close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

4379 junisbekov s materialdar kedergisi

код для вставкиСкачать
539.3
Ж91
т
еков С
■ ■ ■ ■ ■
ЩШ1
ю
м
і
■■і
Ж
я»;
I
'А
I
X
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ
БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫ Л Ы М М ИНИСТРЛІГІ
і#
Жүнісбеков С.
МАТЕРИАЛДАР
КЕДЕРГІСІ
!С.
АГЫЙД^ГЬ* ГЫПЫМИ Г Г Ш Ц & :.
-
Д
М
И
Р
И
И
И
Я
И
И
Ш
Р
Щ
И
Щ
ІЙ
і
Алматы, 2011
I
1-~г г^іЯйіаіИаМ
и
5 * 3 5 , ъ /. &
(о Ы .і)
УДК 620.2-03(075)
ББК 30.3-3я7
Ж 88
Қазақстан республикасының Білім және
ғылым министрлігі жоғары оқу орындарының техникалық
мамандықтарынын студенттеріне оқулық ретінде ұсынған.
Ж 8 8 Жүнісбеков С. Материалдар кедергісі: оқулық. / Жүнісбеков С. Алматы: «Бастау», 2011. - 364 бет.
І8 ВК 978-601-281-018-9
Бұл оқулықта материалдар кедергісі пэнінің негізгі заңдары мен
теориялары жэне олардың тэжірибемен дәлелденген тұжырымдары,
эр тақырып соңында студенттердің білімін тексеру сұрақтары мен
жаттығу есептерінің мысалдары, көрнекі суреттері берілген.
Соңғы жылдары техникалық мамандықтарға сұраныстың өсуіне
жэне қазақтілді студенттердің көбеюіне байланысты, қазақ тілінде
жазылған «Материалдар кедергісі» оқулығы жеткіліксіз. ¥сынылып
отырған оқулық айтылған кемшіліктердің орнын толтыру мақсатында
техникалық оқу орындарының оқу бағдарламасына сәйкес жазылған.
Бұл оқулық жоғары оқу орындарында техникалық мамандықтарға
оқитын студенттерге, магистрлерге, докторанттарға, сонымен қатар
ғылыми қызметкерлер мен өнліоіс саласындағы инженерлерге өте
қажет.
С.Торайғыров
атындағы ПМ У-дің
УДК 620.2-03(075)
ББК 30.3-3я7
академик С.Бөйсембаев
атындағы ғылыми
I
9 7 8 -6 0 1 -2 8 )-^ Х А П Х А Н А С Ы
© Жүнісбеков С., 2011
© «Бастау», 2011
I. Негізгі түсініктер
§ 1.1. Кіріспе
Әртүрлі қүрылымдарды жобалағанда, оның элементтерін беріктікке, қатаңдыққа, орнықтылыққа есептеу қажет.
Құрылымның ескерусіз деген элементін дұрыс есептемеу - бүкіл
құрылымның қирауына әкеліп соғуы мүмкін.
Құрылым элементтерінің орын ауыстыруын есептегенде, ол деформациясы алдын ала белгілі шамамен салыстырылады. Орын ауыстыру мэндері белгілі шамадан аспауға тиіс. Мұндай есептеу қатаңдыққа
есептеу деп аталады.
Құрылымға эсер етуші күштің шамасы аумалы мэнінен кіші
болғанда, оның элементтерінің деформациялары өте аз, ал күштің
шамасы аумалы мәнінен шамалы асқан жағдайдың өзінде, құрылым
элементтерінің деформациясы лезде өседі. Айтылған деформацияның
мысалы ретінде сырықтың бойлық сығылуын қарастыруға болады.
Сығушы күштің қандай да бір шамасында сырық майысады, яғни сырық
орнықтылығын жоғалтады. Құрылым элементтерінің орнықтылығын
жоғалтпауын қамтамасыз ету орнықтылыққа есептеу деп аталады.
Беріктікке, қатаңдыққа, орнықтылыққа есептеу гылымы - қүрылыс
механикасы. Құрылыс механикасы саласының бірі материалдар
кедерпсі, ал келесі салалары: серпімділік және пластикалық теориялары, құрылымдар теориялары деп аталады.
Материалдар кедергісінде құрылымның жеке элементтерінің
беріктігі, қатаңдығы, орныктылығы қарастырылады.
Теориялық мехаиикада абсолютті қатты денелер, материалдар
кедергісінде сыртқы күштердің әсерінен пішіндерш өзгертеді, яғни деформацияланады деп қарастырылады.
Материалдар кедергісінде математикалық талдау жэне теориялық
механиканың әдістері (статика бөлімі), сонымен қатар түрлі материалдардың қасиеттеріи қарастыратыи физика бөлімінің мағлүматтары
кеңінен қолданылады.
Материалдар кедергісі тэжірибелі-теориялық ғылым, себебі
тәжіриое нәтижелері мен теориялық іздеиістердщ қорытындылары
кеңінен пайдаланылады.
Материалдар кедергісіиің негізін қалаушы - Галилео Галилей
(1564-1642 ж.). Оның 1638 ж. жарияланган еңбегінде динамиканың
және материалдар кедергісінің өзекті мәселелерінің кейбір шешімдері
көрсетілген.
1660 ж. Р.Гуктың жүк пен деформацияны байланыстыратын мате­
риалдар кедергісінде ерекше орны бар атақты заңы жарық көрді.
Л.Эйлердің жоғарғы математика мен механикага сіңірген еңбектері
материалдар кедергісінің дамуына айтарлықтай үлес қосты.
XIX ғ. бу машиналарының жасалуы, теміржол құрылыстары,
көпірлердің, бөгеттердің, үлкен құрылымдардың салынуы беріктік туралы ғылымның дамуына үлкен ықпалын тигізді.
XIX ғ. соңыида XX ғ. басында материалдар кедергісінің дамуы­
на эсер ететін орыс ғалымдарының зерттеулерін айтуға болады
(Д.Н.Жуковский, А.В.Гадолин, Х.С.Головин, Ф.С.Ясинский т.б.).
Материалдар кедергісінде қарастырылатын нысандар:
1.
Білеу (брус). Ол көптеген қүрылымдардың элементтері ретінде
қолданы лады.
1 .1-сурет
Көлденең өлшемдері үзындығынан элдеқайда кіші дене білеу деп
аталады ( 1.1-сурет, а).
Білеудің көлденең қималарының ауырлық орталығының геометриялық нүктелерінің орнын оның өсі деп атайды.
¥зындығы мен ені қалыңдығынан элдеқайда үлкен дене қабыршақ
(оболочка) (1.1-сурет, б). Сыртқы жэне ішкі беттерінен бірдей қашықтықта жатқан нүктелердің геометриялық орындары орталық бет деп
аталады, қабыршақтың орталық беті жазық болса, ол пластина ( 1.1-су­
рет, в).
Барлық бағыттағы өлшемдері шамалас дене - массив (1.1-су-рет, г).
§ 2.1. Есептеу нұсқасы. Күштер
Құрылымдарга эсер ететін жүктемелер, оларға қарағанда, сыртқы
күштер болып есептеледі. Қүрылымдарды сыртқы күштердің әсеріне
есептеу - есептеу нұсқалары арқылы жүргізіледі. Білеу бетінің шамалы аумагында эсер ететін жүктемені қадалған күшпен, ал білеуді оның
өсімен алмастырады.
2 .1-сурет, а) көрсетілген білеуге эсер етуші күштер көрсетілген.
р кгс/см 2
2 .1-сурет, б) оның есептеу нұсқасы келтірілген.
Айтарлықтай аумақта эсер
ететін жүктеме д есептеу нұсқасында таралған күш ретінде
қарастырылады.
Күштер бірнеше түрлерге бөлінеді.
Құрылым элементіне онымен
салыстырғанда кішкене аумақ
арқылы эсер ететін жүктемекадалған күш оған нүкте арқылы
2 .1-сурет
эсер етеді деп есептеледі. Өлшем
бірліктері кН, Н, кг...
Қүрылымның бөліктерінде үзына бойы немесе айтарлықтай
аумақтағы үздіксіз жүктеме - таралған күш. Айтарлықтай аумақ
арқылы эсер ететін таралған күштің өлшем бірлігі - кН/м2, Н/м2, ал
ұзына бойы таралған күштің өлшем бірлігі - кН/м, Н/м,...
Тұрақты жэне уақытша күпггер.
Тұрақты күш құрылымың ғұмыры бойы эсер етеді (ауырлық
салмақ). Тек белгілі уақыт аралыгында эсер ететін жүктемелер
уақытша күштер (көпір арқылы қозғалған пойыздың салмағы).
Эсер ету түріне байланысты, күштер статикалық немесе динамикалық болып бөлінеді. Статикалық күштердің құрылымға эсері
өте баяу. Өзгеріссіз күштің статикалық эсерінен қүрылымның барлық
бөліктері тепе-теңдік күйде жэне элементтерінде үдеу болмайды.
Егер үдеудің шамасы айтарлықтай, машина бөлшектерінің немесе
құрылым элементтерінің жылдамдығы өте аз уақыт ішінде өзгерсе,
онда динамикалык күштердің эсері бар. Күштің лездегі эсері соққы,
қайталанбалы-айнымалы күштер динамикалық эсерлерге жатады.
Құрылымға барлық шамасымен жылдам берілетін жүктемелер —
лездік күштер. Мысалы, көпірге кірген локомотив дөңгелегінің
қысымы.
Құрылымның түйісетін элементтерінің жылдамдығы өте тез өзгеретін әсері-соққы.
3
<
Қүрылым элементіне-бірнеше рет қайталанып берілетін эсер
қайталанбалы-айнымалы деп аталады.
§ 3.1. Ішкі күштер. Қию әдісі
Кез келген материалдың бойына)
да атомаралық ішкі күштер болады.
Олардың негізінде дене сыртқы күштердің әсерін қабылдап, қирауға жэне
пішіні мен өлшемдерін өзгертуге
қарсыласады. Сыртқы күштің эсерінен
б)
ішкі күштер өзгереді, яғни қосымша
ішкі күштер пайда болады. Сырт­
кы күштердің әсерінен құрылым
элементтерінщ
арасында
немесе
в)
элементтердің жеке бөліктерінің ара­
сында пайда болатын күштерді мате­
риалдар кедергісінде ішкі күштер деп
атаиды, яғни сыртқы күштердің эсеріне
деиін, ішкі күштер жоқ деп есептеледі.
Қүрылым
элементіне
күштер
жүйесі
3.1-сурет
эсер етеді (3.1, а-сурет).
Элементті ойша жазықтықпен қиямыз, оң бөліктің сол бөлікке әсері
сол бөлік үшін сыртқы күштер, ал жалпы элемент үшін ішкі күштер
болып табылады. Бүл күштерге шамалары тең, бағыттары қарамақарсы сол бөліктен оң бөлікке күштер эсер етеді. Жалпы түрде екі
М
К
М ішкі күштер жүйесінің
басты моменті. Басты вектор білеу өсімен сәйкес N бойлық жэне
көлденең жазықтығында жататын Т көлденең күштерге жіктеледі (4.1,
а-сурет), ал басты момент білеудің көлденең қимасында эсео ететін М.
М
жіктеледі.
Айтылған әрбір ішкі күша)
терге білеудің жеке деформациялары сэйкес келеді. Созылу (немесе сығылу) бойлық
N күшіне, ығысу көлденең Т
күшіне, бұралу Мб моментіне,
ал иілу М моментіне сәйкес
келеді. Айтылған деформацияб)
лардың қосындылары күрделі
қарсыласуға жатады. Көлденең
Т күшін ()г, ()у, Мыию моментін
М , А/ қүраушылары арқылы
анықтаған ыңғайлы. Сонымен,
құрылымның екі бөлігінің бір4.1-сурет
біріне эсері И, ^
басты
вектордың, Мб, А/, А/ басты
моменттің қүраушыларымен сипатталады. Бұл қүраушылар ішкі
күштер деп аталады.
5.1,
а-суреттегі сырықты көлденең қимамен сәйкес келетін I
жазықтығымен қиямыз. Сырықтың көлденең қимасында жалпы
жағдайда алты ішкі күш пайда болады (Ы, () , £), М , М , М).
а)
Ғ.
б)
ғ.
Қиылған эрбір бөлік тепе-теңдік күйде, сондықтан сол жақтан
оң жаққа эсер ететін ішкі күштердің өстерінің біреуіне проекциясы,
сол жақтағы барлық сыртқы күштердің сол өске проекцияларының
алгебралық қосындысына тең.
Сол жақтан оң жаққа эсер ететін ішкі күштердің өстердің біреуіне
қатысты моменті сол жақтағы барлық сыртқы күштердің сол өске
қатысты моменттерінің қосындасына тең. Бойлық N күшін анықтау
үшін қиманың сол бөлігін қарастырамыз (5.1, б-сурет). N сол бөліктегі
барлық күштердің х өсіне проекцияларының қосындысына тең. Бүралу
моменті М6 (5.1, б-сурет) Ғ,, Ғ2күштерінің х өске қатысты моменттерінің
қосындысына тең. Ішкі күштерді анықтағанда, қиылған екі бөліктің
қай жағында сыртқы күш аз болса, сол жағын қарастырған тиімді.
Теориялық механиканың статика бөлімінде күштер жүйесін тең
эсер күшпен алмастыру жэне күштерді эсер сызығы бойымен жылжыту кеңінен қолданылады, ал материалдар кедергісінде айтылған алмастырулар қате нәтижелерге алып келуі мүмкін.
§ 4.1. Кернеу
Ішкі күштер қарқындылықтарымен сипатталады.
Мүндағы АК - білеудің көлденең қимасындағы АА ауданшаға эсер
ететін күштердің тең эсері (6 .1, а-сурет).
АК бойлық ДМ жанама ДГ құраушыларға жіктеледі. Бойлық
қүраушының қарқындылығы ст-тік кернеу, жанама құраушының
қарқындылығы т жанама кернеу (6.1, б-сурет) деп ятя пяди
а)
б)
ст= Ііт (АіУ/АА \
х= Ііт (АТ/АА ).
&А-*0 у
М
- »
0
(2 .1)
7
Кернеулердің өлшем бірліктері Н/м2, МПа, Па,... Тік жэне жанама
кернеулер - толық р кернеушің құраушылары.
Ч т2
(3.1)
Р
Тік кернеу созу немесе сығу күшінің қарқындылығын, жанама кернеу ығысу күшінің қарқындылығын сипаттаиды.
а, т кернеулерінің жиынтығы
кернеулі күй деп аталады. Құрылымдардың беріктігі кернеулердің мәндеріне байланысты, сондықтан олардың материалдар
кедерпсінде алатын орны ерекше.
Тік және жанама кернеулер
ішкі күштермен гығыз байланыс­
ты. Осы байланыстарды көрсету
үшін 7.1-суретті қарастырамыз.
О
Жанама кернеуді у, г өстеріне
7.1-сурет
параллель т , хг құраушыларына
жіктейді. сіА ауданшаға асІА, т сІА, ісІА қарапайым күштер эсер етеді,
онда толық ішкі күштер келесі өрнектер түрінде жазылады:
•
•
N = іасІА;
0К.у = іІтусІА;>
= ҺМ\
м б = Ш - \г)еіА; Му = һгсІА;
А
М
Іаус/Л
(4.1)
ІЁВДГ - '*А
(4.1) өрнектерінің сол жақтарында N - бойлық күш, ^
- көлденең
күштер, М. бұрау моменті, М , А/ ию моменттері көрсетілген.
§ 5.1. Деформациялар мен орын ауыстырулар
Күш әсерінен құрылым деформацняланады, яғни оның пішіні мен
өлшемдері өзгереді. Дененің а нүктесінен х, у өстерінің бағытында
ұзындықтары сіх, сіу ас, аЬ кесінділерін ойша жүргіземіз (8 . 1-сурет).
Бұл кесінділердің ұзындықтарының өзгеруі Аеіх, А<3у.
Күш эсерінен а, Ь, с нүктелері а', Ь', с' орынға көшеді:
8
Дсіх
<іх
£
Асіу
Е
ЬЛг
СІ2
сызықтық деформациялар.
I
8 .1-сурет
Бастапқы тікбұрыштың өзгеруі - у ху жазықтыгындағы бұрыштық деформация, у^,
2 Х - жазықтықтарындағы бұрыштық деформациялар.
Сызықтық, бұрыштық деформациялардың өлшем бірліктері
жоқ. Сызықтық және бұрыштық
деформациялардың
жиынтығы
деформациялық күйді білдіреді.
Күш эсерінен пайда болған
деформациялардың негізінде құрылымның пішіні мен өлшемдері
өзгереді. Мысал ретінде 9.1-суретті қарастырамыз.
9.1-сурет
Штрихталған білеудің деформацияланған күйі. А {А2, А \А \ күйге
ауысады. Білеудің бойындағы а нүкте арқылы АхАг кесіндісін
жүргіземіз. Білеу деформацияланған соң, а нүктесі а' орынға ауысады.
а а -А а сызықтың, АуА2, А \А '2 кесінділерінің арасындағы бүрыш а бұрыштық орын ауыстыру.
§ 6.1. Материалдар кедергісініц негізгі болжамдары
Қүрылым элементтерін беріктікке, қатаңдыққа, орнықтылыққа
зерттегенде, есептеуді жеңілдету үшін, болжамдар қабылданады.
Тәжірибе мен серпімділік теориясының дэлірек есептеу негіздеріне
сүйеніп, болжамдарды материалдар кедергісінде пайдалануға болатындығы дэлелденген. Негізгі болжамдарға тоқталсақ:
1.
Құрылым материалы біртекті, толық, яғни оның қасиеттері
пішіні мен өлшемдеріне тәуелсіз, барлық нүктелерінде бірдей. Осыиың негізінде дененщ дискретті атомдық құрылысы ескерілмеиді.
2. Қүрылым материалы изотропты, яғни барлық бағытта оның
қасиеттері бірдей.
Көптеген есептерді шығарғаида қолдаиылатын гипотеза кейбір
материалдар үшін шартты түрде пайдаланылады (мысалы, ағаштың
талшық бойымен өсіне көлденең бағыттағы қасиеттері эртүрлі). Әр
бағыттағы қасиеттері әртүрлі, онда материалдар анизотропты матери­
алдар деп аталады.
3. Құрылым материалы таза серпімді. Деформацияның әсері
тоқтаған соң, алғашқы пішіні мен өлшемдері толық қалпына келеді.
Бүл болжам материал үшін кернеудің мәні белгілі шамадан
(серпімділік шегі) аспаған жағдайда орындалады.
4. Материалдың әрбір нүктедегі деформациясы осы нүктедегі кернеуге тура пропорционал.
Бүл болжамды алғаш рет Р.Гук жариялаған. сондықтан Гук заңы
деп аталады. Гук заңы кернеудің мәні пропорционалдық шектен
аспағанда орындалады.
5. Қүрылым деформациясы өте аз, сондықтан күштердің өзара орналасуы және күш пен кұрылымның кез келген нүктесінщ
а)
арақашықтығына деформацияның ешқандай әсері жоқ.
6.
Құрылымға эсер еткен
бірнеше күштің нәтижесі әрбір
б)
жеке күштің әсері нәтижелерінің
қосындысына тең.
Бұл болжам күш әсерлерінің
бір-біріне тэуелсіз принципі
в)
деп аталады және Гук заңы
орындалганда пайдаланылады.
Тұжырымды түсіндіру үшін,
10 .1-суреттегі білеуді қарасты5)
рамыз. Білеуге
М, Ғ күштері
эсер етеді. Күштердің бір-біріне
10 .1-сурет
тәуелсіз принципінен, барлық
күштердің әсершен орын ауыстыру - жеке күштердің әрекетінен орын
ауыстыру шамаларының қосындысына тең:
6 = 5, + б2 + 83.
7. Білеудің күш әсеріне дейінгі жазық көлденең қималары күш
эрекетінен соң да жазық күйде қалады.
Бұл гипотеза жазық қималар гипотезасы немесе Бернулли гипотезасы деп аталады. Осы тұжырымның негізінде материалдар кедергісінің
көптеген формулалары қорытылып шығарылады.
Бақылау сүрақтары
1. Беріктікке, қатаңдыққа, орнықтылыққа есептеудің мақсаты
неде?
2. Білеу, қабыршақ, массивті денелер деген не?
3. Білеудің өсі деген не?
4. Шын құрылым мен есептеу нұсқасының айырмашылығы неде?
5. Күштер қандай белгілерімен бөлінеді?
6 . Қадалған күш пен ию моменттерінің өлшем бірліктері қандай?
7. Ішкі күштер нені білдіреді?
8 . Ішкі күштерге сәйкес деформацияның түрлерін атаңыз.
9. Қию әдісінің мәні неде?
10. Толық, тік, жанама кернеулердің арасында қандай байланыс бар?
11. Деформация түрлерінің қайсысы сызықтық, қайсысы бұрыштық
деп аталады?
12. Күштердің бір-біріне тәуелсіз принципі неде?
13. Жазық қималар гипотезасының мэні неде?
II. Созылу немесе сығылу
§ 1.2. Бойлық күш
Сыртқы күштің әсерінен білеудің көлденең қималарында тек
бойлык күш N пайда болатын деформацияның түрі орталық созылу
немесе сығылу деп аталады. Қалған ішкі күштер (көлденең күш, ию
моменті, бұралу моменті) нөлге тең.
Созылу, сығылу деформациясына жұмыс істейтін білеу сырық деп
аталады.
1.2 ,а-суретте бір ұшы қатаң
бекітілген, екінші үшында өсі
а)
бойымен жүктің эсері бейнеленген тік білеу көрсетілген.
Бұл білеудің барлық көлденең
б)
қимасында тек созушы бойлық
күш пайда болады, сондықтан
білеу орталық созылған. Күштің
кері бағытында ( 1.2 ,б-сурет)
в'
а
білеу орталық сығылған.
1 .2 ,в-суреттегі
білеудің аЬ
мен ссі аралығы орталық созы1 .2 -сурет
лады, ал Ьс аралығындағы кез
келген п-п қимасьшда бойлық күшпен қатар көлденең күш және ию
моменті пайда болады.
Созушы бойлық күш оң таңбалы, ал сыгушы бойлық күш теріс
таңбалы деп есептеледі.
2.2,а-суретте көрсетілген сырыққа өсі бойымен Ғ., Ғ күштері,
өсінен бірдей қашықтықта жатқан оған параллель екі Ғ3 және өспен а
бүрышын жасайтын екі Ғ. күштері эсер етеді.
Күштерді өсі бойына жинаған 2.2,б-суретте сырықтың есеп­
теу нұсқасы көрсетілген, сондықтан сырықтың кез келген көлденең
қимасында тек бойлық күш пайда болады. Бойлық күштерді қию
әдісімен анықтайды. Сырық қанша аралыққа бөлінсе, сонша рет
қию әдісін пайдаланады. Қию әдісін сырықтың бос үшынан бастап
қолданған ыңғайлы, себебі қатаң бекітпедегі тірек реакциясы белгісіз.
Бірінші аралық аЬ кез келген жерінен 1-1 қимасы арқылы екіге
бөлінеді (2 .2 ,в-сурет).
а)
б)
*)
г)
II1
л
Ғ
(
7
яү
СОЗ«
ғ2
N..
;___ц
ғ,
ғ,
ғ,
Ғ7[
д)
е)
ж)
2Ғ3 І І і .
Ғ
Ғ1
Ғ 1-Ғ2+2Ғ4соаа-2Ң
Ғ г Ғ2-2Ғ3
2 .2 -сурет
Қиманың оң бөлігінің сол бөлікке әсерін Ыі арқылы белгілеп, оны
оң таңбалы (созушы) деп есептеп, солдан оңға қарай бағыттайды.
Есептеу нэтижесінде N. таңбасы теріс болса, онда сырық бұл аралықта
сығылады.
2 .2 ,в-суреттегі
қиылған бөліктің тепе-теңдігін қарастыратын болса,
барлық күштерді сырық өсіне проекциялайды, яғни
Үрс = ІУ, - Ғх = 0 немесе Щ = Ғ х.
А^2 анықтау үшін Ьс аралығының кез келген жерінен сырықты //-//
қимасымен екіге бөледі. Тепе-теңдік теңдеуінен (2.2,г,е-сурет)
Ірс = Ы2 - Ғ, + Ғ2 = 0, Щ = Ғ, - Ғг.
Дэл осылай қалған Ы, сіе аралықтардағы бойлық күштер анықталады (2 .2 ,д-сурет).
= мъ - Ғ, + ғ2+ 2Ғг = 0 , ЫЪ= Ғ Х- Ғ 2- 2Ғу
= Л^4 Ғ, + ғ2+ 2ҒЪ- 2Ғ4с08а = 0, Л^4 = Ғ, - Ғ2- 2Ғъ+ 2Ғ4соза.
Есептеулердің негізінде әрбір аралықтағы бойлық күштер тұрақты
болатындығына көз жеткізуге болады.
Бойлық күштің сырық бойымен өзгеру графигі бойлық күштің
эпюрасы деп аталады. Эпюраны тұрғызу үшін, сырық өсіне парал­
лель эпюра өсі жүргізіледі (2.2,ж-сурет). Белгілі бір масштабпен осы
өске перпендикуляр бағытта эрбір аралық үшін бойлық күштің мэні
тұрғызылады. Тұрғызылған эпюра өске перпендикуляр түзумен
штрихталады (2.2,ж-сурет). Әрбір штрих сырықтың сәйкес көлденең
қималарындағы бойлық күштің мәнін білдіреді. Күш әсері бар
қималарда бойлық күш эпюрасында күшке тең секірістер пайда бола­
ды, осыган байланысты а, Ь, с, <1нүктелеріндегі секірістер тиісінше Ғ.,
Ғ2, -2Ғу -2Ғлсова тең.
Ішкі күштердің эпюрасын тұргызғанда, сырықты жэне есептеу
нұскасын көрсету міндетті емес, екеуінің біреуі көрсетілсе жеткілікті.
Сонымен қатар сырықтың жеке бөліктерін де корсету аса қажет емес.
Жоғарыдағы сырықты есептегенде, тек сырықтағы (2.2,а-сурет) не­
месе есептеу нұсқасын (2 .2 ,б-сурет) және бойлық күштің эпюрасын
(2 .2 ,ж-сурет) көрсетсе жеткілікті.
Сырық өсі бойындағы үздіксіз күштің әсерінен бойлық күшті анықтау мысалын көрсетейік (3.2,а-сурет). Сырыққа қадалған Ғ = 10 кН
екі күштен басқа, қарқындылығы <7 = 5 кН/м бірқалыпты таралған күш
эсер етеді. Бойлық N күшінің эпюрасын тұрғызу үшін, жоғарыдан
төмен қарай х арал ықтағы /-/, //-// қималарын қарастырамыз.
а) Бірінші қима 0 < х < 2 м
Nx= - Ғ - ^ ■х = -10 - 5х,
х = 0 болғанда N = -10 кН,
х —2 м болғанда ІУ, = -10 - 5 - 2 = -20 кН;
-
б) Екінші қима 2 < х < 4
Ы2 = —Ғ - ^ • х —Ғ ——20 - 5х,
х —2 болғанда Ы2 —-20 —5 • 2 = —30 кН,
х = 5 болғанда Ы2 = —20 - 5 • 5 = - 45 кН.
Бойлық күштердің табылған мәндері бойынша 3.2,б-суретте оның
эпюрасы тұрғызылған.
Ғ=10кН
ЮкН
Я=5кН/м
20кН
3.2-сурет
§ 2.2. Білеудіц көлденең және
көлбеу кималарындағы кернеулер
Білеудің көлденең қимасында бірқалыпты таралған тік күштердің
(кернеулердің) қорытқы күші бойлық N күші болып табылады. Ол тік
кернеумен келесі түрде байланысқан:
Ы=\осіА.
А
" »‘ 'г; * ;
( 1.2)
Мүндағы о - қарапайым ауданшадағы кез келген нүктеде эсер
ететін тік кернеу, А білеудің көлденең қимасының ауданы.
а • сіА = <Ш, <іА - ауданшадағы қарапайым бойлық күш. Кернеудің
эрбір нүктедегі мэнін анықтау үшін, оның қимадағы өзгеру заңдылығын білу қажет. Бүл заңдылық тәжірибе жүзінде аНықталады
Күш әсеріне дейін білеудің бүйір бетіне оның өсіне перпендикуляр
түзу сызықтар жүргіземіз (4.2-сурет). Әрбір сызықты білеудің көлденең
қимасының ізі ретінде қарастыруға болады. Білеуді өстік Ғ күшімен
жүктегенде, бұл сызықтар түзу бір-біріне параллель күйінде қалады,
олар штрих сызықтармен көрсетілген. Осының негізінде күштің
әсеріне деиінгі жазық қималар күштщ эсерінен кеиін де жазық күиін
сақтайды. Бүл тәжірибе жазық қималар туралы Бернулли гипотезасын
растайды. Білеуді шексіз талшықтардан түрады деп есептейік. Кез келген өзара параллель екі көлденең қима созылғанда, өзара параллель
жазық күйін сақтайды, бірақ бір-бірінен белгілі шамаға алшақтайды,
әрбір талшық осы шамаға тең ұзарады. Талшыктардың бірдей үзаруына
бірдей кернеулер сәйкес келеді, сондықтан эрбір көлденең қимадағы
кернеулердің өзгеру заңдылығы тұрақты. Осыған байланысты (1.2)
өрнегіндегі тік кернеуді интеграл алдына шығаруға болады:
N = ашА —а ■А
(2 .2)
N
А
немесе о
а
ғ
г
а
.... ............................... 1
| _
а
Ь' Ь
а
(3.2)
с с
..............................................................1
а' а
............................................................... 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Ь' Ъ
с с
а' а
4.2-сурет
Сонымен, білеуді орталық созғанда немесе сыққанда оның көлденең
қимасында бойлық күштің көлденең қима ауданының қатынасына тең
түрақты тік кернеу пайда болады.
Білеу қимасы әлсізденгенде (тесіктер арқылы), кернеуді есептегенде, көлденең қима ауданының әлсіздігін ескеру керек, яғни (3 .2 )
формуладағы Л-ның орнына Анетто қолданылады.
Тік кернеудің өзгеру заңдылығын білу үшін, оның эпюрасы
тұрғызылады. Бұл эпюраның өсі сырық өсіне параллель. Сырық
қимасы түрақты болғанда, тік кернеу эпюрасының түрі бойлық күш
эпюрасының түріне ұқсас, ал кимасы аинымалы сырық үшін аитылған
екі эпюра бір-біріне ұқсамайды. Мысалы, қимасы сатылы сырық
үшін тік кернеу эпюрасында тек күш әсері бар қимада ғана емес, қима
өзгеретін жерде де секіріс болады.
Көлбеу кималардағы кернеулерді анықтауға тоқталсақ.
Көлбеу қима п-п] мен көлденең қима п-п2 арасындағы бүрышты а
арқылы белгілейміз. Көлденең қиманы сағат тіліне қарсы бұрғанда,
көлбеу қимамен сэй^ес~ке^с^_ай
О^ыш
ы
|
>ң,
кері
жағдайда
теріс
раиғ
таңбалы деп есептейміз. атындағы ПМУ-дің
ікад ем и к С.Бөйсембаев
атындағы ғылыми
КІТАПХАНАСЫ
£
/М (
17
п,
п,
п
п
п,
п.
пик! нормаль
п1
г)
п
Ғ
Ғ
5.2-сурет
Созылу немесе сығылу деформациясында сырық өсіне параллель
талшықтардың ұзаруы бірдей болғандықтан, көлбеу қиманың барлық
нүктесіндегі толық кернеу бірдей.
и-«, қимасы арқылы сырықтан қиып алынған төменгі бөліктің тепетеңдігінен (5.2,б-сурет) р Аа = Ғ.
Мұндағы Аа көлбеу қиманың ауданы. А = Аасоза ескерсек,
Р=
Ғ
Ғ соза
А
асоза.
(4.2)
Толық кернеуді тік ста жэне жанама та кернеулерге жіктесек,
(5.2)
а = рсоза = асоз^а,
с т
т„ = рзіпа = авіпасоза = —зіп2 а.
(6.2)
а
2
Созылғанда - тік кернеу оң таңбалы, сығылғанда - теріс таңбалы.
Ішкі нормальдің бойында жатқан С нүктесіне қатысты жанама
кернеудің векторы денені сағат тіліне бағыттас бұраса, ол оң таңбалы
(5.2,в-сурет), кері жағдайда теріс таңбалы (5.2,г-сурет).
формуладағы
90°), ҒІА (<х 0)
дейін өзгереді. Ең үлкен тік кернеу көлденең қимада пайда болады,
сондықтан сығылған немесе созылған сырықты көлденең қимадағы тік
кернеу арқылы беріктікке есептейді.
.2 ) формуладан жанама і
(а = 45°) о/2=-Ғ/(2А)-ға.
(« -45°) дейін өзгереді. а 0, а 90°-та т 0 , яғнн тік кернеудің
ең үлкен немесе ең кіші мэнге ие болатын қималарында жанама кер-
неу нөлге тең. Өзара перпендикуляр кималардағы жанама кернеулерді
анықтайық. (а2 =>а, - 90°)
„2=^-зіп2а2 =
т
яіп 2 (а, - 90°)= -
а .
діп (і 80° - 2а,) =
,
= — 5іп2а. = -т
Сонымен, өзара перпендикуляр қималардағы жанама кернеулер
өзара тең, таңбалары қарама-қарсы.
§ 3.2. Бойлык және көлденең деформациялар
Үзындығы /, бір ұшы қатаң бекігілген, екінші ұшында Ғ күшімен
тартылған, қимасы тұрақты білеуді карастырайық (6.2,а-сурет). Ғ
күшініц эсерінен білеу толық немесе абсолюттік Д/ шамаға ұзарады.
Білеудің кез келген нүктесіндегі кернеулі күй бірдей, сондықтан е
сызықтык деформациясы барлық нүктеде бірдей. Осыған орай е = Д///
салыстырмалы ұзару немесе салыстырмалы бойлык деформация деп
аталады.
А*
(7.2)
Е_ /
_
6 .2 -сурет
Үзару деформациясы оң (6 .2 ,а-сурет), сығылу деформациясы теріс
(6.2,б-сурет). Созушы күш неғұрлым коп болса, соғұрлым білеудің
ұзаруы көп, керісінше, неғұрлым білеудің көлденең кимасының ауданы
көп болса, согұрлым білеудің ұзаруы аз. Білеудін ұзаруы (қыскаруы),
оның магериалына тэуелді. Білеу бойындағы кернеу пропорционалдық
шектен аспаған жағдайда, тәжірибе жүзінде келесі тэуелділік табылган:
е=
(8.2)
ЕА
Мұндағы N - бойлық күш, А - көлденең қиманың ауданы, Е материалдың физикалық қасиетіне байланысты анықталатын коэффи­
циент.
Е
і
' ''" Т
”
(3.2) формуласын ескеретін болсақ,
е=
с т
(9.2)
1
немесе
о= Ее
Білеудің абсолюттік үзаруы
( 10.2)
М_
Д/ = е/ =
ЕА
( 11.2)
Деформация
та болатындығын алғашқы болып Р.Гук (1660 ж.) түжырымдаган.
математикалык
өрнектері болып табылады.
деформация
тік кернеуге тура пропорционал.
Жоғарыдағы формулалардағы
(серпімділік модуль) деп аталады.
Ол
физикалық
ЕА
созылған немесе сығылған білеудіц көлденең қимасының
қатаңдығы.
( 11 .2 ) формуласы білеудің ұзындығы
қимасы түрақты жағдайда қолданылады.
аралықта
көлденең
деформациясымен
деформация
Білеу сығылғанда, оның көлденең кимасы үлғаяды. Күш эсеріне
дейін білеудіц көлденең өлшемі Ь болса, күш эсерінен кейін ол
Ъ + АЬ. АЬ
деформация
ЛЫЬ салыстыр
деформация
Кернеу серпімділік шегінен аспағанда, тэжірибенің негізінде
көлденең деформация бойлық деформацияға тура пропорционал
болатындығы көрсетілген.
7.2-сурет
( 12.2)
це
/
немесе
(13.2)
ц=
ц-білеу материалына байланысты көлденең деформация коэффи­
циент! немесе Пуассон коэффициенті деп аталады.
Пуассон коэффициент! ц мен серпімділік модулі Е материалдың
серпімділік қасиетін білдіреді, олардың тәжірибе жүзінде анықталған
мэндері 1.2 -кестеде келтірілген.
1 .2 -кесте
Материалдың атауы
Серпімділік модулі
Пуассон
Е, 105 МПа
коэффициент!
2
3
1Күлгін, ақ шойын
1,15-1,60
0,23-0,27
1Көміртекті болат
2 ,0 - 2 ,1
0,24-0,28
1Легирленген болат
2 ,1
0,25-0,30
1Прокатталған мыс
1,1
0,31-0,34
1,15
0,32-0,35
0,91-0,99
0,32-0,42
| Карабелдік жез
1,0
0,36
| Марганецті қалайы
1Д
0,35
1
Жалғасы
1 Фосфорлы
қалайы
| Суықтартылған жез
1Алюминий
0,69
1Цинк
0,84
0,27
0,17
042
Қорғасын
'
¥'
0,32-0,36
1.2 -кесте
1
Шыны
Гранит, әктас, мәрмәр
Қиыршық құм
Қаланған тас
Граниттен
Әктастан
Кірпіштен
Бетон
Ағаш талшық бойымен
Ағаш талшыққа колденең
2
0,56
0,42-0,56
0,18
жалғасы
3
0,25
0,027-0,030
0,146-0,196
0,027-0,0300
146-0,196
0,164-0,214
0,182-0,232
0 , 1- 0 ,1 2
0,005-0,01
0,04
0,07
0 ,1 0
§ 4.2. Созу және сығу диаграммалары
Зерттейтін материалдан жасалған арнайы үлгіні сынау негізінде
оның механикалық сипаттамалары анықталады. Статикалық созылуға
зерттеу кеңінен таралған. Кейбір тас, бетон, цемент т.с.с құрылыс матеиалдары сығуға зерттеледі.
Зерттеу арнайы машиналарда жүргізіледі. Сынақ барысында арнайы
қондырғы үлгіге эсер етуші бойлық күш пен оның ұзаруын байланыстыратын график сызылады, яғни күш пен үзару координат жүйесінде
диаграмма алынады. Материалдың қасиеттерін тереңірек түсіну үшін,
кернеу мен салыстырмалы деформация координат жүйесіндегі диа­
грамма қолайлы. 8 .2 -суретте аз көміртекті болаттың созылу диаграммасы корсетілген.
Созушы кернеу серпімділік шегі деп аталатыи ас мэніне жеткенше
диаграмма түзу сызық, яғни салыстырмалы ұзару кернеуге тура пропорционал, басқаша айтқанда, бұл аралықта Гук заңы орындалады.
&
I
>
I
■
I
е
8 .2 -сурет
Серпімділік шегіне жеткен соң, е кернеуге тура пропорционал емес,
жылдамырақ өзгереді. Кернеу ао аққыштық шегі деп аталатын мәніне
жеткен сон, кернеу өспесе де, деформация өсуін тоқтатпайды, диаграммада абсцисса өсіне параллель аралық пайда болады. Бұл құбылыс материал дың аққыштығы.
Диаграмманың абсцисса өсіне параллель аралық аққыштық аймақша деп аталады. Бұл аймақшада жылтыратып өңделген болат үлгінің
беті күңгірттеніп, оның өсінде 45° бұрыш жасайтын сызықтар пай­
да болады. Бүл сызықтарды орыстың алғашқы атақты металлургі
Д.К.Чернов байқаған (1839-1921). Сондықтан айтылған сызықтар Чер­
нов сызықтары деген атқа ие болған (9.2-сурет).
Металлог рафика зерттеулерінің негізінде аққыштық болат кристалдарының ығысуымен түсіндіріледі, ал Чернов сызықтары осының салдарынан пайда болады.
Үлгінің созылуын жалғастырғанда, кернеу ұлғая түседі. Диаграмманың аққыштық аймағының соңынан ең биік нүктеге дейінгі 1-3
аралық қатаю аралыгы, үлп қирамаи шыдаитын ең үлкен шартты
кернеу беріктік шегі немесе уақытша кернеу ау деп аталады. Үлгінің
ары қарай созылуы созушы күштің кемуіне әкеледі. Беріктік шек о ең
үлкен созушы күшті үлгінің алғашқы көлденең қимасының ауданына
бөлгенге тең.
9.2-сурет
қылта моиын
10 .2 -сурет
Қатаю аралығында күшті өсіргенде, үлгіде жергілікті жіңішкеру қылта мойын пайда болады (10.2-сурет). Бұл құбылыс кезінде шартты
кернеу күшті алгашқы қима ауданына бөлгенге тең, сондықтан күштің
төмендеуіне сәйкес кернеу де кемиді. (8.2-сурет 3-4 аралық). Қылта
мойын қимасындағы нақты кернеу 8.2-суреттегі 3-5 аралықтағыдай
өсуге тиіс.
Нақты кернеу мен шартты кернеудің айырмашылығы беріктік
шекке жеткенде ғана емес, сынақтың барысында да болады, себебі
көлденең деформация негізінде үлгінің қимасы кішірейеді, бірақ
күштің уақытша кернеуге жеткенше айтылған айырмашылығы өте аз.
Сыналатын үлгіні серпімділік шегіне дейін жүктеп, жүктен босатса, үлгінің деформациясы жүктелгенде қандай заңдылықпен өссе, сол
заңдылықпен кемиді, яғни үлгіде тек серпімді деформация пайда бо­
лады.
Көптеген материалдар үшін серпімділік шек пен пропорционалдық
шек сәйкес келеді.
Үлгі серпімділік шектен жоғарыда жүктен босатылса, деформа­
ция толық жойылмайды, диаграммада ол 1-2 немесе Г-2 ' түзулерімен
көрсетілген. Бұл жағдайда үлгініц толық деформациясы серпімділік ес
(ес') жэне пластикалық £пл (е'^) деформациялардан құралады. Жүктен
босатылған үлгі қайта жүктелгенде, диаграмма әуелі 2 -1 (2 '-Г) түзуімен
одан ары 1-3-4 (1-3-4') қисығымен бейнеленеді.
Сонымен, үлгіні қайта жүктегенде, оның пропорционалдық шегі
жүктен босатылған нүктеге дейін өседі. Бұл құбылыс техникада кеңінен қолданылатын шынығу деген атқа ие. Мысалы, электр
желісіндегі сымдардың салбырауын болдырмас үшін, әуелі оны тартып шынықтырады. Шынығу қажетсіз жағдайда (себебі, материалдың
морттық қасиеті жоғарылайды) материалды қыздырып, оны төмендетеді.
Үлгіні созып үзген соң, материалдың пластикалық деңгейі үлгінің
қалдық салыстырмалы ұзаруы жэне қылта мойынның қалдық салы­
стырмалы жіңішкеруі арқылы сипатталады. Бұл шамалар неғұрлым
көп болса, материалдың пластикалық қасиеті жоғары.
Қалдық деформацияның үлгідегі алғашқы ұзындығына қатынасы қалдық салыстырмалы деформация (5) деп аталады. Әртүрлі
құрылымдық болат материалдары үшін, бұл шама 8+28 аралығында.
8=
■100% .
(14.2)
Мұндағы / - үзілген үлгіні бір-біріне түйістіргендегі ұзындығы.
Үзілген қимадағы үлгі ауданының өзгеруінің алғашқы көлденең
қима ауданына қатынасы үлгінің қалдық салыстырмалы жіңішкеруі
(у) деп аталады.
Айтылған қатынас жоғары көміртекті морт болат үшін өте аз шамада болады, төменгі көміртекті болат үшін 60% аралығында.
=
■100%.
(15.2)
Мүндағы А - үзілген үлгінің ең жіңішке қимасының ауданы.
Серпімділік модулінің мәні болаттың химиялық қосылысымен
термиялық өңдеуіне айтарлықтай тәуелді емес.
Кейбір пластикалық материалдарда, мысалы, дюралюминийдің диаграммасында аққыштық аймақ болмайды (11.2-сурет). Мұндай матери­
алдар үшін қалдық деформацияның 0 ,2 %-на сәйкес кернеуді шартты
түрде аққыштық шегі ретінде қабылдап, оны ст0 2 деп белгілейді.
0,2%
Болаттың құрамында көміртегі қоспасы көбейгенде, оның беріктік
шегі артады, ал пластикалық қасиеті кемиді. Орта көміртекті болат
диаграммасында ( 1 2 .2 -сурет) аққыштық аймақ болмайды, аққыштық
шегі ст0 2-ге тең. Жоғары көміртекті шыныққан болат морт (көміртектің
құрамы > 0,7%), ал шойын өте морт материалға жатады.
Күлгін құйылған шойыннан жасалған үлгіні созғанда, қалдықта салыстырмалы ұзаруы 0,015%-дан аспайды.
Морт материалдардан жасалған үлгілерді созганда, қылта мойын
паида оолмаиды, ал созушы күш үлгі үзшгенше өседі.
Пластикалық материалдардан жасалған үлгілерді сыққанда, жайылып, оның қимасының ауданы үлғаяды, осыған байланысты сығушы
күш жэне оған сәйкес шартты кернеулер өседі.
13.2-суретте пластикалық болаттың сығылу диаграммасы көрсетілген.
Сонымен, пластикалық болат сығылғанда, беріктік шегінің физикалық мэні жойылады, ал созылған, сығылған жағдайда аққыштық
шегі бірдей.
Морт материалдар, мысалы, шойын сығылғанда, алғашқыдан бастап Гук заңына бағынбайды, сондықтан диаграмма қисық сызықты
(14.2,а-сурет I қисық).
Шойынның созылу диаграммасы сығылу диаграммасына ұқсас,
бірақ беріктік шектерінде айырмашылық өте көп.
б)
13.2-сурет
1
1
14.2-сурет
\
к*
стусоз = і - - ь - а усш- яғни шоиын
созылуға
өте
нашар
жүмыс
істейді.
3 5
Шойын үлгі сығылғанда, өсіне шамамен 45° бұрыш жасайтын ең үлкен
жанама кернеу эсер ететін ауданшаларға параллель сызаттардың пайда
болуынан қирайды (14.2,б-сурет).
Кейбір материалдардың әртүрлі бағыттағы қасиеттері эртүрлі.
Мүндай материалдар анизотропты деп аталады. Анизотропты материалдарға, мысалы, емен жатады, оның талшық бойымен
қарсыласуы, талшыққа көлденең бағытқа қарағанда, әлдеқайда
жоғары, ал деформациясы төмен. 15.2,а-суретте талшық бойымен,
15.2,б-суретте талшыққа көлденең бағытта еменнің сығылу диаграммасы көрсетілген.
а(МПа)
50
40
30
20
е
15.2-сурет
10
8%
0
16.2-сурет
Кейбір материалдардың деформациясы мен кернеуі уақытқа байланысты өзгереді, бүл құбылыс созылмалылық деп аталады.
Айтылған материалға түрақты күш эсер еткенде, эуелі деформа­
ция жылдам өседі, содан соң кеміп, өсуі тоқтайды, созылмалылықтың
мұндай жеке түрі салдар деп аталады. Күш әсерін жойғанда, белгілі
уақыттан соң, дененің алғашқы өлшемдері толық қалпына келсе,
материалдың мұндай тэртібі серпімді салдар деп аталады.
Созылмалылықтың жеке серпімді түрі релаксация-деформация
өзгермегенде, кернеудің кемуі, мысалы, уақытқа байланысты
тартылған болаттардың бойындағы күштердің кемуі.
Өндіріс пен қүрылыста кеңінен қолданылатын пластмассалардың
қасиеттеріне тоқталайық.
Пластмасса
жасанды материал, оныц артықшылығы: меншікті
салмағы аз, эртүрлі орталарға бейімді, жылу өткізгіштігі төмен,
сыртқы түрі тартымды, даиындау технологиясы қарапаиым.
Пластмассалардың негізгі түрлері: машина жасау өндірісінде тісті
дөңгелек пен мойынтіректердің ішкі бөлігі жасалатын, текстолит
пен ағаш қабыршақты пластиктер, эртүрлі құбырлар жасалатын ви­
нипласт, поливинихлорид және полиэтилен; электротехника, радиотехникада (электр оқшаулағыш материалдар жэне эртүрлі арматура),
кеме құрылыстарында (катер корпустары, бактар т.с.с), автомобиль
(құбырлар)
құрылысында
(эртүрлі құбырлар) т.с.с қолданылатын шынытолқынды анизотропты
материалдар (ШТАМ). ШТАМ өте жоғары берікті материалдарға жатады, оның беріктік шегі —500-5-900 МПа.
ШТАМ-ның қатаңдығы өте үлкен, талшық бойымен созылганда,
Е = 0,35 • 105 МПа, дюралюминийден екі есе ғана кіші.
§ 5.2. Білеудіц көлденең қималарының
орын ауыстыруы
Бір ұшы қатаң бекітілген Ғ күшінің
әсерінен созылған білеудің а нүктесінің
орын
ауыстыру
шамасын
анықтайық
о
(17.2-сурет).
Ол а нүктесі арқылы жүргізілген қима
мен
қатаң
бекітпенің
арасындагы
аё,
о
•о
аралықтың абсолюттік деформациясына
тең. Білеудің аЬ аралығында бойлық күш
/
А1
-о
N нөлге тең, ал Ьсі аралығында N = Ғ, Ьс
<3
мен ссі аралықтарының көлденең қималары
а
әртүрлі, сондықтан асі аралығындағы
бойлық деформация үш аралыктағы
17.2-сурет
деформациялардың косындысына тең.
Д/аЬ, + Д/Ьс + А/са
М асі
Қарастырып отырған аралықтардағы бойлық күштер
NаЬ 0, N Ьс N
ғ.
формуладан
С (І
Е\
Ғ
Е
/
V
/Ьс
+
іеа
\
2
Осы сияқты білеудің өсінде жатқан кез келген нүктенің орын ауыстыруын анықтауға болады.
Екі сырықтан тұратын топсалы жүйені қарастырайық (18.2,а-сурет).
А, В, С топсалары идеалды, сондықтан топсадан сырыққа, сырықтан
топсаға тек күш беріледі, момент берілмейді.
С түйінді кесіп, тепе-теңдік теңдеулері арқылы бойлық Л^, Ыд
күштерін анықтаймыз (18.2,б-сурет). Теориялық механикадан белгілі
болғандай, бір нүктеде түйісетін жазық күштер жүйесі үшін, бір-біріне
тәуелсіз екі теңдеу құруға болады, олар х жэне у өстеріне қатысты про­
екция теңдеулері:
=
- Ы лзіп а 2 + ҺІВ 8 І п =0,
I у = -Ғ 2 + Ил со8а2 + N 0 сова. = 0.
18.2-сурет
Осы теңдеулерден МА, Nв табылады. Деформация өте аз болғандықтан, сырықтар арасындағы бұрыштардың өзгеруі ескерілмейді.
Табылған бойлық күш пен сырық өлшемдерін пайдаланып, (11.2)
формуласы арқылы сырықтардың бойлық ұзаруларын АІЛС, ДІвс жеңіл
табуға болады. Осы деформациялар арқылы С топсасының СС' орын
ауыстыруын анықтайық. СС' орын ауыстыруын х, у өстеріне парал­
лель м, Vекі орын ауыстыруға жіктейміз. АС немесе ВС сырықтарының
орын ауыстыруын оның ұштарының С орын ауыстыруы арқылы
анықтауға болады, ол үшін бұл орын ауыстыруды сырық өсіне проекциялау керек, онда:
АІЛС = и8Іпа2 + Vсоеа 2; АІВС =-м8Іпа( +УС0 8 а (.
Бұл теңдеулерден и, V анықтап, С топсасының орын ауыстыруы табылады.
СС' = ^ + у2.
§ 6.2. Статикі
Деформацияның
Білеу статикалық түрде эсер ететін Ғ күшімен жүктелген
(19.2,а-сурет). Ғ күшінің эсерінен білеуде бойлық деформация пайда
болады, яғни білеудің күш әсері тұрған нүктесі орын ауыстырады,
сондықтан Ғ күші жүмыс істейді.
Ғ күшінің әсерінен 19.2,б-суретте Ғ, 5 координат жүйесінде созылу
диаграммасы түрғызылған. Қандай да бір I уақытқа Ғ күші мен 8 орын
ауыстыруының белгілі мәндері сәйкес келеді. Өте аз <к уақытта Ғ күші
сіҒ-ке өссе, ал білеудің томенгі үшы сІЬ жылжиды. Сонда Ғ күшінің
жүмысы
с18=(Ғ+ сІҒ)сІЬ = ҒЛ5.
(16.2)
сІҒсІЬ екінші ретті аз шама болғандықтан ескерілмейді. (16.2)
өрнегін Ғ = 0, Ғ = Ғ х аралығында интегралдап, күштің толық жұмысын
анықтаймыз.
Ғ=Ғ\
Ғ=Ғ\
Ғ=Ғ\
5 = ск:= ғаъ=
|
Ғ =0
|
Ғ= 0
|
Ғ= 0
сіп=а
(17.2)
Сонымен, 5 жұмысы диаграмманың штрихталған бөлігінің ауданына, диаграмманың тең. Диаграмманың ОАВСБ толық ауданы білеуді
қиратуға кеткен жұмысқа тең.
Ғ күшінің эсерінен білеудегі кернеу пропорционалдық шектен аспаса, П табаны 8, биіктігі Ғ үшбұрыштың ауданына тең. Гук заңынан
ҒІ
8 = Д/ =
онда жұмыс
ЕА
2
„«.г)
2ЕА
(18.2)-дегі Ғ-тен құтылсақ,
Ғ = ЬЕА/1 жэне Ғ = а • А, онда
5 = 82ЕА/(2Г); 5 = а2АІ/(2Е).
(19.2)
Кернеу, серпімділік шектен аспағанда, материалдың электромагниттік күйі ескерілмейді. Энергняның сақталу заңынан сыртқы
күштің жұмысы толық потенциалдық энергияға (Ц)-га айналады. Күш
әсері тоқтағанда, бүл энергия дененің алғашкы өлшемдері мен пішінін
қалпына келтіруге жүмсалады, сонымен:
П =5
(20.2)
(18.2), (19.2) негіздерінде:
ИЯИяВН
2ЕА
21
2Е
(21.2)
7
Соңғы өрнектегі А • I = V білеудің көлемі, онда
и
Ж
2Е
(22.2)
Формуланың екі жағын Ғ-ға бөлсек, деформацияның меншікті
потенциалдық энергиясы табылады:
_Ц__
V 2Е
с т
(23.2)
Потенциалдық энергияның өлшем бірлігі - күш пен үзындықтың
көбейтіндісі, онда меншікті потенциалдық энергияның өлшем бірлігі - күштің өлшем бірлігі.
Қимасы сатылы өзгеретін білеуге бірнеше күштің эсерін қарастырсақ (20.2,а-сурет). Деформацияның потенциалдық энергиясы мен
оған тең сыртқы күштің жұмысын анықтау үшін, (22.2) формуласын кернеудің мэні бірдей білеудің әрбір аралыгына жеке қолданып,
нәтижелерін қосады.
ц ШШ Щ § § Я /(?е )]
(23.2)
/а!
Мұндағы л - аралық саны, а. - г аралығындағы тік кернеу, V. - і
аралығының көлемі.
б)
а)
20.2-сурет
(23.2) формуласындағы V. = А1„ а( ==N. /А. ескерсек,
(24.2)
(17.2) формуласының негізінде потенцналдық энергия мен жұмысты
сыртқы күш арқылы өрнектеуге болады.
п
с/ = ^ = Х № / 2 )
/=1
(25.2)
Білеудің өсі бойымен үздіксіз күш эсер еткенде немесе оның
көлденең қимасы үздіксіз өзгергенде (20.2,б-сурет), қарапайым (IV
көлемде шогырланған деформацияның потенциалдық энергиясы
сШ
=а Ч У /2 Е .
Толық білеудегі потенциалдық энергия келесі өрнекпен анықталады.
а 2сІУ
(26.2)
2Е
Кернеуді о = Ы/А, қарапайым көлемді сіҮ = Асіі алмастырсақ,
і/.Г
(27.2)
Потенциалдық энергияны талдағанда, келесі қорытындылар жасалады:
1. Потенциалдық энергия оң таңбалы, себебі оның өрнегіндегі кер­
неу, деформация, күш квадратталған.
2. Топ күштің әсерінен пайда болған потенциалдық энергия әрбір
күш әсерінен пайда болған потенциалдық энергиялардың қосындысына
тең емес. Потенциалдық энергия кернеу немесе күштің квадратына
тура пропорционал.
3. Потенциалдық энергияның мөлшері күштердің эсер ету ретіне
байланысты емес, себебі кернеу а мен бойлық күш ІУ, бұл ретке тәуелді
емес.
§ 7.2. Білеудің салмағын ескеру
Білеудің өсі вертикаль орналасса, онда салмагының әсерінен ол
орталық созылады немесе сыгылады. Вертикаль білеудің меншікті
салмағы өсі бойымен таралған сыртқы күш ретінде қарастырылады.
Жоғарғы ұшы бекітілген қималары тұрақты білеу тек өз салмағының әсерінде (21.2,а-сурет).
Төменгі үшынан х қашықтықта орналасқан кимадағы бойлық күш
Л^, төменгі бөлігінің салмағына тең.
N = уАх.
(28.2)
Мүндағы ү - материалдың көлемдік салмағы, А - білеудің көлденең
қимасының ауданы.
Көлденең қималарындагы тік кернеу
а
*
ст.г ~ ~А7 =УХ-
(29.2)
Бойлық күш пен тік кернеулердің білеу бойымен өзгеру заңдылығы
21.2,б,в-суреттерде эпюра түрінде көрсетілген.
Білеудің ұзаруы интеграл түрінде анықталады:
. . 'г^йЬс 'г уАх(іх ү г , ү/2
А/= | ^ — = (-------= ± \ хсіх = !— .
{ ЕА о ЕА
Е[
2Е
(30.2)
К )
Соңғы өрнектің алымы мен бөлімін ауданға А көбейтсек,
Д/ = ^
=— ,
2ЕА 2ЕА
(31.2)
мұндағы С = уАІ білеудің толық салмағы. С күші білеудің төменгі
үшында орналасса, барлық қимадағы бойлық күш С-гс тең, ал онын
толық үзаруы Д/ = ОІ/ЕА.
Бойлық күштің орташа мэні —(7/2 (21.2,б-сурет), ол (31.2) формуласынан да байқалады.
Белгілі формуладан деформацияның потенциалдық энергиясы
2 л2 іЗ
/ Аі2йх '( у2А2х2сЬс у 2 Ал2 I
у АI
\х 2<іх =
(32.2)
і/.Г
2ЕА 0
6ЕА
0 2ЕА 0 2ЕА
немесе
и =с2и 6еі.
(33.2)
І-І қимасындағы орын ауыстыру 5/, Да, білеудің ұзындығы а =
к жоғарғы бөлігінің ұзаруына тең. До үзаруы меншікті салмақтың
Са = уАа жэне төмен жақта орналасқан үзындығы (1-а), бөліктің
салмағы С.1-а = уА{1-а) эсерлерінен тұрады. С. , а аралығы үшін сыртқы
күш, ал С күшінен деформация (31.2) формуласымен анықталады
а)
N=0
1
X
№=үАх
1\
'/////////,
“ -ІІ
«3
I
Ч
_
И1
І-а
21.2-сурет
Сонымен,
_
л
_
°і-оа
,
°аа
_
У
л
(1~а)
6 ,= Д а =
ЕА
2ЕА
ЕА
уАа
2ЕА
уо
(2 / - « )
2Е
(33.2)
(33.2)
өрнегінде а орнына әртүрлі мэнді қойып, әрбір көлденең
қиманың вертикаль орын ауыстыруын анықтауға болады. Орын ауыстыру эпюрасы 21.2,е-суретте көрсетілген.
§ 8.2. Мүмкіндік кернеулері. Беріктікке есептеу
Қүрылымдарды есептеудің негізгі мақсаты - оның қызметі барысында беріктігін қамтамасыздандыру.
Морт материалдан жасалған құрылымның барлық элементінде
нақты кернеу беріктік шегінен кем болса, беріктігі қамтамасыз етілген.
Құрылымдағы кернеуді, материалдың беріктік шегін дәл табу мүмкін
емес (беріктік шектерін жуықтау әдістері арқылы анықтайды).
Қүрылымдарды есептегенде, ең үлкен кернеу беріктік шегінен кем
мәннен-мүмкіндік кернеуден аспауға тиіс. Беріктік шекті бірден артық
қор коэффициентіне бөліп, мүмкіндік кернеуді анықтайды. Морт мате­
риалдар үшін беріктік шарт келесі түрде жазылады:
I К з ]; <Усыг В р сн іI
(34.2)
Мүндағы асоз, <5сыі - созылудағы, сығылудағы ең үлкен есептеу
кернеулері, [огаі], [асыг] - созылу мен сығылудағы мүмкіндік кернеулер.
Мүмкіндік кернеулер [асо?], [ а ^ материалдардың оусоз, оусш беріктік
шектеріне байланысты анықталады:
[®си]_
[®сыг ] “
/[^ ] '
(35.2)
Мүндағы [и] — мөлшерлі (қажетті) беріктік қор коэффициента
Пластикалык материалдардың созылудағы, сығылудағы беріктік шектері бірдей, олар үшін беріктік шарт:
•
і
¥ ^ о < [а ].
(36.2)
Мұндағы а қүрылымдағы ең үлкен созушы немесе сығушы кернеу.
Пластикалык материалдар үшін мүмкіндік кернеу:
Н = # г
К]
(37-2)
Мүндағы, [п^ - аққыштық шегіне қатысты мөлшерлі (қажетті)
беріктік қор коэффициента
Пластикалык материалдарда кернеу аққыштық шекке жеткенде, күштің аз ғана ұлғаюында деформация жылдам өседі, сондықтан
мүмкіндік кернеуді анықтағанда, аққыштық шек қолданылады.
(34.2), (36.2) шарттары негізінде беріктікке есептеу мүмкіндік кер­
неу арқылы есептеу деп аталады.
Пластикалық материалдардан жасалған кейбір кұрылымдарда кер­
неу аққыштық шекке жеткенде, эсер етуші күш айтарлықтай ұлғайганда, деформация жылдам өспейді. Оларға статикалык аныкталмаған
жэне элементтері иіліп бұралатын жүйелер жатады. Мұндай
құрылымдар мүмкіндік кернеу (34.2), (36.2) немесе шеткі күй арқылы
есептеледі. Соңғы есептеуде мүмкіндік күшті шеткі мүмкіндік күш
деп атайды.
Құрылымның созылған немесе сығылған элементінің кез келген
қимасы беріктік шартты қанағаттандыруға тиіс. Ол үшін ең үлкен
созушы немесе сығушы кернеу пайда болатын қауіпті қиманы дүрыс
таңдай білген жөн.
Білеудің ұзына бойы бойлық күш түрақты болса, ең кіші көлденең
қима қауіпті.
Құрылымды беріктікке есептегенде, үш түрлі есептеу кездеседі.
1. Кернеуді тексеру (тексеру есебі).
2. Қиманы таңдау (жобалау есебі).
3. Күш көтергіштігін анықтау (мүмкіндік жүкті анықтау).
Кернеуді тексергенде, көлденең қималардың аудандары А мен
бойлық күш N белгілі. Қауіпті қимадағы кернеуді анықтап мүмкіндік
кернеумен салыстырады:
(38.2)
Қиманы таңдағанда, бойлық күш пен мүмкіндік кернеу белгілі.
Таңдалатын аудан беріктік шартты қанағаттандыруға тиіс:
А > [А] = N1 [а].
(39.2)
Жүк көтергіштікті анықтағанда, қиманың ауданы мен мүмкіндік
кернеу белгілі. Осы шамалар арқылы күштің мүмкіндік мәні [А^
анықталады. [Щ = А[а]. [ІУ] мэні бойынша сыртқы күш табылады.
Беріктік қор коэффицеинттерінің мәндері қүрылымдардың жауаптылығына байланысты тағайындалады. Жеке жағдайларда қүрылым
салмағын кеміту үшін, беріктік қор коэффициенттері томендетіледі,
машиналардың үйкелетін бөлшектерінің тозуын, коррозия мен шіруін
ескергенде, беріктік қор коэффициенті үлғайтылады.
Әртүрлі материалдар үшін беріктік қор коэффициенті келесі
аралықтарда қабылданады:
[п 1 = 2 , 5 - 5 жэне [и 1 = 1,5 - 2,5.
Беріктік қор коэффициенттері мен мүмкіндік кернеулер қүрылымдарда жобалау нормативіне байланысты шектеледі. Машина жасау
өндірістерінде мүмкіндік кернеулердің ішкі мөлшерлері бар.
§ 9.2. Шеткі күй
Құрылым элементтерін шеткі күйге есептеу міндетті, бұл әдісті дамыту негізінде күш көтергіштің мүмкіндігіне есептеу алға қойылды
(материалдын пластикалық қасиетін ескеру).
Күш көтергіштік мүмкіндігіне есептегенде, жүйенің жалпы бір
ғана қор коэффициенті енгізілген. Бүл коэффициентпен құрылымға
эсер ететін жүктеменің көптігін, жұмыс істеу шартын, материалдың
беріктік сипаттамаларын ескеру өте қиын. Осыған орай, жалпы қор
коэффициентін бірнеше топқа белуге тура келді.
Құрылым қызметінің барлығында жүктеменің көптігін ескеретін
пк, бірінші топ коэффициенті қабылданады. Құрылым қызметінің
қанағаттанарлық жүмысына сәйкес, жүктеме N н нормативті жуктеме деп аталады, бірақ бұл күш кейде көптеу болуы да мүмкін.
Қондырғыны жөндегенде, орнын ауыстырғанда,
шамасы артығырақ
жағдайға душар болуы мүмкін. Жүктің мүндай артықшылығы п
коэффициенті арқылы ескеріледі. Жүктің көптігін ескеретін коэффици­
ент пен нормативті күштің көбейтіндісі есептеу күші деп аталады:
N = N Н-п
(40.2)
Екінші топ коэффициенттері қолданылатын материалдардың
біртекті еместігін ескереді. Уақытша кернеу немесе аққыштық шек
бір топтағы материалдар үшін де тұрақты емес. Қүрылымдардың
құрылысы мен қызметі кезінде есептеулерде материалдың біртекті
еместігін ескеретін, п 6 енгізіледі. Аққыштық шегі ао мен п . көбейтіндісі есептеу кедергісі деп аталады (/? = ао • п^.
Нормативті құжаттарда Я мәндері кестеде келтіріледі.
Үшінші топ коэффициенттері - құрылымның жүмыс істеуі мен
олардың элементтерінің жасалу шарттарын ескеретін коэффициент
пш. Жеке қүрылымдардың қызметінде пайда болатын ерекше факторларды пш коэффициенті арқылы жояды. Мысалы, құрылымның нақты
қызметін есептеу болжамдарымен сәйкес келмейді, кейбір жағдайларда
жауапты құрылымдардың сенімді қызметін жоғарылату т.с.с.
Темірбетоннан жасалган элементті есептегенде, пш арқылы армату­
ра жұмысының ерекшелігі ескеріледі.
К
Есептеу кедергісі мен пш көбейтіндісі шартты есептеу кедергісі деп
аталады:
Оның мэндері нормативтік құжаттарда беріледі. Айтылған коэффициенттер есептеулерде бір-біріне байланыссыз қабылданады.
Зертханаларда құрылыс материалдарының физикалық, механикалык қасиеттерін зерттегенде, құрылыс тэжірибесін негіздеу барысында есептеу коэффициенттерінің (пқ, п6, пш) мәндері табылған.
Қабылданған коэффициенттерге байланысты, құрылысқа жүмсалатын
материалдардың мөлшері анықталады, сондықтан олар жобалау нормаларында келтіріліп, оны жобалаушы міндетті түрде білуге тиіс.
Қызмет көрсету талаптарына сәйкес емес, яғни сыртқы жүктемелер
эсеріне қарсыласу қабілетін жоғалтуы кұрылымның шеткі күйі деп
аталады.
• ^ г - д 'ъуй
Шеткі күйге есептеудің мақсаты - құрылыс конструкцияларын
шеткі күйге жеткізбеу.
Шеткі күйге есептеудің түрлері келесідей бөлінеді:
1. Бірінші шеткі күй - күш көтергіштік мүмкіндігі (беріктік,
орнықтылық, шыдамдылық).
2. Екінші шеткі күй - деформация бойынша.
3. Үшінші шеткі күй - сызатқа қарсылық (сызаттың пайда болуы
немесе сызаттың ашылуы).
Есептеу негізінде табылған күш (кернеу, деформация, сызаттың
өлшемдері) қабылданған нормадан аспауға тиіс.
Қызметтегі қүрылымға, сырттан эсер етуші ең үлкен жүк (күштің
көп болуы, қар, жер, т.с.с) күш көтергіштік мүмкіндігінен аспауға тиіс,
бірінші шеткі күй есептеулері үшін жалпы түрдегі бүл шарт:
Ы =Ф(п
К
8).
4 Ш Ш 7
Мұндағы N - қызметтік есептеу күштерінің тиімсіз жиынтығын
білдіретін есептеу күші.
коэффициент
Яш- құрылым материалының шартты қарсыласу күші.
5 - қиманыц геометриялық сипаттамалары.
Екінщі шеткі күй бойынша есептеу төмендегідей жүргізіледі:
А</
Мұндағы А
қалыпты
функциясы ретінде анықталатын орын ауыстыру немесе деформация
/ - құрылым міндетіне байланысты қабылданатын деформацияның
шеткі мәні.
Үшінші шеткі күй бойынша анықталатын сызаттың өлшемі
мүмкіндік сызаттың шеткі мәнімен салыстырылады.
Екінші, үшінші шеткі күй есептеулерінің ерекшеліктері қолданылатын материалдардың қасиеттеріне байланысты (темірбетон, металл,
ағаш т.с.с) арнайы әдебиеттерде келтірілген.
Бірінші шеткі күй есептеулерін төменгі мысалмен көрсетейік.
Көлденең қимасы Аб темірбетон қадағындағы арматураның А
қимасының ауданын табу керек.
Арматура мен бетонның есептеудегі шартты қарсыласулары
тиісінше К , Я. болсын.
Қадаққа өсі бойымен эсер ететін норматнвті күш - АГн, жүктің
көптігін ескеретін коэффициент - пк. Қадақтың жұмыс істеу шартын
білдіретін коэффициент - п .
Қадақтың ең төменгі жүк көтергіш мүмкіндігі [ТУ], арматура [ЛП
мен бетонның
жүк көтергіш мүмкіндіктерінен құралады:
И =а д +т і
Бетонның төменгі жүк көтергіш мүмкіндігі [ДГ] = Я6 • Аб, ал армату­
ра үшін [ЛГ] = К • А .
Бетон мен арматураның жалпы жүк көтергіш мүмкіндігі
№ = пт(Кб Аб + К
А ).
Қадақтың осы ең төменгі ағуы - көтергіш мүмкіндігі ең үлкен
сыртқы әсерден кем болмауға тиіс:
[ЛГ) > И "' пк.
(40.2) ескерсек, N < пш(Кб ■Аб + Ка - А^.
Теңсіздіктің орындалуы қадақ қызметі барысында шеткі күйдің
болмауын қамтамасыз етеді. Соңғы өрнектен Аа анықталады.
§ 10.2. Жергілікті кернеулер
Қүрылыста қолданылатын сырықтарда оны элсіздендіретін тойтарма шеге немесе болтқа арналған тесіктер, ойықтар т.б. жасалады, сондықтан сырықтың көлденең қималары үзына бойы өзгереді.
Көлденең қиманың өзгеруі, созылу немесе сығылу кернеуіне эсері
қандай деген сұрақ туады. Ойық немесе тесік бар қимадағы кернеулер
оңай анықталмайды.
а
п
п
22.2-сурет
а)
ғ
А
Көлденең қимасы тұрақты сырықтардағы
кернеу бірқалыпты таралады. Қиманың әрбір
нүктесіндегі кернеуді көрсету үшін, оның
эпюрасы салынады (22.2-сурет). Сырықта
ойық немесе тесік жасалса, кернеудің бірқалыпты таралуы бұзылады. Ойық пен
тесіктің түбіндегі кернеу тез өседі, бірақ ол
жылдам төмендеп, ары қарай теңеседі.
23.2,а,б,в-суреттерде тесік, ойық немесе
қиманың лезде өзгеретін жерлеріндегі кернеулердің таралу заңдылықтары көрсетілген.
б)
в).
ІШ
^Ш
.шЗ ІШІІІІІ
23.2-сурет
Эпюралардан кез келген қиманың лезде өзгеруі кернеудің өсуіне
немесе, басқаша айтқанда, кернеудің шоғырлануына экеліп соғады.
Бұл шоғырланудың себебі шоғырлану факторы деп аталады.
Шоғырлану кернеулері жергілікті кернеулер аж деген атқа ие болады.
Жергілікті кернеу деп аталу себебі —ол өте аз ауданшада ғана эсер
етеді.
Жергілікті кернеулер тек тесік пен ойықтың маңында ғана емес,
беттегі кесілген, сызылған т.с.с аймақта да орын алады, сондықтан
бетті өте мүқият өңдеу тек эстетикалық түрғыдан емес, оның беріктігін
қамтамасыз ету үшін де қажет.
Кернеулерді анықтағанда, нетто Ан мен брутто Аб деп аталатын аудандарды ажырата білу қажет.
Аб
қиманың толық ауданы, Ан - толық ауданынан тесік (ойық) ауданын алғандағы аудан.
Эсер етуші күшті нетто Ан бөлгенде, кернеудің орта мэні табылады:
'
Ғ /
(41.2)
Жергілікті кернеу келесі формуламен анықталады:
а ж= а ш-Г '
(42-2)
4
Мұндагы а ю- кернеу шоғырлануының теориялық коэффициент!
а ш=
ст
(43.2)
ор
Шоғырлану коэффициенті а негізінде көлденең қиманың қаншалықты лезде өзгеруіне байланысты.
Өте сүйір бұрыш үшін а = 8+10, сырықтың көлденең өлшемімен
салыстырғанда, тесіктің диаметрі кіші болса а = 3, жарты дөңгелекті
ойықта аш= 2,5.
Шоғырлану коэффициенттері серпімділер жэне пластикалык теорияларынан немесе тәжірибе жүзінде анықталады.
§ 11.2. Жергілікті кернеулерді ескеріп
беріктікке тексеру
Сырықта кернеу шоғырлануын туғызатын себеп болса, жергілікті
кернеулердің мәні айтарлықтай болатындығына көз жеткіздік.
Қимасы тұрақты сырықтарды беріктікке тексеру шоғырлану кезінде
дүрыс нәтиже бермейді.
Жергілікті кернеудің мэні а^-ға жеткенде (уақытша кернеу),
сырықта сызат пайда болады. Сызатты шогырлануды туғызатын өте
сүйір бұрышты себеп деп есептеуге болады. Бұл себеп жергілікті
кернеудің мэнін өте жоғарылатады, ал қиманың А ауданын кемітеді,
сызат үлғая түсіп, сырық қираиды.
Сондықтан
немесе
а
в _ < —к
(44.2)
— <——.
Ан а ш к
(45.2)
Сонымен, есептеуде^4ненгізіледі, ал қирауға қарсы қор коэффициенті
а есе өседі.
Барлық морт материалдарда шоғырлану себебі (бос орын, беттік
сызаттар т.б.) болатындықтан, мүмкіндік кернеуді шоғырланудың
кұрылым себебіне байланыссыз қабылдайды. Сырықтардың қирауына
қарсы қор коэффициенті морт материалдар үшін 2-2,5 есе көп алынады.
Сырық морт материалдардан жасалса, а ш 2+2,5 аспаса, беріктік
шарт келесі түрде жазылады:
Ғ
<ы.
АН
(46.2)
(46.2) шартын қолдану үшін, барлық ойықтары, қиманың лезде
өзгеруі жайлап жасалынуы, өте сүйір бүрышты сызаттар болмауға тиіс.
Айтылған шарттар орындалмаса, беріктік (45.2) өрнегімен тексеріледі.
Шоғырланудың ішкі себептерінің салдарынан сырыктардағы
уақытша кернеу теориялық мэнінен элдеқайда жоғары болады.
Айталық, теориялық коэффициент а ш
3 болса, онда уақытша
шоғырлану кернеуі а а -дан 3 есе кем болуға тиіс. Тәжірибенің
көрсетуі бойынша а —о / а .
Сондықтан (45.2) формуласындағы теориялық шоғырлану коэффициентінің орнына, шоғырланудың тиімді коэффициент^ а деп аталатын шама қолданылады:
Ғ < а
АН а п,ш
V
(47.2)
к
Жоғарыдағы келтірілген формулалар морт материалдарға арналған.
Пластикалық материалдардан жасалган сырықтардың беріктігі
қалаи тексерілетшдігіне тоқталаиық.
Тесігі бар сырық Ғ күшімен созылған, он да кернеу 24.2,а-суреттегідеи таралады.
К *
а)
б)
Ш
Ж
лУЕ
Ғ,
в)
V
О.
ТҒ
Күштер өскенде, кернеу серпімділік шектен аспағанда, жергілікті
кернеу а аққыштық шегіне а дейін өседі. Тесіктің шетіндегі талшық
күшті қабылдамайды, ондағы кернеу аққыштық шегіне тең күйінде
сақталады. Кернеу аққыштық шегінен төмен көрші талшықтардағы
кернеудің аққыштык шегіне жеткенше күшті қабылдайды (24.2,б-сурет). Күштің ары қарай өсуінен қнмадағы барлық кернеу аққыштық
шегіне жетеді (24.2,в-сурет). Одан ары күшті өсіруге болмайды, себебі
сырық шеткі күйге жетті, осы күйдегі күш:
(48.2)
Сырықты Ғ дейін жүктемей, оның I / к бөлігін ғана алатын болсақ,
чЖ
О
ғ
ғ< —
к
(49.2)
немесе беріктік шарт
(50.2)
Сонымен, пластикалық материалдардан жасалған шоғырлану
себебі бар сырыктарды беріктікке есептеудің түрақты қималы
сырыктарды есептеуден ешқандай айырмашылығы жоқ, тек Абр орнына Ан кабылданады. Жоғарыда айтылған түжырымдар тек күштің
статикалық эсерінде дүрыс нэтиже береді.
§ 12.2. С тати к ал ы қ ан ы қталм аған жүйелер
Берілген сыртқы күштін эсерінен білеу мен топсалы сырық
жүйенің бойындағы ішкі күштер тек статика теңдеулерімен табылса, жүйе статикалық анықталған. Ішкі күштерді анықтауға статика
теңдеулері жеткіліксіз жүйелер статикалық анықталмаған деп атала­
ды. Мұндай жүйелерді есептеу үшін, оның деформациясын сипаттайтын, (деформацияның бір тұтастық теңдеулері) қосымша теңдеулер
қажет. Айтылған теңдеулердің саны жүйенің статикалық анықталмау
дәрежесіне тең.
Статикалык анықталған жүйелердің элементтеріндегі ішкі күштер
тек сыртқы күштің эсерінен пайда болады. Статикалык анықталмаған
жүйелердің элементтеріндегі ішкі күштер тек сыртқы күштердің
эсерінен ғана емес, температураның өзгеруінен, жеке элементтердщ
дәлсіздікпен жасалуынан, тіректің жылжуынан т.с.с себептерден де
пайда болады.
Статикалық анықталмаған жүйелерді есептегенде, қосымша дефор­
мация теңдеулерін құру - өте маңызды мәселенің бірі.
