода каждого плунжера за один
оборот позволяют обеспечить незначительную и равномерную
нагрузку на вал привода с эксцентриковыми кулачками.
Топливо, под высоким постоянным давлением, поступает в форсунку через штуцер 4 и далее в канал 10, дроссельное отверстие 7 и
камеру управления клапана 8. Камера управления при открытом клапане 5, которым управляет сердечник электромагнита, соединяется с
магистралью 1 обратного слива топлива.
При закрытом дроссельном отверстии 6 силы давления топлива,
действующие на торец плунжера 9, превосходят силы давления топлива, действующие на дифференциальную площадку иглы (сечение
181
плунжера больше сечения иглы). В результате большей силы со стороны плунжера управления 9 игла 10 прижимается к седлу, закрывает
проход топлива к сопловым отверстиям и подача топлива в камеру
сгорания не происходит. При подаче тока в обмотку электромагнитного клапана его сердечник движется вверх и открывает отверстие 6
для отвода топлива. И давление в камере 8 резко падает. Сила, действующая на торец плунжера 9 управления иглой, уменьшается, и под
действием высокого давления игла распылителя поднимается вверх,
открывая путь к сопловым отверстиям. Топливо в распыленном виде
поступает в камеру сгорания. Продолжительность впрыскивания и
вид дифференциальной характеристики зависят от времени и частоты
открытия отверстия 6 отвода топлива.
Аккумуляторная топливная система Common Rail фирмы Denso
многофункциональная. Она регулирует подачу топлива, соотношение
воздух  топливо, управляет турбокомпрессором с переменной геометрией, рециркуляцией выпускных газов.
Для полного сгорания топлива система Denso может осуществлять пять впрыскиваний за один цикл. Два предварительных, два
основных и пятый − служит для снижения выбросов твердых частиц.
Для топливных систем с цикловой подачей до 100 мм3 применяют распылитель с шестью сопловыми отверстиями и диаметром
0,1 мм. Диаметр направляющей части иглы равен 4 мм.
Главным недостатком аккумуляторных систем является то, что
при зависании (защемлении) иглы или выходе из строя электромагнитного клапана распылитель становится открытым и подача топлива
становится постоянной и неуправляемой. В цилиндр поступает большое количество топлива, частота вращения двигателя резко увеличивается, что может привести к аварийной ситуации.
10.5 Построение интегральной характеристики впрыскивания
Интегральная характеристика впрыска (суммарная) определяет количество топлива, поступившего из распылителя форсунки от
начала впрыска (н.в.) до любого его момента подачи. Общее количество поданного топлива за цикл называют цикловой подачей.
Интегральная характеристика (рисунок 10.7) получается путем
сложения предыдущей подачи топлива с последующей (см.
табл. 10.1). На характеристике идет накопление подачи топлива за
впрыск. Данная характеристика получается интегрированием дифференциальной характеристики. По интегральной характеристике определяют долю поданного и выгоревшего топлива на различных участках процесса подачи топлива, а также температуру и давление газов в
цилиндре.
Интегральную характеристику определяют по формуле [39]:
182
к
V 
t
 f ( к )  d  к 
 н .в
 f ( t )  dt
.
(10.9)
t н. в
Значение цикловой подачи проверяют на топливном стенде, к
которому крепится насос высокого давления. Форсунки устанавливают в специальные гнёзда стенда и соединяются с секциями насоса
трубопроводами высокого давления. Впрыск топлива происходит без
противодавления. Завод-изготовитель, разрабатывая инструкции по
диагностике и обслуживанию топливной аппаратуры, учитывает это.
Например, подача топлива за цикл на номинальном режиме работы
двигателя составляет 95 мм3, а на испытательном стенде – 100 мм3.
Значение цикловой подачи на стенде должно быть на 5–10 % больше,
чем на двигателе [30].
Рисунок10.7 – Интегральная характеристика впрыска
Контрольные вопросы
1. Что называют цикловой подачей топлива и как она определяется?
2. Что представляют собой характеристики впрыска топлива?
3. Что называют интегральной и дифференциальной характеристиками впрыска?
4. Что называют эффективным проходным сечением распылителя и его выбор по номограмме?
5. Последовательность расчета дифференциальной характеристики подачи топлива.
6. Последовательность расчета интегральной характеристики.
7. Для какой цели используют двухфазные и многофазные характеристики впрыска? Принцип работы форсунки с пьезокварцевым
управлением.
183
11 Расчет параметров струи дизельного топлива
11.1 Расчет мелкости распыливания жидкого топлива
В процессе подачи жидкого топлива в камеру сгорания двигателя внутреннего сгорания определяют расход, скорость истечения,
длину струи (факела) и мелкость распыливания. На рисунке 11.1 показан съемный сопловый наконечник форсунки двигателя, а в таблице
11.1 приведены его основные размеры.
Топливо под высоким давлением подается в центральный канал
и к сопловым отверстиям. Коэффициент расхода  (отношение действительного расхода к теоретическому расходу) обычно равен
0,6−0,8.
Таблица 11.1 – Основные размеры соплового наконечника
D, мм D1, мм
12
8
l, мм
l1, мм
d, мм
d1, мм
14,5
6,5
1,5
0,3
Распылители автомобильных и тракторных дизелей имеют распылители, выполненные совместно с сопловым наконечником и меньшим числом сопловых отверстий.
Подача жидкого топлива к сопловым
отверстиям производится под высоким
давлением, обеспечивая требуемую мелкость распыливания и путь факела. Площадь поверхности струи распыленного
топлива зависит от степени дробления
струи на капли и их размеров. Обычно распыленное топливо представляется в виде
совокупности мелких шариков с радиусом
R, площадью поверхности S k  4  R 2 и
объёмом V k 
4
 R
3
Число
отверстий
8
Рисунок 11.1 – Сопловый
наконечник распылителя
форсунки
(см. приложение В).
3
При диаметре капель d k  2 R площадь и объём будут равны
 dk
3
Sk   d
2
k
,
Vk 
.
(11.1)
6
При оценке мелкости распыливания топлива пользуются различными средними диаметрами – средним арифметическим, средним
184
объемным, а также средним диаметром по Заутеру, который пропорционален отношению суммарного объёма всех капель к их суммарной
поверхности [3].
Средний диаметр по Заутеру
3
d 32 
где
 Ni  di
 Ni d
2
i
,
(11.2)
− число капель с данным наружным диаметром;
d i – наружный диаметр капель данного размера.
Предположим, что факел распыленного топлива состоит из 1000
капель. Наружный диаметр 300 капель равен 20 мкм, а 700 капель –
10 мкм. Средний диаметр капель распыленного топлива по Заутеру
составит 16 мкм.
Средний диаметр капель по Заутеру подсчитывают из условия
равенства поверхностей и объемов (масс) капель истинных и средних
размеров. Он позволяет оценить общую поверхность распыленного
топлива. Качество распыливания по среднему диаметру Заутера характеризует диаметр капель однородного тумана, который для данного объема жидкости образовал бы ту же поверхность испарения, что и
действительный туман [3]. Уменьшение средних диаметров капель
указывает на улучшение мелкости распыливания топлива.
Анализ работ по физическим процессам, вызывающим распад
струи жидкости на капли [3, 20, 23, 26, 48], показал, что тонкость распыливания увеличивается: при уменьшении вязкости и коэффициента
поверхностного натяжения, при увеличении перепада давления в
сопловом отверстии, при увеличении давления среды, при уменьшении диаметра сопла.
Струя жидкости разделяется на капли в основном под воздействием капиллярного натяжения, колебательных явлений и скорости
истечения, которая зависит от давления и диаметра соплового отверстия форсунки.
Диапазон, в котором проявляется действие капиллярного натяжения, соответствует скорости истечения порядка 1 м/с, колебательных явлений – 10 м/с. В диапазоне скорости порядка 100 м/с струя
жидкости подвергается распыливанию, образуя туман за соплом форсунки.
Распыливание топлива зависит от числа Вебера и Рейнольдса.
Безразмерное число Вебера устанавливает связь между тремя параметрами, влияющими на мелкость распыливания жидкости, и может
быть найдено из выражения
Ni
185
We 
P  dc

,
(11.3)
где ΔP – перепад давления (Па) в сопловом отверстии и среды, куда
производится впрыск;
dc – диаметр соплового отверстия, м;
 – коэффициент поверхностного натяжения жидкости, Н/м.
У жидкостей величина  (Н/м) имеет следующие значения: вода – 0,0728; нефть – 0,026; дизельное топливо – 0,029; бензин – 0,022.
Число Рейнольдса, или режим движения, зависит от средней
скорости движения жидкости  (м/с), диаметра соплового отверстия dc (м), кинематической вязкости жидкости ν (м2/с) и определяется выражением
Re 
 dc
.
(11.4)
v
Динамическая вязкость  (Па∙с), кинематическая вязкость ν
(м2/с) и плотность вещества  (кг/м3) связаны выражением
 
v

.
(11.5)
Одним из основных законов капиллярных явлений, влияющих
на мелкость распыливания жидкости, является закон Лапласа, согласно которому разность гидростатических давлений ΔРГ с обеих сторон
поверхности раздела жидкости и газа равна произведению поверхностного натяжения на её среднюю кривизну
 PГ  P1  P2    E
,
(11.6)
где Р1 и Р2 – давление с вогнутой и выпуклой сторон поверхности,
Е – средняя кривизна,
E 
1

R1
1

R2
1
, здесь R1 и R2 – радиусы
2R
кривизны двух перпендикулярных нормальных сечений поверхности;
R – средний радиус кривизны. Для соплового отверстия d c  2 R , следовательно,
R 
dc
 E 
2
1

2R
1
dc
  PГ   
1
,
или
dc
 PГ  d c  
.
Безразмерный критерий Лапласа связывает четыре параметра,
влияющие на мелкость распыливания жидкости
LP 
 ж  dc 
T
186
,
(11.7)
где
 ж – плотность жидкости, кг/м3;
dc – диаметр соплового отверстия, м;
 – коэффициент поверхностного натяжения, Н/м;
 Т – коэффициент динамической вязкости топлива, Па∙с.
Значительное влияние на распыливание топлива оказывает величина скорости, с которой жидкость вытекает из соплового отверстия. Обычно результаты экспериментов приводят к критериальной
форме.
Как показали многочисленные эксперименты, величина скорости вытекающего топлива  Т, при которой начинается распад непосредственно у соплового отверстия, зависит от ряда факторов [3]:
Т  f  T ;  в ;  T ;  в ;  ; d c ,
где
(11.8)
 T ,  в – соответственно плотность топлива и воздуха;
 T ;  в – коэффициенты динамической вязкости топлива и воздуха;
 – поверхностное натяжение топлива;
– диаметр соплового отверстия.
Для придания уравнению безразмерного вида воспользуемся
масштабами протяженности L, времени Т и массы М. Выберем эти
масштабы так, чтобы
dc
М
T 
L
3
 1;
 
M L
2
d c  L  1.
 1;
(11.9)
T L
Тогда
L 
1
M 
;
dc
1
;
dc  T
3
T 

1, 5
dc
0 ,5
 T
0 ,5
(11.10)
.
После приведения к безразмерной форме функциональное уравнение (10.8) примет вид [3]:
Т
T  dc


 f


T
T  dc 
;
в
Т
;
в 
Т
.


(11.11)
Введем обозначения
T   T  d c
2
We 

;
Lp 
T  dc 
T
2
; k

в
Т
; k

в
Т
. (11.12)
На основании обработки экспериментальных результатов и теоретических предположений А.С. Лышевский [26] получил зависимость, позволяющую определять средние диаметры капель при
впрыске. Так, для среднего диаметра капель по Заутеру была получена
формула
187
d 32  d c  2 , 68    k  We

 0 , 266
Lp
 0 , 073
.
(11.13)
Пример 11.1 Определить диаметр сопловых отверстий распылителя для подачи дизельного топлива в камеру сгорания под средним постоянным давлением 30 МПа. Максимальное давление в полости форсунки 50 МПа. Плотность дизельного топлива при 20 0С равна
850 кг/м3.
В качестве примера определим расчетным путем суммарное
значение проходного сечения сопловых отверстий распылителей, их
число и диаметр для дизеля семейства КамАЗ.
Для режима номинальной мощности цикловую подачу для
дизеля КамАЗ определим по формуле
Vц 
qе  N
е
 1000
i  n н   т  60

210  190  1000
8  1100  0 , 85  60
 90 мм
3
,
(11.14)
где qе – удельный эффективный расход топлива, 210 г/(кВт·ч);
Nе – эффективная номинальная мощность, 190 кВт;
I – число цилиндров, 8;
nн – частота вращения вала насоса, 1100 мин-1;
ρТ – плотность топлива, 0,85 г/см3, или 850 кг/м3.
Главным параметром распылителя является его эффективное
проходное сечение  F . Суммарная площадь сопловых отверстий F
зависит от диаметра отверстий и их количества. Величина  F для
распылителей автотракторных дизелей соответствует 0,15−0,4 мм2.
Для двигателей семейства КамАЗ мощностью от 154 до 265 кВт
значение  F лежит в пределах 0,185−0,27 мм2.
Определим теоретическую скорость истечения дизельного топлива через сопловые отверстия:
2 Р
Т 
Т
,
(11.15)
где ΔР – среднее давление топлива перед сопловыми отверстиями.
265 м/с.
Действительная максимальная скорость, при которой жидкость
вытекает из сопловых отверстий,
Т 
2  300  10
5
/ 850 
 Д   Т    265  0 , 7  185 м/с ,
где 
– коэффициент расхода.
Объемный расход топлива Q из распылителя
 0 ,7
188
(м3/с) можно
определить из выражения
2 Р
Q   F Т   F 
где 
Т
,
(11.16)
– эффективное проходное сечение распылителя, м2;
 T – теоретическая скорость истечения топлива, м/с;
ΔР – среднее значение давления топлива перед сопловыми
отверстиями, Па; ρТ – плотность топлива, кг/м3.
При ΔР = 30·106 Па и ρТ = 850 кг/м3 значение  T = 265 м/c.
Объемный расход топлива можно определить по количеству
топлива, поданного в камеру сгорания (V= qц) за время впрыска t :
F
Q 
V
.
(11.17)
t
Время впрыска t (с) и продолжительность впрыска  (град) зависят от частоты вращения кулачкового вала n (мин-1) и связаны выражением
  6 n t.
(11.18)
Откуда
t 

6n

10
 0 , 0015 с.
6  1100
В современных быстроходных дизелях с интенсивным процессом подачи топлива в камеру сгорания продолжительность впрыска
составляет 10 − 120 поворота кулачкового вала насоса.
Величина действительного объёмного расхода топлива через
форсунку составит
90
Q 
3
 60 000 мм
/ с  0 , 00006
3
м /с
.
0 , 0015
Откуда
 F 
Q
2 Р
,
(11.19)
Т
 F 
0 , 00006
 0 , 0000002
м
2
 0 , 2 мм
2
.
265
При величине коэффициента расхода, равного 0,7, суммарная
площадь сопловых отверстий составит 0,28 мм2. При числе сопловых
отверстий 4 площадь сечения одного сопла Fc составит 0,07 мм2.
Зная площадь соплового отверстия, определим его диаметр dс.
189
4  Fc
dc 
4  0 , 07


 0 , 30 мм .
(11.20)
3 ,14
Пример 11.2 Определить средний диаметр капель в процессе
распыливания дизельного топлива, вытекающего из соплового отверстия диаметром 0,3 мм.
Коэффициент поверхностного натяжения при 20 0С дизельного
топлива 0,029 Н/м. Действительная скорость истечения жидкости из
соплового отверстия равна 185 м/с. Плотность топлива при 20 оС
850 кг/м3.
По формуле (11.12) находим критерий Вебера
 Д  Т  dc
2
We 


185
2
 850  0 , 0003
 300 943
.
0 , 029
Для нахождения критерия Лапласа определим коэффициент динамической вязкости. Кинематическая вязкость дизельного топлива
при 20 0С составляет 4∙10-6 м2/с. При плотности 850 кг/м3 динамическая вязкость, согласно выражению (11.5), составит 0,0034 Н∙с/м2. По
формуле (11.12) определим критерий Лапласа
Lp 
T  dc 
T
2

850  0 , 0003  0 , 029
0 , 0034
2
 640
.
Определим критерий плотности [выражение (11.12)], учитывая,
что впрыск топлива производится в среду с противодавлением, равным 5 МПа. При температуре воздуха в конце такта сжатия 800 К
плотность воздуха составит 21,6 кг/м3.
k 
21 , 6
 0 , 025
.
850
По формуле (11.13) определим средний диаметр капель распыленного топлива
d 32  d c  2 , 68    к  We
 0 , 0003  2 , 68   0 , 025  300943

 0 , 266

 0 , 266
 640
 LР
 0 , 073
 0 , 073
=
 0 , 00003 м  30 мкм
.
11.2 Определение формы распыленного топливного факела
при впрыске в неподвижную среду
На рисунке 11.2 показан факел распыленного топлива,
где Lф – длина факела, Вф – ширина факела,  ф – угол конуса факела.
Расчетную длину факела от соплового отверстия до лидирую190
щих капель можно определить из выражения [26]:
LФ
d c   Д 



1, 2  d c




0 ,5

We
0 ,105
M
1, 7  ρ к
0 , 08
х
,
0 ,5
(11.21)
где dc – диаметр соплового отверстия распылителя, м;
 Д – действительная скорость истечения топлива из сопла, м/с;
 – время движения факела из распылителя, с;
We – критерий Вебера (формула (11.12));
Мх – критерий Маха (отношение скорости потока жидкости к скорости звука);
 k – критерий плотности (отношение плотности воздуха к плотности топлива).
I – скорость капель в поперечном сечении факела; II  распределение топлива в поперечных сечениях факела;
1  внешние слои факела; 2 – внутренние слои факела
Рисунок 11.2 – Схема факела топлива
Пример 11.3 Определить путь LФ, пройденный факелом за время впрыска, равного 0,0015 с.
Диаметр сопла dc = 0,3 мм, действительная скорость вытекающего топлива из сопла  Д = 185 м/с, критерий Вебера 300 943, критерий Маха 0,54, критерий плотности  k = 0,025.
LФ
0 , 0003  185  0 , 0015 



1, 2 
0 , 0003

0 ,5

300943
0 ,105
 0 , 54
1 , 7  0 , 025
0 ,5
0 , 08
 0 ,1 м
.
Угол конуса факела струи впрыскиваемого топлива зависит от
турбулентности пульсаций жидкости в струе, воздуха в объеме факела
и находится по формуле А.С. Лышевского [26]:
191
 Ф  1 , 26 
We
Lp
где Wе, LР,
k
k 
0 , 32
0 , 004 
1 
,
1,8
Э


 0 , 07
(11.22)
– критерии Вебера, Лапласа и плотности;
Э 


2
Т  dc
3
.
Пройденный путь факела распыленного топлива Lф зависит от
времени истечения топлива из сопла  и действительной средней скорости струи  стр [48]:
(11.23)
L Ф     стр .
Объемный расход жидкости через одну форсунку (м3/с)
Q Ф  f   стр
.
(11.24)
Объем топлива VT (м3), поданный через сопловое отверстие за
текущее время  T (с), определяется из выражения
VT  Q Ф   Т
.
(11.25)
 dk
3
Если известен объем капли
Vk 
и текущий объем распы-
6
ленного топлива VТ за время  T , то текущее число образованных капель можно найти по формуле
nT 
VT
.
(11.26)
Vk
При известной площади поверхности одной капли S k    d k2
текущую поверхность раздробленной части струи, образованной за
время  T , определяют из выражения
S T  nT  S k .
(11.27)
Общая поверхность струи распыленной жидкости
S0 
V0  S k
Vk
 nk  S k
,
(11.28)
где Vo – полный объем (м3) распыленной жидкости, поданный через
сопловое отверстие в камеру сгорания; nк – общее число капель в факеле распыленного топлива.
192
Пример 11.4 Определить общую поверхность распыленного
топлива и путь, пройденный факелом.
Решение. Пусть за время впрыска, равного 0,0015 с, из одного
соплового отверстия вытекает 22,5 мм3 дизельного топлива плотностью 850 кг/м3. Диаметр соплового отверстия 0,3 мм.
При среднем диаметре капли в 30 мкм, или 0,03 мм, ее объём
составит
Vk 
3 ,14  0 , 03
3
 0 , 000014
мм
3
, а количество капель nк в
6
объеме распыленного топлива одного сопла будет приближенно равно
1 600 000  22 , 5 / 0 , 000014  . При площади поверхности одной капли
общая поверхность распыленного топлива S 0 составит  4480 мм2 (160 000·0,0028). Общая поверхность, создаваемая всеми соплами, составит (4480·4 = 17 920 мм2).
При скорости вытекающего топлива 185 м/с без противодавления за время 0,0015 с факел пройдет путь
S k  3 ,14  0 , 03
2
 0 , 0028
мм
2
L Ф     стр  0 , 0015  185  0 , 28 м
.
В данном разделе приведены расчетные формулы, позволяющие
определять эффективное проходное сечение распылителя, число и
диаметр сопловых отверстий, мелкость распыливания (средний диаметр капель), пройденный путь факела, величину его конуса, количество капель, общую поверхность распыленной жидкости, а также даны примеры расчетов.
Контрольные вопросы
1. Назначение сопловых отверстий распылителя форсунки.
2. Последовательность расчета по определению диаметра соплового отверстия.
3. Что называют мелкостью (дисперстностью) распыливания
топлива?
4. Что представляет собой средний диаметр капель распыленного топлива по Заутеру?
5. Что называют дальнобойностью факела?
6. Как определяется общее число капель распыленного топлива?
7. Для какой цели определяют поверхность распыленного
топлива?
193
12 Расчет центробежного компрессора и центростремительной
турбины
12.1 Методика расчёта центробежного компрессора cрадиальными лопатками
Главное назначение центробежного компрессора – обеспечение
двигателя внутреннего сгорания на всех режимах работы необходимым количеством воздуха (кислородом), способствуя полному сгоранию топлива при минимальном удельном расходе и низкой токсичности выхлопных газов. Двигатель форсируется за счет увеличения
плотности воздуха, нагнетаемого в цилиндр, и повышения подачи
топлива.
В современных двигателях для повышения плотности воздуха
применяют преимущественно центробежные компрессоры обычно с
радиальными лопатками. Компрессор устанавливается на одном валу
с газовой турбиной, такой агрегат получил название «турбокомпрессор». Отработавшие газы поступают на колесо турбины под переменным (импульсно) или постоянным (изобарно) давлением. В настоящем пункте расчеты выполнены для изобарной турбины.
На рисунке 12.1 показан вид турбокомпрессора [44]. В левой части изображен разрез компрессора, а в правой – турбины. Колеса компрессора и турбины расположены жестко на одном валу. Смазка подшипника скольжения вала производится под давлением от системы
смазки двигателя. Охлаждение турбокомпрессора осуществляется потоком масла и циркулирующей жидкостью из системы охлаждения
двигателя.
При расчете компрессора определяют требуемое количество
воздуха для двигателя, подачу воздуха одним компрессором (если их
несколько), степень повышения давления, прототип, наружный диаметр колеса, частоту вращения, общую работу, затраченную на впуск,
сжатие и нагнетание воздуха, изменение температуры и давления в
каналах компрессора и коэффициент полезного действия (КПД).
Прототип – образец изделия, явившийся основой или примером
для разработки нового изделия, улучшенного с исходным образцом.
Аналог изделия – изделие, сходное по каким-либо однородным характеристикам.
194
5
4
6
3
7
2
1
8
1
0
9
1 – вход воздуха в компрессор; 2 – рабочее колесо компрессора; 3 – диффузор; 4 – спиральная камера (воздухосборник, улитка с выходом сжатого
воздуха из компрессора); 5 – узел подшипника; 6 – улитка турбины;
7 – рабочее колесо турбины; 8 – выход газов из турбины; 9 – корпус
турбины; 10 – вход в турбину отработавших газов двигателя
Рисунок 12.1 – Разрез турбокомпрессора
12.1.1 Требуемая массовая подача воздуха компрессором (кг/с)
в двигатель определяется по формуле
М
Д

  L0  g e  N e  
,
(12.1)
3600
где  – коэффициент избытка воздуха (1,6−2,0) для дизеля; L0 – теоретическое количество воздуха, необходимое для сгорания 1кг топлива (15 кг); ge – удельный расход топлива, кг/(кВтч) (0,18−0,22);
Ne – мощность двигателя, кВт;  – коэффициент продувки (1,1−1,2).
12.1.2 С учетом выбранного числа компрессоров ik необходимая
подача воздуха одним компрессором находится по формуле
М
К

М
Д
.
(12.2)
iк
Для рядных двигателей обычно устанавливают один компрес195
сор, для V – образных – два.
12.1.3 Определим среднее эффективное давление Ре. Для четырехтактного двигателя эффективная мощность определяется выражением
Ne 
Pe  V h  i  n
,
(12.3)
120
где Vh – рабочий объем цилиндра, л;
i – число цилиндров;
n – частота вращения коленчатого вала, мин-1.
После преобразования выражения (12.3) получим (МПа)
Pe 
N e  120
Vh  i  n
.
12.1.4 Значение давления воздуха на выходе из компрессора
для четырехтактных двигателей определяем из соотношения
Pk   0 ,15  0 ,18  Pe ,
для двухтактных двигателей
(12.4)
Pk   0 , 2  0 , 28  Pe .
Степень повышения давления в компрессоре
k 
Pk
,
P0
где Ро – давление на входе в компрессор (атмосферное давление).
Зная πк и Мk, по графику полей характеристик турбокомпрессоров (πк – расход воздуха) (рисунок 12.2) выбираем прототип компрессора. При выборе прототипа важным является определение
наружного диаметра колеса компрессора.
Рисунок 12.2 – Поля характеристик турбокомпрессоров
(  к – расход воздуха Мк)
196
Выбор диаметра колес компрессора и турбины необходим для
начала расчета турбокомпрессора. В процессе расчета уточняются
размеры колес, диффузоров, спиральных камер (улиток), КПД и делается выбор требуемой марки турбокомпрессора и заводаизготовителя.
Необходимо помнить, что колесо при меньшем диаметре имеет
меньшую массу и менее инерционно (быстрее реагирует на изменение
нагрузки), но увеличивает потери энергии в результате уменьшения
проходных сечений каналов.
Диаметр колеса компрессора указан в обозначении турбокомпрессора (ТКР-7 − турбокомпрессор с радиальной центростремительной турбиной и центробежным компрессором с наружным диаметром
колеса 7 см).
Согласно ГОСТ 9658-81 за нормальные приняты наружные диаметры колес, равные 5,5; 7; 8,5; 11; 14; 18; 23 см. Центробежные компрессоры по конструктивному исполнению бывают низкого давления
(Н) до 0,19 МПа, среднего (С) 0,19–0,25 МПа и высокого (В), более
0,25 МПа (давление абсолютное).
На рисунке 12.3 приведена схема проточной части турбокомпрессора, а на рисунке 12.4 показано изменение параметров воздуха
при его прохождении по различным сечениям компрессора.
1 – рабочее колесо; 2 – диффузор; 3 – улитка
197
Рисунок 12.3 – Схема проточной части центробежного компрессора
198
Рисунок 12.4 – Изменение скорости С, давления Р и
температуры Т в различных сечениях турбокомпрессора
Воздух поступает во входной патрубок компрессора (сечение 0)
со скоростью Со, давлением Ро и температурой То. Величина скорости
Со зависит от площади входного патрубка, средней скорости поршня и
его площади. Определяется из уравнения постоянства расходов. При
входе в колесо (сечение 1) скорость С1 увеличивается по причине
уменьшения площади (из-за наличия лопаток). Давление и температура незначительно снижаются. Между сечениями 1 и 2 происходит работа над газом с целью его уплотнения. Скорость С2, температура Т2 и
давление Р2 резко возрастают. В результате расширения каналов диффузора (сечение 2–3) и улитки (сечение 3–4) скорость воздуха снижается, а температура и давление растут. Давление Р4 есть давление на
выходе из компрессора Рк .
Расчет ступени компрессора начинают с определения массового
расхода воздуха, проходящего через его каналы. Проточной частью
компрессора или турбины называют систему устройств, по которым
движется газ. Скорость газа в проточной части установок изменяется
путем геометрического воздействия – изменением площади поперечного сечения потока по его длине. В компрессоре энергия к воздуху подводится в рабочем колесе (подвод технической или располагаемой работы путем вращения колеса), в других каналах она только
преобразуется. Расчет компрессора выполняют в следующей последовательности:
Сначала определяют скорость воздуха, затем его температуру, давление и плотность (C→T→P→ρ).
Зная подачу воздуха компрессором и поперечное сечение каналов компрессора, находится средняя скорость воздуха (при необходимости потери энергии), затем температура, давление и плотность.
199
В результате торможения потока газа в расширяющихся каналах молекулы воздуха сближаются и температура повышается. По изменению температуры определяют давление и плотность газа.
12.1.5 Определяют массовую подачу воздуха компрессором,
находят его параметры на входе:
(12.5)
М k  F вх . к  W 1   1 ,
где Fвх.к – площадь поперечного сечения на входе в колесо компрессора, м2; W1 – скорость воздуха на входе в компрессор (30− 80 м/с);
ρ1 – плотность воздуха (при 20 0С), равна 1,2 кг/м3,
F вх . к 
где  1 
Р
R T
М
к
,
W1  1
; Р = 0,98105 Па; Т = 293 К; R = 287 Дж /(кг· К).
12.1.6 Диаметр колеса на входе в компрессор определяется из
выражения
D1  2 
F вх . к
.

(12.6)
Наружный диаметр колеса компрессора D2К приближенно оценивается из соотношения D1/D2К = 0,55−0,70 и уточняется с учетом
выбранного прототипа.
12.1.7 Определяется окружная скорость на выходе из колеса
компрессора (касательная к окружности колеса или  (перпендикуляр) к радиусу вращения)
U
2

L ад
 нап
,
(12.7)
где La  – адиабатная работа сжатия; ηнап – напорный адиабатный КПД
(0,6−0,75), характеризует способность колеса создавать напор.
Для подачи воздуха в цилиндры двигателя необходимо осуществить его впуск в компрессор, сжатие и нагнетание. Принимаем, что
процесс сжатия происходит без подвода и отвода теплоты.
12.1.8 Общая удельная работа (Дж/кг) при адиабатическом
сжатии находится из выражения
L ад  c p


 Ta 


 k 1 


 k 
k


1 ,


(12.8)
где ср = 1005 Дж/(кг·К) – удельная изобарная теплоемкость воздуха;
200
Та = 293 К – температура на входе в компрессор, k  1 , 4 – показатель
адиабаты.
12.1.9 Зная окружную скорость и диаметр колеса, находим частоту вращения вала колеса компрессора (nk) из формулы
U
2
   R2 
nk 
  nk
D2K

30
60 U
2
 D2K
,
2
.
(12.9)
12.1.10 Относительную скорость (касательную к поверхности
лопатки) воздуха на выходе из колеса компрессора W2 определяем из
выражений
М k  F вых . к  W 2   2 , F вых . к    D 2 K  b 2   ,
откуда
W2 
M
F вых
k
.к
2
,
(12.10)
где Fвых. к – площадь выхода из колеса;  – коэффициент, равный
0,8−0,9, учитывающий наличие лопаток на колесе, что уменьшает
площадь на выходе; b 2   0 , 05  0 ,1  D 2 к − ширина лопаток на выходе
из колеса. Малоразмерный компрессор имеет максимальное значение
КПД при числе лопаток 10 − 12.
12.1.11 В первом приближении плотность  2 находим по температуре T 2 , найденной по скорости U 2 , с помощью выражений
k
T 2  T1 
U
2
2
2 cp
,
 T2
P 2  P1  

 T1
 k 1

,


2 
p2
R T2
.
(12.11)
12.1.12 По значениям U 2 и W 2 определим абсолютную скорость на выходе из колеса (рисунок 12.5):
C2 
U
2
2
2
W2
.
(12.12)
В современных компрессорах некоторые заводы-изготовители
применяют колеса с радиальными лопатками, загнутыми на выходе
назад (против вращения). Значение абсолютной скорости снижается
на 5–10 %, но увеличивается КПД в результате снижения потерь на
трение (потери энергии пропорциональны величине скорости в квадрате).
201
При вращении колеса, за счет центробежных сил, молекулы
воздуха перемещаются от центра к периферии. На выходе из колеса
скорость молекул достигает значения C 2 (см. рисунок 12.5). В межлопаточных каналах, за счет их расширения, кинетическая энергия
переходит в энергию давления. Дополнительно скорость воздуха
уменьшается в диффузоре и улитке (спиральной камере). В результате
этого температура Т, давление Р и плотность  повышаются.
C2
W2
U2
Рисунок 12.5 – Окружная U2, относительная W2 и абсолютная
С2 скорости на выходе из колеса компрессора
12.1.13 Температура воздуха на выходе из колеса увеличивается
в результате торможения газа в расширяющихся каналах
 C2
2
T 2  T1 
2cp
,
(12.13)
где   0 , 8  0 , 9 – коэффициент, учитывающий потери энергии в результате перетекания воздуха из линии нагнетания в линию всасывания и вихреобразования в каналах колеса.
При полном торможении потока газа, который двигался, например, со скоростью 400 м/с, температура повышается на 80 0С. Давление и плотность воздуха на выходе из колеса уточняют, используя
выражения (12.11).
12.1.14 Турбокомпрессоры имеют лопаточные или щелевые
диффузоры. В диффузоре энергия к потоку газа не подводится. За
счет торможения потока в расширяющих каналах происходит преобразование кинетической энергии в энергию давления. Наружный диаметр диффузора D3 выбирается из соотношения (1,3− 1,5) D2К. Площадь на выходе из щелевого диффузора
F диф    D 3  b 3 ,
202
b3  b2 .
(12.14)
12.1.15 Скорость на выходе из диффузора определяется из выражения
М
k
 С 3  F диф   3
М
С3 
;
k
F диф   3
.
(12.15)
В первом приближении плотность  3   2 , а затем уточняется.
12.1.16 Температура воздуха на выходе из соплового аппарата находится из формулы
2
2
С2  C3
T3  T2 
2cp
.
(12.16)
12.1.17 Площадь выхода из улитки считают равной площади
входа в компрессор. Газ со скоростью С3 поступает в улитку (воздухосборник), и его скорость снижается до значения С4 в результате расширения канала. Используя уравнение постоянства расходов, находят
скорость на выходе из компрессора, затем температуру, давление и
плотность.
2
С 3  F3  С 4  F 4 ,
где F 4  F вх ;
T4  T3 
2
С3  C4
2cp
;
k
 T4
P4  P3  

 T3
 k 1



;
4 
P4
R  T4
.
(12.17)
Давление Р4 и есть давление на выходе из компрессора РК. При
высокой температуре Т4 целесообразна установка охладителя типа
«воздух  воздух», «воздух  жидкость». Температура воздуха, выходящего из холодильника, должна быть не выше 40 0С при температуре
окружающего воздуха не выше плюс 25 0С. В качестве охлаждающей
жидкости может быть использовано топливо [1], жидкость из системы
охлаждения или воздух. Снижение температуры воздуха на 100 повышает мощность двигателя на 2 % и уменьшает расход топлива на 1 %.
12.1.18 Действительную удельную работу, затраченную на
всасывание, сжатие и нагнетание воздуха в компрессоре, адиабатный
КПД рассчитывают, используя формулы
L зат  С
р
 T 4  T1  ;
203
 ад 
L ад
L зат
.
(12.18)
12.1.19 Мощность компрессора (работа за единицу времени)
N
k

М
к
 L ад
 ад
.
(12.19)
Расчет компрессора и выбор его конструктивных параметров
считается правильным, если адиабатный КПД, подсчитанный по формуле (12.18), не ниже 0,75−0,85. Адиабатный КПД характеризует
совершенство проточной части компрессора.
12.2 Расчёт радиально-осевой турбины
При расчёте турбины определяются следующие величины: расход газа через турбину, наружный и средний диаметры колеса турбины на выходе, располагаемый перепад энтальпии, давление газа перед
турбиной, окружной, внутренний и эффективный КПД турбины,
мощность на валу турбины [27].
Исходными данными для расчета турбины являются данные теплового расчета двигателя и расчетные данные компрессора. Турбина
должна обеспечить необходимую частоту вращения компрессора
и его мощность.
Из результатов расчета компрессора имеем следующие исходные данные: nк (мин -1); Lад (Дж/кг); ηад; Мк (кг/с); D2К .
Для выпускных газов принимаем: k =1,34; R =286,4 Дж/(кг·К);
3
при 600 0С или
c p  1128 , 7 Дж/  кг  К  ; плотность   0 , 4 кг/м
0,33 кг/м3 при 800 0С.
Температура газов перед турбиной T 0  850  950 K и давление
газов на входе в турбину PT  PK , за турбиной  2  0 ,11  0 ,12 МПа .
При расчете турбокомпрессора важно знать число Маха (австрийский физик, 1887 г.), которое характеризует отношение скорости
потока к местной скорости звука  M  C a  . Скорость звука зависит
от температуры и определяется из выражения а    R  T . При нормальных атмосферных условиях скорость звука равна 340 м/с. С повышением температуры скорость звука увеличивается. При M  1 течение газа называют дозвуковым и сжимаемость не учитывается.
Плотность газа в конкретном сечении принимается постоянной величиной. При M  1 течение газа называют сверхзвуковым, он способен
сжиматься и его параметры определяют при помощи газодинамических функций.
12.2.1 Расход газа через турбину примерно на 3 % больше расхода воздуха через компрессор в результате сгорания топлива в
204
цилиндрах двигателя.
 1, 03 M
.
(12.20)
Наружный диаметр колеса турбины принимаем равным диаметру колеса компрессора D  D . Поэтому окружные скорости на
входе в колесо турбины и выходе из колеса компрессора будут равны
U
 U
. Частота вращения колеса компрессора равна частоте вращения колеса турбины  n K  n T  . Так как колесо турбины и колесо
компрессора закреплены на одном валу, то их мощности равны друг
другу N T  N K .
По конструктивному исполнению турбины бывают активные,
реактивные и комбинированные. Степень реактивности турбины характеризует распределение энтальпии между сопловым аппаратом и
рабочим колесом. У активных турбин вся подведенная энергия выхлопных газов преобразуется в кинетическую энергию (скорость) в
сопловом аппарате. Примером активной турбины может послужить
колесо мельницы, приводимое во вращение потоком воды.
У реактивных турбин скорость газа увеличивается в каналах рабочего колеса (они выполняются в виде сужающих каналов) и там же
срабатывается.
Для упрощения расчетов принимаем турбину активную. В такой
турбине перепад энтальпии переходит в энергию скорости в сопловом
аппарате. Площади входа в колесо турбины и на выходе равны друг
другу.
M
1T
1T
T
k
2K
2K
12.2.2 Мощность на валу турбины определяется из выражения
NT  HT  M
T
 T
,
(12.21)
где H T
HT
− располагаемый перепад энтальпии, Дж/кг (энтальпия
 C p  T ) – это энергия, связанная с данным состоянием газа –
температурой, давлением, скоростью);  T – эффективный КПД турбины (0,7−0,8).
12.2.3 Исходя из равенства N T  N K , необходимый перепад
энтальпии в турбине вычисляется по формуле
H
T

M
K
 L ад
 ад   Т  М
.
(12.22)
Т
Для более полного срабатывания энергии выхлопных газов турбина может выполняться комбинированной (на половину активной и
реактивной). У реактивной турбины площадь выхода меньше площа205
ди входа в колесо. Это позволяет увеличивать скорость газа в
межлопаточных каналах и преобразовать ее в энергию давления.
1*
2*
3*
С – абсолютная скорость; W – относительная скорость; U − окружная скорость
Рисунок 12.6 – План скоростей на входе в колесо турбины 1
и на выходе 2
При входе газа в улитку 1* турбины (площадь входа в турбину
принимается равной площади на входе в компрессор) он обладает
энергией скорости, температурой и давлением (рисунок 12.6). Температура и давление газа переходят в энергию скорости в результате
уменьшения сечения в выходной части соплового аппарата. Сопловый
аппарат 2*, образованный лопатками, закрепленный на неподвижном
диске, служит для оптимального направления потока газа на лопатки
колеса турбины и преобразования энергии газа в кинетическую энергию. Для автоматического регулирования сопловый аппарат иногда
выполняется с поворотными лопатками. Это позволяет изменять угол
входа потока газа на лопатки колеса турбины и ее мощность.
Турбина работает за счет кинетической энергии (скорости) выхлопных газов двигателя. Поступая на криволинейные лопатки колеса
турбины 3*, поток газа обтекает их, меняет направление движения,
создавая силу. Сила действует на плечо, образуя крутящий момент. В
результате этого колесо турбины и компрессора приводятся во вращательное движение.
На рисунке 12.6 показан план скоростей на входе в колесо
(точка 1) и выходе из него (точка 2). Газ выходит из колеса по средне206
му диаметру (расчетный вектор скорости).
Сопловый аппарат турбины неподвижный, поэтому в нем не совершается работа. Теплообмен с внешней средой за короткий промежуток времени очень мал, и им пренебрегаем (процесс считаем адиабатным).
12.2.4 Уравнение энергии для входного и выходного каналов
соплового аппарата турбины примет вид
W1
С Р Т1 
2
2
2
 С Р Т 2 
W2
,
(12.23)
2
где Т и W – температура и скорость газа в каналах соплового аппарата.
Предположим, что энергия скорости на выходе из соплового аппарата W2 полностью срабатывается (тормозится) и переходит в энергию давления. Тогда уравнение (12.23) можно записать в виде
C P  T 1  T 2  
W
2
.
2
12.2.5 Обозначив C P  T1  T 2  через перепад энтальпии H T , а
скорость W через адиабатную скорость истечения САД, получим
C
АД

2HT
.
(12.24)
Средний диаметр на выходе из турбины делит площадь на две

равные части: D cp  0 , 7 D 2 T ,  R cp 

D2T
D cp 
 , D 2 T   0 , 7  0 ,8  D 1 T

2 
, где
– наружный диаметр колеса турбины на выходе. Угол выхода
газа из соплового аппарата  1 лежит в пределах 15−250.
12.2.6 Радиальная и окружная составляющие абсолютной адиабатной скорости на входе в колесо
С АД
С АД
.R
.U
 С АД  sin  1 ,
 С АД  cos  1 .
(12.25)
На выходе из рабочего колеса температуру газов принимают
T 2   0 ,8  0 , 9  T 0 , ( T 0 – температура газа на входе в турбину).
Ширина лопаток на входе в колесо турбины находится из выражения
b1 
M
T
  D 1 T   1  C АД
207
.
.R
12.2.7 Полезная работа 1кг газа на лопатках колеса (Дж/кг):
L U  U 1 T  C АД
.U
U
cp
 C cp
,
(12.26)
где U1 – окружная скорость на входе в колесо турбины, при равенстве
наружных диаметров колес турбины и компрессора U 1 T  U 1 K ;
Uср– окружная скорость на среднем диаметре выхода газа из турбины
U cp    R cp ; Сср – скорость выхода газа на среднем диаметре (выходная скорость газа из турбины 50 − 100 м/с).
Выражение (12.26) получено на основе импульса силы (количества движения)
F  t  m  C 1  C 2  .
(12.27)
Разделив левую и правую части уравнения (12.27) на время t,
получим
F  M  C 1  C 2  ,
(12.28)
где F – сила, действующая на лопатки колеса, Н; М – массовый расход
газа, кг/с; С1 и С2 – абсолютные скорости на входе в колесо турбины и
выходе из него, м/с.
Окружная сила F u , вращающая колесо турбины, находится из
выражения
F u  M  C 1 u  C 2 u
,
(12.29)
где C1u и C2u – окружные составляющие абсолютной скорости на входе и выходе из колеса.
Мощность
(12.30)
N  Fu  u ,
где u – окружная скорость, м/с  u    R  .
Работа одного килограмма газа на участке от входа до выхода
из колеса турбины (работа, затраченная на вращение колеса, окружная
работа)
Lu 
L
u
 U 1 T  C 1u  U
2T
N
,
M
 C 2 u  U 1 T  C 1 cos  1  U
2T
 C 2 cos  2 ,
(12.31)
где  2 – угол выхода газа из колеса турбины или угол между векторами окружной и абсолютной скоростью на выходе (85−950).
208
12.2.8 Окружной КПД турбины оценивает эффективность работы газа на колесе без учета потерь энергии, равен 0,8−0,9.
0 
Lu
H
.
(12.32)
T
Внутренний КПД турбины есть отношение затраченной работы
к подведенной (с учетом всех потерь). Он достигает 0,7−0,8. К потерям энергии следует отнести потери, связанные с перетеканием газа
через зазоры между колесом турбины и корпусом, а также потери на
вихреобразование и трение в каналах колеса. Потери энергии в колесе
составляют примерно 10 % от работы газа на колесе турбины Lu.
12.2.9 Внутренний КПД турбины
B 
0 ,9 L и
H
.
(12.33)
T
12.2.10 Эффективный КПД турбины (полный) достигает 0,7−0,8
и определяется из выражения
 Т   В  М ,
(12.34)
где  М – механический КПД, учитывает потери энергии на трение в
подшипниках скольжения, равен 0,96−0,98.
12.2.11 Мощность на валу турбины, кВт:
NT 
HT M
T
 T
.
(12.35)
1000
Мощность турбины должна быть равна мощности компрессора
(допускается расхождение не более 5 %).
12.2.12 Общий КПД турбокомпрессора
0,5–0,6 и находится по формуле
 об   ад   Т .
достигает значения
(12.36)
Более подробно методика расчета колеса компрессора и турбины приведена в работе [27].
Определив основные размеры колеса компрессора и турбины,
соплового аппарата компрессора (диффузора) и турбины, КПД, выбрав схему подвода газа к турбине и автоматическое регулирование,
завод-изготовитель, выбирают марку турбокомпрессора, проводят испытание (доводку) на двигателе и внедряют в производство.
В таблице 12.1 приведены технические характеристики отечественных турбокомпрессоров (компрессора и турбины).
Турбокомпрессоры ТКР-5,5 выпускаются с регулирующим
209
клапаном, что позволяет изменять мощность на валу турбины путем
перепуска газов мимо рабочего колеса [14].
Наряду с отечественными турбокомпрессорами в двигателях
применяют и зарубежные. Из зарубежных представляет интерес турбокомпрессоры фирмы ККК (Kuhnle, Kopp Kausch – Германия, Франция, США). Фирма выпускает ряд турбокомпрессоров (КО, К1, К2,
К3, К4, К5) с подачей воздуха от 0,02 до 2 кг/с и степенью повышения
давления от 1,5 до 4 для двигателей мощностью от 20 до 1000 кВт.
Турбокомпрессоры имеют высокий КПД и автоматическую систему
регулирования. Широкое применение получили системы с перепуском газа мимо турбины.
Таблица 12.1 – Параметры турбокомпрессоров
«Воронежский механический завод»
Техническая
характеристика
ТКР-5,5
Н-5
ТКР-5,5
С-1
предприятия
ТКР 5,5
С-3
ТКР-7
Н-1
ТКР -9
С-2 и С3
Компрессор
1 Номинальный
диаметр колеса, мм
521
521
541
751
901
2 Максимальный
КПД, не менее, %
70
70
70
75
75
Турбина
1 Номинальный
диаметр колеса, мм
2 Максимальный
КПД, не менее, %
3 Максимальная
подача воздуха
компрессором, кг/с
4 Максимальная
степень повышения
давления, к
5 Частота вращения
ротора, мин -1
6 Масса ТКР, кг
7 Область применения, мощность
двигателя, кВт
501
501
531
751
901
60
60
60
70
70
0,1
0,11
0,15
0,15
0,25
1,9
2,1
2,1
1,9
2,1
150000
150000
130000
110000
85000
5,0
5,0
ГАЗ560
(70)
5,0
ГАЗ 562
(90)
9,5
Д-440
(100)
15,5
Д-461,
В-400
(175-300)
ВАЗ3431(60)
210
211
Таким образом, в данном разделе:
1 Дана методика расчета центробежного компрессора и центростремительной турбины, позволяющая производить выбор турбокомпрессора для наддува двигателя внутреннего сгорания, форсированного по мощности. Эффективность турбокомпрессора оценивается максимальным значением КПД компрессора и турбины.
2 В приведенной методике расчета давление в каналах компрессора определяется по изменению скорости и температуры газа. В основу
расчета центростремительной турбины положены газодинамические
функции параметров торможения газа.
3 Рассмотрен выбор прототипа турбокомпрессора по требуемой
подаче воздуха и степени повышения давления, что позволяет определить наружный диаметр колеса компрессора, турбины и технические
данные турбокомпрессора.
4 Приведены характеристики отечественных и зарубежных турбокомпрессоров, применяемых в современных двигателях.
Контрольные вопросы
1.Принцип работы системы с газотурбинным наддувом.
2. Устройство и принцип действия центробежного компрессора
и центростремительной турбины.
3. Что называют степенью повышения давления в компрессоре?
4. Порядок выбора прототипа турбокомпрессора.
5. Как изменяется скорость, температура и давление в проточной части компрессора?
6. Для какой цели в улитке компрессора расширяют каналы ?
7. Как определяется адиабатная работа на колесе компрессора?
8. Какая турбина называется активной и реактивной?
10. Порядок расчета центростремительной турбины.
212
13 Основы расчёта теплообменных аппаратов
13.1 Основные формулы теории теплообмена
Для нормальной работы поршневой группы, других механизмов
и систем двигателя внутреннего сгорания необходимо до 30 % теплоты, которая выделяется при сгорании топлива, отводить в систему
охлаждения. Основным теплообменным аппаратом является радиатор,
который рассеивает теплоту в окружающую среду. Охлаждение радиатора происходит потоком холодного воздуха, перемещаемого вентилятором.
Большинство современных двигателей имеют систему газотурбинного наддува, которая служит для повышения давления воздуха в
цилиндре двигателя, что позволяет увеличить подачу топлива и мощность двигателя. При сжатии воздуха в каналах центробежного компрессора его температура повышается, что приводит к снижению
плотности. Для охлаждения воздуха применяют теплообменники типа
«воздух-воздух» или «воздух-жидкость».
13.1.1 Основные понятия. В теории теплообмена следует различать три категории понятий:
– свойство материи (объективную реальность) – тепловое (хаотическое) движение, или тепло, которое переносится в пространстве;
– физическую величину (предмет из мира идей), которая не
может переноситься в пространстве, – количество тепла (количество
переданного хаотического движения), или теплоту Q;
– процесс переноса тепла (ХД) – теплообмен [36].
Смешение этих понятий затрудняет изучение теории теплообмена.
В зависимости от вида частиц – носителей движения – и особенностей их перемещения в пространстве различают три элементарных способа переноса тепла (ХД): теплопроводность, конвекцию
и тепловое излучение.
Теплопроводность – способ переноса тепла (ХД) в однородной
среде частицами этой среды без результирующего переноса вещества в направлении переноса тепла. Теплопроводность в подвижной
среде обусловлена движением молекул этой среды, в электропроводных телах – электронами, в диэлектриках – фононами – виртуальными
(возможными) частицами, ответственными за силы взаимодействия в
неэлектропроводных телах.
В чистом виде теплопроводность имеет место в твёрдых телах и
неподвижных слоях жидкости и газа.
Конвекция (конвекция, от лат convection – перенос, доставка)
213
– способ переноса тепла (ХД) в подвижной среде за счёт макроскопического переноса этой среды из области с одной температурой в область с другой температурой. Конвекция имеет место в движущихся
средах (жидкостях, газах, сыпучих средах, плазме).
Тепловое излучение – способ переноса тепла (ХД) с помощью
электромагнитных волн, возбуждаемых молекулами горячего тела и
поглощаемых молекулами холодного тела. В чистом виде теплообмен
излучением имеет место в вакууме (космосе).
Совместные способы переноса тепла. Разделение на элементарные способы переноса тепла (теплопроводность, конвекцию и излучение) производится в основном из методологических соображений. В действительности же перенос тепла зачастую осуществляется
сразу несколькими способами
Совместный перенос тепла конвекцией и теплопроводностью
называется конвективным способом переноса тепла (конвективным
теплообменом).
Процессы переноса тепла. В зависимости от места, где рассматривается теплообмен, и особенностей переноса тепла различают
три процесса теплообмена – теплоотдачу, теплопроводность и теплопередачу (рисунок 13.1).
Теплоотдачей называется процесс теплообмена между жидкостью и стенкой (1-2 и 3-4). В общем
Т

Тж1
случае под теплоотдачей понимается
Т с1
Т с2
теплообмен на границе раздела поТж2
движной среды с другой средой (твёрk
дой или жидкой), например, на поверх
ности раздела газ-жидкость, текучая
2
3
4



1
среда – твёрдая стенка или двух несмешивающихся жидкостей.
Т еплопроводность
Теплопроводностью называется
х
Рисунок 13.1 – Процессы4 процесс переноса тепла по самой стенке
(2-3).
переноса тепла
Теплопередачей называется процесс переноса тепла от горячей жидкости к холодной через разделяющую их стенку или перегородку (1-4).
13.1.2 Основные величины теории теплообмена и их обозначение. В теории теплообмена в качества основных рассматриваются
величины, отнесённые ко времени. Такие величины принято называть
потоками соответствующих величин.
Потоком энергии называется отношение элементарной энергии
 E , характеризующей малую порцию движения, переданного через
1
2
214
границу системы за малый промежуток времени dt, к этому промежутку времени1
E  Et  E / dt
[ E t ] = [E]/[t] = 1 Дж/с = 1Вт.
,
Тепловым потоком, или потоком теплоты называется поток
энергии, характеризующий интенсивность переноса движения в хаотической форме или, иначе, отношение элементарной теплоты δQ, характеризующей порцию движения переданного в ХФ через какую-либо
поверхность системы, к элементарному промежутку времени dt (Вт)
Ф  E ХФ  Q / dt
.
(13.1)
Тепловой поток численно равен количеству тепла, проходящего
через нормально расположенную поверхность в единицу времени.
Поскольку сила определяется как отношение элементарного
импульса  K   ( m c ) , характеризующего малую порцию упорядоченного движения переданного к телу за малый промежуток времени
dt, к этому промежутку времени, то и её следует рассматривать как
поток импульса, Н [37]
F   K /d t   ( m c ) /d t  K  K t
.
Закон сохранения массы для открытой системы
dm 

mi
или
d m /d t 

mi /dt 

m i  m рез
можно сформулировать так: скорость изменения массы внутри открытой системы равна результирующему потоку массы.
Закон сохранения импульса (второй закон Ньютона) для тела
постоянной массы2 d K    K i или
d K /d t  d ( m c ) /d t  m a 
  K i /d t  
Fi  F р е з  K р е з
можно сформулировать так: скорость изменения импульса тела равна
результирующей силе, действующей на тело (результирующему потоку импульса).
Поверхностная плотность теплового потока, или плотность
теплового потока (точнее модуль плотности теплового потока) – отношение теплового потока  Ф , характеризующего интенсивность переноса движения в ХФ через элементарную поверхность, располоВ квадратных скобках указывается единичное значение физической величины или сокращённо – единица физической величины.
2
Вывод уравнения закона сохранения импульса (ВЗН) для тела переменной
массы дан в работе [37].
1
215
женную перпендикулярно направлению теплового потока, к площади
 A  этой поверхности (Вт/м2)
(13.2)
   Ф /  A .
Поверхностная плотность теплового потока численно равна
тепловому потоку, равномерно распределённому на поверхности единичной площади.
Аналогичным образом, давление есть не что иное, как поверхностная плотность потока импульса (Па)
p   F /  A ,
где  F – элементарная сила (поток импульса), действующая нормально элементарной площадке площадью  A  .
Мощностью называется поток энергии, характеризующий интенсивность переноса движения в упорядоченной форме или, иначе,
отношение элементарной работы  W, характеризующей порцию движения переданного в упорядоченной форме (УФ) через границу системы, к элементарному промежутку времени (Вт)
P  N  E УФ  W / dt
.
Массовым расходом, или потоком массы называется отношение элементарной массы  m вещества, прошедшего через открытые
границы системы за малый промежуток времени dt, к этому промежутку времени (кг/с)
m  m t   m / d t   c Aс е ч
где
,
(13.3)
– плотность теплоносителя, кг/м3; c – скорость потока, м/с;
A с е ч – площадь проходного сечения канала, м2.
В частном случае, если изменение массы внутри системы происходит только за счёт одного потока, то изменение массы системы
будет равно подведённой массе вещества (dm =  m ) и выражение
(13.3) принимает частный вид
(13.4)
m  mt  dm / dt

Объёмным расходом называется отношение элементарного
объёма  V вещества, прошедшего через открытые границы системы,
к элементарному промежутку времени dt (м 3/с)
V  Vt  V / dt .
(13.5)
Между объёмным и массовым расходами существует очевидная
связь
(13.6)
V  m / .
216
Для приведения объёмного расхода к нормальным физическим
условиям V 0 необходимо плотность взять при НФУ  0 :
V0  m /  0
(13.7)
Применительно к машинам, служащим для создания потоков
вещества (насосам, компрессорам, вентиляторам и др.), массовый расход принято называть массовой подачей, а объёмный расход – объёмной подачей. Термины «производительность» (массовая или объёмная) насоса, компрессора применять не рекомендуется, так как они
ничего не производят.
13.1.3 Основные уравнения теплообмена. Согласно рисунку
13.1 процесс теплопередачи 1-4 включает в себя следующие процессы переноса тепла: теплоотдачу 1-2 от горячей жидкости к стенке,
теплопроводность 2-3 по самой стенке и теплоотдачу 3-4 от стенки к
холодной жидкости. В случае стационарного теплообмена и отсутствия потерь тепла в окружающую среду тепловой поток во всех процессах сохраняет своё значение и выражается следующими уравнениями:
теплоотдача 1-2
Ф  Ф 12   1 (Т ж 1  Т с1 ) A ;
теплопроводность 2-3 Ф  Ф 2 3  (  /  ) ( Т с 1  Т с 2 ) А ;
теплоотдача 3-4
Ф  Ф 34   2 (Т c2  Т ж 2 ) A ;
теплопередача 1-4
Ф  Ф 14  k (Т ж 1  Т ж 2 ) A ,
где  – толщина стенки, м;  – теплопроводность материала стенки,
Вт/(м.К);  1 и  2 – коэффициенты теплоотдачи соответственно со
стороны горячего и холодного теплоносителя Вт/(м2.К); k – коэффициент теплопередачи, Вт/(м2.К), который для плоской стенки (а также
для цилиндрической стенки при (d2/d1) < 2) определяется по формуле .
k  1 /(1 /  1   /   1 /  2 ) .
(13.8)
Теплопроводность материала зависит от свойств самого материала и его температуры   f ( T ) и определяется по таблицам. Коэффициент теплоотдачи является в общем случае сложной функцией
формы канала, размеров l , например, диаметра d , температур стенки
T c и жидкости T ж , скорости жидкости c и её физических свойств –
теплопроводности  , теплоёмкости c p , плотности  , динамической

и кинематической  вязкости и ряда других факторов:
217
  f [( c ,l ,  ), (  , c p ,  ), T c , T ж ,  T ,  ,...] .
Эту зависимость между размерными величинами можно существенно упростить, представив её в виде зависимости между безразмерными величинами. Методом анализа размерностей величины, входящие в это уравнение, можно сгруппировать в виде следующих безразмерных комплексов – чисел или критериев подобия:
l

 f (
cl
ν
,
 cp

3
2
, g   T l /ν , ..)
.
Обозначая эти комплексы соответствующими символами, получим критериальное уравнение конвективного теплообмена для общего
случая свободно-вынужденного движения капельной жидкости
Nu  f (Re,
Pr, Gr, Pr ж /Pr c )
.
(13.9)
Числа подобия – безразмерные комплексы, составленные из
величин, характеризующих данное явление. Согласно первой теореме
подобия – подобные процессы имеют одинаковые числа (критерии)
подобия.
Числа подобия принято обозначать первыми двумя буквами фамилий учёных, внёсших значительный вклад в исследования в области гидродинамики и теории теплообмена, например, Re (Reynolds),
Nu (Nusselt) и др.
Для процессов теплоотдачи режим движения жидкости имеет
очень большое значение, т. к. им определяется механизм переноса тепла.
Режим движения определяется по значению числа Рейнольдса
Re 
cd


cl

.
(13.10)
При ламинарном режиме ( Re  2300 ) перенос движения в
направлении нормали к стенке в основном осуществляется путем теплопроводности. При турбулентном режиме ( Re  2300 ) перенос теплового движения осуществляется путем теплопроводности лишь в
вязком подслое, а внутри турбулентного ядра перенос осуществляется
путём интенсивного перемешивания (конвекции) частиц жидкости.
Интенсивность теплообмена при турбулентном режиме значительно
выше, чем при ламинарном режиме. Число Рейнольдса является определяющим критерием при рассмотрении теплообмена при вынужденной конвекции.
Число Нуссельта является определяемым (зависимым) в кри218
териальном уравнении (13.9) числом подобия; оно характеризует
интенсивность теплоотдачи в пограничном слое потока у стенки (из
этого числа определяется коэффициент теплоотдачи  ):
Nu 
d

,
(13.11)
где d – диаметр трубы, м;  – теплопроводность жидкости (воздуха),
выбирается в зависимости от температуры, Вт/(м.К).
Число Прандтля
Pr 
 cp
(13.12)

является теплофизической характеристикой теплоносителя.
Число Грасгофа
характеризует относительную эффективность подъёмной силы, вызывающей свободно-конвективное движе-
ние среды
Gr 
gTd

где
2
3
,
(13.13)
– ускорение свободного падения, м/с2;
 – температурный коэффициент объемного расширения среды,
1/К (для газов  = 1/Тж);
 T  T c  T ж – характерный температурный напор, К;
d – диаметр трубы. м;  – кинематическая вязкость жидкости
(выбирается в зависимости от температуры жидкости по соответствующим таблицам, например [36]), м2/с.
При исследовании капельных жидкостей теплоотдача оказывается различной в условиях нагрева и охлаждения. Для получения
безразмерных уравнений, одинаково справедливых как для нагревания, так и для охлаждения жидкости, вводится дополнительный
параметрический критерий подобия в виде отношения Prж /Prc,
где индекс «ж» показывает, что значения величин, входящих в критерий Pr, отнесены к температуре жидкости, а индекс «с» – к температуре стенки. Для газов параметрический критерий равен единице.
С учётом принятых обозначений уравнение (13.9) для конвективного теплообмена при свободно-вынужденном движении капельной жидкости имеет следующий вид:
Nu = f(Re, Pr, Gr, Prж /Prc),
(13.14)
а для газов
Nu = f(Re, Pr, Gr).
g
Для вынужденной конвекции определяющим критерием явля219
ется число Рейнольдса и уравнение (13.14) записывается без числа
Грасгофа
Nu = f(Re, Pr, Prж / Prc).
(13.15)
При течении теплоносителя внутри трубы критериальное уравнение (13.15) конкретизируется следующим образом.
Ламинарный режим течения l /d > 10 и 10 < Re < 2300 [36]
= 1,4 (Redж d / l) 0,4 Рrж0,33 (Prж /Prс)0,25 .
Здесь в виде определяющей принята средняя температура жидкости в трубе (индекс «ж»). Определяющим размером является внутренний диаметр трубы (на что указывает индекс «d»). Если труба не
круглого сечения, то за определяющий размер принимается эквивалентный диаметр
dэ = 4 А /П,
(13.16)
где А – площадь поперечного сечения потока;
П – смачиваемый периметр.
Турбулентный режим течения в трубах при Re = 10 4–5.10 6
N u dж
N u dж
= 0,021 Redж0,80 Рrж0,43 (Prж /Prс) 0,25  l ,
(13.17)
Поправочный коэффициент  l для коротких труб с нестабилизированным течением (l/d < 50) может быть выбран по таблице 13.1.
Таблица 13.1 – Зависимость поправочного коэффициента  l от l/d и
числа Re
Redж
1.10
5.10 4
1.10 5
1.10 6
4
l/d
1
1,65
1,34
1,28
1,14
2
1,50
1,27
1,22
1,11
5
1,34
1,18
1,15
1,08
10
1,23
1,13
1,10
1,05
15
1,17
1,10
1,08
1,04
20
1,13
1,08
1,06
1,03
30
1,07
1,04
1,03
1,02
40
1,03
1,02
1,02
1,01
Критериальное уравнение для расчёта коэффициента теплоотдачи на внутренней стенке кольцевого сечения при турбулентном режиме течения
N u жd
0 ,8 0
э
0 ,4 0
 0 , 0 1 7 R e ж d P rж
э
(P rж /P rс )
0 ,2 5
(d 2 /d1 )
0 ,1 8
,
(13.18)
где d1 и d2 – внутренний и внешний диаметры кольцевого канала;
dэ = d2 – d1 – эквивалентный диаметр кольцевого сечения, выведенный
по формуле (13.16).
220
13.2 Расчёт рекуперативного теплообменника
По принципу действия теплообменные аппараты могут быть
разделены на рекуперативные, регенеративные и смесительные, а
также теплообменники с внутренними источниками тепла.
Рекуперативными называются такие аппараты, в которых тепло
от горячего теплоносителя к холодному передается через разделяющую их стенку (радиаторы отопления, парогенераторы, подогреватели, охладители масла и воды в ДВС и др.).
Регенеративными называются такие аппараты, в которых одна и
та же поверхность нагрева поочередно омывается то горячим, то холодным теплоносителями (регенераторы мартеновских и стеклоплавильных печей).
В смесительных аппаратах процесс теплообмена происходит
путем непосредственного соприкосновения и смешения горячего и
холодного теплоносителей (градирни, скрубберы и др.).
Тепловой расчёт теплообменных аппаратов. При течении
теплоносителей вдоль поверхности теплообмена температура горячего теплоносителя уменьшается, а холодного увеличивается. Характер
изменения температуры теплоносителей вдоль поверхности теплообмена определяется схемой движения их. Различают следующие схемы
течения теплоносителей: прямоток, противоток, перекрёстный ток,
смешанный ток, многократный перекрёстный ток (рисунок 13.2).
П рям оток
П ротивоток
П ерекрёстн ы й
ток
С м еш ан н ы й
ток
М н огократн ы й
п ерекрёстн ы й ток
Р и с у н о к 13.2
8 – С
е м ы д вдвижения
и ж е н и я т е птеплоносителей
лоносителей
Рисунок
– хСхемы
На рисунке 13.3 приведены схемы простейшего теплообменника
типа «труба в трубе» и характер изменения температуры теплоносителей при прямотоке (а) и противотоке (б).
Как общепринято, здесь индекс «1» означает, что данная величина отнесена к горячей, а индекс «2» – к холодной жидкости. Величины с одним штрихом характеризуют состояние теплоносителя на
входе в теплообменник, а величины с двумя штрихами – на выходе из
теплообменника.
221
T
T1 '
П рям оток
T1 '
T1"
 Tб
T1 "
T2"
T
T cт
П ротивоток
 Tм
 Tм
T2'
T
T2"
 Tб
T cт
A
T2'
A
T2"
T2'
T1 '
T1 "
T1 " T1 '
T2"
а)
б)
T2'
Рисунок 13.3 – Изменение температуры теплоносителей вдоль
поверхности нагрева при прямотоке и противотоке
Из рассмотрения графиков следует, что при прямотоке конечная
температура холодной жидкости T 2' ' всегда ниже конечной температуры
горячей жидкости
T1
''
. При противотоке же конечная температура хо-
лодной жидкости
T2
''
может быть выше конечной температуры горя-
чей T1' ' . Следовательно, при одной и той же начальной температуре
холодной жидкости при противотоке её можно нагреть до более высокой температуры, чем при прямотоке. Среднее значение температурного напора при противотоке больше, чем при прямотоке. За счет этого фактора при противотоке теплообменник получается компактнее.
Однако, если изменение температуры  T одного из теплоносителей
мало по сравнению с другим или температурный напор  T велик по
сравнению с изменением температуры теплоносителя, то прямоточная
и противоточная схемы будут равноценны (при  T /  T  0 ,5 при противотоке будет передаваться теплоты больше, чем при прямотоке, менее чем на 10 %).
Положительной стороной прямотока является то, что при прочих равных условиях максимальная температура стенки T ст при прямотоке ниже, чем при противотоке (пунктирная линия на рисунке).
Это позволяет применять рекуператор из обыкновенной стали даже
при сравнительно высоких температурах дымовых газов (800–850 °С)
и температуре нагретого воздуха 350 – 400 °С.
Как видно из рисунка, температурный напор  T  T ж 1  T ж 2
непрерывно изменяется вдоль поверхности теплообмена. Для расчета
222
теплопередачи надо знать среднее значение температурного напора
 T . В общем случае температурный напор вдоль поверхности теплообмена изменяется по экспоненциальному закону. В этом случае
средний температурный напор определяется по формуле
T 
 Tб   Tм
ln
(13.19)
 Tб
 Tм
и называется среднелогарифмическим.
Если предположить, что температура теплоносителей линейно
изменяется вдоль поверхности теплообмена, то средний температурный напор можно определить как среднеарифметическое значение
большего  T б и меньшего  T м температурных напоров, равное разности средних температур теплоносителей
 T  (  T б   T м )/2 = T1  T 2  tг о р  t х о л   t
.
(13.20)
Среднеарифметическое значение температурного напора всегда
больше среднелогарифмического. Но при  T м /  T б  0 , 6 они отличаются друг от друга меньше чем на 3 %.
Система уравнений для расчёта теплообменных аппаратов.
Если теплоносители не испытывают фазовых превращений (кипение,
конденсация), то система уравнений для расчёта теплообменных аппаратов включает в себя следующие уравнения:
а) суммарного теплового потока, отводимого от горячего теплоносителя к холодному теплоносителю и в окружающую среду,
Ф 1  с p 1 m 1 ( T1  T1)  c p 1 m 1  t1  t1  W 1  T1 ;
(13.21)
б) теплового потока, подводимого к холодному от горячего теплоносителя,
Ф
2
 с p 2 m 2 ( T 2  T 2 )  c p 2 m 2  t 2  t 2   W 2  T 2 ;
(13.22)
в) теплового баланса (баланса тепловых потоков)
(13.23)
Ф  Ф 2  Ф 1  Ф пот ;
г) теплопередачи
(13.24)
Ф  k T A ;
д) массовых расходов (потоков массы) горячего и холодного
теплоносителей
(13.25)
m 1   1 c1 A1 и m 2   2 c 2 A 2 ,
223
где
W 1  с p1 m 1
и W 2  с p 2 m 2 – так называемые водяные эквивален-
ты1;
ср1
и с р 2 – удельные изобарные теплоемкости горячего и холод-
ного теплоносителей;
и  T 2  T 2  T 2  t 2  t 2 – конечные изменения температур соответственно горячего и холодного теплоносителей (см. рисунок 13.2).
 T – средний температурный напор, определяемый по формулам (13.17) или (13.18);
k – средний по поверхности теплообмена коэффициент теплопередачи (13.8);
 1 и  2 – плотности горячего и холодного теплоносителей в соответствующем сечении канала;
с1 и с2 – скорости течения теплоносителей в соответствующем
сечении канала;
А1 и А2 – площади поперечного сечения каналов, где известны
плотности и скорости течения горячего и холодного теплоносителей
Часть теплового потока Ф1 (обычно 1–10 %) теряется в окружающую среду Фпот через стенки теплообменника, поэтому уравнение
баланса тепловых потоков в теплообменнике имеет вид (13.23):
 T1  T1  T1 t1  t1
Ф  Ф 2  W 2  T 2  Ф 1 (1  Ф п о т /Ф 1 )  K Ф 1  K W 1  T1  W 1  T1 .
(13.26)
где K = 1  Ф п о т /Ф 1 – коэффициент, учитывающий теплопотери в
окружающую среду;
Ф = К Ф1 – тепловой поток, воспринимаемый холодным теплоносителем от горячего теплоносителя.
Величину
'
W1  K W1  K cp1 m1
можно назвать приведённым водяным эквивалентом горячего теплоносителя.
Из баланса тепловых потоков (13.26) следует, что отношение
изменений температур однофазных теплоносителей обратно пропорционально отношению их водяных эквивалентов:
 T1 /  T 2  W 2 / W 1 .
Ранее теплоёмкости теплоносителей выражались в ккал/(кг.К). Поскольку
теплоёмкость воды равняется 1 ккал /(кг.К), то водяной эквивалент какого-либо
теплоносителя численно равен расходу воды, эквивалентному по теплоёмкости
расходу данного теплоносителя.
1
224
После расчёта теплового потока Ф2 по формуле (13.22) находится суммарный тепловой поток Ф1, отдаваемый горячим теплоносителем,
Ф1 = Ф2 /К.
Расход горячего теплоносителя находится из выражения (13.21):
(13.27)
m 1 = Ф1 / [cp1 (Т1' – Т1"')].
Площадь поверхности теплообмена А, необходимую для передачи теплового потока к холодному теплоносителю Ф, определяют из
уравнения теплопередачи (13.24).
Ф
A 
k T
.
(13.28)
Общую длину L трубы подогревателя при принятом диаметре d находим из выражения
L 
A
π d
,
и соответственно число секций n при длине труб в секции l
n 
L
.
l
13.3 Пример расчета теплообменного аппарата типа
«труба в трубе»
Теплообменники типа «труба в трубе» широко используются
при разогреве и охлаждении жидкостей (газов). Преимущество таких
теплообменников заключается в простоте конструкции, и они могут
быть собраны из стандартных элементов. При необходимости поверхность теплообмена может быть увеличена за счет установки нескольких секций.
На рисунке 13.4 показан подогреватель топлива секционный
ПТС типа «труба в трубе». Горячий пар (горячая вода) входит через
клапан 4, проходит по трубе 7 и выходит через клапан 5 в виде конденсата. Проходя по трубе, пар нагревает ее и отдает теплоту через
стенки трубы 7, например холодной воде. Холодная жидкость под
действием перепада давления входит в подогреватель через клапан 6,
а выходит через клапан 3. Жидкость, проходя через кольцевое сечение
подогревателя, увеличивает свою температуру. Массовый расход пара
(горячей воды) и холодной жидкости регулируется проходными сечениями клапанов.
225
1 и 2 – опоры неподвижные; 3 – клапан выхода жидкости; 4 – клапан входа
пара; 5 – клапан выхода конденсата; 6 – клапан входа жидкости;
7 – труба нагревательная; 8 – корпус подогревателя; 9 – фланец корпуса;
10 – болт; 11 – крышка; 12 – изоляция; 13 – рёбра нагревательной трубки;
А и Б – вход и выход нефтепродукта; В – вход пара; Г – выход конденсата
Рисунок 13.4 – Подогреватель топлива секционный типа ПТС
Определить поверхность нагрева и число секций теплообменника типа «труба в трубе» (см. рисунок 13.4). Греющая (горячая) вода
движется
по
внутренней
(центральной)
стальной
трубе
(  с  4 5 Вт/(м·К). Отношение наружного и внутреннего диаметра
этой трубы d2/d1=35/32 мм. Толщина стенки
 c  ( d 2  d 1 )/2 = (3 5  3 2 )/2 = 1 ,5 м м .
m1 
Температура на входе
2 1 3 0 кг/ч [17].
t1  9 5  С
, расход греющей воды
Нагреваемая вода движется противотоком по кольцевому каналу между трубами и нагревается от температуры t 2  1 5  С до
t 2  4 5  С . Внутренний диаметр внешней трубы d3=48 мм. Расход
нагреваемой воды m 2  3 2 0 0 кг/ч. Длина одной секции теплообменника l = 1,75 м. Потерями теплоты через внешнюю поверхность теплообменника пренебречь (Ф1 = Ф2 =Ф). Обозначения температур и коэффициентов теплообмена показаны на рисунке 13.1.
Решение. Теплоемкость воды с р 2  4 ,1 9 кДж/(кг·К).
Тепловой поток к холодному теплоносителю (13.20)
Ф  c p 2 m 2  t 2  t 2

3200
3600
 4 ,1 9  4 5  1 5   1 1 1 , 5
кВт.
Температура греющей воды на выходе находится из (13.19)
226
t   t1 
1
Ф
 95 
m1  cp1
1 1 1,5  3 6 0 0
 5 0 С .
2 1 3 0  4 ,1 9
Находим средние арифметические значения температур теплоносителей и значения физических свойств воды при этих температурах:
а) горячего теплоносителя
t ж 1  0 , 5   t1  t1   0 , 5   9 5  5 0   7 2 , 5  С ;
при
 ж1 
температуре 72,5 оС
0 , 6 7 0 Вт/(м·К); P r 1 
1  9 7 6
кг/м3;
1  0 ,4 0 3 1 0
6
м2/с;
2 ,47 ;
б) холодного теплоносителя
t ж 2  0 , 5   t 2  t 2   0 , 5   1 5  4 5   3 0  С ;
при температуре 30 оС
кг/м3;  2  0 , 8 0 5  1 0  6 м2/с;
2  996
Вт/(м·К);
Pr ж 2  5 , 42 [15].
Скорости движения теплоносителей находим из (13.23):
 ж 2  0 ,6 1 8
c1 
c2 
4  m1
2
1    d1  3 6 0 0
2   

 d2
2

2
9 7 6  3 ,1 4 3 , 2  1 0
4  m2
2
d3
4  2130

  3600

2
 0 ,7 5 5
 3600
4  3200


2
9 9 6  3 ,1 4 4 , 8  3 , 5
2
м/с;
 1 0
4
 1 , 0 6 м /с .
 3600
Число Рейнольдса для потока греющей воды (13.10)
R e1 
c1  d 1
1

0 ,7 5 5  3 ,2 1 0
0 ,4 0 3 1 0
2
6
4
 6 1 0 .
Режим течения греющей воды турбулентный, и расчет числа
Нуссельта и коэффициента теплоотдачи выполняем по формуле
(13.17). Поправочный коэффициент на длину трубы  l  1 .
Число Нуссельта
0 ,8
N u ж 1  0 , 0 2 1  R e1
0 ,4 3
 P rж 1
 Pr
ж1

 Pr
c1





0 ,2 5
.
Так как температура стенки неизвестна, то в первом приближении задаемся значением
tс1  0 ,5   tж 1  tж 2
При этой температуре

0 ,5   7 2 ,5  3 0   5 1, 2 5  С .
P rc 1  3 , 5 ;
227
тогда


4
N u ж 1  0 ,0 2 1  6 1 0
0 ,8
 2 ,4 7 
0 ,4 3
 2 ,47 


 3 ,5 
0 ,2 5
 188.
Коэффициент теплоотдачи от греющей воды к стенке трубы
 ж1
1  N u ж1
 188 
d1
0 ,6 7 0
3 ,2 1 0
Вт/(м2·К).
 3940
2
Число Рейнольдса для потока нагреваемой воды
c2  d э
Re2 
1, 0 6  1,3 1 0

0 ,8 0 5  1 0
v2
2
4
 1,7 1 1 0 ,
6
где эквивалентный диаметр для кольцевого канала
d э  d3  d 2  48  35  13 м м .
Режим течения нагреваемой воды в кольцевом канале турбулентный, и расчет числа Нуссельта и коэффициента теплоотдачи выполняем по формуле (13.18)
0 ,8 0
N u ж 2  0 ,0 1 7 R e 2
P rc 2
0 ,4 0
P rж
(P r ж /P rс )
Приняв в первом приближении
 P rc 1  3 , 5 , получим
4
N u ж 2  0 , 0 1 7 (1 , 7 1  1 0 )
0 ,8 0
( 5 ,4 2 )
0 ,4 0
0 ,2 5
(d 3 /d 2 )
и, следовательно,
tc 2  tc1
( 5 ,4 2 /3 ,5 )
0 ,1 8
0 ,2 5
( 4 8 /3 5 )
0 ,1 8
 95
Коэффициент теплоотдачи от стенки трубы к нагреваемой воде
 2  N u ж2
ж2
 95 
dэ
0 ,6 1 8
1,3 1 0
2
Вт/(м2·К).
 4500
Коэффициент теплопередачи
k 
1
1
1

c
c

1
1

1
2

1,5 1 0
3940
 1970
3
45
Вт/(м2·К).
1

4500
Так как в рассматриваемом случае
t1  t 2
t1  t 2

50
 1,5 ,
то с доста-
35
точной точностью можно вести расчет по среднеарифметическому
температурному напору (13.20), равному разности средних температур теплоносителей:
 t  t ж 1  t ж 2  7 2 ,5  3 0  4 2 ,5
о
С
Площадь поверхности теплообмена (13.28)
A 
Ф
k t

1 1 1,5  1 0
3
1 9 7 0  4 2 ,5
228
 1,3 3
м2.
.
Поверхностная плотность теплового потока (13.2)
  Ф / A  1 1 1 5 0 0 / 1,3 3  8 ,3 8  1 0
4
Вт/м2.
Число секций
n 
A
1,2 2

  d1  l
3 ,1 4  3 , 2  1 0
2
1,7 5
 7.
Температуры поверхностей стенок труб
tс1  tж 1 

1
tс2  tж 2 
83700
 7 2 ,5 

2
 5 1,3  С ;
3940
 30 
83700
 4 8 ,6 С .
4500
При этих температурах P rc1  3 , 4 7 и P rc 2  3 , 6 5 поправки на
изменения физических свойств жидкости по сечению потока имеют
следующие значения:
 P rж 1 


 P rс 1 
0 ,2 5
 P rж 2 


 P rс 2 
0 ,2 5
 2 ,4 7 
 

 3,47 
0 ,2 5
 5 ,42 
 

 3 ,6 5 
0 ,2 5
 0 ,9 1 5
 1 ,1 0
(в расчете было принято 0,92);
(в расчете было принято 1,12).
Совпадение достаточно точное и можно принять, что А = l,33 м2
и n = 7.
Контрольные вопросы
1. Основные формулы, используемые при расчете теплообменников.
2. Напишите и поясните уравнения теплового баланса и теплопередачи.
3. Дайте определения безразмерным критериям Нуссельта, Рейнольдса и Прандтля.
4. Как определяют коэффициенты теплоотдачи со стороны горячего теплоносителя к стенке (α1) и от стенки к холодному теплоносителю (α2)?
5. Что такое коэффициент теплопроводности материала стенки,
например стальной трубы, его значение и единицы величины?
6. Как определяется коэффициент теплопередачи, зависящий от
толщины стенки, ее теплопроводности, коэффициентов теплоотдачи к
стенке от горячего и холодного теплоносителя?
7. Методика расчета теплообменника типа «труба в трубе», в
котором движется горячий теплоноситель и холодный.
229
14 Гидравлический расчет трубопроводов и насосной установки
Основной задачей гидравлического расчета является определение диаметра d трубопровода и потери напора h по заданной производительности Q (объемному или массовому расходу). Системы
снабжения воздухом, топливом двигателя, его охлаждением, смазкой
имеют каналы (трубопроводы), регулирующую и запорную арматуру
(местные сопротивления). При движении жидкости, газа по каналам
систем двигателя возникают потери энергии (по длине и в местных
сопротивлениях). При проектировании систем необходимо свести к
минимуму потери энергии на трение и деформацию потока.
Расчет вновь проектируемого трубопровода (канала) начинают с
предварительного выбора диаметра и ориентировочно выбранной
скорости движения жидкости. Рекомендуемая скорость в напорном
трубопроводе зависит от вязкости жидкости и выбирается в пределах
1–2,5 м/c. Чем меньше вязкость жидкости, тем больше его скорость.
Основным свойством жидкости, влияющим на давление и производительность перекачки, является вязкость, характеризующая собой
внутреннее трение жидкости. В формулах гидравлики трубопроводов
обычно фигурирует кинематическая вязкость, измеряемая в квадратных метрах на секунду (м2/с), в стоксах (см2/с) или сантистоксах
(мм2/с).
Единица динамической вязкости 1 Па∙с (паскаль-секунда). Для
перевода кинематической вязкости в динамическую ее значение в м2/с
необходимо умножить на плотность в кг/м3.
По скорости  , диаметру d и кинематической вязкости  устанавливается безразмерный параметр Рейнольдса Re и характер движения жидкости. Затем определяют коэффициент гидравлического
трения  , потери напора h на трение в трубопроводе и гидравлический уклон.
14.1. Основные расчетные формулы
В гидравлике различают два основных режима движения жидкости – ламинарный (спокойный) и турбулентный (вихревой). При
ламинарном (lamina – лат. «слой») течении частицы жидкости движутся без перемешивания. Примером ламинарного движения может
быть перемещение нефти в трубе. При турбулентном (turbulentus –
лат. «вихревой») частицы жидкости движутся с завихрениями, имея
сложные траектории. На вихреобразование затрачивается часть энергии потока жидкости, что приводит к большим потерям.
230
Режим движения жидкости определяют по числу Рейнольдса:
Re 
 d

,
(14.1)
где  – скорость движения жидкости в трубопроводе, м/с; d – диаметр
трубопровода, м;  – кинематическая вязкость, м2/с.
Установлено, что при Re > 2300 в трубопроводе круглого сечения
всегда имеет место турбулентный режим, а при Re < 2300 – ламинарный.
Для труб произвольного сечения вместо диаметра d подставляют
значение, равное 4 Rг. Величина R г 
П
А
– это гидравлический радиус,
равный отношению смоченного периметра П к площади сечения А.
Для трубы круглого сечения смоченный периметр равен  ∙d, а площадь сечения  ∙d2/4. Гидравлически радиус R г  d / 4 .
Перемещение жидкости связано с потерей напора. Потери напора
зависят от величины скорости движения жидкости и пропорциональны скорости в квадрате.
Напор – это удельная по весу энергия жидкости – отношение
энергии жидкости к её весу
Eж
h 

Gж
Eж
gV
,
Единица напора [h] = 1 Дж/ 1 Н = 1 м.
Напор измеряют единицами длины (м, см, мм). Различают напор
геометрический, пьезометрический и скоростной. Геометрический
напор зависит от высоты положения, например, резервуара. При
подъеме резервуара с жидкостью плотностью 1000 кг/м3 на высоту
10 м в шланге (трубопроводе) на плоскости сравнения (у основания)
будет действовать избыточное давление 0,981∙105 Па (1 ат). Пьезометрический (пьезо – греч. «давлю») напор зависит от давления, действующего на стенки трубы со стороны жидкости (газа). Пьезометрический напор находят из выражения
P
 g
. Скоростной напор зависит от
средней скорости  и определяется выражением

2
.
2g
Для перемещения жидкости по трубопроводам насос должен развивать напор, необходимый для преодоления гидравлических
231
сопротивлений трения по длине трубопровода; местных сопротивлений (вентили, изгибы, повороты); геометрической высоты, равной
разности отметок уровней жидкости в конечном и начальном пунктах
перекачки, а также на создание скоростного напора жидкости (свободного напора на выходе).
Потеря напора на трение по длине для труб круглого сечения
выражается следующим уравнением гидравлики, предложенным учеными Дарси и Вейсбахом в 1755 г. [35, 45]:
h   
l

d

2
,
(14.2)
2g
где  – коэффициент гидравлического сопротивления;  – средняя
скорость движения жидкости, м/с; l – длина трубы, м; d – внутренний
диаметр трубы, м; g = 9,81 м/с2 – ускорение свободного падения.
Потерю напора можно выразить через объемный расход, который
определяется выражением
Q  V   A  
d
2
,
(14.3)
4
где A – площадь поперечного сечения трубы.
Вычислив значение  
4Q
 d
и подставив его в выражение
2
(14.2), получим
h 
8  l Q

2
g d
2
5
.
(14.4)
Гидравлический уклон:
i 
h
l

 
2
2d  g
 tg  ,
(14.5)
где коэффициент гидравлического трения  зависит от режима движения жидкости и от степени шероховатости стенок трубопровода.
Под шероховатостью понимают неровности (выступы) внутренних поверхностей стенок. Различают естественную и эквивалентную
шероховатости. Эквивалентная (усредненная) шероховатость  равна
0,5−0,7 от максимальной величины естественной шероховатости.
232
Значения эквивалентной шероховатости для стальных и чугунных труб следующие:
1. Стальные новые – 0,02–0,1 мм.
2. Стальные, находящиеся в эксплуатации, до 1,0 мм.
3. Чугунные новые – 0,25–1,0 мм.
4. Чугунные, находящиеся в эксплуатации, до 1,5 мм.
При расчете потерь напора в стальных трубах значение эквивалентной шероховатости  берут равным 0,1–0,2 мм.
Трубопроводы разделяют на гидравлически гладкие и гидравлически шероховатые. Гидравлически гладкими называются трубопроводы, в которых отдельные струи потока, двигаясь параллельно друг
другу, плавно обтекают все неровности внутренней поверхности трубы, в результате чего шероховатость не оказывает влияния на сопротивление потока. Такое явление наблюдается при ламинарном режиме. Коэффициент гидравлического сопротивления  для гидравлически гладких труб зависит от числа Re и не зависит от степени шероховатости стенок труб.
С увеличением турбулентности толщина пограничного слоя
уменьшается, становится меньше естественной. Движущийся поток
жидкости соприкасается с шероховатостью трубы, и потери напора по
длине трубы увеличиваются.
Получаются дополнительные завихрения, создаваемые выступами, за счет которых величина коэффициента гидравлического сопротивления увеличивается. В этом случае коэффициент сопротивления
зависит от шероховатости стенок трубопровода и числа Рейнольдса
(зона смешанного трения). При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса повышается турбулентность потока и, начиная с определенного значения Рейнольдса, коэффициент  будет зависеть только от
шероховатости труб (квадратичная зона). При перекачке нефти режим
квадратичного сопротивления не наблюдается. Он встречается при
транспортировке газа. В нефтепроводах чаще встречается режим гидравлически гладкого трения.
Коэффициент гидравлического сопротивления при ламинарном
режиме, когда Re < 2300, зависит только от числа Рейнольдса (от скорости) и не зависит от состояния стенок (шероховатости), определяется по формуле Пуазейля (француз, доктор медицины, 1840)
 
64
Re
233
.
(14.6)
Для гидравлически гладких труб коэффициент  не зависит от
шероховатости, а зависит лишь от числа Re и определяется по формуле немецкого ученого Блазиуса (1913):
  0 , 3164  Re
 0 , 25
.
(14.7)
Для шероховатых труб коэффициент сопротивления зависит от
относительной шероховатости  /d , числа Рейнольдса и определяется
по формуле русского ученого Альтшуля (1952):
68 

  0 ,11   

Re 
d
0 , 25
.
(14.8)
Для труб, по которым движутся нефтепродукты, величина  лежит в пределах 0,01−0,03. Для приближенных расчетов величину 
принимают 0,02.
При движении реальной жидкости кроме потерь напора на трение
по длине потока могут возникать местные потери напора. В местных
сопротивлениях изменяется скорость по величине (сужение, расширение), направлению (колено) или одновременно по величине и по
направлению (тройник). При обтекании турбулентным потоком какой-либо преграды происходит отрыв транзитной струи от стенки с
образованием вихревых зон. Вихревые зоны образуются вследствие
трения транзитной струи с жидкостью, находящейся в мертвых зонах.
Деформация потока и вращение жидкости в мертвых зонах происходят за счет энергии основного потока, что и вызывает потерю напора в
местных сопротивлениях.
По предложению немецкого ученого Вейсбаха (1806–1871)
местные потери напора принято выражать в частях от скоростного
напора, подсчитанного за местным сопротивлением
hм 
 
2
,
(14.9)
2g
где  – коэффициент местного сопротивления, зависит от формы последнего.
Значения коэффициентов местных сопротивлений приводятся в
справочной литературе, а значения некоторых из них даны в таблице 14.1.
234
Таблица 14.1 – Значения коэффициентов местных сопротивлений
Виды местных сопротивлений
1 Фильтры
2 Угольники с поворотом под прямым
углом
3 Угольники с плавным поворотом
под углом 900
4 Тройники с соединением потока
5 Тройники с разделением потока
6 Обратные клапаны
7 Вход в трубу без закругления
кромок
8 Выход из трубы больших размеров
9 Кран
10 Задвижка при среднем открытии
11 Задвижка открытая
Значения коэффициентов
местных сопротивлений
1,7–2,2
1,5–2,0
0,12–0,15
2,0–3,0
1,0 – 2,0
2,0–4,0
0,5
1,0
5,0 – 7,0
2,0
0,1
Суммарная потеря напора в трубопроводе определяется по формуле
 H   h   h м .с ,
(14.10)
где ∑h – сумма потерь напора на трение по длине в трубе, у которой
имеются участки с различными сечениями; ∑hм.с – сумма потерь напора в местных сопротивлениях.
Следует отметить, что потери напора по длине трубы постоянного сечения изменяются пропорционально длине (линейно), а в местных сопротивлениях потери напора изменяются скачком (в конкретном сечении). При нахождении общих потерь потери на отдельных
участках суммируют.
Технологические схемы трубопроводов бывают простыми и разветвленными (сложными). При расчете разветвленных (параллельных)
систем необходимо помнить, что расход жидкости до разветвления
будет равен расходам, например, движущимся по двум ответвлениям.
Определив внутренние диаметры труб (по допустимой скорости и
расходу), вычисляют потери напора по формулам, приведенным выше.
Гидравлический расчет трубопроводов заканчивается определением потерянного напора по длине и в местных сопротивлениях. Потери напора должны быть минимальными, обеспечивая высокую эффективность при эксплуатации технологических схем.
235
Определив диаметр технологического трубопровода, проводят
расчет на прочность, оценивают толщину стенки и выбирают его марку (сортамент). Затем выбирают тип, размер насоса по требуемой подаче и необходимому напору.
14.2 Насосная установка
Насосная установка предназначена для перемещения жидкости и сообщения ей необходимой по величине
энергии давления и скорости. На рисунке 14.1 приведена принципиальная
схема насосной установки, перемещающей жидкость из приемного (всасывающего) резервуара 1 в напорный 12.
Установка содержит входной фильтр
2, клапан 3, который не пропускает
жидкость в обратном направлении и
не дает возможности системе самотеком опорожняться.
Всасывающий трубопровод 4
имеет диаметр dв, обеспечивающий
скорость
всасывания
не
более
1−1,5 м/с. Если из всасывающего трубопровода полностью удалить воздух,
то под действием атмосферного давления (760 мм рт. ст.) и при температуре 20 0С вода поднимется на высоту
10 м. Если пренебречь скоростным
Рисунок 14.1 – Схема
напором и потерями на трение и в
насосной установки
местных сопротивлениях (ввиду их
малости, 0,1−0,3 м), то высоту всасывания можно определить из выражения
h BC 
P AT  P BC
 g
,
(14.11)
где РАТ – атмосферное давление (1∙105 Па); РВС – абсолютное давление
во всасывающей линии.
Для нормальной работы насоса необходимо, чтобы давление
РВС было больше давления парообразования Рпар(насыщенных паров).
236
Например, давление Рпар для нефтепродукта при 38 0С равно
0,7∙105 Па. Выбираем РВС равным 0,8∙105 Па, тогда при плотности  ,
соответствующей 700 кг/м3, высота всасывания (согласно формуле
(14.11)) будет равна примерно 3 м.
Высота всасывания hвс для темных нефтепродуктов составляет
4–6 м. Для светлых нефтепродуктов (бензин, керосин) высота всасывания выбирается равной 3–4 м, воды 6−7 м. При высоте всасывания
больше допустимой начинается процесс кавитации (образование в
жидкости пузырьков) и разрушения лопаток насоса. Для контроля
разрежения в линии всасывания используется вакуумметр 5. Следует
помнить, что если вакуумметр показывает 0,3∙105 Па (недостаток давления до атмосферного) или 0,3 ат, то абсолютное давление в линии
всасывания равно 0,7∙105 Па (0,7 ат) или 70 кПа.
Высоту всасывания и нагнетания необходимо выбирать в зависимости от вязкости жидкости и давления парообразования. В таблице
14.2 приведены рекомендуемые значения средних скоростей во всасывающей и напорной магистралях в зависимости от вязкости жидкости.
Таблица 14.2 – Рекомендуемая средняя скорость в линиях всасывания
и нагнетания в зависимости от вязкости жидкости
Кинематическая
вязкость, см2/c
0,01−0,012
0,012−0,07
0,07−1,50
1,50−5,0
5,0−10,0
Средняя скорость в линии Средняя скорость в
всасывания, м/c
линии нагнетания, м/c
1,5
2,5
1,25
1,75
1,1
1,2
1,0
1,1
0,8
1,0
Основу насосной установки составляет насос с электродвигателем. Для перекачки нефтепродуктов, воды и других жидкостей часто
используют центробежные насосы, которые просты по конструкции и
надежны в работе.
На рисунке 14.2 показан разрез консольного центробежного
насоса. При вращении вала 5 и рабочего колеса 4 жидкость под действием центробежных сил отбрасывается от центра к периферии, создавая давление. В полости всасывания насоса создается разрежение,
заполняемое потоком жидкости (например, из резервуара). Жидкость
поступает в полость насоса под действием атмосферного давления.
237
1 – корпус; 2 – крышка корпуса; 3 – нагнетательный патрубок; 4 – колесо
рабочее; 5 – вал; 6 – муфта; 7 – электродвигатель; 8 – масляная ванна;
9 – сальниковое уплотнение; 10 – всасывающий патрубок
Рисунок 14.2 – Консольный центробежный насос
Насос 6 (см. рисунок 14.2) перемещает жидкость из линии всасывания в линию нагнетания, которая имеет трубопровод диаметром dн.
Для контроля давления в линии нагнетания установлен манометр 7.
Для изменения подачи насоса установлен дроссель (задвижка) 8.
Подача определяется при помощи мерной шайбы 9 и разности показаний манометров 10 и 11. Подача (расход жидкости) может определяться при помощи счетчика 9, установленного вместо мерной шайбы.
Мерная шайба представляет собой диафрагму с отверстием меньше
сечения трубопровода.
Уровень свободной поверхности в приемном резервуаре обозначен линией О–О, а в напорном – О1–О1 (см. рисунок 14.1). Высота
нагнетания обозначена через hн, а геометрический напор – НГ. Геометрический напор есть расстояние между линиями О–О и О1–О1.
Давление на свободной поверхности в приемном и напорном резервуарах обозначено через Ро и Рн. Расстояние между вакуумметром и манометром определяется величиной Zо
Перед началом работы установки всасывающая труба и насос заполняются жидкостью. Во избежание большого пускового момента на
валу двигателя включают насос при закрытом дросселе 8.
Напор, развиваемый насосом, – разность удельных по весу
энергий при выходе из насоса и входе в него. Если всасывающий и
напорный трубопроводы имеют одинаковые диаметры, то скорости
движения жидкости в них будут равны. Тогда напор, развиваемый
насосом, определится выражением
H
н
 Z о  h м  hв
238
,
(14.12)
где
hм 
Рм
 g
– показание манометра 7, выраженное в метрах столба
перекачиваемой жидкости;
hв 
Рв
 g
– показания вакуумметра 5, в
метрах столба перекачиваемой жидкости.
Если установка перекачивает воду и манометр при 20 0С показывает избыточное давление 0,2 МПа, то это примерно соответствует
напору 20 м вод. ст. = 2 ат.
Подача насоса (расход) регулируется дросселем 8, определяется
по показанию счетчика или по тарировочной диаграмме мерной шайбы (зависимость расхода от перепада давления на шайбе).
Объемную подачу насоса, м3/с, можно найти расчетным путем по
формуле
Q    AШ 
2Р

,
(14.13)
где  – коэффициент расхода мерной шайбы (0,6−0,8); A – площадь
проходного сечения мерной шайбы, м2;  Р – перепад давления на
мерной шайбе, Па;  – плотность жидкости (для нефтепродуктов
700−950 кг/м3, воды − 1000 кг/м3).
Потребный напор – численно равен энергии, которую необходимо сообщить единице веса жидкости для перемещения ее из приемного (всасывающего) резервуара в напорный. Если Ро и Рн равны Ратм ,
то потребный напор равен
Ш
H
п
 H
Г
  hп
,
(14.14)
где ∑hп – сумма потерь во всасывающей и напорной магистралях.
Потребный напор насоса определяют по результатам гидравлического расчета (определение потерь) трубопровода (сети), в которую
нагнетается жидкость.
Характеристика сети представляет собой графическую зависимость между подачей насоса и сопротивлением трубопровода.
Суммарные потери напора во всасывающей и нагнетательной магистралях находят по формуле
 hп   h   h м
.
(14.15)
Подставляем вместо h и hм их значения из уравнений (14.2) и
(14.9). Величину средней скорости возьмем из выражения (14.3)
  4  Q   d 2  ,  2  16  Q 2  2  d 4  и после преобразования
формулы (14.15) окончательно получим
239
 hп  к  Q
2
,
(14.16)
где к – постоянный коэффициент, зависящий от значений коэффициента гидравлического сопротивления  , длины трубы, ее диаметра,
количества и значений местных сопротивлений  .
Уравнение (14.16) представляет собой характеристику трубопровода (сети). Суммарные потери сети пропорциональны объемному
расходу в квадрате.
14.3 Совмещенная характеристика насоса и трубопровода
Если на график Н – Q нанести (рисунок 14.3) характеристику
насоса и трубопровода, то совместный график называется совмещенной характеристикой.
Точка пересечения характеристик насоса 1 и трубопровода 2 является рабочей точкой насоса 3, которая соответствует потребной подаче Qп и потребному напору Нп. Рабочая точка определяет максимально возможный расход и напор при работе насоса на данную сеть.
При проектировании трубопроводов и подборе насосов необходимо
стремиться к тому, чтобы рабочая точка насоса находилась в зоне
максимального КПД.
На рисунке 14.3 представлены совмещенные рабочие характеристики насоса и трубопровода. Рабочая характеристика трубопровода
(сети) приведена при геометрическом напоре, равном высоте подъема
жидкости НГ . По величине потребных (требуемых) значений Qп и Нп
определяют мощность на валу насоса по формуле
(14.17)
N п    g  H п  Qп   Рп  Qп  ,
где  – полный КПД центробежного насоса (0,70,9).
1 – характеристика центробежного насоса; 2 – характеристика сети
Рисунок 14.3 – Определение рабочей точки насоса
240
Мощность двигателя, приводящего в движение насос, равна
N д  1, 2  1, 3   N п .
(14.18)
14.4 Регулирование режимов работы насоса
Характеристике насоса и сети (см. рисунок 14.3) соответствует
только одна рабочая точка. Между тем требуемая подача может изменяться. Для изменения режима насоса центробежного типа изменяют
либо характеристику насоса, либо сети.
Регулирование сети может осуществляться при помощи задвижки
(дросселированием). На рисунке14.4 путем изменения проходного сечения задвижки характеристика сети изменяется. Рабочим точкам 1, 2,
3 будет соответствовать измененный расход Q1, Q2, Q3.
Рисунок 14.4 – Регулирование насосной установки путём
изменения характеристики сети
На рисунке 14.5 показано регулирование насосной установки путем изменения частоты вращения насоса. При частотах вращения вала
насоса n1, n2, n3 происходит изменение расхода жидкости. Для этой
цели необходим двигатель с переменной частотой вращения. Данный
способ регулирования сложный, но экономичный.
Рисунок 14.5 – Регулирование насосной установки путём
изменения характеристики насоса
241
При изменении частоты вращения вала насоса с n1 до n2 изменяются его главные показатели – расход Q, напор H и мощность N.
Примерные соотношения частот вращения и соотношения расходов, напора и мощности следующие [24]:
n1
n2

Q1
Q2
2
;
n1
2
n2

H1
H
2
3
;
n1
3
N1

N
n2
.
(14.19)
2
При расчете и выборе центробежных насосов вначале определяют степень быстроходности, затем размеры колеса, форму и число лопаток, строят планы скоростей, определяют КПД, расход, напор и
мощность.
14.5 Выбор основных параметров центробежного насоса
Центробежные насосы различают:
1) по числу рабочих колёс – с одним колесом и многоколесные;
2) типу лопастного колеса – с открытыми, полузакрытыми и закрытыми колесами;
3) числу входа жидкой среды в колесо насоса – с односторонним
и двухсторонним входом;
4) форме лопаток – радиальные (с выходом по радиусу), загнутые назад и загнутые вперед (по направлению вращения);
5) способу отвода жидкости – спиральные насосы и турбинные,
в которых жидкость из колеса поступает в спиральную камеру через
направляющий аппарат, представляющий собой неподвижное колесо
с лопатками;
6) развиваемому напору – с малым напором (до 20 м), средненапорные (20−60 м) и высоконапорные (более 60 м);
7) степени быстроходности – тихоходные (40−60 мин-1), нормальные (80−150 мин-1), быстроходные (150−300 мин -1).
Степень быстроходности nS представляет собой число оборотов
в минуту эталонного насосного колеса, перекачивающего воду, которое при затрате мощности 0,736 кВт (1 л. с.) развивает напор 1 м.
Степень быстроходности насоса определяют из выражения
nS 
3 , 65  n 
H
0 , 75
Q
.
(14.20)
Из анализа формулы (14.20) следует, что при данном числе оборотов (частоте) n (мин-1), увеличении подачи Q (м3/с) и уменьшении
напора Н (м) величина быстроходности nS увеличивается и наоборот.
По этой причине типы колес малой быстроходности приспособлены
242
для создания больших напоров при малой подаче, а колеса большой
быстроходности (диагональные и осевые) применяют при больших
подачах и малых напорах.
В зависимости от величины быстроходности изменяются размеры колеса, а именно отношение наружного выходного диаметра лопастного колеса D2 к диаметру входа потока жидкости в колесо D1.
В таблице 14.3 приведены значения степени быстроходности nS и
отношения D2 к D1 для различных типов лопастных колес [24].
Таблица 14.3 – Характеристики различных типов лопастных колёс
Типы лопастных колёс
1 Центробежные тихоходные
2 Центробежные нормальные
3 Центробежные быстроходные
4 Диагональные
5 Осевые
nS ,мин-1
40−80
80−150
150−300
300−600
600–1800
D2/D1
2,5
2,0
1,4−1,8
1,1−1,2
0,6−0,8
Теоретический напор, создаваемый колесом центробежного насоса, равен разности напоров на выходе и входе в него [47]:
H
T
2
 P2
V2
 

 
2 g

2
  P1
V1
 

  
2 g
 
2
2

P2  P1
V 2  V1
 



2 g

,
(14.21)
где Р1 и Р2 – давления жидкости (Па) на входе и выходе из колеса; V1
и V2 – абсолютные скорости (м/с), на входе в колесо и выходе из колеса;    g – удельный вес жидкости, Н/м3 (для нефтепродукта плотностью 850 кг/м3,  = 8330 Н/м3, а воды плотностью 1000 кг/м3,
 = 9800 Н/м3).
В выражение (14.21) входят значения давления Р1 и Р2, их можно
заменить значениями скоростей, используя уравнение Бернулли для
течения жидкости в межлопаточных каналах
P1


W1
2
2g

P2

2

W2
 H
2g
,
ц
(14.22)
где W1 и W2 – относительные скорости (касательные к поверхности
лопатки) на входе и выходе из колеса; H ц 
U
2
2
1
 U1
– напор, возни-
2g
кающий от работы центробежных сил, здесь U1 и U2 – окружные скорости на входе и выходе из рабочего колеса.
243
Даниил Бернулли (1700  1782) – швейцарский ученый, работал с 1725 г. в Петербургской академии наук.
На рисунке 14.6 показаны планы скоростей на входе (точка 1) и
выходе из колеса (точка 2) центробежного насоса.
После подстановки выражения (14.22) в выражение (14.21), преобразуя и сокращая, получим уравнение Леонардо Эйлера
(1707–1783, член Петербургской академии наук) для колес с радиальным входом жидкости
H
T
U

2
 V 2  cos 
2
,
(14.23)
g
где  2 – угол между векторами окружной U2 и абсолютной V2 скоростями на выходе из колеса; g – ускорение свободного падения,
9,81 м/с2.
Рисунок 14.6 – Планы скоростей на входе и выходе из колеса
Для колеса с радиальными лопатками V 2  cos  2  U 2 уравнение
(14.23) принимает более простой вид
HT 
U
2
2
.
(14.24)
g
Значение окружной скорости на выходе из колеса определяют из
выражения
U
2

  n  D2
,
(14.25)
60
где n – частота вращения вала насоса, мин-1 (750, 1500, 3000).
При известных значениях n и D2 можно определить теоретический напор HТ, создаваемый колесом.
244
В процессе вращения колеса под действием центробежных сил
частицы жидкости перемещаются от центра к периферии. Напор создается рабочим колесом в результате:
1) работы центробежных сил
U
2
2
1
U1
– статический напор;
2g
2) прироста
2
V2
1
V1

кинетической
энергии
абсолютного
движения
– динамический (скоростной) напор;
2 g
3) преобразования величины относительной скорости
2
1
W 2  W1
–
2 g
статический напор.
На рисунке 14.7 показаны формы лопаток центробежных машин
(направление вращения по часовой стрелке).
а – загнутые назад; б – с радиальным (по радиусу) выходом;
в – загнутые вперёд
Рисунок 14.7 – Формы лопаток
В зависимости от формы лопаток в общем напоре, создаваемом
колесом, статический и динамический напоры распределяются следующим образом:
1) лопатки радиальные – примерно 50 % статический напор и
50 % динамический напор (применяют в центробежных насосах,
дымососах);
2) лопатки загнутые назад – преобладает статический напор
(применяют в центробежных насосах);
3) лопатки загнутые вперед – преобладает динамический напор
или энергия скорости (применяют в вентиляторах).
От выбранного количества лопаток и их толщины зависит проходное сечение колеса. Уменьшение проходного сечения на выходе из
колеса учитывается коэффициентом стеснения К2, который равен
0,85−0,95 и определяется выражением
245
K
где
2

  D 2  b2  Z  b2  
  D 2  b2
,
(14.26)
b2 –
ширина проходной части колеса на выходе,
b 2   0 , 05  0 ,1  D 2 ; D2 – диаметр колеса на выходе; Z – количество
лопаток (5−13);  – толщина лопаток    0 ,1  0 , 3  b 2  .
Колесо насоса при степени быстроходности 100−150 имеет максимальный коэффициент полезного действия при числе лопаток, равных 7−11.
Совершенство центробежного насоса оценивают коэффициентом
полезного действия (КПД).
Объемный КПД   учитывает перетекание жидкости из полости
нагнетания в полость всасывания через зазоры между корпусом насоса и колесом, равен 0,85−0,95.
Гидравлический КПД  Г учитывает совершенство проточной части колеса (потери на трение, образование вихрей) и равен 0,85−0,95.
Механический КПД  М учитывает потери на трение в подшипниках и уплотнениях, равен 0,95−0,98.
Общий КПД насоса равен 0,70−0,90 и определяется из выражения
   0  Г  М .
(14.27)
14.6 Пример расчета колеса центробежного насоса
Марку требуемого насоса выбирают из числа серийных насосов,
выпускаемых на отечественных или зарубежных специализированных
заводах. Но в практике встречаются
случаи, когда необходим поверочный
расчёт насоса или расчет с целью создания новой конструкции.
Исходные данные. Часовой расход
жидкости Q =150 м3/ч, секундный расход 0,0416 м3/с; требуемый напор
Н =18 м; частота вращения вала
n = 1450 мин-1;
угловая
скорость
1
    n / 30  152 с . Перекачиваемая
жидкость – нефтепродукт плотностью
850 кг/м3.
Рисунок 14.8 – Разрез колеса
На рисунке 14.8 показан разрез коцентробежного насоса
леса центробежного насоса.
246
Передача энергии происходит путем силового воздействия лопаток на поток жидкости. За счет вращательного движения и создания
центробежных сил частицы жидкости перемещаются от центра к периферии (окраине), повышая абсолютную скорость до 20 – 80 м/с.
Скорость жидкости в трубопроводе из-за гидравлических потерь не
превышает 3−5 м/с. По этой причине абсолютную скорость жидкости
на выходе из колеса снижают в расширяющихся каналах – диффузорах. В диффузоре и спиральной камере энергия скорости снижается и
переходит в энергию давления.
1 В начале расчета насосного колеса определяем его степень
быстроходности [24]:
n s  3 ,65  n
Q
H
3 4
0 ,0416
 3 ,65  1450
18
3 4
 124 .
По степени быстроходности из данных таблице 14.3 определяем,
что колесо нормальное, отношение D2/D1=2.
2 Определяем диаметр канала на входе в колесо без учета диаметра ступицы
D 1   4  4 ,5   10
3
3
Q
 4 ,5  10
3
n
3
0 , 0416
 138 мм.
1450
Диаметр канала приближенно можно определить, найдя площадь
F по известному расходу Q и принятой допустимой средней скорости
жидкости, равной 1−2,5 м/с.
2
Q    F      D1 4 .
Для принятой скорости 2,5 м/с диаметр канала на входе в колесо
будет равен 0,145 м.
3 Принимаем объемный КПД  0 , равный 0,95; гидравлический
КПД  Г , равный 0,9; механический КПД  М , равный 0,97, тогда
   0   Г   М  0 , 95  0 , 90  0 , 97  0 ,83 .
4 По величине требуемых значений подачи Q и напора Н определяем мощность на валу насоса по формуле
N    g  H  Q   850  9,8  18  0,0416/0,8
3  7515 Вт  7,5 кВт.
5 Мощность двигателя, приводящего в движение насос, равна
N д  1 ,2  N  1 ,2  7 ,5  9 кВт .
6 Определяем крутящий момент на валу привода насоса
M  9550 
N
 9550
n
9
 60 Н  м .
1450
Для приводного вала выбираем сталь марки 20 с допустимым
напряжением кручения  кр  150  10 6 Н/м 2 . Момент сопротивления
247
круглого сечения вала W  0 , 2  D B3 .
7 Напряжение вала от его кручения

кр
M

.
W
8 Диаметр вала выбираем по формуле
M
DВ 
3
0 , 2
60 , 00

3
0 , 2  150  10
кр
6
 0 , 013 м.
С учетом запаса прочности (3 − 4) и стандартного значения вала
выбираем его диаметр 0,05 м.
9 Диаметр ступицы колеса насоса
d ст  1, 2 D В  1, 2  50  60 мм .
10 Определяем скорость на входе в колесо
 0  0 , 06  3 Q  n
2
2
 0 ,06  3 0 , 0416  1450
 2 , 7 м/с.
11 Уточняем диаметр колеса на входе с учетом диаметра ступицы
D0 
4Q
 0
2
 d ст 
4  0,0416
3 ,14  2 , 7
 0 , 06
2
 0 ,15 м.
Окончательно имеем
0 
4 Q

 D 0  d ст
2
2

4  0 , 0416


3 ,14 0 ,150
2
 0 , 06
2

 2 , 8 м с.
12 Выбираем радиус на входе в колесо r1, радиальную составляющую абсолютной скорости  1 R (вход в колесо радиальный) и ширину
входа в колесо b1.
r1  0 ,8
b1 
D0
 0 ,8
150
2
2
Q
2   r1   1 R

 60 мм;  1 R   0  2 ,8 м с ;
0 ,0416
2  3,14  0,06  2,8
 0 , 040 м.
13 На диске колеса имеются лопатки, которые уменьшают площадь входа и увеличивают скорость жидкости. Увеличение скорости
учитывается коэффициентом стеснения К1:
К 1  0 ,87 ;  1 R   1 R / К 1  2 , 8 / 0 , 87  3,2 м/с.
*
14 Окружная скорость на входном радиусе колеса и угол 1 на
выходе из лопатки находятся из выражений
u 1    r1  152  0 ,06  9 ,12 м с ;
248
tg  1 
 1R
3,2

u1
 0 , 35
;
 1  1 8 .
9 ,12
15 Определяем требуемый напор с учетом гидравлического КПД.
H

m
H
г
18

 20 м .
0 ,9
16 Для создания данного напора у колеса с радиальным выходом
лопаток окружная скорость должна быть не менее
U
*
2

g H
т

9 , 8  20  14 м/с
.
Для колес с лопатками, загнутыми назад, значение u2 должно
быть увеличено на 3050 %.
*
u 2  1 ,4  U 2  1 ,4  14  20 м/с .
17 Определяем наружный радиус колеса и его диаметр
r2 
u2


20
 0 ,13 м;
D 2  2 r2  260 мм.
152
18 Из конструктивных соображений принимаем
b 2  0 ,7  b1  0 ,7  0 ,04  0 ,028 м .
19 Увеличение радиальной скорости на выходе из колеса учитываем коэффициентом стеснения К2, равным 0,9.
2R 
Q
  D 2  b2  K 2

0 ,0416
3,14  0,26  0,28  0,9
 12 , 3 м/с.
20 Определив значения радиальной и окружной скоростей на выходе из колеса, найдем абсолютную скорость по формуле
 2   2 R  u 2  12 , 3  20
2
2
2
2
2
 551 м/с
или  2  23 м/с .
Число лопаток на колесе центробежного насоса зависит от его
наружного диаметра и может лежать в пределах 5−13. Для рассчитываемого колеса принимаем число лопаток 7.
Расчеты показали, что насосное колесо с радиальным входом,
наружным диаметром 0,26 м, с числом лопаток 7, шириной на выходе
из колеса 0,028 м, частотой вращения 1450 мин-1 обеспечит часовой
расход жидкости 150 м3/ч при напоре 18 м.
По данным расчета выбираем марку насоса, изменяя частоту
вращения при необходимости.
При расчете насосного колеса, перемещающего жидкость в системе охлаждения двигателя, создаваемый напор должен быть не бо-
249
лее 5−10 м водяного столба (0,5−1)·105 Н/м2.
Объем системы охлаждения V (л) зависит от эффективной мощности двигателя N (кВт) и определяется выражением
V   0 ,2  0 ,5   N
.
(14.28)
Подача насоса (л/с) зависит от скорости перекачиваемой жидкости, на величину которой влияют размеры центробежного насоса и его
частота вращения. Частота вращения вала насоса равна частоте вращения вала двигателя, а в некоторых случаях превышает в два раза.
Производительность насоса зависит и от кратности обмена охлаждающей жидкости, находящейся в полости блока цилиндров и радиаторе, например, 4−8 раз за одну минуту.
Для двигателя Д-440 (АМЗ) мощностью 66 кВт при частоте вращения 1750 мин-1 V = 30 л, а подача центробежного насоса –
240 л/мин.
Поверхность охлаждения А (м2) радиатора в зависимости от эффективной мощности двигателя N (кВт) приближенно может быть
определена из соотношения
(14.29)
A   0 ,1  0 , 2   N .
Контрольные вопросы
1. Основные формулы, используемые при расчете трубопроводов и местных сопротивлений.
2. Запишите формулу Дарси  Вейсбаха для определения потерь
напора в трубах по длине.
3. Что называют напором и давлением, какая связь существует
между ними?
4. Что представляет собой насосная установка?
5. Чему равна допустимая высота всасывания насосной установки, перекачивающей из резервуара воду при атмосферных условиях?
6. Запишите уравнения Эйлера для центробежной машины.
7. Что называют рабочей точкой насоса?
8. Что представляет собой совмещенная характеристика насоса
и трубопровода?
9. Способы регулирования режимов работы насоса?
10. Как выбираются основные параметры центробежного насоса?
11. Методика расчета колеса центробежной машины.
250
15 Истечение жидкости
В процессе слива (налива) жидкостей определяют скорость истечения, расход и время ее истечения. При расчете карбюраторов
определяют диаметр отверстия жиклера и необходимый перепад давления для обеспечения требуемого расхода топлива.
Насадком называют короткий патрубок (сопло), присоединенный к отверстию в тонкой стенке, имеющей длину (3−4) d0 и увеличивающий пропускную способность отверстия. Стенка считается тонкой, если ее толщина   0 , 2  d 0 , где d0 – диаметр отверстия.
При изучении истечения жидкости через отверстия и насадки
движение рассматривается на коротком отрезке, поэтому сопротивления по длине потока очень малы и ими пренебрегают. Потерю напора в
этом случае можно относить только за счет местных сопротивлений.
15.1 Истечение жидкости через отверстия
На рисунке 15.1 показано истечение жидкости через отверстие в
тонкой стенке. Рассмотрим вытекание жидкости из открытого сосуда
в атмосферу через отверстие площадью F. При истечении жидкости из
отверстия на некотором расстоянии от него происходит сжатие
струи. Степень сжатия оценивается коэффициентом сжатия
струи  , представляющим собой отношение площади сжатого сечения струи Fсж к площади
отверстия F [45]:
 
Рисунок 15.1 – Истечение жидкости
из отверстия в тонкой стенке
F сж
.
(15.1)
F
Величина  при истечении
жидкости из больших резервуаров через малые отверстия равна
0,61−0,63.
Обозначим постоянную высоту уровня жидкости над центром
отверстия через H. Давление и скорость жидкости в сечении 11 через
Р1;  1, в сечении 2 2 через Р2;  2.
Напишем уравнение Бернулли для сечений 1-1, 2-2, приняв коэффициент скорости  1   2  1 ,
H 
P1

1
2

2g

P2

251
2
2

2g
 h1  2 .
(15.2)
Пренебрегая скоростью движения жидкости в резервуаре ( 1 в
виду ее малости) и учитывая потери напора только в местном сопротивлении, уравнение Бернулли можно записать в виде
P1
H 
где


P2

2
2

2
2
 
2g
,
2g
– коэффициент местного сопротивления;
    g – удельный вес жидкости, Н/м3.
Откуда

2  

Д
P1 P 2 

2g  H 



 

1
1
в частном случае, когда
P1  P2  Pатм

Д
1

1 
,
,
2g  H
.
(15.3)
Теоретическая скорость истечения из отверстия равна
Т 
2g  H
.
(15.4)
Отношение действительной скорости истечения жидкости к
теоретической называется коэффициентом скорости
1
 

Д
Т

1
2 gH

2 gH
1
1
.
(15.5)
Величина  показывает, какая часть энергии, которой обладает
находящаяся в сосуде жидкость, затрачивается на создание скорости и
на преодоление сопротивления (например,   0 , 97 , то 97 % расходуется на создание скорости, 3 % – на потери в местном сопротивлении).
Действительная скорость истечения будет равна  Д     Т .
Объемный расход жидкости определяется из выражений
Q  F сж  
Д
F сж    F
,
Q    F 
,
2g  H .
Обозначим произведение    буквой      .
Величина μ называется коэффициентом расхода.
Окончательно имеем
252
(15.6)
Q  F
2g  H .
(15.7)
Обычно  и  определяются опытным путем, а коэффициент
 находится путем вычислений. При  = 0,64 и  = 0,97,   0 , 62 .
Коэффициент расхода есть отношение действительного расхода к теоретическому расходу.
Объемный расход жидкости (м3 /с)
Q 
где
V

,
(15.8)
V – объем жидкости в резервуаре, м3;
 – время истечения жидкости, с.
Время истечения
 
V
.
(15.9)
Q
Объемный расход можно также определить по формуле
Q 
Д
F 
  d0 / 4
2
Д
.
(15.10)
Откуда при необходимости определяется d0,  Д или Q.
Чтобы найти массовый расход, необходимо объемный расход
умножить на плотность жидкости ( М  Q   ).
15.2 Истечение жидкости через насадки
Для слива (налива) жидкостей часто используют цилиндрические насадки (рисунок 15.2). Сопловое отверстие распылителя форсунки, жиклёр карбюратора тоже представляют собой насадок.
Струя жидкости после выхода из сосуда и входа в насадок подвергается некоторому сжатию d сж  0 ,8  d , затем постепенно расширяется и заполняет все поперечное сечение. В выходном сечении 2–2
коэффициент сжатия струи  = 1. Коэффициент расхода будет равен коэффициенту скорости  = 0,82.
Коэффициент расхода насадка
больше коэффициента расхода отверстия в тонкой стенке примерно в 1,3
раза. Объясняется это тем, что насадок
работает как насос в результате того,
что на его входе образуется зона с поРисунок 15.2 – Истечение
ниженным давлением (разрежение).
жидкости из насадка
253
При сливе жидкостей (нефтепродуктов) из емкостей часто используют насадки с длинными шлангами. В данных шлангах (трубопроводах) дополнительно происходят потери напора на трение по
длине
h   
l


d
2
,
(15.11)
2g
где  – коэффициент гидравлического сопротивления;
 – средняя скорость движения жидкости, м/с;
l – длина трубы, м; d – внутренний диаметр трубы, м;
g = 9,81 м/с2 – ускорение свободного падения.
При расчете расхода жидкостей по длинным трубопроводам,
имеющим местные сопротивления, коэффициент расхода вычисляют
по формуле
1
 
1 
l
.
(15.12)
 
d
Определив  , зная F и Н, находят действительный расход жидкости и время истечения.
15.3. Истечение жидкости при переменном напоре
Задача об истечении жидкости при переменном напоре обычно
сводится к определению времени опорожнения или наполнения всего
сосуда в зависимости от начального наполнения, формы и размеров
сосуда и отверстия. Такие задачи решают при наполнении и опорожнении резервуаров, цистерн, водохранилищ, бассейнов, шлюзовых
камер. Необходимо иметь в виду, что в этих случаях вследствие непрерывного изменения напора, а следовательно, и непрерывного изменения скоростей и давлений всегда наблюдается неустановившееся движение жидкости, поэтому при расчетах нельзя использовать
обычное уравнение Бернулли.
При решении таких задач полное время истечения жидкости
разделяют на бесконечно малые промежутки, в течение каждого
напор считают постоянным, а движение жидкости установившимся.
Рассмотрим простейший пример истечения жидкости в атмосферу через донное отверстие площадью s из открытого вертикального цилиндрического сосуда, одинакового по всей высоте поперечного
сечения S (рисунок 15.3, а).
254
а)
б)
а – ёмкость с постоянным сечением; б – ёмкость с переменным сечением
Рисунок 15.3 – Истечение жидкости при переменном напоре
Элементарный объем жидкости dV , прошедшей через отверстие за бесконечно малый промежуток времени dt , рассчитывают по
формуле
dV   s    dt   s  2 gH  dt ,
(15.13)
где
H – глубина жидкости в сосуде в данный момент времени;
µs – эффективное проходное (сливное) сечение отверстия.
Глубину Н в течение времени dt считают постоянной. В действительности за это время уровень жидкости в сосуде опустится на
величину dH и объем жидкости в нем изменится на dV   S  dH
(S – площадь жидкости для цилиндрического вертикального резервуа2
ра диаметром d, она равна   d / 4 ). Знак «минус» взят потому, что с
течением времени глубина Н уменьшается и, следовательно, величина
dH будет отрицательной.
Вследствие неразрывности потока
s
2 gH  dt   S  dH .
Откуда
dt  
S  dH
s
.
(15.14)
2 gH
Полное время опорожнения сосуда определяют в результате интегрирования уравнения (15.14):
t
0
 dt   
0
где
Hн
SdH
s
,
2 gH
– глубина жидкости в сосуде до начала истечения.
Меняя пределы интегрирования в правой части (2.2.1, свой-
Hн
255
ство 4:
b
a
 f ( x ) dx    f ( x ) dx
a
принимая
),
коэффициент
расхода
b
и вынося постоянные за знак интеграла, получим
  const
t 
Hн
S
dH

s 2 g
.
H
0
Проинтегрируем полученное выражение (табл. А.3):
t 
Hн
S
s
2g
 H


1
2
dH 
0
S
s
2g

1
1
2
H

1
1

1
2
S
s

2g
H
2

1
2S
H
s
2g
.
2
Таким образом,
t 
2S
H
н
s 2 g
.
(15.15)
Формула (15.15) применима также к случаю истечения жидкости из отверстия в боковой стенке сосуда. При этом напор H н (высоту
столба жидкости) отсчитывают от центра отверстия.
В качестве примера задачи на опорожнение сосудов переменного по высоте сечения определим время опорожнения железнодорожной цистерны (рисунок 15.4), имеющей сливное отверстие А эффективным сечением µs.
Приняв указанное на рисунке 15.4 расположение координатных
осей (Ах и Аz), получим
dt  
Sdz
s
2g z
.
(15.16)
В рассматриваемом случае площадь поперечного сечения сосуда
S представляет горизонтальную площадь свободной поверхности
жидкости, находящейся в цистерне, соответствующую некоторому
уровню z:
S  2  L  x,
(15.17)
где L – постоянная длина цистерны; х – переменная величина, зависящая от значения z (уровня жидкости в цистерне).
Установим эту зависимость. Вертикальное поперечное сечение
цистерны представляет собой окружность с центром, сдвинутым относительно начала координат по оси Az вверх на величину z = R. Ее
уравнение: x 2   z  R   R 2 . Отсюда x 
тельно,
2
256
2R z  z
2
и, следова-
S  2L
2R  z  z
2
(15.18)
.
Рисунок 15.4 – Общий вид железнодорожной цистерны с
нефтепродуктом
Подставив полученное значение S в уравнение (15.16), найдем
dt  
2L
2
2 R  z  z dz
 s
.
2g z
Проинтегрируем полученное выражение:
0
t   
2R
2
2 R  z  z dz
2L
μ s
2g
.
z
Вынесем постоянные за знак интеграла и поменяем пределы интегрирования (2.2.1, свойства 2 и 4 определенного интеграла:
b
a
 С  f ( x ) dx   С   f ( x ) dx
a
2R
2L
t 
s
2g

)
b
2 R
 z  z dz
0
2L

s
z
2g
Сделав подстановку [см. формулу (2.8)]
изменив пределы интегрирования: z  2 R 
получим
2R

2 R  z dz
. (15.19)
0
2R  z  y
y  0;
 dz  dy
,
z  0  y  2R,
3
t 
2L
s
2g
0

2R
y (  dy )  
2L
s
2g
0

2R
y dy  
2L
s
2g

y
2
3
2
257
и
0
2R

 
2L
s
2g

2


 0  2R 
2R 
3
8L  R 
3s
R

g
8L  R
3s
g 
2
.
R
Таким образом, мы получили
t 
8L  R
3s
g 
2
 0 , 85
R
LR
s 
2
.
(15.20)
R
Для железнодорожной цистерны модели 15-890 длиной
L = 10,3 м, радиусом R = 1,2 м эффективным проходным (сливным)
сечением отверстия µs = 0,003 м2 (внешний цилиндрический насадок)
и объёмом бензина 60 м3 время слива в t, согласно уравнению (15.20),
составит 4850 с, или 1,35 ч [47].
15.4 Принцип работы простейшего карбюратора
Карбюратор (фр. «прибор») служит для приготовления горючей
смеси, состоящей из топлива (одна часть бензина) и воздуха (пятнадцать частей). Расход топлива, поступающий в цилиндр двигателя, зависит от диаметра калиброванного отверстия (жиклёра) и разрежения
в диффузоре.
Рассмотрим работу простейшего карбюратора. При движении
поршня вниз (рисунок 15.5) в цилиндре создается разрежение, и при
открытом впускном клапане начинается движение воздуха через
впускной трубопровод под действием перепада давления между атмосферой и полостью цилиндра. Когда воздух проходит через впускной
диффузор (канал меньшего сечения), его скорость увеличивается, а
давление падает ниже атмосферного. Создается перепад давления
между поплавковой камерой и сечением диффузора. Под действием
этого перепада давления бензин через главный топливный жиклёр
(насадок) начинает поступать через канал распылителя в диффузор.
В диффузоре бензин смешивается с воздухом, частично испаряется, и далее эта смесь поступает через впускной клапан в полость цилиндра.
Следует отметить, что уровень топлива в поплавковой камере
несколько ниже, чем сечение диффузора, в котором топливо поступает в воздушный поток (величина Н). В связи с этим топливо не может
самопроизвольно самотеком поступать из поплавковой камеры в
диффузор карбюратора. Этот уровень строго регламентирован для
каждой модели карбюратора, поддерживается запорным клапаном и
подлежит регулировке при техническом обслуживании.
Ось дроссельной заслонки связана с акселератором (педалью га258
за), которым управляет водитель. Нажимая на педаль, водитель поворачивает дроссельную заслонку. Увеличение хода педали соответствует большему углу открытия заслонки.
Рисунок 15.5 – Схема работы простейшего карбюратора
Чем сильнее открыта дроссельная заслонка, тем меньшее сопротивление она оказывает проходящему потоку, тем выше скорость
проходящего через диффузор воздуха, и тем сильнее разрежение в сечении диффузора, соответственно и больше бензина поступает в цилиндр двигателя.
15.5 Расчёт простейшего карбюратора
Рассмотрим движение воздуха от сечения ОО (вход в карбюратор) к диффузору (сечение ДД), пренебрегая потерями энергии ввиду
их малости (рисунок 15.6). Воздух входит в карбюратор с давлением
Ро и скоростью vo. В диффузоре, в результате сужения канала, скорость vД увеличивается, а давление РД снижается. Снижение давления
в диффузоре необходимо для того, чтобы под действием перепада
давления топливо поступало из поплавковой камеры в калиброванное
отверстие (жиклёр) и в смесительную трубку.
Запишем уравнение Бернулли для указанных сечений, которое
выражает закон сохранения энергии:
259
Р0
0g


2

0
2g
PД

Д

g

2
Д
. (15.21)
2g
Уравнение Бернулли устанавливает зависимость между давлением Р и скоростью v движения жидкости в различных сечениях. Если
сечение канала уменьшается (конфузор), то скорость в этом сечении
увеличивается, а давление уменьшается. При расширении канала (диффузор) скорость снижается, а давле-
Рисунок 15.6 – Расчетная схема
простейшего карбюратора
ние увеличивается.
Умножим левую и правую часть уравнения (15.21) на плотность
и ускорение свободного падения  Д  g , получим
 0  0
Р0 
2
 PД 
2
 0 
2
Д
.
(15.22)
2
Запишем уравнение неразрывности (постоянство расходов) для
сечения О  О и площади поршня:

0
f0  
П ср
, 0 
FП
FП
П ср
.
(15.23)
f0
Отношение площади поршня к площади входа в карбюратор
лежит в пределах
(15.24)
FП / f0  2  4 .
Принимаем
FП
 2
, диаметр и ход поршня равным 0,1 м.
f0
Средняя скорость поршня:

п . ср

2S n

2  0 ,1  5500
60
 18 , 3 м/с
.
(15.25)
60
Учитывая, что сечение на входе в карбюратор в 2 раза меньше
сечения поршня, то скорость v 0  2  18 , 3  36 , 6 м/с . Плотность воздуха в каналах карбюратора принимаем равным 1,2 кг/м3.
Перепад давления в поплавковой камере и диффузоре принимаем равным 0,9 ат (0,9·105 Па). Вакуумметрическое давление (разрежение) в диффузоре должно быть равно 0,1 ат. Подставляя значения давления и плотности воздуха в выражение (15.22), получим
260
1  10
5

1, 2  36 , 6
2
 0 , 9  10
5

1, 2  v Д
2
2
,
(15.26)
2
значение скорости воздуха в диффузоре составит v Д  130 м/с.
Составим уравнение неразрывности потока воздуха для входа в
карбюратор и в диффузор:
(15.27)
 0 f0   Д F Д .
Площадь поршня при его диаметре 10 см равна F П  78 см 2 .
Площадь в сечении О О равна F O  39 см 2 .
Найдём площадь диффузора в сечении Д  Д, используя уравнение неразрывности (15.27):
2
36 , 6  34  F Д  130 ; F Д  9 , 5 см .
Определив площадь диффузора, находим его диаметр:
FД 
 d
2
4FД
, d 

4
4  9 ,5

 3 , 5 см
.
(15.28)
3 ,14
Таким же способом находим диаметр сечения О О:
FO 
 d
2
4  39
, d 
4
 7 см
.
(15.29)
3 . 14
Скорость на выходе из жиклёра
 
2 gH 
2P
Т

2  0 ,1  10
5
 5 ,16
м/с,
(15.30)
750
где  Т − плотность топлива (для бензина  Т
Часовой расход топлива (кг/ч)
 750 кг/м
Gч  g e  N e ,
3
).
(15.31)
где g e  0 , 25 кг /  кВт  ч  – удельный часовой расход топлива;
N e  50 кВт – номинальная мощность двигателя.
G ч  0 , 25  50  12 , 5 кг/ч
.
Массовый расход топлива:
М 
12 , 5
 0 , 0035 кг/с
.
(15.32)
3600
Объемный расход (м3/с)
Q   f
261
,
(15.33)
Q 
V

 V  Q    f   
,
где V – объем топлива,  – время, с.
Массовый расход (кг/с)
M     f ж
.
(15.34)
Из формулы (15.34) определяем площадь сечения жиклёра
fж 
M
 

0 , 0035
750  5 ,16
 0 , 9  10
6
м
2
 0 , 9 мм
2
.
Диаметр жиклёра
d 
4  fЖ


4  0 ,9
 1, 07 мм
.
3 ,14
Контрольные вопросы
1. Как определить время слива жидкости, если известен его объем (м3) и секундный объемный расход ( м3/с)?
2. Что называют насадком и с какой целью он применяется?
3. Что называют коэффициентом расхода? Чему он равен для
отверстия в тонкой стенке, для насадка и сливного трубопровода
определенной длины?
4. Как определяется время истечения (вытекания) жидкости при
переменном напоре?
5. За счет чего воздух движется через карбюратор?
6 В каком случае топливо начинает истекать из поплавковой камеры в камеру карбюратора?
7. Почему уровень топлива в поплавковой камере ниже, чем сечение диффузора, в которое оно подается?
8. Порядок определения диаметра диффузора и жиклёра.
262
16 Устройство, принцип действия и основы расчёта
двигателя внешнего сгорания
Принцип действия двигателя внешнего сгорания разработал и
запатентовал в 1816 г. шотландский священник Роберт Стирлинг, в
честь которого он и называется. Практическая реализация такого двигателя была осуществлена только в середине 20-х годов прошлого века, а всесторонние исследования и совершенствование конструкции
далеки еще от завершения и в наши дни. Некоторые технологические
особенности и используемые материалы не позволяют пока широко
применять двигатель Стирлинга в качестве транспортной силовой
установки, хотя уже достигнуты хорошие результаты и налажено широкое его применение для привода систем на космических объектах и
в стационарных силовых агрегатах специального назначения.
Машина Стирлинга представляет устройство с замкнутым термодинамическим регенеративным циклом, с внешним подводом теплоты. Цикл состоит из процессов сжатия, нагревания, расширения
(рабочего хода) и охлаждения. Под циклом понимают совокупность
процессов, возвращающих систему в исходное состояние. Рабочим
телом может служить воздух, однако лучше гелий или водород, которые имеют более высокие коэффициенты теплопередачи и обеспечивают течение газа с меньшими гидравлическими сопротивлениями.
Потоком рабочего тела управляют путём изменения его объёма, температуры и давления. На этом принципе основано превращение теплоты в работу.
16.1 Идеальный цикл Стирлинга
В цилиндре расположены два поршня, с размещенным между
ними регенератором. Регенератор – теплообменник или термодинамическая «губка», способная поглощать и отдавать теплоту. Обычно
он состоит из пучка тонких медных проволок [43]. Регенератор поглощает и отдает рабочему телу только часть теплоты. Основную
порцию теплоты рабочее тело получает от нагретого цилиндра в процессе расширения.
В машине Стирлинга имеются две полости с периодически изменяющими объемами, которые находятся при различных температурных уровнях, соединяются посредством регенератора и вспомогательных теплообменников.
Один из объёмов, расположенный между регенератором и
поршнем, представляет полость сжатия, охлаждаемую, например,
оребренной поверхностью цилиндра до температуры Тmin. Данный
263
поршень назовем вытеснителем. Другой объем представляет полость
расширения, находящуюся при высокой температуре Tmax, к которой
постоянно подводится теплота. Поршень, расположенный в данной
полости, назовем рабочим.
Рассмотрим цикл двигателя Стирлинга (рисунок 16.1). За исходное примем положение поршня-вытеснителя  , находящегося в нижней мертвой точке (НМТ). Рабочий поршень  находится около регенератора и является в данный момент времени неподвижным. Полость
сжатия охлаждается, а к цилиндру полости расширения подводится
теплота q, например, от горелки. Для пояснения протекания цикла
Стирлинга цифрами 1, 2, 3, 4 обозначим положение поршнявытеснителя  и рабочего поршня  в цилиндре.
Рисунок 16.1 – Принцип работы двигателя Стирлинга
В начале цикла, например, температура рабочего тела равнялась
350 К, после прохождения регенератора – 400 К, а в полости расширения достигла 1000 К. На рис. 16.2 показаны в координатах Р- и Т-S
диаграммы изменения давления и температуры в полостях сжатия и
расширения.
12 Сжатие. Поршень-вытеснитель движется вверх, а рабочий
неподвижен. Давление повышается, а температура остаётся постоянной, так как полость сжатия охлаждается (процесс изотермический).
При изотермическом сжатии затрачивается наименьшая работа для
создания давления, необходимого для проталкивания рабочего тела
через регенератор.
264
P−
Рисунок 16.2 – Диаграммы двигателя Стирлинга в координатах
иT−S
23 Нагревание. Оба поршня движутся одновременно, объём
между ними остаётся постоянным (процесс изохорический). Проходя
через регенератор, нагретый от предыдущего цикла, воздух (рабочее
тело) нагревается и температура Т, давление Р повышаются.
34 Расширение. Поршень- вытеснитель  неподвижен, а рабочий поршень  поднимается вверх, совершая работу. Через стенку
цилиндра от внешнего источника (горелки) подводится теплота. При
увеличении объёма полости расширения давление падает. Температура рабочего тела достигает максимального значения и остаётся неизменной (теплота постоянно подводится).
4  1 Охлаждение. Оба поршня движутся вниз. Объём между
ними остаётся неизменным. Рабочее тело из полости расширения перемещается в полость сжатия. Проходя через регенератор, рабочее тело охлаждается от Тmax до Tmin, отдавая теплоту регенератору, которая
будет передана рабочему телу в процессе 23 следующего цикла.
Площади диаграмм в координатах P- и T-S представляют собой работу за цикл (рисунок 16.2). В координатах Р- и Т-S цикл состоит
из двух изотерм и двух изохор.
В действительности не удается осуществить в точности указанный цикл, и индикаторная диаграмма имеет вид эллипса.
16.2 Основные
формулы,
описывающие
протекание
процессов цикла двигателя Стирлинга
Для исследования процессов, происходящих в двигателе Стирлинга, используем уравнение состояния, первый закон термодинамики, изменение внутренней энергии, работы и энтропии.
Для описания процессов, происходящих в двигателе внешнего
265
сгорания, введем следующие безразмерные параметры:
1) безразмерная температура
Т 3  Т 4  Т max
t 
T min
Т
 Т 2  Т min ,
;
2) безразмерный удельный объем
 2   3   min
, Т 1
max
r 
 max
 min
, ( 1
  4   max
,а
);
3) из характеристического уравнения состояния идеального газа
для единицы массы рабочего тела следует [17], что удельный объем
 1 , газовая постоянная воздуха R, температура Т1 и давление Р1 связаны выражением
1 
R  T1
.
(16.1)
p1
Каждый из четырех процессов цикла характеризуется параметрами и функциями состояния.
Изометрический процесс сжатия (12) (см. рисунок 16.1). В
этом процессе теплота отводится от рабочего тела при минимальной
температуре цикла. Работа, затраченная на сжатие рабочего тела, эквивалентна теплоте, отводимой из цикла. При этом внутренняя энергия не изменяется, а энтропия уменьшается. При изотермическом
сжатии давление обратно пропорционально объему.
p2 
p 1 1
2
 p1r
; T 2  T1  T min .
(16.2)
Отводимая теплота q равна затраченной работе l и составляет
1
1
p 1  1 ln    R T 1 ln   .
r 
r 
(16.3)
Изменение энтропии
S 2
1
 S 1   R  ln  
r 
.
(16.4)
Регенеративный процесс теплоотдачи при постоянном объеме
(23) (нагревание). В рассматриваемом процессе теплота передается
от регенератора к рабочему телу; температура рабочего тела увеличивается от T min до T max . Работа в этом процессе не производится. Внутренняя энергия и энтропия рабочего тела возрастают. При изохорном
процессе давление газа прямо пропорционально его температуре.
266
p 2T3
p3 
T2

p2
t
; 3  2 .
(16.5)
Количество теплоты, получаемое рабочим телом, составит
q  C  T 3  T 2  ,
(16.6)
где C  – удельная теплоемкость рабочего тела при постоянном
объеме.
Затраченная работа l  0 .
Изменение энтропии
1
S 3  S 2  C  ln   .
t
(16.7)
Изотермический процесс расширения (34). В этом процессе
теплота подводится к рабочему телу во время процесса расширения
при температуре T max . Работа, получаемая при расширении рабочего
тела, эквивалентна количеству подводимой теплоты. Внутренняя
энергия рабочего тела не изменяется, а энтропия увеличивается. При
этом
p4 
p3 3
1
 p3  
r 
4
; T 4  T 3  T max .
(16.8)
Подводимая теплота q равна полученной работе l и составляет
p 3  3 ln r  R T 3 ln r
.
(16.9)
Изменение энтропии
S 4  S 3  R ln r
.
(16.10)
Регенеративный процесс теплоотдачи при постоянном объеме
(4-1) (охлаждение). В рассматриваемом процессе теплота передается
от рабочего тела к насадке регенератора. Температура рабочего тела
уменьшается от T max до T min . Работа в этом процессе не производится. При этом
p1 
p 4 T1
Т
 p4 t
;
1   4 .
(16.11)
4
Количество переданной теплоты
q  C  Т 4  T1  .
Изменение энтропии
267
(16.12)
S 4  S 1  C  ln
1
.
(16.13)
t
В регенеративных процессах теплота, переданная от регенератора рабочему телу в процессе (23), вновь возвращается к рабочему
телу в процессе (41). Внешнего притока теплоты к рабочему телу
нет. Поэтому подведенная теплота к рабочему телу (при T max ) равна
q  R  T 3  ln r . Отводимая теплота от рабочего тела (при T min ) равE
на q о  R  T1  E r .
Тогда термический КПД составит:
Т 
q
 qо
E
q
E

R  T 3  ln r  R  T1  ln r
R  T 3  ln r
1
Т m in
Т m ax
.
(16.14)
Это выражение аналогично выражению для КПД цикла Карно,
который состоит из двух изотерм и двух адиабат. Совершенство двигателя Стирлинга, его КПД зависят от значений максимальных и минимальных температур рабочего тела, совершающего работу.
16.3 Принцип действия двигателя Стирлинга
Принцип действия двигателя Стирлинга рассмотрим на примере
одноцилиндрового варианта с двумя поршнями (рисунок 16.3).
а, б, в, г – такты двигателя; д – индикаторная диаграмма; I – сжатие
(а–б в полости Б); II – подвод теплоты из регенератора; III – расширение
(б–в в полости А; в–г в полости Б); IV − отвод теплоты
Рисунок 16.3 – Принцип действия двигателя Стирлинга
268
Двигатель состоит из цилиндра 13, в котором совершают возвратно-поступательное движение два поршня, условно называемые
вытеснителем 1 и рабочим 2. Взаимное перемещение поршней и передача крутящего момента на кривошипные валы 9 осуществляются с
помощью ромбовидного шатунного механизма 10 и штока 12,
поршня-вытеснителя и штока 11 рабочего поршня.
Рабочее тело находится в полости А между верхним рабочим
поршнем и головкой цилиндра и в полости Б между поршнями, а в
процессе перемещения поршней оно проходит холодильник 3, регенератор 4 и теплообменник-нагреватель 6, где воспринимает теплоту
продуктов сгорания топлива, подаваемого в зону горения форсункой
5. Отходящие газы 8 подогревают воздух, подводимый по каналу 7 к
горелке.
В положении (рисунок 16.3, а) рабочий поршень 2 подходит к
ВМТ, а поршень-вытеснитель 1 сжимает рабочее тело в полости Б
(процесс изображен на нижней ветви I индикаторной диаграммы, рисунок 16.3, д), откуда оно поступает через холодильник в регенератор
и к нагревателю (ветвь 11). В регенераторе рабочее тело частично
нагревается, используя для этого оставшуюся теплоту от предыдущего рабочего цикла. При повороте кривошипов вала в направлении
стрелок поршни взаимно сближаются (рисунок 16.3, б) и объем полости Б дополнительно уменьшается, но к тому времени происходит уже
рабочий ход  расширение нагретого рабочего тела в полости А
(верхняя ветвь III индикаторной диаграммы). При дальнейшем повороте кривошипов (рисунок 16.3, в) завершается расширение в полости А и начинается расширение в полости Б, куда и устремляется рабочее тело, проходя через регенератор 4 и отдавая ему свою теплоту.
Для охлаждения рабочее тело поступает в холодильник 3 (ветвь IV).
В положении (рисунок 16.3, г) объем рабочего тела максимальный.
При дальнейшем повороте кривошипов верхний поршень завершает
движение к ВМТ, а нижний поршень начинает ход сжатия.
Схема двигателя Стирлинга, изображенная на рисунке 16.3, конструктивно сложна, так как нуждается в ромбическом механизме и
штоках, приводящих в движение рабочий поршень и поршеньвытеснитель. Более простую модель двигателя Стирлинга можно выполнить, используя кривошипно-шатунный механизм с ползуном и
штоком, приводящим в движение рабочий поршень и поршеньвытеснитель.
269
16.4 Схема работы двигателя Стирлинга с кривошипношатунным механизмом и его расчёт
Изотермическое сжатие
Около ВМТ или НМТ ход
поршня практически не зависит
от угла поворота вала, и его положение принимается условно
постоянным.
Поршень-вытеснитель
находится около ВМТ. Газ сжимается рабочим поршнем 2 (рисунок 16.4), движущимся слева
направо и поступает в холодную
полость
3
(под
поршеньвытеснитель). Давление газа возрастает, а температура остается
постоянной, так как теплота, возникающая при сжатии, отводится
Рисунок 16.4 – Схема двигателя
в окружающую среду через стенСтирлинга с кривошипно-шатунным
ки цилиндра 4 и холодильник 5.
механизмом
Изохорное нагревание
Рабочий поршень 2 находится вблизи ВМТ. Поршеньвытеснитель 1 движется от ВМТ вниз, перемещает холодный сжатый
воздух из полости 3 в горячую полость 6, расположенную над поршнем-вытеснителем. При прохождении газа через регенератор 7,
нагретый в предыдущем цикле, его температура и давление повышаются.
Изотермическое расширение
Поршень-вытеснитель 1 находится в НМТ. Рабочий поршень 2
под действием давления газов движется справа налево, происходит
расширение горячего газа в полости 6. Полезная работа, совершаемая
рабочим поршнем 2, через кривошип 8 передается на вал двигателя.
Давление газов падает, а температура в полости 6 остается постоянной, так как к ней подводится тепло от горячего источника 9 через
стенки цилиндра 10.
Изохорное охлаждение
Рабочий поршень 2 находится вблизи НМТ. Поршень-вытеснитель 1 движется к ВМТ и перемещает газ из горячей полости 6 в
холодную полость 3. При прохождении через регенератор 7 горячий
газ отдаёт теплоту материалу пористой насадки. Так как суммарный
270
объём двигателя остаётся постоянным, давление газа в них падает, достигая минимума.
В данной модели часть некоторых процессов цикла протекает
параллельно, по этой причине трудно выделить в отдельном виде
процессы сжатия, нагревания, расширения и охлаждения.
На рисунке 16.5 показана более простая действующая модель
двигателя Стирлинга [40]. При создании модели использовались схемы и разрезы двигателя, предложенные инженером Скурьят Эрнестом
Никодимовичем.
Рабочий поршень 2 движется в цилиндре 1 и уплотнён. Он соединён с кривошипно-шатунным механизмом 15, который имеет маховик 14. Маховик служит для равномерного вращения коленчатого
вала и запуска двигателя. Поршень -вытеснитель 10 располагается в
цилиндре 9 с зазором, что обеспечивает движение воздуха из холодной полости V Х в горячую V Г и наоборот. Цилиндр 9, где движется
поршень - вытеснитель 10, включает в себя холодильник 6 (радиатор),
регенератор 7 (катушка из медной проволоки). Поршень -вытеснитель
10 имеет шток, который уплотнён при помощи сальника 5. При движении поршня -вытеснителя 10 объем воздуха в цилиндре остается
постоянным, только он вытесняется из одной полости в другую. При
нагревании данного объема воздуха давление повышается, а при
охлаждении – понижается. Способность модели повышать и понижать
давление в замкнутом пространстве легла в основу работы двигателя
Стирлинга.
При помощи горелки 11 правая часть цилиндра 9 нагревается до
температуры 500–600 К. При движении поршня - вытеснителя 10
вправо (к ВМТ) холодный воздух, проходя через зазоры между поршнем-вытеснителем 10 и горячим цилиндром 9, нагревается. Температура и давление повышаются, и избыточное давление передаётся через трубопровод 3 и действует на площадь рабочего поршня 2.
Рабочий поршень за один оборот коленчатого вала совершает
два хода (такта), производя расширение (рабочий ход) и сжатие (двухтактный цикл). Поршень - вытеснитель находится в нейтральном положении, когда рабочий поршень 2 находится в ВМТ или НМТ. Отсчет движения поршня - вытеснителя 10 примем от положения рабочего поршня 2 в НМТ (начало сжатия рабочего тела).
271
1 − рабочий цилиндр; 2 − рабочий поршень; 3 − трубопровод;
4 − шок; 5 − втулка сальника; 6 − радиатор (холодильник); 7 − регенератор;
8 − стекловата; 9 − цилиндр; 10 – поршень-вытеснитель; 11 − горелка;
12 − рама; 13 − подставка; 14 − маховик; 15 − кривошипно-шатунный
механизм; V r − горячая полость; V − холодная полость
x
Рисунок 16.5 – Двигатель Стирлинга (действующая модель)
При повороте коленчатого вала от 0 до 900 рабочий поршень 2
совершает процесс сжатия, двигаясь к ВМТ, а поршень-вытеснитель
10 от своего нейтрального положения движется влево, проталкивая
теплый воздух через кольцевой зазор и охлаждая его при помощи холодильника 6. При вращении коленчатого вала от 90 до 1800 рабочий
поршень продолжает изотермическое сжатие, а поршень- вытеснитель 10 движется вправо к нейтральному положению. После охлаждения рабочего тела начинается его нагрев от регенератора (средняя
часть цилиндра). При повороте вала от 180 до 2700 поршеньвытеснитель 10 от своего нейтрального положения движется вправо,
проталкивая холодный воздух через кольцевой зазор и нагревая его от
горячей стенки цилиндра. Рабочий поршень 2 начинает движение под
действием создаваемого давления от ВМТ к НМТ (процесс расширения). При вращении вала от 270 до 3600 поршень-вытеснитель 10 возвращается в свое нейтральное положение (движется влево). Регенератор забирает часть теплоты рабочего тела, охлаждая его. Цикл завершается и включает в себя процессы сжатия, нагревания, расширения, охлаждения.
При нагретом цилиндре и вращении маховика 14 двигатель
272
запускается.
Действующая модель имеет диаметр рабочего поршня 40 мм,
поршня-вытеснителя 60 мм, радиус кривошипа 15 мм, зазор между
цилиндром и поршнем-вытеснителем 1 мм. Общий максимальный
объем рабочего цилиндра и цилиндра с поршнем - вытеснителем составляет 180 см3. При сжатии воздуха в рабочем цилиндре объем рабочего тела уменьшается до 140 см3. Этот объем при перемещении
поршня-вытеснителя остается постоянным, только в нем меняются
температура и давление. При частоте вращения вала двигателя
500 мин-1 и радиусе кривошипа 0,015 м средняя скорость движения
поршня – вытеснителя составляет 0,5 м/с. Средняя скорость воздуха в
кольцевом радиальном зазоре, равном 1 мм, определяется из уравнения постоянства расходов и составляет 8 м/с. При прохождении вытеснителем пути, равного ходу поршня, вытесняется объем, равный
85 см3. Этот объем вытесняется при движении поршня-вытеснителя к
НМТ (охлаждение) и ВМТ (нагрев). При длине цилиндра 10 см и высоте поршня 5 см объем воздуха в цилиндре составляет 140 см3. Поршень-вытеснитель выполнен из изоляционного материала, заполненного стекловатой, с коэффициентом теплопроводности 0,04 Вт/(мК).
Поршень-вытеснитель повышает и снижает давление (за счет
изменения температуры) в замкнутом пространстве. Рабочий поршень
воспринимает изменяемое давление и совершает работу.
Эффективную мощность (кВт) можно определить из выражения
Ne 
Pe  V h  n
,
(16.15)
60
где Ре – среднее эффективное давление в рабочем цилиндре, МПа;
Vh – рабочий объем цилиндра, л ;
n – частота вращения коленчатого вала, мин-1.
Крутящий момент на валу двигателя (Нм) определяется по
формуле
M 
9550  Ne
.
(16.16)
n
При крутящем моменте на валу двигателя, равном 0,3 Нм и частоте вращения вала 500 мин-1, двигатель развивает эффективную
мощность 16 Вт. Данная мощность двигателя обеспечивается при рабочем объеме цилиндра в 40 см3 и среднем избыточном давлении в
цилиндре 0,05 МПа (0,5 ат).
Если принять, что в данной модели до 50 % теплоты сгоревшего
топлива теряется в окружающую среду, а термический КПД равен
50 %, механический 60 %, то эффективный КПД установки будет
273
равен 15 %.
Представленная модель двигателя Стирлинга имеет низкий
КПД, но обладает простой конструкцией и наглядно демонстрирует
преобразование тепловой энергии в механическую работу.
Для повышения КПД модели рекомендуется изменение угла
между цилиндрами или кривошипами, разные размеры радиусов кривошипов для привода рабочего поршня и поршня - вытеснителя и
снижение потерь теплоты в окружающую среду путем применения
керамики или изоляционных материалов.
На рисунке 16.6 показана схема нагрева газа (воздуха) и его
охлаждение при движении поршня -вытеснителя вправо и влево. Правая часть цилиндра нагревается, а левая  охлаждается. При движении
поршня вправо воздух принудительно проталкивается через кольцевой зазор между поршнем и горячей частью цилиндра и нагревается,
например, до 500 К. Температура и давление воздуха в замкнутом
объеме повышаются. При движении поршня влево горячий воздух
проталкивается через зазоры, расположенные в зоне холодильника
(оребрённая поверхность), температура снижается, например, до
350 К и давление падает, что обеспечивает приход системы в первоначальное состояние.
а)
б)
а) – нагрев воздуха; б) – охлаждение воздуха
Рисунок 16.6 – Движение воздуха в кольцевом зазоре между
поршнем-вытеснителем и цилиндром
Известны два способа передачи энергии – в форме работы и
теплообмена. Двигатель Стирлинга можно представить в виде двух
механизмов – преобразователя давления в работу и преобразователя
энергии топлива в температуру рабочего тела, которая принудительно повышается и понижается.
Для интенсификации теплопередачи воздух проталкивается через зазор между поршнем и цилиндром. Примерный расчет теплообмена в каналах действующей модели двигателя Стирлинга приводится
ниже, а расчеты цикла можно выполнить по формулам (16.1) – (16.14).
274
Тепловой поток от горячего воздуха к холодному воздуху через разделяющую твердую стенку определяется из выражения [36]:
Ф  k  A  T
,
(16.17)
где Ф – тепловой поток, Вт;
k – коэффициент теплопередачи, Вт/(м2К);
А – площадь охлаждения, м2;
 Т – средний температурный напор, К.
Для цилиндра толщиной 5 мм, выполненного из стали 15, с теплопроводностью  = 50 Вт/(мК) и охлаждением рабочего тела воздухом коэффициент теплопередачи k =80 Вт/(м2К). При охлаждаемой
поверхности цилиндра в 47 см2 и среднем температурном напоре
160 К тепловой поток равен 60 Вт. Увеличение поверхности цилиндра
в 15 раз за счет применения ребер тепловой поток увеличился в 11 раз,
что позволило охладить рабочее тело на 50 0С.
Для определения передачи тепла от горячей стенки к рабочему
телу (воздуху) вначале находим режим течения воздуха (ламинарный
или турбулентный) по формуле
Re 
 dэ

,
(16.18)
где  – средняя скорость воздуха (м/c) в зазоре между поршнем– вытеснителем и цилиндром; эквивалентный диаметр кольцевого зазора
d э  d ц  d п , м;  – кинематическая вязкость воздуха, м2/с при средней температуре – 100 0С.
Re 
8  0 , 002
23 ,14  10
6
 690
.
Следовательно, движение в пограничном слое ламинарное
(Rе < 105).
Для определения коэффициента теплоотдачи от нагретой стенки цилиндра к воздуху найдем критерий Нуссельта по формуле
N u  0 ,6 7  R e
0 ,5
 Pr
0 ,3 3
,
(16.19)
где Pr – критерий Прандтля, для воздуха он равен 0,7 и характеризует
соотношение между полями скоростей и температур.
N u  0 ,6 7  6 9 0
0 ,5
 0 ,7
0 ,3 3
 15 .
Коэффициент теплоотдачи определяют из выражения
 
Nu 
dэ
275
,
(16.20)
где

– коэффициент теплопроводности воздуха, Вт/(м.К),
 
1 5  0 ,0 3 2 1
 240
Вт/(м2·К).
0 ,0 0 2
Тепловой поток от стенки поршня к воздуху в кольцевом канале
определяется из уравнения теплоотдачи Ньютона-Рихмана [36]
(16.21)
Ф    A   t п -в ,
где А – площадь нагрева цилиндра, м2 при прохождении воздуха в
кольцевом зазоре;  t п -в – разность температур между стенкой поршня
и средней температурой воздуха в кольцевом зазоре при входе и выходе из него.
Ф  2 4 0  0 , 0 0 8 4  5 0  1 0 0 Вт.
С увеличением зазора между цилиндром и поршнемвытеснителем уменьшаются коэффициент теплоотдачи и переданное
количество теплоты рабочему телу.
Средний температурный напор определен из условия, что температура гильзы постоянная, например 200 0С. Воздух входит в кольцевой зазор (щель) при температуре 50 0С, на выходе приобретает
температуру примерно равную температуре поверхности гильзы.
Двигатель Стирлинга представляет изолированную систему, не
имеющую обмена с окружающей средой, которую он не загрязняет.
Процесс сгорания топлива не зависит от времени (как у двигателей
внутреннего сгорания), и его можно организовать с минимальным выбросом вредных веществ. При использовании энергии Солнца двигатель Стирлинга представляет механизм, не загрязняющий атмосферу.
Главное преимущество двигателя Стирлинга в том, что он не имеет
токсичного выхлопа газов и может работать на любом виде топлива.
Контрольные вопросы
1. Принцип работы двигателя внешнего сгорания.
2. Какой газ используется в качестве рабочего тела в двигателе
внешнего сгорания?
3. Для чего предназначен рабочий поршень и поршень - вытеснитель?
4. Последовательность протекания цикла двигателя Стирлинга.
5. Расскажите принцип работы действующей модели Стирлинга.
6. Как рассчитывается теплообмен в каналах двигателя Стирлинга?
276
Приложение А
Таблицы производных, дифференциалов и интегралов
Таблица А.1 – Производные элементарных функций
Функция
Производная функции

1.  С  , С − константа
2.

x 
nx

1
n
3.

4.
a 
5.
e 
6.
 ln x 
7.
x
x
x
 log
a


a
x
x
 ln a
x
e
1

x
x
1

x  ln a

cos x

 sin x
 sin
x
9.
 cos
x
1

10.
 tg x 
11.
 ctg x 
 arcsin
n 1
2

8.
12.
0
2
cos

 arccos
x
14.
 arctg
15.
 arcctgx 
16.
 shx 
2
sin
1

13.
x
1

x
x
1 x

x
2
1

1 x
2
1

x

2

x

1
1
2
1
ch x
277
Таблица А.2 – Дифференциалы элементарных функций
dF
F   x  dx
x 
1. dC , С − константа
 
2.
d x
3.
d
n

x
n 1
nx

5.
 
d e 
6.
d  ln x 
4.
0
1
 dx
 dx
2
x
x
a  ln a  dx
x
e  dx
d a
x
x
1
 dx
x
1
7.
d  log
8.
d  sin x 
 dx
x  ln a
cos x  dx
9.
d  cos x 
 sin x  dx
10.
d  tg x 
a
x
1
11.
d  ctg x 
2
sin
d  arcsin
x
13.
d  arccos
x
14.
16.
17.
 dx
x
1
 dx
1 x
2
1

1 x
1
d  arctg x 
x
15.
x
1

12.
 dx
2
cos
d  arcctg x 
2
1
 dx
2
 dx
1

x
2
1
 dx
d  sh x 
ch x  dx
d  ch x 
sh x  dx
278
Таблица А.3 – Основные неопределенные интегралы
Неопределенный
интеграл
 0 dx
Значение неопределенного
интеграла
С, С − константа
2.  adx , а - константа
ax  C
1.
x
n
3.  x dx , n   1
4.
ln x  C
x
a
x
 a dx
5.
 C
n 1
dx

n 1
x
 C
ln a
x
x
C
6.
 e dx
7.
 sin xdx
 cos x  C
8.
 cos xdx
sin x  C
9.
 tg xdx
 ln cos x  C
10.
 ctg xdx
ln sin x  C
11.

dx
cos
2
2
sin
dx
sin x
2
 a
2
 a
x
arctg
a
1
2
2
 x
ln
2a
x  a
x  a
x
2
 C
 C
a
dx

x
arcsin
2
 C
a
dx

a
18.
1
dx

x
17.
2
 C
2
dx
x
16.
x
ln tg

15.
 
 x
ln tg  
  C
2
4


cos x

14.
 ctg x  C
x
dx

13.
tg x  C
x
dx

12.
e
ln x 
 a
279
x
2
 a  C
Приложение Б
Математические константы и логарифмы
Б.1 Число 
Как известно, число  входит в ряд формул по математике, физике, химии, биологии. Число  («Пи») – математическая константа,
выражающая отношение длины окружности к ее диаметру. Число 
выражается бесконечной десятичной дробью: 3,14159… . В расчетах
чаще всего используется значение числа   3 ,14 . Это обозначение
происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια − «окружность», «периферия» и περίμετρος − «периметр».
Если принять диаметр окружности за единицу  d  1  , то длина
окружности будет равна L    d . В Евклидовой геометрии  радиан равен 1800, один радиан равен 57,320.
Основное приближение числа  = 22/7 принадлежит древнегреческому ученому Архимеду (212−287 гг. до н. э.). Архимед, возможно, первым предложил математический способ вычисления числа
 . Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу,
Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как
нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96угольник, Архимед получил оценку 3 
10
71
   3
1
7
.
В автомобилестроении число π играет важную роль. Например,
максимальная скорость у проектируемого автомобиля должна быть
40 м/с, или 144 км/ч (40 · 3,6). Наружный диаметр ведущего колеса D
равен, например, 0,6 м. За один оборот колеса без пробуксовки автомобиль пройдет путь, равный (   D ), или 1,88 м. Определим число
полных оборотов колеса, чтобы автомобиль за один час преодолел
расстояние 144 км, или 144 000 м. Для этого необходимо 144 000 м
разделить на 1,88 м и получим 76 596 об/ч или 1276 об/мин. Зная частоту вращения колеса и частоту вращения вала двигателя, определяют передаточное отношение трансмиссии. При частоте вращения вала
двигателя, например, равного 5600 об/мин, передаточное отношение
трансмиссии должно быть равно 4,4.
280
Б.2 Число e
Известно, что незатухающую волну во времени графически можно изобразить синусоидой или суммой синусоиды и косинусоиды. В
математике,
физике,
электротехнике
такую
волну
(с амплитудой, равной 1), описывает экспоненциальная функция
i t
e
 cos  t  i sin  t , где  − частота гармонических колебаний.
Здесь записана одна из самых знаменитых математических формул −
формула Эйлера. Именно в честь великого Леонарда Эйлера (швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный
вклад в развитие математики, механики, физики, астрономии и ряда
прикладных наук (1707−1783) по первой букве его фамилии и названо
число е. Покажем, чему равно значение этой известной константы.
Рассмотрим последовательность  x n 
1

 1  
n

n
.
Если последовательность  x n  монотонная и ограниченная, то
она имеет конечный предел (теорема Вейерштрасса). Вспомним определение предела последовательности. Итак, число а называется пределом последовательности  x n  , если для любого положительного
числа  найдется такое натуральное число N , что при всех n  N
выполняется неравенство x n  a   .
Проверим выполнимость условий этой теоремы на примере по1

 1  
n

следовательности  x n 
n
.
По формуле бинома Ньютона
1

1  
n

n
n ( n  1)  1 
1
 
 
1 n
12
n
n
1
2
3
n ( n  1 )( n  2 )  1 

   ...
12 3
n
n ( n  1 )( n  2 )...[ n  ( n  1 )]  1 
... 
 
12 3 n
n
n
.
Перепишем полученное выражение в следующем виде:
xn  1  1 
1 
1
1 
1 
2 
k 1
 1    ... 
 1    1   ...  1 
  ...
2! 
n
k! 
n 
n 
n 
... 
1 
1 
2 
n 1
 1    1   ...  1 

n !
n 
n 
n 
.
Покажем, что последовательность  x n  – возрастающая. Дей281
ствительно, запишем выражение x n  1 и сравним его с выражением x n :
xn 1  2 

1 
1 
1 
1 
2  
k 1
1 
  ... 
1 
1 
 ...  1 
  ...
2! 
n 1
k! 
n  1 
n 1 
n 1
1 
1 
2 
n 1
1
1  
n 


1 
1 
 ......  1 

1 
 ...  1 
.
n! 
n  1 
n 1
n  1  ( n  1 )! 
n 1 
n 1

Непосредственным сопоставлением правых частей равенств для x n и
x n  1 убеждаемся в том, что каждое слагаемое в выражении x n  1
больше соответствующего значения x n . Это следует из того, что для
k ,
любого
равного 1 , 2 ,..., n  1 , справедливо неравенство
k  
k 

1    1 
,
n 
n 1

и, кроме того, x n  1 содержит по сравнению с x n
еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность  x n  − возрастающая.
Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех
(то есть последовательность  x n  ограничена сверху): x n  3 . Для доказательства заметим, что каждое выражение, стоящее в круглых
скобках в выражении для x n , меньше единицы, и что для любого
k  2
справедливо неравенство
1
1

k!
xn  1  1 
1
2!

1
 ... 
3!
2
k 1
. Поэтому
1
1
1 

 1  1 

 ... 
1
2
n 1
n!
2
2
2


1
1
1
1
n
2

1
2
1
1
1
1
 3
.
2
В данном случае мы воспользовались тем, что выражение
1
1
1 


 ... 
1 

2
n 1
2
2
2


представляет собой сумму n первых членов
геометрической прогрессии.
Итак, последовательность
n
 
1  
1   
n 
 

− монотонно возрастаю-
щая и ограниченная сверху, то есть имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.
282
1

lim  1  
n 
n
Из неравенства
1

1  
n

n
 e
.
n
следует, что e  3 . Отбрасывая в
 3
равенстве для  x n  все члены, начиная с четвертого, имеем
1

1  
n

n
 2
1
1
1   .
2
n
Переходя к пределу, получим
e  2
1
 2 ,5
.
2
Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3, то есть
2 , 5  e  3 . Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е.
Можно показать, что число е с точностью до пяти знаков после
запятой имеет вид 2,71828… .
Если в выражении f  x   a x в качестве a взять число e , то мы
получим показательную функцию f  x   e x , играющую важную роль
в естественных науках. Так, например, данная функция применяется
для описания следующих процессов:
– процессы (органического) роста: g  t   g 0 e ct ,
где g 0 − начальная величина; с – постоянная роста;
– процессы распада: m  t   m 0 e   t ,
где m 0 − начальная величина;  – постоянная распада;
– затухающие колебания: f  t   e  kt sin   t    ,
где  − частота;  − смещение по фазе; t − время;
– теория ошибок:
f x   e
x
2
(кривая Гаусса – функция оши-
бок).
 число e используется для описания процессов сгорания топлива в двигателях внутреннего сгорания.
283
Б.3 Логарифмы
Логарифм (от греч. «слово», «соотношение» и «число»). По
определению, логарифм числа а по основанию b – это та степень с, в
которую надо возвести b, чтобы получить подлогарифмическое выражение а:
c
с  log b a  a  b .
Логарифмы по основанию 10 называются десятичными и обозначаются lg x . Например, lg 100 = 2, или 102 =100. Соответственно,
lg 1000 = 3, lg 10000 = 4, lg 100000 = 5. Логарифмы по основанию 10
иногда применяют при построении графиков с большими числовыми
значениями.
Логарифмы по основанию e ≈ 2,718 называются натуральными (то есть природными, естественными) логарифмами и обозначаются ln x . Например, ln 100 = 4,6, или 2,718 4,6 ≈ 100.
«Естественность» именно этой системы логарифмов связана с
тем, что в ряде отношений они оказываются простейшими. Так,
например, для функции y  ln x проще всего определить производную (скорость роста). Эти замечательные свойства натуральных логарифмов привели к тому, что оба создателя учения о логарифмах −
шотландский дворянин Джон Непер (1550 − 1617) и швейцарский часовщик Йобст Бюрги (1552 − 1632), почти одновременно и независимо их открывшие, рассматривали именно этот тип логарифмов (или
весьма близкие к ним). Десятичные логарифмы впервые рассмотрел
по предложению Непера его друг и почитатель лондонский профессор
Генри Бригс (1561 − 1630). В старину десятичные логарифмы зачастую называли бригсовыми, а натуральные − неперовыми.
Соотношение между натуральным и десятичным логарифмом
определяется формулой [31]:
ln x  2 , 3  lg x
284
.
Б.4. Свойства логарифмов
a  0, b  0, a  1 .
1) log a a  1 ,
a  0 , a  1 4;
2) a log a b  b ,
a  0, b  0, a  1 ;
3) log a b c  c ,
a  0, b  0, a  1 ;
4) log a b  log a c  log a bc  ,
5)
log
a
b  log
6)
log
a
b 
7)
log
a
b 
a
c  log
1
,a, b
log
b
a
log
c
b
c
a
log
b

a 
c
,
a, b, c  0, a  1 ;
a, b, c  0, a  1 ;
 0, a  1;
, a , b , c  0 , a  1, c  1 .
285
Приложение В
Вычисление площадей и объемов некоторых фигур
1 Цилиндр – тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями, являющимися основаниями цилиндра.
Прямой круговой цилиндр – цилиндр, имеющий в основании
круг и его образующие перпендикулярны плоскости основания. Формулы для нахождения площади его боковой поверхности и объема
имеют вид
2
V   R h,
S бок  2  R h ,
где R − радиус основания цилиндра, h − высота; D  2 R − диаметр
основания цилиндра.
Основанием прямого кругового цилиндра (поршня) является
круг, площадь которого вычисляется по формуле
S   R
2
  D
2
/4.
2 Конус – тело, ограниченное конической поверхностью с замкнутой направляющей и плоскостью, образующей основание.
2.1 Прямой круговой конус − конус, имеющий в основании
круг, и его высота проходит через центр круга. Формулы для нахождения площади его боковой поверхности и объема имеют вид
S бок   R l
где
l −
;
V 
 R
2
h
,
3
длина образующей.
2.2 Усеченный конус
S бок    R 1  R 2  l ,
где R 1 и R 2 − радиусы соответственно нижнего и верхнего оснований
конуса.
V 
 h
3

2
2
 R1  R 2  R1  R 2
.
3 Сфера – площадь поверхности шара.
S  4 R
2
;
V 
4 R
3
,
3
где R − радиус сферы,
S
− площадь поверхности, V  объем шара.
286
Приложение Г1
Начальные сведения, необходимые для работы в среде Mathcad
Вводная часть. В настоящее время при решении математических задач широко используется программирование в средах Fortran,
Turbo Pascal, Delphi и др. При этом для выполнения даже небольших
математических расчётов требуется знание основ программирования.
При написании формул теряется их наглядность. Например, на языке
Pascal x записывается как sqrt(x), степень yx как exp(x*ln(y)) и т. п.
Каждый раз при выводе на печать результатов расчёта по какоё-либо
формуле требуется давать специальное сообщение, а для выдачи графиков требуется написание самим пользователем специальных
программ. Этих недостатков лишена новая математическая система
Mathcad.
MathCAD (Mathcad) – это популярная компьютерная математическая система, предназначенная для автоматизации решения многих
математических задач в различных областях науки, техники и образования. Название системы происходит от четырех английских слов –
MATHematics (читается mæθimætiks – математика) и CAD (Computer
Aided Design – система автоматизированного проектирования, т. е.
САПР)2.
На сегодняшний день Mathcad является наиболее универсальной
математически ориентированной системой. Она позволяет проводить
традиционное математическое описание решения задачи и получать
результаты вычислений как в аналитическом, так и в численном виде
с использованием при необходимости их графического представления. Запись математических выражений производится в традиционном виде с применением общепринятых знаков, таких как квадратный
корень, знак деления в виде горизонтальной черты, знак интеграла,
дифференциала, суммы и т.д.
Эта система имеет хорошо продуманные встроенные текстовый,
формульный и графический редакторы. Они снабжены удобным пользовательским интерфейсом, обладают разнообразными математическими возможностями и ориентированы на нужды большинства пользователей – школьников, студентов, инженеров, экономистов, менеПриложения Г и Д, а также все расчёты, приведённые в данной монографии в системе Mathcad, выполнены Рындиным В. В.
2
Термин «MathСad» в Интернете начинает русифицироваться как «МатКад»
(от русского слова маТематика) – «Программы «Для домашнего пользования»
MathCAD 14 (Rus) / МатКад 14».
1
287
джеров, научных работников.
Mathcad – настолько мощные и гибкие системы, что вполне заслуживают описания во многих книгах. Им посвящены уже сотни
книг, например [15, 33]. Однако до настоящего времени эта система
не нашла повсеместного применения в учебной практике вузов при
выполнении различных расчётов. Это обусловлено отсутствием как
опыта работы преподавателей в системе Mathcad, так и соответствующих примеров расчёта в этой системе. В качестве примера применения системы Mathcad при расчётах нестационарной теплопроводности
и цикла бензинового двигателя можно привести учебное пособие [36].
Основы работы в системе Mathcad. Ниже приведены минимальные сведения, необходимые для набора программ в системе
Mathcad, сохранения файлов и переноса результатов в Word, а также
некоторые причины отказов вычисления отдельных фрагментов программы.
После запуска Mathcad появляется главное окно системы
(рисунок Г.1). Верхняя строка окна включает заголовок с именем
открытого документа, кнопки свёртывания, развёртывания и закрытия документа. Во второй строке находится главное меню системы,
предоставляющее доступ ко всем функциям и командам программы. В
третьей строке располагается стандартная панель инструментов –
Standart, а в четвёртой – панель форматирования – Formatting.
Рисунок Г.1 – Основные элементы интерфейса системы Mathcad
Для включения панели вывода палитр математических знаков
288
(рисунок Г.2) – математики (Math) – необходимо щёлкнуть левой
кнопкой мыши на заголовке Вид (View) главного меню, в открывшемся подменю щёлкнуть по заголовку Панель инструментов (Toolbars) и
далее – по заголовку Математика (Math). Панель математика позволяет включить палитры, с помощью которых можно вводить в документы практически все известные математические символы, операторы и
объекты, управлять вычислениями в системе, осуществлять построение графиков.
Рисунок Г.2 – Панель вывода палитр математических знаков
Форматирование текста и формул. По умолчанию задан
шрифт Arial размером 10. Для выбора другого шрифта и его размера
необходимо щёлкнуть по пункту главного меню Формат (Format), в
падающем меню выбрать Стиль (Style), в диалоговом окне выбрать
Normal и щёлкнуть по кнопке Modify (изменить) | Font (шрифт), выбрать требуемый шрифт, например, Times New Roman и размер
шрифта, например, 14.
Для изменения шрифта переменных (величин и аргументов)
необходимо выбрать Формат (Format) | Уравнение (Equation) | Variables (переменные) | Изменить (Modify), в диалоговом окне выбираем
тот же шрифт и его размер.
Для изменения шрифта числовых значений необходимо выбрать
Формат (Format) | Уравнение (Equation), в диалоговом окне Формат
уравнений (Equation Format) вместо Variables выбрать Constants |
Modify, в диалоговом окне выбираем тот же шрифт и его размер.
Для смещения текста и формул (под формулами будем понимать все математические выражения, которые непосредственно участвуют в вычислениях) вниз нужно вывести курсор в нерабочую зону и
нажать клавишу <Enter> нужно число раз. Если нижестоящие формулы и текст нужно поднять вверх, то нужно нажимать клавишу
<Delete> (читается di:li:t – дилит).
Расстановка страниц. Для расстановки номера страницы внизу
и по центру листа нужно выбрать Вид (View) | Колонтитулы (Header
and Footer – заголовок и нижний колонтитул), в текстовом блоке
выбрать Нижний колонтитул (Footer) | В центре (Center), выбрать
289
кнопку с символом # Вставить номер страницы (Insert Page Number),
появится запись {n}. Чтобы проверить правильность установки страниц, необходимо выбрать пункт главного меню Предварительный
просмотр (Print Preview). Только в режиме Предварительный просмотр можно увидеть расстановку страниц.
Следует заметить, что в этом режиме происходит автоматическое разделение пересекающихся блоков, а также можно увидеть пересекаются ли блоки (таблицы, матрицы) с нижней пунктирной линией разделяющей страницы, чтобы устранить такие пересечения перед
печатью.
Сохранение в другом формате. Для того чтобы использовать
набранный текст, графики и формулы (в виде картинок) в текстовом
процессоре Word, необходимо выполнить следующее.
1 Установить в документ Mathcad тот же шрифт и его размер,
что и в документе Word (особенно это касается шрифта формул, так
как они войдут в виде картинок и их нельзя будет изменить).
2 Сделать двоеточие в знаке присваивания невидимым, если
требуются лишь результаты расчёта (как это принято в курсовых и
дипломных работах), а не алгоритм решения в системе Mathcad. Для
этого нужно на панели Инструменты (Tools) выбрать Параметры документа (Worksheet Options) | Отображение (Display) | Определение
(Definition) и выбрать вместо двоеточие-равно (Colon Equal) Знак равенства (Equal).
3 Убрать, если есть подчёркивание волнистой линией символов, переопределяющих ранее определённую переменную. Для этого
нужно на панели Инструменты (Tools) выбрать Параметры …
(Preferences) | Предупреждения (Warning), убрать галочку в квадратике Предупреждать о переопределении элементов (Show warnings on
redefinitions of).
4 На панели главного меню открыть Файл (File) | Сохранить как
веб-страницу…(Save As Web Page…), в открывшемся окне указать
новое имя файла и в строке Тип файла выбрать HTML File. Сохранить; в открывшемся окне Параметры сохранения в виде вебстраницы (Save As Web Page Options) по умолчанию задан формат
рисунков PNG, нажать OK (если требуется улучшить качество рисунков, то выбрать JPEG и качество, например, 100; однако значительно
увеличивается размер файла в МБ).
Замечание. Если выбрать …(Save As …), в открывшемся окне
указать новое имя файла и в строке Тип файла выбрать Файл в формате RTF (Rich Text Format File) | Сохранить, то текст останется в
рамках и буквы в словах будут отделены пробелами (вряд ли стоит
290
сохранять в этом формате).
Запись математических выражений. На экране (см. рисунок
Г.1) постоянно располагается небольшой курсор (маркер ввода)
начала области ввода математического выражения или текста. Он
имеет вид красного крестика (+).
При вводе и редактировании математических выражений (формул) курсор состоит из двух элементов – вертикального и горизонтального отрезков синего цвета. Вертикальный отрезок показывает
место ввода или редактирования, горизонтальный – протяжённость
вводимого элемента выражения.
Особо отметим роль клавиши <Пробел> при конструировании
сложных математических выражений. С помощью этой клавиши
можно менять длину синей горизонтальной линии, выделяющей активную часть сложного математического выражения, на которую будет распространяться следующее вводимое действие.
Например, требуется набрать (a + b)2. После набора a + b| синяя
черта расположена под b, а вертикальная линия справа (такой курсор
можно назвать правым угловым курсором). Если мы нажмём на панели Арифметика – Калькулятор (Calculator) клавишу возведения в
квадрат <х2>, то получим a + b2|. Поэтому следует вначале с помощью клавиши пробела охватить синей линией всё выражение a + b|, а
затем нажать кнопку <х2>, тогда получим (a + b)2|. Как видим, скобки
ставятся автоматически при правильном использовании синей черты
курсора. Ударяя на клавишу пробела, получим (a + b)2|. Если требуется умножить это выражение слева на 5, то следует перейти к левому
угловому курсору с помощью клавиши <Insert> |(a + b)2, ввести знак
умножения <x> с помощью калькулятора, или ввести с помощью клавиатуры знак [*], а затем ввести 5, получим 5|.(a + b)2.
Входной язык Mathcad, как и любой язык программирования
высокого уровня, имеет оператор присваивания – «двоеточиеравно». Он вводится при помощи кнопки арифметической палитры
(калькулятора). Например, a:=1. Этот оператор, как и многие другие,
можно ввести с клавиатуры (табл. Г.1). Для введения оператора присваивания (двоеточие-равно) нужно ввести с помощью клавиатуры
знак «:» (двоеточие).
При выводе на печать и переносе расчётов в Word возникает
необходимость изображать на экране символ присваивания двоеточие-равно [:=] в виде обычного равно [=] (то есть скрыть двоеточие).
Для этого, как уже отмечалось, нужно на панели Инструменты (Tools)
выбрать Параметры документа (Worksheet Options) | Отображение
(Display) | Определение (Definition) и выбрать вместо двоеточие291
равно (Colon Equal) Знак равенства (Equal). Если формулу сделать
активной, то двоеточие в знаке присваивания становится видимым.
Однако при наборе программы и её отладке для удобства анализа
формул рекомендуется, чтобы знак присваивания (двоеточие-равно)
по внешнему виду отличался от знака вычисления – равно.
Ввод формулы заканчивается оператором численного вывода
– символом [=] (равно), в результате чего Mathcad производит вычисление заданного выражения. Например, если в выражении у:=х2 (см.
рис. Г.1) добавить знак равно, то получим у:=х2 = 9 (данная функция
стала доступна с версии Mathcad 12).
Как видно из рисунка, предварительно над формулой было задано значение х:=3. Если на этом рисунке (листинге, как принято говорить в Mathcad) записать выражение у:=z2, то z окрасится в красный цвет и появится предупреждение «This variable or function is not
defined above» – переменная или функция не определена выше (перевод некоторых сообщений об ошибках дан в таблице Г.2).
Следует строго различать оператор присваивания [:=] и оператор вычисления выражения [=]. Система сама следит за правильным
применением этих операторов. Например, если впервые ввести [х =],
то автоматически будет введён знак присваивания [х:=]; это означает,
что ещё не вводилось числовое значение величины х. Рекомендуется
перед каждой формулой все величины, входящие в правую часть
формулы, записать со знаком равно (то есть сделать значения величин
видимыми), что позволит в дальнейшем (особенно в распечатке расчёта) проверить, при каких значениях производился расчёт.
Присваивание значений величинам должно производиться выше
или на одной горизонтали левее формулы, в которую они входят; очередная формула должна располагаться на одной горизонтали правее
предыдущей формулы, или ниже её. Неправильное расположение
формул является одной из основных причин прекращения вычислений.
Формулы можно перемещать с помощью мышки. Для этого
нужно навести указатель мыши на формулу и щёлкнуть левой клавишей, далее навести указатель мыши на рамку формулы, появится «ладошка», нажать левую кнопку и не отпуская её тащить формулы в
нужное место. Второй метод более точно позволяет располагать формулы и единицы величин на одной горизонтали. Для этого нужно курсор мыши расположить рядом с формулой, нажать левую клавишу и,
не отпуская её, подвести курсор к нужной формуле; выражение будет
окантовано пунктирной линией прямоугольника. Теперь с помощью
292
клавиш со стрелками можно двигать пунктирный прямоугольник точно в заданное место.
Вывод на экран результата вычисления. По умолчанию результаты вычисления даются в формате Общие (General). Например,
3.700 = 2.1х103, 3÷700 = 4.286 х10–3 (знак однострочного деления <÷>
вводится при совместном нажатии клавиш [Ctrl+/] ; такой знак деления использовать не рекомендуется, так как он не является общепринятым и при вставке в Word он сохраняет свой вид). Вывод числовых
значений в таком виде не всегда удобен.
Чтобы записать эти числа в десятичном виде необходимо два
раза щёлкнуть левой клавишей мыши по ответу и в открывшемся меню выбрать Формат числа (Format) | Десятичный (Decimal):
3.700 = 2100; 3 ÷ 700 = 0.004. По умолчанию число выводимых знаков
после запятой равно трём.
Для увеличения числа выводимых знаков после запятой необходимо в том же меню выбрать Число десятичных знаков (Number of
decimal places) и выбрать соответствующее число, например, семь:
3÷700 = 0.0042857.
Работа с размерными переменными. Данные и переменные
могут быть и размерными, то есть характеризоваться не только своим
числовым значением, но и наименованием единицы физической величины, или – единицы измерения (последний термин не является правильным [36]). Для присваивания таким переменным значений используются обычные знаки присваивания, но после численного значения со знаком умножения (в формуле) или пробела (в тексте) указывается единица измерения. Её удобно выбирать из окна размерных величин, которое появляется при активации на стандартной панели инструментов кнопки с изображением мерной кружки, или нажатии клавиш [Ctrl+U].
Некоторые буквы уже заняты под обозначение единиц величин.
Например, s = 1s – единица времени 1 с; m = 1m – единица длины 1 м.
В процессе вычисления Mathcad следит за соответствием размерных
величин и выдаёт сигнал ошибки в случае нарушения такого соответствия. В качестве примера рассмотрим расчёт скорости. Задаём путь
S:=5.m и время t:= 2.s, тогда скорость v :=
S
t
= 2 .5
m
s
.
При вычислениях с использованием тригонометрических функций значения углов берутся и получаются в радианах: sin(30) = –0.988,
asin(0.5) = 0.524. Для введения угла в градусах необходимо к вводимому числу градусов добавить запись deg (сокращение от слова гра293
дус) sin(30.deg) = 0.5 (знак умножения ставится автоматически). Для
получения ответа в градусах необходимо в тёмный прямоугольник,
выводимый рядом с полученным значением угла в радианах, вписать
deg: asin(0.5) =30 deg.
При использовании символов единиц (s, S, A, T и др.) для обозначения различных величин эти символы подчёркиваются волнистыми линиями; в расчётах часто используются эмпирические формулы,
где нарушается размерность, а сами единицы обозначаются латинскими буквами.
Поэтому рекомендуется во многих случаях отключать функцию
работы с размерными величинами. Для этого нужно на панели Инструменты (Tools) выбрать Параметры документа (Worksheet
Options) | Система единиц измерения (Unit System), где выбрать Нет
(None). Ну, а если требуется выражать углы в градусах, то следует самим задать
.
Набор текста. При наборе текста с места установки курсоракрестика вначале текст рассматривается как формула (слова подчёркнуты синей линией), но при нажатии клавиши <Пробел> появляется
красный курсор в виде вертикальной линии, означающий, что осуществлён переход в режим текст. Заметим, что если текст начинается
с математических знаков или скобок, то мы не сможем от формулы
перейти к тексту с помощью пробела, который введёт лишь знак
умножения (поднятая точка), например, запись «– степень сжатия» запишется в виде формулы –степень.сжатия|. В этих случаях следует
вначале перейти к режиму ввода текстовых блоков Text Region (текстовая область), выполнив команду (щёлкнуть левой клавишей на соответствующих пунктах и подпунктах главного меню) Insert | Text
Region (Вставка | Текстовая область) или нажать клавишу с символом
двойной кавычки [”] – появится красная вертикальная линия, означающая начало текста (текстовой области).
Для записи букв с нижним или верхним индексами, например,
2
рz, м , следует использовать кнопки <х2 >и <х2> панели форматирования (на рисунке Г.1 они не показаны). При быстрой печати часто забывают после ввода индекса отжать соответствующую кнопку ещё
раз; вернуть полученный мелкий шрифт в нормальный можно, если
выделить бракованный текст и нажать ту же кнопку, чтобы она стала
неактивной.
Часто в пояснительной и вводной части документа требуется в
самом тексте указывать математические формулы – начальные значения переменных, формулы использующие указанные переменные,
294
применять специальные формы-шаблоны. Особый стиль форматирования сразу выделяет такие объекты от обычных. Для создания фрагментов математических выражений внутри текста надо:
– переставить курсор в нужное место текста;
– выполнить команду Insert | Math Region (Вставка | Математическая область) с созданием пустого маркера – чёрного прямоугольника с левым угловым указателем ввода, либо нажать сочетание клавиш [Ctrl+Shift+A];
– ввести математическое выражение по определённым правилам;
– для продолжения текста нажать клавишу со стрелкой 
(нажатие пробела лишь подчеркнёт синей линией формулу).
Например, такой текст с математической вставкой:
Степень сжатия  := 1 5 дизельного двигателя.
Ввод символа присваивания двоеточия с равно [:=] осуществляется нажатием клавиши с символом двоеточия [:].
Выбор греческих букв осуществляется с помощью палитры
команды Greek (Греческие буквы), включаемую кнопкой
на панели Math. Греческие буквы можно вводить, не прибегая к таблице
символов. Для этого нужно в английской раскладке ввести букву –
аналог греческой, например, букву а и нажать сочетание клавиш
[Ctrl+G] (G – греческие буквы) получим  ; b и нажать [Ctrl+G], получим  .
Для проверки правильности введенного значения степени сжатия следует ниже введённого текста сделать запись  со знаком равно:
 = 1 5 . Если после нажатия знака равно выводится выражение с символом присваивания  := , то это означает, что степени сжатия не было
присвоено какое-либо значение: формула была записана в виде текста
(без подчёркивания формулы синей линией).
Индексация величин. Буквенные обозначения величин могут
содержать русские индексы, в отличие от других языков программирования.
Следует различать скалярные переменные с индексом в имени
переменной (например, среднее эффективное давление ре) и индексированные переменные (например, p  – давление в момент поворота
коленчатого вала на угол  ).
Индекс в имени переменной вводится после нажатия клавиши с
точкой. Использование кнопки <х2> на панели форматирования
(Formating) для обозначения среднего давления ре приводит к окрашиванию основного символа или индекса в красный цвет и сообще295
нию This variable is undefined (Эта величина не определена). Заметим, что нажатие клавиши с точкой не позволяет ввести нижний индекс к букве в текстовом редакторе – для этого используется кнопка
<х2>.
Для уменьшения размера индекса из прописных букв, например
рОС, нужно на панели Инструменты (Tools) выбрать Параметры документа (Worksheet Options) | Отображение (Display) | Индекс в имени (Literal Subscript) и выбрать вместо Крупный индекс (Large Subscript) Мелкий индекс (Small Subscript).
Для введения индекса индексированной переменной используется знак «[» – прямая открывающаяся скобка или кнопка <х2> на
панели форматирования.
Элементы матриц также являются индексированными переменными, имена которых совпадают с именем матриц. Но в этом случае
указывают два индекса – один для номера строки, другой для номера
столбца, например, М1,2.
Векторы и матрицы. Векторы и матрицы рассматриваются в
программе Mathcad как одномерные и двумерные массивы данных
(массив – упорядоченная совокупность конечного множества числовых или символьных элементов). Число строк и столбцов матрицы задается в диалоговом окне Insert Matrix (Вставка матрицы), которое открывают командой Insert Matrix (Вставка >Матрица). Вектор задается
как матрица, имеющая один столбец. Диалоговое окно Insert Matrix
проще вызвать совместным нажатием клавиш [Ctrl+M]. Задавая число строк и рядов, равное двум, выводим шаблон матрицы с четырьмя
тёмными клеточками, заполняя которые, получим например, такую
матрицу (числовые значения a и b должны быть предварительно заданы, например, a:=7, B:=–5):
a
M := 
5
4 

a+ b 
. Доступ к отдельным элементам матрицы произ-
водится при помощи двух подстрочных индексов, разделенных друг
от друга запятой. Первый индекс обозначает номер строки, а второй –
номер столбца. При этом следует учитывать, что нумерация строк и
столбцов по умолчанию начинается с «0» ! Если мы попытаемся
вывести значение второго члена в первой строке в виде М1,2=, то появится сообщение This array index is invalid for this array (Индекс
массива является недопустимым для этого массива). Правильная запись М0,1= 4.
Чтобы начать нумерацию с «1», нужно на панели Инструменты
(Tools) выбрать Параметры документа (Worksheet Options) | Встро296
енные переменные (Built-In-Variables); в строке Начальный индекс
массивов (ORIGIN) вместо 0 ввести 1. Изменить нумерацию также
можно, если перед матрицей написать ORIGIN:=1. В этом случае
правильная запись будет М1,2= 4, М2,2= 2 (a + b = 7 – 5 = 2) и неправильная М0,1=.
Иногда (например, при построении графиков) требуется выделить вектор, представляющий собой столбец матрицы. Номер столбца
матрицы отображается как верхний индекс, заключенный в угловые
скобки, например М<1>. Для его ввода используется кнопка Matrix
Column (Столбец) на панели инструментов Matrix (Матрица). Верхний
индекс можно ввести с клавиатуры при совместном нажатии [Ctrl+6].
При записи M  1  и введении знака вычисления (равно), получим
M
1
7
  ,
5
где 7 = а.
Для увеличения в матрице числа строк необходимо щёлкнуть по
матрице (сделать её активной), установить курсор в строке, ниже которой будут вводиться строки, например в последний ряд, и нажать
[Ctrl+M]; в появившемся диалоговом окне установить добавляемое
число строк, например одну, а для числа столбцов ввести ноль, тогда
получим
 a

M := 5

+

4 

a+ b

+ 
. Для удаления строки необходимо курсор поме-
стить на удаляемой строке, вызвать диалоговое окно, установить число строк 1, а столбцов 0 и нажать <Удалить (Delete)>. Аналогичным
образом добавляются или удаляются столбцы (для сохранения числа
строк в окно Строки вставить 0).
Построение графиков в Mathcad производится при помощи палитры "Графики" (см. рисунок Г.2). Например, для того, чтобы построить график функции одной переменной sin(x), необходимо: в палитре "Графики" щелкнуть на кнопке декартового графика
, в появившемся шаблоне по оси ординат указать функцию для построения
– sin(x), а по оси абсцисс – аргумент x. На одном графике можно построить несколько зависимостей, (см. рисунок 1.15). Для этого функции, вводимые для построения (sin и cos), а также их аргументы (x и
y), разделяются запятой:. sin(x), cos(у) и х, у (на рисунке 1.15 один
аргумент — х).
Вторая ось Y. В Mathcad 12 появилась дополнительная возможность добавления второй оси Y, обладающей собственной шкалой.
297
Использование двух осей ординат удобно, когда на одном и том же
графике представляются разнородные данные, например, путь и скорость, как это приведено на рисунке 1.5.
Для задания опции рисования второй оси ординат необходимо
двойным щелчком на области графика вызвать диалоговое окно графика; установить флажок проверки Enable secondary Y axis (Включите вторую ось Y); открыть вкладку Secondary Y axis (Вторая ось Y) и
настроить в ней желаемые параметры второй оси.
Разные кривые изображаются разным цветом, а для форматирования графика надо дважды щелкнуть на области графика. При помощи открывшегося диалогового окна можно осуществлять форматирование выбранного графика, а именно, наносить линии сетки, нумеровать деления по осям, применять логарифмическую шкалу и автоматическое масштабирование графика, изменять стиль отображения
осей графика и др.
Для управления отображением построенных линий служит
вкладка Traces (Линии) в открывшемся диалоговом окне. Текущий
формат каждой линии приведен в списке, а под списком расположены
элементы управления, позволяющие изменять формат. Поле Legend
Label (Описание) задает описание линии, которое отображается только при сбросе флажка Hide Legend (Скрыть описание). Список Symbol
(Символ) позволяет выбрать маркеры для отдельных точек, список
Line (Тип линии) задает тип линии, список Color (Цвет) — цвет. Список Type (Тип) определяет способ связи отдельных точек, а список
Width (Толщина) — толщину линии.
Замечание. Автоматически для любого графика задается диапазон изменения аргумента x от –10 до 10 (рисунок Г.3). Эти пределы
можно поменять, войдя в график и изменив эти значения на нужные.
Ту же операцию можно проделать и для пределов по оси ординат.
100
400
80
300
60
y ( x)
y ( x ) 200
40
100
20
0
 10
 5
0
5
0
 20  15  10  5
10
x
0
5
10
15
20
x
Рисунок Г.3 – График параболы с автоматическим заданием диапазона –10…10
Рисунок Г.4 – График параболы с заданием диапазона –20…20 и шагом 5
При большом количестве графиков для их отличия возникает
298
необходимость наносить на них символы (кружки, крестики, квадраты
и т. п). При автоматическом задании диапазона все символы сливаются в жирную линию (см. рисунок Г.3). Для увеличения шага больше
размера символа, а также для вывода результатов в виде таблиц необходимо ввести нужный диапазон чисел или вектор значений.
Чтобы задать диапазон, следует указать значение первого элемента, через запятую значение второго и через точку с запятой [;]
значение последнего элемента. Точка с запятой при задании диапазона отображается как две точки (..). Диапазон можно использовать
как значение переменной, например x:= 0,0.01.. 1, которую называют
дискретной или ранжированной переменной. Если разность прогрессии равна единице (то есть, элементы просто нумеруются), значение второго элемента и соответствующую запятую опускают, например, х:=1..10.
На рисунке Г.4 для функции у(х):= х2 введён диапазон для х с шагом 5 от –20 до 20: х:= –20, –15..20. В результате символы кружков не
сливаются и располагаются строго с этим шагом в узлах сетки, что
x 
y ( x) 
очень наглядно. В соответствии с заданным ша-20
400
гом выводятся значения аргументов и функции
-15
225
(рис. Г.5).
-10
100
Координаты какой-либо точки на диаграм-5
25
ме можно найти приближённо (решение будет
0
0
тем точнее, чем меньше берётся шаг диапазона
5
25
аргумента). Для этого необходимо навести указа10
100
тель мыши на рисунок и щёлкнуть правую кла15
225
вишу мыши; откроется контекстное меню, где
20
400
выбрать «Trace» и нажать левую клавишу
Рисунок Г.5 – Таблицы мыши. Появится табличка «X-Y Trace»,
дискретных значений х и х2 далее навести указатель мыши на искомую
точку и щёлкнуть левой клавишей мыши; через точку пройдут две
взаимно перпендикулярные линии, а в табличке появятся значения
координат искомой точки.
Решение системы уравнений. Если надо решить систему уравнений (неравенств), используют так называемый блок решения, который начинается с ключевого слова Given (дано) и заканчивается вызовом функции Find (найти). Между ними располагают «логические
утверждения», задающие ограничения на значения искомых величин,
иными словами, уравнения и неравенства. Mathcad решает такие системы с помощью итерационных методов. Поэтому всем переменным,
299
используемым для обозначения неизвестных величин, должны быть
заранее присвоены начальные значения.
Чтобы записать уравнение, в котором утверждается, что левая и
правая части равны, используется знак логического равенства – кнопка <Boolean Equals> (Логически равно) на панели инструментов
Evaluation (Вычисление). Во всех уравнениях, образующих систему,
знак логического равенства – жирное равно можно ввести также одновременным нажатием клавиш [Ctrl + =]. Другие знаки логических
условий также можно найти на этой панели. Заканчивается блок решения вызовом функции Find, у которой в качестве аргументов
должны быть перечислены искомые величины – по числу решаемых
уравнений (если хотя бы одна искомая функция не будет здесь указана, то весь блок не считается).
Функция Find возвращает решение системы уравнений в виде
вектора (матрицы одного столбца), если имеет более одного аргумента.
Эта функция должна записываться на одном уровне или ниже последнего уравнения системы.
В качестве примера рассмотрим расчёт температуры воздуха Т4
на выходе из лопаточного диффузора путём решения системы из двух
уравнений. Ранее были найдены значения величин  = 0.0894,
q = 0.323, Т3 := 351.3 К по методике, изложенной в [27]. Предварительно задаём первое приближение искомых величин: Т4 := 400 К;
β := 1.
Given
1
β
 β

 T4
m
+
β 1
σ q

1
q
= 0
 
T4
(здесь везде жирные равно)
T3

 1 .0 6 4 7 
:=
F
in
d
(
β
,T
)=

4


 3 7 4 .2 0 4 4 

Сразу получаем ответ β = 1.0647;
(здесь обычное равно).
Т4 = 374.2044 К.
Получение функциональной зависимости (кривой) по опытным данным. При проведении расчётов часто используются табличные значения некоторых функций от аргумента (например, плотности
от температуры). Для автоматизации вычислений значений промежуточных точек, отсутствующих в таблице, необходимо из этих табличных значений получить функциональную зависимость, например, для
плотности  ( t ) , то есть получить уравнение кривой, соединяющей
опытные точки. Для этих целей можно использовать сплайн300
аппроксимацию. При ней исходная функция заменяется отрезками кубических полиномов, проходящих через три смежные точки, в результате получается плавная кривая. Линия, которую описывает сплайнфункция, напоминает по форме гибкую линейку, закреплённую в
узловых точках (откуда и название аппроксимации: spline – гибкая
линейка).
Пусть задан массив М (матрица) плотностей для пропана [ГОСТ
28656-90]. Выделяем 1-й и 2-й столбцы матрицы (шаблон для степени
 1  вводится одновременным нажатием клавиш Сtrl и 6). Чтобы первый член матрицы имел индекс 1, набираем ORIGIN:=1.

t



M:= 






50
5 9 0 .9 

5 6 7 .7

5 4 2 .9 

5 2 9 .7 
4 8 5 .5 


4 5 1.3 
30
10
0
30
50
Набираем
X := M




 




1
Y := M
2
 5 9 0 .9 


5 6 7 .7


 5 4 2 .9 
 

 5 2 9 .7 
 4 8 5 .5 




4
5
1
.
3


 1 ( t) := in te r p ( S ,X ,Y ,t) .
и
S := ls p lin e ( X ,Y )
50 

30

10 

0 
30 

50 
Столбцы матрицы Х и Y можно сразу записать в виде строк (это
может сократить запись по высоте страницы, если только все данные
помещаются по ширине страницы, для этого можно уменьшить кегль).
X := (  5 0
40
30
20
10
0
10
20
30
40
50 )
T
Символ «Т» транспонирования столбца в строку вводится при
совместном нажатии клавиш Ctrl и 1.
Y := ( 5 9 0 . 9 5 7 9 . 4 5 6 7 . 7
5 5 5 .5
5 4 2 .9
S := ls p lin e ( X ,Y )
и
5 2 9 .7
5 1 5 .8
5 0 1 .1
4 8 5 .5
4 6 8 .9
4 5 1 .3 )
T
 ( t) := in te r p ( S ,X ,Y ,t) .
Проверка найденных зависимостей для температуры t:= 4 8 оС:
 1 ( t) = 454.860 и  ( t ) = 454.801. Более точные значения получаются
для большего числа исходных данных в заданном интервале аргумента, то есть для  ( t ) . Найденные функциональные зависимости плотностей  1 ( t) и  ( t ) представлены на рисунке Г.6. Данные графики
получены простым копированием их из Mathcad в Word.
301
650
650
600
600
550
 ( t)
550
500
 1 ( t)
500
 ( t)
450
400
450

400
50
0
50
t

50
0
50
t
Рисунок Г.6 – Графики зависимости плотности пропана от
температуры
Программные модули. Основными инструментами работы в
Mathcad являются математические выражения и функции, записываемые в одну строку, что позволяет создавать лишь линейные программы, то есть осуществляющие последовательные вычисления от начала к концу программы. Для осуществления циклов, а также задания
переменных и функций, записываемых в несколько строк (например,
возвращение различных значений в зависимости от условий), используются специальные программные блоки (модули).
Программный модуль в тексте документа выделяется жирной
вертикальной линией. Программные элементы, входящие в программный блок, выбираются с помощью панели инструментов Программирование (Programming). В качестве основных программных элементов
можно отметить следующие (имена программных операторов не следует вводить с клавиатуры):
Add Line (добавить линию) – создаёт и при необходимости
расширяет жирную вертикальную линию, справа от которой в
шаблонах (местозаполнителях) задаётся запись программного
блока;
if (если) – оператор условного выражения (если услоif
вие выполняется, то выполняется последующее действие).
В приложении Д приведён пример построения программного модуля для расчёта давления в цилиндре от угла поворота
коленчатого вала для совокупности последовательно протекающих
процессов (кривых), что позволило автоматически построить диаграмму цикла.
Возможные причины отказов в вычислениях. Если формула
не считает, а вы не можете понять подсказки на английском языке, то
можно порекомендовать сделать следующие шаги.
1 Ввести перед формулой все символы правой части и прове302
рить их значения, если нужно – задать их значения.
2 Проверить одинаковость написания символов в исходных
данных и в формуле (раскладка клавиатуры должна быть одинаковой,
особенно для одинаковых по виду русских и латинских букв – р, Р, о,
О, М, Е, Т и др.). Рекомендуется основной символ величины всегда
набирать латинскими буквами. В случае затруднений следует копировать символ величины из исходных данных в формулу.
3 Проверить правильность расположения задаваемых значений
и формулой, а также между предыдущей и последующей формулами:
все последующие формулы (блоки) должны находиться строго на одной линии и правее, или ниже, исходных данных и предыдущих формул.
4 Выйти из программы Mathcad и затем заново открыть файл.
5 Если формула снова не рассчитывается, то исходные данные и
саму формулу следует перенести в начало программы. Если там формула работает, то значит внизу программы, где стоит рассматриваемая
формула, значения величин изменились, например, график перестал
строиться, хотя ранее задали значения х:=1..10. Проверочный вывод
значения х показал х = 3. Поэтому следует перед графиком снова задать последовательность х:=1..10.
6 Если формула в данном файле не работает, или не строится
график, то имеет смысл скопировать необходимые данные и формулы
в новый «чистый» файл, который вводится одновременным нажатием
клавиш Ctrl и N (new – новый). Там, как правило, всё работает, а
ошибку следует искать в обозначении разных величин одинаковыми
символами, которые подчёркиваются волнистыми линиями. Например, х был задан вначале как диапазон х:=1..10, а затем как скаляр
х = 3 или как параметрическая функция х:=х(t).
7 Если не решается система уравнений, то нужно проверить, заданы ли первые приближения искомых величин, стоит ли в уравнениях знак «жирное равно» (набирается [Ctrl+=]), стоит ли Find ниже последнего уравнения системы, все ли искомые величины (их число
равно числу уравнений системы) перечислены внутри Find. Если ничего не помогает, то решить эту систему в новом («чистом») файле.
303
Таблица Г.1 – Основные операторы Mathcad, вводимые с клавиатуры
Операторы
Сложение с переносом на следующую
строку длинных выражений (после знака +)
Сложение
Клавиши
Ctrl+Enter
+
Деление в две строки
/
Деление в одну строку
Возведение в степень
Абсолютная величина
Умножение
Вычитание
Квадратный корень
Ctrl +/
^
|
*
–
\
Корень n-ой степени
Ctrl+\
Суммирование по дискретному аргументу для
бесконечного ряда
$
Обозначения
X...
+Y
X+Y
X
Y

Xn
|X|
X Y
X–Y
z
n
X
 X
n
Суммирование для конечного ряда
Ctrl+Shift+4

X
i m
Оператор присваивания (двоеточие и равно) : (двоеточие)
Оператор вывода значения константы или
= (равно)
переменной (равно)
Оператор приближённого и символьного раCtrl+=
венства (жирное равно)
Ctrl+>
Оператор символьного вычисления
(больше)
Нижний индекс в имени переменной величины
. (точка)
[ (квадратная
Нижний индекс для вектора (vector)
скобка)
[ (квадратная
Нижний индекс для матрицы (matrix)
скобка)
; (точка с
Символ перечисления значений (две точки)
запятой)
Число  = 3,14159... – системная константа
Ctrl+Shift+p
Число deg =  /180 = 0.01745329… для переdeg
вода градусов в радианы
Вывод матрицы
Ctrl+М
Определяет первый индекс массива 1 (или 0)
304
ORIGIN:=1
:=
=
=

pпара
Vn
Mn
..

deg
+


+
+ 


+ 
ORIGIN:=1
Таблица Г.2 – Перечень сообщений об ошибках
- несоответствие размера массива;
- не может быть определено;
- не содержит верхних (нижних) индексов;
definition stack overflow - переполнение стека определений;
- решения не найдено;
did not find solution
dimension to non real pow- - размерность не целое число;
er
- ошибка области определения;
domain error
- дублирование;
duplicate
- слишком большое уравнение;
equation too large
- ошибка в константе;
error in constant
- ошибка в списке;
error in list
- ошибка в блоке;
error in solve block
- ошибка в файле;
file error
- файл не найден;
file not found
- неверная операция с массивом;
illegal array operation
- неверный контекст;
illegal context
- неверный множитель;
illegal factor
- неверное имя функции;
illegal function name
- неверное употребление ORIGIN;
illegal ORIGIN
- неправильный диапазон;
illegal range
- некорректная точность аппроксимации;
illegal tolerance
- несовместимые единицы;
incompatible units
- индекс вне границ;
index out of bounds
- прервано;
interrupted
- неверный порядок;
invalid order
- длинный входной список;
list too long
- неуместная запятая;
misplaced comma
- пропущенный операнд;
missing operand
- пропущенный знак операции;
missing operator
must be 3-vector
- должно быть трехмерным вектором;
- должно быть массивом;
must be array
- должно быть безразмерным;
must be dimensionless
- должно быть возрастающим;
must be increasing
- - должно быть целым;
must be integer
- должно быть ненулевым;
must be nonzero
- должно быть положительным;
must be positive
- должен быть диапазон;
must be range
array size mismatch
cannot be defined
cannot take subscript
305
Продолжение таблицы Г.2
must be real
must be scalar
must be vector
nested solve block
no matching Given
no scalar value
not a name
not converging
only one array allowed
overflow
significance lost
singularity
stack overflow
subscript too large
too few arguments
too few constraints
too few elements
too few subscripts
too large to display
too many arguments
too many constraints
too many points
too many subscripts
undefined
unmatched parenthesis
wrong size vector
- должно быть вещественным;
- должно быть скаляром;
- должно быть вектором;
- следующий блок решения;
- нет соответствующего Given;
- нескалярная величина;
- не является именем;
- не конвертируется;
- допустим только один массив;
- переполнение;
- потеряны значащие цифры;
- деление на нуль;
- переполнение стека;
- слишком большой нижний индекс;
- слишком мало аргументов;
- слишком мало ограничений;
- слишком мало элементов;
- мало нижних индексов;
- слишком велико, чтобы отобразить;
- слишком много аргументов;
- слишком много ограничений;
- слишком много точек;
- слишком много индексов;
- не определено;
- дисбаланс скобок;
- неверный размер вектора.
306
Приложение Д
Расчёт цикла четырёхтактного тепловозного двигателя
типа ЧН 26/26 в системе Mathcad
За основу примера расчёта в системе Mathcad взят расчёт цикла
тепловозного двигателя типа ЧН 26/26, приведённый в книге [9].
Задано:
номинальная мощность двигателя
кВт;
частота вращения коленчатого вала
мин–1;
тактность двигателя
; степень сжатия
;
диаметр цилиндра
дм; ход поршня
дм.
Рабочий объём цилиндра находим по формуле
л.
Переводим в метры:
м;
м.
Двигатель с неразделённой камерой сгорания, наддув двигателя
по схеме – с газовой связью; в системе наддува с турбиной постоянного давления один турбокомпрессор, состоящий из центробежного
компрессора и осевой турбины. Воздух после компрессора охлаждается в охладителе водовоздушного типа.
Число цилиндров. Предварительно выбираем среднее эффективное давление. У лучших образцов четырёхтактных двигателей магистральных тепловозов ре = 1,6–2,0 МПа.
Принимаем
МПа.
Перед каждой формулой рекомендуется выводить значения всех
величин правой части (за исключением расположенных рядом с формулой)
(
;
;
;
;
)
Число цилиндров находим по формуле
Округляем число цилиндров до целого в большую сторону
.
Уточняем значение среднего эффективного давления
МПа.
Расчёт объёмов цилиндра и средней скорости поршня.
Литраж двигателя
л.
307
(
;
;
Литраж двигателя (проверка)
;
;
)
л.
Объем камеры сгорания (
)
;
л
Полный объём цилиндра
л
Проверка по степени сжатия
.
Средняя скорость поршня (
)
м/с.
Исходные данные:
коэффициент избытка воздуха
;
коэффициент продувки
;
максимальное давление газов в цилиндре
МПа.
Нормальные физические условия (НФУ):
МПа;
давление при НФУ
температура при НФУ
К.
Параметры воздуха на выходе из компрессора и расход воздуха
при номинальном режиме работы двигателя.
Режим работы компрессора характеризуют степень повышения
давления в компрессоре  к и массовый расход воздуха Gк, необходимые для выполнения газодинамического расчета компрессора, определения основных размеров и профилирования проточной части. Давление pк и температуру Tк воздуха во впускном трубопроводе после
охладителя необходимо знать при расчете параметров рабочего тела в
начале сжатия в цилиндре pa и Ta и показателей газообмена и, следовательно, при расчете процесса сжатия.
Предварительно в качестве нулевого приближения (до расчета
цикла) по опытным данным выбираются следующие значения величин.
Низшая удельная теплота сгорания дизельного топлива среднего
состава
кДж/кг.
Принимаем по опытным данным средний показатель адиабаты k
308
для воздуха в интервале температуры 0–200 С
.
Выбор различных КПД производится из опытных данных для дизелей по таблице Д.1 [9].
Таблица Д.1 – Опытные значения КПД для дизелей
Четырёх aк
e
i
V
 тк
м
тактные дизели
без наддува
0,39–0,49 0,75–0,80 0,30–0,42 0,75–0,90
с наддувом
до 0,92
0,80–0,95 0,65–0.85 0,50–0,66
Адиабатный КПД компрессора принимаем
КПД турбокомпрессора
.
.
Коэффициент наполнения
.
Механический КПД двигателя
.
Индикаторный КПД
.
Эффективный КПД
.
Степень отдачи теплоты в охладителе (0,5–0,7)
.
Температура охлаждающего агента (воды) на входе в охладитель (её необходимо задать, поскольку решение ищется с учётом
наличия охладителя)
o
C;
К;
К.
Потери давления в охладителе рох = 0,001–0,006 МПа
Принимаем
МПа.
Давление насосных ходов
МПа.
Отношение среднего давления насосных ходов к среднему индикаторному давлению нх = рнх/ pi принимаем в первом приближении
. Температура воздуха (окружающей среды) на входе в
компрессор
К.
Давление воздуха (окружающей среды)
МПа.
Коэффициент потерь давления в системе очистки воздуха и
глушителя на входе в компрессор σвх = 0,95–0,98. Принимаем
.
Давление на входе в компрессор после фильтра рок = рос – Δрвх = σвх.poc
МПа.
Относительная теплоотдача в стенки цилиндра за цикл qw =
= Qстен / (Hu.Gтц) = 0,10–0,25. Принимаем
.
Расчёт характеристик воздуха.
Удельная газовая постоянная воздуха
кДж/(кг.К).
309
Молярная газовая постоянная)
Молярная масса воздуха
кДж/(кмоль.К).
кг/кмоль.
Для внутреннего смесеобразования свежий заряд (индекс 1) состоит только из воздуха, поэтому
кДж/(кг.К);
кг/кмоль.
Состав дизельного топлива, кг/кг топлива
;
;
.
Удельное по топливу теоретическое количество вещества воздуха
кмоль /кг топл.
Удельная по топливу теоретическая масса воздуха
кг/кг топл.
Удельное по топливу количество вещества свежего заряда (топливом в дизелях пренебрегают; 1 – индекс свежего заряда)
кмоль/кг топл.
Суммарный коэффициент избытка воздуха
(  п р  1 . 0 5 ).
Параметры воздуха на выходе из компрессора и расход воздуха
при номинальном режиме работы двигателя.
Степень повышения давления в компрессоре πк и температуру
Тк1 на выходе из компрессора, давление рк и температуру Тк на входе в
цилиндр определяем, решая систему в подпрограмме Given-Find (см.
приложение Г).
Предварительно задаёмся в первом приближении температурой
и давлением воздуха перед впускными органами, а также всеми величинами, входящими в эту систему:
К;
К;
МПа;
МПа;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
– давление перед впускными
органами – после охладителя; (напомним, что здесь «жирное равно»);
– давление на выходе из компрессора (до охла-
310
дителя);
– степень повышения давления в компрессоре;
– температура воздуха на выходе из
компрессора (до охладителя).
– температура воздуха перед впускными органами (после охладителя).
Результаты расчёта:
МПа;
К;
Удельный
)
К;
эффективный
МПа;
;
o
расход
C.
топлива (
;
кг/(кВт.ч).
Расход топлива
кг/c.
Расход воздуха в компрессоре
(
;
;
)
кг/c.
Расчёт характеристик продуктов сгорания.
Удельное по топливу количество вещества продуктов сгорания
при α = 1 (индекс «о»)
(
;
;
;
)
кмоль /кг топл.
311
Удельное по топливу количество вещества избыточного воздуха
кмоль/кг топл.
Удельное по топливу количество вещества продуктов сгорания
при α >1
кмоль/кг топл.
Проверка по другой формуле
кмоль/кг топл.
Теоретический коэффициент молярного (молекулярного) изменения горючего заряда при его сгорании (
;
)
.
Проверка по другим формулам
;
.
Молярная масса продуктов сгорания (равна молярной массе
остаточных газов mr) при
кг/кмоль
кг/кмоль.
Удельная газовая постоянная продуктов сгорания (
)
кДж/(кг.К).
Объёмная (молярная) доля "чистых" продуктов сгорания при
сгорании 1 кг топлива и α = 1
.
Объёмная доля избыточного воздуха в продуктах сгорания (после окончания сгорания 1 кг топлива)
.
Проверка по другим формулам
;
.
Молярная масса чистых продуктов сгорания при α = 1
312
кг/кмоль;
кг/кмоль.
Суммарный коэффициент молекулярного изменения
.
Расчёт теплоёмкостей.
Средняя молярная изохорная теплоёмкость воздуха,
кДж /(кмоль.К) [36]
.
Средняя удельная изохорная теплоёмкость воздуха, кДж/(кг.К),
.
Средняя удельная изобарная теплоёмкость воздуха, кДж/(кг.К),
.
Проверяем формулу для расчёта теплоёмкости воздуха после
компрессора по таблице В.4 [36] для температуры 100 oC (
)
Табличное значение
кДж/(кг.К).
Расчётное значение
кДж/(кг.К)
Средняя молярная изохорная теплоёмкость продуктов сгорания
дизельного топлива при α = 1 [36]
.
Средняя молярная изобарная теплоёмкость продуктов сгорания
дизельного топлива при α = 1, кДж/(кмоль.К)
.
Средняя удельная изобарная теплоёмкость продуктов сгорания
дизельного топлива при α = 1, кДж/(кг.К)
Теплоёмкость свежего заряда cpсз принимаем равной теплоёмкости воздуха
при температуре во впускном трубопроводе после
o
компрессора и охладителя Tк (
C)
313
кДж/(кг.К).
;
Замечание. В примере [9] теплоёмкость свежего заряда принимается
кДж/(кг.К), что соответствует температуре воздуха 373 oC –
кДж/(кг.К), то есть вместо температуры в градусах Цельсия была взята температура в градусах Кельвина
Тк = 100 + 273 = 373 К.
Молярная изохорная теплоёмкость продуктов сгорания при
,
(Д.1)
где ro и rα – объёмные доли продуктов сгорания при α = 1 и избыточного воздуха.
Удельная изобарная теплоёмкость продуктов сгорания при
.
(Д.2)
(
;
)
кДж/(кг.К).
Расчёт параметров газа на входе в турбину.
Предварительно задаём в нулевом приближении температуру
выпускных газов перед турбиной
и
o
C;
среднюю удельную изобарную теплоёмкость выпускных газов, состоящих из "чистых" продуктов сгорания при α = 1, избыточного и продувочного воздуха при коэффициенте продувки больше единицы
(формула 343) [9]
;
кДж/(кг.К).
Расчёт изобарной теплоёмкости выпускных газов по формуле
(Д.2) для α = 2 (
кДж/(кг.К).
)
В примере [9] теплоёмкость выпускных газов принимается
кДж/(кг.К), что соответствует температуре газов 322 oC
(
)
кДж/(кг.К).
Проверяем формулы для расчёта теплоёмкости дизельного топлива по таблице В.14 [36]:
oC;
а) для
(
;
)
314
табличное значение
кДж/(кмоль.К) и
кДж/(кг.К);
расчётное значение
б) для
(
и
кДж/(кг.К);
) табличное значение
кДж/(кг.К);
расчётное значение (
)
кДж/(кг.К).
Сходимость
хорошая.
Расчёт удельной изобарной теплоёмкости выпускных газов по
формуле (Д.2) для α = 2
кДж/(кг.К), что ещё ближе к
табличному значению.
Если взять значения теплоёмкостей как в работе [9]
кДж/(кг.К);
кДж/(кг.К) (
)
о
и
С;
кг/кг топлива;
;
;
;
;
кДж/кг, то значение температуры газа перед турбиной определится по формуле [9]
o
C;
= 633.17 oC, что соответствует примеру — 633,2 oC.
Замечание. Далее из-за несовпадения значений теплоёмкостей,
принятых в примере и в данном расчёте, а также учёта в нашем расчёте зависимости их от температуры t т , расчёты в системе Mathcad будут несколько отличаться от примера [9].
Для турбины с постоянным давлением температуру газа перед
турбиной можно определить из уравнения внутреннего теплового
315
баланса двигателя, которое решаем, используя блок Given-Find.
Проверяем исходные данные для расчёта (в первом приближении все искомые величины должны быть заданы, так как система
уравнений решается методом последовательных приближений):
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
;
;
;
o
К;
C;
кДж/(кг.К).
Расход топлива
кг/c.
Расход газа в турбине (
)
кг/c.
Замечание. Следует отметить, что в данном примере удельная
энтальпия определяется по формуле i = cp t. Однако на странице 223
учебника [9] используется формула i = cpT. Если в уравнение для расчёта tт ввести термодинамические температуры Тк и Tт= tт + Т0, то
температура газов перед турбиной получается меньше (обозначим её
t т 1 ).
Задаём первое приближение
о
С;
;
кДж/(кг.К) (
).
Определяем t т 1 из той же системы с помощью блока Given-Find:
316
;
;
;
;
C;
К;
кДж/(кг.К).
Действительно, при использовании Т для расчёта удельной энтальпии получается значение температуры газов перед турбиной
меньше, чем при использовании t:
<
.
Определяем значения вспомогательных величин.
(
;
;
;
;
;
).
Вспомогательная величина  т
o
.
Вспомогательная величина , зависящая от теплофизических
свойств продуктов сгорания и воздуха; определяется при постоянных
показателях адиабаты, взятых при нормальной температуре, например, 20 оС (
;
;
;
)
.
Степень понижения давления в турбине
.
Давление газа на входе в турбину
МПа.
Процессы сжатия, сгорания и расширения в цилиндре рассчиты317
ваем по методу Гриневецкого-Мазинга.
Давление и температура во впускном трубопроводе известны:
МПа;
К.
Принимаем давление в выпускном трубопроводе равным давлению перед турбиной:
МПа.
Температуру остаточных газов принимаем (600–900 К)
К.
Подогрев свежего заряда от стенок цилиндра
К.
Параметры рабочего тела в начале сжатия в цилиндре и показатели очистки и наполнения.
Давление остаточных газов в камере сгорания
МПа.
Давление в начале сжатия в цилиндре
МПа.
Коэффициент, учитывающий изменение количества вещества
свежего заряда за период дозарядки, принимаем равным единице
.
Коэффициент, учитывающий неодинаковость теплоёмкостей
при 100 оС (
),
.
Коэффициент наполнения определяем путём решения системы
уравнений.
Начальные приближения:
;
.
(
;
)
;
;
;
. Результаты расчёта:
коэффициент очистки
;
318
коэффициент избытка продувочного воздуха
коэффициент наполнения
.
Коэффициент остаточных газов
;
.
Температура рабочей смеси газов в цилиндре в начале сжатия
К;
o
C.
Молярная внутренняя энергия смеси свежего заряда и остаточных газов в конце наполнения
(
;
;
)
кДж/кмоль.
;
Процесс сжатия в цилиндре.
Показатель политропы сжатия n1 и температуру в конце сжатия
Тс находим, решая систему уравнений.
Задаём начальные приближения:
показатель политропы сжатия выбираем из предела n1 = 1,32–1,42
;
температуру в конце сжатия выбираем из предела Тс = 750–950 К
К.
Молярная внутренняя энергия смеси свежего заряда и остаточных газов в конце сжатия. Начальные приближения:
кДж/кмоль;
;
(
;
).
;
;
;
.
319
Результаты вычислений:
К;
;
o
C;
Давление рабочей смеси в конце сжатия (
кДж/кмоль.
МПа)
МПа.
Процесс сгорания.
Теоретический коэффициент молярного (молекулярного) изменения горючего заряда при его сгорании (
;
)
.
Действительный коэффициент молярного (молекулярного) изменения рабочей смеси (
)
.
Коэффициент использования теплоты ξz в процессе сгорания на
участке с-z принимаем по опытным данным
.
Давление в конце сгорания, принимаем равным максимальному
принятому давлению цикла
МПа.
Степень повышения давления в цикле (
)
.
Для облегчения расчёта температуры Тz предварительно вычисляем константу в уравнении сгорания
(
;
;
;
;
;
;
;
)
кДж/кмоль.
Принимаем в первом приближении
o
C;
Теплоёмкость продуктов сгорания
320
.
кДж/(кмоль.К).
Температуру
находим из уравнения сгорания
;
;
.
o
К.
C;
Степень предварительного расширения
.
Объём цилиндра в точке z = z'' (
)
л.
Процесс расширения.
Степень последующего расширения в цилиндре
(
;
)
.
Замечание. В примере  =8.784, но по их данным
.
Коэффициент использования теплоты к концу расширения (в
точке b) ξb = 0,82–0,87, а в комбинированных двигателях достигает
0,92. Принимаем
.
Вычисляем вспомогательную константу А:
(
;
)
;
.
Показатель политропы n2 и температуру Тb в конце расширения
находим, решая систему уравнений, предварительно приняв в первом
приближении
;
;
;
;
;
;
;
321
.
;
.
Результаты расчёта:
Давление в конце расширения
К;
o
C;
.
МПа.
(
Индикаторные показатели цикла (двигателя).
Расчётное среднее индикаторное давление
;
;
; рс = 10.394 МПа;
;
Tz = 1830.038;
  1 .4 8 3 5
;
;
;
 z  1 .2 9 9
)
МПа.
В действительном рабочем цикле вследствие конечной скорости
сгорания топлива получается скругление на участке сгорания; у точки
b получается скругление вследствие осуществления опережения выпуска. Поэтому действительное значение среднего индикаторного
давления получается меньше расчётного, что учитывается коэффициентом полноты индикаторной диаграммы
= 0,92–0,97.
Если принять
= 0,95, то действительное индикаторное давление с учётом скругления диаграммы
МПа.
;
Среднее эффективное давление (
)
МПа.
Проверка мощности двигателя
кВт.
Расчётная мощность получилась меньше номинальной, принятой в начале расчёта
кВт.
322
Поэтому уточняем коэффициент полноты диаграммы  п (в пределах допустимых значений) до получения N e  N e o .
Принимая
, получим уточнённые значения:
среднего индикаторного давления (
)
среднего эффективного давления (
)
эффективной мощности
МПа;
МПа;
кВт;
индикаторного КПД
;
удельного индикаторного расхода топлива
кг/кВт.ч.
Уточнение параметров газа на входе в турбину.
В результате расчёта цикла были получены следующие значения
величин, необходимые для расчёта температуры газа перед турбиной:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Определяем уточненное значение температуры газа перед турбиной:
;
;
;
o
К;
C;
кДж/(кг.К).
Относительная погрешность расчёта температуры газа перед
323
турбиной
.
Погрешность менее 1 % и расчёт по найденным значениям величин повторять не следует.
Эффективные показатели двигателя.
Эффективный кпд двигателя (
;
)
.
Удельный эффективный расход топлива (начальное
)
кг/кВт.ч.
По результатам расчёта уточняем расход воздуха в компрессоре,
расход топлива и расход газа в турбине:
(начальное
кг/c.
)
Расход топлива
кг/c.
Расход газа в турбине (начальное
)
кг/c.
Построение индикаторной диаграммы.
Построение индикаторной диаграммы двигателя производится с
использованием данных расчёта рабочего процесса. Для построения
диаграммы нужно знать составляющие полного объёма цилиндра, а
также зависимость текущего объёма цилиндра от угла поворота коленчатого вала.
В Mathcad имеется системная переменная deg для перевода градусов в радианы. Если вами специально отключена функция <Система
единиц измерения>, то системная переменная deg не работает и её
следует самим ввести
и сделать проверку
.
Предварительно задаём диапазон угла
через 1 градус поворота коленчатого вала (гпкв). Принимаем отношение длины
кривошипа к длине шатуна
. Объём камеры сгорания
л определён ранее.
Текущий объём цилиндра в функции от угла φ в интервале от 0
до 720 градусов поворота коленчатого вала [34]
.
324
На рисунке Д.1 дан график этой функции.
Рисунок Д.1 – Изменение объёма цилиндра в функции от угла
поворота коленчатого вала
Процесс впуска считаем протекающим при постоянном давлении ра = 0.313 МПа.
Уравнение политропы сжатия ( V a  14.955 ; n 1  1.366 )
.
Давление в конце сжатия (без учёта опережения воспламенения
топлива)
p c := p с ж (3 6 0 )= 1 0 .3 9 4 МПа.
Объём цилиндра в конце изобарного процесса подвода тепла в
теоретическом цикле
л. Угол для этого объёма находим
методом итераций, предварительно задаём начальное
гпкв.
.
Выбор округлённого целого числа
гпкв.
Итак, угол поворота коленчатого вала для точки z равен 381о.
Уравнение политропы расширения
.
Построение диаграммы теоретического цикла.
Программный модуль функции давления в цилиндре от угла поворота коленчатого вала p ( φ ) для последовательно протекающих
процессов впуска, сжатия, расширения и выпуска может быть записан
в таком виде:
325
Для построения диаграммы (рисунок Д.2) задаём диапазон
изменения угла
.
Рисунок Д.2 – Теоретическая диаграмма дизеля, развёрнутая по
углу поворота коленчатого вала
На рисунке Д.3 приведена свёрнутая (на рабочем объёме) теоретическая диаграмма дизеля.
Характерные объёмы: полный объём цилиндра
л;
объём камеры сгорания
л; объём конца изобарного процесса подвода тепла
л.
326
Рисунок Д.3 – Свёрнутая диаграмма теоретического цикла дизеля
Скругление индикаторной диаграммы.
Сжатие протекает по политропе до момента начала видимого
сгорания топлива в точке с'' (угол φс2), который зависит от угла задержки воспламенения 5 – 18 гпкв и угла опережения впрыска
20 – 35 гпкв до ВМТ. Повышение давления в результате воспламенения топлива начинается за Δφс = 10 – 15 гпкв до ВМТ.
Принимаем
гпкв.
Тогда угол окончания процесса сжатия по политропе и начала
видимого сгорания топлива (изменяя этот угол, можно изменять работу сжатия, а значит и среднее индикаторное давление), будет равен
гпкв.
Давление в начале видимого сгорания (в точке с2 =с'', где кривая
сжатия на диаграмме отрывается от политропы сжатия) обозначим
327
МПа.
В результате предварительного сгорания топлива (до
прихода поршня в ВМТ) действительное давление в конце процесса
сжатия (в ВМТ) получается больше расчётного и лежит в пределах
рсд = (1.15–1.25) рс.
Принимаем давление в ВМТ
МПа.
На участке от начала воспламенения
(от давления рс2) до ВМТ
(до давления pcд) изменение давления от угла поворота коленчатого
вала считаем линейным.
Максимальное давление сгорания в дизелях достигается при
Δφz = 10 – 15 гпкв после ВМТ. Принимаем
гпкв.
Тогда угол поворота коленчатого вала, соответствующий максимальному давлению в цилиндре в точке z1 = z',
гпкв.
На участке от ВМТ до
(точка z') изменение давления считаем
линейным (от pcд до pz).
Горизонтальный участок процесса сгорания z1z2 = z'z'' уменьшаем до Δφz2 с началом в точке z1 = z' и окончанием в точке z2 = z'',
например, уменьшаем горизонтальный участок процесса сгорания с
гпкв до
гпкв.
Угол окончания изобарного участка (точка z2 = z'')
гпкв.
Изменение давления от точки z2 максимального давления pz до
точки z3 пересечения с политропой расширения считаем линейной.
Точка z3 должна на несколько градусов (
) располагаться
правее точки z  z те р .ц теоретического цикла до скругления диаграммы с координатой
гпкв. Принимаем
гпкв.
Тогда угол точки пересечения прямой линии z2z3 с политропой
расширения
гпкв.
Соответствующее давление на линии расширения
МПа.
Процесс выпуска начинается с момента начала открытия выпускного клапана в точке b1 до прихода поршня в НМТ. Опережение
открытия выпускного клапана способствует очистке цилиндра от продуктов сгорания и уменьшает работу по выталкиванию отработавших
328
газов. Угол опережения открытия выпускного клапана лежит в пределах Δφов = 40–80 гпкв до НМТ [34]. Изменяя этот угол можно изменять
работу расширения (в малых пределах). Принимаем
гпкв.
Угол начала открытия выпускного клапана
гпкв.
Давление в точке b1 определяем по уравнению политропы расширения
МПа.
Давление в точке b (для 540 гпкв)
МПа.
Действительное давление в НМТ (точка bд) приближённо находится как среднее арифметическое от давлений pb и pr
МПа.
Считаем, что заметный отрыв реальной кривой давления политропы расширения начинается в точке b2 после поворота коленчатого
вала на 10о после начала его открытия, то есть при угле
гпкв.
Давление в точке b2 находим по уравнению политропы расширения
МПа.
На участке от
до НМТ изменение давления от угла поворота
коленчатого вала считаем линейным.
Считаем также, что давление газов становится равным давлению pr в точке b3 при повороте коленчатого вала на 35о после НМТ, то
есть при угле
(этот и другие углы подбираются, исходя из получаемого вида скругления диаграммы)
гпкв.
На участке от НМТ до
изменение давления от угла поворота
коленчатого вала считаем линейным.
Программный модуль для давления в цилиндре от угла поворота
коленчатого вала для скруглённой диаграммы может быть записан в
таком виде:
329
Вывод значений давлений на выпуске:
МПа;
МПа;
МПа;
МПа.
На рисунках Д.4 и Д.5 представлены соответственно развёрнутая и свёрнутая скруглённые диаграммы.
330
Рисунок Д.4 – Скруглённая диаграмма дизеля, развёрнутая по
углу поворота коленчатого вала
Рисунок Д.5 – Свёрнутая скруглённая диаграмма цикла дизеля
331
Проверка среднего индикаторного давления. Поскольку при
расчёте среднего индикаторного давления насосные потери при впуске и выпуске не учитывались (они были отнесены к механическим потерям), то среднее индикаторное давление определяем как разность
средних давлений процессов расширения и сжатия (путём расчёта соответствующих работ под линиями сжатия и расширения – в виде
суммы площадей 360 прямоугольников – и деления их на рабочий
объём цилиндра Vh).
МПа;
МПа;
Среднее индикаторное давление цикла, рассчитанное по площадям диаграммы цикла,
МПа.
Ранее аналитически было найдено среднее индикаторное давление цикла pi = 1,8898 МПа. Относительная погрешность расчёта
p i  p i1
 0.01  % .
pi
Если найденные графическим методом значения рi1 отличаются
от расчётного pi более чем на 1 %, то значения рi1 можно изменить (в
пределах допустимых значений), выбирая различные значения углов
Δφс, Δφz1, Δφz2, Δφz3 влияющих на работы сжатия и расширения.
332
Литература
1 А. с. 1539353 СССР, F-2 В 29/04. Двигатель внутреннего
сгорания / В. Э. Лено, Ю. П. Макушев, Г. С. Шаталов. – Павлодар :
ПИИ. № 4401877; заявл. 01.04.1988; опубл. 01.10.1989, Бюл. № 4.–3 с.
2 Автомобильные двигатели / под ред. М. С. Ховаха. − М. :
Машиностроение, 1977. – 591 с.
3 Алексеев В. П. Физические основы процессов в камерах сгорания поршневых ДВС : учеб. пос. по курсу «Теория рабочих процессов
комбинированных ДВС» / В. П. Алексеев, Д. Н. Вырубов. – М. :
МВТУ им. Н. Э. Баумана, 1977. – 84 с.
4 Болдовская Т. Е. Интегральное исчисление функции одной
действительной переменной : сборник задач / Т. Е. Болдовская. –
Омск : СибАДИ, 2008. – 80 с.
5 Брюханов О. Н.
Тепломассообмен :
учебное
пособие /
О. Н. Брюханов, С. Н. Шевченко. − М. : Издательство АСВ, 2005. – 460 с.
6 Вибе И. И. Новое о рабочем цикле двигателей / И. И. Вибе. –
М. : Машгиз, 1962. – 271 с.
7 Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах /
П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М. : Высш. школа,
1986. – Т.1. – 304 с.
8 Двигатели внутреннего сгорания: в 3 кн. Кн. 2. Динамика и
конструирование: учебник для вузов / В. Н. Луканин и др.; под ред.
В. Н. Луканина и М. Г. Шатрова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. :
Высшая шк., 2005. – 400 с.
9 Двигатели внутреннего сгорания: Теория поршневых и
комбинированных двигателей / Д. Н. Вырубов, Н. И. Иващенко,
В. И. Ивин и др.; под ред. А. С. Орлина, М. Г. Круглова. – М. :
Машиностроение, 1983. – 456 с.
10 Ерохин В. Г. Основы термодинамики и теплотехники :
учебник для техникумов / В. Г. Ерохин, М. Г. Маханько,
П. И. Самойленко.– М. : Машиностроение, 1980. – 224 с.
11 Жарова Н. Р. Обыкновенные дифференциальные уравнения /
Н. Р. Жарова, А. М. Завьялов, Л. Г. Кузнецова. − Омск : СибАДИ,
2002. – 164 с.
12 Зельдович Я. Б. Высшая математика для начинающих физиков
и техников / Я. Б. Зельдович, И. М. Яглом. – М. : Наука, 1982. – 512 с.
13 Ильин В. А. Высшая математика : учебник / В. А. Ильин. –
М. : ООО «ТК Велби», 2002. – 592 с.
14 Конкс Г. А. Поршневые ДВС. Современные принципы
конструирования : учебное пособие / Г. А. Конкс, В. А. Лашко. –
Хабаровск : Тихоокеан. гос. ун-т, 2006. – 560 с.
333
15 Кирьянов Д. В. Mathcad 15 / Mathcad Prime 1.0. – Спб. :
БХВ-Петербург, 2012. – 432 с.
16 Коньков А. Ю. Средства и метод диагностирования дизелей по
индикаторной
диаграмме
рабочего
процесса :
моногр. /
А. Ю. Коньков, В. А. Лашко. − Хабаровск : ДВГУПС, 2007. – 147 с.
17 Краснощеков Е. А.
Задачник
по
теплопередаче /
Е. А. Краснощеков, А. С. Сукомел. – М. : Энергия, 1975. – 264 с.
18 Краткий курс теоретической механики : учеб. для втузов /
С. М. Тарг. − 14-е изд. − М. : Высшая школа, 2004. − 416 с.
19 Кудинов В. А. Техническая термодинамика: учебное пособие
для втузов / В. А Кудинов, Э. М. Карташов.– М. : Высшая школа,
2000. – 261 с.
20 Кутовой В. А. Распыливание топлива дизельными форсунками
/ В. А. Кутовой. − М. : Машиностроение, 1981. − 119 с.
21 Лашко В. А. Матричные методы в расчетах крутильных
колебаний силовых установок с ДВС : учебное пособие / В. А. Лашко,
М. В. Лейбович. – Хабаровск Хабар. гос. техн. ун-т, 2003. – 211 с.
22 Лашко В. А. Методика оценки эффективности систем
газотурбинного наддува комбинированных двигателей внутреннего
сгорания : учебное пособие / В. А. Лашко, А. Н Бердник. –
Хабаровск : Тихоокеан. гос. ун-т, 2006. – 118 с.
23 Левин В. Г. Физико-техническая гидродинамика / В. Г. Левин.
– М. : Физматгиз, 1959. – 699 с.
24 Ломакин А. А.
Центробежные
и
осевые
насосы /
А. А. Ломакин. – М. : Машиностроение, 1966. – 362 с.
25 Лунгу К. Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс /
К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко. – М. :
Рольф, 2001. – 576 с.
26 Лышевский А. С. Распыливание топлива в судовых дизелях /
А. С. Лышевский. – Л. : Судостроение, 1971. – 200 с.
27 Макушев Ю. П. Агрегаты наддува двигателей : учебное
пособие / Ю. П. Макушев, С. В. Корнеев, В. В. Рындин. – Омск :
СибАДИ, 2006. – 58 с.
28 Макушев Ю. П. Упрощенный расчет турбокомпрессора для
двигателя внутреннего сгорания / Ю. П. Макушев, А. Л. Иванов //
Омский научный вестник. – 2008. − № 4 (73). – С. 95–100.
29 Макушев Ю. П. Определение скорости и ускорения поршня с
помощью производных / Т. А. Полякова, Ю. П. Макушев, П. А. Батраков
// Вестник СибАДИ. – 2010. – Вып. 3 (17). – С. 9−14.
30 Макушев Ю. П. Системы питания быстроходных дизелей :
учебное пособие / Ю. П. Макушев.  Омск : СибАДИ, 2004. − 181 с.
334
31 Пискунов В. С. Дифференциальное и интегральное исчисление
/ В. С. Пискунов. – М. : Высшая школа, 2002. – 600 с.
32 Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике :
полный курс / Д. Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2007. – 608 с.
33 Половко А. М., Ганичев И. В. Mathcad для студента. – СПб. :
БХВ-Петербург, 2006. – 336 с.
34 Попык К. Г. Динамика автомобильных и тракторных двигателей
/ К. Г. Попык.  М. : Высшая школа, 1972.  327 с.
35 Рабинович Е.З. Гидравлика : учебник для техникумов /
Е. З. Рабинович, А. Е. Евгеньев. – 3-е изд., перераб. и доп. – М. :
Недра, 1987. – 224 с.
36 Рындин В. В. Теплотехника : учеб пособие / В. В. Рындин,
В. В. Шалай. – Омск : ОмГТУ, 2012. – 460 с.
37 Рындин В. В. Первое начало термодинамики в его становлении и развитии : монография. – Павлодар : ПГУ им. С. Торайгырова,
2004. – 353 с.
38 Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К. Н. Лунгу и
др.; под ред. С. Н. Федина.  4-е изд. – М. : Айрис-пресс, 2006. – 592 с.
39 Системы управления дизельными двигателями: пер. с нем. 
1-е русск. изд.  М.: ЗАО «За рулем», 2004. – 480 с.
40 Скурьят Эрнест. И снова «Стирлинг» / Эрнест Скурьят //
Техника молодежи :  1986. − № 7.  С. 26–30.
41 Справочник по математике для инженеров и учащихся
втузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. – М. : Наука. Главная редакция физико-математической науки, 1981. – 720 с.
42 Топливная аппаратура автотракторных дизелей: справочник. –
2-е изд., перераб. и доп. – Л. : Машиностроение. 1990. – 352 с.
43 Уокер Г. Машины, работающие по циклу Стирлинга : пер. с
англ. / Г. Уокер. – М. : Энергетика, 1978. – 152 с.
44 Хак Г. Турбодвигатели и компрессоры : справочное пособие /
Г. Хак. – М. : ООО Издательство «Астрель – АСТ», 2003. – 351 с.
45 Чугаев Р.Р. Гидравлика : учебник для вузов / Р. Р. Чугаев. –
Л. : Энергия, 1975. – 600 с.
46 Шалай В. В. Двигатель внешнего сгорания / В. В. Шалай,
Ю. П. Макушев // Омский научный вестник.  2008. − № 3 (70). –
С. 65−71.
47 Шалай В. В. Проектирование и эксплуатация нефтебаз и АЗС :
учебное пособие / В. В. Шалай, Ю. П. Макушев. – Омск: ОмГТУ,
2010. – 296 с.
48 Шалай В. В. Расчет параметров струи впрыскиваемого жидкого
окислителя / В. В. Шалай, Ю. П. Макушев // Омский научный вестник, 2010. − №1 (87). – С. 66 – 71.
335
Учебное издание
Макушев Юрий Петрович
Полякова Татьяна Анатольевна
Рындин Владимир Витальевич
Токтаганов Тюлеугазы Токилович
ИНТЕГРАЛЬНОЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЯ В ПРИЛОЖЕНИИ К ТЕХНИКЕ
Монография
Под редакцией Ю. П. Макушева
Технические редакторы: Д. Н. Айтжанова.
Ответственный секретарь Г. З. Сагындыкова
Подписано к печати 2012 г.
Гарнитура Тimes.
Формат 29,7 х 42 ¼. Бумага офсетная
Объём 13,1 уч.-изд. л.. Тираж 50 экз.
Заказ №
Издательство «КЕРЕКУ»
Павлодарский государственный университет
им. С. Торайгырова
140008, г. Павлодар, ул. Ломова, 64
336
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
46
Размер файла
26 600 Кб
Теги
1704, prilojenie, tehnika, monografiya, differencialnoe, rindin, integralnoe, polyakov, ischisleniya, makushev
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа