close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

3825 gavrilenko v. a teoriya mehanizmov

код для вставкиСкачать
к д
ц ^ л и н д t f n
r .t
ЗСяаШа
а ^ ^ —
і ^ и к д : д р / ,т а р д я м # № и д и д іи і.
>. - І г ' £ т №*► - , ' ' ^ я г
,•:
У '
л ғ ж д в й д ір и с т ж я
V j £ .V T B r ;. J* л • ■■-■, j f r t
^ » п а д . 1 ы . т а »W U ^ k ^ V g o ү*
- * Г у -і^ ,-* --'-..^ .--
- . . - т . : . - • ; 1 5 ч Р р 3 Л . * .- , -:;, * 0 '■
,^ а ^ В П І №
Ш
х
£ g l <H
T 53
ТЕОРИЯ
МЕХАНИЗМОВ
Под редакцией засл. деят. науки и техники Р С Ф С Р ,
докт. техн. наук, проф. В. А. Г а в р и л е н к о
Допущено Министерством
высшего и среднего
специального образования С С С Р
в качестве учебного пособия
для студентов машиностроительных специальностей
высших технических
учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА»
МОСКВА — 1973
T il
Теория механизмов. Под ред. В. А. Гавриленко.
Учебное пособие для втузов. М., «Высшая школа»,
1
9
7
3
-
611 с. с илл.
В выходных данных кол. авт.: В. А. Гавриленко,
С. Б. Минут, А. К. Мусатов и [др.].
Учебное пособие написано в соответствии с про­
граммой MB и ССО СССР для механических специаль­
ностей втузов. В пяти разделах курса изложены за­
коны строения (структуры) механизмов и их класси­
фикация, методы кинематического анализа и синтеза
различных видов механизмов, а такж е силовой рас­
чет и динамика механизмов. В курсе использованы
как графические, так и аналитические методы анализа
и синтеза.
B H I
531
3— 1—4
91—73
Рецензенты:
кафедра теории механизмов и машин Московского
авиационного института имени С. Орджоникидзе;
кафедра теории механизмов и машин Московского
станкоинструментального института.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Излагаемый курс «Теория механизмов» сформировался на основе
опыта преподавания теории механизмов (прикладной механики) в
МВТУ им. Баумана в течение многих десятилетий.
Характерной особенностью курса является четкое разделение ме­
ханизмов на механизмы с низшими и высшими парами. В соответст­
вии с этим построено изложение кинематического синтеза и анализа,
а также силового расчета.
Учебное пособие состоит из пяти разделов. В первом разделе опи­
сываются законы, по которым создается структура всякого механизма
независимо от его назначения и конструктивного оформления, а затем
на структурной основе строится классификация механизмов. Во вто­
ром разделе излагаются кинематический синтез и анализ механизмов
с низшими парами; в третьем разделе — кинематический синтез и
анализ механизмов с высшими парами. В четвертом разделе приводят­
ся методы силового расчета, а также приемы учета трения в механиз­
мах. В этом же разделе помещены и методы уравновешивания меха­
низмов. Пятый раздел посвящен динамике механизмов при установив­
шемся и неустановившемся режимах движения.
Основные понятия и термины, встречающиеся во всех разделах по­
собия, даны в соответствии со Сборниками рекомендуемых терминов
Комитета научно-технической терминологии АН СССР, вып. 5 и 68.
Учебное пособие написано коллективом кафедры «Теория меха­
низмов» МВТУ им. Баумана под руководством и общей редакцией
засл. деятеля науки и техники, докт. техн. наук, проф. В. А. Гавриленко. Доля участия каждого автора следующая: введение и глава VI
написаны В. А. Гавриленко, главы I — IV, § 70, 73, 75 и глава X III—
С. Б. Минутом, глава V (кроме § 32) — Д. М. Лукичевым, § 32 —
А. С. Мастрюковой, глава VII (кроме § 41 и 43) и глава X V _
А. А. Савеловой, § 84, 85
А. А. Савеловом и Г. Н. Петровым,
§41 — Л. Н. Чернышевой, § 43, 54 — С. А. Поповым, § 44 — 47 51 ’
53 — 3. С. Малышевой, § 48 — 50, 52 — Н. А. Скворцовой, § 55-^
Н. Е. Ремезовой, § 56 и глава X — В. А. Никоноровым, главы XI
(кроме § 70, 73, 75) и XII — В. М. Акопяном, § 86, 87 — Г. Н. Пет­
ровым, главы XVI — XVIII — Т. А. Архангельской, А. С. Мастрю­
ковой и А. К. Мусатовым совместно.
Коллектив авторов приносит глубокую благодарность рецензен­
там — сотрудникам кафедр «Теория механизмов и машин» Москов­
ского авиационного института имени С. Орджоникидзе и Московского
з
станкоинструментального института за труд по просмотру рукописи
пособия и полезные замечания.
Критические замечания и пожелания о книге коллектив авторов
просит направлять в издательство по адресу: Москва, К-51, Неглин­
ная ул., 29/14.
ВВЕДЕНИЕ
Курс теории механизмов содержит научные основы синтеза и анали32* механизмов. В этом курсе м е х а н и з м о м называется система
подвижно связанных между собой путем соприкосновения материальных
совершающих определенное, требуемое движение относительно
одного неподвижного тела. Осуществление требуемых движений часто
вызывает необходимость преобразования движения одного или не­
скольких тел в движение других тел.
В книге рассмотрены только механизмы, составленные из тел,
условно принимаемых за абсолютно оюесткие, поэтому не включены
ременная, волновая и другие передачи. Дальнейшее изложение будет
справедливо только при учете данного ограничения.
О с н о в н ы е з а д а ч и к у р с а теории механизмов — уста­
новление общих принципов, по которым строится (формируется) ме­
ханизм, и объяснение положения, что механизм есть не произвольное
соединение жестких материальных тел, а вполне упорядоченное сое­
динение, осуществляемое по определенному закону, нарушение ко­
торого равносильно отрицанию существования механизма; разра­
ботка и показ научных положений и технических приемов синтеза
и анализа схем механизмов.
Методы синтеза и анализа схем являются обязательной первичной
составной частью проектирования всякого реального механизма; это
обстоятельство ставит теорию механизмов в один ряд с такими обще­
инженерными дисциплинами как «Сопротивление материалов», «Де­
тали машин», «Детали приборов» и другими, которые в совокупности
определяют фундамент знаний в области механики, необходимый сов­
ременному инженеру-машиностроителю и -приборостроителю.
Научные основы и технические приемы, изучаемые в теории меха­
низмов, базируются на общих законах теоретической механики. Одна­
ко курс теории механизмов использует эти законы для разработки не
только методов анализа механизмов, но также и их синтеза (проекти­
рования). В этом заключается инженерная направленность курса те­
ории механизмов — его главнейшее отличие от курса теоретической
механики, в котором задачи синтеза вообще отсутствуют.
Еще недавно методы синтеза и анализа механизмов базировались
главным образом на графических приемах, так как они очень нагляд­
но показывали учащимся суть разбираемого явления и давали отно­
сительно простое решение самых сложных задач. Аналитические же
способы синтеза и анализа, связанные с необходимостью оперировать
иногда очень громоздкими математическими выражениями, не могли
при прежнем состоянии вычислительной техники быть реализованы на
5
практике. Однако с развитием электронно-вычислительных машин
эта трудность отпала, и аналитические приемы синтеза и анализа в кур­
се теории механизмов стали равноправными с графическими.
Механизмы составляют кинематическую основу машин и механи­
ческих приборов. Поэтому они являются неотъемлемой составной
частью машин-двигателей (турбин, двигателей внутреннего сгорания,
ветродвигателей, электродвигателей и т. д.), а также рабочих машин
(станков, полиграфических, текстильных, пищевых и счетных машин,
кранов, конвейеров, насосов, компрессоров и т. д.). Механизмы вхо­
дят в состав многих приборов, выполняющих функции контроля, упра­
вления, измерения и регулирования (гироскопы, регуляторы, реле,
электроизмерительные приборы и т. д.). Широко применяются также и
передаточные механизмы (различные редукторы, вариаторы, рычажные
и другие передачи), связывающие отдельные машины и устройства в
целые агрегаты. Работоспособность всей машины или всего прибора
в целом в значительной степени зависит от правильности работы их
механизмов.
В данном курсе теории механизмов изучается лишь механическая
часть разнообразных машин и приборов без рассмотрения происхо­
дящих в них рабочих процессов. Это означает, что изучаемое взаимодей­
ствие между элементами машин и приборов определяется только
механическими связями, осуществляемыми непосредственным соприкос­
новением. Электрические же, гидравлические и другие связи не рас­
сматриваются. Силовое воздействие, оказываемое на механизм извне
и определяемое рабочим процессом машины или прибора, задается
в готовом виде в форме механических характеристик. Эго позволяет рас­
сматривать кинематические и динамические явления, происходящие
в механизмах машин и приборов, самых различных как по своей фи­
зической природе, так и по инженерному назначению, и разрабаты­
вать для всех этих механизмов общие методы синтеза и анализа.
Кинематический синтез и анализ выполняется, как правило, для
механизма отдельно взятой машины или прибора (например, проекти­
рование механизма поперечно-строительного станка по геометрическим
и кинематическим условиям). При динамическом же синтезе и анализе
обычно рассматривают совокупность механизмов нескольких машин,
связанных в единый машинный агрегат, имеющий источник механи­
ческой энергии и ее потребителя (например, проектирование маховика
для агрегата, состоящего из поперечно-строгального станка и приво­
дящего его в движение электродвигателя). Таким образом, теория ме­
ханизмов изучает как отдельные механизмы, так и механизмы целых
агрегатов.
Раздел первый
СТРУКТУРА И КЛАССИФ ИКАЦИЯ
МЕХАНИЗМОВ
Проектирование, или синтез, нового механизма и анализ выполнен­
ного становятся возможными только в том случае, если известны эле­
менты, составляющие механизм, и правила их соединения. Поэтому
в первом разделе курса изложены законы образования механизмов,
т. е. их структура (строение) и классификация.
Глава I
СТРУКТУРА КИНЕМАТИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
§ 1. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ПАРЫ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ
Звенья и кинематические пары. Твердые тела, из которых образуегся любой механизм (см. введение), называются з в е н ь я м и . Каждое
звено представляет собой либо одну деталь, либо совокупность несколь­
ких деталей, соединенных в одну кинематически неизменяемую сис­
тему с общим законом движения. Таким образом, звено является бо­
лее широким понятием, чем деталь. Неподвижное звено механизма на­
зывают с т о й к о й .
Первым этапом образования механизма является соединение двух
звеньев. Соединение двух соприкасающихся звеньев, допускающее
определенное относительное их движение, называется к и н е м а т и ­
ч е с к о й п а р о й , или сокращенно — п а р о й . Теория кинемати­
ческих пар разрабатывалась трудами многих отечественных и иностран­
ных ученых, начиная с Ф. Рело и X. И. Гохмана. Значительный вклад
в развитие этой теории внесли советские ученые чл.-корр. АН СССР
В. В. Добровольский и акад. И. И. Артоболевский.
Э л е м е н т о м з в е н а являются поверхности, линии, точки
каждого звена пары, по которым оно может соприкасаться с другим ее
звеном. Это понятие позволяет разделить (по предложению Ф. Рело)
кинематические пары на высшие и низшие. В ы с ш е й п а р о й на­
зывается кинематическая пара, которая может быть выполнена сопри­
косновением элементов ее звеньев только по линиям или в точках,
а н и з ш е й — пара с соприкосновением элементов только по поверх­
ности.
Для плавного движения звеньев механизма необходимо постоян­
ное соприкосновение элементов звеньев, образующих пару. Кинема-
тическая пара, обеспечивающая выполнение этого условия, называет­
ся з а м к н у т о й . Замыкание пары может быть г е о м е т р и ч е ­
с к и м или с и л о в ы м . Геометрическое замыкание пары осуществ­
ляется конструктивной формой элементов звеньев, а силовое
пос. тоянным действием сил тяжести или упругости пружин, вызывающих
нажатие элемента одного звена пары на элемент другого.
Обобщенные координаты и степени свободы. Определенность дви­
жения звеньев является основным свойством механизма, поэтому не­
обходимо выбрать независимые параметры, характеризующие положе­
ние отдельных звеньев, а затем и всего механизма в целом. За такие
параметры обычно принимают о б о б щ е н н ы е к о о р д и н а т ы .
Обобщенной координатой механической системы (механизма) называет­
ся каждый из независимых друг от друга параметров, однозначно опре­
деляющих соответствующее им положение этой системы относительно
неподвижной системы координат. Следовательно, положение каждого
звена механизма и любой его точки может быть выражено уравнениями
в функции от обобщенных координат.
Обобщенными координатами могут быть расстояния между точ­
ками, координаты точек и величины углов между двумя направления­
ми, характеризующие положения звеньев. При движении звеньев
механизма (или условно — при движении механизма) его обобщен­
ные координаты изменяются по времени, в зависимости от внешних
сил и моментов сил, действующих на механизм.
Количество обобщенных координат, полностью характеризующих
положение, а следовательно, и движение тела или механизма, приня­
то называть ч и с л о м с т е п е н е й с в о б о д ы ( с т е п е н ь ю
п о д в и ж н о с т и ) тела или механизма.
Как известно из курса теоретической механики любое положение
абсолютно твердого тела (звена) в пространственной неподвижной
прямоугольной системе координат определяется шестью независимыми
параметрами — тремя координатами х %у , г какой-либо его точки и
тремя углами Эйлера ф, Ө, ср. Эти параметры и будут шестью обобщен­
ными координатами твердого тела. Число степеней свободы свобод­
ного тела обозначается буквой U\ для твердого тела в пространстве
U = 6. Аналогичные рассуждения, проведенные для твердого тела
в плоскости, показывают, что оно имеет три степени свободы, т. е.
U = 3.
Условия связи в кинематической паре. Соединение двух звеньев
в кинематическую пару приводит к тому, что при движении относите­
льно друг друга звенья не имеют возможности осуществлять все дви­
жения свободного тела, т. е. теряют некоторые из степеней свободы.
Количество потерянных степеней свободы зависит от вида элементов
этих звеньев и конструктивного оформления пары.
Ограничения, наложенные на относительное движение звеньев
кинематической пары, называют у с л о в и я м и с в я з и в к и н е ­
м а т и ч е с к о й п а р е . Число степеней свободы Н кинематичес­
кой пары в относительном движении ее звеньев можно выразить ра­
венством
Н = U—5 ,
з
(1.1)
где S — количество условии связи в
кинематической
паре.
Уравнение (1.1) показывает, что в кинематической паре количество
потерянных степеней свободы равно числу наложенных условий свя­
зи. Для пары в пространстве ^ = 1-т-5. При шести условиях связи ки­
нематическая пара становится жестким соединением деталей, т. е.
одним звеном.
Классификация кинематических пар. Для лучшей оценки свойств
кинематических пар их можно классифицировать по количеству степе­
ней свободы Н в относительном движении звеньев или по числу на­
ложенных связей S . В первом случае различают одно-, двух-, трех-,
четырех- и пятиподвижные пары, во втором — соответственно пары
г
Рис. 1.1
V, IV, III, II и 1 классов. В курсе принята рекомендованная Комите­
том технической терминологии АН СССР классификация по количест­
ву степеней свободы в относительном движении звеньев*.
О д н о п о д в и ж н о й п а р о й (парой V класса) называется ки­
нематическая пара с одной степенью свободы в относительном движе­
нии ее звеньев и пятью наложенными условиями связи. Одноподвиж­
ная пара может быть вращательной, поступательной или винтовой.
В р а щ а т е л ь н а я п а р а (рис. 1.1) допускает одно враща­
тельное относительное движение ее звеньев вокруг оси х. Соприкосно­
вение элементов звеньев вращательных пар происходит по боковой
поверхности круглых цилиндров. Следовательно, эти пары относятся
к низшим. Показанная на рис. 1.1, а пара замкнута геометрически,
а на рис. 1 .1 , б должна иметь силовое замыкание. Изображение вра­
щательных пар в схемах плоских механизмов представлено на
рис. 1.1, в, в схемах пространственных механизмов — на рис. 1.1, г.
Цифрами 1 и 2 на рис. 1.1. и далее отмечены звенья, составляющие
кинематическую пару.
Поступательной
парой
называется одноподвижная
пара (рис. 1.2), допускающая прямолинейно-поступательное относи­
тельное движение ее звеньев. Поступательные пары также являются
*
Комитет научно-технической терминологии АН СССР. «Сборники реко­
мендуемых терминов». Вып. 68. М., «Наука», 1965.
9
низшими, так как соприкосновение элементов их звеньев происходит
по поверхностям. На рис. 1.2, а изображена пара, выполненная с гео­
метрическим замыканием. На рис. 1.2, б, в, г показано условное изо­
бражение поступательных пар на схемах плоских механизмов, а на
рис. 1.2, д — на схемах пространственных механизмов.
Винтовой
парой
называется
одноподвижная
пара
(рис. 1.3), допускающая винтовое (с постоянным шагом) относитель­
ное движение ее звеньев и принадлежащая к числу низших пар. На
рис. 1.3, а, б изображены винтовые пары, замкнутые геометрически.
На рис. 1.3, в показано, как изображаются винтовые пары на схемах
механизмов.
Двухподвижная кинематическая
п а р а (па­
ра IV класса) характеризуется двумя степенями свободы в относитель­
ном движении ее звеньев и четырьмя условиями связи. Такие пары могут
быть либо с одним вращательным и одним поступательным относитель­
ными движениями звеньев, либо с двумя вращательными движениями.
К первому виду принадлежит так называемая ц и л и н д р и ч е с ­
к а я п а р а, т. е. низшая кинематическая пара (рис. 1.4), допускаю­
щая независимые вращательное и поступательное (вдоль оси враще­
ния) относительные движения ее звеньев. Представленная на
рис. 1.4, а пара замкнута геометрически. На схемах механизмов ци­
линдрические пары изображают, как показано на рис. 1.4, б.
К этому же виду относится и высшая кинематическая пара
(рис. 1.5), составленная из двух призм 1 и 2. Она допускает относи­
тельное движение вдоль линии их соприкосновения аа, совпадающей
с осью х, и вращение вокруг нее. Пара существует только при силовом
замыкании.
Примером пары второго вида является с ф е р и ч е с к а я п а р а
с п а л ь ц е м (рис. 1.6, а). Это низшая, геометрически замкнутая
пара, допускающая относительное вращение своих звеньев вокруг
осей х и у. Схематическое изображение пары показано на рис. 1.6,6.
Трехподвижной
п а р о й (парой III класса) называется
кинематическая пара с тремя степенями свободы в относительном дви­
жении ее звеньев, что свидетельствует о наличии трех наложенных
условий связи. В зависимости от характера относительного движения
звеньев различают три вида этих пар: с тремя вращательными движе­
ниями; с двумя вращательными и одним поступательным движениями
и с одним вращательным и двумя поступательными движениями.
Основным представителем первого вида является с ф е р и ч е с ­
к а я п а р а (рис. 1.7, а). Это низшая геометрически замкнутая па­
ра, допускающая сферическое относительное движение ее звеньев.
Условное изображение этой пары на схемах механизмов показано на
рис. 1.7, б.
Вторым видом трехподвижных пар является высшая пара (рис.1.8),
элемент одного звена которой внутренняя поверхность прямой трубки
с прорезью, а второго — сфера с пальцем. Элементы обоих звеньев
соприкасаются по линии и в относительном движении могут вращаться
вокруг осей у и г и двигаться поступательно вдоль оси трубки
(ось х).
10
Рис. 1.2
Рис, 1.3
S)
Рис. 1.5
Рис. 1.6
5)
Рис. 1.7
Рис. 1.8
Рис. 1.9
Рис. 1.10
Рис. 1.11
К третьему виду принадлежит так называемая п л о с к о с т н а я
п а р а , т. е. низшая кинематическая пара, допускающая плоскопараллельное относительное движение ее звеньев (рис. 1.9).
Ч е т ы р е х п о д в и ж н а я п а р а (пара II класса) — это ки­
нематическая пара с четырьмя степенями свободы в относительном дви­
жении ее звеньев, т. е. с двумя наложенными условиями связи. Все
четырехподвижные пары являются высшими. Примером может слу­
жить пара (рис. 1.10), допускающая два вращательных и два поступа­
тельных движения.
П я т и п о д в и ж н о й п а р о й (парой I класса) называется
кинематическая пара с пятью степенями свободы в относительном дви­
жении ее звеньев, т. е. с одним наложенным условием связи. Такая па­
ра (рис. 1.11), составленная из двух сфер, разрешает три вращатель­
ных и два поступательных движения и всегда будет высшей.
Желательно, где это возможно, кинематические пары выполнять
геометрически замкн у ты ми.
§ 2. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И ОБРАЗОВАНИЕ МЕХАНИЗМА
Кинематические цепи и их виды. Важным этапом в формировании
механизма является составление к и н е м а т и ч е с к о й ц е п и ,
т. е. связанной системы звеньев, образующих между собой кинемати­
ческие пары. На рис. 1.12 представлена кинематическая цепь из пяти
звеньев: звенья / и 2 составляют четы­
рехподвижную пару А ; звенья 2 и 3
вращательную пару В ; звенья 3 и 4
цилиндрическую пару С\ звенья 4 и 5
сферическую пару Ь .
Различают четыре вида кинематичес­
ких цепей: простые и сложные, а также
открытые и закрытые.
Простой
открытой
к инематической цепью
назы­
вают цепь, в которой два звена (край­
Рис.
1.12
ние) входят только в одну кинемати­
ческую пару, а все остальные — в две
(см. рис. 1.12).
Простой закрытой кинематической цепью
называют цепь, каждое звено которой входит в две кинематические па­
ры. На рис. 1.13 изображена простая закрытая цепь, составленная
из шести звеньев посредством шести пар.
Сложной открытой кинематической цепью
называют цепь, в которой, помимо звеньев, входящих в одну и две ки­
нематические пары, имеются звенья, входящие в три и более пары.
Примером такой цепи является цепь из 11 звеньев, соединенных по­
средством 10 пар (рис. 1.14).
13
Сложной закрытой кинематической цепью
называют цепь, звенья которой входят в две, три и более кинематичес­
кие пары. В цепи, представленной на рис. 1.15, можно различить
основной контур A B D JКНЕА и три дополнительные ветви CF, GIJ и
ILK, которые образуют в цепи четыре закрытых контура.
Рассмотрение закрытых кинематических цепей позволяет устано­
вить зависимость между количествами всех звеньев k , кинематических
пар всех видов 2/? и дополнительных ветвей цепи т
2р = k+ m .
( 1. 2)
Формирование механизма. Из сопоставления определений кинема­
тической цепи и механизма (см. Введение) видно, что они оба являют­
ся совокупностью звеньев. Такое совпадение указывает на то, что
Рис. 1.13
Рис. 1.14
кинематическая цепь при соблюдении определенных условий может
стать механизмом. Анализ кинематических цепей (см. рис. 1.12-М. 15)
1---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Н
Ведомое
звено
механизма
Рис. 1.15
которого предназначен механизм. В е д у щ е м у з в е н у сообщается дви­
жение, преобразуемое механизмом в требуемые движения ведо­
мых звеньев. Количество ведомых звеньев в механизме определяет14
ся его рабочим процессом, а ведущих — числом степеней свободы ме­
ханизма, т. е. числом его обобщенных координат. Однако если меха­
низм состоит из ряда параллельных закрытых цепей с одним общим ве­
домым звеном, то при одной степени свободы механизм может иметь
несколько ведущих звеньев (по числу параллельных цепей).
При изучении механизмов их представляют на чертеже в риде
структурной или кинематической схемы. С т р у к т у р н о й с х е ­
м о й м е х а н и з м а называется графическое изображение механиз­
ма с применением условных обозначений звеньев и кинематических
пар (без указания размеров звеньев). К и н е м а т и ч е с к а я с х е ­
м а м е х а н и з м а отличается от структурной тем, что в ней
указаны размеры, необходимые для кинематического расчета
механизма.
При вычерчивании кинематической схемы механизма, а также гра­
фическом изображении любых физических величин необходимо при­
менять м а с ш т а б ы . В инженерных расчетах все физические ве­
личины
принято выражать в технической системе
МКГСС
(ГОСТ 7664 61) с основными единицами — метр (длина), килограмм
(сила) и секунда (время), или в Международной системе СИ
(ГОСТ 9867 61) с основными единицами — метр (длина), килограмм
(масса) и секунда (время); отрезки, изображающие физические ве­
личины на чертежах и графиках, принято измерять в миллиметрах.
Поэтому масштабом физической величины называется длина отрезка
в MMj изображающего единицу измерения этой величины. Значение мас­
штаба может быть получено из равенства
Масштаб — Д лина 07Р63*3 в
м м < изображающего физическую величину
Значение физической величины
‘ ^
^
Масштаб обозначают буквой ц с индексом, указывающим, к какой
физической величине он относится. Встречающиеся далее кинематичес­
кие схемы механизмов вычерчены в масштабе длин ц г мм/м.
Все многообразие механизмов, применяемых в машино- и приборо­
строении, можно разделить на механизмы с низшими и с высшими па­
рами. В механизмах с низшими парами, или р ы ч а ж н ы х м е х а ­
н и з м а х , звенья образуют только низшие пары, а в механизмах с
высшими парами имеется хотя бы одна высшая пара.
И те, и другие механизмы делятся в свою очередь на п л о с к и е и
п р о с т р а н с т в е н н ы е . В плоских механизмах точки звеньев
описывают траектории, лежащие в параллельных плоскостях. Ме­
ханизм будет пространственным, если точки его звеньев описывают
неплоские траектории или траектории, лежащие в пересекающихся
плоскостях.
Ниже описаны наиболее распространенные виды механизмов, пред­
ставленные конструктивными, структурными или кинематическими
схемами. В схемах номера звеньев отмечены цифрами, а пары — бук­
вами.
!5
Глава II
МЕХАНИЗМЫ, ИХ СТРУКТУРА И КЛАССИФИКАЦИЯ
§ 3. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ МЕХАНИЗМОВ С НИЗШИМИ ПАРАМИ
Двухзвенный механизм является простейшим из рычажных меха­
низмов. Он состоит из двух звеньев (стойки и подвижного звена), обра­
зующих одноподвижную пару (рис. 1.16). Этот механизм широко при­
меняют в машино- и приборостроении. Д в у х з в е н н ы й м е х а ­
низм с вращательной парой
(рис. 1.16, а) служит
главным механизмом в роторных
машинах и приборах: турбинах
всех видов, электродвигателях и
электрогенераторах, центробежных
АS
\
Г \ "1 L
насосах и вентиляторах, турбоШШШ/Ш
у//. I----- 1 ш
компрессорах, центрифугах, гиро­
скопах и др. Д в у х з в е н н ы й
Рис. 1.16
механизм
с поступа­
т е л ь н о й п а р о й (рис. 1.16,6)
встречается в свободнопоршневых
машинах: паровом насосе, дизель-компрессоре и генераторе газов, в
механизмах поступательного перемещения суппортов и столов различ­
ных станков, и в целом ряде приборов.
Рис. 1.17
Рис. 1.18
Трехзвенные механизмы представлены группами к л и н о в ы х
и в и н т о в ы х механизмов. Они WVAV//11
rivj стойки и
1 двух подвижсостоят
из
—
___i __
*
**
ных звеньев, образующих три кинематические пары.
Т р е х з в е н н ы й к л и н о в о й м е х а н и з м или м е х а нozи з м в о и н о г о к л и н а , состоящий из клиньев 1 и 2 и стойки
о (рис. 1.1/), выполняется как плоским, так и пространственным. Он
служит для преобразования одного прямолинейного движения в другое
и применяется для различного вида прессов, поглощающих аппаратов
железнодорожных автосцепок, зажимов, механизмов подачи деталей
Т р е х з в е н н ы е в и н т о в ы—е м ~
е х а н и« зимшыdi iuriL.
1.10;
(рис. 1.18)
ыполняют с винтовыми парами и используют для зажима деталей (па16
раллел ьные тиски), прессов, перемещения суппортов и столов станков,
передвижения деталей и др.
Ч е т ы р е х з в е н н ы й ш а р н и р н ы й м е х а н и з м , или
шарнирный
ч е т ы р е х з в е н н и к , показан на рис. 1.19.
В нем и во всех рычажных механизмах звено называют к р и в о ш и ­
п о м , если оно может совершать полный оборот вокруг неподвижной
Рис. 1.19
оси, к о р о м ы с л о м , если оно может совершать только неполный
оборот вокруг неподвижной оси, п о л з у н о м , если оно образует
поступательную пару со стойкой, ш а т у н о м , если оно не образует
кинематических пар со стойкой.
Шарнирный четырехзвенник служит для преобразования одного
вида вращательного движения в другое. Его разновидностями являют­
ся:
к р и в о ш и п н о-к о р о м ы словый
м е х а н и з м (рис. 1.19, а)
с кривошипом 1 и коромыслом 3; д в у х ­
кривошипный
(рис. 1.19,6) — с
кривошипами /
и 3; д в у х к о р о *
м ы с л о в ы й (рис. 1.19, в) — с коро­
мыслами 1 и 3. На рис. 1.19, а и 1.19, в
штриховыми линиями показаны крайние
положения механизма. Ведущим звеном
в шарнирном четырехзвеннике может
Рис. 1.20
быть любое его подвижное звено (в за­
висимости от назначения).
Если длина кривошипа мала, то его часто выполняют в виде эксцен­
трика, т. е. диска, радиусом, большим длины кривошипа, насажен­
ного на вал с эксцентриситетом, равным длине кривошипа. В э к с ц е-
Ш 031
б и б л и о т е к а
17
П а с л с г - .а р с г .о г о
Ғ» I I ^Г* • ГИW
ljS
*
»
I
П
I
J
'П
'
HHui
—
нтриковом шарнирном механизме
(рис. 1.20), ко­
торый представляет собой конструктивную модификацию шарнирного
четырехзвенника, эксцентрик 1 заменил кривошип.
Частным случаем шарнирного четырехзвенника является механизм,
в котором противолежащие звенья имеют равные длины. Этот двух­
кривошипный механизм становится ш а р н и р н ы м п а р а л л е л о ­
г р а м м о м (рис. 1.21, а) при одинаковом направлении вращения
обоих кривошипов (звенья / и < ? ) и ш а р н и р н ы м а н т и п а р а лл е л о г р а м м о м (рис. 1.21, б) при противоположном их вращении.
В шарнирном параллелограмме противолежащие звенья всегда парал­
лельны и угловые скорости обоих кривошипов все время одинаковы.
Рис. 1.21
Шарнирныи четырехзвенник широко применяют, когда нужно осу­
ществить непрерывное вращение или возвратно-вращательное движе­
ние ведомого звена. Этот механизм встречается в прессах и ковочных
машинах, поперечно-строгальных и долбежных станках, полиграфи­
ческих и сельскохозяйственных машинах, качающихся конвейерах и
камнедробилках, летучих ножницах прокатных станов, механизмах
муфт сцепления автомобилей и тракторов и многих приборах. Шарнир­
ный параллелограмм с несколькими шатунами используют для переда­
чи вращательного движения между параллельными осями в муфтах
(рис. 1.22), мотовозах и т. п.
Шарнирный четырехзвенник пригоден и в том случае, когда одна
из точек его шатуна должна двигаться по заданной траектории. На
рис. 1.23 представлен двухкоромысловый механизм портального кра­
на, точка Ғ которого на рабочей части своей траектории перемещается
по прямой. Подобного же типа кривошипно-коромысловый механизм
установлен в любительских киносъемочных камерах для протяжки
кинопленки. Представителем большой группы п р я м о л и н е й н о н а п р а в л я ю щ и х м е х а н и з м о в , т. е. механизмов, одна
из точек которых движется полностью или частично по прямой, является приближенно направляющий механизм П. Л. Чебышева
(рис. 1.24). При известных соотношениях размеров звеньев [D C —
= АВ, AD = 0,833(Л£), ВС Щ 0,5(Л£), CF = FB и Ғ 'F" =
= l,13(/4fi)J средняя точка F шатуна на некотором участке Ғ 'F" траек­
тории движется, примерно, по прямой.
Если в шарнирном четырехзвеннике прилежащие друг к другу
звенья сделать равными (АВ = AD и ВС = CD), то механизм
(рис. 1.25) станет двухкривошипным и будет примечателен тем, что
двум оборотам кривошипа / соответствует один оборот кривошипа 3.
18
Рис. 1.22
Рис. 1.24
Рис. 1.26
Рис. 1.23
Рис. 1.25
Рис. 1.27
Шарнирный четырехзвенник может быть также и с ф е р и ч е с ­
к и м (рис. 1.26). Движение всех его звеньев происходит в концентри­
ческих сферах. Это позволяет выполнять все пары одноподвижными.
Сферический шарнирный четырехзвенник может быть как кривошипно-коромысловым, так и двухкривошипным или двухкоромысловым.
Вариантом сферического шарнирного четырехзвенника является
механизм
шарнира
Гука
(карданной передачи)
(рис. 1.27), предназначенного для передачи вращательного движения
между пересекающимися осями. Оси всех вращательных пар пересе­
каются в центре сферы — точке О; вилки 1 и 2 представляют собой кри­
вошипы, а крест 2 — шатун.
Рис. 1.28
Рис. 1.29
Ш арнирный четырехзвенник превратится в п р о с т р а н с т в е н н ы й (рис. 1.28), если плоскости, в которых вращаются кривошип
и коромысло (звенья 1 и 3), пересекаются. В этом случае кинематичес­
кие пары, образованные вращающимися звеньями / и 5 с шатуном
2, должны быть двух- и трехподвижными, т. е. цилиндрическими и сфе­
рическими, и наименование механизма «шарнирный четырехзвенник»
будет для них уже условным. На рис. 1.28 штрих-пунктиром показаны
траектории точек В и С. Такие механизмы (как и плоские) могут быть
кривошипно-коромысловыми, двухкривошипными и двухкоромысловыми. Они находят применение в системах регулирования машин, в
механизмах рулевого управления автомобилей и др.
Четырехзвенный
рычажный
механизм
с
о д н о й п о с т у п а т е л ь н о й п а р о й может быть образован
из четырехшарнирного механизма (рис. 1.29), если путем удаления
точки D от точки С сделать длину звена CD равной бесконечности.
Тогда траекторией точки С станет прямая линия, и звено 3 придется
выполнить в виде ползуна, перемещающегося вдоль прямолинейной
направляющей на стойке. Модифицированный таким образом механизм
(рис. 1.30) получил наименование к р и в о ш и п н о-п о л з у н н ог о. В нем ползун 3 заменил коромысло. Механизм будет в н е о с н ы м (рис. 1.30,а), если продолжение траектории точки С не
пересекается с осью вращения кривошипа 7, и ц е н т р а л ь н ы м
(рис. 1.30,6), если пересекается. Кривошипно-ползунный механизм
выполняют в виде э к с ц е н т р и к о в о г о
(рис. 1.30,в) в тех
случаях, когда длина кривошипа мала. Механизм будет п р о с т ­
р а н с т в е н н ы м (рис. 1.31), если угол между траекторией ползу­
на и осью вращения кривошипа не равен 90°; однако при этом звенья
Рис. 1.30
/, 2 и 3 должны образовывать между собой цилиндрические и сфери­
ческие пары вместо вращательных.
Кривошипно-ползунный механизм один из самых распространенных. Он является основным механизмом ] о всех поршневых (двигатели
внутреннего сгорания компрессоры,
насосы, газовые расширительные машины), сельскохозяйственных (косил­
ки, жнейки, комбайны) и ковочных
машинах и прессах.
К четырехзвенным рычажным ме>
ханизмам с одной поступательной
парои относят к у л и с н ы и
м ех а н и з м (рис. 1.32) — механизм,
г)
Рис. 1.31
Рис. 1.32
одним из звеньев которого является к у л и с а . Кулисой назы­
вается подвижное звено рычажного механизма, образующее поступа­
тельную пару с другим подвижным звеном—камнем. Кулисный камень
обычно выполняют в виде ползушки 2, которая перемещается вну­
три прямолинейного паза кулисы 3 (рис. 1.32,а) или втулки 2, сколь21
зящей по прямолинейному стержню кулисы 3 (рис. 1.32,6). Кулисные
механизмы могут быть д в у х к р и в о ш и п н ы м и (см. рис. 1.32,а),
а
также
и
к р и в о ш и п н о-к о р о м ы е л о в ы м и
(рис. 1.32,6, в, г). В механизмах на рис. 1.32,6 и г кулисой служит
коромысло 3, а на рис. 1.32,в — звено 2. В кулисных механизмах осу­
ществляется неравномерное вращение ведомых кривошипов и коро­
мысел (у последних с неодинаковыми скоростями прямого и обратного
Рис. 1.33
Рис. 1.34
ходов). Кулисные механизмы используют в поперечно-строгальных и
долбежных станках, насосах, приборах, счетных машинах и т. п.
Вариантом кулисного механизма является м е х а н и з м
пор­
ш н е в о й м а ш и н ы с к а ч а ю щ и м с я ц и л и н д р о м (см.
рис. 1.32,г), в котором звено 2 объединяет и шатун и поршень. Этот
механизм встречается в конструкциях насосов и гидравлических дви­
гателей.
Разновидностью четырехзвенных рычажных механизмов можно
считать м е х а н и з м ы с д в у м я
поступательными
п а р а м и , из которых следует отметить два двухползунных и два
кулисных.
Д в у х п о л з у н н ы й р ы ч а ж н ы й м е х а н и з м , или м ех а н и з м И. К а р д а н а , состоит из двух ползунов / и 3, связан­
ных между собой шатуном 2 (рис. 1.33). Ползуны перемещаются по
взаимнопересекающимся под углом |3 направляющим стойки 4. Одна
из точек шатуна (точка С) имеет траекторию в виде окружности радиу­
сом г , точки А и В движутся по прямым, а все остальные его точки —
по эллипсам. Точка С является вершиной равнобедренного треуголь­
ника ABC, пристроенного к шатуну АВ. Угол при вершине С треу­
гольника равен 2|3, а боковые стороны — радиусу кривизны траек­
тории точки С, т. е. ОС = АС = ВС. Угол (3 между осями направля­
ющих чаще всего принимается равным 90°. Тогда точка С окажется на
отрезке А В и будет делить его пополам. Механизм И. Кардана являет­
ся основой целого ряда прямолинейно-направляющих механизмов
приборов, механизма эллипсографа, механизма двигателя Баланди­
на и др.
22
Кулисный
к р и в о ш и п н о-п о л з у н н ы й
меха­
н и з м (рис. 1.34) представляет собой кривошипно-ползунный ме­
ханизм (см. рис. 1.30) с бесконечно длинным шатуном, конструктивно
превратившимся в п о л з у н-к а м е н ь 2. Его направляющая,
кулиса, составляет одно целое с ползуном 3, совершающим гармони-
Рис. 1.35
Рис. 1.37
Рис. 1.36
Рис. 1.38
ческое движение. Поэтому перемещения ползуна 3 пропорциональны
косинусу угла поворота кривошипа /. Этот механизм, называемый
также к у л и с н ы м с и н у с н ы м , применяют в небольших пор­
шневых насосах и компрессорах, приборах для осуществления гармо­
нического движения ползуна или определения величин, пропорцио­
нальных синусу или косинусу угла поворота кривошипа и др.
К у л и с н ы й к о р о м ы с л о в о-п о л з у н н ы й м е х а н и з м
( к у л и с н ы й т а н г е н с н ы й м е х а н и з м ) с коромыслом /
в виде кулисы (рис. 1.35) позволяет получить перемещения ползуна
3, пропорциональные котангенсу угла поворота коромысла.
В двухкулисном
двухкривошипном
меха­
н и з м е (рис. 1.36,а) шатун 2 образует поступательные пары с обои­
ми кривошипами-кулисами / и <3. Угол срі.з между направлениями обоих
кривошипов остается постоянным, вследствие чего угловые скорости
их всегда равны. Механизм предназначен для передачи вращатель­
ного движения между параллельными осями. Практически механизм
?3
выполняют в ви
? 1.з, равным 90°.
Ф
Ольдгема
(рис. 1.36,6), с углом
числом звеньев служат
зации специальных законов движения ведомых звеньев. Их создают
путем развития четырехзвенных механизмов. Следует отметить некото­
рые наиболее распространенные механизмы.
Ш е с т и з в е н н ы й д в у х к р и в о ш и п н о-п о л з у н н ы й
механизм
(рис. 1.37) применяется в качаю­
щихся конвейерах.
Шестизвенный
кривошипно­
двухкором ыеловый
м е х а н и з м (рис.
1.38) часто встречается в механизме грохота или
сита. Вращение кривошипа 1 посредством шатуна 2
приводит в колебательное движение грохот или сито
3, подвешенное на двух коромыслах 4 и 5.
Примером м е х а н и з м а
с двумя веду­
щ и м и к р и в о ш и п а м и / и 2 (рис. 1.39) может
служить м е х а н и з м к р и в о ш и п н о-p ы ч а ж ного пресса.
Рис. 1.39
В машинах и приборах используют также и дру­
гие механизмы с большим количеством звеньев.
§ 4. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ МЕХАНИЗМОВ С ВЫСШИМИ ПАРАМИ
В зависимости от назначения и условий работы механизмы с выс­
шими парами можно разделить на ряд видов, из которых основными
являются к у л а ч к о в ы е , з у б ч а т ы е , ф р и к ц и о н н ы е ,
мальтийские и храповые.
К у л а ч к о в ы й м е х а н и з м представляет собой механизм,
высшая пара которого образована звеньями, называемыми —кулачок и
толкатель. Они различаются формой своих элементов. Форма элемен­
та толкателя может быть принята произвольной, а форму элемента ку­
лачка выбирают такой, чтобы при заданном элементе толкателя обес­
печить требуемый закон движения ведомого звена. Простейший ку­
лачковый механизм — трехзвенный, состоящий из кулачка, толкателя
и стойки; ведущим его звеном чаще всего бывает кулачок.
Кулачковые механизмы бывают как п л о с к и м и (рис. 1.40ч1.43), так и п р о с т р а н с т в е н н ы м и (рис. 1.44). В различных
вариантах механизмов кулачку / сообщают либо вращательное дви­
жение, которое может быть как непрерывным одного направления,
так и возвратным (см. рис. 1.41, 1.42, 1.43, 1.44,а), либо возвратно­
прямолинейное движение (см. рис. 1.40), а иногда и то и другое одно­
временно (см. рис. 1.44,6). В плоских механизмах вращающиеся ку­
лачки (см. рис. 1.41-т-1.43) называют дисковыми, а прямолинейнодвижущиеся (см. рис. 1.40) — плоскими. Элементами этих вариантов
кулачков в высшей паре служат цилиндрические поверхности.
Из пространственных очень распространены механизмы с вращаю­
щимися
цилиндрическими
кулачками
(см.
24
Рис. 1.40
Рис. 1.41
Рис. 1.42
Рис. 1.43
рис. 1.44,а), но встречаются также и механизмы с кулачками сложной
формы — к о н о и д а м и (см. рис. 1.44,6), которым сообщается одно­
временно и вращательное, и возвратно-прямолинейное движение вдоль
оси вращения. Элементом звена высшей пары цилиндрического ку­
лачка является винтовая поверхность с переменным шагом, а конои­
да — его боковая поверхность.
При движении механизма его толкатель 2 получает либо возвратно­
прямолинейное (см. рис. 1.40, 1.41, 1.43, 1.44,а), либо возвратно-вра­
щательное (см. рис. 1.42, 1.44,6) движение. В последнем случае тол­
катель называется к о р о м ы е л о в ы м . Элемент толкателя 2 (для
высшей пары) чаще всего выполняется в виде круглого цилиндра или
сферы (см. рис. 1.40, 1.41,а, 1.44,6) и плоскости (см. рис. 1.41,6,
1.42,6).
Если элемент толкателя (в высшей паре) выполнен в виде круглого
цилиндра или сферы, то можно избавиться от трения скольжения в
высшей паре. Для этого нужно выделить этот элемент в отдельное зве­
но — цилиндрический или сферический р о л и к 4, вращающийся
относительно закрепленной в толкателе оси (см. рис. 1.42,а, 1.43,
1.44,а). После такой переделки в механизме появилось новое звено —
ролик 4, образующее с кулачком 1 высшую пару, а с толкателем 2 —
вращательную.
В большинстве кулачковых механизмов силовое замыкание высшей
пары (см. рис. 1.40, 1.41, 1.42, 1.44,6) осуществляется посредством
пружины 5, прижимающей толкатель к кулачку. Реже встречаются
механизмы с геометрически замкнутыми высшими парами, как, на­
пример, с п а з о в ы м к у л а ч к о м (см. рис. 1.43,а, 1.44,а) и
д в у х р о л и к о в ы м т о л к а т е л е м (см. рис. 1.43,6).
Кулачковые механизмы можно компоновать из любой комбинации
вариантов кулачка и толкателя. Закон движения толкателя зависит
исключительно от формы элементов кулачка и толкателя (ролика).
Соответствующий подбор формы элемента кулачка позволяет реализо­
вать практически почти любой требуемый закон движения толкателя.
Зубчатый
механизм,
т. е. механизм, высшая пара
которого образована зубчатыми звеньями, можно считать частным слу­
чаем кулачкового, так как зубчатое звено представляет собой как бы
многократный кулачок. Зубчатые механизмы служат главным обра­
зом для передачи вращательного движения между двумя какими-либо
осями с изменением угловой скорости ведомого вала.
Простой зубчатый механизм,
или п р о с т а я
з у б ч а т а я п е р е д а ч а , представляет собой трехзвенный ме­
ханизм, оба подвижных звена которого являются зубчатыми колесами.
Зубчатые колеса образуют со стойкой вращательные пары, а между
собой — высшую. В зависимости от расположения осей зуб­
чатых колес различают зубчатые передачи с параллельными осями,
или ц и л и н д р и ч е с к и е (рис. 1.45), с пересекающимися осями,
или к о н и ч е с к и е (рис. 1.46), и с перекрещивающимися осями,
или г и п е р б о л о и д н ы е , вариантами которых являются в и нт о в ы е (рис. 1.47,а), ч е р в я ч н ы е (рис. 1.47,6) и г и п о и д ­
н ы е (рис. 1.47,в) передачи. Помимо этого все передачи делятся на
26
передачи с в н е ш н и м , в н у т р е н н и м и р е е ч н ы м за­
цеплениями. Признаком передачи с внешним зацеплением (см.
рис. 1.45,а) является вращение ее зубчатых колес в противоположные
стороны, а передачи с внутренним зацеплением (рис. 1.45,6) — в
одном направлении. Передача с реечным зацеплением (рис. 1.45,в)
составляется из колеса и рейки. Такие же три вида зацеплений встре­
чаются и в передачах с пересекающимися осями.
В зависимости от того, требуется ли обеспечить постоянное отно­
шение угловых скоростей ведущего и ведомого зубчатых колес или, на­
оборот, переменное по заданному
закону, зубчатые передачи выпол­
няют соответственно из «круглых»
(см. рис. 1.45,а, 6) и «некруглых»
(рис. 1.48) колес.
Сложные
зубчатые
м е х а н и з м ы делятся на м н о ­
г о к р а т н ы е зубчатые передачи
и п л а н е т а р н ы е механизмы.
Многократной зубчатой передачей
называется механизм,
представ­
ляющий собой соединение несколь­
ких простых зубчатых передач с
неподвижными (по отношению к
стойке) осями колес (рис. 1.49,а).
Звено 2 механизма состоит из двух
зубчатых колес 2 и 2", насаженных
жестко на один общий вал. (На
рис. 1.49 зубчатые колеса условно
показаны в виде цилиндров.) Меха­
низм обладает одной степенью сво­
боды и носит название р е д у кт о р а . Планетарный зубчатый ме­
ханизм представляет собой многоз­
Рис. 1.44
венный механизм, в составе кото­
рого имеются зубчатые колеса с
движущимися геометрическими осями (рис. 1.49,6, в) относитель­
но его стойки. Такие колеса 2" и 2” называются п л а н е т а р н ы м и, или с а т е л л и т а м и . Колеса 7 и 2" свободно надеты на ось
аа, закрепленную в водиле 3.
Планетарные механизмы с одной степенью свободы (рис. 1.49,6)
являются р е д у к т о р а м и , а с двумя и более степенями свободы
(рис. 1.49, в) — д и ф ф е р е н ц и а л а м и . В дифференциале с двумя
степенями свободы происходит преобразование двух вращательных
движений в некоторое третье или, наоборот, разложение одного движекак, например, в автомобильном дифференциале.
1П I
Зубчатые механизмы нашли такое широкое применение, что трудно
вать машину или прибор, где бы их не было.
Фрикционным
м е х а н и з м о м называется механизм,
обра
вращательного
27
'A
Рис. 1.45
Рис. 1.46
Рис. 1.47
Рис. 1 48
зующими высшую пару, осуществляется вследствие трения между ни­
ми. П р о с т о й ф р и к ц и о н н ы й м е х а н и з м (рис. 1.50,а)
состоит из трех звеньев — двух вращающихся круглых цилиндров
1 и 2 и стойки 3. Силовое замыкание высшей пары из звеньев / и 2
производится посредством нажимных пружин 4, вследствие чего между
звеньями возникает трение. Фрикционные передачи выполняют также
и с пересекающимися осями катков.
Фрикционные механизмы часто используют в бесступенчатых пере­
дачах (рис. 1.50,6). При постоянной угловой скорости диска / по-
Рис. 1.49
Рис. 1.50
средством перемещения колеса-катка 2 вдоль своей оси вращения можно
плавно изменять не только его угловую скорость, но даж е и направ­
ление вращения.
М а л ь т и й с к и й м е х а н и з м (рис. 1.51) преобразует не­
прерывное вращение ведущего звена— кривошипа 1 с цевкой В в преры­
вистое вращение ведомого — «креста» 2. Цевка В кривошипа 1 без уда­
ра входит в радиальный паз креста 2 и поворачивает его на угол 2я /г
(г — число пазов креста).
Рис. 1.51
Рис. 1.52
Храповой
механизм
с ведущей
собачкой
(рис. 1.52) служит для преобразования возвратно-вращательного дви­
жения в прерывистое вращательное движение одного направления. Ве­
дущее коромысло 1 с собачкой 2 постепенно поворачивает храповое
колесо 3. Собачка 5 не дает колесу вращаться в обратную сторону.
Высшая пара здесь образована собачкой 2 и храповым колесом.
Мальтийские и храповые механизмы широко применяются в стан­
ках и приборах.
Выше рассмотрены наиболее типичные механизмы. Описание зна­
чительно большего количества механизмов приводится в специальных
справочных изданиях*.
§ 5. ПОНЯТИЕ О ВИДАХ ДВИЖЕНИЯ М ЕХА Н ИЗМ А И ЕГО М О Д И Ф И К А Ц И И
Движение механизма и его цикл. Ознакомление с механизмами поз­
воляет установить, что большинство из них движется непрерывно без
остановки. Непрерывное движение механизма возможно только при
*
И
И.
А р т о б о л е в с к и й
АН СССР, 1947— 1951
30
Механизмы.
Т. I — IV . М.,
И зд-во
периодическом характере движения всех его звеньев, которое опреде­
ляется тем, что обобщенные координаты механизма изменяются пе­
риодически и как результат этого траектории всех его точек являются
замкнутыми кривыми или частным их видом — отрезком дуги или
прямой. Траектория, описываемая какой-либо точкой шатуна (точнее
шатунной плоскости), носит наименование ш а т у н н о й к р и в о й .
Последовательность перемещений звеньев механизма за один период
изменения его обобщенных координат называется к и н е м а т и ч е с ­
ким циклом механизма.
Некоторые механизмы, к числу которых можно отнести механизмы
управления и регулирования машин, как, например, механизмы изме­
нения подачи топлива и скорости вра­
щения двигателей, рулевой механизм
автомобиля, движутся эпизодически,
т. е. в течение коротких промежут­
ков времени, с интервалами раз­
ной продолжительности, останавли­
ваясь в любых положениях.
В процессе движения механизма
его
звенья — коромысла
и пол­
зуны, совершающие возвратное дви­
жение, оказываются в крайних порИс. 1.53
ложениях , т. е. в положениях, из ко­
торых они
могут двигаться толь­
ко в одном направлении. Если какой-либо механизм, например четы­
рехшарнирный, изобразить в позициях, когда коромысло 3 занимает
крайние положения (рис. 1.53), то звенья 1 и 2 либо вытянутся в одну
прямую (цепь A B 'C ' D A ), либо наложатся одно на другое (цепь
A B"C nD A ). И з таких положений механизм нельзя вывести, если ве­
дущим звеном будет коромысло 3. Положение рычажного механизма,
из которого его нельзя вывести при ведущем коромысле или ползуне,
называют « м е р т в ы м »
положением
механизма.
(На
рис. 1.19,а, в мертвые положения механизмов показаны штрихами.)
Поэтому механизмы, которым свойственны мертвые положения, дол­
жны снабжаться устройством, обеспечивающим их переход через эти
положения, например, маховиком.
Постановка механизма на различные звенья. При формировании
механизма из кинематической цепи можно любое ее звено принять за
стойку. Полученные в результате такой структурной модификации
механизмы обладают различными свойствами, которые используют в
соответствии с условиями работы механизма. Н а рис. 1.54 изображе­
ны четыре возможных варианта механизма, которые получатся из кине­
матической цепи с тремя вращательными и одной поступательной па­
рами: к р и в о ш и п н о-п о л з у н н ы й м е х а н и з м с о с т о й ­
к о й 4 (рис. 1.54,а); к у л и с н ы й
двухкривош ипны й
м е х а н и з м с о с т о й к о й / (рис. 1.54,6); к у л и с н ы й к р и ­
в о ш и п н о-к о р о м ы с л о в ы й м е х а н и з м с о с т о й к о й
2, применяемый в счетных машинах (рис. 1.54,в); к о р о м ы с л о в о ползунный
м е х а н и з м со с т о й к о й
3 (рис. 1.54,г).
31
Модификация механизма путем постановки его на различные
звенья носит название м е т о д а о б р а щ е н и я , или и н в е р ­
сии ме ха низ ма .
Пассивные звенья, связи и степени свободы. Все рассмотренные
схемы механизмов (за исключением рис. 1.22) имеют минимальное
число звеньев и кинематических пар для осуществления определен­
ных движений всех звеньев, т. е. удовлетворяют условиям существо■
Рис. 1.54
- - - - - -
-
-
-
-
-
-
-
Рис. 1.55
параллелограмм ABCD два раза за кинематический цикл становится в
положения (рис. 1.55,а), когда все его звенья расположены по одной
прямой. При выходе механизма из такого критического положения
возможно превращение параллелограмма в антипараллелограмм (см.
рис. 1.21). Для предотвращения этого кривошипы / и 3 выполняют
в виде равновеликих треугольников А В Ғ и DCH (рис. 1.55,6). Рас­
стояние между точками Ғ и Н все время остается неизменным и равным
длине шатуна ВС , т. е. ҒН = ВС — AD. Соединение точек Ғ и Н
шатуном не нарушает нормального движения механизма, но вносит
в него пассивное звено 5, и две одноподвижные пары Ғ и Н со связями,
носящими название пассивных связей.
П а с с и в н ы м и , или м е с т н ы м и , степенями свободы назы­
ваются степени свободы отдельных звеньев, не оказывающие никакого
влияния на характер движения механизма в целом. Примерами ме­
ханизма с пассивными степенями свободы могут служить четырех­
звенные механизмы (см. рис. 1.28 и 1.31), в которых шатун 2 обладает
пассивной степенью свободы — возможностью вращения вокруг своей
продольной оси благодаря соединению со звеньями 1 и 3 сферическими
парами, а также кулачковые механизмы с роликовым толкателем (см.
рис. 1.42,а, 1.43, 1.44,а), в которых ролик 4 может свободно вращать32
ся вокруг своей оси В, не искажая движения толкателя 2. Общее ко­
личество степеней свободы для этих механизмов равно двум, одна из
них — пассивная (местная).
§ 6. СТРУКТУРА ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ
Структура, т. е. строение, механизмов имеет очень большое зна­
чение как при синтезе механизма, помогая наиболее рационально скон­
струировать его для осуществления заданного движения, так и при
анализе выполненных механизмов для выбора соответствующих ме­
тодов исследования.
Обобщающую структурную формулу для плоской схемы рычаж­
ных механизмов с вращательными парами и одной степенью свободы
впервые предложил академик П. Л. Чебышев* в 1869 г. Эта формула
при использовании принятых в курсе обозначений имеет вид
3 (Л — 1) — 2 (р'ц + р'и) =
1,
где k — полное число звеньев механизма (включая стойку); р'н —
число подвижных шарниров; р ' — число неподвижных шарниров.
Первый член равенства представляет собой число степеней свободы
всех подвижных звеньев механизма, взятых отдельно при U = 3.
Второй член — количество условий связи, наложенных всеми враща­
тельными парами. Единица в правой части равенства — число степе­
ней свободы механизма.
Идеи, заложенные в уравнении П. Л. Чебышева, оказались на­
столько широкими, что область его применения можно распространить
на все идеально плоские механизмы** без пассивных связей. Плоская
схема механизма, т. е. проекция его на одну плоскость, перпендику­
лярную к осям шарниров, не дает возможности различать кинемати­
ческие пары по количеству степеней свободы, а позволяет только де­
лить их на низшие, накладывающие по два условия связи, и высшие —
с одной связью. Новая формула, носящая также имя П. J1. Чебышева,
определяет количество степеней свободы механизма относительно
стойки
w = 3 ( * - 1 ) - 2 р и- р „
(1.4)
где k — общее число звеньев механизма (включая стойку); рн — число
низших пар; ръ — число высших пар.
К о л и ч е с т в о с т е п е н е й с в о б о д ы согласно этой форму­
ле является разностью между числом степеней свободы всех k — 1 под­
вижных звеньев механизма, взятых отдельно, и числом наложенных
•
П. Л . Ч е б ы ш е в . О параллелограммах. Труды 2-го съезда русских
естествоиспытателей, 1869. Отдел технологии и практической механики, 1870,
#ли полное собрание сочинений. Т. IV., М .—Л ., Изд-во АН СССР, 1948.
** Идеальным механизмом считается механизм, движение звеньев которого
происходит согласно заданным условиям.
2— 448
33
связей от соединения звеньев в пары (второй и третий члены правой
стороны равенства).
Перед проверкой по формуле (1.4) механизм следует освободить
от пассивных звеньев и связей.
Примеры подсчета числа степеней свободы некоторых плоских
механизмов:
1. Шарнирный четырехзвенник (см. рис. 1.19) содержит k — 4,
Ри — 4, рв — 0. Число степеней свободы его по формуле (1.4)
W = 3(4— 1)—2-4 — 1-0 = 9—8 = 1.
2. Семизвенный двухкривошипно-ползунный механизм (см.
рис. 1.39) имеет k — 7, ри — 8, рв = 0.
W = 3(7— I)—2-8 = 18— 16 = 2.
Число степеней свободы механизма равно двум, поэтому у него
должно быть два ведущих кривошипа.
3. Кулачковый механизм с роликовым толкателем (см. рис. 1.42, а)
имеет k = 4, рв = 3, рв = 1.
W = 3(4— 1)—2-3— 1 = 9—6— 1 = 2.
Из двух степеней свободы одна, допускающая свободное вращение
ролика, — местная, или пассивная (см. § 5).
4. Планетарный механизм (см. рис. 1.49,в) имеет k = 5, рн = 4,
Рв
2.
W = 3(5— 1)—2-4—2 = 12—8—2 = 2.
Планетарный механизм является дифференциалом, так как обла­
дает двумя степенями свободы. У этого механизма должно быть два
ведущих вала.
5. Двойной шарнирный параллелограмм (см. рис. 1.55,6) имеет
k = Ь, ри= 6, рв — 0. Подсчитанное по этим данным число степеней
свободы
W = 3(5— 1)—2-6 = 12— 12 = 0.
Анализ механизма показывает, что в нем одно пассивное звено 5
и пассивные связи от двух вращательных пар звеньев / —5 и 3— 5
(см. § 5). Только удалив из механизма это звено и две пары, можно
получить правильное значение
W = 3(5— 1— 1)—2(6—2) = 9—8 = 1.
Эквивалент высшей пары в плоском механизме. При проектирова­
нии и исследовании плоских механизмов для получения их эквива­
лентных структурных схем часто пользуются методами модификации
механизмов, а это требует знания кинематического эквивалента выс­
шей пары.
Эквивалент высшей пары в плоском механизме можно найти путем
сопоставления двух механизмов, у которых одно и то же число степеней
свободы и одинаковые законы движения ведущих и ведомых звеньев.
34
В числе кинематических пар первого механизма имеется одна высшая
пара, во втором механизме — только низшие пары. Сравнивая между
собой выражения числа степеней свободы обоих механизмов, вычислен­
ные по формуле (1.4), можно получить равенство
3 (k' — 1) — 2рн — Р8 = 3 (k" — 1) — 2р‘,
где величины с одним штрихом относятся к механизму с высшей па­
рой, а с двумя штрихами — к механизму без высших пар.
Преобразование равенства приводит к выражению эквивалента
высшей пары
Р'ъ = 2 (Р'„ — Р») — 3
— k'Y
(1-5)
Равенство (1.5) превращается в тождество при рв = 1, р„—р„ — 2
и k ”—k ’ = 1. Это означает, что число связей, налагаемых одной
высшей парой, равно числу связей двух низших пар за вычетом числа
степеней свободы одного добавочного звена. Иначе говоря, одна выс­
шая пара в плоском механизме кинематически эквивалентна двум
низшим парам и одному добавочному звену. Прием замены механизма
с высшей парой механизмом с низшими парами используется при
исследовании плоских механизмов.
§ 7. СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МЕХАНИЗМОВ
Общую задачу определения числа степеней свободы любой закры­
той кинематической цепи впервые решил проф. П. О. Сомов. В своей
работе*, опубликованной в 1887 г., он исследовал степени свободы
. закрытых кинематических цепей и ввел понятие о совпадающих, или
тождественных, в кинематическом отношении парах. С о в п а д а ю ­
щ и м и парами им названы кинематические пары, которые наклады­
вают на закрытую цепь некоторое число совершенно одинаковых усло­
вий связи (лишают цепь одних и-тех же степеней свободы). Эти одина­
ковые связи в закрытой цепи также называются совпадающими (или
тождественными). Например, в идеально-плоском клиновом механизме
(см. рис. 1.17), где все пары поступательные, каждая из трех его пар
лишает цепь четырех одинаковых степеней свободы, а именно: враще­
ния вокруг трех осей координат и перемещения, направленного пер­
пендикулярно к плоскости движения звеньев. Таким образом, все па­
ры механизма являются совпадающими и накладывают на закрытую
цепь механизма четыре совпадающие (тождественные) связи. Если все
пары закрытой простой цепи совпадающие, то, как показал П. О. Со­
мов, общее количество условий связи этой цепи уменьшится на число
совпадающих связей (увеличится число степеней свободы). Совпадаю­
щие связи поэтому часто называют потерянными
*
П. О С о м о в . О степенях свободы кинематической цепи. Ж у р н ал Рус­
ского физико-химического общества при СПБ университете Т XIX часть фи­
зическая. отдел первый, вып. 9 стр 443—476 СПБ. 1887
2*
35
Структурное уравнение выведено П. О. Сомовым для механизмов
с одной степенью свободы, однако его оказалось возможным распро­
странить и на механизмы с любым числом степеней свободы. Поэтому
цифра один (число степеней свободы) заменена в нем общим обозна­
чением W. Структурная формула П. О. Сомова с указанным измене­
нием имеет вид:
k + 2 (H — l)+ q— m(U— l)— U = W,
(1.6)
или
/Н -2 (Я — 1)+?—(m + l)(t/— 1) = ИЧ-1.
(1.7)
Первое слагаемое уравнения (1.6), равное общему числу звеньев k,
дает число степеней свободы простой закрытой цепи (не имеющей
стойки), если ее звенья образуют только одноподвижные пары. Второй
его член 2 (Я— 1) равен дополнительному числу степеней свободы це­
пи, если ее кинематические пары имеют подвижность выше единицы
(Я — число степеней свободы пары в относительном движении ее
звеньев). Третье слагаемое q представляет собой сумму чисел совпада­
ющих связей во всех закрытых контурах цепи. При включении в кине­
матическую цепь каждой дополнительной ветви (их всего т) появляет­
ся лишняя пара с U— 1 связями (если пара одноподвижная). Наконец,
превращение одного звена цепи в стойку вносит в цепь еще U связей.
При U = 6 уравнение (1.7) относится к пространственным меха­
низмам с абсолютно жесткими звеньями.
После П. Л. Чебышева и П. О. Сомова вопросами структуры ме­
ханизмов занимались многие советские и зарубежные ученые. Зна­
чительных результатов достиг проф. А. П. Малышев, предложивший
в 1923 г. новый (отличный от формулы П. О. Сомова) вид структурно­
го уравнения для пространственных механизмов с абсолютно жестки­
ми звеньями*. Эта формула имеет вид:
W = 6(£— 1)4-^— (5рі+4/>2+3/>з-Ь2/?4+ /?5),
(1.8)
где ри р2, р3, Pi и р5 — количество одно-, двух-, трех-, четырех- и пя­
типодвижных пар в механизме.
В этом уравнении первый член представляет собой количество
степеней свободы всех подвижных звеньев механизма, взятых в отдель­
ности, второй член — сумму совпадающих (тождественных) связей
по всем закрытым контурам механизма, третий член — сумму связей,
наложенных всеми видами кинематических пар.
Полученное число степеней свободы механизма W включает также
и местные (пассивные) подвижности.
Если кинематические пары классифицируют по количеству нало­
женных связей, то формула (1.8) принимает вид
W = 6(k
1) -|- <7— (5pv -J- 4/?lv + Зрш + 2р.. -J-р.),
(1.9)
*
А. П. М а л ы ш е в . Анализ и синтез механизмов с точки зрения их
структуры. Известия Томского технологического института. Т. 44, вып. 2. Томск,
1923.
36
где pv, plv, Pni, ри , р , — число пар в механизме V, IV, III, II и
I классов.
Несмотря на внешнее различие, уравнения П. О. Сомова (1.7) и
А. П. Малышева (1.8) идентичны. Это можно показать путем преоб­
разования уравнения (1.7), предполагая U — 6 . После подстановки
в уравнение (1.7) значения
(Я— 1 ) = P2-b"2p3-f-3p4-f-4/?5
и найденной из равенства ( 1 . 2 ) величины
2
т —
2
p—k = Р1+ Р 2+ Р 3+ Р 4 + Р 5 — &
можно получить
k + Рг + 2р3 + Зр 4 + 4р6 -f- q — (рг + р2 -j- ра + pt
= W -j-
рй — k 4 - 1) 5 =
1
и окончательно
W = 6 ( 6 — 1) - М — (5р1 -1- 4р2 + Зр3 -j- 2р 4 - Н е ­
полученное уравнение оказалось тождественным формуле ( 1 .8 ).
Поэтому уравнение (1.8) [или (1.9)] принято называть с т р у к т у р ­
н о й ф о р м у л о й С о м о в а—М а л ы ш е в а.
Примеры структурного анализа при помощи формулы Сомова —
Малышева:
1. Проверка структуры идеально плоского механизма (см.
рис. 1.17) с поступательными парами. Все звенья такого механизма
движутся прямолинейно в одной плоскости. Поэтому можно принять,
что механизм осуществлен с четырьмя совпадающими связями, т. е.
<7 = 4. Число звеньев механизма k = 3, а количество поступательных
(одноподвижных) пар рл = 3. Тогда число его степеней свободы сог­
ласно формуле ( 1 .8 )
W = 6(3— 1)+4—5-3 = 12+ 4— 15
Ц I.
Такое число степеней свободы соответствует количеству обобщенных
координат, т. е. одной.
2. Проверка правильности выбора вида кинематических пар в
четырехзвенном механизме (см. рис. 1.28). Так как вращение звеньев
/ и 3 происходит в различных плоскостях, то механизм не может иметь
совпадающих связей, т. е. в нем q — 0. Согласно схеме, в механизме
две вращательные пары, т. е. рх — 2 , и две сферические пары, т. е.
р3 = 2. Общее число звеньев Һ — 4. Так как шатун 2 с соседними
звеньями образует сферические пары, допускающие его вращение
вокруг своей продольной оси, механизм будет иметь одну пассивную
степень свободы, т. е. W — 2 .
Подстановка всех величин в уравнение ( 1 .8 ) дает
2 » 6(4— 1) + 0 —(5* 2+3« 2),
или
2 = 18— 10—6,
т. е. тождество.
37
Это означает, что выбор видов кинематических пар произведен
правильно.
;
Гакой механизм сможет двигаться, если одну из сферических пар
заменить цилиндрической, что приведет к уничтожению пассивной под­
вижности. Подставляя в уравнение (1.8) И?' = 1, k — 4, q = 0, рл = 2,
Pi — I и р&= 1, можно получить
I = 6(4— 1 )+ 0 —(5-2+ 4+ 3).
или
1 = 18— 10—4—3,
т. е. опять тождество.
3.
Проверка механизма плоского планетарного двухрядного ре­
дуктора с двумя внешними зацеплениями (см. рис. 1.49,6), для кото­
рого W = 1, k = 4, число вращательных пар рх = 3 и высших пар
(в зацеплениях звеньев 1-2 и 2-4) две. Закрытая кинематическая цепь
этого редуктора образует два контура: первый — из звеньев 1-2-3-4,
второй — из звеньев 1-2-4.
В плоском механизме, когда оси вращения всех зубчатых колес
параллельны, обеспечивается линейный контакт в высших парах из
зубчатых звеньев 1-2 и 2-4, которые выполняют в этом случае четырех­
подвижными (см. рис. 1.10). Таким образом, в механизме р4 = 2.
Осуществление плоского механизма связано с наличием совпадающих
связей. В каждом из его закрытых контуров находится одна совпа­
дающая связь, которая в четырехподвижной паре препятствует отно­
сительному вращению ее звеньев вокруг оси у (см. рис. 1.10), распо­
ложенной в плоскости Оху, касательной к элементам обоих звеньев,
перпендикулярно к линии их контакта. Такая же связь наложена и
на все остальные пары механизма. Поэтому для механизма q = 1+ 1=
= 2. Подстановка всех величин в уравнение (1.8) дает
| = (4 — 1) • 6 + 2 —5- 3—2* 2,
т. е. тождество.
Большой вклад в развитие учения о структуре механизмов внесли
работы акад. И. И. Артоболевского и чл.-корр. АН СССР В. В. Доб­
ровольского*. Имеется также ряд работ, посвященных структуре ме­
ханизмов с изменяемыми звеньями, но рассмотрение их не входит в
задачу общего курса.
Несмотря на наличие новых исследований, структурная формула
(1.8) или (1.9) Сомова—Малышева для пространственных механизмов
с абсолютно жесткими звеньями и теперь сохраняет свое значение
универсального критерия для анализа структурных схем всех меха­
низмов. Поэтому в данном курсе формула Сомова—Малышева являет­
ся основным структурным уравнением.
Составление структурных схем пространственных механизмов
встречает затруднения в выборе нужной подвижности для каждой па*
В. В. Д о б р о в о л ь с к и й , И. И. А р т о б о л е в с к и й . Струк­
тура и классификация механизмов. М., Изд-во АН СССР, 1939 В. В. Д о б р о в о л ь с к и й Система механизмов. М., Машгиз. 1943 В В. Д о б р о в о л ь ­
с к и й . Теория механизмов М Машгиз, 1953.
38
ры. При неудачном назначении подвижности пар формула (1.8) или
(1.9) может дать значение W, отличное от числа обобщенных коор­
динат механизма. Так как число обобщенных координат определяется
условиями движения механизма, а наличие пассивных степеней сво­
боды — видами кинематических пар, то число степеней свободы ме­
ханизма становится известным заранее и никакой подбор подвижностей
пар не сможет на него повлиять. Если, например, в пространственном
четырехшарнирном механизме (см. рис. 1.28), пары В и С выполнить
не сферическими (как на схеме), а двухподвижными цилиндрическими,
т. е. принять k — 4, р^ = 2, рг = 2 и q = 0, то по формуле (1.8)
W = 6(6— 1)+ ?—(5/^+ 4 р2) = 6(4— 1)4-0— (5-2+4-2) = 18— 18 = 0
вместо единицы. Это означает, что кинематические пары наложили на
закрытую цепь механизма на одно условие связи больше, чем это не­
обходимо. Такие лишние связи принято называть и з б ы т о ч ­
ными.
Наличие избыточных связей не уменьшает числа степеней свободы,
т. е. не превращает механизм в ферму, а делает его статически не­
определимым, и движение его звеньев становится возможным толь­
ко в результате их деформации. Наоборот, недостаточное количество
условий связи в цепи механизма приводит к появлению пассивных
степеней свободы и неопределенности движения некоторых его звеньев.
Только что рассмотренный механизм станет статически определи­
мым, когда его закрытая цепь будет иметь одну совпадающую связь
(<7 = 1), т. е.
W = 6 (k— l)+ q — {5Pl+ 4PJ I 6(4— 1)+ 1— (5-2+ 4-2) =
= 18+1— 18= 1.
Таким образом, если сравнить два механизма с одними и теми же
количествами звеньев, подвижностями кинематических пар и числом
степеней свободы, в одном из которых имеются совпадающие связи,
а в другом их нет, то окажется, что число совпадающих связей пер­
вого механизма всегда равно количеству избыточных связей во втором.
Это означает, что член q в уравнении (1.8) или (1.9) может представлять
собой число как совпадающих, так и избыточных связей или их сумму.
Такое свойство уравнения Сомова—Малышева было подмечено и
использовано еще А. П. Малышевым, а также В. В. Добровольским.
Методика составления структурных схем механизмов посредством на­
хождения избыточных связей получила дальнейшее развитие в работах
проф. Л. Н. Решетова*. При применении такой методики следует
определять не число степеней свободы механизма, а количество избы­
точных связей в его цепи из следующего равенства
6(6— 1)+5/?| + 4 р 2+ З р 8+ 2 р 4+ р 5,
Л. Н. Р е ш е т о в.
«Ма ши ностроен не», 1967.
(1.10)
Конструирование рациональных механизмов. М.,
39
или
w
6(k
0 + 5pv + 4pIV + 3pIU -f- 2pu + p
структурной
следует
после
предварительного
назначения
подвижностей
всех
его
пао
А11 ATI А ТТvvmv tvvv/%
__—__.__Ііл«9
Л
я
ЧИСЛО
М
Ш
Н Н . І ------
——
----------
I
«j **v j y u u i i v
Діу vJIV|
корректировать принятые величины подвижностей пар или добивать­
ся условий для осуществления совпадающих связей.
Одновременно со структурной формулой для пространственных
механизмов А. П. Малышев вывел формулу
*
формуле
ных связей, а именно:
W
3(6— 1)—(2рн+ р в— <7„),
( 1. 12)
гДе Яп
число избыточных связей в плоской схеме механизма.
Формулу (1.12) можно называть формулой Чебышева—Малышева.
Число избыточных связей плоского механизма можно теперь найти
по уравнению
W - 3 ( k - \ ) + 2 p H+ p B.
<7п
(1.13)
§ 8. КЛАССИФИКАЦИЯ МЕХАНИЗМОВ
механизмо
называется разделение их на группы и классы по общности структуры, конструктивного
оформления,
назначения
и
др.
Различают
следующие
виды
классифи1/ATVlVVia
кации:
Структурная
. и к а ц и я, в основу которой
Ф
положены структурные особенности отдельных групп механизмов.
Она определяет методы кинематического и силового расчета механиз­
мов. Так, все механизмы, как указывалось в § 2, делятся на четыре
основные группы: плоские рычажные, пространственные рычажные,
плоские с высшей парой, пространственные с высшей парой.
С т р у к т yjp н о-к о н с т р у к т и в н а я
классифика­
ц и я , в которой механизмы делятся по признаку их конструктивного
оформления. Элементы этой классификации приведены в § 3, 4 при
описании различных видов механизмов.
Классификация
по ф у н к щ
н азначению,
объединяющая механизмы одного определенного
назначения, например, механизмы поршневых машин, механизмы по­
перечно-строгальных и долбежных станков, механизмы передачи дви­
жения, механизмы прерывистого движения, механизмы регулирования
механизмы подач и т. п.
Структурной классификации плоских механизмов посвящены мно­
гочисленные работы русских, советских и иностранных ученых. Пер­
вая научно обоснованная классификация плоских механизмов соз­
дана трудами* проф. Петроградского политехнического института
Л. В. Ассура, опубликованными в 1914— 1918 гг.
Ф
л
1952
40
-----------------— —
v
~
AAUUA/iliUVlWl
В' А с с У Р Исследование плоских стержневых механизмов с низши° Т0ЧКИ 3РенИя их структуры и классификации. М., Изд-во АН СССР,
В своей работе Л. В. Ассур показал, что любой плоский рычаж­
ный механизм может быть образован м е т о д о м « н а с л о е н и я »
т. е. путем присоединения к одному или нескольким первичным меха­
низмам (см. § 3) одной или нескольких кинематических цепей нулевой
подвижности, т. е. структурных групп, причем каждая цепь должна
быть присоединена не менее, чем к двум звеньям.
Первичным
м е х а н и з м о м , или м е х а н и з м о м I
к л а с с а 1-г о п о р я д к а , называется двухзвенный, т. е. простей­
ший механизм, который состоит из одного подвижного звена и стойки,
образующих одноподвижную пару
(см. рис. 1.16). Первичный механизм
может представлять собой не только
0,
составную часть многозвенного меха­
низма, но и весь механизм машины
или прибора (§ 3).
Движение подвижного звена каж­
дого первичного механизма опре­
деляется его обобщенной координа­
той, поэтому число степеней свобо­
Рис. 1.56
ды (за исключением
пассивных)
механизма равно количеству пер­
вичных механизмов. В некоторых механизмах подвижность определя­
ется числом степеней свободы открытой кинематической цепи, которое
для механизма, изображенного на рис. 1.56, а, равно двум, а на
рис. 1.56, б — трем. Эти цепи являются как бы последовательным
соединением двух или трех первичных механизмов.
Нормальной
многоповодковой
ц е п ь ю , или
структурной группой
А с с у р а, называется кинематическая цепь, состоящая только из подвижных звеньев с одноподвижными парами, но получающая нулевую подвижность и превра­
щающаяся в ферму, если свободные элементы звеньев крайних пар сое­
динить со стойкой.
Для установления связи между числами звеньев и пар в структур­
ной группе следует использовать структурную формулу (1.4) П. Л. Че­
бышева, записанную в следующем виле:
W гр
ЗАгр
2р»
О,
где Агр — число звеньев структурной группы.
Число кинематических пар в структурной группе находят из ра­
венства
Ри
—
k
О ГР
(1-14)
Так как число пар в группе обязательно целое, то количество ее
звеньев должно быть четным, и возможные значения чисел звеньев
и пар в группах могут быть следующими:
k ч>
Ри
2, 4, 6, 8, 10,
3, 6. 9, 12, 15,
41
Наиболее простая структурная группа состоит из двух звеньевповодков / и 2 и трех пар В, С и D (рис. 1.57, а) и называется д в у х ­
п о в о д к о в о й (диада Сильвестра). П о в о д о к — это звено груп­
пы, входящее только в две кинематические пары, из которых одна
(концевая) имеет свободс
ный элемент звена, пред­
назначенный для присоеди­
нения группы к звеньям
механизма. Пары В и D
(рис. 1.57, а) на концах
поводков / и 2 имеют сво­
бодные элементы звеньев
b
u
d
,
показанные
штри­
Рис. 1.57
хами. Если оба свободных
элемента прикрепить
к
стойке (рис. 1.57, б), то получится кинематически неизменяемая сис­
Если t v же г р у п п у одним элементом
тема — Ф
к кривошипу или коромыслу 1 первичного механизма, а другим —
к его стойке 3, то в результате этого будет создан известный шарнир­
ный четырехзвенник (см. рис. 1.19). На рис. 1.58 показаны некоторые
модификации двухповодковой группы при замене вращательных пар
поступательными.
Ж
« Г
»
»
Рис. 1.58
Д ля получения более сложных структурных групп используют
так называемый м е т о д р а з в и т и я
п о в о д к а , заключаю­
щийся в том, что один из поводков с парой развивается, т. е. заменяется
тремя звеньями — одним базисным (входящим в состав трех пар) и
двумя поводками с парами на концах. Таким образом, двухповодковая
группа
(рис. 1.58, а)
развилась
в трехповодковую
(рис. 1.59, а), в которой вместо звена 2 и пары D появились базисное
звено 2 и поводки 3 и 4 с парами F и Н на концах. Эти пары имеют
свободные элементы звеньев f и Һ. В трехповодковой группе четыре
звена (одно из них базисное) и шесть пар. На рис. 1.59, б, в показаны
некоторые модификации группы, полученные путем замены враща­
тельных пар поступательными. Дальнейшее развитие трех поводковой
группы дает ч е т ы р е х п о в о д к о в у ю уже с д в у м я б а з и с ­
н ы м и з в е н ь я м и (рис. 1.60) и т. д. Количество поводков в группе
определяет ее порядок.
Все структурные группы Л . В. Ассур разделил на четыре класса.
К I классу относятся группы, в которых базисные звенья составляют
42
простые открытые цепи. Рассмотренные выше группы (рис. 1.57 —
1.60) являются группами I класса. Группы более высоких классов по
своему строению значительно сложнее. Классификация плоских ры­
чажных механизмов составлена Л. В. Ассуром настолько широко,
что заранее предусматривает все возможные пути развития механиз­
мов. Однако в машинах и приборах применяются плоские механизмы
с двух-, трех- и четырехповодковыми группами I класса. Механизмы
с группами более высоких классов встречаются на практике исключи­
тельно редко.
Рис. 1.60
Класс механизма определяется классом и порядком наиболее сложной его
группы . Так, шарнирный четырехзвенник (см. рис. 1.19), состоящий из пер­
вичного механизма и двухповодковой
группы 1 класса 2-го порядка, является
механизмом I класса 2-го порядка;
двухкривошипно-ползунныи
механизм
(см.
1.37),
образованный
из
рис.
Рис. 1.59
первичного механизма и двух двухявляется
поводковых групп,
тоже
механизмом 1 класса 2-го порядка; механизм грохота (см. рис. 1.38),
состоящий из первичного механизма и трехповодковой группы I клас­
са 3-го порядка, будет механизмом I класса 3-го порядка. Структурные
группы 4-го порядка встречаются в парораспределительном механизме
*
*
паровоза~ и механизме ходовой части портального крана
Для определения состава механизма необходимо расчленить его
на первичные механизмы и структурные группы , производя действия,
обратные образованию механизма методом присоединения. От струк­
турной схемы механизма при этом отделяют по одной все структурные
группы таким образом, чтобы оставшаяся цепь продолжала быть
механизмом. После снятия всех групп должны остаться первичные
механизмы, количество которых определяет число степеней свободы
механизма.
* Энциклопедический справочник «Машиностроение». Т. 13, гл. X «Паро­
вая машина паровоза». М., Машгиз, 1949, стр. 313.
** Б а р а н о в Г. Г. Курс теории механизмов и машин. Изд. 2-е, перераб
и сокр. М., Машгиз, 1958, § 26, стр. 101.
43
Как пример структурного анализа механизма по Ассуру можно
провести разложение на составные части восьмизвенного двухкулис­
ного кривошипно-ползунного механизма (рис. 1.61, с) поперечно-стро­
гального станка, если ведущим его звеном является кривошип 1. Про­
верка числа степеней свободы по формуле (1.4) П. Л. Чебышева под­
тверждает, что при k = 8, р„ = 10 и рв — 0 W = 3(8— 1)—2-10 =
= 21—20 = 1. Так как первичный механизм состоит из двух звеньев,
то на долю структурных групп остается шесть звеньев. При ведущем
кривошипе 1 отделение групп нужно начать с концов, где звенья 6 и 7
5)
К
В
Рис. 1.61
парами F и К присоединяются к стойке 8. В первую очередь можно
отделить группу из звеньев 4, 5 ,6 и 7 (рис. 1.61, б). Это трехповодковая
группа в модификации, представленной на рис. 1.59, в. Оставшиеся
звенья /, 2, 3 и 8 образуют механизм (см. рис. 1.32, а), так как сохране­
на определенность движения и при k' = 4, рн' = 4 и рв = 0 W' =
= 3(4— 1)—2-4 = 9—8 = 1. Далее выделяется группа из звеньев
2 и 3 (рис. 1.61, в). Это двух поводковая группа в модификации, приве­
денной на рис. 1.58, в. После снятия этих групп остается первичный
механизм из звеньев 1 и 8 (рис. 1.61, г). Итак, рассматриваемый ме­
ханизм состоит из одного первичного механизма, одной двухповодко­
вой и одной трех поводковой групп и является механизмом I класса
3-го порядка. В зависимости от того, какое звено механизма принято
за ведущее, структурный его состав может быть различным.
Дальнейшее развитие структурная классификация плоских меха­
низмов получила в работах акад. И. И. Артоболевского и чл.-корр.
АН О Х Р В. В. Добровольского. Предложенная акад. И. И. Арто­
болевским* классификация плоских механизмов основывается на
тех же теоретических предпосылках проф. Л. В. Ассура, что механиз­
мы состоят из первичных механизмов и структурных групп. Однако,
благодаря трудам акад. И. И. Артоболевского, классификации меха­
* И . И. А р т о б о л е в с к и й . С труктура, кинематика
ка многозвенных плоских механизмов. М., ГО Н ТИ , 1939.
44
и кинетостати­
низмов была придана стройная последовательность, позволившая
четко увязать ее с методами кинематического и силового расчета,
особенно в группах высоких классов и порядков. Основные положе­
ния классификации акад. И. И. Артоболевского следующие:
1. Первичный механизм (см. рис. 1.16) относится к I классу,
2. Порядок группы определяется числом элементов ее звеньев,
которыми группа присоединяется к звеньям механизма.
3. Двухповодковая группа (см. рис. 1.58) является группой
II класса 2-го порядка.
4. Трех-и четырехповодковые группы (см. рис. 1.59 и 1.60) пред­
ставляют собой группы III класса 3-го и 4-го порядков, так как содер­
жат трехсторонний закрытый контур.
5. Группы с подвижным четырехсторонним закрытым контуром
относятся к IV классу, так как количество сторон закрытого подвиж­
ного контура группы определяет ее класс.
6. Класс механизма определяется классом самой сложной его
группы.
Структурная классификация плоских рычажных механизмов мо­
жет быть также распространена на некоторые другие виды механизмов.
Так, согласно исследованиям чл.-корр. АН СССР В. В. Добровольс­
кого* и акад. И. И. Артоболевского, классификации Л . В. Ассура
и И. И. Артоболевского применимы ко всем сферическим механизмам.
* В . В Д о б р о в о л ь с к и й . Н овая теория сферических механизмов.
Труды Станкина. Сб. VI, М., Московский станко-инструментальный институт.
Раздел второй
ГЕОМЕТРО-КИНЕМАТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ
И АНАЛИЗ М ЕХАНИЗМ ОВ
С НИЗШ ИМ И ПАРАМИ
(РЫЧАЖНЫХ М ЕХАНИЗМ ОВ)
В настоящем разделе излагаются методы синтеза (проектирования)
и анализа (исследования) механизмов с низшими кинематическими па­
рами, коротко именуемых р ы ч а ж н ы м и м е х а н и з м а м и .
Основная задача синтеза состоит в определении геометрических раз­
меров проектируемого механизма по заданным условиям его движения.
Основной задачей анализа является обратная задача: определение ки­
нематических характеристик (перемещений, траекторий, скоростей,
ускорений) движения механизма, геометрические размеры которого
известны. Задача анализа решается для проверки того, насколько
удачно спроектирован механизм, т. е. насколько его кинематические
характеристики соответствуют заданным. Однако во многих случаях
анализ механизма имеет и самостоятельное значение. Для лучшего
усвоения материала второго раздела анализ механизмов изложен рань­
ше их синтеза.
Глава III
КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ
АНАЛИТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ
§ 9. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Исходные данные исследования. Исходными данными служат ки­
нематическая схема механизма (рис. 2.1), расположенная в прямо­
угольной системе координат, и аналитические зависимости изменения
всех обобщенных координат от времени
Qi = Qi(t),
9а =<7г (О
Ч9 = <7з(0—
(2 1 >
Обобщенными координатами механизма могут быть у г л о в а я к о ­
о р д и н а т а , характеризующая положение ведущего звена, цх =■
= ф! (см. рис. 2.1, а), <7а = фц, (рис. 2.1, г); л и н е й н а я к о о р д и ­
н а т а , определяющая положение ведущего звена с прямолинейным
46
движением на своей траектории <?, = һв (рис. 2.1,6). Если механизм
имеет две степени свободы, то его положение характеризуется двумя
обобщенными координатами (например, $ , =<р , и q2 = ®* на
рис. 2.1,в). Угловые координаты выражаются в радианах, а линей­
ные — в метрах.
Из кинематической схемы механизма известны линейные размеры
всех его звеньев, т. е. их длины в метрах. Длина звена обозначается
буквой / с индексом, в котором указаны или буквы, обозначающие
концевые шарниры звена, или номер звена. Например, длина звена 2
(см. рис. 2.1, а) выражается как 1Вс или /2.
(
Рис. 2.1
Определение^координат и перемещений звеньев и точек механизма.
Кинематический расчет начинают с составления уравнений для опре­
деления координат всех звеньев и характерных точек механизма. Эти
уравнения выводятся из условия замкнутости всех закрытых контуров
механизма, рассматриваемых как векторные многоугольники (метод,
предложенный проф. Вяч. А. Зиновьевым*). Для пространственного
четырехзвенного механизма (см. рис. 2.1, г) уравнения контура можно
записать следующим образом:
векторным способом
(2 . 2 )
или
(2.3)
* Вя ч
А. З и н о в ь е в .
матғиз, 1960, глава III.
Курс теории механизмов и машин. М., Физ
47
и в проекциях этих векторов на оси системы Ахуг
+ 1вс cos Ф а *
1а в c o s Ф і *
l AB C O S Ф і у +
I a d COS Ф е с +
l B C c o s Ф а у — l AD C O S (P 4 y +
^ДВ C®S Фіг “Ь tBC C ° S Фаг = ^ AD
I DC COS Ф а г !
I DC c o s В р
(2.4)
Ф«г "t” ^DC C®S Фзг
Углы, характеризующие положение каждого звена, измеряются
от положительного направления всех осей координат; величины их
связаны равенством (для звена 2)
COS2 ф ас + c o s 2 ® 2у
COS ф2г
(2.5)
1.
Из уравнения (2.5) следует, что по двум из этих углов всегда можно
найти третий.
Для плоского механизма в системе Аху (см. рис. 2.1, а) проекции
сторон векторного многоугольника на ось г станут равны нулю, так
как углы между сторонами и осью г получат значение 90°. В таком
случае фг* + ф 2» = 90°, cosф Zy = s i n фг*, и уравнения (2.4) примут вид
івсе углы измерены относительно оси х)
ІАВ COS ф j + / в с COS ф 2 — IaD COS ф 4 Н- Id c COS ф s
( 2 . 6)
и
Ia b s i n ф^ + І в с в іп ф г = Ia d в і п ф 4 + I d c 5ІП ф 3.
Как видно из рис. 2.1, а, в, за начало системы координат принято
выбирать точку, лежащую на оси вращения одного из кривошипов,
а ось х проводить через оси неподвижных шарниров (рис. 2.1, а, в)
или по направляющему элементу стойки (рис. 2.1,6). Углы, опреде­
ляющие положение звена, должны иметь положительное направление
в соответствии с правой системой координат, используемой в курсах
«Теоретическая механика» и «Теория механизмов».
Имеющиеся исходные данные позволяют получить для всех звеньев
аналитические выражения их координат. Эти выражения для звена і
и его точки N пространственного механизма с несколькими степенями
свободы, например при W = 2, имеют следующий вид:
ф*х
ф I* (<7і» <7г).
(2.7)
ф іи == Фіи (Яі, Яг)
и
N
XN (<7„ 9а),
У
Ум (<?i, Яг),
гN
(Яі, Яг),
( 2 . 8)
где xN, yN, zN — действительные расстояния в метрах между точкой
N и осями координат.
Для плоского механизма, расположенного в плоскости Аху, оста­
нутся лишь уравнения (при W — 2)
и
фі*
ф I — Ф I (Ял , Яг)
V = * v (</|. Яг),
48
Уы
Ум (Ял, Яг)
(2.9)
(2 . 10)
Все выведенные уравнения угловых и линейных координат выра­
жают их зависимость от положения механизма в пределах его кинема­
тического цикла и представляют собой характеристику самого меха­
низма (с данными размерами) независимо от закона изменения обобщен­
ных координат.
Перемещения звеньев механизма и отдельных их точек представ­
ляют собой разности соответствующих координат. Например, при пе­
реходе звеньев плоского механизма из начального в текущее положение
звено | повернется на угол
a t — ф , — фг0,
а точка N переместится вдоль осей координат на расстояния
(2.11)
И В ! = УN
У N0'
(2-12)
Определение угловых и линейных скоростей звеньев и точек меха­
низма. Определение угловых и линейных скоростей звеньев и точек
сводится к дифференцированию по времени составленных
уравнений угловых и линейных координат, рассматривая их как слож­
ные функции. Для примера можно привести выражения угловой ско­
рости звена i плоского механизма и линейной скорости вдоль оси х
точки W того же звена.
Дифференцирование уравнения (2 . 11 ) или (2.9) дает выражение
для определения угловой скорости звена i вокруг оси г (перпендикуляр­
ной к плоскости чертежа):
SN x ~
XN
X N0
11И 1Һ 1ВИ!
ш
at
at
" Л = ■ dqy
? - — dt
+
^ 1 S1
dq.:
dt
и окончательно
со
V i + <Prt?2.
(2.13)
Щі
'
do2
где <7 , — — , q2 — —— первые производные обобщенных координат
механизма по времени, называемые о б о б щ е н н ы м и с к о р о с т я ­
ми м е х а н и з м а ; ф', = , ф ‘2 =
— первые частные производ­
ные угла поворота звена по обобщенным координатам механизма,
которые называются а н а л о г а м и
угловой
скорости
з в е н а , так как в механизмах с W = 1 они становятся равными са­
мим скоростям при обобщенной скорости, равной единице.
Формула (2.13) показывает, что угловая скорость звена равна сум­
ме произведений аналогов скорости и обобщенных скоростей, найден­
ных по всем обобщенным координатам.
Если обобщенная координата механизма является угловой величиной, то обобщенная скорость будет также угловой с г ___ _______
р а д - с е к При линейной обобщенной координате имеет место линей­
ная обобщенная скорость с размерностью м-сек~1. Подобно этому ана­
лог угловой скорости звена имеет различные размерности в зависимос­
ти от вида обобщенной координаты, а именно: рад- рад~*%т. е. единицу,
при угловой обобщенной координате, и рад-м~1 — при линейной!
49
Д ля получения проекции на ось х скорости точки N звена І следует
продифференцировать уравнение (2.12) или (2.10) как сложную функ­
цию
v Nx
d s Nx
dxN
d
dt
dt
dt
I*N til* Q2)]
d xN
dqx
dqi
dt
. dxN
+
dq
dq
dt
и окончательно
vNx
(2.14)
s Nx 1
где
dxN
dxN
первые
частные
производные
перемещения
Nx2
Nxl
dq 1
dq
точки по обобщенным координатам механизма, называемые а н а л о ­
гами с к о р о с т и точки.
Аналог скорости точки имеет размерность м-рад~ 1 при угловой
обобщенной координате, и лі-лі”1, т. е. единицу — при линейной.
Полная скорость точки найдется из равенства:
для плоского механизма
vN
(2.15)
2
+
о!
*Nx ■ Ny
у
для пространственного
2
VN
.
2
Nx "Г" VNu
,2
(2 16 )
•"
Проекции скорости точки на другие оси координат vw и vW2 ыражаются формулами, идентичными с формулой (2.14).
Аналог угловой скорости звена и аналог скорости точки показывают
зависимость скоростей звеньев и точек механизма от его геометрии,
т. е. являются характеристиками самого механизма, не зависящими
от закона движения его звеньев. Понятие аналога скорости стало
широко применяться в теории механизмов.
Определение угловых и линейных ускорений звеньев и точек меха­
низма. Значения угловых ускорений звеньев и линейных ускорений
точек получают путем дифференцирования по времени уравнении
скорости как сложных функций.
Дифференцирование уравнения (2.13) дает выражение углового
ускорения звена i плоского механизма:
I
d<&I
d
dt
dt
dq^q
dq.
+
SO
Ф12
dtp.
і
0*91
дЯ2\
*0,
dq*dqi
dq-i
dl
dqi
dt
dq2
dt
dq 1
dt
dqi
dt
<?2 +■
и окончательно
£
вторые частные производные угла поворота звена по обобщенным ко­
ординатам механизма, т. е. а н а л о г и у г л о в о г о у с к о р е ­
ния звена.
Аналоги углового ускорения звена имеют различные размерности
в зависимости от вида обобщенных координат: если обе обобщенные
координаты угловые, то размерность аналогов углового ускорения
рад-радг 2, т. е. рад~*\ если обе обобщенные координаты линейные, то
размерность аналогов рад-м~г\ если обобщенные координаты различ
ного вида, то размерность аналога ф)12 рад-м~1-рад~\ т. е. л*"1.
Аналог углового ускорения является характеристикой только
самого механизма (с конкретными размерами), не зависящей от его
закона движения.
Уравнение (2.17) показывает, что угловое ускорение любого звена
зависит как от аналогов угловых скоростей и ускорений, так и от обоб­
щенных скоростей и их производных по времени.
Проекцию на ось х ускорения точки N определяют дифференци­
рованием уравнения (2.14) по времени подобно тому, как находили
выражение углового ускорения:
•
I
/ • \2
I
SN xl I У г )
-
Л
"** SN x 2
------- — вторые частные про
d
q
.
d
q
,
к
н
изводные перемещения точки по обобщенным координатам, которые
называются а н а л о г а м и у с к о р е н и я т о ч к и .
Аналоги ускорения точки в зависимости от вида обобщенных ко­
ординат имеют размерности: м-м~2 = м~1 при линейных обобщенных
координатах, м • р а д '2 при угловых обобщенных координатах;
м-м~1-рад~1 — если аналог s ^ 12 получен по двум обобщенным коорди­
натам различного вида.
Термин «аналог ускорения» был
впервые применен проф.
Л. В. Ассуром*.
*
Л В. А с с у р. Аналоги ускорений и их применение к динамическому
расчету плоских стержневых систем Т IX и X. Изв. СПБ. Политехнического
института 1908.
Л. В А с с у р. Основные свойства аналогов ускорений в аналитическом
изложении Т. XI Изв. СПБ. Политехнического института. 1909
S1
Полное ускорение точки находят по его проекциям из равенств:
для плоского механизма
aN = V
q2x
n
+ a ly ,
(2.19)
для пространственного
aN ~ 1^
aNx "I" aNy
ал/г •
(2.20)
Для механизмов с одной степенью свободы уравнения (2.7), (2.9),
(2.13) и (2.17), относящиеся к вращательному движению звена І,
примут после приравнивания обобщенной координаты нулю следующий
вид:
угловые координаты звена пространственного механизма
ф
tx
ф
ix
( Q i)
и
ф
іу
=
ф
ig
( 2
. 2 1 )
угловые координаты, скорость и ускорение звена плоского меха­
низма
ф і —фі(<7і)>
(2.22)
о* =ф'-,<7і,
(2.23)
8* = Ф/г ( <7і)2+Ф л Яі -
(2.24)
Уравнения (2.8), (2.10), (2.14), (2.18), определяющие движение
точки N звена І, для механизма с одной степенью свободы превращают­
ся в следующие:
координаты точки N пространственного механизма
xn = xn (Qi). УN = у N Ш • 2N = z N (qx),
(2.25)
линейные координаты и проекции на ось х скорости и ускорения
точки плоского механизма
лы = *N fai)
и Уы = Уы
(2.26)
#
vNx =
aNx =
Яи
f ^ ) 2 + C i^ i-
(2.27)
(2-28)
Анализ всех полученных уравнений показывает, что основной
частью кинематического исследования является определение коорди­
нат, аналогов скоростей и аналогов ускорений звеньев и точек спроек­
тированного механизма. Все эти величины представляют собой харак­
теристики самого механизма, не зависимые от закона движения его ве­
дущих звеньев. Наличие же закона движения позволяет вычислить
уже конкретные значения скоростей и ускорений.
52
§ 10. ЧЕТЬ'РЕХЗВЕННЫЙ ШАРНИРНЫЙ М ЕХАНИЗМ
Шарнирный четырехзвенник (рис. 2.2) помещен в систему коорди­
нат Аху, начало которой совмещено с осью вращения ведущего звена /,
а ось абсцисс — со стойкой 4. Углы ф ъ <р2, <р3, характеризующие по­
ложения звеньев, измеряют от
положительного
направления
оси х. Длины звеньев IА в
IВ С
~ ~
^2 t
^D C
—
4
И
(ftD
—
L
* 4.
Определение координат точек
и звеньев. Согласно методике,
изложенной в § 9, условие замк­
нутости закрытой цепи A BCD А
данного механизма выражают
векторным уравнением
Рис. 2.2
вс U d 4 или уравнениями проекций векторов
на ось х (абсцисса точки С)
хс
l\ COS ф 1 +
І2 COS ф
1DC
=
2
/4
“}“ /зС О вфз
(2.29)
/а sin ф з
(2.30)
и на ось у (ордината точки С)
Ус
1\
віпфл +
/ 2 sin ф 2
Связав длины звенье
коэффициент
Х/2,
(2.31)
можно записать, что
1
/1 (cos ф , +
совф г
X
(2.32)
и
Ус
I
/Л в іП ф , +
s in ф
-
2
(2.33)
Уравнения (2.29) и (2.30) непосредственно не решаются, так как
углы ф2 и фз неизвестны. Д ля их определения соединяют точки В и D
и рассматривают закрытый контур ABDA со стороной BD переменной
длины. Векторное уравне
Ш + Й Дает уравнения проекций на ось х:
I, СОБф 1
U
+
l
D
B
c
°
s
ф
D
B
(2.34)
и на ось у:
/, sin ф ,
/
D B s i n <PD B
(2.35)
По уравнениям (2.34) и (2.35) находят тригонометрические функции
угла ф
и сам угол
S3
I ! COS ф і — I
COS ф
/ j S in ф А
Sin ф DB
IDB
IDB
И
ly sin фі
(2 36)
lt cos 9 , — I,
Величину lDB находят из уравнения (2.34) или (2.35), а
случаях — из Д ABD:
IBD
] / if
+
l\ — 2/,Z4 c o s
в
некоторых
(2 37)
ф.
Для определения углаф,. рассматривают Д BCD, все стороны которого известны, а ^ CBD = я
Фов "Ьфг- IПо уравнению сторон
этого треугольника
2
/I
.
.2
І2+ IDB
2 12I d b c o s (it
іф DB
ф8)1
находят косинус угла
I
COS (ф ов
Фа)
/2
I,
lDB
2U DB
(2.38)
угол ф 2, а затем по формулам (2.32), (2.33) и (2.30) — координаты
точки С, зіпфз и угол ф3.
Для составления выражений координат промежуточных точек
шатуна 2, например точки Ғ, связывают длину звена 2 и расстояние
между этой точкой и началом звена, точкой В, через коэффициент
И
IBF
ВС
и
Тогда, используя формулы (2.29), (2.30), (2.32) и (2.33), координаты
точки Ғ записывают следующим образом:
ғ
С
h cosqpi 4” £/2 cos ф 2 — 1\ ^сОБф] +
COS ф 2
(2.39)
и
Уғ
/j Sin ф! +
^/2
8ІПф2 — /j /вІПф] -f-
БІПфг
(2.40)
Определение перемещений точек и звеньев. За исходное положение
механизма для отсчета перемещений в пределах цикла обычно прини­
мают то, в котором возвратно движущееся звено, например коромыс­
ло,?, занимает одно из крайних по­
ложений, а звенья 1 и 2 вытяги­
ваются в одну прямую (рис. 2 3),
т. е.при ф 2* = ф і* . Этот угол нахо­
дят из Д ACkD:
2
COS ф 1Л
Рис. 2.3
54
1*1 + W + *4
2 (/, + /г) и
. (2 . 41)
Угол ф3й получают также из Д ACkD:
+ /а)2_ i
I
cos фЗА
(2.42)
2/Л
Точка С шатуна в этом положении характеризуется координатами
1
СОБф^
(/j
+
/
2)С08ф1
А
(2.43)
ll
+
Ск
X
и
Уск
(/, + /а) sin фи
*1^1 +
1
si п ф1А.
X
(2.44)
Наконец, координаты точки F шатуна записывают следующим
образом:
х Fk
(*1 + U J COS ф^
fifi +
С совф^
X
(2.45)
Ф+
С sin ф^
X
(2.46)
и
У*) sin ф Ik
УFk
Общие выражения перемещений должны учитывать переход звеньев и точек механизма из исходного положения в текущее, а именно:
угловые перемещения всех звеньев — по формуле (2.11),
проекции перемещения точки В — по формулам
sВх
l\ (cos ф lft — COSф х)
Bk
В
(2.47)
и
/,
(5ІПф1
А
Ув
Увк
проекции перемещения точки С
Sв у
sС х
СҺ
вІПфх),
1
COS ф1Л— COS ф,
X
I
(2.48)
1
COS ф. (2.49)
X
и
Cv
Ус
Уск
1+
1
% sin Фи
X
sin ф}
1
sin ф2 , (2.50)
X
проекции перемещения точки F
SFx
XF
X Fk
С
COS Фи — cos ф,
1+
X
с
X
COS ф 2
(2.51)
И
SPy
УҒ
Уғк
I 1 1+
С
Sin ф lft
X
s in Ф1
С sin
X
Фа
. (2.52)
Проекции перемещения точки F выражают также через переметочек
, преобразуя уравнения (2.51) и
"С
Б. М и н у т .
Аналитическое исследование движения произвольно
выбранной точки шатуна кривошипно-шатунного механизма. Известия МВО
СССР, М., Машгиэ, 1959, № 7, стр. 9—30.
55
'
*
J K T " (7 ? + 0 /
®)
SF x -------- ^1
(С s i п ф j
1~
£ c o s ф,
С+ С+
L cos cpj =
'і
5
+
£ s in < p i)
t t cosf - £ ^
q, 1)B первое
во второе, а именно:
— ) COS ф1А — cos ф, + £ cos ф,
—
К1 — О с о в ф ^ —
(1 L
£ ) COSф -J
^ - j C0S? i A — С с о в ф , ------ COS Cp2
(1 — 0 fI (cos ф1й — cos Ф,)
^ l[(l + ү )
c o s Фі*
— cos Ф і -----^ с о в ф г
Согласно формулам (2.47) и (2.49), окончательно получаем
*Л — 0 — О sBx 4- Csc,.
(2.53)
Аналогичный вывод для проекции на ось у даст
рц
^
Ц sbu "Ь Csc{/-
лен^иГвГ^я
W
(2.54)
" » ™
“^на,
° пределение аналогов угловых и линейных скоростей. Проекции
кооплиняС
Г
РО
СТИ
ТОЧКИ
В
НаХТ
Т
как
производньГе
по
обобщенной
координате qy = ф1 уравнений (2.47) и (2.48), т. е.
си
в
5ві = "^Г = ~ /,8ІП(Рі
(2.55)
И
аУв
Sbu Щ ~d^ = 1C0S фі»
(2.56)
так как аналог угловой скорости звена / ® =
'
= i
d<Pi
Общие уравнения, связывающие аналоги скоростей м е х а н и ч м я
получают в результате дифференцирования формул (2.29) и (2 30) по’
обобщенной координате, а именно:
1
'
для проекции на ось х
s
! * •
с*
-
d9l
d9|
cos
c o s 'Pa) = —
(/4 +
*s c ° s <Ps)
или, учитывая равенство (2.32), окончательно
S c *
56
=
l l
( Sln Фі + T
sin ф2 *
— / Ssin ф„ . ф^;
(2 .5 7 )
іля проекции на ось у
sСу
1Л(cos ф,
+ -i-
COS Ф2 • (рЛ =
/3cos Ф3 • ф.
(2.58)
Для определения величины ф2 проецируют закрытый векторный
контур A BCD А (рис. 2.4) на ось
абсцисс новой системы координат
Ах'у', повернутой относительно
исходной системы Аху на угол
ф 0 = ^ х А х ', который принима­
ют постоянным и в каждом поло­
жении механизма равным углу ф3
поворота звена 3 .
Полученное уравнение проекции
на ось х
Рис. 2.4
/ | COS ( ф , — ф о)
4 - І2 COS ( ф 2 —
ф о) =
l i COS ( ф 4 — ф о) +
/gCOS ( ф з — ф 0)
дифференцируют по обобщенной координате, принимая угол ф0 за
постоянную величину. Результат дифференцирования представится
равенством
/j si П (ф 1
Фо)
Һ sin (ф2-- фо) ф 2
/з s in ( ф з — ф о )ф 3- (2 .5 9 )
Учитывая, чтоф 0 = ф 3 и s i n ^ 3 —фз) = 0, получают выражение
sin (ф1 — фз) + /2 sin (ф2—ф з) ф 9
О,
которое отличается от уравнения (2.57) наличием только одного нефор
l \ sin (<р1
Фз)
X sin (9і — Фз)
п
<ря)
sin (®а — ®3)
/
2
Si
(<ра —
(2.6 0 )
После подстановки полученного значения ф ' в выражения (2.57)
и (2.58) они принимают окончательный вид:
Сх
/Jsin c p ,
Sin ф«
sin (ф
sin (ю
Фз)
Т з ’ Тз
9а).
(2 .6 1 )
И
SСу
1г I COS
<Pj
COS ф2
sin (<р1
sin (<р,
/ 3 c o s Тз • Фз-
(2.62)
Уравнения (2.61) и (2.62) позволяют получить аналоги скорости
точки С и угловой скорости звена 3 .
вычисления
F шатуна служат уравнения
s Ғх
I1
sin <Pj
£ si п фа ІІИ <*»..-*>
sin (ф„ — 9 , ) .
(2.63)
57
и
SF y
— ll
[ C 0S Ф і — С COS ф 2 -Sin (<Pl-----^
smCqjjj — mg)
(2.64)
полученные в результате дифференцнрова
нате выражений (2.51) и (2.52), или
sfx =
0 — £) 5Bjc + &Сх
(2.65)
И
sFy — (1 — С) sBy + t,s'Cyt
(2.66)
найденные как производные равенств (2.53) и (2.54) по обобщенной
координате.
Определение аналогов угловых и линейных ускорений. Дифферен­
цируя по обобщенной координате все аналоги скоростей, получают
выражения аналогов ускорений:
аналог углового ускорения звена 1
9
»
^ф|
(Рф\
ф1 = "ФJр,r Ш
£/ф,
Л
р
(2.67)
аналог углового ускорения звена 2 , вычисленный в результате
дифференцирования уравнения
(2.59) и подстановок ф 0 = ф 3,
• п ( ф 3 — ф з) =
0
И С О З (ф 3 — ф з ) =
1,
ф* Ш — -1 С° 5 (<Pl ~ Фз) + C0S (,Р2 ~ Ф»> • ( ^ ) 2
sin((p2 — фз)
,
18 ( Фз)2
/2 sin (ф2— фз) ’
fiov
проекции аналога ускорения точки В
SB x
= — li cos ф !
(2.69)
sBy
= — 1і8іпф і,
(2.70)
и
проекции аналогов ускорения точки С и углового ускорения звена 3
И
Һ {C0S Фі +
SCx
ү-
COS ф2. (ф')2 +
sin ф2 . ф'j J
/ 3[cos 93 • (ф')* 4- Sin Фз • ф^]
(2.71)
И
SCy
—
Һ {S*n Фі + -ү- [Sin ф2 • (ф')а — COS ф2 • ф’]
l 3 [sin
Фз
• (ф^)2 — COS Фз • ф’1,
(2 72)
проекции аналога ускорения точки F шатуна
sFx = — 11 {c o s
58
Фі + ү - [cos ф2 . (Ф;)2 + sin ф2. ср']1
(2.73)
и
s’Pu = — / t | sfri <P, + - ү (sin Фа • (<p/ — cos Фа-Фа)!
(2.74)
ИЛИ
и
t „ - (1 - 0 s-Bl + V c,
(2.76)
Значения скоростей и ускорений подсчитывают по формулам (2.23).
2.24), (2.27), (2.28).
§ 11. КРИВОШИПНО-ПОЛЗУННЫЙ МЕХАНИЗМ
Рассматривая кривошипно-ползунный механизм (рис. 2.5) как
частный случай шарнирного четырехзвенника при бесконечн© длин­
ном коромысле 3, записывают для него векторное уравнение
DC
I Ось абсцисс проведена через точку А параллельно траектории
точки С ползуна независимо от расположения механизма. Положитель­
ное направление оси х соответствует движению ползуна 3 в сторону
оси вращения звена /. Чтобы отсчет углов соответствовал отсчету пе­
ремещений ползуна 3, принимаютфг = ф | — п и ф 2 = ф 2 — 2я;
тогда
выражения проекций векторного уравнения будут следующими:
хс — — lx (cos ф $ -f - i- cos ф aj
(2.77)
sin ф 2 “ — Л.(sin ф, — v),
(2.78)
и
где X =
М 12
и v=
е !1 \.
59
Приняв крайнее положение механизма, отмеченное индексом k,
за ^исходное в кинематическом цикле, записывают выражения проек­
ции линейных перемещений отдельных его точек, а именно:
точки В
sbx — х в
sbv
(c°s ф ik — cos ф x),
xBk —
(2.79)
= Ув — Увк “ li (sin <р1Л— віпф j),
(2.80)
точки С
§C
§Сх —
x c — xCk =
1
+
t
)
c
o
s
Ф
і
*
~
c
o
s
Ф
і
~
x
c
o
s
<
P
2
l
(
2
,
8
1
)
или
Cx
I,
Г ) ~ v — cos<p,---- r cos <p21 (2.82)
и
s су — Ус — Уск ~ e — 0 = 0,
формул
. * „ ‘M (Z.Dd) И ( 2 .0 4 ) , в которых £ = Івғ^всВыражения аналогов скоростей звеньев и их точек получают в
Ғу^»ультате дифференцирования по обобщенной координате величин
угловых и линейных перемещений:
звена 2
%
^
cos ф,
COi<p2 *
(2.83)
точки В
sBX = liS in 9 l ,
(2.84)
sBy = — ^ісоэф!,
(2.85)
точки С
sc = sc x
“ /1 (sin 9 l — cosVj tg ф 2),
(2.86)
точки F по формулам (2.65) и (2.66).
Выражения аналогов ускорений звеньев и их точек находят по­
средством дифференцирования аналогов скоростей по обобщенной координате:
звена 2
точки В
I i c°s<Px,
(2.88)
4 , = / , si п ф „
(2.89)
S’B ' =
60
точки
С
sc
sc ,
=
=
/ 1(cos ф , +
\
+
*■
C 0S
Sin <Р,
tg
,
<p2)
?2
точки Ғ по формулам (2.75) и (2.76).
Значения скоростей и ускорений подсчитывают
(2.23), (2.24), (2.27), (2.28).
(2.90)
/
по формулам
§ 12. ЧЕТЫРЕХЗВЕННЫЙ КУЛИСНЫЙ МЕХАНИЗМ
В кулисном кривошипно-коромысловом механизме (рис. 2.6,а)
межосевое расстояние 1АС = /4, длина кривошипа / 1Ав = Zj =
и обобщенная координата <7і = фі — фі (0- За начало координат
принята точка А, а ось х проведена через точку С и является осью
.симметрии механизма. Так как кулиса 3 является коромыслом (Х<;1),
*
Рис. 2.6
то ее положение координируют углом ф3 = ф * _ л . Если же (при
Х>1) кулиса 3 — кривошип (рис. 1.32,а), то ее положение определит
угол ф;.
Определение перемещений звеньев и отдельных точек механизма.
Условие замкнутости закрытого контура А ВС А (см. рис. 2.6, а)
выражают векторным уравнением (см. § 9)
А В — ( а с " Ь *с в *
проекции которого на оси координат даются равенствами:
на ось х
W СОЗф| =
/ 4 С 0 3 ф 4 + I q b СОЭфз
или
61
1\ СОБфі — /4 — Іс в СОБфз,
на ось у
l\ sin ф | ~ i4 siп ф4 4* Іс в вігіфз
или
1\ 5ІПф1 — — Iqb БІПфз.
Величину переменного расстояния между точками 5 и С находят
из Д ABC:
ІСВ= Ғ I2] + ^4 -- 2/1/ COS cpj
4
или после преобразования
1 — 2Хcos ф, 4 - X2 .
1св =
Составленные уравнения позволяют определить тригонометричес­
кие функции угла ф 3:
Л s in <pj
sin фз
(2 91)
V Г 1 — 2Х cos ф, 4- \ 2
1 — К cos фА
COS Фз
/
(2.92)
I — 2А cos ср! + X2
я
К s in ф*
*£<Рз
(2.93)
\ — Xcos ф}
Положения кривошипа в момент максимального отклонения кули­
сы (рис. 2 6 , б) находят из прямоугольных треугольников АВы С и
ABku О посредством равенства cos ф lft =
Это дает два значения у гЯ
ла Фи — одноф 1Й/<С — и второефшу = 2 п —<рш , Соответственно с
•
этим минимальная и максимальная величины угла фЗА определяются
равенствами
<Рзkl = arc sin (— \) и
= aro sin
Определение аналогов скоростей и ускорений. Аналог угловой
скорости кулисы 3 и камня 2 (см. рис. 2.6,а) находят в результате
дифференцирования любого из уравнений (2.91), (2.92) и (2.93), на­
пример последнего из них,
d
ctyj
(tg
1 4
г .
Фз = Ф ,= -
К si n
d
d<p
,I —*
1 — X cos ф I
j
*
k
!
„
I
COS Ф, + A2
(2.94)
Аналог скорости точки кулисы получают как произведение аналога
расстояние между точкой
точкой.
62
относительно точ
ки С или Ғ, принадлежащей кулисе 3 и совпадающей с точкой В кри­
вошипа / или камня 2 (см. рис. 2 .6 ,а), определяют как производную
переменного расстояния /св :
л
^
щ
*
_ а1св _ ,
sin <рх
.
1
d9i
У \ —Чк cos фх+Х2
sb f
(2.95)
или с учетом уравнения (2.91)
s'BF= — Г" sin ?з = —U sin <Рз
Дифференцируя уравнения (2.94) и (2.95), можно ш
аналог углового ускорения кулисы 3 и камня 2
9 9
9 9
<Рз = ф 2 = —
И
Щ
—
—
"
■
-81П
91
,
dtp 1
(1 — 2А. cos (pi + \ 2) 2
(2.96)
аналог ускорения точки В в ее движении относительно точки F
^В F
Z? ғ
(COS <pi — А.) (1 — \ COS 9i)
I
1
d<fj
у ( i _ 2A. cos f i + X2)3
'
или с учетом уравнений (2.92) и (2.94)
9 9
SCB
f t
SBF —
м ?3 cos ?з-
Все уравнения, выведенные для кулисного кривошипно-коромыс
лового механизма, пригодны для кинематического расчета мальтий
ских механизмов.
§ 13. МЕХАНИЗМ ШАРНИРА ГУКА
Целью кинематического анализа механизма шарнира Гука (кардан­
ной передачи) (см. рис. 1.27 и 2.7,а) является определение угла <р3
(угловой координаты ведомого вала 3) при заданном законе изменения
обобщенной координаты qx =<рг = ф г (/). Оси вращения вилок-кри­
вошипов 1 и 3 пересекаются в точке A (D), составляя угол 0. Условие
замкнутости закрытого контура механизма (см. § 9) выражают ра­
венством
1ав 4*
1вс —
которое графически представляет собой неизменяющийся равнобед­
ренный & A B C D (точки А и D совпадают). Угол между векторами 1АВ
и 1щ постоянен и равен 90°. При движении механизма вектор 1АВ
вместе с кривошипом 1 вращается в плоскости Ауг, перпендикулярной
к оси х, а вектор lDC с кривошипом 3 — в плоскости D y'z', перпенди­
кулярной к оси х '. Эти плоскости пересекаются по оси г под углом
63
равным также р. Поэтому для определения закона движения криво­
шипа 3 устанавливают зависимость между угловыми координатами
Фі вектора 1АВ и ф 3 вектора TDC .
На рис. 2.7,6 изображены схема механизма и плоскость А'уг
с вращающимися в ней век то р о м !^ (отрезок А'В') и проекцией вектора 1ос (отрезок D'C')*. Геометрическое место точек С' (конца проек­
ции вектора lDC) представляет собой эллипс. Если вектор
повернуть
Рис. 2.7
относительно оси у на угол фХ, то проекция вектораТос составит с осью г
F'D'C ' , равный_углу ф 1 (^ В 'А 'С ' = 90°). Однако угловая коор­
дината ф 3 вектора /ос в плоскости D y'z не равна углу ф Х. Чтобы опре­
делить его величину, повертывают плоскость Dyz (D 'y'z ) вокруг оси г
до совмещения с плоскостью А'уг. Точка С' при этом переместится по
прямой F 'C , перпендикулярной к оси г, и окажется в точке CJ на окру­
жности радиуса D'CJ = А' В', а ^ C\D'F' будет равен ф 3. Используя
соотношения сторон в д £ С С у2, д Я 'С 'Г и A D 'C jF ', записывают
равенства
* Все точки плоскости А 'у г отмечены штрихами.
64
COS
и DC
F'C'
I 9
F 'C l
DC У2
DC
F'C'
D'F' tg <pj
D'F' tg cp3 ,
F'C'.
DC,
DC yz
из которых получают
t g <Pi
cosp
t g <Рз
и, наконец,
tg <pi
(2.97)
COS P
дифференцирования уравнения (2.97) по обобщенной координате
1
COSP
d
(fg Фз)
d<fj
откуда
COS2 <P3
d
%
(tg <pi),
COS P COS2 ^
И
COS'* <p3
fa
COS P COS2 cpi
Учитывая, что
C O S 2 cp3
1
COS2 P
1 + tg 2 <p3
COS2 P +
t g 2 cpj
COS2 P COS2 cpx
COS2 P COS2 cpi
COS2
P
COS2
$1 + sin2 <pi
P COS2 cp2
1 — sin2 P COS2 <p!
COS2
(1 — sin2 P) COS2 <Pj -f- sin2 <p1
можно получить окончательное выражение аналога
Ф:
cos В
1 — sin2 Р COS2
(2.98)
Аналог углового ускорения звена 3 находят в результате повтор.ифференцирова
sin2 р cosp sin2cpx
Фз
(1 — sin2 Р cos2 <рх)2
(2.99)
Анализ уравнений (2.98) и (2.99) показывает, что аналог угловой
скорости фз за один оборот ведущего звена 1 получает максимальное
значение (ф ')тах
минимальное
(ф з)тіп = cos I пРи л /2 и З я /2 . Среднее за оборот значение аналога ф 3
равно единице, так как одному обороту звена 1 соответствует один обо­
рот звена 3.
Неравномерность вращения валов обычно оценивают
ФФ
ц и е н т о м н е р а в н о м е р н о с т и , который представляет со­
бой отношение полного размаха колебания угловой скорости к среднеШ
І
65
му ее значению. Выражение коэффициента неравномерности вращения
для ведомого звена 3 имеет следующий вид:
Ь =
м з т а х — шзт 1 п _ =
/ ч
_
\Г З )т а х
/ _ 'ч
lT 3 ;r a f n
----- [---------- COS 3
cos р
г
или окончательно после преобразования
б = sin Р tg р.
Если угол Р не превышает 10°, то используют приближенную формулу
Р и с . 2.6
В тех случаях, когда требуется полная идентичность законов вра­
щения ведомого и ведущего звеньев, необходимо применять так назы­
ваемый д в о й н о й ш а р н и р (рис. 2 .8), в котором углы р между
осями вращения звеньев 1-3 и 3-5 должны быть равны друг другу,
а обе вилки звена 3, входящие в разные шарниры, — располагаться
в одной плоскости. Возможны два варианта двойного шарнира: один
(см. рис. 2 .8 ,а) для передачи вращения между параллельными осями
ведущего и ведомого звеньев и второй (см. рис. 2 .8 ,6 ) — между пере­
секающимися под углом 2 р осями.
66
Г л ав а IV
КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ
ГРАФИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ
§ 14. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
Графические методы нашли наиболее широкое распространение,
так как могут быть применены практически во всех случаях кинема­
тического исследования механизмов. Кроме того, графические мето­
ды позволяют использовать заданные в виде графиков законы изме­
нения обобщенных координат и скоростей.
Расчет начинают с вычерчивания изображения кинематической
схемы строго в масштабе. Схемы механизмов с двухповодковыми стру­
ктурными группами строят м е т о д о м з а с е ч е к , а с группами
более
высоких
порядков — с помощью
геометрических
мест.
Скорости и ускорения отдельных точек механизма графически мож­
но определять с помощью мгновенных центров скоростей и мгновен­
ных центров ускорений, методом планов и методом кинематических
диаграмм.
Способ определения скоростей и ускорений с помощью их мгновен­
ных центров изложен в курсе «Теоретическая механика». Однако
для широкого использования рекомендовать этот способ нельзя, так
как мгновенные центры очень часто оказываются вне чертежа и тем
самым делают построение невозможным. Метод кинематических ди­
аграмм изложен в § 22.
Наибольшее распространение получил универсальный м е т о д
п л а н о в , обладающий высшей точностью из всех графических ме­
тодов. Построение планов скоростей и ускорений производят на
основе положений, выведенных в курсе «Теоретическая механика»
для плоскопараллельного движения твердого тела и сложного движения
точки.
Как указывалось в § 8 , класс и порядок плоского рычажного меха­
низма (по классификации Л. В. Ассура) определяют методику пос­
троения для него планов скоростей и ускорений. Поэтому кинемати­
ческое исследование должно начинаться с расчленения механизма на
составные части, т. е. на первичные механизмы и структурные группы,
и установления методики их расчета.
Так как в машино- и приборостроении используют главным образом
механизмы I класса с группами 2-го и 3-го порядков, то можно ограни­
читься рассмотрением методики построения планов для первичных
механизмов и указанных видов групп.
Основные положения метода планов скоростей и ускорений для ме­
ханизмов с двухповодковыми группами были разработаны О. Мором
еще в прошлом столетии (1887 г.) Дальнейшее развитие метод получил
в работах отечественных и иностранных ученых. Для механизмов же
3*
67
содержащих структурные группы с тремя и более поводками, наиболее
простым способом построения планов скоростей и ускорений является
разработанный проф. Л. В. Ассуром* м е т о д о с о б ы х т о ч е к .
§ 15. МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ СХЕМЫ И ПЛАНОВ
ПЕРВИЧНОГО МЕХАНИЗМА
Механизм с вращательной парой. Д ля механизма с вращательной
парой (рис. 2.9,а) обобщенной координатой qx является угловая коор­
дината ф! рад стороны А В подвижного звена /, выполненного в виде
жесткого А А ВС, а обобщенной скоростью qx — его угловая скорость
toi рад-сек'1. По действительным размерам
м, 1АС м, 1ВС м сторон
треугольника можно вычислить длины отрезков (в мм), изображаю­
щих его стороны: АВ = ц 1 1ДВ, ЛС = ц , / /1С, ВС=\>ц1в с , выбрав мас­
штаб длин
мм/м, а затем построить и сам треугольник. Угол фг
откладывается от оси х, жестко связанной со стойкой 2 .
1^а,м м /м с е к '2
p v , мм/мсек’1
Р Л мм/м
мм/м
1*а ,мм/мсек-*
Рис. 2.9
Скорости точек В и С подвижного звена 1 vB = ш, lAB, vc = © i lAC
в полной мере характеризуют его движение. Длину вектора pb (в мм),
изображающего скорость точки В, целесообразно выбрать пропорцио­
нальной расстоянию между ней и осью вращения звена /, т. е. pb —
== CV(AB). Тогда в соответствии с равенством (1.3) определяется мас­
штаб скорости
pb
Pb
С„ ( А В ) и./
VB
“ 1 ІАВ
О), ( А В )
и окончательно в мм1м-сек~*
i v M со.
; - .
(2.Ю0)
*
Л. В. А с с у р . Картины скоростей и ускорений точек плоских механизмов.
СПБ. Политехнический институт, І913.
68
После этого, вычислив с пс
вектора скорости точки С в мм
0)
рс
скорости yiv размер
(АС)
И*/
ш,
Cv (АС),
Iн
строят п л а н с к о р о с т е й первичного механизма. Через полюс
плана р проводят прямые (рис. 2.9,6), перпендикулярные к сторонам
А В и АС А л е е . На этих прямых согласно направлению обобщенной
скорости со1 откладывают от полюса их векторы pb и рс так, что
pb J_ АВ и рс J_ АС. После соединения концов векторов (точек Ь и с)
получают план скоростей механизма в виде Д pbc, неизменяемого по
форме
движения. Треугольник
на плане скоростей
ШЩ
.
ж „ я р — pbc —
подобен, А А ВС на схеме механизма, так как стороны одного пропорцио­
нальны и перпендикулярны jk соответственным сторонам другого
( ^ Ь р с = ^іВ А С = 0). Вектор Ьс плана изображает скорость точки С
относительно точки б, т. е. vCB
М-в
Согласно § 9 аналог
механизма по
модулю
d в
АВ dy
sв
I
dqi
dz>I
т. e. расстоянию между точкой В и осью вращения звена L План
скоростей (рис. 2.9,6) является одновременно и п л а н о м а н а л о ­
г о в с к о р о с т е й , выполненным в масштабе
рЬ
cv (АВ)
IАВ
в
На п л а н е
ускорений
торной суммой нормального и т*
В и С звена / можно записать
М
п
аВ
ав
п
аВ
а
первичного механизма должны быть
каждое
является
ав
АВ
+ ав или
( i i ) IАС
( 2 . 101)
ав
.Л I
Ш1 ^АС »
или
а
Qi *АВ
l AB V
а
<»* +
Q il АС
гЛ
8? ,
вл1АС
•
1 АС V
векторов
бражающих нормальные ускорения точек звена /, пропорциональныосью
т. е.
р 'п в
Са (АВ), мм и р'п.
Сп (АС)9 мм9
где Са — коэффициент пропорциональности
69
Выражение масштаба ускорений при этом примет вид
р 'п в
га
!
п
аВ
В
р 'п в
Са (АВ)\ц
я
“ і ^АВ
®1 Щ Щ
и окончательно в мм!м-сект2
С a Pi
Ра
(2.102)
т
Длина вектора в мм, изображающего тангенциальное ускорение,
получается равной:
О
точки В
пв Ь' = сСв
точки С пс с = ас
= 8ХI
CaV-l
6
СОj
СО J
- V " = —Г с а (АВ);
= —5- Св (АС).
<0,
Приняв точку р' за полюс плана ускорений, строят план ускорений
механизма (рис. 2.9,в). Вектор р'пв нормального ускорения точки В
проводят из полюса параллельно стороне АВ A ABC в направлении от
точки В к А. Следующий вектор пв Ь' тангенциального ускорения
пристраивают к предыдущему под углом 90° в сторону, соответствую­
щую направлению углового ускорения
Векторная сумма р'Ь’ обоих
слагаемых является вектором полного ускорения точки В. Подобным
же образом строят векторы р'пс , пс с' и р'с' ускорений точки С.
План ускорений звена 1 получится в виде Д р 'б 'с ', неизменяемого по
форме в процессе движения. Треугольник р'Ь'с' подобен д Л В С на
схеме механизма. Вектор Ь'с' изображает полное ускорение точки С
в движении относительно точки В, т. е.
_ Ь'с'
асв —
•
га
Согласно формуле (2.28) аналог ускорения точки пропорционален
ее ускорению только в том случае, когда обобщенная скорость механизма qx = ©1 = const, т. е. при qx = ех = 0 и а = ап.
Величины аналогов ускорений определяют из равенств:
•
• •
точки В
ТОЧКИ
С
sв
S
с
ав
с X2
ав
2
“? ^АВ
w2
О**
аС
®1 ^АС
,-\2
2
1
( Я\)
ш2
”1
*АВ
I
- 'АС
На рис. 2.9,г представлен план ускорений первичного механизма
при qx = 8, = 0. Этот план будет также и п л а н о м а н а л о г о в
у с к о р е н и й , выполненным в масштабе
• •
70
*
*»
p" b"
Ca (AB)
IAB
В
(2.103)
СаЪ
IAB
Механизм с поступательной^ парой. В механизме с поступательной
парой (рис. 2 . 10,а) обобщенной координатой д1 является расстояние
хв м между точкой В звена 1 и точкой А стойки 2, а обобщенной скоростью ql — линейная скорость vB м-сек~* точки В.
Скорость точки В полностью характеризует движение всех точек
звена 1, и его п л а н с к о р о с т е й состоит из одного вектора pb
(рис. 2 . 10,6), параллельного тра­
ектории точки В. Длину отреза)
5)
ка pb выбирают в зависимости от
мм/м •сек'*
мм/м
размеров чертежа. Масштаб ско­
/ч*, муединица
рости находят в мм!м-сек ~1 из
РО
> b
равенства
в)
рЬ
/LLg, мм/м-сек' 2
р'О
■ > 6'
(2.104)
vв
Аналог скорости точки В (см. §9)
SВ
Рис. 2.10
dsВ
dxв
dqi
dx в
1;
вектор pb представляет также и аналог скорости любой точки звена /
в масштабе
рЬ
(2.105)
1
В поступательно-прямолинейном движении у звена I может быть
только тангенциальное ускорение
• •
ав
ав
dqi
dvв
d %x в
dt
dt
d t*
План
ускорений
состоит из одного вектора р'Ь’
(рис. 2 . 10,в), величину которого выбирают произвольно. Масштаб
ускорения в мм/м-сект2
1*,
р 'Ь '
Аналог ускорения точки В s‘B
скорости So
I
водная от нее равна нулю.
(2 106)
ав
dsв
dqi
равен нулю, так как аналог
я и, следовательно, произ71
§ 16. МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ СХЕМЫ И ПЛАНОВ
ДВУХПОВОДКОВОЙ ГРУППЫ
С ТРЕМЯ ВРАЩАТЕЛЬНЫМИ ПАРАМИ
Исходные данные и построение схемы. Д ля кинематического ана­
лиза структурной группы этого вида (рис. 2 . 11,а) должны быть зада­
ны: схема структурной группы со всеми размерами, а также величины
и направления скоростей и полных ускорений точек В и D шарнир­
ного присоединения группы к механизму. Если группа одной из точек
шарнирно присоединена к стойке, то скорость и ускорение точки при­
соединения равны нулю.
Рис. 2.11
Построение схемы (см. рис. 2.11,а), выполняемое в масштабе ц г,
начинают с нанесения точек В и D (по координатам хв , у в , xD, у Л .
Далее посредством засечек, проведенных радиусами ВС и DC, находят
точки С и С' пересечения дуг и выбирают одну из них.
Построение плана скоростей. Построение плана скоростей начинают
с определения скорости точки С — центра шарнира, связывающего
оба звена группы (см. рис. 2.11,а). Д ля этого необходимо применить
теорему из курса теоретической механики о плоско параллельном дви­
жении тела, согласно которой для к а ж д о г о з в е н а группы за­
писывают уравнение, связывающее скорости д в у х е г о т о ч е к ,
т. е. точек С и В поводка 2 и точек С и D поводка 3:
vc
vc
==vb
vd
jc
i
(2.107)
vcd’
(2.108)
vcb
В этих и во всех других векторных уравнениях векторы, известные
только по величине или только по направлению, подчеркивают одной
чертой. Две черты указывают, что вектор известен как по величине,
72
так_и по_направлению. В составленных уравнениях векторы скорос­
тей vB и vD заданы по условию, т. е. известны как по величине, так и
по направлению, а векторы относительных скоростей vCB и ~ЬСЛ дви­
жения точки С вокруг точек В и D, перпендикулярные к стержням
ВС и DC, известны только по направлению. Следовательно, каждое из
векторных уравнений (2.107) и (2.108) в отдельности не решается, так
как содержит по три неизвестных. Однако, приравнивая друг другу
правые их стороны, можно получить решаемое уравнение
VB
VCB В
VD
®CD •
которое после умножения на масштаб скорости \iv, подсчитанный по
формуле (2.100) или (2.104), принимает вид
£& + bc_= g + dc,
(2.109)
где be и dc — векторы относительных скоростей.
Согласно имеющимся данным уравнение (2.109) с двумя неизвест­
ными решают графически—путем построения плана скоростей груп­
пы (рис. 2 . 11,6), которое выполняют следующим образом.
Через полюс плана р проводят луч, параллельный направлению
скорости ив , и на нем откладывают длину вектора pb. Через точку Ь
проводят прямую, перпендикулярную к стержню ВС и являющуюся
направлением вектора Ьс относительной скорости осв. Построение век­
торной суммы, находящейся в правой части уравнения (2.109), начи­
нают опять с полюса р. Для этого от полюса откладывают вектор ~pd
заданной скорости vD и через его конец, перпендикулярно к DC, про­
водят направление вектора dc относительной скорости vCD. Пересече­
ние направлений векторов Ьс и dc скоростей vCB и vCD в точке с опреде­
ляет их размеры. Соединение полюса р с точкой пересечения с дает
искомый вектор рс скорости точки С. Значения скоростей vc , осв и
vCD в м-сек~‘ находят из равенств
°с
РV-v
» °св
Ьо
И-®
и
dc
vc d --------•
Зная скорости двух точек D и С звена 3, можно найти скорость любой
третьей точки этого же звена (например, точки Е), используя извест­
ную из курса теоретической механики т е о р е м у
подобия.
Для этого на схеме группы (см. рис. 2.1:1,а) строят треугольник DCE,
вершинами которого являются заданные три точки. Затем на извест­
ном векторе ^относительной скорости vco строятД dee (см. рис. 2 . 11,6 ),
подобный A D C E . Стороны Adce находят из соотношения dc : DC —
== се : СЕ — ed i ED. Полученная построением вершина е треуголь­
ника dee является концом вектора ре искомой скорости точки Е, т. е.
ре
При построении Д dee нужно следить за тем, чтобы он был правиль­
но сориентирован относительно стороны dc. Для проверки этого надо
пройти по периметру A D C E на схеме группы против движения часовой
стрелки И проследить при этом за чередованием вершин. В рассматри­
ваемом примере оно будет таким: D — Е — С — D. Точно таким же,
т. е. d—e—с—d должно быть чередование вершин A dee на плане ско­
ростей, если пройти по его периметру также против движения часовой
стрелки.
Следует подчеркнуть, что теорема подобия применима только к
таким трем точкам, которые расположены на одном и том оке звене.
Поэтому ее нельзя использовать, например, для точек В, С и Е, так
как точка В расположена на звене 2 , а точка Е — на звене 3 (см
рис. 2.11 ,а).
Зная скорости двух точек В и С звена 2, можно определить скорость
любой третьей точки этого же звена, лежащей на прямой ВС (например,
точки F), если применить способ_пропорционального деления. Для
этого длину известного вектора Ьс относительной скорости vCB делят
точкой / в том же отношении, в котором точка F делит отрезок ВС
на схеме группы, т. е. b f:B F = b c :B C . Из приведенной пропорции
определяют отрезок bf, а по нему и местоположение точки / на отрезке
ос (см. рис. 2.11,6). При этом надо следить за тем, чтобы точки 6 , /
и с на плане скоростей располагались относительно друг друга таким
же образом, как на схеме группы расположены точки В, F и С. Полу­
ченная точка f является концом вектора p f искомой скорости точки F,
т. е. vF — р'
рад-сек~х находят по формулам
m
ш2
vc b
be
К-і
V rn
,
»
Ів с
1*®
<
*
>
«
—
ВС
dc
р.,
-------------- ----------
IDC
nn
rv
.
-------------
DC
мысленно
выделяют это звено и шарнирно закрепляют одну из его точек (напри­
мер, точку В звена 2, рис. 2.11,г). Затем к другой точке звена 2
(к точке С) прикладывают относительную скорость, с которой она дви­
жется вокруг условно закрепленной точки В, т. е. относительную ско­
рость vCB , изображенную на плане скоростей вектором Ьс. После этог0 непосредственно определяют направление угловой скорости © 2 зве­
на 2 . Аналогичным способом находят направление угловой скорости
о>з звена 3 (рис. 2.11,5).
Построение плана ускорений. Имея план скоростей и используя
те же положения курса теоретической механики о плоскопараллельном
движении тела и теорему подобия, можно построить план ускорений
Ускорения точек С к В звена 2 и точек С и D звена 3 (см!
рис. 2 , 11,а) связаны уравнениями плоского движения
Ж
ас = а в + асв
74
J -------------------------
,
и
ac = a D + aCD,
U W V IIU J
IV lL llW lV lin v J
подобными уравнениями (2.107) и (2.108), составленным для скоростей.
Объединим уравнения плоского движения, разложив полные относи­
тельные ускорения точки С в ее вращательных движениях вокруг
точек В и D на нормальные и тангенциальные составляющие
ав
асв
асв = ао "Ь аср
аср ’
Полные ускорения ав и aD заданы по условию.
мальных ускорений определяют из равенств
п
^
_
vс в
/
lBC
__ рц
Ьс2
a§2
dp
п
f
__ vCD
__
/
DC
Величины
pi
dc8
.2
t*»
пл
DC
нор­
Умножив почленно уравнение ускорений на масштаб ц в, вычисленный
по формуле (2.102) или (2.106), получим окончательно:
р'Ь’ + Ь'псв + псв с' = p'd' -f d'nCD + tiCDс',
где р Ь
На Яд» b tigB
a,gB , р d
ц а ад, d
(2.110)
a^D .
По уравнению (2.110) строят план ускорений (рис. 2.11 ,в) в следующем
порядке.
Из полюса плана точки р' проводят вектор р ’Ь’ заданного ускорения
ав и к нему пристраивают вектор Ь'псд ускорения а£в , параллельный
стержню СВ и направленный от точки С к точке В (см. рис. 2.11,г).
Далее через точку псв под углом 90° к стержню СВ проводят прямую,
являющуюся направлением вектора псв с' ускорения асв. Построение
правой части уравнения (2.110) начинают опять с полюса р . Цепочку
векторов составляют из вектора p'd’ заданного ускорения aD, вектора
d'nCD ускорения ап
с о, параллельного стержню CD и направленного от
точки С к точке D (см. рис. 2.11,5), и, наконец, направления вектора
Hcdc' ускорения cfCD, перпендикулярного к стержню CD. Пересечение
направлений векторов пс в с' и nCDc' определяет положение точки с‘
на плане и размеры указанных векторов. Соединив точку пересечения
с ' с полюсом р' и точками Ь' и d ', получим вектор р'с' полного уско­
рения ас в абсолютном движении точки С и векторы Ь’с7 и d 'd полных
ускорений асв и dcD в относительных движениях точки С вокруг точек
В и D.
Зная полные ускорения двух точек D и С звена 3, определяют пол­
ное ускорение третьей его точки Е. Для этого применяют т е о р е м у
п о д о б и я точно так же, как это было сделано при определении
скорости точки Е, а именно строят &d'c'e' (см. рис. 2.11,в), подобный
Д О С £ , используя соотношение d'c ' : DC — с'е' : СЕ = e'd,' : ED и
правило чередования вершин. Зная ускорение двух точек В и С звена 2,
находят полное ускорение третьей его точки — точки F, лежащей на
прямой ВС. Для этого используют способ пропорционального деле­
75
ния подобно тому, как это было выполнено при построении плана ско­
ростей ( 6 : ВҒ — Ь'с' : ВС; см. рис. 2.11,в и 2.11,а).
Значения ускорений точек группы в м -сек' 2 подсчитывают по фор­
мулам
р 'о '
b 'o '
d 'c '
_
р 'е '
aCD
1d c
Р/
nCD с'
DC
“ » асв —
» a CD
• аЕ
и т. д.
Р’е
Р’е
Гв
Угловые ускорения звеньев группы в рад-сек~ 2 находят из равенств
ас
е
2
аСВ
Ів е
Нч
пСВ с>
ВС І
е
Направление углового ускорения определяют подобно тому, как было
найдено направление угловой скорости. Однако к свободной точке
звена (к точке С звена 2, см. рис. 2.11,г) прикладывают уже не отно­
сительную скорость vCB, а тангенциальную составляющую относитель­
ного ускорения а^д, которая изображена на плане ускорений вектором
п с в с’. Аналогичным способом находят направление углового ускоре­
ния 83 эвена 3 (см. рис. 2 . 11,д).
Определение положения центра кривизны траектории точки. Исполь­
зуя планы скоростей и ускорений, находят величину радиуса кривиз­
ны и положение центра кривизны траектории любой точки группы
(например, точки С) в заданной ее позиции. Д ля этой цели вектор пол­
ного ускорения точки С раскладывают на нормальную и тангенциаль­
ную составляющие, причем первая из них, изображенная на рис. 2.11 ,в
вектором р'пс , перпендикулярна к вектору скорости этой точки. Ве­
личину радиуса кривизны в метрах определяют из уравнения
_
" с
л
ас
т
(рс)*
*
Р пс
Центр кривизны К траектории расположен на прямой, прове­
денной через точку С перпендикулярно к вектору ее скорости vc в
сторону действия нормального ускорения а£ (см. рис. 2 . 11, а).
§ 17. МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ СХЕМЫ И ПЛАНОВ
ДВУХПОВОДКОВОЙ ГРУППЫ
С ДВУМЯ ВРАЩАТЕЛЬНЫМИ И ОДНОЙ (КОНЦЕВОЙ)
ПОСТУПАТЕЛЬНОЙ ПАРАМИ
Исходные данные и построение схемы. Особенность структурной
группы этого вида (рис. 2 . 12,а) по сравнению с группой, рассмотрен­
ной в § 16, состоит в том, что при присоединении к механизму звено 3
заданной группы образует со звеном 4 механизма поступательную
пару D. Для этого звено 3 имеет в своей конструкции втулку, которая
перемещается прямолинейно-поступательно по н а п р а в л я ю щ е ­
м у э л е м е н т у звена 4, показанному на рис. 2.12,а штрихами.
76
В общем случае звено 4 , а следовательно, и его элемент подвижны и
могут совершать любое движение. Отметим, однако, что на практике
распространен также и такой случай, когда звено 4 и его элемент не­
подвижны, т. е. звено 4 является стойкой механизма. В этом случае
точка В группы шарнирно присоединена к одному из подвижных
звеньев механизма.
Для кинематического анализа рассматриваемой группы должны
быть заданы: схема структурной группы со всеми размерами, величины и направления скорости и полного ускорения точки В — шарнир­
ного присоединения группы к механизму, и закон движения элемента
Рис. 2.12
звена 4. Этот закон движения в общем случае может быть задан ско­
ростями и ускорениями двух точек, которые находятся на п л о с ­
к о с т и IV (см. рис. 2.12, а), являющейся развитием звена 4 и жест­
ко связанной с ним. В рассматриваемом примере такими точками будут
Ғ и Н, которые геометрически совпадают в данный момент соответст­
венно с точками С и Е звена 3.
Д л я построения схемы группы (см. рис. 2.12,а) по координатам
хв , у в , хт, фот отмечают в масштабе
положения точки В и линии тт
(ось направляющего элемента). Линию qq проводят параллельно ли­
нии тт по заданному расстоянию I между ними. Засечкой радиусом
ВС из центра В на прямой qq получают положение точки С звеньев 2
и 3 и совпадающей с ней точки F, принадлежащей звену 4 (конкрет­
нее — плоскости IV, являющейся условным распространением звена 4
и жестко связанной с ним). Таким же образом находят положение
точки Е звена 3 и совпадающей с ней точки Н звена 4 (плоскости IV).
Построение плана скоростей. Построение плана скоростей начинают
с определения скорости точки С — центра шарнира, соединяющего
оба звена группы (см. рис. 2.12,а). Д ля этого составляют уравнение
плоского движения, связывающее скорости точек С и В звена 2:
Другое уравнение, необходимое для определения скорости точки С,
составляют, исходя из того обстоятельства, что звено 3 , которому
принадлежит точка С, образует с элементом звена 4 поступательную
п ар у . Здесь важно отметить, что если структурная группа содержит
поступательную пару , то абсолютное движение одного из звеньев,
составляющих эту пару, раскладывают на о т н о с и т е л ь н о е и
п е р е н о с н о е . В рассматриваемом случае движение звена 3 рас­
кладывают на относительное — вдоль оси тт направляющего элемен­
та звена 4 (рис. 2.12,а) и переносное — вместе с направляющим эле­
ментом звена 4, поскольку он сам согласно заданным условиям такж е
движется. В соответствии с этим скорости двух точек — точки С звена 3
и точки Ғ звена 4 связаны уравнением сложного движения
^сл = ^пер-!- ^отн>
ИЛИ
VC = V F + V CF.
(2.112)
что точки С и F геометрически совпадают
мименг ф ис. z.iz,a>, но находятся на разных звены
таких, которые образуют поступательную пару.
Составленные уравнения (2.111) и (2.112) объединяют
одно
ив + v c b — V p - b VCF,
пос^ е умножения на масштаб ц , подсчитанный по формуле
(2.100) или (2.104), принимает вид
pb + Ьс = р ) + ] с .
(2.113)
По уравнению (2.113) строят план скоростей (рис. 2.12,6). Д ля
этого из полюса плана р откладывают вектор рЬ заданной скорости
а через его конец перпендикулярно к стержню ВС проводят направле­
ние вектора Ьс скорости vCB. Затем вновь из полюса р откладывают век.
тор pf заданной скорости vF переносного движения и через его конец
параллельно прямой qq — траектории относительного движения точ­
ки С, проводят направление вектора /с относительной скорости ей»,
очка с пересечения обоих направлений определяет размеры векторов
скоростей vCB и vCF. Скорость vc точки С в ее абсолютном движении
изображена в масштабе
вектором рс.
Определим угловую скорость ©
переносного движе­
н и я и скорость иотн о т н о с и т е л ь н о г о
движения в
системе поступательной пары. Как было указано ранее, переносным
является движение направляющего элемента звена 4 \ поэтому ©
=
— со 4, угловая скорость сопер направлена по движению часовой стрелки
так ж е, как и <о4. Из уравнения сложного движения (2.112) следует
чт0 уотн — vCF] направлена относительная скорость иотн вдоль линии qq
наискось вверх (вектор fc на рис. 2.12,6).
78
Чтобы найти скорость любой другой точки звена 3, например точ­
ки Е (см. рис. 2.12,а), следует рассмотреть, с одной стороны, точки
£ и С звена 3 и, с другой стороны, геометрически совпадающие в дан­
ный момент точки Е и Н звеньев 3 и 4 и составить для них соответст­
венно уравнения плоского и сложного движений:
VE = У С + O g C H VE = VH + £яН.
Эти уравнения объединяют в одно
°_С + ^Е С =
^
которое после умножения на масштаб
^jBH9
примет вид
рс + се = ph -н he.
(2.114)
По уравнению (2.114) строят план скоростей (см. рис. 2.12,6)
с учетом, что се I СЕ%he || тт.
Так как звено 3 и элемент звена 4 составляют поступательную пару,
то движение звена 3 по отношению к элементу звена 4 — поступатель­
ное. Поэтому относительные скорости всех точек звена 3 равны друг
другу, т. е. vCf = ^ eh’ 0ТКУДа fc #
Следовательно, четырехугольник
fceh — параллелограмм (рис. 2.12,6). Это обстоятельство в определен­
ной мере можно использовать для контроля.
После того, как стали известными скорости двух точек на каждом
звене группы, т. е. точек С и Б звена 2 и точек С и Я звена *3, определяют
скорость любой третьей точки этих звеньев с помощью теоремы подо­
бия, а также находят угловые скорости звеньев (см. § 16). Огметим
при этом, что поскольку звено 3 и элемент звена 4 составляют п о с т у ­
п а т е л ь н у ю п а р у , то их угловые скорости равны: со3 = а>4.
Построение плана ускорений. На основе тех же двух теорем, что и
для скоростей, составляют уравнения, связывающие ускорения точек
8, С и F (см. рис. 2.12,а), а именно:
уравнение плоского двиоюения:
Qq = ав *+■ас я
(2.115)
и уравнение сложного движения:
^слв **пер 4* ^отн
^кор*
ИЛИ
Oq = я? +• <Хсь *+■Ось •
(2.116)
Следует обратить внимание на то, что в то время как уравнение
плоского движения (9.115) содержит в своей правой части два члена,
уравнение сложного движения (2.116) имеет в правой части третий
член — поворотное у с к о р е н и е
К о р и о л и с а . Напомним
гакже, что уравнение плоского движения связывает ускорения двух
точек С и в , расположенных на одном звене (на звене 2)%а уравнение
79
сложного движения — ускорения двух геометрически совпадающих
точек С и / 7, расположенных на разных звеньях, причем на таких,
которые составляют поступательную пару (т. е. на звеньях 3 и 4).
Объединим уравнения (2.115) и (2.116) в одно, разложив полные
ускорения аСв и ас ғ на составляющие
+ &СВ
EiCB ~ E-F
—CF “Ь
”1“ Щсғ'
В этом уравнении ав и ағ — заданные ускорения. Ускорения асв
X)qb
и акср
подсчитывают
по
формулам
асв = —
и а£р —
вс
= 2сОпер V 0TH Sin ((Опер, и0тн)- СОГЛЭСНО В Ы Ш Ө сказанному ( й пер — 0)4 и
иотн — vCf > кроме того, во всех плоских механизмах sin (соПер> °отн) = 1'*
поэтому а£р = 2o)4Ucf- Ускорение а”ғ — 0, так как относительное
движение звена 3 по прямолинейному направляющему элементу зве­
на 4 есть прямолинейно-поступательное (траектория точки С в ее
движении относительно точки Ғ — прямая qq). Поэтому последнее
уравнение принимает вид
"Ь ^ св "l" Щсв ~ ^Ғ
tfcF “1“ Щсғ •
Умножив на масштаб ускорений ц а, вычисленный
(2 . 102) или (2.106), получим уравнение
по
Е Е + ggcB + п с в с' = р 7 + 1% .р + k CFc',
формуле
(2.117)
которое решают путем построения плана ускорений (рис. 2 . 12, в).
На плане вектор р'Ь' — заданный; вектор Ь'пс в проведен парал­
лельно стержню СВ в направлении от С к В , направление вектора
пс в с' перпендику л я р но к СВ. Затем вновь от полюса р' откладывают
заданный вектор p ’f . Н аправление вектора ТЪСҒ ускорения Кориолиса akCF находят по правилу Жуковского путем поворота вектора fc от­
носительной скорости vCF на 90° в сторону угловой скорости <в4 пере­
носного движения (рис. 2 . 12, г), а направление вектора кСғ с' проводят
параллельно qq траектории относительного
движения точки С.
Соединив на плане точки р' и с', получают вектор р'с' полного уско­
рения точки С в абсолютном движении.
Чтобы найти ускорение любой другой точки звена 3, например
точки Е , как и в случае определения скоростей, составляют для точек
Е и С уравнение плоского движения , а для точек Е и Н — уравнение
сложного движения:
аЕ = ас + аЕС и аЕ = ан -\- аЕН 4 - akEH.
После преобразований получают
аЕ ~ а С-\- О’ЕС + аЕС И аЕ — ан + аЕН "Ь **£//>
so
JJ
n
VEC
где aEC = —
k
0
и aEH =Ъд<РЕН> а ускорение ан по условию задано.
СЕ
Объединим эти уравнения в одно
которое после умножения на масштаб
примет вид
р'с' + с'пЕС + пЕСе' = p'h' + h'kFH + kEHe' .
(2 . 118)
В уравнении (2.118) вектор с'пЕС направлен параллельно стержню
ЕС от точки Е к точке С, направление вектора пЕСе' перпендикулярно
к ЕС, вектор p'h' заданный, вектор h'kEH поворотного ускорения со­
гласно правилу Жуковского перпендикулярен к тт и направлен на­
искось вниз, направление вектора kEHe’ параллельно mm. По уравне­
нию (2.118) строят план ускорений (см. рис. 2.12,в).
Так как движение звена 3 по отношению к элементу звена 4 посту­
пательное, ТО ^ е ң — ^ С Ғ ’ ^ Е Н
а сғ> ^ Е Н ==
Е Н ==
^СҒ
откуда /V # һ'е'. Следовательно, четырехугольник f'c'e'h' — парал­
лелограмм (см. рис. 2.12, в). Этим следует воспользоваться для
проверки.
После того как стали известными ускорения двух точек на каждом
звене группы, т. е. точек С и В звена 2 и точек С и Е звена 3, можно
определить ускорение любой третьей точки этих звеньев, используя
теорему подобия, а также найти угловые ускорения звеньев (см. § 16).
Отметим при этом, что поскольку звено 3 и элемент звена 4 составляют
п о с т у п а т е л ь н у ю п а р у , то их угловые ускорения равны:
®3 =
8 4*
Построение планов скоростей и ускорений при поступательном дви­
жении звена 4 и в случае, когда звено 4 неподвижно. Если элемент зве­
на 4 (см. рис. 2.12,а) движется поступательно, то vH — vF, ан = ағ
и ©4 = 0. Так как ш3 = © 4» то в рассматриваемом случае© 3 = 0, т. е.
звено 3 также движется поступательно, следовательно, vE = vc ,
аЕ= ас . Д ля построения плана скоростей всей группы (рис. 2.12, д)
составляют только одно уравнение (2.113), а план ускорений всей
группы (рис. 2.12,б) строят по новому уравнению
Шв "Ь &св |й ”
Й§
^сғ'
или
р'Ь' + Ь'псв -Н псвс' = p ' f + /'с ',
(2.119)
которое отличается от уравнения (2.117) тем, что в нем отсутствует
вектор ускорения Кориолиса (а£ғ = 2©4ис*. = 0, так как ©4 = 0),
а вектор f'c' изображает ускорение асғ.
81
Особенно упрощаются планы скоростей и ускорений, если элемент
звена 4 неподвижен, т. е. звено 4 является стойкой; тогда vH = vF = О,
ан — ағ = 0, со4 = 0. В этом случае абсолютное движение звена 3
прямолинейно-поступательное вдоль оси тт — неподвижной направ­
ляющей, а точка С в своем абсолютном движении перемещается по
прямой qq (см. рис. 2.12, а). Поэтому скорость vc и ускорение ас в абсо­
лютном движении направлены вдоль прямой qq (а£ = 0). Уравнение
плоского движения звена 2 для скоростей примет вид ис = vB -\-vCB, или
рс = рЬ_ +- Ьс,
(2.120)
а для ускорений ас = ав -Ь а"св -+- а* , или
р'с' — р'Ь' + Ь'пСв + пСвс'.
(2.121)
План скоростей представлен на рис. 2.12, ж, а план ускорений —
на рис. 2.12,з. Заметим одновременно, что поскольку в рассматривае­
мом случае направляющий элемент звена 4 неподвижен (переносное
движение отсутствует), то vF — 0, ағ = 0 и ©4 = 0. Следовательно,
act — 2о)iVCF = 0. Поэтому уравнения сложного движения для посту­
пательной пары 3—4 [см. уравнения (2.112) и (2.116)1 преобразуются
и принимают вид vc = иср и ас = ас ғ .
Этот случай кинематического анализа группы, когда -іаено 3 пере­
мещается поступательно по неподвижному элементу звена 4 , очень
часто встречается на практике, поэтому на него нужно обратить особое
внимание.
§ 18. МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ СХЕМЫ И ПЛАНОВ
ДВУХПОВОДКОВОЙ ГРУППЫ
С ДВУМЯ ВРАЩАТЕЛЬНЫМИ И ОДНОЙ (МЕЖДУ ПОВОДКАМИ)
ПОСТУПАТЕЛЬНОЙ ПАРАМИ
Исходные данные и построение схемы. Для кинематического ана­
лиза структурной группы с поступательной парой С, составленной из
звеньев 2 и 3 (рис. 2.13,а), должны быть заданы: схема структурной
группы со всеми размерами, а также величины и направления скорос­
тей и полных ускорений точек В и D шарнирного присоединения груп­
пы к механизму.
Построение схемы (см. рис. 2.13,а) производят в следующем поряд­
ке. По координатам хв , у в , xD, yD на чертеж с учетом масштаба ц, на­
носят точки В и D. Радиусом г из центра В проводят окружность, а
касательно к ней прямую DK, изображающую звено 3 (из двух поло­
жений касательной выбирают одно). На звене 2 по заданному углу Р
и размеру lBF отмечают точку F . Стержень DK получает дальнейшее
развитие: к нему жестко присоединена п л о с к о с т ь / / / , на которой
отмечена точка Е, геометрически совпадающая в данный момент с
82
точкой Ғ звена 2, и точка //, геометрически совпадающая в данный
момент с точкой В звена 2.
Построение плана скоростей. В рассматриваемой группе в отличие
от двух предыдущих звенья 2 и 3 (рис. 2.13,а) соединены не шарнирно,
а составляют поступательную пару . Поэтому построение плана скоро­
стей начинают с разложения движения звена 3 н а о т н о с и т е л ь ­
н о е — вдоль направляющей втулки 2, и п е р е н о с н о е — вместе
с направляющей втулкой 2 . После этого рассматривают точку Н звена
Рис. 2.13
3 и точку В звена 2, геометрически совпадающие в данный момент, и
связывают их скорости уравнением сложного движения:
^сл — ^пер “t“ ^отн»
ИЛИ
Другим уравнением, необходимым для определения скорости точки
Н, является уравнение плоского движения, связывающее скорости точек
Н и D звена 3 :
4d +
(2.123)
Составленные уравнения объединяют в одно
+ Енв “ |о + £«d,
которое после умножения на масштаб
(2.100) или (2.106), принимает вид
pb + bh «= pd + dh.
найденный по формуле
(2.124)
83
При построении плана скоростей (рис. 2.13,6) по уравнению (2.124)
через концы известных векторов рв и pd проводят направления вектора
bh относительной скорости иНв параллельно оси втулки 2 (т. е. парал­
лельно DK) и вектора dh скорости Vhd перпендикулярно к прямой HD.
Вектор ph представляет собой скорость точки Н.
Определим угловую скорость шпер п е р е н о с н о г о д в и ж е ­
н и я и скорость иохп о т н о с и т е л ь н о г о д в и ж е н и я в
системе поступательной пары. Согласно вышеизложенному, запишем,
что (опер = © 2- Отметим, что ©2 = юз. так как звенья 2 и 3 составляют
поступательную пару. Следовательно, (опер = о»3) т. е. в системе по­
ступательной пары угловая скорость переносного движения численно
равна угловой скорости любого из звеньев этой пары. Направлена (опер
против движения часовой стрелки. Из уравнения сложного движения
(2.122) следует, что v0TH= vHB, причем направление vfJB определяется
вектором bh, взятым с плана скоростей (см. рис. 2.13, б). Отметим,
что в системе поступательной пары относительное движение всегда
будет прямолинейным вдоль оси направляющего элемента поступа­
тельной пары (вдоль прямой KD на рис. 2.13, а).
Поскольку известны скорости двух точек D и Н звена 3, то, приме­
нив теорему подобия (см. § 16), находим скорость третьей точки этого
звена — точки Е. Для этого на звене 3 отмечают д DHE
(см. рис. 2.13,а) и строят подобный ему ДсУге на известной стороне dh
плана скоростей (см. рис. 2.13,6). Стороны A dhe определяют из со­
отношения dh : DH = he : НЕ = ed : ED. Для проверки при построе­
нии используют правило чередования вершин. Полученная вершина е
является концом вектора ре, изображающего искомую скорость vE.
Зная скорости точек В и Е, определяют скорость точки F, нахо­
дящейся на звене 2 и геометрически совпадающей в данный момент
с т о ч к о й з в е н а 3 (рис. 2.13, а). Для этого составляют уравнения
плоского vF — vB + VpB и сложного vF = ve + vFE движений, которые
заменяют одним
—
£в
= £я + ^ғе,
принимающим после умножения на масштаб скорости
вид
+ bf == рё_+~ё[.
следующий
(2.125)
По уравнению (2.125) строят план скоростей (см. рис. 2.13 , б).
Отметим, что поскольку совпадающие точки В и Я , а также F и Е
находятся на звеньях 2 и 3, составляющих поступательную пару, то
четырехугольник bhef должен получиться на плане в виде параллело­
грамма. Это следует использовать для контроля.
Построение плана ускорений. На основе тех же положений, что и
для скоростей, составляют два уравнения, связывающие ускорения
точек В, Н и D (рис. 2.13, а), а именно:
84
уравнение сложного движения
^сл
^ п е р “1“ ^отн “Н ^тсор» ИЛИ Сің
a D 4” анв + cikнв
и уравнение плоского движения
ан
Эти уравнения объединяют
ав + а
одно
а
в котором ав и aD — заданные ускорения.
формулам
а*нв
и
Ускорения аяв и an
HD
((Огтогі.
пер Vотн )
2®пер^отн
п
а HD
2со?рнв
VHD
IDH
Ускорение а^в выпало из уравнения сложного движения, так как
относительное движение звена 3 вдоль направляющей втулки звена 2
прямолинейно-поступательное и, следовательно, ап
н в = 0.
Умножив уравнение ускорений на масштаб и а, подсчитанный по
формуле (2.102) или (2.106), получим
Р'Ь' + b'kHB
M B +■ kH
" H BRh' = p'd' 4- d'n H D
HD
(2.126)
По уравнению (2.126) строят план ускорений (рис. 2.13, в). Для
этого к известному вектору р'Ь', отложенному от полюса р ', пристраи­
вают вектор Ь кнв ускорения Кориолиса аңв, направление которого
Жуковского
воротом вектора bh относительной скорости
v H b на 90 И И
в сторону угловой скорости со2 переносно
движения (рис. 2.13, г), параллельно оси втулки 2, т. е. параллельно
стержню DK, проводят направление вектора кңвһ' •
После этого
вновь от полюса откладывают вектор p'd' и через его конец параллель­
но линии HD пристраивают вектор d'riHD, направленный от точки Н
к точке D; затем перпендикулярно к HD проводят направление
вектора Щрһ' Точка Һ' пересечения направлений векторов kneh'
и
«//^'определяет их величины, а также и вектор рЪ' полного ускорения точки Н в абсолютном движении.
Ускорение точки Е, находящейся на звене 3 (см. рис. 2.13,а),
определяют по теореме подобия, так как известны ускорения точек
D и Н, также находящихся на этом звене (Ad'h'e' со A D H E , поскольку
d h : D H — һ'е' : НЕ = e'd' : ED, см. § 16).
Зная ускорения точек В и Е, как и в случае определения скоростей,
находят ускорение точки F по уравнениям плоского и сложного дви­
жений:
85
° ғ = £ а + а пғ в + а ғ в и a,. = а Е 4 - a j £ + a " ,
и о*е _ 2<0,с ,£.
в которых <z"„ = Dr
Эти уравнения заменяют одним
£в +
qfb
= ae + a*-£ +
принимающим после умножения на масштаб [ха вид
Р'ь' +
+ n^J' = р Ү + 7ҒҒЬ +
(2.127)
Уравнение (2.127) решают графически построением плана ускоре­
нии (см. рис. 2.13,в). Отметим при этом, что четырехугольник b'h'e'f
должен получиться на плане в виде параллелограмма, чем следует
воспользоваться для проверки.
§ 19. МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ СХЕМЫ И ПЛАНОВ ТРЕХПОВОДКОВОЙ
ГРУППЫ С ВРАЩАТЕЛЬНЫМИ ПАРАМИ
Исходные данные и построение схемы. Для кинематического ана­
лиза структурной группы этого вида (рис. 2.14,а) необходимы сле­
дующие данные: схема группы со всеми размерами, а также направ­
ления и величины скоростей и полных ускорений точек В, F и Н шар­
нирного присоединения группы к механизму.
Рис. 2.14
Построение схемы группы в заданном положении производят
методом геометрических мест. По координатам хв , у в , xFy уғ , х ,
Ун ^ чертеж (см. рис. 2.14, d) с учетом масштаба
наносят точ86
ки В, Ғ и Н. Условно закрепив точки В и Ғ, рассматривают цепь BCDFB
как четырехшарнирный механизм и, разъединив звенья 3 и 5 путем
размыкания шарнира Е, строят геометрическое место возможных по­
ложений точки Е звена 3 (кривая Е 1ЕЕи Е 111EiVEv на рис. 2.14, а).
Точки пересечения Е, Е" и £ ш этого геометрического места с дру­
гим — дугой радиусом НЕ, проведенной из центра Н, являются воз­
можными положениями точки Е, из которых выбирают одно*, обозна­
ченное буквой Е. Затем методом засечек определяют положения то­
чек С и D.
Построение плана скоростей. Как указывалось в § 14, планы для
многоповодковых групп строят методом особых точек Ассура. О с о ­
б о й т о ч к о й А с с у р а называется точка, принадлежащая пло­
скости, жестко связанной с базисным звеном, и геометрически находя­
щаяся в месте пересечения линий двух поводков. Таким образом, на
плоскости III базисного звена 3 можно указать три особые точки W,
W' и W" (см. рис. 2.14, а), так как три линии поводков пересекаются
в трех местах. Иногда отдельные особые точки могут оказаться вне
чертежа. Для построения же планов нужна лишь о д н а особая точ­
ка. Следует еще раз подчеркнуть, что особые точки принадлежат
именно базисному звену, а не поводкам.
Рассмотрим построение планов посредством особой точки W,
геометрически находящейся в пересечении линий поводков 2 и 4. Для
построения плана скоростей необходимо составить уравнения плоского
движения, связывающие скорости особой точки W и точек С и D,
поскольку все эти точки принадлежат одному и тому же базисному
звену 3,
v w = vc + Vwc и v w ==vD + ' v wo.
Свяжем точки С и В звена 2 и точки D и F звена 4 уравнениями плос­
кого движения
Vc = Vb + Vcb и ~i>D= VF 4 - PDF-
После подстановки получим
Vw =
VjB ffl V C B
V WC
I
VW ~
Ш
VDF Й ; V \VD"
Отметим, что vCB J_ BC, a vwc j_ CW. Благодаря выбранному рас­
положению особой точки W в месте пересечения поводков 2 и 4 (см.
рис. 2.14, а) получается, что vCB || v wc. Поэтому эти скорости мож­
но складывать алгебраически, причем их сумма vCB Щ vwc
является
вектором, перпендикулярным к прямой BCW. Точно так же можно по­
казать, что сумма Ьрр + vWD является вектором, перпендикулярным
к прямой FDW.
*
Траектория точки шатуна (шатунная кривая) четырехшарнирного механиз
ма является кривой шестого порядка и в самом общем случае дает шесть точек
пересечения.
87
Объединим уравнения, составленные для скорости vw особой точки,
и получим одно уравнение, которое может быть решено:
£ в ~Ь ( v С В "I"
=
После умножения на масштаб скорости [iv, вычисленный по формуле
(2.100) или (2.104), уравнение примет вид
pb + (be + cw\ = pf + ^fd + dw'j
или
pb + bw = pf + fw,
(2.128)
где bw = bc-\-cw и fw — fd-\-dw.
Уравнение (2.128) решают графически путем построения плана
скоростей (рис. 2.14, б). Для этого от полюса р откладывают вектор pb
и через точку b перпендикулярно к прямой BCW проводят направле­
ние суммарного вектора bw. Далее вновь от полюса откладывают век­
тор pf, а через точку f перпендикулярно к прямой FDW проводят на­
правление суммарного вектора fw. Пересечение указанных направле­
ний определяет положение точки w на плане и величину вектора pw
скорости особой точки W базисного звена 3.
После этого находят скорость точки Е — центра шарнира, соеди­
няющего звенья 5 и 3, путем составления двух уравнений плоского
движения, связывающих скорости точек £ и Я поводка 5 и точек Е
и W базисного звена 3,
VE ~ VH
VEH И V E ~ VW
VE W '
Объединим эти уравнения в одно
VH
VEH~
VW Jh VEW>
которое после умножения на масштаб
примет вид
(2.129)
p h + h e = pw-\- we.
Векторное уравнение (2.129) решают графически (см. рис. 2.14, б)
аналогично решению уравнения (2.128). Пересечение направлений
векторов he и we определяет положение точки е и размеры вектора ре
абсолютной скорости точки Е.
Зная скорости двух точек W и Е базиснэго звена, по теореме по­
добия получают скорости точек С и D того же звена (см. рис. 2.14).
Для этого на векторе we плана скоростей строят Дшсе, подобный
&WCE, а на векторе се — Д cde, подобный Д CDE. Размеры сторон
треугольников на плане скоростей находят из равенства отношений
88
we
ес
wc
cd
ей
WE
ЕС
WC
CD
ED
Соединив полюс р с точками e n d , определяют величины векторов
скоростей точек С и D.
Только после построения всего плана скоростей можно расчленить
суммарные векторы bw и fw на слагаемые и отметить на плане векторы
be, cw, fd и dw относительных скоростей vCB, v^ c , vDF и vWD.
Построение плана ускорений. Построение плана ускорений ведут
в той же последовательности и по аналогичным уравнениям, что и
плана скоростей. Поэтому построение начинают с определения уско­
рения особой точки W по уравнениям плоского движения:
Чур = Ос -}-
"Ь
Я а^р = flj) -}- Cl
y
j
j
-J- Q
д
.
Подстановка значений ускорений ас и aD из равенств
ас = ав + асв + с?св и aD — ағ
аЪғ + аЬғ
дает уравнения
йур = ав + Дев + асв + a wc + awe
и
ciry, = ар Ц an
DF + аһғ Ш Q-wd + Owd,
которые объединяют в одно
ав
Ц асв П асв Ц Q-WC Я
°Vc = ағ
Й aDF І1 а])Ғ Я
a WD И a ‘wa
Это уравнение решается, так как величины всех нормальных ускорений определяются по формуле ап == — , тангенциальные ускорения ахсв
V
2
и а^,с перпендикулярны к одной и той же прямой BCW (см.
рис. 2.14, а), т. е. их направления на плане совпадут и, наконец, уско­
рения a'DF и a'WD, перпендикулярные к прямой FDW, имеют также
общее направление. После умножения на масштаб ускорений ц а, вы­
численный по формуле (2.102) или (2.106), уравнение примет вид
р'Ь' + b'nCB -J- л свс' -f- с'п ус + nwdvo' — р'Г + f'nDF йа
+ nDFd -f- d'nwD -t* n\jp£)W .
Д ля облегчения построения следует в каждой части равенства
переставить местами 3-й и 4-й члены и заменить суммой оба одинаково
направленные вектора тангенциальных относительных ускорений, а
именно:
р'Ь sjffe Ь'пс в -\- Пс в Пурв + ПурвУ) = p'f' Ш f'nDF ip nopflWF + ПхрғМ)',
(2.130)
89
где nCBnWB
СПwc
( °СВ +
п
Раа WC
°W c)s
—
^свр "Ь
п DF
п ғ п WF
и n wFw ~ nOFd' -+- nwow' Ш ^ і^оғ + CLwo).
ш
в
н
н
м
н
^ш ш ш т ш т ш ш ят ят ш ш ш т ^ш т т т ^ш т ш ш ш ^ш т
м
Для построения плана по уравнению (2.130) из полюса плана р
проводят вектор р'Ь' (рис. 2.14, в). Из конца его откладывают после­
довательно векторы Ь'псв и nCBnWB нормальных ускорений dee и
a wc, направленных параллельно прямой ВСW от точки IF к точке В, а
через точку nWB перпендикулярно к той же линии BCW — направле­
ние вектора nWfw' суммы тангенциальных ускорений асв и aVc • По­
строение правой части равенства вновь начинают с полюса р' и выпол­
няют аналогично. Через конец вектора p'f' параллельно прямой FDW
в направлении от точки W к F проводят векторы f'nDF и nDFnWF, а че­
рез точку nWF перпендикулярно к прямой FD W — направление
суммарного вектора riwFw’ . Пересечение направлений _ векторов
tiwBw' и Пи7/*е/определяет точку w' — конец вектора p'w
полного
ускорения особой точки W базисного звена.
Для получения ускорения второй точки базисного звена так же,
как и для скорости, составляют систему уравнений плоского движения,
связывающих ускорения точек Е и Н поводка 5 и точек Е и W базисно­
го звена 3 ,
а
аE W
Эту
ан
+
а Е Н " Ь а ЕН
a w “Ь a EW
a EW ■
после
окончательное выражение
p'h' + h'n
+ п
е
р' до' 4- w'n
(2.131)
При построении плана ускорений по уравнению (2.131) необходи­
мо учесть, что вектор һ п БН(см. рис. 2.14,в) проводят—параллельно
прямой НЕ в направлении отточки Е к Н, а вектор w'nE^ __|
_
параллельно
прямой WE в направлении от Е к W. Пересечение направлений век­
торов пЕНе
еляет
на плане и вели­
чину вектора р'е' ускорения точки Е базисного звена.
Ускорения остальных точек С и D базисного звена могут быть по­
лучены по теореме подобия в результате построения на плане ускоре­
ний (см. рис. 2.14, в) A c'e'w ', подобного д С £ IF, и A c'd 'e', подобного
90
Д CDE. Размеры сторон треугольников на плане ускорений находят
из равенства отношений
w 'e'
WE
е'с'
EC
w 'c'
WC
c’d '
CD
e'd '
ED
Соединив полюс p' с точками с' и d', можно определить величины
векторов ускорений точек С и D .
Теперь можно расчленить суммарные векторы nWBw ’ и п ~ й 7 на
слагаемые и отметить на плане векторы псв с ’, nwc w ’, nDFd' и п ~ й /
тангенциальных ускорений ахсв , а^с , ахор и acWD.
§ 20. ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЗМА I КЛАССА 2-ГО ПОРЯДКА
Взятый в качестве примера механизм поперечно-строгального стан­
ка (рис. 2.15 ,а) образован согласно классификации Л. В. Ассура
следующим образом: к п е р в и ч н о м у м е х а н и з м у , состав­
Рис. 2.15
ленному из звеньев / и 6 по образцу, данному на рис. 1.16,а, при­
соединяют сначала д в у х п о в о д к о в у ю
группу,
состав­
ленную из звеньев 2 и 3 (в модификации, изображенной на рис. 1.58 в),
а затем
двухповодковую
группу,
составленную из
звеньев 4 и 5 (в модификации, изображенной на рис. 1.58,6). Расчет
91
механизма производят по отдельным его частям (первичный механизм
и каждая структурная группа) в том порядке, в каком образован ме­
ханизм. Методика расчета изложена в § 15, 17 и 18.
Построение схемы. Схему рассматриваемого механизма (см.
рис. 2.15,а) в любом из заданных положений строят по исходным дан­
ным в выбранном масштабе р.^ методом засечек, так как обе структур­
ные группы являются группами I класса 2-го порядка. При построе­
нии следует учесть, что в первой структурной группе, составленной
из звеньев 2 и 3 (разбор подобной группы дан в § 18), точка С звена 3
неподвижна, а точка В звена 2 лежит на оси поступательной пары —
прямой CD. Точка звена 3, которая в данный момент геометрически
совпадает с точкой В звена 2, обозначена буквой F.
Нужно учесть, что во второй группе, составленной из звеньев 4 и 5 ,
направляющий элемент звена 6 неподвижен; составляющий с ним
поступательную пару ползун 5 движется прямолинейно-поступательно, а его точка Е перемещается по прямой тт. Этот случай рас­
смотрен в § 17.
Построение плана скоростей. Построение плана начинают с опреде­
ления скорости точки В первичного механизма.
vb = <*i1ab-
(2-132)
Затем рассматривают группу звеньев 2 и 3, в которой скорость
vB уже известна, а точка С неподвижна. Нужно составить уравнения
для точки F:
vF = V g +
с
и
vF = vB 4- vFB.
Звенья 2 и 3 образуют п о с т у п а т е л ь н у ю п а р у ; поэтому
второе из приведенных уравнений является уравнением сложного дви­
жения, в котором вектор v ғв есть вектор о т н о с и т е л ь н о й
с к о р о с т и иотн, направленный по оси поступательной пары —
прямой CD. Напомним, что угловой скоростью а>пер п е р е н о с н о ­
г о д в и ж е н и я является угловая скорость любого из звеньев,
образующих поступательную пару, т. е. ©nep = ш2 = ю3- Объединим
составленные уравнения, учтя, что vc = О (рис. 2.15,в) и, следователь­
но, vF — vFC. Тогда
Vp =
+ 0^.
(2.133)
J _FC J _ВА По DC
Под членами уравнения (2.133) указаны направления векторов.
Скорость точки D звена 3 определяют способом пропорционального
деления (см. рис. 2.15,6):
vd i
CD = vF I CF.
(2.134)
Рассмотрим группу звеньев 4 и 5, скорость точки D которой уже
известна. Ползун 5 движется по н е п о д в и ж н о м у направляю92
щему элементу стойки 6 , поэтому точка Е перемещается по прямой mm;
скорость точки Е найдем из уравнения плоского движения:
vD
v
+
vED
Гориз. J_ DC
(2.135)
'
J_ ED
План скоростей механизма (рис. 2.15,6) построен по уравнениям
(2.132) — (2.135) в масштабе ц*,, подсчитанном по формуле (2.100).
Из плана определяют линейные скорости всех точек, в том числе и отноbfУцр. Затем находят угловые скоvғв
сительную скорость иотн
VD
(СМ.
рости всех звеньев (см. § 16), в том числе и ю пер СОя
/
CD
рис. 2.15,6), где vD pd/\i у •
Построение плана аналогов скоростей, Согласно формуле (2.27)
в механизмах с одной степенью свободы, к которым принадлежит и
рассматриваемый, скорость любой точки равна произведению аналога
скорости и обобщенной скорости механизма. Поэтому аналоги скорос­
тей точек пропорциональны скоростям этих точек, так что план скоро­
стей механизма (рис. 2.15,6) является одновременно и планом анало­
гов скоростей, выполненным в масштабец*, величину которого находят
по формуле (2.101).
Построение плана ускорений. План ускорений выполняют в той
же последовательности и путем использования таких же по кинемати­
ческому содержанию уравнений, что и план скоростей. Построение
плана ускорений начинают с определения нормального ускорения точ­
ки В первичного механизма
*
I
(О. IАВ
п
аВ
и
(2.136)
в
IАВ
и тангенциального ускорения этой точки
(2.137)
е, IАВ
ав
Затем рассматривают группу звеньев 2 и 3, в которой ускорение
точки В уже известно, а точка С неподвижна. Составим уравнения
для точки F:
П
а ғв
ағв
и а
а
O ' Г
+
&
Р
С
а
еле
ас
Л
Второе является
a.PC + ағс
ательно, ағ — ағ с , откуда ағ 4- af
уравнением, сложного движения, которое связывает точки В и F, геоме­
трически в данный момент совпадающие, но принадлежащие разным
звеньям (2- и 3-му), образующим п о с т у п а т е л ь н у ю п а р у .
Объединим составленные уравнения в одно:
я
--------
—тг -- т---г—
а
По FC
w
■
^
а
A.FC
тш
Ъ"а
По ВА
+
ав
а
J_DC
+
а FB
(2.138)
По DC
93
Под членами уравнения (2.138) отмечены направления векторов уско­
рений. Определение направления у с к о р е н и я К о р и о л и с а
dFB по правилу Жуковского показано на рис. 2.15,г; его величину под­
считывают по формуле
^ҒВ ~ ^*°пер ^отн = 2(В3 Vpg .
Ускорение точки D звена 3 определяют способом пропорционального
деления:
aD \C D = aF :CF.
(2.139)
Рассмотрим группу звеньев 4 и 5, ускорение точки D которой уже
известно. Ползун 5 движется прямолинейно по н е п о д в и ж н о м у
направляющему элементу стойки 6; ускорение точки Е определяют
уравнения
аЕ
Гориз.
=
а_1
Гориз.
an
ED + a \ D .
По ED
(2.140)
j ED
План ускорений механизма (рис. 2.15,<5) построен по уравнениям
(2.136) — (2.140) в масштабе jx„, вычисленном по формуле (2.102).
Необходимые для построения нормальные ускорения подсчитывают
по формулам а" = v2F / lCF и an
ED — v2ED / lDE. Из плана определяют
линейные ускорения всех точек, а затем угловые ускорения всех
звеньев (см. § 16).
Построение плана аналогов ускорений. В механизмах с одной сте­
пенью свободы, как показывает формула (2.28), ускорения точек и их
аналоги пропорциональны друг другу только при условии, что
Q\ = o ) i = const, или <71 = 6, = 0. Поэтому план ускорений (см.
рис. 2.15,5), в котором вектор ускорения а'в не равен нулю, не может
служить планом аналогов ускорений. Если же построить новый план
ускорений при qx = et = 0 (рис. 2.15,е), то он будет также и планом
аналогов ускорений в масштабе (1**, подсчитанном по формуле (2.103).
§ 21. ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЗМА I КЛАССА 3-ГО ПОРЯДКА
Для второго примера кинематического исследования принят также
механизм поперечно-строгального станка (рис. 2.16,а), отличающийся
от предыдущего своей структурой (механизм I класса 3-го порядка).
Этот механизм образован из п е р в и ч н о г о м е х а н и з м а ,
составленного из звеньев / и 6 (по образцу, показанному на
рис. 1.16,а), к которому присоединена т р е х п о в о д к о в а я
г р у п п а из звеньев 2, 3, 4 и 5 (в модификации, представленной на
рис. 1.59,в). В рассматриваемой группе поводок 2 выполнен в виде
камня, образующего поступательную пару с базисным звеном — ку­
лисой 3 и вращательную пару В с элементом звена /; поводок 5 выпол94
I
нен в виде ползуна, образующего вращательную пару Е с базисным зве­
ном 3 и поступательную пару с элементом звена 6 в виде неподвижной
направляющей. Расчет механизма проводят по этапам: сначала рас­
сматривают первичный механизм, а затем — трехповодковую группу
согласно методике, изложенной в § 15 и 19.
Построение схемы. Д ля построения схемы механизма с т р е х ­
поводковой
группой
применяют метод геометрических
мест (§ 19). В выбранном масштабе ц г на чертеже по исходным дан­
ным наносят точки А , С и линию тт (ось паза) стойки 6 (см.
отн
Рис. 2.16
рис. 2-16,а). Затем звено 1 и его точку В условно закрепляют в задан­
ном положении механизма, а шарнир D размыкают, благодаря чему
разъединяются звенья 3 и 4. Задавшись рядом положений точки Е
R ( С* p H
E-HI C-IV E-V\
ползуна о \ с , с , с , Ь , t ) , строят геометрическое место воз­
можных положений точки D , принадлежащей звену 3, в виде кривой
D 1 D 1] D D D v. Второе геометрическое место положений точки D,
принадлежащей уже звену 4, представлено дугой радиуса CD. Оба
геометрических места пересекаются в точках D и D IV. Следовательно,
при заданном положении точки В существуют два возможных положе­
ния звеньев 3, 4 и 5 Из них нужно выбрать одно, соответствующее
условиям движения механизма. Это положение отмечено на рис. 2.16,а
буквами D, В, Е. Буквой F обозначена точка базисного звена 3,
геометрически совпадающая в данный момент ,с точкой В звена 2.
Построение плана скоростей. Наличие в механизме трех поводковой
группы требует применения метода особых точек Ассура (§ 19). В рас­
сматриваемом механизме (см. рис. 2.16,а) поводки выполнены в виде
камня 2 и ползуна 5. Поэтому линии поводков, являющиеся нормалями
95
к траекториям относительного движения точек В и Е, проводят для
поводка 2 перпендикулярно к прямой D E, а для поводка 5 — перпен­
дикулярно к прямой тт. Таким образом, в пересечениях линий по­
водков выявляются три особые точки W, W' и W", расположенные на
плоскости III, жестко связанной с базисным звеном 3. Для построения
планов использована только одна особая точка W.
Построение плана скоростей начнем с определения скорости точки
В первичного механизма
^ав •
ив =
(2.141)
После этого рассмотрим трехповодковую группу звеньев 2, 3, 4 и
5, в которой скорость точки В уже известна, а точка С неподвижна.
Составим для особой точки W два уравнения плоского движения (точки
W ,D и F принадлежат одному и тому же базисному звену 3, рис. 2.16,в);
Щ = VD + V*D
И
VW = VF + Vwp.
Свяжем уравнениями точку D с точкой С, а точку F — с точкой В:
vD = vc + vDC
и
vF = va + v
Так как ус = 0, то vD = vDc, причем vdc I DC. Звенья 2 и 3 составляют
поступательную
п а р у . Поэтому последнее уравнение,
которое связывает точки В и F, находящиеся соответственно на этих
звеньях и геометрически совпадающие в данный момент, есть уравне­
ние сложного движения. В этом уравнении вектор vpB является векто­
ром о т н о с и т е л ь н о й
с к о р о с т и иотн, направленным по
прямой ED, угловая скорость п е р е н о с н о г о д в и ж е н и я
© пер =
(0 2 =
С0з«
После подстановок получим
vw — Vp +
J _DC
VWD
и
Vw =
Vg_ -|- VFB +
j _BA
±W D
По ED
VWF-
J _WF
Как следует из рис. 2.16,а, векторы vD и vWD имеют общее направле­
ние, перпендикулярное к прямой WDC. Поэтому их можно соединить
в один вектор (t»D + vWD) , имеющий такое же направление, что и каж­
дый и зл агаем ы х векторов. То же самое можно сказать и о векторах
vfb и vwf > так как W F ± E D . Учтя это, запишем
£в + ( vfb +
±_ВА
vwf )
|| ED
= (v p + °\у£>) •
(2.142)
±D C
Скорость точки Е звена 3, которая движется по прямолинейной оси
тт н е п о д в и ж н о г о направляющего паза, определяют из урав­
нения плоского движения
96
V
+
V
(2.143)
±EW
Гориз.
Скорость точки D звена 3 определяют по теореме подобия:
& wedoo& WED (см. § 16). Стороны Д а >ed находят из соотношения
vDE: ED
VEW : W E
vWD : D W 9 или
ed : ED
dw : D W .
(2.144)
План скоростей (рис. 2.16,6) строят последовательно по уравне­
ниям (2.141) — (2.144) в масштабе ц^, подсчитанном по формуле
(2.100). Пересечение на плане линий b w n e d определяет положение точ­
к и / и размеры вектора pf, изображающего скорость vF, и вектора bf.
іставляющего собой относительную скорость иотн
vғв
bf/uv.
Угловая скорость переносного движения (Опер
СОя
VDE Ч DE
(рис. 2.16,в), где vDE= e d / p v.
Так как рассматриваемый механизм обладает одной степенью сво­
боды, то, согласно сказанному в § 20, построенный план скоростей
(см. рис. 2.16,6) будет одновременно и планом аналогов скоростей
в масштабе ц*, найденном по формуле (2.101).
Построение плана ускорений. Построение плана ускорений начи­
нают с определения нормального ускорения точки В первичного
механизма:
we : WE
а
2 I
п
1
АВ
(2.145)
IАВ
Тангенциальное ускорение агв этой точки равно нулю, так как согласно
исходным данным (см. рис. 2.16,a)coi
0.
следовательно
Затем рассматривают трех поводковую группу звеньев 2 , 3 , 4 и
5, в которой ускорение точки В уже известно, а точка С неподвижна.
Составим для особой точки W два уравнения плоского движения (точки
W, D и F принадлежат одному и тому же базисному звену 5,
рис. 2.16,в),
а-
аD
+
a
W
D
+
а
%
WD
И
аW
а
а
а в + а FB + а \
WF
Выразим ускорения точек D и F:
а + * Z c + a%
DC
аD
и
Так как ас = 0, то aD aDC и а" + а Dх — “ DC т причем aDC _
DC. Уравнение, связывающее точки В и F, есть уравнение сложного
овижения, поскольку звенья 2 и 3 9 которым соответственно принадле­
жат точки В и Ғ, составляют п о с т у п а т е л ь н у ю п а р у .
После подстановок п о л у ч и м
аw
4 -4 4 8
п
п
аD +
а D + я WD + ЯWD
По DC
±D C
По WD
AW D
И
97
£a
aw ~
+
П о& 4
£ f-e ,
£pb
_]_££>
S.W'f
n ° £D
"**
n ° WF
-W P '
-LWF
Я
Как видно из рис. 2.16,а, векторы a'D и a'WD имеют обшре направление,
перпендикулярное к Прямой WDC. Поэтому их можно соединить в
один вектор ( a'D + а ^ 0) , имеющий такое же направление, что и сла­
гаемые векторы. То же самое можно сказать и о векторах ахғв и axWF ,
так как WE ±_ED. Учтя это, запишем
+
£/"в
+
+■ ( ағв + ° wf ) =
О)?/JU
По BA
=
I ED
£o
По WF
+
По DC
•
|| ED
+ (flp + awp) •
fto W D
■
(2 146)
±D C
I
•
а Л ■I* .
■
Определение направления у с к о р е н и я К о р и о л и с а ағв по­
казано на рис. 2.16,г; его величину подсчитывают по формуле ағв =
2шпер иотя = 2ш8 v f b
Для определения ускорения точки Е звена 3, которая движется по
прямолинейной оси тт н е п о д в и ж н о г о направляющего паза,
составляют уравнение плоского движения
ш
—
Щ
,
•Ш^
^
а
.
вив
=
ctj£
Гориз.
а^Е
W
=
йур
Гориз.
+
?Lew
“J" ^jswr
По EW
±_EW
ЛЯ
(2.147)
Л
Ускорение точки D звена 3 определяют по теореме подобия:
Дw'e'd' со bW ED (см. § 16). Стороны b w 'ed ' находят из соотношения
аш : WE = aDE : £D =
или
: /Ж ,
w'e' : WE = e'd' : ED - d’w' : D W .
%
(2.148)
(2.149)
Построение плана ускорений (рис. 2.16,д) производят последова­
тельно по уравнениям (2.145) — (2.148) в масштабе ц в, подсчитанном
по формуле (2.102). Необходимые для построения нормальные уско­
рения определяют из выражения ап = vVl. План будет завершен тогда,
когда на нем будут отмечены векторы тангенциальных ускорений ағв ,
Ч
йр "х
i J Щ
1'
&WF » aD 1 HPD •
Так как обобщенная скорость ©i постоянна и механизм обладает
одной степенью свободы, то согласно § 20 план ускорений механизма
будет одновременно и планом аналогов ускорений в масштабе
величину которого находят по формуле (2.103).
“
•
< v "
у ''" - *
§ 22. ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ МЕТОДОМ КИНЕМАТИЧЕСКИХ
ДИАГРАММ
К и н е м а т и ч е с к о й д и а г р а м м о й называется график
изменения какого-либо кинематического параметра механизма в функ­
ции его обобщенной координаты q или времени.Для характеристики
движения точки или звена механизма необходимо иметь три диаграм­
мы; например, для точки F
Sp — Sp (/);
Vp — Vp (/);
ар ~ ap (t)
или
Sp = S p
(q) ; sF I sF (q) \
sp = s’p (q).
Если из аналитического или графического расчета механизма или
из его экспериментального исследования получена одна из трех ди­
аграмм, то две остальные могут быть построены методами графичес­
кого дифференцирования и
интегрирования. При этом
надо иметь в виду, что точ­
ж
sn M
ность результатов графичес­
Ж
ЛЯ/
кого интегрирования вполне
достаточна для технических
т
расчетов, тогда как графичес­
Ч 5 В 7 в X
p f , мм/рад
кое дифференцирование дает
д'
заметные ошибки и пригодно
У
Га
только для прикидочных под­
счетов. Отметим также, что
графическое дифференциро­
£
О' 1 2 3
вание и интегрирование при­
7 "Т е
х
меняют не только для постро­
/
мм/рад
ГІ [
ения кинематических диаг­
рамм, но также и при реше­
6е
к, мм
нии других задач теории ме­
Ш
ханизмов.
Метод графического дифРис. 2.17
ферен цирования.
Люба я
функция, представленная в
виде графика, может быть продифференцирована графически. Изло­
жение этого метода, предложенного проф. Л. П. Смирновым*,
проведено на примере построения диаграммы изменения аналога
скорости s'F — s'F (ф,) по заданному графику sF = s „ (<р,), который пре J
ставлен на рис. 2.17 с масштабами
мм/рад по оси х и
мм/м по
оси у.
Для вывода расчетных соотношений следует определить величину
аналога скорости точки F при некотором значении обобщенной коорг/
- г
з.
Sfl 6\
\/
* Л. П. С м и р н о в . Кинематика механизмов и машин. М.—Л.
гл. 1, стр. 6— 13.
ГИЗ
1926
99
динатыф!. Согласно положениям § 9 [формула (2.14)1 аналог
точки г выражается равенством
ds
Sf
d<ti ’
(
которое после подстановки d s F =
du
j
dx
и acpj = ---- принимает вид
dy
(*9
s_ = — ----7— = —i- tg Ф,
p
[hi
dx
(iij b T *
P*
где ф — угол наклона касательной*, проведенной к кривой у = у (х)
в точке с координатами х и у.
Чтобы получить ординаты у ' , пропорциональные аналогу скорости,
необходимо tg ф представить в виде отношения катетов прямоуголь­
ного треугольника с постоянным основанием, длина которого k мм,
т. е. tg Ф = y'/k; тогда
/
N
У
sf
|xt k У —
•
*
(2.150)
и*
Масштаб аналога скорости с размерностью мм/м
т
______
V-tk
г
~~~
9
(2 151)
ИЛИ
Us — Q i / J
(2 .1 5 2 )
где С = k/ц
Таким образом, масштабы аналога скорости и перемещения равны,
если длина отрезка k численно равна масштабу обобщенной коорди­
наты. При выборе длины отрезка k нужно учитывать, что от него за­
висят размеры строящегося графика.
Расчетная формула (2 .1 5 0 ) позволяет приступить к построению
кинематической диаграммы sF = s'F (ф!). На продолжении оси х влево
от начала координат следует отложить отрезок EF длиной k мм и
через левый его конец точку Е провести лучи, параллельные касатель­
ным в точках кривой sF = sF ( y 1). Эти лучи отсекут на вертикали, про­
веденной через точку F , отрезки у' искомых ординат. Так, если в точке
графика sF = sF (ф t) с координатами х 3 и у 3 угол наклона касательной
то» проведя через точку Е под тем же углом <|>3 луч ЕЗ', можно по­
лучить отрезок F3', представляющий собой ординату и’ для новой
диаграммы
шя нулевых и экстремальных значении аналога скоросотметить на заданном графике точки (0, IV и VIII) с
параллельными оси х, и точки перегиба ( / / и VI), в
аклона касательной получают экстпемялкныр чняцрнна
Касательные к кривой следует проводить при помощи зеркальной линейки.
100
Чтобы получить более точную зависимость
=
на исходной
кривой отмечают большое количество точек. Соединив концы ординат
плавной кривой, получают искомый график.
Длину отрезка k нужно выбирать, исходя из максимально до­
пустимой величины ординаты
и'
.
г
^тах
Из-за неточного проведения касательных графическое дифферен­
цирование можно применять в прикидочных и ориентировочных под­
счетах .
Рис. 2.18
Метод графического дифференцирования сложной функции. Этот
графический метод, разработанный проф. Л. П. Смирновым*, приме­
няют, например, для построения графика углового ускорения е =
= 8(ф ). Исходная функция ю = © (ф) (рис. 2.18) вычерчена в масштабах ц „ мм!рад по оси к и ц ш мм!рад•с е к по оси і / . Рассматривая иско­
мую функцию как сложную, записывают
d<o
dl
d<*> d®
dm
= —
“
Г
=
(0-----•
dy
dt
dy
(2.153)
Если
А В мм
провести при помощи зеркальной линейки нормаль BG и касательную
то угловое ускорение
*
. -т —
- ■£-*.'
_ -Й -/ —
_
_
Л . II- С м и р н о в . Кинематика механизмов и машин* М.__Л . ГИЗ 192ё
гл. 1, втр. 24—30.
*
, ’
*
101
Ц - (АВ) tg *
и-»
и окончательно
(2 154)
Л
Таким образом, поднормаль кривой в точке В у" = (АС) пропор­
циональна угловому ускорению е и, следовательно, масштаб его
(в мм/рад-сек~2) выразится равенством
(2.155)
Выполняя аналогичные построения для ряда точек зависимости
ю =со (<р) на рис. 2.18, получают поднормали у ", по которым строят
график е = е(ф). Знак углового ускорения определяется знаком угла
ф наклона касательной.
Если в точке О исходной диаграммы при у 0' — 0 касательная к
кривой параллельна оси у, то, согласно доказательству, данному
проф. Л. П. Смирновым, длина поднормали у 0" (совпадающей с осью х)
равна радиусу р кривизны линии самого графика со = to (<р) в точке
касания. Если же (как в позиции 7) касательная к кривой в точке с
у \ = 0 составляет с осью х угол <j>7 < 9 0 ° , то длина поднормали у 7
' = 0,
так как нормаль пересекается с осью х в точке касания.
Метод графического интегрирования. Д ля примера применения
этого метода, разработанного также проф. Л. П. Смирновым*, рас­
смотрим построение кинематической диаграммы аналога скорости
sp — s'F (ф і) по заданному графику аналога ускорения s’F = s'F (ф i ) .
Заданная зависимость (рис. 2.19) построена в масштабах
мм/рад
ПО ОСИ X И (Д** мм/м по оси t / \
Согласно § 9 [формула (2.18)1, связь между аналогами ускорений
и скоростей устанавливается равенством
или
Isр — Sp drf j.
(2.156)
Наиболее рационально в данном случае применение интегрирова­
ния методом конечных разностей. Согласно этому методу заданную
функцию разбивают на ряд интервалов конечной длины по изменению
независимого переменного. В пределах одного интервала, обозначен­
ного Дф!, значение функции s'p принимают постоянным и равным ее
среднему значению ( s^)cp, т. е. площадку под элементом кривой заменя.
* Л. П, С м и р н о в . Кинематика механизмов и машин. М.—Л ., ГИЗ,
гл. Г. стр. 14—21.
102
1926,
ют площадью равновеликого прямоугольника.
(2.156) примет вид
Тогда
выражение
= ( 5ғ)срД?1.
ИЛИ
Уср
т
тштт
Ах
тт
"
•
I
И-S
X
Рис. 2.1 9
Рг мм/ра&
I * /1
v^1Ж*■
'
тт
Рш иТак как отношение —Ц -2- имеет размерность мм, то его можно
1
•* »
заменить отрезком k мм т. е
т т
Это со
табов:
величинами масштт
и(2 .1 5 7 )
откуда масштаб аналога скорости (в мм'м)
К = К ’/С»
(2 .1 5 8 )
где
С = k!\х, •
103
Учитывая значения масштабов, окончательно получают
Aff' _ Уср
Ах
(2.159)
k
Это уравнение служит основой для построения интегральной кривой.
При достаточно большом количестве интервалов
(которые
могут быть разных размеров) площадки под кривой принимают за тра­
пеции и среднее значение ординаты находят из равенства
Ю /
У/-> + У,
I2
Порядок построения графика s'F = s'F (<р,) следующий. На продол­
жении оси х заданной функции (см. рис. 2.19) откладывают отре­
зок EF длиной kMM. На вертикальную прямую, проведенную через точ-
в
мм/рад
Рис. 2.20
ку F, проецируют высоты равновеликих прямоугольников, отмечая их
концы номерами интервалов с двумя штрихами, например,
—
,
F2" = у'^ и т. д. Соединив точку Г с точкой Е и проведя через начало
координат строящегося графика s'p = s ’p (ф t) прямую О '/', параллель­
ную £7", в пределах первого интервала, в конце его получают, согласно
уравнению (2.159), ординату / / ' , равную Аг/]. Для второго интервала
прямую 1' 2 ' || Е2* необходимо проводить через точку 1' конца первого
интервала. Повторяя аналогичные построения для всех интервалов,
104
строят ломаную 0'1'Z...& , изображающую искомую функцию. Для
более точного представления функции ломаную заменяют плавной кри­
вой, проведенной через вершины ломаной.
Графическое интегрирование при небольших размерах интервалов
Дх дает высокую точность и широко применяется в инженерных рас­
четах.
Метод графического интегрирования обратных величин функций.
Д ля примера применения этого метода, предложенного инж. Г. В. Ле­
бедевым*, рассмотрим построение графика времени t — f (<р) по задан­
ному графику угловой скорости ю = м (<р). Исходная зависимость
(рис. 2.20) дана в масштабах ц мм!рад по оси х и ц мм/рад •сек' 1
по оси у а, ■
Согласно понятию о производной, записывают равенство
йу
ш
dt
откуда
dy
dt
(2.160)
Со
Как и в предыдущем примере, применим интегрирование по методу
конечных разностей. Согласно этой методике заданную функцию раз­
бивают на ряд интервалов конечной длины по изменению независимо­
го переменного. В пределах каждого интервала Дф значение ш прини­
мают постоянным и равным его среднему значению шср. Тогда равенст­
во (2.160) примет вид:
Аф
Д/
шср
ИЛИ
Ддг |д>О»
ЬУі
И/
Так как отношение
представим в виде отрезка
м
м
ср
имеет размерность мм , то его величину
k a im ,
т. е.
k
Это равенство позволяет найти величину масштаба времени (в мм! сек)
И#
( 2 . 161)
и получить соотношения для построения интегральной функции в виде
пропорции
А»1
(2.162)
Aj*
( М ср
*
Г. В . Л е б е д е в . К вопросу об определении времени хода поезда
Жур-*
«ал МПС, 1913. книга ( I . стр. 96.
10S
Если размеры интервалов Длс (которые могут быть различными)
достаточно малы, то площадки под кривой со =<в ( 0 принимают за
грапеции и среднее значение ординаты находят из равенства
( Уш ) J_x + ( y > a ) j
(О
ср
2
Построение графика / =/ (<р) выполняют следующим образом. На
продолжении оси х исходной функции (см. рис. 2.20) откладывают
отрезок EF длиной k мм. На вертикальную прямую, проходящую
через точку £ , проецируют высоты прямоугольников, отмечая их концы
номерами интервалов с двумя штрихами: Е Г = ( у ш} , Е2” = ( уш)ср2
и т. д. Соединив точки I я и F и проведя через начало координат графика
/ = /(ф) прямую О'1', перпендикулярную к лучу F 1", в пределах пер­
вого интервала в конце его получают, согласно пропорции (2.162),
ординату 1Г, равную Д*/м, так как ^.10'1' равен ^ :Е Г Ғ . Закон изме­
нения времени в пределах второго интервала выражается отрезком
/'2 ', проведенным через точку 1' перпендикулярно к лучу Ғ2". Повто­
ряя подобные построения для всех интервалов, получают ломаную
О', 1' 2' ... 11', представляющую собой искомую функцию. Более точно
функцию t = / ( ф ) изображают плавной кривой, проведенной через
вершины ломаной.
Графическое интегрирование обратной величины функции отлича­
ется от интегрирования прямой величины функции тем, что элементы
ломаной, изображающей функцию, перпендикулярны к лучам, про­
веденным через точки I я, 2я, 3я и т. д., а не параллельны им.
О
Глава
V
ПРОЕКТИРОВАНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКИХ СХЕМ МЕХАНИЗМОВ
§ 23. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ
После выбора структурной схемы механизма определяют основные
геометрические размеры звеньев, от которых зависит заданная кине­
матическая характеристика механизма. Поэтому такой вид синтеза
называют проектированием кинематической схемы механизма.
Различают ряд вариантов синтеза:
по нескольким заданным положениям звеньев, когда не сущест­
венно, по какому закону осуществляется переход из одного положения
в другое;
по заданному закону движения ведущего и ведомого звеньев или
по отдельным кинематическим параметрам, например, средней скоро­
сти, отношению средних скоростей при прямом и обратном ходах, ко­
эффициенту неравномерности движения и т. д.;
по заданной полной траектории или ее участку для точки звена.
При проектировании учитывают следующие факторы:
106
проворачиваемость звеньев, т. е. возможность непрерывного пе­
рехода звена из одного заданного положения в другое, так как между
двумя заданными положениями может оказаться промежуточное,
в котором движение звеньев невозможно;
максимально допустимые углы давления а доп, поскольку спроекти­
рованный геометрически механизм может оказаться нерациональным
вследствие недопустимо больших сил, возникающих в кинематических
парах, низкого к. п. д. или даже неработоспособным из-за явления
заклинивания;
конструктивные ограничения длин звеньев механизма, так как
при решении могут быть варианты с недопустимо большими или слиш­
ком малыми размерами некоторых звеньев;
допустимые отклонения от заданного закона движения, поскольку
задача синтеза шарнирно-рычажных механизмов по заданному закону
движения в большинстве случаев может быть решена только прибли­
женно.
Выбор оптимального варианта механизма с наилучшим приближени­
ем к заданному закону движения — задача очень сложная, требующая
большого количества вычислений.
В общем случае синтеза механизма отыскивают относительные
размеры его звеньев (по отношению к размеру звена, принятого за
единицу) и начальные (угловые или линейные) координаты ведущего
и ведомого звеньев. В отдельных задачах для упрощения решения
или в соответствии с исходными данными размеры некоторых звеньев
и их координаты в начальном положении задают.
Проектирование кинематических схем проводят сначала для идеа­
льного механизма, у которого звенья абсолютно жесткие и зазоры в
кинематических парах отсутствуют.
Ниже рассмотрена методика проектирования кинематических схем
ряда простейших механизмов по различным заданным условиям.
§ 24. ШАРНИРНЫЕ ЧЕТЫРЕХЗВЕННЫЕ МЕХАНИЗМЫ, ИХ ХАРАКТЕРИСТИКА
И СИНТЕЗ ПО ТРЕМ ПОЛОЖЕНИЯМ ЗВЕНЬЕВ И ПО ЗАДАННОМУ
ЗАКОНУ ДВИЖЕНИЯ
Основные схемы и проворачиваемость звеньев. Основной характе­
ристикой
четырехзвенника
является проворачиваемость
/
________ - г -. - _________
—
-------- ---
—
—.
—
------------- 1
пов), которая зависит от со­
отношения
длин звеньев.
t
___________________________
______________ ________________________ -
■
Я
проворачиваемости рассмотрим шарнирный
четырех­
звенник ABCD (рис. 2.21)
ф
Ж ~
~
W
—
в,
Рис. 2.21
101
ло стать кривошипом, оно должно при вращении последователь*
но пройти через крайние левое (рис. 2.21 ,а) и правое (рис. 2.21,6)
положения.
Предполагая, что а — длина самого короткого звена, а Ь или с —
самого длинного, и используя соотношения между длинами сторон
треугольника, запишем следующие неравенства:
из Д BiC^D (см. рис. 2.21,а)
(2.163)
a + < t> 6 —с (при Ь > с),
(2.164)
a -\-d > c —Ь (при с > Ь )\
(2.165)
из AB 3C3D (рис. 2.21,6)
d— a < b + c ,
d — сС>Ь—с или a+b<Zc-\-d (при Ь > с ),
d —а>»с— Ь или a + c < b + d (при с > Ь ).
(2.166)
(2.167)
(2.168)
Независимо от соотношения длин Ъ и с неравенство (2.163) всегда
обеспечит выполнение неравенства (2.166). При Ь > с из трех неравенств
(2.163), (2.164) и (2.167) остается только одно (2.167), т. е.
a+b<Cc-\-d,
так как оно обеспечивает выполнение неравенств (2.164) и (2.163).
Если же окажется, что О -b, то из неравенств (2.163), (2.165) и (2.168)
по тем ж е причинам остается неравенство (2.168), т. е.
К тем же результатам придем при рассмотрении ДA C 2D и AAC4D
(см. рис. 2.21).
Неравенства (2.167) и (2.168) позволяют дать общую формулировку
условия проворачиваемости звена плоского шарнирного четырех­
звенника, а именно — самое короткое звено шарнирного четырех­
звенника может быть кривошипом, если сумма длин самого короткого
и самого длинного звеньев меньше суммы длин остальных звеньев. Это
положение носит название п р а в и л а Ф. Г р а с г о ф а .
Применяя правило Грасгофа, шарнирные четырехзвенники разби­
вают на 3 группы:
механизм будет д в у х к о р о м ы с л о в ы м
(см. рис. 1.19,в),
если размеры его звеньев не удовлетворяют правилу (независимо от
того, какое из его звеньев принято за стойку), а такж е, если он удовлет­
воряет правилу, но самое короткое его звено является шатуном;
механизм будет к р и в о ш и п н о— к о р о м ы с л о в ы м (см.
рис. 1.19,а и 2.21), если размеры его звеньев удовлетворяют правилу
и за стойку принято звено, расположенное рядом с самым коротким;
механизм будет д в у х к р и в о ш и п н ы м
(см. рис. 1.19,6),
если он удовлетворяет правилу и за стойку принято самое короткое его
108
звено. При соблюдении правила Грасгофа самое короткое звено механизма совершает по отношению к соседним с ним звеньям (а, следова­
тельно, и обратно) полный оборот.
В предельном случае, когда неравенства a-\-b^ c-\-d или
превращаются в равенства, се звенья механизма в одном из краиних
положений располагаются по одной прямой В результате чего по­
явится неопределенность движения ведомого звена (оно сможет двигать­
ся либо в одном, либо в противопо­
ложном направлении).
Передаточное отношение. П ередаточное отношение
i (отношение угловых скоростей
или их аналогов двух звеньев, чаще
всего ведомого и ведущего) являет­
ся важной кинематической харак­
теристикой механизма. В шар- s.
нирном четырехзвеннике с числом
степеней свободы W = 1 переда­
точное отношение является функ­
цией положения механизма, или
его обобщенной координаты, на­
пример функцией
ведущего звена.
Определить передаточное отно­
Рис. 2.22
шение можно, например, с помощью планов скоростей, постро­
енных для ряда положении механизма, Так, построив план скоростей (см. § 15,16) для двухкривошипного механизма (рис. 2.22), полу­
чим выражение передаточного отношения звеньев 3 и 1:
СО
Vr! IDC
IАВ
DC
(2.169)
31
«о1
IDC pb
VB / 1AB
где pb и рс — векторы скоростей точек В и С.
Как видно, для определения передаточного отношения не ну жно
знать скорости, так как в формулу (2.169) входит отношение отрезков.
График in = і3і(ф), представленный на рис. 2.23, соответствует ха­
рактеру изменения угловой скорости ведомого звена <os, если ведущее
звено вращается равномерно (a>i — const).
Д ля кривошипно-коромыслового механизма (см. рис. 2.21) пере­
даточное отношение і31 = г3х(ф) переменно не только по величине,
но и по знаку.
Синтез по трем положениям ведущего и ведомого звеньев. Пусть
кинематическая схема четырехшарнирного механизма в системе коор­
динат Аху (рис. 2.24) расположена так, что стойка A D X совпадает
с осью абсцисс. Ведущим является звено / , его начальная угловая
координата ф ,, текущая ф; ведомым — звено 3, его начальная коорди­
ната үІР текущая ү. Длина стойки принята за единицу (/« = 1), поэтому
109
длины остальных звеньев lt , /2, /3 будут относительными, т. е. в долях
/4. За положительное направление угловф и ү принято направление
вращения против движения часовой стрелки.
В общем случае синтез механизма сводится к определению таких
значений его пяти параметров
/2, /3>Фі» Үі» пРи которых получилось
бы наилучшее приближение к заданному закону движения. Если же
задаться двумя параметрами, например длиной ведомого звена /3 и его
начальной координатой үь то задача сведется к одному определенному
решению по трем заданным положениям ведущего и ведомого звеньев.
В этом случае помимо /8 предполагают
известными: угловые координаты ведомого
31
звена в трех положениях ү1( ү2, ү3 и углы
Һ5
поворота ведущего звена 1 по отношению
к
его
начальному
(первом/)
положению
/
ф2 — фі И фз — ф і \ Неизвестными являютj g H j !
0,6
О
-
С г
ft
• О
j 1
■
J
r
t
Рис. 2.23
СЯ
І2 И ф * .
Положение шарнира В по заданным
условиям находят методом обращения
движения, путем сообщения всему механизму относительно центра А угловой скоdv
рости <Dt
т.
е.
равной
по
ве­
dt
личине и противоположной по направлению угловой скорости ведущего
звена. В результате ведущее звено Л В в системе координат Аху станет
неподвижным, а вместо него в противоположном направлении будет
вращаться стойка AD.
Следовательно, для 2-го и 3-го положений механизма угловыми
координатами стойки по отношению к оси абсцисс будут —(<р2—ф!)
и - ( ф з - фіШ
) . Положение шарнира
'
■С является определенным по отношению к
стойке и найдется путем построения
заданных углов үь ү2, ү3. Таким обра­
зом, в системе координат Аху, связан­
ной с ведущим звеном АВ, получены
три положения точек С,-, где индекс
t = l , 2,3. Длина шатуна ВС для всех
положений одна и та же (ВС = ВС і),
поэтому три точки Ct должны находиться
на окружности, описанной из центра В.
Следовательно, положение неизвестной
точки В найдется, если точки С( соеди­
нить двумя прямыми СхС2 и С2С8, про­
вести через их середины F12, F2a перпен­
дикуляры и найти точку пересечения
последних. При этом получится неко­
Рис. 2.24
торая начальная координата ведущего
звена фг.
•При графическом построении могут получиться значительные по-'
грешности, особенно в случае, когда перпендикуляры BF l2 и BF 23
110
пересекаются под небольшим углом. Поэтому нужно решить задачу
и аналитически.
Для получения формул координат точек Cj кинематическая цепь
ADiCi представлена в виде суммы двух векторов /4 и Һ (рис. 2.25).
Координаты точек С| определяются проекциями указанной векторной
цепи на координатные оси
lt cos 1—
а
Уі
Ус
(<Р, — «Рі)] +
/ 8 cos І 7 ,
/4 sin l— (фі — Фі)] + k sin ІТі
или, учитывая, что l4
(Фі
(? i
cos(q> і
sin (фI
ф^ +
У\ +
У12
12
*2 + *3
2
/ 8 COS ["fi
(2.170)
Уъ
2
(2.171)
У2 + |/з
У23
2
Угловые коэффициенты
/г12
Фі)]
I,
Фі)];
(ф і
ф^ + /3 sin[7,
Фі)](? I
Уі
находящихся по­
Коор, [инаты точек Ғ 12 и Ғ
средине отрезков СХС2, и СаС3, определяют из
формул
І
Ti)J;
прямых С*С2 и С2С8
л;23
Уъ
Уъ
Рис. 2.25
Угловые коэффициенты
и k^ прямых BF ,2 и
находят из условий
перпендикулярности BFX2J_CXC2 и
представленных равен­
ствами
kxJl \2
1.
а именно:
k 12
«/1
И
(2.172)
*аз
Уравнения прямых BF l2 и
с известными координатами
щим образом
У
и
У
8
я
BF ^ проходящих через точки Fx2 и Ғ&
(см. уравнение (2.171)]. выражают следую-
* 1 2 <* — x i t )
Ун
(2.173)
Уяа
Абсциссу Jtfl точки В находят путем приравнивания ординат двух
прямых 1см. уравнение (2.173)1 в точке их пересечения
*12)
Утя“Ь * 2я(хв — •*««).
ІП
откуда
Уіг — Угз — ^і* X \ t ~h Ьгэ x n
XВ
kas
(2.174)
k ti
Ординату точки В определяют теперь из уравнений (2.173):
Ув
У12
ki t (x в
Xи)
(2.175)
'
По координатам х в , ув находят искомые параметры кинематической
схемы механизма:
длину ведущего звена /
/ АВ
(2.176)
li
длину шатуна ВС
Iвс
I
хв )2 + (у 1
Ув)
(2.177)
между точками В(хв, Ув) и C^x^yJ, начальную
:ую координату ведущего звена
<Pi
arc tg
Ув
(2.178)
■в
Приближенный синтез по заданному закону движения. Закон двишя механизма может быть задан различными способами, однако
во всех случаях для синтеза необходимо
иметь зависимость между угловыми ко­
а)
ординатами ведомого и ведущего звеньев
*31
Т=Т(Ф)- Эта зависимость может быть да­
на в виде аналитической функции, табли­
О
цы ряда значений <р4 и или графика. Во
многих случаях задают функцию передаточного
отношения,
например.
^зі
(ф)
(рис.
2.26,
а).
Поскольку
31
6)
угловая скорость ведущего звена о>|=
d<p
, а ведомого звена со3
пе­
dt
dt
редаточное отношение выражают функ
циеи
(аналог
dtp
если
обобщенная коор
V. г
дината).
8
интегрированием
которой
(аналитическим
или
графическим)
Рис. 2.26
получить нужную зависимость
Т
J *81
+ 7i
Т(<Р)
(2.179)
?1
Если графики ci
функции времени, то
интегрирования
112
26,6).
ведомого
ведущего звеньев заданы в
Искомую зависимость ү = ү(ф) получают посредством исключения
времени Если задан график ускорения е3 = е3(ф), необходимо его
JIS ажды интегрировать, чтобы
Ү(ф)Синтез по заданному закону можно свести к синтезу по трем пологниям, но решение задачи получат приближенным. Д ля этого график
ү(ф)
разбивают
по
оси
абсцисс
на
несколько
участков,
содержащих
Ү
цикл
то будет 4 участка. Как и в преды­
дущей задаче, длину стойки прини­
мают за единицу (U — 0 й задают
два параметра: относительную дли­
ну ведомого звена /3 и его началь­
ную угловую координату үх.
Аналогично предыдущей зада­
че, метод обращения движения да­
ет для первого участка точки Сь
Сг, С3 (рис. 2.27), определяющие
положение точки Вц для второго
участка точки С4, С5, Св, определя­
ющие положение некоторой точки
Въ, и т. д. Всего, следовательно, по
12 позициям С| получены четыре с,о
точки Bj. Если бы эти 4 точки В/
совпали, то все точки С| оказались
на одной окружности и решение
получилось бы точным (для коор­
Рис. 2.27
динат). В общем случае точки С|
не располагаются на одной окруж­
ности, в результате несколько точек Bf не совпадут и при соедине­
нии их прямыми образуют многоугольник (на чертеже четырехугольник). Но точка В как центр шарнира, соединяющего
шизме должна быть единственной, поэтому задача
только поиближенно. путем осиелнения кооппинят
точек г Расчетные формулы
случае, если обозначить
число позиций п (в примере п = iz), а число
следующие:
--------
Г
------- — ----—
—
--------------------- '
•
в
Vв
и
k
/-І
1
Л
У
Вг
*
(2.180)
>
/=■
из
где индекс / — 1 ,2 , ..., k, а координаты хВ] и у в/ определяют для каж­
дого участка по формулам (2.174), (2.175).
Длину ведущего звена /* и его начальную координату ф, находят
по формулам (2.176), (2.178). Длина звена 2, как расстояние от
найденной’точки В до точек С§, переменная и может быть подсчитана
по формуле
hi = V ( * i ~ ~ x B)2 + (Уі — Ув )2*
(2.181)
где индекс t = 1,2,
п (в примере п = 12). Но длина звена 2 должна
быть единственной, вполне определенной, поэтому /2і осредняют и
окончательно принимают за расчетную длину
П
(2182>
На рис. 2.27 тонкой сплошной линией показана окружность радиу­
сом /2, вокруг которой расположены 12 точек Clt причем часть из них
внутри, другая часть — снаружи этой окружности.
При таком решении заданный закон движения не осуществляется
точно, и после кинематического расчета механизма с принятыми раз­
мерами звеньев, на рис. 2.26,6 вместо заданной кривой ү = ү(ф)
получают некоторую функцию, изображенную пунктиром. Чем мень­
ше многоугольник, построенный на рис. 2.27 по точкам By, тем мень­
ше отклонения от заданного закона. Добиться отклонений, не превы­
шающих допустимых, можно путем расчета нескольких вариантов
с различными значениями ү, и /3, причем ввиду большого количества
вычислений целесообразно это сделать с помощью электронной вычис­
лительной машины.
Если функция ү = ү(ф) изменяется по сравнительно несложному
закону и на небольшом участке, можно решить задачу, пользуясь
лишь методом синтеза потрем положениям, изложенным в предыдущем
параграфа. Однако и в этом случае следует проверить отклонения от
заданного закона. Добиться допустимых отклонений можно, как и в
общем случае, путем исследования нескольких вариантов с различны­
ми значениями величин ү, и /8.
При расчете даже с помощью электронной вычислительной машины
может оказаться, что заданный закон движения нельзя осуществить
с требуемой точностью вследствие ограниченности кинематических
характеристик данного механизма. В этом случае следует попытаться
решить задачу, используя какой-либо другой механизм.
В литературе* приводятся методы приближенного синтеза четырех­
шарнирных механизмов, дающие возможность осуществить заданную
функцию с наименьшими отклонениями, причем заданная и приблиН. И. Л е в и т с к и й. Проектирование плоских механизмов с низшими пара­
ми. М.—Л., иэд-во АН СССР, 1950.
С. А. Ч е р к у д и н о в . Синтез плоских шарнирно-рычажных механизмов. М„
иэд-во АН СССР, 1959.
114
жающая функции будут иметь несколько общих точек (так называемые
простые узлы интерполяции), а в некоторых точках даже совпадут
их производные (двойные узлы интерполяции).
Теория этих методов довольно сложна и поэтому не излагается
в кратком учебнике.
§ 25. УЧЕТ УГЛОВ ДАВЛЕНИЯ И ОЦЕНКА ОТКЛОНЕНИЙ
ОТ ЗАДАННОГО ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ
іектором силы,
а в л е н и я называется
Углом
приложенной к ведомому звену (без учета трения), и вектором скорос­
ти точки приложения силы. Иногда расчеты ведут по минимально доа жоп•
90
Пусть спроектированный геометрически механизм (рис. 2.28)
находится под действием внешних моментов: движущего Mlt прило­
женного к ведущему звену /, и момента
сопротивления М8, приложенного к
ведомому звену 3. Ускоренное движе­
ние масс, силы тяжести звеньев и
трение в шарнирах при этом пока не
учитываем. Тогда на ведомое звено 3 в
шарнире С действует некоторая сила
Qsa со стороны шатуна 2 , причем линия
действия этой силы совпадает с прямой
ВС, поскольку при сделанных допущениях к шатуну приложены только две
силы и они должны находиться в равновесии. Угол давления a M образован
Рис. 2.28
ектором силы Q23 и вектором скорости
п точки С поиложения этой силы. Если
направлесилу Q23 разложить на две составляющие: Q23
нию звена 3 и Ои, перпендикулярную к нему, то ее сосявляется
тавляющая Q23
/3
э преодолевает внешний момент сопротивления, а составляющая
ведомое звено.
х<90'
Q23
Д л я преодоления внешнего момента сопротивления М я требуется
величина
также фгзсоэам» то с возрастанием угла давления
возрастает сила
Q23, которую нужно приложить к звену 3, чтобы получить нужную ве­
личину составляющей Q А с возрастанием силы Q23увеличится трение
в шарнирах и уменьшится к. п. д. механизма. При достаточно больших
жет случиться,
составляющая Эм не преодолеет возникшего
(полезной)
I неработоспособным вследствие
заклинивания*.
его с а м о т о р м о ж е н и я ,
■г
уш
^
I т
*
Термин самоторможение, или заклинивание, механизма означает невозмож­
ность движения его в заданном направлении. *
115
)граничивают некоторым
Щ__л _____ И_Л
определения величины с
ся понятием к о э ф ф и ц и е н т а в о з р а с т а н и я
(по Л. Н. Решетову):
Q
k
усилий
(2.183)
собой отношение
жить к звену при заданном а , к минимально необходимому усилию
O' при угле давления а = 0. В четырехзвенном механизме на рис. 2.28
а
ОгзОгз» Q — Q23 я (У
случае
k
cos а
(2.184)
90°,
а»эажл
и заклинивание механизма произойдет лишь при а = ~
т. е. при ka = 00. В действительности, в любом механизме есть трение,
и, как показывают исследования, кривая ka = ka (а) пойдет тем круче,
чем больше коэффициент трения, а заклинива­
ние произойдет уже при углах а зав < 9 0 (рис.
2.29). При расчетах целесообразно задаться
величиной коэффициента возрастания усилий
(например, ka = 2) и по графику ka = ka (а)
найти величину максимально допустимого угла
давления а доп. Если механизм имеет рабочий и
холостой (с меньшими нагрузками) ходы, мож­
но для холостого хода принять несколько
большие значения ka и соответственно большие
величины а доп. Для предварительных расчетов
принимают в механизмах только с вращатель­
ными парами а .оп 45-1-60 , а в механизмах с
вращательными
и
поступательными
парами
Рис. 2.29
О
*
а
30-=-45
При проектировании механизмов проверку
углов давления производят в тех положениях, когда а действительно
достигает максимальных значений. Формулу для определения макси­
мальных углов давления в шарнирном четырехзвенном механизме
получим, рассматривая рис. 2.28.
Из AABD
2 / ^ 4 cos<p.
IBD
І*12 -I(2.185)
-Г /*42
ДОП
В &.BCD угол х между звеньями 2 и 3 может быть определен из фор­
мулы
2
/BD
3
COS X
2Ul
* Без учета динамики движения, так как вследствие инерции движения масс
кривошип может беспрепятственно проходить положения, когда а « 9 0 ° .
116
или с учетом равенства (2.185)
/2
-4/2
'2 + *3
COS X
1 /2 -Ь
2/а/
а *з
2 / х/4
cos
9
(2.186)
Из чертежа х = 90°±агз
(знак минус относится к положениям, когда угол х острый).
Следовательно, абсолютная величина угла давления, нужная для
COS X
а
х и Sin а
90
расчета,
поэтому расчет следует производить по формуле
COS X max <<sin
sm яmax
a Д0П*
(2.187)
Например, при aдоп
60° получается, что cos х |шах < 0,866
Оценка отклонений от заданного зако­
на движения при приближенном синтезе.
Угловую координату 7 ведомого
звена
определяют как функцию длин звеньев
механизма и угловой координаты веду­
щего звена. Из схемы, представленной на
рис. 2.30,
(2.188)
(S + Ф).
Т 180'
Вспомогательный угол б находят из пряРис. 2.30
моугольных Д АВВ' и Д BB’D (при
l4= 1) по формуле
ь
arc tg
/1 s i n <Р
1 — l i COS <p
(2.189)
Другой вспомогательный угол ф определяют из Д BCD по теореме
косинусов
I2 -4- /2
b d + *з
arc cos
(2.190)
Ф
где переменный отрезок из Д A BD
IBD
у
/f 4 ■ l] — 2 /,/« cos ф.
(2.191)
По ряду значений ү=ү(ф ) вычисляют отклонения координат ведомого
звена
ДI Уі 7ті
(2.192)
где үТІ— заданное значение координаты согласно исходным данным
эадачи;
Үі— осуществленное значение ее в рассматриваемой точке.
За критерий отклонения от заданной зависимости принимают
среднее по модулю отклонение
Дср
1
п
п
Till
(2.193)
l-l
117
( t = l , 2,
я; где п — число позиций, в которых определялось от­
клонение), либо, что считается более точным, среднее квадратическое
отклонение
____________
1 /
Дкв=Г
2 frf — Тт/)*
J = L - n ---------- •
(2 .1 9 4 )
Полученное среднее отклонение сравнивают с допустимым. Из
ряда рассчитанных вариантов механизмов с различными значениями
Үі и /3 выбирают те, которые дают отклонения, не превышающие до­
пустимые, при наилучшем конструктивном соотношении длин звеньев.
Поэтому в начале расчета следует установить конструктивные огра­
ничения относительных длин звеньев в виде соотношения
l l mln ^
^
maxi
(2 .1 9 5 )
где t = l , 2, 3 — номер звена.
§ 26. ПРИМЕР СИНТЕЗА ШАРНИРНОГО ЧЕТЫРЕХЗВЕННОГО МЕХАНИЗМА
ПО ЗАДАННОМУ ЗАКОНУ ДВИЖЕНИЯ
Требуется спроектировать кинематическую схему кривошипнокоромыслового механизма по следующим данным: относительная дли­
на ведомого звена 1а= 0,5; начальная угловая координата ведомого
звена үх=120°; синусоидальный закон движения ведомого звена вы­
ражен уравнением
15° sin (ф — <Р() -f-
.
Угол поворота ведущего кривошипа, измеряемый от положения с
координатой ф Х, изменяется в пределах от (ф — ф ^ = 0° до (ф — ф ^ =
= 360°. Характер изменения функции ү= ү(ф ) представлен на
рис. 2.26, б (сплошная линия).
Расчет производят следующим образом. Угол (ф—ф1)=360° де­
лят на 12 равных интервалов по 30°, полученные 12 позиций объеди­
няют в 4 группы по 3 позиции в каждой. По заданному уравнению
ү = ү (ф ) подсчитывают 12 значений координат ведомого звена y t (ин­
декс t = l , 2,
12):
Ү, = 15 sin 0°+ 120° = 120°;
ү2= 15 sin 30° + 120°= 127,5° и т. д. (см. табл. 2.1).
По формулам (2.170), (2.171), (2.172), (2.174) и (2.175) определяют
координаты точек С,(хс1, у а ) и В/(хв/, у в/) (индекс / = 1, 2, 3, 4);
лссі= Xj=cos 0°+0,5 cos 120°= 0,750;
У с і= У\ = —sin 0°Ң- 0,5 sin 120°= 0,433 и т. д.;
tie
0,750 + 0,801
— 0 ,0 0 4 — 0,388
__________ 2___________________ 2___________
Хв \ —
0,646 — 0,801
х
----------------------------------------------
2
л
л л
.
л
X
— 0 ,0 0 4 — 0,433
0,646 — 0,801
0,801 + 0,646
— 0 ,3 8 8 + 0,004
2
0 ,646 — 0 , 8б1
0,801 — 0 ,7 5 0
0,388 + 0,004
0,433 — 0,004
2
Ув1
I
0 ,8 0 1 — 0,750
0 ,388 + 0,004
0,750 + 0,801
0 ,8 0 1 — 0,760
л/ч
— 0 ,0 0 4 — 0 ,4 3 3
+
0 0=17
и .и о / ,
— 0,004 — 0,433
0,801 — 0 ,750
— 0 .0 0 4 — 0.433
0,117
/
\
п лгу
-о .
0,750 + 0,801
2
И Т. Д.
По формулам (2.180), (2.176) и (2.178) находят координаты хв, Ув ис­
комой точки В, длину ведущего звена /, и его начальную угловую
координату ф 4:
х в = — (— 0,057 — 0,069 — 0,077 — 0,059) = — 0.066;
у в = — (0,117 + 0,117 + 0,104 + 0,112) == 0,112;
4
/, = У ( — 0,066)а + 0,1122 S 0 130;
ф, = arc tg - = arc tg (— 1,7) = 120°28'
— U,Ubb
решение единственное, так как sin <pj =
<pt
bo
»B
°
’112
n
= q 130 > 0 » т. е. угол
второй четверти
По формуле (2.181) вычисляют расстояния 1и от найденной точки
В до точек С| и по формуле (2.182) — расчетное значение длины ша­
туна /2:
‘и = V (0,750 + 0,066)а + (0,433 — 0 ,1 12)а = 0,877;
/м -
V (0,801 + 0,066)а + (— 0 ,0 0 4 — 0,112)» = 0,875 и т. д
1ш= -Tj- (0,877 + 0,875 + . .) = 0,871.
Результаты расчета приведены в табл. 2.1.
Максимальный угол давления а тах> определенный по формулам
(2.186) и (2.187), при ф = 180° получился равным 18°, что вполне прием­
лемо. Подсчитанное по формулам (2.188) — (2.193) среднее (по 12
позициям) отклонение от заданного закона Дср= 2 3 .
119
N
CM
00
#»
О
—
л.
СО
=J
X
кг
о
СО
О
(-
Н
о
е*
ю
о
оо
So
00
о
о
о
9
со
00
ф
о
о
00
ф
о
со
ю
t^
*
о
оо
0
0
#1
о
0
0
&
00
Ф
*
о
о
800
о
г^.
о
о
0
•*
0
ю
0
0
ф
о
о
SQ
о
со
о
ц
«С
CS.
ts,
#
*■1
№
ID
о>
СО
о
СМ
о
ф
ф
О
о
о
2
«
X
X
О■Р
« 3
аз
к
О)
г
оU
о
X
о.
X
X
о.
cd
ки
0
1
0
5
о®
Р!
N
ОШ
ш
т
JQ
1
1
1
о
р
о
Q 41
и C
В
S
X
§ : •Г
*v*
с
см
X лW Q.
S н
со
о*
со
СМ
см
со
со
1т
3
CL
а
н
4
у
>
аQ
*U£ч
sВ
см
х £ :
й>
у
о
JO
cd
2
«г
с.
енв
о.
со
и
гъ
о
ю
00
8
■I
со
о
о
н
cd
н
I
3
соф
о
0
<
5
со
со
1
оо
3
оф
0
3
ао
о
о
♦
N
О)
о
г
о
1
л
>»
п
о.
О
(О
§N
О
00
S
О
о
о
со
Я
со
о
о
8N
со
о>
00
ф
Q
1
§.
«и
«о
о
см
Й
я
»*
S
I «и
Q .|
*
I
s
ia
3
120
см
со
Й
CQ
со
ю
«к
t*.
см
Q
см
ю
со
«о
см
см
—
00
см
о
г>»
00
-»
о
со
г
о
р
о
I
tT
о
о
to
см
<м
О)
о
см
Кинематическая схема спроектированного механизма в начальном
положении (с координатами ф 1э у г) изображена на рис. 2.31; штрихпунктиром показаны его крайние положения.
Данный вариант механизма не
является наилучшим по точности
приближения к заданному закону дви­
жения. Можно получить лучший ме­
ханизм, рассчитав большое число аоазличными значениями
риантов с различными
Үі и
*1 /*3 с помощью электронно-выРис. 2.31
числительной машины (см. § 32).
§ 27. СИНТЕЗ КРИВОШИПНО-КОРОМЫСЛОВОГО МЕХАНИЗМА
ПО ЗАДАННОМ У ОТНОШЕНИЮ СРЕДНИХ СКОРОСТЕЙ ВЕДОМОГО ЗВЕНА
ПРИ ОБРАТНОМ И ПРЯМОМ ХОДАХ
Даны длина ведомого звена /3 и координаты у г и у 2 его крайних
положений (рис. 2.32). Разность у 2—Ү і=Р является угловым ходом
(размахом) ведомого звена. Кривошип А В вращается равномерно, а
его центр вращения находится в некоторой, пока неиз­
вестной, точке А на оси х.
Движение ведомого коромыс­
ла из положения 1 в положе­
ние 2 обозначим как прямой
ход, а движение в противопо­
ложном направлении как об*
ратный ход.
/ І . , мм/м
Требуется спроектировать
кинематическую схему меха­
низма, для которого отноше­
ние
средних
угловых
скоросРис. 2.32
звена
при
ведомого
тей
обратном и прямом ходах рав­
(Ообр
(
к
о
э
ф
ф
и
ц
и
е
н
т
и
з
­
но некоторой заданной величине k си
(А)ПР
менения средней скорости).
Например, в строгальных и долбежных станках обработку изделия
производят при движении резца в одном направлении с заданной ско­
ростью резания, а холостой (обратный) его ход осуществляется с
большей средней скоростью; в этом случае Л®>1.
На рис. 2.32 изображены два крайних положения механизма, в
каждом из которых кривошип и шатун находятся на одной прямой;
угол между этими двумя прямыми А С Хи А С 2 обозначен буквой Ө. Из
чертежа следует, что за время прямого хода /пр сек кривошип повер­
на угол
нется на угол (180°+ 6°)t а за время обратного хода /овр
0 °).
(180
121
Следовательно, при равномерном вращении кривошипа
Р/*обр
к
180° + Ө®
О *
f»/*np
180° - 8
откуда
о
Ө0 = 180
(2.196)
кт+ \
Если
составляющую угол Ө с направлением DE,
пересечется с после,
радиуса lFa = r будет геометрическим местом искомых центров враще­
ния кривошипа А, поскольку в любой точке этой окружности вписан­
ный ^ C jAC2 равен половине центрального ^.СхҒСг—2Ө, опирающегося
на ту же дугу СгСг, и, следовательно, равен Ө. Точка А пересечения
указанной окружности с осью абсцисс, согласно исходным данным
Если
радиусом
шл
j
Лт
в масштабе чертежа ц, длину кривошипа 1и поскольку
•
CjN
_
-
^
a w
W
W
V /
I
І Ъ
Л
ЛСі — ACt __(/і + It) — (/»— l i ) ___^
2)i.|
2u.r
2
1
D Л
Длина шатуна l%= ——
При графическом решении точка F может оказаться за пределами
чертежа, поэтому задачу с л е д у е т решить также и аналитически. Из пря­
моугольных Д CXEF и Д СлЕи находят радиус вспомогательной окруж­
ности
/
Іғс\
_
/ « s i n р/2
(2.197)
sin о
и расстояние между точками D и F
l DF =
l EF —
l D E == r C 0S 9 ~
*3C0S
(2.198)
Из Д ADF по теореме синусов определяют угол
(J. = ^ DAF = arc sin (
sin
(2.199)
и длину стоики
.
.
.
.
Ті
+
т*
г sin I ф +
—
1=1
=
'_____ - __
s i n ----------
2
Координаты точек С, и С2 находят из равенств
122
(2.200)
*С1= *«+ *» cos Yi*
Ус\— I» s*n Yi*
(2 . 201)
*C2= *4+ ls COS ү2,
Y2-
УС2= ІЗ
Найденные координаты позволяют вычислить длины отрезков
1АС
“
г
/ ИС2 =
=
V
| —
* с і
^ с і
*
(2 .202)
Х С2 ■+■ У с 2
После этого определяют длины кривошипа 1Х и шатуна /2 по формулам
1\—~2^ a c \— (дсг)
(2.203)
/2= ~п~ ((лсі*Ь ^лсг)-
(2.204)
§ 28. КРИВОШИПНО-ПОЛЗУННЫЕ МЕХАНИЗМЫ, ИХ ХАРАКТЕРИСТИКА
И СИНТЕЗ ПО ТРЕМ ПОЛОЖЕНИЯМ ЗВЕНЬЕВ
И ПО ЗАДАННОМ У ЗАКО Н У ДВИЖЕНИЯ
Схемы таких механизмов были кратко описаны в § 3 и изображены
на рис. 1.30.
Основная
х а р а к т е р и с т и к а — отношение скоростей
ползуна vc и кривошипа
(аналог скорости ползуна) в функции угла
поворота кривошипа <р — может быть определена по уравнению (2.86)
или с помощью планов скоростей по уравнению
s
С
vc
*с
°с
Ш]
d<f
V g /l\
I/, [S
/ рс
L. ,
(2.205)
\ pb
где pb и рс — отрезки, изображающие скорости
не, мм.
°с
°с
Зависимость а)|
^
(ф)
для
центрального
кривошипно-ползунСО| ' 1'
ного механизма представлена сплошной линией на рис. 2.33, вид ее
соответствует характеру изменения скорости ползуна при равномерном
вращении кривошипа. Д ля внеосного механизма (е11г=*чф 0) аналог
скорости ползуна (штриховая линия на рис. 2.33) несимметричен, и
потому отношение средних скоростей ползуна при прямом и обратном
ходах (при о)1= const) отлично от единицы.
Угол
д а в л е н и я а при передаче усилия на ведомое звено
отмечают на механизме в зависимости от того, какое его звено является
ведомым. Если им будет ползун 3, то сила Q23 передается на него с уг­
лом давления a M, а если кривошип /, то сила Qu составит угол а а
(рис. 2.34).
123
При ведомом кривошипе угол давления a 2j два раза за цикл (когда
шатун и кривошип располагаются по одной прямой) получает макси­
мальное значение, равное 90°. Эти положения кривошип проходит
только благодаря инерции вращающихся масс звена /.
Наибольший угол давления (агэ)тах определяют путем исследо­
вания функции агз= агз(ф) на максимум. В частности, для централь­
ного механизма (е=0) максимальное значение угла давления (а^),,,,* =
= arc sin/j/Zg будет при ф =90° или ф =270д. Следовательно, чем больше
О
Рис. 2.33
Рис. 2.34
величина X =/j//2, тем меньше размеры механизма (по отношению к
длине кривошипа), но больше углы давления. А с возрастанием вели­
чины (англах, независимо от того, какое звено является ведомым, уве­
личивается усилие между ползуном и направляющей (между поршнем
и стенкой цилиндра поршневой машины). Поэтому, например ДЛЯ
механизмов двигателей внутреннего сгорания * отношение X принято
выбирать в пределах X=-g-4— . что соответствует значению (а ^ та х —
—1l-r-190.
Проектирование кинематической схемы по трем заданным положе­
ниям ведущего и ведомого звеньев. Этот вариант проектирования про­
изводят в системе координат Аху (рис. 2.35) аналогично синтезу че­
тырехшарнирного механизма (§ 24).
Задача сводится к определению
неизвестных длин звеньев 1г и /2,
а также начальной угловой коор­
динаты фі звена / при заданных
внеосности (эксцентриситете) е,
трех линейных координатах точки
С ползуна «с„ So, «сз и углах по­
ворота звена / по отношению к
его начальному (первому) поло­
жению ф 2— ф , И ф , — ф , .
Чтобы найти положение шар­
нира В по этим условиям, примеРис. 2.35
•
Г. Г. Б а р а н о в .
ностроение», 1967, § 18.
124
Курс теории механизмов и машин. Изд. 4-е. М., «Маши­
обращения
д в и ж е н и я , сообщив всему
няют м е т о
механизму относительно центра А угловую скорость —юх. В резуль­
тате ведущее звено АВ станет неподвижным, а вместо него в проти­
воположном направлении будет вращаться стойка и, следовательно,
ось направляющих ползуна. При наличии эксцентриситета е эта ось
во всех положениях касается окружности радиусом, равным е.
Графически центр шарнира В находят как точку пересечения пер­
пендикуляров BFl2 и BF 2з к серединам отрезков CtC2 и С2С8.
При аналитическом решении находят координаты точек ползуна
С( (индекс i = l , 2, 3) из уравнений проекций на координатные оси сум­
мы векторов sc t+ e:
*ci— * 1= sa cost— (ф i—ф !>] 4- е cos[90° (фі
Фі)1
Усі = Уі=* sCt sin[— (ф,— фі)]-һ е sin 190'
(ф і фі)1
или после преобразования
X t = s c i соз(ф і — ф х) -I- e sinfo*— ф , ) ,
Set sm (фі— ф 1) + е с о з ( ф | — ф^. / (2.206)
Уі
Дальнейшее
формулам
(2.178) с той лишь разницей,
величины
заданному
варианту производят аналогично синтезу четырехшар:ма (§ 24). По заданному закону движения определяют
івисимость между координатами ведомого и ведущего зі
sc (ф). Например, если задано осуществить аналог скорости
V
О
(ф),
то
искомую
функцию
находят
интегрированием
(гра(|)|
СО]
фическим
S
г
*
ч>.
SСI >
г де ф, и sc i— начальные координаты (в первом положении) ведущего
и ведомого звеньев.
Графи
вс(ф) разбивают по оси абсцисс на несколько
участков, содержащих по 3 позиции каждый. Начальную координату
ползуна sci и величину эксцентриситета е задают.
Применяя изложенный выше метод нахождения центра шарнира
В по трем положениям, получают для первого участка некоторую
точку Ви для второго участка точку Вг и т. д. Но точка В в механизме
должна быть единственной, поэтому задачу решают только приблипутем осреднения координат точек В( по формуле
формулам (2.176), (2.178) находят длину/• звена / i
ную координату
а затем по формулам (2.181), (2.182)
длину
шатуна /2.
Заданный закон движения осуществлен приближенно и добиться
отклонений, не превышающих допустимых, можно путем расчета ряда
125
вариантов с различными значениями начальной координаты ползуна
SC1 и эксцентриситета е. Как и при проектировании четырехшарнирных
механизмов, учитывают максимальные углы давления и конструктив­
ность размеров звеньев.
§ 29. СИНТЕЗ КРИВОШИПНО-ПОЛЗУННЫХ МЕХАНИЗМОВ ПО КОЭФФИЦИЕНТУ
ИЗМЕНЕНИЯ СРЕДНЕЙ СКОРОСТИ, ПО ПЕРЕМЕЩЕНИЯМ ЗВЕНЬЕВ
И ПО СРЕДНЕЙ СКОРОСТИ ПОЛЗУНА
Синтез по коэффициенту изменения средней скорости ползуна. Про­
ектирование кинематической схемы внеосного кривошипно-ползунного механизма по заданному ходу Н и отношению средних скоростей
ползуна при обратном и прямом ходах, т. е. коэффициенту изменения
скорости kv—^ ^
чно такому же варианту син­
теза четырехшарнирного механизма (§ 27). Предполага­
ется, что кривошип вращает­
ся равномерно (ooi=const) и
прямой ход ползуна 3 проv n p
Рис. 2.36
Рис. 2.37
исходит при его движении влево. Через середину хода Н ползуна
(рис. 2.36) проводят прямую ЕҒ^СхСг- Прямая СХҒ, составляющая с
направлением Е Ғ угол Ө, который, согласно формуле (2.196), равен
180°
дает при их пересечении центр F дуги окружности радиу­
сом
' =■
;г
4
-
д
п
•
<2 -2 0 7 >
Эта окружность является геометрическим местом искомого центра
вращения кривошипа точки А . Если задана величина эксцентриситета
£>0» то центр А находят как точку пересечения указанной дуги ок­
ружности и оси х . Чтобы при том же направлении со i осуществить пря­
мой ход ползуна при движении его вправо, нужно взять е < 0 .
126
Синтез по заданным перемещениям ползуна и кривошипа. Если
для кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.37) заданы два поло­
жения кривошипа, определяемые координатами фі и фг. перемещение
ползуна Л «с и отношения \ = l t/lt и v—— * то» согласно положениям
§ 1 1 , имеем
д sc = sc r — sc t= (I, cos фа"Ь /2 cos а 2) — (/i со в ф ,+ i2 cos a t)
или
Asc = /)Icos ф 2— cos ф i -+- -jf(cos a«s— cos aj)l,
(2.208)
где углы давления a определяются по формуле (см. § 11)
|a| = arc sinlX.(sin ф — v)l.
(2.209)
Из равенства (2.208) находим 1и а затем 1г=-г- •
Не исключена возможность того, что механизм по заданным усло­
виям может получиться коромыслово-ползунным.
Синтез по средней скорости ползуна (поршня). При проектировании
машин иногда задают среднюю скорость ползуна (поршня) vcp^ гм/сек.
Для центрального кривошипно-ползунного механизма двойной ход
ползуна (поршня), соответствующий одному обороту кривошипа,
2 Н = 4/,.
Если скорость вращения кривошипного вала в об/мин равна п,
то
"ср = т г
П
= 4 г -•
<2-2 ,0 >
иср
откуда длина кривошипа в м lt = 15—^—.
(2.211)
Затем по заданной величине X можно найти и длину шатуна 1г.
§ зо. кули сн ы е
м еханизм ы ,
их
характери сти ка и си н тез
Синтез четырехзвенного механизма с качающейся кулисой. Пусть
для такого механизма (рис. 2.38, а) известны длина стойки /4= / Ас
и угловой ход (размах) кулисы р. На этой и последующих схемах ку­
лиса и ползун условно изображены в виде стержня и втулки. Индек­
сами / и 2 отмечены крайние положения кулисы 3.
Из прямоугольного треугольника А В ХС (или А В гС) следует, что
длина кривошипа
*і =
=
*4 l
i
n
(2. 212)
127
а длина кулисы la= lcD определится из пол
со стойкой А С (при <р=90°), по формуле
Л,
(2.213)
где А —
размер, соответствующий длине верхней части ползуна
некоторым запасом (выбирается конструктивно).
Основная кинематическая характеристика данного механизма —
передаточное отношение/81= / 81(ф) может быть определено аналитичес­
ки, либо с помощью плана скоростей (рис. 2.38, б) по формуле
(Оа
*
1
Pf
I31
ICF
«>1
рЬ
отрезки, изображающие скорости v в, vF, мм.
pf
В крайних положениях кулисы CDt и CD2 передаточное отношение
равно нулю, При
п р и ф = 9у0іг° и ф =270° скорости совпадающих точек В
ползуна 2 и Ғ кулисы 3 равны (vb = v F), и передаточное отношение по
ію принимает соответственно наименьшее и наибольшее значеопределяемые формулами
V
(*31)9
h+ l
90
VB
(2.214)
X+ 1
Һ
И
VP
d s i h - 270°
A
h - U
VB
(2.215)
X— 1
1л
где X
(для механизме
обычно
Из графика
аточного отношения і81= іЗІ(ф) или а>8=о>з(ф)
при © i = l (рис.
что коэффициент
^обр
рости кулисы при прямом и обратном ходах k Cl)
>
Cd np
Оказывается
•1891
величины углового хода кулисы р. Из оис. 2.38. а еле
мой ход кулисы (на угол 0) совершается при повороте кривошипа от
положения А В г до А В 2 (в верхней части окружности) на угол 180° +
+ (3° за некоторое время /пр сек. Обратный ход кулисы (на тот ж е угол
Р) совершается при повороте кривошипа (в нижней части окружности)
угол
0 за некоторое время /обр.
Следовательно, при равномерном вран
const)
k СО
180
вающая, что коэффициент km возрастает с увеличением
кулисы 0.
128
(2 216)
К <р).
А»(Р)
Прямой код
Обратный ход
Рис. 2.38
Рис. 2.40
Рис. 2.42
5— 448
Рис. 2.39
Рис. 2.41
Рис. 2.43
В отношении углов давления а при ведущем кривошипе схема ме­
ханизма весьма
благоприятная, поскольку за весь цикл движения
усилие (без учета трения) от кривошипа 1 через ползун 2 передается
кулисе 5 в направлении, перпендикулярном к CD; следовательно, уси­
лие, действующее на ведомое звено (кулису), совпадает по направлению
со скоростью его точки приложения vF, и потому всегда угол давления
а = 0.
Синтез четырехзвенного механизма с вращающейся кулисой. При
длине кривошипа
кулиса сможет поворачиваться на полный
оборот (рис. 2.41). График передаточного отношения % — % (ф) такого
механизма, полученный совершенно аналогично механизму с качаю­
щейся кулисой, представлен на рис. 2.42. Из графика видно, что сред­
нее передаточное отношение (t8i)cp = 1 . При повороте кривошипа на
угол m A f t31> 1, что означает при o)i= const движение кулисы 3 с
большей скоростью (о)8> (о i), а на остальном пути — движение со
скоростью o)3<(Oi- В положениях т и / ial— 1. При <р=90° и <p=27 ( f
скорости совпадающих точек кулисы и ползуна равны (v f = v b ) и пере­
даточное отношение, как и для механизма с качающейся кулисой,
принимает соответственно наименьшее и наибольшее значения, опре­
деляемые формулами:
VF
900 = (*8i)min = — + -* =
UB
(2.217)
Л+ 1
~т г
°р
(^31) 9—270° = (^8l)max =
7. '
"В
І1
= ----- —•
А— 1
(2.218)
Полученные формулы ничем не отличаются от формул (2.214) и
(2.215) для механизмов с качающейся кулисой. Д л я механизмов с
вращающейся кулисой обычно принимают Х>>2 .
Из формулы (2.218) следует, что с уменьшением X максимальная
величина ia] возрастает и в пределе при X—*-1 t31— 00. Следовательно,
в этом механизме можно получить большую неравномерность вращения
ведомого звена (кулисы 3), см. рис. 2.41.
Эта неравномерность может быть оценена безразмерным коэффици­
ентом
а __
т з т а х — e>8mln
Wl
_
/.• *
___\
_
2А.
\ l 31/max — \ * з і / т і п —
/oom v
| *
График б =б(Х) изображен на рис. 2.43 и наряду с графиком переда­
точного отношения (рис. 2.42) может быть использован при выборе ос­
новных размеров механизма по заданным условиям.
В отношении углов давления при ведущем кривошипе рассмотренная
схема, как и схема механизма с качающейся кулисой, весьма благо­
приятна ( а = 0).
130
Синтез механизма с возвратно-вращающимся (качающимся) ци­
линдром. На рис. 2.44, а изображена схема такого механизма в двух
крайних положениях А В ХС и АВгС\ при переходе из одного крайнего
положения в другое поршень 2 перемещается на расстояние Н (ход
поршня), а ведомое коромысло 1 поворачивается на угол р (угловой
ход). Соотношение между скоростью поршня относительно цилиндра
v b f и угловой скоростью коромысла а ц можно получить, как и для
кулисного механизма, рассматривая две совпадающие в данный мо­
мент времени точки: точку В — центр шарнира, соединяющего звено
1 и поршень (ползун) 2, и точку F, принадлежащую цилиндру (кули­
се) 3.
Рис. 2.44
Рис. 2.45
Из плана скоростей (рис. 2.44, б) можно получить выражение ана­
лога относительной скорости
_ VBF _ VBF _ I ( bf \
BF~ I В g g i I В
•
где bf и pb — соответствующие отрезки скоростей vbf и vb •
Чтобы полностью использовать цилиндр при перемещении порш­
ня, задаются величиной отношения длины цилиндра /8« / з і с к ходу
поршня Н в виде коэффициента
7Г(2.220)
определяемого конструктивно; например k = l , 2; 1, 3 и т . д .
Приходится также учитывать угол давления а как угол между
осью цилиндра, по направлению которой передается усилие Q21, и
вектором скорости v B точки приложения силы. Этот угол переменный;
так, на рис. 2.44, а в положении В2 он больше, чем в положении Вх
(а г > а ,). Поэтому при проектировании задаются величиной максималь­
но допустимого угла давления а лоп с тем, чтобы при работе механизма
не превысить его.
5*
131
Область возможных положений шарнира В, где а<Садоп, находят
следующим образом (рис. 2.45). Через точку С под углом а доп по обе
стороны стойки АС проводят два луча СҒ и СҒ' и определяют точки
пересечения их Ғ и Ғ' с перпендикуляром к середине стойки. Ока­
зывается, что две дуги окружности радиусом г = 1 Сғ = І с ғ \ проведенные
из центров Ғ и Ғ ', дадут искомую область. Действительно, если шар­
нир В находится в любой точке окружности с центром Ғ , угол давления
a = ^ on= co n st; вписанный в эту окружность
A B C — 90°— a =
= ^JF0FC (т. е. равен половине центрального ^ АҒС), а
Ғ 0С Ғ —
= а = а доп. Таким образом, из чертежа следует, что геометрическим
местом точек В при a = c o n s t будет в общем случае дуга окружности
радиусом
r = Jd£_.
(2.221)
2cos a
В частном случае при а = 0 геометрическим местом точек
и
іас
полуокружность, проведенная из центра F0 радиусом —
радиальной
составВ области a 0-г-адоп звено 1 растягивается —
а
ляющей силы Q21, в области a = 0 -f-(—а доп) — сжимается. При расче­
тах обычно знак угла а не учитывают. Проектирование кинематичес­
кой схемы механизма можно осуществить так. Если известны угол
поворота ведомого звена 0, отношение длины цилиндра к ходу поршня
k = ^тт и максимально допустимый угол давления a Mn, то, задавшись
ел я ют
длиной стойки / /АС
a доп*
геометрического
/АС
т
2cos a доп
и 1ычерчивают область возможного расположения шарнира В , где
__ (рис.
(пне. 2.46). Относительной длиной/я
звена 3--(в долях /4) заа < аа доп
........ ...... а ---------даются. Тогда, согласно рис. 2.44, для конечных положений
/В2С
IBIC
13 + Н
U
kH + Н
kH
fe + 1
к
(2 .222)
где Ів.с—Ізfe + 1
Дуги окружностей, проведенные из центра С радиусами 13 и
к
на рис. 2.46 дают новую, уменьшенную по сравнению с прежней, об­
ласть расположения шарнира В. Выбрав несколько точек В^(ВЛ’,
...) на окружности радиусом 1Я, проводят через них дуги из ценк ± 1 L.
еляют
к
Замеряя полученные углы поворота 0 ', 0", ... ведомого звена, интер­
поляцией можно найти вариант, где угол 0 равен заданному. Абсолют­
ные размеры звеньев найдутся из чертежа, если задаться одним
из них.
132
При расчете следует иметь в виду, что чем больше угол а доп, тем
больше область возможных положений шарнира В и больше максималь­
но возможный угловой ход Р ведомого звена.
Синтез шестизвенного кулисного механизма. Шестизвенный кулис­
ный механизм (рис. 2.47) преобразует вращательное движение криво­
шипа 1 в возвратно-поступательное движение ползуна 5, при этом сред­
няя скорость 1>обр ползуна при обратном ходе больше в kv раз средней
Прямой ход
Рис. 2.47
Рис. 2.46
скорости vnp прямого хода. Исходными данными обычно служат ход
Н ведомого звена 5 и коэффициент изменения средней скорости
.
°обр
--------------- ---------------------------------------------------------
^пр
Коэффициент kv и угол (3 размаха кулисы, аналогично четырех­
звенному кривошипно-ползуиному механизму, связаны зависимостью
р = 180° — — 1
kv -t- 1
(2.223)
Длину кулисы находят из рассмотрения ее крайнего положения
CD по формуле
‘. = ‘с о ------ т - •
(2.22А)
2sln-jjӨ среднем (вертикальном) положении кулисы CD длины звеньев
18, /в= / А0 (стойки) и І, = Шв связаны соотношением
/ » = * « + * i + А,
( 2 .2 2 5 )
где Һ выбирается конструктивно.
133
1
С другой
стороны, из прямоугольного ДABC
lt = /6 sin - i - .
(2.226)
Подстановка значения /, в выражение (2.225) дает длину стойки
(межосевое расстояние)
и —Һ
.
®
1 + sin
(2.227)
р
После вычисления /в можно по формуле (2.226) найти /х.
Для обеспечения наименьших давлений в направляющих ползуна 5
положение оси хх целесообразно выбрать так, чтобы она делила стрел­
ку сегмента / пополам. Тогда расстояние между осью вращения кулисы
и осью направляющих ползуна 5 определится по формуле
І. = /„ — - L = Л . Л + cos J - ) .
(2.228)
§ 31. ПОНЯТИЕ О СИНТЕЗЕ МЕХАНИЗМА ПО ЗАДАННОЙ ТРАЕКТОРИИ
ЕГО ТОЧКИ
Прежде всего следует иметь в виду, что для воспроизведения ряда
кривых в настоящее время известно значительное число механизмов,
которые можно подобрать по справочникам*. Так, например, эллипс
можно получить как траекторию точки D шатуна двухползунного
механизма (рис. 2.48). Уравнение траектории получится из формулы
квадрата расстояния между точками D и С
*£>+ (Уп
(2.229)
а
Ус)
и соотношения между ординатами этих же точек согласно
а -\-Ь
Ус = Уо
чертежу
(2.230)
Ь
Подстановка значения ус из формулы (2.230) в равенство (2.229) дает
уравнение эллипса
Уо
а
Ьг
1.
(2.231)
При а = Ь (точка D посередине шатуна ВС) получим траекторию в
виде окружности.
П. Л . Чебышев с помощью разработанной им теории о функциях,
наименее отклоняющихся от нуля**, создал ряд механизмов, прибли* И. И. А р т о б о л е в с к и й . Механизмы. Т. 1— IV, М., Изд-во АН СССР,
1947— 1951.
** П. Л. Ч е б ы ш е в . Полное собрание сочинений. Т. 4. Теория механизмов.
М.—Л., Изд-во АН СССР, 1948.
134
женно воспроизводящих заданную траекторию. На рис .2.49 изображен
четырехшарнирный механизм, известный как приближенный прямоли­
нейно-направляющий (лямбдообразный) механизм Чебышева. Оказы­
вается, что при определенном соотношении длин звеньев (ВС =
— СҒ = CD = 2,5ЛВ и AD = 2АВ) траектория точки F шатуна на
значительном участке FiF2 весьма близко приближается к прямой
(Уғттconst).
Рис. 2.48
Рис. 2.49
Для приближенного воспроизведения заданной кривой можно при­
менить следующий графический прием (рис. 2.50). В системе коорди­
нат Оху задаются координатой точки А и длинами двух звеньев /, 2
•кинематической цепи ABF
„ғ
так, чтобы точку Ғ шатуна
2 можно было перемещать по
всей заданной траектории т ;
точка В при этом перемеща­
ется по окружности радиу­
сом АВ. Затем в плоскости
шатуна 2 берут несколько
точек (С', С”, С'" и т. д.), вы- 1 7
' 7 / V ________
черчивают их траектории и
выбирают из них ту, которая
V
А
I
наиболее приближается к ду\
./
ге окружности (на рис. 2.50
о у Т __________________
точка С"). Найдя центр D этой
Т
7
дуги, можно получить длины
Рис 2
всех недостающих
звеньев
ис‘
шарнирного четырехзвенника:
1вс", Ic'd , U d> а также координаты точки F по отношению к шату­
ну ВС” (вершина ДB C F ). Если одна из траекторий близка к прямой,
можно спроектировать кривошипно-ползунный механизм. Из несколь135
ких возможных вариантов решения выбирают наиболее конструктивныи.
Если нужно воспроизвести лишь некоторый участок траектории,
можно приближенно подобрать недостающее звено механизма следую­
щим способом (рис. 2.51). Пусть, например,
Рис. 2.51
§ 32. ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕКТРОННО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАШИНЫ
К СИНТЕЗУ МЕХАНИЗМА
При синтезе различных механизмов очень часто приходится решать
задачи, связанные с производством большого количества математичес­
ких операций. Расчет даже одного варианта механизма по заданным
параметрам бывает достаточно сложным и трудоемким. Если же нуж­
но найти оптимальный вариант решения, удовлетворяющий мно­
жеству поставленных условий и ограничений, то для решения подоб­
ной задачи придется просчитать не один, а десятки и даже сотни раз­
личных вариантов. В этом случае расчет всех возможных вариантов,
анализ полученных результатов и выбор наилучшего варианта тре­
буют большой затраты труда и времени. Решение подобного рода за­
дач значительно облегчается применением электронно-вычислитель­
ных машин.
Приближенный синтез шарнирного четырехзвенника по заданному
закону движения (§ 24) предполагает выбор оптимального варианта
механизма, удовлетворяющего поставленным условиям. При решении
этой задачи исходные параметры (длина звена /3 и угловая координата
136
ү, на рис. 2.27) могут изменяться в значительных пределах; каждой
комбинации исходных параметров, т. е. каждой паре определенных
значений /3 и уь соответствует механизм со своими, присущими толь­
ко ему, характеристиками. Из большого числа подобных механизмов
нужно выбрать оптимальный вариант с учетом ряда ограничений,
наложенных на его параметры.
В § 26 приведен числовой пример на приближенный синтез шарнир­
ного четырехзвенного механизма по заданному закону движения.
В результате получены параметры механизма и величина среднего от­
клонения от заданного закона Дср = 2 3 '. Однако подобный расчет даже
одного варианта механизма требует выполнения большого количества
вычислений и не гарантирует оптимального решения. Д ля нахождени я наилучшего варианта с наименьшим отклонением от заданного
закона эта же задача была решена с помощью ЭВМ «Урал-2»*.
Длину /3 коромысла выражали в долях длины стойки /4, принятой
за единицу, и меняли от 0,05 до 1,0 с интервалом в 0,05 (всего 20 ва­
риантов), а начальную координату Yj изменяли от 0 до 180° с интерва­
лом в 5° (всего 37 вариантов). Таким образом, общее число просчитан­
ных вариантов равнялось 740. Оптимальный вариант был выбран с
учетом следующих ограничений: длина 1Х кривошипа должна быть в
пределах 0,05<7і-<1; длина /2 шатуна в пределах 0,05< 72< 2 ; макси­
мальный угол давления а шах = 60°; отклонение от заданного закона
движения Дср< 3 0 '.
Решение поставленной задачи производили с помощью циклов**,
организованных по /3 и үг: сначала выбирали первое заданное значение
/3 = 0,05 и просчитывали все варианты при изменении ?! от 0 до 180°.
Если в каком-либо варианте одно из вышеперечисленных ограничений
оказывалось невыполненным, то машина прекращала дальнейшее
решение этого варианта и переходила к расчету следующего (при дру­
гом значении ү ^ . После расчета всех 37 вариантов при /3 = 0,05 маши­
на возвращалась к началу программы, к текущему значению /3= 0 ,0 5
прибавлялась величина 0,05 (интервал изменения длины 13) и машина
снова начинала расчет следующих 37 вариантов (для различных зна­
чений y J при фиксированном значении /3= 0 ,1 0 и т. д. На печать выво­
дили результаты решения тех вариантов, в которых среднее откло­
нение Дср от заданного закона составляло менее 30 мин. Таких вари­
антов оказалось 82. В девятнадцати вариантах ДсР составило менее
15 мин и лишь в 8 вариантах ДсР< 1 0 мин. Из этих 8 вариантов был
выбран наилучший, в котором ДсР = 6,06'. Полученные в результате
расчета оптимальные параметры проектируемого механизма оказа­
лись следующими: длина коромысла /3= 0,200; начальная координата
• Д . М. Л у к и ч е в, А. С. М а с т р ю к о в а . Синтез шарнирных четырехзвен­
ных механизмов с применением электронной вычислительной машины. Известия
вузов, «Машиностроение», 1967, № 9.
** А. Ю. Б и р к г а н, Г. П. В о с к р е с е н с к и й . Программирование для циф­
ровой вычислительной машины «Урал-2*. М., И зд-во «Советское радио», 1962.
137
Yi — 110 ; длина кривошипа Іг = 0,051742; длина шатуна /2= 0 ,951602;
максимальный угол давления а тах= 24°58' (при <р= 180°); среднее
отклонение от заданного закона движения Дср = 6 ,0 6 '.
Таким образом, применение электронно-вычислительной машины
обеспечило выбор оптимального варианта четырехзвенного механизма
с учетом всех заданных ограничений. Решение этой задачи на ЭВМ
«Урал-2» заняло приблизительно 45 мин .
Раздел третии
ГЕОМЕТРО-КИНЕМАТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ
И АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ
С ВЫСШИМИ ПАРАМИ
Основным преимуществом в ы с ш е й
кинематической
п а р ы является способность осуществлять передачу движения от
одного звена пары к другому по любому закону при самом простом кон­
структивном оформлении звеньев. К существенным недостаткам выс­
шей пары следует отнести затруднение в передаче относительно боль­
ших усилий от звена к звену из-за возможно недопустимых контактных
напряжений, возникающих в местах соприкосновения звеньев пары,
так как теоретически последние касаются по линии или в точке.
В общем случае только геометрия поверхностей, по которым осущест­
вляется взаимный контакт звеньев, входящих в высшую пару, обус­
ловливает закон передаваемого движения от одного звена к другому.
Как указывалось выше (см. § 4) механизмы, в состав которых вхо­
дят высшие кинематические пары, могут быть п р о с т ы м и
и
сложными.
Глава VI
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЫСШЕЙ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ПАРЫ
(ТЕОРИИ ЗАЦЕПЛЕНИЯ)
§ 33. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ПЕРЕДАЧИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ЗВЕНЬЯМИ
В ПРОСТОМ МЕХАНИЗМЕ
щ
Общий случай передачи вращательного движения осуществляется
в простом механизме (рис. 3.1, а) с перекрещивающимися осями звень­
ев / и 2 (§ 4, рис. 1.47). Кратчайшее расстояние 0 г0 2 между осями вра­
щения подвижных звеньев называется м е ж о с е в ы м р а с с т о я ­
н и е м А, а угол 80 между векторами угловых скоростей соі и юг
звеньев 1 и 2 — м е ж о с е в ы м
у г л о м , причем 0 ° < $ о-^180°.
Однако при рассмотрении механизмов такого рода обычно пользуются
так называемым р а с ч е т н ы м м е ж о с е в ы м у г л о м , вели­
чина которого 6 = 180°—б о*
139
На рис. 3.1, б для упрощения показаны только оси вращения / —/
и II— II звеньев 1 и 2, расположенные произвольно относительно
стойки 3 и определяемые расчетным углом б . Звенья I и 2 вращаются
с угловыми скоростями ©j и (о2 соответственно. Через ось I— I про­
ведена плоскость Qj параллельно оси I I — II, а через ось I I —II плоскость $2» параллельная оси
/ - /. Для определения движения звена 2 относительно
звена 1 используют м е т о
обращения
меха­
н и з м а , или м е т о д о б ­
ращенного
движе­
ния
(§ 5 и 24). Для этого
обоим подвижным звеньям и
стоике механизма мысленно
сообщают вращение вокруг
оси I —/ с угловой скоростью
(0i ' = —(Oj. Тогда звено 1 ста­
нет неподвижным, стойка 3
начнет вращаться с угловой
СКОРОСТЬЮ <В3' = ( 0 |', а звено
2 будет участвовать в двух
вращениях: с со2 вокруг оси
II — II и с О)/ вокруг оси
•
т
О
О
1— 1.
Если провести через линию 0 Л0 2 плоскость X так,
чтобы проекции
соІ Х и СО2х
_
векторов со/ и со2 на нее
были одинаковы по абсолютной величине и направлены
в противоположные стороны,
то плоскость Y , проходящая
через 0 і0 2 перпендикулярно
к плоскости X,
разделит
расчетный угол б на две
части
и 82. Из условия
cOgx или 0)1* = сОз* слепередаточное отношение от
о
Рис. 3.1
дует, что со! sin6i= co2 sin б
первого звена ко второму
0)
sin Ь2
I12
со.
si п о 1
Тогда
sin (Ь — Ьх)
sin &
sin Ьг
tgsT
cos 8.
Система векторов t0| и <о2, выражающая движение звена 2 относи­
тельно звена 1, может быть заменена парой вращений со1х', со^ и двумя
параллельными векторами со1{, и со2г,, расположенными в плоскости
Y. Последние можно заменить одним вектором й , по величине равным
140
2
“ ly + ®
Ш
2
ш.i
(Oj C O S O .
(o« cos 5
2
<b„ 4- 2 cuj ш„ cos 5
(3.1)
и пересекающим линию 0 j0 2 в точке О, делящей межосевое расстояние
А на отрезки га1 и га2, обратно пропорциональные угловым скоростям
О)2 у
О)
ra1
<%, и (»2у:
<22
со
tg»!
О)
.
Но
величины
(ои
и
со
оди2
з
с
tg* 1
на ковы, поэтому
Д2
(3.2)
tg&
формулы
точного отношения
Гд2 COS §2
I12
(3.3)
а \ cos
Что касается пары вращений со1зс и со^, расположенной в плоскости
X , перпендикулярной к вектору Я , то, полагая, что векторы угловых
скоростей отложены согласно правилу правого винта (вращение осу­
ществляется против движения часовой стрелки, если смотреть с кон­
ца вектора угловой скорости), можно видеть, что эта пара обусловли­
вает поступательное_перемещение звена 2 относительно звена / в на­
правлении вектора Я с линейной скоростью
vск
Учитывая, что
А (оІ Х
A to2 Х
О)
(0<
Q
s in оа
Sin 0}
s in о
Л©! sin б 1= А о , sin б 2-
будем иметь
V
ск
Ащ sin 8,
Лщ
О)
О ),
sin
а>і о>2
А
sin 8.
Q
(3.4)
Эта линейная скорость характеризует относительное перемещение
касающихся элементов звеньев высшей кинематической пары и по­
этому называется с к о р о с т ь ю с к о л ь ж е н и я .
Итак, движение звена 2 относительно звена / сводится к м г н о ­
венному
в и н т о в о м у д в и ж е н и ю , состоящему из вра­
щения с угловой скоростью Я и поступательного движения со скоростью скольжения
в направлении
Это винтовое движение
геометрически определяется положением оси мгновенного относитель­
ного движения и соотношением ег(
мым п а р а м е т р о м
винта:
141
(3.5)
При вращении звеньев вокруг своих осей / —/ и / / — II соответ­
ственно ось относительного мгновенного винтового движения (ось
V) описывает некоторую замкнутую поверхность в системе каждого
Рис. 3.2
Рис. 3.3
из звеньев. Эти линейчатые поверхности называют а к с о и д н ы м и
п о в е р х н о с т я м и . Они касаются друг друга по прямой линии —
оси мгновенного относительного движения. Поэтому движение одного
звена относительно другого может быть воспроизведено путем перека­
тывания этих поверхностей вокруг прямой, по которой они соприкаса­
ются, и одновременного скольжения их в направлении этой же прямой.
Если угловые скорости звеньев сог и со2 постоянны (t=const), то в этом
случае ось мгновенного винтового движения занимает постоянное
положение относительно осей звеньев, и аксоидами звеньев в отно­
сительном движении будут о д н о п о л о с т н ы е г и п е р б о л о ­
и д ы вращения с осями I— I и I I — II (рис. 3.2). При вращении вокруг
своих осей аксоидные гиперболоиды, касаясь по мгновенной оси V,
катятся друг по другу со скольжением вдоль этой оси.
Рассмотрим два частных случая. 1. О с и / — I и I I — I I п а р а л ­
л е л ь н ы д р у г д р у г у (бо=0° или 180°). На основании выра­
жений (3.1) и (3.5) можно заключить, что в этом случае vCK= 0 и относи­
тельное движение является не винтовым, а вращательным с угловой
скоростью й =со1±со2 вокруг оси, параллельной осям I — I, II— II,
расположенной в плоскости этих осей и делящей расстояние между
ними на части, обратно пропорциональные угловым скоростям cot и
to2. Аксоидные поверхности представляют собой цилиндры, касающиеся
друг друга внешним (при б о= 180°, рис. 3.3, а) или внутренним (при
б о=0°, рис. 3 3 , б) образом по общей образующей, параллельной осям
звеньев. В первом случае происходит в н е ш н е е з а ц е п л е н и е ,
а во втором — в н у т р е н н е е (меньший цилиндр расположен внут­
ри большого). Относительное движение воспроизводится перекатыва­
142
нием этих воображаемых аксоидных цилиндрв друг по другу без сколь­
жения что усматривается из формулы (3.4), когда при бо—
или
180° скорость скольжения t>CK= 0 . Более подробно этот случаи рас­
смотрен
^ ^ ^ уу— Уу п е р е с е к а ю т с я (Л = 0 ). Относительное
движение является вращательным (рис. 3.4).^ Причем ось относитель­
ного вращения расположена в плоскости осей звеньев, проходит через
точку О пересечения этих осей и делит расчетный угол б между ними
на части б i и б 2» синусы которых обратно пропорциональны угловым
Рис. 3.4
скоростям со, и toa. Аксоидные поверхности представляют собой два
конуса с общей вершиной в точке О. Относительное движение можно
свести к перекатыванию этих конусов друг по другу без скольжения,
причем осью относительного вращения является та общая образующая
аксоидных конусов, по которой они соприкасаются. И в этом случае
тоже можно наблюдать внешнее (см. рио. 3.4, а) и внутреннее (см.
рис. 3.4, б) зацепления.
В заключение следует отметить, что если геометрия поверхностей
соприкосновения звеньев, образующих высшую кинематическую па­
ру обеспечивает передачу заданного закона движения — то такие
поверхности (элементы звеньев) называется с о п р я ж е н н ы м и .
§ 34. ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ПЕРЕДАЧИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
ЗВЕНЬЯМИ В ПРОСТОМ МЕХАНИЗМЕ
Имеется простой механизм (рис. 3.5) с высшей кинематическои
парой из звеньев 1 к 2, которые сопряженными профилями / и / /
касаются в точке /С и вращаются вокруг своих осей, расположенных
параллельно друг другу и закрепленных в опорах О* и Оа. О б щ а я
143
н о р м а л ь п—п профилей в контактной точке Қ пересекает линию
центров M l в точке Р, носящей название п о л ю с з а ц е п л е ­
н и я , и в кинематическом отношении, как показано далее, являющейся
центром мгновенного вращения в относительном движении звеньев
высшей кинематической пары.
В плоском механизме обеспечение передачи заданного закона дви­
жения зависит от геометрии сопряженных профилей звеньев ( l u l l
на рис. 3.5). Часто на практике геометрию сопряженных профилей под­
бирают так, чтобы она осуществляла закон движения, характеризуе-
Рис. 3.5
мый постоянством передаточного отношения между звеньями 1 и 2
высшей пары, т. е. /l2=const.
Векторы Vi и о2— абсолютные скорости контактируемых точек /(,
и /С2 (образующих общую точку / 0 — равны соответственно:
Их нормальные и тангенциальные составляющие выразятся так:
у? = Of = О» = Ю,/, Ш (О2/8;
— ®1 (lPi —
);
J
V2 = Й)а (1рш-f- ІК )• I
Как видно, нормальные составляющие векторов о7 и о^ приняты
равными друг другу, это важное обстоятельство объясняется следующим
образом. Если предположить обратное, т. е. отсутствие равенства
нормальных составляющих, то должно иметь место одно из двух явлений: либо внедрение ведущего звена в ведомое (деформация профилей),
либо отставание звеньев, т. е. размыкание контакта. Однако ни одно
144
из этих предположений для сопряженных профилей недействительно.
Учитывая подобие треугольников OiPNi и O^PN^ и зависимость
(3.6), можно написать
IPi
СО
I
P£i
СО
I
Iр,
ро,
ИЛИ
{12
02р
со
о)
О?
(3.7)
Знак минус показывает, что угловые скорости звеньев 1 и 2, об­
разующих высшую кинематическую пару, имеют противоположные
направления ( в н е ш н е е
з а ц е п л е н и е двух звеньев). Оче­
видно, что при этом полюс зацепления Р находится всегда на линии
центров между точками Ot и 0 2.
На рис. 3.6 показано взаимодействие двух звеньев, образующих
высшую кинематическую пару в н у т р е н н е г о з а ц е п л е н и я .
Векторная картина скоростей имеет аналогичный смысл, что и при
внешнем зацеплении. Однако в этом случае общая нормаль п—п к
сопряженным профилям / и / / в точке касания Қ пересекает линию
центров в точке Р, находящейся не между точками Ot и 0 2, а вне от­
резка 0 і0 2, обусловливая тем самым направление вращения звеньев
1 и 2 в одну сторону. Поэтому, рассуждая так же, как и для внешнего
зацепления, можно прийти к выводу, что
I12
w
со1
со
+
0 2Р
Of
Следовательно
записано:
иде может быть
I12
<0
СО2
02р
Of
(3.8)
Рис. 3.6
145
Векторная разность скоростей vt и v2 является относительной
скоростью у12 профилей У и / / в данной точке касания Қ или, что то
же — скоростью скольжения vCK. Ее скалярная величина для внеш­
него зацепления (рис. 3.5)
v ск = *4 —v\ —
— <*>i(fpi— Iк ) — ЩІР2-Ь
+ G>iIk — Ік (® і+ ®г)»
учитывая, что <d8^p2—щ ірі , согласно выражению (3.7), для внут­
реннего зацепления (см. рис. 3.6)
vСК
V2 4- v\
Wa)
В общем виде
со»).
V СК
(3.9)
Из зависимости (3.9) следует,
что при совпадении контактной
точки К с полюсом Р, т. е. при
/* = 0 , скорость скольжения тоже
равна нулю.
Зависимость (3.9)
служит основой для решения за­
дач по определению износа взаи­
модействующих профилей. В об­
щем случае, в каждый отдельныи момент евремени
нормаль
п—п в точке касания К сопря­
женных
профилей занимает в
плоскости чертежа определенное
Положение Ц
положение, пересекая линию цен­
тров 0 j0 2 в полюсе Р. В следующий
момент времени положение норма­
Рис. 3.7
ли меняется и поэтому точка Р ока­
зывается уже в другом месте на линии центров. Сказанное иллюстри­
руется примером, где высшая кинематическая пара образуется цилин­
дрическим шипом одного звена и прямолинейной прорезью другого
звена. Как видно из рис. 3.7, полюс из положения Р переместился
в положение Р '. Таким образом, за весь полный цикл взаимодействия
звеньев / и 2 механизма точка Р описывает на линии центров 0 i 0 2
(жестко связанной со стойкой) траекторию, которая называется б ип о л о и д о й (геометрическое место точек Р). В частном случае
биполоида может выродиться в точку, если нормаль в плоскости чер­
тежа не изменит своего положения за весь цикл взаимодействия звень­
ев, фиксируя точку Р на постоянном месте. Таким свойством, напри­
мер, обладает высшая кинематическая пара, образованная двумя эвольвентными профилями. В этих условиях согласно зависимости (3.8) пере­
даточное отношение i будет постоянным (см. главу V III). В общем же
случае передаточное отношение изменяется по некоторому закону
за­
висимости от геометрии сопряженных профилей звеньев. Аналогичный
закон вращательного движения (изменения І), который обеспечивается
двумя сопряженными профилями I к II, можно осуществить с помощью
некруглых шайб переменных радиусов кривизны, если предположить,
Положение I
О
146
что между шайбами отсутствует проскальзывание. Профили эти х
некруглых шайб с переменными значениями радиусов-векторов гп1
и гп2 есть п о л о и д ы, т. е. геометрические места полюсов Р мгновен­
ного вращения в их относительном движении. Это сложное представ­
ление лучше всего объясняется на простом примере, когда движение
звеньев, образующих высшую кинематическую пару, осуществляется
по закону t'=const. Тогда аксоидами подвижных звеньев будут два
круглых цилиндра, которые в сечении с плоскостью, проведенной пер­
пендикулярно к неподвижным осям звеньев, образуют две окружности
радиусами гп1 и г—
, п2 Центры окружностей
-ш,
совпадают с центрами вращения звенье І. Эти
полоиды
(центроиды)
окружности есть
звеньев, т. е. геометрические места полюсов
мгновенного вращения в их относительном
движении. Это показано на рис. 3.8, где для
воспроизведения относительного
движения
обоих звеньев им сообщена угловая ско­
рость (—(йі). Поэтому окружность 1 ради­
усом гп1 условно остановилась, стойка 0 {0 г
стала вращаться с угловой скоростью (—со1),
а окружность 2 радиусом гп2 начала совер­
Рис. 3.8
шать качение без скольжения по неподвижнои окружности /, вращаясь с
угловой
скоростью
около мгновенной неподвижной точки
Р полюса вращения, перемещающегося последовательно по не­
подвижной окружности 1. Поэтому окружности 1 и 2 являются
геометрическими местами полюсов Р, т. е. соответственно н е п о д ­
вижной и подвижной полоидами.
Таким образом, зависимость (3.8) для описанного выше частного
случая можно записать и в такой форме
І 12
а)
±
0£ _
гп%
ЩР
П1
(3.10)
Общее выражение (3.8) известно в научно-технической литературе,
как математическая трактовка т е о р е м ы
В и л л и с а , которая
обусловливает кинематическую основу закона передачи вращательного
движения двумя звеньями с неподвижными параллельными осями,
образующими высшую кинематическую пару. Теорема читается так:
нормаль п—п к профилям высшей кинематической пары, проведенная
через тснку их касания Қ (рис. 3.5), делит расстояние между центрами
О, и 0 2 на части OtP и ОгР, обратно пропорциональные угловым ско­
ростям (Oj и а>а.
Рассмотрим рис. 3.9, а, на котором показан случай, когда i l2=
= const и обе оси звеньев О, и 0 2 размещены на стойке, или, что то же,
укреплены на неподвижном водиле (сов = 0). Тогда, как было доказано,
— = — — ; это выражение можно записать и в такой последовательгт
147
нои форме (пренебрегая пока знаком в правой части):
(О
СО
соІВ
со
сов
О
П2
со
сов
со2В
О)
СО
о
ГП1
(3.11)
На рис. 3.9, б водило вращается с угловой скоростью <ов. Центр
Оі неподвижен, а центр 0 2 звена 2 укреплен на подвижном водиле,
которое заставляет звено 2 совершать сложное (планетарное) движе­
ние, состоящее из вращения вокруг своей оси 0 2 и одновременно во-
cOgtO
Водило
Водило
Рис. 3.9
круг оси
звена / . Д л я определения отношения
Г П2
ГП\
следует при-
мысленно
как при закрепленных центрах согласно Виллису отношение
гтц
обратно пропорционально угловым скоростям звеньев. После мыс­
ленной остановки водила, т. е. сообщения всей системе угловой ско­
рости (— сов), звенья 1 и 2 имеют соответственно скорости ©і— соВ
И (Оо— СОв» поэтому
Г П2
со
сов
ГП1
со,
соВ
(3.12)
Сопоставляя выражения (3.11) и (3.12), видно, что вариант на
рис. 3.9, а есть частный случай варианта на рис. 3.9, б, если (ов= 0 .
Итак, окончательно имеем: для планетарной системы, у которой
центры полоидных окружностей совпадают с центрами вращения
звеньев,
СО
СОв
П2
со
сов
Г П1
(3.13)
§ 35. ПОСТРОЕНИЕ СОПРЯЖЕННЫХ ПРОФИЛЕЙ ВЫСШЕЙ
КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ПАРЫ ПО СП О СО БУ РЕЛО
Заданы два звена с полоидами П х— П х и Я 2—Л 2 и профиль I звена
1 (рис. 3.10). Проведем через полюс Р нормаль к профилю / и отметим
точку Қ , в которой нормаль пересекает этот профиль. Согласно такому
148
построению профиль 1 звена 1 в данный момент контактирует именно
в точке К , и, следовательно, в этом же месте также находится точка,
принадлежащая искомому профилю II звена 2. Отметим одновремен­
но, что точка К расположена на неизвестной пока л и н и и з а ­
ц е п л е н и я к—к, которая представляет собой геометрическое место
касающихся точек Қ { и К.2 профилей l u l l .
Другие точки сопряженного профиля строим следующим способом.
Возьмем на профиле I произвольную точку К\ и проведем через эту
точку нормаль к профилю I до ее пересечения с П і—/7j в точке P t'.
к
S'
Рис. 3.10
На основании теоремы Виллиса можно утверждать, что профиль I
контактирует своей точкой /Сі' в тот момент, когда точка Р / полоиды
/7j—/7, попадает на линию центров в положение Р' и представляет
собой полюс зацепления. Поэтому повернем AOjP/KY, принадлежа­
щий звену /, вокруг центра 0 4 так, чтобы его сторона ОіРі совпала
с линией центров, в результате чего получим Д O i P ' K . Положение
К' (на неподвижной плоскости) займет точка K i профиля I в тот мо­
мент, когда она станет контактной. Следовательно, точка Қ' нахо­
дится на линии зацепления. В этот момент времени в точке К на ли­
нии зацепления находится и та точка К 2 искомого профиля II, кото­
рая контактирует именно с точкой К \ профиля /.С полюсом Р' в
этот момент совместится точка Р 2' полоиды П2— Пг. Точку Р2' находим
или путем проведения дуги окружности из центра Оа радиусом 0 2Р '
до пересечения с кривой П2—/7а, или путем откладывания на Я а—/7а
дуги Р Р а' такой же длины, как и дуга Р Р / на линии Я*—П {. Повер­
нем Д 0 2Р 'К ', принадлежащий звену 2, вокруг центра Оа так, чтобы
его вершина Р ' совместилась с Р 2 , в результате чего получим
Д 0 2Р 2'
. Полученная точка Қ ./ и принадлежит искомому профилю
/ / . Данный способ построения изложен здесь применительно к общему
случаю некруглых полоид.
Как видно, имеется определенное взаимное соответствие точек на
обоих профилях и на линии зацепления, сводящееся к тому, что если
149
указать какую-либо точку на одной из этих кривых, то можно найти
соответствующие ей точки на двух других кривых (например, такими
тремя соответствующими друг другу точками являются точки К і ,
Қ 2' и К '). Аналогичное соответствие имеется между точками обеих
полоид и линии центров 0 Х0 2, являющейся биполоидой, т. е. линией
зацепления полоид (например, такими тремя соответствующими друг
другу точками являются точки / Ү , Р ш' и Р').
Как видно из построения (см. рис. 3.10), за один и тот же проме­
жуток времени контактная точка проходит К К і на профиле / и
К К г на профиле / / . Дуги эти различны по своей длине, что еще раз
наглядно демонстрирует наличие скольжения профилей.
Глава VII
КУЛАЧКОВЫЕ МЕХАНИЗМЫ
§ 36. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Кулачковые
механизмы, подобно механизмам других типов,
** _ _____
_ А
.....______________ _ _____
.
______
______________________
/_ _ _________________ V
___________
I
■
I
I
мых силовых параметров (сил, моментов). Кулачковые механизмы
обладают некоторыми важными свойствами, которых нет у рассмот­
ренных ранее рычажных механизмов. G помощью кулачкового меха­
низма легко получать прерывистое движение ведомого звена, т. е. его
движение с остановками. Причем эти остановки за каждый цикл могут
быть как однократными, так и многократными — в зависимости от
заданных условии.
Кинематическая цепь простейшего кулачкового механизма с~одной
степенью свободы состоит из двух подвижных звеньев, образующих
между собой высшую пару, и стойки, с которой каждое из этих звеньев
входит в низшую пару В § 4 изображены различные схемы кулач­
ковых механизмов и дано их описание (см. рис. 1.40— 1.44).Ведущим
звеном механизма обычно является к у л а ч о к , который в большин­
стве случаев совершает непрерывное вращательное движение. К ула­
чок обладает, как правило, сложным фасонным п р о ф и л е м , форма
которого зависит как от начальных размерных параметров взятой
схемы механизма, так и от заданного закона движения ведомого звена.
Ведомое звено, называемое т о л к а т е л е м , совершает возвратно­
прямолинейное (см. рис. 1.41) или возвратно-вращательное движение
(см. рис. 1.42) относительно стойки. На рис. 3.11, а представлена схема плоского кулачкового механиз­
ма с вращающимся кулачком /, центральным, прямолинейно-движущимся толкателем 2 и стойкой 3. При заданном направлении вращения
кулачка (походу часовой стрелки) п р я м о й п у т ь толкателя про150
исходит здесь вправо ( у д а л е н и е толкателя от центра Ог вращения
кулачка), а о б р а т н ы й — влево ( в о з в р а щ е н и е толкателя
обратно). На схеме обозначена В,-— общая точка контакта* звеньев
1 и 2 в произвольном, і -м положении механизма; sB2/ — перемещение
точки B t толкателя; Vbh — ее вектор скорости; ПіПі— нормаль к про­
филю в точке В,-; аг— угол давления толкателя (см. § 25); <р1г— теку­
щий угол поворота кулачка. На рис. 3.11, б представлен некоторый
типовой график перемещения 5в2=5в2(фі) точки В толкателя в зависи­
мости от угла фі поворота кулачка. За начало отсчета углов ф4 взята
на кулачке прямая Оха, что соответствует началу прямого пути (уда­
ления) толкателя. Здесь q>i„ = 2 я — ц и к л о в о й у г о л поворота
Рис. 3.11
кулачка. Все процессы, осуществляемые механизмом, отмечены на
графике соответствующими угловыми (фазовыми) интервалами: от­
резок а '6' изображает угол ф|П, т. е. ф а з у п р я м о г о п у т и , или
условно ф а з у
п о д ъ е м а , так как при повороте кулачка на этот
угол график SB2—SB2 (фі) на рис. 3.11, б поднимается; отрезок 6'в ' — угол
ф1вс, т. е. ф а з у д а л ь н е г о , или условно в е р х н е г о с т о я *
н и я; отрезок в г ' — угол ф1о, т. е. ф а з у о б р а т н о г о
пути,
или условно ф а з у о п у с к а н и я ; отрезок г'а.' — угол ф1нс, т. е.
фазу
б л и ж н е г о , или условно н и ж н е г о
стояния.
Из рис. 3.11 следует, что участки профиля кулачка, соответствующие
фазам стояния, должны быть выполнены дугами окружностей. Д ля
данного механизма радиусами таких окружностей являются отрезки
* Точка В і — контакт точек В\> на звене / и В ъ на звене 2.
151
Охб = О хв и 01г= 0 1а. Полное перемещение, или х о д т о л к а т е *
л я, обозначено Н. Размер Н0 представляет начальное возвышение
толкателя. Описанные процессы свойственны и любым другим кулач­
ковым механизмам. При cot=const угловые интервалы пропорцио­
нальны соответствующим интервалам времени.
Для постоянного замыкания высшей пары звеньев 1 и 2 служит
пружина 4, которая в дальнейшем не будет указываться на схемах.
При данном с и л о в о м
з а м ы к а н и и высшей пары кулачок
сообщает движение толкателю только в процессе его подъема (прямого
пути). Обратный же путь звена 2 происходит под действием пружины;
кулачок в этом случае не является ведущим звеном механизма.
Рис. 3.12
Большим преимуществом кулачковых механизмов является простота
их синтеза и малозвенность. Благодаря этим достоинствам кулачко­
вые механизмы получили большое распространение; их широко при­
меняют в самых различных машинах и приборах, где требуется авто­
матически осуществлять согласованные движения исполнительных
звеньев: в металлообрабатывающих станках, тепловых двигателях,
сварочных машинах, разнообразных счетно-решающих устройствах
и т. д. Один из основных недостатков кулачковых механизмов — боль­
шое удельное давление на соприкасающихся элементах поверхностей
высшей пары. Этот недостаток во многих случаях ограничивает приме­
нение кулачковых механизмов.
С целью уменьшения трения в высшей паре толкатель снабжают
р о л и к о м 5 (рис. 3.12). Для механизма с роликовым толкателем в
геометро-кинематический расчет вводят так называемый ц е н т р о ­
в о й (теоретический) профиль ЦЦ кулачка 1. Это дает возможность
рассматривать точку В,- толкателя, являющуюся центром ролика 5,
как некоторую геометрическую точку контакта с центровым профилем
ЦЦ кулачка без участия ролика. Из рис. 3.12, а видно, что профиль
ЦЦ представляет собой эквидистанту к к о н с т р у к т и в н о м у
(действительному) профилю К К кулачка. Конструктивный профиль
в этом случае является внутренней огибающей к семейству окружно­
стей радиусом /?р, центры В, которых перемещаются по центровому
профилю ЦЦ.
152
При силовом замыкании высшей пары кулачковый механизм на
интервале подъема (фаза удаления толкателя) кроме полезного сопротив­
ления (сила Р с2 на рис. 3.11, а) преодолевает еще силу упругости
пружины, что ведет к некоторому увеличению силовой нагрузки в ки­
нематических парах. Замыкание высшей пары можно осуществлять и
без пружины, чисто геометрическим (конструктивным) путем. Для
г е о м е т р и ч е с к о г о з а м ы к а н и я применяют в частности
пазовый
к у л а ч о к 1 (см. рис. 3.12, б), представляющий
собой двойной профиль в виде паза, внутри которого перемещается
(см. также рис. 1.43, а) ролик 5 толкателя 2. Как внутренняя, так и
наружная направляющие паза являются соответственно эквидистантами к центровому профилю ЦЦ. Пазовый кулачок выполняет роль
ведущего звена механизма не только во время подъема толкателя, когда
работает его внутренняя направляющая но и во время опускания,
когда силовое воздействие на ролик осуществляется его наружной
направляющей. К недостаткам пазового кулачка следует отнести его
более сложное изготовление, появление ударов при перемене направ­
ления движения толкателя вследствие зазора между роликом и пазом,
а также относительно большие размеры. Другой вид геометрического
замыкания показан на рис. 1.43, б.
§ 37. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ, КИНЕМАТИЧЕСКИЕ И СИЛОВЫЕ ПАРАМЕТРЫ
КУЛАЧКОВЫХ МЕХАНИЗМОВ
Параметры механизмов с прямолинейно движущимся толкателем.
Различные расчетные параметры, используемые при решении задач
синтеза и анализа, показаны на рис. 3.13, где изображена одна из схем
распространенных плоских кулачковых механизмов с внеосным (внецентральным), т. е. смещенным относительно оси Oj, п р я м о л и ­
н е й н о п е р е м е щ а ю щ и м с я роликовым толкателем 2. Цен­
тровой профиль ЦЦ кулачка 1 выполнен здесь сплошной линией (для
заостренного толкателя профиль ЦЦ является одновременно и конс­
труктивным профилем). В н е о с н о с т ь е (эксцентриситет) имеет
в данной схеме механизма постоянную величину и ее можно распола­
гать как влево от центра Oj (рис. 3.13, а), так и вправо (рис. 3.13, б).
На схеме проведена окружность радиусом е, с помощью которой удоб­
но строить при синтезе и анализе механизмов различные положения
механизма (различные положения толкателя по отношению к профилю
кулачка). Механизм на рис. 3.13 показан в произвольном положении
при подъеме толкателя. Положение точки В t контакта на профиле
кулачка определяют две полярные координаты: б г— угол центрового
профиля кулачка, или п о л я р н ы й
профильный
угол,
и Г{— р а д и у с - в е к т о р этого профиля. В общем случае кулачок
имеет фасонный профиль не по всему контуру, а лишь на той его части,
которая стягивается полярным углом б р— р а б о ч и м п р о ф и л ь ­
н ы м у г л о м, т. е. полярным углом, охватывающим ту часть цен­
трового профиля (см. рис. 3.13, б), в которую входят участки с пере153
менным rt, а также участки, предназначенные для верхнего стояния
толкателя. Остальная часть рофиля кулачка с полярным углом
(360
б р) представляет собой окружность радиусом г0 — н а ч а л ь ­
н о г о р а д и у с а центрового профиля. Радиус г0 является наименьшим радиусом-вектором профил
профил
кулачка предусматривает нижнее
толкателя
кулачка с угловой скоростью toj, направленной по ходу стрелки часов,
подъем толкателя начнется в момент его касания с точкой В0 профиля.
На рис. 3.13 штрихами показано начальное положение толкателя по
отношению к профилю кулачка, т. е. начальное положение механизма.
В этом случае ось уу толкателя проходит через точку В0 и одновремен­
но касается окружности радиусом е. Из рисунка видно, что любое от­
носительное расположение толкателя можно получить примененным
здесь с п о с о б о м
о б р а щ е н н о г о д в и ж е н и я . Этот из­
вестный способ (см. § 24 и § 33 и 34) заключается в том, что всему ме­
ханизму условно сообщают вращательное движение вокруг 0 1 с угловой скоростью — 0)1 Тогда кулачок станет неподвижным, а стойка 3
(вместе с осью толкателя) приобретет вращение с угловой скоростью
(Oj
Из рассмотрения рис. 3.13 следует, что для получения i -го поло­
жения механизма кулачок должен повернуться (в обращенном движефазовый
0. bВ начальном положении радиус-вектор профиля
нию, где Фі=и.
кулачка гг=г0 (на схеме отрезок Otfl0) и профильный уголб i 0. Фазо­
вый угол фіі, как угол поворота кулачка, можно геометрически фикси­
ровать на схеме различным образом. На рис. 3.13 угол фц указан как
угол между положениями оси уу толкателя и как угол между ради­
альными прямыми кулачка OtB0 и О ,50гЗдесь следует обратить внимание на неравенство углов ф1г и б f,
т. е. фазовый угол ф1г кулачка не равен соответствующему профильному
¥=б
казать, что они равны лишь для механизма с е—0. Эти углы в общем
случае (т. е. при е^О) равны только в начале фазы подъема (ф14=
= б г= 0 ) и в конце фазы опускания (ф1р= б Е). На рис. 3.13, а имеет
место неравенство б і<Ф и, а на рис. 3.13, о — наоборот б,->фи- Из
схемы следует, что геометрически положение точки B t на правиле
кулачка может быть выражено не только посредством полярных коорграфи
SB2(<Pl)
графика перемещения (см. рис. 3.11) точки В2 ті
деть, что за время поворота кулачка на угол ф14
В оОіВ оі точка Вгі
толкателя поошла п у т ь s d **. п п е л п т я п л р н н к ш п т
Из сравнения двух схем а и б рис. 3.13 видно, что один и тот же по
размеру и по форме кулачок сообщает разные по величине перемеще­
ния толкателю за одинаковый угол ф1г поворота кулачка. Следователь­
но, в зависимости от расположения е (от знака е) получаются разные
законы движения ведомого звена механизма. На рис. 3.14 даны гра­
фики 5 £ 2— 5 д а( ф і) Дл я вариантов а и б схем механизма, изображенного
на рис. 3.13, в пределах рабочей фазы фір (на этих графиках, в част­
ности, отсутствует фаза верхнего стояния).
154
На этом же рисунке выполнены и соответствующие кривые изме­
нения первой производной sт --------- по углу ф4. Из § 9 известно,
dy1
что sL — а н а л о г
с к о р о с т и (в данном случае т о ч к и В ,
толкателя)
dSB2
________
~
и
d
~ Z ----
t
’
U <Pj
Си
Ш
-
его
________
V
B
связь
2
-------------ИЛИ
О) I
'■
со
скоростью
'
уяг
следующая;
^
Ob2==®iSB2 . Отсюда
*
ЯСНО, ЧТО
при
sт
d )i= C O n st
график Sb2—Sb2 (фі) можно одновременно рассматривать и как график
изменения скорости 0в2= ув 2(Фі) ( н о п о о с и ординат они 9имеют
разные
9
по величине и по размерности масштабы). Кривая Sm. =$в 2(фі) на
рис. 3.14 может быть получена как путем графического дифферен-
Рис. 3.13
цирования по q>i кривой Sb2=Sb 2(<Pi)> так и с помощью планов ско­
ростей (или планов аналогов скоростей). В связи с последним на
рис. 3.13, в построена векторная кинематическая зависимость (план
скоростей) для двух точек В Х и В2 высшей пары:
йВг тФд 1 + °в 2-ві>
14>
где VB2— скорость точки Вг1 толкателя; v b i—^іГі— скорость точки
В ц, принадлежащей центровому профилю кулачка; vb2—bi — отно­
сительная скорость; вектор і»ва направлен вдоль направляющей.
VB\A_OiBi и vb2- b i || тт (тт — касательная к профилю кулачка в точке
В і контакта).
На рис. 3.13, а построен повернутый на 90° план скоростей в виде
Д ОіВ і (Ь2) с масштабом скоростей
= — мм!м-сект1 (см. § 15).
“I
Одновременно Д OiBi(b2) является планом аналогов скоростей, выпол­
ненным в масштабе ц ^ = ц , мм/м, т. е. в масштабе чертежа механизма,
так как
s
_ d (ri ~ го) = dri —
=
Bi
d<pi
vbi
dq>l
J
В2
__ ^ s B2i ___
°вг
d<p1
0 )A
_ ° ів і
o>i
м
(л/
__ Ox (e 2)
u
(JLj
И
. '
'
i
_____
П О
m
D f
~
B
i
r
B2-BI
_____
“ “
VB 2 - B X
<0,
_____
"
&l
"
u
( gg )
HL,
I
J w w m
Точка (62) плана совпадает для данной схемы механизма о точкой
Р — полюсом
з а ц е п л е н и я высшей пары. Полюс Р как
известно из § 34. расположен на пересечении нормали ПіПі, проведен­
ной через точку B t контакта., с линией центров. Звено 2 в данном слу­
чае совершает не вращательное, а прямолинейное движение и поэтому
его центр вращения 0 2 лежит в бесконечности. Линия центров прохо­
дит через точку Oi в направлении, перпендикулярном к вектору vm.
Параметры механизмов с коромысловым толкателем. Механизм
с кулачком 1, вращающимся по ходу стрелки часов, и к о р о м ы с ­
л о в ы м роликовым толкателем 2 изображен на рис. 3.15. Он пред­
ставляет собой другой тип механизма, также широко распространен­
ного на практике. Толкатель 2 совершает возвратно-вращательное
движение вокруг центра 0 гі и поэтому его точка Вгі перемещается по
щч
vЩ
о в
дуге окружности радиусом 12 = —
Началом подъема точки Вл
N
толкателя по-прежнему является точка В0. Максимальное перемещение
s2max точки В2, являющееся полным дуговым перемещением, можно
выразить через наибольшее значение угла <ра> т. е. через п о л н о е
угловое
п е р е м е щ е н и е , или у г л о в о й х о д 0 коро­
мысла, S2max= Н = /2(3. Затем коромысло 2 возвращается обратно, так
как будет работать левая часть профиля кулачка 1 с уменьшающимися
156
ri от г |= г тах до Г|=Г0 (форма профиля кулачка на рис. 3.15 не преду­
сматривает в частности верхнего стояния коромысла 2). В некотором
произвольном положении механизма точка B2i коромысла имеет соот­
ветствующее дуговое перемещение $в2ь как это отмечено на рисунке.
Пунктиром указано начальное положение толкателя 0 2оВ0 в обращен­
ном движении. У г о л
начального
в о з в ы ш е н и я тол­
кателя 2 над линией центров 0 \ 0 2 обозначен р0* Угол (Зо находится в
неизменяемом Д В0ОіО20 и повторно указан в аналогичном ^ В 0іОіО2и
одноименные стороны ОхО20 и OftOSf этих треугольников фиксируют
угол фи поворота кулачка (фазовый угол) в обращенном движении
контакта
механизма за время
точки В 2 толкателя с контуром
it
В оВ і части центрового профиля
кулачка от В і0 до В ц .
C
N
i
Г
*
*
/ 00І .
1
'
■
'
Схемы на рис. 3.15, а и рис.
о г
-i-л 1 а-1
%
3 .1 5 ,6 отличаются друг от друга
*:г Н
I1
ftp
лишь расположением центра 0 2
вращения толкателя по отношению
к центру Оі вращения кулачка 1.
Можно показать, что благодаря
только этому обстоятельству ме­
ханизмы имеют разные цикловые
кинематические
характеристики
для ведомого звена 2 при одной
и той же геометрии кулачка /.
Внеосность et для механизма с
коромысловым толкателем имеет
непрерывно изменяющуюся велиРис. 3.14
собой
чину. Она представляет
длину перпендикуляра, опущенно­
го из точки Oj на прямую линию, являющуюся продолжением век­
тора скорости VB2i точки В2і толкателя.
Угол давления ведомого звена механизма. Из § 25 известно, что
одним из важнейших расчетных параметров механизма является у г о л
д а в л е н и я а ведомого звена. В любом рабочем положении меха­
низма угол а не должен превышать своего максимально допустимого
значения (т. е. <Zi<;aMn) во избежание больших потерь на трение и
даже заклинивания толкателя. Д ля каждой конкретной схемы кулач­
кового механизма Озакл, т. е. угол, при котором толкатель заклинит­
ся. может быть приближенно установлен расчетным способом после
анализа плана сил, приложенных к толкателю, с учетом трения в ки­
нематических парах. На рис. 3.16, б для простой схемы механизма*
с заостренным прямолинейно движущимся толкателем 2 (рис. 3.16, а)
построен такой план сил. Если при построении плана с целью упро­
щения задачи пренебречь силой тяжести толкателя и принять его
движение равномерным, то можно записать следующее векторное
уравнение
'С и л о в о й анализ кулачковых механизмов подробно изложен в главе XII
157
^сг4- Q l2+ Фз2= О,
где Рс2— сумма сил полезного сопротивления и пружины; Ql2— сила
воздействия кулачка 1 на толкатель 2 с учетом трения скольжения
в этой высшей паре; ц>32— сумма левой и правой составляющих Силы
в низшей паре, т. е. усилий фз2 и Q"2 со стороны направляющих
стойки 3 на толкатель 2, также отклоненных на свой угол трения
и
и
Ф т32‘
Из рис. 3.16, б получается зависимость между модулями сил
и Р са:
Р с2cos фт32= Ql2 cos(a + Фті2+ Фтзг)
Рис. 3.15
или
Qxa ___________ cos фт за_______
Р с8
COS (<z +
срт la +
(3.15)
<рт »s)
Отсюда формально следует, что при а Н- фті2+ Фт32= 90° сила Qla
может сообщить движение звену 2 при условии Рс2= 0 (так как cos <ртз2=^
фО). Это условие не является реальным, потому что механизм имеет
замыкающую пружину, а также существует трение в низшеи паре
(толкатель — стойка), вызванное силой тяжести толкателя 2, которая
не учтена формулой (3.15). Поэтому толкатель даже при отсутствии
силы полезного сопротивления (что в большинстве случаев вряд ли
имеет место) не получит движения при любом значении Ql2, т. е. он
заклинится. Формула (3.15), кроме того, показывает, что при
а + ФТ12+ Фт32= 90° для любого значения Рс2ф 0 сила Qt2= «>, так
Р С2
Рис. 3.16
не получит движения, заклинится (из-за нереальности получения
Q12= co).
У гол давления,
найденный из соотношения
а=
=90° — (фт12 —I—Фтзг)= Озакл» называют углом заклинивания.
При назначении величины адоп требование адоп < а закл имеет
широкий диапазон числовых значений. В связи с этим существуют
различные частные рекомендации по выбору а ДОп в пределах этого диа­
пазона*. Далее приведены некоторые общие приближенные практичес­
кие данные. Можно лишь отметить, что при выборе адоп в каждом слу­
чае надо обращать внимание на значение силы Ql2, которая резко воз­
растает по сравнению с Рс2 при больших значениях угла а (это
следует и из формулы (3.15)]. А в силовых передачах (меха­
низмах) большие значения силы Ql2 влекут за собой интенсивный износ
*
Л. Н. Р е ш е т о в. Кулачковые механизмы.
Г. А. Ш а у м я н . Автоматы, М., Машгиз, 1955.
М., Машгиз,
1953
и
элементов звеньев (рабочих профилей) высшей пары. Можно показать,
что с увеличением а уменьшается коэффициент полезного действия ме­
ханизма, так как растут потери на трение.
Влияние угла а на работу кулачкового механизма можно нагляд­
но показать и посредством двух составляющих силы Qi2= Q i 2 + Q 12*
(см. рис. 3.16), из которых только первая Qi2, = Qi2 cos (а + Ф ті2) яв­
ляется полезной; вторая же составляющая Qi2”=Q m sin (а + фхі2)
вызывает лишь трение в направляющих стойки 3 и деформацию (из­
гиб) толкателя. Из формул для р щ и Qi2* видно, что чем больше угол
а, тем меньшее значение получит сила Q l2' , которая сообщает толкате­
лю движение, и наоборот — увеличится сила Qi2”, а следовательно, и
пропорциональная ей сила трения F32= f 32Q32 в низшей паре, препят­
ствующая движению толкателя. Из рассмотрения рис. 3.16, а ясно,
что для предотвращения заклинивания необходимо, чтобы
Р с2~І“ Ғ 32Формула для определения угла давления a і в механизмах с прямо­
линейно движущимся толкателем получается из прямоугольного треу­
гольника B iC 0i(ej) на рис. 3.13, а, из которого следует, что
2 т .—е
tg а,- = SB2i
*В2/
О
SB2, + V *о—е*
так как Н0= у г02—е а. Учитывая, что
tg
го2— е2= у г г42—е 2, имеем
=
(3.17)
V
Д ля сравнения
получается
6 = ------- (3.16)
rj— e2
из аналогичного треугольника на рис. 3. 13, 6
tg а, = —~ ~ ~ ~ — '
V У5
(ЗЛ8)
е*
т. е. формулу (3.17) от формулы (3.18) отличает только знак е в чис­
лителе. Если рассматривать этот числитель как алгебраическую раз­
ность, то на рис. 3.13, а внеосность е имеет знак «плюс», а на
рис. 3.13, б — «минус».
В связи с установлением знака е можно такж е отметить, что при
подъеме толкателя угол между сторонами s' mi и rt Д («2)0 іВ г, пред­
ставляющего повернутый на 90° план аналогов скоростей, на
рис. 3.13, а является острым, а на рис. 3.13, б — тупым. Этот факт
можно принять за признак знака «плюс» для е в первом случае и зна­
ка «минус» во втором. Учитывая два возможных знака внеосности
е, равенство (3.16) следует записать в общем виде
■У*., т е
tg а г = --------0)1
5 ь ., + К
160
.
(3.19)
В механизмах с коромысловым толкателем (см. рис. 3.15, а, б)
соблюдается прежнее правило знаков для внеосности e t . Повернутые
планы скоростей (и одновременно планы аналогов скоростей) постро­
ены здесь в соответствии с уравнением (3.14). Причем в этих планах
(Л B iO fr) точка в2 не совпадает с полюсом зацепления Р.
Текущее значение угла давления а* в механизмах с коромыслом 2
выражается теми ж е равенствами, а именно: для схемы на рис. 3.15, а
формулой (3.17) и на рис. 3.15, б — формулой (3.18). Эти формулы
непосредственно получаются из прямоугольных
треугольников
В іС 0ів2 на указанных схемах. Однако для данных механизмов целе­
сообразно преобразовать эти формулы, исключив из них переменную
величину e t . Значение внеосности e t можно выразить через /2 и А при
рассмотрении четырехугольного контура 0іС 0іЛ і0 2і на рис. 3.15,
т. е.
et = Һ — A cos (р0 + (pw),
а знаменатель у г? — е* представить в виде
V
—
= A s п (р0 + ф2<).
где ф2і— текущее значение угла поворота коромысла 2.
Аналог линейной скорости
точки В 2І толкателя может быть
заменен для данного типа механизма аналогом угловой скорости
' _ i ftP.gL толкателя, а именно: s ' = d!*B21 = 1)321 = L d(?2i =
9
_____
B2i
^Фі
d<f\
<*>|
d(f 1
= /2со^ . Тогда формула для определения угла щ примет вид:
І2 ~ Г
“Ғ 1^2--- A COS (Р0 + ф2і)1
tg «і ------- - - Aл sin
I (Ро
yn +I фаi)>---------- .
(3.20)
где знак «минус» перед квадратной скобкой берется для рис. 3.15, а
и «плюс» — рис. 3.15, б.
Рассмотренные сведения об угле давления а свидетельствуют о
том, что этот расчетный параметр в процессе работы механизма изме­
няется. На рис. 3.17 выполнены кривые а = а(фі), которые дают на­
глядное представление о цикловом изменении углов давления а по
знаку и по величине (применительно для схем механизмов, изображен­
ных на рис. 3.13, а, б).
В заключение характеристики особенностей механизма с коромыс­
ловым толкателем следует обратить внимание на положение полюса Р
зацепления. В схеме на рис. 3.15, а точка Р расположена на линии
центров вне отрезка 0іО 2. Здесь подъем коромысла 2 осуществляется
при условии вращения звеньев I и 2 в одном и том ж е направлении.
Такое зацепление звеньев высшей пары, как известно, называется
в н у т р е н н и м (см. § 34). На рис. 3.15, б подъем выполняется
при в н е ш н е м зацеплении, так как в данном случае cot и <в2 имеют
6—448
ібг
разные знаки; в связи с этим полюс Р расположен между центрами
Оі и 0 %.
. v, •
Если же рассмотреть процесс опускания толкателя (рис. 3.18),
то, наоборот, для механизма на рис. 3.18, а осуществляется схема
внешнего зацепления (©! и со2 направлены в разные стороны и полюс Р
располагается внутри отрезка OiO^j, а на рис. 3.18, б — схема внутрен­
него зацепления, когда полюс Р вышел за пределы отрезка 0 ,0 2.
Таким образом, в кулачковом механизме за рабочий цикл периодически
осуществляется то внешнее, то внутреннее зацепление.
Рис. 3.17
Рис. 3.18
§ 38. СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСНОВНЫХ РАЗМЕРОВ КУЛАЧКОВЫХ
МЕХАНИЗМОВ С ЗАОСТРЕННЫМ И РОЛИКОВЫМ ТОЛКАТЕЛЯМИ
Общие положения. Основными размерами кулачкового механизма
являются: г„— начальный радиус центрового профиля кулачка;
е — внеосность; /2— длина коромысла; А — межцентровое расстояние;
0о— начальный угол возвышения коромысла; R p— радиус ролика.
При решении различных частных задач синтеза одни из этих размеров
задают, а другие — определяют из расчета. Однако следует иметь в
виду, что заданным для ведомого звена кинематическим условиям
(может быть задан закон движения этого звена в виде конкретного гра­
фика или отдельных кинематических параметров Н, ив2шах и прочих
этого закона) могут одновременно удовлетворять различные кулачко­
вые механизмы в пределах каждой типовой схемы, которую выбирают
в самом начале проектирования. При этом спроектированные механиз162
мы могут отличаться друг от друга как своими основными размерами,
так и формой профиля кулачка. Иными словами, задача синтеза имеет
много вариантов решения. Содержание любой задачи по геометричес­
кому синтезу кулачкового механизма (принципиальная схема которого
выбрана и кинематическая характеристика ведомого звена задана)
состоит из двух частей:
1) определение основных размеров, отвечающих условиям надеж­
ности работы механизма, в частности, обеспечение механизма от за­
клинивания, а также удов­
летворяющих
условию
нужных габаритов, исходя
из требований эксплуата­
ции;
2) определение геомет­
рической формы профиля
кулачка, которая должна
соответствовать
главным
параметрам заданного за­
кона движения, воспрои­
зводимого толкателем.
После
осуществления
этих двух пунктов требу­
ется произвести проверку
I
5
В
7
В
ш
*
главных поставленных ус­
и
ш
ш
ловий (так как в процессе
проектирования по разным
Рис.
3.19
причинам могли быть допу­
щены некоторые откло­
нения от исходных данных) путем всестороннего анализа спроектиро­
ванного механизма. Например, проверить величину полного переме­
щения толкателя, наибольшее фактическое значение углов давления,
соотношение между угловыми интервалами подъема и опускания, мак­
симальную величину скорости толкателя и т. д.
Из предыдущего известно, что для надежной работы механизма
необходимо выполнить условие а шах-^азакл. в любом положении ме­
ханизма. Точное числовое значение а до„ (вернее азакл.) зависит от
величины углов трения в кинематических парах каждой конкретной
схемы механизма и условий работы механизма*. В расчетной практике
имеется упрощенная, приближенная рекомендация** по выбору
®лоп'
механизма о прямолинейно движущимся
толкателем
tt40nQ ~30° и для механизма о коромысловым
толкателем
=45°
j vj г •
• •т
Д
О
П
зависимость а* от основных размеров механизма и заданных кине­
матических параметров прямолинейно движущегося ведомого звена
2 выражена формулой (3.19), которая показывает, что при заданной
.
^
Левитский.
Кулачковые механизмы. М., «Машинострое­
ние», 1964.
** Р. Р Б а р а н о в . Қуро теории механизмов и машин Йзд 4-е М
«Машиностроение», 1967, § 46, стр. 174.
163
закономерности движения толкателя угол a t зависит от величины на­
чального радиуса г0 кулачка: при уменьшении г0 угол а* возрастает.
Выполняя условие компактности механизма, следует очевидно задать
а шах= сід0П и на основе формулы (3.19) найти соответствующее значение romin— минимальное значение начального радиуса кулачка.
Графические методы определения основных размеров механизма с
прямолинейно движущимся толкателем. Рассмотрим графический спо­
соб определения romin. Пусть задан график sm = sB2(<Pi) для механизма
с прямолинейно движущимся толкателем (рис. 3.19, а). Известны
полный ход Н толкателя, <р1р, соотношение
, адоп. Изменение
Фю
S B 2=
VB2
происходит в данном случае по прямым линиям, причем
максимальные значения s^max на участках подъема и опускания тол­
кателя расположены несимметрично (масштаб
подлежит определе­
нию). Путем графического интегрирования (см. § 22) строят соответ­
ствующую кривую s32= s fi2((p1), т. е. кривую перемещений точки В2
толкателя sB2= \ sт d(pi =
необходимую для выполнения поJ
и*/
ставленной задачи*. Отрезок ysl% пропорциональный перемещению
&В2І , графически определяют для каждого углового (фазового) интер­
вала ф1/э а масштаб интегральной кривой в мм/м:
(3.21)
«И
I
Измерив на полученной (рис. 3.19, б) интегральной кривой Sb2=$b 2(<Pi)
отрезок ys max мм, вычисляют значение масштаба ц, = Л?..тч
,
н
м
а из формулы (3.21) находят масштаб
аналога скорости.
В связи с поставленной задачей необходимо обратить внимание на
некоторую особенность расположения точки Oi в кулачковом механиз­
ме. а именно: если от точки Bt отложить s- = °вы в перпенди.
_______
(
“
» 1
кулярном к Vbu направлении, выразив, например, Sbh в виде отрезка
(см. рис. 3.20 и рис. 3.18, где во всех случаях отрезок B i D ^
0 ib 2, т. е. он выражает в соответствующем масштабе ц* значение
П2/
------= «яг/ и параллелен ему) и из точки Di этого отрезка провести
луч Пі nt , параллельный я гя і( то луч nt 'rit пройдет через центр вра­
щения 0 1 кулачка. Это используется при определении гошіп, когда на
расчетной схеме отсутствует точка Ot. Решение этой задачи требует
проведения лучей я / я / из точек D t в разных положениях ведомого
звена. На каждом из лучей я / я / можно указанным ниже образом
выбирать положение центра Oj Любой луч я / я / является геометри­
ческим местом точек CV Из схем механизмов на рис. 3.20 и рис. 3.18
* Иногда задан график v m — v e2(t) и тогца
164
= Г р ^ dt.
можно установить, что отрезки BtDi отложены от точки Bt (на прямой,
перпендикулярной к Vmi) в строго определенном направлении, кото­
рое может быть найдено так: конец вектора vbii, повернутого вокруг
точки Bt на 90° по вращению а>ь укажет направление расположения
точки D t. Причем под 0 s2 здесь подразумевается скорость точки В2І
толкателя, полученная в результате воздействия кулачка (а не замы­
кающей пружины).
Ц
Рис. 3.20
Графическое определение romin для механизмов о прямолинейно
движущимся толкателем выполнено на рис. 3.21 В первую очередь
здесь построена кривая Sb,/=S 3 2'(Sb2) ° началом координат в точке ВЛ
за рабочий цикл. Координаты кривой Se?' = s a/ (s^) при этом берут из
графиков 5в2= 5в2(фі) и s # / = Здг^фі), пример построения которых при­
веден на рис 3 19 Для удобства расчета на обоих графиках могут
быть взяты равные масштабы ц* = [^ по осям ординат. Тогда отрезок
интегрирования k„ должен быть выоран так. чтобы обеспечить числен­
ное равенство £„=цх мм, как это непосредственно вытекает из форму­
лы (3.21) Кривая
—s&)'{Sri) дает изменение аналога скорости
°В2
------- SB2 точки /12 толкателя
в процессе его перемещения.
Та
часть кривой S/n' =Sb 2'(SB2), которая соответствует подъему толкателя,
когда кулачок явл яется в е д у щ и м звеном, расположилась в рас­
сматриваемом примере вправо от оси sm . Ойа проведена сплошной
линией, соединяющей точки D0, D \ ........ D h .... D*. Другая (левая)
іб і
часть этой же кривой — D4, D lt D s показана штрихами; она относится
к опусканию толкателя. Эта часть кривой должна обязательно учиты­
ваться в том случае, когда проектируемый механизм имеет геометри­
ческое замыкание, при котором кулачок является в е д у щ и м звеном
*
Рис. 3.21
также и во время опускания толкателя. Однако и при силовом за­
мыкании нужно учесть эту часть кривой, если необходимо предусмот­
реть отсутствие заклинивания также в том случае, когда подъем тол­
кателя осуществляется при вращении кулачка в противоположном
направлении. При этом кулачок будет по-прежнему в е д у щ и м
звеном. Обратное направление вращения кулачка может иметь место,
например, в процессе монтажа механизма в машине и при ремонтных
работах.
Центр вращения
кулачка на рис. 3.21 найден на пересечении
лучей /1а'л а' и п7'пт, проведенных под заданным углом давления а ДОп
через наиболее выступающие точки £>а и D 1.
Эти лучи являются г р а н и ч н ы м и по отношению к кривой
Sb2' —Sb2'(sm)• В положениях 2 и 7 механизма, в которых скорость
точки В2 толкателя максимальна, получаются наибольшие при выбран­
ном расположении точки 0 { значения углов давления в механизме:
» 2= адоп = ( а та*)п и a 7=^on=(a,„ax)o- Во всех других положениях
проектируемого механизма углы давления будут меньше адоп• Это
166
проверяется путем соединения любой точки D t с точкой Ot. Прямая
D tOt составляет с направлением скорости ивц, проведенным че­
рез эту же точку £>,, угол давления о*, который, как видно из
рисунка, меньше адоп- Соединив выбранный центр 0 t с точкой
В 0— начальным положением точки
В2 толкателя, — находят
значение OiB0
Из рис. 3.21 видно, что ось прямолинейно движущегося толка­
теля 2 не прошла через точку Ot.
Следовательно, выбрав
о '0 m in
получили внеосный механизм,
механизм. п
На
а
s
82
рис. 3.21 штрихпунктиром указан
осао*
1ЛЯ наглядности контур центророфил [ кулачка, построен­
ный соответствующим образом для
о
М
П
ш
данного случая (см. § 39). Этот
Вмп
контур на рис. 3.21 контактирует
'ко
с точкой В 21 толкателя.
’кп
Вп
Одновременно с рассмотренНЫМ с п о с о б о м
OI
определения г0т|п
выявлена вся зона возможных
расположений центра вращения
Ot кулачка. Эта зона на рис. 3.21
Іі
заштрихована и ее границами явля­
ются лучи п2' и /г7\ Указанная
зона дает возможность широкого
выбора размеров н а ч а л ь н о г о
р а д и у с а г0 кулачка Выбирая
положение точки О. в заштрихоРис. 3.22
ванной зоне, получают различные
значения г ^ г 0тКп. При этом все
фактические углы давления в механизме отвечают условию ам ц кт^
■^®ДОП' Из d h c . 3.21 видно, что для заданных условии можно спроектировать кулачковый механизм и с е =0, выбрав центр вращения
кулачка в точке О /. Но в этом случае размеры кулачка увеличатся,
так г__как
г0т|П
Oi'B0.
___
___ fi-fl_________________________
М
В исходных данных на проектирование иногда задают конкретное
значение /■„* для начального радиуса кулачка, зависящее от конструк­
тивных особенностей механизма, например, задан диаметр вала, на
который посажен кулачок. На расчетной схеме рис. 3.21 из точки В0
проведена дуга окружности радиусом г0*, которая пересекает заштри­
хованную зону. В пределах этой зоны выбирают на данной дуге поло­
жение точки О,*, если не поставлено каких-либо дополнительных
условий.
Из рассмотренногои дясно,
способ определения
и р что графичес
romin (который является базой для выбора Щ р | romin), попутно решает
задачу и получения величины внеосности е. Например, при выборе
го—^omin, что целесообразно с точки зрения компактности, требуется
в [анном примере проектировать внеосный механизм с найденной из
расчетной схемы (см. рис. 3.21) внеосностью е.
—
І Й
Ш
Ь
л
і і
П
"
Ш
1
Я
93
167
Следует также иметь в виду, что, выполняя подобную задачу опре­
деления Лошіп, получают такую форму кривой Sb 2 = s b i {s& i), когда
граничные, т. е. касательные, к этой кривой лучи OiDKn и 0 {D KO в
общем случае не совпадут с положениями точек ВмП и Вмо механизма,
в которых точка В2 толкателя имеет максимальные значения скорости
(рис. 3.22). Однако, как правило, точки
и О / располагаются близко
друг от друга и поэтому при расчете можно приближенно принимать
точку Oj за центр вращения кулачка, учитывая, что значение угла
а доп устанавливается с запасом. Такое приближенное решение незна­
Рис. 3.23
чительно повлияет на величину внеосности е. Тогда отпадает необходимость строить кривую Sb2 = sm(SB2) при графическом определении
r9m1n. Достаточно лишь на расчетной схеме нанести значения sUI1
и sM0 из точек Вмп и Ви0, полученных после отложения от точки В0
на оси SB2 соответствующих перемещений точки В2. На пересечении
лучей, выходящих из точек D Mn и D M0, находят положение центра Oi
вращения, приняв
* г0' т}пГрафическое определение основных размеров механизма с коромысловым толкателем. Графический способ определения основных разме­
ров кулачкового механизма с коромысловым толкателем является ана­
логичным. Проведем решение такой задачи, используя в качестве ис­
ходных данных кинематические графики 5в2=5а2(Фі) и Sb 2 = Sb 2 (фі)
(например, выполненные на рис. 3.19) и считая заданными длину коро­
9
168
9
мысла
/2 = —
и адоп (рис. 3.23). Одна координата какой-либо точки
w
D t на графике sB2 = ss2(ss2). показанном сплошной линией, является
^
DD
f
Vjy
Bm
Dдугой s B2l = —2— = Ігу и окружности, а вторая s'm/ = —^ = —ЧҺ—
(*/
“і
i*s
радиальным отрезком, направленным от точки B t либо к центру Ог,
либо противоположно ему, согласно отмеченному в предыдущем под­
параграфе правилу. Масштабы ц, и
равны между собой. Причем
дуга B oB i=ysl, т. е. равна ординате кривой Sb2=Sb 2(<Pi)Из рис. 3.23 ясно, что если выбрать н а ч а л ь н ы й р а д и у с
OR
!
г о = r0 min = 1 ° - . то соединением точки 0 4 с точкой 0 2 получится соп
ответствующее м е ж ц е н т р о в о е
р а с с т о я н и е А. Причем
проведение прямой 0 t0 2 определяет одновременно значение угла
Ро— н а ч а л ь н о г о
угла
в о з в ы ш е н и я коромысла над
линией 0 Х0 2. Точка 0 t на рис. 3.23 найдена аналогично тому, как это
было подробно рассмотрено на рис. 3.21. Следовательно, задав для
толкателя кинематическую диаграмму, направление вращения to,
и длину /2, графически получают основные размеры механизма данного
типа: romin, А и 0О. Совершенно очевидно, что полное угловое перемещение 6 коромысла 2 зависит от величины /2, так как Р=-т- рад, где
щ
Н — полное дуговое перемещение точки Вг толкателя, изображаемое
в масштабе максимальной ординатой ysmax на графике Sb2 =Sb 2 (<Pi).
Выбор /■o=r0* > r 0min по разным соображениям, рассмотренным
ранее (см. рис. 3.21), влечет за собой изменение межцентрового рас­
стояния, обозначенного А* на рис. 3.23, и соответствующее изменение
угла 0о на fl0* •
Можно отметить тот случай механизма с силовым замыканием,
когда для кулачка полностью исключена возможность вращения в
обратном направлении. Тогда искомые параметры r0min и А умень­
шаются. На рис. 3.23 найдено для указанного случая расположение
центра вращения О / кулачка при r0' = r \ min —Ot
Здесь потре­
бовалась только одна часть кривой
соответствующая
подъему толкателя. При этом зона возможных расположений точек
Щ (для Го^Го'щщ) приблизилась к кривой sB> =Sb 2 (йвг)- Эта зона вы­
явлена здесь в виде Д / О / / / / в отличие от Д /О*//, являющегося зо­
ной выбора г0 при использовании обеих частей кривой &вг
(^вг) ■
Из рис. 3.23 видно, что fVmm^omin и А ' < А , т. е. габариты механизма
уменьшились.
Аналитическое определение основных размеров механизма с прямо­
линейно движущимся толкателем. Для определения основных раз­
меров кулачкового механизма можно применять и аналитический
способ, взяв главными параметрами расчетной схемы координаты
5МП, 5МПи 5М0, 5мо точек DMn и DM0, т. е. тех точек кривой
169
которым соответствуют рД2тах при подъеме и опускании толкателя*.
Рассмотрим одну из расчетных схем, изображенную на рис. 3.24, по
которой выводятся приближенные формулы для определения е и romln
в механизме с прямолинейно движущимся толкателем. Пусть известны
ю1> ^вгтах при подъеме и опускании толкателя, а также соответствую-
Рис. 3.24
Рис. 3.25
щие перемещения sMn и sM0 точки Вг толкателя. Из рис. 3.24 следует
равенство sMn'+ e = su0'—e + As', где Д s '= (s Mn—sM0)tg а ДоШ откуда
е = \
КС —О
+ (smh— sM0) tg адоп].
(3.22)
Из Д OtB0C0 имеем г0 т1а = У е 2 + Но ,
,
а из Д O.FDynп следует
_
5мп
’МП
,
+е
Ч адоп
W
или
Н0 =
-
м п
+
6-----5М„.
адоп
Подставив значение Н0 в выражение минимального начального ради­
уса, получим
Г, . | . =
1/ *“ + I
+ ‘ - S ..I
1б адоп
•
(3.23)
*
Имеется в виду механизм с геометрическим замыканием (см. рис. 3.12, б).
Или же, как это отмечалось ранее, здесь £>м0 фиксирует при силовом замыкании
такое положение механизма, в котором точка В г толкателя будет иметь vB2max
также во время подъема, но при обратном направлении вращения кулачка.
170
Формула (3.23) найдена с использованием координат только одной
точки D„„. Если же выразить Н0 через координаты точки D M0, то
е* + I
Оmln
адоп
-----Г •
(3-24)
Аналитическое определение основных размеров механизма с коромысловым толкателем. Для механизма с коромысловым толкателем
из схемы, изображенной на рис. 3.25, можно написать такое прибли­
женное равенство
где еH
„—
V частное значение внеосности точки Въ толкателя, соответствующее положению ОгВ ип.
Из этого равенства получается формула для определения ем,
а именно:
=
Ко -
С + ДО
,
SM
O /_
ИЛИ
е
1
2
г
»
мо — S мп_ ^•
^
/-
W miv
_ \ L-g „
^мо) * 6 ®доп
*•
(3.25)
так как значение дуги D uoD на расчетной схеме можно выразить из
пропорции
__
D U0D
1*1 (®«іп
5мо
U
®мо)
^
пШ
*I I
' И
a As' из соотношения As' « ■— - - t g адоп, где дуга D ~ D приближен-
но принята за участок прямой. Причем на рис. 3.25 дуговые пере­
мещения sun и sM0 точки Въ толкателя обозначены sMn = — °РМ
П№
и
5мо = _м2_о_, Значение л0 min можно приближенно найти еле
*
у
—
5
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
образом: г0 га(„ « г — sM„, где г = К *м + Л* . Величина Л выражает
длину отрезка ВипС0 и может быть представлена как
Һ
8ып + *»•
tga доп
и, следовательно, формула для определения
г0mm *
V
е" + I
r 0ffl|n
будет иметь
1 -«мп •
bhj
(3.26)
171
Межцентровое расстояние А определяется (при условии, что выбран
ro='omin) из A O A D un, в котором стороны 0 ,D un и OiDun можно вы­
разить как
Таким образом находится формула для определения А, а именно:
причем знак «плюс» в первой скобке и «минус» у третьего слагаемого
получатся при условии, что точки D Mn и D uo поменяются своим рас­
положением по отношению к дуговой оси SB2 и л и п о отношению к 0 2
(например, см. рис. 3.15, б).
§ 39. СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФОРМЫ ПРОФИЛЯ КУЛАЧКА
После определения основных размеров механизма переходят к
нахождению геометрической формы профиля кулачка, что является
завершающим расчетным этапом синтеза. Для механизма с роликовым
толкателем требуется найти форму как центрового, так и конструк­
тивного профиля кулачка (для механизма с заостренным толкателем
центровой и конструктивный профили кулачка совпадают).
Графический метод построения профиля кулачка. Графическое ре­
шение подобных задач рассмотрено на рис. 3.26, а для внецентрового
механизма с прямолинейно движущимся толкателем и на рис. 3.26, б —
Рис. 3.26
172
с коромысловым толкателем. В обоих случаях применен с п о с о б
обращенного
движения,
упоминаемый в § 37 (см.
рис. 3.13 и рис. 3.15). В первом случае непосредственными исходными
параметрами являются г0, е, фір, график Sb 2 = S b 2 ( 9 i ) д л я толкателя
или его табличная запись; во втором— г0, /2, А, ф1р, а также цикловая
ЗаВИСИМОСТЬ
S B 2 = S B 2 (< P l)
ИЛИ
ф 2 = ф 2(ср і).
Для построения профиля кулачка в механизме с прямолинейно
движущимся толкателем сначала (см. рис. 3.26, а) проводят из центра
Ох две окружности радиусами г„ и е в каком-либо масштабе [лг и произ­
вольно фиксируют начало В 0 центрового профиля в виде прямой OtB 0.
Начальное положение оси толкателя, проведенной из В0 касательно
к окружности радиусом е, обозначено как В0С0. Точке В0 центрового
профиля ЦЦ соответствуют две начальные координаты кинематичес­
кой диаграммы Ss2=SB2(q>i): Фю^О» $во
(см-> например, график на
рис. 3.19, б).
Для построения какой-либо точки B t центрового профиля кулачка
откладывают от прямой ОхВ 0 фазовый угол q>lh взятый из графика
5в2=5в2(фі), в направлении, обратном вращению кулачка, фиксируют
точку Воі на окружности радиусом г0 и проводят через эту точку новое
относительное положение оси толкателя BQiCoi (касательно к окруж­
ности радиусом е). Затем от точки Boi откладывают с учетом масштаба
ц, графика Sb2 = 5вг(фі) соответствующий путь «в/ в виде отрез­
ка Во1 В{ в направлении перемещения точки В2 толкателя и
отмечают точку B t. На рис. 3.26, а значение перемещения Sb 2 в виде
отрезка ВоіВі в з я т о , например, равным ysi из рис. 3.19, т. е. BoiBi =
= ysi (или для рис. 3.26, б B oiB i= y si), так как масштабы ц, на обоих
рисунках одинаковы. Если же участок пути Smi берется из графика
$в2=$в 2(фі). выполненного в масштабе ц / ф ц р то значение этого от­
резка пути В оіВ і на чертеже профилируемого кулачка следует под­
считать;
в 0 А — у si -^-7- *
и/
Выполняя указанным образом профилирование кулачка, необхо­
димо, в целях получения более точного решения, в число опреде­
ляемых точек Bi центрового профиля В0, B it Ви, В| (В0') включить
и такие из них, которые соответствуют разным граничным кинемати­
ческим параметрам механизма: начало В0 и конец (В0') рабочей части
центрового профиля; начало Вм и конец Д / верхнего стояния толкате­
ля, одновременно фиксирующих максимальное перемещение точки
В2 толкателя; координаты точек профиля при максимальной скорости
Vmmax при подъеме и опускании толкателя и т. д. Для получения
более точного результата все углы ф1г рекомендуется откладывать от
прямой ОхВ0, т. е. от нулевого положения.
Конструктивный профиль Қ К кулачка получают как эквидистант­
ную кривую, отстоящую от центрового профиля ЦЦ на расстоянии
радиуса ролика /?р.
Аналогичным образом, т. е. посредством координат ф Ь sB2 на
рис. 3.26, б выполнено построение центрового ЦЦ и конструктивного
173
К К профилей для механизма с коромысловым толкателем. В самом
начале здесь проводят из центра 0 \ две окружности радиусами г0
и Л и затем в произвольном месте фиксируют начальную прямую ОхВ0.
Дуговое перемещение В0і В і = у 8і точки В% толкателя откладывают от
В0і посредством угла ф2< =
J*s~
*
г Ра^< причем новое относитет с
льное положение центра вращения Огі толкателя находят на окруж­
ности радиусом А (обращенное движение) путем засечки из В0і дли­
ной ОгВг-
Q
сс
С
Рис. 3.27
Аналитический метод вычисления полярных координат центрового
профиля. Другой способ определения формы профиля кулачка основан
на использовании полярных координат (б |, г,), которые могут быть
подсчитаны аналитически. Формулы для вычисления координат г*
и б і можно вывести из расчетных схем рис. 3.27. Первая координата
гг— радиус-вектор центрового профиля Ц Ц кулачка 1 для внеосного
механизма с прямолинейно движущимся толкателем 2 имеет следую­
щую, вытекающую из рассмотрения рис. 3.27, а аналитическую за­
висимость:
(3.28)
где все параметры известны.
Вторая координата б і— полярный угол точки центрового про­
филя — отсчитывается от начальной прямой ОхВ 0 и выражается ра­
венством б г= ф и А V. где Д ү = ү і—Үо, или после подстановки
б |=
174
ф п
+
(Ү і—
Үо).
(3.29)
Здесь углы \ і и у0, измеряемые от прямой ОіС0ь перпендикулярной
к оси толкателя, определяются из выражений
•*
cos у, — — и cos у0= — = const.
П
ro
Знак плюс перед скобкой в формуле (3.29) относится к случаю, когда
внеосность е располагается по другую сторону от центра Ог.
Таким образом, используя формулы (3.28) и (3.29), может быть
составлена таблица значений полярных координат (r it 6 0 центрового
профиля кулачка за рабочий цикл механизма.
Расчетная схема для вывода аналогичных формул, аналитически
определяющих полярные координаты точки Bi центрового профиля
кулачка в механизме с коромысловым толкателем, изображена на
рис. 3.27, б. Из А 0 і 0 2іВ і следует, что радиус-вектор центрового
профиля
rt = у
ІІ + А2 — 21гА cos (р0 + ф2і),
(3.30)
где постоянной величины угол (30 определяется из А О^оіОгі (или из
А ОхВдВы) по формуле
й -М * —£
cosp0 = - ^ I --------2.
™
212А
Соответствующий полярный угол б | центрового профиля полу­
чается из равенства
б і = Фі і +
(Үі— Үо),
(3.31)
где углы уі и Уо отсчитывают от линии центров 0 х0 2ь причем постоян­
ный угол Vo находят из А О^В^Оц:
r$ + A * - l l
COSY» -------- ■
а переменный угол ү*, зависящий от значения г І9 подсчитывают по
формуле
cos у*
г*, + А* — 1\
2r,A
полученной из рассмотрения А О ф гО^\ Подсчеты показывают, что
здесь возможны два случая:
1) Yi>Yo и тогда 6|><рц;
2) Ті<То» 4X0 приводит к б « < ф ц .
Однако центровой профиль кулачка не является профилем мате­
риальным и координаты (б І, r t) его точек могут непосредственно ис­
пользоваться для изготовления кулачка лишь в том случае, если
диаметры фрезерного и шлифовального инструментов равны диаметру
ролика. При таком условии конструктивный профиль кулачка авто­
матически получится в виде огибающей кривой К К.
мъ
Аналитический метод вычисления полярных координат конструк­
тивного профиля. Подобный выбор диаметра фрезы Оф = 2RP не всегда
возможен v поэтому наряду с формулами для определения б «, rt центро­
вого профиля необходимо иметь формулы и для подсчета 6 If и гк1,
т. е. полярных координат конструктивного профиля К К кулачка
(рис. 3.28).
Ролик
Рис 3.23
Обозначим на рис. 3.28 точку Ғкі конструктивного профиля кулач­
ка, контактирующую в данный момент с роликом . Эта точка лежит
также на нормали пп. Искомый радиус-вектор rKt конструктивного
профиля выражается через параметры Д О і В і Ғ к і , и з которых сначала
определяют угол ф*. Угол ф* входит также в Д ОхВів2, представляющий
собой повернутый на 90° план аналогов скоростей, подробно рассмот­
ренный на рис. 3.13. Из Д ОіВів2 определяют представленный отрез­
ком Вівг аналог относительной скорости
S'b2~B\ = - иГ~Д1' = V (SB2/)2 + Г\ — 2 sB21r l C0s^ .
где s'B2i =
Vb21 — аналог скорости точки B2t толкателя, cf — угол
“1
составленный отрезком Ote2 аналога скорости s' В2І и радиусом-векто­
ром Г | .
...'
Причем в представленном на рис. 3.28, а случае угол Сі=үі, а в
механизме с противоположным по отношению к центру Ох расположе176
180°—үі. После вычисления Sb2— в\ оп­
нием оси толкателя угол
ределяют угол <fi:
( SB2-Bl)2
cosrfy
и, наконец, радиус-вектор
К/
(3.32)
у г? + R l — 2rl R p costyi .
Полярный угол Ькі конструктивного профиля кулачка, отсчиты­
ваемый по-прежнему от начальной прямой 0\В^% выражается через
профиля
-------------------------------------------------------|
«г
(3.33)
б кі ~ б і + А б |,
где угол Дб и входящий в
Д
ОхВіҒкі, получается из равенства
R
П + гКІ
cos (Д8,)
ІГ К І
Формулы (3.32) и (3.33) дают возможность аналитически подсчи­
тать любое количество точек рабочего участка конструктивного про­
филя кулачка.
Аналогично производят аналитический расчет полярных коорди­
нат (бк«*Лкг) конструктивного профиля кулачка для механизма с коромысловым толкателем, расчетная схема которого изображена на
рис. 3.28, б. Расчетные параметры Sb2-bi> углы
и Д6 1 ычисляют
в той же последовательности и координаты rKi и б к* находят по тем же
формулам (3.32) и (3.33). Различие заключается лишь в подсчете угла
С,. Из схемы на рис. 3.28, б видно, что угол ct = 180°—(0О+q> 2f + Yi).
n
так как Otb2 || 0 2lB, I cosy/
a v
а для подобногоже меха-
низма с расположением точки 0 2 по другую
сторону от центра Ог угол
YiРанее отмечалось, что для заостренных тол­
кателей значения полярных координат цент­
рового и конструктивного профилей кулачка
совпадают. Выведенные формулы полностью
отражают такое совпадение. Из формул (3.32)
и (3.33), например, следует, что при /?р= 0
получим rKt= r t иб*<=бі, так как при этом
Д 6 |= 0 .
Построение профилей кулачка с помощью
полярных координат б ь r t и б кь т кі не тре­
бует способа обращенного движения.
Методика составления уравнения профиля
кулачка. Форму профиля кулачка аналитичес­
ки выражают и посредством уравнения профи-
Рис. 3.29
177
лирующей кривой. Рассмотрим этот способ применительно к схеме
механизма с центральным прямолинейно движущимся толкателем
(рис. 3 .2 9 ). Полярный угол
центрового профиля кулачка, опреде­
ляемый из (3 ,2 9 ), имеет в данном случае значение dj = <pu, так как,
согласно рис. 3.27, углы ү і и ү0 при е = 0 становятся между собой
равными, т. е. ү і = ү о = 9 0 ° . Отсюда следует, что Д ү<=ү,-— ү о = 0 .
Связь между кинематическими и размерными параметрами ме­
ханизма представлена здесь следующими формулами:
перемещение 4\в2і точки Вц толкателя (рис. 3.29)
(3.34)
S B 2 i — Г i ---- Го>
скорость
Вц
ТОЧКИ
=
В2І _
di
B21
d (f i — ro)
dt
d<fI ____J
d<pt
dr I .
do
ускорение точки В 21
л
— /Vt
a™ “
dvB2 i __
_
“ ---- 7Г
d I
~S
dTi \
Г'
dr I
-л )
,
*■1 Г
„ d*ri
/0 0/,4
+'<1 » - ■ (336)
Для определения угла давления ранее была выведена формула
анном частном случае имеет ви;
9
Пг •<*'
t
g
а
—
—
.
1 _______________ «
—
Гі
.
.
*
(3.37)
1
Гі
ri
do
с учетом формул
Если же кулач
величина
жена равенством
г х = —- — и тогда
cos Ьі
. =
5
cos \
B2i
____ r
'o
___ r
'a
1
COS b j
/q
.
cos bt
n o \
(o.oo)
'
7
Скорость и ускорение точки Ви находят из равенств:
v B2i =
(3.39)7
—7І —
-------/"о) = го<°і — П. 6' ;
dt \ cos
"У
cos* Bj
.
»Л J t r
di \
cos2 bi )
s f ». +
1
V
(3 40)
cos3 bi
(при со I = const).
формулы <
tg °i =
= tg 8,
(3.41)
или a t= 6 t . Последнее равенство непосредственно вытекает из
рис. 3.29, если провести через точку (Bi) нормаль к профилю, которая
будет параллельна 0 \В а.
178
Примеры вывода уравнений профиля кулачка. Ниже рассматривает­
ся вывод уравнений центрового профиля кулачка в механизме с цен
тральным прямолинейно движущимся толкателем для некоторых,
задаваемых толкателю законов движения (принимая a)i=const}*.
1. Найти уравнение профиля кулачка при vB2i= zv Ba= con s\ (подъ­
ем толкателя). Обозначив постоянную величину —ёл. — Q
пред­
ок
ставим после преобразования уравнение (3.35) в виде dr*—C\db. Так
как граничное условие согласно рис. 3.29 записывается, что при б*
“ формулы
■ О, Г;
| |
_______
профиля в следующем виде: г*—г0= С 1б/ или окончательно
0 = го+ С,бь
(3.42)
т. е. получено уравнение а р х и м е д о в о й
спирали.
Если искомая кривая профиля выходит не из точки В0, а из точки
Вл с координатами б 1, г1э то очевидно начальное условие должно быть
записано, что п р и б * = б ъ rt= r l9 и тогда вместо уравнения (3.42) полу­
чится Г |= С,(бі— бі) + гл. Ясно, что на всем интервале работы меха­
низма с v B2= const ускорение точки В2 толкателя а в2= 0, что также
следует и из формулы (3.36), так как в данном примере гг= О и
drt
d
db
db
(Cfii +
r 0) — C j.
рабоча
толкателя
чнется с жесткого удара, так как скорость v B2 мгновенно получит зна­
чение, равное vBn. Величины углов давления в механизме с таким ку­
лачком аналитически подсчитывают из выражения, полученного на
основе формулы (3.37), из которого следует, что с возрастанием г*
угол а* уменьшается.
условии, что а в2= const.
обозначение
аВ 2
2
—
С9
2 и тогда на .
1
основе формулы (3.36) получим следующее дифференциальное уравние
<fo*
1= С2, дважды интегрируя которое с
db \ db )
d rI
учетом
начальных условий при 6j = 0, г г = г0 и t/B2t = wi
= О,
последовательно найдем
= Сг8 или d rt = C2bdb и г, — r0= C 2
сft
2
Отсюда получаем искомое уравнение в виде кривой 2-го порядка
I
г ,= Сзба+ г 0,
(3.43)
где С3=-^-С2. В этом случае скорость точки Вг толкателя на заданном
интервале изменяется по закону прямой линии v B2l= со,— (С38а + г0)
db
•
Во многих случаях профиль
нескольких кривых.
кулачка представляет собой совокупность
179
= WtCjB = С48; она возрастает с увеличением профильного угла б
(здесь С4 = со ]С2= const).
3. Найти уравнение профиля кулачка при условии, что угол дав­
ления <Zj= const, например, а = а доп*
Согласно формуле (3.37) имеется дифференциальное уравнение — =
Г/
= C d 8 (где С = tg а доп = c o n st), интегрируя которое при указанном
ранее начальном условии, последовательно получим In ri — In r0 =
= Cfi и
Г і= Г ^ ь,
(3.44)
т. е. уравнение л о г а р и ф м и ч е с к о й
спирали.
Ртіп
Рис. 3.30
Выбор величины радиуса ролика. Радиус R p ролика для толкателя
нельзя выбирать произвольно. Перечислим некоторые условия, кото­
рыми руководствуются при выборе величины радиуса R p.
1.
Д ля того чтобы конструктивный профиль К К кулачка обладал
реальным (а не мнимым) контуром, необходимо на выпуклых его
участках соблюдать условие /?p<CPmim гДе Pmin — минимальное зна­
чение радиуса кривизны выпуклой части центрового профиля ЦЦ.
Иллюстрацией этого условия служит рис. 3.30. На рис. 3.30, а для
соответствующего участка взят /?р< р шіп. Величина ptain после профи­
лировки кулачка может быть в каждом конкретном случае с достаточ­
ной точностью найдена известным графическим способом. Д л я этого
от точки В, расположенной на центральной части исследуемого участ­
ка, откладывают точки В ' и В"\ через средины хорд В В ' и В В" проводят
к ним перпендикуляры, пересечение которых дает положение центра
С кривизны этого выпуклого участка с pmin= - — • Из рис. 3.30, а
видно, что при /?р= р тіп конструктивный профиль К К в одной точке
чтого участка будет острым, т. е. pKmі и= 0. Н а вогнутых участках та­
1ЯП
ких ограничений нет. На рис. 3.30, б наглядно представлено самопере­
сечение конструктивного профиля К К при /?р>ршіп* Фактический
центровой профиль (не показан на рис. 3.30, б) для этого участка за­
остренного конструктивного профиля не будет соответствовать ука­
занному на рис. 3.30, б расчетному центровому профилю, полученному
на основе заданного закона движения для толкателя. Существует прак­
тическая рекомендация по выбору R p, в связи с необходимостью устра­
нения явления самопересечения конструктивного профиля, а именно:
tfP< 0 ,7 p min и /?р< 0 ,4 г о. Из двух полученных отсюда значений выби­
рают меньшее, если это не нарушает других условий по выбору R p.
2. Размер ролика должен быть согласован с величиной радиуса
цапфы оси ролика. Радиус R u цапфы определяется из расчета на проч­
ность*, откуда следует, что для размещения оси ролика /?РХ 1,6-Ь
-г 2,0) /?ц.
3. От величины Rp зависит значение контактных напряжений
на элементах поверхности кулачка и ролика*. Поэтому размер R p
должен быть вычислен при заданной величине допускаемого контакт­
ного напряжения, при известных рктіп и передаваемой силе, действую­
щей в данной высшей кинематической паре.
Следует, однако, иметь в виду, что согласование перечисленных
условий может привести к необходимости увеличения pKmin на выпук­
лом участке конструктивного профиля, что в свою очередь повлечет
(геометрически) за собой увеличение начального радиуса г0 центрового
профиля кулачка, выбранного из условия ограничения угла давления.
§ 40. ОСОБЕННОСТИ СИНТЕЗА КУЛАЧКОВЫХ МЕХАНИЗМОВ
С ПЛОСКИМ ТОЛКАТЕЛЕМ
На рис. 3.31 изображена схема кулачкового механизма с п л о с ­
к и м (тарельчатым) прямолинейно движущимся внеосным толкате­
лем. Точка контакта B t кулачка 1 с толкателем 2 в процессе работы
механизма перемещается вдоль плоскости тт толкателя (см. также
рис. 1.41, б и 1.42, б). Так как здесь отсутствует ролик, то кулачок
имеет только конструктивный профиль К К , форма которого как и при
роликовом толкателе, зависит от заданного закона движения толкателя
и размера R 0.
По сравнению с заостренным толкателем, который быстро изна­
шивается, плоский толкатель является более надежным в работе. Плос­
кость тт может выполняться в толкателе либо перпендикулярно к его
оси уу, либо под некоторым углом (}0ф 9 0 ° к ней, как это пунктиром
изображено на рис. 3.31, где такой толкатель с осью у ’у' обозначен
как 2'. Из рис. 3.31 следует, что наклон плоскости тт по отношению
к оси у'у' толкателя, зафиксированный углом (30, вызывает увеличение
перемещения толкателя в І/cos |30 раз, т. е. отрезок нового перемещения
* Н . И. Л е в и т с к и й .
1964, § 42.
Кулачковые механизмы, М ., «Машиностроение»,
181
ВЫҒ' = ~ оі Ғ • Внеосность е толкателя не влияет на величину его
COS Р0
'
Щ
перемещения. Одной из особенностей данного типа механизма явля­
ется постоянство угла давления а = а (= const в любом положении
механизма и для любых значений основных размеров механизма. Из
схемы видно, что для толкателя 2 угол давления а = а , = 0, а для
толкателя 2' угол а (= 90°— 0О= const. Следовательно, угол давления
здесь не может быть положен в основу определения R0т щ, как это
Рис. 3.31
производится для механизмов с роликовым и заостренным толкателями. При а = 0 сила Q,2 целиком используется на перемещение толка­
теля 2 (без учета потерь на трение в высшей паре). Однако это ведомое
звено одновременно подвергается воздействию переменного момента
пары сил M = Q 12l. Этот момент вызывает перекос толкателя в направ­
ляющих стойки 4*. Поэтому и в механизме данного типа также суще­
ствует опасность заклинивания толкателя, как и в механизмах, рас­
смотренных ранее. Причем величина такого момента зависит от размера
кулачка, который, в свою очередь, зависит от величины его начального
радиуса. Большие размеры кулачка не способствуют здесь уменьше­
нию силового момента М. Но, с другой стороны, нельзя произвольно
уменьшать радиус /?0, так как для данного типа толкателя требуется
кулачок только выпуклой формы, что является существенной особен-
*
Практически нецелесообразно проектировать механизм с ефО, так как
внеосность е может вызвать увеличение момента М.
182
ностью подобных механизмов. Такое требование со всей очевидностью
вытекает из геометрической возможности последовательного и непрерывного контактирования во всех точках профиля кулачка с плос­
костью тт толкателя. Отсюда следует, что значение радиуса R 0min
кулачка должно определяться из условия выпуклости* кулачка.
Если обозначить текущее значение переменного радиуса кривизны
профиля кулачка pj, то условие выпуклости запишется как р*>0.
На рис. 3.31, выполненном в некотором масштабе р , мм/м, ргр , = С В г,
где С — центр кривизны профиля кулачка в точке В{.
Представляя pj через отмеченные на рис. 3.31 размерные параметры
механизма, получаем
Pi =
— - Н - Ro "Ь s B a
( 3 .4 5 )
»*/
где отрезок СЬ2 надлежит выразить посредством удобных для расчета
параметров.
В § 41 рассматриваются способы кинематического анализа кулач­
ковых механизмов, в том числе и способ так называемых з а м е н я ю ­
щих
м е х а н и з м о в , общие положения о котором даны в § 6.
Заменяющий механизм, схема которого здесь используется, является
механизмом только с низшими парами. Он должен быть кинематичес­
ки эквивалентен кулачковому механизму. С помощью такого заме­
няющего механизма здесь определяется ускорение точки Вг толкателя.
В связи с этим на схему кулачкового механизма (см. рис. 3.31) нане­
сена пунктиром схема соответствующего заменяющего механизма.
Последний имеет дополнительное подвижное звено 3 ', одновременно
входящее в поступательную пару с толкателем 2 по плоскости тт и
вращательную пару со звеном ОгС, представляющим собой рычаг,
жестко связанный с кулачком /; центр вращательной пары находится
в точке С. Затем заменяющий механизм кинематически упрощен
путем превращения рычажного звена 3' в ползун 3, траектория движе­
ния которого проходит через шарнир С1)3 параллельно тт. Таким об­
разом, плоскость тт заменена плоскостью т х \ жестко связанной с тол­
кателем 2**. Обозначим через С2 точку толкателя 2 , совпадающую с
шарниром С(|,з), и выразим ускорение точки С2 посредством векторного
уравнения (см. § 18) аС2= а В2= асз+ асг_сз, в котором асз= а сі =0»
так как принято, что (o1= co n st и ускорение Кориолиса аса—с з =
= 2ш3і>с2-с з = 0, поскольку (Dз = со г = 0.
Данное векторное уравнение построено в виде плана ускорений
на самом механизме с полюсом р ', расположенным в точке С.
о
"
п
21
СОх
СЬа
V-a
Ка
Здесь ап щ ас . — or 1Со\ — — - и а В2— ----1
*
Я. Л . Г е р о н и м у с . Н ахож дение профиля кулачка по заданному
движению толкателя. «Техника воздушного флота», 1933, № 3.
** Заменяющий механизм является в данном случае четырехзвенным кулис­
ным механизмом с кулисой 2, движущ ейся прямолинейно.
183
Так как план ускорений построен на схеме механизма (см. рис. 3.31)
то Са= 1 и согласно равенству (2.102) в § 15 его масштаб ускорений
ц в={іг/ю|. По плану ускорение точки В2 толкателя может быть выражено как авгі = coj— - . Это же ускорение в соответствии с форму­
лой (2.28) §9 при qx =о>j == const, т. е. при qt = е ,= 0, имеет другой
вид a.B2f=Sfi2/(<7i)2=SB2/CDi2, где s^ i — аналог ускорения точки В2
толкателя. Сравнивая оба выражения для ускорения а В2, приходим
<^эв а
заключению
dip,
y.,
т. e. план ускорений при coJ=const в масштабе ц**=ц/ является
планом аналогов ускорений [см. формулу (2.103)1.
Тогда условие выпуклости профиля кулачка (3.45) можно записать
в виде
s"B2i + R 0+ sB2i > 0,
(3.46)
Я 0О
W
---------------------------------------
j
A V
A lftK i
W
2
J8SI
^
£
л
---------------------
»
откуда находим, что (/?0+ s B2i) > — sB 2i
Левая сторона этого неравенства, т. е. сумма /?0+ $в2ь всегда поло­
жительна, тогда как аналог s&n в правой его стороне может быть как
положительным, так и отрицательным. Неравенство всегда будет со­
блюдено при положительном значении sbu> так как при любой вели­
чине R 0 положительная левая его сторона всегда больше отрицатель­
ной правой. Другое дело при отрицательном знаке у s B 2i \ тогда обе
стороны неравенства положительны и соблюдение неравенства воз­
можно только при определенной величине R0. Чтобы выявить необ­
ходимые соотношения для графического определения величины /?0,
произведем преобразование имеющегося неравенства и получим
с
jR o
B2t
Ч~ s
- 1 и окончательно
В 2І
SB 2i
tg 45°.
(3.47}
i акое условие выпуклости профиля кулачка, записанное в форме нера­
венства (3.47), позволяет графически определять величину R 0mln.
Рассмотрим этот способ на примере механизма с центрально дей­
ствующим толкателем (е = 0), для которого задан график пути s B2=
“ sB2Wpi), построенный на рис. 3.32, а в масштабах
мм)рад и
Ц/ мм/м . Путем двукратного графического дифференцирования стро­
ится кривая s В2= s вг(фі) при постоянных
и k2\ здесь принято, что
= k2 — Щ [см. формулу (3.23)]. Тогда искомая кривая (рис. 3.32,6)
УД67*получена в масштабе
равном масштабу (А/ пути (щ** =
=
= И/)*
В соответствии с рис. 3.31, где сумма (/?<>+ $в2і) расположена по
вертикали, строят кривую s в2 = s"B2(sB2), проводя ось sB2 по верти­
кали, а ось параметра s"B2 по горизонтали (рис. 3.33). Начало коорди­
нат графика у в2= у s2(y s2) — в точке О. Из формулы (3.47) видно, что
184
числитель s «г и знаменатель (K0- f s B2) эши дриии
вать как катеты треугольника. Наибольшая величина этих катетов для
значений s *B2 < 0 получится при |sB2|max и соответственно при s B2— п
(полное перемещение толкателя), что совпадает с положением 3 на
пие 3 32 Л у ч З'Ол проведенный из точки 3 (см. рис. 3.33) под углом
ғ
1 к
45°, отсечет на оси s B20 отрезок
OO'i,
который
устанавливает
не­
о)
которое предельное значение
отношения
82
Ro +
5)
1.
S B2
Согласно уравнению (3.47)
выбирают центр вращения ку­
лачка в точке 0\9 расположен­
ной на схеме 3.33 ниже точки
U. ^ J
Рис. 3.33
Рис. 3.32
О /.
Тогда
будет
выполнено
В2І
условие
В23
tg y
выпуклости
так
как
tg 45°,
Б2І
где
R ail
ОО,.
рофил
в § 39 способом обращенного движения с использованием координат
графика s B2= s B2(q>i), а именно: из центра Ог проводят окружность
радиусом Я 0 и в соответствии с заданным направлением <ох отмечают
В 0— начало рабочего профиля кулачка, через которую при централь­
ном толкателе (е = 0) пройдет в начальном положении механизма ось
0,(0) толкателя. Здесь же зафиксировано начальное положение плос­
кости тот о толкателя. Далее от прямой О^О) откладывают в направ185
/
хі
140°
г
ТС
лении (—о)!) угол q>„ = —L — — (рис. 3.32) за первый указанный на
графике s B2= sB2(<Pi) интервал. Отмечают точку В01 и через нее прово­
дят новое в обращенном движении положение оси Ох(1) толкателя.
Затем вдоль этой оси откладывают перемещение sB21 и наносят соот­
ветствующее положсг. е плоскости т it j толкателя. Повторяя подобным
образом последовательно эти операции, получают в пределах угла
6р=фір совокупность прямых toJ o. t it і , т 2т 2, ..., касательно к которым
вписывается искомый выпуклый профиль кулачка, являющийся оги­
бающей кривой. Точки касания профиля кулачка с плоскостью т а ,
Рис. 3.34
толкателя последовательно обозначены на рис. 3.34, как В0, Ви
В2, ... . Для точного выполнения профиля требуется построение зна­
чительно большого числа относительных положений оси толкателя,
чем это указано на рис. 3.34. Форму профиля кулачка определяют и
с помощью полярных координат (8 і,Г{)*. Для вывода формул исполь­
зуют рис. 3.31, где эти координаты нанесены.
Из рисунка следует, что гк1 = ] / (R0 -j- sB2i)2 -j- llxb , где требует­
ся выразить отрезок /01й через известные параметры. Треугольник
можно рассматривать как обычный повернутый план
скоростей, выполненный на схеме механизма по уравнению
0 В2—
где масштаб скоростей
_____________
v B2r- ви
мм/м • сек'1 равен
= JH. t так как
vb i
• В этом случае не потребуется способ обращенного движения.
186
’
.
Поэтому
0 j& 2 — tV*B2f —
*
ИЛИ
/ 0J£
V в 1 — ® і 'к і
“*
SSj'»»*'»
0)i
IН
_ vB2t _ dsBai _
Следовательно, формула для определе£ 2/
№
‘ <*>і
£/фі
ния гК| будет иметь вид
U f
. =
V(«о +
кІ
W
(3.48)
Профильный угол кулачка
б ^ ф іі+ О ъ
(3.49)
где угол СУ| найдется из Д О&В^.
Sin О,
=
s B2i
--------
Гкі
ИЛИ
*
tg О j =
8 B2i
ri ■ _—
«0 + SB2i
•
Из схемы на рис. 3.31 видно, что расстояние от точки контакта B t
до оси толкателя
I == S в2 1~~~ &•
Длина тарелки толкателя должна быть выбрана такой, чтобы обеспе­
чить непрерывность контакта в течение всего цикла. Ее величина оп­
ределяется значением (s' B2)m ax, как это следует из выражения для I.
§ 41. ПРИБЛИЖЕННОЕ ПРОФИЛИРОВАНИЕ КУЛАЧКОВ И СПОСОБЫ
КИНЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА СПРОЕКТИРОВАННЫХ МЕХАНИЗМОВ
Профилирование кулачков по дугам окружностей и прямым. Форма
профиля кулачка, получаемая в результате конкретного решения зада­
чи по синтезу механизма, может оказаться геометрически сложной. Это
вызовет затруднения при изготовлении и контроле размеров кулачка.
Чтобы их избежать, сложный профиль кулачка приближенно заменяют
сопряженными дугами окружностей и прямыми. Однако такая замена
допустима лишь в тех случаях, когда разрешаются некоторые от­
клонения закона движения от заданного при условии, что главные па­
раметры движения (например, величина полного перемещения толка­
теля, фаза его подъема, фазы нижнего и верхнего стояний) в точности
сохранят свое значение. Подобная замена точного (но сложного) про­
филя кулачка приближенной его формой (но простой) требует после­
дующего кинематического анализа механизма в целях выявления и
оценки отклонений от заданного закона движения толкателя.
Рассмотрим эту задачу применительно к спроектированному меха­
низму с коромысловым толкателем. На основе заданного симметрич­
ного графика s"в2— s"в 2(ф&) для точки В2 толкателя сначала были
последовательно построены зависимости s' в2— s' в2( ф , ) и sB2= $Вг(фі)
методом графического интегрирования. Все три зависимости представ­
лены на рис. 3.35, а, б, в — пунктиром. После этого были проделаны
соответствующие расчеты по определению основных размеров меха187
(§ 38) и получен вогнуто-выпуклый центровой профил
4, ... В8 кулачка (§ 39), изображенный на рис. 3.35, <
пунктиром.
Затем графическим путем сложный центровой профиль Во,
8 был заменен тремя сопряженными дугами окружностей с
центрами Сь С2, С3. Радиусы этих окружностей представлены отрез­
ками В0С ,= BiCi, BjC2= ВГС2 и ВГС3= В8С3. Точками сопряжения,
расположенными на границах отдельных
участков, являются точки В0, Bi( В, и
а)
В0.
выполнен
8* Этот заменяющий профиль
. .
на рис.3.35, г сплошной линией, причем
начальные (вогнутые) участки В0В< как
точного, так и приближенного профилей
практически совпали (поэтому здесь остав­
лен только штрих-пунктир). При геометрическом
боре
этих трех*
заменяющих окружностей точно соблю­
дались следующие заданные параметры:
угол 6 р = ^ В 00,В 8, максимальный радиус
Охб4
профиля кулачка г4 == гтях = ------- и угол
К/
О д ,
. . .
,
,
поворота кулачка за время подъема толка­
теля ф14= ф1п. Подъем точки В2 толкателя
обозначен на рис. 3.35, г дугой В04В4,
на рис. 3.35, в — ординатой ysi. Из рис.
*Ptn=s.
3.35, г видно, что второй и третий участки
приближенного профиля значительно от­
Рис. 3.35
ступают от истинного (точного) очертания.
Новый закон движения точки В2 изобра­
жен на рис. 3.35, в в виде кривой sB2=
= 5вг(фі) сплошной линией.
Для сравнительной оценки кинематических характеристик движе­
ния толкателя на рис. 3.35, а, б сплошными линиями показаны новые
кинематические диаграммы S&2 =
(фі) и Sb2= Ss2 (фі), соответст­
вующие приближенному профилю. Они последовательно получены
графическим дифференцированием (см. § 22). Из сравнения видно,
что при опускании толкателя значение максимальной его скорости
более
более
кинематические характеристики
механизма в результате замены ухудшились.
Для кинематического анализа спроектированных кулачковых
механизмов, кроме способа кинематических диаграмм, применяют
также метод планов скоростей и ускорений (§ 14).
Кинематический анализ методом планов начинается с построения
схемы механизма в различных его положениях в процессе обращен* Ббльшее количество участков брать нецелесообразно из-за сложности
изготовления.
188
ного движения. В число таких положений необходимо обязательно
включать те из них, которые соответствуют характерным точкам про­
филя кулачка: начало и конец рабочего профиля; точки сопряжения,
толкателя по отношению к кулачку, полученное на плане механизма
(см. рис. 3.35, г), определяет текущие координаты <р14 и sBi точки В г,
jut, мм/м
Р и с. 3.35 (п р о д о л ж е н и е )
по которым может быть построен график s B2= s В2(<рi) или составлена
таблица значенийзвд и ф ц за цикл. Такая задача является обратной
по отношению к задаче построения профиля кулачка по заданному гра­
фику s B2= 5вг(фі)» которая рассматривается в § 39.
Кинематический анализ кулачкового механизма без замены его
механизмом с низшими парами. В кулачковых механизмах с роликовым
и заостренным толкателями одна и та же точка В2 толкателя непре­
рывно и последовательно контактирует с различными точками про­
филя кулачка. Поэтому геометрическим местом точек контакта высшей
пары здесь является сам профиль кулачка. Причем в механизмах с
роликовым толкателем таким геометрическим местом служит центро­
вой профиль ЦЦ. Исходя из данной схемы относительного движения
контактирующих точек Вг одного звена (толкателя) и Blt принадле­
жащей другому звену (кулачку) высшей пары, определяют скорость
1R9
и ускорение точки Вг методом планов*. Соответствующие векторные
уравнения будут иметь вид:
’
(3.50)
V b 2 = ~ V b 1 + ~ V B 2 -B U
а В2
а В2 ~
а В1
§Й
a B2—Bl ~Ь~ f l S2—BI
Я
а в2—В1'
(3.51)
Рис. 3.36
Решение уравнений (3.50) и (3.51) проведено на рис. 3.36, где применительно к i-му положению механизма построены план скоростей
с полюсом р и план ускорений с полюсом р .
Для подсчета нормального относительного ускорения ат-в\
требуется знать величину радиуса кривизны профиля кулачка. Но
так как в данном положении механизма точка В толкателя проходит
через границу между вогнутой и выпуклой частями профиля
(см. рис. 3.35), то здесь одновременно имеются два значения
радиуса кривизны: ВгСх= rl\il и B f i 2 = ггi*z. Поэтому должны быть
построены два плана ускорений с двумя различными ускорения­
ми а%г-в\ ■Оба плана на рис. 3.36 выполнены с одним и тем же по­
люсом р '. Для построения планов ускорений были вычислены:
п
у
2
O jB /
а« = сотг* = со2—ш
и-/
пп =
U B2
I
^
В02
ап
=
аВ2—В\
—
I
**
•’
tia-Bi _
пк
а Б2—
В\
И
( п
•
_ ^ш1
Ом т)
иВ2-В1»
V
ВІ'
иви-в\
Первые три ускорения совершенно одинаковы как по
и по направлению в обоих планах. Нормальные же
ускорения
и (°в 2-в \) различны по величине,
и противоположны по знаку: первое из них направлено
Си а второе по пп к центру С2 (см. рис. 3.35, г).
величине, так
относительные
так как г2ф г и
по пп к центру
*
В А Г а в р и л с н к о, Определение ускорений в кулачковом меха
низме без замены его механизмом с низшими парами. Труды МВТУ им. Баумаиа,
вып. 23« Вопросы теории механизмов и машин. М,, Машгиз, 1953, стр. 27.
190
Из рис. 3.36 видно, что в і-м положении механизма происходит
мгновенный переход от ускоренного движения точки В2 с тангенциаль­
ным ускорением а^2 (оно изображено на плане вектором п вгЬ2 , совпа­
дающим по направлению с вектором pb2 скорости v B2) к замедленному
ее движению с ускорением
противоположного направления, по­
казанного на плане вектором п в2(Ь'г). Такой мгновенный переход но­
сит название м я г к о г о
удара.
Рис. 3.37
Д ля кулачковых механизмов с плоским толкателем или с толкате­
лем, имеющим криволинейно очерченную поверхность (так называе­
мый грибовидный толкатель), в контакте участвует не одна, а различ­
ные точки профиля толкателя. В этом случае профиль кулачка также
является геометрическим местом точек контакта высшей пары в отно­
сительном движении, но определение ускорения а вг изложенным выше
способом значительно осложняется.
Кинематический анализ кулачкового механизма посредством за­
меняющих механизмов. В практике кинематического анализа кулачкоковых механизмов в целях упрощения задачи по кинематическому
анализу распространен формальный способ так называемых з а м е ­
н я ю щ и х , или э к в и в а л е н т н ы х ,
м е х а н и з м о в (§ 6 ).
Способ заменяющих механизмов при определении v B2 и а в2 требует
предварительной геометрической обработки формы профиля кулачка,
рассмотренной в связи с приближенным профилированием. Пусть,
например, рабочая часть центрового профиля кулачка в спроектиро191
ванном механизме приближенно выполнена тремя плавно сопряженными участками; прямолинейным, выпуклым и вогнутым, как это
изображено на рис. 3.37. Следует использовать три конкретные схе­
мы заменяющих механизмов, соответствующих этим участкам. (Дви­
жение толкателя в кулачковом механизме за рабочий цикл воспроизводится посредством последовательной совокупности заменяющих
механизмов.) По своей структуре каждый из таких механизмов должен
иметь общее количество звеньев k"— 4 и число низших пар р пп — 4
(см. § 6), т. е. по классификации Ассура (§ 8) должен составляться
из первичного механизма и двухповодковой группы. На прямолиней­
ном участке тт профиля В0В іВ г1 кулачка, где Вг\ является границей
с выпуклым участком, показаны три положения механизма. Отсюда
можно видеть, что точка В 2 перемещается вдоль тт, а коромысло В02
толкателя изменяет свой угол <|>21 наклона к тт, т. е. поворачивается
по отношению к кулачку. Такие же движения воспроизводит ку­
лисный механизм с вращающейся вокруг Ох прямолинейной кулисой,
направляющий стержень которой совпадает с прямолинейным участ­
ком тт профиля кулачка / . Д о б а в о ч н ы м
подвижным
з в е н о м в этом механизме является кулисный камень 3 , входящий
во вращательную пару с коромыслом 2. Скорость и ускорение точки
В2 толкателя 2 определяют методом планов с учетом того, что в состав
заменяющего механизма входят: первичный механизм, состоящий
из подвижного звена 1 (кулачок) и стойки 4 , и двухповодковая груп­
па из звеньев 3 (кулисный камень) и 2 (коромысло) с двумя враща­
тельными и одной (концевой) поступательной парами. Планы для пер­
вичного механизма строят по методике § 15, а для данной модификации
двухповодковой группы по методике § 17. В результате скорость и
ускорение точки В2 толкателя (при (0 ! = const) найдутся из равенств
VB2 — VB\ +
V B 2-B \
И
а 'в й
0.В2 — &В1 4 “ Л в 2 — В1 “Ь Qfl2— В1~
На выпуклом дуговом участке профиля Вг1(В{)Вг2 в качестве заме­
няющего следует взять четырехшарнирный механизм 0 іС(В і)(0$.
Выбор такой схемы вытекает из рассмотрения движения кулачкового
механизма на этом участке. Поскольку точка С принадлежит кулачку,
то стержень О£ принимают за звено /, вращающееся с ©j. Так как
радиус кривизны профиля кулачка на данном участке постоянен, то
роль добавочного звена (3) выполняет стержень ВС. Звено (3) должно
иметь некоторое вращение как относительно звена OjC, так и отно­
сительно звена В 2(0 2). Такое относительное вращательное движение
можно наблюдать по изменяющимся углам ф31 и ф32. Д ля точек Вг
и С, согласно § 15 и 16, запишем
На вогнутом дуговом участке профиля кулачка, как и на выпуклом,
принимают в качестве заменяющего четырехшарнирный механизм
0ЛС)Вг20 2г, где звено 0 Х(С) принадлежит кулачку /, а звено (С)Вг2
является шатуном.
192
'
Другой пример кинематического анализа кулачкового механизма
с прямолинейно движущимся толкателем 2 выполнен на рис. 3.38, а.
Центровой профиль кулачка 1 здесь состоит из трех участков: двух
выпуклых В0ВіВг1 и Вп ВмВг2 разной кривизны и одного прямолиней­
ного Вг2В В 0' . Граничные точки профиля обозначены Вг1 и Вт2. Планы
механизма построены способом обращенного движения, и на их основе
выполнен график s D2— sB2(<pi), изображенный на рис. 3.38, б. Анализ
планов кулачкового механизма показывает, что в качестве первого заме­
няющего следует принять внеосный кривошипно-ползунный механизм*.
ч
Рис. 3.38
Центр кривизны С принадлежит кулачку 1. Поэтому прямая 0 ,С ,
вращающаяся с угловой скоростью © „ выполняег роль кривошипа’
точнее коромысла. В точке С — вращательная пара, так как дополни­
тельное звено 3 (звено СВ т1) в процессе работы механизма имеет вра­
щение по отношению к звену OjC. Такое относительное вращение мож*
но проследить по изменению угла ф31. С другой стороны, звено 3
(шатун) имеет вращение относительно толкателя 2, так как угол фч2
также является здесь изменяемым. Следовательно, в точке В2 также
расположен шарнир заменяющего механизма. На рис. 3.38, в выполиены два плана^ скоростей, построенных из одного полюса р 9 и два
плана ускорений из одного полюса р' согласно методике, изложенной
7—448
193
в § 15 и 17. Эти планы скоростей и ускорений относятся к положению
кулачкового механизма, соответствующему г р а н и ч н о й т о ч к е
Вг1 на профиле. Здесь как бы одновременно существуют два заменяю­
щих механизма ОхСВп и Ох(С)Вп . Причем во втором заменяющем ме­
ханизме кривошипом (коромыслом) является звено ОДС), а шатуном —
добавочное звено (3), обозначенное (C)firj. Оба плана скоростей выпол­
нены согласно уравнению vB2= vc -\- vBi c • № планов следует, что
имеет в этой граничной точке одинаковое значение для обоих заме­
няющих механизмов, втовремя как
Здесьис =соі/оІс» а Г (о =
—(О\1о,(о, но ОхС ф О х{С). Относительные скорости значительно отли­
чаются друг от друга по величине (yB2c¥=vB2(C)), но имеют общую
линию действия. В положении Вп мгновенно изменяет свою величину
и свой знак ускорение точки В2 звена 2. Планы ускорений построены
по уравнению аВ2щ аЪг = <*с + Явгс + Явгс. считая o>i=const. Из рис.
3.38, в видно, что ускоренное движение звена 2 с положительным
ускорением a BZ= p 'b '/у.а (направлено, как и ов2 вверх) мгновенно прини­
мает другое, значительно большее по величине значение (aB^=p'(b')/[La
с противоположным знаком (что характеризует замедленное движение).
Нормальные относительные ускорения, обозначенные на планах уско­
рений как VnBC и (с')лв(с), вычислены из выражений: а " ^ =
= ий2с ^ 3’ где /3 = Вг1С/ц, м и Og2(C) = ив2(С)/^з)> г^е (/3) = Вгі (С)/^.
Применение метода планов для определения скоростей и ускорений
точки Вг толкателя (как с помощью замещающих механизмов, так и
без них) дает возможность получить более точные кинематические ха­
рактеристики механизма по сравнению с методом графического диффе­
ренцирования.
/
" “
Поскольку рассмотренные кулачковые механизмы имеют одну сте­
пень свободы, то планы скоростей (см. рис. 3.36 и 3.38) являются одно­
временно и планами аналогов скоростей, выполненными в масштабе
„ ’ = со,ц„ мм/м. Более того, поскольку к тому же в рассмотренных
механизмах © i= const, то планы ускорений (см. рис. 3.36 и 3.38) яв­
ляются одновременно и планами аналогов ускорений, построенными
в масштабе
= © 1V 0 мм/м.
В заключение укажем, что заменяющие механизмы не следует при­
менять при силовом анализе кулачковых механизмов, так как произ­
водимая замена хотя и дает численно правильный результат, но совер­
шенно видоизменяет физическую картину нагружения звеньев в месте
образования высшей пары.
§ 42. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О ПРОЕКТИРОВАНИИ МЕХАНИЗМОВ
С ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ КУЛАЧКОМ
Кроме рассмотренных плоских механизмов, большое применение
находят некоторые виды пространственных кулачковых механизмов.
На рис. 3.39, а дана схема одного из таких механизмов с цилиндричес­
ким кулачком 1 и прямолинейно движущимся толкателем 2 с роли­
ком 3; ось толкателя параллельна оси цилиндра кулачка (см. также
194
рис. 1.44, а). Эти механизмы выполняют как с силовым замыканием
высшей пары (пружина 5), так и с геометрическим (в виде пазового ку­
лачка).
Задавая а доп и закон движения s2= S2(<pi) толкателя (рис. 3.39, б),
выбирают радиус цилиндра
из условия a j < a AOn в любом
положении механизма (см. ниже об определении Rmin)- Кривую
Рис. 3.39
s2= s2(cpi) можно рассматривать в подобных механизмах как развертку
поверхности цилиндра. Тогда схема механизма сводится к схеме плос­
кого механизма, у которого кулачок 1 перемещается прямолинейно со
скоростью vx= Ran (рис. 3.39, в).
Угол давления at в произвольном положении механизма, когда
точка контакта Bi центрового профиля ЦЦ кулачка с толкателем имеет
координаты Su, s2t, равен углу наклона касательной тт с осью sx абс­
цисс. Тогда угол а можно выразить из уравнения
(3.52)
'
'
=
dx
dsx
Подставляя в уравнение (3.52) значение dsi=* RcUpi и преобразуя его,
получаем
tg a = - L . - £ L = А
R
d<f\
R
и, учитывая, что согласно формуле (2.27) s2' = ^Ш,, окончательно
7*
'
195
1
Vo
tg О = — ■—
H
<*>!
(3.53)
Из формулы (3.53) следует, что радиус цилиндра кулачка R =
tg а
• Откуда, задав а = адоп и v2 = °amax ~ ®is2max»
ляют # min = — 7max . Причем значение s' „
“i
вдоп
находят
опреде­
по
кривой
2гаах
s2~ s2 (Фі)» получаемой в общем случае путем графического диффе­
ренцирования по
заданной кривой s2 = s2 (<р4).
Графическое определение центрового профиля ЦЦ кулачка произ­
водят способом обращенного движения (см. § 39). На рис. 3.39, в
указано, что при сообщении всему механизму скорости —щ кулачок
/ останавливается, а толкатель 2 вместе со стойкой 4 поступательно
перемещается со скоростью — Uj параллельно оси sx. Для каждого
положения механизма последовательно откладывают в одинаковом
масштабе координаты slf= /?ф1( и s2t и фиксируют точку B2t. Причем
фіг и s2i берут с графика s2= s2^ T). После выбора радиуса /?р ролика
определяют конструктивный профиль /С/С кулачка.
Скорость v2— vB2 и ускорение п2— с&=аЪг толкателя могут быть
выражены согласно равенствам (2.27) и (2.28) следующим образом:
а)
приняв за обобщенную координату линейное перемещение раз­
вертки цилиндра, т. е. <^Ц %, имеем
v2 = Qi
dQ}
=
(3.54)
dSi
И
х ___ { п Y
2
" iJ
I п
г Qi
^ 2
Щ
— —
dqi
Г'2
I пх
•
V — о------ h а —
1 d s\
1 ds}
=
/Q
(д .55)
б)
приняв за обобщенную координату угловое перемещение ци­
линдрического кулачка, т. е. qx= q>lf получим
■в
ds9
v2 W
ds0
Я і —Г ~ =
,
— L =
dq>l
0 >iS2
и
f
Л
а, - \ ч
I
^
+
п
d
?
s
2
.
,
■
=
<
|
Я
d
»
,
s %
ty
+
*
„
.
r
«
,
Формулы (3.52)(3.55) позволяют аналитически решать некоторые
частные задачи синтеза для механизмов данного типа. Пусть, напри­
мер, заданы R , а доп, coi= const и нужно вывести уравнение s2= s2(фО
развертки центрового профиля кулачка для случаев:
1.
Когда на некотором участке профиля требуется получйть
а = «доп = const, тогда на основе формулы (3.52), при начальных
условиях s, = 0, s2 — s0, можно записать f ds2 = С, Г dsit
s0
196
0
где С,
tg а доп, откуда получаем уравнение прямой (на развертке)
(3.56)
s2
Эта прямая, навернутая на цилиндр, образует винтовую линию с уга,доп. Вместо равенства (3.56) можно перемещение
лом подъема а
$2 выразить уравнением s2= s0-\- СіЛрі» так как $ i= Rq>%»
2. Когда требуется получить для точки Вг толкателя v2= const
на заданном участке профиля. Из формулы (3.54) имеем ds2= C2dsu
откуда
(3.57)
So—
C2Si 9
Следовател
const, так как vx= coiR
где С
Vi
случае профиль цилиндрического кулачка имеет форму винтовой ли­
нии с углом подъема а = arctg С2.
5)
I
(^өг)
/
О
7
(5s/J
/У/ц
0)
вг
п
-V В1
#
'27
&
1L
-X-V
fed
ж
05
П'
27LR
Рис. 3.40
3.
Когда требуется, чтобы толкатель перемещался с а\ — С3 =
== const. Из формулы (3.55) получаем d ( " ^ ) = ( " ^ “)
= c «dsi '
откуда _f*£i as C4st + С, где согласно начальным условиям произвольdsi
пая постоянная С = 0. После второго интегрирования имеем
S2—
0,5C4s,at
(3.58)
197
т. е. уравнением развертки профиля кулачка является
парабола.
Другой вид механизма с цилиндрическим кулачком 1 изображен
на рис. 3.40, а. Толкатель 2 здесь выполнен в виде коромысла ВО*
Имея заданными п.
__
/2=
1В0~
®доп» со 1 , 12= ^В02> ф 2тах = Р И ЗЭКОН ДВИЖенИЯ
ф 2— фг ( ф і ) толкателя (рис. 3.40,6), сначала определяют vB2tnax=
— ‘г©2шах и выбирают R^>R min указанным на предыдущей схеме спо­
собом. Величину со2тах в общем случае находят из графика ф 2' =
= ф 2 (ф і). полученного путем графического дифференцирования по
фх заданной кривой ф 2=ф г(ф і)- Причем, вычисляя R min> следует
учесть реверсивность вращения кулачка, т. е. учесть значения со
при подъеме толкателя под воздействием как левой, так и правой сто­
роны профиля кулачка. Связь между а>2 Иф2’ устанавливается равен­
ством (2.27) с0 2= ( 0 іф2'. Далее по угловым ф1, ф2 или линейным
Sb1. sB2 координатам определяют форму развертки центрового профиля
/ ' “ о /л *
кУлачка способом обращенного движения
(рис. 3.40, в). Откладывая, например, в виде отрезка В0В0* угол т ,сначала засекают из точки Воі радиусом В 0 2 точку 0 2г на прямой
а д . параллельной оси хВ0х (прямая
является геометрическим
местом центров 0 2 вращения толкателя В 02 в относительном— обращен­
ном—движении; она отстоит от развернутой прямой хВоХ, характери­
зующей самое низшее положение точки В2 толкателя, на расстоянии
внеосности в). Далее из полученной точки 0 2г тем же радиусом В 0 2
проводят дугу, на которой откладывают либо дуговое перемещение
фиксиру
У
Уsi
ствующее угловое перемещение ф2
во,
S11
§ 43. МАЛЬТИЙСКИЕ МЕХАНИЗМЫ
Среди механизмов с периодическими остановками ведомого звена
наибольшее распространение в технике получили мальтийские.
Простой
мальтийский
м е х а н и з м (рис. 3.41)
состоит из кривошипа 1 с пальцем (роликом) В, мальтийского креста 2
с радиальными равномерно расположенными пазами (прорезями) и
неподвижного звена — стойки 3. При вращении кривошипа 1 палец В
входит в соответствующий паз креста (положение 0 & ) и поворачивает
его на определенный угол. После выхода пальца В из паза (положение
0 1В 2) крест останавливается. Д ля устранения самопроизвольного
движения креста применяют фиксирующие устройства. Обычно фик­
сацию креста осуществляют с помощью запирающих дуг С и D
принадлежащих соответственно звеньям 1 и 2. В момент остановки
креста запирающие дуги С и D имеют общий центр кривизны, совпа­
дающий с осью вращения кривошипа Ох, скользя друг относительно
друга, обеспечивают неподвижность креста 2 и вращение кривошипа 1
до тех пор, пока палец В не войдет в следующий паз креста. Для того
чтобы в моменты входа пальца в паз и выхода его из паза не происхо­
дило жесткого удара, необходимо чтобы вектор скорости пальца В
совпадал с направлением оси паза в соответствующие моменты вре198
мени (положения Вх и В2). Для правильных мальтийских механизмов
это условие обеспечивается, если ось радиально расположенных пазов
в этих положениях касается траектории пальца кривошипа (см.
рис. 3.41).
Особенностью мальтийского механизма является прерывистый
характер движения ведомого звена с остановками определенной про­
должительности. Необходимость такого характера движения в неко­
торых машинах можно пояснить на примере многошпиндельного авто­
мата. Обработку деталей на этих автоматах производят одновременно
в нескольких позициях, отличающихся выполняемыми переходами
обработки детали. Число позиций равно числу шпинделей. Во время
Рис. 3.41
обработки деталей шпиндельный блок остается неподвижным. По окончании обработки во всех позициях шпиндельный блок поворачивается
и шпиндель меняет свои позиции. Это позволяет обрабатывать слож­
ные детали методом совмещения переходов операции и обеспечивать
высокую производительность обработки. Преимущество мальтийского
механизма для поворота шпиндельного блока перед обычным кулач­
ковым механизмом определяется простотой конструкции, ее техноло­
гичностью, высокой точностью фиксации ведомого звена в период оста­
новки, надежностью и долговечностью в работе.
В мальтийском механизме в н е ш н е г о з а ц е п л е н и я (см.
рис. 3.41) кривошип 1 и крест 2 вращаются в разных направлениях.
Мальтиискии механизм, в котором звенья / и 2 вращаются в одном
направлении, называется механизмом в н у т р е н н е г о
зацеп19»
л е н и я (рис. 3.42, а). Если периоды движения ведомого звена дол­
жны быть равны, а периоды остановки различны, то применяют меха­
низмы с несколькими пальцами на кривошипе, но с равными углами
между пазами у креста. При произвольном соотношении между перио­
дами покоя и остановки креста используют мальтийские механизмы
с неравными углами между пазами на кресте 2 и с двумя (В и В') или
более пальцами на кривошипе 1 (рис. 3.42, в).
Наибольшее применение находят правильные (или однородные)
мальтииские механизмы с внешним и внутренним зацеплениями, с
радиальными равномерно расположенными пазами. К подобным мальтииским механизмам обычно предъявляют требования обеспечения
поворота креста на необходимый угол в требуемое время и с наимень­
шими динамическими нагрузками, являющимися следствием нерав­
номерного вращения креста.
Рис. 3.42
Рассмотрим конструктивные параметры механизма, оказывающие
влияние на характер движения креста. Центральный угол между
пазами креста ф 2= 2jx / z , где z — число равномерно расположенных
пазов. Повороту креста на угол ф2 согласно рис. 3.41 соответствует
перемещение пальца из положения Вг в положение В2 или поворот
кривошипа на угол ф1д. В четырехугольнике О & В & г углы при вер­
шинах А и А прямые, а угол при вершине Ог равен ф2. Следовательно,
ф ід = 2 я — <1>2— я = я (1 —
ф 1л=
2я — ф |Д= я(1 +
2/г)
(3.59)
2 /г ).
Отношение времени /,д поворота креста 2 к времени Г, одного обо­
рота ведущего звена 1 называется к о э ф ф и ц и е н т о м д в и ж е 200
н и я К и является одной из важнейших характеристик механизма.
2
1
1
t 1Д
Фід
(3.60)
К
2г.
2
2z
Тг
С увеличением числа пазов в механизме с внешним зацеплением ко­
эффициент движения возрастает (рис. 3.43) и в пределе достигает зна­
чения 0,5. Это наблюдается при бесконечно большом количестве пазов,
т. е. в механизме, у которого ведомое звено 2 движется поступательно
(см. рис. 3.42, б). При теоретически возможном значении г — 2 коэф­
фициент движения равен нулю. Поэтому наименьшее возможное число
пазов креста равно 3, при котором наименьший коэффициент движения
равен 0,167. При г = 4 коэффициент движения равен 0,25, а при 2 = 5
он увеличивается до 0,3. Время остановки (покоя) креста
ф іП
t ІП
w
1
+
2
30
сек.
(3.61)
Следовательно, при использовании крестов с малым количеством па­
зов время, затрачиваемое на поворот ведомого звена, наименьшее, а
время остановки креста — наиболь­
шее. Поэтому в устройствах, где
Е-гтах/,j)t
35
рабочая операция или процесс осу­
ществляется в периоды остановки
креста, применяют кресты с малым
количеством пазов.
Ускоренное движение ведомого
звена вызывает динамические на­
грузки в кинематических парах меха­
низма. В случае достаточно боль­
ших масс и моментов инерции ведо­
мого звена эти нагрузки достигают
больших величин. Угол поворота ф2
Рис. 3.43
креста 2 в каком-либо промежуточ­
ном положении (см. рис. 3.41, б)
выражают в зависимости от гео­
метрических параметров механизма с учетом направлений вращения
кривошипа и креста
ll sin ф |
Xsin фх
(3.62)
tg
А — li cos <pi
1 —Xcos ф|
где Фі и ср2 — углы поворота кривошипа 1 и креста 2 , отсчитывае­
/1
4
*
Sin
мые от линии центров 0 {0 2 и X
sin
А
2
Угловую скорость со2 и угловое ускорение е2 креста определяют
путем дифференцирования выражения (3.62) при условии, что
(О 1 = const,
X (cos ф
</ф
X
)
со
(О1
(3.63)
ш
1 — 2\ cos фі + X*
201
и
dt
CD
X (1 — X2) sin g l
(1 — 2X cos фі + X2)
(3.64)
Полученные формулы (3.62), (3.63) и (3.64) идентичны формулам
(2.93), (2.94) и (2.96), выведенным для четырехзвенного кулисного
механизма в § 12.
Характер изменения кинематических параметров креста показан
на рис. 3.44. Угловая скорость креста монотонно возрастает от нуля
и
в начале зацепления до максимума в среднем положении крес­
гч>
та и далее монотонно убывает до
Внешнее
зацепление
нуля в конце поворота. Угловое
ускорение
в
начале
и
конце
пово­
V
»;ІП
рота изменяется скачком от нуля
О
ил я1 до некоторого значения, т. е. дви­
креста
жение
сопровождается
9.
Внутреннее
м
я
г
к
и
м
у
д
а
р
о
м
.
При
незацепление
котором значении угла
угло­
вое ускорение е2 креста достигает
to
экстремальных
значений. При
уменьшении числа пазов г экст§
I
k
й
к-------ремальные
угловые
ускорения
креста возрастают (см. рис. 3.43).
Например, если сравнить два ме­
ханизма, у которых кресты имеют
3 и 8 пазов соответственно, а кри­
вошипы вращаются с одинаковой
угловой скоростью, то максималь­
ное ускорение креста в первом слу­
Рис. 3.44
чае в 45 раз больше, чем во втором*.
Если сравнение провести при усло­
вии, что равны периоды остановки крестов [из формулы (3.61) видно,
что это можно осуществить путем соответствующего выбора угловых
скоростей кривошипов], то отличие достигает 80. Следовательно, меха­
низмы с малым количеством пазов на кресте имеют очень высокие зна­
чения угловых ускорений, что является существенным их недостат­
ком. Оптимальное сочетание требуемого коэффициента движения Қ
и наименьших угловых ускорений креста приходится выбирать в за­
висимости от конкретных условий. На практике обычно применяют
кресты с числом пазов 4, 6, 8, но не более 15. Для уменьшения мак­
симальной угловой скорости и максимального углового ускорения
целесообразно применять мальтийские механизмы внутреннего за­
цепления. На рис. 3.44 штрихпунктирной линией показаны кривые
изменения ф 2, ©г и е2 для механизма внутреннего зацепления, имею­
щего такое же число пазов на кресте, что и механизм внешнего зацеп-
1
*Н .
В. С п е р а н с к и й .
М., Изд-во АН СССР, 1960.
202
Проектирование мальтийских механизмов.
ления. При внутреннем зацеплении угловое ускорение креста в начале
поворота скачком достигает наибольшего значения и затем его величи­
на монотонно уменьшается до нуля в среднем положении креста.
Однако коэффициент движения К для механизма внутреннего зацеп­
ления всегда больше 0,5, т. е. время поворота креста при постоянной
угловой скорости кривошипа всегда больше времени остановки креста.
Основные размеры мальтийского механизма внешнего зацепления
(см. рис. 3.41) определяют следующим образом. Число пазов г выби­
рают в соответствии с заданным числом остановов (позиций). Если
число остановов не совпадает с выбранным числом креста, то необхо­
димо ввести промежуточную передачу. Расстояние А между осями
кривошипа и креста выбирают в зависимости от условий работы и га­
баритов проектируемого механизма. Согласно рис. 3.41, длина кри­
вошипа
/, = A sin i t = A sin — ,
(3.65)
О
а внешнии радиус креста
R 2 = A cos i
t
2
= A cos — .
г
(3.66)
Длину прорези Һ креста определяют при рассмотрении механизма в
среднем положении креста, когда палец В находится на линии центров
ОхОг
h > l l + R 2 + R n — Л = Л ^ іп - j - + cos
— 1W Rn. (3.67)
Угловую скорость (о i кривошипа при заданном времени t\A поворота
креста определяют по формуле
*1д
=
2
Г1д
(3.68)
Радиус пальца назначают предварительно в зависимости от длины lt
кривошипа, исходя ориентировочно из соотношения R „ = С/ю-г-1/ ^
и далее производят поверочный расчет по контактным напряжениям.
После определения основных размеров механизма производят сило­
вой расчет и определяют возникающие напряжения в деталях меха­
низма. Если после выполнения силового и прочностного расчетов ока­
жется, что динамические нагрузки чрезвычайно велики, то при проек­
тировании следует использовать один из следующих путей: применить
механизмы внутреннего зацепления; увеличить число пазов креста;
уменьшить угловую скорость кривошипа во время поворота креста
(например, при помощи некруглых зубчатых колес); предусмотреть
возможность использования кривошипа переменной длины; приме­
нить не радиальные (прямолинейные), а криволинейные пазы креста,
позволяющие в периоды разгона и выбега креста уменьшить его угло­
вые ускорения.
203
Помимо рассмотренных схем мальтийских механизмов на практике
используют также более сложные механизмы, которые позволяют
снизить динамические нагрузки и обеспечить требуемый коэффициент
времени движения. Например, при использовании механизма, у кото­
рого кривошип имеет несколько пальцев (например, т ) , а крест
г пазов с равными углами между ними, изменяют коэффициент движе­
ния К и продолжительность периодов движения и остановки креста.
коэффициент
выражают в виде
т
2 'г д
Қ = /==|
Т\
=
■
*1Д + *2д +
... +
t mд
фід + Фгд +
Тj
■* . + <Ртд
/ д ggv
2тт
1 ак как, согласно уравнению (о.59), углыср/д зависят только
пазов на кресте, то с учетом выражения (3.60) получают
г/
z 2
К - m ------- .
2г
(3.70)
Если пальцы на кривошипе расположены равномерно по окружности, то угловой шаг между ними равен — . Движение креста пре­
рывистое, если соблюдается неравенство
2 п
m
М * ЯШЛ
<Р.д-
(3.71)
С учетом уравнения (3.59) устанавливают возможное число пальцев
на кривошипе при данном числе пазов г на кресте. Из неравенства
(3.71) следует, что
m<
.
(3.72)
При шестипазовом кресте (г = 6) число пальцев не может.быть более 2,
при пятипазовом — более 3.
Если пальцы на кривошипе расположены неравномерно, то периоды
остановки креста отличаются друг от друга.
Если в выражении (3.72) использовать предельный случай, т. е.
равенство правой и левой частей, то это соответствует непрерывному
движению креста. Для шестипазового креста соответствующее число
пальцев равно 3.
В мальтийских механизмах, у которых кресты имеют неравномерно
расположенные пазы, получаются неравные углы поворота креста
между позициями. Однако нормальный поворот креста в этом случае
можно обеспечить только, если число пальцев m кратно числу пазов г,
т. е. г = ут, где у — некоторое целое число, равное скорости вра­
щения кривошипа за время поворота креста на угол 2я.
204
Угол поворота кривошипа, соответствующий повороту креста на
конструктивный угол §Ц между соседними пазами, согласно соотно­
шению (3.59)
ф ід = Я — Фі2*
Для того чтобы все т пальцев последовательно вошли в зацеп­
ление с соответствующими пазами креста, необходимо повернуть
т
ведущее звено на угол V ф,д •< 2it, следовательно, учитывая условие
/=»1
кратности числа пазов и пальцев, можно записать
т
т
2 ф«д= 2 (* — tia) =
/= I
<=і
-----—
2
< 2тс.
(3.73)
Так как
т
.
2ic
2пт
м | -ji
_
> ф|2 = --- = ------,
S
Т
то из неравенства (3.73) следует т
------- , что совпадает с соотноz —2
шением (3.72), установленным ранее для неравномерного расположе­
ния пальцев кривошипа.
При трехпазовом кресте (г = 3) число пальцев на кривошипе дол­
жно быть меньше 6 (т. е. 5, 4, 3, 2). С учетом требования кратности
числа пазов и пальцев из этого ряда следует выбрать единственное
решение: г = 3 и т — 3. При четном числе пазов z > 4 кривошип может
иметь не более двух пальцев.
Глава VIII
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ
Передача непрерывного движения от одного вала механизма к
другому с заданным соотношением угловых скоростей чаще всего осу­
ществляется при помощи зубчатых механизмов. Зубчатые механизмы
получили очень широкое применение как в машиностроении, так и
приборостроении, благодаря их большой надежности и точности воепроизведения заданного закона движения. Особенно это относится
к различным ц и л и н д р и ч е с к и м
зубчатым
пере­
д а ч а м ^ которых оси колес параллельны и аксоидами колес являют­
ся цилиндры.
§ 44. ВИДЫ ПРОСТЫХ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ И ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС
Простые цилиндрические зубчатые передачи (см. § 4) могут быть
в н е ш н е г о (рис. 1.45, а) и в н у т р е н н е г о (рис. 1.45, б) з ац е п л е н и й . Особо следует отметить р е е ч н о е
зацепле205
н и е (см. рис. 1.45, в), которое является разграничительным между
внешним и внутренним зацеплениями и в одинаковой мере может быть
отнесено к любому из них. Кроме того, передачи могут быть прямозу­
быми или косозубыми в зависимости от формы зубьев колес. Зубча­
тое колесо будет п р я м о з у б ы м (рис. 3.45, а), если у него л и н и я
з у б а, т. е. линия пересечения боковой поверхности 2 с соос­
ной поверхностью 3, параллельна оси колеса, и к о с о з у б ы м
(рис. 3.4о, б), если линией зуба
является винтовая линия.
По форме кривой, исполь­
зованной для торцового профи­
ля 4 (рис. 3.45), различают пеI
I
-1
—
------г
J
жности и др. Среди цилиндри­
ческих передач особое распро­
странение получили э в о л ь ­
вентные
цилиндрические
Рис. 3.45
передачи. Объясняется это тем,
что они имеют значительные
преимущества перед другими
известными и опробованными в настоящее время передачами. Так,
эвольвентные передачи в определенных пределах допускают измене­
ние межосевого расстояния, сохраняя постоянство передаточного
отношения в процессе зацепления, и обладают хорошими эксплуа­
тационными качествами. Изготовление эвольвентных колес и ин­
струмента для их нарезания наиболее простое, что имеет важное
практическое значение.
Эвольвентная передача имеет в своем составе два эвольвентных
зубчатых колеса. Э в о л ь в е н т н ы м
к о л е с о м называется
такое, у которого в торцовой плоскости 5, перпендикулярной к оси
колеса (см. рис. 3.45), профиль зуба очерчен по эвольвенте окружности.
Следовательно, эвольвента окружности определяет как геометрию
зуба, так и геометрию передачи, составленной из этих колес.
§ 45. ЭВОЛЬВЕНТА ОКРУЖНОСТИ, ЕЕ СВОЙСТВА И УРАВНЕНИЕ
Эвольвентой
о к р у ж н о с т и называется кривая, опи
сываемая любой точкой прямой линии при перекатывании ее без
скольжения по окружности. При этом прямая линия называется п р о ­
и з в о д я щ е й п р я м о й , а окружность — о с н о в н о й (радиус
г0). На рис. 3.46 изображены основная окружность и производящая
прямая (последняя дана штрихами в начальном положении и спло­
шной линией в произвольном положении K,XNX). При качении произ­
водящей прямой по основной окружности в одном направлении точка
К прямой описывает правую ветвь эвольвенты Қ0КХ. При качении
производящей прямой в другом направлении точка К описывает ле206
вую ветвь эвольвенты К К'Х- Текущий радиус-вектор точки К * эволь­
венты обозначен гх. Начальный радиус*вектор эвольвенты О Ко равен
радиусу г0 основной окружности. Острый угол между касательной к
профилю зуба в точке Кх и ее радиусом-вектором О/С*» обозначенный
профиля
любой
формы,
носит
название
п
р
о
ф
и
л
ь
н
о
г
о
а* для
зуба*.
Угол 0
угла
n/
образованный начальным ра
Эвольвента
днусом-вектором эвольвенты
(правая ветвь)
О/Со и ее текущим радиусом
wj\
Эвольвента
0 К Х, называется э в о л ь I
{левая
ветвь)
е н т н ы м у г л о м , или
m
\
инволютой
угла
К,
1
4
T
j
T
f
т. е.
СЦ,
Ө
Nx
Г,
0
Производящая
точка
эвольвенты
Любая
п прямая
пределяется двумя
вполне
параметрами: радиусом-вектором гх и эвольвентным уг­
Основная окружность
лом Вх.
На основании того что
Рис. 3.46
производящая прямая пере­
катывается по основной ок­
ружности без скольжения, можно составить равенство K 0N X K XN X,
подставив в которое значение дуги и отрезка, будем иметь
То(Өя+ Qx) “ rQ tg Qgti
откуда получаем
Ө
X
inv Ox= tg Oj
Ox
(3.74)
Связь между г* и углом о* устанавливается из Д KxONx зависи­
мостью
(3.75)
cos ах
Формулы (3.74) и (3.75) выражают уравнение эвольвенты в пара­
метрической форме. Если исключить из этих формул параметр а ,,
то получим прямую связь между 9Я и гя, выраженную через г0. Это
обстоятельство указывает на то, что эвольвента вполне определяется
основной окружностью. Поэтому для аналитического определения
координат эвольвентного профиля или для графического построения
его необходимо и достаточно задать радиус основной «кружности.
Д ля геометрической теории зацепления важное значение имеют
следующие основные свойства өвольвентыі
*
В дальнейшем на чертежах будем отмечать не сам профильный угол зу б а,
а равный ему < К X0 N X = ах .
207
а) эвольвента — симметричная кривая, имеющая две ветви, схо­
дящиеся в точке К0 (W0), которая лежит на основной окружности. Сле­
довательно, эвольвента не имеет точек внутри основной окружности;
б) точка Nx является мгновенным центром вращения производящей
прямой, а следовательно, и центром кривизны эвольвенты в точке Кх.
Отрезок производящей прямой KXNX является текущим радиусом кри­
визны рх эвольвенты в точке Кх. На основании этого, положение нор­
мали в любой точке эвольвенты будет определено, если провести из
этой точки эвольвенты прямую, касательно к основной окружности’,
в) профильный угол а* и радиус кривизны рх в начальной точке
К0 эвольвенты равны нулю. По мере удаления точек эвольвенты от
основной окружности профильный угол увеличивается. При этом
увеличиваются и радиусы кривизны эвольвенты. При увеличении ра­
диуса основной окружности эвольвентный профиль постепенно теряет
свою кривизну и при г
оэ эвольвента преобразуется в прямую ли­
нию.
§ 46. ЭЛЕМЕНТЫ ЭВОЛЬВЕНТНОГО ЗУБЧАТОГО КОЛЕСА
И ЗУБЧАТОЙ РЕЙКИ
Элементами зубчатого колеса называются расчетные величины, ко­
торые определяют основные размеры колеса. Эти элементы следует
рассматривать в любом сечении колеса плоскостью, перпендикуляр­
ной к его оси, т. е. в торцовом сечении.
Элементы прямозубого колеса. В торцовом сечении колеса
(рис. 3.47, а, б) о к р у ж н о с т ь в п а д и н радиусом RB ограни­
чивает зубья со стороны тела колеса, с другой же стороны зубья огра­
ничиваются о к р у ж н о с т ь ю
в е р ш и н радиусом R. В ы с о ­
т а з у б а Н определяется разностью R — R B для колес с внешним
зубом (рис. 3.47, а) и RB— R для колес с внутренним зубом (рис. 3.47,6).
Профиль зуба колеса имеет эвольвентную и неэвольвентную части.
Их разделяет г р а н и ч н а я
окружность
радиусом Rr.
Эвольвентный профиль зуба соответствует вполне определенной о сновной
о к р у ж н о с т и радиусом г0. Кроме перечисленных
окружностей, на рисунках показаны; д е л и т е л ь н а я о к р у ж ­
н о с т ь радиусом г и окружность произвольным радиусом гх.
Через а 0 обозначен < .K O N , равный профильному углу зуба для
точки К , находящейся на делительной окружности. В Советском Союзе
этот угол стандартизирован и равен 20°. Таким образом, делительная
окружность прямозубого колеса является окружностью, пересекающей
профиль зуба в точке, для которой профильный угол равен стандарт­
ному углу а 0= 20°.
Если длину окружностей — делительной, основной и с произволь­
ным радиусом поделить на число зубьев г, то будут получены расстоя­
ния между соответствующими профилями двух соседних зубьев,
измеряемые по соответствующим дугам окружностей и называемые:
шагом
з у б ь е в колеса по делительной окружности t, шагом
208
по основной окружности f0 и шагом по окружности произвольным
I
радиусом
tx. Дуги t, t0 и tx соответствуют одному и тому же у г л овому
шагу
t
t
360'
to
или
иГПЖя
tn v o c
V7V0C
Рис. 3.47
следовательно, отношение шагов можно приравнять отношению ради­
усов соответствующих окружностей. Важным элементом колеса явля­
ется шаг по делительной окружности. Так как по любой окружности
дуговой шаг укладывается целое число раз, равное числу 2, то длину
делительной окружности можно выразить через шаг / и число зубьев
колеса г, т. е. 2яг = tz, а диаметр делительной окружности
d, = 2r = — z = mz.
Здесь ----- отношение шага по делительной окружности к числу я,
называемое м о д у л е м
з у б ь е в колеса (модуль измеряется в
мм).
Принято выражать диаметр делительной окружности и все разме­
ры как колеса, так и передачи, в долях этого модуля, а именно:
209
тг
(3.76)
У
t
пт,
(3.77)
радиус основной окружности находят из A KON (рио. 3.47, а, б):
тг
г cos а о
О
cos а0;
(3.78)
Т
радиус произвольной окружности колеса на основании равенств (3.75)
и (3.78) выражают следующим образом
CO
Sа0
тг
cos а0
COSа х
~2
cos ах
(3.79)
Используя равенство отношений шагов и радиусов для различных
окружностей, а также формулы (3.75), (3.78) и (3.79), можно записать
cos а0 и
tо
cos а х>
t
откуда шаг по основной окружности
t
(3.80)
COS d o = Я /я COS do,
а шаг по окружности произвольным радиусом
*
t
cos
а0
пт
CO
Sа0
cos а,
(3.81)
COSах
Модуль регламентирован ГОСТ 9563—60, который представляет
собой два ряда допустимых значений модуля (табл. 3.1).
Таблица
3.1
Значение стандартных модулей и ГОСТ 9563— 60
Модо ли мм
1-й ряд
2-й ряд
0 ,0 5
0 ,5
0,055
0 ,0 6
—
—•
0,09
0,10
I
0 ,7
—
0 ,9
0,20
1.5
0,18
—
0,22
2
——
210
9
16
—
ж
т ят щ
4.5
100
— ■»
И
—
—
—
—
—
ИЯ
—
—
(8
—
—
—
—•
22
—
25
— ,
—
—
—
—
—
—
28
32
—»
S*
36
1
I
ж
—
20
3 ,5
4
90
14
—
—
——
10
12
—-
70
——
80
2,75
0 ,3 5
0,45
7
. —
—
3
0^4
щ
1,375
—
—1
1,75
Е; •—
Щ
2
2,25
0,28
0 ,3
60
р —?
—*
•—
2 ,5
0,25
55
8
1,25
0,15
50
6
—
2-й ряд
5 ,5
1,125
—
1-й ряд
5
0 ,6
—
0 ,8
0,11
0,14
2- й ряд
0,55
1.0
0,12
1-й ряд
j
—
0,07
0 ,0 8
2-й ряд
1-й ряд
40
—
Щ
]
45
V
—
щтф
—
—
——
—
щЛ
Из вышеизложенного вытекает, что основными расчетными пара­
метрами колес являются модуль т и число зубьев г, и что размеры де­
лительных окружностей в определенной мере уже характеризуют
размеры колес и передачи.
В некоторых странах вместо модуля принят диаметральный питч
число зубьев колеса, приходящееся на 1 дюйм диа­
метра делительной окружности. Связь между т и р следующая:
P ~ 'd{дюйм)* т ' е '
т = 25,4 — , мм.
р
Шаг зубьев колеса по любой окружности можно представить как
сумму т о л щ и н ы з у б а sx и ш и р и н ы в п а д и н ы их, т. е.
tx= Sjc-H ы*; t = s + и = пт. Колеса одного и того же модуля, имею­
щие одно и то же число зубьев, могут отличаться друг от друга толщи­
ной зуба по делительной окружности. В зависимости от толщины зуба
по делительной окружности различают три вида колес:
1)
колеса
н у л е в ы е , или к о л е с а
с
равноде­
л е н н ы м ш а г о м , у которых по делительной окружности тол­
щина зуба равна ширине впадины, а следовательно, половине шага
2) к о л е с а
п о л о ж и т е л ь н ы е , у которых толщина зуба
по делительной окружности
_
тгт
>
^
s> - ■
■■■', т. е. s > u (для колес с внешним зубом),
s <С -™ ■, т. е. s<Cm (для колес с внутренним зубом);
it
t >г\
j ал
3) к о л е с а
отрицательные,
по делительнои окружности
у которых толщина зуба
s < -■■■■■■■, т. е. s<C.u (для колес с внешним зубом),
s>
, т. е. s > u (для колес с внутренним зубом).
В общем виде толщина зуба по делительной окружности
%т , д
/ « , .\
s= —
+ д •m = m
+ A j,
Л
(3.82)
211
где Д — к о э ф ф и ц и е н т и з м е н е н и я
толщины
з уб а, являющийся величиной алгебраической.
На рис. 3.47, в , г изображены эвольвентные профили соответствен­
но внешнего и внутреннего зубьев и отмечены центральные углы ст0,
а и ах, соответствующие дуговым толщинам зуба s0, s и sx, а также инволютные функции профильных углов inv сц> и inv а*. Из рис. 3.47, в, г
следует
а0= а ± 2 inv а<>= ах ± 2 inv а*,
где знак плюс относится к колесу с внешним зубом, а знак минус —
к колесу с внутренним зубом. Отсюда можно записать, что
ах— ст ± 2 inv ао Т 2 inv а*.
Используя выражения угловых толщин через линейные
■
Sг
а , = —i -
и
S
о= —
формулу
щины зуба sx:
S- = г (— ± 2 inv а0 т 2 inv ах
Подставив в это выражение значения гх, г и s из формул (3.76)
(3.79), (3.82) и произведя ряд преобразований, получим в окончатель­
ном виде формулу для определения толщины зуба по окружности про*
извольным радиусом
sX
, = т cos а° I — + Д Т г (inv а — inv
COS
(3.83)
где знак «минус» берется для колеса с внешним зубом, а знак «плюс»
для колеса с внутренним зубом.
Элементы зубчатой рейки. Если безгранично увеличивать число
зубьев колеса, а следовательно, и радиусы всех окружностей, то в
пределе при г = оо все окружности преобразуются в параллельные
прямые, а эвольвентный профиль
зуба — в прямую.
Прямая веашин
На рис. 3.48 изображена з у б ­
чатая
р е й к а и показаны
ее элементы. Эвольвентный про­
филь зуба выражен прямой с
Прямая
Граничная
углом
наклона
к
вертикали
ао.
Впадин
прямая
Профильные углы для всех точек
профиля зуба имеют одинаковые
Рис. 3.48
212
значения, равные <хо- Шаг зубьев рейки, измеренный по лю­
бой параллельной прямой, имеет одинаковое
значение шага
стандартного модуля t = я т. Шаг рейки, замеренный по нормали
п—п, выражается через шаг по делительнои окружности, умножен­
ный на косинус угла ао, что соответствует шагу по основной окруж­
ности колеса [формула (3.80)] и обозначается /0:
t0= t cos ао= яш cos ао-
Элементы косозубого колеса и косозубой рейки. Для выяснения
особенностей элементов косозубого колеса необходимо рассмотреть
боковая по
Верхность
прямого зус
ОВразующс
прямая
Рис. 3.49
образование боковых поверхностей прямого и косого зубьев. На
рис. 3.49 в перспективе показана боковая поверхность п р я м о г о
з у б а , которую можно представить, как совокупность совершенно
одинаковых эвольвент, расположенных в плоскостях, перпендику­
лярных к оси колеса 0 , Э'). Эти эвольвенты являются траекториями
точек образующей прямой Қ 0Қ '0, лежащей на производящей плос­
кости параллельно оси колеса. Начальные точки этих эвольвент рас­
полагаются на образующей основного цилиндра К 0К '0. На виде сверху
(рис. см. 3.49) все эвольвенты сливаются в одну. Пересечение боковой
поверхности прямого зуба с любым соосным цилиндром и с произ­
водящей плоскостью происходит по прямой К К '. Эта поверхность
213
является э в о л ь в е н т н о й
линейчатой
цилиндри­
ч е с к о й поверхностью.
Боковую поверхность косого зуба (рис. 3.50), так же как и пря­
мого, рассматривают, как совокупность одинаковых эвольвент, Э, Э ' ,
находящихся в плоскостях, перпендикулярных к оси колеса. Однако
в этом случае образующая прямая К '0К расположена на производящей
плоскости под некоторым углом |30 к оси колеса. Благодаря этому при
Основной
цилиндр
Боковая
ность косого
Делительный
цилиндр
Образующая
прямая
Производящая
плоскость
Рис. 3.50
перекатывании производящей плоскости по основному цилиндру без
скольжения, начальные точки эвольвент располагаются на основном
цилиндре по винтовой линии Қ 0Қ 0. В пересечении с любым соосным
цилиндром боковая поверхность косого зуба образует винтовые линии,
а в пересечении с производящей плоскостью — прямую, наклоненную
к оси колеса под углом 0*. Эта поверхность является э в о л ь в е н т ­
ной л и н е й ч а т о й
в и н т о в о й поверхностью.
Таким образом, боковые поверхности прямого и косого зубьев сход­
ны тем, что они в любом торцовом сечении, т. е. в сечении плоскостью,
перпендикулярной к оси колеса, имеют эвольвенту. Следовательно,
все ранее выведенные зависимости для элементов прямозубого колеса
остаются такими же и для косозубых колес. Однако сами элементы
.косозубого колеса в торцовых сечениях отличаются от элементов ко­
леса с прямым зубом. Таким элементам и их определяющим пара214
метрам приписывают индекс «т» от слова «торцовый». Совершенно оче­
видно, что элементы косозубого колеса, рассматриваемые в торцовом
сечении, зависят от угла наклона линии зуба по отношению к оси ко­
леса. На рис. 3.51 изображены развертки делительного и основного
цилиндров косозубого колеса с шириной Ъ зубчатого венца. Ход Һ
Плоскость нормаль­
ного сечения
Развертка дели­
тельного цилиндра
Торцовая
плоскость
Рис. 3.51
Рис. 3.52
винтовых линий зуба колеса по всем цилиндрам один и тот же\ сле­
довательно можно записать
Һ
2тіг0
2тег
откуда
tgp0 = t g p - ^ = t g p cosaOT,
где fl0— угол наклона винтовой линии зуба по основному цилиндру;
0 — угол наклона по делительному цилиндру;
— профильный
угол зуба в торцовом сечении на окружности радиусом г.
Расчетным элементом, который обычно задается, будет угол р.
Связь между шагами в торцовом и нормальном сечениях косого зуба
можно установить по развертке делительного цилиндра (рио. 3.52):
Л В COSИР
но так как / = пт, то *T= itmcosB.
Обозначив
m /cosp=»m Tt
(3.84)
получим аналогичное выражение для торцового шага через торцовый
модуль
tr— пт,
(3.85)
31S
и
^от— Tl/Tlf COS (Xqt
(3.86)
.елительной
----------1-------------------КО*
П 7о\ колеса определяются по тем же формулам (3.76), (3.78)
и (3.79), в которые вместо модуля т следует подставить значение т
из формулы (3.84).
Для определения связи между углами оох и сц, рассмотрим косозубую рейку. На рис. 3.53 изображен косой зуб рейки с углом наклона
профиля Оог и сечение его плоскостью, нормальной к линии зуба. Пря­
мая АВ как линия пересечения нормальной и торцовой плоскостей и
прямая AD как^линия пересечения нормальной плоскости с боковой
поверхностью зуба образуют -гГ BAD — У Г О Л Н Я К Л О Н Я профиля
в нормальном сечении oq.
Из прямоугольного Треугольника ABD в плоскости нормального
сечения имеем tg a 0 = - ? ? - , а из A ABC в торцовой плоскости
АВ
ВС
tg a
0 1
АВ
'
После деления второго равенства на первое получим
%
t g a от
ВС
tg ао
BD
Из прямоугольного треугольника BDC, плоскость которого пеоЛ И К У Л Я ПНЯ
пендикулярна
кК нормальной и торцовой плоскостям, следует
BD/BC
cos р, поэтому
U n n U Q
TT1LU/-\Tjr
tg a от
*»
_
_____________________________________
tg «о
cos р
Г
(3.87)
К элементам, присущим только колесам с косыми зубьями, отно­
сится и д у г а с д в и г а . На рис. 3.50 показана боковая поверх­
ность косого зуба, которая в пересечении с торцовыми поверхностями
колеса образует эвольвентные профили Э' в верхнем торце и З в нижотносительно друга происходит
по винтовым линиям зуба
Щ М о>
К К ',
которые
изображают линии пере­
сечения боковой
поверх­
ности косого зуба с по­
верхностью основного и
.Нормальное
сечение
делительного цилиндров.
Дуги, п р е д с т а в л я ю щ и е
проекции винтовых линий
на торцовую плоскость
колеса, называются дуга­
ми сдвига профиля Э от­
носительно профиля Э'. На
Рис. 3.53
рис. 3.50 (вид сверху)
216
показаны дуги сдвига Д / 0 по основной и Д Г делительной окружнос­
тям. Центральные углы, соответствующие дугам Д Т0 и Д Т, равны
между собой. Следовательно, дуги сдвига по различным концентричес­
ким окружностям пропорциональны радиусам этих окружностей
А Т0
г0
= cosaOT,
дт
поэтому
ДТ0 = АТ со s аот
Величину дуги сдвига по делительной окружности Д Т можно получить
из развертки делительного цилиндра, изображенной на рис. 3.52,
а именно: Д Т = b tg р, и тогда окончательно
Д ТМ Ь
р cos о,*.
(3.88)
§ 47. ЭЛЕМЕНТЫ И СВОЙСТВА ЭВОЛЬВЕНТНОГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ
На рис. 3.54, а, в изображены основные окружности радиусами
и г„г- Их эвольвенты Эу и Эг контактируют в точке Қ в первом слу­
чае внешним и во втором внутренним образом.
Из основного свойства эвольвенты следует, что прямая K N U про­
веденная из точки К касательно к основной окружности радиусом r0i,
в обоих случаях является нормалью к эвольвенте 3 t. На том же ос­
новании прямая K N 2, проведенная касательно к основной окружнос­
ти радиусом Гог, является нормалью к эвольвенте Э2. Известно (см.
§ 34), что сопряженные профили должны иметь общую нормаль в
точке контакта. Отрезки K N i и ҚіV2 составляют общую прямую N iN 2,
касательную к двум основным окружностям. Положение этой прямой
при принятом на чертеже направлении вращения эвольвент может
быть только единственным. Следовательно, прямая N tN 2 будет общей
нормалью к двум эвольвентам, которые по этой причине являются
сопряженными и имеют точку контакта на прямой N iN 2. Рассмотрим
новое положение эвольвент 9 t и Э2, контактирующих уже в точке Қ '.
Путем аналогичных рассуждений убеждаемся, что эвольвенты э \
и Э2 имеют общую нормаль, представленную той же прямой Л^Л/2, а
следовательно, и точка их контакта находится на этой прямой.
Таким образом, прямую N {N 2 можно рассматривать, как геометри­
ческое место точек контакта сопряженных эвольвент Э { и Э г. В про­
цессе зацепления, т. е. в процессе смены точек контакта двух эволь­
вентных профилей, их общая нормаль, как касательная к двум основ­
ным окружностям, не меняет своего положения. Этим доказывается
первое, очень существенное свойство эвольвентного зацепления, а
именно, эволъвентяое зацепление обеспечивает постоянство передаточного отношения в процессе зацепленияу т. е. на основании теоремы Вил­
лиса о мгновенном передаточном отношении (§ 34) можно записать
соотношение (3.8)
Ц _ И ОшР
Рассмотрим основные геометрические элементы эвольвентного за­
цепления.
Линия
з а ц е п л е н и я — прямая N iiVa геометрическое мес­
то точек контакта двух эвольвентных профилей.
Полюс
з а ц е п л е н и я — точка Р пересечения линии за­
цепления с линией центров 0 j0 2, определяющая мгновенный центр
скоростей двух профилей в их относительном движении.
П о л о и д ы , или ц е н т р о и д ы , — геометрическое место то­
чек Р в обращенном движении профилей: для эвольвентного зацепления
Рис. 3.54
218
полоидами являются окружности радиусами гп1 и гп2. Полоидные ок­
ружности касаются друг друга в полюсе и в процессе зацепления двух
профилей обкатываются друг по другу без скольжения, что легко до­
казывается. Из формулы (3.10)
ОоР
0\Р
со
*12
О)
-г- Г
П2
ТП
1
следует, что
^пі — ^2 ^п2
ИЛИ
^пі
^п2»
т. е. линейные скорости точек на полоидных окружностях равны
друг другу, а относительная их скорость — скорость скольжения,
равна нулю.
Угол
з а ц е п л е н и я а — угол, образуемый линией зацеп­
ления и перпендикуляром к линии центров, проведенным через точку
Р. На рис. 3.54, а, в показаны центральные углы N f i i P и N ^ O ^ ,
равные углу зацепления. Из тех же рисунков следует, что профильный
угол для точек профиля, лежащих на полоидной окружности, всегда
численно равен углу зацепления а. Обозначая углы одной и той же
буквой, следует помнить о их смысловом различии, а именно: про­
фильный угол является геометрическим параметром самого профиля,
а угол зацепления — кинематическим параметром зацепления двух
профилей.
Межосевые
р а с с т о я н и я А = rni+ г„2 для внешнего
зацепления и А — гп2— гп1 для внутреннего зацепления являются
геометрическими параметрами передачи.
Эвольвентное зацепление как внешнее, так и внутреннее допуска­
ет изменение межосевого расстояния с сохранением ранее предусмотрен­
ного передаточного отношения. Для доказательства этого положения
достаточно рассмотреть две схемы внешнего зацепления, изображен­
ные на рис. 3.54, а и б. Обе схемы имеют одни и те же эвольвенты, т. е.
одинаковые основные окружности радиусами го1 и го2, и отличаются
межосевыми расстояниями А ’> А и углами зацепления а '> а . На ос­
новании одного из параметрических уравнений эвольвенты Іуравнеформулы
окружности
тг
r n l ------------------ •
COSа
2
__
го
__
cos а0
(3.89)
COSа
(при подсчете гп1 необходимо г 0 и г сопроводить индексом 1, т. е. запи­
сать г01 и и т. д.) и выразить передаточные отношения:
для первой схемы (см. рис. 3.54, а)
^
_ мі _____ 0 ЛР _____
шя
ОхР
тп2 _____ тot cos а _____ тоз
г„1
cos а г0 1
г„I
для второй схемы (см. рис. 3.54, б)
219
*1з сопоставления двух выражений передаточного отношения it
и i 12 следует, что передаточное отношение одинаково для обеих схем
и, следовательно, не зависит от изменения величины А . Изменение ве­
личины межосевого расстояния сказывается только на величинах угла
зацепления и радиусов полоидных окружностей.
Далее, по первой схеме зацепления имеем
го і+ r02= гп1 cos а + гп2 cos а = A cos а.
По второй схеме
гоі+
r'tti cos а 4- г'п2 cos а '= A ' cos а '.
Из этих двух уравнений вытекает
A cos а = A ' cos а = const,
(3.90)
т. е. в эвольвентном зацеплении при некотором изменении межосево­
го расстояния зацепление не нарушается, а изменяется угол зацеп­
ления так, что произведение межосевого расстояния на косинус соот­
ветствующего ему угла зацепления остается величиной постоянной.
Это второе, не менее существенное свойство эвольвентного зацепления
используется при проектировании зубчатых передач. Третье свой­
ство эвольвентного зацепления заключается в том, что при внешнем
зацеплении эвольвентные профили являются сопряженными только в
пределах отрезка N 2 линии зацепления. Точка X , взятая на этой
прямой за точкой W2 (см. рис. 3.54, а), опишет эвольвенты Эу и Э«,
не имеющие общей нормали. Это означает, что эвольвенты не контак­
тируют в точке X , а пересекаются. То же самое произойдет и за точкой
Л/,. В отличие от внешнего зацепления сопряжение эвольвентных про­
филей внутреннего зацепления возможно лишь вне участка N tN 2 линии
зацепления (см. рис. 3.54, в). На участке N iN% происходит пересечение
эвольвент, так как здесь прямая N iN 2, являясь нормалью к Э2, не бу­
дет таковой к Э\. В проектируемых как внешнем, так и внутреннем
зацеплениях возможность пересечения эвольвент должна быть исклю­
чена.
§ 48. ИЗГОТОВЛЕНИЕ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС. ПОНЯТИЕ О СТАНОЧНОМ
ЗАЦЕПЛЕНИИ
Способы изготовления зубчатых колес. В настоящее время изготов­
ление зубчатых колес производят с п о с о б а м и
копирова­
н и я и о г и б а н и я . Оба эти способа используют при зубофрезеровании и зубодолблении. При фрезеровании и долблении способом
копирования для удаления той части материала заготовки, которая
заполняет объем будущей впадины, применяют инструмент (диско­
вую или пальцевую фрезу, показанную на рис. 3.55, или зубодол­
бежную головку на рис. 3.56) с режущим контуром, совпадающим с
220
контурами впадин нарезаемого колеса. Контур впадины нарезаемого
колеса определяется модулем т, числом зубьев нарезаемого колеса
г и смешением 1т (см. ниже), с которым предполагается выполнить
данное колесо. С изменением одной из этих величин должен изменяться
режущий контур соответствующего инструмента, однако выполнить
это не всегда возможно, и колеса, нарезанные способом копирования,
как правило, нарезаются неточно.
Пальцевая
фреза
Заготовка
Рис. 3.55
Рис. 3.56
При способе огибания взаимодействие на станке нарезаемого колеса
с инструментальной рейкой (червячная фреза, гребенка) — рис. 3.57, а
или с инструментальным колесом (долбяком) — рис. 3.57, б рассмат­
риваемое кинематически, представляет собой процесс зацепления
При этом процессе режущие
грани зуба инструмента за­
нимают все возможные оги­ о)
бающие положения по отношению к получающейся
боковой поверхности зуба
нарезаемого колеса. При из­
готовлении одновременно осу­
ществляются технологические
движения инструмента, в ре­
Рис. 3.57
зультате которых удаляется
материал из впадин нарезае­
мого колеса. Способ огибания позвол яет изготовить одинаково
точно одним и тем же инструментом колеса с любым числом зубь­
ев. Ниже более подробно описано получение профилей зубьев мето­
дом огибания реечным инструментом, так как этот способ имеет наи­
большее распространение.
Изготовление зубчатого колеса способом огибания производят
на станке, причем кинематически этот процесс можно рассматривать
как зацепление производящего исходного контура инструмента с на­
резаемой заготовкой; поэтому это зацепление называется с т а н о ч ­
н ы м з а ц е п л е н и е м . Геометрия зубчатого колеса в этом слу­
чае определяется параметрами производящего исходного контура рееч221
ного инструмента* и его расположением по отношению к заготовке при
нарезании зубьев. П р о и з в о д я щ и м и с х о д н ы м к о н т у ­
р о м при нарезании зубчатых колес является проекция режущей гра­
ни инструмента на плоскость, перпендикулярную к оси заготовки
(рис. 3.58, a).
'rt' '
Стандартный производящий исходный контур реечного инструмента.
Форма и размеры производящего исходного контура при нарезании
прямозубых колес стандартные**. Эвольвентные части профилей его
зубьев (рис. 3.58, б) прямолинейны и наклонены к оси зуба под углом
прямая
прямая
Рис. 3.58
а 0. Переходы от прямолинейной части зуба к основанию впадины и
вершине осуществлены по дуге радиусом ри. Точки сопряжения отме­
чены на производящем исходном контуре (см. рис. 3.58, б) буквами
АСЕР. Прямолинейная часть контура является эвольвентной частью,
а скругления АС и FE — неэвольвентной частью контура. Прямая,
разделяющая зуб по высоте на две равные части, называется с р е д ­
н е й п р я м о й . На производящем исходном контуре отмечают еще
четыре линии, параллельные средней прямой и проходящие по осно­
ваниям впадин зубьев, по вершинам зубьев и через точки сопряжения
С и Е. Расстояния между этими прямыми выражают размеры зуба
производящего исходного контура по высоте и измеряются соответ­
ственно величинами
v
ч
*
В дальнейшем производящий исходный контур реечного инструмента для
краткости называется производящий исходный контур.
** В настоящее время это не является обязательным условием; некоторые
отрасли машиностроения не применяют стандартный исходный производящий
контур.
222
һи = V?1 и Лс = хст . где x„— к о э ф ф и ц и е н т в ы с о т ы з у б а , а
хс — к о э ф ф и ц и е н т
радиального
зазора.
Согласно
ГОСТ 9587—68, х„ = 1,0 и хс = 0,25. Полная высота зуба произво­
дящего контура
Н„ = (2хи + 2хс) т.
Размеры вдоль средней прямой являются размерами по длине.
К ним относятся шаг, толщина зуба и ширина впадины. Шаг у произ­
водящего исходного контура, измеренный по любой прямой, паралле­
льной средней прямой, есть величина постоянная, равная пт, где
т — стандартный модуль. Толщина зуба производящего исходного
пт
контура по средней прямой равна ширине впадины s„ = ии = „ >
а вместе они составляют шаг. Согласно ГОСТ 9587—68, профильный
угол зуба ао равен 20°.
Из рис. 3.58, б радиус скругления
хс т
Ри
(3.91)
1 — sin а0
Производящий исходный контур реечного инструмента при нареза­
нии косозубых колес. При нарезании косозубых колес применяют тот
же инструмент, что для прямозубых, но устанавливают его наклонно
по отношению к торцовой плоскости заготовки под углом р. Р а с ч е тн ы м п р о и з в о д я щ и м и с х о д н ы м к о н т у р о м в этом
случае является проекция режущего контура инструмента по направ­
лению его движения на плоскость, параллельную торцовой плоскости
изготавливаемого колеса. Его размеры зависят от угла р наклона
зубьев. Отсюда следует, что значения шага tr, модуля т т и профиль­
ного угла Оот определяют по тем же формулам (3.84), (3.85), (3.87).
Величины толщины зуба производящего исходного контура по средней
прямой s„T и ширины впадины и„т равны между собой и определяются
так же, как у исходного контура при нарезании прямозубых колес,
т. е. s„T= ttHT= y . При угловой установке инструмента размеры по
высоте производящего исходного контура не изменяются, поэтому
хи т = Хңт т т и
хс т =
шт,
отсюда
хит = Хисое р
(3.92)
X,. cos р.
(3.93)
и
Хст
Итак, заданным стандартным параметрам т, сц,, хи, хс инстру­
мента при нарезании косозубых колес с определенным углом р соот­
ветствуют параметры гщ, Оот, х„т, хст нового расчетного производя­
щего исходного контура.
Станочное зацепление. Как уже известно, шаг по делительной окруж­
ности колеса должен быть шагом стандартного модуля. Для осуще­
ствления этого необходимо, чтобы в процессе станочного зацепления
какая-либо прямая инструмента перекатывалась по делительной ок223
ружности без скольжения, т. е. делительная окружность в станочном
зацеплении должна являться станочно-полоидной окружностью
(рис. 3.59, а), а соответствующая прямая — станочно-полоидной
прямой.
Угол станочного зацепления а с равен профильному углу зуба про­
изводящего исходного контура а<ь как углы с взаимно перпендикуляр­
ными сторонами, одновременно угол зацепления равен профильному
углу эвольвенты зуба в точке, находящейся на делительной окруж­
ности. Следовательно, профильный угол зуба на делительной окруж­
ности колеса всегда равен профильному углу зуба производящего
исходного контура аоА
Прямая Впадин
I Л иния
с
станочного
зацепления И
-
Средняя прямая
Станочно-полоидная пря
Граничная прям ая
ПрямаяНершин
Средняя
прямая
Станочно'
•полоидная
прямая
Рис. 3.59
Средняя прямая производящего исходного контура в станочном
зацеплении располагается по отношению к делительной окружности
колеса различным образом, она может касаться делительной окруж­
ности, быть отодвинута от нее и пересекать ее.
Если средняя прямая касается делительной окружности, т. е. она
сливается со станочно-полоидной прямой, то нарезаемое колесо полу­
чается с равноделенным шагом, или н у л е в ы м . Это произойдет
вследствие того, что толщина зуба производящего контура по сред­
ней прямой и ширина впадины, равные между собой (обе равные ^ ) ,
Ш
й
224
передадут свои размеры ширине впадины и толщине зуба нарезаемого
елительнои
s
пт
и
(3.94)
2
һсли средняя прямая производящего исходного контура отодви­
нута от делительной окружности колеса в направлении от центра заго­
товки, то станочно-полоидной прямой, перекатываемой по делитель­
ной окружности без скольжения, является та прямая инструмента,
по которой ширина впадины производящего исходного контура больше
толщины зуба, нарезаемое колесо получается п о л о ж и т е л ь н ы м ,
толщина зуба по делительной окружности у этого колеса s >
Расстояние между средней и станочно-полоидной прямой в этом слу­
чае называется положительным смешением пооизволяшегп игуппилт
контура и выражается в долях модуля т, где
фф
е н т с м е щ е н и я . Если средняя прямая совпадает со станочнополоидной, то \т = 0.
Если средняя прямая придвинута, к центру колеса, так что пере­
секает делительную окружность, то станочно-полоидной прямой яв­
ляется та прямая инструмента, по которой толщина зуба производя­
щего исходного контура больше ширины впадины, и нарезаемое коле­
со получается о т р и ц а т е л ь н ы м , толщина зуба по делительной
окружности у этого колеса s < —ү - . Расстояние между средней и ста­
ночно-полоидной прямыми в этом случае называется отрицательным
смещением (£т). Таким образом, знак смешения и название нарезаемого колеса совпадают.
На рис. 3.59, а изображено станочное зацепление при нарезании
положительного зубчатого колеса и указаны все элементы производя­
щего
исходного
контура,
нарезаемого
колеса
и
зацепления
Г Т _______ 1_________
____ **
Профил
эвольвентного профиля
фиксируется г р аничнои
окружностью
к о л е с а радиусом RT, величиелена аналитически и графически
фический
нячнои прямой производящего исходного контура с линией зацепления.
Отрезок OBi в соответствующем масштабе равен радиусу R r. Расстоя­
ние между окружностью вершин зубьев колеса и прямой впадин произ­
водящего исходного контура представляет собой с т а н о ч н ы й
з а з о р се. Величина его складывается из двух чаотей: %.т и £ т —
уравнительного
смещения.
у
Размеры изготовляемого зубчатого колеса с внешними зубьями.
Диаметр заготовки прямозубого цилиндрического эвольвентного зуб¥
колеса
D
2R
т(г + 2х„ + 2g
2L ).
(3.95)
Высота
II О Т А Г А
f/A
П А /ІП
л
__________
Н
т (2х„
’__ «.
^
U .
(3.96)
8—448
22 *
О, то D = т(г + 2 хи), Н
Если у зубчатых колес
О,
т(2 х и+ х_), и при стандартных величинах хИ
1,0 и
0,25
получим и
m(z -f 2) и Н — 2,25 т.
Станочно-полоидная прямая, как уже говорилось выше, перека­
тывается по делительной (станочно-полоидной) окружности без сколь­
жения, поэтому толщина зуба s по делительной окружности нарезае­
мого колеса равна ширине впадины по станочно-полоидной прямой
производящего исходного контура, отмеченной отрезком М М ' (см.
рис. 3.59, б).
Отрезок М М ' складывается из ширины впадины производящего
о
о
ТС/72
контура по средней прямой иИ= —ү - и двух катетов заштрихованных
треугольников, каждый из которых равен \т tg oq, поэтому
пт
-ь 2$ tg а0 т
S
(3.97)
Ранее толщина зуба была выражена уравнением (3.82):
пт
s
2
+ Д т
Сравнивая уравнения (3.97) и (3.82), находим связь между коэф­
фициентом изменения толщины зуба Д и коэффициентом смещения
Д
косозубого
2 I tg оо-
(3.98)
іия для D , Н и s аналогичны с той
следует предварительно определить
Оо-г, п ц , х ит, хст
и использовать
их при определении соответст­
вующих величин по формулам
(3.95) — (3.98).
На рис. 3.60 сравниваются
профили зубьев трех колес, име­
ющих одинаковые числа зубьев,
нарезанные одним и тем же
инструментом (одинаковые т и
Оо), но с различными смещени­
ями; первое
колесо положительное (5 i> 0 ), второе
нулевое (12= 0), третье — отри­
цательное (1 з< 0 ). Колеса име­
ют одинаковые радиусы дели­
Рис. 3.60
тельных и основных окружнос­
тей,
следовательно, профили
зубьев всех трех колес очерчены по одной и той ж е эвольвенте. Но
толщины Sj (отрезок аб), s2 (отрезок ав), s 3 (отрезок аг) зубьев и ради­
усы R it R 2, R 3 окружностей вершин у колес разные [см. уравнения
(3.95) и (3.97)].
Из рис. 3.60 видно,
увеличения
толщина зуба v основан
о
226
т. е. коэффициент смещения существенно влияет на форму зуба. Таким
образом, из зубьев трех рассматриваемых колес зуб положительного
колеса данного модуля самый прочный. Кроме того, для эвольвентной
части профиля зуба положительного колеса используется участок
эвольвенты, наиболее удаленный от ее основания и, следовательно,
обладающий большими радиусами кривизны, что способствует умень­
шению износа и контактных напряжений боковой поверхности зуба.
Следовательно, назначая тот или иной коэффициент смещения для
колес при проектировании, можно влиять на изменение формы
зубьев колес и качество зубчатой передачи, наделяя ее желательными
свойствами. Однако следует заметить, что указанная зависимость
формы и свойств зубчатого колеса от коэффициента смещения £ резко
ощутима при малых числах зубьев и ослабляется по мере увеличе­
ния г.
Размеры изготовляемого зубчатого колеса с внутренними зубьями.
Инструментом для изготовления колес с внутренними зубьями спо­
собом огибания является д о л б я к, или и н с т р у м е н т а л ь н о е
к о л е с о , числа зубьев и основные размеры которого стандартизо­
ваны. Новый долбяк является колесом положительным По мере из­
носа, долбяк перетачивают и он становится сначала нулевым (средне­
изношенным), а затем отрицательным.
По производящему исходному контуру долбя ка средней изношен­
ности в станочном зацеплении определяют все размеры нарезаемого
зубчатого колеса с внутренними зубьями*, которому дадим индекс 2.
Радиус окружности вершин зубьев колеса
£2
R2 = т ( 2
и
’у
(3.99)
Формулы для высоты и толщины зуба по делительной окружности
гакие же, как и у колес с внешними зубьями [см. формулы (3.96) и
(3.82)1.
Однако следует отметить, что у положительного колеса с внутрен­
ними зубьями коэффициент Д отрицателен и
—■ . а у отрицатель­
ного колеса, наоборот, Д а положителен и s£>^£-.
нения толщины зуба
Аа™
*и) (invaff— іпуосг),
Коэффициент изме­
(3.100)
где
г„— число зубьев долбя ка;
ск2— угол станочного зацепления при нарезании колеса о внут­
ренним зубом, определяемый по формуле
c o s ас2 = I g ? . - 2H )c o sv
(3 Ю 1)
га — ги + 2£з
* См . 2 В. А Г а в р и л е н к о . Основы теории эвольвентной зубчатой пе­
редачи. Изд 2-е. перераб. М., «Машиностроение», 1969, стр. 189— 191
8*
227
После подстановки значения Д 2 в формулу (3.82) имеем
s
т
TZ
+
(2
2
2„) (invoo— invac2)
(3.102)
_
___, _
_вычисления толщины зуба колеса с внутренни­
ми зубьями по окружности произвольного радиуса была дана ранее.
Для определения размеров колес с косыми зубьями следует в фор­
подставить со­
мулах (3.99) — (3.102) вместо величин а 0, г
формулам
найденные
ответственно a от»
*ит> *ст»
(3.92) и (3.93).
§ 49. ПОДРЕЗ, ЗАОСТРЕНИЕ И СРЕЗ ЗУБА
В § 47 установлено, что эвольвенты могут касаться только в пре­
делах участка ЫгЫ2 линии зацепления, ограниченного точками каса­
ния с основными окружностями (см. рис. 3.54); вне этого участка
эвольвенты не касаются, а пересекаются. В станочном зацеплении при
пересечении эвольвенты зуба изготавливаемого колеса режущим про­
филем зуба производящего исходного контура инструмент срезает
часть зуба колеса. В результате получается колесо с подрезанными
зубьями, как показано на рис. 3.61. П о д р е з
з у б а ослабляет
его основание и уменьшает эвольвентную часть профиля.
Средняя прямая
ЗВольвента
Станочно-полоидмая прямая
паямая
Рис. 3.61
Рис. 3.62
Во избежание вышеуказанного пересечения профилей, а значит и
подреза зуба необходимо, чтобы точка пересечения граничной прямой
с линией станочного зацепления, обозначенная на рис. 3.62 буквой
В, не заходила за точку N . Тогда прямолинейная часть зуба произво­
дящего исходного контура и профиль нарезаемого зуба имеют общую
нормаль и, следовательно, касаются. Если же точка В зайдет за
точку N (положение В'), то общей нормали не будет (рис. 3.62) и про­
изойдет подрез. Следовательно, для избежания подреза необходимо,
чтобы
P CN >• Р СВ или 1р > - 1в .
228
(3 ЮЗ)
Это выражение используют для определения числа зубьев колеса,
при котором оно не подрезается. Из A PcON (см. рис. 3.62) следует
p t N = (Рс О) Sina0 или
= г sin а0 =
siпа0,
а из Д Р СЕВ
п а
РсЕ
ИЛИ
Рс В = ——
S in a0
Подставляя величины
сительно 2, имеем
1р
,
и
Iq в
(х.и — € ) m
lg = - L-=-------sin а0
неравенство (3.103) и решая отно­
sin* а0
Если g = 0, то из этого неравенства получается выражение для
определения минимального числа зубьев нулевого колеса, зуб кото­
рого можно нарезать реечным инструментом без подреза
zmm = sin2
- ^ г<х0- •
(3.104)
При проектировании нулевых зубчатых колес число зубьев необходимо
брать равным или больше гт\п* В случае стандартного инструмента
при хи= 1 ,0 а 0= 20°, гт\п « 1 7 .
Для косозубых колес минимальное число зубьев определяют ана­
логично, т. е.
.кос _
Zm in
(3.105)
Sin* а от
Косозубые колеса при прочих равных условиях менее подвержены
подрезу зубьев, чем прямозубые, так как при любом угле р хит < х„
и а от> а 0 1см. выражения (3.87) и (3.92)1.
Д ля получения зубчатых передач меньших габаритов следует
проектировать колеса с малым числом зубьев. Однако, если необхо­
димо проектировать колеса с числом зубьев z< 17, они должны быть
положительными. Выясним, каков же тот м и н и м а л ь н ы й
ко­
э ф ф и ц и е н т с м е щ е н и я , при котором не получается подре­
зания зубьев. Минимальный коэффициент смещения определяется
также из условия отсутствия подреза [неравенство (З.ЮЗ)Р, на осно­
вании которого можно записать, что
— sin2 а0 > х„ — 5.
Подставляя сюда значение sin2 а 0 из уравнения (3.104), имеем
ггаіп
и, решая относительно
*и
> *и — 5
получаем
Переходя к минимальному значению | min, находим
выражения: для колес с прямыми зубьями
с _
£min г
>
^min хи
^mln
следующие
(3.106)
и для колес с косыми зубьями
-КО С
►кос
min
min = *ит
кос
min
(3.107)
Исследуя полученную зависимость, можно сделать вывод, что зуб­
чатое колесо, имеющее z > z mіп, можно нарезать с положительным
нулевым и даж е отрицатель­
ным смещением.
Зубчатое
колесо, у которого г — zmіп,
может быть положительным
или нулевым, а колесо, у
п, — только
которого
положительным .
Эвольвенты боковых
всегда пересекафилей
ютс я ; р адиу с окружности,
проходящеи через точки пересечения эвольвент, обозна­
чен R Д (см. рис. 3.60). Мож­
но представить себе такой
случаи,
когда
эвольвенты
профилей зуба пересекутся
на окружности вершин или
даже ниже этой окружности,
Это явление называется з аостреиием
зуба.
смещения,
при
Коэффициент
Рис. 3.63
котором происходит заост­
рение зуба, называется м а к ­
симальным
коэффициентом
с м е щ е н и я maxОбычно к толщине зубьев по окружности вершин предъявляют требование s»>*0,2 m. Этим гарантируется отсутствие заострения
зубьев, если таковое не требуется по специальному заданию.
Толщина зуба по окружности вершин может быть найдена по урав­
нению (3.83) (см. § 46).
В станочном зацеплении при нарезании колеса с внутренними зубь­
ями может произойти с р е з
вершин
зубьев:
1) в процессе врезания долбяка в заготовку колеса на глубину
вуба (рис. 3.63);
2) при заходе окружности вершин зубьев колеса за предельную
точку N„ (см. рис. 3.63);
230
3) при выходе зуба долбяка из впадины нарезаемого колеса. Сле­
дует отметить, что при удовлетворении первого условия автомати­
чески удовлетворяется и третье условие*.
Срез вершины зуба колеса с внутренними зубьями при врезании
долбяка в заготовку отсутствует при условии, что минимальное рас­
стояние между вершинами зубьев нарезаемого колеса и долбяка, из­
меренное, как показано на рис. 3.63, больше нуля, т. е.
(Х г— Х и) = Ri sin (фг+^г) — /?„sin (фи"Ьби)»
(3.108)
где /?2, R H— радиусы окружностей вершин зубьев колеса и долбяка;
ф 2, ф„— текущие углы поворота колеса и долбяка;
б 2— угол, измеряющий половину ширины впадины на ок­
ружности вершин зубьев колеса;
8Н— угол, измеряющий половину толщины зуба долбяка
на окружности вершин его зубьев.
Разность (Хг— Х и) имеет минимальное значение при некотором
значении фг— фго* а именно:
(Х 2---
Х и)пЦп
= /?2 SiП(ф2оЧ- б г) --- R„S\n (ІС2ф20“Ь б „ )> 0 ,
где угол ф 2о определяется при приравнивании нулю первой производ­
ной уравнения (3.108).
Расчеты показали, что величина ( Х — Х и)т | П зависит главным
образом от разности zpc= г2—z„.
Чтобы избежать среза нулевых
колес долбяком средней изношен­
ности, необходимо при z2<180 иметь
(2pc)rain= 18, а при Z 2 > 8 0 (zpc)mi„ =
= 19 (при хс= 0,3). При проек­
тировании положительного колеса
следует воспользоваться графиком
(рис. 3.64) для выбора коэффици­
ента смещения, чтобы в процессе
изготовления колес не произошло
среза его зубьев при врезании дол­
бяка.
Срез по причине захода окруж­
ности вершин зубьев колеса за
точку N„ можно предотвратить,
если минимальное число зубьев у
нулевого колеса определять по
формуле
2
0,02924 4 — 1
В
Я 0,05548 1 3
1
(3- 109)
Рис- 3 64
См. В. А. Г а в р и л е и к о . Основы теории эвольвентной зубчатой
передачи, Изд. 2—е, переработ. М., «Машиностроение», 1969, стр. 192_203.
231
коэффициент смещения у колеса с неравноделенным шагом
*
формуле
(г2 -
ср“
2хи +
-
z* -
( zjj -
2га г и) sin* а0
по
,Я11П )
4 (2%и — ги — 2£у)
§ 50. ЭВОЛЬВЕНТНАЯ ЗУБЧАТАЯ П ЕРЕД АЧА
Эвольвентная передача внешнего зацепления, ее элементы и пара­
метры. На рис. 3.65 показана так ая передача. Здесь отмечены элемен­
ты зацепления: линия зацепления N^Nz, межосевое расстояние А ,
угол зацепления а , полюс зацепления Р , полоидные окружности ра­
диусами Гщ и гп2.
Рис. 3.65
В точках Вг и В2 линия зацепления пересекается окружностями
вершин зубьев колес, следовательно, в точке Вх сопряж енны е профили
входят в зацепление, а в точке В2 выходят из зацепления. Процесс
зацепления зубьев колес происходит не на всей линии зацепления, а
на участке В іВ 2**- Э т о т участок называют р а б о ч и м
участ­
ком
линии
з а ц е п л е н и я , или д л и н о й
зацепле­
н и я . Рабочий участок по-разному располагается на линии зацепления.
*
Вывод формулы см. В. А. Г а в р и л е н к о . О сновы теории эвольвен т­
ной зубчатой передачи. И зд. 2-е, переработ. М., «Машиностроение*, 1969,
стр. 192— 193.
** Точки В і и В 2 относятся к зубчатой передаче в целом, а не к отдельным
ее колесам.
232
Если точки Вл и В2 выйдут за пределы линии зацепления N iN 2, то в
зубчатой передаче произойдет заклинивание. Зубчатая передача
должна быть спроектирована так, чтобы участок BVB2 укладывался
внутри линии зацепления N\N&
При заданном направлении вращения только одна сторона зуба
передает и воспринимает усилие, ее называют р а б о ч и м
про­
филем
з у б а . В зацеплении участвует не весь эвольвентный,
т. е. теоретический рабочий профиль, а часть его, которая называется
фактическим рабочим профилем. Фактические рабочие профили отме­
чены на рис. 3.65 двойными линиями.
Расстояние между рабочим профилем зуба одного колеса, входящим
в зацепление в точке Bi и выходящим из него в точке В2, измеренное
по дуге окружности, называется д у г о й з а ц е п л е н и я . Дуга
зацепления может быть отмечена по любой окружности: полоидной
Тп, делительной Т и основной Т0.
Полоидная окружность колеса делит зубья на головку и ножку.
Головкой зуба называется его часть между окружностями вершин и
полоидной, а ножкой — его часть между окружностями, полоидной
и впадин. Высоту головки зуба (см. рис. 3.65) обозначают Һ ' , а высоту
ножки Һ” (в индексе указывают номер колеса).
Между окружностью вершин одного колеса и окружностью впадин
другого имеется расстояние, которое называется р а д и а л ь н ы м
з а з о р о м с (см. рис. 3.65). Его величину определяют как произве­
дение коэффициента хс на модуль, т. е.
хс т ,
(3.111)
где хс равен 0,25 или 0,3.
Величину угла зацепления а определяют следующим образом (см.
рис. 3.65). Шаг по полоидной окружности любого из колес передачи
tn— п/пп= s„+ ип, так как полоидные окружности перекатываются
без скольжения.
Толщина зуба одного колеса, например второго, sn2 в точности
равна ширине впадины ип1 другого колеса, так как рассматривается
беззазорное зацепление, поэтому
я m„
tn
s„j Ч- sn2,
(3.112)
где
COS а0
mn = m ----- cos а
Выразим толщины зубьев по полоидным окружностям по формуле
(3.83)
«П1
= шпЫ г •+• д 1—
2 i
(inv а — inv а0)1
И
п2
z 2 (inv а — inv
233
Подстановка в уравнение (3.112) дает
itm„ = m„
+ At — z i (inv a — inv
-f-
+ тп ү ү + Да — га (inv a — inv o g l.
После сокращения и приведения подобных членов имеем
Д і+ А2— (2, + 2а)(inv а — inv а 0) = 0.
Обозначая
получаем
Д2= Дс и гг-\- г2= гс и решая относительно inv а,
v
inv а = inv а0 -һ
.
(3.113)
Если зубья колес нарезают реечным инструментом, то на основании
зависимости (3.98) можно подставить Д = 2gctg а 0 и получить
inv g = inv а0 + -^ с tg а° .
(3.114)
Зная инволюту угла зацепления, по таблицам инволютной функции
определяют и сам угол.
Расстояние между делительными окружностями, измеренное по
линии центров колес (см. рис. 3.65), называется в о с п р и н и м а е ­
м ы м с м е щ е н и е м £в /л, а величина £в— к о э ф ф и ц и е н т о м
воспринимаемого смещения.
Межосевое расстояние зубчатой передачи (см. рис. 3.65)
А = г„i -Ь гп2.
Учитывая зависимость (3.79), можно записать
т г cos а0
П
2COSа
’
(3.115)
поэтому межосевое расстояние
А
mzc
2
cos а0
COS а
(3.116)
Межосевое расстояние выражают также через воспринимаемое
смещение (см. рис. 3.65)
А = Г]+ г2+ 1вт.
(3.117)
Подставив значения межосевого расстояния, радиусов делительных
окружностей и решив выражение относительно коэффициента вос­
принимаемого смещения, имеем
Классификация передач. Зубчатая передача может быть
н у л ев зави-
вой, п о л о ж и т е л ь н о й
и отрицательной
симости от того, из каких комбинаций колес она составлена.
Нулевая зубчатая передача (рис. 3.66, а) может состоять из нулевых
колес, т. е из колес с равноделенным шагом, или из колес с неравноделенным шагом при условиях, что зубья их нарезаны реечным инстру­
ментом и положительное смещение одного колеса равно абсолютной
величине отрицательного смеще­
ния другого колеса. Такая пере­
дача называется р а в н о с м е щ е н н о й. Обе нулевые переда­
чи имеют суммарный коэффици­
ент изменения толщины зуба,
равный нулю
Д<.=* 0, а также
О и а = а 0, согласно форму­
лам (3.113) и (3.114). Как у одной,
так и у другой передачи полоидные окружности совпадают с ел
тг
тельными, т. е. гп= г = -я—
.
каса2
ются в полюсе и перекатываются
друг по другу без скольжения.
Как известно, угол зацепления
равен профильному углу зуба на
полоидной окружности, следова­
тельно, угол зацепления нулевых
зубчатых передач равен углу а 0
(этот угол по стандарту принят
равным 20°).
Межосевое расстояние нулевых
зубчатых передач
А = г4+ г
тг
2
Ао
(3.119)
Равносмещенная передача мо­
жет быть выполнена при определен­
ном условии, которое получают
следующим образом. Коэффици­
енты
и £2 колес должны быть
равны или больше соответствую­
щих минимальных коэффициентов
2-1
tс
m in
и
1
Р и с . 3.66
т. е.
гщ1п г2
И
Шип
min
ИЛИ
И
(2<^mln
г ш1п
£ 2=
но у равносмещенной передачи
I
1
следовательно.
2о< 0
235
Откуда окончательно
zc > 2 z min.
(3.120)
Зависимость (3.120) показывает, что, если сумма зубьев нарезае­
мых колес больше удвоенной величины zmi„, то передачу из таких ко­
лес можно выполнить, как равносмещенную.
Положительная
зубчатая
п е р е д а ч а (см.
рис. 3.66, б) может состоять из двух положительных колес ( |> 0 )
или из одного положительного, другого нулевого или, наконец, из
одного положительного, другого отрицательного колес. В последнем
случае коэффициент смещения отрицательного колеса по абсолютной
величине должен быть меньше, чем у положительного.
У положительной передачи суммарный коэффициент изменения
толщины зубьев больше нуля (Дс> 0 ). Полоидные окружности касают­
ся в полюсе и перекатываются друг по другу без скольжения. Поло­
идные окружности не совпадают с делительными, радиусы полоидных
окружностей больше радиусов делительных окружностей, т. е. гп>»г.
Следовательно, делительные окружности не касаются друг друга.
Параметры положительной зубчатой передачи согласно формулам
(3.113), (3.114), (3.116) и (3.118) характеризуются следующим об­
разом:
L > 0,
А > Д,
> 0,
а > а0.
Отрицательная
зубчатая
передача
(рис. 3.66, в) может состоять из двух отрицательных колес (£ < 0 ),
или из одного отрицательного, дру­
гого нулевого или, наконец, из од­
ного отрицательного, другого поло­
жительного колес. В последнем слу­
чае коэффициент смещения отрица­
тельного колеса по абсолютной вели­
чине должен быть больше, чем у
положительного.
Суммарный коэффициент измене­
ния толщины зубьев у отр ицател ьной передачи меньше нул я (Дс< 0 ) .
Полоидные окружности касаются в
полюсе и перекатываются без сколь­
жения. Радиусы полоидных окруж­
ностей меньше радиусов делитель­
Рис. 3.67
ных, т. е. гп< г . Делительные ок­
ружности пересекаются.
Межосевое расстояние, воспринимаемое смещение и угол зацепле­
ния определяются по общим расчетными формулам (3.113), (3.114),
(3.116) и (3.118). Отрицательная зубчатая передача характеризуется:
£ с< 0 , А < А 0у I < 0 , а « х 0.
236
При расчете косозубых передач применяют те же формулы, что и
при расчете прямозубых, но вместо параметров т, а0, хи, хс берут
параметры пц, аот, х„, хст, которые пересчитывают по приведенным
выше зависимостям.
Определение уравнительного смещения. При геометрическом проек­
тировании зубчатой передачи должны быть выполнены два условия
(рис. 3.67): 1) зубья колес должны теоретически зацепляться без бо­
кового зазора ; 2) между окружностями вершин и впадин зубчатых колес
должен быть радиальный зазор стандартной величины.
Выполнение первого условия обеспечивается тем, что величину
межосевого расстояния выражают через оспринимаемое смещение
(см. уравнение (3.117)]:
А
щШ Ъвт-
Второе условие требует, чтобы
А
с + R ва
(3.121)
При совместном решении уравнений (3.117) и (3.121) можно опреелить к о э ф ф и ц и е н т у р а в н и т е л ь н о г о с м е щ е н и я
у, который был ранее введен в станочное зацепление (см. рис. 3.59),
гі + Евт "Ь гг— R .+ с + R в2»
ИЛИ
г\ + Ев"1 + гг— R t+ с + R
Н.
Подставляя в это равенство R t , R 2 и Н и преобразовывая, получаем
т
Ъвт
т + \ гт
или, сокращая на модуль и решая относительно
имеем
(3.122)
В*
Уравнительное смещение следует учитывать при расчете ненуле­
вых зубчатых передач; его вводят для получения зубчатой передачи
без бокового зазора и со стандартной величиной радиального зазора.
При нарезании колес реечным инструментом уравнительное смещение
может быть только положительной величиной.
У колес нулевых зубчатых передач уравнительное смещение равно
нулю.
Эвольвентная передача внутреннего зацепления. Изображена на
рис. 3.68, на котором отмечены ее элементы. Основные параметры этой
формулам
угол зацепления
inv а
in v а
Д
0
(3.123)
где
г
— Zj, а Дс— Д ,+ Д2;
237
коэффициент воспринимаемого смещения
ш
Ш 2 ВV cos
Ва - Ч ;
коэффициент уравнительного смещения
(3.124)
(3-125)
ів -(һ -Е і).
(коэффициент урав
и отрицательным);
межосевое расстояние
А=
т
~
cosao
2
cos a
(3.126)
Трудность проектирования передач внутреннего зацепления за­
ключается в необходимости учитывать ряд геометрических факторов,
накладывающих ограничения на выбор размеров передачи. Невыпол­
нение этих факторов влечет за собой заклинивание зубчатой передачи.
Полоидные
окружност и
Рис. 3.68
Заклинивание может быть в двух случаях: при выходе зубьев из
зацепления и при касании эвольвенты профиля зуба одного колеса
с переходным профилем другого.
Заклинивание в первом случае отсутствует при условии (рис. 3.69)
Ф —
О,
гдеф — угловая координата точки X , лежащей на линии геометричес­
кого места точек пересечения эвольвент и на окружности вершин
радиуса /?2 одновременно (геометрическое место точек пересечения
эвольвент характеризуется зависимостью р = р(ф)*);
*
См. Н. А. С к в о р ц о в а , Д. М. Л у к и ч е в. Новые методы рас­
четов и конструирования машин, повышение их надежности и долговечности.
Вып. 5. М., ГОСИНТИ, 1962.
238
Ф — угловая координата точки пересечения окружностей вершин
зубьев колес.
Чтобы избежать заклинивание нулевых колес, необходимо при
гг<58 иметь
(zp)min = (г2—
— г1)т іп=9 и при г2> 5 8 иметь
(Zp)min= 8.
Для устранения этого вида
заклинивания выбор коэффици­
ентов смещения для колес нену­
левой передачи производят по
графику
|min=imln(2p) (р И С .
3.70), как пояснено в численном
примере (см. § 52).
Геометрическое
место точек
пересечения
эвольвент
Область
заклинивания
(9’*П
Рис. 3.69
Рис. 3.70
Рис. 3.71
Д ля п р ед о твр ащ ен и я за к л и н и в а н и я во втором с л у ч а е сл ед у ет вы ­
полнить неравенства:
Ас1 sin ас1 -
< Y
rI
— г^ _ A sin а.
(3.127)
239
V^
— г0и + Асг sin асг >
У
— Г2
01 + A sin a.
(3.128)
Наиболее ограничивающим условием является неравенство
(3,127), обеспечивающее отсутствие соприкосновения вершины зуба
большого колеса с переходным профилем зуба малого колеса. Отсут­
ствие этого вида заклинивания можно обеспечить также выбором со­
ответствующих коэффициентов смещения колес по графику | т т =
= imin(ZpC) (рис. 3.71)*, применение которого показано в численном
примере.
§ 51. КАЧЕСТВЕННЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ ЗУБЧАТОЙ ПЕРЕДАЧИ
Качественные показатели дают возможность произвести оценку
передачи при ее проектировании в отношении плавности и бесшумности
зацепления, возможного износа и прочности зубьев колес, сравнения
с другими передачами по
тем же показателям. Та­
кая оценка важна для ра­
ционального выбора расче­
тных смещений инструмен­
та при проектировании
передач. Основные качест­
венные показатели следу'
т Ч В к* К У 1
ю щ и е/
\
Z \
/
Коэффициент перекрыу / /
tc
т и я 8 ’ Уч и т ы в а ю щ и й не/VV
прерывность и плавность
у \е \ \
\
зацепления,
что
очень
\
важно при эксплуатации
ч?
передачи. Эти качества
передачи обеспечиваются
перекрытием работы одРис. 3.72
ной пары зубьев по вре­
мени работой другой па­
ры. Это означает, что каж­
дая последующая пара зубьев должна войти в зацепление до того, как
предшествующая пара выйдет из зацепления. О величине перекрытия
судят по коэффициенту перекрытия, выражающему отношение дуги
зацепления по какой-либо окружности к шагу по той же окружности,
(3.129)
Если дуга зацепления меньше шага, т. е. е < 1 , зацепление будет
прерывистым, с периодически повторяющимися ударами в момент
*
Смл Н А. С к в о р ц о в а , Д. М. Л у к и ч е в. Новые методы рас­
четов и конструирования машин, повышение их надежности и долговечности.
Вып. 5. М., ГОСИНТИ, 1962
240
входа очередной пары зубьев в зацепление. Такая зубчатая передача
не может быть использована. Если дуга зацепления равна шагу по
той же окружности, т. е. е = 1, то непрерывность зацепления можно
считать обеспеченной только теоретически В этом случае неточность
изготовления профилей, их быстрый износ приведут к перерывам в
зацеплении. Нормально работающая передача должна иметь е > 1,
т. е. Т0> і 0 (рис. 3.72). По свойству эвольвенты имеем М \М
и М \М
КВ2. М ' М
іуга зацепления по основной окружности,
М '0М 0— шаг по основной окружности.
Рис. 3.73
Натуральная величина отрезка В^Вг равна 1В1+ / В2 (3.73), следо­
вательно,
В, В
КВ,
'в. + J В2
to
(3.130)
241
Длину зацепления /В1+ / В2 можно выразить для схемы внешнего за­
цепления (рис. 3.73, а) следующим образом
ВіВг= (N2B1— P N 2) + (N y B z- P N X)
или, что то же
1щ+ 1Вг= r02(tg а#>— tg а)
+
г01 (tg а Л1—
tg а),
где а/}| и ац 2— профильные углы у вершин зубьев (cos а ^ = ~ ).
Учтя, что
^
t
fO
получим в окончательном
_
2 я г 01
_
2 я г 08
Z\
га
9
виде
' = - ^ ( ‘8 % - tg «) + -Ц- (tg * „ -
tg « ).
(3.131)
По схеме внутреннего зацепления (рис. 3.73, б) натуральная величина
длины зацепления /В1— 1В2 выражается в виде отрезка ВХВ2=
— (PNz— BXN £ — (PN X— B2N X), что дает в окончательном виде
8 = І І Г (tg
“ tg а) ~ ~ t (tg
^ а) •
(3-132)
Из формулы (3.131) и (3.132) следует, что коэффициент перекрытия
е не зависит от модуля, а зависит от чисел зубьев передачи и от коэф­
фициентов смешения | , которые были приняты при определении раз­
меров колес. При одних и тех же числах — г, и г2, е будет тем меньше,
чем больше | с. Теоретическим пределом е для зацепления с прямыми
зубьями при а 0= 20° и хи = 1,0 является епр = 1,982, что дает пре­
дельное реечное зацепление (зацепление двух реек). Так как предель­
ное реечное зацепление не является передачей, то реальные значения
е всегда меньше предельного. Коэффициент перекрытия внутреннего
зацепления при одних и тех же zlt z2 и а 0 больше, чем внешнего зацеп­
ления. Физическое представление о передаче с дробным значением
коэффициента перекрытия можно уяснить, рассмотрев процесс зацеп­
ления за время, отнесенное к шагу. Для этого на длине зацепления
В\В2, представляющей Т0= е/0, от точек В\ и В2 откладывают t0
(см. рис. 3.72). Полученный участок mm' длины зацепления харак­
теризуется процессом зацепления только одной пары зубьев. Участки
длины зацепления Вхт и тВ2 характеризуются процессом од­
новременного зацепления двух пар зубьев. Обозначив продолжи­
тельность контакта на участке тт' через t i = 2 tQ— et0, продолжи­
тельность одновременного контакта двух пар зубьев на одном участке
Вхт или тВ2 через т 2= t0( e — 1) и продолжительность зацепления,
отнесенную к од н ом у ш агу , через с , получим
-IL . =
*° = 2 — 8
И
'о
Откуда т ,= (2 — е)х и т 2= (в— 1)т.
242
—
х
= /о(е —
*0
—е— 1
При е — 1,25 т і = 0,75т H t i = 0,25т.
Допустимое значение е диктуется передаваемой нагрузкой, сте­
пенью точности изготовления колес и монтажа передачи.
Коэффициент перекрытия косозубой передачи при одних и тех
же значениях гх и гг больше коэффициента перекрытия прямозубой
передачи вследствие того, что пара зубьев входит в зацепление не од­
новременно всей своей длиной, а постепенно. Это обстоятельство уве­
личивает продолжительность работы одной пары зубьев. Формула для
определения коэффициента перекрытия косозубой передачи имеет
вид
•„С = -£»- + 4 ^
•о т
*от
- •. + • .
(3.133)
Первое слагаемое характеризует отношение дуги зацепления к
шагу по торцовому сечению и подсчитывается аналогично коэффициенту
перекрытия прямозубой передачи (см. уравнение (3.130)1:
_ I'm _ 1В1 + ^ВІ
**
^от
^от
Второе слагаемое — осевое (аксиальное) перекрытие зависит от дуги
сдвига АТ0. Подставив значения ДТ0 из уравнения (3.88) и t01 из
уравнения (3.86), получим
е — А Гр
/о т
fctgPcosaOT _
TcmT COS a 0T
frtgft
_4* sin ft
It/n /c o s P
тс
9
где ф= —---- коэффициент ширины зуба, выбираемый из условий прочности и износостойкости зуба.
В окончательном виде формула для определения вде имеет вид
екос =
(tg ая, - tg а) ±
(tg
- tg «) +
,
(3.134)
где знак «плюс» относится к внешнему зацеплению, а знак «минус»
к внутреннему. Увеличение второго слагаемого может происходить
при увеличении угла $, или ширины колеса Ь, или, что то же, при уве­
личении коэффициента ф.
Коэффициент скольжения X, учитывающий влияние геометрических
и кинематических факторов на величину проскальзывания профилей
в процессе зацепления (см. § 34).
Наличие скольжения и давления одного профиля на другой при
передаче усилий приводит к износу профилей. Интенсивность износа
зависит не только от силы давления и скорости скольжения, но и от
таких факторов, как материал колес, условия смазки, температурные
и другие воздействия. Степень влияния кинематических и геометри­
ческих факторов на износ зубьев принято выражать коэффициентом
скольжения
"с к
.243
где vск
скорость скольжения,
vI — скорость перемещения точки контакта по профилю зуба.
За время одного оборота колеса с меньшим числом зубьев второе
колесо не совершает полный оборот. Следовательно, его зубья в і
раз реже вступают в контакт, чем зубья первого колеса, и меньше из­
нашиваются. Для того чтобы сравнивать возможный износ зубьев
колес по коэффициентам Xt и Х2, необходимо, или
(О1
12
ш<
VСК
, или - у - разделить на i i2, т. е.
VС К
t
V
1
умножить на
V
Vс к
к
формул
Vс к
А,
t
V
VnІ12
(3.135)
) значения уск, иг‘ и v2‘, из формул (3.6)
формулы для X. и Х„ в окончательном
иде:
1±
Iк
1
I12
1р \
и
X
+
1к
(3.136)
Iк
1
Р2
IК
где Іқ величина алгебраическая, выражающая расстояние от полю­
са зацепления до точки контакта пары зубьев; lPi и 1Р2 (см. рис. 3.73)
представляют собой длины отрезков P N ± и P N 2. Знак минус в скобках
относится к внутреннему зацеплению.
Из формул (3.136) следует, что с удалением точки контакта двух
профилей от полюса коэффициенты
и Х2 возрастают. По эпюре зна­
чений X, изображенной на рис. 3.74,
можно сказать, что X возрастает бо­
лее интенсивно на ножке зуба. Для
точек профиля, контактирующих в
полюсе,
0 и Хг=0. О качестве
передачи принято судить по максимальным значениям коэффициентов
X, которые соответствуют зацепле­
нию пары зубьев в точках Вг и В2 (см.
рис. 3.73) линии зацепления. Расчетные уравнения для этих моментов
зацепления
получают, приравняв
отрезок /и отрезку I1В1 в первом слу­
чае и отрезку 1В2 во втором. При оп­
ределении е установлено, что
Рис. 3.74
244
^Bl= fo2(tg а я 2— tg а) и
*В2= r0x(tg а*!— tg а).
Из рис. 3.72 следует, что //>2= >02 tg а и lp \— г01 tg а. Подставив зна­
чения этих отрезков линии зацепления в уравнение (3.134), получим
в окончательном виде:
для внешнего зацепления
в точке ZJj
х:1
(*g aR2 — tg а)
Zc t g a —
х:2
tg a Л2
х:
tg a R\
Л + _£i
Zj t g a ™
\
2e
(3.137)
tg a R2
в точке В2
tga
tga
(3.138)
х
Z\ (tg a/?!
tg a)
-
t g a R1
1+
zi
га
1
Zi
Za
для внутреннего зацепления
в точке Вх
*2 (tg <*
К
tg а ю )
2а tg “я г - zp t g “
х:
tg a Л2
х:i
tg aЛІ
tg a
tg a R2
1
fi
z2
1
Zi
Za
(3.139)
в точке Вг
tga
tg a
Я1
Zi (tg a RI
гі tg
t g “)
2p
tg a
1
(3.140)
Zi
za
Полученные выражения показывают, что коэффициент скольжения
Я. от модуля не зависит.
Для косозубой передачи в расчетные формулы вместо а и ад сле­
дует включать торцовые значения углов, т. е. а т и а ят. С увеличением
коэффициентов смещения коэффициенты
и Х2 уменьшаются. Умень­
шение Хх при прочих равных условиях происходит более интенсивно,
чемХ.2- Исследования последнего времени (В. А. Гавриленко, П. А. Кар­
гин, С. Д. Осипова) показали, что эта оценка недостаточна; поэтому
следует учитывать также коэффициенты ускоренного скольжения*,
представляющие собой первую производную коэффициентов скольже­
ния по времени (dUdt). Для косозубой передачи формулы (3.136) —
• В . А. Г а в р и л е н к о . Основы теории эвольвентной зубчатой переда­
чи. Изд. 2-е, перераб М., «Машиностроение», стр. 238—245.
245
(3.140) имеют тот же вид, только линейные величины, входящие в них.
следует выразить через торцовые параметры колес.
Коэффициент удельного давления 0, учитывающий влияние геомет­
рии зубьев колес (радиусов кривизны их профилей) на величину кон­
тактных напряжений. В процессе работы передачи в местах соприкос­
новения зубьев возникают контактные напряжения. При чрезмерном
нагружении контактные напряжения могут так значительно возрасти,
что вызовут выкрашивание материала на рабочей поверхности зубьев!
Контактные напряжения, возникающие на поверхностях двух вза­
имодействующих профилей зубьев, обычно определяют по формуле
0,418 ] /- & - £ ■
где
Ф
Qн
ъ
1
Р
удельная нагрузка, влияющая на контактные напряжения
2Е1£ а
ширина обода колеса); Е
Е х + Е,
приведенный модуль уп-
ругости материала; р приведенный радиус кривизны эвольвентных
профилей в точке ко ікта.
Обратная величина приведенного радиуса кривизны, входящая в
формулу
I
(3.141)
р
Pj
р?
Р1 р2
‘
*
1
и определяет влияние геометрии зубьев на контактное напряжение,
онак «минус» относится к внутреннему зацеплению.
Под коэффициентом удельного давления поинято п о н и м я т к
т
&
(3.142)
Р
как величину
безразмерную,
зи с этим формула Герца прим
независящую от модуля.
1
Е
т
/Ғ
.
т
0,418
В свя
(3.143)
Конструктор может уменьшать контактные напряжения, подбирая
1и
так, чтобы 0 имел возможно наименьшее значение (&<1).
На рис. 3.75 изображены кривые изменения ft в зависимости от
положения точки контакта профилей на линии зацепления (на
-------внешнего зацепления, на рис. 3.75, б— для внутрис. 3.75,
б . /о, а—
а— для
»асчетный коэффициент удельного давления принимают
соответствует контактированию зубьев в полюсе Р. Эго
объясняется тем,
прямозубое
коэффициент
удельного давления для передачи внешнего зацепления
Ж «Г
Ь
246
--------------------
т
A sin а
^ Г—\ ---- —
(f12 + 1)
1«
м
J
ЖA V /V 1 I v / C v
2гс
г12* tg a COS Яд
(3.144)
Для внутреннего зацепления формула (3.144) имеет вид
2z
1)!
(3.145)
I
A cin а
Zi
tg a COS а 0
12
Значение этого коэффициента наиболее существенно для передач,
работающих в режиме жидкостного трения.
Для косозубой)передачи коэффициент Ь представляет собой условную ] еличину, вследствие того, что приведенные радиусы кривизны боновых поверхностей зубьев в точках, находящихся на линии контакта,
поэтому формула его здесь не приводится*.
т
12
*
Рис. 3.75
Коэффициент формы зуба у, оценивающий изгибную прочность зу­
ба. Лучшей формой зуба считается та, которая наиболее приближает­
ся к форме тела равного сопротивления. Как известно, тела, имеющие
в плоскости действия изгибающих моментов сечение формы параболы,
являются равнопрочными в любой части этого сечения. Меняя коэф­
фициент смещения, можно изменить форму зуба колеса в желательном
направлении. Коэффициент у вводят в уравнение для расчета зуба на
изгиб
РП
изг bty.
где Р „— условная расчетная сила в кГ, действующая по касательной
к полоидной окружности колеса, величі на которой находится по формуле
м кр
Рп
п
^ к р — крутящий момент, передаваемый ведущим колесом передачи;
г п— радиус полоидной окружности колеса, мм; °иэг — напряжение
изгиба, кГ!мм%\Ь — ширина обода колеса, мм\ \ я т — шаг зубьев
колеса по делительной окружности, мм.
*
Вывод формулы см. В. А. Г а в р и л е н к о . Основы теории эвольвент­
ной зубчатой передачи. Изд. 2-е, перераб. М., «Машиностроение», 1969, стр. 252
253.
247
Коэффициент
У
2_ X
3
2Х
3пт
t
р
где X
отрезок в мм, выражающий геометрический комплекс
Г/
определяется графи
В профил
профиля зуба у его основания, а вершина параболы находи­
лась в точке F пересечения оси сим­
метрии зуба с нормалью к эвольвентному профилю зуба у его вершины.
При этом построении определяется
хордовая толщина sp зуба в его рас­
четном сечении на изгибную проч­
ность и отрезок X мм. Чем ближе
контур зуба к контуру параболы,
тем больше отрезок X , а, следователь­
но, и у. Чем больше у, тем больший
крутящий момент можно передать с
тем же напряжением оизг.
Однако этот метод учета влияния
геометрии зуба колеса на его проч­
ность имеет серьезные недостатки.
Силу Р н,
прикладываемую к вер­
шине зуба, формально переносят по
линии действия в точку F (см. рис.
Pvtz. 3.76
3.76) и раскладывают на две составляющих Р ИЗГ И Р сж , ИЗ КОТОРЫХ
в расчет принимают только Р изг. Не
учитывают трение в зацеплении. Коэффициент перекрытия прини­
мают равным единице. Если учесть трение и сжатие*, то расчет­
ная формула для определения суммарного напряжения примет вид
Рн
сум
b пт
cos <рх + tg ав sin <рт
nm sin (
cos <рт
или асум
I
± <рх)
6пт cos (
± <рт)
1
(3.146)
sin <рт
Рп
1
, где — заменяет выражение квадратной скобки, т. е.
bty
ч
1
бпт cos (
± <рт)
У
cos срт + tg ав sin <рх
пт sin(
± <рт)
COS <рх ^ tg ав sin <рх
1
(3.147)
где фт— угол трения; а# — профильный угол зуба на окружности
в
А. Г а в р и л е н к о . Основы теории эвольвентной зубчатой пере­
дачи. Изд. 2-е, перераб. М., «Машиностроение», 1969, стр. 262.
248
вершин, равный углу давления; а в— профильные углы точек профиля
зуба, контактирующих в точках В1 и В2 линии зацепления; sp— рас­
четная толщина зуба; b — ширина обода колеса.
§ 52. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ
Достоинства и недостатки различных эвольвентных передач. Срав­
нивая нулевую, положительную и отрицательную зубчатые передачи,
следует иметь в виду, что вся технология зубонарезания колеса для
них во всех случаях одинаковая.
Нулевые зубчатые передачи широко распространены, особенно,
если они составлены из нулевых колес. Они обладают ценным свой­
ством взаимозаменяемости, т. е. колесо с равноделенным шагом,
имеющее число зубьев z it может быть сцеплено с любым другим коле­
сом с равноделенным шагом с числом зубьев г2. Геометрический расчет
их чрезвычайно прост. У равносмещенной зубчатой передачи малое
зубчатое колесо может иметь число зубьев меньше zmin; поэтому при
заданном >40 У равносмещенной передачи передаточное отношение
может быть больше, чем у обычной нулевой.
Положительная зубчатая передача обладает большой компактно­
стью, наибольшей прочностью, стойкостью к контактным напряже­
ниям и износоустойчивостью. Однако следует помнить, что она имеет
меньший коэффициент перекрытия по сравнению с нулевой при прочих
равных условиях (см. § 51), и при увеличении коэффициентов смеще­
ния может возникнуть опасность заострения зуба.
Отрицательную зубчатую передачу применяют реже, так как она
обладает худшими эксплуатационными качествами. Необходимость
в ее применении возникает тогда, когда в заданное межосевое рас­
стояние не удается вписать ни нулевую, ни положительную зубчатую
передачу.
Любой из этих видов передач можно осуществить зубчатыми ко­
лесами как с прямыми, так и с косыми зубьями. Колесам с косыми
зубьями при внешнем зацеплении следует отдать предпочтение при пе­
редаче большей мощности. Косозубая передача может быть выполнена
с меньшим числом зубьев, чем прямозубая, так как у косозубых ко­
лес zmin меньше, чем у прямозубых. Износ боковой поверхности косо­
го зуба более равномерен благодаря тому, что контакт его с другим
зубом в различных сечениях по длине осуществляется разными точ­
ками эвольвенты. Этот характер контакта обеспечивает и большую
бесшумность колес по сравнению с прямозубыми. Однако косозубая
передача обладает тем отрицательным свойством, что в ней вдоль осей
колес возникают усилия. Осевые усилия требуют постановки упорных
подшипников, что усложняет конструкцию.
Выбор расчетных коэффициентов смещения. Для колес с внешним
зубом обеспечение отсутствия подреза и заострения обусловливает
пределы, внутри которых должны быть выбраны расчетные коэффи­
циенты смещения при геометрическом расчете. Отсутствие подреза
обеспечивается минимальным коэффициентом смещения, а отсутствие
249
заострения — максимальным, следовательно, при выборе расчетного
коэффициента смещения должно выполняться неравенство
'max
^
^mln-
Это неравенство справедливо и для выбора расчетного коэффициента
смещения колес с внутренним зубом, но | т1п определяется из условия
отсутствия среза зубьев. Внутри этих пределов расчетные коэффи­
циенты смещения выбирают так, чтобы при заданных модуле и числе
зубьев получить геометрические размеры колес и передачи, при ко­
торых последняя обладала бы лучшими эксплуатационными качества­
ми, т. е. были бы устранены или значительно уменьшены износ, зае­
дание, выкрашивание и излом зубьев. На устранение этих дефектов
зубчатой передачи влияют качественные показатели, которые в свою
очередь зависят от правильного выбора коэффициентов смещения.
Выбирать расчетные коэффициенты смещений проектируемой зуб­
чатой передачи следует с учетом конкретных условий работы, напри­
мер, ее быстроходности, изменяемости или цикличности нагрузки,
наличия закрытой масляной ванны или отсутствия ее и т. д.*
Имеющиеся в литературе рекомендации в виде таблиц и формул для
величин £, и | 2, подобранных с целью повышения контактной проч­
ности и износостойкости зубьев, или для устранения других дефектов,
применимы лишь в отношении передач конкретной отрасли машино­
строения. Однако в любой зубчатой передаче расчетные коэффициенты
смещения прежде всего должны обеспечить отсутствие заклинивания,
подреза и среза зубьев, их заострение, а также гарантировать мини­
мальную допустимую величину коэффициента перекрытия.
Область возможных расчетных коэффициентов может быть пред­
ставлена в виде соответствующего блокирующего контура, построен­
ного для конкретной зубчатой передачи с числами зубьев z t и z2 внеш­
него или внутреннего зацепления.
Блокирующий
к о н т у р представляет собой совокуп­
ность кривых, построенных в координатах
и £2, ограничивающих
выбор расчетных коэффициентов смещения ^ и | 2 и определяющих
зону их допустимых значений, исходя из отсутствия заклинивания,
подреза и среза зубьев, их заострения и гарантии допустимой вели­
чины коэффициента перекрытия. Пример блокирующего контура для
зубчатой передачи с z ,= 13 и z2= 16 приведен на рис. 3.77.
Для передач с прямозубыми колесами, изготовляемыми стандарт­
ным реечным инструментом, имеется справочник блокирующих кон­
туров для различных комбинаций чисел зубьев колес**.
Эти блокирующие контуры могут быть приближенно использованы
для передач с косозубыми колесами.
В. А. Г а в р и л е н к о . Основы теории эвольвентной зубчатой переда­
чи. Изд. 2-е, перераб. М., «Машиностроение», 1969, 275—292.
** Т. П. Б о л о т о в с к а я , И. А. Б о л о т о в с к и й и др. Справоч­
ник по геометрическому расчету эвольвентных зубчатых и червячных передач.
М., Машгиз, 1963.
Т. П. Б о л о т о в с к а я , И. А. Б о л о т о в с к и й и др. Справочник
по корригированию зубчатых колес. М., «Машиностроение», 1967.
250
Построение блокирующего контура связано с расчетом целого ряда
качественных показателей зубчатой передачи (толщина зуба, коэффи­
циент перекрытия, коэффициент давления, коэффициент скольжения
и др.) в функции чисел зубьев колес г4 и z2, угла наклона зуба р, пара­
метров зуборезного инструмента и т. д. Указанные зависимости весь­
ма сложны и вычисление по ним даже одного варианта зубчатой
передачи без применения ЭВМ требует большой затраты труда и вре­
мени. В последние годы начало широко применяться решение подоб­
ных задач с помощью ЭВМ*.
Принципиальный порядок геометрического расчета эвольвентной
зубчатой передачи. Существуют два варианта геометрического рас­
чета: при свободном выборе межосевого расстояния и при заданном межосевом расстоянии передачи. Для прямо­
зубых и косозубых передач расчет не
имеет никаких принципиальных раз­
Шш
личии.
Z
Рассмотрим порядок расчета зубча­
ж
?=0,25mt
тых передач внешнего и внутреннего
tel
О
SRZ--W0m
зацеплений при свободном выборе межосевого расстояния. Исходные данные:
по реечному инструменту
J
/тг, ао, *и>
2
Г
П
І
П
1
I
Хс, 0 и долбяку — т, Оо, хи, хс, ги, Ди;
I
*7
по передаче — число зубьев колес г4 и
г2.
1 Подсчитывают параметры произ­
водящего контура, вели 0=^0 по формулам (3.84), (3.85), (3.87), (3.92) и
(3.93).
2. Определяют минимальное число
Рис. 3.77
зубьев по формуле (3.104) для прямо­
зубых колес и по формуле (3.105) для
косозубых.
3. Определяют | т(п по формуле (3.106) для прямозубых и по
формуле (3.107) для косозубых колес; для колес с внутренними зубь­
ями | mjn находят по графикам на рис. 3.64, 3.70 и 3.71.
4. Выбирают расчетные коэффициенты смещения, как было опи­
сано в предыдущем параграфе.
5. Подсчитывают параметры проектируемой зубчатой передачи:
угол зацепления через инволюту угла по формуле (3.113) для внешнего
зацепления и по формуле (3.123) для внутреннего; коэффициент вос­
принимаемого смещения по формуле (3.118) или (3.124); коэффициент
уравнительного смещения по формуле (3.122) или (3.125) и межосевое
расстояние по формуле (3.116) или (3.126).
6 Определяют исполнительные размеры зубчатых колес: R по
формуле (3.95) для колес с внешними зубьями и по формуле (3.99)
'.А //
4
1
4
4
4
* И. В. А н и к и н. Автоматический выбор оптимальной геометрии ци­
линдрической эвольвентной зубчатой передачи. Известия вузов. «Машивострое*
ние», 1966, № 2.
251
с внутренними; Н по формуле (3.96) и s по формуле (3.97) или (3.102).
7. Подсчитывают величину коэффициента перекрытия е по формуле
(3.131) для внешнего зацепления, по формуле (3.132) для внутреннего
и проверяют его достаточность е > 8Д0П; Для косозубых передач е
подсчитывают по формуле (3.134).
8. Проверяют отсутствие заострения зубьев у колес s#>.0,2 т,
где S/* подсчитывают по формуле (3.83).
Рассмотрим другой вариант геометрического расчета зубчатых пе­
редач внешнего зацепления, когда задано межосевое расстояние. Ис­
ходные данные по реечному инструменту — т, ао, *„> хс и 0; по пере­
даче — передаточное отношение І и межосевое расстояние А.
1. Подсчитывают параметры производящего исходного контура,
если р^О , по формулам (3.84), (3.85), (3.87), (3.92) и (3.93).
2. Устанавливают сумму чисел зубьев колес и величину восприни­
маемого смещения из равенства
~2~
~~m~ ’
в этом случае заранее нельзя назначить вид проектируемой передачи
он выявляется в процессе проектирования в зависимости от величины
А
отношения —
.
т
Если полученная сумма чисел зубьев не обеспечивает достаточную
величину коэффициента перекрытия, то проектируемую передачу
выполняют как косозубую.
3. Определяют числа зубьев колес и га по формулам (
? =
*с
, _
гс I«1
1
Iм + 1 ’
г _ уЩ \ •
Если округление г4 и г2 до целых чисел не укладывается в заданный
допуск для передаточного отношения, то путем изменения ^ прихо­
дится менять сумму чисел зубьев гс.
4. Производят подсчет угла зацепления по формуле
тгс
COS а = ------
COS
2 А
ап.
0
5. Определяют сумму коэффициентов смещения из уравнения
2tg а
Полученную величину
необходимо разложить на два слагаемых
l i и £2> т* е- на расчетные коэффициенты смещения для колес 1 и 2
передачи.
4
Дальнейший расчет производят в таком же порядке, как при сво­
бодном выборе межосевого расстояния, с учетом уже полученных па­
раметров.
Пример геометрического расчета эвольвентной зубчатой передачи внешне­
го зацепления с косыми зубьями при свободном выборе межосевого расстояния.
Исходные данные: по реечному инструменту — т = 6 мм; а0 = 20°; %и =1,0;
хс= 0,25 и р = 20°30'; по передаче
числа зубьев колес гх = 8 и г * = 14.
252
Выполнение расчета: 1. Подсчет параметров исходного контура реечного ин­
струмента для р = 20°30':
tg<z0
tg 20°
0,36397
tg а0т = - — - = — 2------- = — !-------- = 0,38858;
cos (J
cos 20° 30'
0,93667
«от = 2 1 ° 14' 07";
%т = %и cos р = 1 • 0,93667 = 0,93667;
Xqj. = %c cosp = 0,25 • 0,93667 = 0,23414,
6
т
т т = ------г- =
cos р
0,93667
= 6,40566 ж 6,41 мм.
2. Определение zmin:
2хт
гшіп — . 9
sin2 аох
2-0,93667
— Л
~ 14,30.
0.362202
3. Определение минимальных значений коэффициентов смещений:
£imin = *,rr
~ ** = 0 ,9 3 6 6 7 - 4 , ^ ~ 8 = 0 ,4 1 2 0 ;
Zmin
14,3
femin = *ит ^
~ 22 = 0,93667 - - 3 ~ И = 0,01964.
Zmin
14,3
4. Выбор расчетных коэффициентов смещений по условиям отсутствия подреза
зубьев (£j > £ішіп, 62 > бгтіп). а именно:
= 0,45* {*2 = 0 ,0 3 .
5. Подсчет параметров проектируемой зубчатой передачи:
угол зацепления
inv а =
I
inv оох +
2£с t g а0т
. 2 .0 ,4 8 - 0 ,3 8 8 5 8
------------ = 0,017955 Н-------------- —------------ =
Zq
22
Л .
0,034912 и
а = 26°13'48/г;
коэффициент воспринимаемого смещения
гс I cos аот
- Т
\
22 / 0,93210
- ' ) - — (- щ і і г - ' 1“ О’43*
коэффициент уравнительного смещения
межосевое расстояние
,
еу = 5с — £в = 0,480 — 0,430 = 0,050;
nijZc cos аот
j —
6 ,4 -2 2
0,93211
~ — Г ~ •g S
| J
p
Ц
6. Определение исполнительных размеров зубчатых колес:
радиусы окружностей вершин
R = "h ['Y + хит + £—£у
Ri =6.41 ^jj| 1 0,93667 + 0,45 - 0,05) = 34,2080 * 34,21 мм.
/?3 = 6,41 f - ү - -j- 0,93667 + 0,03 — 0,05] = 50,7458 « 50,75 мм,
253
высота зубьев
1 1
Ит
fjg jl I g |j — 5у) В
6,41 (2 • 0,93667 + 0.23414 — 0,050) = 13.18 мм.
толщины зубьев по делительной окружности
I
26 tg а от
st = 6,41 (1,57 + 2 • 0,45 • 0,38858) = 12,31 мм;
sa = 6,41 (1,57 + 2 • 0,03 • 0,38858) = 10,21 мм;
толщины зубьев по окружности вершин (проверка отсутствия заострения)
?Де
cos аот
So = mT
m
т cos а R
71
— + 25 tg аот — г (inv а^ — in v a 0 )
COS
=
0 9321
s/?i = 6,41 о!б984^1,57 + 0 ,9 ’
что составляет 0,35 m;
'—О
R
— 8 • (0.22743 — 0,017961 * 2 . 1
им.
І 0 9321
s/?2 = 6 -41 0 ^8 2 4 2 11’57 + 0,06 • 0,38858 — І4 . ^0,085 — 0 ,0 1 7 9 6 )]« 4,6 мм.
что составляет 0,76 т ,
7. Определение коэффициента перекрытия
е== "^7
a/?l
tg a) + ^
( ^ “Л2 — 1е а) +
^ = -^—
(1,024— в . 49278) +
14
9 • 0 35
+ Т я Г (0’68685 — 0,49278) + - з 14
» 0 , 6 7 7 - Ю . 432 + 1 * 2 . 1 0 9 , т. е. зна
чительно превышает допустимое. (При расчете е принято ф = 9.)
Пример геометрического расчета прямозубой передачи с внутренним заце»
ллением при свободном выборе межосевого расстояния
Исходные
данные: по инструменту — долбяк
средней изношенности
(ГОСТ 9323—60) /л = 8,0 мм; а0=20°; хи= 1 ,0 ; хс= 0 ,3 ; ги= 2 0 ; Ди= 0 , £и= 0 ; по передаче — числа зубьев колес гг= 4 6 и г2= 49.
Выполнение расчета. Производим геометрический расчет станочных зацепле­
ний при изготовлении обоих колес передачи долбяком, определяя сначала г0=
= ? 2—*1=49—4 6 = 3 ; грс= г а—ги= 4 9 —20=29; гсс= г 1+ г и= 4 6 + 2 0 = 6 6 . Коэффициент смещения
принимаем равным нулю, а коэффициент смещения 52 выби­
раем по графикам рис. 3.64, 3.70, 3.71. Д ля предотвращения среза вершин зубь­
ев колеса 2 по графику рис. 3.64 находим величину допускаемого минимально­
го значения коэффициента смещения S2min- При грс> 1 8 зубчатое колесо с внут­
ренними зубьями может быть нулевым, а в рассматриваемом примере грс= 2 9 ,
следовательно, £2 может быть равным нулю и даже величиной отрицательной
Д ля избежания заклинивания при выходе зубьев из зацепления по графику
рис#
3*70* находим
величину
допустимого
минимального
коэффици­
ента смещения 62min = 0 ,4 3 . Во избежание заклинивания при соприкосновении
вершины зуба колеса 2 с переходным профилем зуба колеса / по графику рис. 3.71
при гр= 6 находим величину S2mjn = 0 ,5 2 , а при значении гр= 3 62min несколько
меньше, поэтому за расчетную с некоторым запасом принимаем величину
= 0 ,5 2 .
Сравнивая три найденных значения €2min: видим, что наибольшее значение
в данном случае дает заклинивание передачи при соприкосновении вершины
зуба колеса 2 с переходным профилем зуба колеса 1
254
Далее последовательно определяем следующие величины:
1. Углы станочных зацеплений колеса 1 и колеса 2 с долбяком
COS
COS а 0
с
=
1+2
»
—
сс
в рассматриваемом случае 6 j = 0 и, следовательно, ac l = a o = 2 0 ° t
cos а0
0,93969
cos ас2 Щ ----------- р-----= -------- j-jrj = 0 ,9 0 7 1 6 ;
і+ 2 -a -
і+ Ь 2 !
2рс
inv
ай = 24°53'05";
29
= 0,029540;
tg ас2 = 0.46386.
2. Қоффициенты изменения толщины зуба
Ді = «сс ('nv ас, — inv а0) = 0;
Да = 2^ (inv а0 — inv асг) = 29 (0,014904 — 0,029540) = — 0,42444.
3 Угол зацепления передачи
Ді -f Да
0,42444
inv в = inv а0 — ------------ = 0,014904 Н------ ’-------- = 0,15639:
2Р
3
в == 41°12,08";
cosa = 0,75238;
tg a = 0 ,8 7 5 5 0 .
4. Межосевое расстояние
.
грт cos a0
3 * 8 - 0,93969
Л“ ■
" W ” - -Г Т 5 7 Ш Г ~
м
**■
5. Коэффициент воспринимаемого смещения
с
Н
А
2Р
14,99
3
----—
“7Г"
=
---о
~
=-77=
0
,3
7
3
8
.
/71
2
8
2
6. Коэффициент уравнительного смещения
6у =
— Щ — 1 | = 0.3738 — 0,52 = — 0,1462
При нарезании колес долбяком уравнительное смещение может быть
льным.
7. Радиусы делительных окружностей колес
тг |
ri — 2
г%=
8 i 46
=
2— 58 *®*»00 if,
/яг*
8 • 49
I
= — "— = 196,00 мм.
8. Радиусы окружностей вершин зубьев колес / и 2
% = ( - ^- + *и + 6 i — ey) m = ( 2 3 + 1 # 0 ,1 4 6 ) 8 — 193.17 нм ,
9. Высоту эубьев колес
Н = (2х„ + хс — £у) щ = (2 + 0 ,3 + 0.146) 8 = 19,57 мм.
10. Радиальные зазоры
с = %с щ = 0,3 • 8 = 2,40 млі.
11. Толщину зубьев по дуге делительной окружности
/ я , * \
3 • 1416
* Г Д Т + д » ) « - ------------ 8 = 12,57 мм.
7С
So =
+
Д2
т
=
(1
,5708
—
0,42444)8
=
9,17
мм,
2
12. Коэффициенты перекрытия
1
2я
&(«
а /?1 — ^ а )—
( ‘8 а /?2 — tg “ )] .
1
6=
[46 (— 0,37728) + 49 • 0,60099] S 1,925
При Долбявд с некоторой степенью изношенности, отличающейся от средней
^иф Ф 'и Щ
~ J . требуется пересчитать высоты зубьеь колес*.
§ 53. ДРУГИЕ ВИДЫ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ
Циклоидная зубчатая передача имеет колеса с профилем зуба
очерченным в торцовом сечении циклическими кривыми (циклонДОИ, эпициклоидой и гипоциклоидой).
Любая точка производящей окружности при перекатывании ее
без скольжения по неподвижной прямой описывает циклоиду
(рис. 3.78, а). Эпициклоида и гипоциклоида описываются точкой
производящей окружности при перекатывании ее без скольжения по
неподвижной окружности в первом случае с внешним их касанием
(рис. 3.78, б), а во втором с внутренним (рис. 3.78, в).
Для профилирования зубьев циклоидных колес за неподвижные
окружности принимают их полоидные окружности. При качении одной
окружности по другой без скольжения длина их взаимоогибаемых дуг
одинакова Р 0Р 12= 2лгпрц /, Р 0Р 2= Р 0 2 и т. д. Это свойство исполь­
зуют при построении циклоидных профилей (см. рис. 3.78, б, в). Что­
бы выявить положение нормали к любой точке эпициклоиды' (или ги­
поциклоиды), можно рассматривать эту кривую, как огибающую дуг
окружностей^(см. рис. 3.78, г) радиусами
Р^~, 1 = Р Й ь ц ,р а=
— Р0 2 = Р аЛа ... и т. д., где точки Р и Р 2 являются полюсами мгно­
венного вращения производящей окружности, а отрезки
Р&—
хордами, определяющими положения точки А производящей окруж­
ности, если представить, что эта окружность вращается вокруг мгноН. А. С к в о р ц о в а , Д * М. Л у к и ч е в. Новые методы расчетов
кт а Ж ? / н,иЛ .машин> повышение их надежности и долговечности. Вып. 5.
М., ГОСИНТИ, 1962.
256
448
венного центра P t. Точки A t касания огибающей и огибаемой находят
как пересечения дуг радиуса гпр окружностями, проведенными из
центра О радиусами 01, 02 и т. д. Нормаль в точке A t огибаемой дуги
совпадает с прямой, соединяющей точки A t и P t . Огибающая и огибае­
мая в точках касания имеют общую нормаль. На основании этого мож­
но сформулировать следующее свойство циклоидных кривых: нормаль
в любой точке А эпициклоиды (или гипоциклоиды) проходит через
полюс мгновенного вращения производящей окружности.
Рис. 3.79
Гипоциклоида и эпициклоида, образованные качением одной и той
же производящей окружности по полоидным окружностям первого
и второго колес, являются сопряженными кривыми и могут использо­
ваться для профилирования зубьев. Циклоидное зацепление может
быть внешним, внутренним и реечным. На рис. 3.79 изображено
внешнее циклоидное зацепление. При внешнем качении производящей
окружности радиусом лпр1 по полоидной окружности колеса радиусом
гп2 точка производящей окружности опишет эпициклоиду Эц2. Обка­
тывая ту же производящую окружность по полоидной окружности
колеса 1 внутренним образом, та же точка опишет гипоциклоиду Гцу.
Полученные Эц2 и Гці находятся по одну сторону полоидной окружнос­
ти второго колеса и представляют собой профиль Эц2 головки зуба
второго колеса и профиль Гці ножки зуба первого колеса. Чтобы обра­
зовать профили Гцг ножки зуба второго колеса и ЭЦі головки зуба
первого колеса, необходимо иметь вторую производящую окруж­
ность, касающуюся внешне полоидной окружности первого колеса и
внутренне полоидной окружности второго колеса.
Расчетные формулы, определяющие геометрию зацепления, очень
просты, а именно:
258
/Пп£
2
A - r„, + /-„2 = ” •
**> ,
(3.148)
где /яп — модуль по полоидной окружности (тп= —).
Радиусы производящих окружностей гпрь лпри рекомендуется
брать в пределах (0,35-1-0,4) гп. Увеличение гпр приводит к уменьше­
нию толщины зуба у основания, а уменьшение гпр — к заострению
зуба у вершин и снижению коэффициента перекрытия е На рис. 3.79 изображены два положения контактирующих профилей
зубьев: в полюсе Р 0 и в точке К . Хорда Р0Қ представляет собой общую
нормаль в точке контакта профилей Эц\ и Гц2. Линия зацепления этих
профилей изображается дугой P0Cif производящей окружности гПрм,
а профилей Эц2 и ГЦі— дугой Р0Си производящей окружности гпр[.
В процессе зацепления одной пары зубьев общая нормаль в точке кон­
такта меняет направление, следовательно, не будет и постоянного
угла зацепления передачи.
Фактическая длина зацепления определяется суммой длин двух
дуг Р qCj Н~ Р0С2, а коэффициент перекрытия циклоидного зацепле­
ния — отношением этой суммы к шагу по полоидным окружностям,
т. е.
PqCi
_ РоСі ~ЬРgCj
^ 149)
tn
пт п
Циклоидное зацепление, как и эвольвентное, обеспечивает постоян­
ство передаточного отношения
<12 = — = ---- — = — i*- = const
“з
тщ
гх
и имеет ряд дополнительных достоинств. Во-первых, благодаря взаи­
модействию выпуклого профиля головки о вогнутым профилем нож­
ки, имеются условия для получения большой величины приведенного
радиуса кривизны, что важно для снижения контактных напряжений
на боковых поверхностях зубьев. Во-вторых, благодаря тому, что ли­
ния зацепления выражена дугами окружностей, коэффициенты сколь­
жения у циклоидного зацепления меньше, чем у эвольвентного при
одном и том же значении в . И, наконец, благодаря большому коэффи­
циенту перекрытия передача может обладать большой плавностью.
К недостаткам циклоидного зацепления следует отнести сложность
инструментальной рейки, у которой профиль зуба должен быть вы­
полнен не по прямой, а по двум циклоидам; нарушение постоянства
передаточного отношения (*1а) при изменении межосевого расстояния;
трудности, возникающие при замене одного из колес передачи. При
замене старого колеса новым необходимо знать, о какими производя­
щими окружностями была спроектирована передача.
В практике находят применение частные случаи циклоидного за­
цепления, когда гипоциклоидный профиль обращается либо в точки
9*
25»
Рис. 3.80
Рис. 3.81
260
ПРИ гпР = гп (цевочное зацеп­
ление),
либо в радиальную
прямую при гпр = 0,5 гп (ча­
совое зацепление).
Цевочное
зацеп­
ление
показано на рис.
з.80.
Это такое циклоидное
зацепление, в котором одно из
колес вместо зубьев снабжено
цилиндрическими
пальцами,
называемыми
цевками.
Цевки имеют определенный шаг
и, входя в зацепление с зубом
второго колеса, осуществляют
передачу движения. Для про­
филирования зацепления этого
вида требуется одна произво­
дящая
окружность радиусом
г прі > равным радиусу полоид­
ной окружности цевочного ко­
леса гп1. При внешнем перека­
тывании производящей окруж­
ности по полоидной окруж­
ности второго колеса образует­
ся эпициклоида Эц2 (рис. 3.80),
взаимодействующая с гипоци­
клоидой Гці бесконечно малого
радиуса кривизны (при гпр[ = гп1
гипоциклоида превращается в
точку).
Придавая цевке реальные
размеры с радиусом кривизны
гц, получаем профиль зуба вто­
рого колеса как эквидистант­
ный к эпициклоиде Эц2.
Линия зацепления точечной
цевки является дугой PCt или
PC 2,
производящей
окруж­
ности. Для цевки с реальным
размером гц линия зацепления
может быть построена следую­
щим образом. Центр произволь­
ного положения цевки соеди­
няют с полюсом Р зацепления,
определяя тем самым положение
общей нормали N N . Пересече­
ние нормали с окружностью
цевки в точке Қ обусловливает
место контакта цевки с зубом
'
колеса. Точки Қ һ полученные для ряда положений цевки образуют
линию зацепления.
По сравнению с другими видами зубчатых зацеплений цевочное
зацепление имеет то преимущество, что цевки можно сделать вращаю­
щимися относительно своих осей. В этом случае потери на трение в за­
цеплении незначительны. Однако в практике такое зацепление приме­
няют сравнительно редко из-за сложности конструкции с вращающи­
мися цевками.
Ч а с о в о е з а ц е п л е н и е (рис. 3.81) выполняется при услоВИИ, что Щ = 0,5 гп1 и тпріI
профил
ножки зуба дает гипоциклоиду, выраженную радиальной прямой.
Головки зуба выполняют по эпициклоиде. В настоящее время эпици­
клоиду головки заменяют дугой окружности радиусом р.
Существуют нормали на инструмент для нарезания часового зацеп­
ления, где указаны модуль т„, радиус профильной окружности зубь­
ев и диаметр заготовки D = 2 R .
Зубчатая передача М. JI. Новикова может быть цилиндрической,
конической и гиперболоидной. На практике в большинстве случаев
применяют цилиндрическую передачу с точечным касанием зубьев круго-винтового зацепления, показанную на рис. 3.82 в трех вариантах:
а и б — с одной линией зацепления (одна точка касания Қ в торцовом
сечении передачи) и в — с двумя линиями зацепления (с двумя точками
контакта /Сі и Қ 2 в торцовом и параллельном ему сечениях передачи).
Из этих трех вариантов в эксплуатации находят применение варианты
а не.
Боковыми поверхностями зубьев являются в и н т о в ы е
по" “ т х н о с т и . Положение мгновенной оси Р Р относительного вращения в системе передачи определяется в зависимости от межосевого
расстояния А и передаточного отношения i l2 простыми соотношениями
1
I
*12
|
г ПІ
А
И
А
(3.150)
П2
где гП| и гп2
п
радиусы полоидных цилиндров (аксоидов), причем
т пт
А
2
т пт
г1 + *2
2
t
т пт
тп
cos В
где тт
модуль, отсчитанный по полоидному цилиндру в торцовом
сечении.
Точка /Со контакта зубьев находится от полюса Р на расстоянии /
под углом а0, как показано на рис. 3.83, на котором отсутствует (для
упрощения) аксоидный цилиндр второго колеса. При вращении колес
в каждый момент времени общая слитная контактная точка Қ 0 зубьев
оставляет на их поверхностях следы в виде контактных винтовых ли­
нии АоАі и доД2, а в неподвижной системе, отнесенной к стойке передачи
ущую параллельно
венной оси Р Р относительного вращения на расстоянии I. В передаче
Новикова торцовое перекрытие отсутствует, а имеется только осе­
вое перекрытие. Коэффициент перекрытия
ТТ О ТТ Т !
_____ n n r r i f i r t A
^
__________ __
Т
г г
261
с*
оо
гп
О
S
ф
о.
b sin
a
Pn
urn П
b
tgp,
птПТ
(3.151)
где fln— угол наклона линии зуба на полоидном цилиндре; Ь — ши­
рина зубчатого венца колеса.
Передача Новикова отличается большой контактной прочностью
зубьев вследствие больших приведенных радиусов кривизны в точках
касания зубьев. Скольже­
ние зубьев незначительно.
Прочность зубьев на из­
лом умеренная. Подроб­
ности
можно
найти в
ряде трудов*.
Простой зубчатый ме­
ханизм с некруглыми колесами (см. рис.
1.48),
аксоидными поверхностями которого
являются
цилиндры,
некруглые
Рис. 3.83
Рис. 3.84
применяется для передачи движения от одного вала к другому с пе­
риодически повторяющимися изменениями передаточного отношения,
т. е. /l2=^=const.
При переменном передаточном отношении радиус-вектор полоидной
кривой ведущего колеса должен являться периодической функцией
<Pi— угла поворота этого колеса. Период этой функции может быть
*
В. А. Г а в р и л е н к о . Важнейшие кинематические и геометрические
элементы передачи. М. Л . Новикова внешнего, точечного круго-винтового з а ­
цепления. Исследование и освоение зубчатых передач Новикова. М., Изд-во
АН СССР, I960.
М. Л . Н о в и к о в . Зубчатые передачи с новым зацеплением. М.,
Изд. ВВИА им. Н. Е. Ж уковского, 1958.
263
равен 2я, я , 0,5я и т. д. Заданная функция передаточного отношения
*1а= *і2 (фі) фактически предопределяет форму полоидных кривых ве­
дущего и ведомого колес передачи*.
Проектирование некруглых колес начинают с определения формы
полоидных кривых. Переменные радиусы-векторы гпі и гп2 этих кривых
должны в сумме равняться постоянной величине, равной заданному
межосевому расстоянию (рис. 3.84):
г
п
1
+
г
(3.152)
А,
2п
а мгновенное значение передаточного отношения
О)
dt
Г П2
I 12
О).
dt
d<f,
ГП\
(3.153)
откуда можно записать, что
А
ПІ
---------------- 7
1 + | / 12
И
п2
а
A i 12
1 + Wial
функцией
(3.154)
ведущего колеса**
Фг ф 2(фі)Используя уравнение (3.153), получаем
2я
1
?2
(3.155)
о
Д л я построения полоидных кривых сопряженных зубчатых про­
филей используют уравнения (3.154) и (3.155), откуда легко доказыdsu
вается, что dr2= — d ru tg ү 2= —tg у и (ү2 = 1 8 0 °- Үі) и ds2
т. е. имеет место равенство бесконечно малых дуг качения по полоидным кривым (см. рис. 3.84).
/ 12(ф ,) полоиды могут
В зависимости от заданной функции /12— »12
быть замкнутыми и незамкнутыми с наличием как выпуклых, так и
вогнутых участков. В настоящее время нарезание некруглых колес
методом огибания не представляет особых затруднений.
Практическое применение в машиностроении находят в основном
некруглые колеса с замкнутыми полоидами для передачи непрерывного
вращательного движения. Примером могут служ ить эллиптические
колеса, у которых полоидами являются два одинаковых эллипса с
осями вращения, совпадающими с фокусами (рис. 3.85). Эти полоиды
не имеют вогнутых участков, что упрощает изготовление колес.
Здесь следует упомянуть о зубчатой передаче с th e o ris t, образуемой
эвольвентными цилиндрическими колесами, у которых шаг является
Л . П. С м и р н о в .
К инем атика м еханизмов и маш ин. М .—Л ., ГИЗ,
1926, глава X.
** Ф. М. Л и т в и н . Н ек р у гл ы е зубчаты е колеса. М ., М аш гиз, 1950.
264
переменной величиной, а это означает, что полоиды колес в зацеплении
не будут окружностями*.
Зацепление некруглых колес может быть осуществлено, если колеса
имеют одинаковый шаг по полоидным кривым и взаимно огибаемые про­
фили зубьев. У некруглых колес, в том числе и эллиптических, для
каждой пары зубьев имеется своя особая линия зацепления.
Рис. 3.85
Глава IX
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ.
ФРИКЦИОННЫЕ ПЕРЕДАЧИ
§ 54. КОНИЧЕСКИЕ ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ
Передачей с пересекающимися осями или к о н и ч е с к о и з у б ­
ч а т о й п е р е д а ч е й (см. рис. 1.46) называется такая передача,
у которой оси колес пересекаются и аксоидами колес являются ко­
нусы.
Кинематика конической зубчатой передачи. На рис. 3.86 показана
кинематическая схема конической зубчатой передачи с постоянным
межосевым
у г л О м б о (см. § 33) и дополнительным к нему
р а с ч е т н ы м у г л о м б между осями колес, т. е. б = 180°— б оОтношение угловых скоростей колес і іг = ——= const. План угловых
скоростей построен согласно векторному уравнению
*
Л . А. М а л к и н . Новые зубчатые зацепления. «Станки и инструмент»,
1946, № 1.
Л . А. М а л к и н . Эвольвентное зацепление для меняющихся скоростей,
«Вестник машиностроения», 1946, № 7—8.
265
Вектор относительной угловой скорости со21 определяет направле­
ние мгновенной оси вращения ОР в относительном движении колес
передачи. Положение мгновенной оси вращения относительно осей
O ft и 0 20 фиксируется углами б і и б 2> которые являются углами при
вершинах конических аксоидов колес 1 и 2 передачи. При постоянном
передаточном отношении аксоидные конусы являются круглыми.
Из плана угловых скоростей по теореме синусов следует, что
_Ы _ —
I , т. е. передаточное отношение в конической передаче
sin б2
sin §1
можно выразить в виде
При проектировании кони­
ческих зубчатых передач обычно
расчетный угол б между осями
и передаточное отношение il2
бывают известны или ими зада­
ются. В этом случае углы при
вершинах аксоидных конусов
находят из выражения (3.156);
после подстановки соотноше­
ния б 2= б — бі и небольших
преобразований
Рис. 3.86
sin 5 cos Ъі — cos $ sin Ьг
sin
sin 8,
ИЛИ
Отсюда следует, что
tg S
sin о
i 12
+
(3.157)
COS Ь
i \2 sin В
*21 +
COS 0
1 +
(3.158)
*12 COS В
—, — —
счетный угол б между осями в зубчатой передаче
равен 90р, формулы (3.157) и (3.158) имеют вид
(3.159)
Аксоидные конусы имеют общую вершину в точке О и перекатывают­
ся один по другому без скольжения. Линейные скорости двух касающих­
ся точек на линии ОР равны (см. рис. 3.86). Поэтому полоидные ок­
ружности на аксоидных конусах с диаметрами dBi и da2 обкатываются
266
друг по другу без скольжения, а следовательно, шаги зубьев по этим
окружностям
tn — ътп
Z\
Zf
и тогда
Так как длина образующей (см. рис. 3.86) аксоидных конусов
Г = —Ёп1_ = .. то передаточное отношение конической зуб0Р
2 sin 8,
2 s i n 82
чатой передачи можно также выразить и через числа зубьев
il2 = ^ 1 - =
Ci)a
= -£l .
s i n 6}
колес
(3 160)
Zt
Сферическая
эвольвента
/
/
ЭВольвентная
коническая >
поверхность
Большой круг
Рис. 3.87
Если угол при вершине аксоидного конуса равен 90°, то аксоидной
поверхностью такого колеса будет плоскость, и само колесо называется
плоским.
Основные параметры конического колеса с прямыми зубьями. В ка­
честве боковой поверхности зубьев конических колес используют раз­
личные поверхности. Так, например, для прямозубых конических
колес можно использовать э в о л ь в е н т н у ю
коническую
п о в е р х н о с т ь , образование которой осуществляется следующим
образом. Любая прямая О/С, находящаяся на плоскости П (рис. 3.87)
и проходящая через вершину основного конуса О, описывает эвольвент­
ную коническую поверхность, если плоскость П обкатывать без сколь­
жения по основному конусу с углом при вершине б ос- Любая точка К
прямой ОК при этом описывает траекторию, находящуюся на сфере
267
радиусом OK, называемую с ф е р и ч е с к о й э в о л ь в е н т о й .
Геометрия сферической эвольвенты зависит от угла при вершине
6 0С основного конуса и радиуса сферы. Если вершину основного кону­
са О удалить в бесконечность, т. е. принять угол б 0с равным нулю, то
основной конус превратится в основной цилиндр, сферическая эволь­
вента в плоскую эвольвенту, а коническая эвольвентная поверхность
в цилиндрическую эвольвентную поверхность.
5)
о
Рис. 3.88
Рис. 3.89
Последняя используется в качестве боковой поверхности зубьев
цилиндрических колес. Отсюда следует, что эвольвентное цилиндри­
ческое зубчатое колесо есть частный случай конического эвольвентного
зубчатого колеса.
Линия пересечения боковой поверхности зубьев с аксоидной поверх­
ностью, т. е. линия зуба на развертке соосной поверхности коническо­
го или плоского колеса может быть прямой или непрямой. В зависимос­
ти от вида и направления линии зуба различают конические колеса
с п р я м ы м и , к о с ы м и и к р и в ы м и зубьями. Коническое коле­
со называется прямозубым, если угол наклона линии зуба равен нулю
(рис. 3.88, а). У косозубого конического колеса линия зуба на развертке
аксоидной поверхности — прямая, касательная к окружности радиу­
сом е (рис. 3.88, б), центр которой совпадает с центром развертки.
Кривозубые колеса имеют различные линии зуба: дугу окружности в
колесах с круговой линией зуба (рис. 3.88, в), эвольвенту окружности
радиусом г о, центр которой совпадает с центром развертки (рис. 3.88, г),
удлиненную эпициклоиду (рис. 3.88, д) или удлиненную гипоциклоиду
(рис. 3.88, е). Наиболее широкое применение в практике получили
прямозубые колеса и колеса с круговыми зубьями.
На рис. 3.89 представлено осевое сечение конического зубчатого
колеса. Снаружи коническое колесо ограничивается к о н у с о м
268
в е р ш и н зубьев. Угол б /?і (6 дг) (индексы 1 и 2 соответствуют номеру
колеса) между образующей конуса вершин зубьев и осью зубчатого
колеса называется у г л о м
к о н у с а в е р ш и н зубьев. Угол
Ү і' (Үг) между образующими конуса вершин зубьев и аксоидного ко­
нуса называется у г л о м г о л о в к и зуба. В ы с о т у г о л о в к и зуба hi (/ta') обычно вычисляют по наружному торцу в направ­
лении, перпендикулярном к образующей ОР аксоидного конуса. Ко­
нус, который ограничивает зубья со стороны тела колеса, называется
Рис. 3.90
конусом
в п а д и н . Угол при его вершине обозначается б ві
(бвг)• У гол ү і ' (ү2") между образующими аксоидного конуса и конуса
впадин называется у г л о м
ножки
зуба.
Длина L образующей аксоидных конусов ОР от вершины до наруж­
ного торца колеса называется к о н у с н ы м
расстоянием.
Фактическая ширина в зубчатого венца, измеренная в направлении
образующей аксоидного конуса, называется ш и р и н о й
зубча­
т о г о в е н ц а . При приближении к вершине конуса О размеры зуба
в поперечном сечении уменьшаются, поэтому ширину зубчатого венца
ограничивают в пределах от V2 до х/4 конусного расстояния. Обычно
коэффициент ширины зубчатого колеса <j>= b/L принимают равным
0,3*7-0,35.
Эвольвентное коническое зацепление и приближенный способ его
расчета. В § 33 установлено, что при передаче вращательного движе­
ния между осями ООі и ООг, пересекающимися под расчетным углом б,
269
происходит перекатывание без скольжения двух аксоидных конусов
радиусами гп1 и гп2 в торцовом сечении (рис. 3.90). Если отметить
внутри аксоидных конусов основные конусы радиусами оснований
roi и г02 и углы при вершине основных конусов выбрать так, чтобы
образующая плоскость П проходила через образующую аксоидных ко­
нусов ОР и касалась основных конусов по линиям ON 1 и ONt и, на­
конец, если в качестве образующей прямой боковых поверхностей
зубьев принять линию
А *
____ ОР, то при обкатыва­
нии плоскости N 1ОЛ/а по
основным конусам эта
прямая ОР опишет пос­
ледовательно две эвольвентные конические по­
верхности. В любом сфе­
рическом сечении можно
выделить две сферичес­
кие эвольвенты Э і и Эъ,
которые будут сопря­
женными. Их контакт
осуществляется на сфе­
ре, а геометрическим
местом точек контак­
та является дуга боль­
шого круга.
Касание конических
боковых
поверхностей
будет линейчатым. Ге­
ометрическим
местом
линий касания зубьев
при зацеплении являет­
ся плоскость ON iP N 2,
называемая
п л о с ­
костью
зацеп­
л е н и я (на рис. 3.90
Рис 391
заштрихована). П о л е
з а ц е п л е н и я пред­
ставляет собой часть
плоскости зацепления,
ограниченную линиями пересечения ее
с конусами вершин зубьев. Число сфер с центром в точке О,
которыми можно пересечь боковые поверхности зубьев кони­
ческих колес, бесконечно велико. Принято зацепление профилей
зубьев конических колес рассматривать на сфере, проведенной радиу­
сом ОР (рис. 3.91, а)*.
Количественные соотношения между отдельными параметрами
конических колес можно установить, используя формулы сферичес-
*
В А Г а в р и л е н к о . Основы теории эвольвентной зубчатой переда
чи Изд 2-е, перераб. М., «Машиностроение», 1969, стр. 307—309.
270
кой тригонометрии. Более простые соотношения получают при при­
менение приближенного метода, который позволяет исследовать за­
цепления не на сфере, а на плоскости. Этот способ основан на
понятии о дополнительном конусе и известен как способ Тредгольда.
Дополнительным
к о н у с о м называется коническая
поверхность, основание которой касается сферы по окружности ос­
нования аксоидного конуса и образующая перпендикулярна к образую­
щей ОР аксоидных конусов. На рис. 3.91, а показаны два дополни­
тельных конуса с вершинами в точках 0\ и 0 2 и образующими РО\
и Р 02. Главный радиус кривизны дополнительных конусов в точке Р
равен радиусу сферического торцового сечения зубчатых колес.
Боковая поверхность зуба конического колеса пересекается по­
верхностью дополнительного конуса по пространственной кривой,
которая очень мало отличается от сферической эвольвенты в пределах
высоты зуба. Сферическая поверхность не может быть развернута на
плоскость, а коническая поверхность дополнительного конуса может
быть изображена на плоскости в виде развертки. На рис. 3.91, б по­
казаны развертки дополнительных конусов на плоскость, которые яв­
ляются круговыми секторами ( п р и в е д е н н ы м и
цилин­
дрическими
к о л е с а м и ) , а профили зубьев представлены
плоскими кривыми.
Главные радиусы кривизны аксоидных конусов конической передачи
в точке Р равны отрезкам РО\ и Р 02, т. е. совпадают с радиусами
соответствующих полоидных окружностей приведенных цилиндричес­
ких колес в рассматриваемом торцовом сечении. Анализ профилей
зубьев показывает, что радиус кривизны профиля зуба на развертке
в окрестности точки Р является таким же, как и радиус кривизны
эвольвентного профиля зуба цилиндрического колеса, у которого полоидная окружность имеет радиус гП\ или гп2, равный образующей
дополнительного конуса. Следовательно, зацепление сферических
эвольвент у конических колес можно рассматривать, как зацепления
плоских эвольвент у приведенных цилиндрических колес, радиусы
полоидных окружностей которых отличаются от радиусов полоидных
окружностей конических колес rBi и гп2 и соответственно равны г'п\
и гц2, а числа зубьев равны г\ и г2.
Так как шаги по полоидным окружностям на коническом и при­
веденном цилиндрическом колесе равны, то можно записать
t _
Пі
гг
Из Д 0 ,0 ;Я следует, что r 't = — 2L.
cos О]
j
приведенного
колеса /
ПІ
г,
следовательно,
число зубьев
*
или
21
ft...
(3.161)
cos 5i
для колеса 2 имеем аналогично
cos 5,
Число зубьев Z\ и г2 У приведенных цилиндрических колес всегда
больше, чем число зубьев Zi и z2 у конических колес, и их значения мо­
гут быть дробными. Передаточное отношение іц в приведенной ци­
линдрической передаче отличается от передаточного отношения кони­
ческих колес и выражается зависимостью
i'= jj-=
1
г,
.««C0SA - =
2 і c o s Вг
ііъ
.
(3.163)
co s 5S
Станочное зацепление конического колеса с плоским инструменталь­
ным колесом. Геометрия зубьев и других конструктивных элементов
конических колес тесно связана с технологией их изготовления, т. е.
со схемой зубонарезания (или шлифования боковых поверхностей
зубьев). Большинство схем зубонарезания основывается на огибании
по плоскому производящему колесу, которое играет такую же роль,
как понятие об исходном производящем реечном контуре при нареза­
нии колес цилиндрических зубчатых передач (см. § 48).
Режущий инструмент по отношению к нарезаемому колесу совер­
шает два основных движения: технологическое, обеспечивающее сре­
зание и удаление материала из объема, занимаемого впадиной, и дви­
жение огибания, обеспечивающее соответствующее профилирование
боковой поверхности нарезаемого зуба. Во время технологического
движения режущая кромка инструмента описывает в пространстве
некоторую поверхность, которая является «режущей поверхностью»
в том смьи:ле, что она срезает или удаляет ту часть материала заго­
товки, которая оказывается попавшей внутрь объема, ограниченного
этой поверхностью. Обычно эта поверхность называется п р о и з в о ­
д я щ е й п о в е р х н о с т ь ю . Во время огибания осуществляется
зацепление производящей поверхности с боковой поверхностью наре­
заемого колеса. Следовательно, п р о и з в о д я щ и м
колесом
называется воображаемое зубчатое колесо, у которого боковыми по­
верхностями зубьев являются производящие поверхности, образуемые
рабочими режущими элементами инструмента в процессе огибания.
В станочном зацеплении боковая поверхность нарезаемого колеса
находится в линейном контакте с воображаемой производящей по­
верхностью зуба плоского инструментального колеса, так как наре­
заемая и производящая поверхности являются взаимно огибающими.
Если два нарезанных конических колеса ввести в зацепление, то
их боковые поверхности при зацеплении могут иметь точечный или
линейный контакт, или оказаться не сопряженными.
272
Представим, что два конических колеса были нарезаны с исполь­
зованием пары производящих плоских инструментальных колес,
т. е. таких колес, боковые поверхности зубьев которых при соединении
колес полностью совпадают друг с другом (как форма и отливка).
В этом случае боковые поверхности нарезанных колес являются огибаю­
щими одной и той же производящей поверхности и имеют с ней линей­
ный контакт при станочном зацеплении. Поэтому два конических ко­
леса, нарезанных инструментами, образующими пару производящих
плоских колес, обязательно будут сопряженными. Если поверхность
зацепления колес совпадает с поверхностями станочных зацеплений,
то боковые поверхности зубьев имеют линейный контакт. Если по­
верхности станочных зацеплений колес не совпадают, а пересекаются
по некоторой линии, являющейся линией зацепления зубчатой пере­
дачи, то контакт будет точечным.
Рассмотрим расчет и нарезание зубьев колес в простейшем случае.
Для нарезания прямых зубьев конических колес применяют зубо­
строгальные станки, использующие различные производящие коле­
са*. При плоском производящем колесе с углом начального конуса
£ и=90° (рис. 3.92 а) резцы совершают возвратно-поступательное
движение под углом 90°— у" к оси плоского колеса, т. е. направление
резания зависит от угла ножки нарезаемого колеса. Если направление
возвратно-поступательного движения резцов выбрать перпендикуляр­
ным к оси плоского колеса, то высота ножки Һ" по всей длине зуба будет
не понижающейся к вершине конуса, а постоянной (рис. 3.92, б).
Это приводит к ослаблению ножки зуба и снижению его прочности
на изгиб.
Зубострогальные станки наиболее распространенных моделей име­
ют такую конструкцию, при которой использована схема зацепления
нарезаемой заготовки не с плоским, а п л о с к о в е р ш и н н ы м
к о л е с о м (рис. 3.92, в), у которого угол при вершине начального
конуса равен 90°— ү", а направление движения резцов перпендикуляр­
но к оси производящего колеса. Применение такого плосковершинного
колеса упрощает конструкцию станка, позволяет повысить его жест­
кость и производительность. Плосковершинное производящее колесо
не является плоским, что вносит некоторые погрешности. Передаточ­
ное отношение при зацеплении таких колес переменное, однако коле­
бания его достаточно малы.
Схема станочного зацепления при нарезании прямозубого коничес­
кого колеса представлена на рис. 3.93, а. Для нарезания используют
два резца, совершающих возвратно-поступательное движение вдоль
образующей конуса впадин. Каждый из резцов обрабатывает одну боко­
вую поверхность зуба.
На рис. 3.93, б представлены развертки дополнительных конусов
или схема приведенного станочного зацепления с приведенными чис­
лами зубьев по способу Тредгольда.
*
В. Н. К е д р и н с к и й , Қ. М. П и с м а н и к .
ння конических зубчатых колес. М., Машгиз, 1958.
Станки для нареза
273
Профиль зубьев плосковершинного колеса в развертке прибли­
женно можно принять совпадающим с исходным производящим кон­
туром реечного инструмента с параметрами т = т п, хи, хс и а 0. Средняя
прямая производящего исходного контура может иметь смещение
£ тп относительно станочно-полоидной окружности приведенного
& У У УУУУ У УУУ/УФУУ//
^7/у ү7Һ6У/У/ЖУ//6'/£Ж/'>£/£/ / / і
Направление
резания
Направление
Рис. 3.92
Рис. 3.93
цилиндрического колеса радиусом / сп. Получающиеся при таком
способе нарезания профили зубьев уже не являются эвольвентными
и не могут составить эвольвентную коническую передачу, а будучи
спаренными, они образуют так называемую о к т о и д н у ю коническую зубчатую передачу. Название эта передача получила от линии за­
цепления, которая в данном случае имеет форму восьмерки (octo_
Обычно проектируют нулевые октоидные конические передачи, со­
ставленные либо из двух нулевых колес, либо выполненные как равносмещенные, т. е. І 2=
£і и | с= 0. Это позволяет оставлять угол между
осями постоянным, независимым от величины смещения инструмента.
Равносмещенные передачи обладают большой работоспособностью.
274
На основании схемы станочного зацепления (см. рис. 3.93) можно
записать следующие формулы для определения основных размеров
колес нулевой октоидной конической передачи:
высота головки зуба в его торцовом сечении
л:
(*и Н- ^і)>
^2
(3.164)
та (хи “Ь ^г)>
ысота ножки зуба в его торцовом сечении
Һ
тп (хи
i).
(хи + *с
h
У;
(3.165)
конусное расстояние (длина образующей аксоидных конусов)
dП1
L
mnzx
2 sin б
.
2 sin
2 sin Ь* 9
(3.166)
угол головки зуба
tgY,'
Һ1
2 К * 3 1 . Sin 5.
гл
L
(3.167)
tg Y
угол ножки зуба
tg ү
tgY
һ1
- (хи + % c ~ Sl) Sin Ь.,
L
(3.168)
2 (хи
*•
5г) sin 8«;
г9
угол конуса вершин
8Л1
\ + У'г
^R2
^2 + Үг *
(3.169)
диаметр окружности вершин зубьев в торцовом сечении коничес­
кого колеса (см. рис. 3.89)
Di = dni + 2h\ cos 8, = m„ [z, + 2 (x„ + £,) cos 8,].
D 2 — d“ П2
(3.170)
hL Ш
cosІ 8p
P 2
*"»2
—m nШ
+
2 (хи Ц g2) cos 8a]
Определение коэффициента перекрытия, скорости скольжения,
коэффициента формы профиля зуба и других параметров конической
передачи обычно производят приближенно с помощью приведенных
цилиндрических колес, числа зубьев которых подсчитывают по фор­
мулам (3.161) и (3.162). Аналогично поступают при анализе подреза
зубьев.
Минимальное число зубьев нулевого конического колеса, при ко­
тором не происходит подреза зуба, согласно формулам (3.161) и (3.162):
275
z mln 1
Zmln COS 8j
sin2 a0
И
cos5i
(3.171)
2хи
* m ln
cos 8,,
sin2 a0
т. e. оно меньше минимального числа зубьев цилиндрических колес.
Для устранения подреза зубьев конических колес необходимо соблю­
дать соотношение
Zl
1
mfn
шіп 1
min
и
и
rnin
mfn
И
Е2
и
COS Oj
17
min
(3.172)
cos Ъ2
zm\n
Для случая, когда х„ = 1 , а 0=20° и
тают частное значение
17
COS 0|
17, формулы (3.172) приобре17
И
cos Б
17
(3.173)
На практике также применяют передачи с кривозубыми коничес­
кими колесами. Их геометрический расчет значительно сложнее, чем
прямозубых колес, и в настоящем учебнике не рассматривается.
§ 55. ГИПЕРБОЛОИДНЫЕ ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ
Гиперболоидной
зубчатой
п е р е д а ч е й на­
зывается такая передача, у которой оси колес перекрещиваются (см.
рис. 1.47) и аксоидами колес являются два гиперболоида вращения.
Начальные поверхности зубчатой передачи. Приступая к изучению
гиперболоидных зубчатых передач необходимо познакомиться с
понятием н а ч а л ь н а я
п о в е р х н о с т ь зубчатого колеса в
передаче, которое при синтезе гиперболоидных передач имеет сущест­
венное значение, утрачивая его для конических и цилиндрических
передач. В двух последних передачах роль начальных поверхностей
чисто формальная вследствие того, что начальные поверхности колес
этих передач сливаются с аксоидными поверхностями и только в ред­
ких случаях начальные поверхности совпадают с аксоидными лишь
в одном сечении*.
Рассмотрим гиперболоидную передачу (рис. 3.94) с аксоидами в ви­
де гиперболоидов вращения I и I I (на схеме показан расчетный угол
В „ А- Г а в Р и л е н К о. Основы теории эвольвентной зубчатой переда
чи, Изд. 2-е, перераб. М., «Машиностроение», 1969, стр. 316—327.
276
б между осями 1— I и II — II) и построим план скоростей ОаЬ для слит­
ной точки О, принадлежащей двум аксоидным гиперболоидам и лежа­
щей на линии кратчайшего расстояния между осями колес 0 г0 2, на­
правленной перпендикулярно к плоскости чертежа. Скорость точки
О первого колеса представлена вектором vx, перпендикулярным к
оси I—1 (t»x= © xral). Скорость точки О второго колеса
вектором
v2, перпендикулярным к оси II—II (и2= и г^аг) • Вектор иск = и 2—
направлен
параллельно оси
мгновенного винтового движени я V (см. § 33).
Предположим, что размеры
гиперболоидов остались преж­
ними, а скорость вращения од­
ного из них, например второ­
го, изменилась и стала в>'2.
В таком случае у всех слитных
точек касания гиперболоидов
изменятся величины и направления векторов скоростеи относительного скольжения, согласно новому
плану
ско­
ростей Оас (см. рис. 3.94). Эти
векторы не будут направлены
вдоль линии касания гипербо­
лоидов (или, что то же, вдоль
Рис. 3.94
мгновенной винтовой оси при
прежнем соотношении угловых
скоростей колес). Новый вектор
скорости скольжения иск отклонится от прежнего направления на угол
V. Между направлениями вектора иски осями гиперболоидных колес
образуются новые углы 0н1 и Рн2, алгебраическая сумма которых равна
расчетному межосевому углу б . Если при новом соотношении угловых
скоростей колес производить построение зубьев на тех же гиперболо­
идах, то для обеспечения взаимного проскальзывания зубьев необ­
ходимо, чтобы направление общей касательной к линиям зубьев сов­
падало с направлением нового вектора скорости скольжения иск
(углы наклона линий зубьев будут равны соответственно углам Рн1
и Рнг).
Эти новые гиперболоиды, принятые за основу построения зубьев,
называются н а ч а л ь н ы м и г и п е р б о л о и д а м и .
Общее же определение начальной поверхности следующее
начальной
п о в е р х н о с т ь ю зубчатого колеса называется
относящаяся к данному зубчатому колесу в передаче одна из взаимокасающихся соосных поверхностей, в любой точке касания которых
проходящие через нее линии зубьев обоих колес передачи касаются
и проекция вектора скорости скольжения на плоскость, нормальную
к линиям зубьев в точке их касания, равна нулю. Эти начальные гипер­
болоиды уже не будут аксоидными, так как их образующая не являет277
ся мгновенной осью относительного винтового движения. Аксоидами
будут другие гиперболоиды, которые соответствуют новым значениям
CD 1 И СО 2*
Из плана скоростей (Д Оас) очевидно, что
Vx cos Р„х= v'z cos P.
Так как vt = rHltoi и v'2= rH2to'2,
го югг иj cos PHl= co'2 ru2 cos Рн2, откуда
i la =
=
(i>2
г *£2і 2ш
л
rhi cos PhI
t
(3.174)
где rHl и r„2— соответственно равны прежним радиусам га1 и га2, так
как по условию размеры гиперболоидов не изменились, но индекс а
заменен на н, поскольку эти гиперболоиды при угловой скорости со2
перестали быть аксоидными.
Из формулы (3.174) видно, что одно и то же передаточное отноше­
ние может быть получено путем многочисленных комбинаций радиу­
сов начальных поверхностей (/■„!, гн2) и углов наклона линии зубьев
новых условиях Л ИНИИ
(Рн1» Рнг)зубьев, на начальных гиперболоидах
имеют только точечное касание, так
как не совпадают друг с другом и с
линией касания гиперболоидов (или их
образующей), что упрощает изготовле­
ние зубчатых колес. Для обеспечения
точечного касания линий зубьев нет
необходимости в качестве начальных
поверхностей колес принимать гипер­
болоиды вращения. Целесообразно для
этой цели применять более простые по
своей форме поверхности, например,
круглые цилиндры а—а (рис. 3.95),
построенные у горловин гиперболоидов
Рис. 3.95
и касающиеся друг друга в точке, лежащей на линии кратчайшего расстоя­
ния между осями колес, или конусы б—б с несовпадающими вер­
шинами, имеющие также точечный контакт.
Радиусы начальных цилиндров могут отличаться от радиусов гор­
ловин гиперболоидов и принимать любые значения при обязатель­
ном условии, что соблюдается соотношение (3.174).
Эвольвентная гиперболоидная (винтовая) зубчатая передача. Пе­
редача состоит из двух обычных эвольвентных цилиндрических косо­
зубых колес (см. рис. 1.47, а), оси которых перекрещиваются под
произвольным углом б о, имея расчетный угол б = 180°— б 0- В боль­
шинстве случаев применяют передачи с углом б 0= 90° и колесами равноделейного шага. У такой передачи начальными поверхностями ко­
лес являются круглые цилиндры.
f
278
На рис. 3.96 показаны три проекции начальных цилиндров эволь­
вентной гиперболоидной передачи с радиусами гн1 и гн2. Штрихами вы­
черчены основные цилиндры с радиусами го1 и го2. Винтовые линии
на начальных цилиндрах показаны в положении, когда они касаются
в точке Р. Общая касательная к ним т—т составляет с осями колес
соответственно углы |Зн1 и (Зн2, которые в общем случае не равны и их
разное направление не обязательно, но их сумма всегда равна расчет­
ному углу между осями, т. е. Рні+ Р н 2= б .
Рис. 3.96
Касательно к основным цилиндрам через полюс проходят обра­
зующие плоскости Ео1 и £ о2. В них расположены прямолинейные об­
разующие боковых поверхностей зубьев, составляющие углы (30) и
Р02 с осями колес.
В передачах с параллельными осями (б0= О или 180°) производящие
плоскости обоих колес сливаются в одну, являющуюся плоскостью
зацепления, а боковые поверхности зубьев из-за равенства углов
(301=
Ро соприкасаются по общей образующей (линейный кон­
такт). При скрещивающихся осях (бо^О) производящие плоскости
пересекаются по прямой, представляющей собой геометрическое мес­
то точек контакта боковых поверхностей зубьев эвольвентных ко­
лес — л и н и ю
з а ц е п л е н и я . Она проходит через точку Р
касания начальных цилиндров, касательно к обоим основным цилин­
драм колес. На рис. 3.96, а, б проекции линии зацепления совпадают
с проекциями плоскостей Е01 и Е02 и составляют в торцовых сечени­
ях колес различные по величине углы зацепления ец, и а^. Углы
зацепления нулевой передачи равны углам станочных зацеплений ко­
лес с реечным инструментом, т. е. оц, = аот1 и ат3 = аота. Величины
279
их определяются по формуле (3.87), известной из теории эвольвентных
цилиндрических передач.
Предельные точки Ni (см. рис. 3.96, б) и Af2 (см. рис. 3.96, а) отме­
чены на основных цилиндрах. Вертикальным переносом точек Nj и
N 2 находят вторые проекции этих точек. По двум проекциям получают
третью. Рабочий участок линии зацепления (длина зацепления) оп­
ределяется пересечением линии зацепления поверхностями цилиндров
вершин зубьев колес с радиусами Ri и R t (точки Bi и В 2).
В нормальном сечении шаг и модуль для обоих колес одинаковы,
поэтому применительно к нулевой передаче, у которой начальные и
делительные цилиндры сливаются, имеем
(3.175)
t HI t и2 t н я/л.
t
В торцовых же сечениях модули разные, т. е
т
тТ І
т Т2
COS р,
т
cos р2
сливаются) цилиндров
начальных
делительных
ределяют по формулам
Hi
1
(3.176)
rrhiZi
2
(3.177)
И
tTlj2^2
Н2
2
Межосевое расстояние для нулевой передачи
А
Hi
+ ГН2
+г
т
21
2 V cos Pi
+
COS Ра
(3.178)
Все исполнительные размеры колес с равноделенным и неравноделенным шагом, как диаметры заготовок, высота зубьев, толщина
зубьев, определяют по формулам (3.95), (3.96), (3.97), в которые под­
ставляют значения торцового модуля для малого и большого колес со­
ответственно, вычисленные по зависимостям (3.176).
Применяют также эвольвентные гиперболоидные передачи ненуле­
вого типа*.
Для получения минимальных габаритов передачи из условия проч­
ности угол наклона |Зн1 винтовой линии зуба на ведущем колесе, сле­
дует брать для ускоряющих передач (/<СІ) в пределах 20-т-30°, для
замедляющих (С>1) в пределах 60-Ь70°,для передаче ія#1 Рн1=45-=-50°.
Коэффициент перекрытия можно определить из следующего выра­
жения, если рассмотреть торцовое сечение колеса 1 или колеса 2
(рис. 3.96, б)
bi tg Pi
І В \ ~t* І В і
(3.179)
+
к щ COS а0Т1
иПЦі
* В . А. Г а в р и л е н к о . Основы теории эвольвентной зубчатой переда­
чи. Изд. 2-е, перераб., М., «Машиностроение», 1969, стр. 327—335.
280
где /в і+ Ш— проекция рабочего участка линии зацепления на торцо­
вое сечение колеса /; лт , cos аот1— шаг по основному цилиндру в тор­
цовом сечении колеса /; — фактически используемая ширина коле­
са /; Р 1— угол наклона линий зуба на делительном цилиндре ко­
леса /.
Скорость скольжения боковых поверхностей зубьев в направлении
общей касательной к винтовым поверхностям зубьев для контактной
точки, совпадающей с полюсом Р, можно определить из треугольника
скоростей на рис. 3.96, в:
\
°i _ “ i'h i _„
ск/р----sin
: Э„,
:-------sin
: Эні
:
ші ~2 cos Э
■и1 sin
:—8„t
■—
\
_
>
т. е.
(»«)
sin 28Hi
(3.180)
Скорость скольжения гиперболоидной эвольвентной передачи в
полюсе Р не равна нулю.
Точечный контакт боковых поверхностей зубьев колес у рассмот­
ренной зубчатой передачи и значительное скольжение профилей зубьев
обусловливают ее использование при относительно небольших мощ­
ностях. Эту передачу применяют в различных отраслях машинострое­
ния, в частности в автомобильных и авиационных двигателях для
привода насоса, в виде ускорительной передачи для привода центри­
фуг и сепараторов, а также как кинематическую передачу в приборо­
строении.
Гипоидная зубчатая передача. Если в качестве начальных поверх­
ностей колес в гиперболоидной передаче применить конусы с несовпа­
дающими вершинами, т. е. с точечным контактом, то получится так
называемая г и п о и д н а я
зубчатая
передача
(см.
рис. 1.47, в).
Нагрузочная способность такой передачи несколько выше нагру­
зочной способности эвольвентной гиперболоидной передачи. Обычно
гипоидная передача применяется для t = 1-40, хотя могут быть
спроектированы передачи и на большие передаточные отношения.
Наиболее широкое применение гипоидные передачи получили для
привода ведущих колес автомобилей и других транспортных машин.
Гипоидные передачи начинают применять в машинах и механизмах,
где требуется обеспечить высокую точность передачи вращения (в
счетно-вычислительных машинах, в исполнительных механизмах
различных автоматических устройств).
Червячная зубчатая передача. Эта передача является частным слу­
чаем гиперболоидной передачи (см. рис. 1.47, б и 3.97) и состоит из
ч е р в я к а и ч е р в я ч н о г о к о л е с а . Червяком называется
косозубое зубчатое колесо, линия зубьев которого делает один или
более оборотов вокруг его оси. Число зубьев червяка часто называют
ч и с л о м его з а х о д о в ,
н и т о к или в и т к о в . Число за­
ходов червяка гх чаще всего равно Ң-4. В особых случаях 2i=7-^9.
Червячное колесо нарезают фрезой, представляющей собой точную
281
копию червяка. Поэтому в червячных передачах соприкосновение
зубьев червяка и колеса происходит по л и н и и (линейный контакт).
Для увеличения соприкосновения ободу червячного колеса придают
форму, при которой колесо охватывает червяк. Как правило, в червяч­
ной передаче ведущим является червяк, поэтому червячная передача
чаще всего работает как замедляющая. Передаче вращения от колеса
к червяку обычно препятствует самоторможение.
Передаточное отношение червячной зубчатой передачи выражается
равенством і12 = — = — . Величина передаточного отношения КОЛеШз
Zi
блется в пределах от 8 до 100, а в специальных случаях даже до 1000.
червячное
колесо
Червяк
Рис. 3.97
Рис. 3.98
Наиболее распространенными являются ц и л и н д р и ч е с к и е
и т о р о и д н ы е червячные передачи, у которых начальными по­
верхностями червяков являются соответственно
цилиндр
(рис. 3.98, а) и т о р (рис. 3.98, б). Тороидную передачу часто непра­
вильно называют глобоидной. Тороидные червячные передачи бла­
годаря более благоприятным условиям зацепления (хорошим гидроди­
намическим условиям смазки, обеспечивающим устойчивый масля­
ный клин в зоне контакта) могут передавать значительно большие
мощности, чем цилиндрические червячные передачи тех же размеров.
В общем случае цилиндрическая червячная передача в своем сос­
таве имеет к о н в о л ю т н ы й * ч е р в я к (рис. 3.99, а), т. е. ци­
линдрический червяк, боковые поверхности зубьев которого обра­
зованы движением прямой / ( о б р а з у ю щ а я п р я м а я ) , каса­
ющейся некоторого соосного цилиндра 2 ( и с х о д н ы й ц и ­
л и н д р ) в точках винтовой линии 3 на нем и составляющей постоян­
ный угол 4 с касательной 5 к винтовой линии. Сечение боковой поверх­
ности зуба конволютного червяка плоскостью, касательной к исход­
ному цилиндру, дает прямолинейный профиль, а торцовое сечение —
удлиненную или укороченную эвольвенту 6.
Применяются также и частные варианты конволютного червяка —
архимедов
и эвольвентный
червяки.
Архимедовым червяком (рис. 3.99, б) называется конволютный
червяк, радиус исходного цилиндра которого равен нулю. Боковая
* Convolution — виток.
282
поверхность зуба архимедова червяка представляет собой линейча­
тую винтовую поверхность (с прямолинейной образующей /), сечение
которой плоскостью, перпендикулярной к оси, дает архимедову спи­
раль 2. В осевом сечении эти червяки имеют прямолинейный профиль
зуба. Архимедовы червяки получили широкое распространение.
Эвольвентным червяком (рис. 3.99, в) называется конволютный чер­
вяк, образующая прямая I которого является касательной к винто­
вой линии 2 на исходном цилиндре 3. Иначе
говоря, эвольвентный червяк представляет
собой обычное эвольвентное цилиндрическое
косозубое колесо с малым числом зубьев и
большим углом Р их наклона.
2
Ограничимся рассмотрением червячной
передачи с архимедовым червяком. Взаимо­
действие такого червяка и червячного колеса
в плоскости, перпендикулярной к оси колеса
и проходящей через ось червяка (с р е д няя
плоскость
червячной
п е р е д а ч и ) , сводится к зацеплению рейки,
имеющей прямолинейный профиль зуба, и
колеса с эвольвентным профилем зубьев
(рис. 3.100). Обычно профильный угол рей­
ки а 0= 20°. Средняя прямая рейки совпа­
дает с образующей начального* цилиндра чер­
вяка. Поскольку модуль рейки стандартизо­
ван, то осевой модуль червяка тоже имеет
стандартное значение. Диаметр начального
цилиндра выбирают кратным осевому модулю
червяка, т. е. диаметр начального цилиндра
червяка
(3.181)
где т а1= т — осевой модуль червяка, рав­
ный стандартному модулю; | — число моду­
лей в диаметре делительного цилиндра, т. е.
Рис. 3.99
отношение величин диаметра делительного
цилиндра и осевого модуля червяка, Стандартные значения | по ГОСТ 2144—43 приведены в табл. 3.2.
При проектировании самотормозящихся червячных передач зна­
чения q берут не стандартные, а большие, для обеспечения требуемых
величин углов наклона линии зуба червяка.
Наклон винтовой линии зуба по начальному цилиндру определяют
углом наклона линии зуба 0н1 или углом ее подъема Хн, (рис. 3.101).
На основании рис. 3.101 угол $н1 находят из соотношения
tgp„ 1
ndHi
*
Для данного частного случая начальный цилиндр червяка сливается с де­
лительным
283
Рис. 3.100
Здесь Л, х о ц з у б а ч е р в я к а , т. е, расстояние между одно­
именными осевыми профилями одного зуба по образующей цилиндра;
tzu
К
г
•р
N
II
"
Рис. 3.101
ружности
(в средней
плоскости
Н1
н1
где t а 1
t
пт
осевой
ш аг
зубьев
червяк а, т. е. расстояние между од­
ноименными осевыми профиля­
ми двух соседних зубьев чер­
вяка по образующей цилиндра.
Осевой шаг червяка всегда
равен торцовому шагу чері ячного колеса / а \ — tvt2 t , измеренному по его начальной окчервячной передачи), поэтому
тсd Hi
dHI
тгл
h\
Я
(3.182)
Таблица
Значения осевого модуля т а\ = tn и отношения q для передач
с цилиндрическими червяками по ГОСТ 2144—43
Осевой модуль
та = т , мм . .
2
(2,5)
3
(3,5)
4
(4 ,5 )
Отношение q . т .
13
12
12
12
11
И
Осевой модуль
та = т , мм . .
Отношение q . . .
284
5
6
10(12) 9(11)
3. 2
(7)
8
9(11)
8(11)
Основные размеры червяка определяют по следующим фор
диаметр цилиндра вершин зубьев (заготовки)
Dy
d ai +
2 xHm
= т (q +
2 *„);
(3.183)
диаметр цилиндра впадин
D ВІ
dH i
2 (хи -f хс)
m
m[q
2 (х„ + хс)];
(3.184)
высота зуба
Н
2(х„ 4- хс) т ;
(3.185)
толщина зуба по начальному (делительному) цилиндру
пт
Hi
(3.186)
~2
Обычно принимают хи 1, 0; хс
0 , 2 -т-0 ,3.
Оіедует отметить, что в нулевой червячной передаче (см.
рис. 3.100, а) начальная прямая рейки в осевом сечении червяка сов­
падает со средней прямой, а начальная окружность колеса — с дели­
тельной окружностью. Угол зацепления а 0 равен углу наклона боко­
вого профиля зуба червяка в осевом сечении. В ненулевой червячной
передаче (см. рис. 3.100, б) начальная прямая не сливается со средней
прямой рейки и касается делительной окружности колеса, являющей­
ся, как и в нулевой передаче, начальной окружностью. Угол зацепле­
ния ненулевой передачи также равен а 0.
Так как червячное колесо нарезают фрезой, представляющей собой
копию червяка, то рабочее зацепление червячной передачи в средней
плоскости является одновременно и станочным зацеплением при наре­
зании червячного колеса. Поэтому расстояние между средней и началь­
ной прямыми рейки | т будет одновременно и смещением производя­
щего исходного контура инструмента для среднего сечения червячного
колеса, и воспринимаемым смещением червячной передачи.
На основании ранее выведенных формул для эвольвентной цилин­
дрической зубчатой передачи основные размеры червячного колеса
еле
сражениями:
диаметр делительной окружности
d
тгг\
(3.187)
диаметр окружности вершин зубье
Ог= т (г 2+ 25 +
2 хи);
(3.188)
диаметр окружности впадин
&в2— ni(z2+ 2 g
2х И
2xJ;
(3.189)
285
высота зуба
(3.190)
Н = т(2хи+ хс):
толщина зуба по делительной окружности
s2 = т
+
2 £ tg
а 0) ;
(3.191)
межосевое расстояние червячной передачи
Л= т (і±* + |),
(3.192)
л я нулевой червячной передачи при g — 0
(3.193)
Коэффициент смещения \ исходного производящего контура ин­
струмента выбирают в пределах ± 1 ; отрицательное смещение следует
назначать с осторожностью, так как при этом возрастает опасность
подреза зубьев червячного колеса (при малых числах зубьев) и ухуд­
шаются условия смазки.
Достоинствами червячной зубчатой передачи являются компакт­
ность при осуществлении больших передаточных отношений, плав­
ность и бесшумность работы, возможность самоторможения. Недостат­
ки червячной передачи — повышенная относительная скорость сколь­
жения зубьев и вследствие этого сравнительно низкий к. п. д., необ­
ходимость применения для колес дорогих антифрикционных мате­
риалов.
§ 56. ФРИКЦИОННЫЕ ПЕРЕДАЧИ
Фрикционными
п е р е д а ч а м и называют механизмы»
передающие движение вследствие сцепления , возникающего между
прижатыми друг к другу звеньями. Их используют для передачи вра­
щения между параллельными или пересекающимися осями как с по­
стоянным, так и изменяемым передаточным отношением.
В отличие от зубчатых, фрикционные передачи состоят из глад­
ких цилиндрических или конических тел вращения (звеньев-катков),
прижатых друг к другу нормальной составляющей силы взаимодей­
ствия звеньев 2 и 1, т. е. силой Огі — Рц равной давлению пружины
на опоры ведомого звена (см. рис. 3.102). Таким образом, передача
движения здесь осуществляется посредством трения, возникающего
в зоне контакта соприкасающихся звеньев высшей пары. При этом
избежать проскальзывания теоретически возможно (см. § 33) только
в том случае, если поверхности рабочих тел (звеньев) передачи явля­
ются аксоидными В этом случае окружные скорости фрикционных
286
звеньев (аксондов с радиусами оснований rt и г2) в точке их касания
одинаковы (см. рис. 3.102, а, б и 3.103); поэтому
v1
0)1 Г у =
С02Г , =
Vа .
Откуда следует, что передаточное отношение таких механизмов
''г
(3.194)
12
со»
''і
где верхний знак берется при внешнем касании звеньев, а нижний
при внутреннем.
«1
Рис. 3.102
Следовательно, передаточное отношение фрикционной передачи
равно обратному отношению радиусов оснований тел качения, кото­
рыми в случае параллельных осей являются цилиндрические аксоид­
ные поверхности, а в случае пересекающихся осей — конические аксо­
идные поверхности, имеющие общую вершину, совпадающую с точкой
пересечения осей. Если эти поверхности круговые (круговые цилин­
287
дры или круговые конусы), то передаточное отношение постоянно.
Тогда, в передаче с параллельными осями по заданным передаточному
отношению tla и межосевому расстоянию А легко определяют радиусы
оснований тел качения (см. рис. 3.102, а, б)
г. = ---- -—
и г2 = Л Ы - ,
(3.195)
1
1*1*1 ± 1
2
| i xs | ±l
где знак «плюс» берется для внешнего зацепления, а «минус» — для
внутреннего. В передаче же с пересекающимися осями по известным
передаточному отношению ii2 и расчетному углу б между осями
(рис. 3.103), задаваясь величиной конусного расстояния, определяют
параметры аксоидных конусов б i, б а. гь по формулам (3.157), (3.158)
и (3.166) (см. § 54).
Рис. 3.103
Однако в действительности во фрикционных передачах всегда име­
ет место относительное скольжение звеньев в высшей паре (проскаль­
зывание), величина которого не остается постоянной. Поэтому в таких
передачах нельзя гарантировать постоянства передаточного отно­
шения.
Для передачи вращения между параллельными осями с постоянным
передаточным отношением чаще всего применяют фрикционные пере­
дачи внешнего касания, состоящие из круглых цилиндрических кат­
ков (см. рис. 3 . 1 0 2 , а), и значительно реже передачи внутреннего ка­
сания (см. рис. 3.102, б). Так как в таких передачах каток 2 прижат
к катку 1 силой Р 2 давления пружины и нагружен моментом сопротив­
ления Л4 с2, т о в результате приложения к катку 1 движущего момента
М д1 в месте контакта катков возникает тангенциальная составляющая
силы взаимодействия Q12 (приложенная к катку 2) в виде силы тре­
ния. Чтобы избежать проскальзывания катков (не нарушить сцепле­
ния), сила Q12 должна быть меньше силы трения покоя, равной
/oQi2 = /оЯ2. Так как коэффициент трения покоя / 0> / (действитель­
нее
ного коэффициента трения катков), то $ 2 = /072 = /Р 2; Из схемы
на рис. 3.102, а видно, что для передачи требуемого Мс2 необходимо,
Мея
ІТОбЫ
Йа = Q"
Щ
іШ Р Г
Обычно, стремясь обеспечить надежность передачи (отсутствие
скольжения), для расчета принимают Qp= (30л, где | =§ (1,25-і-З) —
к о э ф ф и ц и е н т з а п а с а с ц е п л е н и я (учитывает увеличение ок­
ружного усилия). Тогда усилие нажатия катков Qp, необходимое для
преодоления требующегося момента сопротивления, выражается фор*
мулои
Q
(3.196)
/'а
Если известна передаваемая мощность N t (кет) и скорость вращения
ведущего колеса пх (об/мин), то Qp определяется из соотношения:
U
Q0>
97 ?’-2-'Уі-
(3.197)
лi/o
При сравнительно малом значении / сила Qp, Передаваемая на опоры,
достигает значительной величины. В результате чего возрастают
потери в опорах и увеличиваются габариты всей передачи.
Уменьшение силы нажатия Qp может быть достигнуто путем при­
менения клинчатых катков (рис. 3.102, в). При работе такой передачи
кольцевые выступы одного катка вклиниваются в канавки другого,
и, как результат этого, на линиях соприкосновения конических по­
верхностей катков возникают силы взаимодействия, нормальными
составляющими которых будут силы 0 *2 . Тогда усилие прижатия
катков по модулю Озг = 2Q *2 sin Ө. Но из условия сцепления фрик­
ционных катков (колес) следует, что
*
^
2 <Г >
12
Мс2 . _
_
или
rj
@32 ^
sin Ө
Ма
.
rj
Откуда расчетное усилие нажатия клинчатых колес Q'p= |30р будет
Q ; > P - ^ - sin0
(3.198)
Следовательно, Q'P< Q P, и поэтому для передачи момента клинчаты­
ми катками требуется усилие прижатия в 2 -5- 2 ,5 раза меньше, чем ци­
линдрическими, но при этом к. п. д. значительно уменьшается. Однако
и при клинчатых катках не устраняется проскальзывание*.
Если оси валов пересекаются, то применяют фрикционные переда­
чи с коническими катками, вершины аксоидов которых совпадают с
точкой пересечения осей (см. рис. 3.103, а, б). На каток 2 действуют
момент сопротивления Мс2, осевая сила нажатия пружины Р 2, нор­
мальная составляющая Q?2 силы взаимодействия со стороны катка /,
*
А. П. М а л ы ш е в .
К вопросу об определении передаточного числа
фрикционной передачи. Сб. трудов Московского текстильного института, 1937.
10— 448
289
сила реакции опор вала Q32 в плоскости OOiOa, сила Qh, перпенди­
кулярная к ней, и касательная сила трения Q?2f Проецируя силы на
направление 0 0 2, имеем Р а+ Q?2 sin б 2 = 0 . откуда находят Q?2 в пер­
вом приближении.
Отсюда усилие пружины |Р2| = Q?2 sin б 2. Аналогично опреде­
ляют осевую силу на первый каток IQ 3J = Q21 sin 6 1 Тогда при тех
же условиях сцепления, что и раньше, значения необходимых осевых
усилии на катки коническои передачи определяют из равенств
Мгп
р 2 = — Н- sin о2
ra/
и
(3.199)
05, = Щ . si П 8,.
ГУ
На практике чаще всего применяют передачи внешнего зацепления
с б = 90°; реже — конические фрикционные передачи внутреннего за­
цепления (см рис. 3.103, б) с б > 9 0 '.
Для уменьшения требующейся силы нажатия катков Я2 следует
выполнять рабочие поверхности катков из разнородных материалов:
ведущие — резина, текстолит, пластмассы, металлокерамика, кожа,
дерево; ведомые — металл.
Практически всегда при нормальной рабочей нагрузке передачи
в той или инои мере имеется незначительное проскальзывание катков,
т. е. нарушаются соотношения (3.196), (3.198) и (3.199). Причиной
этого могут являться износ катков, опор или снижение коэффициента
трения из-за попадания на трущиеся поверхности масла, влаги и т. п.
Поэтому при проектировании для гарантии получения требуемой
скорости ведомого звена а>2 необходимо вводить поправки на проскаль­
зывание катков. Для этого вводят в расчет к о э ф ф и ц и е н т
скольжения
к а т к о в X (К = 0,01-^0,02 при нормальной
рабочей нагрузке передачи; при холостом ходе К = 0). Тогда расчет­
ное передаточное отношение
О
:
р
4Ш .
(О
та
r,(l — X)
(3.200)
Наличие проскальзывания катков исключает возможность приме­
нения фрикционных передач для случаев строгого соблюдения равен­
ства С = const Но в то же время именно благодаря проскальзыванию
удается избежать поломки механизма при случайных увеличениях
(пиках) сил полезного сопротивления. Поэтому в ряде случаев с этой
целью между рабочей машинои и двигателем устанавливают фрикцион­
ные передачи (прокатные станы, прессы и пр.).
Важным достоинством фрикционных передач является возмож­
ность осуществления бесступенчатого изменения передаточного от­
ношения (благодаря переменному радиусу качения одного из звеньев).
Это позволяет широко использовать фрикционные передачи в качестве
в а р и а т о р о в . Последние с кинематической точки зрения можно
290
подразделить на п р о с т ы е б е с с т у п е н ч а т ы е фрикцион­
ные передачи и с д в о е н н ы е (с промежуточным телом качения), а
по форме тела изменяющегося радиуса качения на дисковые (лобовые),
конусные, шаровые, торовые. Форму и расположение тел качения вы­
бирают такими чтобы скольжение на площадке контакта было мини
м альным, и условия работы приближались к чистому качению
Рис. 3.104
Простейший вариатор (см. рис. 1.50, б и 3.104), называемый л об о в ы м, состоит из диска и ролика При перемещении ролика 2
вдоль его оси вращения 0 20 а меняется радиус качения на диске /,
что позволяет плавно изменять передаточное отношение передачи
*12= rJ x — f>,/(oa (без учета скольжения) При х = 0. шг= 0; при
перемещении ролика влево от оси 0{0, вал звена 2 будет вращаться
в обратном направлении Диапазон регулирования
£) = ІЕ 2І. = ± W .
Чпіп
(3 .2 0 1 )
*min
В такой передаче (как и в любом вариаторе) невозможно обеспечить
чистое качение во всем диапазоне регулирования, т е при постоян­
стве окружной скорости
ролика 2 (вдоль образующей) скорость
точек на диске у, возрастает пропорционально радиусу *. Поэтому
равенство окружных скоростей имеет место только в одной точке С,
а в остальных точках площадки касания наблюдается скольжение со
скоростью vCK=* v2 — <о±х, которая изменяется по величине и направ­
лению (см рис. 3.104). В результате износостойкость и к. п д. таких
передач небольшие. Однако благодаря простоте и возможности ревер­
сирования лобовые вариаторы находят широкое применение.
Ю*
291
Условию минимального скольжения на площадке контакта и усло­
вию работы, близкому к чистому качению, наилучшим образом отве­
чает т о р о в ы й в а р и а т о р (рис. 3.105). Торовые чашки на вход­
ном 1 и выходном 2 валах прижаты пружиной 4 к фрикционным дис­
кам 3. В осевой плоскости рабочий профиль чашек очерчен дугами
окружности из общего центра. Изменением угла наклона
образую­
щих конуса, на которых расположены диски (изменением наклона осей
вращения), можно плавно регулировать скорость вращения выход­
ного вала 2. Передаточное отношение вариатора
t 12 = -SL = _ В*. = _
ш,
Ri
f t + ' .d q t .
(3.202)
R„ — г sin ф
При ф = 0 диски 3 параллельны и itt— —1. С помощью такого ва­
риатора можно осуществлять *1а= 2,5-=-8.
Рис. 3.105
Рис. 3.106
Для получения больших передаточных отношений обычно исполь­
зуют
планетарные
фрикционные
передачи
(рис 3.106). Здесь при вращении ведущего вала I касающиеся его
сателлиты 2 обкатываются по внутренним поверхностям подвижной
обоймы 3 и неподвижной 4 Вследствие разных радиусов касания са­
теллитов г2 и г'а со звеньями 3 и 4 можно получить большие передаточ­
ные отношения при достаточно высоком к п д Их исследование и
проектирование производят методами, применяемыми для планетар­
ных зубчатых механизмов (см. § 61 , 65).
Несмотря на ряд недостатков (неизбежное проскальзывание, не­
возможность обеспечить точность заданного закона передачи, большие
нагрузки на валы и подшипники и пр.), фрикционные передачи на
ходят широкое применение в машино- и приборостроении (из-за про­
стоты конструкции и дешевизны изготовления, компактности, воз­
можности плавного регулирования скорости вращения ведомого звена).
?92
Глава X
СЛОЖНЫЕ ЗУБЧАТЫЕ МЕХАНИЗМЫ
§ 57. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
В большинстве современных машин и приборов возникает необхо­
димость осуществлять передачу вращения от ведущего вала к ведомому
с большим передаточным отношением (при значительных межосевых
расстояниях) и строгом согласовании скоростей вращения отдельных
валов. В этом случае применяют
зубчатые механизмы, либо замед­
ляющие (<овщ^^ ®вм)>
вм так называемые р е д У К Т О р Ы , либо ускоряющие (совш — ~вм
м у л ь т иУУХ/Л
пликаторы.
Такие меха(О
/
низмы обладают одной степенью
УУ//Л
свободы (см рис. 1.49, а б). Так
как в машиностроении чаще 03
шa
никает необходимость в уменьше­
нии скоростей вращения, то замед­
ляющие механизмы (или редукто­
Рис. 3.107
ры) нашли более широкое приме­
нение на практике. Использование
их в машиностроении позволяет
применять быстроходные, а следовательно,
малогабаритные и
более дешевые двигатели (электро-, турбо- и прочие двига­
тели) при тихоходных рабочих машинах, малые скорости движения
которых обусловливаются требованиями технологического или рабо­
чего процессов. В приборостроении применение понижающих передач
обеспечивает малые перемещения измеряющих или регулирующих
элементов (получение более точной настройки прибора или установки
вводимой в него величины — индикаторы, тахометры и пр ); повышаю­
щие передачи применяют для расширения шкалы и более точного от
счета замеряемой величины. Однако ускоряющие механизмы (мульти­
пликаторы) применяют значительно реже и главным образом там, где
передаточное отношение изменяется в пределах от —1 до 4-1. У ре­
дукторов передаточное отношение может изменяться в очень широком
диапазоне (до сотен и даже нескольких тысяч). Но осуществлять
большие передаточные отношения с помощью простейшего зубчатого
механизма (два колеса и стойка) практически нецелесообразно, так
как в этом случае получаются большие размеры механизма. Кроме
того, при больших значениях передаточного отношения в одной паре
колес зубья малого колеса входят в контакт значительно большее
число раз, чем зубья большого колеса, вследствие чего они изнаши­
ваются быстрее. Поэтому с точки зрения уменьшения габаритов, по­
вышения долговечности и улучшения условий непринудительной
смазки делать в одной паре зубчатых колее передаточное отношение
больше 6 -г 8 конструктивно нерационально.
-
293
В тех случаях, когда заданное передаточное отношение превышает
целесообразное для одной пары колес или когда требуется обеспечить
большое межосевое расстояние, используют с л о ж н ы е з у б ч а ­
т ы е м е х а н и з м ы , состоящие из нескольких параллельно или
последовательно соединенных друг с другом зубчатых передач. Разли­
чают два вида таких механизмов: сложные зубчатые механизмы с
неподвижными
о с я м и (многократные зубчатые передачи
см. рис. 1 .4 9 , а) и п л а н е т а р н ы е (эпициклические) зубчатые
механизмы (оси отдельных колес могут перемещаться относиіельно
стойки, как на рис. 1.49, б, в). Каждый из этих видов сложных зубча­
тых механизмов может быть составлен не только из однородных колес
(цилиндрических или конических) и передач (с неподвижными осями
или планетарных), но и из их сочетания (рис. 3.107). Наибольшее рас­
пространение получили сложные зубчатые механизмы, составленные
из цилиндрических колес с прямыми зубьями (реже косыми) с равноделенным шагом. Если у зубчатых механизмов оси ведущего и ведомого
звеньев располагаются по одной прямой (см. рис 1 49, б, в), то они
называются с о о с н ы м и .
Общее п е р е д а т о ч н о е о т н о ш е н и е любого типа слож­
ного зубчатого механизма ilq, включающего несколько последователь­
но соединенных друг с другом простых механизмов (непланетарных
ступеней, планетарных или их комбинаций) из q колес, равно произ­
ведению передаточных отношений отдельных простых механизмов
(ступеней), входящих в состав данного механизма, г. е.
hq = Ча^аз^з* • • * ^(o—i) q
(3.203)
Так, для механизма, представленного на рис. 3.107, состоящего
из ступени цилиндрической передачи с колесами 1—2 с неподвижными
осями, конической передачи 3—4, планетарной ступени 5—6—7, ко­
нической передачи с неподвижными осями 7—8, общее передаточное
отношение i# = *12• *з«*f a ' h& но
.
.
12 34 57*78
СО!
<о„
<о5
ш7
а>л
03 2
(а ) л
<07
<O g
СО
так как а>2== со3; со4= со5. Согласно формуле (3.10) правая часть этого
равенства равна /*8; знак /1в может быть определен по правилу стре­
лок, изложенному в § 58.
Степень подвижности механизмов с неподвижными осями колес
равна единице, благодаря чему соотношение между угловыми скорос­
тями ведущего и ведомого звеньев остается постоянным. Поэтому в
задачу исследования этих механизмов входит определение передаточ­
ного отношения по заданной схеме механизма и размерам колес. При
этом колеса на схемах сложных зубчатых механизмов изображаются
их полоидными или совпадающими с ними начальными окружностями.
Планетарные механизмы могут иметь две и более степени свободы.
В этом случае соотношения между угловыми скоростями выходных ва­
лов будут неоднозначными. Определение угловых скоростей колес
294
таких механизмов при различных режимах работы является основной
задачей их исследования.
Проектирование любых зубчатых механизмов обязательно состо­
ит из двух этапов: выбор структурной и кинематической схем механиз­
ма и определение чисел зубьев для воспроизведения заданного переда­
точного отношения.
§ 58. ИССЛЕДОВАНИЕ МНОГОКРАТНЫХ ЗУБЧАТЫХ МЕХАНИЗМОВ
С ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ КОЛЕСАМИ
Эти механизмы подразделяются на р я д о в ы е и с т у п е н ч а ­
т ы е зубчатые механизмы.
Исследование рядовых зубчатых механизмов. Рядовые зубчатые
механизмы представляют собой последовательное соединение нес­
кольких пар зубчатых колес, на каждой из неподвижных осей которых
помещено по одному колесу (рис. 3.108). Имея схему передачи и зная
числа зубьев или радиусы полоидных окружностей колес, можно
определить общее передаточное отношение редуктора аналитически
или графически.
Рис. 3.108
Аналитическое исследование механизма, т. е. определение пере­
даточного отношения, основывается на формулах (3.10) и (3.203).
Так, для механизма, состоящего из четырех последовательно соеди­
ненных цилиндрических колес внешнего зацепления (см. рис. 3 108),
общее передаточное отношение, согласно формуле (3.203),
t
ғ
•
*p =
*14 “
»
tft’l
ft>4
=
*12*23* 34'
где i i2— передаточное отношение первой пары сцепляющихся зубчатых
колес внешнего зацепления; согласно формуле (3.10),
;4 2 _
Щ
_
Ш
&
Г
*
_
--------------------------------------------------- ,
Ю§
Г\
Z\
Знак минус поставлен потому, что колеса / и 2 образуют внешнее
зацепление. Для второй пары t , 8 = — = — — = —
; для третьей
w8
rt
295
пары
со
I 34
О)
где гь г2,
г3, г4— радиусы полоидных окружностей зубчатых колес
тлт
Тогда искомое передаточное отношение
а г
wг
I
«
#
I 14
*4
*4
£2
Г\
*2
(3.204)
В общем случае при q колесах в механизме
и)
со
(
1у
(
1у
(3.205)
Г\
Общее передаточное отношение рядового зубчатого механизма
равно обратному отношению чисел зубьев или радиусов крайних колес.
Знак передаточного отношения определяется множителем (— 1У,
где р — число передач внешнего зацепления. При р четном h g> о,
т. е. ведомое и ведущее З Е е н ь я редуктора или мультипликатора вра­
щаются в одном направлении; при нечетном р — в разных направле­
н и я х . Но значение iig в таких передачах относительно невелико, так
как оно ограничено допустимой величиной - j- .
Из формулы (3.204) следует, что число зубьев промежуточных ко­
лес 2 и 3, находящихся одновременно в зацеплении с двумя другими
колесами, не влияет на величину об­
щего передаточного отношения меха­
низма. Но установка таких промежу­
Му/ мм/мсек -1
точных колес позволяет изменять нап­
равление вращения
ведомого звена.
При четном числе промежуточных ко­
лес направление вращения ведущего
и ведомого звеньев противоположны,
(О
при
нечетном
—
одинаковы.
Применяют
и , мм/м
ІГ
эти колеса главным образом там, где
необходимо изменить направление вра­
щения ведомого вала при неизменном
Рис. 3.109
направлении вращения ведущего (ме­
ханизм трензеля токарного станка, механизм
заднего хода автомобильной
коробки передач и пр.), либо там, где необходимо обеспечить
передачу движения при больших межосевых расстояниях (когда нельзя увеличивать размеры едущих и ведомых колес из-за их
больших габаритов).
Графическое исследование зубчатых механизмов п о
методу
треугольников
скоростей
проф. J1. П. Смирнова*
основано на использовании графического изображения распределения
* Л . П. С м и р н о в . И ссл ед о ван и е в р а щ а т е л ь н о г о д в и ж е н и я при помо­
щи т р е у г о л ь н и к о в скоростей . В И Т , 1932, № 8, стр 368— 373.
296
скоростей точек вращающегося тела в виде треугольника. На твердом
теле (звене), совершающем вращательное движение вокруг оси О с
постоянной угловой скоростью со рад'сек'1 (рис. 3.109), отметим точ­
ку А, линейная скорость которой v a =<m a =
м-сек~х, т. е. между
скоростью и радиусом существует линейная зависимость при со =
= const. Отрезок ОА изображает радиус кривизны траектории этой
точки в масштабе ц г мм/м. Представляем скорость этой точки в виде
отрезка А А '= v a ii v, отложенного от точки А перпендикулярно к
линии ОА в сторону вращения. Соединив точку А ' с точкой О, полу­
чим треугольник О А А ', называемый т р е у г о л ь н и к о м
ско­
р о с т е й . Линия ОА' характеризует закон изменения линейных
скоростей для всех точек звена, лежащих на прямой ОА (на б а з и с ­
ной линии).
Скорость некоторой точки В, лежащей на прямой ОА, изобразится
отрезком В В ’, проведенным через точку В перпендикулярно к ОВ,
ВШ*
и величина ее Vb = -----м - с е к Для определения скорости точки С,
находящейся вне прямой ОА, следует провести дугу радиусом ОС
до пересечения с ОА в точке D и восстановить перпендикуляр DD',
величина которого пропорциональна скорости точки С, т. е. vc =
DD'
.
= ---- М'сек %
N
I
|
v7
Используя треугольник скоростей, можно графически определить
угловую скорость звена в рад!сек-1:
°а
АА’
ГА
1*17
.
р.,
, м.»
со --------— -------- • ■ 1 = tg ф —
или
(3.206)
°в
ВВ'
Я
ГВ
Vv
°В
га = —- = ---- •
Й .
,
■■= — tg ф.
\Ч>
Скорость вращения звена может быть графически определена в об/мин
по выражению
п — ——to = -£*- ■— t
я
(Ч»
«
g
(3. 207)
Следовательно, угловая скорость вращающегося вокруг неподвиж­
ной оси звена пропорциональна тангенсу угла ф наклона линии скорос­
тей к базисной линии ОА (оси радиусов). Стрелка на дуге, отмечающей
угол ф, показывает направление вращения звена.
Построение треугольников скоростей можно произвести, если из­
вестны линейные скорости не менее двух точек звена (по величине и
направлению) или если известны угловая скорость звена и положение
(на чертеже) его мгновенного центра вращения.
Применим графический метод исследования к передаче, изображен­
ной в некотором масштабе на рис. 3.108, где rt, г„ г3, г4— радиусы по­
лоидных окружностей Отметив полюсы зацепления колес (точки
297
А, В , С), откладываем от полюса А в некотором масштабе окружную
скорость v a в виде отрезка А А '= V a \i v - Через конец этого отрезка
(точку А') проводим линию А 'В \ проходящую через 0 2 до пересечения
с направлением вектора скорости г>в в точке В ’. Аналогично проводим
линии В'С' и С '04. Ломаная 0 іА '0 2В '0 3С '04 представляет собой сово­
купность треугольников скоростей и дает наглядное представление
об изменении угловой скорости от одного вала к другому. По этой диа-
Рис. 3.110
грамме, используя формулу (3.206), можно определить передаточное
отношение всего механизма или части его:
анв
*14
в
М
’т»
<о
ш,
*12
tg+:
tg ф.
Знак минус здесь получается от того, что лучи О И ' и 0 4С OtA '
и 0 2А ' имеют углы наклона разного знака. Следовательно, общее пе­
редаточное отношение iiq многократной передачи можно графически
определить как отношение тангенсов углов наклона лучей (линий ско­
ростей), характеризующих закон изменения линеиных скоростей
ведущих и ведомых колес в диаграмме распределения
ростей, т. е.
JI# * 4
293
Исследование ступенчатых зубчатых механизмов. Ступенчатые
зубчатые механизмы представляют собой последовательное соединение
нескольких пар колес, на каждой из осей которого помещено более одного колеса (кроме осей ведущего и ведомого колес).
На рис. 3.110, а, б представлен такой трехступенчатый механизм для
преобразования движения между параллельными осями, который сос­
тоит из двух ступеней внешнего зацепления с цилиндрическими коле­
сами (1—2 и 3—4) и одной ступени внутреннего зацепления (коле­
са 5—б). Колеса 2—3 и 4—5 соединены вместе, образуя блоки
СО
£2
Передаточное отношение первой ступени t 12
со.
гі
Г2 , второй I
w
5
и третьей i56
34
со
г*
6
в
Перемножая эти значения передаточных отноше+
+
*5
ГЬ
ний, получаем
®і <*>s ®5
£2
в
'УУв
*12*34*5«
СО?
гц
<°6
•
*16
II
<°e
.
=
3
II
C
Q
3
Учитывая, что со
II
3
с4#о•
CD
со после сокращения получаем
со5,
ф• •
= 112134*
+
А
V 4гв
»W 6
(3.208)
Общее передаточное отношение ступенчатой передачи равно про­
изведению передаточных отношений ступеней, входящих в состав
механизма, или равно отношению произведения чисел зубьев (поло­
идных радиусов) ведомых колес к произведению чисел зубьев (радиу­
сов) ведущих колес, взятых со своими знаками. Так как передаточное
отношение этого механизма (в отличие от рядового) зависит от числа
зубьев всех входящих в его состав колес, то путем соответствующего
подбора чисел зубьев колес можно получить большие передаточные
отношения.
В общем случае при q колесах и р внешних зацеплениях, полное
передаточное отношение
г»г4г„ . г
(3.209)
(
1
)*
іч
______j )
Знак передаточного отношения определяется множителем (— \)р или
по правилу стрелок (см. рис. 3.110, а). Направление вращения колеса
показывают на схеме механизма прямой стрелкой, направленной в
ту сторону, куда движутся точки на обращенных к наблюдателю
сторонах венцов колес. Так, стрелка, поставленная на колесе /, показы­
вает направление движения зубьев в сторону второго колеса. Анало­
гично, стрелка на колесе 2 показывает вращение этого колеса, проис­
ходящим в обратную сторону, и т. д. Пользуясь этим правилом, рас­
ставляем стрелки на схеме и устанавливаем, что ведущее / и ведомое
299
6 колеса вращаются в одну сторону, т. е. знак передаточного отношения
положительный.
>
Треугольники скоростей этого механизма,
построенные на
рис. 3 . 1 1 0 , 6 по изложенной выше методике, позволяют определить
f*ie графически
I 1в
tg<h
+
А А ' • С О IV
АО. • С С'
В случае соосного механизма, составленного из нулевых колес
(рис. 3 . 1 1 0 , в), должно удовлетворяться у с л о в и е с о о с н о с т и
А = г х -Н г 8 = г 3 + г
ИЛИ
Если при заданных т и z это условие не удовлетворяется, то колеса
должны быть нарезаны со смещением инструмента.
Ступенчатые зубчатые механизмы с переменным передаточным от­
ношением (рис. 3 . 1 1 1 ) широко используют там, где требуется при неизменнои скорости вращения ве­
дущего звена эпизодически со­
общать ведомому звену различ­
ную скорость. Это так называе­
мые к о р о б к и
с к о р о с­
т е й , у которых передаточное
отношение
изменяется,
как
правило, скачкообразно. Та к ие
механизмы могут воспроизво­
дить любой ряд передаточных
отношений с заданной законо­
мерностью. Способы переключе­
ния колес для получения необ­
ходимых ступеней разнообразны
и
зависят
от
схемы
и
конструк­
Рис. 3.111
тивного оформления коробки.
Обычно блоки колес перемещаюте я вдоль валов на скользящ их шпонках. В схеме на рис.
3.111 колеса а и b образуют единый блок, который может перемещаться вдоль вала 1 и сцепляться либо
лиоо с колесом а ,
либо с колесом Ь’ (на валу II). Колеса с, d, е образуют такой же блок
на валу I I и могут быть сцеплены с колесами с', d ’, е на ведомом валу
I I I . В зависимости от положений блоков вала I и вала I I можно иметь
шесть различных значений передаточных отношений. В этом механизме
обязательно выполнение условий соосности.
300
§ 59. ИССЛЕДОВАНИЕ МНОГОКРАТНЫХ ЗУБЧАТЫХ МЕХАНИЗМОВ
С КОНИЧЕСКИМИ КОЛЕСАМИ
В тех случаях, когда необходимо передать движение с большим
значением передаточного отношения между пересекающимися осями
(входного и выходного звена), применяют сложные зубчатые механиз­
мы, составленные из коничес­
ких колес. Схема такого ме­
5)
ханизма (редуктора) пред­
мм/родсек
-t
ставлена на рис. 3.112. Этот
двухступенчатый
редуктор
состоит из двух пар кони­
ческих колес / —2 и 3—4,
расчетные углы между осями
которых б 12 и б 34 могут иметь
любые значения (в частном
со
случае они равны 90°). Иссле­
дование такого редуктора
производят теми же методаРис. 3.112
ми, что и редуктора с цилин­
дрическими колесами, но с
учетом особенностей кинематики передачи с пересекающимися
осями (см. § 54).
Аналитический метод основывается на формуле (3.156), исполь­
зуя которую запишем выражение передаточного отношения обеих пар
зубчатых колес.
(О
sin
02
(|>3
sin
&
4
I 12
И I 34
to
sin
to
sin 53
Передаточное отношение всего редуктора согласно формуле (3.203)
I
I 14
^
W
12* 34
to
(О
sin Ь2 sin Ь4
sinbj sin $3
Направление вращения колес проще всего определяется при помо­
щи стрелок (см. § 58).
Графический метод исследования сводится к построению вектор­
ного многоугольника угловых скоростей колес (см. § 5 4 ) на основе
уравнений, связывающих векторы угловых скоростей тел, вращаю­
щихся вокруг пересекающихся осей. Такими уравнениями для рас­
сматриваемого механизма (рис. 3 . 1 1 2 , а) будут
(О
со
Выбрав масштаб угловых скоростей [хш%строят план угловых скоростей (рис. 3 . 1 1 2 , б), из которого находят со
рад • сект1 или
асо
передаточное отношение
U)1
ра
14
to
рс
301
§ 60. ПЛАНЕТАРНЫЕ (ЭПИЦИКЛИЧЕСКИЕ) ЗУБЧАТЫЕ МЕХАНИЗМЫ
В планетарном
механизме обязательно имеютя колеса
с движущимися геометрическими осями (см. рис. 1.49, б, в), которые со­
вершают сложное движение и называются планетарными колесами,
или с а т е л л и т а м и . Подвижное звено, в котором помещены оси
сателлитов, называется в о д и л о м; вращающиеся вокруг неподвиж­
ных осей колеса (с внешними или внутренними зубьями), по которым
обкатываются сателлиты, называются ц е н т р а л ь н ы м и , или сол­
нечными; неподвижное центральное колесо называется о п о р н ы м
Рис. 3.113
Планетарные механизмы подразделяются на п л а н е т а р н ы е ред у к т о р ы (и мультипликаторы при i<Cl), которые обладают одной
степенью подвижности и обязательно имеют опорное звено, и д и ф ­
ференциальные
м е х а н и з м ы , степень подвижности кото­
рых более единицы ( № > 1) и которые опорного звена обычно не имеют.
Типичным примером первого вида таких механизмов является со­
осный механизм, изображенный на рис. 3.113, б, составленный из
цилиндрических колес. Этот простейший механизм состоит из цен­
трального колеса /, вращающегося вокруг неподвижной оси О с уг­
ловой скоростью coj, водила в, которое также вращается вокруг той
же оси (колесо / и водило в непосредственно между собой не связаны)
с угловой скоростью о)в, трех планетарных колес 2 и опорного колеса
3 При вращении колеса 1 по движению часовой стрелки его зубья
увлекают входящие с ним в зацепление зубья планетарных колес 2 .
Но так как, с другой стороны, зубья колеса 2 находятся в зацеплении
с опорным колесом 3, то сателлиты 2 поворачиваются как рычаг от­
носительно неподвижной опоры мгновенного центра вращения (точ­
ка В). При этом оси колеса 2, укрепленные в подшипниках на водиле.
302
перемещаются и заставляют вращаться водило (по движению часовой
стрелки) Планетарные колеса при этом совершают сложное движение:
вращаются вокруг собственной оси (относительно водила) против дви­
жения часовой стрелки и вместе с водилом обкатываются вокруг оси
колеса / по движению часовой стрелки. Степень подвижности этого
механизма равна единице, т. е. при заданной угловой скорости одного
из звеньев, угловые скорости всех других звеньев получают вполне
определенные значения Поэтому редуктор имеет постоянное пере­
даточное отношение.
Обычно у реального механизма имеется несколько симметрично
расположенных сателлитов. Их вводят с целью сократить общие га­
бариты механизма (снижаются усилия в зацеплении), разгрузить под­
шипники центральных колес, улучшить уравновешивание водила Но
а)
при кинематических расчетах учи­
тывают один сателлит, так как ос­
Щфмм/м
тальные являются пассивными в
кинематическом отношении.
Если в предыдущем механизме
(см. рис. 3.113) освободить ог за­
крепления опорное колесо 3 (корпус редуктора) и сообщить ему
m
i
\rrnw
1±.М М /М С 5К ~ *
вращение (рис 3.114), то все цент- to , МI
СОмМв
ральные колеса станут подвижны­
ми, и механизм превратится в диф­
Рис. 3.114
ференциал, так как степень под­
вижности его будет равна двум.
Число степеней подвижности показывает, скольким звеньям дифференциала необходимо сообщить
независимое движение, чтобы
чтооы получить определенное движение
всех остальных звеньев При этом каждая схема дифференциала обла­
дает своими кинематическими условиями, когда при заданной ве­
личине скорости одного из звеньев, скорости других находятся
между собой в определенном, присущем только данному механизму
соотношении*.
Следовательно, планетарный редуктор (или мультипликатор),
имеющий неподвижное колесо, можно превратить в дифференциал,
если освободить неподвижное (опорное) колесо и сообщить ему враще­
ние. Наоборот, любой дифференциал можно превратить в планетарный
редуктор если закрепить одно (при W = 2) или несколько (при W > 2 )
из его центральных колес Это обстоятельство позволяет применять
одинаковые методы исследования и проектирования для редукторов
и дифференциалов. Планетарные зубчатые механизмы нашли большое
распространение во многих областях машиностроения и приборостро­
ения благодаря компактности а также малому весу в сравнении с
обычными передачами (при тех же i и высоком к п д.). В подавляю* В А
Никонороя
Проектирование
редуктора. М., МВТУ им Баумана 1972
и
исследование планетарного
303
щем большинстве случаев на практике применяют планетарные зуб­
чатые механизмы, составленные из цилиндрических колес; планетар­
ные же механизмы с коническими колесами используют главным об­
разом в качестве дифференциальных механизмов.
Кинематическое исследование планетарных механизмов (опреде­
ление скоростей вращения звеньев или их отношения) может быть
произведено аналитическим или графическим методом.
§ 61. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛАНЕТАРНЫХ РЕДУКТОРОВ С ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ
КОЛЕСАМИ
Такие механизмы применяют главным образом для изменения ско­
рости (редуцирование) или направления вращения ведомого звена и
выполняют в виде соосных механизмов, составленных из зубчатых
колес с равноделенным шагом (нулевые колеса) и прямыми зубьями.
Аналитический метод исследования (метод приведенного механиз­
ма). Этот метод, предложенный Виллисом, основывается на обращенном
движении (см. §34).
|
^
Рассмотрим применение этого метода на схеме простого одноряд­
ного планетарного редуктора (см. рис. 3.113, б), составленного из
цилиндрических колес с равноделенным шагом, размеры и числа
зубьев которых известны. Сообщим всему механизму относительное
вращение с угловой скоростью (— (ов). Тогда водило в обращенном
движении остановится, и оси всех колес окажутся неподвижными.
Получившийся в результате обращения движения механизм называют
п р и в е д е н н ы м , или п р е о б р а з о в а н н ы м . Для рассматри­
ваемой схемы таким приведенным механизмом будет рядовой зубчатый
механизм, составленный из колес 1, 2, 3 (с неподвижными осями)
Получившуюся передачу можно рассчитать по простейшим кинемати­
ческим зависимостям 1см. формулу (3.10)1. Учитывая, что в обращенном
движении скорость первого колеса со{в) = ш|3)— ю£3), второго toiB) =
= «>23)— о)£3), третьего созв)= —(о{,3), можно установить передаточное
отношение для колес 1 и 2 [см. формулу (3.13)].
12
Цв)
где (и ниже) в скобках указан номер неподвижного звена; для колес
2 и 3 (внутреннее зацепление)
В
23
В итоге получается система уравнений, связывающих относитель­
ные угловые скорости отдельных планетарных пар приостановленном
водиле. Эти уравнения, выражающие основную аналитическую зави­
симость между угловыми скоростями колес в планетарном механизме,
однородны относительно угловых скоростей и позволяют определить
304
абсолютные угловые скорости колес или передаточное отношение всего
редуктора. При этом количество таких уравнений должно соответ­
ствовать числу искомых величин.
Передаточное отношение всего приведенного механизма (при оста­
новленном водиле)
©Р
—
о
>
13>
Л в > ___ / ( В ) / ( » ) ___ ___ !__________■
_
1 ___ / < 3 >
eii
*1# и
Z w<3)
,в '
Откуда передаточное отношение реального механизма
II » 1 -С (3.211)
Эта формула справедлива для любой схемы планетарного редук­
тора.
Следовательно, передаточное отношение простого планетарного
редуктора (от ведущего колеса к водилу) равно единице минус пере­
даточное отношение того же механизма в обращенном движении. А
значит, и передаточное отношение
от любого планетарного ко­
леса / к водилу ө при неподвижном опорном колесе равно единице
минус передаточное отношение
от этого же колеса к опорному
в приведенном механизме, т. е.
ерш* 1 —
(3.212)
Передаточное отношение iyj приведенного механизма подсчиты­
вают от подвижного колеса j к тому колесу, которое в реальном пла­
нетарном механизме неподвижно.
Для механизма, представленного на рис. 3.113,6, передаточное
отношение приведенного механизма
Тогда
схемы
Ш
Ш
Ш
М
*
н
—
г
общее передаточное отношение всего механизма
данной
і\з* = 1 _ ( _ 3 . | =
(3.213)
й* =
1—
1
В отличие от механизма с неподвижными осями передаточное от­
ношение планетарного редуктора зависит не только от чисел зубьев,
но и от знака их отношения и имеет постоянное слагаемое. Поэтому
каждая конкретная схема планетарного редуктора имеет свое, вполне
определенное, выражение для подсчета величины передаточного от
ношения Щв , написанное через числа зубьев (или радиусы).
При определении угловой скорости промежуточного колеса реко­
мендуется пользоваться формулой (3.212). Например, если требуется
найти угловую скорость колеса 2 редуктора (см. рис. 3.113, 6), то на
основании формул (3.10) и (3.212) записываем
*гх, г2 — радиусы полоидных окружностей.
305
(3,
/( 3 ) ..(3 )
СО
(1
2в « в
(в)
( 3)
СО
I23 ) СОв
+
1
( 3 ) 2о
сов
(О(I 3 )
#Чв)
(3)
Но. в свою очередь, со
(3)
со
(3)
со2
1
£1 (£2 — £а)
(г, + г.) г.
( 3)
СОI
г1
Поэтому
(3)
(О
(г
гг)
г4 (г. + г.)
Пример I. Определить передаточное отношение редуктора, схема которого
представлена на рис. 3.113, б если известны числа зубьев колес с равноделенным
шагом 2i = 20 и г8= 1 0 0 .
Из формулы (3.212) имеем
.(3)
I1в
I
Л в)
I13
1
+
100
20
6
Зубчатый механизм с неподвижными осями при том же І и прочих равных
условиях имел бы габариты на 30*~35% больше, чем рассмотренный планетарный
Исследование многоступенчатых планетарных редукторов (сдвоен­
ных механизмов, планетарных коробок скоростей и пр.), образованных
последовательным соединением нескольких простейших планетарных
зубчатых механизмов (см. стр. 311), производят с помощью формул
(3.203) и (3.211), записываемых для каждой отдельной ступени. Поми­
мо этого при исследовании планетарных механизмов (особенно с раз­
ветвленным потоком мощности) можно пользоваться непосредственно
методом Виллиса — останавливая водило, составляя систему уравне­
ний на основании формулы (3.13) и совместно решая их, находить
искомую величину.
Графический метод исследования. Этот метод исследования редукюра сводится к построению треугольников линейных скоростей или
плана угловых скоростей для заданной схемы. Этот метод прост и на­
гляден, что важно при расчете скоростей звеньев сложных схем меха­
низмов. Имея заданными радиусы полоидных окружностей колес и
угловую скорость одного из них, строят схему механизма (см.
рис. 3.113,6) в некотором масштабе ^/, ммЫ) и отмечают на ней
характерные точки О (центр колеса /), Л, В (полюсы зацепления колес
соответственно / —2 и 2—5), С (центр колеса 2). Эти же точки пере­
носят на базисную линию (ось радиусов) (см. рис. 3.113, а). Опреде­
ляют линейную скорость первого колеса в точке А в м - с е к vA =
0А
л
л= соіГА= а л — и по горизонтали откладывают в мм отрезок А А
—
(задавшись предварительно масштабом скоростей ц^). Соеди­
няя точку А' с О, получают картину распределения скоростей по
радиусу полоидной окружности звена / в виде Д ОАА' ( т р е у г о л ь ­
н и к с к о р о с т е й ) . Линия ОА' (под углом ф, к базисной пря­
мой) изображает закон изменения линейных скоростей первого коле306
са (или линию скоростей колеса /). Треугольник скоростей колеса 2
строят по известным линейным скоростям двух точек В и А. Линейная
скорость колеса 2 в точке В (мгновенном центре колеса 2 в абсолютном
движении, т. е. относительно стойки) равна нулю, а в точке А (полюсе
зацепления колес 1 и 2) равна ид. Поэтому, соединяя Л' и В, получаем
линию скоростей колеса 2 (под углом фг)- Луч ВА' определяет отрезок
СС' , который представляет собой линейную скорость центра сателли­
та 2 и точки С водила. Треугольник скоростей для водила строят по
скоростям точек С (отрезок СС') и О, для чего соединяют точки О и
С' лучом ОС' (под углом фв), который представляет собой линию ско­
ростей для водила. Из построенных треугольников скоростей на
основании формулы (3.206) графически определяют угловые скорости
колес:
Щ Н — tg <1ч; ю2 =
tg ф2;
К*
\ь>
<ОвЩ — tg <1у
\Ч>
Взяв отношение
=
, получаем передаточное отношение
“в
Фв
данной схемы редуктора і{в . Причем отношение тангенсов заменяют
отношением соответствующих отрезков треугольников скоростей
tg фд _
А А ' . СС' =
А А ' • ОС
tg W ~ 0А ' ос ~ ОА - СС' "
Учитывая, что А А '— 2СС’ (из подобия Д А А 'В и Д СС'В), полу­
чаем
t-(3) _
,в
tg4>! _ 2СС' ■ОС _ 2 (гг + гг) _
tg + B
О А -С С '
л
}
г8
г,
Для упрощения берут на водиле точку F, расположенную на рас­
стоянии Т\ от его оси вращения. Тогда
i-О) _
lB
tg
tg фв
_
АА'
ҒҒ’
Следовательно, графически передаточное отношение от централь­
ного колеса j к водилу i% определяется как отношение тангенсов уг­
лов наклона линий скоростей концевых валов к базисной линии треу­
гольников скоростей
/W = If Ь
(3.214)
|
Мв
Знак передаточного отношения определяют по знакам углов ^ и ф„
наклона линий скоростей (см. § 58).
Для построения плана угловых скоростей из выбранного полюса
р проводят лучи, параллельные ОА', ОС' и ВА' (см. рис. 3.113, г).
На пересечении их с прямой mm, проведенной на произвольном рас­
стоянии Һ == kp, получим точки аи а2, а*- Отрезки kau kc^, каг, ага.
307
изображают ©j, ©„, ©2» ©іг в масштабе цш = —*- мм/рад- сек"1.
Заменив в формуле (3.206) tg ^ t отношением отрезков из плана уг­
ловых скоростей, имеем ©( = —
— — — . Но ©, = — . ПоV"v Ьр
Иі7 ^
этому окончательно получаем
р. = ІІ2 . Һ мм/рад -сек"1.
М
(3.215)
Тогда
113)
h(i\
«, * = ~ *
kaB
И
kcift
^
«
(02 = —2- рад-сек К
(So
Определим при помощи плана направления угловых скоростей.
Угловая скорость ©ъ изображаемая отрезком kau задана направлен­
ной по движению часовой стрелки (см. рис. 3.113, а). Следовательно,
о)
І////Л
IЯШ
8)
1
иИ.
¥Ш
"О
Р и с . 3.115
угловая скорость © 2. изображаемая отрезком ka 2, направлена против
движения часовой стрелки; относительная угловая скорость ©2в.
(отрезок ава2) — тоже против движения часовой стрелки, относи­
тельная угловая скорость © , 2 (отрезок а 2а,) — по движению часовой
стрелки и т. д.
Если известны моменты
и Л4В на концевых валах редуктора и
если считать, что трение отсутствует и звенья движутся равномерно,
то передаточное отношение может быть определено из соотношения:
308
<0(3)
1
(3)
( 1в
в
(3)
(I)
в
Типовые схемы планетарных редукторов. Типовые планетарные
редукторы с цилиндрическими колесами обычно состоят из одного
или нескольких простейших планетарных механизмов Известны че*
тыре возможные схемы прсстейших планетарных механизмов
(рис. 3.115). Все они имеют три соосных вала, один из которых непод­
вижный, и обладают одной степенью подвижности; передаточное от­
ношение всех схем определяется одинаково, согласно формуле (3.212)
(о )
1— i\l\ Но в зависимости от знака it" механизмы обладают раз­
'i
личными свойствами. Если tiS’>-0 (і\У имеет знак «плюс»), то, как
следует из выражения (3.212), передаточное отношение планетарного
механизма i f f может быть значительно больше передаточного отно­
шения соответствующего приведенного механизма, составленного иэ
тех же колес. Если i{o < 0 (i[V имеет знак «минус»), то передаточное от­
ношение планетарного механизма
лишь на единицу больше переда­
точного отношения ilo приведенного механизма (с неподвижными ося­
ми).
В соответствии с этим потери на трение и динамические качества
передач различны. Поэтому все схемы простейших механизмов по сво­
им свойствам можно подразделить на две основные группы: механизмы
с п о л о ж и т е л ь н ы м передаточным отношением приведенного
механизма (i\o > 0 ), к которым относятся механизмы схем а и б
рис. 3.115, и механизмы с о т р и ц а т е л ь н ы м ij®)(t|®) < 0 )
механизмы схем в и г рис. 3.115.
Механизмы первой группы включают только двойные сателлиты в
могут быть составлены из колес, образующих либо внешние (см.
рис. 3.115, а), либо только внутренние (см. рис. 3.115, б) зацепления.
Передаточное отношение приведенного механизма для схемы на
рис. 3.115, а
(В)
£а
I
0,
_______
14
*1
для схемы на рис. 3.115, б
(в)
I 14
£а
+
*4
о
а
Передаточное отношение реального механизма
*1
<*>
I
ІВ
г2г4
(3.216)
*1*3
Как правило, такие механизмы работают как понижающие пере­
дачи, т. е. ведущим является водило. Тогда получим
(4)
III
1
I (4)
1в
*1*3
*1 *3 — *3*4
309*
Так как приведенный механизм (при остановленном водиле) здесь
получается двухступенчатый (ступени / — 2 и 3—4), то соответствую­
щим подбором числа зубьев колес можно получить большие переда­
точные отношения. Так, например, если в схеме на рис. 3.115, а при­
нять г ,= г3= 100; г2= 99; г.= 101, то
.(в)
г2г 4
99 • 101
9999
14
ггг9
100-100
10 000
и, наконец,
9999
?(в)
14
10 0 0 0 .
10 000
Однако к. п. д. в этом случае меньше одного процента. Из примера
следует, что передаточное отношение таких механизмов тем больше,
чем меньше Ш отличается от единицы. Но при увеличении ШІ одно­
временно снижается и к. п. д. При малых значениях 4 f к. п. д. меха­
низма приближается к передаче, составленной из тех же колес с не­
подвижными осями. Обычно такие механизмы используют при одном
сателлите, когда надо получить большие передаточные отношения не­
зависимо от к. п. д. (в несиловых передачах). В силовых передачах
их применяют только при значениях і ^ , близких к единице. При
очень больших значениях передаточных отношений значительно боль­
ше проявляется влияние неточности изготовления и сборки на посто­
янство передаточного отношения в пределах оборота.
Поэтому, несмотря на большие кинематические возможности (уве­
личение передаточных отношений), планетарные механизмы этой груп­
пы используют лишь в тех случаях, когда полезные нагрузки неве­
лики. Обычно здесь /ред =30-^-100 с тем, чтобы иметь приемлемые
к. п. д., а в маломощных передачах іред достигает 1500-т-1700. Ос­
новное применение имеют механизмы, показанные на рис. 3.115,6,
обладающие меньшими габаритами и большим к. п. д.
Механизмы второй группы составляют из колес, образующих внеш­
нее и внутреннее зацепления с двойным (см. рис. 3.115, в) или с оди­
нарным (см. рис. 3.115, г) сателлитом. В соответствие с этим приведен­
ный механизм получается либо ступенчатый (см. рис. 3.115, в), у к о ­
торого
либо рядовой (см. рис. 3.115, г)
Для реального механизма, изображенного на рис. 3.115, в,
ІВ
310
1
+
(3.217)
на рис. 3.115, г
і<*> =
1
+ і*-.
(3.218)
г,
При ведущем колесе 1 эти механизмы работают как редукторы. Ме­
ханизмы второй группы имеют широкое применение в силовых и вспо­
могательных приводах в качестве многосателлитных редукторов сред­
ней и большой мощности при передаточных отношениях t‘iB) = 1 , 1 -f-lO.
Но зато к. п. д. таких механизмов очень высок (96-т-98 %). Наличие
нескольких параллельно работающих сателлитов у этих редукторов
позволяет передавать момент силы через несколько параллельно ра­
ботающих пар зубьев и избавляет от необходимости уравновешивания
сателлитов. Поэтому в таких передачах достигается значительное
уменьшение размеров и веса по сравнению с другими видами передач.
Рис. 3.116
Однорядный механизм (см. рис. 3.115, г), обычно применяющий­
ся при /|в>== З-т-8 , имеет также достаточно высокий к. п. д. и выгодно
отличается от других планетарных механизмов своей компактностью
и относительно малыми габаритами (особенно в осевом направлении)
Его широко используют в силовых передачах, в многоступенчатых пла
нетарных редукторах или как самостоятельную зубчатую передачу.
В последнее время эти механизмы стали широко использовать в ка
честве встроенных редукторов (колесо / насажено на вал ротора эле­
ктродвигателя, неподвижное колесо 4 закреплено в корпусе электро­
двигателя, а водило является выходным валом). Применение таких
встроенных редукторов позволило широко использовать в современной
технике высокооборотные электродвигатели (установки дистанцион­
ного управления, приводы летательных аппаратов и т. д.).
Для осуществления больших передаточных отношений применяют
многоступенчатые планетарные механизмы, образуемые последователь­
ным соединением простейших однотипных (рис. 3.116, а) либо разно­
типных (рис. 3.116,6) механизмов. Примером такого многоступенча­
того редуктора является механизм, изображенный на рис. 3.116, а,
зп
который состоит из трех планетарных ступеней (однорядных механиз­
мов), общее передаточное отношение которого
Iобщ
I1вЗ
/(3 ) ,.(6) .(9)
1в1 4в2 7вЗ
9
I+
г7
Если считать, что передаточное отношение каждой ступени i\l\
,•(6 )
»ОхвЗ
9)
Мв2
высокого
ТО ^общ “ 78= 343 с сохранением
,
____ к.__ .п.
. . д.
-(88-І-94 %); габариты получаются меньше, чем у редуктора с неподвиж­
ными осями (при одинаковых мощностях и таком же іобщ).
На рис. 3.116, б показана схема редуктора, состоящая из ступени
простой передачи и двух последовательно соединенных ступеней
планетарных передач: однорядной (звенья 3—4—5 —в) и двухрядной
{в 6—7—8 —9). Передаточное отношение такого механизма
Iобш
у /№ [(7)
*12*38
*2
1
в9
*1
+
1
*2
(7)
(9в
*1
*5
3
1
+
1
*5
1
*8 *7
*0 *6
При определении общего передаточного отношения многоступенча­
того планетарного редуктора необходимо мысленно разбить механизм
«а ступени (рядовые, планетарные или несколько простейших плане­
тарных) и искать іобщ как произведение частных передаточных отно­
шений ступеней,
передаточное
отношение
каждой
из
которых
(I
Ш
ступ )
формуле (3.211).
Механизм, включающий две планетарные ступени с общим води
лом (см. рис. 3.116, в), называется с д в о е н н ы м
планетар­
н ы м м е х а н и з м о м . Такие механизмы используются в коробках
скоростей (транспортные, грузоподъемные машины). Затормаживая в
них по очереди звенья, можно получить несколько скоростей вращения
ведомого звена при постоянной скорости ведущего. Так, в схеме, при­
веденной на рис. 3.116, в, при затормаживании звена 3 (тормозной
барабан А) получается двухступенчатый редуктор: первая планетар
«ая ступень составлена из звеньев / —2—3 - в и вторая
из звеньев
4 —3— 4—5. Общее передаточное отношение редуктора
______ ________■_________
Iобщ
•(3) »(3)
*1в в5
/Г >
( 3)
I 1в
1
А « І V
(1
Г
і(в})
*13 >
1
I
I
1
+
zt
1
'
£|£»
При затормаживании звена В (водило) получается ступенчатый
механизм с неподвижными осями, составленный из колес / —2_4 _5
; колесо 3 при этом вращается вхолостую.
обш
*1 *4
Увеличивая число планетарных ступеней, можно получить коробку
скоростей с большим числом скоростей ведомого вала (трехскоростная,
четырехскоростная и т. д.), исследование которых производят анало­
гично.
Планетарные механизмы применяют не только для редуцирования,
но и в качестве преобразующих механизмов. Например, в прессах
312
используют планетарный механизм Кардана для преобразования
вращательного движения в поступательное (рис. 3.117). При вращении
водила точки сателлита 1 перемещаются по прямым, совпадающим с
диаметром неподвижного колеса 2, у которого гг— 2гх. Соединяя
шарнирно точку на сателлите со звеном 3, получаем преобразованиевращательного движения водила в прямолинейное звена 3. Здесь
(2 )
Iв)
(О
( 2)
I
,*<
2)
Iв
в
со
( 2)
1
1
1
/(в)
1— 2
1
12
(Ов
1
1,
т. е.
(ОI
В рабочих машинах используют механизм, состоящий из непо­
движного колеса /, вокруг которого вращается водило с колесами 2 и
3 (рис. 3.118). Если z3= zx, то третье колесо движется поступательно
Рис. 3.117
Рис. 3.118
цно из построенных треугольников ско­
ростей ^звена 3, линия скоростей которого C'D ' параллельна
сju (ос — vD). в самом деле, из треугольника ODD' скоростей водила
следует, что отрезок скорости D D '= 2ВВ' (так как OB = BD) а
и зД АСС скоростей колеса 2 вытекает, что СС'= 2ВВ' (так кяк
АВ — ВС), откуда D D '= СС'. Следовательно, ckodoctu точрк Г и г>
вижется
на этом колесе 3 и закрепляют исполнительное звено3 механизмаЧЖ>
_
О
л
^
Пример 2. Д ля схемы механизма (рис. 3.119, а) имеетны «,, = 32 р а д •сек'*
т т Ш
В М
Я „ колес с равноделенным ша:
л
*
’
*
’ з
140,
— 32,
= 27; модули колес одинаковы
Определить общее передаточное отношение аналитически и графически.
и Ш Ш Я Щ имеет АИС
ступень с неподвижными осями колес (колеса /
ы з Иетода™Н)УЮCTyneHbl П6редающую движение от «>Дила к колесу 6 (колеОбщее передаточное отношение равно произведению передаточных отношений
ступеней / и = iX2i)V.
313
6 к 3 при
где # — передаточное отношение от колеса
(в обращенном движении)
т
_ t
' 63— 1-г
остановленном
водиле
гь
гв
Неизвестное число зубьев гв определяется из условия соосности аналогичного
равенству (3.210), которое при одинаковых 'модулях для рассматриваемой схемы
Рис. 3.119
запишется
Тогда
гя — г4 = г6 — г5.
(В )
163
_
27
.
Откуда
гв = г5 + г3 — г4 = 27 + НО — 32 = 135
140 _ _7_
135-32
.( 3 )
g • а *вб
1
я
7
8
.(3)
со!
32
fie = — = *і2 ^вб = (— 4) 8 = — 32. Следовательно, о>6 ------------------ш6
he
- 32
= — 1 рад-сек"1. Знак минус здесь показывает, что колесо 6 вращается в
сторону, противоположную колесу / . При графическом методе определения пере­
даточного отношения согласно формуле (3.214)
*общ — l ie —
,
,
tg Фв
Д ля нахождения ^тих углов надо построить треугольники скоростей колес
(см. рис. 3 .1 1 9 ,6 ). Вычертив схему механизма в каком-либо масштабе, отложим
отрезок А А ' = pvva ш fJ4'(0ir i * проведем луч А'О и определим отрезок DD' (со­
ответствующий линейной скорости центра сателлита на водиле). Соединяя D '
и С (о с = 0), получаем линию скоростей блока сателлитов 4— 5, на пересечении
которой с направлением Е Е ' определяем отрезок ЕЕ' = \*-vvE (скорость точки Е
колеса 6). Луч О Е' определяет угол фв. Проведя ВА" параллельно О Е ' и беря
АА '
отношение отрезков с учетом знаков, получаем *i6 = - — "ддп} = — " •
314
§ 62. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ МЕХАНИЗМОВ
С ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ КОЛЕСАМИ
П р о с т е й ш и й д и ф ф е р е н ц и а л в отличие от редуктора
имеет три концевых вала (см. рис. 3.114, а). В системе с двумя степе­
нями подвижности положение каждого звена определяется двумя неза­
висимыми обобщенными координатами (углами поворота двух валов).
Следовательно, угол поворота третьего вала механизма с двумя степе­
нями подвижности зависит от углов поворота фі и ф в двух валов того
же механизма, т. е. <р3= <р3(фі» фв)* Угловая скорость ведомого вала 3
согласно уравнению (2.13)
(D o =
11
-------- =
dt
Н
-------дфз
•
ш
.
<
*
р
3
-------- П ------Г----dt
д<рв
*
ш
--------dt
и окончательно
(Оз= фзі ( 0 i + фзв (ов»
(3 .2 1 9 )
9
гдефзі — аналог угловой скорости звена 3 по обобщенной координате
Фі"» фзв — то же по обобщенной координате ф в.
При остановленном вале колеса /, т е. при ш, = 0, уравнение
(3.219) даст частное значение угловой скорости колеса 3, равное
<4п = Фзв<ов, и аналог ф3в = соз’Уш,, = іЦу = const; при сов = 0 имеем
<оів)
(Oj8 = <Рз,<Оі и <Рз, = ------ =
= const. Подставляя это в уравнение
(й1
(3.219). получаем
со3 = <о\в) + соГ = © 4 “’ + (йв№ -
(3220)
Таким образом, угловая скорость ведомого звена дифференциала
равна произведению угловой скорости первого из ведущих звеньев
(Oi на передаточное отношение Га/ от ведомого к данному ведущему
при остановленном другом ведущем звене плюс произведение угловой
скорости ш в второго ведущего звена на передаточное отношение 4 в от
ведомого звена 3 ко второму ведущему валу (водилу) при остановлен­
ном первом ведущем звене /. Это условие справедливо для любого
механизма с двумя степенями подвижности, в том числе и для механиз­
ма, изображенного на рис. 3.114, а, для которого согласно форму пе
(3.220) можно аналитически определить юв (при известных числах
зубьев колес). При ведущих звеньях 1 и 3 угловая скорость водила
(ведомого)
(ов = (0,11V + соАЧ
(3.2 2 1 )
Но при неподвижном третьем звене
= ---- = — — , а при ос/Ц>
Z! + г,
тановленном первом колесе получается планетарный механизм, пере­
даточное отношение которого i (,J — -----Е —£г_
4»
«. +
315
Подставляя в формулу (3.221) эти значения
и tiV, получаем
0)в
Уравнение (3.219) может быть распространено на механизмы с любым
количеством обобщенных координат и использовано для опре­
деления угловой скорости любого его звена. Так, в механизме с №=4
угловая координата некоторого колеса / (центрального или проме­
жуточного) выразится равенством
Ф
ф/ ( фі * ф 2» фз» ф4)»
а его угловая скорость
Ю/= ф /1® 1+ ф/2 (0 2 + Ф/3(03+ ф/4 (0 4«
(3.222)
В уравнении (3.222) аналоги угловых скоростей равны соответ­
ствующим передаточным отношениям, а именно:
Ф/i
/(2. 3. 4).
ІЦ
I
Фя
/(1.3. 4).
«я
Ф/з
ДІ.2.4)
1/3
и ф/4
■
/(I. 2. 3)
*/4
Определение угловых скоростей звеньев дифференциала можно
производить также и общим аналитическим методом согласно фор­
муле Виллиса (3.13).
Рис. 3.120
Следует иметь в виду, что исследование дифференциала произво­
дят теми же методами (аналитическим и графическим), что и редукто­
ра. Но при этом число звеньев с заданным движением должно соответстзовать степени подвижности механизма W. Поэтому для диффе­
ренциала, изображенного на рис. 3.114, а, степень подвижности кото­
рого равна двум, должны быть заданы два значения угловой скорости.
Используем общий метод аналитического решения для исследования
дифференциала, изображенного на рис. 3.120. Здесь имеются две пла­
нетарных ветви (звенья 3— 2 — 1—4 и звенья 4—5 —б —7) и три конце­
вых вала (звено 3—6\ I и 7). Число подвижных звеньев (k — 1) = 6 ,
число низших пар ра— 6 , число высших пар рв= 4. Тогда, согласно
316
формуле (1.4), W — 3{k—1)— 2рн— рв — 3-6—2-6—4 = 2. Поэтому
должно быть задано движение двух звеньев, например, u>j и ш3.
Запишем формулу (3.13) для зацеплений / —2 и 2—3 (водило 4)
W1 --f2 .
**>2--------------- <04 __ | f з
ь>2 —
Wj
Г1
CDjj
<о4
Г
з
Запишем формулу (3.13) для зацеплений 4—5 и 5 —6 (водило 7)
w 4 --- <*>7
0>5 — СО7
__
ГЬ
Г4
.
®5 --- w7
__ ‘ j
Гб
Г5
С0 в — (О7
Имея заданными
и ш3 и учитывая, что ш3= сов, можно определить
из этих соотношений угловые скорости колес 4, 2, 5 и водила 7.
Произведем исследование этого же дифференциала графическим
методом. Для этого справа от схемы, вычерченной в масштабе ц/ (см.
рис. 3.120), выбирают оси и переносят на базисную линию характер­
ные точки А, В, С, D, Е, F (полюсы зацепления, центры осей вращения).
От точек А и С по одну сторону (поскольку «х и ш3 заданы одного зна­
ка) от базисной линии откладывают отрезки в мм А А ' — ц г,0 д =
= ц*о>Л и СС' = n Dvc =
sr3, пропорциональные скоростям точек
А и С. Соединяя С' и Л ' с О, получаем треугольники скоростей коле­
с а / и звена 3—6, а продолжая луч 6, находим отрезок FF’, соответству­
ющий скорости точки F. Прямая С'А' (закон распределения скоростей
планетарного колеса 2) определяет отрезок В В ' , выражающий ско­
рость центра сателлита 2. Соединяя В’ с О лучом 4 и продолжая даль­
ше до точки D ', получаем треугольник скоростей водила и колеса 4.
Имея отрезок DD ' (скорость точки D второй планетарной ветви) и
скорость точки F (отрезок FF'), проводим луч 5 через точки D’ и Ғ’
и определяем отрезок скорости центра сателлита 5 точки Е. Соединяя
Е' и О, получаем треугольник скоростей для водила 7. Отмечая углы
наклона линий скоростей к базисной линии (оси радиусов), можно
по формуле (3.207) определить скорости вращения всех колес. Анало­
гично строят треугольники скоростей для механизма, изображенного
на рис. 3.114, а (по заданным ш, и ш3 разных знаков).
Чтобы можно было сопоставить скорости вращения отдельных
звеньев механизма (см. рис. 3.120, а), следует построить для него план
скоростей вращения в соответствующих масштабах:
рта = — Л мм/рад-сек~л или ц.„ = — • — Һ мм/об-мин~х.
И/
30
(а,
Для этого на произвольно выбранной прямой pk (рис. 3.121) отклады­
вают некоторый отрезок А и через его начало р проводят линии,
параллельные лучам (под углами <[»). Эти линии отсекают на пря­
мой тт отрезки, пропорциональные скоростям вращения (угловым ско­
ростям) в соответствующем масштабе. Так, скорость вращения четверbd*
ka*
того колеса п4 = — второго колеса м2= —
пятого относитель­
на
Щп
но седьмого п*- =
и т. д.
w
f*/i
317
Дифференциальный механизм с двумя степенями свободы поз­
воляет осуществлять привод от двух независимых двигателей (ведущих
звеньев) ведомого звена ( с л о ж е н и е д в и ж е н и й ) или привод
от одного двигателя (ведущего звена) двух ведомых звеньев ( р а з л о ­
ж е н и е д в и ж е н и я ) . Получение той или иной схемы работы
зависит от распределения потока мощности между
ифференци
ифференциала
ление момента, приложенного к данному валу, совпадают, то ал будет ведущим (присоединен к источнику энергии); если направление
момента и угловой скорости не совпадают — ведомым (присоединен
к потребителю энергии).
о, т
Ш
а3
°5
/ап,мм/о£- мин~1
Рис. 3.121
Исходя из предположения, что трение отсутствует и звенья движутся равномерно, можно записать для дифференциала с W — 2
N 1+ iV2+ ^ 3 ~ Мг <01+ М2(02+ M3(D3
О
и
М 2 + М3= О,
где N lt N2, Л/3, Мх, М2, М3, оц, ш2, (о3— соответственно мощности и
моменты на концевых валах и угловые скорости их.
Моменты сил определяют по окружным составляющим усилий
следующим образом. Условимся изображать каждое колесо в виде
стержня, находящегося в равновесии под действием сил и моментов.
Окружные силы будем прикладывать в полюсе зацепления перпенди­
кулярно к линии центров".
Тогда на схеме окружных сил (см. рис. 3.120, в) колесо^ / изобра­
зится в виде стержня ОА, на который действует заданный внешний
момент Мг в направлении вращения колеса / и сила Q21 (воздействие
со стороны колеса 2 в точке А). Исходя из равновесия колеса 1 (при
трех сателлитах), имеем Mi = 973,2 х —^г—к
Г
•
м
—^
Q
n
r
Колесо
2
П
(в виде стержня АС) нагружено в точке А силой Q12 (от колеса /),
силой Q42 ( о т водила) и Q32 (от колеса 3). Из условия равновесия колеса
имеет направление, противо2 следует, что усилие в средней точке
положное крайним. Поэтому |Q32| = |Q i 2 IQail; IQ42I = 2 | Q12|. На звено
4 (водило) (стержень DOB) действует сила Q24, равная по величине
Qi2, но противоположная ей по направлению, и сила Q54 (в точке D),
Л. Н. Р е ш е т о в
318
Расчет планетарных механизмов. М., Машгиз. 1952.
направление которой совпадает с направлением Qu (по условию рав
новесия), а величина
Q 24 ( Г 1 +
Гі )
54
Q
24
г\ + га
2гл
Q21
Г1 +
На звено 5 (стержень DEF) действует сила Q45i равная (но противопо­
ложно направленная) Q54, сила Q75 (со стороны звена 7), сила Qe5 (со
стороны колеса 6). По условиям равновесия
Q45+ <?в5, но |Q65|
Q75
IQ54IIQ45
_Рассматриваем равновесие звена 3—6 (стержень COF). На него
действуют сила |Q23| = |Q32| со стороны колеса 2 , сила |Q5e| = |(?ч5|
со стороны колеса 5 и внешний момент Ма (неизвестный), величина
которого Мв = +3(QZ3r3+ 0 5вгв) = + 3Q
На послед­
нее звено 7 действуют сила |Q57| = |Q75| и внешний момент М7
----- 3<?57 (^4 + ^5) • Подставляя значение Qbl — Q75 = 2Q45 = 2Q54
r\
+
Г
ш
2 Q21
Mt
3Q21
rl + '’з
(Г 4 +
Г б )-
Для проверки правильности решения служит уравнение внеш­
них моментов Mt + Мв + М1 = 0 , т. е.
в
3Qai
(г4 + гв)
После преобразований это уравнение обращается
тверждая правильность решения.
О
тождество под-
/
в
с
I
t
It
2?
Рис. 3.122
Рис. 3.123
теперь можно сопоставить направления внешних моментов
1» Л4в и М 7 и угловых скоростей соi, сов и со7. У первого и шестого
звеньев они одного направления, а у звена 7 — противоположны.
319
Значит звено 7 — ведомое (потребитель мощности) и весь механизм
работает по схеме сложения: мощность от первых двух валов / и 6
передается третьему (ведомому) валу звена 7.
Механизм, работающий по схеме разложения движения, представ­
лен на рис. 3.122. Здесь движение от одного ведущего звена А переда*
ется двум ведомым В и С, связь между угловыми скоростями которых
в соответствии с уравнением (3.221) со і = со„ *1я Щ ©341\ Если при­
нять, чтО(о3= —<ов, то из предыдущего выражения можно определить
передаточное отношение от ведущего вала к ведомому—- = 1 — 2 1{| .
В
В современных грузоподъемных, транспортных и других машинах
используют замкнутые планетарные механизмы (рис. 3.123), позво­
ляющие получать большие передаточные отношения (200-Г-600) при
высоких значениях к. п. д. (0 ,9 6 4 - 0 ,9 4 ).
§ 63. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛАНЕТАРНЫХ ЗУБЧАТЫХ МЕХАНИЗМОВ
С КОНИЧЕСКИМИ КОЛЕСАМИ
Эти механизмы находят широкое применение во многих отраслях
машиностроения и приборостроения, главным образом в виде диффе­
ренциалов с двумя степенями подвижности. Исследование таких ме­
ханизмов производят теми
же методами, что и цилинірических зубчатых меха­
низмов, но так как оси
о)
пересекаются
то
колес
векторы
угловых
скоросО)І
тей их не параллельны,
и поэтому при графичес­
ком и аналитическом ис­
5)
следованиях берут вектор­
а
ную величину угловой ско­
рости.
Механизм, представлен­
ный на рис. 3.124, а, имеет
W ШЯШШЯШШЯШШШ
3 (6 -1 )
2Р» Рв
3*4—2*4— 2 = 2 , Т. е.
ЭТО д и ф ф е р е н ц и а л .
Рис. 3.124
Он состоит из централь­
ных колес /, 3 и водила в,
которые вращаются вокруг оси AOF, планетарного колеса 2, участвующего в двух вращательных
ижениях (вместе с водилом вокруг
оси OF и относительно водила округ оси ОС). Следовательно, ось
ОС является осью вращения колеса 2 при его движении относительно I одила в, ось ОВ — осью мгновенного вращения колеса 2 при
івижении его относительно колеса /, ось OD — осью мгновенного
іращения колеса 2 относительно колеса 3.
&
320
Определим графически скорости
звеньев этого механизма
2). Угловые
(рис. 3.124, б), задавшись <в, и —со3 (в соответствии с W
скорости звеньев, вращающихся вокруг пересекающихся осей, свя­
заны векторными уравнениями:
со
©1
(О
<о3 4- <о23
(3.223)
•+" ®21»
(3.224)
или
<д>1 +
0>21=
Ю3 +
(3.225)
®23-
Векторы щ, и од направлены вдоль А 0 Ғ и известны по величине
и направлению, вектор to 21 направлен вдоль ОВ, вектор со гз_ВД 0ль оси
мгновенного относительного вращения 0D. Векторы о 21 и шгз извест­
ны только по направлению. Для нахождения их величины строим план
угловых скоростей. Откладываем от полюса р отрезки ра и pd, пропор­
точки а
циональные векторам © 1 и (о3. Через концы этих отрезков
и d проводим линии, параллельные лучам ОВ и 0D (направления со21
И(о23). которые пересекаются в точке Ь. Соединяя точки Ъ и р, получаем
отрезок pb, пропорциональный скорости со2» а его направление опре­
деляет положение оси вращения колеса 2 в абсолютном движении в
данный момент.Отрезки ab и db пропорциональны векторам мгновенных
относительных угловых скоростей <021 и ©гз- В то же время со 2
(ОВ + СО2в Здесь ©в и со2в известны по направлению (параллельно
ОА и ОС), а юг— по величине и направлению. Проводя через точку
b линию, параллельную ОС (направление (0 2в)« Д° пересечения с на­
правлением ad в точке с, получаем отрезок рс, пропорциональный
(ОВ*
При аналитическом решении, останавливая водило, получаем при­
веденный механизм, у которого скорость первого колеса <ві—(ов.
второго « г —(ов и третьего (о3—(ов- Но эти векторные разности не па­
раллельны, потому их следует брать по абсолютной величине, опре­
делив знак передачи по правилу стрелок. Тогда для колес 1— 2 и 2—3
соответственно
“1
О) В
СО.
(I)в
О)
И
в
сов
я
га
(3.226)
о) сов
После перемножения этих выражений получим
+
со сов
*1
Но, так как векторы соі, сов> (о3 направлены по одной прямой ОЛ, то
разности в последнем уравнении являются алгебраическими. Тогда
COi
(О
в
8
Cl)8
со в
*1
11—448
(3.227)
321
/
Знак определен по правилу стрелок, показывающих направление вра­
щения колес при остановленном водиле. Так как на рис. 3.124, а
направление стрелок на колесах / и 3 не совпадает, то колеса вращают­
ся в противоположные стороны. Из последнего выражения
гь
W1 • шл
й)в = ------------^ .
t + BL
,
(3.228)
|
Это же решение может быть получено из рассмотрения треуголь­
ников abc и bed (см. рис. 3.124,6). Из первого по теореме синусов
получим
ас
be
---------- -------- ,
sin&*
sin Ьх
I
<*>1 — <*>в
или -~=?-----= - =
I о>* — сов |
аналогично ——— = — -—
sin bf
sin by
— (cd) sin 8 3, или
1
__
гг
,— = —
s *n \
Z\
sin о,
После сокращения
имеем
гл0
из
отаплгп
второго.
(ас) sin 8 в =
—“ coB I __ Sin &* ___ 2*
|ш, — »e| “ 0ІП8,
г,
Из последнего выражения легко получить формулу (3.228).
В частном случае при гх= г , и б в = 90° получим механизм
(рис. 3.125), схему которого широко используют в автомобилях, стан-
Рис. 3.125
Рис. 3.126
ках, счетно-решающих устройствах. При этом, согласно формуле
(3.228), ©в
— . Если колеса / и 3 вращаются по своим опреде­
ленным законам, то водило вращается по суммарному закону, Эго
положение используют в современных счетно-решающих устройствах.
Если одно колесо затормозить (cos= 0), то и , = % в; если <ов = 0,
то (0 i = —©а. т. е. / и 3 колеса вращаются в разные стороны. Это об­
стоятельство использовано в механизме привода задних колес авто322
мобиля (автомобильном дифференциале). Водило получает движение
от вала двигателя через карданную и дополнительную зубчатую пе­
редачи и вращается вокруг осей колес / и 3. Конические сателлиты
2 , вращаясь вместе с водилом, приводят в движение колеса 1 и «3 ,
каждое из которых соединено с полуосью задних ведущих колес авто­
мобиля. Поэтому, если автомобиль идет по прямой и ровной дороге
и силы сцепления колес с дорогой одинаковы, то угловые скорости
колес также одинаковы и равны скорости водила (0 і = <о3= (ов- При
движении автомобиля по кривым участкам пути (поворот) колесо,
двигающееся по внешней кривой, проходит больший путь, чем колесо
по внутренней кривой. При отсутствии дифференциала (единая ось
задних колес) колеса будут проскальзывать. При наличии дифферен­
циала сателлиты 2 обкатывают колеса / и <?, и угловые скорости колес
будут различны при постоянной скорости ведущего водила. Скольже­
ние колес по дороге при этом отсутствует и уменьшается износ по­
крышек.
Если в механизме (см. рис. 3.124, а) закрепить колесо 3 , то полу­
чится конический редуктор с одной степенью подвижности. Его гра­
фическое и аналитическое исследования производят такими же мето­
дами, что и конического дифференциала. Передаточное отношение
находят путем остановки водила и составления соотношений (3.226)
и (3.227,) из которых получается — — 1 = +
или і1в = 1 + — .
іа к как здесь оси колеса 1 и водила в совпадают, то можно непосред­
ственно воспользоваться формулой (3.213) и определить /1в.
Пример 3. Планетарный редуктор с коническими колесами (рис. 3.126), обес­
печивающий вращение валов с одинаковыми скоростями, но в разных направле­
ниях (вертолет), имеет гх =
= г2 = г9 == 25; г4 = 50. Определить передаточ­
ные отношения і | в и ijg*. Ведущее — звено 7, ведомые — колесо 3 и водило в,
неподвижное звено — колесо 4 .
Согласно формуле (3.211) і\л = 1 —
, где
= —- т ,
Определение
знака передаточного отношения (при неподвижном водиле) производится с по­
мощью стрелок (подробнее см. рис. 3.110, а). В этом случае колеса / и 4 вра­
щаются в разные стороны и ijj* < 0:
IІв
iіэ
А*) ,<*>
*1в *вЗ
3
Vi
1
з
1
1
1
+
25 . 50
3,
25 • 25
3
3
>
—
1
25 • 50
3.
25 • 25
Таким образом, ведомые валы вращаются в разные стороны со скоростями в три
раза меньшими, чем скорость ведущего вала. В вертолетах это необходимо для
устранения реактивных моментов (гироскопического эффекта}.
11*
323
§ 64. ПРОЕКТИРОВАНИЕ МНОГОКРАТНЫХ ЗУБЧАТЫХ МЕХАНИЗМОВ
С ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ КОЛЕСАМИ
Проектирование сложных зубчатых механизмов с неподвижными
осями (многократных передач) сводится обычно к распределению /общ
по ступеням, исходя из максимально допустимой величины передаточ­
6 -т-8 ), т. е.
ного отношения для одной пары зубчатых колес (і max
решению вопроса о том, сколько ступеней будет иметь механизм (ре­
чисел
«г •
ТРА*
ЯИИВі
-^
**
•
т
а
ся к выполнению выбранного передаточного отношения каждой пары
колес. Но при этом надо обеспечить отсутствие подреза зубьев и за­
клинивания передачи в ступени. В соосном редукторе помимо кинемачисла
необходимо обеспечить равенство межцентровых расстояний в ступе­
нях (Л12= А 34 на рис. 3.127), т. е. должно быть выполнено условие
соосности.
Рис. 3.127
Рассмотрим определение чисел зубьев эвольвентных колес с равноделенным шагом (нулевых) для двухступенчатых соосных цилиндри­
ческих редукторов, простейшие схемы которых представлены на
рис. 3.127. При нулевых колесах передаточное отношение этих вариан­
тов схем выражается одинаково (без учета знака)
Ш = — .
2lZ3
(3.229)
а условие соосности соответственно
для схемы
а
(г, -f z2) т1 = (г3 + г4) т и ; \
ь
»
б
(Zi — гг) т, = (г4 — г3) т и ; I
Ъ
»
в
(2 j + z2) mt = (z4 — z3) mn .
(3.230)
Задача определения чисел зубьев колес при заданном /общ сводит­
ся к совместному решению уравнения (3.229) с одним из уравнений
324
(3.230). Так, например, для редуктора на рис. 3.127, а подбор чисел
зубьев может быть произведен в следующем порядке.
іобш в
Представим
— • — . где
Ч\
виде
двух
сомножителей:
іо6ш=
і і
— и —— несократимые дроби, пропорциональ-
Яг
Я\
Яг
ные отношениям — и
Z\
Тогда гг — — г,;
zA
zt = - ^ - z a.
qx
cj2
Считая
mij
m
p
mi / =h mI» обозначим ---=
—
(несократимая
дробь).
m
Тогда условие соосности запишется
Я(22 + zv) = р (z3 + zt ) = S
Вводя сюда величины pt, qlt pt , q2, получаем
S=
-£L ± ?i _
3
2
Ял
Qt
Откуда
гі —
Sqi
(Pi + Яі) Я
l
г ,-
Sqa
(Pi -f Яг) P
Взяв S равным e [q (p, -\- qt) p (p2 -f- g2)], найдем искомое решение.
Здесь е — любое целое число.
Пример 4. Определить числа зубьев эвольвентных нулевых колес для двух­
ступенчатого редуктора (см. рис. 3.127, а), если известно i l4 = 12; т, = 3 , 5 л ш ;
m I t = 4 ,5 м м
Примем
= — = 4= —
t
'
Ч\
i
1
ц
77 e
_ з ^
Яг
“
3
1 :
_
т/ ~
4 ,5
Я
Я "" 3 ,5 "■ 7 '
Р
Гогда
S = г [7 (4 + 1) • 9 (3 + 1) | =з 35 • 36 (при е == 1);
35 . 36 • 1
_
=
с 7
— 36;
0*7
22 = /у гл = 144;
35 • 36 • 1
=
q
= 35;
4*9
г* = i/yzs = 105
Пример 5. Определить числа зубьев для соосного двухступенчатого эвольвент­
ного цилиндрического редуктора (см. рис. 3.127, в) по тем же исходным дан•
ным, что и в примере 4. Разбивая / м на i , =» 4 и іи = 3 и рассуждая анало­
гичным образом, получаем выражения для подсчета чисел зубьев нулевых колесі
e “
где
Sqi
(Pi
:----:— I
+ Pi) Q
S ==» е [q (pi - f qt ) р (р2 — f t) ]
г* —
Sq%
-----------р%—q%) р
* (7 • 5 . Щ. 2) = I • 35 • 18.
•
См. подробнее] А, М. А н т о в и л ь. Теория механизмов и машин
«Высшая школа». 1961, р л . III, $ 4.
325
М.,
Тогда
35
18 ■ 1
18;
Zo = 72;
I = 35;
4 «105.
5- 7
В этом случае механизм получается более компактным, чем в примере 4
Следует иметь в виду, что при реальном проектировании необхо­
димо просчитывать несколько вариантов, беря различные ij и іц. Из
всех ариантов отбирают то решение, которое наиболее соответ­
ствует требуемым условиям. При этом надо также использовать
1/ппрря п и р п я п и п п р п р н н к і м ТТІЯГПМ ^коооекішю). чтобы добиться наибольшей компактности.
Аналогичным способом производят определение зубьев іля трехступенчатого редуктора и т. д.
§ 65. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПЛАНЕТАРНЫХ ЗУБЧАТЫХ МЕХАНИЗМОВ
С ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ КОЛЕСАМИ
Проектирование таких механизмов начинают с выбора схемы меха­
низма. При этом очень важно выбрать оптимальную схему механизма,
так как для одной и той же цели одно и то же заданное передаточное
отношение можно обеспечить различ­
ными
схемами
механизмов,
которые
бу­
Ч
дут резко отличаться по к. п. д., габа­
0,8 Е
0,7
ритам и весам. Как известно, к. п. д.
0,6 J
планетарных передач резко уменьшаетГ
0,5
>
ростом
передаточного
отношения
ся
с
0Л
ч
Г
(рис. 3.128). Чтобы получить механизм
0,3
о ,г
с повышенным к. п. д., иногда оказы§
0,1
вается
целесообразным
соединять
ш
о т ш боа ооо юоо
планетарную передачу с непланетарной;
для осуществления больших передаточ­
ны х о тн о ш ен и й следует после im s
Рис. 3.128
соединять несколько планетарных пере­
дач. Использование внутреннего зацеп­
ления в планетарных механизмах позволяет уменьшить габариты
и веса их. Поэтому правильный выбор схемы при проектировании
планетарных зубчатых механизмов имеет гораздо большее значение,
чем при проектировании простых передач. Причем этот выбор следу­
ет начинать с простейших механизмов (см. рис. 3.115), учитывая их
особенности (см. § 61).
После выбора схемы механизма производят определение чисел
зубьев колес так, чтобы обеспечить заданное передаточное отношение
(с допустимой точностью), условие соосности, условие соседства
(размещение нескольких сателлитов), условие сборки и условие от­
сутствия заклинивания колес передачи (условие правильного зацеп­
ления).
Рассмотрим методику проектирования простейших схем планетар­
ных механизмов, составленных из эвольвентных цилиндрических колес
с оавноделенным шагом (нулевых).
•
•
326
—
Обеспечить заданное передаточное отношение — подобрать числа
зубьев так, чтобы при подстановке их значений в выражение переда­
точного отношения редуктора для выбранной схемы (при нулевых ко­
лесах) получилось требующееся численное значение і ^ . Обычно с
целью упрощения определения чисел зубьев допускается (где это воз­
можно) отклонение значения передаточного отношения от заданного
в пределах l-j-5 %.
Условие соосности требует, чтобы при расположении осей колес
1 ,4 и водила на одной прямой обеспечивалось зацепление сателлитов
с центральными колесами. Для этого сумма радиусов полоидных ок­
ружностей соответствующих колес должна быть постоянной, т. е.
(см. рис. 3.115),
для схемы а
»
т
> б
»
»
в
г,-\- г2= г3+ г4= гв, \
гj— г2 = г4— г3 = гв, I
Г ! + Г2 = Г4-- Г3= Гg. I
(3.231)
В случае применения колес с равноделенным шагом (нулевых)
и одинаковых модулей обеих пар колес это условие можно записать
соответственно:
для схемы а
»
» б
»
» в
« І+ *з
г,— г2
*1+ 22
г3+ г4,
г4 г3,
г4 г3.
(3.232)
Это условие ограничивает выбор одного из четырех колес, так как мож­
но задаться произвольно размерами радиусов (или числом зубьев)
только трех колес.
Следовательно, в соосной планетарной передаче можно произ­
вольно выбирать радиусы (числа зубьев) трех колес, а размер четвер­
того определять этими условиями.
Условие «соседства» (условие совместного размещения нескольких
сателлитов по общей окружности) требует, чтобы при многосателлитной конструкции К > \ соседние сателлиты не задевали своими зубь­
ями друг друга. Для этого необходимо назначать радиусы (числа зубь­
ев) колес так, чтобы расстояние между осями соседних сателлитов (см.
рис. 3.115, в) было больше диаметра Dc окружности вершин наиболь­
шего из сателлитов (A C> D C), т. е. должно А с= Dc + и, где и — за­
зор между соседними сателлитами* величина которого определяется
допусками на точность сборки.
180'
Из д 0 0 ,0 , Д. = 2 (г, + rt) sin
, где К — число сателлитов
К
Поэтому это условие для схемы на рис. 3.115. в запишется неравен­
ством
2
(г, -f- г.) sin
180
Dc.
К
При нулевых колесах это условие в общем случае имеет вид
sin
180
К
гс ~Һ
*і ±*»
(3.233)
327
Если 2 2> z 3, т о в числителе берут гс= г 2, если г 3> - 2 2, то ставят гс = г 3.
В знаменателе берут плюс при внешнем и минус при внутреннем за­
цеплении колес 1—2.
Условие сборки (условие равных углов между сателлитами) учиты­
вает необходимость одновременного зацепления всех сателлитов с
центральными колесами при симметричной геометрии зон зацепления.
После установки первого сателлита подвижное центральное колесо
принимает строго определенное положение, и, если не выполнить не­
которых требований, то при установке следующих сателлитов их зубья
могут и не оказаться точно против впадин центрального колеса. Тогда
осуществить сборку механизма невозможно. Чтобы этого избежать,
необходимо так подобрать числа зубьев колес, чтобы зубья всех сател­
литов (колеса 2 и 5) (см. рис. 3.115, в) точно вошли во впадины цен­
тральных колес (1 и 4).
Проще всего правильная сборка осуществляется, если оси сател­
литов равномерно располагаются по окружности гв, т. е. если цен­
тральные углы между радиусами-векторами центров сателлитов оди360°
наковы и равны —^ —. Это упрощает изготовление и эксплуатацию меха­
низма (позволяет избежать применения противовесов). Чтобы сформу­
лировать искомое условие, рассмотрим процесс сборки редуктора
(см. рис. 3.115, в). Причем условимся ставить сателлиты на свою ось
в водиле в одном и том же положении, когда центр сателлита распо­
лагается на вертикали, проходящей через ось центральных колес.
Примем, что оба колеса блока сателлитов имеют одинаковую ориента­
цию зубьев друг относительно друга у всех К блочных сателлитов.
Поставив первый сателлит на ось, когда она занимает «вертикальное»
I
jfe
(
i
a
і
|
I
360°
положение, поворачиваем водило на угол <рв =
—(- 360 р, где р —
число полных оборотов водила. При этом первое колесо повернется
также на некоторый угол q>!= Ф„*ів» так как
:
1в
. ті
фі
“в
Фв
Ставим второй сателлит на свою ось, находящуюся теперь на том
месте, которое занимал первый сателлит до поворота водила («верти­
кальное» положение). Но при одинаковых сателлитах второй сателлит
войдет на свое место в том же «вертикальном» положении только тогда,
когда сцепляющееся с ним центральное колесо (первое) повернется на
целое число угловых шагов (целое число зубьев), т. е. когда
о
9,
= Cxj = С
360
«1
(С — любое целое число).
Делая подстановку, получаем
п
360°
/ 360°
, оепо \ .
С — — = q y 1В= / — ----- 1- 360°р I 1в
328
Откуда
^ - ( 1 + Кр) = С.
К
В простейшем случае при р = 0
(3.234)
Zl 1в = С0.
К
Тогда окончательно условие сборки примет вид
С0(1 -Ь Кр) — С.
(3.235)
Выполнение этого условия означает, что если один из сателлитов
установить в выбранном вертикальном положении, то все последую­
щие сателлиты свободно входят в зацепление с соответствующими
центральными колесами в том же положении при повороте водила на
угол
Если при назначенном числе зубьев С0 окажется не целым числом,
то надо подобрать р таким, чтобы выражение С0(1 + Кр) стало целым
числом.
Условие правильного зацепления — условие отсутствия заклинива­
ния передачи (при назначенном числе зубьев колес, выполненных
без подреза и среза зубьев). Чтобы избежать заклинивания передач
внутреннего зацепления, составленных из эвольвентных нулевых колес
с прямыми зубьями, необходимо (см. § 50) выбирать число зубьев каж­
дого колеса передачи больше допустимого минимума гт |„, которое
зависит от вида колеса, величины профильного угла на делительной
окружности и параметров исходного производящего контура. Для
колес с внутренними зубьями при ао= 2 0 ° и х „ = 1 ,0 имеем гтпвн=
= 85; если хи = 0,8 то гт щ Вн — 58; для сцепляющихся с ними колес
с внешними зубьями гт щ Вш соответственно равно 2 0 и 18 зубьев, а для
всей передачи разность чисел зубьев сцепляющихся колес гвв— гвш
должна быть не менее 8 при х„ = 1,0 и не менее 7 при х„ =0,8.
Во избежание подреза зубьев эвольвентных нулевых колес для
передач внешнего зацепления при Оо= 2 0 ° и х , = 1 ,0 2mm^-17; при
х = 0,8 ггаі„>14 (см. § 49).
В зацеплениях, составленных из эвольвентных нулевых косозубых
колес или из ненулевых колес (о прямым или косым зубом), число
зубьев малого колеса может быть значительно снижено.
При ненулевых колесах условие избежания подреза выбирают так
же, как указано в § 52.
При неэвольвентном профиле зуба условие правильного зацепления
должно быть выбрано в соответствии с теорией используемого зацеп­
ления (см. § 53).
Планетарные механизмы, как правило, проектируют и изготав­
ливают с нулевыми колесами, но их можно составлять и из ненулевых
колес (со смещением); модули рядов колее могут быть одинаковые и
разные. Эти обстоятельства необходимо учитывать при составлении
исходных уравнений (условий) для каждой конкретной схемы.
329
Таким образом, задача определения числа зубьев сводится к сос­
тавлению исходных уравнений, отражающих указанные условия для
каждой конкретной схемы, и совместному решению их. Методов их ре­
шения, а значит, и методов подбора чисел зубьев, обеспечивающих
все эти условия, имеется много. Целесообразно их рассматривать на
конкретных схемах. При этом надо иметь в виду, что методы подбора
чисел зубьев одинаковы для механизмов как с одной, так и со многими
степенями свободы.
Рассмотрим методику определения чисел зубьев на примере ме­
ханизма, изображенного на рис. 3.115, г, составленного из эвольвентных нулевых колес. Выпишем исходные уравнения вышеперечислен­
ных условий: уравнение передаточного отношения t1B= 1 -|— —; усгі
ловие соосности гл + г 3 = г4 — г3;
условие
равного
угла
между
ш
сателлитами (условие сборки) —*'1в = С0; условие соседства (для
К
v . 180° . 2о н- 2 хи
нулевых колес) s i n — - — > —------условие правильного зацеп-;
К
г3
ления (при хи = 1,0 и а 0 = 20°) в виде неравенств г,
z4 - z 8> 8 ; z3 > 2 0 .
Из первого условия определим 24 = 2 t (ilB— 1),
_
Z4 — _ 2х(Іів — 1)
_ ^1 (*1в 2 )
2з = ~ 2
2
“
2
Для определения чисел зубьев колес составим
шений: •
>-17; г4> 85;
а из второго
систему отно­
ш Ш ШІШЙ
в
ИЛИ
2l
! Z3 • Z4 • C0
I:
'1B2 — : (Чв -
1): ү I г*.
(3.236)
Это основное уравнение, позволяющее подобрать числа зубьев
ело
чить г4> 17 и получить z3> 2 0 ; z4> 8 5 ; z4— z3> 8 и С0— целое число
(для заданного числа сателлитов). Если С0 не целое число, то условие
сборки следует расширить, взяв вместо С0 С = С0(1 + Кр), и подо­
брать р так, чтобы С было целым числом при заданном z*. Если эта
попытка не дает решения, выбирают новое значение г%. Полученные
zt; z4 и z3 должны быть проверены по условию соседства.
1
8
Пример 6. Дана схема механизма (см. рис. 3.115, г) ilB = —— ;
К = 3.
Требуется подобрать Z\, г8 , г4 (нулевые колеса).
Три первых условия выполняются, если подобранные числа зубьев, согласно
уравнению (3.236),
330
относятся как
гг :гаіг А:С =
4
11 і —
Г
1
3
6
і— і —
1
(1 - f 3p) z4.
,
о
Если принять г1 == 2 0 ( > 17), тогда z3 = zx
4
13
16; г4
zx = 52.
При
5
' 5Г
5
подсчете оказалось, что числа зубьев колес 3 и 4 ниже установленного предела.
Поэтому число зубьев колеса / увеличиваем до zx = 35 и получаем г3 =
35 • А
6
28; г4 = 91 (что больше 85) и С =*— 35(1 + 3 р) = 4 2 ( 1 + 3р).
5
5
Число С будет целым даже при р = 0 (т. е. угол поворота водила для установ
ки следующего сателлита <рв = 120°).
Проверяем полученные числа зубьев сателлитов по условию соседства
sin
180'
К
>
28 + 2
sin 60° > 0,48.
35 + 28 *
Таким образом, второй вариант при zx = 35; z3 = 28; z4 = 91 дает наимень­
шие габариты. Другие варианты при гх < 35 не обеспечивают г3 > 20 и г4 > 85
и поэтому не пригодны.
Более простым методом подбора чисел зубьев является метод сом­
ножителей, при котором подбор зубьев ведется только по двум усло­
виям — передаточному отношению и условию соосности, а проверка
по условию сборки и соседства.
Рассмотрим сущность этого метода на примере двухрядного пла­
нетарного механизма с двумя внешними зацеплениями (см.
рис. 3.115, а). Из уравнения передаточного отношения I1в
1
---- ---- находим значение дроби
= 1 _ { Отношение — за* 1 *3
Z jZ o
ZXZ3
меняем отношением сомножителей
bd
ас
каждый из которых соответ­
ственно должен быть пропорционален числу зубьев.
Тогда
bd
*2*4
1
i 1в>
(3.237)
Z\Z3
ас
■
где подразумевается, что а пропорционально zt; Ь—za; с г3; d -z4.
Чтобы обеспечить условие соосности zt+ z2— z3+ z4l когда все
необходимо
еЛа
b)
ег(с 4* d ). Проще всего принять в качестве дополнительных
множителеи Ц — с + d и е2= а + Ь. Тогда условие соосности прини­
мает вид:
а(с
d) + b(с
Значит, отношение
ziz3
d) — с(а + b) + d(a + Ь).
должно быть равно —^ + d)d^a + b)
a ( c + d ) c ( a + b)
Отсюда видно, что числа зубьев должны быть соответственно равны:
*1
*3
г4
а(с + d)y\
b(c
Щ + Ь)у;
d(a + ЬУү,
(3.238)
где V — любое положительное число.
331
Подстановка этих значений г в условие соосности дает тождество,
что подтверждает справедливость такого решения. Дальше надо
проверить, чтобы полученные zit z2, z3, г4 удовлетворяли условиям
правильного зацепления, сборки и соседства.
Подбор чисел зубьев планетарных зубчатых механизмов по задан­
ному передаточному отношению, особенно если его требуется осущест­
вить с высокой точностью, требует выполнения большого количества
математических операций. Поэтому такую задачу практически возмож­
но решить только с помощью ЭВМ, которые в последние годы начали
широко применять для этой цели.
Пример 7. Подобрать числа зубьев для механизма
даточное отношение которого / і в =
24 *
дает
новка значений в равенство (3.237
*1*3
а число сателлитов
/С == 3*
Подста­
25
24
1
1
(см. рис. 3.115, а) пере-
24
25
5-5
Дробь
представляем в виде простых сомножителей
либо
и т. д
24
\
•
6 •4 7
8-3
Таких комбинаций сомножителей может быть много, а отсюда и вариантов
решений (т. е. вариантов подбора г ц га; z z; г4) тоже много.
П
*
*2*4
6'б
Принимая за первый вариант, что ------- =
заменяем эти цифры равно­
6-4
b'd
й'О
великой дробью
и ищем решение согласно равенствам (3.238) & виде
гх = 6 (4 + 5) 7 = 54^:
г2 = 5(4 + 5)-( = 457;
4 (6 + 5) 7 = 447 ;
z4 = 5 (6 + 5) 7 = 5 5 7 .
Условие
решения
соосности
647 + 457 = 447 + 667
г2г4
*1*3
5 *5
8
выполняется.
Второй
вариант
M i
ахсл
.3
Отсюда
г{ = 647 ;
га = 4 O7 ;
г3 = З97 ;
г4 = 6 6 7 ,
т . е. при прочих равных условиях получаются ббльшие размеры колес. Поэтому
останавливаем свой выбор на первом варианте, обеспечивающем при 7 = 1 мень­
шие габариты, чем во втором варианте. При этом Z\ = 54; г2 = 45;
44;
я
г4 = 55. Проверяем условия сборки по формуле (3.234)
1
54
С
*1*1в
3
(1 + 3 р)
24
3
(1 + 3 р)
3
(1 + 3р)
4
Чтобы получить С целым числом, необходимо иметь (1 + 3 р) кратным 4 .
При р = 0 этого нет. При р = 1 С = 3 (целое число). Следовательно, при сборке водило необходимо повернуть на угол <рв =
332
ЗвЬ°
--------3
л
,
(1 + 3 • 1) =
€
120 ° +
360°.
т . ё . на угол 120° плюс один полный оборот, и тогда будет обеспечена сборка
механизма с тремя равномерно распределенными по окружности сателлитами.
180°
г2 + 2
45 + 2
которое
Проверяем условия соседства: s i n ---------> ---------- ; sin 60 >
54 + 4 5
Z\ + z2
К
выполняется.
Условия правильного зацепления (отсутствие подреза при хи = 1,0) также
выполнены, так как Z[ > 17. Таким образом, все условия выполнены. После
установки трех сателлитов с ориентировкой колес блока сателлитов друг отно­
сительно друга производят маркировку.
Если модули рядов не равны, то сомножители подбирают из условия, что
тп\ 2
в\
а+ b
m34
еа
с+ d
Пример 8 . Подобрать числа зубьев для эвольвентных прямозубых нулевых
зацеплениями
(см.
колес двухрядного механизма с двумя внутренними
рис. 3 .1 1 5 ,6 ), если /1в= —
;
/С = 3 , хи = 1,0. Причем
гг > г2; г4 > г8; г%
и z3 имеют близкие значения.
Из выражения передаточного отношения следует, что
*2*4
*1*3
39
При разложении дроби
3 . 13
bd
ас
10 . 4
;
можно
40
II вариант
bd
ас
1
39
bd
40
40
ао
получить
3-13
4 • 10 ;
ряд
вариантов:
bd
111 вариант
ас
10
•
8
I
вариані
и т.
д.
Из условия соосности (3.232) вытекает, что выражение в\ (а — Ь, должно равняться е2 ( d — с), т. е. ег = d — с и е2 ■ ■а — b . Определение чисел зубьев
колес для всех вариантов приведено в табл. 3 . 3 .
Таблица
Подсчет для
I варианта
Расчетные
формулы
Число
зубьев
7a (d — с)
чЬ (d — с)
7с (а — Ь)
7d (а — Ь)
*1
*2
*3
г4
Т10 (13 — 4) = 9 0 7
•(3(13 — 4) = 2 7 7
74 ( 1 0 — 3) = 2 8 7
7 І З (1 0 — 3 ) = 9 І 7
Подсчет для
II варианта
74^13 —
73(13—
7І0 (4 —
713(4 —
10)=127
10)=97
3 ) = 10Т
3 )= 1 3 7
3.3
Подсчет для
III варианта
8)=507
Т10 (13
8 )=307
Тб (13
6 )= 3 2
78(10
6) = 5
713(10
Тогда в I варианте при 7 = 1 2гх = SO; га === 27; г3 = 28; г4 = 91; во 11 ва
рианте, чтобы z4 и гг были больше 85, надо брать 7 = 8 , откуда гг = 96;
г2 = 72; е3 = 80; z4 = 104; в III варианте должно быть взято 7 = 2 и, следова­
тельно, Z\ = 100; z2 = 60; za = 64; z4 = 104. Наиболее компактный механизм дает
I вариант чисел зубьев, при котором обеспечивается точное значение заданного
передаточного отношения /1в и размещение трех сателлитов. Поэтому, принимая
его,
проверяем выполнение
остальных условий.
Условие сборки
С
1в- (1 + Кр) =
К
т . е. при
180
sin
К
повороте
*э ~Ь 2
>
*4 — *8
• (1 + 3р) = — (1 + 3р) выполняется при р - 1 .
4
3
Условие соседства
120° + 360'
водила на угол <рв
30
также
выполняется.
Условия
или sin 60° >
9 1 — 28
— -
333
правильного зацепления: число зубьев у колес с внутренними зубьями при
г1==90 и z 4 = 9l больше 85; разности чисел зубьев колес г4 — г3 = 6 3 и
— г2 = 63 больше 8 ; число зубьев колес 2 и 3 г2 и г3 больше 20.
Варианты I I , III дают большие размеры механизма и допускают только
один сателлит.
Пример 9. Подобрать числа зубьев для двухрядного механизма со смешан­
ным зацеплением (см. рис. 3.115, в), если известно *1в = 10; /( = 3, колеса
нулевые.
22£4
Д ля этой схемы выражение передаточного отношения i j B = I Ң--------; усло-
*1*3
вие соосности гг + г2 = г4 — г3. Причем из схемы следует, что г% должно быть
заведомо больше г3.
По передаточному отношению подсчитываем
^2^4
ZiZ3
flB — I = 10 — 1 = 9
- IB
-
к і»
•
Считая Z\ пропорциональным а; г2 — b\
~
1 -2
ЬЛ
ас
г4 — d,
ищем
3*6
ГГЧ
г3 — с ;
л
r%
решение в виде
Щ Ta (d — с) = 7 * 1 (6 — 2) = 4-j;
?2
= 4 b (d — с) = ү • 3 (6 — 2) = І2ү;
=
(а +
Т * ^ (1 + 3 ) 8ү;
*4 = Tf* (a + *) = T ГЩ І + 3) = 24ү.
Чтобы обеспечить гі > 17, берем
г4 = 108.
ү = 4,5.
Тогда
Z| = 18:
z2 = 54;
г, = 36;
Проверяем условие сборки
л
18-10
С = — - — (1 + 3 р) = 60 (1 + 3р) = 60 при р = 0;
О
ф
сборка будет обеспечена с тремя сателлитами при фв = 120°.
Условие соседства
.
180°
г2 + 2
54 + 2
s m — - — > --------- , или sin 60° > ------- '----- .
К
Zi + г2
18 + 54
тоже вы-
полняется. Выбранные числа зубьев обеспечивают условие правильного зацепле­
ния, так как г4 = 1 0 8 (больше 85), г3 = 36 (больше 20), разность г4 —- г 3 = 72
(больше 8 ) и Z\ = 18 (больше zmjn).
При проектировании многоступенчатых планетарных механизмов
первостепенное значение имеет распределение /общ на передаточные
отношения ступеней. От выбора передаточных отношений отдельных
ступеней зависят габариты механизма, его к. п. д., точность передачи
движения, условия изготовления и т. д. При этом должны учитывать­
ся и конкретные требования, предъявляемые к механизму.
В целях уменьшения габаритов механизма целесообразно назначать
возможно большее передаточное отношение для первой от двигателя
ступени.
Для получения большей точности поворота выходного вала (при­
боры, сервоприводы и т. д.) следует назначать большее передаточное
отношение для последней ступени. При с