а)
|и в
25.2-сурет
1.
Екі ұшы қатаң бекітілген, көлденең қималарының аудандары
А{, А2, А3 25.2-суретте көрсетілген білеуді қарастырайық. Ғ күштің
эсерінен тіректерде Кд, Кс реакциялары пайда болады. Барлық күштер
бір түзудің бойында жатқандықтан, статикадан тек бір теңдеу жазылады (25.2,а-сурет):
2> = /гя + Лс - Ғ = 0.
(51.2)
Кд, Кс белгісіздері бір теңдеуден табылмайды, қосымша тағы бір
теңдеу қажет, онда жүйе бір рет статикалық анықталмаған болып
есептеледі.
Қосымша теңдеуді қүру үшін, төменгі қатаң тіректен босанып,
оның әсерін Кд реакциясымен алмастырамыз (25.2,б-сурет).
Ғ күшінің эсерінен тек оның жоғарғы бөлігі деформацияланады,
білеудің толық орын ауыстыруы ҒаІЕАу
Кв реакциясының әсерінен білеу толық деформацияланады, оның
мәні үш аралықтың деформацияларының қосындысына тең:
Ква КВЬ Квс
ЕАХ ЕА} ЕАЪ
Шындығында, білеудің төменгі бөлігі қатаң бекітілгендіктен, бүл
қиманың орын ауыстыруы нөлге тең, онда:
Ға
Е КА{ А2 А3
ЕА
Кп —
(52.2
і —” н----- к
Жоғарыдағы теңдеулерден Кв анықталады. Тірек реакциялары белгілі болған соң, білеу статикалық анықталған жүйе ретінде
есептеледі.
2.
Шеткі екі сырықтың өлшемдері бірдей болаттан, ортадағысы мыстан жасалған үш сырықтан тұратын жүйенің О нүктесі төрт күштің Ғ,
Н2, ІУ, эсерінен тепе-теңдік күйде болады (26.2,а-сурет). Күштердің
соңғы үшеуі - бойлық күштер-белгісіздер.
Теориялық механикадан бір нүктеде түйіскен жазық күштер жүйесі
үшін, тек екі тепе-теңдік теңдеуі жазылатыны белгілі (£л: = 0,
= 0)Белгісіздер теңдеулер санынан бірге артық жүйе бір рет статикалық
анықталмаған.
Статика теңдеулері келесі түрде жазылады (26.2,б-сурет):
£ дг=
=
8іп а - ТУ, зіп а = 0 ,
сова + А^ сова + Л^ - Ғ = 0.
Бірінші теңдеуден ІУ, =
болатындығы ескеріліп, екінші теңдеу
келесі түрде жазылады:
М3 + 2А^,со8а = Ғ
(53.2)
екі белгісізді бір теңдеу.
Қосымша теңдеуді жазу үшін, жүйенің деформациясын карастырамыз. Ғ күшінің эсерінен үш сырық та ұзарып, О нүктесі төмен
ауысады.
= И2 және сырықтар бір материалдан жасалғандықтан,
бірінші, екінші сырықтардың ұзаруы Д/,, Д/2 өзара тең, сондықтан О
нүктесі тік төмен түседі. Үшінші сырықтың ұзаруы Д /.
Сырықтардың ұзаруы бір-біріне тәуелді, яғни деформациядан кейін
де олар Ох нүктесінде түйіскен күйде қалады. Сырықтардың алгашқы
ұзындықтары Д/, = ОВ{ мен Д/2 = ОС. ұзарып жаңа үзындыктары ВВХ,
СС, 27.2,в-суретте бейнеленген. СС, мен ВВ} С жэне В нүктелерінің
айналасында айналдырсақ, О нүктесі жаңа орынға, 0 1 нүктесіне
қөшеді. Деформация өте аз болғандықтан, СІ0 І, В]0 1 кесінділері СС,
мен ВВХ-ге перпендикуляр деп есептеледі. Шеткі сырықтардың жаңа
орны ВОх, СОх үзік сызықтармен көрсетілген, ортаңғы сырықтың ұшы
О нүктесінде топсамен бекітілгендіктен, ол О і нүктесіне көшеді, яғни
ООх = Д/3 - үшінші сырықтың ұзаруы.
Гук заңы бойынша сырықтардың үзаруы Д/ , Д/2, Д/3, оларды созатын бойлық күшке тура пропорционал. 26.2,в-сызбасынан ұзаруларды
бір-бірімен байланыстырсақ, қосымша деформацияның біртұтастык
теңдеуін аламыз. 0 1В10 үшбұрышынан
ОВ1= ООхсоза немесе А1{ = Д/3соза
(54.2)
Д/,, Д/3-ті бойлық күштермен өрнектеу үшін, сырықтардың көлденең
қималарының аудандары немесе олардың қатынастары белгілі болуға
тиіс.
Сырықтардың көлденең қималарының аудандары А {, А2, серпімділік модулдері Е,, Е онда:
Д/, =
Д/, =
Е6А\
Бүл өрнектерді (47.2) қойсақ,
ЕлЛ
Ш4
ЕЛ
АОӘ үшбүрышынан /3 = ^соза ескеріп,
Е
А
Ш = Л/3 —
ЕЛ
соз2а.
(55.2)
Сонымен,
мен 7У3 байланыстыратын қосымша теңдеу алынды.
(48.2) өрнегін (46.2)-ге қойып:
+ 2МЪ 6 1со83а = Ғ немесе
ЕУАз
Г
;
1+ 2———со8 а
Щ5
(48.2)-ден
Ғ
со82а
Ғ л
N
м
3
______
=
А
/
іү1
/7 Л
2*
1+ 2 ---- -- соз3а
Ш
Табылған өрнектерден бойлық күш N қима аудандары мен серпімділік модульдеріне тікелей байланысты емес, олардың қатынастарына
тәуелділігі байқалады. п = АХІА3 эртүрлі мәніне
Л^2, Щ әртүрлі
мэндері сәйкес келеді.
Мүмкіндік кернеу мен табылған күштердің негізінде беріктік шарттан қиманың аудандары анықталады:
%
г 1 N.
К1
г
і
(56.2)
Бірінші шарттан А ] анықталып, л = Л,Л43-тен, А3 = Щ/я табылады.
Табылған мәндер (49.2)-нің екінші шартын қанағаттандыратындығына көз жеткізу керек, егер қанағаттандырмаса, екінші шарттан, А}
анықталып, Ах = пАъ табылады.
3.
27.2-суретте көрсетілген жүйе абсолютті қатты білеу тіректерге
жэне болаттан жасалған екі ККІ мен СС, сырықтарға бекітілген.
Беріктік шарттан мүмкіндік жүктеме [(?], шеткі () жэне шеткі
мүмкіндік [0)шжүктемелерді анықтау керек.
¥штары топсалы бекітілген КК{, СС} сырықтарының реакциялары
ІУ2 сырық бойымен бағытталған, В нүктесін горизонталь, вер­
тикаль бағытта жылжытпайтын В тірегінде, Нв, Кв горизонталь жэне
тік реакциялары пайда болады. Сонымен, жалпы белгісіздердің саны төртеу, жазықтықта статиканың үш теңдеуін қүруға болады, жүйе бір
рет статикалық анықталмаған. Есептің шарты бойынша бойлық /V,,
күштерін анықтаймыз, Нв, Ид реакцияларын анықтаудың қажеті жоқ,
теңдеу жазылса жеткілікті:
Ү м ,
N.0 0080.. - N 1Ьсо$а.2+ ^(Ь + с).
(57.2)
а)
б)
а
в
в
\\\\
в)
27.2-сурет
Қосымша теңдеуді құру үшін, жүйенің деформацияланған түрін
қарастырамыз (27.2,б-сурет). Үзік сызықпен білеудің деформациядан кеиінгі өсі көрсетілген, ол түзу күйін сақтайды, себебі білеу
абсолютті қатты, К, С топсалары К \ С' күйге көшеді. КК'В жэне СС'В
үшбүрыштарының ұқсастықтарынан
81 _ а
Ъ2 в
(58.2)
А/! = 5,00801,; Д/2 =62со8а
немесе
Д/, _ ясоза,
Д/2 6с о з а 2
(59.2)
г'
*»
л
/
МьҺ
Гук заңынан А/, = ——, Д/, = —^ , онда (52.2)-ден
1Ц
^ іі1А2
Л^2/2Д
асо за.
Ъсо$а2
(60.2)
(573.2)
теңдеуін (60.2)-мен бірге шешіп, ІУ,, ТУ2 анықталады. ІУ,, А^-ні
сэйкес сырықтардың аудандарына бөліп ар а2 тік кернеулер табылады.
Табылған кернеулердің үлкенін мүмкіндік [о] кернеумен салыстырып, жүктеменің мүмкіндік мэні [£?] анықталады. Оның мэні [С>]-дан
жоғары өскенде, екі сырықтағы кернеу де эуелі жүктемеге пропорционал өседі. Мысалы, а, > а2 болса, [0] а, = [а] шартынан табыла­
ды, ал ()-дің мәні белгілі 0, > [(?] жеткенде, бірінші сырықтағы кернеу
аққыштық шегіне оо жетеді, екінші сырықтағы кернеу с2 ао-дан томен.
Жүктемені ары қарай өсіргенде, бірінші сырықтағы кернеу өседі,
ао шегіне жетіп, тұрақты күнде қалады, содан соң екінші сырықтағы
кернеу өсіп, оа шегіне жетеді. Жүйенің бұл күйі шеткі күй деп аталады
Ш. = стА„ N. = о АХ
Жүктеменің шеткі мәнін () = ()шанықтау үшін, В нүктесіне қатысты
келесі теңдеуді жазамыз:
= -&аАхсоза, а - о аЛ2соза2 Ь + <2Ш(б + с)= 0
немесе
= ——(Л.соза. -а + А7со8а0- Ь \
Ь+с
'
коэффициенті
ш
(бі.2)
(61.2)
өрнегіндегі [«] = аД а] қабылданса, онда шеткі мүмкіндік жүк
[£?1, мүмкіндік [0] жүгінен артық болады.
3. Монтажды кернеуді анықтауға тоқталсақ.
Жоғарыдағы мысалдардың негізінде статикалық анықталмаған
жүйелердің төмендегідей ерекшеліктері болатындығына көз жетті:
1. Белгісіздерді анықтауға қажетті қосымша теңдеулер жүйенің
деформацияланған күйінен анықталады.
2. Жүктің жүйе элементтеріне бөлінуі олардың қима аудандарының
серпімділік модулдерінің қатынасына, элементтерінің ұзындыгына
байланысты.
3. Элементтің ұзындығы неғүрлым қысқа, көлденең қимасы мен
серпімділік модулі неғұрлым үлкен болса, ол жүктің айтарлықтай
бөлігін қабылдайды.
Төменде көрсетілген, үш сырықтан түратын жүйенің ортадағысы
жобадан мэні өте аз 8 = ОО0-ге қысқа жасалған (28.2-сурет), ортаңғы
сырықтың О0 ұшын шеткі сырықтардың ұштарымен О, нүктесінде
қосу үшін, оны Д/3 = ОО,-ге созып, шеткілерін Д/, = ОВ = ОС -ге сығу
қажет.
С,, В} нүктелерінен шеткі сырықтардың бастапқы бағытына перпен­
дикуляр түсірсек, үш сырыктын
түйіскен нүктесі О, табылады. Сызбадан деформацияның бір тұтастық
теңдеуі
0
,
0
х
+
0
,0
О Р
немесе
8 = Д/3 + - ^ -
соза
(62.2)
Статиканың тепе-теңдік теңдеуі
28.2-сурет
-
2іҮ.соза = 0.
(62.2) өрнегіне Гук заңын пайдаланып,
д/і=Ж
д/ _
ЕбЛ
_ А^з/, С05а
ЕЛ
ЕЛ
(62.2), (63.2) бірге шешіп,
8Е м А3
I
1+
2ЕбАх соз а
N
2со$а
(63.2)
табамыз. Күштердің алдындағы оң таңбалары олардың бағыттарының
дұрыстығын білдіреді.
Есептеудің негізінде, сыртқы күш әсері болмаса да, элементтердің
дэлсіздікпен жасалуы жүйеде кернеу туғызады.
Үш сырық бір материалдан жасалса, Ғ күшінің әсерінен ортаңғы
сырықтағы созушы күш шеткі сырықтардағы сығушы күштерден
артық, карастырған дәлсіздік ортаңғы сырықта қосымша созушы,
ал шеткілерінде сығушы күштерді туғызады, сонымен, алғашқы
кернеудің болуы сырықтардың бірқалыпты жүмысына айтарлықтай
кедергі болады, сондықтан ортаңғы сырық жобадан 5-ға үзынырақ
жасалғанда, онда бастапқы кернеу таңбасын өзгертіп, сырық арасындағы күштердің бөлінуін қалыптастырады.
Әртүрлі материалдардан жасалган сырықтардың созылуы мен
сыгылуы.
Сырықтардың бұл түрі статикалық анықталмаған жүйелерге жатады. Диаметрі сі6 болаттан жасалған өзек сыртқы диаметрі сі қалыңдығы і сақнналы қалайыдан жасалган сырьщтың ішіне орналасқан
(29.2-сурет).
б)
29.2-сурет
а)
Е
б)
Е
Ақ, Аб - қалайы құбыршаның, болат сырықтың көлденең қималарының аудандары Е , Еб - тиісінше серпімділік модулдері.
Ғ күшін қабылдайтындай сырыктардың көлденең қималарының аудандарын анықтау керек.
Ғ күшінің эсерінен әрбір сырықтағы аб, ақ кернеулерді аныктаймыз.
Күштің бір бөлігі қалайы құбыршаға, келесі бөлігі болат өзекке
беріледі (30.2-сурет). Айтылған екі күшті анықтау үшін, статиканың
бір теңдеуі жазылады:
• ғ.
(64.2)
6
К
Есеп статикалық анықталмаған, қосымша теңдеу сырықтардың
деформациялануынан анықталады. Ғ күшінің әсерінен сырыктардың
екеуі де бір шамага Д/ қысқарады:
Д
ЕЛ
Ғ*1
ЕбАб
(65.2)
27 _ 17
немесе
4А
(64.2) теңдеуге қойып,
Ғ
=ғ
Одан
Ғ
Ғ, =
Аб
Еб
1+
А І
Е.
А. Е.
К
1+
А
Ғ
1+
Е
ғ
Ғ
ё*.'
А+А
Е
Е,
Күштің статикалық анықталмаған жүйелердің элементтеріне
бөлінуі элементтердің қималарының аудандары мен серпімділік
модулдерінің қатынастарына байланысты.
Ғ1
(65.2) өрнегіндегі
=а
А
Ғ
6
К
А
а
ескерсек
а
О
Кернеулердің бөлінуі серпімділік модуліне тура пропорционал.
Болаттың мүмкіндік кернеуі қалайыға қарағанда шамамен үш есе
үлкен, егер қалайы құбыршада кернеу мүмкіндік шегіне жетсе, болат
өзектегі кернеу мүмкіндік мәнінен төмендеу болады. Сырықтардың
өлшемдері беріктік шарттан анықталады.
°* = ----- ~~~Ғ~ = - Г ..ҒР
К
. ч * К ]•
(62.2)
I ХщАу
Ғ = 250 кН, аудандарының қатынасы
ЕҚ = 1 • 105 МПа,9 Е6= 2 • 105 МПа.
= 2 деп қабылдасақ,
[а 1 = 50 МПа = 5 кН/см2, онда —
— - <5
^
4 0 + 2-2)
250
немесе Д. £ ---- = 10см ,
5-5
Ая =2 -10 = 20 см2.
2
Болат дөңгелектің ауданы — —= А6 , онда диаметрі
4
44
4-20 , „
(іл = А—— = /------=5,05 см «51 мм.
6
я
V 3,14
Температуралық кернеу.
Сыртқы күштің эсері жоқ болса да, статикалық анықталмаған
жүйелердің элементтерін дэлсіздікпен жасағанда, олардың бойында кернеу пайда болатындығына көз жеткіздік. Мұндай жағдай
температураның өзгеруінде де болады. Пісіріп қосылған рельстерде
температуралық кернеу айтарлықтай. Бұл тұжырымды келесі мысалда
көрсетейік.
К
К
/
¥зындығы /, көлденең қимасының ауданы А, серпімділік модулі Е,
сырықтың I температурада екі ұшы қатаң бекітілген. Температураны 12
өзгерткендегі кернеуді анықтау керек (31.2-сурет) 12 > Щболса, сырық
ұзарып, А, В тіректеріне қысым жасайды, ал, өз кезегінде, тіректерден
сырыққа реакция күштері әсерінен ол сығылады. Статика теңдеуінен
тіректердегі реакциялар өзара тең, бірақ сан мэні анықталмайды,
жүйе статикалық анықталмаған. ¥штары бекітілген сырық темпера­
тура әсерінен ұзындығын өзгертпейді, сондықтан оның температура
әсерінен үзаруы а,Д/, тірек реакциялары эсерінен қысқаруына - А/_-ге
тең. Онда деформацияның бір түтастық теңдеуі келесі түрде жазылады:
Ц і П 1о,
/?/
д/л = — . ц | В Я I і )•
Мүндағы, а - сырық материалының сызықтық ұлғаю коэффициенті:
В
І
ч
К
ч
— I а / р - 1 1 - 1 1 1 аЕ Щ - 1 ).
Екі ұшы қатаң бекітілген сырықтың бойындағы кернеу оның
коэффициенті
және температурасының өзгеруіне тэуелді.
Реакция күші
К = аЕА(і2 - іХ
12> іл болса, көрсетілген мысалда ст кернеуі сығушы, себебі реакциялардың бағыты ішке бағытталған.
1.2-мысал. Сатылы сырықтың бос үшы Ғ = 50кН күшпен жүктелген.
/ = 1 м, А = 2 см2, Е = 2 ■105 МПа = 2 ■104 кН/см2 (32.2,а-сурет). Бойлық
күш, тік кернеу, орын ауыстыру шамаларының эпюраларын түрғызу
керек.
Шешуі: Кесіліп алынған бөліктің тепе-теңдік шартынан кез келген
қимадағы бойлық күш N = Ғ = 50 кН. Оның эпюрасы 32.2,б-суретте
көрсетілген.
Кернеу белгілі формуладан анықталады:
I
I
— = 1 2 ,5 -^ - = 125МПа,
2-2
см
N 50 ’■ кН лгл, т
а 9 = — = — = 25 — 7 = 250 МПа.
2
4
2
см2
Осы мәндер арқылы тұрғызылған эпюра 32.2,в-суретте бейнеленген. Ғ күшінің бағытымен әрбір қиманың орын ауыстыруын анықтасақ,
Ғх
д/,=
ЕА
х = 0, Д/і =0; * = / = 1 м = 100см; Д/, = 8, =
^
2-10-2
=0,125 см.
а)
б)
50
О (МПа) эпюр асы
в)
125
0,1875
г)
32.2-сурет
Екінші аралықтағы орын ауыстыру:
в ҒІ Ғх
8
ЕА 2ЕА
— —
+
ҒІ
х. = 0;8 = — = 0,125 см; х. = 1м = 100 см;
1
ЕА
50 100
л
8 =0,125 + ---------2— = 0 ,1875см.
2 - 2-10 •2
_
Табылған
көрсетілген.
мәндер арқылы тұрғызылған
эпюра 32.2,г-суретте
2.2-мысал. Еркін ілінген цилиндрлі сырық үшін бойлық күш,
кернеу, орын ауыстыруының эпюраларын тұрғызу керек. Сырықтың
ұзындығы /, қимасының ауданы А, серпімділік модулі Е, меншікті
салмағы ү (33.2,а-сурет).
Ш емуі: х қимасындағы бойлық күш төменгі бөлігінің салмағына
тең жэне х аралыққа тура пропорционал сызықтық заңдылықпен
өзгереді:
N = уАх.
х = 0, N = 0; х = /,
АІ оның эпюрасы 33.2,б-суретте көрсетілген.
Кез келген қимадағы кернеу а = МА = үх.
уАІ
уі
к
2Е
I
33.2-сурет
х = 0, а = 0, х = /, а = ү/ оның эпюрасы 33.2,в-суретте көрсетілген.
х қимасындағы орын ауыстыру сырықтың жоғарғы бөлігінің жылжуына
тең, яғни 5= Г ~ ^ * = Л ( / 2 - х2У
І ЕА
2Е у
'
Орын ауыстыру параболла заңдылығымен өзгереді.
үI2
х = 0,5 = — ; х =1,8=0 бұл заңдылық 33.2,г-суретте бейнеленген.
2Е
3.2-мысал. ВСО кронштейні ұшында Ғ = 48 кН күшпен жүктелген.
АВ, В С сырықтарындағы кернеулер бірдей ст = 120 Мпа болатындай
сырықтардың көлденең қималарының аудандарын анықтау керек,
а = 45° (34.2,а-сурет).
Шешуі: В түйінінің тепе-теңдігінен (34.2,б-сурет):
34.2-сурет
г,
Ғ
48
У у = 0, ІУ2 8 Іп а -Ғ = 0 , немесе УУ2 = - — =
2
8та
81п45°
48
0,707
Ғ
г =_ _
Ғ со845°
£ * = 0 , А^ооза-АГ, =0, Ых = А/2 со8 а = - ^
и
67,9кН,
0
= 48кН.
Есептің шартынан сырықтардың көлденең қималарының аудандарын анықтаимыз:
А/.
48 кН
2
А1= — = ---- тту— - 4 см ,
/с м
а
1
2
*
Н
/
2
. N. 67,9
2
л; = —2- = ----- = 5,7 см .
2
а
12
4.2-мысал. Қималары бірдей АІ = Аг = А3 = 4 см2 үш сырық тік
Ғ = 24 кН күшпен жүктелген. Сырықтардағы кернеулерді табу керек
(35.2,а-сурет) а = 30°.
Шешуі: О түйінін кесіп, оның тепе-теңдігінен (35.2,б-сурет):
£ * = 0 , - А^,8 Іпа + N 3 8Іпа 1 0 немесе А/, =N 1 ,
£>» = Щс о за ^ АГ2 + А/3 сова- Ғ - 0 немесе 2ЛГ,соза + /У2 = ^ •
Жүйе статикалық анықталмаған, оның деформацияланған күйін
қарастырамыз (35.2,в-сурет).
О
нүктесінен ВОі бағытына перпендикуляр тұрғызсақ, ХО, = Д/,
бірінші, ал ОО, = Д/2 екінші сырықтың ұзаруы.
а)
б)
в)
35.2-сурет
л/З
0 К 0 1 үшбұрышынан К 0 Х= ОО.соза немесе А/, = А/2соз 30° = А/2
2
Гук заңын,
щ
7з ^
—и- = --------— , ал /.соза = и,
ЕА
2 ЕА
1
..
N.1. Т з ^ /.с о з а
„
3 .. Л
—^- = ------ —------ , одан N. = —N1 = 0,15 N
ЕА
2
ЕА
1 4 2
тепе-теңдік теңдеуіне қоиып ықшамдаған соң,
Г*
ЛА
1,4ЛГ_: = Ғ немесе ІУ, = — = — = 17 кН,
2
2 1,4 1,4
= 0,75 • 17 = 12,75 кН.
Сырықтағы кернеулер
N. 12,75 .
кН
П1ІТТ
сг, = а 3 = — = ——- = 3,19— т- = 31,9МПа,
А
4
с^
ІУ2 17 .
кН
а 2=
= — = 4,25 — ү = 42,5 МПа.
А2 4
см
5.2-мысал. Абсолютті қатты ӘС білеуі Ғ = 300 кН күшпен
жүктелген. И нүктесінде топсамен бекітіліп, қималарының аудандары Ах = 5 см2, А2 = 10 см2 болат сырықтарға ілінген (37.2,а-сурет)
сырықтардағы кернеулерді, [о] = 160 МПа болса, мүмкіндік күш [Ғ];
с = 240 МПа, [л] = 1,5 болса, [Ғ] шеткі мүмкіндік күшті анықтау керек.
Шешуі: Жүйені топсалардан босатып, олардың әсерлерін тірек
реакция лары Я, Н жэне бойлық ІУ, 7У2 күштерімен алмастырамыз
(36.2,б-сурет).
б)
а)
£г
ІМ
А
1.5м
1«
-
и
2м
-----
ЗООкН
Ғ
//А
в)
2м
1м
А
В
ді
36.2-сурет
Білеудің тепе-теңдігінен
^ х = - Я = 0 , Х ^ = Л + ^ + Л /2 - Ғ = 0,
Х М о = - ^ , - 1 - ^ 2 -3 + Ғ 1 ,5 = 0.
Тепе-теңдіктің үш теңдеуінде төрт белгісіз бар, есеп статикалық
анықталмаған. Қосымша теңдеуді алу үшін құрылымның деформацияланған күйін қарастырамыз (36.2,в-сурет). Сырықтардың
ұзаруынан білеу абсолютті қатты болғандықтан, түзу күйін сақтап,
Ә топсасының айналасында бұрылады. В жэне С топсаларының орын
ауыстырулары Д/., Д/2 үшбұрыштардың ұқсастығынан
ДА
д/2
Гук заңының негізінде
1
немесе Д/, = ЗДі
3
Ы гщ М
ЕА^
ЕА^
одан Аі = з^ У іА = Ц г .2.:} 0 =\2Ң..
АА.
5-
ІУ2 табылған мэнін тепе-теңдік теңдеулерінің соңғысына қойсақ,
1,5=0,
N. =
= 1 ^ 1 2 2 = 12,17 кН,ал N,=12 X2,17 = 146кН.
1 37
37
2
Сырықтардағы кернеулер
N 1 12,17 1 Ц кН „
о, = —і = —■— =2,43— г = 24,ЗМПа,
і4,
5
см
N2
ст,
2 4
146
1
^
£
кН
1
к>т
---- = 14,6— - -146 МПа.
10
см
Мүмкіндік күшті анықтайық. Екінші сырық көбірек жүктелгендіктен, ондағы кернеу мүмкіндік кернеуге тең деп, қабылдаймыз, яғни
а, = [а] = 160 МПа, сондықтан
Г/г] = р И = зоо 1*2. = 328 кН
а2
146
Жүйе жүк көтергіштік қабілетін жойғанда, тік кернеу екі сырықта
да аққыштық са шегіне жетеді, сондықтан
кН
Ы1= оа -А1= 240-5 = 24— 1 5 с м 2 = 120 МПа,
см
=оа-А2 =24-10=240 МПа.
Тепе-теңдік шарттан (£М В = шеткі мэні анықталады:
• 1 - Ы3 • 3 + Ғш • 1,5 = 0) күштің
ЛГ,+3*г = 120 + 3-240
1.5
1,5
(54.2) формуладан күштің мүмкіндік шеткі мәні:
[ Ғ ] = £ й. = — =373,3 кН.
1 и
п
1,5
6.2-мысал. Қимасы 40x40 см темірбетон қадақ Ғ = 1000 кН тік
күшпен жүктелген. Болаттан жасалған бойлық арматуранын кимасының ауданы Аа = 50 см2. Арматура мен бетонның серпімділік
модульдері Еа = 2,1 • 105 МПа, Е6 — 1,4 • 104 МПа болса, олардың
бойындагы тік кернеулерді анықтау керек.
Шешуі: Бетонның қимасының ауданы
А = А - А = 40 х 40 - 50 = 1550 см2.
Бетонның келтірілген ауданы
Е
1 1■105
А* = А, + А_-*- = 1550 + 50. = 2300 см
°Е
1,4-10
Бетондағы тік кернеу
Ғ
а б = А2
*000 = 0,435^1 = 4,35 МПа
2300
см
Арматурадағы тік кернеу
° а = аб
Е
2 , 1-10
Е
1,4-10
- =4,35-
= 65,3 МПа.
7.2-мысал. Қимасы сатылы сырықтың екі ұшы қатаң бекітіліп, Д/°
қыздырылған. Сырық материалының серпімділік модулі Е, сызықтық
температуралық ұлғаю коэффициенті а. Барлық өлшемдері 37.2-суретте көрсетілген.
37.2-сурет
Жалпы түрде сырық бойындагы кернеуді анықтап, осы шешімді
пайдаланып, температурасы -10°С-тен 35°С-ке өзгергенде, пісірілген
трамвай рельісінің бойындағы кернеуді анықтау керек. Е = 2 • 105 МПа,
Е = 12 10'6 град'1.
Ш ешуі: Оң тіректен босанып, оның әсерін К реакциясымен алмастырамыз (37.2,б-сурет). Температура әсерінен сырық Д/ = аІАі ұзарып,
оң жақтағы ұшы осы шамаға жылжиды. Шындығында, сырық қатаң
бекітілгендіктен, жылжу мүмкін емес, сондықтан сығушы К күші осы
шамаға қысқартады, яғни Д/й = Д/г. Гук заңының негізінде Я күшінің
әсерінен кысқару шамасы:
ЕА
ЕпА
ЕА
к+
1- к
п
- аІАі
а &1 °ЕА
немесе Я = ---- ;—г .
I
1
-л
к + ----п
Барлық кимадағы бойлық күш тұрақты N = —К
Аралықтардағы кернеулер
N
а ,=
А
Я
А
оД1°Е
,к +, 1-----^ ’
п
а 2=
N
Я
пА
пА
аД 1°Е
к(п - 1)+1
Сырық қимасы тұрақты болса, п = 1, онда:
а = а, = о2 = -аЛ і°Е.
Пісірілген трамвай жолының ұзындығы айтарлықтай, екі ұшы
қатаң бекітілген сырық ретінде қарастыруға болады. Қыста - 10°С
орналастырылған, жазда 35°С пайда болатын кернеу
а = а М°Е = -12 10 6 [35 - (-10)] • 2 • 105 = -108 МПа.
Бақылау сұрақтары
1. Орталық созылу, сығылу деформациясы деген не?
2. Білеудің кез келген көлденең кимасындағы бойлық күш қалай
анықталады?
3. Бойлық күштің эпюрасы нені білдіреді және ол қалай
тұрғызылады?
4. Орталық созылған немесе сығылған білеудің бойындағы тік
кернеудің өзгеру заңдылығы.
5. Созылған немесе сығылған білеудің көлденең қималарындағы
кернеулерді анықтау үшін, Бернулли гипотезасы қалай пайдаланылады?
6. Анетто, Абрутто дегеніміз нені білдіреді?
7. Көлбеу жазықтықтардағы тік жэне жанама кернеулер дегеніміз
не?
8. Созылған сырықтың қандай қималарында ең үлкен тік, ең үлкен
жанама кернеу пайда болады?
9. Толық бойлық деформация дегеніміз не?
10. Салыстырмалы бойлық деформация дегеніміз не? Оның өлшем
бірлігі қандай?
11. Серпімділік модулі Е дегеніміз не? Білеудің деформациясына
оның эсері қандай?
12. Созылған немесе сығылған білеудің қатаңдығы.
13. Гук заңы, абсолюттік, салыстырмалы бойлық деформацияларды
анықтау формулалары.
14. Абсолюттік, салыстырмалы көлденең деформациялар.
15. Білеу созылғанда немесе сығылғанда, көлденең қималары қалай
өзгереді?
16. Көлденең деформация коэффициент! (Пуассон коэффициент^
нені білдіреді?
17. Созылу диаграммасы қандай координат жүйесінде тұрғызылады?
18. Пропорционалдық шек, аққыштық шек, беріктік шек нені
білдіреді?
19. Аққыштық ауданша нені білдіреді?
20. Деформациялардың қандай түрлері серпімді, пластикалық бола­
ды?
21. Шартты аққыштық шек дегеніміз не, бұл механикалық сипаттама қандай материалдар үшін қолданылады?
22.Пластикалык болаттың созылу диаграммасы, морт болаттың со­
зылу диаграммасынан айырмашылығы неде?
23. Шойынның сығылу диаграммасының созылу диаграммасынан
не айырмашылыгы бар?
24. Үлгінің салыстырмалы қалдық ұзаруы, қылта мойынның салыс­
тырмалы жіңішкеруі нені білдіреді?
25. Анизотропты материалдар деген не?
26. Статикалық жүктемені қалай түсінесіз?
27. Деформацияның потенциалдық энергиясы қандай шарттан не­
месе не себептен сыртқы күштің жұмысына тең?
28.Деформацияның меншікті энергиясы, оның өлшемі мен өрнегі
қандай?
29. Білеудің көлденең қимасы сатылы өзгергенде және бірнеше өстік
күштің әсерінен деформацияның потенциалдық энергиясы қалай
анықталады?
30. Потенциалдык энергияның өрнегінен қандай қорытынды
жасауга болады?
31. Білеудің меншікті салмағына байланысты бойлык күшті,
потенциалдык энергияны қорытып шығарыңыз.
32.Білеудің тек өз салмағы әсерінен ұзару формуласындагы
коэффициентті қалай түсіндіруге болады?
33. Мүмкіндік кернеу деген не, пластикалық жэне морт материалдар
үшін ол қалай қабылданады?
34. Беріктік қор коэффициенті деген не және ол қандай факторларға
байланысты?
35. Құрылымды беріктікке есептегенде кездесетін негізгі үш есепті,
әрбір есепке сәйкес беріктік шартты жазыңыз.
36. Қандай жүйелер статикалық анықталмаған?
37. Қосымша теңдеу нені білдіреді?
38. Жүйенің статикалық анықталмау дэрежесі қалай аныкталады?
39. Мүмкіндік, шеткі, шеткі мүмкіндік күштер нені білдіреді?
40. Монтажды кернеу дегеніміз не?
41. Қандай кернеулер температуралық болады?
42. Жергілікті кернеу дегеніміз не?
43. Кернеудің теориялық шоғырлану коэффициент! деген не?
44.Кернеудің шоғырлануын кеміту үшін, қандай шаралар
қолданылады?
45. Кернеудің шоғырлануы морт материалдарға қарағанда, пластикалық материалдар үшін не себептен қауіптілігі төмендеу?
46. Шойын үшін кернеудің шоғырлануы не себептен қауіпсіз?
III. Дененің кернеулі күйі
§ 1.3. Кернеулі күй теориясы.
Басты кернеулер мея басты жазықтықтар
Құрылым элементтерінің бір-біріне эсері тік жэне жанама кернеулермен сипатталады. Олардың мәндері берілген нүкте арқылы
жүргізілген қиманың бағытына байланысты.
Қарастырылатын нүкте арқылы жүргізілген барлық ауданшалардағы кернеулер жиынтығы кернеулі күй деп аталады.
Жанама кернеулер нөлге тең ауданшалар, басты ауданшалар, осы
ауданшалардағы тік кернеулер басты кернеулер деп аталады.
Басты кернеулер о,, ст2, а3 эріптерімен белгіленеді. Созылған немесе
сығылған сырық үшін о, Ф 0, ст2 = ст, = 0.
Екі басты кернеу нөлге тең болатын жағдай —сызықтық кернеулі
күй.
Кез келген күштің әсеріндегі дене нүктесінің айналасынан жана­
ма кернеу нөлге тең болатындай өзара перпендикуляр үш ауданшаны
көрсетуге болады. Бұл ауданшаларда тек басты кернеулер эсер етеді.
1.3-сурет
Сызықтық кернеулі күйде екі басты кернеу нөлге тең (1.3,а-сурет).
Үш басты ауданшаның біреуінде тік кернеу нөлге тең болса, жазық
кернеулі күйді көрсетеді (1.3,б-сурет).
Басты кернеулердің ешқайсысы нөлге тең болмаса, кернеулі күй
көлемдік кернеулі күй деп аталады (1.3,в-сурет).
Сызықтық, жазық кернеулі күйлерді көлемдік кернеулі күйдің жеке
жағдайлары деп қарастыруға болады.
§ 2.3. Жазық кернеулі күй
Жазық кернеулі күйдегі денеден қалыңдығы бірге тең үшбұрышты
призманы бөліп аламыз. Өзара перпендикуляр ас, аЬ ауданшаларға
тік жэне жанама кернеулер эсер етеді. Нормалі х ауданшадағы кернеулер ах, хух; нормалі у ауданшадагы кернеулер ст, т , ал көлбеу
жазықтықтағы кернеулер оа х .
а , а , х , т мэндері белгілі, көлбеу жазықтықтағы кернеулерді
анықтау керек (2.3,а-сурет).
а)
СГу
б)
А
т *ү«
а*
т у*
2.3-сурет
Призмадан кесіп алган өлшемдері сіх, сіу қалыңдығы бірге тең
қарапайым элементті қарастырамыз (2.3,б-сурет). Элементтің
өлшемдері өте аз болғандықтан, оның қарама-қарсы беттеріндегі кер­
неулер бірдей. Элементке эсер ететін барлық күштердің А нүктеге
қатысты момент теңдеуі келесі түрде жазылады:
т Лйудх
1
,
•І-сбс-ф + а
<ІХ
.
,
(Іх
2
2
л
+ а „ '1 - а х ------ ст. -І-ах-— = 0
2
2
Теңдеуден тху
т жанама кернеулердщ жүптылық заңы анык
талады.
Үшбұрышты призманың тепе-теңдігін қарастырамыз (2.3,а-сурет).
Көлбеу беттің ауданы А, онда қыр беттерінің аудандары А . = Асоза,
А ас Лзіпа.
Барлық күштерді и бағытына проекцияласақ,
о аЛ - щ АаЬсое а - о у Аас зіпа + гухАаЬ8Іп а + р Я сое а = 0,
аа - А - а , ■Асов2 а - а І, Лзіп2а + т и -Лсобазта+г^ Лзіпасо8а=0.
Теңдеу ықшамдалған соң,
ст = а гсов2а +ст 8Іп2а - х гу зіп 2 а
Күштердің \) бағыттағы проекциялары
(1.3)
таЛ + а уЛзіп а сое а - а хА сое азіп а - т^Лсоз2а + ххуА 8Іп а = 0.
Өрнекті түрлендірген соң,
та =
---^
з
т
2
а
+
т,„соз2а,
Я
----------иг
2
,
1+ соз2а , 2
1-со82а
со8 а = ----------- , 8іп а = ------------ескерсек,
2
(2.3)
2
(1.3), (2.3) өрнектері келесі түрде жазылады:
і і °* + ? -~I ——^ - с о з 2 а -т зіп2а,
“
2
2
(3.3)
8Іп2а + т._
сое
2а.
= СТд: о ° у----ух
(4-3)
а
2
(1.3), (2.3), (3.3), (4.3) формулалары кез келген көлбеу жазықтықтағы
тік жэне жанама кернеулерді анықтауға мүмкіндік береді.
Көлбеу сЬ жазықтығын басты ауданша ретінде қабылдасақ, онда
бұл ауданшада жанама кернеу нөлге тең, яғни (4.3) өрнегінен
°* 1 ° у 8Іп 2а, _
2
со82а,
немесе
(5.3)
ух
2т
№2а. = -
**
(6.3)
Тангенс функциясының периоды 180° болғандықтан, (6.3) формуласынан бір-біріне перпендикуляр екі басты ауданша анықталады,
олардың біреуі о бағытымен, а бүрышын, ал екіншісі - 90°+а бұрышын
жасайды. (5.3) пен (3.3) өрнектерінен
1
щя
НО
1
2
а
I181И
,
6
2
2
2
соз2а
* = ±у]\ + \ £ 2 2 а = + II + — —- —соз2а
ескерсек, онда басты кернеу-
лер келесі түрде анықталады:
<7-3)
Түбірдің алдындагы плюс, минус таңбалары басты кернеулердің
бірі св ауданшада, ал екіншісі оган перпендикуляр бағытта эсер
ететіндігін көрсетеді. Егер х, у нормалі бар ауданшалар басты аудан­
шалар болып есептелсе, онда ах = о,, оу = о2, т = г = 0 (1.3), (2.3) формулаларынан басты кернеулер аркылы кез келген ауданшадагы кернеу­
лер анықталады:
ста =ст, сов2а + а 28Іп2а ,
(8.3)
та - ^
зіп2а.
(9.3)
Айтылган ауданшага перпендикуляр ауданшада
ста+9№, = а, віп2а + а 2 соз2а ,
(10.3)
та =
(11-3)
аіп 2а.
(8.3), (ІО.З)-ті қосатын болсақ,
I
<*а |а+90« = а, + ст2.
(12.3)
Яғни өзара перпендикуляр ауданшалардағы тік кернеулердің
косындысы —басты кернеулердің косындысына тең тұракты шама.
Жанама кернеудің ең үлкен мэні басты кернеудің бағытымен 45°
бүрыш жасайды, ал оның мэні
= а ,- а 2
ІШХ
2
(13.3)
Басты кернеулер — тік кернеулердің ішінде ең үлкені немесе ең
кішісі. Оны дәлелдеу үшін (8.3)-тің бүрыш бойынша туындысы нөлге
теңестіріледі:
.
гГ
= -2 с т , со 8 а з і п а + 2 а , 8Іп а с о в а = 0
< /а
1
2
немесе
(ст, -
ст2)8 І п
2 а - 2 та = 0.
Жанама кернеу нөлге тең, ал бұл
ауданшаларда тік кернеу ең үлкен
және ең кіші мәнге не болады.
Жоғарыдағы анықталған өрнексгі
тердщ материалдар кедергісіндегі
орны ерекше.
Кернеулер мен деформациялардың арасындағы байланыстарға тоқталайық. (3.3-суретте) көрсетілген
ІП
элементтің беттерінде о,, а2 басты
3.3-сурет
кернеулер эсер етеді. Элементтің
өстер бойымен ұзаруын анықтайық.
Гук заңынан е, = а{/Е, I бағыттағы ұзарудың әсерінен II, III бағыт
тарда элемент қысқарады, яғни:
ст
<т
8
це і
, е 3 = Ң8,=-Ц
Е
•
•
Е
Дэл осылай а, кернеуінің эсерінен:
а
а,
е3 = —
р
а
62= 7 ’ £,=
Е
Е
Сонымен, эрбір бағыттағы деформациялардың қосындысы
а,
ст,
е, = — - ц — ,
1 Е
Е
а
2
83 =
Е
(1 4 .3 )
Е
" ТЕ (Ст1+ а 2)
Егер, а, Ф 0, а2 = 0 болса, а'х= а,со82а, а ' = а.8Іп2а немесе
е* = 8 | с о з 2 а , е ' = 8 , 8Іп2 а
ал, а, = 0, о2 Ф 0 жағдайда а " = ст28Іп2а, о " —ст2со82а
ГГ
гг
е 2 С08
е 2 51П а , £
а
а. Ф 0, а, Ф 0 болғанда,
8_,
г
г
= 8'х + 8" = 8 , С08
г м
#
а + е 2 8ІП2 а ,
2
2
8 у = 8„ + 8 у = 8 , 81П ( Х + 8 2 С08 а .
Осы өрнектерге (14.3) пайдалансак,
е, = £ (*, ~ Шу )
£ =- ( р у - \ ю , )
(15.3)
в* * " р£ ( а ' + ®у)
Сонымен, кернеулер мен деформациялардын арасындагы байланыстарды таптық. (14.3) өрнегінен о,, ст2 анықтасақ, жазық кернеулі куй
ушін Гуктың жалпылама заңы:
Е
сті = 1—“ 2 (е, +це2),
(163)
Е
о 2 =----- ? (е2 + це,).
1-М
§ 3.3. Көлемдік кернеулі күй
Дене, көлемді кернеулі күйде, яғни
онын қандай да бір нүктесіндегі басты
кернеулер о,, ст2, ст3 белгілі. Осы нүкте
аркылы өтетін, кез келген көлбеу ауданшадагы кернеулерді аныктайық. Денеден басты және көлбеу аЬс ауданшамен
шектелген карапайым тетраэдр бөліп
аламыз (4.3-СҮоетУ Көлбеү ауланніаттын
нормалі
ал
оған эсер ететін кернеулер: толық —р
тік - о в’, жанама то
4.3-сурет
Бөлініп алынған тетраэдр тепетеңдік
күйде
болғандыктан,
аЬс
ауданшадағы күш қалған үш ауданшадағы күштердің геометриялык
қосындысына тең:
.
(раАаЬс
Мұндағы
А
,
,
А
А
.
,
А
*
оЬсг
аоЬ
оЬс
аос
тетраэдр беттерінің аудандары.
талады:
А оаЬ
А аЬс
» ^оЬ с
А аЬс '
^оас
А аЬс '
Осы қатынастарды ескерсек (17.3), келесі түрде жазылады
2„2
Ра
+ а 1 т2 +а$п1
.
Барлық күштердің и нормаль бойына проекцияларының қосындысы
0 1А оиЬ 1 - < * г Л « ,с т - ° Л ь с П + ° а А аЬс
0
немесе
ста = а ,/2 + а 2 т 2 + а 3 п 2,
а
Ра
(18.3)
аа
(19.3)
(8.3) формуласын (18.3)-тің жеке жағдайы ретінде қарастыруға бо­
лады.
Бағыттаушы косинустары /,, т{, л,; /2, т2, п2; /3, ту и3, ал нормальдары ох, оу, ог көлбеу жазықтықтардағы кернеулер келесі түрде
анықталады:
2
2
3
а х = а,/, + а2/и, + а3л
3'*І,
,
^
О
о
(20.3)
СТ V = ° Г 2 + ст2т 2 + СТ3И2 >
рі
О
стг = о,/з +
О
О
+ стзиз •
Аналнтнкалық геометриядан /,2 + /22 + /32
И1 + П 2 + ЛЭ 1, екендігі белгші, онда:
1, т } + т . 2 + /и 2
о х + а у + а . =а,+ст2 + 0 3 =сопзІ.
Сонымен, өзара перпендикуляр ауданшалардағы тік кернеулердің қосындысы - басты кернеулердің қосындысына тең тұрақты шама.
Жазық кернеулі күй үшін, салыс­
тырмалы деформацияларды анықтау
формулаларын көлемдік кернеулі күйге
келтірейік.
Ол үшін денеден беттері басты ауданшаларға сәикес келетін қарапаиым па­
раллелепипед бөліп аламыз (5.3-сурет).
1,
(21.3)
Басты жазықтықтардағы басты кернеулер о,, а2, о3, ал оларға парал­
лель параллелепипед қырларының деформация лары £,, е2, е}.
Күштердін бір-біріне тәуелсіз принципі бойынша
®іі
е 2і
* - ц ( о ,/£ ) .
Мұндагы е^-дің бірінші индексі салыстырмалы деформациянын
багытын, ал екінші индексі оның себебін білдіреді. Сонымен,
£І2 = М
-ССТ2 /-^)
е 22
~ а 2 / Е Е32
/Ғ ) ,
£ ІЗ = е 23 = - И ( а 3/ £ )> Һ і = ° і / Е -
о,, о2, о3 кернеулерінің әсерінсн салыстырмалы деформациялар:
е, =е,, +г,2 + е13;£2 = £21+ £22 + ^23; ^з =в3, + ^зг + £33•
Әрбір деформацияның жогарыдагы мэндерін ескеретін болсақ,
төмендегі өрнектер жазылады:
£і = ^ [ сті _ ^ ( ст2 + стз )]>
е2 =
" м(о, + <*3)],
(22.3)
Е3 = £ [ СТ3 - н ( ст, + ° 2 ) ] •
Жанама кернеулер, параллелепипед қырларынын ұзаруына (қысқаруына) қатысы болмағандықтан, басты ауданшалар параллелепи­
пед беттерімен сәйкес келмесе де (22.3), формуланы жалпы түрде
төмендегідей көрсетуге болады:
« , = - [ а ж- р ( а г + о 8)],
гу = ^ [с г “
+ 9 Х)]»
Е, = - [ а . - ц ( а х + а к.)].
(23.3)
>іг
(; г,
Деформациялар мен кернеулердің арасындағы байланысты білдіретін (22.3), (23.3) өрнектері Гуктьщ жалпылама заңы деп аталады.
§ 4.3. Көлемдік деформация
Сыртқы күштердің әсерінен серпімді дене деформацияланып, оның
көлемі өзгереді, бойында потенциалдық энергия пайда болады.
Сыртқы күштердің әсерін тоқтатқанда, потенциялық энергия ішкі
күштердің жүмысы ретінде байқалады. Дененің әрбір нүктесінде
жалпы жағдайда кернеулі күй эртүрлі, сондықтан оның көлемінің
өзгеруін, потенциалдық энергияның мөлшерін білу үшін, дененің
әрбір қарапайым бөлшегінің көлемінің өзгеруі мен энергия мөлшерін
анықтай білген жөн.
Деформацияға дейін денеден қырлары сПх, сІ12, <11} болатындай,
беттері басты ауданшалармен сэйкес келетін қарапайым параллеле­
пипед бөліп аламыз (6.3-сурет). Параллелепипедтің алғашқы көлемі
(IV = (11{ • с112 ■сііу Жалпы жағдайда деформациядан кейін, оның қырлары:
Щ Х + £,). $ $ +
(11 3( 1 + £3).
Мұндағы £,, е2, е3 (22.3) формуласы арқылы анықталады. Деформа­
циядан кейін қарапайым параллелепипедтің көлемі өзгереді, яғни
(IV + М У —иі\ (1+ £],)-<//2(і + £2) ’<//з(і + £з) =
= С
//, • й12 ч//3(і + £, + £ 2 + Б3 + £| •£ 2 + £| ■£3 + £| •Б2 •£ 3 ).
Мұндағы АсіУ қарапайым параллелепипедтің көлемінің өзгеруі. б ,
е2, б3 өте аз шамалар болғандықтан, олардың көбейтінділерін ескерусіз
қалдыруға болады, сонымен:
(IV + Дб/Ғ= (1Ң1 + £, + £2 + е^ немесе
А(IV =, <з^(£, + е2 + 83).
Көлемнің өзгеруінің алғашқы көлеміне қатынасы Ө көлемнің салыс­
тырмалы өзгеруі деп аталады, ол өлшем - бірліксіз шама:
Ө= —
= £, + £2 + £3,
(24.3)
е,, б2, е 3 орындарына (22.3) өрнегіндегі мәндерін пайдалансақ,
0
+ а 2 + а 3)
(25.3)
Өзара перпендикуляр ауданшалардағы тік кернеулердің қосындысы
тұрақты екендігін ескеріп, (25.3) келесі түрге түрленеді.
Ө= ~
Х Е ~ & + СТу+ '°2) '’
( 2 6 '3 )
Дененің әрбір нүктесіндегі көлемнің салыстырмалы өзгеруін біле
отырып, оның жалпы көлемінің өзгеруін анықтауға болады, яғни
(27.3)
ДҒ=Ш К
а
а
а > 0 жеке жағдайда
Ө= -—— •З а
Е
Үш багытта созылган қарапайым кубтың көлемі азаймайды (Ө > 0),
коэффиц
аспайды (ц < 0,5).
§ 5.3. Деформацияныц потенциалдык энергиясы
Дененің қарапайым бөлігіндегі
потенциалдык
энергияны аныктау үшін, оныц бойыбеттері
1
“
“
г™
и
‘|>
3
Ж
> .ЖКііШ
Ю
басты ауданшалармен сэикес
х
'
келетш карапайым параллележ
д
*
✓
Я
у
/
Г/
1І
пипедті бөліп аламыз. Паралле/
'
Ш2
лепипедтің әрбір бетінде оған
1
перпендикуляр багытта кернеу
мен ауданының көбейтіндісіне
6.3-сурет
тең күш эсер етеді (6.3-сурет).
Энергияның сақталу заңы бойынша, деформацияныц потенциалдык энергиясы параллелепипедтің
беттеріндегі сыртқы күштердің жұмысына тең. Сыртқы күштердің
әсерінен параллелепипедтің қырлары келесі шамаларға ұзарады:
1_
„
Д (<//, )= £,<//,; А(й?/2) = е2£//2; А(</^ )= £3*//3.
Сондықтан
жүмысы:
потенциалдык
энергияга
: •
тең
сыртқы
күштердің
ст,<//2<//3 •Д (<//,) ст2Л,й?/3ДШ 2)
АЫһ )
1--------------------н----------------- !
аА =<Ю ---------------------=
2
2
мұндагы әрбір қосылгыш а,й//2«з//3, о2^/,с//3, а3^/,б//2 статикалык түрде
эсер етуші күштердің өз багытындагы сэйкес М 1 Х, А сіі2, Ы І Ъорын ауыс-
тыру аралығындағы жұмысы. Соңғы өрнектегі ұзару шамаларының
орындарына өздерінің мәндерін қойсақ,
,г ,
СІІ]СІІ2 (ІІз /
Ч
№ = ---- - ----(0 ,8 , + а 2е2 + а383)
еШ-ды алғашқы көлемге бөлсек, бірлік көлемге сэйкес потенциалдық
энергия немесе толық меншікті потенциалдық энергия анықталады:
_ <1 1 )
СГ|8| + а2е2 +СТ383
йҮ
2
(28.3)
Гуктың жалпылама заңынан
и = — [сг2 + ст2 + О3 - 2ц (<Т|а2 + ст,а3 + а 2<т3)].
(29.3)
Оның өлшем бірлігі - кНм/м3 (кН/м2) т.с.с.
Сыртқы күштердің әсерінен қарапайым параллелепипедтің көлемі
келесі шамаға өзгереді:
А(IV = е<1У =
(а, + а 2 + ст3 )с!V.
(30.3)
Параллелепипедтің көлемі мен оның пішіні өзгереді, яғни оның
қырлары эртүрлі шамаға үзарады. Параллелепипедтің барлық
беттерінде бірдей а 0 кернеу эсерінен оның пішіні өзгермейді, ал көлемі
(30.3) формула арқылы анықталады, яғни
немесе
А ( ^ ) = ^ - З о 0 -йҮ
I
£
^ -^ ■ •З а0 - о ? К = і- ^ ( а , + а 2 + стз у ^
Мұндағы
а 1+ а 2 + а3
ао
3
“
(31.3)
Сонымен, параллелепипедтің кернеулі күйін екіге жіктеуге бола­
ды (7.3-сурет). Олардың біріншісінде параллелепипедтің тек көлемі
өзгереді (7.3,б-сурет), бүл күйдегі потенциалдық энергия - көлемді
өзгеретін потенциалдық энергия.
„ Л КШШІ Куйде (7'3,в' сурет) параллелепипед™ келемі өзгермейді
тек онын ШШ1Н1 езгереді. П араллелепипеда бойьшдагы ж“ налган
погенцналдык энергия - иішінді взгертетін потенцИалдьщ эн ер ги Г
УШЫ (29 3) в м е п ертеТШ МеНШІКТІ Потении™ ы к энергияны аныктау
іы (73 6 с у Д )
°"
°’ Кер" еулерін ° . «Рнеуімен алмаетыраи
[°о
2Е
1-2ц
2Е
+ ° о - 2 ц ( о 0о 0 + а 0ст0 + а 0ст0)]
■ЯИИИМНИ!
і
2
2Е
3
немесе
и
1-2 ц
6£
(<*, + а2 + а 3V
(32.3)
.
Тік кернеулердің қосындысы тұрақты болатындықтан,
И
1~2м
(°
х
+
^
+
6£
(33.3)
ү ш һ Г а 9 з Г ^ І Т ' Ш МеНШ(КТІ потенциалдық энергияны а„ыктау
(2° 3)’ вриегшдегі о,, о2, а3 кернеулерді а - а
а -о а «
кернеулерімен алмастырамыз (7.3,в-сурет).
2 05 3 0
и
л - ^
'-<У0) 2+ (а 2-<т 0) 2+ (ст з-ст о)
2ц [(СТI- 0 О)(? 2"4* 0)+ (? |-С Т о)(<а
о)* (а Г° оX"
.) ] }
(29.3)-ті ескеріп, түрлендіруден соң
ин
1+И
3Е ^ + ° 2 +СТз ~ стіст2
-ст2а 3) .
(34.3)
Көлемді және пішінді өзгвртетін меншікті потенциалдык энергиялардың қосындысы - толық меншікті потенциалдык энергияга тең:
•
•
(35.3)
ик + ип = и.
Меншікті потенциалдык энергия арқылы денедегі потенциалдык
энергияны анықтауга болады:
(36.3)
V
Жоғарыдағы анықталған (29.3), (32.3), (34.3) өрнектерін жазық
кернеулі күй үшін келесі түрде жазуға болады:
1
и=
(о? + «2 “ 2цог,а2\
2Е
Щ*1
- ЬЕ <«». +«», >*•
1+ Ц / 2 2
\
"л
+ а 2 ~ а ,а 21
Р7.3)
Немесе басты кернеулерді (7.3) өрнегімен алмастырсақ,
и * = ^ ( а ,+ о „ ) ? ,
1+ Ц / 2
2
(38.3)
М„ = --- - 0 + 0 - 0 0
П
Мүндағы (7 =
£
з£
V *
у
Ч
1 у'
т?
)+ —
2С
■■ - екінші ретті серпімділік модулі.
Жоғарыдағы барлық формулалар тек кернеулер пропорционалдық
шектен аспаган жағдайда орындалады.
1.3-мысал. 8.3,а-суретте көрсетілген кернеулі күйдің нормалі
о бағытымен 30° бұрыш жасайтын тп жазықтығының бойындағы
кернеулерді, басты кернеулер мен олардың бағытын анықтаңыз (8.3-сурет).
Ш ешуі: тп қимасы арқылы қарапайым призма кесіп аламыз
(8.3,б-сурет).
б)
кернеулерін эуелі оң таңбалы деп кабылдаймыз. Суретте
көрсетілген кернеулердің бағыты бойынша а = 50 МПа, ст = -25 МПа,
т
12,5 МПа. (10.4), (11.4) формулалары бойынша
°а» т а
іа - —ст.<+сту
I
°х -°у
„
. I
50-25 50 + 25
“ +—
г-с о 8 2 а -ту8іп2а = -------- + --------- соз60° +
2
2
2
2
щ
+ 12,5зіп60° = 12,5 + 37,5 0,5+12,5 — = 42,07 МПа;
1
а
=
. I
1
50+25 УІЪ
— “— зіп 2 а + т с о $ 2 а ---------------------12.5 =
2
'
2
2
= 32,47-6,25 = 26,22 МПа.
Басты кернеулер (7.3) формуласынан анықталады:
Нормальдің басты ауданшамен жасайтын бұрышы
2т„
2-125
182а, --------і— 1 —
= о, 33,
ах- а
75
а , = —агсі§(0,33)» 11°7\
9.3-сурет
9.3-суретте басты кернеулер мен олар эсер ететін жазықтықтар
көрсетілген.
2.3-мысал. Көлемдік кернеулі күйде а, = 120 МПа, а2 = 70 МПа,
а3 = -50 Мпа, дене материалы үшін Е = 2 • 105 МПа, ц = 0,3.
Дененің көлемінің салыстырмалы өзгеруін, меншікті потенциалдық
энергиясын (толық көлемінің өзгеруін, пішінінің өзгеруін) анықтаңыз.
Шешуі: Көлемінің салыстырмалы өзгеруін (25.3) формуласынан
анықтаймыз:
0 = 1—” (<*і + о 2 + стз) = "—— ^-(120 + 70 -5 0 )= 0,28-Ю"3.
Е
2
Толық меншікті потенциалдық энергия (29.3) көлемді өзгеру мен
пішінді өзгерту потенциалық энергиялары (32.3), (34.3) өрнектерінен
анықталады:
I
и=
Г1202 + 702 + (-50)2 - 2 •0,3 (120 •70 -120 •50 - 70 •50)] =
2 -2 •105
= 0,0562 МПа.
1 20,3
(120 + 70 - 50)2= 0,0065 МПа,
6 2 105
-
-
щ|
-
1 °’ (і202+ 702+ 502+120 •70+120 •50+ 70 -50)=0,0497 МПа
(34.3) өрнегінің дүрыстығын тексерсек,
0,0065 0,0497 = 0,0562, яғни 0,0562 0,0562.
1
1
3.3-мысал. Табаны қатты негізге тірелетіндей, қуыссыз екі қабырғаның ортасына болаттан жасалған куб орналасқан (10.3-сурет). Ол р
МПа күшімен сығылады, ц - 0,3.
Кубтың бүйір беттеріндегі кернеулер мен қырларының , іефор
мацняларын анықтаңыз. Куб пен қабырганың арасындагы үйкелісті
ескермеңіз.
Ш ешуі: Куб қырларына параллель х, у, г өстерін жүргіземіз. Барлык
күштердің 2 өсіне проекцияларының қосындысы нөлге тең екендігін
ескерсек, кубтың төменгі бетінде о2 = -р кернеулері эсер ететіндіпн
байқаймыз. Кернеудің теріс таңбасы оның сығушы кернеу екендігін
білдіреді. у бағытындағы кернеу д = 0, ал х багытындағы деформация
е = 0, себебі екі бүйірі қабырғамен қысылған.
Гуктың жалпылама заңы бойынша
— [а - ц(а + о )] = 0 немесе
£
Е
1
х
у
[а - 0,3(-р)] = 0, а
0,3р.
Е
2, у
багытындағы деформациялар
Ег = ~ЁС0 " "
*Г
ЕУ -
£
0, 91р
^ + СТ0 ] = £ (“Р + 0’3 ' 0’Зр) =
Е
,
0’3 / - . л . , - ч
(р+0,3р)
[ СТУ - р ( а . + а , ) І =
(
Е
0,39р
Е
Сонымен, ау = 0, оу = -0,3р МПа, сг = -р МПа.
0,39р
„
-0,91р
£у = ——- , £ х = 0 , £ . = - ^
Е
Е
4.3-мысал. Болаттан жасалған сырық Ғ күшімен созылған
(11.3,а-сурет). Сырықтың көлденең қимасындағы тік кернеу о = 120
Мпа. Сырық өсімен 45° жасайтын бағыттағы салыстырмалы деформацияны анықтаңыз. Е = 2 • 105 МПа, р = 0,3.
Ш ешуі: Сырықтан екі қарапайым параллелепипедті бөліп аламыз.
(11.3,б-сурет). Олардың біріншісінің бүйір беттері сырық өсіне парал­
лель жэне перпендикуляр, ал екіншісінің бүйір беттері сырық өсімен
45° бүрыш жасайды.
10.3-сурет
11.3-сурет
Екі параллелепипед те сызықтың кернеулі күйде, яғни басты
кернеулері о, = а0, о2 = о3 = 0.
Екінші күйдегі тік кернеу
ст = а 0 • 8Іп24 5 ° = 0 , 5 а 0 = 6 0 МПа.
Оның қырларының салыстырмалы деформациялары
е = І [ а - ц ( а - 0 ) ] = Ь ^ а = - Ь ^ 6 0 = 2,110^.
Б ақы лау сұрақтары
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Кернеулі күй дегеніміз не?
Сызықтык кернеулі күй дегеніміз не?
Жазық кернеулі күй дегеніміз не?
Көлемдік кернеулі күй дегеніміз не?
Қандай жазықтықтар басты жазықтықтар деп аталады?
Қандай кернеулер басты кернеулер деп аталады?
Жанама кернеулердің жұптылық заңы.
Өзара перпендикуляр жазыктықтағы тік кернеулердің қосындысы неге тең?
9. Басты жазықтықтар өзара қалай орналасқан?
10. Жазық кернеулі күйдегі басты кернеулер қалай анықталады?
11. Жазық кернеулі күйдегі ең үлкен жанама кернеу неге тең?
12.Гуктың жалпылама заңын қорытып шығарыңыз.
13. Көлемдік кернеулі күйдегі көлемнің салыстырмалы өзгеруі
қалай анықталады?
14. Көлемнің салыстырмалы өзгеруінің өлшем бірлігі неге тец?
15. Көлемнің өзгеруінің меншікті потенциалдык энергиясы нені
білдіреді?
16. Пішіннің өзгеруінің меншікті потенциалдык энергиясы нені
білдіреді?
17. Толык меншікті потенциалдык энергия нені білдіреді және ол
қандай бөліктерден тұрады?
18. Меншікті потенциалдык энергияның өлшем бірлігі неге тең?
IV. Ығысу
§1.4. Таза ығысу
Берілген нүктенің айналасынан бөлініп
\П
алынған параллелепипедтің бүйір беттерінде
\ ——
тек жанама кернеу эсер ететін жазық кернеулі
күйдің түрі ығысу деп аталады (1.4-сурет).
А
(1.3), (2.3) формулаларынан О нүктесі ^
X
арқылы өтетін алғашкы тік ауданшамен а
г
бұрыш жасайтын, п-п ауданшадағы тік жэне
жанама кернеулерді анықтасақ,
оа = твіп2а,
(1.4)
— \ гі
та = -тсо82а.
(2.4)
(2.4) өрнегінен 1,4-суреттегі жанама кер1.4-сурет
неу О нүктесі арқылы өтетін кез келген басқа
жазықтықтағы жанама кернеулерден үлкен (соз2а < 1).
Сонымен, қарастырып отырған параллелепипедтің бүйір беттеріндегі жанама кернеулер экстремальді (т , тт(п), ал бүл қырлар ығысу ауданшалары, олар басты ауданшалармен 45° бүрыш жасайды.
Ығысу ауданшаларында тік кернеу болмайтындықтан, бүл ауданшалар
таза ығысу ауданшалары деп аталады.
(1.4) формуласынан а = 45° ста = т ең үлкен, ал а = -45° ста = -т ең
кіші мэнге не болады. Таза ығысуда басты кернеулермен экстремальды
жанама кернеулердің абсолюттік мәндері бірдей.
(1.4) формуласына а - а,, а2 = а, + 90° өзара перпендикуляр жазықтықтағы сәйкес келетін мәндерін койсақ:
а о1 = т8Іп2а, ста2 = т8Іп(2а, + 180°)=-т8Іп2а; аа) = - а а2'
Таза ығысуда кез келген өзара перпендикуляр ауданшалардағы тік
кернеулер тең, таңбалары қарама-қарсы.
Өзара перпендикуляр жазықтықта тік кернеулердің абсолюттік
мәндері бірдей, таңбалары қарама-қарсы жазық кернеулі күйді таза
ығысу деп атауға болады.
Таза ығысудағы кернеулі күй төмендегідей бейнеленеді:
а) бүйір беттері таза ығысу ауданшалармен сәйкес келетін тек ттах
хтіп жанама кернеулері эсер ететін қарапайым параллелепипед (2.4-сурет АВСО);
2.4-сурет
б) бүйір беттері басты ауданшалармен сэйкес келетін, тек тік
кернеулер
а
=
т
,
а
.
=
т.
г
у
г
тах
тах 1
пип
пип
эсер ететін қарапайым параллелепипед (2.4-сурет аЬссГ);
в) өзара
перпендикуляр
бүйір беттеріндегі мәндері тең,
таңбалары қарама-қарсы тік
жэне жанама кернеулер эсер
ететін қарапайым параллелепи­
пед (2.4-сурет 1234).
Таза ығысуда кез келген
ауданшадағы р =
өрнегімен анықталатын толық
кернеудің р абсолюттік шамасы
ттах -ға тең.
: ■
•-
§ 2.4. Таза ығысудағы деформация мен Гук зацы
3.4,а-суретте көрсетілген кернеулі күй таза ығысуға жатады. Бүл
күйде қарапайым параллелепипед қырларының үзындығы өзгермейді,
тек олардың арасындағы бұрыш өзгереді (3.4,б-сурет). Алғашқыда тік
бүрыштар 90° + ү, 90° - у.
Таза ығысуда параллелепипедтің қарама-қарсы қырлары бір-бірімен
салыстырғанда, абсолюттік ығысу деп аталатын ЛЛ'-ка орын ауыстырады (3.4,б-сурет). Абсолютті ығысудың қарама-қарсы беттерінің арақашықтығына қатынасы, салыстырмалы ығысу - ығысу бүрышы ү-ға
тең. Абсолюттік ығысу ұзындықпен, салыстырмалы ығысу радианмен
өлшенеді. Тәжірибенің негізінде у жанама кернеуге тура пропорционал
екендігі байқалған. Ығысудағы Гук заңы.
(3.4)
уО.
Бұл заңдылықтар кернеу пропорционалдық шектен аспағанда орындалады.
(3.4), (4.4) өрнегіндегі пропорционалдық коэффициент С ығысу
модулі немесе екінші ретті серпімділік модулі деп аталады.
Ыгысу модулі, материал үшін тұрақты физикалық шама серпімді
деформацияға қарсылық білдіретін материалдың қатаңдылығын сипаттайды. Өлшем бірлігі - кН/м2, Н/м2.
§ 3.4. Көлемдік деформаци
энергия Е, С, ц арасындагы байланыс
Таза ығысуда көлемнің салыстырмалы өзгеруі
ө=
( ° , + V+ ° , )•
Берілген нүктеде Ө-нің мэні нүкте аумағында қарапайым параллелеппипедті бөліп алуға байланысты емес, параллелепипедтің бүйір
беттері таза ығысу ауданшалары болып есептелсе (2.4-сурет АВСП),
онда
= аг = 0, сондықтан Ө= 0.
Таза ығысуда көлемнің салыстырмалы өзгеруі нөлге тең. Дененің
барлық нүктесіндегі кернеулі күйі таза ығысу күйінде болса, дененің
көлемінің өзгеруі нөлге тең.
Таза ығысудағы потенциалдық энергияны анықтайық. Деформацияның толық меншікті энергиясы и көлемді өзгерту меншікті энергиясы мен пішінді өзгерту меншікті энергияларының қосындысына тең.
«=
+а\ +
Н12ц (ст,а2+ а, а 3+ ст2а 3)] =
= — Гт2 + т 2 —2цГ-х2
2 Е \-
“*
**
та х
ьп в х / |
= -тах (1+ ц)^
>
+ а 2+ ®з)2= ^ | ^ ( Т тах
1+ Ц
и„ = ----- щ | + а 2 + с^ В а,а 2 я 3Е
0 ,0 3
-ст2ст3 Ү=
Сонымен, таза ығысудағы көлемді өзгерту, меншікті энергия нөлге
тең, пішінді өзгерту, меншікті энергиясы толық меншікті энергияға
тең.
Толық меншікті энергияны жалпы жағдайдан емес, қарапайым
параллелепипедтің бүйір беттеріндегі жанама кернеулердің жұмысы
арқылы да анықтауға болады.
Параллелепипедтің деформациясында ВС бетіндегі тек күш
жұмыс істейді (4.4-сурет), себебі АВ, С Д АӘ беттерінің өз жазықтығындағы орын ауыстыруы нөлге тең, ал ВС таза ығысу беті өз
жазықтығында Д = үа § В |а = - 7 7 - 0 шамаға орын ауыстырады.
О
о
ВС бетіндегі күш кернеу мен беттің ауданының көбейтіндісіне тең.
Т = хпгахЫ.
1-беттің сызбаға перпендикуляр бағыттағы өлшемі. Т күштің Д
аралықтағы жұмысы потенциалдық энергияға тең екендігі белгілі,
сондықтан
Л - Т Ь _ хптЫхп в х а
2
хІ^оЫ
20
2 0
х^У
2С
^
Мұндағы V = аЫ қарапайым параллелепипедтің көлеМі.
Параллелепипед деформациясының меншікті потенциалдық энер­
V
(5.4)
20
Ығысудагы толық меншікті энергияны (5.4)-пен теңестірсек,
Е
немесе
2С
с= Е
2(1 +
(6.4)
:оэффиц
сондықтан ығысу модулі О серпімділік модулі £-нің 0,33-0,5 бөлігін
құрайды.
Көптеген материалдар, оның ішінде болат үшін О = 0,4Е қабылданады.
Басты кернеулер арқылы көрсетілетін кернеулі күйді (5.4,а-сурет)
келесі кернеулі күйлердің қосындысы ретінде көрсетуге болады.
5.4-сурет
а) бірқалыпты көлемдік созылу немесе сығылу (5.4,б-сурет) (х күй).
б) ығысудың екі күйі (5.4,в,г-сурет) (у, 2 күйлер).
Осыған орай, дененің кез келген нүктесіндегі деформация бір
қалыпты созылу немесе сығылу деформациясы мен озара перпендику­
ляр екі жазықтықтағы ығысу деформацияларының қосындысына тең.
Суреттерден
о ^ х + у + г; а 2 = х - у ; а 3 = х - 2 .
Мұндағы х, у, 2 ст,, о2, а3 кернеулерінің қосылғыштарының үш
теңдеуін бірге шешіп, 5.4,б,в,г-суреттерде көрсетілген кернеулердің
мэндері анықталады.
ст. +аз+ст,
ст.+ст,-2ст,
х = —----- -2-----у = х - а , = —!-----------2------ - ;
3
2
3
а> + а 2 - 2о3
г - х - а , = —---- =-----3
Көлемдік бірқалыпты созылганда (сығылғанда), параллелепипедтің
көлемі өзгеріп, пішіні сақталады, ал таза ығысуда пішіні өзгеріп,
көлемі сақталады.
Осыған байланысты деформацияныц толық потенциалдык энергия­
сы екі кұраушыдан тұрады.
Көлемдік созылу (сығылу) эсерінен жиналған, көлемді өзгерту
энергиясы I / .
в) Таза ығысу деформациясының негізінде жиналған пішінді
өзгерту энергиясы 17.
х күйдегі күштердіц у немесе г күйіндегі орын ауыстыру
аралығындағы жұмысы нөлге тең болатындықтан, толық меншікті
энергия екіге оөлінеді.
Айщлық, х күйіндегі күштердің статикалық өсуі тоқтаған соң, параллелепипедке у күйіндегі күштердің статикалық түрде әсері басталады (6.4-сурет).
күшндеп күштердщ у күиінің әсерінен орын ауыстыруы
аралығындағы жұмысы сІАху (сәйкес потенциалдык энергия сШх^,
келесі өрнекпен анықталады:
х
(ІА
сіи
+ (ХСІ12СІ11)£ І Ж
Мұндағы х(Я,Л.- ауданы с іі 7с і і беттегі қарапайым күш, у күйіндегі
күш статикалық өскенде, тұрақты күйінде қалады. г х& 1 у күидегі
күштердің эсерінен абсолютті ұзаруы
1
£
Е
цС-ЭД<я,
1+ ц
Е
з
6.4-сурет
7.4-сурет
Қарапайым күштің х<Я2 Л ъ е, *//,-ге
көбейтіндісі, параллелепипед қырының у күйдегі күштердің әсерінен
параллелепипед қырының ұзаруына
сәикес аитылған күштщ жұмысын
білдіреді. У күйдің күштері статикалық
өскенде ол күш өзгермейді, сондықтан
оның жүмысты білдіретін өрнегінің
алдында Уг коэффициенті болмайды.
Параллелепипедтің қалған қырларының ұзаруы
аи
-У
2у 2 = -Е1 ГГ
1
еіу =41
~
1
Е
У
0.
<Мгг =
т
= [(і^+
_(1 + ^
] = о.
х күйдегі күштердің у күйдегі орын ауыстыру аралығындағы
жұмысы нөлге тең, онда меншікті потенциалдық энергия нөлге тең болады:
т
и_ = ------- 2 — =0.
<//, ■<іі2 ■аі ,
Осы сияқты, х күйіндегі күштердің г күйіндегі орын ауыстыру
аралығындағы жүмысы да нөлге тең болады.
Сонымен, деформацияның потенциалдық энергиясы екі бөліктен
тұрады.
и = и + иуу + и22 + иуг .
Мұндағы ихх - барлық беттердің бірқалыпты созылу немесе сығылу
нәтижесінде жинақталған көлемді өзгертудің меншікті потенциалдық
энергиясы (ни =
+ иа + и қосындысы, пішінді өзгертудің
меншікті потенциалдық энергиясы щ ) .
(29.3)
өрнегі мен 7.4-суретті пайдалансақ, көлемді өзгертудің
меншікті потенциалдық энергиясы анықталады:
XX
1
х2 + х 2 + X1 - 2 \і(х 2 + х 2 + х 2
2Е
12Ц/
\, .
-------Здг = ----- -(ст, + ст, + а , ) .
2Е
6Е к 1
2
3'
,
Осы сияқты (29.3) өрнегі мен 8.4-суреттің негізінде пішінді
өзгертудің меншікті потенциалдық энергиясы анықталады:
Ш
ип = — —[ а 2 + с 2 + 0 з -(а ,с т 2 + р § з + <*з<*і)].
п ЗЕ
§ 4.4. Ыгысуғы жүмыс істейтін қарапайым қүрылымдарды
есептеу
Кейбір қүрылымдардың жеке қималарында айтарлықтай жанама
кернеу эсер етеді. Бұл қималарда тік кернеулер де болады. Сондықтан
айтылған қималар таза ығысу ауданшаларына жатпайды. Жанама кернеулерге қарағанда, тік кернеулер айтарлықтай кіші болғандықтан,
жуықтап есептегенде, тек жанама кернеулер ескеріледі.
Мұндай есептеулер ығысуға, кесуге, жаруға есептеу деп аталады.
Ығысуға есептелетін құрылымдар 9.4-суретте көрсетілген.
9.4,а-суреттегі құрылымның тұмсығы ағашты аЬссі жазықтығында
талшық бойымен жарудан, ал 9.4,б-суреттегі кұрылым аЬ жазықтығымен жарылғанда қирайды.
Тойтарма шегемен қосылған құрылым (9.4,в-сурет) тойтарма шегелердің (аЬ жазықтығы) тойтарма шегелердің сыртындагы жолақтардың
(ссі жазықтығы) немесе шегелердің арасының (ес жазықтығы) кесілуінен
қирауы мүмкін. Пісіріп қосылған құрылым (9.4,г-сурет) пісіру тігісінің
тік бұрышының биссекторлы жазықтығында орналасқан ең кіші
ауданның кесілуінен қирауы мүмкін.
Барлық жағдай үшін беріктік шарт
(7.4)
т < [ті.
Мүндағы т - ығысу жазықтығындағы есептеу кернеуі, [т] - мүмкіндік жанама кернеу.
Жоғарыдағы құрылымдар ығысу ауданшалары арқылы кесілу ғана
емес деформацияның басқа түрінен де қирауы мүмкін. 9.4,а-суреттегі
білеудің түмсығы Ьс/е жазықтығының, 9.4,в-суреттегі тойтарма шегелі
қосылыста жолақтардың бойымен жанасу аудандарының жаншылуынан қирауы мүмкін.
Тігісті кесу жазықтыгы
9.4-сурет
Сондықтан беріктік шартпен қатар жаншылу шарты да орындалуға
тиіс:
Мұндағы а
[а 1 - жаншылуға
мүмкіндік кернеу.
Мүмкіндік [т], [ст^] кернеулері, мүмкіндік тік кернеу тэрізді
белгіленеді.
Көптеген жағдайларда мүмкіндік жанама кернеу созылудағы
мүмкіндік кернеудің 60-80% құраса, мүмкіндік жаншылу кернеуі 170200% құрайды.
Кейбір кұрылымдардың жеке өлшемдерінің арасындағы қатынас
арнайы мөлшермен қабылданады, осыған орай есептеу жеңілдейді.
Тойтарма шегелі қосылыста шеткі шегенің ортасынан жолақтың
шетіне дейінгі арақашықтық шегенің 1,5-2 диаметрінен, ал шегелердің
арақашықтығы 3 диаметрден кем болмауға тиіс.
ЭН?
§ 5.4. Тойтарма шегелі қосылыстарды есептеу
Тойтарма шегелі қосылыстарды есептеуді томендегі мысал арқылы
түсіндірейік (қнмасы екі бұрыштамадан тұрады) (10.4-сурет).
Жолақ табақ
Қимасы г
10.4-сурет
Бұрыштамадағы бойлық күш шеткі қимада УУ-нен кимада нөлге
дейін өзгереді, жолақ табақта керісінше, шеткі қимадан бастап өсіп, 1 - 1
қнмасында ІУ-ге тең. Бойлық күштің эпюрасын тұрғызганда (11.4-су­
рет), әрбір тойтарма шегеден жолақ табаққа берілетін күш - Мл,
мұндағы п - түйісу қимасының бір жағындагы шегелер саны.
Бүрыштамалар
а)
"
б)
Тойтарма шегенің өсі
/
Жолақ табақ
I
Бүрыиітамадаш бойлық
^ткүш эторасы
X
в)
Жолақ табақтагы
бойльщ күиі эпюрасы
11.4-сурет
Қосылыстың кез келген қимасындағы бойлық күш ІУ-ге тең.
Әрбір бұрыштаманың жұмысшы көлденең қимасы А нетто төмендегідеи анықталады:
А нетто
N
2[о]
(9.4)
Мұндағы М2-бір бұрыштамадағы ең үлкен бойлық күш [ст] мүмкіндік кернеу. Бұрыштаманың қажетті ең үлкен көлденен кимасы
Абрутто, әлсізденген қиманың //-// ауданынан {Анапт) көп, ал бүл
қимада бойлық күш жоғарыдағы мэнінен үлкен элсізденген аудан
А нетто -ның 85% құрайтын болса
А нетто 1,15 Лнетто
А 6 .....-нын
табылған мэні бойынша прокатты қималардың
кестесінен бүрыштаманың қажетті нөмірі анықталады.
Тойтарма шегелер бір қатарда орналасса, олардың диаметрі
бұрыштама қабырғасы енінің 1/3 бөлігінен аспауға тиіс, кері жағдайда
шеге басы бұрыштама енінен асып кетуі мүмкін. Бүрыштама
қабырғасының эртүрлі енінде, 1.4-кестеде тойтарма шеге диаметрі
келтірілген.
Осылай анықталған Анетто -ның (9.4) арқылы табылған мэніне
қатынасы бірден артық болса, бұрыштамадағы нақты кернеу мүмкіндік кернеуден кем, айтылған қатынас 0,96-0,97-ден кем болса,
бүрыштамадағы нақты кернеу мүмкіндік кернеуден 3-4% жоғары, бүл
жағдайда ауданы үлкендеу басқа бүрыштама қабылданады.
Бұрыштама қабырғасының
ені, мм
50
60
65
75
Шеге
диа­
метр!
(1, мм
17
20
20
23
Шеге
арақашықтығы
а, мм
30
35
35
40
Бұрыштама қабырғасының
ені, мм
80
90
100
Шеге
диаметрі
ё, мм
23
26
29
1.4-кесте
Шеге арақашықтығы а, мм
45
50
55
Шегенің кесілу қимасындағы жанама кернеу т жэне шеге сырығы мен жолақ табақтың жанасу бетіндегі жаншылу кернеуі о
төмендегідей анықталады:
N
х=
пупсі 2/4 ут
N
пЫ
(10.4)
(11.4)
Мұндағы т эрбір шегенің кесілу жазықтыктарының саны, 5 - жолақ
табақтың қалыңдығы.
9.4,в-суретте бір кесілу жазықтығы біреу (т = 1), 10.4, 11.4,а-суреттерде кесілу жазықтықтары екеу (т = 2) мысалдары келтірілген.
Жолақ табақтың калыңдығы 5, қосылатын бұрыштамалардың
2б6 қалындығынан артық болса, (11.4) өрнегіндегі 8 орнына 25б
қолданылады. (10.4), (11.4) формулаларымен табылған кернеулер
беріктік шарттарды қанағаттандырулары керек:
" N
Г1
п (т і2/4 )т
^Ы
(12.4)
(13.4)
Жолақ табақшаның қалыңдығы берілмесе, (12.4)-тен шегелердің
қажетті саны аныкталады:
4N
П -- ------ г— — .
я а т [ті
Табылған п толық санға дейін жогары қарай дөңгелектенеді. (13.4)
өрнегін пайдаланып, жолақ табақтың қалыңдығы § анықталады.
Жолақ табақтың қалыңдығы белгілі болса, (12.4), (13.4) өрнектерінен
шегелер санының п екі мәні анықталады:
п ~
2
Г 1’
7гя т Iг I
» = Т 7 Г і--
(16-4)
54 ПЬ
Екеуінің үлкені түйісу жазықтығының бір жағындағы шегелер санын анықтайды. Болат 3 үшін мүмкіндік кернеулер [т] = 140 МПа,
[ст] = 320 МПа қабылданады.
Созушы күштің бағытында шегелердің арақашықтықтары 3сі, ал
жолақ табақ пен бұрыштамалардың шеттерінен қашықтықтары 2с/-ден
кем болмауға тиіс.
Ең үлкен бойлық күш эсер ететін 1-1 қимадағы жолақ табақтың ені с
(10.4,а-сурет) созылудағы беріктік шарттан анықталады:
а = ——гг—< [а].
( с -(і)Ъ 1 *
(17.4)
Осы тэрізді жолақ табақ үшін, кез келген шегенің ортасы арқылы
жүргізілген қимада беріктік шарт орындалуға тиіс. Бойлық күштің
мэні 11.4,в-суреттегі эпюрадан алынады.
§ 6.4. Пісірілген қосылыстарды есептеу
Пісірудің негізінде түйістірілген құрылым элементі N күшімен
созылған (қима екі бұрыштамадан тұрады).
12.4-суретте бүйір «тігіспен» пісірілген, кесілуге жүмыс істейтін
түйін көрсетілген. Түйінді есептеуді эрбір бүрыштаманың көлденең
қимасының ауданын анықтаудан бастаймыз:
N
А=—
(18.4)
2Н
Мүндағы N12 - бұрыштаманы созатын бойлық күш.
Табылған А бойынша сортамент кестесінен бұрыштаманың нөмірі
қабылданады.
N12 күші бұрыштамалардың көлденең қималарының ауырлық
орталығы арқылы өтетін өстер бойымен эсер етеді. Оны Ғ бүрыштама
қыры және Ғ бұрыштама ұшы бойымен эсер ететін күштерге жіктейді.
һ0
Бұрыіитама
қыры
Бүрыштама
ұіиы
12.4-сурет
Ғк =^г^Г~<
2 Ь
у
(19.4)
2 Ъ
Мұндағы г - бүрыштама қырының шетінен оның ауырлық орталыгына дейінгі арақашықтық, со­
ртамент кестесінен анықталады.
Бүйір «тігістің» беріктік шарты
* Ь г ]•
(20.4)
Мұндағы Ғ - «тігіске» эсер
етуші күш, / - «тігістің» ұзындығы,
һ - оның биіктігі (12.4, 13.4-суреттер) 0,7һ - кесілу жазықтыгының
ең кіші биіктігі, [тт] - «тігісті» кесуге мүмкіндік кернеу.
(20.4)
шартынан
«тігістің»
қажетті ұзындыгы анықталады.
Бүрыштама
Жолақ табак
13.4-сурет
/ = — ^ғ-Я.
(21.4)
0,1Һ[тг ]
Мүмкіндік кернеудің мәні [т 1, «тігіс» үшін, электрод түріне байланысты пісірілетін металдың созылудағы мүмкіндік [а] кернеуінің 5070% шамасында қабылданады.
Ғқ, Ғ күштерінің белгілі мәндерінде һ . А, пісіру «тігісінің»
бүрыштама қыры, ұшы жоғарыдағы биіктіктерін қабылдап, /^, «тігіс»
ұзындықтарын анықтауға болады:
Ғ
I - __ 1
ч
Ғ
і і ___ >'
ри
(2 2
4^
Табақтарды пісіріп қосқанда, «тігіс» биіктігі негізінде табақ
биіктігіндей қабылданады. Ең үлкен бойлық күш N эсеріндегі
жолақ, табактың /-/ қимасының ені с, созылудағы беріктік шарттан
анықталады:
N
еШ Ш
(23.4)
6Ы
Мүндагы 5 —жолак табақтың қалыңдығы.
1.4-мысал. I, II, III жазык кернеулі күйлердің таза ығысудагы түрін
анықтаңыз. (14.4-сурет).
Осы
күйлер
үшін
а
,
т
,
а
.,
т
.
басгы
аух
^
г
^
1
і
таху тіп7 тт " 1* 1
^
даншалар мен таза ығысу ауданшаларын табыңыз.
Ш ешуі: II, III кернеулі күйлер таза ығысу күйінде, себебі өзара
перпендикуляр жазықтықтардағы тік кернеулер өзара тең, таңбалары
қарама-қарсы ах + ау = 0.
50МПа
(Т_
тах
^тіп
шш
^тях
шах
(стх а у]_ + Т2 белгілі II, III күйлер үшін
^тіп
тт
\|
^
оу т а х = - а т і п =х т а х = - х т т = Д|| (50 +^ 6°) + 5 0 2 =70,7 МПа,
К-100л/з-10(к/з1
^тах
„
^ т іп
= Т
та х
=
- т
.
'
I
1
1
-------------------£+
1002
=200МПа
т т
и
л
басты ауданша
(6 шах)
басгы
V©
а
з а
ао 1«
8н &
о
\
\
б)
тазаьнысу
әуданшасы(4тах)
/> басты ауданша
I
/
х(а«ь)
. 'I'
басты ауданша
таза ыгысу
& лЛ ? у
аудаішіасы^^і^
\
ауданшасы
(*<■«) . '
'
<.
тазащысу
/
\-а у д а н ш а с ы
I
{ (Т„)
(о „ )
\
15.4-сурет
15.4,а-суретте II күй үшін, ал 15.4,б-суретте /, /// күйлер үшін
басты ауданша мен таза ығысу ауданшалары көрсетілген. Үлкен тік
кернеу ауданшасын сағат тілімен бағыттас а0 бұрышқа бүрғанда,
басты ауданшаның орны анықталады, ол келесі өрнектен табылып
анықталады:
II күйде
2-50
% 2а0 = ------- — = -1 а 0 = -22°30';
0
50+50
0
III күйде
2-100
1
° " к х к /з + н х ь /г л ;а° "
8
2.4-мысал. Жоғарыдағы мысалдың II күйі үшін табу керек:
а) параллелепипедтің бүйір беттерінің салыстырмалы ығысуын
(ығысу бүрышы);
б) параллелепипедтің таза ығысу бетімен сәйкес келетін бүйір
беттерінің салыстырмалы ығысуын;
в) деформацияның меншікті потенциалдық энергиясын.
Ш ешуі: т = 50 МПа, ттах = 70,7 МПа.
Белгілі формуладан ығысу модулі
С=
,Е
2(1+ ц)
10.. =8-104мПа.
2(1+0,25)
(3.4) формуласынан 14.4,6-суреттегі параллелепипед үшін салыс­
тырмалы ығысу
ү = — = - ^ г = 6,25 •10“4
С
8-10
. Бүйір беті ығысу жазықтығымен сәйкес келетін параллелепипедтің
салыстырмалы ығысуы
ч ■і
яуА «
Ү тах =
-
- ^ Т
= 8 ,8 4 •10 ~ 4 .
8-10
Деформацияның меншікті потенциалдық энергиясы
^ =
С
тт « 0 + ц)
Е
70,72(1+0,25)
0,031.
2-10
3.4-мысал. Тойтарма шегелі пісірілген қосылыстарды есептеңіз.
N = 500 кН, [а] = 160 МПа, тойтарма шеге үшін [т] = 140 МПа,
[о]ж= 320 МПа, пісіру «тігіні» үшін [тт] = 110 МПа.
Ш ешуі: Шегелі қосылыс (9.4) формуласынан
і-і
2
о
о
а
100x100x10 мм
1,8 мм
16.3-сурет
,
5000
2
Ли
/гт
п
т
п
=
----=
15,62
см
.
нетто
^ | ^
Қажетті аудан Абру;пто = 1,15 А _ 1 17,96 см2.
Сортамент кестесінен тең бүйірлі бұрыштама ЮОхЮОхЮмм үшін
қима ауданы 19,2 см2.
1.4-кестесінен, бұрыштама бүйірі Ъ= 100 мм болғанда, тойтарма шеге
диаметрі сі —29 мм, ал бүрыштама қырынан кашықтығы а = 55 мм.
Көлденең қима ауданының нақты мәні
А нетто = б р ут т о “ 8,. ’ < / = 1 9 , 2 - 1 , 0 - 2 , 9 = 1 6 , 3 СМ2 > 1 5 , 6 2 С М 2 .
А
-ның нақты мэнінің қажетті мәнінен 4% өзгерісі бар, сондықтан
бұрыштамадағы нақты кернеу шамамен мүмкіндік мэніне тең. (1 5 .4 )
формуласынан (т = 2) тойтарма шегелердің қажетті саны анықталады:
4 -5 0 0
п = - -------- ----- =2,7,
3 ,1 4 -2 ,9
п = 3 қабылданады.
( 1 6 .4 )
-1 4
формуласын пайдаланып, жолақ табақтың
калыңдыгы табылады:
6 - 1 8 мм қабылдасақ, 5 = 1,8 < 25б = 2 см болады, онда
бұрыштамадағы жаншылу кернеуі [а] мүмкіндік мәнінен кем болады.
Жолақ табақтың қажетті ені
500 ...............
с = —— = ------- +2,9 = 20,2 см.
8 [а] 1,8-16
N
неленген.
Пісірілген қосылыс белгілі (18.4) формуласынан бұрыштаманың
қажетті қимасы анықталады:
А = И р = 15,62см2.
216
Тең бүйірлі бұрыштама сортаментінен 100x100x8, қима ауданы
15,6 см2, 2 - 2,75 см бұрыштама қабылданады.
формуласы
. 500.10 - 2,75 ,
2
10
6,9кН.
2
10
Бұрыштама ұшынан пісірілген тігістің биіктігі 0,7 см, қыр жағынан
қашықтығы 1,2 см қабылданады. (22.4) формулаларынан пісірілген
«Т1Г1СТЩ» ұзындығы:
•
•
/
18Л
4 0,7-1,2-11
6,9
19,6 см, /„ =
= 12,8см.
0,7 0,7 -11
Жолақ табақшаның қалыңдығын 6 = 1,6 см қабылдаймыз, ал оның
қажетті ені
с = і!
тГ
19' 5см-
Есептеулердің негізінде 17.4-суретте пісірілген қосылыс бейнеленген.
4
ІІІ
і
100x100x10 “ ,6 мм
/0=19,6см
2и
0
1
Бақылау сүрақтары
1. Кернеулі күйдщ қандай түрі таза ығысу болып табылады?
2. Таза ығысу ауданшасы деген не, ығысу ауданшасынан айырмашылығы неде?
3. Таза ығысуда өзара перпендикуляр жазықтықтағы тік кернеулер
арасындағы байланысты түсіндіріңіз.
4. Таза ығысуда ауданшаны бұрғанда, толық кернеулердің мэні
өзгере ме?
5. Таза ығысуда
а
,
о
.,
т
,
т
.
бір-бірімен
қандай
байланыста?
*
ТПОХ ҒПІП тОХ ҒПІП л 1
6. Бүйір беттері таза ығысу ауданшаларымен сәйкес келетін парал­
лелепипед жанама кернеу эсерінен қалай деформацияланады?
7. Абсолютті ығысу, салыстырмалы ығысу, ығысу бүрышы деген
не?
8. Ығысудағы Гук заңы.
9. Таза ыгысуда көлемдік деформацияның нөлге тең болу себебі.
10. Таза ығысудағы толық меншікті потенциалдық энергия, көлемді
және пішінді өзгерту энергияларын жазыңыз.
11.Е , С, ц арасындагы байланыс.
12. Тойтарма шегелі қосылыста жолақ табақтың өлшемдері мен шеге
сандары қалай анықталады?
13. Бүйір пісіру «тігінінің» үзындығы қалай анықталады?
14. Пісіру «тігінін» беріктікке есептегенде, оның биіктігі не себептен 0,7 коэффициентіне көбейтіледі?
V. Ж азық қималардың геометриялық сипаттамалары
§ 1.5. Жалпы түсінік
Созылған (сығылған) сырықтардың беріктігі, қатаңдығы, көлденең
қималарындағы кернеулер т.с.с, олардың көлденең қималарыныц аудандарына тэуелді.
Көлденең қиманың ауданы қарапайым геометриялық сипаттамаға
жатады. Қиманы шексіз қарапайым с/А ауданшалардан тұрады деп
қарастырсақ, онда қиманың толық ауданы
(1.5)
Л = \(ІА .
А
Сырықтарды иілуге, бұралуға, күрделі қарсыласуға, орнықтылыққа
есептегенде, күрделі геометриялық сипаттамаларды қарастыруға тура
келеді. Бүл сипаттамалар қиманың пішіні мен өлшемдеріне ғана байланысты емес, сонымен қатар қандай полюске, өске қатысты есептелуіне
де тэуелді.
>- - * .
Қарапайым қималардың (тік төртбүрыш, үшбүрыш, дөңгелек)
геометриялық сипаттамалары арнайы формулалар арқылы есептелсе,
МЕСТ-тің кестелерінде стандартты (қос тавр, швеллер, бүрыштама)
қималар үшін олардың мәндері беріледі. Күрделі қималардың
геометриялық сипаттамаларын есептегенде, оларды қарапайым
фигураларға бөледі жэне арнайы формулалар арқылы есептейді.
§ 2.5. Қиманың статикалық моменті
Қандайда бір х өсіне қатысты қиманың статикалық моменті деп
келесі интеграл арқылы анықталатын геометриялық сипаттаманы айтады (1.5-сурет).
5, = | у М
(2.5)
А
1.5-сурет
Мүндағы у - қарапайым сіА ауданшадан х өсіне дейінгі арақашықтық.
Статикалық
моменттің
өлшем
бірлігі ұзындықтың үшінші дэрежесі
(см3) жэне оның мэні оң, теріс, нөлге
де тең болуы мүмкін. Ауданды сызба жазықтығына перпендикуляр күш
ретінде қабылдасақ, онда (2.5) интегралын х өсіне қатысты күштердің
моменттерінің қосындысы түрінде қарастыруға болады. Теориялық
механикадан белгілі: тең эсерлі момент туралы теореманың негізіндегі
(2.5) өрнегі келесі түрде жазылады:
5Х = \ усіА = Аус.
(3.5)
А
Мұндағы А - қиманың толық ауданы (тең эсер), у - қиманың
ауырлық орталығынан х өсіне дейінгі арақашықтық.
у өсіне қатысты статикалық момент
5у =\х<іА = А х с.
(4.5)
(3.5), (4.5) өрнектерінің негізінде
(5.5)
Қиманың ауырлық орталығын анықтау формуласы.
Егер х, у өстері қиманың ауырлық орталығы арқылы өтетін болса,
онда статикалық момент нөлге тең. Мұндай өстер орталық өстер деп
аталады.
Күрделі қима ауырлық орталықтары белгілі қарапайым фигураларға бөлінсе (үшбұрыш, тік төртбұрыш, т.с.с), толық қиманың
статикалық моменті құраушыларының статикалық моменттерінің
косындысына тең. Қиманың симметрия өсі ауырлық орталық арқылы
өтеді, сондықтан ол өске қатысты статикалық момент нөлге тең.
Көптеген жағдайларда (3.5), (4.5) қарапайым интегралдардың орнына қос интегралдарды паидаланған ыңгаилы, яғни:
Ш Я ш Я В у<щ>,
/>
(6.5)
8 у = | хіІА =
(7.5)
[[ хдхйу.
о
Мүндағы £> - интегралдау облысы.
§ 3.5. Қималардыц инерция моменттері
Қиманың х немесе у өстеріне қатысты инерция моменті деп келесі
интегралдар арқылы анықталатын геометриялық сипаттамаларды айтады (1.5-сурет):
Іх = | у 2 (1А - у 2 дхд.у, /„ = | х 2(/А = (Тх ’ЛхЛу.
л
о
л
о
(8.5)
Полярлық инерция моменті келесі интегралмен анықталатын
геометриялық шама:
(9.5)
/ р = | р 2 с(А = [[р2аЬг(/у.
о
Ортадан тепкіш инерция моменті деп келесі геометриялық сипаттаманы аитады:
(10.5)
І
х
у
=
\
х
А
у
с
іА
=
\
\
'х
у
Ы
у
,
О
Ортадан тепкіш инерция моменті оц, теріс таңбалы жэне нөлге тең
болуы мүмкін.
Өзара перпендикуляр х, у өстерінің кем дегенде біреуі қиманың
симметриялық өсі болса, онда бұл өстерге қатысты ортадан тепкіш
инерция моменті нөлге тең. Оған көз
У
А
жеткізу үшін, у өсіне қатысты симметриялы фигураны қарастырамыз
X
х
(2.5-сурет). у өсініц екі жағында
Ік
І —
бірдей қашықтықта орналасқан аудан6А
6А
у х
шалардың ортадан тепкіш инерция
моменті
<11 —хусІА - хусіА 0, яғни / ху = 0.
.
Нүктеге қатысты полярлық инерция
моменті осы нүкте арқылы өтетін өзара
перпендикуляр х, у өстеріне қатысты
инерция моменттерінің косындысына
тең (1.5-сурет), себебі:
х2 + у
р2, сондықтан I
I* + /У.
2.5-сурет
У
һіА
СЧ
>х
тз
§ 4.5. Қарапайым қималардың
инерция моменттері
X
■■
<ч
Ь
3.5-сурет
1. Тік төртбүрыш.
Табаны Ь, биіктігі һ тік төртбұрыштың ауырлық орталығы арқылы
өтетін х, у өстеріне қатысты инерция
моменттерін анықтайық.
X өсіне параллель сызықтар арқылы биіктігі с/у қарапайым с/А = Ъду
ауданшаны бөліп аламыз (3.5-сурет). (8.5) өрнегінің негізінде х өсіне
қатысты инерция моменті
І
х
=(
у
2
с
І А
һ/2
= {
у
Ъу3
2 Ы
у
А
2
8
3
3
һ
Ъһ3
12
(11.5)
2
Дәл осылай у өсіне қатысты инерция моментін есептесек
IЦ
5 12
(12.5)
х, >>қиманың симметриялы өстері болғандықтан Іху
0.
2. Үшбұрыш.
Табаны Ь, биіктігі һ үшбүрыштың табаны жэне төбесі арқылы
өтетін х , х өстеріне қатысты инерция моменттерін анықтаймыз
(4.5,а,б-сурет). х өсі үшбұрыштың табаны арқылы өткенде:
шш
һ
Ь (у)= Ь
-
у
сІА = Ь(у)(Іу =
1
Лу\
Ь
у
\
і
у
=
и = \ у 2 м = \ у 2ь —^ < і у = т і у 2( һ
I
У һ
һV 3
У
4 Л
4/
А Ьһ
0 12
(13.5)
Х2
өс* үшбұрыштың төбесі арқылы өтеді, бұл жағдайда
Ь (у )= —
һ
сІА = Ь(у\сіу =
Ь-у-сІу
(14.5)
һ
инерция моменті 7^-ден элдеқайда көп, себебі үшбұрыштың
ауданының негізгі бөлігі л^-ге қарағанда, х2-ден алыстау орналасқан.
1Д
3. Дөңгелек.
Дөңгелектің ауырлық орталығы арқылы өтетін кез келген х өсіне
қатысты инерция моментін анықтаймыз. 5.5,а-суреттен
У
а)
б)
Ь(у)
х
5.5-сурет
^ О ')- 2гсо8ф; сІА = Ь ( у = 2 г созфг/у,
у = гзіпф, сіу = гсозфг/ф сонымен сІА = 2г2соз2фй/ф.
7Г
71
Іх=ЩУг<іЛ= } (/'8ІПф)2-2гС082фй(ф = 2г4 } 8ІП2фС082 ф</ф =
71
п
2
= 2г
2
N
ф
V8
-0 + — + 0
16
16
32
пг
4
4
,4
ті
64
Дөңгелектің ауырлық орталығы арқылы өтетін кез келген өске
қатысты инерция моменті
1«
«
—
- -
-
_____
•
Дөңгелектің ауырлық орталығына қатысты полярлық инер­
ция моментін есептеу үшін, р қашықтықта жатқан қалыңдығы сір
қарапайым ауданшаны бөліп аламыз, оның ауданы сІА = 2 яр ф сонымен:
2крс1р
7СГ
МІ*
(16.5)
~2
”32
о
х, у өстеріне қатысты инерция моменттерінщ қосындысы полярлық
моментке тең екендігі белгілі жэне дөңгелек үшін 1 = 1 , ескерсек,
өстік инерция моменті полярлық инерция моменті арқылы тез
анықталады, яғни І х = 1 / 2
псіА
~64
(16.5)
формуласының негізінде сақина үшін полярлық инерция
моментінің формуласы қорытып шығарылады:
псі0 _ п<Г
-
Р~ І 2
І2
0
132
СІ /
Vм
_ псі1
Р“ І 2
немесе с
ао
белгілесек,
а
с4)*0,1 й?4(і - с4)
ксіл
(і ~64
с4
(17.5)
(18.5)
) « 0 , 0 5 й?4 ( і - с 4 )
§ 5.5. Параллель өстерге
қатысты инерция моменттері
Қималардың
геометриялык
сипаттамаларын әртүрлі орналасқан өстерге қатысты есептеуге
тура келеді. Белгілі х, у өстеріне
қатысты инерция моменттері
( /, / , 1Щ анықталған. Алғашқы
өстерге параллель х , у өстеріне
қатысты инерция моменттерін
анықтайық (6.5-сурет).
Жаңа координаттық жүйеде
қарапайым ауданшаға дейінгі
6.5-сурет
арақашықтықтар у х = у + а, х { =
= х + Ь өстік инерция моменттерін
анықтау формуласын ескерсек,
7л, =\У\<*А = \ ( у + аУ 4А =
| у 1сІА+ 2а\усіу + а 21сІА
А
А
Мұндағы Гу 2<іА - І х
инер-
А
ция моменті, ^ у с іА - 8 х
стати-
калық момент, ГАА - қиманың ауданы А, сонымен:
А
(20.5)
өсіне қатысты инерция моменті (20.5) сияқты келесі түрде жазылады:
/ . = / + 2 Ь5 + ЬЧ.
(21.5)
х , у - өстері ауырлық орталық арқылы өткенде,
ІХІ= І Х+ ^ А , І = І + Ь 2А.
(22.5)
Кез келген өске қатысты инерция моменті осы өске параллель
орталық өске қатысты инерция моментіне қиманың ауданын өстердің
арақашықтықтарының квадратына көбейтіп, қосқанға тең. Ауырлық
орталық арқылы өтпейтін кез келген өске қатысты инерция моменті
орталық өске қатысты инерция моментінен үлкен, себебі а 2А, Ь2А —оң
таңбалы шамалар.
Ортадан тепкіш инерция моментін анықтау үшін, (10.5) өрнегін
пайдаланамыз:
I XIу\
/ (* +
+ а)(іА - 1хусІА +
уЛА + а! хйА + аЬ| А
немесе
Жеке жағдайда х, у өстері ауырлық орталық арқылы өтсе,
/ х\у\
, , = / ху + аЬА.
(23.5)
Симметриялы қима үшін х, у өстерінің біреуі симметрия өспен
сэйкес келсе, 7XIVI
. . - аЬА.
§ 6.5. Бүрылған өстерге қатысты инерция моменттері
х, у өстеріне қатысты инерция моменттерімен осы өстермен а
бұрышын жасайтын х г у І өстеріне қатысты инерция моменттерінің
арасындағы байланысты анықтайық (7.5-сурет). I > I деп санасақ, а
бұрышының оң мэні, х өсіне сағат тіліне қарсы бағытта бұрылуына
сәйкес келеді.
Қойылған мақсатқа жету үшін, <іА ауданшаның координаттарын
бұрылған өстерге қатысты анықтаймыз:
.X, = ОС = ОЕ + ЕС = ОЕ + О Ғ = ООсозсі + ІЮзіпа = хсоза + ^зіпа,
у х = ВҒ - С Ғ —В Ғ - ЕӘ —ВИ соза —О В ш іа = усоза —хзіпа.
Белгілі формулаларды пайдалансақ,
р | = ІУ\<1 А = |(^ с о 8 а -л 8 Іп а ) ДА =
Л
А
= \ у 2 соз2асІА | | 2 | лузіп а сое ш£4 + |дг2зіп2асіА
Л
немесе
Дәл осылай
А
А
/., = / соз2а + / 8Іп2а - / 8Ііі2а.
(24.5)
Щ^ЩііА = |(хсо8а+_у8Іпа)Р сІА = І Х8Іп2 а + /,. со82а+/„,8Іп 2а,(25.5)
I п = | ххуліА = Ддгсоза +>,8Іпа)(>'со8а-дс8Іпа)іі4 =
(26.5)
—— І8Іп 2а + / соз2а
2
*
(24.5), (25.5) формулаларының қосындысы
/ , + / , = /х(со82а + $іп2а) + / (8Іп2а + соз2а) = Іж+ 1 .
(27.5)
Өзара перпендикуляр өстерге қатысты инерция моменттерінің
косы ндысы - тұрақты шама.
§ 7.5. Басты өстер жэне басты инерция моменттері
Жогарыда көрсетілгендей, а бұрышына байланысты
/ , I
мэндері өзгереді. ІіГ 1 г| инерция моменттері экстремальды мәндерге ие
болатын бұрышты анықтайық. Ол үшін
немесе / , -ден а бойынша
туынды алып, нөлге теңестіреміз.
(11
немесе
(/ - 1) 8іп2а 0 - 2/ со&2 а 0 = О,
(28.5)
Бұл формуладан өзара перпендикуляр екі өс анықталады, себебі
тангенс функциясының периоды - 180°.
Айтылған өстердің біріне қатысты инерция моментінің мәні ең
үлкен, ал екіншісіне қатысты ең кіші. Мұндай өстер басты өстер деп
аталады. Оларды и, V арқылы белгілейді. (28.5) формуласы арқылы
анықталған а 0 бүрышын (24.5), (25.5) өрнектеріне қойған соң, басты
инерция моменттері Іи, / анықталады. Тригонометриядан белгілі формулаларды ескерсек,
21
\
/
басты инерция моменттері төмендегідей анықталады:
(29.5)
V
Жеке жағдайларға тоқталсақ:
1- Іх =
Іху = 0, онда (26.5)-тен барлық қос өстерге қатысты
орталықтан тепкіш инерция моменті нөлге тең, яғни ху координат
жүйесін кез келген бұрышқа бұрғандағы остер басты остер болып табылады (Іх = / = /н = /).
2.
Қиманың симметриялы өсі екеуден артық болса, барлық орталық
өстерге қатысты инерция моменттері өзара тең.
§
Кез келген орталық х өсіне қатысты инерция моменті орталық бас­
ты инерция моменттері арқылы келесі түрде өрнектеледі:
/ = / со»2а + / 8Іп2а.
(30.5)
Осы өрнекті қиманың ауданына бөлсек, и, V координат жүйесінде
жартылай өстері іи, іу-ға тең инерция эллипсінің теңдеуі табылады:
‘х 1 І
а I іі 8Іп2 а .
(31.5)
Мұндағы і , і - басты * х өсіне қатысты инерция радиустары:
1и
V
Берілген қима үшін инерция эллипсі
тұрғызылса (8.5-сурет), кез келген орталық у өсі үшін инерция радиусы анықталып, / = і*А инерция моменті табы­
лады. іу = (і = СО эллипс орталықтан у
өсіне параллель А нүктесі арқылы өтетін
жанамаға дейінгі арақашықтық. Бұл жа­
нама и, Vөстерінен
І
аи =
з іп а
соза
кесінділерін қиып, оның теңдеуі келесі
түрде жазылады:
и
—
аи
+
V
1 немесе
а
и
+
г <1
/
а
(а д )
У
8.5-сурет
1.
\
(а)
у зш а )
^ с°8а )
Екінші жағынан эллипс жанамасының теңдеуі
ии
I
+
/и
и
1 немесе
\
+
I
(б)
1.
Iи
и
\ л
(а), (б) теңдеулерінен
;2
I
V
и
_
81ПСС
I
а
V
со$а
онда
" а
я
<1
бұрыштық коэффициент арқылы жазылған.
Жанаманың өрнегінен у өсіне қатысты инерция радиусы <1 = *
анықталады.
зіпа
сі
V= -и ія а + а = -------- и + ------ ,
сов а
(I = и зіпа +
V
сов а
со$а. и , V мэндерін ескеріп
Щ = іу 8ІП2 а + 1'I С0 8 2 а
табамыз.
Сонымен, кез келген орталық өске қатысты инерция моменті инер­
ция эллипсі арқылы табылады (/ = і 2А).
1.5-мысал. 9.5-суретте көрсетілген
қиманың
ауырлық
орталығын анықтаңыз.
Ш ешуі: Күрделі қиманы екі
тік төртбұрышқа бөліп, көмекші
х, у өстерін жүргіземіз. Қажетті
өлшемдерді алдын ала анықтап
аламыз. А х = 10 • 1 = 10 с м \
А г щ 4 1 1Ц 4 см2, х { = 0,5 см,
х 2 = 3 см, 7 , - 5 см, у 2 = 0,5 см.
(5.6) формуласыныц негізінде
9.5-сурет
100,5 + 4-3
= 1,22 см,
10 + 4
10-5+4-0,5
= 3,72 см.
10+4
Табылған мәндер бойынша, С,, С 2 нүктелерін қосатын түзудің бо
йында қиманыц ауырлық орталығы С анықталады.
1
2.5-мысал. Жарты дөңгелектің
ауырлық орталығының ординатын
анықтаңыз (10.5-сурет).
У
х
10.5-сурет
Шешуі: Белгілі формула бойынша у
5
А
V*2-*2
к
у 2 Л 2-*2
Мұндағы 5Х —| | усіхсіу = | (Их | уйу = | сіх—
3
- н а
-»
2 о
-л
я
2
/4 = -----, онда у = -^ гг = -г—*0,424Л.
тт
2
Зя
~2
3.5-мысал. Тік төртбұрыштан
2x16 см, жэне әртүрлі бүйірлі
бүрыштамадан 12,5 х 8 х 0,8 см
(11.5-сурет) тұратын қиманың
орталық басты өстерінің орнын, басты инерция моменттерін
тауып,
инерция
ЭЛЛИПС1Н
тұрғызыңыз.
Ш ешуі: Көмекші х, у өстерін
жүргізіп, қажетті өлшемдерді
анықтаймыз: тік төртбұрыш үшін
А.і = 2 •■ 16 = 32 см2.
см2, хх.і = 16 см,
У = 8 см.
11.5-сурет
Әртүрлі қабырғалы бүрыштаманың
қажетті
өлшемдері
МЕСТ-нің кестесінен анықталады. й. = 12,5 см, 6 = 8 см, А. = 16 см2,
Іх2 = 256 см4, Іу 2 = 83 см4, У0 = 4,05 см, х 0 = 1,84 см, 1§Ө = 0,406,
= 48’8 с< Іхд >2 = ( ' „ - Іх2№ = (48,8 - 256) • 0,4= -84 см4.
Қиманың 'ауырлық орталығының координаттары
А ,х,+А 2 х 2 32 1+ 16-3,84 93,4
*, = - Ч — т-2 = ------------- -— = —— = 1,94 см,
4+А2
32 + 16
48
„ _ А У \ + А 2 у 2 _ 32-8 + 16-4,05
УС
А, +А 2
32 + 16
л
л
320,8
48
£ п_
О, / СМ 9
онда С (1,94; 6,7) нүктесінен хс, у с орта л ы қ өстері ж үргізіледі.
Күрделі қиманың орталық өстеріне қатысты инерция моменттері
параллель өстерге қатысты формуладан табылады:
§* Щ
Ш
+ / *2 + а 1А2
-32 +
+256+2,65*-16 = 1105 см4'
4 = 4 С+ 1 ус = / ч
+іп + 4 а =
I гЗ
= 12 +0,942 •32 + 83 + 1’92 '16 = 180см4,
^ х Л г — \ *сУс + ^*сУс
+ а 1<^1 Д + 1ХГУ2 + а 2 ^ 2 ^ 2 =
0 +(-0,94)-1,3-32-84+ (-2,65)-1,9-16 = -205 см
Мұндағы
°і г Л т Х = 8 -6 ,7 = 1,3см, а2 = ^ 2
= 4,05 -6 ,7 = -2,65см,
= ДС|- *с = 1-1,94 = -0,94 см, </2 = х2 - = 3,84-1,94 = 1,9 см
параллель өстердің арақашықтықтары.
Басты орталық өстердің орындары белгілі формуламен анықталады
2і'х у
*§2а0 = - - —
.
я
Іххс - I Ус
2 • 205
= ------------ = 0,444.
1105-180
Тангенстің кестесінен 2а0 = 24° немесе а0 = 12°.
Басты инерция моменттері
1105 + 180
2
д/0105 - 1 80)2+ 4 -( - 205)
.
г
Есептеген соң, 7и = 1150см4,77V- 135см4. Табылған мэндердің дұрыстығына көз жеткіземіз:
1и +7„ =7
т
+7 У, немесе 1150 + 135 = 1105 + 180
1285=1285.
Басты инерция радиустары
Жарты өстері і , /у-ға тең эллипс тұрғызамыз.
Б ақы лау сүрақтары
1.
2.
3.
4.
Өске қатысты статикалық момент деген не?
Өстік, полярлық, центрден тепкіш инерция моменттері деген не?
Статикалық моменттің өлшем бірліктері.
Параллель өстерге қатысты инерция моменттерінің өрнектері
неге тең?
5. Орталық өске қатысты статикалық момент неге тең?
6. Қарапайым және күрделі қималардың ауырлық орталығы қалай
анықталады?
7. Инерция моменттерінің өлшем бірліктері.
8. Өзара перпендикуляр өстерге қатысты инерция моменттерінің
қосындысы неге тең?
9. Тік төртбұрыштың қырлары арқылы өтетін өстерге, орталық
өстерге қатысты инерция моменттері неге тең?
10. Үшбұрыштың табаны арқылы өтетін өске қатысты және төбесі
арқылы өтетін өске қатысты инерция моменттерінің қайсысы
үлкен, неге?
11. Сақиналы қиманың орталық өсіне қатысты инерция моменттері
неге тең?
12.Сақиналы, дөңгелек қиманың орталық өсіне қатысты полярлық
инерция моменті неге тең?
13. Параллель өстерге қатысты инерция моменттері қалай анықталады?
14. Бірнеше параллель өстердің кайсысына қатысты инерция мо­
мент! ең кіші?
15. Бүрылған өстерге қатысты инерция моменттері.
16. Өзара перпендикуляр өстерді бұрғанда, инерция моменттерінің
қосындысы өзгере ме?
17. Басты өстер мен басты инерция моменттері нені білдіреді?
18. Қандай өстер басты орталық өстер деп аталады?
19. Басты өстерге қатысты центрден тепкіш инерция моменті неге
тең?
, ,, ,.
20. Іх = / жэне / = 0 болса, қандай өстер басты өстер болып табылады?
;
21. Орталық өстердің екеуі басты өстер болып табылса, калган
өстері қалай аталады?
VI. Бүралу
§ 1.6. Негізгі түсініктер. Бұралу моменті
Сыртқы күштердің әсерінен білеудің көлденең қималарында тек
бұралу моменті М6 пайда болатын деформацияныц түрі бүралу деп
аталады. Бүралу деформациясы біліктерде, орамалы серіппелерде т.с.с.
құрылымдардың элементтерінде кездеседі. Түзу білеулерді оның өсіне
перпендикуляр жазыктықтағы бұраушы моменттермен (қос күштер)
жүктегенде, бұралу деформациясына үшырайды. Ол моменттерді М
арқылы белгілейді.
Тік білеу тыныштық күйде немесе бірқалыпты айналғанда, оған
эсер ететін бұраушы моменттердің қосындысы нөлге тең.
Білеулерге эсер етуші бүраушы моменттер пайдаланылатын қуат
пен айналу жылдамдығы арқылы анықталады. Білеу минутына п айналым жасаса, онда оның бір секундтағы радианмен өлшенетін бұрылу
бұрышы (л/60) ■2к немесе пп/30. Сонымен, білеудің беретін N қуаты
бүраушы момент пен білеудің бүрылу бұрышының көбейтіндісіне тең:
N = М х яи/30, М = ЪОЫ/(яи)кг-м.
Мұндағы қуат N кгм/сек-пен өлшенеді.
Егер қуат ат күші арқылы берілсе,
30-75-^Ү
М —------------= 716,2— кг- м —71620 — кг ■м
пп
п
п
п.б)
ал киловатпен берілсе, Іат.к = 0,736 кВт екенін ескеріп,
М = 973,6—кг-м =97360— кг-см.
п
п
(2.6)
Білеудің көлденең қимасында пайда болатын бүралу моменттері
сыртқы бұраушы моменттерге байланысты қию эдісімен анықталады.
Білеу тек екі бұраушы моментпен жүктелсе, (1.6а,б-сурет), кез кел­
ген көлденең қимадағы бүралу моменті сыртқы моментке тең (екі
сыртқы момент аралығында).
Білеуге бірнеше сыртқы бұраушы моменттер эсер етсе, әрбір
аралықтагы бүралу моменттерінің мәні әртүрлі болады.
Қию әдісінің негізінде кез келген көлденең қимадағы бұралу
моменті қиманың бір жағында жатқан барлық бұраушы моменттердің
алгебралық қосындысына тең. Білеулерді беріктікке, қатаңдыққа
есептегенде, бұралу моменті таңбасының ешқандай мэні жоқ, бірақ
олардың эпюраларын тұрғызу ыңғайлы болуы үшін, келесі таңба
ережелерін енгізеді. Білеудің қиылған ұшынан, оның өсі бойымен
қарағанда, бұралу моментінің бағыты сағат тілімен сәйкес келсе, ол оң
таңбалы болып есептеледі (2.6-сурет).
1.6-сурет
3.6-сурет
2.6,а-суреттегі білеудің көлденең қимасындағы бұралу моменті оң
таңбалы, ал 2.6,б-суреттегі бұралу моменті теріс таңбалы. 3.6-суреттегі
білеуге сырттан төрт бұраушы моменттер эсер етеді. 1-1 қимадағы
бұралу моменті теріс таңбалы, шамасы А/,-ге, 2-2 қимадағы бұралу
моменті М] М 2 моменттерінің айырмасына тең, оның таңбасы сыртқы
моменттердің мэндеріне байланысты анықталады. 3-3 қимадағы
бұралу моментін қиманың оң жақ бөлігінен анықтаған жөн, себебі тек
М4 эсер етеді.
Егер білеудің бір ұшы қатаң бекітілсе, тіректегі реактивті моментті
анықтамай-ақ, бос ұшынан бастап қию әдісін пайдаланып, бұралу
моменттерін анықтауға болады:
а)
М,=20 кны
1
м2=зо
М,=25 кн-ы
КЕМ
*2
М4=35 кн ы
3
б)
20
§
ІХ
4.6-сурет
Білеудің ұзына бойындағы бұралу моменттерінің өзгеруін оның
эпюрасы түрінде көрсеткен ыңғайлы. Айтылған эпюраны тұрғызу
үшін, 4.6,а-суретте көрсетілген білеуді қарастырамыз. Қию әдісін
пайдалансақ,
і
М.і
1-1 қимадағы М
20 кН • м;
2-2 қимадағы Мб2
Ц +М
20 + 30 = 10 кН • м;
3-3 қимадағы М б3 М. = 35 кН • м.
Бұралу моменттерінің табылған мәндер бойынша тұрғызылған
эпюрасы 4.6,б-суретте көрсетілген.
§ 2.6. Қимасы дөңгелек тік білеудің бүралуы
Жоғарыда айтылған бұралу моменттері ішкі күштердің тең әсерін
білдіреді. Бұралған сырықтың көлденең қимасында үздіксіз жанама
кернеулер эсер етеді. Осы кернеулерді анықтау үшін, бір ұшы қатаң
бекітілген білеудің бетіне тікбұрышты тор салынады (5.6,а-сурет).
Сырық деформацияланган соң (5.6,б-сурет):
1. Тік төртбұрышты торлар пам
ралелограмдарга айналады, ягни
а)
білеудің көлденең қималарында жа­
м
нама кернеулердің әсерін көрсетеді.
Жанама кернеулердің жұптылық
N
заңынан бойлық қималарда да жа­
нама кернеулер пайда болады.
2. Шеңберлердің арақашықтықтары (/, II шеңберлер), сырықтың
б)
ұзындығы мен диаметрі өзгермейді.
|мі_
Сондықтан әрбір көлденең қима өз
жазықтығында белгілі бір бұрышқа
N1^ппас
бұрылады (жазық қималар туралы
гипотеза). Барлық көлденең қималардың радиустары түзу күйін
сақтаиды.
Осы гипотезалардың негізінде,
5.6-сурет
бұралған
сырықтың
көлденең
қималарында тек жанама кернеулер пайда болады. Дененің кернеулі
күиі —таза ығысу.
Жанама кернеудің таралу заңдылығын білу үшін ығысу бұрышын
анықтайық. Ол бұрыш ИЫ' орын ауыстыруының (5.6-сурет, 6.6-сурет)
элемент үзындығына <іх қатынасымен анықталады:
і
ч_/
Үтах
гМ
с іх .
(3.6)
Білеудің қарастырылып отырған бөлігінен радиусы г цилиндрді
ойша бөліп алсақ, сырық өсінен р қашықтықта жатқан элементтің
ығысу бұрышы
ү = рс/ф/о&с.
(4.6)
Ыгысу деформациясындағы Гук заңы
т = С у = СрМсІх.
(5.6)
(3.6), (5.6) өрнектерінен ығысу деформациясы мен жанама кер­
неу ауырлық орталықтан қашықтыққа тура пропорционал. Жанама
кернеудің эпюрасы 7.6-суретте көрсетілген.
7.6-сурет
8.6-сурет
Дөңгелек қиманың ауырлық орталығында жанама кернеу нөлге тең,
ал білеудің бетіндегі нүктелерде ең үлкен мәнге ие болады.
Білеудің көлденең кимасында бір диаметрдің бойында, орталықтан бірдей кашыктықта орналасқан екі қарапайым ауданшаларды қарастырайық (8.6-сурет). Әрбір ауданшага эсер ететін күш тсіЛ,
көлденең қима жазықтығында орналасып, диаметрге перпендикуляр
багытталады. Мүндай күштер қос күштерді құрайды, олардың саны
шексіз көп, ал бүралу моменті олардың қорытқы күші болып саналады. Қарапайым т<ІА күшінің орталыққа қатысты моменті осы күш пен
ауданшадан орталыққа дейінгі арақашықтықтың көбейтіндісіне тең
сіМ6= тсІА ■р. Қимадағы толық момент келесі интеграл арқылы анықталады:
(6.6)
л
Кернеудің орнына (5.6) өрнегін қойып,
Мб - С
рг(1А = 0 — 1 , онда
(іх 1
Ох р
Ох
М6
С І'
(5.6) фомуладағы сіу/сіх ескерсек,
Мб
, = - . Р.
(8.6)
Кернеудің ең үлкен мәні р = г болғанда,
М 6 -г
I1 р
Мб
IV
үү р
(9.6)
Мұндағы
/ / г полярлық қарсыласу моменті немесе бұралудағы
қарсыласу моменті деп аталады.
Дөңгелек қима үшін
г' 4
=^
= 7 Г ° ’м 3 -
(10б>
2
Сақиналы қиманың полярлық қарсыласу моменті
Бұралған біліктің беріктік шарты келесі түрде жазылады:
Ттах
~Щ
(12.6)
формула
метрін және мүмкіндік бұралу моментін анықтауға болады:
Ш
І
Ш
в д = Щ ■м .
(13.6)
(14.6)
Жанама кернеу бойлық қимада да эсер ететіні белгілі, сондықтан
білеудің көлбеу қималарында тік жэне жанама кернеулер пайда бола­
ды.
Бізге қажеттісі - (7.3) формуласынан анықталатын басты
кернеулер. ах = оу = 0 деп қабылд а с а қ’ ,а1 = а тах = т’,о3 = отт. =- т, ал
(б.З)-тен басты ауданшалардың
көлбеу бұрышы а' = 45°, а" = 135°
(9.6,а-сурет).
Тэжірибелердің
негізінде
морт материалдардан жасалған
білік бұралғанда, ол өсімен 45°
жасайтын, яғни ең үлкен созушы
кернеу эсер ететін жазықтықтың бойымен қирайтыны анықталған.
а)
§ 3.6. Бұралган біліктегі деформация
мен орын ауыстыру
деформациясын
намыз:
<Ар = М6 ■сЫС1р
щщ
немесе ф = I---ЬС1
(15.6)
ах
М.
бұралу моменті мен С І - біліктің катаңдығы, ннтегралдау
аралығында тұрақты болса,
Мб
Ф = — —х
С7.
(16.6)
Бірлік аралыққа сэйкес бұрылу бұрышы салыстырмалы бұралу
бұрышы деп аталады:
/
СІ
(17.6)
Біліктің қатаңдығын қамтамасыз ету үшін, салыстырмалы бұралу
бұрышы мүмкіндік кернеуден аспауы немесе қатаңдық шарт орындалуы керек.
ш іі
(18.6)
Мұндағы [Ө] - салыстырмалы мүмкіндік бұралу бұрышы.
Негізінде, салыстырмалы мүмкіндік бұралу бұрышы 1 м аралықта
градуспен берілсе, онда (18.6) шарт келесі түрде жазылады:
п 180 м
Гл1
0 = — — <[Ө].
к О/р
І!
(19.6)
Мұндағы [0] біліктің қызметі мен өлшемдеріне байланысты
қабылданады. «Машина жасау анықтамасында» орта өлшемді біліктер
үшін 1 м аралықтағы [Ө] = 0,5°.
Қатаңдық шарттан (19.6) біліктің диаметрін анықтауға болады:
яС 0,і[Ө ]'
§ 4.6. Бүралуда бүрыштық оры н
ауыстырулардың эпюрасын түрғызу
Бұралуда сырықтың көлденең қималарының бүрыштық орын ауыстыру шамаларын анықтап, олардың эпюраларын тұрғызу қиынға
соқпайды. Қимылсыз қимасы жоқ білік (айналыстағы сырық) үшін
бұрыштық орын ауыстыруының эпюрасын тұрғызғанда, қандай да бір
қиманы шартты түрде тыныштықта деп қабылдайды.
Төмендегі мысалды қарастырайық (10.6-сурет). Біліктің А қимасын
формуласынан
ШШ¥
с ір
М
- АВ аралығындағы бұралу моменті, IАВ - аралықтың
салып. оны А
нүктесімен қосамыз, себебі аралықта бүрылу бұрышы түзу сызықты
заңдалықпен өзгереді. С қимасының В қимаға қатысты бұралу бұрышы
М св •/ в
Фсв= тг;
. он танбалы ол М ЕЫЙІ
"
В қимасы қозғалыста болғандықтан, С қимасының А қимасына
қатысты бүрылу бұрышы
а)
б)
в)
10.6-сурет
Айталық, фС/) теріс таңбалы қабылданған масштабпен төменгі жаққа
салынады. Табылған С нүктесін В нүктемен қосамыз. СО аралықта
бұралу болмайды, себебі бүралу моменті нөлге тең, сондықтан бүл
аралықтағы барлық қима С қимасының бүрылу бұрышына тең, эпюра
білік өсіне параллель (СП).
§ 5.6. Бүралудағы потенциалдык энергия
Сыртқы моменттердің әсерінен сырық қималары бүрылады (орын
ауыстырады). Бұл моменттердің орын ауыстыру аралыгындағы
жүмысы ішкі күштердің жұмысына тең, деформацияныц потен­
циалдык энергия қоры пайда болады.
Статикалық түрде эсер ететін сыртқы бұраушы моменттіц жүмысы
момент пен бүрылу бүрышының жарым көбейтіндісіне тең:
А = Мф/2.
(21.6)
Ішкі күштердің қарапайым жүмысы
сіА. = -МАр/2.
Мүндагы а&р = Мсһс/(СІ) немесе
<14. = - № (1x1(201).
Қарапайым жұмысты сырықтың үзына бойымен интегралдаса,
толық жұмыс анықталады:
1 'г М г3х
4 = -х (
(22.6)
Ішкі күштердің толық жұмысы кері таңбамен алынған потенциалдық
энергияға тең:
,
1\ М 2(іх
£/ = - л , = — ----------01
Сырықтың бойындағы бұралу моменті мен қатаңдығы тұрақты
гра
п л т А и и м о п тт ч іл ^ і т а п г п а
болса,
потенциалдық энергия
и = М Ч ! (201) .
(23.6)
§ 6.6. Қ им асы дөңгелек емес сы р ы қ ты ң бүралуы
Қимасы дөңгелек емес сырықтарды бұрағанда, олардың қималары
жазық күйлерін сақтамайды (депланация) (11.6-сурет).
Мүндай
бұралуға
ешқандай
кедергі жоқ болса,
сырықтың
көлденең қимасында тік кернеу
пайда болмайды. Бүралудың бұл
түрі таза немесе еркін деп аталады.
Мұндай жағдай сырықтың үштары
бекітілген, қималары мен бұраушы
момент тұрақты болғанда пайда бо­
лады.
Қимасы дөңгелек емес сырықтардың бойындағы жанама кернеулерді анықтау өте күрделі, тек
серпімділер теориясы эдістерімен
11.6-сурет
анықталады. Томенде қимасы тік
төртбүрышты а > Ь. Сырықтар үшін негізгі қорытындылар келтірілген.
Ең үлкен жанама кернеулер үзын қабырғасының ортасында пайда
болады (1,2 нүкте):
Ф=
ко
Бүралу бұрышы
II
та х
гМ б
(24.6)
сшЬ
М б1 _ м л
СЪаЬ
(25.6)
01I
Р
ты анықталатын
келтірілген.
коэффициенттер,
олардың
мәндері
1.6-кестеде
а/Ь
а
р
і
0,21
0,14
2
0,25
0,23
3
0,27
0,26
4
0,28
0,28
5
0,29
0,29
10
0,31
0,31
20
0,32
0,32
0,33
0,33
= ааЬ 2, 1' = раб3—тік бұрышты сырық бұралғандағы беріктік
пен қатаңдықты білдіретін геометриялық сипаттама.
1.6-кесте бойынша а/Ъ > 10
болғанда а = р = 1/3 деп қабылдауға болады. Қиманың периметрі
бойынша жанама кернеудің эпюрасы 12.6-суретте көрсетілген.
§ 7.6. Жүқа қабырғалы
түйық пішінді сырықтардың
бүралуы
12.6-сурет
Қалыңдығы і контур бойымен жайлап өзгеретін, көлденең қимасы
13.6-суретте көрсетілген цилиндрлі сырықты карастырамыз.
Сыртқы және ішкі контурдан бірдей қашықтықта орналасқан
нүктелердің орны қиманын орта сызығы деп аталады. Қиманың
калыңдығы шамалы болғандықтан, жанама кернеу бірқалыпты таралған деп есептеледі. Жанама кернеу мен калыңдықтың көбейтіндісі
барлық нүктеде тұрақты т • / = сопзі, оған көз жеткізу үшін, 13.6-суреттегі 1234 элементтің тепе-теңдігін қарастырамыз.
Бойлық 1-4 қимада жұп т,, ал 2-3 қимада т2 жұп кернеулер эсер
етеді. Сырықтың өсі бойына күштерді проекциялап, тепе-теңдік
теңдеуін жазсақ, т^сіх = х212сЬс немесе
= т2*2 = х • 1 = сопзі қарапайым
/ • (15 ауданшаға эсер ететін күш х • 1(15, ал бүл күштің кез келген О
нүктесіне қатысты бүралу моменті тI ■(15 ■р.
Сырық жасаушыға параллель О нүктесі арқылы өтетін өске қатысты
моменттердің қосындысы бүралу моментіне тең:
М = ^ хір< і 8 -^
} 5
Мұндағы р(15, оаЬ үшбұрышының екі еселенген ауданына тең,
сондықтан М = \ті2сІА 2x1 = сопзі болғандықтан,
М = хі ■2А,
(26.6)
х = -У — .
21* -
(27.6)
-,&У
и
.
•- .
Соңғы формуладағы ең үлкен керне
сэйкес келеді:
М
пих
(28.6)
2 А ішш
Сыртқы бүраушы моменттің жүмысының ішкі күштердің
жүмысына тең екені белгілі. Сырттан статикалық түрді эсер ететін
моменттің бүрыштық орын ауыстыру аралыгындагы жүмысы
А = Мф/2.
' н, , \
Көлемі іЫ5 элементтің потенциалдык энергиясы
т?
<Ш = — іШ5.
20
,.
Мүндағы I сырықтың үзындығы.
Сырықтың толық потенциалдык энергиясы
V = — | і 2і<15.
20І
г
(27.6) формуласын ескерсек,
п
1
Г
М
1
V = ---- —;—~ІСІ8 = ------- ;---2 С { 4 і гА 2
8С А 2 і I
Потенциалдык энергия сыртқы күштің жүмысына тең, онда:
МІ 5((15
;
§ 8.6. Ж р а қабырғалы ашық пішінді
сырықтардың бүралуы
Жұқа қабырғалы ашық пішінді сырықтың қимасы п тік төртбұрышты жұка қабыршақты элементтерге бөлінеді:
п
4 =
Мұндағы / элемент үшін 1КІ
/=0
'
(зо.б)
ш
/ -ең қалың тік төртбұрышты элементтің қысқа қабырғасының
ортасында жанама кернеудің мэні ең үлкен. Жұқа қабыршақты
сырықта қисық сызықты элементтер кездессе, I . қалыңдығы айтылған
элементтегідей ұзындығы һ элемент өсінін ұзындығына тең тік
төртбұрышқа анықталғандай есептеледі.
Прокатты қималы сырықтарды бұрағанда, (30.6) формуласына
түзету коэффициенттерін енгізеді:
Бүрыштама қима - 1,00, қоставрлы қима - 1,2; таврлы қима - 1,15;
швеллерлі қима —1,12.
§ 9.6. Бүралудагы статикалық анықталмаган жүйелер
Бүралған жүйелердің бойында пайда болган бұралу моменттерін
анықтауға статиканың тепе-теңдік теңдеулері жеткіліксіз болса,
жүйелер статикалық анықталмаған деп аталады. Мұндай жүйелерді
есептеу үшін, деформацияның негізінде қүрылған қосымша орын
ауыстыру теңдеулері қажет.
Екі үшы қатаң бекітілген дөңгелек қималы білеуді қарастырайық
(14.6-сурет). Берілген білеу үшін тек бір гана тепе-теңдік теңдеуі жазылады:
£ Л / = м в - м + МА = 0.
Екі белгісізді бір теңдеу, жүйе статикалык анықталмаған, қосымша
теңдеу қажет.
Мұндағы Мг МА - бекітпеде пайда болган бүраушы реактивті моменттер. Қосымша теңдеуді алу үшін, сол жақтағы бекітпеден босанамыз (14.6,6-сурет). Сырыктын сол жактағы ұшының бұрылу бүрышы
Фа - 0, шындығында, бұл қимада
қатаң бекітпе бар.
Күштердің бір-біріне тәуелсіз
принципі бойынша
і
Фв = Ф*+Фв = 0.
а)
б)
Мұндағы ф'д, Мв, ал ср2в - берілген М бұраушы моменттерінің
эсерінен бұрылу бұрыштары. Белгіформулалардан
в)
г)
Фв
= ~МВ■і/(сір) ф2 = мь/(сір).
Орын ауыстыру теңдеуіне қойсақ,
д)
- м ві/ ( с і р ) + мь / ( с і р )= 0
немесе
М
.
=
МЫІ.
и
е)
Тепе-теңдік теңдеуінен
Мл = М —Мв = МаП.
ж)
Белгісіз реактивті моменттер
14.6-сурет
анықталған соң, бұралу моменттерінің эпюрасы статикалық анықталған (14.6,д-сурет) жүйеге тұрғызылғандай (14.6,е-сурет).
Бұрылу бұрыштарының эпюрасын тұрғызу үшін, аралықтарда олар
түзу сызықты заңдылықпен өзгеретінін жэне А, В қималарында нөлге
тең болатындығын ескереміз, себебі бүл қималар қатаң бекітілген.
Сонымен, С қимасының бүрылу бүрышын анықтасақ, жеткілікті
Ф Фв + Фдс (14.6,д-сурет):
Фя
а
М Й■а
0, фс - ф вс — —
I а _ МаЪ
—
Бұрылу бұрыштарының табылған мэндері бойынша, олардың эпю­
расы 14.6,ж-суретте көрсетілген.
МП®
1.6-мысал. 400 айн/мин жылдамдықпен айналып түрған диаметрі
сі болаттан жасалған білікке төрт шкив отырғызылған (15.6,а-сурет).
С шкиві қозғалтқыштан
= 100 кВт қуат а лады, қалган шкивтер
Мх - 25 кВт, Ы2 = 45 кВт, Ил = 30 кВт қуат береді.
Біліктің диаметрін анықтаңыз [т] = 40 МПа, [Ө1 = 0,25°, 0 = 8 - 104 МПа.
А/. =973,6— = 973,6-^- = 61 кгм = 0,61 кНм;
1
п
400
45
М 2 =973,6—- = 973,6---- = 109кг*м = 1,09кН*м;
2
п
400
М3 = 9 7 3 ,6 ^ = 9 7 3 ,6 —
3
и
400
243 кг- м = 2,43 кН- м;
М4 = 973,6-^-= 973,6 — = 73 кг-м = 0,73 кН-м.
п
400
Табылған моменттер 15.6,б-суретте көрсетілген. 3-ші шкив жетекші
болғандықтан, одан берілетін момент бір бағытта, қалғандары кері
бағытта болады.
Әрбір аралықтағы бұралу моменттерін анықтап, олардың эпюра—
~ *° —
М } — Мх = 0,61 кН ■ м, ВС аралықта
М * = Мх + М2 = 0,61
1,61 + 1,09 = 1,70 кНI • м, С£> аралықта М ) = М + М - М .з
0,61 + 1,09 - 2,43 = -0,73 МПа.
А
С
в
I
Мі=6,61 т м
т
I
М2=1,09 № Н
Мз=5.43 кнм
0=й
і
М4=р,73 кн-м
б)
,70ннм
в)
0,61 И
М
Іі
0,73кнм
15.6-сурет
Бұралу моменттерінің табылған мэндері бойынша, олардың эпюрасы 15.6,в-суретте көрсетілген. Ең улкен бұралу моменті ВС аралықта
1,70 кНм.
Беріктік шарттан білеудің диаметрі анықталады:
= 0, 2<Р =
немесе <1 = *
М
170 кН-см
= -—--^‘--7- = 42 5 см3
4 кН/см
= 5,93см, білеудің диаметрін <і= 6 см қабылдаймыз.
Қатаңдық шарт бойынша
Ө=
М
01 „
М
<[0І.
С •0, М*
1 м аралықтағы мүмкіндік бұралу бұрышы 0,25-^' 180
онда
<1=
М
С-0,1[Ө]
=
170
4,
:т = 8,4 см .
8-10 -0,1-4,36-10
Қатаңдық шарттан беріктік шартқа қарағанда үлкен диаметр
қажет, сонымен, сі = 8,4 см қабылдаймыз, себебі ол екі шартты да
қанағаттандырады.
!‘
■ 4•»н 'ь * ,,к’ “ “ г
2.6-мысал. Екі ұшы қатаң бекітілген қимасы сатылы дөңгелек
М 2кНм бүраушы момент эсер етеді. О = 8 • 104МПа (16.6сурет).
Бүралу моменттері мен бүрылу бұрыштарының эпюраларын
тұрғызыңыз және біліктің потенциалдық энергиясын анықтаңыз.
М —2 кн-м
сЬ=10 ои
МВ
а)
ь ц.о м
0.5 м
к М - 2 кн|
б)
--------- 1—
□
в)
V
В
с
1
0.885
г)
16.6-сурет
Ш еш уі: Қатаң бекітпелерде Мл, Мв реактивті моменттер пай да бо­
лады.
к
мастырамыз (16.6,б-сурет). Білеудің сол ұшындағы бұрылу бұрышы
= 0 теңдігін пайдаланып, қосымша теңдеу құрамыз
ұшы қатаң бекітілген).
бұрышы М жэне М . эсерлерінен бұрылу бұрыштарының
косындысына тең, яғни ф^ = ф^1+ ф^2 = 0.
Тек М . бұраушы моментінің эсерінен
қималарында Мл, моментіне тең бұрал
М =М =М =М '
ф2 = ф/ + ф / + ф '= Й А + М М , +
_ ^_л_; Ь _ + Ь _ + А .)
4
1
2
3
с і р'
о і IР
с і ір
о
і 'Р і р2 і р
Екінші, үшінші аралықтағы полярлық инерция моменттері өзара
тең:
/ ‘ = 0,1 •
» 0,1 •104 = 1000 см4, / 2 * 0,1</4 = 0,1 •64 = 12 9 6 см
2
М Л 100
50
<9л Г Г^Г-І гггг+
+
С Ііооо 129,6
50
129,6 /
0,87М
С~
Берілген моменттен әрбір аралықтағы бұраушы моменттер
М\ | М '2 1 0, Л/з = М = -2 кН-м,
°нДа
Ф
-Л/-А
-200-50
77
сі2р
(7-129,6
С
= 0 ө р н е г ін е а п а р ы п қ о й с а қ
0.87М,
— —
77
р -=00..
77
М л -= ----— = 88,5 кН-см = 0,885 кН м
Әрбір аралықтың көлденең қималарындагы бұралу моменттері
Мл= 0,885 кНм, М2 = МА= 0,885 кНм,
М, = мл - М= 0,885 - 2 = -1,115 кНм.
М, =
Осы мэндер бойынша тұргызылган эпюра 16.6,в-суретте көрсетілген.
Әрбір аралықтағы бұралу бұрыштары
ж _ЛГ,/,
Фі ~ С1, ~
°> р
88,5 -100
,
Гр-------------= 1.11 10 рад;
8 І О ^ ІОООсм*
см
_ м 217
01р
М 313
88,5-50
8 - 1 0 3 -1 2 9 ,6 - 4 ’ 2 7 *10
Ра д ’
-1 ,1 1 5 -5 0
рад'
Қималардың бұрылу бұрыштары төмендегідей анықталады:
Фл = 0, Фо = Фл + Фі = 1,11 ■10~3ра&,
Фс = <р0 + ф2 = 1,11 -10“3 + 4,27 •10"3 =5,38 •10'3рад;
Фд = Фс + Ф3 = 5 , 3 8 - 1 0 '3 - 5 , 3 8 - 10~3
Бұрылу бұрыштарының эпюрасы 16.6,г-суретте тұрғызылған.
Фя = 0 мэні бұралу моменттері дұрыс анықталғандығын білдіреді
Потенциалдық энергия белгілі формула бойынша есептеледі:
п
- М ? 1і
2 0 і\
,М
2 12
201р
,
_
2 0 Ір
88,52 -50
2-8-103-1000
88,52-50
2 -8-103-129,6 +
(-1 1 1 ,5 ? -5 0
+
= ° ' 5 4 К Н ' СМ '
5 4 ’ 10
м•
Бақылау сұрақтары
1. Деформацияның қандай түрі бүралу деп аталады?
2. Шкив арқылы берілетін момент, қуат жэне бұрыштық жылдамдық арқылы қалай анықталады?
3. Бұралу моментінің таңбасы қалай анықталады?
4. Толық жэне салыстырмалы бұралу бұрыштары деген не?
5. Тік дөңгелек қималы білеудің бұралуында қолданылатын болжамдар.
6. Дөңгелек қималы білеудің көлденең қималарында қандай кер­
неулер пайда болады?
7. Дөңгелек қималы білеу бұралғанда, эрбір нүктедегі кернеулі
күйдің түрі қандай?
8. Бұралудағы қиманың қатаңдығы?
9. Полярлық инерция моментінің өрнегін жазыңыз.
10. Полярлық қарсыласу моменті деген не, оның өлшем бірлігі.
11. Сақиналы қиманың полярлық инерция моментінің өрнегін
жазыңыз.
12.Сақиналы қиманың полярлық қарсыласу моментінің өрнегін
жазыңыз.
13. Бұралғанда, білеудің сақиналы қимасы дөңгелек қимаға
қарағанда не себепті тиімді?
14. Дөңгелек қималы білеудің қандай ауданшаларында экстремальды кернеулер пайда болады?
15. Морт материалдардан жасалған білеу бұралғанда қалай қирайды?
16. Білеудің бұралу деформациясындағы потенциалдық энергия
неге тең?
17. Бұралған білеу үшін беріктік шартты жазыңыз.
18. Бұралған білеу үшін қатаңдық шартты жазыңыз.
19. Қимасы дөңгелек емес білеу бұралғанда, көлденең қималары
жазық күйде қала ма?
20. Қандай жүйелер статикалық анықталмаған?
21. Статикалык анықталмаған есептерге мысалдар келтіріңіз, олар
үшін орын ауыстыру теңдеулері қалай құрылады?
V II. И ілу
§ 1.7. Жалпы түсінік
Призмалық сырықтың өсі арқылы өтетін жазықтыкта қос күш не­
месе өсіне перпендикуляр бағытта күштер эсер ететін болса, иілу деформациясы пайда болады.
дфеормациясына
арқалық деп атала­
ды. Тэжірибенің көрсетуіне қарағанда, айтылған күштердің әсерінен
арқалыктың өсі иіледі. 1.7-суретте симметриялы өсте орналасқан
күштер жүйесі көлденең қимасы тік төртбұрышты сырықта иілу деформациясын туғызады.
Күш эсер ететін жазықтық
симметриялы болмаса, иілумен
қатар, сырықтың бұралуы байкалады.
Қүрылым немесе машина элементтерінде арқалықтар жиі кездеседі, олар басқа элементтерден қысым қабылдап, арқалықты
ұстап тұрған бөліктерге береді.
Ғ,
Сонымен, арқалықтарға, жүктелген күштер мен тірек реакция1.7-сурет
лары эсер етеді.
Арқалыққа жүктелген күщтерді тірек реакциялары тепе-теңдік
күйде ұстап, күш жазықтығында жатады.
Тірек реакцияларын анықтау үшін, олардың түрлерімен танысайық:
а) топсалы жылжымалы тірек (2.7-сурет) (В тірегі);
б) топсалы жылжымайтын тірек (2.7-сурет) (А тірегі);
в) қатаң бекітпе (3.7-сурет).
Яв *
ггһт
В
Н.
/7^77^7
гпһл
В
А
ПТгТП
С
4.7-сурет
А
гггУгл
Н.
В
М.
5.7-сурет
а)
С
А
В
гп һ п £>
б)
п £гһ і
ЛтҺт7
гттһл
6.7-сурет
Топсалы жылжымалы тірек (В), тірек кимасы В ауырлық
орталыгында орналасқан топсаның айналасында бұрылумен қатар, го­
ризонталь багытта орын ауыстыруға қарсылық көрсетпейді (2.7-сурет).
Топсалы жылжымалы тіректе, арқалық өсіне перпендикуляр тек бір
гана реакция Кв пайда болады.
Топсалы жылжымайтын тірек 2.7-суреттің А нүктесінде келтірілген,
ол арқалыктың тірек қимасы ауырлық орталықтың маңында еркін
бұрылуына қарсылык көрсетпейді, бірақ бұл ұшының ілгерілемелі
қозғалысьга шектейді.
Арқалық пен топсаның жанасу нүктесі белгілі, ал реакция мен
оның бағыты белгісіз, сондықтан бұл реакция екі кұраушысымен алмастырылады: НА аркалық өсімен, КА арқалық өсіне перпендикуляр
багытталған (2.7-сурет).
Арқалық ұшының қатаң бекітілген тірегінде барлық багыттагы
жылжу шектеледі (3.7-сурет).
Арқалық ұшының бүрылуы шектелгендіктен, реактивті момент МА
пайда болады, ягни қатаң бекітпе тірегінде үш түрлі реакция Я л., Мл.,
ЯА туады.
Аркалык айтылған тіректермен әртүрлі байланыста болуы мүмкін.
2.7-суретте арқалықтың бір ұшы топсалы жылжымайтын тірекке
бекітілген, 3.7-суреттегі арқалыктың бір үшы қатаң бекітілгсн.
4.7-суреттегі арқалық бір топсалы жылжымайтын (А), екі топса­
лы жылжымалы тіректерге (В, С) бекітілген, ал 5.7-суреттегі арқалық
қатаң бекітпе (А) мен топсалы жылжымалы тірекке бекітілген, көрсетілген реакциялар сыртқы күш эсерлерінен пайда болады.
Арқалық сыртқы күш пен тірек реакцияларының әсерінен тепетеңдік күйде болғандықтан, статика теңдеулерінен белгісіз реакциялар
анықталады. Барлық күштер жазықтықта ориаласқандықтаи, стати­
ка теңдеулерінің саны үшке тең. Сонымен, белгісіз реакциялар саны
үшеу болғанда, статика теңдеулерінен реакциялар анықталады, яғни
үш реакциялы арқалық статикалық анықталғаи.
Аралық топсалары бар, көпаралықты арқалықтар да статикалық
анықталған жүйелерге жатады.
6.7,а-суретте екі арқалықтан тұратын жүйе көрсетілген. ВС
арқалығына СӘ сырығы тік бағыттағы жылжуды шектесе, В топсасы тік, горизонталь бағыттағы жылжуларды шектейді, ал АВ
арқалығының А тірегінде үш реакция пайда болады.
6.7,б-суретте үш арқалықтан тұратын көпаралықты арқалық бейнеленген, олардың әрқайсысында үш байланыстан бар.
Статикалық анықталатын арқалықтардың тірек реакциялары келесі
түрде табылады:
1. Күштердің өзара параллель емес, кез келген екі өске проекциялары жэне жазықтықтыц кез келген нүктесіне қатысты моменттердіц
қосындысы ( £ х = 0, Ү у = 0,
= 0).
2. Кез келген өске қатысты күштердің проекциялары жэне күштер
проекцияланатын өске перпендикуляр бір түзудің бойында жатпайтын, кез келген екі нүктеге қатысты күш моменттерінің қосындысы
(2> = 0, Т М Л = 0, ІЛ /Й= 0).
3. Бір түзудің бойында жатпайтын, үш нүктеге қатысты моменттердің қосындысы (Мл = 0, М В- 0, Мс = 0).
Жоғарыдағы айтылған әрбір үш теңдеу бір-біріне тэуелсіз шешілгені
жөн.
6.7,а-суретте көрсетілген арқалықта төрт, 6.7,б-суретте бес
тірек реакциялары пайда болады. Бүл арқалықтардағы тірек реакцияларын анықтау үшін, статиканың үш теңдеуімен қатар, аралық
топсаға қатысты оның бір жағында жатқан күштердің моменттерінің
қосындысы нөлге тең, яғни арқалықтар статикалық анықталған.
М ысалы. 7.7,а-суреттегі арқалықтың тірек реакцияларын анықтау
керек.
Арқалықты тіректерден босатып, олардың әсерлерін реакция
түрінде көрсетеміз. (Я, Кл,
(7.7,б-сурет). ЯА, Н топсалы жылжымайтын тіректегі, Кв жылжымалы топсадағы реакция.
Барлық күштерді горизонталь х өске проекциялап, Н реакциясын
анықтаимыз:
Ух = Н = 0.
Арқалыққа тек тік күштер эсер етсе, горизонталь реакция нөлге
тең.
7.7-сурет
В нүктесіне қатысты күш
теңестірсек, КА анықталады:
моменттерінің қосындысын нөлге
ХА /в = ^ / + А / - Ғ ( / - а ) - 9(/+ с )Г /-
+ғ
*л —
(1 - а )
I
\
/+с
2
= 0,
\
С
1+ с
/+
/+Я
I V ~т
А нүктесіне қатысты күш моменттерінің қосындысы:
I +с
Х ^ = / ? в '/ - м - ? ( / + с ) ү - Ғ 'в = а
/ +с / +с „а
Кн - — + л ------------+ Ғ —.
М
в
I
I
2
I
Тірек реакцияларының дұрыстығын, барлық күштердің тік (у) өске
проекцияларын қосып тексереміз:
„
г
,,
!
п
М
ЕУ = Я А - Ғ - д ( 1 + с ) + К в = —
„ І-а
+Ғ —
(/ і с )(1 і с)
+ д ^ -------
А-£
(/ + с)(/ + с)
а _ _а
- Ғ - д ( І + с) + — + д - ----- —---- - + Ғ - = Ғ - Ғ - +
.
М
I
I
21
I
(/ + с ) 2
а
+ д ---------- Ғ - д ( 1 + с) + д - ------— + Ғ
I2 - с 1
21
21
( 12 - с 2 | I 2 + 21с + с 2 }
Я
V
I
8
I
.
2 /(/+ с )
г'
д (1 + с) = д — - —* - д (1 + с) = 0
у
Теңдеу нөлге айналады, яғни тірек реакциялары дұрыс анықталған
§ 2.7. Ішкі күштердің эпюралары
Арқалықтарды беріктікке есептегенде, сыртқы күштердің әсерінен
оның бойындағы көлденең қималарындағы ішкі күштердің өзгеру
заңдылығын білген жөн. Бұл заңдылықты аналитикалық өрнекпен
көрсетіп, эпюра деп аталатын арнайы график түрінде көрсетуге бола­
ды. Ішкі күштердің (көлденең күш (), ию моменті М, бойлық күш №)
арқалық бойымен өзгеру заңдылығы олардың эпюрасы деп аталады.
Эпюраның әрбір ординаты сәйкес көлденең қимадағы ішкі күштің
мэнін білдіреді.
Арқалықтың қимасындағы көлденең күш (), қиманың бір жағында
жатқан барлық күштердің арқалық өсіне перпендикуляр бағытқа
проекцияларының алгебралық қосындысына тең.
Арқалықтың көлденең қимасындағы ию моменті қиманың бір
жағында жатқан барлық күштердің қима ауырлық орталығына
қатысты моменттерінің алгебралық қосындысына тең.
Ішкі күштердің эпюраларын тұрғызбас бұрын, әуелі олардың таңба
ережелерімен танысайық.
Арқалықтың т-п қимасының сол жағындағы сыртқы күштердің
қорытқы күші төменнен жоғары, ал оң жағындағы күштердің қорытқы
күші жоғарыдан томен бағытталса, қимадағы көлденең күш (() > 0) оң
таңбалы (8.7,а-сурет), кері жағдайда теріс таңбалы (О < 0) (8.7,б-сурет).
т
/
7"
/
Ғ
Ғ
т
/
\
Т
\
п
п
Ғ
8.7-сурет
а)
м
м
М<0
б)
\\
м
м
9.7-сурет
Аркалықтың т-п кимасының сол жағындағы сыртқы күштердің
қорытқы моменті сағат тіліне, ал оң жағындағы сыртқы күштердің
қорытқы моменті сағат тіліне қарсы бағыттас болса, қимадағы ию
моменті (М > 0) оң таңбалы (9.7,а-сурет), кері жағдайда (М < 0) теріс
таңбалы (9.7,б-сурет).
Төменгі арқалық үшін 0 , М эпюраларын тұрғызайық (10.7-сурет).
Арқалық бойындағы көлденең күш пен ию моментінің өзгеру
заңдылыгы тұрақты бөлігін аралық деп атаймыз.
Қадалган күш әсеріндегі қима тарал ған күш басталатын, аяқталатын
немесе таралған күш қарқындылығы басқа заңмен өзгеретін көлденең
қималарды аралықтардың шеті ретінде қабылдайды. Қарастырылатын
арқалық төрт аралықтан тұрады. Бір үшы қатаң бекітілген, екінші ұшы
бос арқалық (консольді арқалық) бос ұшынан бастап есептеледі.
I аралық 0 < х < 2 м
Оі —^ У - Ғ = 40кН —соп5І, Л/| =
сол
М - Ғ •х, = 40х,.
соя
Таңба ережелері бойынша ^ оң танбалы, себебі сол жақтағы Ғ күші
жоғары багытталган, Мои, танбалы, сол жақтағы момент сағат тілімен
бағыттас.
аралықта тұрақты, ал М түзу сызық заңдылыгымен өзгсрсді:
х = 0; М = 40 • 0 = 0; х = 2 м, М = 40 • 2 = 80 кН • м.
а)
6)
в)
80»н к
14 бхН и
г)
^82жН м
д)
4кН
,,4*н
40
10.7-сурет
II аралық 0 < х 2 < 5 м.
Ішкі күштердің анықтамалары мен таңба ережелерін пайдалансақ,
в2= Ъ у =Ғ
- ч (х 2
-2) = 40-12(х2 -2).
саі
Мұндағы д(х 2 - 2) таралған күштің қорытқы күші II аралықта тарал
ған күштің дэл ортасына эсер етеді:
М 2 = ' £ М = Ғ - х 2 - д (хг - 2 \ Хг
сол
2
2
X = 2 м аралықтың басы 0 2 = 40 кН; Мг = 40 • 2 = 80 кНм х = 5 м
шықтың соңы <2, =40 - 12(5 - 2) = 4кН.
III аралық 0 < х 3 < 6 м.
()3 = Ғ - ^ - 3 = 40-12-3 = 4 кН =сопзі,
М3 = Ғ-лс3-0-3(дг3-3,5)=4О-дг3-12-3(хз -3,5),
хг = 5 м, 0 3 = 4 кН, М3 = 146 кНм,
3=
6 м,
03
= 4 кН, м з = 40 • 6 - 12 • 3(6 - 3,5) = 150 кНм.
IV аралық 0 < х < 9 м.
^^ = Ғ - ^ •Ъ = 4 0 - 3 6 = 4 кН = сопзі,
М = . Ғ • х 4 - ? • 3(х4- 3,5) + М
х4 = 6 м, Л/= 40 • 6 —12 • 3 • 2,5 + 20 = 170 кНм,
*4 = 9 м, М = 40 - 9 - 12 • 3(9 - 3,5) + 20 = 182 кНм.
Ішкі күштердің оң таңбаларын нөлдік түзуден (эпюра өсі) жоғары
қарай, теріс таңбаларын төмен қарай тұрғызамыз (107,б,в-сурет).
Арқалықтың әрбір аралығы тепе-теңдік күйде болатынына көз
жеткізейік. Ол үшін ВС аралығын қарастырсақ:
І ,У = Я в - 0 с - Я -3 = 4 0 -4 -1 2 -3 = 0 ,
£ М С = М В+ б я -3- д - З - 1,5- М с = 80+40-3-12-3-1, 5-146 = 0,
Ү у = 0, Ү М С = 0 болғандықтан, арқалықтың ВС бөлігі тепе-теңдік
күйде.
Екі тіректі арқалық үшін ішкі күштердің (0, М) эпюраларын
тұрғызайық (117,а-сурет).
Тірек реакцияларын (КА, Кв) А жэне В нүктелеріне қатысты момент
теңдеулерінен анықтаймыз:
' £ М в = К л -1- я х а [ і + ь \ - ч 2Ъ± + Ғ Ъ - М =0
\
немесе
Ял - 4 - 4 0 - 2 ( 1 + 2 ) - 5 - 2 - 1 + 2 5 - 2 - 4 0 = 0,
і
іррііш
вдніиш
А
4
^ М А = д1а - + д 2Ь а + — - Ғ
немесе
а-М-Кв 1
40 • 2 • 1 + 5 -2 • 3 1 25 • 2 - 40 - К. • 4 = 0,
щ=40кН/м
а)*
б)
в)
11.7-сурет
Табылған реакциялардың дұрыстығын тексеру үшін, күштердің тік
өске проекцияларының қосынды теңдеуін қүрамыз:
^ У = КА + К В + Ғ - д іа - д 2Ь = 60 + 5 + 2 5 - 4 0 - 2 - 5 -2 = 0
Сонымен, тірек реакциялары дұрыс анықталған.
Арқалық екі аралықтан түрады. Көлденең күш пен ию моменттерінің
өрнектері.
I аралық 0 < х, < а = 2 м.
-<7*, = 6 0 - 40х,
0\
сол
м \=
= Кл х ~
=(>0хх-40-^-,
о2
дс, = 0,0, = 6 0 -4 0 -0 = 60кН; М, = 6 0 -0 -4 0 — =0,
22
х, = а = 2 м, 0, = 60-40-2 = -2 0 кН; М, = 6 0 -2 -4 0 — = 40кНм.
Бірінші аралықта ^ таңбасы + тен - өзгереді, яғни х-тің белгілі
мэнінде
—0.
О
=
60
-4
0
х,
=
0;
х,
=
—
=
1,5м.
вд
1
-1 40
2
1,5
х = 1,5 м, М, = 60 •1,5 - 40 - ү - = 45 кНм аралықтағы ең үлкен шама.
I I аралы қ0<х2< 6 = 2моңтіректенбастапқарастырамыз. Көлденең
күштің таңба ережесінен
а § Ш + дх2 I - 5 1 5х2,
2
М 2 = Квх2 - ч х 2^ + М = 5 х 2 - 5 ^ + 40,
3*2 = 0, £?, = -5 кН; М, = 40 кНм,
22
х2 =Ь = 2м = £?2 = -5 + 5-2 = 5кН, М 2 = 5 - 2 - 5 у + 40 = 40 кНм.
Аралықта 0 2 таңбасын өзгертеді, сондықтан
(?2 = -5 + 5дг2 = 0,
х2 = - = 1м.
Щ
щ
Ию моментін есептесек,
I2
Мі - 5-1-5 —+40 = 42,5кНм.
2
2
Табылған мәндер бойынша көлденең күш пен ию моментінің эпю
ралары 11.7,6, 11.7,в-суреттерде көрсетілген.
§ 3.7. Ию моменті, көлденең күш , таралған күш
қар қы н д ы л ы ғы арасы ндағы диф ф еренциалды қ байланыс
Жазық күштер жүйесі эсер ететін арқалықты қарастырайық (12.7,асурет). Арқалықтан бөлінген ұзындығы өте кішкентай дх қдрапайым
элемент қарқындылығы ^ таралған күштің және 0 , (?, = 0 +
көлденең күштер мен М, А/, = Л/+ сІМ ию моменттерінің эсерінен тепетеңдік күйде болады.
а)
б)
д=4<х)
12.7-сурет
Бөлінген элементтің тепе-теңдік теңдеулері келесі түрде жазылады
Х> = 0; £ + ц<іх - (£> + АО) = о,
Х Л /0 =0;А/ + (Мх + дсіх
- ( М + сІМ) = 0 .
Бірінші теңдеуден дсіх - 4 0 = 0 ,
(1.7)
Я
(ІХ
Көлденең күштің абсцисса бойынша бірінші туындысы таралған
күштің қарқындылығына тең.
Екінші теңдеуден екінші ретті аз шамаларды ескермесек,
сіМ
дх
(2.7)
Ию моментінің абсцисса бойынша бірінші туындысы көлденең
күшке тең.
(2.7) екі жағынан да х бойынша туынды алсақ,
<і2М
Ю
Ох2
йх
а 2м
немесе — — —а .
Ох2
4
(3.7)
формуласы
Ию моментінің қиманың абсциссасы бойынша екінші туындысы
таралған күштің қарқындылыгына тең. Егер д төмен бағытталса (3.7):
Л2М
сЬс2
= -а
және
(ІХ
Я
(2.7), (3.7) формулаларынан
(2.7')
0 { х )=)я(х)<*х + ()(р),
■".Ыр:^
Ш
' м\
'
;'. * і іг Я ^
х \ \ |5ИЭ ^ЯІщІІ^Ннйш '
„. +%* •
^іИІг*-** -,:-
М (дс) = | ^(x)с^x + М (0).
(3.7')
о
Мұндағы 0(0), А/(0) тұрақтылары — аралық басындағы қадалған
күш пен ию моменті.
(2.7) өрнегінен таралған күш қарқындылығы д = 0 қимада көлденең
күш () = <2 тах немесе () = &тіп, себебі ^ = Щ/сІх = 0. £ эпюрасына
жүргізілген жанама - арқалық өсіне параллель. Осы сияқты (3.7)-ден
^ = сІМІсЬс = 0 кимасында ию моменті ең үлкен немесе ең кіші мәніне
не болады.
Жоғарыдағы дифференциалдык
М эпюрасы
байланыстардың негізінде маңызды
корытындыларға келуге болады:
1. Ию моментін шектейтін қисыққа жүргізілген жанама мен эпю­
ра өсінің арасындағы бұрыштың
тангенсі көлденең күшке тең
эпюрасы
(13.7-сурет).
2. Көлденең күш I%ам = ^ оң
таңбалы аралықта ию моменті өседі
(солдан оңға), ал теріс таңбалы
аралықта кемиді.
13.7-сурет
3. Көлденең күштің абсолют
шамасы неғүрлым көп болса, соғүрлым ию моментінің өсуі (кемуі) жылдам.
4. Көлденең күш түрақты аралықта ию моментінің эпюрасы
түзумен шектеледі.
5. Көрші аралықтардың түйісетін кимасында көлденең күш эпюрасында секіріс болмаса, ию моментін шектейтін кисык бір-біріне сынбай жалгасады, яғнн түйісу нүктесіндегі жанама ортақ.
6. Көрші аралықтардың түйісетін қнмасында, көлденең күш эпюрасында секіріс болса, ию моментін шектейтін қисық бүл нүктеде сынады, яғни ортақ жанама болмайды.
7. Көлденең күш нөлге тең қимада ию моменті ең үлкен немесе ең
кіші мәнге ие болады, бұл қимада ию моментін шсктейтін қисыққа
жүргізілген жанама - эпюра өсіне параллель.
§ 4.7. Ішкі күштердіц эпюраларын
тұрғызу мысалдары
Құрылымдарды есептегенде, ішкі күштердің эпюраларын тұрғызудың айтарлықтай орны бар, осыған орай бірнеше мысал қарастырамыз.
Бір ұшы қатаң бекітілген, екінші ұшында моментпен жүктелген
арқалық үшін ішкі күштердің эпюраларын тұрғызайық (14.7-сурет):
=& М =
=
ОН
ОН
Көлденең күш нөлге тең (арқалық таза иілу деформациясында), ал
ию моменті тұрақты мәнге ие.
(), М өрнектері бойынша олардың эпюралары тұрғызылған (14.7,б,всурет)
,
,, , , ■'
Бір ұшы қатаң бекітілген, екінші ұшында қадалған күшпен
жүктелген арқалықтың бойындағы ішкі күштердің эпюраларын
түрғызу керек (15.7,а-сурет),
0 = ^ У - - ( - Ғ ) = Ғ , М = г У .М = -Ғ х . ’
к ' - ^ 'г
б)
в)
14.7-сурет
15.7-сурет
в , М эпюралары 15.7,б,в-суреттерде көрсетілген.
Бір үшы қатаң бекітілген арқалықтың ұзындығы Ь-га тең аралығы
таралған күшпен <7 жүктелген. Ішкі күштердің эпюраларын тұрғызу
керек (16.7,а-сурет).
Арқалықтың I аралығы жүктен бос болгандықтан, солдан оңға
қарай бүл аралықтағы ішкі күштер нөлге тең.
И»
б)
6) А
Ла
() эпюрасы
дЬ
ҒЬ
*) 1
М эпюрасы
*)
2
ш
г)
г)
16.7-сурет
17.7-сурет
0 , = О, М = О
Екінші аралықтағы ішкі күштер
X
дх
(>2 = * Ү у= -д Х ; м 2 = Ү М = - д х - = 2
2
соя
сол
Мұндағы х - қарастырып отырған қимадан екінші аралықтың басталатын қимасына дейінгі арақашықтық.
(), М өрнектерінің негізінде 16.7,б,в-суреттерде олардың эпюралары
турғызылган. 7, 77 аралықтың түйіскен қимасында көлденең күш нөлге
тең, сондықтан М эпюрасын шектейтін кисыкка жүргізілген жанама эпюра өсіне параллель.
Қатаң бекітпедегі тірек реакциялары (), М эпюраларынан аныкталады, олардың мәндері осы қимадағы эпюраның мәндеріне тең
(16.7,г-сурет К = аЬ, М
аЬЧ2).
Екі тіректі арқалық қадалған күшпен жүктелген, ішкі күштердің
эпюраларын тұрғызу керек (17.7,а-сурет).
В нүктесіне қатысты күш моменттерінің қосындысын нөлге
теңестіріп Ял тірек реакциясын анықтаймыз:
ҒЬ
Ү , М В= К А. 1 - Ғ - Ь = 0; Кл =
I
Күштерді у өске проекцияласақ,
Ғ + Кв —0; Яв —Ғ —Я
Ғ -а
I
Арқалық екі аралықтан тұрады (17.7,б-сурет). Көлденең күш пен ию
моменттерінің өрнектерін құрамыз.
Бірінші аралық (0 < х < а)
саі
—,
М х=
ҒҺ
= Ял х = — х.
саі
Екінші аралық (а < х < Г) Екінші аралықты оң жақтан қарастырған
тиімді:
Г_ РРЯ
ОН
1
5
м 2= - ^ М = -[-Я в (1-х)] =^ ( 1 - х ) .
он
I
Көлденең күш аралықтарда тұрақты, оның эпюрасы 17.7,в-суретте
көрсетілген.
М \9 М 2 ию моменттері х-пен сызықтық байланыста, сондықтан әрбір
аралықта олардың екі мэнін білсек жеткілікті:
дс10,М , = 0 - , х = а , М і = М 2 = ү а ; х = 1, М 2 = — (/ - / ) = 0.
Арқалықтың ұштары топсалы бекітілгендіктен, бұл қималарда ию
моменттері нөлге тең, оларды есептемесек те болады.
Ию моментінің эпюрасы 17.7,г-суретте көрсетілген, оның ең үлкен
мэні Ғ күші эсер етіп тұрған қимада Гм =
. 17.7,в,г-суреттерден
таралған күш жоқ, аралықтарда көлденең күш түрақты, ал ию моменті
сызықтық заңдылықпен өзгереді. Ғ күші эсер ететін қимада ^ эпюрасында күшке тең секіріс пайда болады, сондықтан ию моментін
шектейтін сызық осы қимада сынады. Тірек реакциялары сыртқы
О-де секіріс, М -де
болады.
(), М эпюрала
рын түрғызу керек (18.7,а-сурет).
В топсасына қатысты моменттің теңдеуінен Я . анықталады:
£ м в = я а і + м = о, я а = - М .
Күштерді тік өске проекцияласақ,
' £ у = яа + я в = о, яв = - яа = і“
Кл реакциясының теріс таңбасы, ол, шындығында, төмен бағыт-
талуға тиіс екендігін білдіреді.
Қарастырып отырған арқалық екі аралықтан тұрады.
Бірінші аралық (0 < х < а)
м
а =2>=*
і
СО. 7
м, = Г я
х=
саі
Екінші аралық (а < х < 1)
Я і = 'Е
у
СО.1
м 2= Ү м =
ОН
=
к
а = -
М
I ’
[ - * , (I - * )] = у (/ - )
() өрнегінен арқалықтың барлық қимасында ол
моменті сызықтық заңдылықпен өзгеретіндіктен:
М
I
-ге тең. Ию
дг= 0,М| =0, х = а , М ] = - —-а\ М г = ~ ү (і ,гв )= —-Ь, Х = І, М
0
Табылған мәндері бойынша тұрғызылған
М эпюралары 18.7в,гсуреттерде көрсетілген. Ию моментінің эпюрасын шектейтін сызық екі
аралықта бір-біріне параллель, себебі екі аралықтағы көлденең күш
бірдей.
В
Сыртқы момент әсері бар
а)
&
қимада, ию моментінің эпюра/
сында, осы моментке тең секіріс
м
пайда болады.
1^—7--} в
6)
Екі тіректі арқалық ұзына
ь
бойы бірқалыпты таралған куші1
пен (д) жүктелген ішкі күштерө) м
дің эпюраларын тұрғызу керек
I
(19.7,а-сурет).
Арқалық орталық кимасына
г)
қарағанда симметриялы, сондықтан
т ір е к
реакциялары
К
,
К
в
Тік өске күштерді проекцияласақ,
£/
=
+ Яв - д і = 0 немесе ЯЛ= КВ
2
Абсциссасы х-ке тең қимадағы ішкі күштер:
//
й = Ц У = ЛА- ч х = д
-дг
сат
V2
/
М = £ А / = Я А х - д х ^ = Щ {1 ~х).
саі
Бұл өрнектер Журавский теоремасын қанағаттандырады
сІМ
с/х
Я=д \--х
\
=
0-
Көлденең күш сызықтық заңдылықпен өзгереді.
Х = 0 ,<2 = ^ ; х = 1, в = Ж .
0-дің эпюрасы 19.7,в-суретте көрсетілген.
Ию моменті квадратты параболла түрінде өзгереді, оның эпюрасын
түрғызу үшін, арқалықтың үш қимадағы мәндерін есептейміз.
/
/
42(і_і
дг= 0, А/ =0; х = —, М = —
2
2
2
; х = 1, М = 0
Табылған мәндері бойынша ию
моментінің эпюрасы 19.7,г-суретте
тұрғызылған. Арқалықтың сол
таңбалы
момент кемиді.
х = 1/2 қимасында О
Мтах
ды
ал
не бола-
Ию моментінен екінші туындыны алсақ,
п
<12М
СІХ2
я
У
~ Л Х) функциясының екінші
оның дөңес беті жоғары қарайды.
бағытталса
ның дөңес беті төмен, төмен бағытталса, дөңес беті жоғары
бағытталады.
Журавский теоремасы бойынша
ДГ-І
**>
сіМ - () сіх немесе | <1М = [ ()(1х;
(4.7)
= ? 0 * = [о > е ] 2 :
ч
Ш = М*Х +[«сГ
(5.7)
Мұндагы Мж, М . х {, х 2 қимадағы ию моментінің мэні, Гсо^ ]
көлденең күш 0 'эпюрасының х {, х 2 аралықтағы ауданы.
4
Сонымен, х
х 2 аралыктағы ию моментінщ өзгеруі осы
аралықтағы көлденең күштің ауданына тең. (4.7), (5.7) формулалары аралықта сыртқы момент әсері жоқ болғанда орындалады. (4.7)
формуласының негізінде 19.7-суреттегі арқалықтың ортасындағы ию
моментін табамыз.
Ч2
= к 1 ;
•
8
Кез келген қимадағы ию моменті
/
11■=1 2
дг.
Үшбұрыштардың ұқсастыгынан (19.7,в-сурет)
2
/
М =
2
/
2
I I
Ч
х
х —-— - + _
2 12 2
V
7
•
Жоғарыдағы М өрнегімен сэйкес келеді.
Жоғарыдағы келтірілген мысалдардың негізінде (), М эпюралары
келесі тэртіппен тұрғызылады:
1. Күш әсеріндегі арқалықтың есептеу нұсқасы көрсетіледі.
2. Тіректердің арқалыққа әсері бағыттары көрсетілген реакцияларымен алмастырылады.
3. Статиканың тепе-теңдік теңдеулерінен тірек реакцияларының
мэндері анықталады. »
>ж .
V
4. Шеттері қадалған күш, сыртқы момент таралған күштің
басталған, аяқталған қималары болатындай арқалық аралықтарға
бөлінеді.
5. Әрбір аралық үшін, ию моменті мен көлденең күштің өрнектері
құрылады.
6. Эпюра тұрғызуға жеткілікті болатындай, эрбір эпюраның ординаттары есептеледі.
7. Көлденең күш нөлге тең болатын арқалықтың қималары
анықталады,
бұл
қималарда
ню
моменті
М немесе М .
/.
м
тах
тіп
8 . т1 аоылған
ординаттар боиынша эпюралар тұрғызылады.
9. Тұрғызылған эпюралардың бір-біріне сәйкестігіне байланысты
оларды тексереді.
Белгілі днфференцналдық байланыстарды қолданып, (), М эпюраларының өрнегін қүрмай, олардың белгілі қималардағы мәндерін
анықтап түрғызуға болады.
Айтылған әдіспен 0 , М эпюраларын түрғызуды 20.7,а-суреттегі екі
тіректі арқалықта көрсетейік.
Тепе-теңдік теңдеулерін келесі түрде жазамыз:
= - Ғ ,-2 + Ғ2 1+ М + я -3(4 + 1 , 5 ) - • 7 = 0,
Ү , М в - Ғ г 9 - Ғ 2 - 6 - д З \ . 5 + ЯА 7 = 0 .
Жүктемелердің орнына мәндерін қойып, тірек реакцияларын
анықтаймыз:
КА = 57 кН, Кв = 48 кН.
Тірек реакцияларының табылған мәндері 20.7,а-суретте көрсетілген.
Арқалық бес аралықтан тұрады. /, //, ///, I V аралықтарда
тұрақты
арқалық өсіне параллель, себебі таралған күш әсері жоқ.
аралықта ^ тұрақты —Ғ = -30 кН-ға тең, сол жақта тек төмен
бағытталған Ғ 1 эсер етеді. /, II аралықтың түйіскен қимасында тірек реI
акциясы КА= 57 кН, сондықтан £) осы мэнге секіреді. II, III аралықтың
түйіскен қимасында Ғ 2 = 15 кН, төмен қарай секіріс пайда болады. III,
IV аралықтарда көлденең күш түрақты, сыртқы моменттің көлденең
күшке эсері жоқ. V аралықта сол шетінен (12кН) бастап, оң тірекке
дейін сызықтық заңдылықпен кемиді (аралықта таралған күш 9 бар).
Арқалықтың оң ұшында көлденең күш - К в = -48 кН-ға тең.
Ию моментінің эпюрасын тұрғызғанда, I, II, III, IV аралықтарда
ол сызықтық V аралықта қисық сызықты заңдылықпен өзгеретінін
ескереміз.
Бірінші аралықгың басында (сол ұшында)
М = 0.
Екінші аралықтың басында, бірінші аралықтың соңында
М - - Ғ х • 2 = -30 • 2 = -6 0 кН • м.
Екінші аралықтың соңында, үшінші аралықтың басында
М = -Ғ .1 • 3
+
К
л
1
=
-30
-3
+
5
7
-1
=
-33
кН
•
м.
М КГ л
Үшінші аралықтың соңында
М = - Ғ х • 4 + К • 2 - Ғ , • 1 = -30 • 4 + 57 • 2 - 15 • 1 = -21 кН • м.
Төртінші аралықтың басында
М = - Ғ1IV
- -«■
4 +Ж
КА- 2 - Ғ 2- 1 + М = -30 • 4 + 57 • 2 - 15 • 1+51 = -30кН м.
Төртінші аралықтың соңында
М = —Ғ. •6 + Л<- 4 - / г -3 + М = —
30 • 6 + 57 • 4 —15 • 3 + 51 = —54 кН • м.
аралықтың соңы мен IV аралықтың басында ию моментінің
мәндері бір-бірінен 51 кНм айырмашылығы бар, себебі бүл қимада
сыртқы момент М = 51 кНм эсер етеді.
III
аралықта 0 эпюрасы нөлге тең болатын қима кездеседі, оның осы
аралықтың басынан қимаға дейінгі арақашықтығын оңай табуға бола­
ды, ол үшін 0 аралық басындағы мәнін таралған күш қарқындылығына
бөледі, яғни 12 /у = 1 2 /2 0 - 0 ,6 м.
Бұл қимада ию моменті ең үлкен мәнге ие болады, оны оң жақтан
есептеген жеңіл.
V
0
т Ш і=
-
- К в -2 , 4 + 9 - 2 , 4 3 4
он
= 57,6 кН м.
= 4 8 - 2 ,4 - 2 0 - 2 ,4 ^
Ғ=30кн
15 кн
4 —51 к н м
а)
<
д = 20 ки/м
Л= 57>Х
ІЛ=48м
_ 1м _
2м
Зм
Оэпюрасы
27
.. 2,4м
12
6)
30
Мэпюрасы
54
г
48
в)
60
20.7-сурет
Аралықтардағы өзгеру заңдылықтары ескеріліп, (), М эпюралары
20.7,б,в-суреттерде тұрғызылған.
>
§ 5.7. Таза иілу
Иілудегі кернеулі күиді эуелі арқалықтың белгілі бір аралығында
^ = сіМ / с іх = 0, яғни М = соп8і жағдайдан бастаймыз (21.7,а,б,с-суреттер).
Арқалықтың көлденең қималарында көлденең күш нөлге тең, ию
моменті тұрақты деформацияның түрі таза иілу деп аталады.
Таза иілуде арқалықтың меншікті салмағы ескерілмеген. 21.7 а,б,с
М
аралықтары
деформациясында.
Иілудің жалпы түрінде арқалықтың көлденең қимасындағы
қарапайым сІА ауданшадағы ішкі күштер - тсІА, асіА көбейтіндісі
түрінде көрсетіледі.
Таза иілуде арқалық қимасындағы ішкі күштер сол қимадағы ию
моментін теңестіретін қос күшке тең болуға тиіс. Мүндай қос күш
тек тік кернеудің әсерінен туады, себебі олар - ию моменті жататын
арқалықтың симметриялы жазықтығына параллель.
21.7-сурет
Тік кернеулерден тек қос күш пайда болуы үшін, олардың ішінде
оң таңбалысымен қатар, теріс таңбалылары да болуға тиіс, сондықтан
кимасының биіктігі бойымен арқалық талшықтары созылады жэне
сығылады. Айтылған талшықтардың арасында не созылмайтын, не
сығылмайтын бір талшық кездеседі.
Талшықтарының үзаруы (қысқаруы) нөлге тең талшықтардан
тұратын жазықтық бейтарап жазықтық деп аталады (22.7,а-сурет NN
сызығы).
<*)
М
М
І-І
б)
О
О
Бейтарап жазықтық пен арқалықтың көлденең қималарының
киылысу сызығы бейтарап сызық немесе бейтарап өс деп аталады
(22.7,б-сурет).
Тәжірибелердің негізінде дәлелденген, иілу теорнясына қажетті
болжамдармен танысайық.
Иілуге дейінгі арқалыктың жазық көлденең кималары деформациядан кейін де, жазық күйінде қалады, тек бейтарап өстің айналасында
бұрылады.
Таза иілудегі 23.7,а-суреттегі арқалықты қарастырайық.
Сыртқы күштің симметриялы болуынан арқалықтың ортасындағы
/-/ қимасы жазық, арқалық өсіне перпендикуляр күйінде қалады, осы
сияқты, кез келген көлденең қима жазық өске перпендикуляр күйін
сақтайды. Бұл Бернуллидің жазық қималар гипотезасы деп аталады.
Таза иілгенде арқалықтың кез келген бойлық элементі бойлык
талшықтары тек өсі бойымен созылады немесе сыгылады, ал кез
келген горизонталь ауданшада кернеу болмайды, сондыктан көрші
талшықтар бір-біріне қысым көрсетпейді.
а)
б)
І-І
о=0
23.7-сурет
Таза иілген арқалықтың бетіне таяу элементті карастырсак
(23.7,б-сурет), оның төменгі және жоғарғы беттерінде ешқандай күш
жоқ, демек, бүл беттерде қысым да жоқ, яғни аралық бойлық беттер
бір-біріне қысым жасамайды (23.7,в-сурет).
Таза иілгенде ию моменті түрақты болғандықтан, арқалықтың
барлық қималарының кез келген нүктесіндегі тік кернеу түрақты.
Бейтарап өстен тең қашықтықтағы талшықтардың үзаруы да бірдей,
сондықтан бейтарап өстен ені бойымен бірдей қашықтықта жатқан
нүктелердегі кернеулер өзара тең.
моменті арқылы таза иілген арқалықты 1-1 қимасымен
(24.7,а-сурет) екіге бөліп, біреуінің, мысалы, сол жағының тепетеңдік шартын қарастырамыз. Сызба қарапайым болуы үшін, суретте тік төртбұрышты арқалық көрсетілген, тек қос күш симметриялы жазықтықта орналасса жеткілікті. 2 өсін бейтарап талшықпен
бағыттасақ, х қиманың бейтарап өсі болады (24.7,б-сурет).
Ию моментінің әсерінен арқалықтың көлденең қимасының эрбір
нүктесінде тік кернеу а пайда болады, әрбір қарапайым ауданшаға
Ш = асІА күш эсер етеді. Арқалықтың қарастырып отырған бөлігі
тепе-теңдік күйде болғандықтан, оған эсер етуші күштер жүйесі
статиканың алты теңдеуін қанағаттандыруға тиіс.
Әуелі күштерді координат өстеріне проекциялайық. М қос күшінің
кез келген өске проекциясы нолге тең, ал сІЫкүші х, у өстеріне перпен­
дикуляр болғандықтан, үш проекция теңдеуінің орнына тек бір ғана
теңдеу жазылады:
М
Ү/, = 0, немесе
= 0.
Қосындыны аудан бойынша интегралмен алмастырсақ,
\ М = \ ЫА =о,
А
(6.7)
А
х 9у, 2 өстеріне қатысты момент теңдеулерін жазамыз:
£ М = 0 немесе \ъ-х<ІА =о,
£А / = 0 Немесе
усІА =0.
(7.7)
(8.7)
А
Сонымен, алты теңдеудің орнына үш тепе-теңдік теңдеуі қалады:
{ае/А= 0 ,
А
I ахсіА = 0,
(9.7)
А
(ауі/А = М .
Үш теңдеуден кернеу анықталмайды, себебі, кернеудің биіктік бойымен өзгеру заңдылыгы жэне бейтарап өстің орны белгісіз.
Оларды анықтау үшін, арқалықтың деформациясын қарастырамыз.
Арқалықтан /-/ жэне //-// қималары арқылы қарапайым сіх элемент
бөліп аламыз (25.7,а-сурет).
а)
б)
I
II
О
О
А
В
I
СІХ
II
25.7-сурет
Бұл элементтің деформацияға дейінгі жэне деформациядан кейінгі
түрлері 25.7,а,б-суреттерде көрсетілген.
Деформацияның негізінде, жазық қималар гипотезасы бойынша,
бейтарап өске қатысты қималар М бұрышқа бұрылады. Бейтарап
талшықтың жоғарғы бөлігіндегі талшық қысқарса, төменгі бөлігіндегі
талшық ұзарады, ал О хОг талшығы алғашқы өлшемін сақтайды.
Бейтарап талшықтан у кашыктықтағы А ХВХ талшығының үзаруын
анықтайық. Талшықтың алғашқы ұзындығы АВ = О р г рсІӨ. Деформациядан кейін, бұл талшықтың абсолютті ұзаруы
АВ
=
(р
+
у)сі&
р</Ө
=
усів
1"!
Салыстырмалы ұзаруы
Аі
£
усід
р^Ө
Аі
У
(10.7)
Р
Иілу деформациясы серпімділік шектен аспағанда, бойлық тал­
ииықтар бір-біріне қысым жасамайтындыгы ескеріліп, Гук заңынан
қарапайым созылудағы кернеу анықталады:
о
= еЕ = —Е.
Р
о
(11.7)
Бөлініп алынған элемент үшін
кисықтық радиусы р түрақты
болғандықтан, (11.7)-ден иілудегі
кернеу қима биіктігі бойын­
ша бейтарап өске дейінгі арақашықтыққа тура пропорционал
заңдылықпен өзгереді. Кернеудің
мәндері бейтарап өстің бойында нөлге тең. Биіктік бойынша кернеудің
таралу заңдылығы 26.7-суретте бейнеленген.
Бейтарап өстің орны белгісіз болғандықтан, (11.7) формуласы
арқылы кернеуді анықтауға мүмкіндік жоқ. (9.7) жэне (11.7) теңдеулерін
бірге шешейік. (11.7)-дегі кернеуді ст (9.7)-нің бірінші теңдеуіне қойсақ,
\Ы А = \? -Е сІА = - [ у ( І А = 0 .
>
■* Р
Р}
Е/р Ф 0 болғандықтан,
ІусіА = 0.
(12.7)
Бұл интеграл көлденең қима ауданының бейтарап х өске қатысты
статикалық моментін білдіреді, ол нөлге тең болғандықтан, бейтарап
өс у ауырлық орталық арқылы өтеді. Ауырлық орталық у симметриялы
өстің бойында жатқандықтан, х, у өстерінің қиылысу нүктесі көлденең
қиманың ауырлық орталығы болып табылады, себебі г арқалық өсі.
(9.7) теңдеулерінің екіншісіне а өрнегін қойсақ,
Е
Е/р ф 0 болғандықтан,
ГхуйА
0.
(13.7)
Басты өстерге қатысты ортадан тепкіш инерция моменті нөлге тең,
онда х, у басты өстер.
(9.7) үшінші теңдеуін пайдалансақ,
М = - \ у 20А
Р
Мұндагы іу*сІА = I х өсіне қатысты инерция моменті
онда М = ЕІх/р немесе 1/р = М/ЕІх.
(14.7)
(15.7)
(15.7)-ден ЕІ көбейтіндісі көп болған сайын қисықтық радиус
1/р шамасы кемиді, ягни арқалық иілуі аз, ЕІ иілген арқалықтың
қатаңдыгы деп аталады. (15.7)-ні (11.7)-ге қойып, кернеуді анықтау
формуласы жазылады:
с = — у.
Е1/
(16.7)
Бұл өрнектен иілудегі тік кернеу бейтарап өске қатысты ию
моментіне, кернеу анықталатын нүктеден бейтарап өске дейінгі арақашықтыққа тура, ал инерция моментіне кері пропорционал.
(16.7) формуласынан көлденең қиманың кез келген нүктесіндегі
кернеуді анықтау үшін, ию моменті мен инерция моменті белгілі
болуға тиіс. Кез келген қима үшін инерция моменті / = іу^сіА өрнегімен
фигуралардың инерция моменттері
тарауда анықталған:
(17.7)
К е -Ь
Упвх
х өсіне қатысты қарсыласу моменті деп аталады, оның өлшем бірлігі
см3, м3, т.с.с.
Мұндағы у - бейтарап өстен ең алыс жатқан нүктеге дейінгі арақашықтық.
Бейтарап өсі симметриялы арқалықтар үшін ең үлкен созушы кер­
неу
М
° тах = Т" Утах
К
немесе
М
IVсав
(18.7)
(19.7)
Сығушы ең үлкен кернеу
(20.7)
^тах
К
немесе
ст
тах =
—
М
сыг
мүндағы ҒҒо}, IVсш - созудағы жэне сығудағы өстік қарсыласу
моменттері. Арқалық бойындағы ең үлкен ең кіші кернеулер
шіп
М
~уу'
(21-7>
Арқалықтың беріктігін қамтамасыздандыру үшін атах созылудағы,
атіп сығылудағы мүмкіндік кернеулерден аспауға тиіс.
Созылу, сығылу үшін мүмкіндік кернеу бірдей болса, беріктік шарт
М г
2И-
(22.7)
Бейтарап өс симметриялы болмаса, арқалықтың материалы созы­
лу мен сығылуға қарсылығы эртүрлі болады, онда беріктік шарт екі
хүряі:
М
<
Ы
,
—
ЦТ
«.
I- *
-соз
оз
Ш
у/
"саз
<[о1
.
*- -*сыг
(23.7)
сыг
Егер арқалықтың материалы созылуға, сығылуға қарсылығы бірдей
болса
ду
—
<
[а].
(24.7)
цг і і
(22.7), (23.7), (24.7) формулаларын пайдаланып, негізгі үш түрлі
есептерді шешуге болады:
1. Ию моменті мен қима белгілі болғанда беріктікке тексеру:
М г і
_
2. Ию моменті мен арқалықтың материалы белгілі, көлденең
қиманың өлшемдерін анықтау (жобалау есебі):
\¥ >
М
И ’
3. Қиманың өлшемдері мен арқалық материалы белгілі, оның жүк
• •
көтерпштігі анықталады:
М < IV [о].
Арқалықтың жүк көтергіштігі қарсыласу моментіне пропорционал,
ал материалдың қолданылуы (жұмсалуы) қиманың ауданына пропор­
ционал.
Сондықтан қабылданатын қиманың тиімділігін меншікті қарсыласу
моментінің шамасына байланысты анықтайды
IV
IV
= — см.
А
Тік төртбұрышты арқалық үшін
V/
= — = 0 ,ПҺ.
6ЬҺ
Дөңгелек қималы арқалық үішн
^мт = Т " Т “ 0,125с/
Лиг
Прокатты қоставрлы арқалык үшін
IV = 0,32А.
Соңғы арқалық биіктіктері бірдей тік төртбұрышты арқалықтан шамамен екі еседей, ал дөңгелек арқалықтан 2,5 еседей тиімді.
Арқалық өсінің иілуі қималардың өзара бұрылуына байланысты
25.7-суреттен сЮ = сіх/р және 1/р = М/ЕІ ескерсек,
МЛх
(25.7)
Арқалықтың (іх элементі иілгенде ию моментінің бұрыштық орын
ауыстыруы аралығындағы жұмысы
45 = - М/Ө.
2
(25.7)
формуласындағы сЮ қоятын болсақ жэне ию моментінің
жұмысы потенциалдық энергияға айналатыны ескеріліп,
сІЦ =
= - ~ 2(ІХ
2 ЕІ
■
‘
М *
Арқалықтың ұзына бойындағы қарапайым энергиялардың қосындысы толық потенциалдық энергияға тең:
.! \ м г<ь
"ІііГ
< 2 6 '7 )
Қимасы тұрақты арқалық таза иілгенде,
■
Т1 М 21
и - щ ^л-яжа
'V'
4%
лит ЯЯ-шк &
• ш #
#
<27-7>
Егер арқалық бойындағы ию моменті эрбір аралықта х-ке тәуелді
функциямен өрнектелсе, онда (26.7) интегралы интегралдар қосындысы
түрінде жазылады:
Т,
и =
V 1 Г
М ^СІХ
2 Е1X
(28.7)
деформациясының
энергиясы аз шама болғандықтан, ескерусіз қалады.
§ 6.7. Көлденең иілу
Бойында ию моментімен қатар, көлденең күші бар қимасы тік
төртбұрышты арқалықты қарастырайық. Көлденең күш эсерінен
арқалықтың қимасында жанама кернеу пайда болады, оның бағыты
белгісіз.
ВС қырының маңында бөлініп алынған сІА ауданшада ВС-та көлбеу
жанама кернеу т эсер етсін. Бұл кернеуді ВС-га параллель жэне пер­
пендикуляр багытта т^, тх2 қүраушыларға жіктейміз (27.7,а-сурет).
Жанама кернеудің жұптылық заңы бойынша арқалықтың бүйір
бетіндегі с/А' ауданшада ха кернеуі болады (277,а-сурет). Арқалықтың
бүйір бетінде ешқандай жанама күш жоқ, сондықтан т = т =0.
г эпю расы
А Ж /І\ Ж
т
п
х
27.7-сурет
к^
Бейтарап х өсіне параллель тп түзуін жүргізсек, осы түзудің
бойындагы ВС жэне АО қырларына тэн нүктелерде т кернеуі эсер
етеді, сондықтан тп түзуінің кез келген нүктесіндегі жанама кернеудің
багыты мен шамалары т^-ке тең (27.7,б-сурет).
Сонымен, келесі болжамдарды кабылдаймыз:
1. Арқалықтың бетінде жанама күш жоқ болса, контурдың
маңындагы кез келген нүктедегі жанама кернеу контурга параллель
багытталган (немесе нелге тен).
2. Қиманың ені бойымен жанама кернеу бірқалыпты таралган.
гп
•
9_
_
_
3. Таза иілудегі ст= — у формуласы көлденең иілуде де дұрыс.
1Л
1
Арқалықтың жүктен бос аралыгында бір-бірінен сһс қашықтыкта
орналасқан ас, Ьсі қималарымен аһссі тік төртбұрышты бөліп аламыз
(28.7-сурет).
Қиманы күш жоқ аралықта қабылдагандықтан, көлденең күш, жа­
нама кернеу ас, Ъсі қималарында бірдей. ас қимасындағы ию моменті
М кимасындағы ию моментіне тен болмайды.
ас қимасындағы ию моменті М болса, ЬЛ қимасындағы ию
моменті М + <ЛМ. Аралықта М > 0, х өскенде момент те өседі, онда
с1М/с1х = ^ > 0. Арқалықтың ас, Ьсі қималарының екі шетіндегі бөлік-
терін алып тастап, олардың әсерлерін жанама және тік кернеулермен алмастырамыз (28.7,6-сурет), ст, сіп беттерінде т. кернеуі эсер
еткендіктен, кернеудің жұптылық заңынан тп бетінде хгу кернеуі
пайда болады (28.7,б-сурет). Тік жэне жанама кернеулердің тең эсерлі
күштері 28.7,в-суретте келтірілген. Тепе-теңдік теңдеуінен
Ы’ + ТЪ- Ы" = 0
немесе
(29.7)
| а'сіА + хгр й х - [а"(іА = 0.
Интегралдау тек кесіліп алынған бөлікте жүргізіледі, яғни педсі не­
месе ст /к аудандарында
(30.7)
(30.7)-ні (29.7) қойсақ,
М, I кесіп алынған бөлікке тәуелді болмағандықтан,
Мұндағы
педсі бөлініп алынған ауданның х өсіне қатысты
статикалық моменті, онда
1
х һV ( і х -
Ъ
М
(31.7) Журавский формуласы деп аталады.
Тепе-теңдік шарттан горизонталь ауданшадағы жанама кернеу
анықталды, кернеудің жүптылық заңынан мұндай кернеулер
және ст/к тік ауданшаларда да болады.
(31.7) формуласындағы
Іх, Ь берілген қима үшін тұрақты
болғандықтан, хг статикалық моменттің озгеруіне тэуелді.
Тік төртбұрышты қиманың статикалық моменті боліп алған
бөліктің ауданын осы бөліктің ауырлық орталығында бейтарап өске
дейінгі арақашықтыққа көбейткенге тең, яғни
\
ЬІҺ
5: =
(32.7)
У
2 4
У
Тік төртбұрыш үшін 1 = Ъһъ/\2 , онда (31.7)-ден
Ь
12аЬ
4
Ь
у
=
\
У
Ъһ -2
Жанама кернеу биіктігі бойы­
мен параболла заңдылығымен
өзгереді (29.7-сурет).
Жанама кернеудің ең үлкен
мәні у = 0 болғанда
т шах
ІЯ .Л Я .
2Ьһ 2 А
6£ ' V
(34.7)
(33.7)
Ьһ3 Т ~ у /
а)
Г”
“1
X
с
Ж
2А
_К
а
і
29.7-сурет
§ 7.7. Иілудегі басты кернеулер
Иілген арқалықтың көлденең қималарында тік кернеулермен қатар,
жанама кернеулер эсер ететіндігіне көз жеткіздік.
Арқалықтан симметриялы өсте жататын қарапайым элементін
бөліп алсақ, г өсіне перпендикуляр орналасқан ауданшада тік о, жа­
нама т кернеулері эсер етеді (30.7-сурет). Ол элемент жазық кернеулі
күйде болады.
Арқалықтың бойлық талшықтары бір-біріне қысым жасамайтындықтан, у өсінің бағытындағы тік кернеулер нөлге тең, онда басты
формуласы
ШШ
Ш
м и
н н
т Я
V ■
“ЯГ
IV Ш ^
ж
.
« Д .
Ш
а
° +—
1 у/а
Г г—
+х
2 2
а
1
а 3 ~ ~ - - л / с т ^ +4т
мұндағы <т
М
(35.7)
0 -8 *
УЛ=
х
1 -Ъ
Абролюттік шамасы бойынша
-л/ст2 + 4 т 2 > СТ
2
2
болғандықтан, ст мен т таңбаларына байланыссыз о > 0, а < 0, сондықтан ст, - басты созушы, а? - басты сығушы кернеулер деп аталады.
асты кернеулер белгілі болса, беріктік теорияларының біреуі
арқылы арқалықты беріктікке есептеуге болады:
\
а
1
Бірінші беріктік теориясы — + —л /а2 + 4 г2 < Гст1
2
2
2
2
а + 4 т ‘{ < [а !
Үшінші беріктік теориясы л/ст2 + 4 г 2 <[ст]
Төртінші беріктік теориясы л/ст2 +Эг2 < [а]
(36.7)
Бұл формулаларды қалай қолданады, арқалықтыц қандай нүктесін
беріктікке тексереді деген сұрақтар туады, сондықтан көлденең
қимадағы қауіпті нүктелерді білген жөн. х бағытында көлденең қима
үздіксіз өзгеретін болса (тік төртбұрыш, дөңгелек, эллипс, трапе­
ция...), тәжірибелердің негізінде қауіпті нүкте екеу, қос таврлы, таврлы
қималарда үшеу болатындығына көз жеткізген.
Арқалықтың ең үлкен ию моменті эсер ететін көлденең қимасының
бейтарап өстен ең алыс жатқан нүктесі - қауіпті нүкте. Бұл нүктеде тік
кернеу ең үлкен мэнге ие, жанама кернеу нөлге тең.
сғтахх = —і у— ;т = 0.
о мен х-дің осы мәндерін (36.7) қойсақ, кез келген беріктік теория
бойынша беріктікке тексеру келесі шартқа әкеледі:
IН -
(37.7)
Екінші қауіпті нүкте ең үлкен көлденең күш эсер ететін қимада,
бейтарап өстің бойында жатады. Бүл нүктеде
с 1 0 ; х тах
8 дК
_О
го
я
х
г
Шй
о мен х мэндерін (36.7) қойып, екінші кауіпті нүктені беріктікке тексергендеи келесі шарт орындалуға тиіс:
й ",т
ҺЬ
[т1,
(38.7)
мүндағы [х] қабылдаған беріктік теорияға байланысты.
Үшінші қауіпті нүкте, М мен ^ мәндері, айтарлықтай үлкен бола­
тын көлденең қиманың лезде өзгеретін аумағында орналасады. Бүл
нүктеде шамалары үлкен жанама кернеу де, тік кернеу де болады,
сондыктан беріктік теорияларының біреуін пайдаланып, беріктікке
тексереді. Сонымен, жазық иілген арқалықты беріктікке тексеру келесі
тэртіппен жүргізіледі:
х
(37.7)
шарттан киманың өлшемдері анықталады. Осы өлшемдер
бойынша (38.7) тексеріледі. Шарт орындалмаса, киманың өлшемдері
үлғайтылады.
Қоставр тәрізді қималар үшін беріктік теорияларының біреуін
қолданып, беріктікке тексереді. Егер (36.7), сол жағы оң жақтан артып
кетсе, қиманың өлшемдерін ұлғайтады.
1.7-мысал. 31.7,а-суреттегі арқалық үшін көлденең күш () мен ию
моментінің М эпюраларын тұрғызыңыз.
Ш еш уі: Арқалықтың бос ұшынан бастап 0 , М өрнектерін жазуға
болады. Жүйе үш аралықтан тұрады.
Бірінші ар ал ы қ О < х < 1 м.
0 , = 0, себебі сол жагында тек қадалған момент.
Ию моментінің таңба ережесінен
Мі = - М = -30 кНм.
Екінші аралық 0 < х 2 < 4 м.
Сол жақта Ғ күші жоғары бағытталған:
£?2 = Ғ = 20 кН.
М2 = - М + Ғ{х 2 - 1) = -30 + 20(х2 - 1) түзу сызықты заңдылық
х, = 1, М 2 = -30 + 20(1 - 1) = -30 кНм,
х2 = 4, Ц = -30 + 20(4 - 1) = 30 кНм.
Үшінші аралық 0 < х 3 < 6 м.
Я 3 = Ғ - д(х 3 - 4) = 20 - 20(х3 - 4) түзу сызықты заңдылық
= 4, 0 3 = 20 - 20(4 - 4) = 20 кН,
х3 = 6, 0 3 = 20 - 20(6 - 4) = -20 кН.
Көлденең күш үшінші аралықта таңбасын өзгертті, сондықтан ол
нөлге тең болатын қиманы табамыз:
0з = 20 -20(х3 - 4) = 0, дс3 - 4 = -Ц = 1, х3 = 5 м,
Мъ ='~М + Ғ {х 3 - 1 ) - д (х 3 - 4 ) £ ү - = -30 + 20(*з - 1 ) - 1 0(х3 - 4 ^ .
өзгеру заңдылығы параболла кем дегенде үш нүктеге сэйкес болатын
ординатын анықтаймыз.
х 3 = 4, М 3 = -30 + 20(4 - 1) = 30 кНм; х3 = 5,М 3 = -30 + 20 ■4 -
- 10(5 - і у = 40 кНм, х3 = 6, М 3 = -3 0 + 20 • 5 - 10 • 22 = 30 кНм.
0,
М табылған мәндері бойынша эпюраларын тұрғызамыз
(31.7,б,в-сурет).
М=30кНм
д=20кН/м
а)
да
6)
в)
32.7-сурет
31.7-сурет
32.7,а-суреттегі арқалық үшін көлденең күш () мен ию
моменті М эпюраларын тұрғызыңыз.
Ш ешуі: Арқалық екі тіректі болғандықтан, әуелі тірек реакциялары
анықталады. Тірек нүктелеріне қатысты моменттердің қосындысы:
2 .7 - м ы с а л .
I = К в - 2 а - Ғ - З а + М + д а ^ = 0,(М = д а 2) ,
ҒЪ а-М -да^
да-За-да*-д—
= 0,75да,
2а
2а
^ М в = КА ■ 2 а - д а * 2 , Ь а - М + Ғ а = 0,
К
2 ,Ьдаг + да 1 - да_ _
2а
Тірек реакцияларының дұрыстығын тексереміз:
= 0; Кл + К в - д а - Ғ = 1 , 2 5 + 0,75<?а- ц а - ца = 0
Реакциялар дұрыс анықталған.
М эпюраларын тұрғызайық.
Арқалық төрт аралықтан тұрады.
Бірінші аралық. 0 < х, < а сол жақтан қарастырамыз.
0,
О,
=
-д
а
,
0;
х
д
х
х
=
0,
б
і
<21
М
і
<7*і
2
0, А/, = 0; х. = а, М
а
Я
2
Екінші аралық 0 < х, < 2 а,
2
да + К
< :
да +1,25 да = 0,25 д а ,
\
а
да х.
+ ЯА(х2 - а ) ,
2/
\
М
\
а , М 2 = - 0,5 да 2; х2 = 2а, М 2 = - д а І 2 а - ^ +
/
+1,25да (2а - а ) = -0 ,2 5 да2.
Үшінші, төртінші аралықтарды оң жақтан қарастырған ыңғаилы
Сонымен, үшінші аралық 0 < х 3 < а ,
б = Ғ = да оң жақта төмен бағытталған.
М.
х
Ғ х
0, М = 0, х
- д а ■х3,
а , М = - да
Төртінші аралық 0 < х. < 2 а,
04
М.
= Ғ ~ К В = д а - 0,15да = 0,25да,
дах 4 + 0,75да(х - а),
. ~ а , М 4 = - д а 2; х 4 = 2а, М4 = - 2 да* + 0,75да* = - І & д а 2.
Ғ ' ХА +
4 ~ °)
(), М табылған мэндері бойынша олардың эпюралары 32.7,б,в-
суретте көрсетілген.
3.7-мысал. 33.7-суреттегі арқалықтың бойындағы көлденең күш ^
М эпюраларын
Шешуі,
=
р _
в
-5 + Ғ - 8 - ^ - 3 - 6 , 5 - - 2 - 1 = 0,
‘8 + <у2 •3 •6,5 + М + д х- 2-1
5
_-20-8+ 20-3-6,5 + 40 + 12-2-1
5
58,8 кН,
И Мв = К А -5-<7, -2-4 + М + д 2 -3-1,5-Ғ -3 = 0,
я _ ^ і ‘2- 4 - М - д 7 -3-1,5
1 2 -2 -4 -4 0 -2 0 -3 -1 5 +20-3
33.7 сурет
Тірек реакцияларынын дұрыстығын тексереміз:
% у = В . А +Кв + ғ ~ЧХ- 2 - 9 2-3 = 58,8 + 5,2 + 20-12-2 - 20-3=0.^
Р еакциялар дұры с табы лған.
Эпюраларды тұрғызу ережелерінің негізінде £ , М эпюраларын
тұрғызамыз.
Арқалықтың бойынан аралықтардың шеттеріндегі А 9 5, С, £>, £
нүктелерін белгілеп аламыз. Сол жақтан бастасақ,
( ) = К сол тіректегі реакцияға тең.
О* = К - а • 2 = 5,2 - 24 = -18,8кН, бұл аралықта 0 түзу сызықты
заңдылықпен өзгереді.
|||
_
СВ аралықтағы момент 0-ге ешқандай эсері жоқ, бұл аралықта (2
тұрақты арқалық өсіне параллель, мәні 0 с~га тең.
^ = - Ғ ~ -20кН оң жақта күш жоғары бағытталған.
П = - р + ^ • 3 = -20 + 20 • 3 = -40кН таралган күш болғандықтан,
аралықта 0 түзу сызықтың заңдылықпен өзгереді.
Табылған мәндері бойынша келденең күштің эпюрасын тұргызамыз
(33.7,б-сурет).
Ию моментінің эпюрасын тұрғызайық.
Бірінші аралықта 0 нөл арқылы өтеді, осы нүктенің абсциссасын
табу үшін, ^ бастапқы мэнін таралған күш қарқындылығына бөлеміз,
х, = 5,2ІЧ = 5,2/12 = 0,43 м.
АСӘ аралықты сол жақтан, ЕВӘ аралықты оң жақтан қарастырамыз.
Мл = 0, себебі А - арқалықтың шеткі қимасы, сыртқы момент жоқ.
МС = КЛ - 2 - 9 - 2 • 1 =5 , 2 - 2 - 12 - 2 - 1= -13,6кН м ,
м к = ^ - 0 ,4 3 - 9 , 0,43• ^ = 5 , 2 0 ,4 3 -6 (0,43)2 =
тш
' = 2,236-1,1094* 1,13 кН-м,
Мо = КЛ • 3 - Ч ■2 • 2 = 5,2 • 3 - 12 • 2 • 2 = -32,4 кНм,
М£ = 0
Мв = Ғ Ъ - д - Ъ • 1,5 = 2 0 - 3 - 2 0 - 3 - 1,5 = -3 0 кНм.
т
• •
*
20
20
,
ь нүктесінің абсциссасы х2 = — = — = 1м
Я2 20
онда М ь = Ғ-1 - ^2-1- —= 20-10 = 10 кНм
Мц =
5 - 9 2 -3-3,5 + ЛЙ-2 = 20-5-20-3-3,5+ 58,8 - 2 = 7,6 кН-м.
нүктесінің екі жағы да есептеледі, себебі бүл нүктеде сыртқы мо­
мент әсері бар.
Моменттің есептелген мәндері бойынша эпюрасы 33.7,в-суретте
көрсетілген.
О
4.7-мысал. Қимасының днаметрі сі дөңгелек бөренеден тік
төртбүрышты арқалық қиылған. Қарсыласу моменті ең үлкен болуы
үшін, тіктөртбүрыштың биіктігі мен табаны қандай қатынаста болуға
тиіс?
Ш еш уі: Табаны х биіктігі у тік төртбүрыштың қарсыласу моменті
ҒҒ =
6
ш
, мұндағы у = -у]сі2 - у 2
хб /2- * 2) хсі2 - х 3
онда IV = — -------- / = ----------6
6
Қарсыласу моментінің ең үлкен мэнін табу үшін, х бойынша бірінші
туындысын нөлге теңестіреміз.
<т
а2-ъх2
л
-----= ----------- = 0
немесе
%^-л2
г
—
Зх - а , х - —г=.
6
чЗ
Тік төртбұрыштың табаны белгілі болды, онда биіктігі
сіх
а
2- х 2
У
с?
СІ
з
Биіктіктің табанына қатынасы
л/2
3.7-мысалдағы арқалықтың көлденең қимасы тік
Ібсм, һ = 24см, В тірегінің оң жағында орналасқан
төртбұрышты
қима үшін о, т, отах, отіп, ттах және ттіп эпюраларын тұрғызыңыз
(347-сурет).
30
кНм
М
Ш еш уі
3000 кНсм. Қиманың геометриялық сипаттамаларын анықтап алсақ,
5 .7 - м ы с а л .
16-24
*
12
12
= 18432 см4-
(МПа) 9 2 (МПа)
в)
а)
8о»х(МПа)19
Г)
(МПа)
Тік кернеу (16.7) формула бойынша есептеледі:
М
3000
л > кН
®= У У =
У 1 11 6 у —У = 1, 6у М П а,
1Х
18432
см
у = 0, а = 0, .у = ±-^ = ±12, а = ±1,6-12 = ±19,2 МПа .
Ию моменті М теріс таңбалы, сондықтан созушы кернеу жоғарғы
бөлікте орналасады. а кернеуінің эпюрасы 34.7,б-суретте көрсетілген.
Жанама кернеу қима бніктігі бойынша (33.7) параболла заңдылығымен өзгереді.
2
' ч Ьһ
Ч3
ШЙ
6-40
16-24
24
4
2
= (і,56-0,0108у2)мП а,
у = 0, т = 1,56 МПа,
у = ± —= ±12 см, т = 0.
(
2 Мі
і ■ - • гш
Жанама кернеудің эпюрасы 34.7,в-суретте көрсетілген.
Бейтарап өстен у қашықтықта жатқан нүктедегі экстремальды жа­
нама кернеу
Тпвх + 2
\Іа 2 + 4х2 = ± І Л б 2/ +4(1,56-0,0108/]? =
2
= ±Ло, 64у 2 + (і,56 - 0,0108у2^ ;
Ттах =±1,56МПа,
тт
,-± г
= ± ]о,64 •62 + (1,56 - 0,0108• 62Ү
±6,
т іп
= ±724,41 =±4,94 МПа;
у = ± |= 1 2 ,т ^ = ± ^ 0 ,6 4 - 1 2 2 +(і,56-0,0108-122^
тіп
±794,58 = ±9,5 МПа.
Басты кернеулер
1 / ,
г о
сттах
=
—±
—л/ст
+4х
=
—+
а
=
0,8у±т
тах
9
9
9
т
шах
о
т іп
^
У=0, Сттах =±1,56 МПа,
тп
Һ
у = —= 6см, а тах = 0,8 •6 ± 4,94 = 4,8 ± 4,94,
4
тт
а тах =9,74 МПа, о тіп =0,14 МПа,
Һ
у = —= 12см, сТщщ = 0,8-12 ±9,4 = 9,5±9,5,
2
ІШ
П
0пид=19М П а, отп= 0,
= -0 ,8 -6± 4,94,
У = - - = - 6 см, а
2
тт
с т„ = 0,14МПа,
= -9,74 МПа,
Һ
Ж
= - = -12 см, ст
= -9,5 ±9,5
тт
=0, О—
т т =-19 МПа.
Есептелген мэндер бойынша кернеулердің эпюралары 34.7,б,в,г,д,есуреттерде тұрғызылған.
6.7-мысал. Қимасы 36.7-суретте көрсетілген шоиын арқалыққа
(35.7,а-сурет) эсер етуші мүмкіндік күшті анықтаңыз. Қиманы әуелі
1 = 120 МПа.
У
А
Ш еш уі: Арқалықтың тірек реакцияларын анықтаймыз:
X Мл * К в А а - Ғ 5 а - 2 Ғ - 2 а = 0, Яв = - Ғ ,
Ү , М В = К А А а - 2 Ғ - 2 а + Ғ ■а = 0 , КА= - Ғ .
Тірек реакцияларын тексерсек:
КА + К „ - 2 Ғ - Ғ = - Ғ + - Ғ - З Ғ = 0.
А
в
4
4
Беріктік шартты пайдалану үшін ию моментінің эпюрасы жеткілікті,
эпюра барлық аралықта түзу сызықты заңдылықпен өзгереді:
3
МА = М в - 0, Мс = КА •2а = —Ға, М в = -Ғ а .
Табылған мэндер бойынша ию моментінің эпюрасы 35.7,в-суретте
3
тұрғызылған. Ең үлкен ию моменті А/тах = —Ғ а .
|и|
Арқалықтың сығылатын талшықтары жоғарғы бөлігінде шойын
морт материалға жататындықтан, шамасы аз созушы кернеу төменгі
бөлікте (созылатын) орналасуға тиіс.
Сондықтан қиманың жалпақ жағы томен орналасады.
Бейтарап х өсінің орнын анықтау үшін, қиманың ауырлық
орталығын табамыз. Ол у өсінің бойында жатады, яғни у с анықталса
жеткілікті. Қиманы екі тік төртбүрышқа бөлеміз:
Л,У,+Л 2у 7 12-2-1 + 3-4-4 _
у = — -----— = ------------------ = 2см.
Л,+Л2
12-2+3-4
.
Мүндағы А г А 2 1,2 тік төртбұрыштардың аудандары, у у = 1, у 2 = 4
қабылдаған х өстен әрбір тік төртбұрыштың ауырлык орталығына
дейінгі арақашықтықтар бейтарап өс хс 36.7-суретте көрсетілген.
Қиманың х өсіне қатысты инерция моментін анықтаймыз:
4■*.с = І *і
г, + а 1? А■. + Г*2+ а ?1А 11 = ¥ |2
- ^ + I2 -12-2 + ^ 12- + 22 -3-4 =
. _
=8 + 24+ 16+48 = 96 см4
мұндағы а г а 2, х г хс жэне х2, хс өстерінің арақашықтықтары.
Бейтарап өске қатысты созылатын, сығылатын бөліктердің өстік
қарсыласу моменттерін есептейміз:
№ к^ =
з
с ҮЕ 2
Щ = — = — = 24см3
с Ук 4
Созылатын бөлікте беріктік шарт:
СТсшшах = Ое =■- ^ Г =
*
К Л = 40 = 4 — ,
*с
„ 4-48
192
Ғ = —— = -------- = 426,7 кн,
1 а
1.5 •0.3
О »— =
- %
2- = һ і г * [ ° ~ Ь 120 « 12 -
24
см
2
12-24
288
„
Ғ = — ----=
=640 кН.
Зо
1,5-0,3
2
Екі жауаптан Ғ = 426,7 кН қабылданады.
Б ақы лау сұрақтары
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Таза және көлденең иілу дегеніміз не?
Ішкі күштер үшін қандай таңба ережелері қабылданған?
Арқалық қимасындағы ию моменті қалай анықталады?
Арқалық қимасындағы көлденең күш қалай анықталады?
Арқалықты бекіту үшін қандай тіректер қолданылады?
Арқалық статикалық анықталуы үшін тіректермен қандай байланыста болуы керек?
7. Тірек реакцияларын анықтауда қандай теңдеулер пайдаланылаДЫ?
8. Тек тік күштердің әсеріндегі арқалық тірегіндегі горизонталь ре­
акция неге тең?
9. Анықталган тірек реакцияларының дұрыстыгы қалай тексеріледі?
10. Ішкі күштердің эпюраларының ординаттары нені білдіреді?
11. Бір ұшы бос, екіншісі қатаң бекітілген арқалықтың тірек реакцияларын анықтамай, ішкі күштердің эпюраларын тұрғызуға
болатын себеп неде?
12. Ию моменті экстремальды мәнге не болатын қимада көлденең
күш неге тең?
*'
13. Арқалық аралығында таралған күш болмаса, ию моменті мен
көлденең күш қандай заңдылықпен өзгереді?
14. Арқалық аралығында ^ = 0 болса, ию моменті қалай өзгереді?
15. Арқалық қимасында қадалған күш Ғ болса, ^ эпюрасы қалай
өзгереді?
16. Арқалық қимасында қадалған момент болса, М эпюрасы қалай
өзгереді?
17. Таралған күш бар аралықта ию моментінің дөңес беті қалай
қарайды?
18. Ию моментінің экстремальды мэні қалай анықталады?
19. Жазық қималар туралы гипотеза қалай айтылады?
20. Таза иілудегі арқалық өсінің қисықтық радиусы қалай табылады?
21. Таза иілгенде, арқалық бойындагы тік кернеу қалай анықталады,
қима биіктігі бойымен, ол қалай өзгереді?
22. Иілудегі қатаңдық деген не?
23. Қарсыласу моменті деген не, оның өлшем бірлігі неге тең?
24. Арқалық көлденең иілгенде, тік кернеу қалай анықталады?
25. Жанама кернеу қалай анықталады?
26. Басты кернеулер қалай анықталады?
27. Иілген арқалық үшін беріктік шарттың түрі қандай?
28.Иілген арқалық деформациясының потенциалдық энергиясы
қалай анықталады?
VIII. Иілген арқалықтың орын ауыстыруы
§ 1.8. Арқалық қималарыныц иілуі мен бүрылуы
Басты инерция жазықтығындағы күштердің әсерінен арқалықтың
өсі осы жазықтықта иіледі.
1.8-суретте бір ұшы қатаң бекітілген арқалық бос ұшында Ғ
күшімен жүктелгенде, оның иілген өсі көрсетілген. Абсциссасы дг-ке
тең О қимасының ауырлық ортасы О, нүктесіне орын ауыстырады.
Қиманың ауырлық орталығының арқалық өсіне перпендикуляр
бағытта орын ауыстыруы О О к осы қиманың майысуы деп аталады.
Майысуды у арқылы белгілейді (1.8-сурет).
Ғ
1.8-сурет
2.8-сурет
Иілген арқалықтың қимасы жазық күйін сақтап, алғашқы күйіне
қатысты Ө бұрышқа бүрылады (2.8-сурет). Әрбір қиманың алғашқы
күйіне қатысты бүрылуы қиманың бұрылу бұрышы деп аталады.
Арқалықты есептегенде, кез келген қиманың майысуы мен бүрылу
бүрышын анықтай білудің өзіндік орны бар.
Арқалық бөліктерінің қосылыстарын шайқалудан сақтау немесе
жылжымалы күштің әсерінен тербелісті азайту мақсатында ең үлкен
майысу шамасы шектеледі.
Мысалы, болат арқалықтардың кызметіне байланысты майысуы
аралықтың 1/1000 р 1/250 бөлігінен аспауға тиіс.
Деформацияны анықтауды білудің негізінде статикалық анықталмаған жүйелер есептеледі. Арқалықтың деформациясын толық білу
үшін, оның әрбір қимасының майысуы мен бұрылу бұрышын анықтай
білу қажет.
Арқалық өсінің майысуы у -ті х функциясы түрінде табу үшін, оның
деформациясы
болатындығын көрсету керек.
Таза иілудегі (15.7) формуласы
1
М(х)
ЕІ
р(*)
Мүндағы р(х) - координат, бас нүктесінен х қашықтықта орналасқан, арқалық аралығының майысқан өсінің қисықтық радиусы
(3.8-сурет).
М(х) - осы қимадағы ию моменті, ЕІ арқалык қатаңдығы
ретте ию моментінің өзгеруіне сэикес
қисықтық радиусының өзгеруі көрсетілген.
Қисықтық радиус пен координат нүктелерінің байланысын қарастырамыз:
1
+
р(*)
Лх1
(1.8)
Қисықтық радиусты момент өрнегімен
алмастырсақ, өстің немесе серпімді сызықтың дифференциалды теңдеуі табылады:
3.8-сурет
+
(Іх2
М (х )
ЕІ
Мұндағы сіу/сіх - арқалық қимасының бүрылу бұрышы бірмен
салыстырғанда, өте аз шама, сондықтан оның квадратын ескермеуге
болады, онда:
+
с12у
М (х )
сіх
Е1
(2.8)
дифференциалдық
Ию моментінің таңбасы координат өстерінің орналасуына тэуелсіз, ал
екінші реттік туындыға тәуелді.
өсі жоғары бағытталғанда, (2.8) теңдеуінде + таңба, төмен
бағытталғанда - таңба қалады.
Бұдан былай у өсін жоғары бағыттап, теңдеуде + таңбасын қалдырамыз:
Е 1 * ^ = М (х ).
(3.8)
сіх
У
Иілген өстің дифференциалдық теңдеуінен у =Дх) майысу теңдеуін
алу үшін, (3.8) теңдеуі интегралдануға тиіс:
ф
Е1 — = |м ( х ) і х + С .
Екінші рет интегралдап,
ЕІу = \сһс\М(х)сІх + Сх + 0 аламыз
Сонымен, бұрылу бұрыштарының теңдеуі:
Ө= — = —- Г[ М (дг) йЬс+ СІ
сіх Е11і у ^
1
(4-8)
жэне майысу теңдеулері:
у = — Г[ дх| М (х Уіх і Сх 1 £)[].
ЕІ
(5.8)
Бұл теңдеулердегі С, О интеграл тұрақтылары арқалықтың бекітілу
түріне байланысты анықталады.
§ 2.8. Иілген өстің дифференциалдық
теңдеуін интегралдау
а) Бір ұшы қатаң бекітілген арқалық ұзына бойы таралған д жэне бос ұшында
қадалган Ғ күшімен жүктелген (4.8-сурет).
А координат бас нүктесі, у
жоғары, х оңнан солға бағытталған. Иілген өстің теңдеуі
белгілі:
х
ғО
я 2
ғ(і
я
М (х)
онда
Е1у
Теңдеуді екі рет интегралдаймыз:
Е іу = ҒЦх
Ьс
Ғ
2
V
ЕІу'
2
д (12х - Іх 2+^ ) + С,
2
2
3
\
\
£
Ьс3 х
Я Гх
6
2V 2
3 + 12
)
С, И тұрақтыларын анықтау үшін, бұрылу бұрышы мен майысу ша­
масы белгілі арқалықтың қимасын іздейміз.
Бұл қима тірек қимасы А х = 0, у ' жэне у = 0.
Осы мәндерді жоғарыдағы теңдеулерге қойып, С = 0, £> = 0 табамыз.
С жэне £> тұрақтыларын арқалық қатаңдығы ЕІ-ге бөлсек, координат
бас нүктесіндегі бүрылу бұрышы мен майысу шамасы анықталады.
Табылған интеграл тұрақтыларын тиісті теңдеулерге қойып, бұрылу
бұрышы мен иілген өстің теңдеулерін аламыз:
\
\
<іу
Ғіх
д
1
2х
1 I х X*
Ө
2
(
6
.
8
)
(Іх
2ЕІ \
I
ш V
1*¥
2 2
У
6Е І У
24 Е Г
Г
I
(7.8)
I2 ’
Іс жүзінде ең үлкен майысудың шамасы у тах ізделінеді. Оны табу
үшін бүрылу бұрышының теңдеуін нөлге теңестіреміз.
ө
=
^
=
о
.
сІХ
бұл
нөлге тең емес:
ҒІ
Ув = ~
еі
з
Я?
т
Өрнектегі теріс таңба майысу томен бағытталғанын білдіреді:
ҒІ
Я1
Мұндагы теріс таңба В қимасы сағат тіліне багыттас бұрылатын-
дыгын көрсетеді.
б) Екі тіректі аркалық ұзына бойы таралган күшпен жүктелген.
Координат бас нүктесін сол тірекпен сәйкес қабылдаймыз. Ию
моментінщ теңцеуін құру үшін, әуе
Күштің симметриялығын ескерсек:
Ка = * В= ^ Н = 0,
м (?)жү X - Яу = | (Іх - X ),
Е І ^ - = Ц і х - х 2 ),
(!х
2
'іх 1
^У
=
Я
Е1
дх
2 \ 2
ЕІу
г Іх^
Я
2\ 6
3
+С ,
.4 Л
12 у
+ Сх + Г).
£
п
Тіректердегі майысу шамалары нөлге тең болатындықтары белгілі,
яғни х = 0, у —0 және х —1, у - 0.
Соңғы теңдеуді пайдалансақ, й = 0, С = сІР/24, онда бүрылу бүрышы мен өстің иілу теңдеуі келесі түрде жазылады:
.
еіх
яР 1-- 6 Х22 + 4АХ
24
I2
/
#/3х
ЕІу =
124
-4
х3
+ />
(8.8)
(9.8)
Ең үлкен майысу шамасын анықтау үшін, бүрылу бұрышы теңдеуін
!\
ч
о
п
г
о
т
и
о
л
т
т
т
т
т
,
п
ш
т
т
,
»
=
1
П
Г,
,
,
,
,
,
(8.8) нөлге теңестіріп, теңдеуден х = 1/2 анықталады.
Бұл мәнді (9.8) қойсақ,
5аі
табылады
384£7
/ шах
Бұрылу бұрышының ең үлкен мэні тірек қималарында х = 0, х = 1,
Ө
яі
+
Көрсетілген мысалда £>/£/ координат бас нүктесіндегі майы­
су шамасы, С/ЕІА тірек қимасының бұрылу бұрышы екендігіне көз
жеткіздік.
в) Бірнеше аралықтан гұратын арқалық.
Жоғарыда екі интеграл тұрақтылары бар тек бір аралықтан тұратын
мысалдар қарастырылды. 6.8-суреттегі арқалық үш аралыктан тұрады.
Барлық аралық үшін координат басы бір нүктеде арқалықтың басында
немесе соңында ию моменті теңдеуі қүрылғанда, арқалықтың коорди­
нат бас нүктесі жатқан бөлік қарастырылады. Координат басы ретінде
Ғ әсеріндегі нүктені қабылдаймыз. Бірінші аралықтагы иілген өстің
дифференциалдық теңдеуін екі рет интегралдап,
5.8-сурет
6.8-сурет
Е1У:і = - Ғ* х ,,
Е Іу ^ -Ғ ^ + С ,,
х.3
ЕІу = —Ғ — + Схх +£>,.
6
}
(а)
Екінші аралықта
Щ
,
= ~Ғхг + Кл{х 2 ~ ад - Ч ^
ЕІу' - - Ғ £ + КА
-д
1
А тірегінің үстіндегі қиманың бұрылу бұрышының жэне майысудың екі аралықтағы мәндері бірдей болулары керек, яғни х { = х 2 = а ;
Ух = У2’ Уі = ^ 2-
Осы шарттардан С, = С2 = С, £>, = /)2 = 2>.
Үшінші аралықта таралған күш жоқ, бұл күштен ию моментінің
өрнегін сақтау үшін, екінші аралықтағы таралған күшті арқалықтың
соңына дейін созып, қосылған жүктің әсері болмауы үшін, осындай
жүкті кері таңбамен үшінші аралықта қосамыз, одан арқалықтың тепетеңдігі тірек реакцияларының мәндері өзгермейді. Қадалған момент
теңдеу түрін бұзбау үшін, оны (х-а)-ның нөлінші дэрежесіне көбейтеді
(Клебш ұсынған).
Айтылғандарды ескеріп, үшінші аралықтың иілген өсінің теңдеуін
жазамыз:
Н I й £ 111ч И1111 1ИИ31 1 -11,
ЕІУъ і і
|
+ КлЩ
6
М
11 У
6
+М6с3 - а 2 Г + С3х + /)3
м
24
+ Я
Ш
24
+
(б)
.
Екі аралықтың түйіскен қимасында (М әсері бар қима) интеграл
тұрақтылары үшін келесі шарт орындалуға тиіс.
хг = х3 = а2; ^2' = _у3' жэне у 2 = у 3 осылардан С2 = С3 і С, Щ і Ш = £)
анықталады, сонымен интеграл тұрақтыларының саны екеу, олар тірек
қималарында майысу мэні нөлге тең, яғни х, = 0, у, = 0 жэне х 3 = I,
у ъ= 0 шарттарынан анықталады. Соңғы шарттарды (а), (б) теңдеулеріне
қолдансақ:
- Ғ ^ ~ + Са. + 0 = 0 ,
6
"
һ
Й
І
I
+
+
м
4 сі
І
в
£
о
.
6 ^
6
24
24
2
екі теңдеу бірге шешіліп С, £> тұрақтылары анықталады.
Қарастырған мысалда интеграл түрақтыларының санын екіге
келтіру үшін, эрбір аралықта екі теңдеуден жазылады. Кез келген
есепті шығаруда, әрбір аралықта екі теңдеу жазудың қажеті жоқ,
тек координат басынан ең алые жатқан аралыққа екі теңдеу жазылса
жеткілікті, оның ішінде қосылғыштарының қайсысы қандай аралыққа
тэн екенін белгілесе болғаны.
Мысалдағы үшінші аралықтың теңдеуі барлық аралыққа ортақ:
ЕІУ § Ф у 1 1 1
1
( х - а 2У
+
(10.8)
ч
ж
+ Я ------6 ------ + М ( х ~ а 2 )-*3
+с,
+
Е і у = - ғ т Л + Кл
( г - а 2)4
6 с - а 2У
+Я~ 24
+М
2
^ +Сх + В'
(11.8)
Мұндағы С жэне £> - әрбір аралыққа тэн тұрақтылар.
§ 3.8. Алғашқы параметрлер әдісі
теңдеу
лерінде момент
М (х -а \М
2
Қадалған күш пен реакция
2
’
3
бірқалыпты таралған күш
(х - а У
(х-а У
4
6
’4
24
түрлерінде жазылады.
Интеграл тұрақтылары С, £> Е І есе үлғайтылған координат
СО
яғни С = £/Ө0, Э = £7уо.
қадалған
келесі түрде жазамыз:
Е7/ = ЕІ% +Ү . М( х -
Р ~+
(х-аІ
(х -Ь Ү
Шу=ЕІу0+ Ш % х + Ү ^ ± - ү ^ + Ү /'± —^ - +
(13.8)
^
24
24
Мұндағы а - қадалған момент, Ь - қадалған күш пен реакцияның
абсциссалары, ал с - таралған күштің басталуы, <і - таралған күштің
аяқталған абсциссалары.
(12.8), (13.8) алғашқы параметрлер теңдеулері деп аталады.
Екі тіректі арқалық Ғ күшімен жүктелген. Алғашқы параметрлер
теңдеуін жазамыз (7.8-сурет).
х
М
I
8.8-сурет
7.8-сурет
Еіу' = £/Ө0 + Кл
Ғ
2
2
ЕІу = ЕІу0 + £7Ө0дг+ К
Ғ
(14.8)
(15.8)
6
6
Бірінші шарттан (х = 0, у 0 —0) (15.8) теңдеуі тепе-теңдікке айналады
0 = 0 (жақша ішіндегі мүше нөлден кіші болса, 0-ден кабылданады).
Екінші шарттан х = I,у в= 0
ҒЬ
=—
/?
, // - 0
= 0А ескерсек:
Ө0 — ^ . ^ - 4 - )
6Е ІІх
'
Координат басындағы бұрылу бүрышы мен майысу мэні белгілі
болғандықтан, (14.8), (15.8) теңдеулері келесідей түрленеді:
61 К
2
21
’
еіу—ғ^-Һ
'
ШтмВВ&
6Л
г
61
6 і -щ м ш я & А
(7.8)
суретте а > Ъ қабылданса, майысудың ең үлкен мәні бірінші
аралықта болады, бұл қимада бұрылу бұрышы нөлге тең:
Е1у' = -Ғ -(і
-Ь У ғ ^ - = 0
14
7 21
2
2
12- Ь
одан хс
3
Осы қимадағы ең үлкен майысудың мэні анықталады:
_
ғ ь ( і‘ - ь ‘ У і ^ ¥ . ғ ь (,> -ь ‘ и ^ ь
« Л
гү ~
бі Я
"Ч
/—
уУ\ _ _ ғъ і(! -ь )Ч з
2
Ғ Ы 2л/з
2
шах
х-ь
ш
21ЕІІ
21Е1
Күш арқалықтың дэл ортасында орналасса, а = Ъ = 0,5/,
Ғ 13уІЗ-ЗуІЗ
ҒІ 3
' тах
”
54£7•8
48£/
Ғ күшін оң тірекке қарай жылжытқанда, яғни
(16.8)
_
(17.8)
*с = - ^ = 0,577/.
Сонымен, күшті аралық ортасынан В тірекке жылжытқанда,
майысудың ең үлкен мэнінің абсциссасы 0,51-ден 0,5771-ге дейін ғана
190
өзгереді. Күш 7.8-суреттегідей орналасса, арқалық ортасындағы орын
ауыстыру
*
( 1 8 -8 )
(16.8)
бен (18.8) өрнектеріндегі барлық эріптік шамаларды сандық
мәндермен алмастырғанда, екеуінің айырмашылығы өте аз, сондықтан
іс жүзінде тек аркалық ортасының майысуын есептесе жеткілікті.
Аралық топсасы бар арқалықтың топса қимасында иілген өсі
үздіксіздігін бұзады. Топсаның екі жағында да ию моментінің өрнегі
бірдей, бірақ иілген өстің теңдеуін интегралдағанда, топсалы аралықты
екіге бөледі. Топсада тек майысу шамасы бірдей, ал топсаға түйісетін
екі жақтағы қималардың бүрылу бұрыштары бір-біріне тең емес,
сондықтан топсамен бөлінген аралықтардың иілген өсінің теңдеулері
эртүрлі.
8.8-суреттегі арқалыктың С қимасында топса орнатылған, В қимасында қадалған момент әсері бар.
Топсаға қатысты оң жақтағы күштердің моменттерінің қосындысын
нөлге теңестіріп, Кв реакциясын аныктаймыз К = МП. Барлық күштерді
у өсіне проекцияласак ЯА = = МП.
МА реактивті моменті А нүктеге қатысты Кв мен М моменттерінің
косындысы нөлге тең теңдеуінен анықталады:
М . =-М ~ .
л
I
Координат басын А нүктесінде қабылдасақ, кез келген қимадағы ию
моменті
. ./ \ М
М
М / Ы и и н й н н н н
м \ х )=— х ----- а = — ІХ4 '
I
I
I ^
Иілген өстің теңдеуін алу үшін, АС, СВ аралықтарын жеке қарастырамыз.
АС аралық
ЕІ
ф-,
сіх
м (х2
I
2
- а х *+■С„
/
м ( ± _ п г + СіХ + Д .
V6 " 2 ,
СВ аралық
\
(
..2
йу2 М
ЕІ
- ах + С2,
I \ 2
У
\
£ ах
+ С2X + I) 7.
ЕІУг =
6
~2
V
У
Интеграл тұрақтыларын анықтауға терт шартты қолданамыз
А қимасы: х = 0, у {' = 0 жэне у х = О
С қимасы: х —а, у х —у 2
қимасы: х = а + 1, у = О
Бірінші екі шарттан С, = О, £), = О
Соңғы екеуінен
М а а
М а
I \ 6 2
I 6
а
+ С2а + -Оч,
2у
М (а + /)3 а ( а + /) 2^
+ С2(а + /)+ Я 2=0
7
6
2
ч
у
одан С, =
9.8-сурет
М (а + 1^ ( 1- 2а )
Ь М (а +1)2 (I- 2а)а
; х)2
6/
—
6/
1.8-мысал.
9.8-суретте
көрсетілген арқалықтың бос ұшының
орын ауыстыруы мен бұрылу
бұрышын анықтаңыз.
Шешуі: А қатаң бекітпедегі
тірек реакциясы мен реактивті
моментті анқтаймыз. Кл = Ғ,
М = Ғ - 1 -М .
Алғашқы параметрлер теңдеуі
келесі түрде жазылады:
х2
;
/2
ЕІу\ -ЕІӨ В = - ( Ғ І - м у + Ғ — - - Ғ І 1 +МІ + Ғ
^ ^
^
"
жКн
п
немесе Ө
в
мі
ғ і2
ЕІ
2Е1
х
ЕІу=ЕІу 0 + ЕІӨ0х + М А^ - - К А^ = - ( Ғ І - М ) ? - +Ғ І ,
о
Ф
/2
/3
2
,3
,2
6
;3
ЕІув = - ( Ғ І - М } - + Ғ - = Ғ - - М - + Ғ 1- ,
X
о_
2.
2
6
ғ /3 м /|
у = ------------- •
3 £ / 2Е1
Координат бас нүктесі сол тірекпен сэйкес болғандықтан, алғашқы
параметрлер Ө0, у 0 нөлге тең болатындығы ескерілген.
Б ақы л ау сүрақтары
1. Тік иілген арқалық қималарында қандай орын ауыстырулар бо­
лады?
2. Иілген өстің дифференциалдық теңдеуі не себептен жуықталған
теңдеумен алмастырылады?
3. Иілген өстің диффференциалдық теңдеуін қорытып шығарыңыз.
4. Майысу мен бұралу бұрышының арасында қандай дифференциалдық байланыс бар?
5. Иілген өстің дифференциалдық теңдеуінен бұрылу бұрышы мен
майысу теңдеуі қалай алынады?
6. Интеграл түрақтылары қандай шарттардан табылады?
7. Ең үлкен майысудың мәні қалай анықталады?
8. Алғашқы параметрлер теңдеуі нені білдіреді, ол неге солай ата­
лады?
9. Белгісіз алгашқы параметрлер қалай анықталады?
IX . Орын ауыстыруды анықтауға
і қ энергияны қолдану
потенциалды
§ 1.9. Жалпы түсінік
Арқалық қимасының майысу шамасы мен бұрылу бұрышын
анықтау үшін, көрсетілген эдістен басқа энергияның сақталу заңына
негізделген, кез келген серпімді қүрылымның деформациясын
анықтауға арналған кешенді эдісті көрсетейік.
Серпімді сырық статикалық созылғанда неме­
се сығылғанда, эсер етуші жүктің потенциалдық
энергиясының бөлігі сырық деформациясының
потенциалдық энергиясына толық ауысады. Сырықты біртіндеп шамалы <1Ғ жүкпен жүктегенде, жүк
ілінетін бөлік төмен жылжып, оның потенциалдық
энергиясы кемиді, бірақ сырық бойындағы потенциалдық энергия өседі, яғни потенциалдық энергияның бір түрі екінші түрге ауысады (1.9-сурет).
Қүрылым элементінің жылжуы барлық сэтте
өзгеріссіз қалады, сондықтан құрылым бөлігі не­
месе элементі болсын, тепе-теңдік күйін сақтайды,
ал потенциалдық энергияның бір түрі екінші түрге
толық
ауысады.
1.9-сурет
Серпімді жүйе деформаци
энергиясының
сақталу заңы келесі түрде жазылады:
і/= и
(1.9)
Мүндағы IIғ - сыртқы күштің, V - деформацияның потенциал;
энергиялары, оларды шамалары бірдей жұмыстармен алмастырсақ,
А
-А немесе А Ғ„ + А 0.
(2.9)
Орын ауыстырғанда тепе-теңдік сақталса, денеге эсер етуші
күштердің жұмыстарының қосындысы нөлге тең. (1.9) өрнектен
деформацияның потенциалдық энергиясы сыртқы күштің жумысына
тең:
£/ = Л ғ
(3.9)
деформация
(со­
зылу немесе сығылу, ығысу, бұралу, иілу) потенциалдық энергиялардың
өрнектерін кесте түрінде келтірейік.
Деформацияның түрі
Деформацияның потенциалдык энергиясы
Созылу немесе сыгылу
1 Г4І Ғ 21 М гЕА
—ҒАІ = ----- = -------2
2ЕА
21
Ығысу
1 тд Т 2а А2СА
—7Д = ------= -------2
2 СА
2а
Бүралу
11
М 21 Ц>2С1р
—М йф = -------= ------- 2
2С1 р
21
1
М 21 в 2Е1
—Мк) щ ----- = ------2
2Е1
21
Таза иілу
Жалпылама күш деформация туғызатын кез келген күштің жалпылама күшке сэйкес орын ауыстыруы жалпылама орын ауыстыру
деп аталады. Бірінші қатардағы формулаларды бір сөзбен айтқанда,
деформацияның потенциалдык энергиясы жалпылама күш пен жалпы­
лама орын ауыстырудың жарым көбейтіндісіне тең. Екінші қатардан
потенциалдык энергия күштің екінші дәрежесіне тэуелді функция
барлық уақытта оң таңбалы.
Үшінші, төртінші қатардан потенциалдык энергия жалпылама
орын ауыстырудың соңғы мәнінің екінші дережесіне тәуелді функция.
§ 2.9. Кез келген күш тердіц әсерінен потенциалды к энергия
Бірнеше күштің әсеріндегі арқалықты қарастырайық (2.9-сурет).
Әрбір күштің бағытындағы орын ауыстыруы - 5р 62, ..., 8и. Барлық
күш статикалық түрде эсер етеді, деформация серпімділік шектен
шықпайды жэне күшпен сызықтық байланыста, ягни
5| = апҒу+ ап Ғг +...+аіпҒп
8 2 = а 2,Ғ, + а 22Ғ2 +...+а
8 И = а „ ,Ғ ,
пҒ„
+ап Ғ +...+аппҒп
2
2
(4.9)
2
Мүндагы аік - түрақты коэффициенттер, бірінші индекс - орын
ауыстырудың бағыты, ал екіншісі оның себебін білдіреді. (4.9)
теңдеулер жүйесі деформацияланатын дене үшін Гуктың жалпылама заңы. Гук заңының әрбір теңдеуі кез келген орын ауыстыру әрбір
күштің әсерінен болған орын ауыстырулардың қосындысына тең
екендігін білдіреді.
гг■
Бірнеше күштің эсерінен потенциалдық энергия Клайперон формуласы арқылы анықталады:
1/ = ^ = ^ Ғ І8 І + ~ Ғ г5 ! + . . . + ^ А -
(5«)
Бірнеше жалпылама күштің эсерінен серпімді жүйеде пайда бо­
латын деформацияның потенциалдық энергиясы жалпылама күш
пен жалпылама күштердің әсерінен пайда болган жалпылама орын
ауыстырудың жарым көбейтіндісіне тең.
2.9-сурет
3.9-сурет
Жалпылама күш ретінде бір параметрмен сипатталатын кез келген
эсер етупхі күш факторларының топтамасын қабылдауға болады, бірақ
қүрылымға эсер етуші күрделі жүктемені қарапайым жеке жалпылама
күштерге бөлген ыңғайлы.
Мысалы, бір ұшы қатаң бекітілген арқалық екінші ұшында моментпен қадалған күш арқылы жүктелген. Арқалық деформациясының
потенциалдық энергиясын анықтаңыз (3.9-сурет).
Клайперон формуласынан
Орын ауыстыру шамалары 1.8 мысалдан белгілі
Ғ І3
МІ*
МІ
Ғ І2
У в ~ ------------- , ө„ = -----------ЪЕІ 2Е1 в Е1 2Е1
.
немесе
Ғ 21ъ М 21 ҒМІ2
6ЕІ + 2ЕІ 2ЕІ
+ —М
2ЕІ / 2 \ ЕІ 2ЕІ
Бірнеше күштің әсерінен болған потенциалдық энергияны есептегенде, әрбір күштен потенцналдық энергняны есептеп, табылған
мэндерді қосуға болмайды.
V —А =—Ғ
2 V3ЕІ
§ 3.9. Иілудегі потенциалдык энергияны
ішкі күштер арқылы өрнектеу
Жалпы жағдайда иілудегі ию моменті М(х) пен көлденең күш ()(х) айнымалы шамалар. Сондықтан арқалықтың ұзындыгы сіх қарапайым
элементін қарастырамыз (4.9,а-сурет).
і
а)
II
б)
4.9-сурет
Ию моментінің әсерінен элементтің қималары бүрылып, бір-бірімен
бүрышын жасайды (4.9,6-сурет). Көлденең күш әсерінен қималарда
ыгысу орын алады (4.9,в-сурет). Тік кернеуден орын ауыстыру жа­
нама кернеуге перпендикуляр болгандықтан, ию күші мен жанама
күштердің жұмыстарын бір-біріне тәуелсіз есептеуге болады.
Жанама күштердің жүмыстары ию моменттерінін жүмыстарынан
элдеқайда кіші, сондықтан олардын жүмыстарын ескермейміз:
М 2( х \іх
і М (х ) “ №
(6.9)
2 4 7 Е1
2ЕІ
2
Қарапайым потенциалдык энергияларды арқалықтың үзына бойымен косып, толық потенциалдык энергияны анықтаимыз:
М (х У д
(7.9)
і
/
Ию моментін анықтағанда бірнеше аралық қарастырылса, онда (7.9)
интегралдар қосынды түрінде жазылады.
Екі тіректі арқалық Ғ күшімен жүктелген (5.9-сурет).
5.9-сурет
6.9-сурет
■
Потенциалдык энергия екі аралықтың потенциалдык энергияларының қосындысы түрінде анықталады:
М
1
а'МІ< 1х Ь
г МІсІх
+
а
2Е1
0
0 2Е1
ҒЬ
КАхх
К„х2
X1
,:» М 2 *'-В
I
°' ғъ '2
2Е1 0
/
Ға
I
Ь /Ғ а' 2
х2<іх
I
о
х 7,
2
_2»_2
Ғ а Ь
6 ЕІІ
§ 4.9. К асти льян о теоремасы
Деформацияның потенциалдық энергиясы негізінде орын ауыстыруды анықтау әдісін қарастырайық.
Жүйеге эсер етуші күштің бағытындағы орын ауыстыруды анықтап
көрейік.
Арқалық 1, 2, 3 қималарында тек қадалған Ғ ү, Ғ 2, Ғъ күштердің
эсерінен / қисығымен майысып, тепе-теңдік күйін сақтайды (6.9-су­
рет). Әрбір күштің әсеріндегі қималардың орын ауыстырулары - у , у 2,
у у Мысалы, Ғ 1 күшінің эсер етіп түрған қимасының орын ауыстыруы
у х анықтайық.
Арқалықты / тепе-теңдік күйден Ғ, бағытында өте аз е Ғ қосымша
күштің эсерінен II тепе-теңдік күйге көшіреміз (6.9-сурет).
I
күйден II күйге көшкенде, Ғ. күштерінің барлығы төмен жылжиды, яғни олардың потенциалдык энергиясы кемиді. Тепе-теңдік
бұзылмағандықтан, сыртқы күштердің энергияларының кемуі <ЮҒ
деформацияның сЮ потенциалдық энергиясының өсуіне толық айналады. Деформацияның потенциалдық энергиясының өзгеруі <Ю, Ғ , Ғ '
Ғ 3 күштеріне тэуелді функция және Ғ 1 күшінің шамалы өсу негізінде
пайда болды. Сондықтан мұндай күрделі функцияның дифференциа­
лы:
Л / = | уСІҒ,
(8.9)
ал сыртқы күштердің жұмысының өзгеруі //, I күйдегі күштердің
жұмыстарының аиырымына тең:
сІАғ = А2~ А у
Күштердің бір мезгілдегі статикалық әсерінен I күйдегі жүмыс
а 1г
4і = 2 \Уі
1 ІГ
1г
2 гУг + 2 Ғ>уз +-
А 2-ні анықтау үшін, арқалықты келесі тәртіппен жүктейміз. Әуелі
дҒх күші эсер етсе, арқалық шамалы майысады (.III қисық) (7.9-сурет).
Күштің статикалық эсерінен жұмысы —ЛҒхЛух.
/7/күйдегі арқалықты бір мезгілде Ғ х, Ғ 2, Ғ , . . . күштерімен статикалык түрде жүктегенде, алғашқы ф 1,, сІуг <іуъ, ... орын ауыстыруларға
У\’ У2’ Уу ••• °РЫН ауыстырулары қосылады, ал күштердің жұмысы
— Ғ{у, + —Ғ2у 2 + —Ғ3у3 +... —Аі , ал арқалықта орналасқан <ІҒ. күші
у аралығында жылжып, сІҒу-те тең жұмыс жасап, арқалық II күйге
деформацияланбаған
көшкенде толық жұмысы
А2 = 2 $ 5 ' Фі + А\ + а ғ \ ■У\ •
Деформацияның потенциалдық энергиясының өзгеруі
сШ = сІАғ = А2 - А{ = —(ІҒ1(іу1+ сІҒ\у{.
Екінші ретті аз шамаларды ескермесек,
(8.9), (9.9) өрнектерінен
сЮ
(ІҒХ немесе у,
дЕ
<Ю_
(Ю.9)
дҒу
Сонымен, Ғ, күпп эсеріндегі нүктенің орын ауыстыруы деформацияның потенциалдык энергиясының Ғх күші бойынша жеке туын-
дысына
Арқалыққа қадалган
таралган
еткенде де, (10.9) өрнегі түрін өзгертпейді, мысалы, момент әсеріндегі
киманын
дЦ
дМ,
Өі
(11.9)
Жогарыдағы
багынатын кез келген
құрылымдарға пайдалануға болады
7.9-сурет
8.9-сурет
Иілуде потенциалдык энергия
V
2 Е1
Егер интегралдау шектері тұрақты болса, орын ауыстыруды
дифференциал
Сонымен, кадалган күш эсеріндегі нүктенің орын ауыстыруы
.ІІГ Т Р О Ж #
І
П
І
М
І
І
---------------------- ----
_
Vі
___________________
дО
дҒ
.
-
-
Уіх дМ (х)
Е1
дҒ.і
Момент
Ө
дЦ
дМ,
М(х)<іх дМІх)
*
V
(12.9)
Бір үшы қатаң бекітілген ұзындығы / арқалық бос ұшында Ғ
күшімен жүктелген, (8.9-сурет) В қимасының бұрылу бұрышын
анықтау керек.
Кастильяно теоремасын қолдана алмаймыз, себебі бұл қимада мо­
мент әсері жоқ. Есепті шешу үшін, В нүктесіндегі қосымша момент
әсерін көрсетеміз. Анықталатын бүрылу бүрышының формуласы Ғ
күші жэне Мқ арқылы өрнектелген екі қосылғыштан тұрады. Бүл фор­
мула Ғ пен М кез келген мәндерінде оның ішінде М = 0 болғанда да
дүрыс нәтиже береді. Сондықтан табылған өрнекте М = 0 қабылдап,
тек Ғ күшінің әсерінен бұрылу бүрышын анықтаймыз:
;
_ д іі _ г Мсіх дМ
I ыт.
т
ч
л
*
\
і Г
НПЯгеЩг *
М =М , - Ғ х немесе ----- = 1
*
ШК
онда
Ө* = 77
Щ о
м
“ Ех)Л(іх.
(14.9)
0 қабылдап, В қимасының бүрылу бұрышын
анықтаймыз.
Ө= — Г(-Ғх)(Ьс= Ғ1
Е І 1У
’
2ЕІ
§ 5.9. Жұмыстын өзара қатысты теоремасы
Потенциалдык энергияның негізінде арқалықтың эртүрлі қимасындағы орын ауыстырулар арасындағы байланыстарды көрсетуге бо­
лады.
Ғ { күші
арқылы
жүктелген
арқалықты 2 қимасында Ғ 2 күшімен
жүктесек, Ғ, күшіне сэйкес келетін у и
орын ауыстыруға Ғ 2 күшінің әсерінен
пайда болған у 2, орын ауыстыруы
қосылады (9.9-сурет). у ]2 бірінші
индексі орын ауыстырудың бағытын,
екінші индексі оның себебін білдіреді.
Ғ, күші өзінің эсерінен у.. орын
9.9-сурет
ауыстыру аралыгындағы жүмысы
1/2(Ғ,уг,) Ғ 2 күші өзінің әсерінен у 22 орын ауыстыру аралыгындағы
жұмысы \/2(Ғ 2у 22) жэне Ғ, күші Ғ2 күшінің әсерінен у І2 орын ауысты­
ру аралығындағы жұмысы Ғ ху х2, ал толық жұмыс осы жұмыстардын
қосындысына тең.
Сонымен, екі күштің әсерінен аркалық бойындағы энергия
V = - ; ғ \ У п + - Ғ г У г і + Ғ \У\г’- •'
■
*'■
;
:;
Бұл деформацияныц потенциалдык энергиясы орын ауыстыру мен
күштердіц соңғы мәндеріне тэуелді, ал жүктеу тэртібіне тэуелсіз.
Арқалықты әуелі Ғ 2 күшпен, содан соң Ғ, күшімен жүктесек, онда
жогарыдагыдай потенциалдык энергия келесі түрде аныкталады:
и = 2 Ғ2У22+ 2 Ғ' у" +Ғ2У21'
Екі өрнекті салыстырып,
Ғ \У п = Ғ Л г
5
(1 5 -9 )
~
- күші тудырган орын ауыстыру аралығындагы жұмысы
I 2 XVү Ш Ш ІЦ 1 |
иі тудырган орын ауыстыру аралыгындағы жұмысына
тец. Бұл —жү
ггың өзара қатысты теоремасы деп аталады.
Жеке Ғ 1 = Ғ2 = 1 жагдайды қарастырсак, орын ауыстырудыц өзара
қатысты теоремасы аныкталады у і2 = у 21, бірінші киманың екінші
қимадагы күштіц эсерінен туган орын ауыстыруы екінші киманын
бірінші қимадагы күштіц эсерінен туган орын ауыстыруына тец.
§ 6.9. М аксвелл-М ор теорем асы
Қадалган күш әсеріндегі арқалық қимасынын орын ауыстыруы
У
р М (х)Лх дМ (х)
(16.9)
дҒ~
0~Үі
дМ(х)/дҒ туындысын дМ(х)/дМ туын
алмастырады
Арқалыққа эртүрлі күш эсер еткенде: Ғ,, Ғ2, Ғ},
М М, М
сызыктык
функция
Л /(х)=а,Ғ1+ а2Ғ2 + ... + 6ІЛ/, +Ь2М 2 + ...+с1ді +с2д2 +...
(17.19)
а,, а2, . . Ьг Ь2, . . с,, с2, ... коэффициенттері- арқалық аралықтарына
тәуелді функциялар. Айталық, Ғ, күші әсеріндегі нүктенің орын ауыстыру мәнін анықтасақ, дМ(х)/дҒ{ = ах, себебі Ғ,-ге қатысты қалған
параметрлер тұрақты. Өз кезегінде а,, Ғ = 1 бірлік күш әсерінен кез
келген қимадағы моменттің сандық мәні ретінде қарастыруға болады.
Шындығында, Ғ, орнына оның жеке мэні бірді қойып, қалған күштерді
нөлге теңестірсек, (17.9) өрнегінен:
М = а..
Осы сияқты, ию моментінің
бойынша туындысы ню моментінің
бірлік момент әсерінен ию моментінің сандық мэнін білдіреді.
Сонымен, ию моментінің туындысын бірлік күш әсерінен ию
моментімен алмастыруға болады.
Қимада күш эсерінің бар-жоқтығына байланыссыз арқалықтың
кез келген қимасының орын ауыстыруын 6 (майысуы немесе бұрылу
бұрышы) анықтау үшін, осы қимаға қатысты берілген және бірлік
күштерден ию моменттерінің өрнектерін М, М° тауып, келесі интегралды пайдаланамыз:
(18.9)
Бұл формуланы 1864 ж. Максвелл ұсынып, 1874 ж. Мор есептеу
үшін енгізген.
(18.9)
6 орын ауыстыруды білдірсе, М° бірлік қадалған күштің, ал 8
бұрылу бұрышы болса, М° бірлік моменттің эсерінен анықталады.
§ 7.9. Верещ агин әдісі
Верещагин (18.9) формуласыныц қарапайым түрде есептеу нұсқасын
көрсетті.
Негізінде, бірлік күш ретінде қадалган күш немесе кос күш
қабылданатындықтан, А/° эпюрасы түзу сызықпен шектеледі.
(18.9)
өрнегіндегі М кез келген қисық сызықты, ал
түзу сызықпен
шектелген. Мсһс көбейтіндісін М эпюрасының с/оо қарапайым ауданшасы ретінде қарастыруға болады (10.9-сурет). Суреттен М° = хІ§а, онда
МсЬсМ0—с/сохіеа, (18.9)-ды пайдалансақ,
ГММ°сІх =
| сішсіх.
Интеграл астындағы өрнек О нүктесіне қатысты М эпюрасының
ауданының статикалық моментін білдіреді немесе
хс1&а М эпюрасының ауырлық центріне сэйкес бірлік М°
эпюраның ординаты, онда \ММ°сІх = соМ °.
іздеп отырған орын ауыстыру
*
6 = ---Е1
Сонымен, 6 орын ауыстыру мэнін анықтау үшін, ию моменті
М эпюрасының оо ауданын анықтап, оны со ауданының ауырлық
центріне сэйкес келетін бірлік эпюраның М ° ординатына көбейтіп,
арқалық қатаңдығына бөледі.
1.9-мысал. Ғ күші эсеріндегі нүктенің вертикаль бағыттағы орын
ауыстыруын анықтаңыз (11.9-сурет).
Шешуі: Статиканың тепе-теңдік теңдеулерінен
2 ] X = 0, - Д со за + # 2 зіп а = 0,
=Л ^ а,
£ у = 0, Л^18Іпа + Л/2со б а -,Р = 0 , Л^2<&а8Іпа + /У2со$а-.Ғ = 0
немесе М2 = Ғ со$а, N ] = Ғ 8Іпа
М2/.
Ш зіп2а Ғ \ сое2а
V = — і - і - н -—
= — !-----------+ — I -----------2ЕХАХ 2Е2А2
2Е 1А1
2Е2Аг
11.9-сурет
12.9-сурет
Кастильяно теоремасынан қажетті орын ауыстыру анықталады
_ дИ _ ҒІХ8Іп2а + Ғ12сое2 а
дҒ
ЕІАІ
ЕХА2
2.9-мысал. 12.9-суреттегі қималарының қатаңдығы тұрақты арқалықтың ең үлкен майысу
шамасын анықтаңыз (12.9-сурет).
Шешуі: Арқалықтың кез келген қимасындағы ию моменті
М = — х,
2
Ғ - арқалықтың дәл ортасында болғандықтан, есеп симметриялы
сондықтан:
у' шах
ди . і « ? „ ш ;
2 4}ғ * _ ғ і г
=—
=
2—
I
М
——
-сіх
=
—I
-—
х
•
—
ах
—
ъг*
т?7 *і
ЯІ7
ГТ *о О
дҒ
ЕІ
дҒ
ЕІ
2 02
48ЕІ
3.9-мысал. 13.9-суреттегі арқалықтың В тірек қимасының бұрылу
бұрышын анықтаңыз.
Шешуі: В тірегінде момент әсері жоқ, сондықтан бұл тіректе
қосымша момент А/ енгіземіз (13.9-сурет). КА тірек реакциясын
анықтасақ, ^ М в = 0, ЯА
/2
—
аі М
= 0, немесе Кл - — + ^ •
а)
б)
в)м=1
В)
13.9-сурет
14.9-сурет
Арқалықтың кез келген қимасындағы ию моменті
\
/
М = ЯАх - д -
=
V
2
/
х 1 дМ
х-а
2 дМ К
I
Белгілі формуланы пайдаланып,
ӨВ
дМ
\
* Ум=о
1
Е1
I
6 Е1
Ш
24 Е1
4.9-мысал. Мор интегралын пайдаланып, күш эсеріндегі қиманың
тік орын ауыстыруы мен бұрылу бұрышын анықтаңыз (14.9,а-сурет).
Ш емуі: Арқалықтың кез келген қимасындағы ию моменті
М = - Ғ ■ х орын ауыстыруы анықталатын қиманы Ғ — 1 күшімен
жүктеп, ию моментін анықтаймыз М
Ғ х
х (14.9,б-сурет).
Мор интегралын пайдалансақ,
Ув
Е1
0
/
[ (- л Х Е1 0
ҒІ
ЪЕІ
Табылған мэннің таңбасы оң болғандықтан, оның бағыты күш
бағытымен сэйкес келеді.
Бұрылу бүрышын анықтау үшін, В қимасын бірлік моментпен
жүктейміз, онда х қимадағы ию моменті (14.9,в-сурет):
Өв
і
1
^М М сІх
Е1 0
і
1
[ ( - Ғ х ) ( - 1>&
Е1 0
ҒГ
2Е1
5.9-мысал. Тұрақты таралған
күшпен жүктелген, бір ұшы қатаң
бекітілген арқалықтың, С қимасының
тік орын ауыстыруын анықтаңыз
(15.9,а-сурет).
Шешуі: Верещагин әдісін пайдаланамыз. Берілген күштен ию
моментінің эпюрасын түрғызамыз
(А/р) (15.9,б-сурет). Табылатын орын
ауыстыру багытында Ғ — 1 күштің
эсері көрсетіліп, бірлік ию моменті
тұргызылған (М )■ (15.9,в-сурет).
Верещагин әдісі бойынша екі эпюраны бір-бірімен көбейтеді. Күштік
эпюраны бірнеше карапайым фигураларға бөлеміз: 1-2-3-4 тік төртбүрыш,
ауырлық орталығы С,, параболла
ауырлық орталығы С3, С,-мен бір вертикальда жатады, оларға сәйкес бірлік
эпюраның ординаты //4, тік бұрышты
үшбүрыш 3-4-5 ауырлық орталығы
С., бірлік эпюраның сәйкес ординаты 1/3
15.9-сурет
Әрбір фигураның аудандарын есептесек
А
I ді
з!І
2
іб
8
/
2 /
А2= ------ а —
2 3 2 32
£.
96
А
1 / 3
2 2 8
ЯІ
Сонымен,
/
Ус
=
ЕІ ( 4 Я 1 АіУг + АъУ\) = 1
ді4 Ч1*
\
16
4
V
\
д і4
32
17ді 4
Ш ЕІ
3
96 4 у
_3_
ЯІ
32
1. Статикалық түрде эсер етуші күштің жұмысы қалай өрнектеледі?
2. Сыртқы күштің жүмысы сырык кимасындағы ішкі күштер
арқылы қалай өрнектеледі?
3. Кастильяно теоремасының өрнегін жазыңыз.
4. Орын ауыстыруды анықтағанда, қосымша күштер не үшін
енгізіледі?
5. Жұмыстьщ өзара қатысты теоремасы қалай айтылады?
6. Орын ауыстырудың өзара қатысты теоремасы қалай айтылады?
7. Мор интегралын қорытып шығарыңыз.
8. Бірлік жэне шын күйлер дегеніміз не?
9. Верещагин әдісімен эпюралар қалай көбейтіледі?
X. Орамалы серіппелер
Вагондардың рессорларында, механизм бөлшектерінің клапандарында созылу немесе сығылу күштерінің әсерінен жүмыс істейтін
серіппелер қолданылады. Мұндай серіппелерді жобалау үшін, онын
орамдарындағы ең үлкен кернеулерді (беріктікке есептеуге), деформацияларды - созылу мен шөгуін анықтай білген жөн. Іс жүзінде серіппеге
эсер ететін жүктерді реттеп отырады, осыған байланысты оның со­
зылу немесе сығылу кернеулерінің мүмкіндік шамаларын алдын ала
тағайындап қояды. Сонымен, серіппенің өлшемдеріне байланысты оның
деформациясы мен эсер етуші күштің арасындағы байланысты орнату
керек. Серіппенің материалында бұралу кернеуі пайда болатындығы
төменде аз адымды (көрші орамдардың арасы серіппенің диаметрінен
элдеқайда кіші) орамалы серіппені қарастыру мысалынан байқалады.
Серіппе орамының кез келген көлденең қимасы оның өсі бойымен
эсер ететін Ғ күшіне параллель деп есептеледі, яғни орамдарының
еңкістігі ескерілмейді (1.10,а-сурет). Серіппенің келесі өлшемдері
қабылданады: серіппенің радиусы Я, оралған сымдарының диаметрі
<1= 2г, орамдарынын саны - п, материалының ығысу модулі - О.
Серіппені созганда кималарында пайда болатын ішкі күштер мен
кернеулерді анықтау үшін, оны өсіне параллель қима арқылы қиып
(1.10,6, 2.10-сурет), бір бөлігінің (төменгі) тепе-теңдігін қарастырамыз.
Томен бағытталған Ғ сыртқы күші
жоғары бағытталған ^ ішкі кушпен теңестіріледі. Ғ күші мен ^
серіппенің қарастырып отырған
бөлігін сағат тіліне қарсы бұрайтын
моменті М —ҒЛ қос күшін қүрайды.
Бұл момент сағат тіліне бағыттас,
шамасы М.
ҒК ішкі күштердің
моментіне тең бұралу моментімен
тепе-теңдік күйде болады.
Жоғарғы бөліктің төменгі бөлікке әсерін білдіретін ішкі күштер
(?, М6 қима жазықтығында орналаскандықтан, олар жанама кернеулерді ң
деп
қорытқы
күштері
қарастырылады. ^ = Ғ ыгыстыру
тх(іА жакүші қарапайым (10
нама күштерден құралады
(3.10,а-сурет). Жанама кернеу
т, бірқалыпты таралған деп
болжамдасақ, () = ххА немесе
кесу кернеуі
ало)
А яг
Қиманың бұралуына карсы
бұрау моменті М6 (2.10-сурет).
х, жанама кернеумен келесі
байланыста
2.10-сурет
М
ҒК
*2 = - г - р = — Р Р
(2.10)
Р
Серіппе созылғанда қнмаларында пайда болатын жанама х,, х2 кер­
неулер жүйелері 3.10а,б-суретте көрсетілген. Қиманың әрбір нүктесіндегі бұл кернеулер геометрнялық түрде қосылады, ал АО радиусы
бойында олардың бағыттары сэйкес келеді.
Ең үлкен бүралу кернеуі қиманың контурында пайда болады, яғни
М6
*Ү
2 ҒК
пг
•
(здо)
нүктеде т мен х алгебралық түрде қосылады:
/
Ғ
2ҒК
Ғ
X_=
тах ---- 2- +
3
2
пг
пг
пг
Беріктік шарт бойынша немесе
(4.10)
Ғ
2К
х тах
< [х ]
(5.10)
2 1+ —
Ш пг V
Жақшадағы 2КІг бірмен салыстырғанда өте үлкен, сондықтан (5.10)
келесі түрде қарастырылады:
т шах
2ҒК
(6.10)
з
ПГ
(5.10)
өрнегінің ықшамдалуынан серіппе өсінің үзаруы X жеңіл
анықталады. Серіппеден қималар арқылы с!5 кесіндісін бөліп аламыз
(4.10-сурет). Бұл қималар бір-біріне өте жақын орналасқандықтан,
көлденең қима радиустары бір жазықтықта орналасқан деп есептеліп,
0 ХС 0 2 үшбүрыш ретінде қарастырылады. Деформациядан соң, екінші
қима біріншімен салыстырғанда ф = Мъ<і5ЮІ бұрышқа бұрылады,
сондықтан 0 2С радиусы 0,С-ға қарағанда осы бүрышқа бүрылып, С
нүктесі С, күйге орын ауыстырады. Осының әсерінен серіппенің ұшы
<1Х = К<і(р = К
— шамаға төмендейді.
Серіппе сырығының барлық <І5 элементтерінің осындай шамаға
деформацияланатындығы ескерілсе, серіппенің төменгі үшының толық
төмендеуі, яғни үзаруы (шөгуі) сА. шамаларының косындысына тең:
Мүндағы
;
I -\< І5
X=
-
(7.10)
01 р
У ’
серіппе сымының толық үзындыгы, ал
=\ Я
{
ОІ р
.
М к -1
.
------- - серіппе сырығы түзу орналасқанда, үштарының өзара бүрылу
01 р
бұрышы.
Серіппе орамдарының саны п, ал олардың горизонтқа көлбеулігін
ескермесек, / = 2лЯп, онда
X=
•2кЯп = 4 Ғ К " .
С1р
С г4
(8.10)
Ціц
(8.10) формуласы сыртқы күштің жұмысы мен потенциалдық
энергияның теңдігінен де анықталады:
1
А
2
ЩІ
ҒХ=0
2СІ.
Үзарудың (шөгудің) мүмкіндік мэні [X] деп белгіленсе, онда
қатаңдық шарт келесі түре жазылады:
ЛҒКп
<
(9.10)
Сг4
форму,
есептеуге болады.
Кесілуге мүмкіндік кернеу [т] неғұрлым үлкен болса, соғұрлым
серіппе жұмсақтау болады, оның шогуі көбірек.
Мысалы, рессорлардың материалы шыныққан болаттан жасалады, серпімділік модулі өте жоғары, кесілуге мүмкіндік кернеуі
400 МПа-дан 800 МПа дейін жетеді. Хромвандилді болаттан жасалған
серіппе сымының радиусы г = 6+8 мм, созылуда мүмкіндік кернеуі
фосфорл
8 мм болғанда, мүмкіндік
м
кернеуі [т] = 130 МПа-ға дейін жетеді.
Жоғарыдағы мүмкіндік кернеулер күштің статикалық эсерінде
пайда болса, өзгермелі жүктемелерде оның мэні 30-ға, ал үздіксіз
жүмыс істейтін серіппелерде 60-ға дейін томендетіледі.
Іс жүзінде серіппелерді есептегенде, (4.10) формуласына әртүрлі
факторларды ескеретін К/г қатынасына тәуелді, түзету коэффициент! к
формуласы
к
тах
ҒЯ
(10.10)
кг
2
коэффициенттері
1.10-кесте
Е/г
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
к
1.42
1.31
1.25
1.21
1.18
1.16
1.14
1.12
1.11
1.09
Жеке жағдайларда серіппені есептегенде, күштің орнына энерг беріледі. Серіппе үшін деформацияның потенциалдық энергиясы
2
СИ
ал (6.10) формуласынан ҒК = ^ ~ ескерсек, V = —~ п г \ 2, 2пКп
2
40
серіппе сымының ұзындығы, тиг —қимасының ауданы, онда
V
V.
(11.10)
40
Мұндағы V = 2пКгтг2 серіппенің көлемі
немесе (11.10)-нан
V
401/
( 12.10)
И 1'
Сонымен, кернеудің мүмкіндік мәні [т]
белгілі болса, берілген энергияны сіңіретін
серіппенің көлемін анықтауға болады.
Іс жүзінде цилиндрлі серіппелермен
қатар, конус тәрізді серіппелер де кездеседі
(5.10-сурет).
жоғарғы,
төменгі
орамдарының
Л
р ~2
радиустары, онда аралық радиустары
келесі түрде анықталады:
я
к = к, + ^ 2
а .
2я п
(а)
Мұндағы п - орамдарының саны, а - қарастырып отырған радиус пен К, радиусы5.10-сурет
ның арасындағы бұрыш.
Конустық серіппе (5.10), (6.10) формулалары арқылы беріктікке есептеледі, тек мұндагы К, (а)-мен алмасты/
• ч
« ЩМ^Яі /8
рылады, ал ұзаруын (шөгуін) анықтау үшін, қарапаиым ак
ОІ
деформацияларды қосу қажет:
г?
Я
I гЩ Ш
Х = \ —ё— К ы , К\ +
ОІ
СІ р 0
Ғп
+ л | ] [Л, +Я2]
гАС
Мұндағы М, - айнымалы шама.
К
2 л
сі а =
2702
(13.10)
1.10-мысал. 1.10-суретте көрсетілген серіппенің радиусы Я = 10 см,
сымының диаметрі 4 = 2 см, орамдарының саны п = 10, созу күші
Ғ = 2,2 кН, ығысудағы серпімділік модулі С = 8,5 • 104 МПа.
Серіппенің ұзаруы мен бойындағы ең үлкен кернеуді анықтаңыз.
Шешуі: Кернеуді (10.10) формуласынан анықтаймыз. (1.10) кестеден
КІг = 10 болғанда, түзету коэффициент! к = 1,14.
= ^ ^ = 1 . 1 4 2 2,2 10 = 1 5 ,9 2 -^- = 159,2МПа.
кт
3,14-1
см2
Серіппенің ұзаруы (шөгуі) (8.10) бойынша
. 4ҒК3п 4-2,2-Ю3 ,
к = ----- — = ---- 1—I— = 1,04см.
СгА
8,5-10-1
2.10-мысал. Болаттан жасалған цилиндрлі серіппенің екі ұшы да
қатаң бекітілген (6.10-сурет).
Орамдарының диаметрі £> = 20 см, сымының диаметрі 4 = 2 см,
Ғ = 5 кН, С? = 8 • 104 МПа = 8 • 103 кН/см2.
Ең үлкен кернеу мен С нүктесінің орын ауыстыруын анықтаңыз.
Шешуі: Серіппені жоғарғы тіректен босатып, оны N реакциясымен
алмастырамыз (6.10,б-сурет). Серіппенің жоғарғы ұшының толық орын
бұл
X
а)
А
/////////л ’У////
К + Хғ
0.
Мұндағы
Хр - N реакциясы
мен Ғ күшінің әсерінен орын ауыстырулары:
4т Ч т +
XN
сг
4 ҒКъп
Хғ =
С/
Мұндағы т - п серіппенің АС, ВС
аралықтарындағы орамдарының са­
ны. Хң, Хғ өрнектерін теңдеуге қойсақ,
4 Ж \ т + п) 4ҒКгп
С г4
Сг
Ғ -п
5-7
о,
Барлық күштерді у өсіне проекцияласақ,
Ү ёу = N - Ғ + 5 = 0, 5 = Ғ -ІУ = 5 -2 ,9 2 = 2 ,08кН.
Сонымен, АС аралығында серіппе N = 2,92 кН күшпен созылады,
ал ВС аралығында 5 = 2,08кН күшпен сығылады. Ең үлкен кернеу АС
аралығында, себебі N > 5 кестеден К/г = 10, к = 1,14.
,2 Ш
2-2,9210
„кН
— - = 1,14—-у
=21,2 — 7 = 212 МПа.
пг
3,14-1
см
С нүктесінің төмен орын ауыстыруы
1
4Л7?3т 4-2,92-Ю3 -5 Н
А.с = — — 7— = ---------- :— I---- = 7,3
Сг 4
810 -1
СМ.
Бақы лау сурақтары
1. Сыртқы күштердің эсерінен серіппенің бойында қандай ішкі
күштер пайда болады?
2. Серіппенің бойындағы жанама кернеу қалай анықталады?
3. Серіппенін беріктік шарты.
4. Серіппенін шөгуі (ұзаруы) қалай анықталады?
5. Түзету коэффициенті қандай шамаларға тэуелді?
6. Конусты серіппенің аралык радиусы калай анықталады?
7. Конусты серіппеде бұралу моменті тұрақты шама ма?
XI. Беріктік теориялары
§ 1.11. Классикалық және
энергетикалық беріктік теориялары
Материалдарды статикалық күшпен созғанда немесе сыққанда
қауіпті күй анықталады. Мұндай күй —айтарлықтай деформацияның
негізінде материалдың ағуымен немесе сызаттардың пайда болуымен
сипатталатын, қираудың басталатын күйі.
Қауіпті күй басталғанда, сырықтың көлденең кимасындағы тік кер­
неу пластикалык материалдар үшін оа, аққыштық шегіне морт мате­
риалдар үшін беріктік шегіне тең.
Дененің (құрылым элементі) қандай да бір нүктесі қауіпті күйде
болса, дене қауіпті күйде деп есептеледі.
Материалдардың қауіпті күйін тудыратын себептерге байланысты
әртүрлі көзқарастар бар. Мысалы, созушы тік кернеу шеткі мәніне
жеткенде қауіпті күй басталады, сондықтан оның мәнін шектеу қажет
немесе салыстырмалы ұзарудың ең үлкен мэнінде қауіпті күй туады,
сондықтан деформация шектелуге тиіс, осы сияқты қауіпті күйдің
себебі болатын жанама кернеулер шектеледі.
Құрылым элементін жалпы түрде жүктегенде қауіпті күйдің не
себептен болатындығын таңдаған соң, қауіпті нүкте анықталады.
Қауіпті күй созушы кернеудің себебінен туатын болса, ең үлкен тік со­
зушы кернеу пайда болатын нүкте —қауіпті нүкте болып есептеледі.
Қауіпті күй жанама кернеудің негізінде болса, ең үлкен жанама кернеу
эсер ететін нүкте - қауіпті нүкте, т.с.с.
Сонымен, қауіпті күйдің себебіне байланысты қауіпті нүкте
анықталады.
Материалды қауіпті күйге жеткізуге болмайды, сондықтан
құрылымдарды есептегенде, мүмкіндік күй деп аталатын күймен шек­
теу керек. Қауіпті жүктемені бірден артық беріктік қор коэффициентіне
бөлгенде, мүмкіндік күй анықталады.
Өстік созылу немесе сығылуда мүмкіндік күйде пайда болатын
ең үлкен тік, жанама жэне ең үлкен бойлық салыстырмалы ұзаруды
тиісінше келесі түрде белгілейді: [а], [т], [е].
Деформацияның толық меншікті потенциалдық энергиясы [ІГ\,
пішінді озгертетін меншікті потенциалдық энергия [С/] эріптерімен
белгіленеді.
Құрылым элементтері орталық созылғанда немесе сығылғанда [а],
М» М, [Щ немесе [£/] кез келгенін пайдалансақ та, мүмкіндік күштің
мәні бірдей болып табылады.
Сондыктан сызықтық кернеулі күйде беріктікке есептегенде,
қауіпті күйді туғызатын себептің іс жүзінде мәні жоқ.
Жазық, кеңістік кернеулі күйлерде басты кернеулердің арасындағы
қатынас эртүрлі. Сондықтан мүмкіндік күйге сәйкес келетін бас­
ты кернеулерді анықтау үшін, өте көп тәжірибе жүргізу керек.
Тәжірибелердің саныныц көптігінен емес, олардың өте күрделілігінен
мұндай тэжірибелерді жүргізбейді. Сондықтан материалды бойлық
созу немесе сығу нәтижелерін пайдаланып, теория жүзінде оның
беріктігін кез келген кернеулі күйге есептейді.
Классикалық беріктік теориялары деп аталатын үш теория жэне
энергетикалық беріктік теориясымен танысайық.
Беріктік теорияларын материалдардың қауіпті күйге өту шартын
білдіретін гипотезалары деп қарастыруға болады.
Әртүрлі беріктік теорияларымен есепгенде, тәжірибеге де сэйкес
келмейтін, бір-біріне қайшы келетін нэтижелер жиі кездеседі.
Сондықтан жеке есептеулерде берілген материал үшін ең жақын
беріктік теориясын пайдаланған жөн.
Беріктік теориялардың есептеу формулаларында материалдың
кернеулі күйі о,, о2, с3 кернеулер арқылы өрнектеледі.
Бірінші беріктік теориясы бойынша, материалдың қауіпті күйі со­
зушы тік кернеу ең үлкен мәнге жеткенде пайда болады. Осыган сәйкес
беріктікке есептегенде, ең үлкен созушы кернеу шектеледі, оның мэні
тік кернеудің мүмкіндік мәнінен [о] аспауға тиіс.
Материал үшін мүмкіндік кернеудің мәні созылуға да, сығылуға да
бірдей (пластикалық материал) болса, бірінші беріктік теория бойын­
ша беріктік шарт келесі түрде жазылады:
о, < [о].
(1.11)
Материал үшін созылуға [ст 1, сығылуға [осы^ мүмкіндік кернеудің
мэні эртүрлі болса (морт материалдар), беріктік шарт:
(2 .11)
(1.11), (2.11) формулалары о2, а3 басты кернеулердін әсерін
ескермейді.
Тэжірибелердің негізіне сүйенсек, материалдардың беріктігіне
олардын әсерлері айтарлыктай. Бірінші беріктік теориясынан материал
барлық жағынан бірқалыпты сығылса, сш қирамай, үлкен кернеулерге
төтеп береді, себебі созушы кернеулер жоқ. Бойлық сығылган үлгінің
қирау себебін бірінші беріктік теориясы түсіндіре алмайды.
Басты кернеу а, калган кернеулерден айтарлықтай үлкен
болғанда, бірінші беріктік теориясы тәжірибе қорытындыларымен
канағаттанарлық сэйкестікте болады.
Іс жүзінде кейінгі кезде бірінші беріктік теориясы қолданылмайды.
Екінші беріктік теориясы бойынша, материалдың қауіпті күйі ең
үлкен салыстырмалы созылуы қауіпті мэнге жеткенде пайда болады.
Сондықтан беріктікке есептегенде, ең үлкен салыстырмалы үзарудың
мэні шектеледі, ол бойлық созылу тәжірибесінің негізінде анықталатын
мүмкіндік [е] мэнінен аспауға тиіс.
Пластикалык материалдар үшін беріктік шарт
е1<[е] = [а]/£
(3.11)
бірақ е, = (1ІЕ)[ох - ц(ст2 + а3)], онда (3.11) келесі түрде жазылады:
°, - Ц(о2 + о3) < [о].
(4.11)
а, - ц(а2 + а3) < [ о ^
(5.11)
Морт материалдар үшін
Екінші беріктік теориясы да біріншідей бойлық сыгылған үлгінің
қирауын түсіндірмейді.
Үшінші беріктік теориясы бойынша, материалдың қауіпті күйі
оның бойындагы жанама кернеу қауіпті мәнге жеткенде пайда бола­
ды, сондықтан беріктікке есептегенде, жанама кернеудің ең үлкен мэні
тәжірибе жүзінде қабылданатын мүмкіндік [т] мәнінен аспауы тиіс.
Жанама кернеудің ең үлкен мэні хтах = (о, - о3)/2, онда үшінші тео­
рия бойынша беріктік шарт
немесе
о, - а3 < [с].
(6.11)
Материал жан-жақты, бірқалыпты сығылғанда, қирамау себебіне үшінші беріктік теориясынан жауап алуга болады, бірақ
бірқалыпты жан-жақты созылганда, қирау себебін түсіндіре ал­
майды. Бұл теорияның келесі кемшілігі - аралық басты кернеу о2
ескерілмейді, тэжірибеге сүйенсек, оның беріктікке әсері айтарлықтай.
а2 мэні ескерілмегендіктен, теориялық есептеулер мен тәжірибе
корытындысының айырмашылығы 10-15%.
Үшінші беріктік теориясымен пластикалық материалдар есептелгенде, көптеген жағдайларда нэтижелері тәжірибе қорытындыларымен
қанағаттанарлық сэйкестікте болады. Морт материалдарға бұл теория
жарамсыз.
Энергетикалық (төртінші) беріктік теориясы бойынша, қауіпті
күидщ сеоеоі - шшінді өзгертетін меншікті потенциалдық энергияның
мәні.
Бұл теория бойынша, материалдың қауіпті күйі сызықтық
кернеулі күй үшін тәжірибеден анықталатын пішінді өзгертетін
потенциалдық энергияның мәні қауіпті шамаға [С/1 жеткенде пайда
болады. Пластикалык материалдар үшін бұл теория бойынша есептеу
нэтижелері тэжірибе қорытындыларымен қанағаттанарлық сэйкестікте
болады.
Энергетикалық (төртінші) беріктік теориясының беріктік шарты
і й та
немесе
одан
1
+
Ц
/
2
2
2
1+Цг
п2
£/„ |
+ <*2 1 р - о,а 2 - а,ст3 - а 2а 3)<
у[а*+оІ + а $ - о 1а 2 - о 1о 3 - о 2ст3 <[ст]
өзгеше түрде */— (а, - ст2)2 + (ст2 - а 3У + (ст3 - а, )*
(7.11)
(8.11)
Энергетикалық теорияның жетістігі - барлық басты кернеулер
ескерілген. Үшінші теория сияқты материал бірқалыпты жан-жақты
сығылғанда жоғары беріктігі түсіндіріледі, бірақ бірқалыпты жанжақты созылганда қирау себебін түсіндіре алмайды.
Үшінші, төртінші теориялардың (б.П)-ді (7.11) бөлсек,
п~
СТі
0-» ■+* О і
СУ|СУ
2
СТ| СУз
СГ СТ
2
3
[(Оі - о 2)+(ст2- а 3)]
(с2 -ст3) + ( а 2 - ст3)(ст,- ст2)+ ( ст, - ст27
с
т
.
-
с
т
.
V Ст2 -С Т 3
£
0 + * / I= .11 +
1+ йг+£2
1+ * + * 2
У
а, - а
С
Т
!
°2
1+
+
ст2-ст3
а 2 -ст3
Соңғы өрнектің алымы да, бөлімі де оң таңбалы, сондықтан к - оң
таңбалы. Егер к = 0, к = <х>, п = 1 үшінші, төртінші теориялар бойын­
ша есептеу нәтижелері бірдей, Аг-ның басқа мәндерінде п > 1. л-ің ең
үлкен мэнін табу үшін, одан к бойынша бірінші туындыны алып, нөлге
теңестіреміз:
г сіп \
+ *о +
+
)*о
0
к0
\ Ик
+ к0 И к і )
1+ к 0 +к 0
0
2
одан 1(1 + к 0 + Щ . - (1 + 2к ^ ■к0 = 1 - к-
&
0
0,
*о = 1
к-ның бұл мэнінде
п
1+
1
1+ 1+ 1
V1,333 =1,155
Сонымен, төртінші теория бойынша есептеулердің айырмашылыгы
үшінші теория есептеулерінен, яғни 15,5%-дан аспайды, ал к = 0,
к = ао немесе а. = а 2, а 2 = а, болганда екі теория есептеулері бірдей.
§2.11. Мор жэне біртүтас беріктік теориялары
Басты кернеу о2, материал беріктігіне әсері 15%-дан аспайтындыгы
жогарыда айтылған, сондықтан жуықтағанда, материалдың беріктігі
ең үлкен жэне ең кіші басты кернеулер арқылы анықталады. Соны­
мен, жалпы түрдегі беріктікке есептеу жазық кернеулі күйде есептеуге
әкеледі.
Кейбір қорытуларды ескермегенде, Мор беріктік теориясы бойынша
і I Ш Ш т •°з [О1
(9.11)
Бұл теория морт материалдарды есептегенде кеңінен қолданылады.
Пластикалық материалдар үшін бойлық созылу мен сығылуда
Мор жэне үшінші беріктік теориялары бір-біріне сэйкес, сондықтан
Мор теориясын үшінші беріктік теориясының морт материалдарға
қолданылатын жалпылама түрі деп қарастырады.
Жоғарыдағы бірінші, екінші теория бойынша материалдың қирауы - үзілу, ал үшінші, төртінші теория бойынша ығысу негізінде
болады. Сондықтан кейбір кернеулі күйлер үшін, тәжірибе қорытындыларына карама-кайшы келетін нэтижелер болуы мүмкін.
Профессорлар Н.Н.Давиденков пен Я.Б.Фридман аралас беріктік
теориясын (біртұтас) үсынған. Олардың түжырымдауынша материал
үзілуден де, ығысудан да қирайды, сондыктан бұл теория кез келген
кернеулі күйге қолданылады.
Кернеулі күйдің беріктік шарты
( 10.11)
Мұндағы [е] сызықтық созылу, [т] ығысу тәжірибелерінің негізінде
қабылданады.
Морт материалдар үшін біртүтас шарттары келесі түрде жазылады:
°. - И(о2 + о3) < [осот],
(о, - а^/2 < [X].
( 11.11)
( 12.11)
[т] —сызыктык сығылу тэжірибесінен аныкталса. [х] = \рсыу 2 (12.11)
келесі түрге өзгереді:
(13.11)
Пластикалык материалдар үшін беріктік шарттар
°1 ~ И(<*2 + С?3) < [О],
О - о, < [о].
(14.11)
(15.11)
Кернеулі күй сызықтық кернеулі күйге жуықтау болса, а, = о2 = 0
кабылдап, онда (13.11)
1.11-мысал. 1.11-суретте көрсетілген кернеулі күйдің морт матери
ал үшін ст, мүмкіндік мәнін анықтаңыз.
1.11-сурет
2.11-сурет
Созылу мен сығылуда мүмкіндік кернеулер [о .^ = 60 МПа,
[<*са№] = 180 МПа, Пуассон коэффициент! ц = 0,25.
Шешуі: Бірінші беріктік теория бойынша (2.11)-ден а, = [ст^ = 60 МПа
немесе [ст] = 60 МПа.
“
Екінші беріктік теорияның (5.11) формуласынан
о.-Ц(а2 + ст3) = [ст^ немесе [ст,] - 0,25(0,5[ст,]+0,3[ст,]) = 60 МПа,
[ст,] = 60/0,8 = 75 МПа.
Үшінші, төртінші беріктік теориялары морт материалдар үшін жарамсыз.
Мор теориясынан (9.11)
- ( К „ ^ [ а ыг])ст3 = [ с т ^ 60 МПа,
[ст,] - (60/180) • 0,3[ст,] = 60 МПа,
[о,] = 60/0,9 = 66,7 МПа.
Біртұтас теориядан (11.11) бойынша (5.11) формуласымен сэйкес,
онда [ст,] = 75 МПа, ал (13.11) формуласынан
а . ~ °з = Ю » 1
[ст,] - 0,3[ст,] = [ст^] = 180 МПа
немесе
[ст,] = 180/0,7 = 257,1 МПа
табылған екі мэннің кішісі қабылданады [ст,] = 75 МПа.
Сонымен, әртүрлі теория бойынша кернеудің мүмкіндік мэні
60-75 МПа аралығында.
2.11-мысал. Пластикалық материалдың беріктігін бірінші, екінші,
үшінші, төртінші және біртүтас беріктік теориялары бойынша
тексеріңіз.
Дененің кернеулі күйі 2.11-суретте көрсетілген. [а] = 140 МПа,
Ц = 0,25.
Шешуі: Бірінші беріктік теориядан
ст, = 30 < [ст] = 140 МПа (беріктігі жеткілікті).
Екінші теориядан
а, —ц(ст2 +
— 30 —0,25(18 —120) —55,5 < [а] = 140 МПа (беріктігі
жеткілікті).
Үшінші теориядан
0. - о3 —30 + 120 = 150 > [о] = 140 МПа (беріктігі жеткіліксіз)
Төртінші теориядан
у/О? “ЬС?2 "ЬО3
0
|С?2 С7|С5»2 ^ 2^3 =
= л/зо2 +182 +1202 - 30 •18 + 30 •120 +18 •120 = л/20844 = 144,4 > [ст] = 140
(беріктігі жеткіліксіз).
Біртұтас теориядан (14.11)-ден
I - ц(ст2 + Стз) = 30 1 0,25(18 1 120) = 55,5 < [ст] = 140,
ст, —і = 30 + 120 1 150 > [ст] = 140.
екі шарттың біреуі орындалмайды, сондықтан біртұтас беріктік теориясынан беріктік жеткіліксіз.
Бақы лау сүрактары
1.
2.
3.
4.
Материалдың қауіпті күйі деген не?
Дененің қандай нүктесі қауіпті?
Мүмкіндік кернеулі күй деген не?
Сызықтық кернеулі күйде беріктікке есептеу себебінің мәні не
себептен жоқ?
5. Күрделі кернеулі күйде беріктікті анықтауда сызықтық тэжірибе
негізіне сүйенудің себебі неде?
6.
7.
8.
9.
Беріктік теориялары нені білдіреді?
Бірінші беріктік теорияның мәні неде?
Екінші беріктік теорияның мәні неде?
Үшінші беріктік теорияның мэні неде? Оның беріктік шартын
жазыңыз. Кемшілігі неде?
10. Төртінші беріктік теорияның мэні неде? Бұл теорияның қолдану
аумағы қандай?
11. Мор теориясының мәні неде?
12.Мор теориясының кемшілігі неде?
13. Біртұтас беріктік теориясы қандай теорияларды біріктіреді?
XII. Күрделі қарсыласу
§ 1.12. Негізгі түсініктер
Жоғарыда қарапайым деформациялардың: орталық созылу
(сығылу), ығысу, бұралу жэне жазық иілу түрлерімен таныстық.
Айтылған деформацияларда сыртқы күштердің әсерінен сырық
қималарында тек бір ғана ішкі күш пайда болады (бойлық күш,
көлденең күш, бұралу немесе ию моменті). Жазық иілудің жалпы
түрінде, колденең иілуде ию моментімен қатар көлденең күш пайда бо­
лады, бірақ беріктік пен қатаңдыққа есептегенде, негізінде, ию моменті
пайдаланы лады.
Іс жүзінде сырықтың көлденең қималарында сыртқы күштердің
әсерінен ішкі күштердің бірнеше түрі пайда болатын деформациялар
кездеседі, олар күрделі қарсыласу деп аталады.
Күрделі қарсыласудағы сырықтарды есептеу тэртібі:
- қию әдісін пайдаланып, сырық қималарындағы ішкі күштер
анықталады.
- күрделі жүктемеде қауіпті қиманы анықтау үшін, ішкі күштердің
эпюралары түрғызылады.
- күштердің бір-біріне тәуелсіз принципінен, белгілі формулаларды пайдаланып, эрбір ішкі күштен тік жэне жанама кернеулер
анықталады. Кернеулердің таралу заңдылығынан қауіпті нүктеде оған
беріктік шартты қолданады. Ц
’
§ 2.12. Қиғаш иілу
Ию моментінің әсері қнманың басты инерция өстерінің ешкайсысымен сэйкес келмейтін деформацияныц түрі қиғаш иілу деп аталады.
Сырық қимасында тек ию моменті пайда болатын деформацияныц
түрі таза кигаш иілу, колденец қимада көлденең күш пайда болса, иілу
киғаш көлденең иілу деп аталады.
Қиғаш иілуде сырықтың серпімді өсі иілу жазықтыгында жатпайды. Таза киғаш иілуді қарастырайық. Ию моменті басты х өсімен а
бүрышын жасайды (1.12-сурет).
Толық ию моментінің қүраушылары басты өстерге қатысты ию
моменттері
МX = М соза,1 Му —М зіпа
(1.12)
'
'
1 кез келген к(х, у) нүктесіндегі тік кернеулер
Моменттерден
Iх
"‘У
Iу
Осы нүктедегі толық кернеу
11|&г* | а му
М у А/„х
немесе а = ~ 7~ + ~~Г~
X
-у
(2.12) формуласы бойынша кернеуді аны
өз таңбасымен жазылуға тиіс.
(1.12) өрнегін ескерсек, (2.12) келесі түрде жазылады:
. .. хзіпа усоза
а = М I -------- + - --------
(3.12)
Бейтарап өсте ст = 0, онда бейтарап өстің теңдеуі
* 6Щ
К
(4.12)
К
(4.12) координат бас нүктесінен өтетін түзудің теңдеуі ол келесідей
түрленеді:
зіпа 1Х
I
_
у = ---------- х = - ( § а - ^ х = і ф х
со&а
I
V
V
п-п түзуінің бұрыштық коэффициенті
Р < 0. (5.12)-ден 161
толық кернеу әсеріндегі жазықтыққа перпендикуляр болмайды.
/ > / болса |р| > а, ал / < / болса |р| < а.
Егер Іх = I болса, бейтарап өс ию моментінің жазықтығына перпен­
дикуляр, бұл жағдайда кез келген орталық өс - басты өс болып табылады, сондықтан ешқандай қигаш иілу болмайды.
Аналитикалық геометриядан белгілі формуланы пайдалансақ, бей­
тарап өстен, кез келген к(х, у) нүктеге дейінгі арақашықтық келесі
түрде анықталады:
гV
•
I
2
зш
а
+
I
х8іпа
немесе
у со за
1
2
соз а
1
,зіп2а соз2а
+4 I— ^ +
1У
1X
онда (3.12) келесі түрде жазылады
С
,8Іп2а соз2а
±М с I— І— +
1
1
Сонымен, қнманың кез келген
нүктесіндегі кернеу - £ арақашықтығына тәуелді сызықтық функ­
ция, ал кимадагы кернеу эпюрасы
екі үшбұрыштан түрады (1.12-сурет).
Ең үлкен жэне ең кіші кер­
неулер бейтарап өстен ең алые
жатқан нүктелерде (1,2 нүктелер).
Созылу мен сығылуға мүмкіндік кернеулер бірдей болмаса,
беріктік шарт
а тах
_=
^тіп
(6 .12)
Ш
2 сттах
1.12-сурет
ш ш . Ш д “І І^ссо
г . п|>
"
/
(7.12)
Мху 2 +. М Щ г ,
сыг ]
I
I
[аСО^1
[о 3 болса, (7.12) ең үлкен кернеу арқылы беріктікке
есептеледі. Бейтарап өстен ең алыс жатқан нүктелер басты өстерден де
ең алыс қашықтықта орналасады, яғни у , - у , х. = х тах’, онда:
/
Мх м ,
(8.12)
у
а тах ± —- +
№
тіп
Сырықтың иілген өсінің хог, уог басты жазықтықтарға проекциялары
Мх
Е1Х
„
м у
у = ----- х* = --------- (9.12)
Е іу
Мұндағы у, х сэйкес өстері бойынша майысудың кұраушылары
толық маиысу құраушылардың геометриялық қосындысына тең:
% -*
/ = V* + У ■
(10.12)
Жазық көлденең иілуде сырықтың қималарында көлденең күштер
(2х, (2у пайда болады. Зерттеулердің көрсетуінше, екі симметриялы өсі
бар қималар үшін, көлденең күштердің тік кернеулерге эсері өте аз,
формулалар
қолданылады.
Басты өстерге параллель жанама кернеулердің қүраушылары
Д.И.Журавский формуласымен анықталады:
_
х
^ x* кУ _
I Һ * у
7А
щ
Ш
аУ к
I һ
‘Л
’
Мұндағы Ъ - у — өсіне параллель, Ь —
х өсіне параллель бағыттағы
қарастырып отырған к нүктесі деңгейіндегі қиманың ендері.
8 *, 5 * - қиып алынған бөліктер;
статикалық
моменттері.
$ £
Осы нүктедегі толық жанама кернеу
Тік жэне жанама кернеу анықталған соң, беріктік теорияларының
біреуі арқылы сырықты беріктікке тексеруге болады. Көптеген
жағдайларда көлденең жазық иілуде қауіпті нүктеде беріктікті тек тік
кернеу арқылы тексеру жеткілікті.
§ 3.12. Қатац білеулердің орталықтан
тыс созылуы мен сығылуы
Білеудің көлденең қимасында бойлық күш (созушы, сығушы) жэне
ию моменті пайда болатын деформацияның түрі орталықтан тыс созылу немесе сығылу деп аталады.
Орталықтан тыс созылған немесе сығылған білеуді есептегенде,
бойлық сыртқы күш Ғ-пен, майысудың шамасы 5-ның көбейтіндісіне
тең, қосымша ию моменті ескерілмесе, білеу қатаң деп есептеледі.
2.12-сурет
3.12-сурет
2.12,а,г,д-суреттердегі Ғ-8тах-ді Ғ-е-мен салыстырғанда неме­
се 2.12,б,в-суреттердегі Ғ-Ъ
сыртқы М моменттен өте аз болса,
орталықтан тыс созылған білеулер қатаң деп есептеледі.
3.12-суреттердегі қатаң білеуді қарастырамыз.
3.12,а-суреттегі қатаң білеудің жоғарғы қимасында, бойлық N күші
мен басты инерция өстеріне қатысты ию моменттері Л /, Л/ эсер етеді.
Қиманың кез келген С нүктесіндегі тік кернеу ию моменттері мен
бойлық күштен пайда болатын кернеулердің қосындыларына тең:
N М
Му
О = <**+<*«,+<*«, = -Л7 ± ~і хГ У ± ~І уГ Х -
(1212)
Бойлық күш N мен ию моменттері М , М , Ғ = N күшінің
орталықтан тыс әсерінен пайда болган деп есептеуге болады. Осыған
орай, деформациянын түрі орталықтан тыс созылган немесе сығылган
деп аталады. Ғ күшінің эсер ететін нүктесінің (Ғ) коордннаттары х„
басты инерция өстеріне қатысты күштің эксцентриситеті, олар
У
төмендегідеи анықталады:
М
М_
(13.12)
ғ
Уғ
N
N
Ғ күшінің эсер нүктесі (Ғ) қысым орталығы немесе полюс деп ата­
лады.
(13.12) ескеріп, (12.12) өрнегін келесі түрде жазуға болады
а
Ғ Ғ ■у р
Ғхғ
— + — — у + --- - X .
А
1
1
у
(14.12)
сь
II
Барлық мүшелердің алдындағы таңбалар оң болуы себепті, Ғ
күші созушы, ию моменттері оң таңбалы, координаттары оң таңбалы
нүктеде созушы кернеулерді туғызады.
(14.12) формуласындағы Ғ сығушы күш болса, алдындағы таңба
теріс. (14.12) формуласы келесі түрге келтіріледі:
Г
\
1 Уғ'У . хғ х
— 4+
А
1
1
\
немесе
\
/
ғ
ж Уғ'У , хғ х
а = — 1+
-һ •2
(15.12)
А
і
Iу /
V
Мұндағы і
1
1
у/^
- білеу қимасының басты өстеріне
қатысты инерция радиустары орталықтан тыс сығылған немесе
созылған білеулерді беріктікке есептеу үшін, бейтарап өстен ең алыс
жатқан қауіпті нүктелердің орны анықталады, сондықтан бейтарап
өсті анықтау қажет.
Бейтарап өстің бойындағы нүктелерде кернеу 0-ге тең болғандықтан,
оның теңдеуі
•2
і
0.
(16.12)
Немесе координат өстерінен бейтарап түзудің кесетін кесінділері
-2
•2
г
Iх
1) бейтарап түзудің орны Ғ күшінің мэні мен таңбасына тәуелсіз;
2) бейтарап түзу мен Ғ күші координат бас нүктесінің екі жағында
орналасады;
3) координат бас нүктесінен Ғ күші қашықтаған сайын, бейтарап
түзу орталыққа жақындай түседі немесе керісінше;
4) полюс басты өстердің бірінде орналасса, бейтарап түзу осы өске
перпендикуляр орналасады.
Орталықган
тыс
созылуда немесе сығылуда қиманың,
эрбір нүктесіндегі тік кернеу
нүктеден бейтарап түзуге дейінгі
арақашықтықққа тура пропорционал, осыған сэйкес оның эпю­
расы 4.12-суретте көрсетілген.
Бұл эпюраны тұрғызу үшін,
бейтарап түзудің орнын және
<
*тіп
қиманың кез келген бір нүктесіндегі (бейтарап түзуден тыс)
4.12-сурет
кернеуді анықтаса жеткілікті.
Орталықтан тыс созылуда, сығылуда сызықтық кернеулі күй пай­
да болатындықтан, сырықтың беріктігі келесі шарттармен қамтамасыз
етіледі:
МУ
Ғ М
т ~ ~Ув +
(18.12)
соз
в
А
1х
1у
Ғ м,
м
— + — ~Ус+ —
А
1X с 1
сыг
(19.12)
Тік бұрышты қима үшін
о тах
Ғ
М
л* №
+
М
V
№
(20.12)
§ 4.12. Қиманыц ядросы
Кейбір материалдар (бетон, кірпіш қабырга...) шамалы созушы
кернеулерді қабылдаса, ал кейбірі созылуға мүлде қарсыласа алмайды
(топырақ).
Тек сығылуға жұмыс істейтін құрылым элементтері осындай мате­
риал дардан жасалады.
Орталық сығылған элементте және орталықтан тыс сығылуда күш
ядро деп аталатын аймақта орналасса, қимада созушы кернеу болмайды.
Сығушы (созушы) күштің әсерінен білеудің көлденен кимасында
тек бір таңбалы кернеу пайда болса, күш орналасатын орталық аймақ
қиманың ядросы деп аталады.
Егер күш ядродан тыс орналасса, қимада екі таңбалы кернеу пай­
да болады, бұл жағдайда бейтарап түзу қиманы кесіп өтеді, ал күш
ядроның шетінде орналасса, бейтарап түзу қиманы жанап өтеді, жанасу нүктесінде тік кернеу нөлге тең.
Созылуға нашар жұмыс істейтін материалдан жасалған элементті есептегенде, қима ядросының пішіні мен өлшемдерін білген жөн, осының негізінде кернеулерді есептемей, күш эксцент­
риситет! арқылы қимада созу­
шы кернеу пайда болатындығын
біледі.
Ядроның
тұрғызу
әдісін
қарастыраиык.
5.12-сурет
5.12-суретте білеудің көлденен
қимасы, басты х, у өстері жэне полюстің Ғ орналасуына сэйкес а-а
бейтарап түзу корсетілген. Ғ күші хр у ғ полюете, хс, у с бейтарап түзуде
орналасқан С нүктесінің координаттары бейтарап остің теңдеуін
қанағаттандырады:
Я
УғУс
1 ***
£
■
+
•2
■2
I
I
0.
Ьұл теңдеуден, егер полюс С нүктесінде орналасса, Ғ нүктесіндегі
тік кернеу нөлге тең, ягни бейтарап өс Ғ нүктесі арқылы өтеді.
Полюстің орналасуына сэйкес, бейтарап түзудің орны анықталады,
осыған орай, а-а түзуінің бойында орналасқан әрбір полюске Ғ нүктесі
арқылы өтетін жеке бейтарап түзу сәйкес келеді, яғни полюс а-а
түзуімен жылжығанда, бейтарап түзу Ғ нүктесінен айналады.
6.12 суретте бейнеленген көпбұрышты қиманы қарастырайық.
Бейтарап түзу А х төбесінен
айналатындай полюс жылжитын
а.ах түзуінің орнын анықтайық,
ол үшін А і нүктесхн шарт­
ты түрде полюс деп қабылдап,
(17.12) формуласы арқылы оған
сэйкес а 1а] бейтарап түзудің орны
анықталады. Осы сияқты бей­
тарап түзулер А2, А}, А 4 жэне А 5
төбелерімен айналғанда, оларға
сәикес а 2а2, а м ъ а.а.
4 4 жэне а$а 5
түзулерінщ орны анықталады.
6.12-сурет
а]аІ, а 2аі түзулерінің қиылысу
нүктесі ап екі түзуге де ортак, сондықтан полюс осы нүктеде орналасса, бейтарап түзу А {Аг нүктелері арқылы, яғни көпбұрыштың
АхА 2 қабырғасын жанап өтеді. Полюс аіъ нүктесінде орналасқанда,
бейтарап түзу А ^ қабырғасын жанап өтеді, сөйтіп, полюс а\г
ден «23-ке жылжығанда, бейтарап түзу А 2 нүктесінен сағат тіліне
бағыттас айналады. Сонымен, полюс ап а23 а34 а45 а контуры арқылы
жылжығанда, бейтарап түзу кезегімен Аі, А2, Ау Ал, А 5 төбелерінен ай­
налады, көпбүрышты кеспейді. (17.12) формуласынан полюс орталыққа
жақындай түскенде бейтарап түзу алшақтайды, сондықтан полюс а {2
а23 а34 а45 а 15 контурының ішінде орналасқанда бейтарап түзу көлденең
қнманы кеспейді, сондықтан анықталған контур қнманың ядросы бо­
лып есептеледі.
Қиманың ядросын түрғызу тәртібі:
1. Қиманың ауырлық орталығы, орталық басты өстер (х, у), басты
инерция моменттері ( / , / ) жэне инерция радиустарының квадраттары
( і2, і *) анықталады.
2. Қима көпбұрышты тәріздес болса, оның төбелерін кезекпен по­
люс ретінде қабылдап, эрбір полюске сэйкес бейтарап түзудің орны
анықталады. Осы түзулер мен шектелген контур қиманың ядросы бо­
лып табылады.
§ 5.12. Қимасы дөнгелек біліктіц иіліп бүралуы
Біліктерді есептегенде, иіліп бұралу деформациясы жиі кездеседі.
Басты өстерге қатысты инерция моменттері өзара тең болғанда,
қиғаш иілу болмайды, осыган байланысты қимасы дөңгелек білеулер
қиғаш иілмейді. Сондықтан қимасы дөңгелек білеулер иіліп, созылып
(сығылып) бұралады.
Көлденең қимасында бойлық күш болмайтын білеу иіліп бұралу
деформациясына жұмыс істейді. Оның қауіпті нүктесін анықтау үшін,
білеу бойымен ию моменті мен бүрау моменті қалай өзгеретінін білген
жөн, яғни олардың эпюраларын тұрғызу керек. Олардың эпюраларын
тұрғызуды төмендегі мысалмен көрсетейік (7.12,а-сурет).
а)
6)
«)
Т-іміпа
г)
д)
Тх-\)созои
е)
(Т-Мсоых,
ж)
А, В мойынтіректеріне орналасқан білік С қозғаушының
әсерінен айналады. Білікке белдікпен қозғалысқа түсетін Е, Ғ
шкивтері қондырылған, шкивтер орналасқан қималарда (7] - /,).С>/2,
(Т2 — і2)Л2/2 бұраушы моменттері С қимасындағы А/ мен теңеседі,
яғни Мс = МЕ + мғ (7.12,б-сурет). Тх, Ц, Щ
, (2 күштері тік жэне гори­
зонталь күраушыларға жіктеледі. Тік күштер мойынтіректерде верти­
каль (Я/, Яду), ал горизонталь күштер, горизонталь (Я/, Я/ ) реакцияларын туғызады. Реакциялардың мэндері екі тіректі арқалықтағыдай
анықталады.
А/, М ию моменттерінің эпюралары 7.12,г,е-суреттерде бейнеленген, олар арқылы М = уІМх +М] формуласын пайдаланып, толық ию
моментінің эпюрасы тұрғызылған (7.12,ж-сурет).
Бұрау моментінің эпюрасы 7.12,з-суретте көрсетілген.
Ең үлкен ию моменті эсер ететін қимада ең үлкен бұрау моменті
эсер етсе, бұл қима қауіпті болып есептеледі.
Ең үлкен ию моменті мен ең үлкен бұрау моменті эсер ететін
қималар сәйкес келмесе, қауіпті қима - олардың ең үлкен мэндеріне
сэйкес келмейтін қима болуы мүмкін.
Ию моменті мен бұрау моменті арқылы қауіпті қима анықталмаса,
беріктікті бірнеше қимада тексеріп, қауіпті кернеу анықталады.
Қауіпті қима анықталған
соң, ондағы қауіпті нүктелер
іздестіріледі.
Ұзындығы
диаметрінен
бірнеше есе үлкен біліктерде
көлденең күштерден пайда
болатын жанама кернеулерді
иіліп бұралу деформациясында ескермеуге болады.
8.12-суретте дөңгелек білік^ 12-сурет
тің көлденең қимасы көрсетілген.
Бұл қимада ию моменті М және бұралу моменті М6 әсері бар олардан тік кернеу о, жанама кернеу т пайда болады, олардың эпюралары
8.12-суретте көрсетілген. Ең үлкен тік кернеулер абсолюттік мэні бо­
йынша А, В нүктелерінде
Жанама кернеулердің ең үлкен мәндері қиманың контурында
орналасқан:
IV
2№
Мұндағы IV - қиманың өстік қарсыласу моменті, IV = 2 IV - полярлык қарсыласу моменті.
р
Білік пластикалық материалдан жасалса, тік кернеу мен жанама
кернеу ең үлкен мэнге ие болатын А, В нүктелері қауіпті, морт матери­
алдан жасалса, ию моментінің әсерінен созушы кернеу пайда болатын
нүкте қауіпті.
А нүктесінің аумағынан бөліп алынған қарапайым параллелепипед
жазық кернеулі күйдің жеке түрінде болады (9.12-сурет).
9.12-сурет
Параллелепипед беттерінде а = МІҺУ
М/1Ш
ма кернеулер эсер етеді. Жанама кернеулердің жүптылық заңы бо­
йынша параллелепипедтің жоғарғы жэне төменгі беттерінде де жаформуладан
анықталады:
а
а
тах
тіп
+
2
°ш**’ °т« таңбалары әртүрлі, сондықтан
(21.12)
а і ~ а пш
а2 = 0
о
СТ3 “ а т ш
2
(22.12)
А нүктесінің аумағында басты ауданшалармен бөлініп алынған
қарапайым параллелепипед 9.12,б-суретте көрсетілген.
Иіліп бұралған білік пластикалық материалдан жасалса, үшінші не­
месе төртінші беріктік теориясы, ал морт материалдан жасалса, Мор
теориясы бойынша есептеледі.
Үшінші беріктік теория бойынша о
о, < [а] немесе (21.12),
(22.12)-ден
+ 4т2 < [ст ].
(23.12)
Қиманың қауіпті нүктесіндегі кернеулердің өрнектерін пайдалансақ,
( м V + 4'л(м 6б
4
\
/
у[м + м
IV
/
<
И
у[м + м
үшінші беріктік теориясы бойынша келтірілген мо­
мент деп аталады.
М ш 1 уІМ 2 + М б
2
+ М + М 6 ескерсек, үшінші беріктік тео­
риясы бойынша беріктік шарт
М „ /Г < [ст].
(24.12)
Төртінші беріктік теориясы бойынша
2
ст1
Басты кернеулердің мәндерін ескерсек,
(25.12)
+ 3т2 < р ]
немесе
М \2 КМ
+3
<
И
түрлендіруден соң
у[м 2 + 0,75А/
М
К
(26.12)
М/у - төртінші беріктік теориясы бойынша келтірілген момент.
Мор беріктік теориясы бойынша
а 003
а ГЫ.’
(21.12), (22.12)-ді пайдаланыгі, кейбір түрлендіруден соң:
немесе
\
м
(27.12)
мұндағы к = [о оі]/[асьД
Мкелт- Мор беріктік теориясының келтірілген моменті.
Сонымен, қимасы дөңгелек білеуді иіліп бұралуға есептеу,
арқалықтың тік көлденең иілуге есептегендей, бірақ есептеу формуласында, ию моментінің орнына, ию моменті мен бұралу моментіне бай­
ланысты анықталатын келтірілген момент қолданылады.
§ 6.12. Қимасы дөңгелек білеуге жүктің жалпы түрдегі әсері
Қимасы дөңгелек білеудің созылып (сығылып) бұралу деформациясында, оның эрбір қимасында бойлық N күші мен бұралу моменті
пайда болады. Бойлық N күші көлденең қимада бірқалыпты таралған
а = МА тік кернеу туғызса, бұрау моментінен т = (ІЦ/7 )р жанама кер­
неу пайда болады.
Тік кернеу көлденең киманың барлық нүктесінде бірдей болғандықтан, ең үлкен т = Мб/ЛУ жанама кернеу эсер ететін білеудің сыртқы
бетінің аумағында орналасқан нүктелер қауіпті болып есептеледі.
Бұл нүктелердің кернеулі күйі 9.12-суреттегіден айырмашылығы жоқ,
сондықтан (21.12), (22.12), (23.12), (25.12), (26.12) формулалары күшін
сақтаиды.
Жалпы жағдайда, білеудің көлденең қимасында алты ішкі күш
пайда болады, бірақ беріктікке есептегенде көлденең күштердің эсерін
ескермеуге болатындығына көз жеткізгенбіз, сондықтан есептеуді ню
моменті, бұрау моменті, созушы (сығушы) күштерге жүргізеді.
Қимасы дөңгелек білеу үшін, тік кернеу қорытынды ню моменті
+ М І мен бойлық күштен пайда болады.
Қауіпті қимада кернеулі күйдің 9.12-суреттегіден айырмашылығы
жоқ.
Иіліп бүралғанда, қима контурында орналасқан екі нүкте қауіпті
болса, бойлық күштің болуынан осы екі нүктенің біреуі қауіпті болып
есептеледі. Білеу пластикалық материалдан жасалса, ию моменті мен
бойлық күштен пайда болған тік кернеулердің таңбалары бірдей нүкте,
қауіпті болып саналады.
Қабылданган беріктік теориясына байланысты, есептеу (23.12),
(25.12), (27.12) формулаларының біреуімен жүргізіледі. Бүл формулаларда о = МА ± М!Щ х = Щ/7Ғ мәндері ескеріледі.
Бұрау моменті нөлге тең жағдайда, білеудің қауіпті нүктелері
сызықтық кернеулі күйде болады, сондықтан есептеуде беріктік
теориясының қажеті жоқ. Қауіпті нүктедегі тік кернеу
N ,М
С
= — ± --- .
— А ж
М - қорытынды ию моменті. Бұл жағдайдың орталықтан тыс созылудан (сығылудан) айырмашылыгы жоқ.
§ 7.12. С ы н ы қ өсті кеңістікті білеулердің бойындагы
ішкі күштердіц эпюралары
Сынық өсті кеңістікті білеулердің бойындағы ішкі күштердің эпюра­
лары кию әдісі арқылы тұрғ ызылады. Білеудің эрбір элементінің көлденең
кимасы үшін, әуелі кеңістікте хуг координат жүйесін қабылдайды. Бүл
жүйенің х өсі элементтің бойлық өсімен сэйкес, у, г өстері көлденең
қима
жазыктығында
орналасып, оның ауырлык орталығы
арқылы өтеді. Білеудің бір ұшын
I цифрімен қалған ұштарын II
цифрімен белгілеп алған ыңғайлы
(10.12-сурет).
Қарастырып отырған қиманың
I ұшы жатқан бөлігін бірінші, I
ұшы жатпайтын бөлігін екінші
бөлік деп атаймыз. у, г өстеріне
параллель
көлденең
күштер
й , ^ 2, осы өстерге қатысты
ию моменттері М , А/, бойлық
күш Ы, бұрау моменті М, болып
белгіленеді.
10.12-сурет
Көлденен күштер:
&=2>
Мүндағы
и
(29.12)
и
^Г г — I, И бөлікке эсер етуші сыртқы
күштердің у жэне г өстеріне проекцияларының қосындысы.
Көлденең күштер:
и
(29.12)
2>.
п
Мұндагы ^
у ,5 > ,
—I, II бөлікке эсер етуші сыртқы
і
и
і.
и
күштердің у жэне г өстеріне проекцияларының қосындысы.
бағыттас
таңбалы.
I б е л ік
И балік
11.12-сурет
2
Созушы бойлық күш N оң, ал сығушы теріс таңбалы. Қиып алған
бөліктің ұшына қарағанда, сағат тіліне бағыттас бұрау моменті оң
таңбалы.
Оң таңбалы ішкі күштер (?,, (Э, ЛГмен М6 11.12-суретте келтірілген.
Қимадағы ішкі күштерді анықтағанда, оның бір жағындағы барлық
сыртқы күштер ескеріледі.
12.12-суретте көрсетілген кеңістікте білеудің бойындағы ішкі
күштердің эпюраларын тұрғызайық.
Бұл суретте эрбір элементке тэн хуг координат жүйесі қабылданған.
Мұндағы I —қатаң бекітпе, II - бос ұшы.
Білеудің А ұшынан х қашықтықта орналасқан АВ элементінің
көлденең кимасын қарастырсақ, көлденең күш () II бөлікте орналасқан сырткы күштің у өске түсірілген проекциясына, яғни Ғ -ке тең,
оң таңбалы (0,у = Ғ).
АВ элементіндегі көлденең күш
(}
эпюрасы
^ г пен бойлық күш N нөлге тең,
себебі Ғ күші г, х өстеріне проека)
цияланбайды. М ию моменті АВ
элементтеріндегі қимада Ғ(1-х)ке тең, ол төменгі талшықтарды
М, эпюрасы
сығады.
б)
0.5Ғ/
АВ элементіндегі М ию моменті
л.
у
Е
I
нөлге тең, ал бұрау моменті
М = -0 ,5 Ғ I, ВС элементі үшін () =Ғ;
М* эпюрасы
<2х 1 0; N = 0; Му = 0; Ма = Ғ ( 0 ,^ ) .
Н
в)
0,5Ғ/
13.12-суреттерде ішкі күштердің
эпюралары тұрғызылған, ал
Л/,
Му білеу бойында нөлге тең.
13.12-сурет
1.12-мысал. 14.12-суреттегі екі
жазықтықта иілген (қиғаш иілген) арқалықтың колденең қнмасының
(2 түрлі) өлшемдерін анықтаңыз.
[о] = 160 МПа = 16 кН/см2.
Шешуі: Тік жэне горизонталь жазықтықтарда ию моментінің эпю­
раларын тұрғызып, олардың ең үлкен мәндерін табамыз М = 20 кНм,
МУ = 10 кНм.
1. Тік төртбұрышты қима (һ = 26):
с
тах
и/
Мұндағы
^=40 кН/м
=10кН
/=1м
Ыг
№
ҺЪ2 Ь
. —---- [у =---- =
Шщ
6
6
'
6
6
Онда
20-102-6 10 102 -6
------- I----І -------1-----< 1 6 ---- ;
4Ь
Ь
см
теңсіздіктен Ь = 7,2 см, И = 14,4 см
аныктаимыз.
2. Сакиналы кима (с1Ю = 0,9).
Дөңгелек қималы сырық косынды момент арқылы есептеледі:
10кН*М
М
Ж
+м \
л/гоЧ Ю 2 =22,3 кН м
с!=0,90
к
14.12-сурет
Мұндағы IV = 0,1£)3(1-0,94), онда
а
2230
< 16; одан Ә = 16 см, с/ = 0,9 • 16 = 14,4 см.
0,Ш 3( і - 0 , 9 4)
2.12-мысал. 15.12-суретте қиғаш иілген арқалыққа эсер етуші Ғ
күшін анықтаңыз [а] = 160 МПа = 16 кН/см2.
20см
Ғ
/
1м
Н
М= Ғ ■1= \ ■ғ.
Басты өстерге қатысты ию моменттері
ІҒ с о зЗ О 0 = 0.866Ғ = 86.6 Ғкнсм
М г = М соза
Му = Мзіп а
= 1-Ғ 8Іп 30° = 0.5Ғ = 50кнсм .
Қарсыласу моменттері
і
Щ
I
П
£
ІЬ^;
1
6
Ш
6
у
6
6
Беріктік шартты пайдалансақ,
/
\
86,6
50
М. Ы
<16
+
* ■ у- < [ст ]; Ғ
ч 3000 2000 у
Ш+к
немесе Ғ = 298 кН.
3.12-мысал. 16.12-суреттегі қиманың бейтарап түзуінің орнын
аныктаңыз. хр = 3 см, у ғ = -2 см.
Шешуі: Инерция радиустарының
квадраттарын аныктаймыз:
/
■
2
і
А
•2
г
12Ьһ
;
һ
12
12
12
18^
126А
12
12
Бейтарап түзудің орны
•
2
I
27
V
1[
„нг
12ои
X
18см
21 см
9сл<, у б
16.12-сурет
•2
і
12
бсм
2
3
У
х, у өстерінін бойына -9 см, 6 см кесінділерін салып, бейтарап
түзуді жүргіземіз
4.12-мысал. Көлденен қимасы тік төртбұрышты 17.12-суретте
көрсетілген қадақ Ғ күшімен сыгылган. хғ = 12 см, у ғ = 5 см. Бейтарап
түзудің орнын жэне кимада пайда болатын тік кернеулердің эпюрала­
рын тұрғызыңыз.
Ғ=150кН
б)
і
•
і—
ІГ
—»
п
-
і:
\
ГчX
4
1\
X
X
\
\
X
17.12-сурет
Шешуі: Қиманың геометриялық сипаттамаларын анықтаймыз
А = аһ = 30 • 20 = 600 см2.
І,х = -12
,
30-20
= 20000 см 4, /2 = 7
А
X
12
_____
20000
= 33,3см2,
600
Ьаъ 20-З03 лсппп 4 ,2 / у 45000 _
,
=т
г
45000см
і = - й г = 75см^■
Бейтарап түзудің орны: х 6 = —і 2/хғ = -75/12
33,3/5 = -6,66 см (15.12) формуласынан
\ +* £ 4 Ц у '
а
V
^
‘х ,
6,25 см, V
150 , 12-х 5* у
1+------+ — 600 V
75
33,3
-0,25(1+0,16х+0,\5у)
1 нүкте х
аі
15см, V
0,25 [і + 0,16 • (-1 5)+ 0,15 •(-10)] = 0, 725
15см, V.
с т
= 7,25 МПа;
10 см,
-О,25[і+О,1б(-15)+О,15
3 нүкте х = 15см, у
а
10 см,
0,025 кҢ
см
-0,25 МПа;
10 см,
0,25 [1 + 0,16-15 + 0,15-10]= -1,225 КҢ
-12,25 МПа;
4 нүкте хғ = 15см, ур = -10 см,
а 4 = -0,25[ 1+0,16 •15 + 0,15 •(-10)] = -0,475
, = 4,75 МПа.
17.12,6-суретте бейтарап түзудің орны мен тік кернеулердің эпюра­
сы көрсетілген.
5.12-мысал. Қимасы дөңгелек білік минутына 500 рет айналып (500
айн/мин), 100 ат.к. қуат береді. [о] = 80 МПа = 8 кН/см2, 3, 4 беріктік
теориялары бойынша біліктің диаметрін анықтаңыз (18.12-сурет).
Шешуі: Қуат арқылы эрбір шкивтен берілетін бұрау моменттерін
анықтаймыз.
Мб Щ716,2 •| | п = 716,2 •100/500 = 143,2 кгм =1,432 кНм .
Шкивтерге эсер етуші күштерді 7|, іх, Т2, і2 табамыз.
М 6 = (Г, - /, У ү = (2/, -
)А / 2 = ^іД /2
немесе г, =2Л/б/Д =2 1,432/0,5 = 5,73кН, 7] = 2/, =11,46кН,
і2 = 2М 6/Е>2 = 2 •1,432/0,3 = 9,55 кН, Г212/2 = 19,1 кН .
Шкивтен білікке берілетін тік жэне горизонталь күштерді
анықтаймыз.
Ғ* =(Г, + /,) 8ІПО, = (11,46+5,73>іп60° = 14,9 кН,
Ғх* =*(Т\ +/,)со8аІ =(11,46 + 5,73)со860° = 8,6 кН,
Ғ{ ~ (Ті + һ )8‘п а 2 =(і9,1 + 9,55)5Іп45о= 20,2 кН,
Ғ2 =(7] +г,)со8а2 =(19,1 + 9,55)со845о= 20,2кН.
18.12,в,г-суреттерде білікке эсер етуші тік, горизонталь күштер
көрсетілген.
Мойынтіректегі тірек реакциялары арқалықтағыдай анықталады.
■3 -14,9 ■2 + 20,2 0,5 = ЗКУ
А - 19,7 = 0; КУ
А = 19,7/31 6,57 кҚ
£
£>
= 14,9 1
-3 + 20,2-3,5 = -ЪЯ$ + 85,6 = 0; Ку = 85,6/3 = 28,5 кН,
д = 7 $ - 3 - 8,6-2-20,2-0,5
= 8,6-1 +
=ЗЛ;5-27,3 = 0;
-3-20,2-3,5 =ЗЛІ-62,1;
=27,3/3кН,
=62/3 = 20,7 кН.
2 шкив
а)
б)
Ғ2у=20,2
Ғ 2 =20,2
е)
ж)
18.12-сурет
Тік жэне горизонталь күштерден түрғызылған ию моменттерінің
эпюралары 18.12,д,е-суреттерде.
Белгілі формуладан толық ию моментінің мәнін анықтаймыз.
х=1 м, м = л/б,572+9,12 =11,22 кНм;
х=2 м, М =
+
9,76кНм;
Толық ию моментінің эпюрасы 18.12,ж-суретте.
Білеудің В қимасы қауіпті, себебі қимада ең үлкен ию моменті
мен бұрау моментінің әсері бар. Келтірілген моменттердің мәндерін
%*
есептеиміз:
М III уІМ 2 + М
14,35кнм
лД
М
М IV
у]м 2 +0.75М
VI 4,28 + 0,75-1,432 = \4,33кнм.
Бұл мысалда келтірілген моменттің мэндерінің айырмашылығы өте
аз, себебі келтірілген мысалда негізгі рөлді ию моменті атқарады.
Есептеу моменті ретінде Мш - 14,35 кНм қабылдасақ,
Дөңгелек үшін Ц'
ксі
~32
179,4,
^ = з | - - 11-7 9 , 4 « 1 2 , 2 см
3,14
Біліктің диаметрін */= 125 мм қабылдаймыз.
6.12-мысал. III, IV беріктік теорияларын пайдаланып, 19.12-суреттегі білеудің беріктігін тексеріңіз [о] = 120 МПа.
М=90кНм
Т
<і=20см
Ғ=500кН
1912-сурет
Шешуі: Білеудің кез келген қимасындағы ішкі күштер И - Ғ = 500 кН,
N
500
, _ кН , , ЛЖЖТТ
ст= — = --------- -=1,59— - =15,9 МПа,
А 3,14 -202
см
М 90-102 16 е „ к Н
т = — ------------—= 5,73— - = 57,ЗМПа.
^
3,14-20
см
імівтпв
Үшінші беріктік теориясынан
\1<з2 +4т2 = Л/і5,92 + 4-57,32 =115,6ч [ст]=120 МПа .
Төртінші беріктік теориясынан
7 а 2 +3т2 = >/і5,92 + 3-57,32 = 101ч [а]=120 МПа.
Үшінші беріктік теориясынан жүктеменің жеткіліксіздігі 4%, ал
төртінші теориясынан - 16%.
Бақылау сұрақтары
1.
2.
3.
4.
5.
Иілудің қандай түрі қиғаш иілу деп аталады?
Қимасы дөңгелек арқалықта қиғаш иілу бола ма?
Таза қиғаш иілу, көлденең қиғаш иілу деген не?
Қиғаш иілу қандай иілулерден тұрады?
Қиғаш иілуде білеу қималарындағы кернеулер қалай анықталады?
6. Қиғаш иілуде білеу қималарындағы жанама кернеулер қалай
анықталады?
7. Қигаш иілуде бейтарап өстің орны қалай анықталады?
8. Қауіпті нүкте деген не, ол қалай анықталады?
9. Қиғаш иілуде арқалық өсінің майысуы қалай аныкталады?
10. Орталықтан тыс созылу немесе сығылу деформациясы деген не?
11. Орталықтан тыс созылған білеу қандай жағдайда қатаң деп
есептеледі?
12.0рталықтан тыс созылған (сығылған) білеудің қимасындағы
кернеу қалай анықталады?
13. Орталықтан тыс созылуда (сығылуда) бейтарап түзудің орны
қалай анықталады?
14. Полюстің координаттары хр уғ көбейгенде, бейтарап түзу қалай
жылжиды?
15. Қиманың ядросы деген не?
16. Қиманың ядросы қалай тұрғызылады?
17. Иіліп бұралған білеуде қандай кернеулер пайда болады?
18. Иіліп бұралған білікте қауіпті қимасы қалай анықталады?
19. Иіліп бұралғанда, қимасы дөңгелек біліктің қандай нүктелері
қауіпті?
20. Иіліп бұралғанда, қауіпті нүкте қандай кернеулі күйде болады?
21. Иіліп бұралғанда, әртүрлі беріктік теориясы бойынша келтірілген момент қалай анықталады?
22. Иіліп созылған білеулердің қандай нүктелері қауіпті?
23. Иіліп созылған білеу беріктікке қалай есептеледі?
§ 1.13. Статикалық анықталмау
Кейбір сырықтар жүйесін есептегенде, олардың бойындағы
күштерді анықтауға статика теңдеулері жеткіліксіз, қосымша дефор­
мация теңдеулері қажет. Мұндай жүйелер статикалық анықталмаған
жүиелер деп аталады.
Статикалық анықталмаған жүйелердің ерекшеліктері: олардың
бойындағы ішкі күштер сыртқы жүктемелермен қатар, жеке элементтерінің көлденең қималарының арасындағы қатынасқа жэне материалдарына байланысты серпімділік модуліне де тэуелді.
Статикалық анықталмаған жүйелерді есептеу олардың есептеу
нұсқаларын талдаудан, статикалық анықталмау дэрежесін анықтаудан
басталады.
Статикалық анықталмау дэрежесі артық байланыстар санына тең,
олардан босанғанда, жүйе статикалық анықталған, геометриялық
өзгермейтін жүйеге айналады.
Статикалық анықталған жүйелерде ешқандай артық байланыс болмайды, олардың біреуінен босанғанның өзінде, жүйе геометриялық
өзгермелі механизмге айналады.
1.13,а-суреттегі арқалық бір рет статикалық анықталмаған, себебі
тірек байланыстарының біреуі артық. Байланыстардың біреуінен босатып (1.13,б,в-сурет) немесе қосымша топса енгізсе, жүйе статикалық
анықталған, геометриялық өзгермейтін арқалыққа айналады.
Бірнеше элементтен құралған тұйық тізбекті жүйе тұйық контур
деп аталады.
а)
а)
б)
б)
в)
1.13-сурет
2.13-сурет
2.13,а-суреттегі рама
тұйық контур, үш рет статикалық анықталмаған. Элементтерінің бірін кессе, үш байланыстан босанып,
статикалық анықталған жүиеге айналады. Бойлық күш, көлденең
күш, ию моменті байланыстың реакциялары статика теңдеулерімен
анықталмаиды.
3.13-суреттегі рамалық жүйенің жоғарғы контурында топса орналасқан, екі рет статикалық анықталмаған бұл контурды қиғанда, оған
екі ішкі күш /V, ^ эсер етеді.
Жалпы жүйе бес рет
статикалык аныкталмаған,
себебі төменгі контурдың
аныкталмау дэрежесі үшке
тең. Артық байланыстардан босанған жүйені го­
ризонталь консольды төменгі ұшы қатаң бекітілген екі сырық ретінде
карастырады (3.13, б-сурет).
3.13-сурет
Бұл жүйенщ статикалык анықталмау дәрежесін өзге жолмен де анықтауға болады. Топсасы бар жоғарғы контур екі рет статикалық анықталмаған. Әрбір қатаң
бекітпеде үш тірек реакциясы бар, яғни төменгі контурда алты байланыс, статика теңдеулерінің саны үшеу, сондықтан үш байланыс артық.
Сонымен, жүйе бес рет статикалық аныкталмаған.
Екі сырық қосылған түйінге сырық өсінің кез келген жерінде
енгізілген топса жүйенің статикалық анықталмау дэрежесін бірге
кемітеді. Мұндай топса жеке топса деп аталады.
Жүйені байланыстан босатқанда, құрылым геометриялық
өзгермейтін болуға тиіс. 4.13,а-суреттегі жүйе бір рет статикалық
анықталмаган, оны тік орналасқан сырықтан босатса (4.13,6-сурет),
қалған үш сырық раманың А нүктесіне қатысты айналуына кедергі
бола алмайды (геометриялық өзгермелі жүйе). Байланыстан дұрыс
босанудың жолы 4.13,в-суретте көрсетілген.
Жүйенің статикалық анықталмау дэрежесін анықтаудың жалпы
түрін көрсетейік, к сырықты қосатын түйінге енгізілген топса жүйенің
статикалық анықталмау дэрежесін к- 1-ге кемітеді, мұндай топса £-1
жеке топсаны алмастырады (5.13,а-сурет). Құрылымның статикалық
анықталмау дәрежесін анықтау үшін, түйық контурды үш еселеп,
(барлық топса, оның ішінде тірек, қатац бекітпеден алмастырылады),
оны енгізілген жеке топсалар санына кемітеді.
4.13-сурет
о)
Жалпы то пса
топсалар
Жеке топсалар
е)
Л77ЙШ?
5.13-сурет
с = 3 п -т ,
(113)
мұндағы с - статикалық анықталмау дэрежесі, п - тұйық контур саны
т - жеке топсалар саны.
’
5.13,6-уретте жеке, 5.13,в-суретте қос, 5.13,г-суретте үштік топ­
салар көрсетілген. Топсалы жылжымайтын тіректі (5.13,д-сурет)
құрылымды, жермен байланыстыратын жеке топса түрінде көрсетуге
болады (5.13,е-сурет). Мұндай тірек құрылымды жермен бір түзу не-
252
месе сынық элемент арқылы байланыстырса (5.13,ж-сурет), оны жеке,
ал екі элемент арқылы байланыстырса (5.13,з-сурет), қос топсаға т.с.с
'I
жатады.
6.13-сурет
6.13,а-суреттегі рама бір тұйық контурлы, екі топсалы деп
қарастырылады, оның статикалық анықталмау дәрежесі:
с = 3 1-2=1,
6.13,в,г-суреттеріндегі рамалар екі тұйық контурлы, бес топсалы,
статикалық анықталмау дэрежесі:
с =3 -2 -5 = 1 ,
6.13,д-суреттегі рама үш тұйық контурлы, үш жеке, бір қос топсалы
(оң жақтағы тік сырық ортасындагы топса), онда:
с —3 • 3-3-2 = 4.
Кез келген статикалық анықталмаган жүйеден оның геометрнялық
өзгермейтін күйін сақтайтындай бір байланыстан босануға болады, олар
шартты қажетті байланыстар, бірақ кейбір байланыстан босатқанда,
жүйе геометриялық өзгермелі жүйеге отеді (4.13,а-суреттегі тік тірек
сырықтары). Мұндай байланыстар абсолютті қажетті деп саналады.
§ 2.13. Күш әдісінің канонды тецдеулері
Статикалық анықталмаған жүйелердегі күштерді анықтау үшін,
косымша деформация теңдеулерінің қажеттілігі белгілі. Ол үшін,
артық байланыстардан босанып, жүйені статикалық анықталган негізгі
жүйеге айналдырады. Алып тасталған байланыстардың реакцияларына баламалы күштермен жүктегенде, жүйе бойындағы ішкі күштердін
шамалары өзгермейді. Берілген күштер мен алынған байланыстардың
реакцияларына тең күштердің әсерінен негізгі жүйеде пайда болатын
ішкі күштер берілген жүйедегі ішкі күштерге тең, яғни екі жүйе бірбіріне баламалы.
Берілген жүйенің байланыс бағытындағы орын ауыстыруы болмайды. Сондықтан негізгі жүйеде алып тасталған байланыс бағытындағы
орын ауыстыруы нөлге тең. Сонымен, алынған байланыстардағы ре­
акция байланыс бағытындағы орын ауыстыру нөлге тең шартынан
анықталады.
I
Күштердің бір-біріне тәуелсіз принципінен кез келген алынған
байланыстың багытындағы орын ауыстырудың нөлге теңдігінен:
13)
Қос индекстің біріншісі орын ауыстыру бағытын, екіншісі оның
себебін білдіреді. А.к, А.р- тиісінше к реакциясы мен Ғкүш інің әсерінен
і реакциясы бағытындагы орын ауыстырулары.
Кез келген к байланыстың реакциясы хк, А.к орын ауыстыруын,
А.к = хк 8 .к бірлік орын ауыстыруымен алмастырсақ (2.13), келесі түрде
жазылады:
д , = д , і + Д ,2 + ••■ + Д ш +
д/ =
°-
п
+ Я Д 2 + —+ ^ п_і5,>_| + Л^Л8І(1+ Л ^ = 0 .
Сонымен, берілген жэне негізгі жүйелердіц баламалығы математи­
ка тілінде келесі тецдеулер жүйесін қанағаттандыруға тиіс:
^ ,5,, + Л’25,2 + ...+ Л ’іі5 1іі+ Д 1ғ = 0
^ібз! + ^ ^ 2 2 + ...+ ^„5 2п+А 2Ғ = 0
+ ^25л2 +•••+
(313)
+ Д„Ғ = 0
(3.13)
теңдеулері п рет статикалық анықталмаған жүйе үшін
деформацияның қосымша, канонды теңдеулері деп аталады.
Теңдеулердің эрбір катары, сэйкес реакция бағытындағы орын ауыс­
тыру нөлге тең екендігін білдіреді, олардың саны алып тасталған
байланыстар санына, яғни статикалық анықталмау дәрежесіне тең.
Теңдеулер жүйесінің 8 .к коэффициенттері, і бағытындағы к бағытында эсер ететін бірлік күштің эсерінен орын ауыстыруды білдіреді.
Теңдеулердің индекстері бірдей 8 .. басты, эртүрлі индексті бл бүйір
элементтері деп аталады.
Орын ауыстырудың өзара қатысты теоремасы 8., = 5.. канонды
теңдеулердің коэффициенттерін анықтауды жеңілдетеді.
Канонды теңдеулердің коэффициенттерін анықтау үшін, бірлік эпюралар М мен күштік эпюра Мғ тұрғызылады. Бірлік орын ауыстырулар
Ъл, бірлік М. мен Мк эпюраларын, ал бос мүшелер Дй, бірлік эпюралары мен күштік Мғ эпюрасын көбейту негізінде табылады.
Басты элементтер тек оң таңбалы, бүйір элементтері мен күштік
орын ауыстырулардың таңбалары оң, теріс жэне нөлге тең болуы
мүмкін.
Барлық бірлік коэффициенттері мен бос мүшелері анықталған
соң, канонды теңдеулерді шешіп, белгісіздерді анықтайды. Әрбір
бірлік эпюраларды сәйкес белгісіздердің Х г Х2, 9• • X ' мәндеріне
көбейтіп, түзетілген эпюралар тұрғызылады. Түзетілген эпюралар мен
күштік эпюраның сәйкес ординаттарын қосып, берілген статнкалық
анықталмаған жүйенің, ию моментінің эпюрасын тұрғызады (соңғы
эпюра).
Ию моментінің соңғы эпюрасын басқа жолмен де тұрғызуға болады.
Ол үшін, негізгі жүйені берілген жэне табылған күштермен жүктеп,
белгілі әдіспен соңғы эпюраны тұрғызады.
Бір кұрылымды есептеу үшін, эртүрлі негізгі жүйе қабылдауға бо­
лады, бірақ мүмкіндігінше бүйір элементтерінің көпшілігі нөлге тең,
ал негізгі жүйе үшін, ию моментінің эпюралары қарапайым болатындай тиімдісін таңдаған жөн.
г
Үш рет статикалық анықталмаған раманы қарастырайық (7.13,а-сурет).
а)
0)
Берілген жүйе
Негізгі жүйе
Негізгі
жүйе
777/77/
777777
7.13-сурет
Раманы сол тірегінің тік, горизонталь орын ауыстыруы мен
бүрылуын шектейтін үш байланыстан босатса, негізгі жүйе 7.13,6-
суреттегідей түрде болады. Белгісіздер Х у, Х 2, Х 3 алып тасталған
тіректердің реакцияларын, ал канонда теңдеулері белгісіз күштер
бағытындағы орын ауыстырулар нөлге тең екендігін білдіреді.
Негізгі жүйе ретінде 7.13,в-суреттегі горизонталь элементі кесілген
раманы қабылдауға болады. Мұндай кесудің негізінде іргелес
қималардың бір-біріне қатысты тік, горизонталь бағыттағы жылжуы мен бұралуы шектелуге тиіс, осыган орай белгісіздердің Х х, Х2,
Х } әрқайсысы жеке түрде емес, екі күштен және екі моменттен, яғни
топталған белгісіздерден тұрады.
7.13,б-суреттегі негізгі жүйедегі 8)2 раманың сол жақтагы ұшының
Х 2 = 1 күшінен горизонталь багыттагы орын ауыстырудың, 7.13,всуреттегі негізгі жүйеде 8І2Х 2 = 1 күшінің әсерінен іргелес қималардың
бір-біріне қатысты тік багыттагы орын ауыстыруын білдіреді.
Берілген 7.13,а-суреттегі раманы есептеуде негізгі жүйе ретінде
7.13,в-суретті қабылдаган тиімді, себебі күштік ию моментінің эпюра­
сы тек раманың сол бөлігінде гана, ал 7.13,6-суреттегі негізгі жүйеде ию
моментінің эпюрасы раманың барлық элементтерінде тұргызылады.
§ 3.13. Статикалық анықталмаған жүйелерді есептеу
Статикалық анықталмаган 8.13,а-суреттегі раманы есептейік. Рама
екі рет статикалық анықталмаган. Негізгі жүйе ретінде 8.13,б-суреттегі
сынық білеу қабылданады.
Жүйенің канонды теңдеулері:
М , + Х А , + \ = 0 , л г д ,+ - г д , + \ = 0 .
Негізгі жүйе үшін бірлік және күштік эпюралар 8.13,в,г,д-суреттерде
бейнеленген.
__
8.. анықтау үшін М \ эпюрасын өзіне көбейтеміз (Верещагин эдісі):
812, 821 анықтау үшін, М і эпюрасы М 2 эпюрасына көбейтіледі:
1
а
а
а -а -— = ------- •
а-аЕ1
2
2 Е1
822 М 2эпюрасын өзіне көбейту арқылы анықталады:
Бірлік М і , М 2 эпюраларын кезекпен М эпюрасына көбейтіп, бос
мүшелерді анықтаймыз.
? аа2 а 3
ъ
2
^
4
аа
=т _ .
А|* ЕІ чТ з 1 а + Т а -ау 8£7 ’
.
д
2
аа
а
аа
— ------------— а ■— = — - —
’
Е1 2
2
4Е1
Табылған мэндерді канонды теңдеуге қойып, ортақ көбейткіш
(Р/ЕІ-тс бөліп:
4 „
~х\
1
.
1
_
~
5
8^а
2
1
’ ~2
і
'і
.4 '
3
Теңдеулерді шешіп Х ] = — <70 ;
I?
7
1
1
1+ з 2~ 4 ^ а =
3
28
а л а м ы з -
табамыз.
Ию моментінің соңғы эпюрасын тұрғызу үшін, негізгі жүйені
берілген күш және табылған белгісіздермен жүктейміз. Теңдеуді шешкенде, Х ] таңбасы теріс болғандықтан, оны оңнан солға бағыттаймыз
(8.13,е-сурет).
Раманың эрбір аралығына ию моментінің теңдеуін жазамыз.
І-І қима
и {= -дахх~Ч
3
^
М
—
х 1 = 0 болғанда М] = 0 ; х, = а/2 болғанда М, =
•
7
х, =
а
Я
,,
3
болғанда М. = - а
1 7
а2
— <?— = — да2,
2
8 56
а2
=-а — ,
2
14
а а -а —
М
анықтау үшін, оның х бойынша бірінші туындысын нөлге
теңестіреміз:
Ш, 3
3
---- § = —# а —Язс = 0 немесе х ——а онда
4 x 1
1
и
3
3
а
9 2
9
2
М. „ =—аа~ —а -------- а = — оа .
о)
Берілген жүйе
Негізгі жүйс
м эпюрасы
ааг
3
3
2
я
°
2
м , = — дах +—аа —- —
2 28
7
2
х,2 —0----------болғанда
А/,
і
лгл2
14
а
2
а
2
х, = а оолғанда М , = — аа-а + —аа —а — = а —
2
2 28
7
2
28
к
ал
3
3
2
Ию моментінің соңгы эпюрасы 8.13,ж-суретте көрсетілген.
Ию моментінің сонгы эпюрасын баска эдіспен де тұрғызуға болады.
Бірлік М | эпюрасының барлык ординаттарын X. ———д а , Мг-ні
3
'
.
7
л 2 = — да-га көбейтіп, 8.13,з,и-суреттеріндегі түзетілген эпюралар
4
28
1.1
ІЦ, Л/2 алынады. Табылған Мх, М2 жэне М эпюраларын қосып, соңгы
ию моментінің эпюрасын түрғызады.
Раманың горизонталь элементінің қатаң бекітілген қимасында
.. 3 2 3
2 1 2
М - —да + — да — да
7
28
2
сол жақтағы ұшында
_
_
28
'3
2
ЯО
2
да
2
М = —аа - - — = --2— .
7
2
14
Рама кадагынын кез келген кимасындагы ию моментін аныктау
үшін, оны ұзына бойы таралған д күшімен және жоғарғы үшында
да1! 14 моментімен жүктелген карапайым арқалық ретінде қарастырады
(8.13,к-сурет). Аркалықтын төменгі тірек реакциясы:
ца да 2 3
К л = 2Г - 7 Т - = - Я а <
2 14а 7
х, қимасындағы ию моменті
м = к Ах ; - д £
Табылган ординаттар бойынша ию моментініц соңгы эпюрасы М
тұрғьпылады (8.13,ж-сурет).
Қарастырылған мысалдың негізінде статикалык анықталмаған
жүйелерді келесі тәртіппен есептеуге болады:
1. Берілген жүйені артық байланыстардан босатып, негізгі жүйе
қабылданады.
2. Алып тасталған байланыстардың әсерін негізгі жүйеде белгісіз
күштермен алмастырады.
3. Белгісіз және берілген күштердің эсерінен белгісіз күштердің
бағытында негізгі жүйеде орын ауыстыру нөлге тең екендігі ескеріліп,
кононды теңдеулер қүрылады.
4. Негізгі жүйе жеке-жеке бірлік Хх = 1,Х2 = 1,
Хп = 1 күштерімен жүктеліп, бірлік эпюралар М і жэне берілген күштермен жүктеліп,
күштік эпюра Мғ түрғызылады.
5. Бірлік эпюраларды бір-бірімен көбейтіп, канонды теңдеулердің
коэффициенттері Ъй анықталады.
6. Бірлік эпюраларды кезекпен күштік эпюрамен көбейтіп, канон­
ды теңдеулердің бос мүшелері А.ғ анықталады.
7. Канонды теңдеулер жүйесін шешіп, белгісіз Х г Х2,
Хштабылады.
8. Бірлік эпюралардың ординаттарын сәйкес табылган белгісіздердің мәндеріне көбейтіп, түзетілген эпюралар түрғызылады. Түзетілген эпюралар мен күштік эпюраны қосып, ию моментінің соңгы эпю­
расы түрғызылады немесе табылган белгісіздер мен берілген күпггер
арқылы непзгі жүиені жүктеп, олардың эсерінен ию моментінің соңғы
эпюрасын тұрғызады.
§ 4.13. Симметрияны пайдалану
элементтері симметриялы орналасқан жүйе, симметриялы жүйе деп аталады.
Симметрияны пайдаланып, жүйені есептеуді ықшамдауга болады.
Үш рет статикалық анықталмаган симметриялы раманы қарастырайық (9.13,а-сурет). Қабылдаған негізгі жүйе (9.13,б-сурет) бойын­
ша үш канонды теңдеу шешіледі:
1°І1 + * 28 ,2 + * з § , з
І8 2І +
Х 2ЬП +
+
І8 31
Х 28 32 +
^ 2 3
Д 1Ғ == 0
+
,
+ А2Ғ = 0,
+
д зғ
'
= 0.
Симметрия өсі
9.13-сурет
Берілген рама үшін негізгі жүйені 10.13,а-суреттегідей қабылдасақ,
X. — 1, —1 симметриялы күштерден бірлік М і , М г эпюралары сим­
метриялы (10.13,6,в-сурет). Симметриялы эпюраның кері симметриялы
эпюрага көбейтіндісі нөлге тең, мысалы, М\ мен М ъ -тің көбейтіндісі
\
5 13
5 31
һ I
һ'
2 2/
0,
сол сияқты
Бсрілгсн ж\ йе
Симметрия осі
ф
Осының негізінде канонды теңдеулер жүйесі келесі түрде жазылады:
+ Х 28 12+ А ІҒ = 0 ,
^1^21 + ^2^22 + ^ 2Ғ ~
Л:38 33 = 0 .
Сонымен, негізгі жүйені қабылдағанда симметрия пайдаланылса,
канонды теңдеуді шешу элдеқайда жеңілдейді.
Симметриялы құрылымға симметриялы немесе кері симметриялы
күштер эсер етеді, онда күштік эпюра да симметриялы немесе кері
симметриялы болатындай негізгі жүйені қабылдауға болады, демек ка­
нонды теңдеулердің кейбір бос мүшелері нөлге тең болып, теңдеулер
жүйесін шешу жеңілдей түседі.
Мысалы, жоғарыда көрсетілген рамаға кері симметриялы күш
эсер етсін (11.13,а-сурет). Қабылдаған негізгі жүйенің (11.13,б-сурет)
негізінде күштік эпюра Мя кері симметриялы 11.13,в-суретте
келтірілген.
__
Бірлік М і , М г симметриялы эпюраларды Мғ кері симметриялы
эпюраға көбейтіп анықталатын бос мүшелер Д1Я Д нөлге тең, онда
канонды теңдеулер келесі түрде жазылады:
■^1^11 ^2^12
®= ®>
“^1^21 "Ь-^2^22 + 0 = 0,
а За - + д ^ —о .
Бұл теңдеулерден Хъ тен басқа белгісіздер нөлге тең.
Рамаға симметриялы күштер эсер етсе, кері симметриялы
белгісіздер нөлге тең болады.
Сонымен, белгісіздерді симметриялы жэне кері симметрия­
лы екі топқа бөлгенде, симметриялы жүйені есептеу жеңілдейді.
Белгісіздердің бірінші тобы симметриялы, екіншісі кері симметриялы
эпюраларды береді. Құрылымға симметриялы күштер эсер етсе, кері
симметриялы белгісіздер, ал кері симметриялы күштер әсерінен сим­
метриялы белгісіздер нөлге тең болады.
§ 5.13. Көлденең және бойлық
күштердің эпюраларын түрғызу
Канонды теңдеулер жүйесін шешіп, белгісіздер Х г Х 2, ...., Х н
анықталған соң, негізгі жүйені берілген күштер жэне белгісіздермен
жүктеп, белгілі әдіспен көлденең
/
күш пен бойлық күштердің эпюраларын тұрғызуға болады.
Айтылған эпюраларды ию
моментінщ
соңғы
эпюрасын
$вл
пайдаланып тұрғызуға да бола­
ды. Статикалық анықталмаған
жүйеден бөліп алынған АВ түзу
Берілген күш
элементін қарастырайық (12.13,асурет). Элементке жалпы түрде
келесі күштер эсер етеді:
а) берілген күш;
X
б) элементтің А, В қималарынI
да пайда болған ию моменттері
МАВ, МВА, олардың мэндері соңғы
Берілген күш
6)
_______ А __________
эпюрадан алынады;
в) элементтің А, В қималарынА
да пайда болған көлденең күштер
£>лв, ()ВА жэне бойлық күштер
X
N ВА ’
М, (), N күштеріне тэн индекс$
тердің
біріншісі
қиманы,
мал
екеуі бірге раманың элементін
білдіреді.
^
АВ элементі тепе-теңдік күйде
лв* Фвл' * ва
12.13-сурет
арқалықтың тірек реакциясы
ретінде қарастырылады (12.13,6- сурет).
Рама элементіндегі х қашықтықта орналасқан қимадағы ішкі
күштер (12.13,а-сурет) арқалықтың х қимасындағы ішкі күштерге
(12.13,б-сурет) тең. Күштердің бір-біріне тэуелсіз принципінен АВ
элементінің х қимасындағы ию моменті 12.13,в, 12.13,г-суреттердегі
күштердің әсерінен пайда болған ию моменттерінің қосындысына тең:
лМЛІКу,
---------
А
-
шППЩ
Ш
ППШ
М = М ° + М АВ + ~ ВА - М ж х
мұндағы М° берілген күштен (12.13,в-сурет),
(4.13)
М —М
М АВ + — —------ — х
- МАВ, МВА-д,ая (12.13,г-сурет) пайда болган х қимасындағы ию
моменттері.
лм лм° { М,А-М„
СІХ
СІХ
I
немесе
0 = 0 ° + —■« - -У V . .
(5.13)
Мұндагы, 0 ° - берілген күштен х қимасындағы көлденең күш
(4.13), (5.13) формулалары арқылы раманың кез келген түзу сызықты
АВ элементіндегі, кез келген қимадағы ию моменті мен көлденең күшті
анықтаиды.
*
^ і . і ,г, г.\- и>
Ию моменті эрбір элементтің сығылған талшақтарына салынса,
көлденең күш таңбасы келесі ереже бойынша анықталады.
Ию моментіне жүргізілген жанаманы элемент өсімен беттестіру
үшін, сағат тіліне бағыттас бұру керек болса (бұрыш 90°-тан аспауға
тиіс), көлденең күш оң таңбалы, көлденең күштің сандық мэні бұрылу
бұрышының тангенсіне тура пропорционал.
Көлденең күштің бағытын анықтау үшін, берілген қиманы кеседі,
эрбір элементтің кесілген жерінде көлденең күш оң таңбалы болса, ол
элементтің екінші ұшын сағат тіліне бағыттас бүру керек.
Бойлық күшті анықтау үшін, раманың түйіндерін кесіп, берілген
күш көлденең күш және белгісіз бойлық күш әсерлерін көрсетіп, осы
түйіндерге тепе-теңдік теңдеулерін құрады. Алдыңғы параграфта
қарастырылған рама үшін 0 , эпюраларын тұрғызайық (13.13,а-сурет).
13.13,6-суретте негізгі жүйе, 13.13,в-суретте ию моментінің эпюрасы
келтірілген.
Раманың І-І қадағы мен ІІ-ІІ ригеліндегі қималарындағы көлденең
күштер мен бойлық күштерді анықтайық.
а) І-І қимасы
3
3
Я = - Ч а ~ ч х х; Н = - — да\
*і=0> 0 =
хх=а,
/
А
4
<2= - - д а ,
N = --^ -д а ;
2 .0
3
М = - — да.
б) ІІ-ІІ қимасы
3
2 =—
3
4
N = - д а - д а = - —да
суреттерде көрсетілген.
6)
°)
0)
М эпюрасы
д)
*)
е)
а
N
N эпюрасы
0 эпюрасы
13.13-сурет
Осы эпюраларды (5.13) формуласын пайдаланып тұрғызайық
І-І қимасы
„
в
аа
да
=
2
~
ч
Ж
|
+
0
14
а
3
= ~да-дх\
ІІ-ІІ қима
0 = 0+
<уа2/28 -
да 2/і 4)_ 3
да
а
28
Бұл өрнектер алдыңғы әдістегі өрнектермен сэйкес келеді.
Түрғызылған () эпюрасын бойлық N күшін анықтауға пайдаланамыз. Раманың үстіңгі сол жақта орналасқан түйінін кесіп (13.13,е-сурет),
оның тепе-теңдігінен
4
4
х = —да + Л/2 = 0; /ү2
7
3
3
•
#
Бойлық күштердің алдындағы теріс таңбалар олардың бағыттары
кері болуы керектігін білдіреді.
§ 6.13. М, () және N эпюраларының дүрыстығын тексеру
Жалпы, раманың түйіндері мен еркін жеке бөліп алған бөліктері
үшін, статикалық тепе-теңдік теңдеулерін қанағаттандыру статикалық
тексеру деп аталады. Мысалы, тірек реакциялары мен берілген
күштердің тік өске проекцияларының немесе осы күштердің, кез кел­
ген нүктеге қатысты моменттерінің қосындысы т.с.с. нөлге тең болуға
тиіс.
13.13,а-суреттегі раманың тепе-теңдігін тексерейік, ішкі күштердің
эпюралары 13.13,в,г,д-суреттерде көрсетілген. Рамаға эсер етуші
барлық күштер 14.13,а-суретте бейнеленген.
Тепе-теңдік теңдеулері
3 а а ----3 аа = 0,
п
28
28
3
4
А
= - —<?а + # а — ца = 0.
Топсалы тірекке қатысты моменттердің қосындысы
V1
\Л
®
°
2
3
4
Л
> М =аа — а ---- Һ— аа а — аа а —0.
^
2
28 28
7
Раманың тепе-теңдігі қанағаттандырылды.
Көлденең күшті ию моментінің эпюрасымен салыстырып тексереді.
Статикалық тексеру толық кепілдік бере алмайды, себебі белгісіздер
дұрыс табылмаса да, тепе-теңдік теңдеулері қанагаттандырылады.
Белгісіздердің қателіктерін деформациялық тексеруден анықтауға бо­
лады.
13.13,а-суреттегі раманы екі байланыстан босатып, статикалық
анықталған жүйеге айналдырады (14.13,б-сурет). Оны берілген күштер
жэне реакциялармен жүктейді. Статнкалық анықталган раманың
төменгі үшының тік бағыттағы орын ауыстыруы нөлге тең болуға тиіс.
Осы бағыттағы бірлік күш әсерінен бірлік момент эпюрасын түрғызып
(14.13,в-сурет), оны ию моментінің соңғы эпюрасымен көбейтеді
(13.13,в-сурет):
^ да 2 і1 да 2 2 \
а
1 а а —
1
Д
=—
ү9*
н.
і
$
д)
14.13-сурет
Горизонталь бағыттағы орын ауыстыруды тексерейік, ол үшін
соңғы эпюра мен 14.13,г-суреттегі бірлік эпюра көбейтіледі:
Д
1
ЁІ
г
V
аа
1
аа
1
Ш н о Ш І Ш І 1 ---- а—а + ---- а —а
14 2 3
8 3 2 14 2
28 2
\
1
1
і£ І[_ ± +± _
+
= 0
28 I 42 24 28 56
Сонымен, деформациялық тексеру тәртібі:
1. Берілген статикалык анықталмаған жүйе артық байланыстардан
босанып, статикалык анықталған жүйеге айналады.
2. Алып тастаған әрбір байланыстың бағытында бірлік күш әсері
көрсетіледі.
3. Әрбір бірлік күштен бірлік момент М эпюрасы тұрғызылады.
4. Соңғы ию моменті мен бірлік эпюралар, жеке-жеке көбейтіліп,
алып тастаған байланыс бағытындағы орын ауыстыру анықталады.
5. Төртінші пункттегі табылған мәндер нөлге тең болса, ию
моментінің соңғы эпюрасы дүрыс түрғызылған.
Тексеру үшін қолданылатын статикалық анықталган жүйе алғашқы
негізгі жүйемен бірдей болуы міндетті емес. Мысалы, соңгы эпюраның
дүрыстығын тексеру үшін, 15.13,а-суреттегі статикалық анықталған
сурет
2.
жүктеледі
15.13,б-сурет)
Деформация!
тексеруде
берілген жүйедегі белгілі орын
ауыстыру
анықталады
(нөлге тең). Осы сияқты берілген
жүйедегі кез келген қиманың
орын ауыстыруын есептеуге бо­
лады, ол келесі тэртіппен орындалады:
байланыстардан бо
беріл
анықталған жүйеге айналады
анықтал
3.
күштен
4.
ған °рын ауыстыру анықталады
суреттегі
көбейтілі
босаны
« V * аламыз. Іздестірілетін орын ауыстыру багытында бірліккуш
әсеріиен бірлік эпюра (14.13,д-сурет) тургызып, сонгы ию моментінін
көбейтем
А
а а і ( да 2 1 да
2 2 21 14 6 28 6 I Е1
<уд
448 ЕІ
Теріс таңба орын ауыстыру кері бағытта болатындығын керсетеді
1.13-мысал. Статикалық
раманың
бойындағы
іші
І ЖШ -Л т Ланықталмаған
ТтШп 'ІШрУЪж
ЕҢЫУ&Ш
Г —-- ш II
күштердің Ш, С>, іҮ) эпюраларын тұрғызыңыз Пб.ІЗ.а-сурет)
Шешуі: Берілген рама екі рет статикалыі
Негізгі
жүйе 1613,6-суретте көрсетілген, оның канонд
А’і5и + Х 2Ъп +А 1Ғ = 0 ,
+ X 28 22 + А 2Ғ —0.
Негізгі жүйе үшін ХІ = 1, X
I күштерінен бірлік эпюралар
суреттер) мен күштік эпюраны (16.13,д-сурет)
Канонды теңдеулердің коэффи
эпюраларды көбейту
негізінде есептейміз.
8П = - і - ( л / , М , ) = — б - 6 - - 6 = — ,
Е1У
7 Е1
23
£7
§22 = ^ - ( м 2М 2) = — 3 - 3 - - 3 + — 3-6-3 = —
£7
Е1
23
Е1
Е1
8,г= 6 2, = ± ( аг,Ғ г) = ± 6 . 6 і ( - 3 ) = - | І
А,р
~ бос мүшелерін анықтағанда, 5С аралықтағы эпюраны
екіге бөліп (16.13,е-сурет):
а
1
(
Т
а аа ^
1
(
х
п
,
олл
*
1
3960
\ ғ = ——\ м \ М ғ ) = ------ 60-6—+ 240-6— 6 I= -------- ,
Е1
г'
1 /т т
£7'
Е1 V
Л
2
23 у
1 І .........................К
£71
2
Е1
3240
£7
Теңдеуге қойып, £7-ге қысқартқан соң:
12Хх - 5\Х 2 - 3960 = 0, -5АХх + 63Х2 + 3240 = 0.
Теңдеуді шешіп: Х х = 46 кН, Х 2 = -12 кН табамыз.
Табылған және берілген күштермен негізгі жүйені жүктеп
(16.13,ж-сурет) (Х2 бағыты өзгереді, себебі теріс таңбалы), М, (), N эпюралары тұрғызылады (16.13,з,и,к-суреттер).
Соңғы эпюраларды келесі әдіспен тұрғызайық.
Бірлік эпюраларды сәйкес Х {, Х 2 мәндеріне көбейтіп, табылған
(16.12,л,м-суреттер), Мр М2-ні Мғ эпюрасымен қосып (16.13,д,л,мсуреттер), соңгы эпюраны тұрғызады (16.13,з-сурет).
(5.13) формуладан
е » 0= е » = м “ ~м “
= ^ = 1 2
*н,
вАВ=<2вл = -Ч±-~Млв = Ц ^ - = -40 кН,
*вл
<
2* - вс. - Щ Ы М к =
‘ЯС
р
АВ консолінде бойлық күш ЛГ. = ЛЛ. = 0. Қалган аралықтағы бойлық
күштерді анықтау үшін, В түйінінің тепе-теңдігін қарастырамыз
(16.13,н-сурет).
жүие
40кН Негізгі
60кНм
бОкНм
ЗООкНм
40кНм
40кН
ЗбкНм
24кНм
12кНм
эпюрасы
12кН
х.=4бкН
40 кН
эпюрасы
эпюрасы
46кН
276кНм М)
ЗбкНм^^іттттг
ЗбкНм
2 > =-40 - 6 -
= 0, Мво = -46 кН,
2 > - 1 2 + ЛГв с =0, А'зс =12кН
олардың эпюралары 16.13,и,к-суреттерде көрсетілген
2.13-мысал. Алдыңғы мысалдағы соңғы эпюраларды статикалық
жэне деформациялық тексеріңіз, консольдің бос ұшының тік орын
ауыстыруын анықтаңыз.
Шешуі: АВ, ВС, ВӘ элементтерінің ортасы арқылы өтетін қимамен,
раманың бөлігін бөліп аламыз (17.13,а,б-суреттер). Күштердің мэндері
бағыттары М, (?, N эпюралары арқылы анықталады.
Бөлінген бөліктің тепе-теңдігін тексереміз:
Ү ^ М В = - 3 0 - 4 0 0,75 + 6-3 + 6 + 18 + 12 1,5 = -6 0 + 6 0 = 0,
дс= 12 —12 = 0, ^ у = —40 - 6 + 46 = 0.
Статикалық тексеру қанағаттандырылады.
Деформациялық тексеру үшін, соңғы эпюраны М (16.13,з-сурет)
бірлік эпюраларға көбейтеміз (16.13,г-сурет):
Л
|
=
7
7
т
(
2
'
6
'
1
2
_
6
'
2
4
)
=
0
-
1 (~Ъ Ъ2 _ і 24-6 I 12-6
Д2 =
-3-6 + —— 3-------- 3 =
2 ЕІ V
= — Г—108 + 216 —108)=0
ЕІ I
'
г
деформациялык тексеру орындалады.
Консольдің бос үшының орын ауыстыруын анықтау үшін,
статикалык анықталмаған жүйенің осы қимасында эсер етуші бірлік
күштен ию моментінің М эпюрасын тұрғызамыз (17.13,б-сурет).
Тұрғызылған эпюраны соңгы эпюраға көбейтіп, А қимасының орын
ауыстыруын анықтаймыз:
.
А а = Еі ( м
I
>
м
)= — ^ - ^ - 1 , 1 5 +7(2-1,5-24-1,5«)
' Е1\ 2 3
6К
45 + 54 99
ЕІ ~ ЕІ
ал ЗОкНм
кН
40кН
12
17.13-сурет
Бақылау сүрақтары
1. Қандай жүйелер статикалық анықталмаған?
2. Статикалық анықталмау дәрежесі деген не?
3. Геометрия лык өзгермейтін жүйелер деген не?
4. Тұйық контурдың статикалық анықталмау дэрежесі неге тең?
5. Абсолютті қажетті шарт, қажет байланыстар деген не?
6. Негізгі жүйе нені білдіреді?
7. X., 8ік, А.ғ шамалары нені білдіреді?
8. Канонды теңдеулердің эрбірі нені білдіреді?
9. Статикалық анықталмаған жүйелер қандай тэртіппен есептеледі?
10. Канонды теңдеулердің коэффициенттері мен бос мүшелері қалай
анықталады?
11. Ию моментінің соңгы эпюрасы қалай тұрғызылады?
12.Тиімді негізгі жүйе деген не?
13. Снмметриялық рама деген не?
14. Симметриялы эпюраны кері симметриялы эпюраға көбейткенде
не болады?
15. Симметриялы кері симметриялы белгісіздер деген не?
16. Белгісіздердің бір тобы симметриялы, екінші тобы кері симмет­
риялы болса, канонды теңдеулер жүйесінде қандай өзгерістер
болады?
17. Белгісіздер анықталған соң, М, (), N эпюралары қалай түргызылады?
18. М, (?, N соңгы эпюралардың статикалық тексерілуі қалай жүргізіледі?
19. Статикалық анықталмаган жүйелерде орын ауыстыру қалай
анықталады?
20. Ию моментінің соңгы эпюрасының деформациялық тексерілуі
қалай жүргізіледі?
§ 1.14. Серпімді жүйелердің тепе-теңдік
күйінін орнықтылығы
Теориялық механикадан қатты денелердің тепе-теңдік күйі орнықты
немесе орнықсыз болуы мүмкін екендігі белгілі. Ойыс сфераның
түбінде орналасқан шариктің тепе-теңдік күйі орнықты (1.14,а-сурет),
ал дөңес сфераның төбесінде орналасқан шариктің тепе-теңдік күйі
орнықсыз (1.14,б-сурет).
Күштің эсерінен тепе-теңдік күйден ауытқыған дене күш әсері
тоқтаған соң бастапқы күйіне оралса, дененің тепе-теңдігі орнықты
(1.14,а-сурет), ал оралмаса - орнықсыз.
Серпімді жүйелердің статикасында тепе-теңдік күйдің орнықты,
орнықсыз жағдайлары да кездеседі.
1.14-сурет
Бір ұшы қатаң бекітіл ген түзу сызықты сырық, бос ұшы арқылы эсер
етуші орталық күштің белгілі шамасында орнықты күйін жогалтады,
яғни сырық лезде майысады (2.14,а-сурет). Басты жазықтықтардағы
қатаңдыктарының аиырмашылығы аитарлықтаи, эсер етуіш күш
белгілі шамага жеткенде, арқалық орнықты күйін жоғалтып, бүралады
(2.14,б-сурет).
Ғ
Ғ
Серпімді жүйенің тепе-теңдік
"
б)
а)
күйінің орныктылығы оның өлшемдеріне, материалына эсер
етуші күштің шамасы мен бағытына тэуелді. Мысалы, 2.14,аI
/
суреттегі сыгылган сырықтың
тепе-теңдік күйі күштің аз ша­
масында орнықты болса, ал
ол белгілі бір шеткі мәнінен
2.14-сурет
асканда, орнықсыз күйге көшеді.
Өлшемдері бірдей болаттан жэне ағаштан жасалған сырықтарға өзара
тең күштер эсер еткенде, біріншісінің тепе-теңдігі орнықты күйін
сақтаса, екіншісі орнықсыз күйге көшуі мүмкін.
Серпімді жүйенің алғашқы тепе-теңдігінің орнықты күйінің
орнықсыз күйге өтуіне сәйкес келетін эсер етуші күштің, кернеудің
мәндері аумалы күш жэне аумалы кернеу деп аталады.
Кез келген кұрылымның немесе әрбір элементінің тепе-теңдігі
күштің эсерінен орнықты күйін сақтауға тиіс, себебі пішіндері лезде өзгеруінің салдарынан олар қирайды. Осыған орай серпімді
жүйелерді орнықтылыққа зерттеу күш пен кернеудің аумалы мәндерін
анықтаудың маңызды шара екендігі түсінікті.
Орнықтылық пен беріктік туралы түсініктерді шатастыруға болмайды, олардың эрқайсысының өзіндік жеке орындары бар. Мысалы,
сығылған сырыққа эсер етуші күштің шамасы аумалы мәнінен артық
болғанда, ол майысады, бірақ оның деформациясы серпімді, яғни
күштің әсері тоқтаған соң, алғашқы пішініне қайта оралуы мүмкін.
Сонымен, орнықтылықты жоғалту беріктікті жоғалтумен байланысты
емес.
§ 2.14. Аумалы күш . Эйлер формуласы
Аумалы кернеуді ста анықтау үшін, шамалы майысқан сығылған
сырықты тепе-теңдік күйде ұстап түратын шамасы ең аз өстік немесе
Ға аумалы күшті табу керек.
Петербург Ғылым академиясының академигі Л.Эйлер 1744 ж.
алғашқы болып айтылған мәселені шешті.
Жоғарыда қарастырылған бөлімдердің барлығында сыртқы
күштердің әсерінен деформациялар анықталған, ол аумалы күшті
анықтағанда, керісінше, эуелі сырықтың майысқан өсін көрсетіп, осы
күйді ұстап түратын күшті анықтайды.
Екі ұшы топсалы бекітілген, қималары тұрақты түзу сырықты
қарастырамыз. Сырықтың меншікті салмағы ескерілмейді. Сырықты
Ғ = Ға күшімен жүктеп, қатаңдыгы аз жазықтықта шамалы майыстырамыз. Ғ = Ға болғандықтан, сырық майысқан күйін сақтайды.
Сырықтың иілу деформациясы өте аз болғандықтан, иілген өстің
жуықталган дифференциалдық теңдеуін қолданамыз. А нүктесін ко­
ординат бас нүктесі ретінде қабылдап, өстердің бағыты 3.14-суретте
көрсетілген:
Е І ~ ^ = М(х).
ах
У
3.14-сурет
Координат бас нүктесінен х кашықтыктағы қимада ию моменті
М(х) ——Ғ ' у.
3.14-сурет бойынша у ординаттары он танбалы, ал ию моменті теріс
(балы. Сонымен, дифференциалдық теңдеу келесі түрде жазылады:
щ
Е 1 - ^ =-Ғ у.
(1.14)
Теңдеудің екі жагын ЕІ-ге бөліп, Ғ/ЕІ = к 2 деп белгілесек,
<іх
й
+« у = 0 .
(2.14)
Бұл теңдеудің жалпы интегралы
у = а 5Іпкх + Ьсо&кх.
(3.14)
Интеграл тұрақтылары сырықтын бекітілу түріне байланысты
анықталады:
х ~ 0, А нүктесі, иілуі у = 0;
х = 1, В нүктесі, иілуі у = 0.
Бірінші шарттан зіп&О = 0 жэне созАгО = 1 6 = 0 . Сонымен. сырыктың иілген өсі синусоида түрінде маиысады.
у = а зіпкх.
Екінші шарттан х = /, у * а зіпАг/ = 0. Бұл теңдеуден а = 0 немесе
кі = 0.
Егер а = 0 болса, (3.14)-тен сырықтын кез келген қимасының орын
ауыстыру шамасы нөлге тек. мүндай жағдай мүмкін емес. Біздің ойымызды канагаттандыратын жалгыз зіпА7 = 0, шешімі
кі = 0, л, 2л, З л ,..., пп (п = 0, 1,..., и).
Сонымен, к = пп/1, ал к
Е1
, онда
Ғ_ Я2 2
~Ы 7
Теориялық тұрғыдан шамалы майыскан сырықты
теңдік
күиде
шамасы
О болғанда, Ғ — О, есептің
шарты қанағаттандырылмайды, сондықтан п = 1 болғанда,
п ЕІ
Ғ
I2
(мұндағы 1 —Ітіп инерция моментінің ең кіші мәні).
Табылған (5.14) өрнегі Эйлер формуласы деп ата
(5.14) арқылы анықталатын аумалы күшке синус
жалғыз
у = а 8іп
пх
7
(5.14)
(6.14)
п = 2, 3 болғанда,
ЛпЕІ
2п
2юс
к=
у = Д8Ш
I2
I
(7.14)
9п2ЕІ
Зл
Зтсс
ғ. =
к = * «I
I2
7
/
Бұл аумалы күштерге сырықтың майысқан
өсінің екі, үш жарты толқыны сэйкес келеді
(4.14-сурет). Толық зерттеулердің негізінде
(7.14) формулаларымен анықталатын аумалы
күштерге сэйкес тепе-теңдік күйлер орнықсыз,
В, С нүктелеріне тірек орналастырғанда ғана
олардың тепе-теңдік күйлері орнықты болады.
Сонымен, ең аз аумалы күш (5.14) формуласымен, ал сырықтың иілген өсінің теңдеуі
(6.14) өрнегімен анықталады.
физикалық
нін білу үшін х —К2-ге теңестірсек у тах / = а,
т
а)
✓
Аумалы күштің формуласын қорытқанда, әлсізденген сырық
қимасының әсері жоқ, сондықтан аумалы кернеуді есептегенде,
көлденең қиманың толық ауданы алынады, яғни
а
Ға
Абр
п Е1бр
'Ч ,
•2
пЕі
1
2
п 2Е
п Е
X2
(8.14)
Аумалы кернеу сырық ұзындығының кіші инерция радиусына қатынасының квадратына кері пропорционал, бұл қатынас X = Иі
сырықтың иілгіштігі деп аталады.
(8.14)
формуласынан жіңішке және ұзын сырықтар үшін аума­
лы кернеудің мэні мүмкіндік кернеуден әлдеқайда кіші екендігі
байқалады. Мысалы, болат 3-тің беріктік шегі стб = 400 МПа болса,
мүмкіндік кернеуі [ст] - 160 МПа. Иілгіштігі X = 150, серпімділік модулі
Е ~ 2 • 105 МПа сырықтың бойындағы аумалы кернеу
°а =
7Т22 -105
= 87,7 МПа^: 160 МПа.
(1 5 0 /
Иілгіштігі жоғары сырықтың көлденең қимасы тек беріктік шарт
арқылы анықталса, ол орнықтылыгын жоғалтуынан қирауы мүмкін.
§ 3.14. Сырық ұштарының бекітілу әсері
Жоғарыдағы Эйлер формуласы екі ұшы топсалы бекітілген сырықтың иілген өсінің жуықталған дифференциалдық
теңдеуін интегралдау негізінде табылған. Сырық
Ғ
ұштары басқаша бекітілгенде, формуланың түрі өзге----/
реді. Бір ұшы қатаң бекітілген, екіншісі бос ұзындығы
/
/
/ сырык күшінің аумалы мәнінде 5.14-суреттегідей
/
і
/
майысады.
/
/
3.14,5.14-суреттерін салыстырсақ, бір ұшы қатаң
бекітілген сырык ұзындығы 21 екі ұшы топсалы
V
бекітілген сырықтай майысады (5.14-суреттегі үзік
\
\
сызық).
\
Сонымен, (5.14) формуладагы /-дің орнына 21 кабылдануға тиіс:
п Е1
4 12
7
¥
_________
ғ
1%
/.
иту
.
нуктелері
\
Екі ұшы қатаң бекітілген сырықтың
тепе-теңдік
күйінің
орныктылығын
жоғалту 6.14 суретте бейнеленген.
5.14 пен 6.14 суреттерін салыстырғанда,
екіншісінің әрбір төрттен бір бөлігінің
біріншісі сияқты майысатындыгы көрінеді.
Егер (9.14) формуласын /-дің орнына 1/2
қойсақ, екі ұшы қатаң бекітілген сырық
формуласы
Ғ
6.14-сурет
4 к 2Е1
I
(10.14)
Сырық ұштарының эртүрлі бекітілуіне
байланысты Эйлер формуласы да эртүрлі,
оларды жалпы түрде мынадай өрнекпен
келтіруге болады:
Ға
_ к ЕІ
(11.14)
Мұндағы ц коэффициенті
келтірілген үзындық.
.14) формуласы
порционал, ал үзындықтың квадратына кері пропорционал.
Сырық үштарының жиі кездесетін бекітілуіне сэйкес ц - коэф
фициентінің мәндері томенде келтірілген.
¥штары топсалы бекітілген сырық үшін р = 1.
¥штары қатаң бекітілген сырық үшін ц = 0,5.
Бір үшы қатаң бекітілген екінші ұшы бос сырық үшін ц = 2.
Бір үшы қатаң екінші үшы топсалы бекітілген сырық үшін ц = 0,7.
Аумалы күшті есептегенде, өстің инерция моменті ретінде I .
басты инерция моменті қабылданады.
Аумалы күш арқылы аумалы кернеуді, яғни сырықтың түзу тепетеңдік күйі орнықсыз болуына сэйкес келетін кернеуді анықтауға бо­
лады:
Ға
п Е1
а
А
(ц і )2А
с т
Мүндағы I = А і 2 алмастырып, X = \іі/і сырық иілгіштігін белгілесек,
Орнықтылықты жоғалту кіші қатаңдықты жазықтықта орын алатын болғандықтан, иілгіштікті анықтағанда, инерция радиусының ең
кіші мәні қабылданады.
§ 4.14. Эйлер формуласын қолдану шегі
Жоғарыда қорытылған Эйлер формуласы арқылы сығылған кез
келген сырықты орнықтылыққа есептеуге болмайды, ол тек белгілі
аралықта дұрыс шешім бере алады.
Мысалы, (12.14) формуласы арқылы иілгіштігі 50-ге тең
болат-3 сырық үшін аумалы кернеуді есептесек (Е = 2 • 105 МПа),
п2Е ЗД4-2-105 оппК/ІТ1
а = ——= —------ 1— = 800МПа I
(50 Г
болат-3 беріктік шегінен екі есе үлкен, сондықтан кернеу аумалы
мәніне жетпестен, ертерек қирайды. Иілгіштіктің шамалы мәндері
үшін Эйлер формуласы аумалы кернеудің, аумалы күштің жогары
мәндерін береді.
Аумалы оа кернеу мен иілгіштіктің X арасындагы байланыс гиперболла түрінде «Эйлер гиперболласы» 7.14 суретте көрсетілген.
а,мПа
150160
X
7.14-сурет
Бүл графикті пайдаланғанда, сырықтың иілген өсінің диффеіциалдық теңдеуін интегралдау арқылы (12.14) формуласы анық-
талған. Сырық орнықтылығын жоғалтарда оның бойындағы кер­
неу пропорционалдық шектен аспауға тиіс екендігін ескерген жөн.
Сонымен, Эйлер формуласы арқылы анықталган аумалы кернеу
пропорционалдық шектен артық болса, ол кернеуді пайдалана алмаймыз, басқаша айтқанда, келесі шарттар қанағаттандырылғанда, Эйлер
формуласы дұрыс нәтиже береді:
а а <па немесе тгЕ/Х2 < оп.
(13.14)
(13.14)
теңсіздігінен Эйлер формуласын пайдалану шегі келесі түрде
жазылады:
шшйИр ищЩпШШ
ж шМ
(14.14)
Берілген материал үшін серпімділік модулі мен пропорционалдық
шектің мәндерін қойып, Эйлер формуласын қолдануға болатын
иілгіштіктің ең төменгі мэні анықталады. Болат-3 үшін пропорционалдық шегі а = 200 МПа, (14.14) формуласынан
яғни Эйлер формуласы иілгіштігі 100-ден кем болмағанда қолданылады.
Кейбір материалдар үшін, мысалы, болат 5 оп = 300 МПа, X > 85,
шойын —X, > 80, емен — А, > 110 т.с.с болғанда, Эйлер формуласын
қолдануға болады.
7.14-суретте ая= 200 МПа тең горизонталь түзу жүргізсек, ол гиперболланы екіге бөледі, олардың салыстырмалы түрде жіңішке жэне
ұзын сырықтарға сәйкес бөлігі пайдаланылады, себебі бұл аралықта
орнықтылығын жоғалтуы пропорционалдық шектен төменгі кернеу
пайда болғанда орын алады.
Эйлердің теориялық тұрғыдан тапқан шешімі тек иілгіштігі үлкен
жіңішке жэне ұзын сырықтар үшін қолайлы, іс жүзінде құрылымдарда
нілгіштігі өте аз сырықтар кездеседі. Мұндай сырықтардағы аумалы
кернеулердің орнықтылыгын Эйлер формуласы арқылы есептегенде,
оларды күйреуге әкеп соқты. Сонымен қатар тәжірибелердің негізінде
аумалы кернеу пропорционалдық шектен артық болғанда, анықталған
аумалы күш Эйлер формуласы арқылы анықталған аумалы күштен
әлдеқайда кіші.
оа > о, болғанда сырық бойлық сығылса, серпімді деформация мен
қатар пластикалық деформация пайда болады, яғни орнықтылығын
жоғалтарда иілуден қосымша кернеу пайда болады. Күштің әсерін
тоқтатқан соң, сырық түзу күйіне қайта оралмайды.
Осы жағдайларды ескере отырып, аумалы кернеу пропорционалдық
шектен жоғары болғанда да, оны анықтаудың әдісін білу керек, яғни
сырық иілгіштігі өзінің шегінен томен мэндерінде аумалы кернеуді
анықтай білген жөн.
Аумалы кернеу пропорционалдық шектен артық болғанда, сығылған
сырыктың орнықтылығы туралы есепті алғашқы болып Ф.Энгессер
(1889 ж.) теориялық түрғыдан қарастырады. Ол Эйлер формуласына
ұқсас өрнекті ұсынды:
о =п 2Е./Х2.
(15.14)
Мүндагы Ех пропорционалдық шектен жоғары күйдегі сығылу
диаграммасын бейнелейтін қисыққа жүргізілген жанаманың еңкіс
бұрышының тангенсіне тең айнымалы шама (8.14-сурет).
Ф.Ясинский (15.14) формуласы ау­
малы кернеуді аныктауға толық жауап бермейтіндігін көрсетті, себебі
сырық орнықтылығын жоғалтатын
кезде және оның өсі иілгенде,
қосымша сығушы кернеумен қатар,
созушы кернеу пайда болады. Осыган
орай Т.Карман сырык иілгенде ойыс
бетіндегі жүкті төмендетуді, ал
дөңес бетіндегі жүкті
көбейтуді
Б
ескеретін Е* келтірілген серпімділік
8.14-сурет
модулін енгізуді үсынды. Сонымен,
(15.14) формуласы келесі түрде жазылады:
о а = л 2Е*/Ъ2
(16.14)
Мұндағы Е* = (£,/, + ЕІ2)/І , / , І2 тиісінше жүкті көбейтетін,
төмендететін бөліктердіц бейтарап өске қатысты инерция моменттері
I толық қиманың орталық өске қатысты инерция моменті. Е мен £,
модулдері бірдей болмағандықтан, бейтарап өс ауырлық орталық
арқылы өтпейді. Оның орны қиманың түріне, анықталатын аумалы
кернеудін мэніне байланысты анықталады. Қиманын түріне байланыс-
ты Е{ мэндерін келтхріп, жуықтау әдісі арқылы бейтарап өстің орнын
тауып, I , /, анықтауға болады. Мысалы, тіктөртбұрышты қима үшін
Аумалы кернеу пропорционалдық шектен аспағанда (£, = Е,
/, = / 2 = Г) келтірілген модуль Е* = Е.
Эйлер формуласын тексеру үшін койылған алғашқы тэжірибелер
оның ұзын иілгіш сырықтар үшін дүрыстығын толық растады, ал
қысқа сырықтар үшін тәжірибе қорытындысы мен Эйлер формуласы
бір-бірінен айтарлықтай алшақ нәтиже берді.
Тетмайер (1896 ж.) жүргізген тәжірибелерді Ф.Ясинский негіздеп,
аумалы кернеудің кестесін түрғызды.
Барлық тәжірибелерде X = 30-^40 сырық түзу түрінің тепе-теңдігін
жоғалтудан емес, кернеу қауіпті ст0 мэніне жеткенде беріктігінің
бүзылуынан жүк көтергіштігінен айырылады (пластикалық материал­
дар үшін а0= аақ, морт материалдар үшін ст0 = ст^). Иілгіштігі шамалы
пластикалык материалдарда аумалы кернеу шамамен ст аққыштық
шегіне, морт материалдарда ст^ беріктік шегіне тең.
Қүрылымдарда жиі қолданылатын иілгіштігі орташа сырықтар
түзу түрінің орнықтылығы бүзылуының негізінде аумалы кер­
неу пропорционалдық шектен стл үлкен, ал қауіпті кернеуден ст0 кем
болғанда, жүк көтергіштігінен айырылатындығы тәжірибе жүзінде
көрсетілген. Бүл сырықтардағы аумалы кернеудің иілгіштікке тәуелді
озгеру заңы түзу сызықты (7.14-сурет, тп аралық), ол ТетмайерЯсинский формуласымен сипатталады:
о а —а —ЬХ.
(17.14)
Мұндағы а, Ь —материалға жэне X. = Хш, ста = оя байланысты қабылданатын коэффициенттер.
Эйлер жэне Тетмайер-Ясинский формулаларының негізінде,
оп= 200 МПа, ао = 240 МПа аз көміртекті болат үшін аумалы кернеудің
аа иілгіштікке тэуелді толық графигі 7.14-суретте келтірілген. График
үш бөліктен түрады; Эйлер гиперболласы к > X = 100, горизонталь
бөлік X < 40, о = аа, көлбеу түзу 40 < X < 100. т, п нүктелерінде кенет
сынық болмау үшін, аумалы кернеулер Джонсонның эмпириялық фор­
муласымен есептеледі
а а = а 0 - аА.2.
Мұндағы
X
=
0,
а
=
ст.,
ал
X
=
X
;
ст
ст
.
т
7 а
О3
иг а
п
(Xкоэффициент! параболламен Эйлер гиперболласының ортақ жана­
ма болуынан табылады.
§ 5.14. С ы ғы лған сы ры қтарды орн ы қты лы ққа есептеу
Сығылған сырықтар беріктікке және орнықтылыққа есептеледі
Ғ
а
а = - — < [а] мұндағы [а]=
, к - беріктік қор коэффициента
нет
ст =
ғ
< [ст0] мүндағы [ст01=— орнықтылыққа мүмкіндік кернеу,
А
ко
к0 - орнықтылық қор коэффициента
Аумалы кернеудің толық графигінің ординаттарын к0 есе кемітіп,
орнықтылықтағы мүмкіндік кернеу графигін тұрғызуға болады.
Сырықтың жүк көтергіштігіне
эсер ететін жағдаилар ескеріліп, орнықтылық қор коэффи­
циент! беріктік қор коэффициентінен жоғары қабылданады. Болат
үшін 1,8-5-3,5, шойын 5+5,5, ағаш
2,8-5-3,2 т.с.с.
9.14-суретте аққыштық шегі
оа = 240 МПа, аз көміртекті болаттан
жасалған
сырықтың
орнықтылықтағы мүмкіндік кер­
неу! мен орнықтылық қор коэффициентінің графигі көрсетілген.
Орнықтылықтағы және берік9.14-сурет
тіктегі мүмкіндік кернеулерді
байланыстыру үшін, олардыц қатынасын қарастырады:
ч/
ы
и
немесе
<*о ко
ф белгілесе, орнықтықтағы мүмкіндік кернеу
(19.14)
Мұндағы ф - сығылған сырықтар үшін негізгі мүмкіндік кернеуді
кеміту коэффициента
Аумалы кернеу а а мен иілгіштіктің А. арасындағы байланысты
бейнелейтін графиктен жэне а 0 = аа немесе а 0 = а ескеріп, орнықтылықтағы к0, беріктіктегі к қор коэффициенттерін қабылдап, иілгіштік
А.-ға байланысты <р коэффициенттерін кесте түрінде келтіруге болады.
Төмендегі кестеде металл конструкцияларды жобалау нормасына
сэйкес (СНиП 11ВЗ-72), кұрылыс болат жэне жоғары сапалы болат,
шойын ағаш (емен) үшін иілгіштікке байланысты негізгі мүмкіндік
кернеуді кеміту коэффициенттері ф-дің мэндері келтірілген.
Ағаш үшін ср коэффициенті келесі формулалар арқылы анықталады:
3100
X<75; ф = 1-0,8 —
, Х>75; ф
X2
Жоғарыдағы кестені пайдаланып, сығылған сырықтың қималарын
таңдауға болады, себебі қиманың ауданы [а^ тэуелді, ал ол өз кезегінде
кернеуді кеміту коэффициенті арқылы қиманың түрі мен өлшемдерінен
анықталатын иілгіштік Х,-ға байланысты.
Айтылған есептеу жуықтау әдісімен жүргізіледі.
Сығылған сырықты есептеуді мысал арқылы көрсетейік.
¥зындығы 3 м, қимасы Ыһ = 1/3 тік төртбұрышты агаштан жасалған
сырық Ғ = 50 кН күшпен сығылған, оның қимасы диаметрі 4 см қуыспен әлсіретілген. Егер сырық материалы үшін мүмкіндік кернеу
[а] = 8 МПа = 0,8 кН/см2 болса, тік төртбұрыштың өлшемдерін табу
керек (10.14-сурет).
'
л
о
о
у
Ғ=50кН
а)
о
Ок
о
сг
о
г
СП
ш
Уі
V
ІІ
ш
б)
ш
ЖЖ Ж
тт
һ
қуыстар
и
Иілгіштік
X —ц//і'
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
Құрылыс болаттары
С-38/23 С-44/29 С-46/33
100
1,00
1,00
0,988
0,987
0,986
0,970
0,968
0,965
0,943
0,635
0,932
0,905
0,892
0,888
0,867
0,843
0,837
0,820
0,792
0,780
0,770
0,730
0,710
0,660
,0715
0,637
0,592
0,655
0,563
0,582
0,515
0,482
0,512
0,440
0,413
0,448
0,383
0,350
0,397
0,330
0,302
0,348
,285
0,256
0,305
0,250
0,226
0,290
0,240
0,210
0,190
0,260
0,210
0,190
0,170
0,230
0,210
0,170
0,150
0,190
0,160
0,140
ЖСБ
Шойын
Ағаш
1,00
0,97
0,95
0,91
0,87
0,83
0,79
0,72
0,65
0,55
0,43
0,35
0,30
0,26
0,23
0,21
0,19
0,170
0,150
0,140
0,130
1,00
0,97
0,91
0,81
0,69
0,57
0,44
0,34
0,26
0,20
0,16
1,00
0,99
0,97
0,93
0,87
0,80
0,71
0,60
0,48
0,38
0,31
0,25
0,22
0,18
0,16
0,14
0,12
0,11
0,10
0,09
0,08
Сырықтың бір ұшы қатаң бекітілген, екіншісі бос, сондықтан ц = 2.
Есептеу формуласында инерция радиусының кіші мәні ескерілетіндіктен, іу қарастырылады.
Сырықтың иілгіштігі
,
(А —36 ескерілген).
ң/
І
ц/
уі
^ҺЬ3/(12ЬҺ)
ц/ТІ2 2 •30(К/і2
~ Ь ~
Ь
2076
Ь *
(а)
Бірінші жуықтау: <р мэнін еркін қабылдаймыз, мысалы, ф = 0,5.
Орнықтылық шарттан
Есептің шарты бойынша Һ = ЗЬ онда
А6р -Ъ һ = ЪЬ2 = 125 немесе Ь = ^125/3 = 6,45 см,
(а) өрнегінен
Ф коэффициентінің кестесінен X = 322 болғанда <р < 0 08 , сондықтан
қабылданған ф —0,5 мэні өте көп.
Екінші жуықтау ф =' 0,1 қабылдаймыз.
л _ ғ
50
ф [а ]_ 0 Л ^ 8
^
,
I____
немесе 6 = ^62^3 = 14,4см.
^
Сырықтың иілгіштігі X = 2076/14,4 = 144.
Кгетеде бұл мән жоқ, оя 140 пен 150 аралығында X = 140 болғанда
8 0,16, ал X = 150 - Ф = 0,14.
Интерполяциядан Ф= 0,16—- ,16~ 0,14 - о і ч?
1
0
Қабылдаған ф = 0,1 төмендеу.
Үшінші жуықтау: ф = (0,152 + 0,1)/2 = 0,13,
немесе
ь = ^481/3 = у/160,3 = 12,7 с м,
X = 2076/12,7 = 163.
Кестеден X = 160 - ф = 0,12; X = 170 - ф = 0,11.
Интерполяция негізінде ф = 0,117.
Төртінші жуықтау: ф = (0,117 + 0,13)/2 = 0,124
Иілгіштік X = 2076/13 = 160.
Кестеден X = 160 мэнінде ф = 0,12.
Бесінші жуықтау: ф = (0,124 + 0,12)/2 = 0,122,
Л - 4 - ------ —---- = 512 = ЗЬ2,
ф[ст] 0,122-0,8
Ь = у/\70,7= 13,05 см, Х= 2076/13.05 = 159.
Кестеден X — 159 болғанда ф = 0,122 соңғы жуықтаудағы кернеуді
кеміту коэффициентіне тең, сондықтан тік төртбұрыштың өлшемдері
Ь = 13,05 см, һ = 39,15 болып қабылданады.
Сырықты орнықтылыққа тексерсек,
ст = —= ----- —----- = 0,0977 Н 1 0,977 МПа,
А 13,05-39,15
см2
ал ф[а]=0,122-8=0,976МПа,
ст < ф[о] орнықтылық шарты орындалады.
Беріктік шарттың орындалуын тексерсек,
Анет§ Ьһ - Щ = 13,05 •39,151 39,15 •4 = 354 см2,
Ғ
50
кН
а = —— = — = 0,141— г = 1,41 МПа <Га1=8МПа
Анет
_ 354
—2
■*
шарт орындалады, сонымен, Ь = 13,05 см, һ - 39,15 см.
1.14-мысал. ¥зындығы / - 80 см, кимасы 4x6 см болат 3-тен жасалған сырықтың ұштары топсалы бекітілген. Орнықтылық қор
коэффнцнентінің қажетті мэні к0 = 3 болса, мүмкіндік сығушы күшті
анықтау керек.
Шешуі: Орнықтылық қор коэффициенті белгілі болғандықтан,
есептеуді Эйлер немесе Ясинский формулалары арқылы жүргіземіз.
Айтылған формулалардың біреуін қолдану үшін, сырықтың
иілгіштігін анықтаймыз. X = ц///т.я, мұндағы Сп = г т ш / ^ =
= ^ 3А/(12М) = ^ / 1 2 =>/42/ і 2 =1,15 с м , 7 = 1 ■80/1.15 = 69.5
Иілгіштік шеткі мәнінен кем (69,5<100), сондықтан Эйлер формуласын қолдануға болмайды.
Ясинский формуласынан
ст = а - ЬХ = 310 -1,1 4 69,5 = 230,77 МПа.
Аумалы күштің мэні
кН
Ға = ств А = 230,77 •Ь ■һ = 23,077
•4-бсім2 = 553,84 кН
см
Мүмкіндік күш [ҒІ= — = 1*^,84 = 184,62 кН.
ко
3
2.14-мысал. Тең бүйірлі 100*100x10 бұрыштамадан жасалған болат
сырық Ғ күшімен сығылған (11.14-сурет). Бүрыштаманың басты инер­
ция моменттері мен инерция радиустары: I = 284 см4, / = 74,1 см4 инер­
ция радиустары іх = 3,84 см, / = 1,96 см, А = 19,2 см2, ал материалы үшін
Б - 2 • 105 МПа = 2 • 104 кН/см2, [ст] = 150 МПа = 15 кН/см2. Аумалы
және мүмкіндік күштерді анықтау керек.
Шешуі: Сырықтың бір ұшы қатаң
Ғ
бекітілген, екіншісі бос, сондықтан
а)
I1 б)
келтіру коэффициенті ц = 2. Сырықтың
көлденең қимасының басты өстері
V
11.14,б-суретте көрсетілген. у өсіне
қатысты инерция моменті I 9 сырық
орнықтылығын жоғалтқанда, х і жазыктығында иіледі.
Сырықтың иілгіштігі
м/
ітіп
/7777777
11.14-сурет
орнықтылығын жоғалтады,
анықталады:
л ЕІ.тіп
Ға\
И2
2150
1,96
152
Иілгіштіктің шеткі мэні 100-ден
артық болғандықтан, пропорционалдық
шектен кіші кернеудің мэнінде сырық
'ни аумалы күш Эйлер формуласымен
3,14-2 104-74,1
(2 •150У
-= 164,1 кН.
Мүмкіндік күш [Ғ] = [ст„] • А6р немесе (19.14) өрнегінен
[Ғ]=ф[ст]-4/,=0,314 15 19,2 = 90,04кН.
Мүндағы ф = 0,314 мэні кернеуді кеміту таблицасынан иілгіштіктерінің мэн дері X = 150Д = 160 сэйкес <р= 0,32; <р
эффициенттер
интерполяциялаудан анықталған.
ь^
V V 4І V V
т
Ш
«
V
_
—
1
■
^
«1.
^
✓ Ч.
вкА
.
__
Сығылған сырықты <р коэффициент! арқылы орнықтылыққа есептегенде, орнықтылық қор коэффициент! байқалмайды жэне аумалы
күшті анықтаудың қажеті жоқ.
Қарастырған мысалда аумалы күш Ға мен мүмкіндік күш [Ғ*] анықталғандықтан, орнықтылық қор коэффициентін есептеуге болады:
[*0 ] = Ға/[Ғ]= 164,1/90,94 = 1,82.
Сонымен, иілгіштігі X = 152 болаттан жасалған сырық үшін ф
коэффициентінің кестесінде орнықтылық қор коэффициенті [&Л = 1,82.
Бақылау сүрақтары
1. Сығылған сырықтың орныктылығын жоғалту нені білдіреді?
2. Аумалы күш жэне аумалы кернеу деген не?
3. Эйлер формуласын қорытқанда, қандай дифференцналдық
теңдеу қолданылады?
4. Сырықтың иілгіштігі деген не?
5. Аумалы күшті анықтайтын Эйлер формуласының түрі қандай?
6. Сырық қатаңдығы ЕІ мен ұзындығы I аумалы күшке әсері
қандай?
7. Эйлер формуласындағы инерция моментінің мэні қандай?
8. Үзындықты келтіру коэффициенті неге байланысты?
9. Эйлер формуласын қолдану шегі қалай анықталады?
10. Шекті иілгіштік деген не?
11. Ясинский формуласының қолдану аралыгы қалай анықталады?
12. Ясинский формуласы арқылы аумалы күш қалай анықталады?
13. Болат сырықтар үшін аумалы күштің иілгіштікке тәуелді
графигінің түрі қандай?
14. X < X , Эйлер формуласын не себептен қолдануга болмайды?
15. Сығылған сырықтың орныктылык шарты қандай?
16. Орныктылық шарттағы көлденең қиманыц ауданы нені
білдіреді?
17. ф коэффициенті нені білдіреді және ол қалай анықталады?
18. ф коэффициенті арқылы сыгылган сырык орнықтылыкка қалай
есептеледі?
19. Орнықтылыққа есептегенде көлденең қима қалай таңдалады?
20. Келтірілген серпімділік модулінің өрнегі қандай?
21. Джонсон формуласымен аумалы кернеу есептелетін нүктелер.
XV. Құрылымдарды серпімділік шектен
жоғарыда есептеу
§ 1.15. Жалпы түсінік
Құрылым элементтерін беріктікке есептегенде, ең үлкен кернеу
мүмкіндік мәніне тең күиге сәикес жүк мүмкіндік күш деп аталады.
Мүмкіндік кернеу ағу шегін нормативтік беріктік қор коэффициентіне бөлгенге тең
М = о/[л].
Құрылым элементтеріндегі кернеу аққыштық шегіне тең күйге
сәйкес күш Ға қауіпті күш деп аталады.
Материалдағы кернеу пропорцноналдық шектен аспағанда, кұрылымдағы кернеу эсер етуші күшке тура пропорционал, сондықтан
беріктік қор коэффициент! тек кернеуге ғана емес, күшке де тэн:
И = а/[а] = Ғ![Ғ].
Күш Ға жеткенде қүрылым жүк
көтергіштігін толық жоғалтпайды.
себебі оған сәйкес кернеудің аққыштық шегі белгілі аймақта ғана
пайда болады, құрылымның калған
бөлігіндегі
аққыштық
кернеу
1.15-сурет
мэнінен кем.
Мысалы, 1.15-суреттегі болат
арқалықта қауіпті күштің әсерінен
з
1
тек қауіпті І-І тірек қимасының
I
/
жоғарғы және төменгі нүктелеріндегі
/
кернеу аққыштық шекке тең. Осыған
/4
1
ораи
кұрылымның
жүк
көтергіштігі
€:(у)
күш Ғш> Ға мэнінде толық жоғалуы
мүмкін, оған сәйкес күші Ғш шеткі
і
1
күш деп аталады.
6 5
Шеткі күшке есептеу, кернеу
2.15-сурет
бойынша есептегенге қарағанда,
құрылымның жүк көтергіштігін
толығырақ пайдаланады, сондықтан ол тиімдірек. Есептеудің бұл түрі
жүк көтергіштікке есептеу, шеткі күйге есептеу - қирату күшіне есеп­
теу деп аталады.
%
-/
Шеткі күштің нормативтік беріктік қор коэффициентіне [и] қатынасы мүмкіндік шеткі күш деп атап, [Ғ] белгілейді.
Негізінде, мүмкіндік шеткі күш мүмкіндік күштен артық, кейде тең:
ІП Ш> [ П
(1.15)
Шеткі күштерге есептегенде, нормативтік беріктік қор коэффици­
ент! құрылымның барлық нүктелеріндегі кернеу аққыштық шектен
кем болатындай қабылдануға тиіс.
Тек пластикалык материалдардан жасалған құрылымдарға статикалық күш эсер еткенде, шеткі күйге есептеуге болады.
Морт материалдан жасалған құрылымдарға жэне айнымалы кернеу
әсеріне жоғарыдағы есептеу жарамайды.
Шеткі күштерге есептегенде, материал деформациясының шын
диаграммасы Прандтл диаграммасы деп аталатын шартты диаграммамен алмастырылады. Прандтл диаграммасымен сипатталатын ма­
териал таза серпімді-пластикалық деп аталады. Прандтл диаграмма­
сы пропорционалдық шек, аккыштык шекпен сәйкес деген болжамға
негізделген, ал аққыштық ауданша шексіз созылған (2.15-сурет).
Кернеу аққыштық шегіне жеткен сон, мысалы, 3 нүктеден бастап
кернеуді кемітсе (алғашкыда жүктен босатып, содан соң кері күш
әсерінен), материал серпімді тэрізді сезінеді, 3-4 жүктен босану, 4-5
кері күш эсер сызығы, ол 1-2 сызығына параллель (2.15-сурет). Кернеу
аккыштык шегіне жеткенде, 5 нүкте деформацияның өсуі тұрақты кер­
неу әсерінен жүреді (5-6 аралык).
§ 2.15. Созылу және сығылу
Бір ұшы қатаң бекітілген, қимасы тұрақты сырық екінші үшында
эсер ететін Ғ күшімен созылған (3.15-сурет).
Сырықтың кез келген қимасынын барлық нүктелерінде бірдей ав
кернеуін туғызатын шеткі күш:
[Ғ]ш г М . • 4 -
Мұндағы А - сырык көлденен кимасының ауданы.
Шеткі күшті [и] нормативтік қор коэффициентіне бөліп, шеткі
күштің мүмкіндік мәнін анықтаймыз:
[ Л ш=
= о в • А/[п].
Мүндағы ов/[л] = [ст], онда
[ Ғ ] = [ ° \ А = [Ғ].
Сонымен, шеткі күштің мүмкіндік мэні мүмкіндік күшке тең, ол'
кез келген орталық созылатын (сығылатын) статикалық анықталган
сырықтар жүиесіне тән.
Орталық созылатын (сығылатын) статикалық анықталмаған
сырықтар жүйесі жэне деформащ
(иілу, бүралу,
центрден тыс созылу т.с.с) үшін [Ғ]
[П
Екі үшы қатаң бекітілген, үзындығы / статикалық анықталмаған
сырыққа Ғ күшінің эсерін қарастырамыз (4.15,а-сурет).
///////////////
ІУ
б)
а)
I Кг<ТА
в)
I
I
мп* »
0
3.15-сурет
4.15-сурет
Сырықтың барлық қималарындағы кернеу са шегінен кем болғанда,
тірек реакцияларын анықтау II тарауда қарастырылған, олар:
1
оларға сәикес кернеулер:
/
3
Ға
/
2
Ғ
3
Кі
Ғ
2Ғ
а
А ЗА
А
ЗА
о 2 кернеуінің абсолют шамасы а,-ден екі есе көп, сондықтан Ғ күші
өскенде, а2 кернеуі о,-ге қарағанда аққыштық шегіне ертерек жетеді,
онда а
2Ғ/(ЗА)
а о шартынан Ғ = Ғ = Зст А/2.
Бұл күштің мәнінде сырықтың күш көтергіштігі толық жойылған
жоқ, себебі жоғарғы бөлікте
Зсга -А а а
аі
ЗА
6А
2
Ғ күші одан ары өскенде, о
са тұрақты күиде қалып, а
күштің шеткі мәніне сәйкес келеді.
а
ш *Чш ™2ш
'А +
•А —20а • А.
Сонымен, мүмкіндік күш
РҺъ/кҺь.л/Ш )
Шеткі мүмкіндік күш
[ Ғ І = 2 а аА/[п\.
Шеткі күштің Ғшмәнінің а < аа аралықты қарастырмай-ақ анықтауға
болады, ол үшін екі тіректен де босанып (4.15,6-сурет), олардың реакцияларын шеткі мәндерімен алмастырады Кіш = оа ■А, К2ш= о ■А.
Барлық күштердің тік өске проекцияларының қосындысы нөлге тең
болатындықтан,
немесе
Ғ = 2а • А.
Ғш күшінен босанғанда, екі бөліктегі кернеу бірдей ао, тек осы
шарттан І-І кимасы орналасқан бөлік тепе-теңдік күйін сақтайды
(4.15,в-сурет). Күштен босанған соң, Ғкүші әсеріндегі қима Д шамасына
жоғары көтеріледі, бірақ алғашқы күйге қайта келмейді. Қарастырып
отырған сырықтың І-І қимасынын жоғарғы бөлігіндегі кернеу
оа- о0, төменгі бөліктегі кернеуден екі есе кіші (төменгі бөліктегі кернеу
оа + Ор), себебі екі бөліктегі абсолюттік деформацияныц Д мәнінде
төменгі бөліктегі салыстырмалы деформация жоғарғы бөліктегіден екі
есе кіші, онда
стд + а0
/о
ст0 - а0 - —— 2- немесе ст0 = а а/3.
Сонымен, Ғшжүгінен босанганда, сырық бойында оа/3 созушы кер­
неу сақталады.
Сырықтың / ұзындығы Д шамасына артық болса, кұрылымды
жинаганда оның бойында алғашқы (монтажды) сыгушы кернеулер
пайда болады. Бүл кернеулер А// қатынасына байланысты оа шегінен
кем немесе оған тец. Сырықты үздіксіз өсетін Ғ күшімен жүктегенде
(4.15,а-сурет), оның эсеріндегі қима төмсн жылжиды, соңында шеткі
күйде үстіңгі бөліктің көлденең қималарында ста-ға тец созушы,
төменгі бөлікте сығушы кернеулер пайда болады, ал күштіц шеткі
мәні Ғ ш - 2 оаА.
Сонымен, құрылымда алғашқы кернеулердің (монтажды, температуралық, тіректің шөгуі, т.с.с), күш әсерінен жойылатын бастапқы
саңылаудың шеткі күшке әсері жоқ.
Үш сырықтан тұратын симметриялы жүйеге эсер етуші Ғ күшінің
шеткі мэнін анықтайық (5.15-сурет).
А
А.о0
кА.а„
А,=кА
кА.оя
А,=кА,
ТҒ
?
ғ
т
5.15-сурет
Жүйе жүк көтергіштігін жоғалтқан соң, шеткі күш Ғ әсеріндегі топ­
са томен жылжиды, эрбір сырықтың көлденең қнмасында аккыштык
шегіне тең кернеу аа пайда болады.
Аудандары кАх шеткі сырықтардағы күштер к А р а, ортаңғы сырықта - Л,о
іігго ая і • пійвв ' . ; • . . ■ - п
1 а . ■ нш *ши ■
Ғ күшінің шеткі мэні тепе-теңдік теңдеуден анықталады (5.146 сурет):
немесе
1 1 А а а(1 + 2к С 0 8 а ).
(2.14)
Барлық сырықтардағы кернеу аққыштық шегінен томен болғанда
(Ғ < Ғ ) , ең үлкен кернеу ортаңғы сырықта пайда болады:
Ғ
ст =
Ах(^+ 2к со83а )
Ғ = Ғ болғанда
а =а
Ға
Ах (і + 2к соз3
Ға = Аіс а(і + 2к сод3а ) .
немесе
Күштердің шеткі жэне ағуға сэйкес мәндерінің қатынасы к
а 45° жеке жағдайда
ғ
Ы
Ғ.
ы
А\°а0+2Лсо8о) _ \ +2-2\І2І2 *і1,58.
Күш көтергіштікке есептегенде, құрылымды жүктеуді аитарлықтаи
жоғарылатуға болады
У
б)
а)
N =0,577Ас.
в)
6.15-сурет
Төменгі I нүктесіиде Ғ күші эсер ететін үш сырықтан құралған
симметриялы емес жүйені қарастырайық (6.15,а-сурет).
Айталық, шеткі күйге сэйкес барлык сырықтардағы кернеулер аққыштық шегіне о тең, яғни әрбір сырықтағы кернеу Аоа (6.15,б-сурет).
Барлық күштерді х өсіне проекдияласақ:
I
-Ао
= Аа0 (0,866 - 0,5)=0,366 Аоа * 0.
1. « и » теңдік
*
** і
—
,
__
кернеу бірдей аккыштык шегіне тек болуы мүмкш емес, осы сиякты
ВО, ЕО сырыктарындағы кернеулер бірдей аккыштык шегіне жетш, СВ
сырығындағы кернеу аққыштық шектен кем болганда, тепе-теңдік күй
сақталмайды, мұндай шеткі күй мүмкін емес С Д ЕО сырықтарындағы
кернеулер аққыштық шегіне (о ) тең күйді қарастырсақ (6.15,в-сурет)
О топсасының тспе-теңдігінвнг
И х = -Мво 8ІПа, + Ааа зіп а 2 = 0,
д/
. 8Іпа, , 0,866
ыш> ШАоа - — і I Аа -1—- 1 1732 А а ..
8іпа,
° 0,5
'
°
В° сыРығындағы күш Аао шеткі мэнінен үлкен, мұндай күй мүмкін
емес, сондықтан С Д ЕО сырықтарындағы кернеулер бірдей аққыштық
шегіне тең болмайды.
Жүйенің шеткі күйінде ВӘ, С£> сырықтарындағы кернеулер аққыштық шегіне тең болсын, онда
Л
х 1 ~А(Уа 8іп а, + Л/£ а зіп а , = 0
Немесе
д,
. зіпа,
ыео = Ааа ----зтаг
іI
0.5
Ааа —1 — 1 0,577 Аа .
"0,866
Ыео сырығындағы күш Аоа шеткі мәнінен кем, мүндай күйдің болуы мүмкін (6.15,г-сурет).
Ғ күшінің шеткі мәнін анықтайық:
=
созсц + А(уа + Л/ЕОсо8а 2 = 0,
~ А&а (°05 а і +1 + 0,577со8 а 2) =
= Аоа (0,866+1 + 0,577 •0,5)= 2,154Аоа.
Жоғарыдағы сырықтар жүйесіндегі кернеулер аққыштық шегінен
кем болғанда (6.15,а-сурет), есептеулердің негізінде
= 0 ,3 6 6 % , а с о = 0,5 7 7 % ,< ^ = 0 ,2 1 1 % .
Ең үлкен кернеу С£> сырығында, яғнн оның бойындағы кернеу
аққыштық шегіне алғашқы болып жетеді.
о 'о = 0,577 Ғ / =
немесе
Күштің бұл мэнінде қалған сырықтардағы кернеулер
0,366Ғ' 0,366 1,732/1ста _
Ғво = -----;— ----------- :-------- -- 0,634а„,
А
А
0,211Ғ' 0,211-1,732/4ста
=
0,366а
.
Шш ~
А
А
Ғ'-қа қосымша АҒ күші тек ВӘ, ЕӘ сырықтарында ғана қосымша
кернеу туғызады, себебі СО сырығы шеткі күйде.
Қосымша Аово, Аасо кернеулерді анықтау үшін, тек 5 Д ЕИ
сырықтарынан түратын статикалық анықталған жүиені қарастырады
(7.15-сурет). Есептеулердің негізінде
о
Дада = 0,Ш АҒ/А, Дасо =0,5 АҒ/А.
Сырықтардағы толық кернеулер
во
0,866АҒ
0,634оа +
А
0,5ДҒ
А
Бұл кернеулер аққыштық шегіне жеткенде
а во = 0,634а а + 0,866 ДҒ/ А = ст„,
немесе
ДҒ
0,366я „ ^ 866 - 0,422о ./(;
немесе
ЛҒ = 0,634сти - 4 ^ 5 = 1,268стаЛ.
АҒ —мэндеріндегі ВО сырығындағы кернеу аққыштық шегіне ертерек жететіндігі байқалады. Жоғарыда көрсетілгендей, үш сырықтағы
кернеулер бірдей аққыштық шегіне тең болуы мүмкін емес, сондықтан
ҒШ= Ғ ' + &Ғ = 1,137x5а ■А + 0,422со А = 2,154 о - А .
§ 3.15. Көлденең кимасы дөңгелек тік білеудің бүралуы
Қнмасы дөңгелек тік білеу бұралғанда, тек жанама кернеу т пайда
болады жэне оның таралу заңдылығы белгілі (8.15,а-сурет).
П ласіикалы қ
күй аймагы
Серпімді күй
аймагы
8.15-сурет
Кернеудің мүндай таралу заңдылығы ттаі аққыштық шегінен кем
болғанда орындалады, яғни толық қима үшін
Ма =ха1Ур = тап43/16.
Сақиналы қима үшін
(4.15)
м а = ТЛ Р = таМ 3/16)(1 - с4).
(5.15)
Мүндағы с - 4 / 4 <ій - ішкі, сі - сыртқы днаметрі.
М
кернеуі тек шеткі
орталық аймақтағы кернеу са мәнінен кем серпімділік күйде болады
(8.15.б-сүоет). Буоаү моментінін М мэнінле білеулін «пліі катрпгіпттігі
• •
жоиылып, серпімділік аимақ түгел пластикалық аймаққа көшеді
(8.15,в-сурет).
Мш мэнін анықтау үшін, қимадан орталықтан р қашықтықта
орналасқан сІА ауданша бөліп аламыз, оған эсер етуші күш шеткі
күйде ха сіА-та тең, ал орталыққа қатысты момент
ам
ш
немесе
Мш
[тар<1А
хЖ
(6.15)
ра
мұндағы
ІрсІА - қиманың пластикалық полярлық қарсыласу
моменті, оны анықтау үшін, дөңгелек қимадан радиустары р, р + ф
сақина бөліп аламыз (9.15-сурет).
^ ра =
| Р
= РI
ЛА\
=
РЛ
= 2яр2ф
А
А
мұндағы А 1 = 2ярф сақинаның ауданы,
онда толық қиманың пластикалық қарсыласу моменті
Н-** %**г і
дЖ у
я
ТУра 1 1 2лр 2ф 1 2 л г3/3 = кс/3/12 (7.15)
0
онда (6.14) келесі түрде жазылады:
п4_
(8.15)
9.15-сурет
12
Шеткі моменттің аққыштық шекке сәйкес келетін моментке
қатынасы:
Й3
а
4
Мш
12
1,33
ма
3
а
7б
ш
і3
Бұралған статикалық анықталған білеуді М туғызатын жүктерден
босатқанда, қималардағы бұрау мометі нөлге теңдігіне қарамастан,
білеу кернеулі күйін сақтайды.
,з
Тік төртбүрышты эпюраға сэйкес момент М ш I ---- X 9ұшбұрышты
12
I
эпюрага сәйкес келетін момент Мш-ға тең, бірақ қарсы бағытталған.
М
№
М
ксі3/16
І2 )т .
ти/3/і6
4
Г*
Тік төртбұрышты 1-2-3-4 эпюрадан ең үлкен ординаты (4/3)то-дан
2-3-5 үшбұрышты эпюраны алғанда, таңбалары әртүрлі екі штрихталған үшбүрыштардан түратын (1-2-6, 4-5-6) жанама кернеудің эпю­
расы түрғызылады (8.15,г-сурет).
§ 4.15. Арқалықтыц иілуі
Білеу тек таза иілгенде, оның көлденең қималарында тек тік кер­
неу пайда болады. Ию моменті аққыштың шегінен кем болғанда, тік
кернеудің эпюрасы 10.15,б-суреттегідей, ең үлкен кернеу а = М/Ж Ию
моменті өскенде тік кернеу де өсіп, ең үлкен мэні аққыштың шегіне
жетеді. Оған сэйкес ию моменті
сіА,
Бейтарап өсі
Ма = аа • IV (10.15,в-сурет). Моменттің одан ары өсуінде ста тек шеткі
нүктеде емес, белгілі аймақта да
пайда болады (10.15,г-сурет). Қима
пластикалық
жэне
серпімділік
аймақтарға бөлінеді. Момент Мш
мэніне
жеткенде,
арқалық
күш
о=М/УГ
көтергіштігін жойып, серпімді аймақ
түгел пластикалық аймаққа көшіп
сға—Ма/ТҒ
(10.15,д-сурет), қимада пластикалық
топса пайда болады (ағу топсасы).
Пластикалық топсада түрақты мо­
мент М эсер етеді.
(Та—зАжі^
Арқалық жүктен босағанда не­
месе Мщ қарсы момент әсерінен
пластикалық топса жойылады.
Моменттің шеткі мәнін анықтау
сТа=(МаА£)Ф
үшін, бейтарап өстің екі шетінде
у {, у 2 қашықтықта орналасқан сІАх,
Ыа-ШЯ'
сіА2 ауданшаларын бөліп аламыз
10.15-сурет
(10.15,а-сурет). Шеткі күйде еіАх,
<іАг-ге эсер етуші күштер оа<іАху х, оасІА2у таңбалары бірдей, онда бейтарап өске қатысты толық момент
А\
^ 2
А->
мұндағы Зх —\у\(ІАх, 82 — | у 2сіА2 — қима бөліктерінің статикалық
4
А2
моменттері №а =
'+ 82 - өстік пластикалық қарсыласу моменті деп
аталады, онда
К -О а'К
(9.15)
Иілуде бойлық күш нөлге тең болғандықтан, қиманың созылу,
сығылу аймақтарының аудандары тең, онда пластикалық топсамен
сәйкес келетін бейтарап өс қиманы теңдей екіге бөледі. Қима симмет­
риялы болмаса, шеткі күйде бейтарап өс ауырлық орталық арқылы
өтпейді.
Қиманың өлшемдері Ь, һ тік төртбүрышты білеу үшін моменттің
шеткі мәнін есептейік:
,,
/с, „ ч
һ һ ,һһ.
Ьһ2
М ш=СТв(5 І+ 5 2)=зао(6 Т -Т + &--т)=СГ —
2 4
2 4
а 4
10.15,в-суретке сәйкес моменттің қауіпті мэні
.
Н
А
Ш
Ъһ1
К = о.в -И Г = а- —
О
М ш (У-ЬҺ2/ 4 ‘
қатынастары ——= —-— г-у—= 1,5 осы сияқты дөңгелек қимаға
а аМ 2 6
а
М /М ~ 1,7 қоставрға М /М = 1,15.
Иілген білеу статикалық анықталған болса, М туғызатын күштерден
босанган соң, қималардагы ию моменттері нөлге тең болганымен, тік
кернеулер жойылмайды. Пластикалық күйдегі тік кернеудің эпюрасына (10.15,д-сурет) серпімді күйдегі тік кернеудің (10.15,е-сурет) эпю­
расын беттестіреміз (10.15,е-сурет күштен босанғанда немесе багыты
кері моменттен түрғызылған эпюра). 10.15,е суреттегі эпюрага сэйкес
момент М -ге тең, себебі тек осы жағдайда гана Мшмен М қосындысы
нөлге тең болады. 10.15,е-суретке сэйкес ең үлкен кернеу
а _М
IV
М ш о а -У 0
IV
№
а)
б)
в)
11.15-сурет
8/81Ғ/
Екі эпюра беттескен соң,
10.15,ж-суреттегі эпюра алынады,
ол жүктен босанған соң, кернеудің
таралуын көрсетеді, оған сэйкес
момент нөлге тең.
Айтылған теория көлденең
иілуде де қолданылады.
Статикалық анықталган аркалык үшін Ғ күшінің шеткі мәнін
анықтайық (11.15,а-сурет). Аркалык бойындағы ию моментінің
ең үлкен мэні - (5І9)ҒІ. Бүл
қимада пластикалық топса пай­
да болғанда, шеткі күйге сэйкес
арқалық күш көтергіштігін жояды
(11.15,в-сурет):
Мтах —М ш шартынан
*
немесе
12.15-сурет
(5/9
)ҒІ
=
М
=
о
IV
4 7
ш
а а
Ғ = 9оаі¥а/(5Г).
Екі рет статикалық анықталмаған арқалықты қарастырайық
(12.15,а-сурет). Арқалық бойындағы кернеу пропорционалдық
шектен аспағандағы ию моментінің эпюрасы 12.15,б-суретте көрсетілген.
Ию моментінің ең үлкен мэні (12/81)Ғ/. Күш Ғ = 81Л//(12/)-ге тең
болғанда, ию моментінің қауіпті
мэнінде Ма = а IV арқалықтың
шеткі талшықтарында аққыштың
шегіне тең кернеулер пайда бола­
ды.
Күштің өсуі негізінде сол
тіректегі ию моменті шеткі
М ЧЙШ= ст IV мэнге жетіп,? пластика-
одан ары өскенде, В, С қималарында да пластикалық топсалар пайда
болады. Үш топсаның болуынан статикалық анықталмаған арқалық
геометриялық өзгермелі жүйеге ауысады, бұл күйде арқалық күш
көтергіштігін толық жояды.
Ию моментінің А, В, С қималарындағы шеткі мәндері (-М),
(+АГ) (12.15,в-сурет). Бұл эпюраны екіге жіктеуге болады (12.15,г;
12.15,е-суреттер).
Қарапайым арқалықта эсер етуші Ғ күші Ғш күшке сәйкес қимада
М = Ға(1 - а)Н моментін туғызады (12.15,ж-сурет), мұндағы а, (/ - а)
күштен арқалық ұштарына дейінгі арақашықтықтар. Қарастырып
отырған мысалда а = 113, I - а = (2/3)/, Ғ = Ғ , онда ию моменті
М = (2/9)ҒшI ол 2Мш
(2/9)Ғш • / = 2Мш
одан
Ғ = 9М /I = 9о IVII.
1.15-мысал. Үш түрлі материалдан (алюминий, болат, мыс)
жасалған білеуге эсер етуші күштің
шеткі, мүмкіндік шеткі мәндерін
анықтаңыз (13.15-сурет). Барлық
сырықтардың ұзындықтары бірдей,
көлденең қималарының аудандары
(13.15-сурет) Аа, Аб, Ам аққыштың
шектері ст“, а 8, а м, беріктік қор
коэффициенті [л].
Шешуі: Шеткі күйде барлық
сырықтардағы кернеулер аққыштық
шегіне тең, онда
^ = < 4 + а аЧ + а ; л
ғ
Қатгы плітга
Болат
Мыс
13.15-сурет
Шеткі мүмкіндік күш
2.15-мысал. Екі ұшы қатаң бекітілген, қимасы дөңгелек болат білеу
/я, = 50 кн.м бұраушы моментпен жүктелген (14.15,а-сурет). Шеткі
күйге есептеудің негізінде сырықтың қажетті диаметрін анықтаңыз.
а)
I
та = 150 МПа, беріктік кор коэф­
фициент! [»] = 2.
Шешуі: Шеткі күйде а, в
аралықтарының көлденең қимала-
п
т )
г
б)
1
%
1
:_ гош 2
м ом ен ттер і
іа болады:
0
м ш
-'в
в
п
2
К
№*
^ ^
1
а
г
I
1
=Т„»І3/12.
( и С
І-І, ІІ-ІІ қималарымен бөлінген
(14.15,
бөлікті
қарастырамыз
14.15-сурет
б-сурет). Бөлікке т -мен қатар
ұштарында қарсы бағытталған Мшэсер етеді.
Тепе-теңдік теңдеуінен
Ү М х = М ш- т ш+ М ш=0
немесе
тш = 2 М = 2га7и/3/і2 = т 0я ^ 3/б .
Шеткі мүмкіндік момент
м і-гПа1 ^2>/6 т„ 12 = 5000 кнсм
12ятн 12-5000
3,14-15
°
одан
10,8 см
3.15-мысал. Көлденең қимасы таварлы арқалыққа эсер етуші Ғ
күшінің шеткі мэнін анықтаңыз. Арқалық материалы үшін аққыштың
шегі ао = 240 МПа, беріктік қор
коэффициенті
[л]
=
2
(15.15-сурет).
а)
1=2н
Шешуі: Арқалык көлденең
қимасының ауданы
Л = 4 - 16 + 4 - 12=112 см2.
Шеткі моменттің әсерінен
бейтарап ос осы ауданды екіге
бөледі:
Аі А
АН = 112/2 = 56 см2
Бейтарап өстен қиманың жоғарғы шетіне дейінгі ара қашықтық
а = 56/4 = 14 см (15.15,б-сурет).
\Үа 1 5 , 1 52 1 4 • 14 - 7 + 4 • 12 ; 4 = 592 см2
онда
М = ЩЖа § 240-592 = 142 кнм,
Ғш• / = Л/шшартынан Ғш = М /7 = 142/2 = 71 кн.
Күштің шеткі мүмкіндік мәні
[Ғ \шI ІІ/ЭД = 71/2 = 35,5 кн.
Бақылау сұрақтары
1. Қауіпті мүмкіндік күштер деген не?
2. Шеткі және шеткі мүмкіндік күштер деген не?
3. Көптеген жағдайларда қауіпті күштің әсерінен құрылым күш
көтергіштігін неге толық жоймайды?
4. Шеткі күшке есептеу кернеу бойынша есептеуден не себепті
тиімді?
5. Прандтл диаграммасы нені білдіреді?
6. Статнкалық анықталған сығылган сырықты шеткі күшке және
кернеу бойынша есептегенде қорытындысы не себептен бірдей?
7. Орталық созылған немесе сығылған қарапайым статикалык
анықталмаган жүйелер үшін шеткі күштер қалай анықталады?
8. Монтажды және температуралық т.с.с. кернеулердің шеткі
күштің мэніне әсері бар ма?
9. Қимасы дөңгелек бұралған білеуде бүрау моменті шеткі мәнге
не болса, жанама кернеу эпюрасының түрі кандай?
10. Қнмасы дөңгелек бүралған білеудегі шеткі күш қауіпті мәнінен
неше пайызға жогары?
Н.Иілген аркалықтағы ию моменті шеткі мэнге ие болганда,
көлденең қимадағы тік кернеу эпюрасының түрі қандай?
12. Пластикалык топса деген не?
13. Ию моментінің шеткі күйі қалай анықталады?
14. Пластикалык қарсыласу моменті неге тең?
15. Пластикалык топса орналасқан қиманын бейтарап өсі қалай
өтеді?
16. Қимасы тік төртбүрышты аркалықтагы шеткі күш қауіпті
мәнінен неше пайызға артық?
§ 1.16. Жалпы түсінік
Нөлден соңғы мэніне дейін баяу өзгеретін жүктемелердің
статикалық күштер деп аталатыны белгілі. Мұндай күштерден
құрылым элементтерінің бөлшектерінде үдеу болмайды, сондықтан
инерция күштері ескерілмейді.
Деформация негізінде инерция күшін және дененің үдемелі
қозғалысын тудыратын жүктеме динамикалық күш деп аталады.
Құрылымдардың көптеген элементтері динамикалык күштердің
эсерінде болуы мүмкін, сондықтан оларды динамикал ық жүктемелерге
есептеу ге тура келеді.
Динамикалық күш эсеріндегі кез келген құрылым элементі әрбір
уақыт сэтінде сыртқы күштердің (тірек реакциялары ескеріледі), көрші
элементтерінің инерция күштерінің әсерінен тепе-теңдік күйде бола­
ды. Бүл түжырым Даламбер принципі деп аталады.
Инерция күштерінің дененің эрбір нүктесінде әсері болатындықтан,
көлемдік күшке жатады. Дененің эрбір бөлігіндегі қарапайым инерция
күші <іҒ., осы бөліктің массасы мен үдеуінің көбейтіндісіне тең:
сІҒ.= <іт • а.
0-16)
Қарапайым бөлшектің массасы оның салмағының сіС еркін
құлау үдеуіне қатынасымен анықталады. сіт = сІС/% (£ = 9,81 м/сек2 =
= 981 см/сек2), онда
ү<ІҮ
йҒ( = ---- а = ------а.
<10
8
(2.16)
8
Мұндағы ү - көлемдік салмақ, сІУ- қарапайым бөлшектің көлемі.
Сырықтар жүйесін есептегенде, көлемдік инерция күштері эрбір
сырық өсі бойымен таралған инерция күштерімен алмастырылады.
Бұл күштің қарқындылығы р. = сіҒ./ сіх, мүндағы сіх сырық элементінің
ұзындығы, ал элементтің ауданы сІҮ. = Асіх екендігін ескерсек, (2.16)
келесі түрге көшеді:
ү(IV
чАдх
аҒі = ----- а = ------- а , онда
Ф і уА
р. = — !■= — а.
Ох
я
.
.
.
(3.16)
А —сырық қимасының ауданы. Таралған инерция күш қарқындылығының өлшем бірлігі - кН/м, кг/см, т.с.с.
§ 2.16. Статикаға келетін динамикалық есептер
Қимасы тұрақты арқалық С нүктесінде кран арқанына ілініп,
белгілі үдеумен жоғары көтеріледі (1.16,а-сурет). Осының салдарынан арқалық өсі бойымен таралған инерция күші пайда болады, оның
қарқындылығы (З.іб)-дан анықталады. 1.16,6-суретте арқалыққа эсер
етуші күштер көрсетілген:
б)
1.16-сурет
<7 -
бірқалыпты таралған күш арқалық салмағының қарқындылығы,
р. - инерциялық күштер, 5-д, р. күштерінің тең әсерлі күші (арқандағы
күш).
Инерциялық күштер қозғалыстан соң пайда болып, арқалықтың
иілуін тудырады (меншікті # күшіне қосымша). Иілу негізінде
арқалықтың жеке қималарының үдеулері әртүрлі, сондықтан жалпы
түрде р і арқалық бойында айнымалы.
Жеке жағдайларда, мысалы, арқалық қатаңдығы өте үлкен болса,
инерция күші тудырған деформация әсерін ескермей, арқалықтың
барлық қимасының үдеуі бірдей деп қарастырады.
Қимасы тұракты тік білеу салмаа>
6)
«)
ғынан (С) үлкен 5 күшімен жоғары
көтеріледі (2.16,а-сурет). Білеуге 5
1. 9
X
күшімен қатар, ұзына бойы бір-ғ
қалыпты таралған д = С/1 (меншікI
ті салмақтан) және инерциялық
4+
Р і= (Фё)а күштер эсер етеді (2.16,6,вт
суреттер).
5
күшімен багыттас барлық
2.16-сурет
көлденең қимадағы а үдеуі бірдей,
сондықтан р. біркалыпты таралып, үдеуге қарсы бағытталады.
Барлық күштердің тік өске проекцияларының қосындысы нөлге тең
болатындығы белгілі.
'£ х = 5 - С - р іІ = 0
немесе
Рі = ( 5 - С)П.
(4.16)
Білеудің төменгі үшынан х қашықтықтағы қимадағы тік кернеу
\
С 5 -С
_ 5 х _ 5 х
+
= & + Р і)т
А
/
/ уА1 I А~ А I
ең үлкен кернеу жоғарғы қнмада (х = /) с тах 5/А.
Жер бетінің горизонталь үдеуінің негізінде пайда болган инерция
күшінің салдарынан фабрика қүбырының қимасындағы ию моментінің
өрнегін табайық. Қүбырдың деформациясын ескермей, оның барлық
нүктесіндегі үдеуді (а) түрақты деп қабылдайық.
Құбырдың жоғаргы үшынан х қашықтықтағы қимасының ауданы
П ~ го
го +
I
п
Үдеуге қарсы багытталған инерция күштері горизонталь орналасады, қүбырдың жогаргы үшынан х қашықтағы оның қарқындылыгы
уА
упа
р . = - л - а = -!—
§
8
Инерциялық күштің эпюрасы 3.16,6-суретте көрсетілген, оны тік
төртбүрышқа, үшбүрышқа, параболлаға белуге болады.
Инерциялық күштен туатын ию моменті
үтс(г02- г 2) х 2уп(г, - г0 )г0а х х уп(г, - г0/ а 2 х х
М = -------------- *■ —+ -------- ;--------- X------+ ------- --------- х —
2
I
2 3
12ё
34
£
УТШ 2
X б(/*о - /'2 }^4(г/ -го)г0у + (г/ -г о ) 2
12*
/
¥зындығы /, кимасының ауданы тұрақты горизонталь орналасқан
ВС сырығы тік ОО өсін тұрақты айналады. Айналу өсінен г қашықтықта орналасқан сырық бөлшегінің үдеуі өске бағытталған, ол
белгілі формуладан анықталады:
а (02Г.
(5.16)
Мұндағы ш
бұрыштық
жылдамдық.
Айналу өсінің радиусымен бағытталған инерциялық
күштер
уА
үА(д
Рі = — а --------- г, (6.16)
§
8
оның эпюрасы 4.16,б-суретте
бейнеленген.
Инерция күштері сырықты
4.16-сурет
созады, айналу өсінен г
қашықтықтағы бойлық күш р. эпюрасының қимадан шеткі ұшына
деиінп аралықтың ауданына тең:
/
үАсо
уА(о / (1/2
) үАы
1------ г + й—
N
г
2
V 8
28
Бойлық күштің ең үлкен мәні г = 0 болғанда
2/2
уЛы I
§ 3.16. Соққы
Қозғалмайтындай бекітілген серпімді жүйеге һ биіктіктен Ғ жүгі
құлайды. Ғ жүгі һ аралықта белгілі жылдамдыққа ие болып, денемен
жанасады, оны соққы деп атайды. Соққыны зерттегенде, соғатын дене
құрылымнан ажырамай, бірге қозғалады деп есептеледі. Соққыдан соң
жылжу жылдамдығы нөлге тең уақыттың бір сэтінде қүрылым деформациясы мен оның бойындағы кернеу ең үлкен мэнге жетеді, одан кейін
жүйе мен күштің баяу өшетін тербелісі пайда болып, соңынан дененің
бойындағы деформация мен кернеу Ғ күшінің саттикалық эсеріндегіге
тең, статикалық тепе-теңдік күйге көшеді. Соқкыға ұшыраған денеде
әртүрлі деформация болуы мүмкін: сығылу (5.16,а-сурет) иілу (5.16,б,всуреттер) т.с.с.
іа
№—
►
І Щ »Ш \1
и
5.16-сурет
Соққыға есептеудің мақсаты
деформацияны
анықтау.
Материалдар кедергісінде соққы әсерінен жүйеде пайда болған кер­
неу серпімділік, пропорционалдық шектерінен аспайды, сондықтан
Гук заңын қолдануға болады. Жуықталған соққы теориясында ол күш
статикалық эсер еткендегі орын ауыстыру эпюрасына ұқсас деген болжам қабылданады.
Мысалы, Ғ жүгінің һ биіктігінен құлағаны 6.16,а-суретте, күштің
статикалық эсерінде 6.16,б-суретте орын ауыстыру эпюрасы көрсетілген. Жоғарыдағы болжамның негізінде
Д
д
к
(7.16)
д хсс
д ст
Мұндағы Дх, Д - динамикалық, Ахст, Аст статикалық орын ауыстырулар.
Соққыны қабылдайтын жүйеҒ
нің әртүрлі нүктелерінің кез
а)
һ
келген сәттегі жылжу жылдамд ықтарының
қатынастары
І
А
х
і£г$г
статикалық әсерден осы нүктеА
лердің орын ауыстыруларының
қатынастарына тең.
б)
Ғ
Соғылатын серпімді жүйенің
массасын ескермеитін жағдаиды
Ахсг
Дст
қарастырайық. Бұл жағдайда
~ітһп
жоғарыдағы
гипотеза
толық
орындалады, сондықтан есептеу
6.16-сурет
негізі дәл қорытынды береді.
Жүйенің күш бағытындағы ең үлкен орын ауыстыруын Д деп
белгілейік.
һ биіктіктен құлаған жүктің жұмысы Ғ(һ + Д). Деформация мен кер­
неу ең үлкен мэнге жеткен сэтте жүйе мен жүктің жылдамдығы нөлге
тең болатындыктан, олардың кинетикалық энергиясы да нөлге тең,
сондықтан күштің жұмысы толық потенциалдық энергияға айналады:
Ғ(һ + Д) = Ц.
(8.16)
Жоғарыдағы гипотезаның негізінде соққы әсерінен серпімді
жүйе нүктелерінің орын ауыстыруын статикалык орын ауыстыруды
динамикалық коэффициентке көбейтіп табады, яғни соққы әсерінен Ғ
күші бағытындағы орын ауыстыруды 5 = кдҒ статикалык күш әсеріне
есептесе де болады. Онда потенциалдық энергия:
1
1
2
2
П =-5-А = -Ғ к А .
(9.16)
Мұндағы Ғк - серпімді жүйеге қысым жасайтын ең үлкен күш, ол
жүктің салмағы мен жүктің инерция күшінің қосындысына тең.
Ғ (һ + Д) = - ҒкдД немесе 2(һ + А) = каА.
(7.16) формуладан к = А/А
он да
Д2 = 2Д сіих
(А + А)7 немесе А2- 2Аст А - 2 А ст А,9
А
Л « " + А /Д с т /+ 2 Д с т А
(10.16)
4
7
^
(11.16)
А теріс болуы мүмкін емес, сондықтан түбір алдындағы таңба тек
оң.
Еркін құлайтын дененің жүйемен жанасатын сэтіндегі жылдамдығы
биіктікпен келесі түрде байланысады:
у=д/2ІЛ немесе 2Һ = у 2/я онда (П.іб)-дан
ст
,2 Дст
V2
Дст .
(12.16)
Жоғарыдағы формулалардың негізінде динамикалық коэффициент
(13Л6)
*а = Т ~ = 1+ \І 1+ Т 1 = 1+ \І 1+ ~ 7 ~
ал гипотезадан
ст
ст
•я
Сонымен, соққыдағы ең үлкен кернеу мен орын ауыстыруды
анықтау үшін, жүйені Ғ күшінің статикалық эсеріне есептеп табылған
кернеу мен орын ауыстыруды динамикалық коэффициентке көбейтеді
немесе жүйені
күшінің статикалық әсеріне есептейді.
Құлау биіктігі нөлге тең. Мұндай жағдай жүктің кенеттен әсері деп
аталады (һ = 0) (13.16) формуладан
(15.16)
кд = 1+ у/і + 0 = 2 .
статикалық
мэндерінен екі есе артық.
Жүктің құлау биіктігі Д^-дан
(ІЗ.Іб)-дағы 7-ді ескермесе де болады.
әлдеқайда
көп
болса,
онды
ст
(13.16), (16.16) формулаларынан Дст көп болған сайын, кд кемиді
статикалық эсерде жүиедегі кернеу материалдың серпімділік модуліне
тэуелді емес, ал соққыда тэуелді себебі Дс)и анықтауда серпімділік мо­
дуль ескеріледі.
1. Қимасы тұракты сырықты бойлық соғу (5.16,а-сурет).
Гук заңынан Д = Ғ1/(ЕГ), (13.16) формуласын пайдалансақ,
I ,
„ 2 ҺЕА
М 1 + л/ 1 + -Т Т -
1+14
у 2ЕА
(17.16)
§ғ і
Ең үлкен кернеу
\
V2ЕА
Ғ
1+1 +
гҒІ
А
у
V
(18.16)
Құлау биіктігі мен жылдамдық айтарлықтай болса,
с
т
=
-
2ҺЕҒ
= —V
ІА
\ ё ІА
(19.16)
Соққы кернеуі сырық көлемінің квадрат түбіріне кері пропорционал.
Дннамнкалық кернеулерді кеміту үшін, жүйенің қатаңдығын төмендету керек. Мысалы,
соққыны жұмсартатын серіппе енгізуге болады
(7.16-сурет), онда
Дст
С 4'
ЕА
Мұндағы сі - сымының, О - серіппенің орташа
диаметрі.
Бұл жағдайда динамикалық коэффициент
к д= 1+
1+
2һ
(20.16)
с а 2 ЕА
(20.16) мен (17.16) салыстырып, серіппе динамикалық коэффициенті
төмендегенін байқауға болады.
салыстыраиық.
Бірінші білеудің статикалық
орын ауыстыруы
Дст
Еі
ЕА
ал екіншісі үшін
А
Д'ст
пА
77777777---
Ғ(1
+
ЕпА
бірінші білеу соғылғанда динамикалык коэффициент к
қарағанда
томен.
ЕА
Егер /, ұзындығы өте аз
болса, соңғы өрнектегі екінші
мүшені
ескермеуге
болады,
8.16-сурет
екінші білеу үшін (/
ҒІ і
өте аз) к і =
2һпЕА
ҒІ
2ҺЕА
, ал
ҒІ
яғни біріншіге
есе коп, сонымен соққы әсеріне екінші білеудің беріктігі
3.
И ілу соққысы. Ғ жүгі һ биіктіктен екі тіректі арқалықтың ортасына еркін құлайды (5.16,б-сурет). Статикалық күш эсерінен арқалық
орта қимасының орын ауыстьфуы белгілі
Д ап =
ҒІ
48 Е1
Онда динамикалық коэффициент
96ҺЕІ
кл = 1+ . 1+
ҒІ3
Ию моментінің ең үлкен мэні арқалықтың ортасында пайда болады
4
4 V 16
Арқалық қимасындағы көлденең күш
б = —К
2 д
/
4.
Соғылатын сырықтың массасын ескеру. Жоғарыдағы мысалдарда соғылған жүйелердің кинетикалық энергиялары ескерілмеген,
яғни жүйенің массасы нөлге тең, ал соғатын жүктің соғу сәтіндегі
жылдамдығы өзгермейді деп қарастырылған. Шындығында, соғу
сәтінде жүктің жылдамдығы төмендеп, жүйенің жылдамдығы арта
түседі. Соққы қабылданатын орында жүк пен жүйенің жылдамдығы
теңескенше, жүктің жылдамдығы өзгерісте болады. Сырық массасының
дэл әсерін бағалау өте қиын, бірақ статикалық жэне динамикалық орын
ауыстырудың ұқсастық болжамына сүйеніп жэне сырықтың таралған
массасын кинетикалық энергиясы толық сырықтың кинетикалық
энергиясындай соққы түсетін нүктеге келтірілген массамен алмастырса, есептеу жеңілдейді. Соғатын Ғ жүгінің соғу сэтінің алдындағы
жылдамдығы V, V, - соғу нүктесіндегі жүк пен сырықтың соққыдан соң
жылдамдығы кх ■ ^I% - қозғалыс мөлшері бойынша, к, ■ ()!% - кинетикалық энергия бойынша келтірілген массалар. Мұндағы кх, к2 қозғалыс мөлшері мен кинетикалық энергия бойынша келтірілген коэффициенттер.
Қозғалыс мөлшерінің сақталу заңынан
Ғу
Ғ + к ()
Ғ
(21.16)
Энергияның сақталу заңы бойынша
(22.16)
немесе
(Ғ + Ш 2
2
Теңдеудің екі жағын да 2/ҒАст көбейтейік
2
\+ кМ
Одан динамикалық коэффициент
V
2
1 + ^2
_______ 1 £
•
(23.16)
V2 =
2§һ ескерсек,
2һ
1+
/
Кт
9
\+ к
Е
\2
1+
V
Жеке нүктелердің жылдамдықтары динамикалық орын ауыстыруларға тура пропорционал болатынын ескерсек,
д ХСІЯ
д ст
к , Д ХСШ
__
(7
V
V
(26.16)
коэффиц
Сырықтың соғу сәтінен кейінгі қозғалыс мөлшері
\
немесе
г(— УСОТ
* ,= — Г—
Ш ш
(27.16)
8
в А
‘
Мұндағы Ғ —сырық көлемі.
Соғу сәтінен кейінгі сырықтың кинетикалық энергиясы
28
28
Г
1
*2 = - [
V
&
\2
<і<2
1
\2
д Л'
УV д
с/и
(28.16)
Сонымен, кІУ к2 коэффициенттері Ғ күшінің статикалық эсерінен
туған орын ауыстыруларға байланысты анықталады.
Соққыға созылу (сығылу). Ғ күшінің статикалық эсерінен
сырықтың х аралығындағы қимасының орын ауыстыруы (9.16-сурет)
д хст = Ғх/ЕА , ал толық орын ауыстыруы
1
.......................1
Аст = ҒІ/ЕА.
/Д \
\ Д
\
ст
і
\
к2 = ~ \ { ^
шI Ш
1г Х
УА130 1
і
Л
уАах =
X
і
Т
21 о ~ 2
уА(іх -
—
,і
X
I
9.16-сурет
:
.......
; Ғ-уАІ
яив
'
10.16-сурет
11.16-сурет
¥зындығы / қимасының ауданы А призма тэрізді сырық һ биіктіктен
құлаиды
кинетикалық энергиясы Т | ету2/2 | ҒА = үЛ/А толық потенциалдық
энергияға аиналады. Сырықтың жазықтыққа статикалық әсерінен
оның жоғарғы ұшынан кез келген х аралықтағы кернеуі а
= ух,
төменгі ұшындағы ең үлкен кернеу
= у/, онда ао = а
сттахш .
Үзындығы ах сырық оөлігшің потенциалдык энергиясы
У'
-
■'
'I
_ 2
-
'х
)
йУ__
<к А
ст = - ^ - А ( 1х = -стпв*
2Е
2Е \ I
ал толық статикалық деформацияның потенциалдык энергиясы
/
ст т
ст
шах
V ст
Гх 2СІХ= —
А1.
^
I6 Е
2ЕІ
О
О
ВІВ
Соққы әсерінен динамикалык деформацияның потенциалдық энер­
гиясы
Соққының кинетикалық энергиясына тең:
а дшах
АІ = уАІҺ, а дтах = Тб£уА
6Е
(29.16)
Сырық еркін құлаганда һ = у2/2е,
(30.16)
Соққыға бүралу. Білікке орналасқан маховик дөңгелегі тұракты
со бұрыштық жылдамдықпен айналады (11.16-сурет). Сол ұшының кенеттен тоқтауынан білік бойында пайда болған динамикалық бұрау
моменті мен динамикалық кернеуді анықтайық. Барлық кинетикалық
энергия потенциалдық энергияға толық айналганша, С маховигі айналыста болады. Білік массасы ескерілмесе, энергияның сақталу заңынан
Т = §1 немесе
_ ШйШ
.
7И
2
2
Мұндағы 1т - маховик массасының инерция моменті, Мд — динамикалық бұрау моменті, <рд = МдНСІр - білеудің динамикалық бұралу
бұрышы, сра өрнегін ескерсек,
О
/ ш2
ш ш ш ш ш ш ш т
—
м іі
- 2т - = ^ г - > немесе Мл
2
2 СІр
д
щшш
— ------ р- .
V
/
(31.16)
Динамикалық кернеудің ең үлкен мэні
'
_ м д
дтах Щр
.
п гА4
2
2
Мұндағы
1 —И ! = =
іг р 2п г
пг
А
У
№ 2р
1
онда
^тах=Ю у^-
(32.16)
Іт, со белгілі болғанда, ең үлкен динамикалық кернеу білік
материалының серпімділік модулі мен көлеміне тэуелді.
§ 4.16. Бір еркіндік дәрежелі жүйенің еркін тербелісі
Серпімді арқалықтағы тік орналасқан күштің әсері арқылы статикалық тепе-теңдік күйден ең томенгі күйге көшіріп, күштен лезде
босанайық (12.16-сурет).
Арқалық серпімділік күші эсерінен инерциясымен статикалық
тепе-теңдік күйінен өтіп ең жоғарғы, одан ең төменгі күйге т.с.с
жетеді. Айнымалы сыртқы күштің әсері болмаса да, бір шеткі күйден
екінші шеткі күйге ауысып отыратын қозғалысты еркін немесе
меншікті тербеліс деп атайды. Айнымалы сыртқы күш әсерінен бола­
тын тербеліс - еріксіз тербеліс.
Стати кал ық тспс-тсңдіктегі
аркалыктың иілген өсі
12.16-сурет
Арқалык серпімділік күші әсерінен инерциясымен статикалық
тепе-теңдік күйінен өтіп, ең жоғарғы, одан ең төменгі күйгс т.с.с
жетеді. Айнымалы сыртқы күштің әсері болмаса да, бір шеткі күйден
екінші шеткі күиге ауысып отыратын қозғалысты еркін немесе
меншікті тербеліс деп атайды. Айнымалы сыртқы күш әсерінен бола­
тын тербеліс - еріксіз тербеліс.
Кез келген уақыт сәтінде тербелістегі арқалықтың эрбір бөлшегіне,
оның салмағы, серпімділік күштер (көрші бөлшектен) және Даламбер принципі бойынша инерция күштері эсер етеді. Тербелістің әрбір
кезеңінде инерция күші бөлшектің статикалық тепе-теңдік күйінен,
қарастырылып отырған сәттегі күйге бағытталған.
Серпімді арқалық қимасыньщ бірінде арқалық салмағынан бірнеше
есе үлкен жүк орналасса, арқалық салмағы ескерілмейді (13.16,а-сурет).
Арқалықтың бір қимасының белгілі орын ауыстыруы арқылы кез
келген қимасының орын ауыстыруын анықтауга болады, сонымен кез
келген қиманың күйі бір параметр (орын ауыстыру) арқылы табылады.
Айтылган аркалық бір еркіндік дәрежелі жүйеге жатады. Осы сияқты
13.16,6,в,г-суреттегі жүйелердің де еркіндік дәрежелері бірге тең.
•)
б)
в)
г)
б)
о
$
6
13.16-сурет
14.16-сурет
Еркіндік дэрежелері • екіге тең жүйелер 14.16,а,б-суреттерде көрсетілген, себебі кез келген қимасының орнын анықтау үшін, екі пара-
метр қажет (екі қиманың орын ауыстыруы). 14.16,в-суреттегі жүйенің
еркіндік дәрежесі үшке тең.
Бір еркіндік дәрежелі жүйенің еркін тербелісін қарастырайық.
Даламбер принципі бойынша кез келген уақыт сәтінде Ғ + Ғ жүгінің эсерінен арқалық майысады (15.16-сурет) Аст + Д = (Ғ + Ғ )5. *
А рқалывдың деформациялаыбаган өсі
Т тербсліс периоды
т|
ІІ
Статикалык тепе-теңдіктегі 'А
аркалыктың иілген өсі
Л5Я-В
шах
___
ш —
15.16-сурет
I
16.16-сурет
Күш пен майысу төмен бағытталса, оларды оң таңбалы деп қабылдаймыз. Статикалық тепе-теңдіктен ауытқыған орын ауыстыру
(33.16)
А = Ғ&.
Мұндағы Ғ. - қарастыратын уақыт сәтіндегі жүктің инерция күші,
5-Ғ
1 күш әсерінен жүкке сэйкес қиманың орын ауыстыруы.
Инерция күші дененің массасы мен үдеуінің көбейтіндісіне тең,
үдеуге қарсы бағытталған:
Ғ
та
фА
(ғ /е )
Ш2
(34.16)
(34.16) өрнегіне Ғ —Д/5 ((ЗЗ.Іб)-негізінен) қойсақ,
Ғ (і2Д
Д
I
5
л
— ----- 5- Н--- = 0 .
Ш
Бұл - бір еркіндік дәрежелі
теңдеуі. Оның жалпы интегралы
Д = А сов((о( + Р).
Мүндағы
(35.16)
дифференциалдық
(36.16)
(37.16)
= уі8 /( Ғ Ь ) = уІУтд
А , В -интеграл түрақтылары, (36.16) теңдеуі жүйенің еркін (мен
ті) тербеліс теңдеуі деп аталады.
(36.16)
теңдеуінен орын ауыстыру Д-нің мэні соI 2л-ге үлгайғанда,
немесе әрбір 2я/ю сек уақытында қайталанатындығын байқауға бо10
лады, яғни 2я/ю секундта бір рет толық тербеледі, ал 2л секундта со
рет тербеледі, 2л аралықта тербеліс санын білдіретін со еркін тербеліс
жиілігі жүйе бір рет толық тербелетін уақыт Т еркін тербелістің перио­
ды деп аталады:
Т = 2л/со = 2я у[ғЪ / 8 .
(38.16)
Тербеліс периоды сек, жиілігі 1/сек өлшенеді.
Тербеліс теңдеуінен Атах, Атіл мэндері соз(со/ + р) = 1, соз(шІ + В) = -1-ге
сәйкес келеді:
Статикалық тепе-теңдіктен ең үлкен ауытқу А тербеліс амплитудасы деп аталады.
(36.16)
теңдеуі бойынша Д, і координат жүйесінде тербеліс графигін
тұрғызуға болады (16.16-сурет).
Жүктің жылдамдыгы мен үдеуі
у
&
= - у4(В5Іп( со/ + Р),
(39.16)
(і Д <Һ>
. 7 ,
_
а = — = — ! -А (о со8(со/ + р ).
аі
(40.16)
т
Тербеліс теңдеуіндегі интеграл тұрақтылары алғашқы шарттардан
анықталады.
Айталық, і = 0, болғанда Д = с, V = у0 онда
у4созР = с , -Лсозіпр = у0.
Теңдеулерін бірге шешіп, А, р анықталады:
Ж
г
*~2
.
й В
сас
/
. г.
. V,
^Р = — , Р = агсі§
сос
^сос
(41.15)
§ 5.16. Бір еркіндік дәрежелі жүйеніц еріксіз тербелісі
Салмақсыз жүйеге айнымалы қоздырушы күштің сырттай әсерін
қарастырайық. Айталық, периодты өзгеретін сыртқы күштің әсері Ғ
жүгі орналасқан кимаға сәйкес келеді (17.16-сурет):
5(1) = 5 созф/.
(42.16)
Мұндағы 5 - қоздырушы күштің ең үлкен мәні, ф - жиілігі.
Кез келген сәттегі жүйенің
майысуы қоздырушы жэне инерция күштерінің әсерінен туады,
яғнн
А = ( Ғ + 5 со8ф/ )5.
Одан
Ғ күшіиің статикалық әсерінен
арқалықтың иілген өсі
Ғ
17.16-сурет
8 С05ф і
Ғ 4 2А
£ Ж2
немесе
а 2А
(Һ2
+0) А
§_
8 С08ф I.
Ғ
(43.16)
Бір еркіндік дэрежел і жүйенің еріксіз тербелісінің дифференциалдық
теңдеуі. Жалпы шешімі
А = А со$(со і + В) +
Ғ (іо - ф )
С08ф/ .
(44.16)
Жүйенің еріксіз тербелісі, мүндағы бірінші мүше еркін, екінші мүше
еріксіз тербелісті білдіреді. Еріксіз тербелістің жиілігі қоздырушы
күштің жиілігіне тең. Еркін тербелістің амплитудасы А, еріксіз
тербелістің амплитудасы
&
С08ф?
Ғ((о - ф )
•
ф
өрнегінщ ең үлкен мәніне тең, яғни
А =
(45.16)
Ғ((о - ф )
Бірақ со2 = §/(Ғ 8 ), онда
А
88
со
со2 - ф 2
58
1
1 Ф2/® 2
А*ст к.о .
Мұндағы А*ст = 88 , 8 - күшінің бағытындағы
статикалық орын ауыстыру, кд —динамикалык коэффициент
1
I1-ф 2/<В
/ 2'
(46.16)
Серпімді жүйеде еріксіз тербелістен туатын динамикалық кернеуді
анықтау үшін, 5 күшінің статикалық эсерінен кернеуді тауып,
динамикалык коэффициентке көбейтеді. Табылған динамикалық кернеуге Ғ күшінің статикалық әсерінен анықталған кернеуді қосады.
18.16-суретте динамикалык коэффициент пен ф/ш арасындағы
тәуелділік графигі көрсетілген. Суреттен ф жиілігі ю жиіліктен аз
болғанда (ф < 0,3©), динамикалык коэффициент 1-ге таяу. ф жиілігі
өскенде, динамикалык коэффициент те өседі, ф/ю 1-ге жуықтағанда,
динамикалык коэффициент лезде өсіп, ф/са = 1 болғанда шексіздікке
кетеді (18.16-сурет), қоздырушы күштіц жиілігі меншікті тербеліс
жиілігіне жақындағанда, тербеліс амплитудасы шексіз өседі.
18.16-сурет
Бүл күрылымдар үшін өте қауіпті қүбылыс резонанс деп ата­
лады. Егер ф > со болса, динамикалык коэффициент теріс таңбалы,
қоздырушы күштін таңбасы уақыттыц әрбір сәтінде орын ауысты­
ру таңбасына кері. Мысалы, 5(/) төмен бағытталганда (он тацбалы),
оның әсеріндегі қиманың орын ауыстыруы теріс жоғары багытталган.
Бұл жағдайда еріксіз тербелістіц амплитудасы динамикалык
коэффициенттіц абсолют шамасын Д'ст көбейткенге тең. Қоздырушы
күштің жиілігі ф меншікті тербеліс жиілігінен ш айтарлыктай үлкен
болса, динамикалык коэффициент өте аз, қоздырушы күш әсерінен
тербеліс болмайды.
Жоғарыдағы тербелістерде тербеліс ортасыныц кедергісі ескерілмеген. Кедергінің болуы меншікті тербелістің периодын көбейтіп.
жиілігін азайтады, амплитудасын жайлап төмендетіп, тербел
өшіреді (19.16-сурет).
*
?
*
кедергілі тербеліс
і
кедергісіз тербеліс
19.16-сурет
Периодты қоздырушы күштен пай да болған меншікті тербеліс
кедергінің эсерінен өшіп, одан ары тек еріксіз тербеліс қалады, оның
амплитудасы (46.16) формуласынан анықталады.
Жүйеге эсер етуші кедергі күш уақыттың эр сәтінде жылдамдыкка
тура пропорционал қабылданады.
Я = -а у = - а
сІА
(48.16)
т
Мұндағы а
пропорционалдық коэффициент, таңбасы күш пен
жылдамдыктың бағыты қарама-қарсы болатындығын білдіреді.
Кедергі күшінің бұл түріндегі динамикалық коэффициент
(49.16)
2
2 Л
фаV
Мұндағы ф, оо - қоздырушы күш пен меншікті тербеліс жиіліктері.
Ғ - тербелістегі жүктің салмағы, £ - еркін түсу үдеуі.
20.16-суретте а§/(Ғю) әртүрлі мэндері үшін кд мен ф/со арасындағы
тәуелділік графигі түрғызылған. Кедергі жоқ болса, (а = 0), (47.16) пен
(49.16) сәйкес келеді. ф/оо = 1 резонанс кезінде динамикалық коэффици­
ент шектеледі. ф мен со арасындағы алщақтық айтарлықтай болса, к
кедергінің болуына тэуелсіз.
Периодты айнымалы қоздырушы күштің әсеріндегі құрылымдарды
есептегенде, резонансты болдырмау керек, яғни меншікті тербеліс
жэне қоздырушы күш жиіліктерінің айырмашылығы айтарлықтай болуын қамтамасыздандыру керек. Негізінде, талапқа сэйкес ф < 0,7со,
болуға тиіс. Кейбір мәшинелерде ф > 1,Зсо, яғни мэпгане екпіндеу
кезінде резонанстан өтіп кетеді.
1.16-мысал.
Арқанға байланып, а үдеумен жоғары қозғалған
жүктің салмагы С (21.16-сурет). Аркан бойындагы кернеуді анықтаңыз.
Ш ешуі: Жүкке эсер етуші инерция күші та
Са/я төмен
багытталған. Арқанды п-п кимасымен киып, бойлық күшті көрсетеміз.
Орталық созылуда қимадағы кернеу бірқалыпты таралгандықтан,
ад ■А, мүндагы од анықталатын динамикалық кернеу. Барлық күштерді тік өске проекцияласак,
/
\
а
С 1+
0
х
/
\
С
а
немесе
і+
а
=$М бА
у
г
о ст = в/А
статикалық кернеу, к
\
і+е
динамикалык коэф-
21.16-сурет
22.16-су рет
2.16-мысал. 1 метрдегі салмагы ц сырық ұштарында байланған
жіп арқылы бірқалыпты а үдеуімен жоғары көтеріледі. Сырықтағы
кернеуді анықтаңыз (22.16-сурет).
Ш ешуі: Үзындығы 1-ге тең сырықтың эрбір элементіне келетін инер­
ция күші даІ%. Бұл есеп <7 +
бірқалыпты таралған күш әсеріндегі
екі тіректі арқалыққа баламалы. Арқалықтың орта қимасындағы ец
үлкен ию моменті
ә
8
8 І
^
'
Кернеудің ең үлкен мэні иілу деформациясындағыдай анықталады:
•
_ М В_
ш
® ст^д'
К
3.16-мысал. Жүқа қабырғалы сакина ауырлык өсі арқылы өтетін
0 - 0 өсінің айналасында ш — бұрыштық жылдамдығымен айналады.
Сақина қимасында пайда болатын кернеуді аныктаныз (23.16-сурет).
Ш ешуі: Сақинаның бірлік ұзындығындағы инерция күшінің
қарқындылығы
Р, - уА(й2г/&
Инерция күшініц қарқындылығыр. сақина өсіне келтірілген, радиус
бойынша бағытталған (23.16,б-сурет). Сақина мен р. 0 - 0 өсіне қатысты
симметриялы болғандықтан, сақинаныц кез келген қимасында тек
бойлық күш қана болады, оны анықтау үшін, жарты сақинаның тепетеңдігін қарастырайық:
ф =71
= —2 И + | 8Іпфр.бК = 0 .
Ф=0
Мұндағы рхіЗ - ұзындығы с15 сақинаның қарапайым элементіне
эсер ететін инерция күші.
р.-Л\ жоғарыдағы өрнегімен алмастырсақ, (сЬ = гсіу)
1 уАоа2г 2 г .
1 уА<о2г 2 1
Ш уА(о2г 2
---------- I 31ПфЖр = - і ----------( - С08ф)* = і --------- .
2
8
*
2
§
8
Көлденең қимадағы тік кернеу
N
үА(о2г 2
уоо 2г 2
А
§А
§
немесе юг = V ескерсек,
а = үу2/^.
Айналатын сақинадағы кернеу жылдамдық квадратына тура пропорционал, қиманың ауданына тэуелсіз.
4.16-мысал. Үзындығы 2 м екі тірекке орналасқан болаттан жасалған
арқалықтың ортасына һ = 4 см биіктіктен Ғ = 4 кН жүк құлайды.
Меншікті салмақты а) ескермей, б) ескеріп, соққы эсерінен.көлденең
қимадағы кернеуді табыңыз (24.16,а-сурет). Сол тірекке қатаңдығы
с = 5 кН/см серіппе орналастырса, кернеудің өзгерісін анықтаңыз (меншікті салмақ ескерілмейді, 24.16,6-сурет). Е = 2 • 105 МПа = 2-10* кН/см2,
/ = 2370 см4, Щ = 237 см3, ц = 0,279 кН/м.
Ш ешуі: 24.16-суреттегі арқалықтың ортасындағы орын ауыстыру
Ат = - ^ —= ------------------- = 0,0141 см.
48£7 48-2-10 -2370
Жүйенің меншікті салмағы ескерілмесе,
кл = 1+ Л + 2Һ- = 1+ /1 + - — ■ = 24,8.
Аст
V 0.0141
Ғ күшінін статикалық әсерінен орталық қимадагы ию моментінің
ең үлкен мәні —ҒИ4.
сикииа осі
23.16-сурет
24.16-су рет
Стати кал ық әсердегі ең үлкен кернеу
4 IVх
4-237
см
т=8,45 мпа
Соққы эсерінен динамикалык кернеу
о = к д а = 24,8 -8,45 =205,5 МПа.
Меншікті салмақ ескерілсе,
кл
— 1+
/1 +
2А
А(1+Р(0 /У))
= 1+
2-4
1+
0,0141[ 1+ (17/35 Х0,558/4)
24,1
мұндағы £? = ?/ = 0,279 • 2 1 0,2558 кН арқалык салмағы.
жағдай
Р . біздің
I
үшін ишу соққысының коэффициент! 17/35
Меншікті салмақ ескерілгендегі динамикалық кернеу
Щ
К <*ст
=24,1 8,45 =203,5 МПа.
Толық кернеуді анықтау үшін, осыған меншікті салмақтардан туған
кернеуді қосады, ол
Ш І
Ж
0.279-2002
8 -2 3 7 1 0 0
Ш
—0.06— т 0 ,6 мпа,
см
Соққы жүгінен арқалық салмағы айтарлықтай кіші болғандықтан,
есептеу қорытындысына әсері жоқтың қасы.
Серіппе орнатылған арқалықты есептейік.
Арқалыққа Ғ күші статикалық түрде эсер еткенде, сол тіректегі ре­
акция Ғ!2 —2 кН, онда серіппе а = Ғ/2с, онда арқалықтың орта қимасы
а/2 = Ғ/4с = 4/(4 • 5) = 0,2 см-ге шөгеді.
Ғ күшіне сэйкес келетін қиманың толық орын ауыстыруы серіппесіз
орын ауыстыру мен серіппенің шөгуінің қосындысына тең:
Аст
0,0141 + 0,2 = 0,2141 см
Онда динамикалық коэффициент
* , = ! + | і + - ^ = і + / і + ,2 ' 4 = 7 19.
Д ап
0,2141
Кернеудің динамикалық мәні
о
кл
о • стст
7,19 - 8,45 = 60,8 МПа.
Сонымен, арқалықтыц бір ұшына серіппе орналастырғанда. кернеу
шамамен 3,5 есе кемиді.
5.16-мысал. Болаттан жасалған арқалықтың оң ұшына білігі
п 500 айн/мин жасайтын салмағы Ғ —20 кН қоздырғыш орналасқан.
Қоздырғыштың айналатын бөлігі
Қозди^гьпи
теңестірілмегендіктен, оның салГЮОа
мағынан баска, арқалыққа 5 = 2 кН
центрден тепкіш күш эсер етеді
/
(25.16-сурет).
Е = 2 • 105 МПа = 2 • 104 кН/см2,
ч»=1м
/ і = 8950 см4,’ IVх = 597 см3*Щ
болса:
щ
ТЩ•і
а) қоздырғыш орталыгына
сэйкес қиманың ең үлкен толық
орын ауыстыруы мен арқалык
бойындағы ең үлкен кернеуді;
б) резонансқа сэйкес қоздырІООсм
ғыштың минутына жасаитын
500см
айналым санын анықтаңыз (арқалықтың меншікті салмағы мен
25.16-сурет
кедергі күші ескерілмейді).
Ш еш уі: бірлік күштің әсерінен қоздырғыш ори
орын ауыстыруын Верещагин әдісімен анықтаймыз:
1
Ш
2
,
Ц
2
А
£
V
.
,
ч
юо2
'-± 1 + 1А± і
8=
ЕІ 2 3 1 2 3
~ 3£/ + ~ 3 •2 104 •8950 600= 1,12 ‘1 $ ’ ш
(37.16) формуласы бойынша еркін тербеліс жиілігі
9,81
--------- 5-= 6 6 ,2 У
’ /с е к .
2 0 1 ,1 2 1 0 - 2
Арқалықты тік жазықтықта көлденең тербеліске келтіретін центрден тепкіш күштің тік құраушысы 5 (1) = 5 со$в>і.
Оның жиілігі
Ш.
яь.
А
... п
лп 3,14-500
Ф= — 2 к = — = —--------- = 5 2 з 1/
60
30
30
’ /сек
(47.16) өрнегінен динамикалық коэффициент
к - ____і 1
1 - ф 2/й ) 2 1- (52,3/66 ,і у ~ ’65*
Арқалықтың оң ұшының динамикалық орын ауыстыруы
^пвх —А
~ $ 8кд = 2 -1, 1 2 - 10-2 -2,65 =0,0592 см.
Ал ең үлкен толық орын ауыстыруы.
Дпнх =Дтах, + 4™ = 0,0592 + Ғ 8 = 0,0592 + 20 •1,12 •10 ”2 = 0,2832 см.
Арқалықтың бойындағы ең үлкен кернеу оң тіректің үстіндегі
қимада пайда болады
М* _ а д
2-2,65-100 ____ кН
Г 'Ц Т '
597
= ° ’888- Ғ = 8 , 8 8 МПа.
Толық кернеу динамикалық және Ғ-тен статикалық кернеулердің
қосындысына тең:
I I I
I ■ ■
V Я
% V
▼ V V
V «V А
°Т~ °д
= 8,88+ ~ ^ 7~ = 8*88 М П а + 3 ,3 5 2 ^ |
ЬУ/
сьг
Периодты қоздырушы күштің жиілігі меншікті жиілікке тең болса,
ф - ш = 6 6 ,2 1/сек, резонанс пайда болады, онда
ЗОф 30-66,2 ____ І! •’
п —-----= -----------=632 айн/мин.
тт
3,14
Бақылау сүрақтары
1. Күштердің статикалық, дннамнкалық түрге бөліну ерекшеліктері
қандай?
2. Даламбер принципі нені білдіреді?
3. Таралған инерциялык күштің қарқындылығы қалай табылады?
4. Сырықтар жүйесі бірқалыпты айналғанда, центрден тепкіш
инерциялық күштің карқындылығы қалай анықталады?
5. Қандай қүбылыс соққы деп аталады?
6 . Соққы теориясы қандай гипотезаға негізделген?
7. Соккыдағы динамикалык коэффициент деген не?
8 . Согылатын серпімді жүйенің массасы динамикалык коэффициентте калай ескеріледі?
9. Күш кенеттен эсер еткенде, динамикалык коэффициент неге
тең?
10. Соққы әсерінен кернеу мен орын ауыстыру қалай анықталады?
11. Қандай шаралардың негізінде соққы әсері төмендейді?
12 .Соққы эсерінен пайда болган кернеу, согылатын жүйе материалына тәуелді ме?
13. Қандай тербелістер еркін деп аталады?
14. Қандай тербел істер еріксіз деп аталады?
15. Еркін, еріксіз тербелістерде жүйеге қандай күштер эсер етеді?
16. Бір еркіндік дәрежелі жүйе деген не?
17. Жүйенің еркін тербеліс теңдеуін жазыңыз.
18. Еркін тербелістің жиілігі мен периоды деген не?
19. Тербеліс амплитудасы деген не?
20. Еріксіз тербеліс теңдеуін жазыңыз.
21. Еріксіз тербелістің амплитудасы қалай анықталады?
22. Резонанс деген не, не себепті ол қауіпті?
23. Еріксіз тербелісте динамикалык коэффициент қалай табылады?
X V II. М атериалдардыц айнымалы к үшке беріктігі
§ 1.17. Циклді күштердіц әсері
Көптеген мәшине бөлшектерінің қызмет кезеңінде уақытқа тәуелді
периодты өзгертетін күштердің әсеріне душар болады. Мұндай
динамикалык күштер уақытқа тәуелді айнымалы немесе циклді деп
аталады. Циклді күштердің әсерінен құрылым элементтеріндегі тік
(жанама) кернеулер ең үлкен мэнінен атах ең кіші мэніне дейін с ,
одан о т.с.с циклді өзгерісте болады.
*** 1
Кернеудің циклді өзгеруін тік координат жүйесінде график түрінде
көрсетеді. Уақытқа тәуелді синусоида заңдылығымен өзгеретін
кернеудің жеке түрін қарастырайық (1.17-сурет).
Бір периодтағы айнымалы кернеулердің барлық мэндер жиынтығын
кернеу циклі деп атайды. Бір секундтағы циклдің ауысуы кернеу
өзгерісінің жиілігін білдіреді.
- .
{
Циклді кернеулер келесі мәндерімен сипатталады:
Ең үлкен, ең кіші кернеулер
а тах7, а тт. немесе ттах*, ттт..
Циклдің орта кернеулері
ъ ор =
Цикл амплитудасы
немесе х ор =
.
(1.16)
асимметриясы
СТтах
т1 тах
Кейде цикл сипаттамасын қолданған тиімді
к = —— немесе к = — .
(4.17)
Цикл сипаттамасы асимметрия коэффициентімен байланысты
|
о ор
\*
а:—
:_
тах + а _
гаіп
СГІЛШ
.
. сгтіп
1, _|_
(5.17)
1+ г
СТтах
„
Циклді сипаттайтын параметрлерге байланысты -отах, от.п, аор, оа
жэне г немесе Л-циклдер әртүрлі атауға не болады (2.16-сурет).
ст(т)
I
Симметриялы ! Әртүрлі
цикл
| таңбалар
Теракты
таңбалар
I
П ульсац ш ты
г=0
-1<Г<0
0<К1
1
2.17-сурет
о тал -о
о а*,о ор = О, г - 1 циклі симметриялы. оілах жэне сттіп аб­
солют шамасы бір-біріне тең болмаса, әртүрлі немесе түрақты таңбалы
асимметриялы цикл, тұрақты таңбалы циклдің және түрлі пульсация­
лы цикл -о тіп О, г = 0 немесе о там 0 . г =
Параметрлері г = к кернеулер циклі ұқсас деп аталады.
Тұрақты орта кернеуге симметриялы циклді беттестіргенде, кез
келген айнымалы кернеулі цикл алынады. Ең үлкен, ең кіші кернеулер
сттах = стор±ста немесе т ^ = х ор ± т 0 .
тіл
(6.17)
тіп
Құрылым элементтері мен машине бөлшектері циклді күштің үзақ
уақыт эсерінен статикалық жүктемеде анықталған қирату кернеуінен
кем кернеудің өзінде қалдық деформациясы көрінбейтіндей қирауы
мүмкін.
Динамикалық айнымалы күштің эсерінен материал беріктігінің
төмендеуі шаршау немесе төзімділік деп аталады.
Қирауды алғашқы зерттегенде, айнымалы кернеудің ұзақ уақыт
әсерінен материал шаршайды, оның қүрылысы өзгереді, сондықтан
статикалық беріктігі төмендейді деген болжамдар айтылған.
Үзақ уақыт циклді күш әсерінде болған үлгіні статикалық созуға
сынағанда, оның механикалық қасиеті өзгеріссіз қалғанына көз жетті.
Циклді кернеу әсеріндегі материалды микроскоппен зерттегенде, оның
құрылымында ешқандай өзгеріс болмағаны байқалды.
Айнымалы кернеу белгілі шамадан асқанда, материалда сызат пайда
болады. Сызат төңірегінде кернеу шоғырлануынан материал қирайды.
Өсетін сызаттың беті бір-біріне көп рет үйкеліп тегістеледі.
Қирау қимасы теп-тегіс жэне морт қирауға тэн біртегіс емес
екі аймақтан тұрады. Сызат шеттері колемдік кернеулі күйде
болғандықтан, циклді күш әсерінен пластикалык, морт материалдар
морт сынудың негізінде лезде қирайды.
Циклдің ең үлкен кернеуі материалға байланысты шаршау шегі не­
месе төзімділік шегі деп аталатын кернеуден аспаса, циклді күштің
әсерінен материал қирамайды.
Циклдің белгілі асиметриялық коэффициентінде шексіз көп циклге
шыдайтын кернеудің ең үлкен мэні төзімділік шегі (шаршау) деп ата­
лады. Асиметрия коэффициентінің мэні арнайы айтылмаса, онда сим­
метриялы цикл қарастырылатындыгы белгілі.
Құрылым элементтерін циклді кернеуге есептегенде, материал
беріктігін сипаттайтын негізгі шама - төзімділік шегі.
§ 2.17. Төзімділік шегін анықтау
Цикл жиілігі минутына 2000-3000 айналым жасайтын арнайы
қондырғыларда үлгіде айнымалы кернеу туғызатын тәжірибелердің
негізінде төзімділік шегін анықтау мен шаршауға қирауды зерттейді.
Ол үшін өте мұқият өңделген 6-10 бірдей үлгі дайындалады.
Тәжірибе келесі тэртіппен жүргізіледі. Бірінші үлгі қондырғыға
орналастырылған соң, ондағы кернеу о'тах = оо + а'а статикалық
созудағы уақытша кернеуден айырмашылығы өте аз болуға тиіс.
Бірнеше и, циклден соң үлгі қирайды. а -п координат жүйесінде
бірінші үлгінің қирауына сэйкес нүкте белгіленеді. Екінші үлгі орташа
кернеу біріншідегідей, бірақ о'тах-нан кем о" кернеуімен, үшіншісі °"тах ~ °ор + а 0 < а’таі Т-с-с жүктеледі. Сыналған үлгілердің қорытындылары координат жүйесінде белгіленіп, табылған нүктелерді қосқан
соң, төзімділік кисығы деп аталатын қирату кернеулерінің графигі
түрғызылады. Қисықты кернеу өсімен киылысканша созғанда,
уақытша кернеуге тең кесінді қиылады (3.17-сурет).
Көптеген
материалдардың
і
төзімділік кисығының асимтоI
тасы горизонталь өске парал­
лель түрде абсциссаға жақындай
түседі. Асимтотаның ординаттаа,
ры материалдың төзімділік шегі
болып табылады. Бірақ тәжірибе
*
асимтота
орнына
төзімділік
О П| П2 Пэ П4 П5 П6 ПIп
қисығына горизонталь жанама
жүргізіп, оның ординаттарын
3.17-сурет
төзімділік шегі деп қабылдайды.
Бірнеше миллион циклден соң, болат үшін төзімділік қисыгының
ординаты өзгермейді, сондықтан төзімділік шекті анықтағанда
циклдің негізгі саны қабылданады п . Берілген материалға төзімділік
кисығы түргызылып ог ординаты анықталған болса, опах - ог келесі
үлгі негізгі цикл санында қирамаса, онда ог ординаты төзімділік шегі
болып табылады.
Болат үшін негізгі цикл пи = Ю7.
Түрлі түсті металлдар мен коспаларда төзімділік шегі байқалмайды,
себебі төзімділік кисыгының горизонталь асимтотасы болмайды.
Циклдің айтарлықтай санында түрлі түсті металдар кернеудін шамалы мәнінде де кирауы мүмкін. Бұл жагдайда шартты төзімділік шегі
анықталады, ол п = (20+50)Ю7 циклде материал қирамай қабылдайтын
ец үлкен кернеуге тенКонструкция бөлшектерін жобалаганда, матсриалдың беріктігін сипаттайтын механикалық сипаттама ретінде шектелген төзімділік шек
тама - төзімділік шектен жоғары
шектелген циклде шаршауға кирамай шыдайтын ең үлкен кернеу.
келген
деформацияға
Кез
жүргізілген тәжірибе негізінде
асимметриялық циклдің төзімқисығы
ділік
симметриялык
циклдікінен жоғары орналасады
(4.17-сурет).
Кез
келген
материал4.17-сурет
дың
симметриялық
циклдегі
шаршау беріктігі төмен, сондықтан симметриялық цикл қауіпті
болғандықтан, оны қарастырудың өзіндік орны бар. Симметриялық
циклде (г = 1) төзімділік шегі о немесе т, деп белгіленеді.
Төзімділік шек келесі факторларға: деформацияның түріне, циклдің
асимметриялық коэффициентіне, үлгінің түрі мен абсолюттік өлшемдеріне, жүктің тербеліс жиілігіне, сынау температурасына тәуелді.
Деформацияның түрі. Болаттан жасалған үлгіні симметриялык
циклде көптеген сынаудың негізінде иілудегі төзімділік шек о -іі___
, мен
басқа деформациялардың төзімділік шектерінің арасында келесі
байланыстар табылған;
соз
(7.17)
а -1
(0,7 -н0,9 )ст
(0,50ч-0,58)с
(8.17)
а
—созылғанда (сығылғанда), т ® - бұралғанда төзімділік шектері.
(7.17)-ден сызықтық кернеулі күйге қарағанда, басқа кернеулі
күйлерде төзімділік шек жоғары.
Симметриялық циклде болат үшін уақытша кернеу белгілі болса,
келесі эмпирикалық тэуелділіктер қолданылады:
ст
О
0,4о
,
’ У’
0,7а -і 0 ’,2 8 аУ,’
0,22а.
’
У
(9.17)
(10.17)
(11.17)
Асимметриялық цикл. Жоғарыда симметриялык циклде төзімділік шек төмен екендігі аитылған, о ор өскен саиын кернеу циклі
асимметриялық циклге ауысып, материалдың төзімділік шегі
жоғарылайды. Төзімділік шек пен (аг = о тах) о ор арасындағы байланыс
5.17-суретте АМВ қисығымен көрсетілген.
оор өскенде, цикл амплитудасы кемиді, төзімділік шегі
0 болғанда төзімөседі. о
ділік шек ең үлкен мүмкіндік
ог = а •р = с >■ мәніне ие болады (В нүктесі) кисыктың
төменгі тармағы ОСВ ең аз о тіп
кернеулерінің қисығы орташа
кернеулердің теріс мәндерінде
циклдің ең үлкен кернеулері
атт. -ге тең, сондықтан төменгі
теріс тармақтың СО аралығы
төзімділік шектерін береді:
5.17-сурет
тіп
Сонымен, аор, а о-ға сэйкес кез келген нүкте АМВСЛ ішінде орналасса, материалда шаршау сызаты болмайды. Егер ОВ түзуін оор
өсімен сағат тілімен бағыттас беттестіргенде, онда төзімділік шек
ординаттары АМВ ао-ға тең, яғни жаңа төзімділік диаграммасы
алынады (аор > 0) (6.17-сурет). Бұл диаграммадан ең үлкен кернеу
о. = оор + ао орташа кернеу (абсцисса) мен амплитудалық кернеу (орди­
нат) қосындыларымен анықталады.
Үлгінің беті мұқият өңделмесе, беттік кемшіліктер төзімділік шегін
төмендетеді. Бетті түйіршіктермен үрлеп, төзімділікті айтарлықтай
көтеруге болады. Шаршау беріктігін осы жолмен ұлгайту мәшине
құрылысында кеңінен колданылады.
Бөлшектің күйі мен бетінің сапасының төзімділік шекке эсері беткоэффиц
(о«)
Беттік сапа коэффициенті а 6 беті
мұкият өңделген
■шегінің
■ ■ ■ беті
В ! өңделмеген үлгінщ
төзімділік шегіне қатынасымен сипатталады. Мысалы, жылтыраған
өңделген
бетке аб
1,2 , жұқа қайралган бетаб = №
өнделген
ке а. = 1,1
кайралған бетке ай = 1,19 + 1,66 т.с.с.
Пішіннің әсері кернеудін шоғырлануын тугыэатын себептер матери-
о»
алдың шаршауға беріктігін айтарлықтай төмендетеді. Осы себептер
кернеудің тиімді шоғырлану коэффициентін енгізумен ескеріледі. Бұл
коэффициент жылтыр бетті үлгінің симметриялык циклдегі төзімділік
шектегі, үлгіде кернеуді шоғырландыру себебі бар кездегі төзімділік
шегіне қатынасымен анықталады
<Г-1
(12.17)
СТ- 1«
Бүл коэффициентті енгізудің бірден-бір себебі — статикалық
төзімділік жергілікті шоғырланудың теориялық коэффициенті кернеуді
шоғырландыру себебінің пішінін ғана ескереді, ал циклді жүктемеде
кернеуді шоғырландыру коэффициенті үлгінің пішінін ғана емес, материалын да ескереді.
Болат үшін уақытша кернеуі сг = 400 + 1300 мпа болса, а ш келесі
түрде анықталады:
/ |Ц
Пышақпен өңделген бөлшек ұшы
а
<т„ -4 0 0
=1,2 + 0 ,2 —--------1100
(13.17)
Пішін өзгергенде бетте кесік (надрез) болғанда
а
а -4 0 0
=1,5 + 1,5— --------1100
,лллп\
(14.17)
Кернеудің шоғырлануын шойын сезбейді, себебі ішкі шоғырландырушылары өте көп, сондықтан кернеуді шоғырландырушы басқа
факторлардың шаршау беріктігіне айтарлықтай әсері жоқ.
Абсолютті өлшемдерінің әсері. Бір материалдан жасалған үлкен
өлшемді үлгінің кіші өлшемді үлгіге қарағанда төзімділік шегі төмен,
оны былай түсіндіруге болады, үлкен көлемде кіші көлемге қарағанда
ішкі кернеу шоғырландырушылары көп.
Бөлшек қималарының абсолюттік өлшемдерінің шаршау беріктігіне
коэфф
(а_, У
(15Л7)
Мұндағы (о ,) - көлденең қимасының өлшемі сі бөлшек үшы
симметриялық циклдегі төзімділік шегі.
(а _,)</0 - көлденең қимасы сі0 лабораториялық үлгінің төзімділік
шегі. Масштабты коэффициенттің ам мэні материал мен бөлшектің
өлшемдеріне тәуелді. Қимасы дөңгелек болат сырықтар үшін а
мэні 7.17-суреттегі графиктен анықталады. Кернеу шоғырлануы
жоқ көміртекті болат 1-қисық, 2 -қисық шоғырландырушысы әлсіз
көміртекті болат, 3-қисық шоғырланушысы айтарлықтай легірленген
болат үшін тұрғызылған.
Жүктіц тербеліс жиілігінің әсері. Жүктеменің ауқымы кең
аралықтағы жиілігі шаршау беріктігіне әсері шамалы, бірақ үлкен дыбыс жиілігінде және өте төмен жиіліктегі жүктеме тербелісі шаршау
беріктігін айтарлықтай өзгертеді.
Температура әсері. Сынақ температурасының материалдың шар­
шау беріктігіне айтарлықтай әсері бар. Төменгі температурада үлгінің
төзімділік шегі жоғарылаиды, ал үшкір кесік үлгінің төзімділік шегін
төмендетеді.
§ 3.17. Айнымалы кернеуде беріктікке есептеу
Беріктікке эсер етуші циклді факторларды ескергенде, өлшемдері
пішіні белгілі, беті мұқият өңделген бөлшектер үшін симметриялы
циклде төзімділік шек
І ,
с -і8 --------- •
а,іит а м а ,о
а і
аа
(16.17)
Бөлшекте жанама кернеудің болуы
а
Ш
ИН1Н
I т_1
(17.17)
Мұндағы ст_(, т , - өлшемдері шамалы, беттері мүқият өңделген
үлгілердің төзімділік шектері'
аа = а ш ■ ам а,,
а
=
а
•
а
а
,
—
тік,
жанама
кернеулер
бойынша
оу
х
шт ■ мх от
7
г
г
төзімдшік шепн төмендету коэффициенттері.
Сызықтық немесе оған жақын кернеулі күйде симметриялық цикл
үшін шаршау қирауынан сақтандыратын беріктік шарт
°тад
1
- ° а
-
----- ---- ҢвМеСе ^тах о г
-ч- г
Т ~ ■
а
(18.17)
Таза ығысуда (бұралу)
Ттм = х а ^ —Т" немесе хтах< - р .
ка
Мүндағы кг - қажетті беріктік қор коэффициента
(19.17)
Тәжірибелер негізінде берілген материал үшін 5.17,6.17-суреттерден
төзімділік диаграммалары тұрғызылып, бөлшектің төзімділік шегін
төмендететін факторлардың тек амплитудаға әсері ескерілсе, симметриялы емес циклде бөлшектің төзімділік шегі:
(20.17)
'
° * = С о Р+ — ,
<*о
* * =*<*,+— •
(21.17)
ат
Сызықтық кернеулі күй үшін симметриялық емес циклде беріктік
шарт:
тах £ - ү +
Тт а х +
10
=ү -
Щ
15 20 25 30 35 40 45 50 60
немесе
(22.17)
немесе т тах< Ь - .
(23.17)
80
100
150
200
4лм
7.17-сурет
Конструктордың қолында көп жағдайда төзімділік шек диаграм­
масы бола бермейді, себебі оны алу үшін қымбат, ұзақ тәжірибелер
қажет, сондықтан асимметриялық циклде тұрғызылған жуықталған
диаграммаларды қолданады. Ол үшін 6.17-суреттегі диаграмманың
координат бас нүктесінен жүргізілген кез келген сәуленің бойында
жатқан нүктелер ұқсас циклге жауап беретіндігін дәлелдейік.
6.17-суреттегі шеткі циклге жауап беретін М нүктесі үшін
=СУт„ =О 0.+ О а,
^тіп ~®ор ®о’
Асимметриялық коэффициент
г _ СТтш = ° о р ~ С °
СТта*
а ор+ а о
\ Г нүктесіне сэйкес жұмысшы цикл үшін
г' =
-
о
° °
р
°ор+ а а
Үшбұрыштардың ұқсастықтарынан (6.17-сурет)
® ор
® ор
_ _
—•—= ---I*
°»
немесе а ор ~ а оР
£
|
<за
Сонымен,
,
"ег.
а
*
№ ___ - М
^ + о!
^
+І
іі
° > +0
Г
а
яғни айтылған циклдер ұқсас
9
„
,
<*а
-•
Ш І ІЯ к
байланыстардан беріктік қор коэффициенті
_ст, _ д оР+стд _<*„
г
НЕ
°*
(24.17)
°»
Жанама кернеулер үшін
к
\
Г
ШС1М ЦПіиіДИА
Шеткі
т'ігах
_
х °р
+ Ъ_ - 1 я = ^ Е .
т'он?
4
т'
^
ор
---- ----Г ^
і'
(25.7)
т'ор
"
кернеуіне катынасы ¥ ксас екі циклдін амплитудаларынын немесе
орташа кернеулерінің қатынасына тең.
Орташа кернеуі үлкен циклдер үшін төзімділік шегі статикалық
созылудағы аққыштық оа шегінен асады. Беріктікке есептеу үшін
°«» % координат жүйесінде шеткі кернеулердің нақты диаграммасы
тұрғызылады. Төзімділік шек қисығына аққыштық шегіне тең О С , ОО
кесінділері салынады. С , £> нүктелерін түзумен қосып, асимметриялық
цикл үшін шеткі кернеулердің нақты диаграммасын аламыз:
(°та* Ш°ар |
| Я (8.17-Сурет).
О
8.17-сурет
9.17-сурет
Түрғызылған диаграмманы АО үзік сызығымен түзетсек, қауіпсіз
цикл аймағы кемітіледі, бірақ бұл диаграммалар соңғы кезде
қолданылмайды.
С.В.Серенсен мен Р.С.Кинасошвили ұсынған диаграмма айтарлықтай дэл есептеуге мүмкіндік береді. Оны тұрғызу үшін тэжірибеден
симметриялық циклде а
пульсирлі циклде а төзімділік жэне
аққыштық шектері белгілі болуға тиіс.
Ординат өсінде о_, (А нүктесі), абсциссада оа (£> нүктесі) салына­
ды. Пульсирлі циклде а тах — о.. а
ор СТо/2 > О
О Шеткі
циклге сэйкес Е нүктесінің
координаты о ор = о а
(9.17-сурет).
А, Е нүктелері арқылы
аққыштық шек сызығымен
(ОС') қиылысатындай түзу
жүргізіп, АСО қисығы алынады, ол - (о 0 <
төзімділік
шегі аққыштық шегінен кіші
пульсирлі цикл үшін шеткі
10.17-сурет
кернеулердіц нұсқа диаграм-
масы. Егер а 0 > аа болса, диаграмма дэл осылай тұрғызылады, бірақ Е
нүктесі А С Б диаграммасынан тыс орналасады (10.17-сурет).
Жуықталған шеткі кернеулер диаграммаларынан (9.17, 10.17-сурет)
циклдің шеткі амплитудасы мен орташа кернеудің арасындагы байланыстарды анықтауға болады. 10.17 диаграммасындағы АМ М , АЕЕ'
үшбұрыштардың ұқсастығынан
АМ ' ММ'
0 -1 -0 .
о ор
------ = ------- немесе —я----- —= ——
АЕ’
ЕЕ '
„ _^о
Ъ.
2
одан
2 о_,
сТр
о а = а _ ,---------------а
о0
немесе
2
,
о а = а _ ,- ф 0 ст0/>5
(26.17)
сонымен,
о_, =ста +Ф„а
мұндағы
немесе т_, = т а + Фтт ор
X/\
Ф„ = —--------- ; фт = — =------- .
Оо
то
I;
2 СТ | " " О а
2Т
і
(27.17)
^
(28.17)
(27.17) қатынасының негізінде фо симметриялык циклге келтірілген
асимметриялық циклдің коэффициент! деп аталады.
Төзімділік шекті төмендететін амплитудасы эсер ететін факторлар
ескеріліп, беріктік қор коэффициенті төмендегідей жазылады:
К = ------;——------ I
Ф„сг
+
а
ст
то ор
а а
немесе к = ----- — ------ .
(29.17)
т ©
т'
+
а
т
'
Ут1 ор ~
иа
Мұндағы о'а, о'ор - бөлшектің жұмысшы кериеуі.
Шеткі кернеу төзімділік шегі емес, аққыштық шегі болатын симмет­
риялык циклден өте алшақ циклде
К = —-—-—- немесе к = Х°— .
о оя + о„
т^+т.
(30.17)
Беріктік қор коэффициентінің ең кіші мәні (29.17), (30.17) формулалаформулаларда
абсолюттік мәндерін колданады.
Жазық кернеулі күйде ең үлкен жанама кернеу теориясы мен
серпімді пішінді өзгерту потенциалдық энергия теориясы бойынша
беріктік қор коэффициенті
/
Ф0 о 0>>+ а _ а
Ф т^+ал
1
(31.17)
к2 ’
V
і
/
_1
немесе
к
к
Одан
К К
(32.17)
Мұндағы кд, кх (29.17)-ден анықталады.
(32.17)
формуласы тік кернеу мен жанама кернеу бірдей өзгергенде,
кернеулердің айнымалы екендігі ескерілмеген, төмендетілген мүмкіндік кернеу бойынша, әуелі өлшемдері жуықтап анықталады. Содан соң
жоғарыдагы формулаларда кернеулердің айнымалы екендігі ескеріліп,
беріктік қор коэффициентінің шын мэні табылады. Мұндай тексеру
есептеуінде төмендегі беріктік шарт орындалуға тиіс
Мүндағы Щ - циклді жүктемеде қажетті немесе берілген беріктік
қор коэффициенті.
1.17-мысал. Цилнндрдегі жарылыс эсерінен диаметрі с! = 60 мм
шатун өсі бойымен сығушы Ғтіт = -520 кН, сору басталғанда, созушы
Ғ тах = *20 кН күштері эсер етеді. Симметриялық циклде материалдың
шаршау шегі о ™ = 290 МПа, аққыштық шегі о = 500 МПа
°о
> ц
Қозғалткыштың сырық шатунындагы беріктік қорын анықтаңыз.
Ш ешуі: Ең үлкен, ең кіші жұмысшы кернеулер
_
^ггчх
а
^шіп=
А
120-4
3,14-62
3,14-6
.
кН
см 2
. .п
’ МПа,
= - 1 8 ,4 - ^ - = ~184М П а.
см 1
42,5 + (-184)
_|
, 4 2 ,5 -(-1 8 4 )
а ор ------- 1------- = -70,8 МПа, ст' = -------- -------- = 113,2 МПа
2
2
масштабты коэффициента ескереміз.
Берілген материал үшін сі = 60 мм болғанда, масштабты коэффи­
циент ам = 1,33 (29.17) формуласына орта кернеудің абсолюттік мэнін
қойсақ:
соз
от-1
290
а мо 'а +фт а а 'ор
1,33 113,2+ 0,16-70,8
к
1,8 .
Аққыштық шек бойынша статикалық қор коэффициенті:
к
ста
500
ст'ор +ст'а
113,2 + 70,8
2,7.
Сонымен, пластикалық деформация пайда болу қаупіне Караганда,
шаршаудан кирау қаупі жоғары.
2.17-мысал. Сыртқы диаметрі <і - 8 см, ішкі диаметрі Щ 4 см
ортасы қуыс біліктің майға арналған диаметрі шамалы, көлденең
тесігі бар. Білікке айнымалы бұрау және ию моменттері эсер етеді.
Мбтах 2,4 кНм, Мбтіп
0,6 кНм, М итах 2,05 кНм, Мипип -1,05
Білік материалынын аққыштық, төзімділік шектері: стц = 430 МПа,
то = 220 МПа, ст , = 270 МПа, т , = 150 МПа. Тесіктің маңында кернеуді
шоғырландырушы тиімді коэффициенті а =г"3, ф
0,17, срт = 0. Щ = 2
болса, біліктің беріктігін тексеріңіз.
Ш ешуі: Білік кимасының қарсыласу моменті:
IV
п<1
~32
1
сі0
З,14-83
132
4
8
= 46,1 см3.
У
Циклді кернеулері:
ст__=
шах
тт
205
кН
= 4 ,4 5—г = 44,5 МПа;
см
46Л
кН
105
= -22,8МПа;
= -2,28
см
46,1
240
кН
Я
I 1 И Я | -0,65 щ . = - 6 ,5 МПа;
92,2
см
4 4 ,5 -2 2 ,8
°ср = — ■
= 10,8 МПа;
44,5 +22,8
'
-------- ------- -- 33,6 МПа;
^ = 2 6 - М = 9, 8 м п а, т> =26_+ 6’5 = іб ,з м п а
Тік кернеу бойынша беріктік қор коэффициент!
= ------- Ц ------- = ---------- Ш ______ = 2 6
+ а ш о' 0,17-10,8 + 3-33 ,6
’
Статикалық беріктік қор коэффициент!
Ь
С
Т
а
430
к = ------а— = -------------- = 9 7
а^+а;
10,8 + 33,6
’ *
Жанама кернеу бойынша беріктік қор коэффициенті
ькх = ----------!------т -і
150
н
Ш
Ш
= --------- = 3 1
Фт<„ + «шт< 3-16,3
Статикалық беріктік қор коэффициент!
К = — ~— = — — — = 84
х'ор+х'а 16,3 + 9,8
Жалпы беріктік қор коэффициент! (34.16) формуладан
д,- КК
V*« + \ 2
2 ,6
-зд
„ г„
л/2,62 + 3,12
3.17-мысал. Диаметрлері 4 см 20-шы болаттан жасалған үш
сырыққа ілінген қатты арқалық бойымен жүгімен бірге салмағы Ғ арба
ары-бері жүреді (11.17-сурет). Сырықтардың механикалық сипаттамалары —370 МПа, с а= 220 МПа, о *°3= 150 МПа, төзімділік шегін жал­
пы төмендету коэффициенті кт= 2,5 қажетті беріктік қор коэффициенті
[п] = 1,5. Ғ күшінің мүмкіндік мәнін анықтаңыз (11.16,а-сурет).
Шеилуі: сырық бойындағы күштер арбаның орнына тәуелді,
сырықтарды қима арқылы қиып, келесі теңдеулерді құрамыз:
N1
N.
Д/і
N1
д/>
Л/.
и
11.17-сурет
£ у = о, Л / , + # 2 +ІУ3 - Ғ = 0 ,
У м я = 0 , - Л/2 •а - N 3 •2 а + Ғ •дс = 0 .
Жүйенің деформациясынан жеткіліксіз үшінші теңдеу жазылады
(11.16,в-сурет)
д/ І
+
2
2
немесе 2Д /2 = Д / Щ0!$.
Гук заңынан
= ||§ +
2
немесе 2 Ы2 в Щ щ ^ 3-
Үш теңдеуді бірге шешіп:
5 Ғ Ғх Щ Ғ (
І
/V = — N. = -----------, Л/3 = — *
3’ '
6
2а
2а{
ал
_
аламыз.
3
сырықтағы күштер сызықтық заңдылықпен өзгереді х
0,
I = 5руб х = 2а\ N
= - Ғ / 6 , осы сияқты үшінші сырықта х = 2а;
Ш
л
| | Іт/И
1,3
Я ,,, 1 5Ғ/6, х = 0;
- -Ғ/6.
Сонымен, 1,3 сырыктар бірдей жагдайда, сондыктан екеуіңін біреуін
есептеу жеткілікті
^ тах-Рп,іп
к = Оа _
Оор
2
^ тв
_ ^шах ~ -^тіп. _ 6 ------1 І
^тах
2
^тіп
—Ғ --- ~Ғ
6
6
=^
г </‘3(* +1)
150(1,5 + 1)
кН
Го|1= тттг, .— "Ц = — 7— -------- — ч= 65,5 МПа= 6,55— |
1 I
[*](*Г *+Ф0) 1,5(2,5-1,5 + 0,07)
см2
<рв = 0,07 иілу деформациясындағы материалға байланыста табылады. Аққыштық шек бойынша мүмкіндік кернеу
г
аа 220
а = тг-т: ------ =147 МПа,
1 -1 Ы
1,5
[а,]-ден үлкен 1 немесе 3 сырықтың беріктік шарты
а
ив
=
N
1пцх
А
—
Ғ
А
— < Га.1
Ш2
ііг
4
одан мүмкіндік күшті анықтасақ,
_■ 6 3,14-42
[Ғ ] = - —— [ а , ] = -------- -— -6,55 = 98,7 кн
5 4
5
4
ГГ1
6 тиі2 т
Бақылау сүрақтары
1. Кернеу циклі деген не?
2. Орташа, ең үлкен, ең кіші кернеулер, амплитуда, асимметриялық
коэффициент деген не?
3. Симметриялык, асимметриялық цикл деген не?
4. Шаршау деген не?
5. Шаршау қисыгы қалай тұргызылады, ол нені білдіреді?
6 . Төзімділік шегі деген не?
7. Шеткі амплитуда диаграммасы арқылы төзімділік шегі қалай
анықталады?
8 . Шеткі амплитуда диаграммасында қауіпсіз цикл аймағы немен
шектелген?
9. Бөлшектіц өлшемдері төзімділік шегіне қалай эсер етеді?
10. Масштабты коэффициент деген не, оның мэні неге тәуелді?
11. Кернеуді тиімді шоғырландырушы коэффициент деген не?
1 2 .Қажетті беріктік қор коэффициенті қандай факторларға тәуелді?
ее
о
о
ее
2
и
и
X
3
)5
0
ю
см
г 104
н о
X «О
о> 00
5
св н
Н о
Си 2
О 0)
О
И
ев
ф
нО
и.
3
е*
Си
X
а>
с? • 3
и
1=5 ее
ев
X
е?
О
о
«■ А
Ю се РЭ
•
^
р
н
І
X X н я
н
о
3
3
3
X
>ч
3
X X
н
К
н
3
3 3
а . о. о ев
Си
ев ев
Си
>Н
м
«=: с:
о Ю
Эч к
св
ев
си* Йч 5
3
СХ Си X X
Си
5
3 3 си
Л\ а>
се
40 40 м
X
св ев №
I*
5 X
а,
1 1 1 I
3
ю
-С 43 *-ч
ее
ь*
X
5
С
•а
\£
н
о.
3
о
X
2
Я
3
а,
ев
4
ев
и.
О*
3
ю
<в
\£
X
ев
ГС
3
Ь6
3
с;
Си
3
>ч
ев
I
^
ГО о
Г-
^
г
М гп
О
ТГ 40
гл
1
—< гч
г*- гч Оч 00 г-
го т}*
гч
Г
Гч
Г»
Г-
го тҒ 40
0
0
т*
Гч
00 оч оч
го го го го
40 чо 1> оо
Гч
гч
^ •ч гч' о ____
О г> го гч *—I 1Г) О О
Щ ж
м
\ о О ГО 04 ГО ^ о
—н чо
— — СЧ гч гч ГО ^ 40
гч
СЧ
г
О оч оо
о оч
— о
о
0
IV
І^ о^
о
00
о О
п
«=£
и
х
н
а>
Ю
§Д 5 2
?
г .
____ • *
гч гч
Гч
ГЧ
*-н 0 4
о
гч
го
40
м
00 чо 40 ^
•*»
Гч
Г
к
Оч 04 0 \
гч
04
04
О
О
С
4
го го го го
^
чо
Гч
С
гч гч
ГЧ
^
^
Г4
е
—«
—< ^
10
04
г
г- О
IV
0
£
Гч
го
о
____ Г
Е 8
Оч 00
Гч
40
гч
40
Г
ГЧ ГЧ гч ГЧ С'! ГЧ СЧ ГЧ
04 чо Оч о
Г
Г-
0
« 0 ГЧ
го ГЧ ГЧ ^
^
Гч
Гч
'& » “ Г
го 40 00 00
^
0
Оч —< гч о
О ГЧ «Л
гч
40 ОО ‘О
Г - Оч
г* 2 2
—
^
00 ю
гч
О
*л іл
0\
К
)5
О
о
#
•л ^
§
• внф
Гч
4
^
>л О
•Н-г
эл
^
0
о
л
г
X
3
г«
40 40 чо 00 04
О
к
и. ев
3 О.
с? ев
ев и
Н
Си х
О
^
го
оо
<м
ГЧ С"" о
00 00 О Т*- 04 <ч
га го го ^
40 40 40 г - г - 00 Оч 04 04 о
гч
се
э
со
М
гч
Г>
40
гч гч гч го
Г
ГЧ
^
Гч
Гч
чо О
40
ю г^ ^
гч
Гч
Г*
Оч оо чо
40 чо
N
го го гч 40 'З* ГО
•Л ^
г-
V© «Л «Л »Л
Оч Оч Оч
£
— —. О
«л>
~
ГЧ
гч <4
V
Гч
______.
0 4 !“*
х
-0
X
се
2
5
—•г* о
г
го 40
Ю
40 40 2
гч
ГО
ГЧ
гч <ч гч гч <ч
гч
гч
Г
Оч — * — . О 04 чо о гч
00 го
04
—
<
го
00
г- 1 ГЧ гч ГЧ го го т}* Т
Г
Гч
А
#
Л
гч
гч
Гч
Г
«
40 ГО 00 О 4 0 4 0 г ч
о 00 —
Оч 00 00 ГО Т*- г* : —^« гчг г ч оо
чо о
3 ™
X 2
а» о
е*
>*
ГЧ
Гч
г*
ГЧ го ^*
^ 40
гч
•
0
4
1
40
40 40 оо оч
40 40
40
_ ^
-Г 40 4 0 Г - 00
0
ее
а,
■^3
ГО
I<и 1?
вш
-с гч о«о
40
го
40
ГО
40
40
40
чо
о
г-
ф
X
Си
е(
о •в
Си е; 2
с 3 Ф
X
-Ө• рні
ф
9 0ЯЯШ
40
г-
жалғасы
ГО
о00 00
04 04
40 сч
00 40
Г- ГО «П чо
40
00 04
ГО
#«Л
00
"'З' _ 04
__*|] ГЧ
л^ ГН 04 40** ГОі« 04 *П •Г)*» го
ІІВ
____ #ч _^ гч
_*
^ О Г ^ І О О Г ^ ^ і ^ О г О т—< го *г> г**
04
см гч
0
0
Г \
го
00
04 40 40 О 40 о
гм I о ^ О ^ —'Л ^ Л »-*ЛI г-н^ —• ГЧг» ГЧг тг т* ІО Ш 40
04 04 о 04 о го ^
ГЧ (Ч М (Ч N м гч гч сч ГЧ СЧ СЧ СЧI СЧ (Ч (Ч м
М го ГЧ ГО ГО ГО
,С Ч 40О »/~ > 00
Г '-0 4 Г 0 Г -
ГО Г- *—< *Г>I 00 т-н *г>
Ш
1
^
40 04 ГО ^
04 ГО 00 ^
40 00 04 ^
Гч
ГЧ
#»
'
»
#4
^
л
Гч
Гч
ГЧ
Г»
г^ м
40
гч
ф
гч
г
С \|
ГЧГЧ
«ч
гч
0 0 4 0 0 4 0 Г^ГЧ04^н04
^ 00 ГО 00 О
О ^ 40
•4
ГЧ
ГЧ
І 4 І
0 %
Гч
#4
Гч
ГЧ 1/“>
ГЧ —« ГЧ го
Ф
Г-
00
^
*
Г- 00
04 00 О 04 ОО 4 0 100 00 Г4 ^ *н 00
04 00 Г- 40
о о « #4П ^#4 т Г#4 ^ ГЧI О ГОч О ГО
Ч О ГО
Ч О ГО
Ч О ГО
Ч Г^
л Г 4*
с* ГЧ ГЧ ОО 00
ГЧ М ГЧ ГО ГО г о ГО г о г о г о г о г о г о г о г о г о г о г о
04 Г - 40
ОО ОО 0 0
г ч
04
40
40
•4#4
#4 . ДГ
г- ГЧ го ^ ^
40
Г
т}- — 1Л го п м м 00 ГО 40 сч
-< ГО Ю го О Г4 ^ О Ю —
<
00
м го ^
ІЛ го го ‘Л 1Г>
°41 40 04 СЧ ^1" Г" I »—< ГО I— о
—« *■* ГЧ сч гч I ГЧ ГЧ ГЧ ГО Г О Г О ^ ^ І І П І О Ю ^ Х
г-< О
оо 0 4 0 4
Гч
04 00 00
04 00 Г4
^ 00 00 V© »л ^ ^ 04 00 04 00
»г> ш *Г) *л) Г- Г- Г- ГЧ 04 04 04 04 04 04 04
#* #
СЧ ГЧ сч сч
^ ГО ^ оо »л 00 «ло го
л
Г»
г*
° I^
I
#»Г Ч |
сч СЧ 0 4 Г "
гч ГО О *—• го
04
. 04 00 00 г - ю
л
Г»
Г^ ОО 04
40г* ^
го о
о
л
о
х а ^
ф
гч
«I
чо О О 00 40 ГО Г" ГО
■ 1Г> 40 04 «Г) г - о
ГО «л 40 00104 О го ОО ГО Һ -< г - —• 40 ГЧ
^ ГЧ ГЧ ГЧ го ГО ^ ГЧ го
«о
-н О ^ О О Г ^ ІГ '^ ^ ^ '
О 04 Г^ 40
ТІ- ГО ГО оо
чоI1 ГО
ЧГЧ ГЧГч| ^ ГЧ ^1“Гч ^гч гог
ГЧ го
ГЧ М
ГЧ Г
00г^40»л 0 4 0 0 г ^ * п г 0 © 0 0
Г - Г - Г ^ Г - 0 0 0 0 0 0 0 4
1/^ 40 г о оо ^
О го
«/■> 04* 40 ГО 04 40 ГЧ
1Л го
ГО
1Г} */~> 40 Г) »л \о г -
—* ГО 40 00 N
04 04 Г4* ^
40 оо ^ г ГЧ го т^о г о 40 г - 04 04 ГЧ
гч тГ о
ГЧ го
- - - гч п гч
00 04
^
л
^
I
гч
гч
Гч
ГЧ
#4
гч
Г
ГЧ
г*
н
г
ГЧ ГЧ СЧ ГЧ гч Iгч гч гч гч ГЧ ГЧ М М го ГО ГО ГЧ го ГО гч г о г о г о г о
ГЧ
гч
^
Ф
_
ГЧ
Ф
1
00
* I <*1 ^
о
ОО »-н
гм г^
г
г*
»Л 001ГО ОО 00 го 40 го 04 4 0 1 оо ОО 40 СЧ ОО ГО г - гч гч г - о
* ГЧІ Ч
<*1 с Г гч
00 04 *—< 1—«
ГО11Г> 40 Г- 00 о м Ю* 40
1Г>
л
00
гч
О
Гч
гч
П
г
ГЧ
ГЧ
ГЧ
«"Ч
гч
г
• ч
г
ГЧ го »П| ГЧ г о »0 04 ГЧ Ю 04 */~> г -
гч гч гч
4 0 Г- 0 0 0 4 | 40
‘0 ' Г ^ 0 ^0 2^ 2 2^ І 2
о
о
04
о
о
00
04
о
оо
ГЧ
гч
г
04 ГЧ
*-■* гч
г - оо 00 04
о
»Л)
гч
гч
жалгасы
жалгасы
т*
сп
#ч
00
•>
г*** со
сч
гч 04 о
»Г) 40
ГО
1Г) 0 4
00 чо
40 40
»о
г^
г* -
о
04
00
40
го го
Гч
04
с
40
40
40
сч
00
сч го
00 0 4
ОО
о
о
О
00
»п
сч
г
о1 0
гч
Гч
40
ГО
СЧ
о
40
гч
^
С' 04
1
т
^
<ч
—
г»
оч
о
го Ч О
го
г^
00
40
Г "
00
г-
^ I/"}
^
00
^
го
04
ГО
С - Г "
# \
г_
т
04 О
*
- н ГО г-нЛ ГЧ#ч .ГО
т
Г -
40
о
го
1П
40
го
04
Т—<I
0 4
^
^
гч
04
г -
ЧО
0\
___ г ч
.
04
ОО
^
^
Гч
о
00
00
с
04
00
ГО
'І ’ ^
40
40
»0
40
о>
04
Оч
40
Сч
О
»0
04 ^ ^
Гч
и ->
Л
Г*" 1П
_А
04
ОО
сч сч го го
г^ *
Гч
п
ГО
ж Г>
00 00
•ч
*
40
04
Г\ 3 сч
ОО >Л
го ^
40 I00 00
ТІ-
40
04
О
00
40
^
г*~
«о
00
04
»—/">< ГОО Т
Г
04
с>
ГО
7" #ч
с^
40
о
*
со ^ о
00 04 о
40
40
40
«Г>
го0
сч
_____ # ч
г
’Ч "
40
04
гч
гч
^
40
Гч
СЧ
40
# \
40
04
*/">
г^**
^
40
О
^
Г'
ГЧ
о
«Л >П
Ю
Т—.
х
40
ОО
40
00
г -
г- о 4 0 0 4 Г О о
с і
сг^ го
00
04 О
Т |-
40
40
00
о
г
о
гч
гч
гч
гч
40
гч
о* /“)
<ч
гч
г
Л
^«ч
г
О
М
>
Л
О
О
о
гч
гч
гч
гч
ГО
г-
2,81
3,46
3,17
3,91
4,63
16,03
4,39
4,79
5,69
7,43
ИЭ ,0Х
чо
1,82
1,86
2,03
2,08
2,12
2,20
2,28
2,39
2,44
2,52
мэ ‘°х
•
*
1
*
О
О
«о 00#ч 00сч
О О
св
а
л
и:
X
ОО
н
о
о
3
X
3си
е4в
ев
ЩЦ
3
ю
ев
»*э ‘‘7
и.
си
3Н
X
Л
е
в
к
*
3
о.
X
<о
3
ю
Л
/*
йннічшіясІАд
3
3
«
=
:
=
(
• *-4 х
е
в
С
и
и а> X Я
2ев*
ЭІНӘ
ЙТНІЭӨ
X
3
•
•
•
3
сев? си
с
в
из 3 X >ь
3
Н
Л
"
1
*
/Ш
Ш
II
н
X
»
в
“ X X о си и
Р
М
О
4
■
7
еЬв* Ж
>
>
0
3
и
•X
рн4
о
в
X
Си и. ч:
к )Х
п
си
о ев 3 а>
3
си
е
в
Ю
е*
с
?
си
3
с
?
^Ы
Й
й
вІ^
5
*
,шш п
еXв ю ев ос О
си
4)
С
♦го
I
еЫв и*
3
X
X
си X х
X
>
%
X
Н
аа>
е
в
си
си
V
§
ю
а
>
и
Ю
1
с>»* — ев х <
X
,6
о
« «■ X X
П О _ •7
I I I I I
03 -С
^ —К
I
ГО
ч
^ м #ч|
6,25
7,91
8,51
10,8
13,1
17,9
15,2
20,8
25.2
34.2
н
си
3о
го
23.2
29.2
33,0
41,4
49.9
66.9
56,7
69,7
83,9
112
з
>5
О
ю
гч
о
ГЧ
0,406
0,404
0,397
0,396
0,393
0,386
0,406
0,436
0,435
0,430
X
0,91
0,95
0,99
1,07
1,05
ля ‘(и 1) вээвдо
1,09
1,08
1,07
ОЧ
# э ‘7
0°
НЭ <Х
.г#1
г-
>нэ ‘7
V©
■*3
тг ГГ 1/"> т}*
•с
т ЧО
1п
О
тГ
V* О
«/■>
сз
О
гч Ч
*Г)
го
чо
О
1
П
г- г**
3,6
6,3/4
7/4,5
7,5/5
гҮіО ‘у ган
1
^
-ВІГХВ ҺИНВИІИ^І
«I
*
7,24
8,48
10,9
0,78
0,78
0,87
0,86
0,86
0,85
ГО
1,02
1,01
1,13
1.12
1,11
1,09
1,27
1,43
1,42
1,40
3
а*
ев
К
С
І
Ь|
си
3
ю
ев
о
3,70
4,48
5,16
6,26
7,28
9,96
9,05
12.5
14.6
18,5
г
а>
X
О
н
1,78
1,77
2,01
2,00
1,99
1,96
2,23
2,39
2,38
2,35
О
11,4
13,8
16.3
19,9
23.3
29,6
27,8
34.8
40.9
52,4
о
—
ОО
04#ч
О
Ф рш ф
3,58
4,41
4,04
4,98
5,90
7,68
5,59
6,11
7,25
9,47
3
о>н
ю
5 ,6 /
э
Өлшемдері,
мм
св
2ев
Н
2,19
2,66
3,07
3,72
4,36
5,58
\£
ИІІ
ІСІШ
* ӨН
НіНчігифскіц
#
—
ЧО 00
ЧО 00
!
3
04 гч г - о
| 04 С\ •-* г -
о
03
•ч
Г
й
се
*
*
*
40
чо
г- го о ^
Г Ч «о
*»1
г-
г .
оо
оо ~ г
*>
Г-
00 04
04
О
ОО
_ « <
00
г
ч
О ч г-н
о
#1
*о */*> го
Гч
м
Гч
>л
Г
ОО
«о О
40 го ГЧ ТГ
0 ^
ГО I4 ГЧ 40
г- 0—
< ~-« гч гч гч гч
0
0
^
^
^
й
*Г)
о
«п
ГЧ
«О
тг
ГО
X
С
Ч
О
»
—
<
«О
т*ГЧ
0 4 0 0 04 го ГЧ О 00 гчо | 40 чо 04 04 о ГЧ ГЧ го ^ 1 0 4 0 О О - ГЧ
—
ГЧ ГО ^
00 04
гч гч гч гч го I ГО го го го го го
^
^ ^ т** гГ «о щ «о «о т ч~)
гч
Г
го
ІЛ
€4Г ч
40
оо гч
О ІП
гч гч
гч
г
#41
00
#4
Гч
ГЧ
ГЧ
#*
ГЧ
ГЧ 40 О 00 00 т*-
40
ГЧ ГЧ го ТІ- Т}-
1Г)
Ю
40
ГЧ
ГЧ
ГО
00 го
«Л
00
ГО
ГЧ
ГЧ
^
ГО
ГЧ 0 0
Г -1 0 4
тғ
Г ч|
#4
04 40
00
»Л) 4 0
ГЧ
г
^
©
00
г ч
гч
ГЧ
04
00
Гч
0
#
Гч# 4
о ГО ГЧ ГО
о О г-н М
гч" ГЧ гч гч
ГЧ
04 Г" ГО о
гч *-« ГО г - ^
04
04
Г
г ч
Г*
00
Гч
40
г ч
ГО т*-
т
ГЧ
1Л>
гч гч гч гч гч
ГЧ го ^
гч
т
о ю
О ГО О
гч го го ^
ГЧ
г
г-*
Г-
ГГ
г^
ГГО
^ 04 гг о ГО
ГЧ
00
С
Г
\
г
.
гч
ГЧ
*
/
“
>
^
00
ГЧ
40
го
40
ГО
го
М ш го — ГО гч
04104 ГО 40 го 00 «о *Г> і-ч г}- 00 гч
о ГО
ГЧ
ГО
чо
04
04
ГО
т}1
ІГ)
^
ҺГ04
ГЧ
го
— « ГЧ ГЧ го
00
гч
40
г>
тг
40
00 00 00
гч 00
го го го ГО
о о о о
г*
г»
04 00
о
о
о го гч
гч о
00 04 04 04 00 о о о
го го го го го
г}*
о о о о о о о о
г*
г
г*
40
О
о о о
■<Э*
о О О
г
г»
04
О
г
г
О
г*
О
го гч Ю 1Л
гч ОО 'О
гч гч гч I го го го го «О 1Г) г - г - г- г- Оч Оч
ГЧ
ГЧ ^ 1 0 0
40
«о
«п
О
ОО
о
о
о
о
о
О
Оч
00
40
ГЧ О
04 Оч 00 оо
£
го го го го го ГО
гч
Г Ч
Г Ч
г
гч гч гч гч гч* гч
т
ч?
40 04
00 00 00 Г" ГО ГЧ 00 Т*- го 04 ГО ^
00 го
ГО 10
о I
00
00 04 Оч о «о
ГЧ чо I ОО О
го 0 0 40 ГЧ ГО
00
оо
«л \о
^ гч гч гч ГЧ го ^
I
ГЧ
г ч
г-
00 гч
Г Ч І
г ч
г ч
г ч
гч
гч
00
оо
*>
г
00
40
ІЛ «л
о
о
«ч
40
г- г-
г-Г4 ГЧГ4 —н
I40ГЧ94 о-ЯШ гчгч — •Г
Г4І
04
*—
< Г" I О
ІЛ) 04
С•
гч ГЧ го го го ^
«О 00 00 »л> гч
*Г) 00 00 00 г
гч
гч
ГО
О
ГЧ
гч
40
ГЧ
^>1 — Г Оч *п ©
40
04
оо
• 4
гч
гч
г*
Оч
г
го
ф
© 00
00 о
гч
. ь 40
«Ч
00
г
гч
О
гч
^
ГЧ
Т}-
40
гч
ОО >Л
04 04
гч
Оч Ггч
г
о
іп
40
о
г-
гч о00
о
о
Оч
о
о
40г
ио
о
го
г>
9 4
Г*
г*
^
04 ГЧ 40 ^1"
г о г— г- гч
ГЧ ГЧ ГЧ ГЧ ГО
«Л
ГО
00
о
г-
—« —« —• о оо гГч
Гч
ГЧ
г
«п *г> »о Ш
гч
*
*Г)
40
^1" г- гч го
гч
о ЧО 00 Оч
чо ЧО г- оо 04
Гч
г-
го
Г ч
04г
о ГЧ ГЧ ^ г» о гч гчг* 04гч гогч ОГч Һг ГО
ГЧ
ГО ^ 40 0*1 ГО
гч ГЧ «Л О ^
го
^ гч гч гч го го ГЧ ГО
•
>
00
40
40
Г 4
ГО г о
0
го о
г
Г- О чо 40 ^
—< гч ^ 0 0 О
го
О
о
ГЧ
Г
ГЧ ГЧ го го
Г-- 0 4 Оч
ІЛ
гч
Г Ч
г- ^ гч гч
чо гч ‘Л
ГЧ 4Л> ^ г- гч <о ^ \о
40гч Ю г
гч
гч
г-
г ч
о
»/“> ^ го 00 о
т!" «О г4 0Гч 4 0г
т
40 ІГ) 40 ^ 22 04
00 >Л г
»о г о
40
^ 00 — Оч
гч
гч
00 04 00 40 ^ ОО ЧО <Л ^ ГЧ О гч о
«о 00 00 00 00
гч гч гч т
Оч гч
гч"
гч гч гч гч гч гч гч гч гч гч го го
04 00 г -
го
10
гч гч гч гч гч го го го го го го
40
IІП
Гч
г
г
о
Оч
о
оо
гч
гч
гч
оо
о
0
0
0
гч 00 о
Оч
о
о
о
Оч
о
о
о
о
о
00
40
ГЧ
гч
1**"*
1^
-
160
1^
949
27.4
29,7
34.4
39,1
гч
і- 20
866
6,50
6,54
6,62
6,71
7,97
8,14
8,23
8,31
^ ^ оо
V
)
т
-ч
ГО
Ю
г»
7,99
7,97
8,02
2920 718 2,79
3189
786 2,83
3726 922 2,91
4264 1061 2,99
6212 1634 3,53
8308 2 2 0 0 3,69
9358 2487 3,77
10410 2776 3,85
еч
16
18
12
0,392
0,392
0,390
0,388
0,410
0,408
0,407
0,405
—
250
1
2,75
2,74
2,73
2,72
3,54
3,5
3,49
3,48
1^
25/16
40
264
285
327
367
604
781
Г| чо
14
16
1^
3,58
3,57
3,54
3,52
4,62
4,58
4,56
4,53
I I
11
1
12
0 0
446
482
551
617
1032
1333
1475
1613
1
6,45
6,43
6,41
6,38
8,07
Оч
1449
1568
1801
2026
3147
4091
4545
4987
О
34.9
37.9
43.9
49,8
48,3
63,6
71,1
78,5
§
11
<ч
125
1^
200
1I 1
12,5
20/
■
гч
ей
г
XН
И
л
о
ю
гч
С\
си
со а
>
ГЧ Ч
00 и
• ч
н
4
>
о ш
<и
о,
в
ев
Н
о
&
ев
§со
«
Я
н
о
З
н
о
X
3
О
аз
н
О
>
■
>
Н
3
<и 8 0
г0 §ев 3
н
г О* ев
си
• рМ ос
и 5 * н
я
оX
4ч>: О- 03 а>
2
4
>
4*> X 5 о
5 *Г 2
1 ! 1
Со
о
оов
2
ЧО
^ГО<ЛХ^^ГЧ^»ЛГ^
ОС ШШШШШШ -~ * »—« ГЧ ГЧ ГЧ ГЧ ГЧ
#ч
2
СО
И
#4
#ч
#ч
#ч
^
^
^
•
гч О О ^ О О О М Г - ' М Г ^ О Г 4
гч Г О ' Л Г ^ Х ’- О С О Г Ч ^ Г О
+
*—<
\
1
Г
,
Ф
-
*
\
Ф
'
Ф
>
Ф
'
9
Ф
#4
Ф
*“"■ *—• гч гч гч гч гч гч
00
ГЧ ЧО ГО «п
04
ГЧ
«
л
>
«О
Ш
*
(М " ^ ^ ^ ’ Х М Г О Х О О ^ т } ’
ЧО 00
гч гч ГЧ ГЧ ГО го
г
»
т
НК|
К о
04 04 04 'О Ю ^ «Л *Л
'О 00
«Л> О 04
гг*
-«
оо
гч
^ ГЧ ^ «Л X ^
І5
о
# ч Сч
о
л
л
в
• #ч и. ев
Н
X
а> о<
О
хВ Я
*
►
л
3 5 л
Я ев Ш
м
3о
л
0
Н
е
в
03
К
(И
Л
ц
«
н
си
X
си
5
м
X
м
»4 3 3
о ЮЮ
оА ю
X
«
3
0 3 X и. л и».в
2 н X си
3
о?
0X ю
3 я
<
и
5 3 4> 03 X 4X
с;
X
а
>
8
*
д
е
в
си
3
4
4
<и К
4
Ч
ф
К си
б
в
Ф
к
5 л
1 I 1 I 1
О Чз
#4
#ч
О
Г*
ГО ГО
ГЧ го
•"•
^
оо ГО ^ 00 ^
ЧО ГЧ *-< 04 о
ЧО оо оо ^
»4
ГЧ
#4
ТІ” *—і го го
^ го ТГ ЧО
С.
ЧОООгОГ^ГЧ—^ООГ^гОГЧГ^
о ооо^«л^«лпго-нгча
' ^ - т ^ « Г) \ ОГ^ Г^ 0 0 0 0 0 4 0 4 0 4
н ІО
•
4
#
Ч
*
4
С
^
#
Ч
С
Ч
С
Ч
#
Ч
^
Ф
г- ^ г- ^ г о О ч ^ ' Г О М ' в ’ Оч
00 04 00 ^ О ^ ^ О О О Г О І Л М
гч гч <ч сч
ГО ІЛ оо
ГЧ
#ч
Ф
_
—
Г -н
—
• ш вц
о
о
о
о
о
о
00 о гч го о
т*
О
ч
Г
О
«п
О
ч
Ч
О
Г
О
г04 «о
г00 о
го «г> 00 гч
2
и
ггч гч ГО
гч
*•*
I
н
О
Г
Ч
ев X X 2
О I— т^-ГЧ^Т^ОООЧЧООООО
в О ЧО Г ^ ^ ^ О Г О ^ Л Ю О О О Г Ч ^
3 С
«—« ^ ^ СЧГЧГЧГЧГЧСОГОГО
я КС .
ф
#4
СЧ
^
9
\
#
Ч
«
\
#
Ч
#
Ч
#
Ч
#
Ч
#Ч
г
4
г
0
»
0
0
0
^
г
0
т
г
ч
0
г
^
0
4
1
0
«л Г - Г - Г ^ Г ^ О О О О О О О О О О О О О ч
^
«4
«и
В
ч
Ф
О
I
нО
с
^
^
Л
Л
Л
Л
# к
1
0
0
0
0
4
0
^
—
'
Г
Ч
Г
Ч
^
^
Ч
О
’в’
си
0)
Он
^
_
з
о.
|
ч ф
к
Сч
«N
«4
94
4ГЧ
# \
Гч
Гч
*Ч
г
Ф
о о о О О «О
гч
о о
го
ІЛ ^
гч
о о о о о о о о о о о
ОГЧтГЧОООООООГЧГЧ-^, ^ ^ 4 , _ < ^ Г^ Г^ Г4 (Ч1ГЦ
ГО ^
О
«Л УО Һ* 00 Оч
О М ^ ЧО 00
ев
оо
жалғасы
н
X
<0
33
о а>
ев
О
о
2
• р 4
л
в
х
-д
ж
0
ю
<4
г 1о
сч
00
н
о
и
X
НИ н
►
л о>
§ ®2 ■*
я
А
И К н
5 н *
н
св Ои 3
•Л
Н О
а
0
с
е
X ВТ ы
е
2 с
О№
X
М
се
м
3 •*■<
А
и 0 и
3 £се а
н & >К
04 м
св >4 0>
е*
* ю
се
се г* Ч)
я
2
•—4
5 н О
0
1 1 1
0
1
и
и
• рв4
о*
й>
ч
1)
а
<4
о
N
О
#ч
М
N0
1и
•
чр И
^
^
^
'О
^ *0 Г"- 00 —< »■—
I
^
г^
о
00
00
оч
О
го
о
^
со *о Г- 00 00
^
Ч
чо
I.
^
ч
- г
гч
оч
ГО ^
«Г) о
Г го О
0
4
«гГ
04
«Ч
ГЧ
Д И ГЧ
гч
Г
00
с і
гч
к 2
о
«
5
X
О0>
ас
к
нО гч
X
ев
р
>%
ев
—4
—« т г
о
о
ГЧ N
^
Г
00
о
<ч
ГЧ
гч
Г'
гч
Гч
о
о
гч
'
оо
«о
04
ш
1
00
гг
04
чо
г-
чо
оо
\
Г
Ч
#
Ч
Г
,
Г
'
.
Г
'
Г
ч
Г
'
Г
*ч
^
го
0 0 т*- г о
О
О г^ го О
«П Һ* г-- 04
#ч
т
Т^-
Сч
<ч <ч
ГО ш
О О О
го
04 04
м
*п
00 О
^
1
—
<
ю
- О
С4 ^
00 04 Г*-н
го
Ю
Т Г 00
40
^
<4
Г
4 0 * —< 0 0 0 4 Г 0 4 0 0 ^ |^ Г ^ < Ч т } -
2
о
^
^
гч
*Г) с я
'Н М
у
X
нО
я
гч гч
С
(4^400\000ч0с404^1-<чг0 4 ,л ^ 0 4 г ^ 4 0 4 0 ' ^ ’ ,і ’ г 4 г о 0
оо П \
ев
го г^
—« О
гол г о 4 чсГ К
'О оо
Оч о
Гч|
_
■
О
ІПООІЛ^О^О^ОО^ОО^
^
Н
ас
4)
2
о
^ О
^
04
о
о
с і
_ о ^ оо \о м
Гч
•
'О
М- -'•г --*'
О ^ 'О
^ ( Ч Г О с О ^ 1 Л » Л Ч 0 4 0 1 ^ 1 ^ Х
«ч
X 3 3
0>
4
з? се
X Й
X
3
3 4 се
X се
3
се
о
н
с
е
Н ь* а Си
_ас О
о*
Н
5 И
А
га
X
3
Юю о 3
се се ас
х с*
3
О.
ас
о
& и м
»4 се
0> х Ю
ч о> се Ей
&
X
о>
3
в ф * ю
Э
Н се
I I I I
-5: о Чз
•
Оч
о
м 3
а
и. X
Гч
' Ок О
'
>
п
л
^
О
^
'
Л
Г
,'
Г
0
0
0
х
О
ІЛ^-НГ^ГО^ІЛ^ОГ^
^
О
иа
•
О
0 4#1
о
о
•
04
со • л
— о
•
Оэ
00
»-н <N1 го т* ІП ЧО 0 0
• р И
• шшЛ
сх
и~>
ев
из
н
я
а> ►
л
0
0 >ч
5
Оц с*
<и св
Ч Ои 5ос
Си
о> X
Ов*
й> <и
•6 X
1 5
1
и
.
І / Ч
чо
«
^
ГЧ
!>
а
ГЧ
го
гч
*о
#4
^
Гч
оо
#ч
о\
г*
ГЧ
Г
о
м
го
с ч г ч с ч
О С Ч ^ Ч О О О —« Г ^ ^ О Г ^ Г О О
Г^Г^Г^Г-Г^00000004000404
ГЧ
#4
ГЧ
Сч
#4
Гч
#4
ГЧ
г ч
ГЧ
#ч
#
I
^-г}-1Л>ЛМ040400^гнП
■ъ
Он
гч
СЧ
сч
Сч
<РЧ
гч
СЧ
СЧ
Сч
СЧ
СЧ
с
<1>
а>
3
•с
со
М
ЧО О
го ГО
чо
сч
0
^
о
о
Т)
1П
,/ О О
^о
N
іл
00
40
О
^1* 4 0
^
о
40
о
00
о
00
0
-5 :
Он
& • §
ч
ф
ас
0
іл 40 оо
о
сч
О
О
О
^ ^ чо
_
о сч 2 ;
о
о
жалғасы
0 0 »—
іЧОГЧГ"-Г-ГЧО\ООіО
«ч
гч
Гч
. 1 :# ч
гч
сч
#ч
#ч
Гч
сч
( N( N( N( N( N( N( N( N( N( 4
т
^
г
ч
^
г
ч
г
ч
г
ч
г
ч
г
ч
г
ч
^
мммгчмг^мгч^го
Г'
гм ГО\ >И
«П ОО О
0
0
гі- (Ч Ь о ГО М
0
«Л Ю М РВ в
т^-
С\^Г^ОО^(\|Г^ОГОМ
о
—
'
О
ч
»Н
»
і
1
^
О
^
гч со ^
М 00 ІЛ ^
04X о
*п
— < *-• гч сч го х?
Оч
04
»П Ф СЛ ГП 04 О РН П һ
§1
00
Щ
^
Ц
о"
р
С
О
тг
«л
О О О О О О ^ ^ ^ ^ 1- ' і—< *—«
00
У О ^ - н ^ ЮО О О О О О Ю
о о
гч гч
г— 40
гч
о
ОЧ оо
сч гч гч ГО П" «г> г - о «п
ог - о ого ©
о о о о
о 00 чо 00 00
го
ЧО
«ГІ
с4г"00400\с4*01г>ч3-10
«Л'ОХОМ'ЛО'ОГП'Н
м г ч м т п г о ^ ^ 'л 'О
И
^
Л
^
гч
*ч
#ч
Г
Г
Г
СЧОГ^'ПОГ^^О^
«о
.
..
оС оч 5
о
• I
о
е
А
'- ''- М П
о
•
ГЧ^^ЮЮО'ЛО'ЛО
Я
\
*
Ч
Г
Ч
#
Ч
#
Ч
#
Ч
#
Ч
*
Ч
0
^
Г
>
» 0 ^ » 0 » 0 » л )4 0 4 0 г^ г^ 0 0
ГО
0
(
4
г
^
0
«
л
»
л
2
й
2
1
2
0000000\040\33и!^
о о о о о о о о о о
ГЧ о гч гч ^ ^ I4 О го ^О О
гч гч гч ГЧ ГЧ ГЧ ГО го ГО тг
ее
ее
ГГ
О го чо о
ё^ Г «ч
гч
Ч^ГЧ^ГЧГОГОГОТГ
М А ЗМ ¥Н Ы
I. Негізгі түсініктер.................................................................................... 3
§ 1.1. Кіріспе.............................................................................................. 3
§ 2.1. Есептеу нүсқасы. Күштер..........................................................5
§ 3.1. Ішкі күштер. Қию әдісі...............................................................6
§ 4.1. Кернеу.............................................................................................. 8
§ 5.1. Деформациялар мен орын ауыстырулар................................ 9
§ 6.1. Материалдар кедергісінің негізгі болжамдары....................10
II. Созылу немесе сы гы лу....................................................................... 13
§ 1.2. Бойлық күш............................................. ..................................... 13
§ 2.2. Білеудің көлденең жэне көлбеу қималарындағы
кернеулер.................................................... .................... ...... ......16
§ 3.2. Бойлық және көлденең деформациялар................................ 19
§ 4.2. Созу және сығу диаграммалары.... ......................................... 22
§ 5.2. Білеудің көлденең қималарының орын ауыстыруы.......... 28
§ 6.2. Статикалық күштің жүмысы. Деформацияның
потенциалдык энергиясы......................................................... 30
§ 7.2. Білеудің салмағын ескеру.............. 1..........................................33
§ 8.2. Мүмкіндік кернеулер. Беріктікке есептеу............................35
§ 9.2. Шеткі к үй ..................................................................................... 37
§ 10.2. Жергілікті кернеулер.................................................................39
§ 11.2. Жергілікті кернеулерді ескеріп, беріктікке тексеру.........41
§ 12.2. Статикалық аныкталмаған жүйелер.................................... 43
III. Дененің кернеулі к үй і........................................................................ 65
§1.3. Кернеулі күй теориясы. Басты кернеулер мен
басты жазықтықтар..................................... ................................. 65
§ 2.3. Жазық кернеулі к үй ............................................................ ....... 6 6
§ 3.3. Көлемді кернеулі күй.......................... ................... :.................. 70
§ 4.3. Көлемдік деформация.................................................................73
§ 5.3. Деформацияның потенциалдык энергиясы..........................74
IV. Ы гы су.............................................. .....................................*.................. 83
§ 1.4. Таза ығысу......................................................................................83
§ 2.4. Таза ығысудағы деформация мен Гук заңы......................... 84
§ 3.4. Көлемдік деформация. Таза ыгысудагы потенциалдык
энергия Е,С, р. арасындагы байланыс................................... 85
§ 4.4. Ығысуғы жұмыс істейтін қарапайым құрылымдарды
есептеу......................................................................................... 8 9
§ 5.4. Тойтарма шегелі косылыстарды есептеу..............................91
§ 6.4. Пісірілген қосылыстарды есептеу......................................... 94
V. Жазық қималардын геометриялық сипаттамалары...........102
§ 1.5. Жалпы түсінік......................................................................... 102
§ 2.5. Қиманың статикалық моменті.............................................102
§ 3.5. Қималардың инерция моменттері.....................................103
§ 4.5. Қарапайым қималардың инерция моменттері................. 104
§ 5.5. Параллель өстерге қатысты инерция моменттері...........107
§ 6.5. Бұрылған өстерге қатысты инерция моменттері............109
§ 7.5. Басты өстер жэне басты инерция моменттері................. 109
§ 8.5. Инерция эллипсі және оның қасиеттері........................... 111
VI. Бүралу........................... ......................................................... .......... 117
§ 1.6. Негізгі түсініктер. Бұралу моменті.................................... 117
§ 2.6. Қимасы дөңгелек тік білеудің бұралуы............................119
§ 3.6. Бұралған біліктегі деформация мен орын ауыстыру.... 123
§ 4.6. Бұралуда бүрыштық орын ауыстырулардың эпюрасын
тұрғызу......................................................................... ............ 124
§ 5.6. Бұралудағы потенциалдык энергия................................... 125
§ 6.6. Қимасы дөңгелек емес сырықтың бұралуы..................... 126
§ 7.6. Жұқа қабырғалы тұйық пішінді
сырықтардың бұралуы...........................................................127
§ 8.6. Жұқа қабырғалы ашық пішінді сырықтардың бұралуы 129
§ 9.6. Бұралудагы статикалық анықталмаған жүйелер............129
VII. И іл у....................................................................................................136
§ 1.7. Жалпы түсінік..................................................................... . 136
§ 2.7. Ішкі күштердің эпюралары................................. ................ 140
§ 3.7. Ию моменті, көлденен күш, таралған күш
қарқындылығы арасындағы дифференциалдық
байланыс.....................................................................................145
§ 4.7. Ішкі күштердің эпюраларын түрғызу мысалдары..........148
§ 5.7. Таза иілу.....................................................................................156
§ 6.7. Көлденец иілу.................. ........................................................164
§ 7.7. Иілудегі басты кернеулер.............................. .-...................... 167
VIII. Иілген арқалықтың орын ауыстыруы.............................181
§ 1.8. Арқалық қималарының иілуі мен бүрылуы..................... 181
§ 2.8. Иілген өстің дифференциалдық теңдеуін интегралдау. 183
§ 3.8. Алғашқы параметрлер эдісі.................................................. 188
IX. Орын ауыстыруды анықтауға потенциалдық энергияны
қолдану............................................................................................... 194
§ 1.9. Жаллы түсінік........................................................................... 194
§ 2.9. Кез келген күштердің әсерінен потенциалдық
энергия..........................................................................................195
§ 3.9. Иілудегі потенциалдық энергияны ішкі күштер
арқылы өрнектеу........................... ........................................... 197
§ 4.9. Кастильяно теоремасы............................................................ 198
§ 5.9. Жұмыстың өзара қатысты теоремасы................................ 201
§ 6.9. Максвелл-Мор теоремасы.......................................................202
§ 7.9. Верещагин әдісі......................................................................... 203
X. Орамалы серіппелер......................................................................... 209
XI. Беріктік теориялары................................................................216
§ 1. 11. Классикалық және энергетикалық
беріктік теория лары.......................... ....................................216
§ 2.11. Мор жэне біртұтас беріктік теориялары.......................... 220
XII. Күрделі қарсыласу..........................................................................225
§ 1.12. Негізгі түсініктер.................................................................... 225
§ 2.12. Қиғаш и іл у ............................................................................... 225
§ 3.12. Қатаң білеулердің орталықтан тыс созылуы мен
сығылуы..................................................................... |..............228
§ 4.12. Қиманың ядросы..................................................................... 231
§ 5.12. Қимасы дөңгелек білеудің иіліп бұралуы....................... 233
§ 6.12. Қимасы дөңгелек білеуге жүктің жалпы
түрдегі әсері................................................ <............................ 238
§ 7.12. Сынық өсті кеңістікті білеулердің бойындагы ішкі
күштердің эпюралары........................................................... 239
XIII. Статикалық анықталмаған жүйелер................................... 250
§ 1.13. Статикалық анықталмау....................................................... 250
§ 2.13. Күш әдісінің канонды теңдеулері.......................................253
§ 3.13. Статикалық анықталмаған жүйелерді есептеу..............256
§ 4.13. Симметрияны пайдалану.................................................... 260
§ 5.13. Көлденең жэне бойлық күштердің
эпюраларын түрғызу........................................................... 262
§ 6.13. М, (3 жэне N эпюраларының дүрыстығын тексеру...... 266
XIV. Қүрылым элементтерінің орнықтылығы......................... 273
§ 1.14. Серпімді жүйелердің тепе-теңдік күйінің
орнықтылығы........................................................................ 273
§ 2.14. Аумалы күш. Эйлер формуласы....................................... 274
§ 3.14. Сырық үштарының бекітілу әсері.................................... 277
§ 4.14. Эйлер формуласын қолдану ш егі..................................... 279
§ 5.14. Сығылған сырықтарды орнықтылыққа есептеу............283
XV. Қүрылымдарды серпімділік шектен жогарыда есептеу. 290
§ 1.15. Жалпы түсінік....................................................................... 290
§ 2.15. Созылу жэне сығылу............................................................291
§ 3.15. Көлденең қимасы дөңгелек тік білеудің бұралуы........ 298
§ 4.15. Арқалықтың иілуі................................................................. 300
XVI. Динамикалык күштер...............................................................306
§ 1.16. Жалпы түсінік....................................................................... 306
§ 2.16. Статикаға келетін динамикалык есептер....................... 307
§ 3.16. Соққы........................................................................................310
§ 4.16. Бір еркіндік дәрежелі жүйенің еркін тербелісі..............318
§ 5.16. Бір еркіндік дәрежелі жүйенің еріксіз тербелісі............321
XVII. Материалдардыц айнымалы күшке беріктігі................332
§ 1.17. Циклді күштердің әсер і............. .......... .............................. 332
§ 2.17. Төзімділік шегін анықтау.................................................... 334
§ 3.17. Айнымалы кернеуде беріктікке есептеу......................... 339
Ж үнісбеков Сейтбек
МАТЕРИАЛДАР КЕДЕРГІСІ
І^ВГ^ 978-601-281-018-9
Компьютерде беттеу жэне дизайн - Любовицкая Ольга
Басуга 2011 жылы қол қойылды.
Форматы 60x84 1/16. Көлемі 22,75 баспа табак.
Тіте$ гарнитурасы. Офсеттік басылым.
Тапсырыс № 51. Тиражы - 1000 дана.
«Бастау» баспасы (тел. 266-54-59, 266-54-58).
Мемлекеттік лицензия - № 0000036.
ҚР Білім және ғылым министрлігі.
ҚР Ұлттык мемлекеттік кітап палатасының
халықаралық код беру куралы №155 978-601-281 сертификаты.
Алматы қаласы, Сейфуллин даңгылы, 458/460-95
«Полиграфсервис» баспаханасында басылды (тел. 233-32-53)
Алматы қаласы, Зеленая көшесі, 13-а
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
50
Размер файла
19 285 Кб
Теги
materialdar, kedergisi, 4379, junisbekov
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа