close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

bd000100979

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Богатое Егор Михайлович
О РАЗРЕШИМОСТИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
НА СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ
УРАВНЕНИЙ
МНОЖЕСТВАХ
01.01.02 — дифференциальные уравнения
Автореферат
диссертации на соискание учёной степени
кандидата физико-математических наук
В О Р О Н Е Ж - 2000
Райота выполнена в Воронежском государственном университете
Научные руководители:
доктор физико-математических наук,
профессор
Покорный Юлий Витальевич,
кандидат физико-математических наук,
доцент
Певкив Олег Михайлович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор
Бобылёв Н.А.,
доктор физико-математических наук,
профессор
Глушко В.П.
Ведущая организация:
механико-математический
факультет Саратовского государствен­
ного университета
Защита состоится "2й" сентября 2000 г. в " '(5-.?Р" часов на заседании
диссертационного совета КОбЗ.48.09 по присуждению учёной степени
кандидата физико-математических наук в Воронежском государст­
венном университете по адресу 394593 г. Воронеж, Университетская
пл., 1, В Г У , математический факультет.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского
государственного университета.
Автореферат разослан " ^ "
\\\о^лЛ^
2000 года.
l^i£0^
Задорожний В.Г.
Учёный секретарь
диссертационного совета
^
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
А к т у а л ь н о с т ь т е м ы : В последние годы интенсивно развивается
математический аппарат для исследования процессов, проходящих в
физических системах составного типа (одним из примеров является
система, составленная из струн и мембран). Геометрически такое мно­
жество не является даже многообразием, поэтому априори ясно, что
анализ функций, определённых на тгжих множествах, достаточно сло­
жен.
Отдельные работы на эту тему встречались и ранее\ системати­
чески же это направление начало развиваться в начале 80-х годов
как дифференциальные уравнения на графах (топологических сетях)
в работах G. Lumer'a', Ю.В.
Покорного^, J.von Below'*.
Ю.В.
По­
корного привели к таким уравнениям задачи, связанные с описанием
деформации и колебаний упругих континуумов, соединённых по прин­
ципу сетки (решётки), в то время как G. Lumer'a и J . von Below больше
интересовали задачи диффузии на топологических сетях.
К настоящему времени уравнения на графах - достаточно развитая
теория. Наиболее полное представление о ней можно получить в рабо­
тах Ю.В. Покорного*, О.М. Пенкина*, J . von Below^, А. Mehmeti*. Од­
ним из естественных обобщений дифференциальных уравнений на гра'CouraDt R иЬет die Anwendung der Variationrecbnung in der Tbeorie der Eigenschwingungen uad uber
neu« KIsssen von Fuaktionalgleichungen // Acta math , 40 (192fi), P 1-68.
'Lumer G E s p a c e ramifes et diflusion sur les reseawx topologiques // С R
Acad
Sc
Parie, Serie A,
291, 1980, P. 219-234
'Покорный Ю . В , Черникова Л . Н
О краевой задаче ва графе д л я 2-х звенвой цепочки стержней
// Нелин. колеб. - Ижевск, 1981, С.39-45;
Пенкнн О М., Покорный Ю . В . , Провоторова Б Н Об одной векторной краевой задаче / / Краевые
задачи.- Пермь, 1983, С 64-70.
^J von Below Classical soivabiUty of linear parabolic equatiom on networks // J . Diff. E q . 72 (1988),
P J16-337.
'Покорный Ю В
О спектре некоторых задач на графах // У М Н , 1987, 42:4 (2.56), С 128-129
'Покорный Ю В , Певкин О . М . О теоремах сравнения для уравнений на графах //Диффереяц
уравнения
1989 T 2 5 № 7 . U41-1150.
"Ч von Below Kirchhoif laws and dilfusion on networks// Lin. Alg. Appl. 1 2 1 (1989), P 692-697.
' A l l Mehmeti P Nonlinear Waves ш Networks Academie-Veriag, 1994 173 P.
Tsrs^^^^^***^''**
6ИБЛМ0ТСК*.
,c.n*«ps^*^
фах являются диференциальные уравнения на 2-мерных полигональ­
ных топологических сетях в R^. Уравнение Лапласа на таких сетях
рассматривалось S. Nicais'oM*; дифференциальное уравнение движе­
ния тела, составленного из нескольких жёстко сопряжённых эластич­
ных мембран, а также вопросы управления этим движением, описаны
в ргьботе J . E . Lagnese, G . Leugering'a и E . J . P . G . Schmidt'a^" .
Максимальной общности в этом направлении, по-видимому, уда­
лось добиться О.М. Панкину, Ю.В. Покорному'' в связи с изучением
качественных вопросов для эллиптических уравнений дивергентного
типа на так называемых "стратифицированных множествах"
(набо­
ров многообразий различных ргизмерностей, "правильно" примыкаю­
щих друг к другу).
Другие, близкие к этой тематике исследования проводились в рам­
ках теории уравнений в частных производных для областей с состав­
ной границей.
В частности, ещё С . Л .
Соболев'^ доказывал разре­
шимость задачи Дирихле для цолигармонических уравнений в клас­
се функций W j " для областей, ограниченных многообразиями различ­
ной размерности. Позднее В . Ю . Стернин'' рассмотрел эллиптические
краевые задачи более общего вида для областей с границей, включа­
ющей обязательно многообразия корг13мерности 1. Одни из послед­
них результатов по этому вопросу получены в работе С.А. Назарова.
Б.А.
Пламеневского'^.
В ней обсуждаются эллиптические краевые
'Nicais S Le Laplaeien sur les reseaux deux- dimensioneli polygonaux topologiques // J . de Math
Pures
et Appl 67(1988), P 93-113.
'"Lagnese J Б , Leugering G
and Schmidt Б ] P.G
Modeling, analyais and control of dinamic elastic
multi-link structures. Birkhiiser, Boston, 1994.
" Пенкнв 0 M , Покорный Ю . В
0 дифференциальных неравенствах д л я эллиптических уравнений
иа С.10ЖНЫХ многообразиях // Д о к л Р А Н , 1998 Т 360, № 4, С 456-458;
Пенкин О М , Покорный Ю В. О несовместных неравенствах для эллиптических уравнений на
стратифицированных множествах // Двфференц. ураввения. 1998. Т.34, № 8, C.U07-1113
'^Соболев С . Л
Некоторые дрииенения функпяоиального анализа в математической физике.- Л ,
1950. 256 с
'^Стернин Б Ю . Общие краевые задачи д л я эллиптических уравнений в области, границей которой
служат многообразия различной размерности // Д о к л . А Н С С С Р , 1964 Т159, № 5, С. 992-994.
^Назаров С . Л , Пламеневский Б.Л Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей '
-ni
задачи в областях Т> типа многогранника со "стратифицированной"
границей, содержащей "рёбра"
различных размерностей, пересекаю­
щихся под ненулевыми углами (соответствующий класс многообразий
определяется по индукции в произвольном компактном топологиче­
ском пространстве). При рассмотрении подобных задач в области Т>
в коэффициентах дифференциальных операторов V допускаются раз­
рывы вдоль рёбер. Базовым приёмом при доказательстве фредгольмовости таких операторов является "постратное"
(страт - fc-мерная
компонента связности границы V) замораживание коэффициентов V
с последующим применением преобразования Фурье.
Область опре­
деления и область значений V состоит из произведений специально
подобранных Соболевских простраств с весом.
Изучение явлений на множествах сильно неоднородной (перфори­
рованной) структуры приводит к ещё одному направлению, близко­
му к рассматриваемому, которое носит название теории усреднения
уравнений с частными производными. Наиболее известными в этой
области являются монографии О.А. Олейник, Г.А. Иосифьяна, А.С.
Шамаева'^, 3. Санчес-Паленсии'^; а также В.В. Жикова, С М . Коз­
лова, О.А. Олейник'^.
Одним из наиболее распространённых и естественных подходов при
исследовании процессов в составных системах, которого, в частности
придерживаются западноевропейские матемятики, является по.гтхогг, в
котором элементы этой системы 5 разделяются как бы на два непе­
ресекающихся класса. В один класс входят элементы, не взаимодей­
ствующие с другими элементами своими внутренними точками (напри­
мер, внутренности многоугольников О,, г = 1,к ъ полигональной сети).
М
Наука, 1991. 336 с.
" О л е й н и к О А , Иосжфьян Г А , Шамаев А С
Математичегкие чадами теория сильно неоднородных
упругих сред.- М.. М Г У , 1990. 311 с.
'^Санчес-Палеясия Э . Неоднородные ср^оы в теорвя колебание - М : Мир, 1984. 472 с.
' ^ Ж и к о в В.В,, Козлов С М , Олейник О А Усреднения дифференциальных операторов' М ' Наука,
1993 464 с
Второй класс состоит из "стыковочных" элементов, отделяющих эле­
менты первого класса друг от друга. При этом силами нагружают­
ся только элементы первого класса. Далее на элементах из второго
класса рассматриваются некие однородные соотношения, называемые
иногда условиями трансмиссии, посредством которых из произведения
C'"{Qi) X . . . X C"*(Qk) обычных пространств функций заданной гладко­
сти выделяется подпространство М, условием принадлежности функ­
ции и к которому выступЕьет ещё требование непрерывности и в целом
на S . Набор уравнений, описывающий поэлементную деформацию S,
трактуется как одно операторное уравнение на М вида
Lu = f.
(1)
Естественность описанного подхода подтверждается хотя бы тем,
что к нему пришёл целый ряд математиков (в контексте гидродинами­
ки см. работу Н.Д. Копачевского, С.Г. Крейна, Нго Зуй Кана '* , а
также библиографию в ней ). Н а основе этого подхода изучена асим­
птотика спектра L, разрешимость краевых задач в пространствах Собо­
левского типа и т.п. Однако, следует отметить, что этот подход требует
привлечения довольно тонких теорем о следах для корректного опи­
сания условий трансмиссии, поскольку эти условия иногда содержат
производные того же порядка, что и оператор L в (1).
Д л я качественных вопросов, по нашему мнению, более эффектив­
ным оказался другой подход, который был предложен О.М.
Пен-
киным '* для дифференциальных уравнений второго порядка на стра­
тифицированных множествах и является продолжением подхода, раз­
работанного Ю.В. Покорным для уравнений на графах. Стало ясно,
что все дифференциальные соотношения при описании деформации на
5 (в том числе и условия трансмиссии) можно интерпретировать как
" К о п а ч е в с к и й И Д., Крейн С Г., К а н Нго З у й . Операторные методы в линейной гидродинамике М.: Наука, 1989, 416 с.
^'Пенкин О М
О принципе максимума д л я эллиптического уравнения на двумерном клеточном
комплексе.// Докл Р А Н
1997 Т 352, № 4. С.462-465.
единое эллиптическое уравнение дивергентного типа, так что в целом
(1) и условия трансмиссии записываются в виде div{p grad)u — f. При
этом дивергенция оказывается плотностью потока векторнорго поля на
S по мере, порождённой единичной плотностью на 5; тем самым, опера­
тор L допускает классическую трактовку. Следует отметить, что идея
ра1ссматривать дивергенцию и пространства Соболева по мере не нова и
представляется странным, что к исследуемому классу задач она стала
применяться совсем недавно (для периодических задач такой подход
был применён В.В. Жиковым^" в контексте метода усреднения).
Н а основе вышеизложенного подхода нам удаётся получать бо­
лее общие, чем ранее, результаты о разрешимости краевых задач в
о
пространствах Соболева if* (5), причём доказательства оказывают­
ся проще известных.
Кроме того, очень естественный вид удалось
придать бигармоническому оператору на стратифицированных множе­
ствах, что открывает перспективу для изучения дифференциальных
уравнений старших порядков на таких множествах.
Цель работы.
Исследовать разрешимость задачи Дирихле для
эллиптических уравнений дивергентного вида с переменными коэффицинтами на стратифицированных множествах f i в пространствах Соболева Н' (П). Изучить свойства обобщённого спектра эллиптического
оператора четвёртого порядка С. Выявить связь между частотами соб­
ственных колебаний правильной треугольной решёткой стержней (в
уравнении, описывающем эти колебания, присутствует частный слу­
чай оператора £) и частотами собственных колебаний аппроксимиру­
емой этой решёткой пластины.
Методика исследований. При доказательстве слабой разреши­
мости используется стандартная вариационная схема, основанная на
теореме Рисса о представлении функционала в гильбертовом простран­
стве. Свойства обобщённого спектра С устанавливаются в рамках тео^^Жиков В В
Связность и у с р с д я е т е . Примеры фрактальной проводимости //Махем- сборник,
199в Т 187, № 8, С а-40
рии уравнений с частными производными при помощи теоремы Реллиха.
Связь спектра пластины со спектром аппроксимирующей её
решётки стержней выявляется привлечением конечно-разностного ана­
лога оператора Лапласа и методов теории дифференциальных уравне­
нийН а у ч н а я новизна. Все основные результаты являются новыми.
В диссертации доказано
1. Существование и единственность слабого и обобщённого решения
задачи Дирихле для эллиптического оператора второго порядка
LqU = -ApU + qu, где Др - аналог оператора Лаплгьса на страти­
фицированных множествах. Попутно доказывается аналог нера­
венства Пуанкаре.
2. Существование и единственность слабого и обобщённого решения
задачи Дирихле для эллиптического оператора четвёртого поряд­
ка Си = (Др(г Др) — Д , -Ь к)и на стратифицированных множествах.
3. Начальные отрезки спектров задач о колебаниях пластины и аппрок­
симирующей её правильной треугольной решётки стержней "качест­
венно близки".
4. Обобщённый спектр оператора £ - дискретен, вещественен и со­
стоит из положительных собственных значений.
П р а к т и ч е с к а я и т е о р е т и ч е с к а я значимость. Основные резуль­
таты работы носят теоретический характер. Доказанные в главах 2,3
теоремы о разрешимости применимы в теории упругости. Описанные
в главах 4,5 свойства спектра могут быть использованы в теории ко­
лебаний.
А п р о б а ц и я работы и публикаищи.
Результаты диссертации
докладывааись и обсуждались на Воронежских весенних математиче­
ских школах "Современные методы в теории краевых задач" в 19982000 Г.Г., н£1-научных сессиях В Г У в 1999-2000 г.г., научной сессии БГА-
с А в 2000 г., на семинаре Н И И математики при Воронежском госуни­
верситете по качественной теории краевых задач (руководитель - проф.
Ю.В. Покорный) в 1998-1999 г.г., на семинаре проф. В.П. Глушко при
Воронежском госуниверситете в 2000 г.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1-6, спи­
сок которых приведён в конце автореферата.
С т р у к т у р а и объём работы. Диссертация состоит из введения,
пяти глав и списка литературы. Объём диссертации 91 стр. Библио­
графия содержит 49 наименований.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Глава 1 в целом посвящена обсуждению основных понятий, кото­
рых довольно много ввиду отсутствия установившейся терминологии.
Центральными являются понятия стратифицированного множества и
оператора Лапласа-Бельтрами на нём, введённые О.М. Пенкиным (см.
с 4,6).
Глава состоит из четырёх пунктов. В качестве примера, приводяще­
го к дифференциальным уравнениям второго порядка на стратифици­
рованных множествах в п. 1.1 выводятся уравнения малых деформа­
ций четырёхугольной струнно-мембранной системы, нагруженной по­
перечной силой / с различной (по отношению к размерности /) плотно­
стью распределения. Д л я элементов этой системы, не входящих в гра­
ницу (мембрана, струны, узлы), получается, в зависимости от характе­
ра стьпсовок с другими элементами, четыре вида дифференпиальных
соотношений, описывающих локальное равновесие системы.
В следующем пункте даётся определение стратифицированного множе­
ства. Стратификация на множестве П С R " - это такой набор замкну­
тых множеств
_
П*" С П*' С . . . С fi*' = П (О < Ао < A:i < . . . < кр),
что выполняются следующие условия:
9
ч
а) П*' \ П*-' - гладкая поверхность в R " размерности А;,; ее связные
компоненты называются стратами размерности к,. Страты стар­
шей размерности - просто связные подмножества R", имеющие не­
нулевой объём.
б) Гранина daki = Vkt \ Cki любого страта ненулевой размерности не
пуста и является объединением стратов меньшей (чем fc) размер­
ности.
Б ) Если страт Ок, примыкает к crt+ij и х б at,, a y e cT/t+ij прибли­
жается к X по некоторой непрерывной кривой, расположенной в
at+ij, то касательная плоскость Ty{<Tk+i,j) {обычная {fc-H)-MepHaji
плоскость в R", касающаяся <Tt+i,j в точке у) имеет предельное по­
ложение
hmTy{(Tk+i,j), содержащее Тх(0ь).
Предполагается, что в П конечное число стратов, все они имеют
компактные замыкания и допускают введение глобальных координат.
Множество П считается связным. Вместе с П мы фиксируем связное
открытое ( в топологии, индуцированной на П из R " ) подмножество
По С П, составленное из стратов и такое, что По = П. Положим 5По =
П \ По. На множестве По далее будут рассматриваться уравнения, а на
9По будут задаваться условия Дирихле.
В пункте 1.3 на П вводятся координаты. Они задаются для каждой
пары сгк,, cfk+i,i {(fki С огк+и) таким образом, чтобы у^ = О, j = I,...
,к
на akt и у*+* > О на (Tk+i,i. Именно в таких координатах и проводится
дальнейшее рассмотрение.
Обозначим через f\i.- сужение функции / : П —* R на а*,. Будем
L
I-
гшсать / € с7^(По) { Су(П) ), если / j ^ , имеет равномерно непрерывные
производные порядка m при любых таких к, г, что cji с По ( П ). Про­
изводные /1;^, определяются обычньпи образом, поскольку (Тк, - гладкая
поверхность; при А; = О они полагаются равными нулю.
10
Градиент V u функции и € ?7^(Г!о) в точке х € сгь определяется в
п.1.5 как вектор, ковариантяые компоненты которого равны ди/ду",
где у" (а = 1 , . . . , fc) - координаты на ак,, как на А;-мерной поверхности.
Пусть F € С^(По) ~ векторное поле, касательное к По ( в 0-мерных
стратах векторы считаются нулевьпли ); включение поля в С^(По) озна­
чает здесь Fa € С„(По) Для любой ковариантной компоненты Fa поля
J P ( т.е. Fa = F • f^ (а = 1 , . . . , fc), где f = f ( i / \ . . . , у*) - векторнопараметрическое представление а к, в R", г. F -г^ - стандартное ска­
лярное произведение в R " ).
Дивергенция упомянутого векторного поля в точке х G (Tt-i, опреде­
ляется в п. 1.5 TajK
(VF)(x) = (Vt_i/)(x)+
Е
(^-i^luW,
(2)
i/ - единичная нормаль в точке х, внутренняя по отношению к «Ttj, а
обозначение вида / j j j означает продолжение по непрерьгености функ­
ции / j . на замыкание а^]', подобное продолжение в (2) существует
в силу включения F £ и^(По) и регулярности примыканий стратов.
Сумма в (2) распространяется на все страты atj, к которым примы­
кает (7i_i,,; если Тсжовые отсутствуют , то сумма считается нулевой.
Через {уk-iF){x)
обозначен обычный "А; — 1-мерный" оператор дивер­
генции на многообразии ai-i,,; (VoF)(x) полагается равным нулю. На
основе (2) определяется оператор Др, являющийся обобщением опера­
тора Лапласа-Бельтрами для случгья стратифицированного множест­
ва. Он действует на функции из U<,(fio) по правилу ^::^^и = V(pVu).
Основной интерес для нас представляет оператор L^u = — ДрЫ-bcfu, где
q 6 ^Л^о)Глава 2 посвящена доказательству слабой разрешимости задачи
Дирихле для оператора i , на П. Эта глава состоит из четырёх пунктов.
В п. 2.1 приводится пока ещё мало известное доказательство ана­
лога классической теоремы Гаусса - Остроградского на стратифици­
рованных множествах (см. ссылку на работу О.М. Пенкина, Ю.В. no­
il
корного на с.4 ). Эта теорема используется в дальнейшем при выводе
в п. 2.2 формул Грина для оператора i , , а также в главе 3 при выводе
формул Грина для эллиптического оператора четвёртого порядка на
стратифицированных множествах.
Теорема 1 Пусть
F € U^(fio)) тогда
jVFdn = ~ J F^dfi.
dho
UQ
где Fu определяется следующим образом:
суммирование no всем j т.аким, чтпо (Tkj У (Tt-i,) и Okj (f. 5По.
Здесь и далее через /j обозначена мера на П, сужение которой на кмерный страт совпадает сfc-мернымобъёмом, а интегралы понимают­
ся в смысле Лебега-Стилтьеса (подробности введения меры и итеграла
описаны в п.1.4 главы 1). Следующая теорема является аналогом пер­
вой формулы Грина для оператора X , :
Теорема 2 Пусть
и е C^(no)i " € ^ (^о), тогда
\ vApU dfM = — I pVvVu dfi — J v{pVu)^ dfj..
Oo
Oo
^ 0
Вопрос о слабой разрешимости задачи
L,u = f,
и\аа, = О
(3)
обсуждается при ослабленных требованиях на "регулярность" коэффи­
циентов q,p и правой части /. Предполагается, что q,p,f
€ ^^(^о) -
пространству квадратично суммируемых на замыкании каждого стра­
та функций. Решение и определяется в смысле интегрального тожде­
ства (переход к которому основывается на теореме 2):
-
-
У (pVu - Vv + quv) dfi = J fip dp..
По
По
12
Здесь 'р £ С ' (По) (множество непрерывных на По функций, имею­
щих непрерывные производные на каждом страте и обращающиеся в
нуль в окрестности 5По), а Vu означает слабый градиент. Н а С (По)
определяется скалярное произведение
< U, и >= у (pVu • V r + quv) d^.
«в
о
•
Пусть я ' (По) - пополнение С ' (По) по норме, определяемой этим
скалярным произведением.
Окончательно решение находится как
функция из ^f^ (По). Предполагается, что р существенно положитель­
на на По (в смысле инфимума), а q неотрицательна.
Теорема 3 При перечисленных выше условиях на р, q, f задача (3)
о
и^меет единственное решение и eJf^ (По). При этом, если р слабо
д^ьфференцируема, то и является
и обобщенным решением (3).
Доказательство этой теоремы проводится в п. 2.4 по хорошо известной
схеме, основанной на теореме Рисса о представлении, однако отдель­
ные ее фрагменты оказались весьма нетривиальными в реализации.
Основную трудность представляет доказанное в п.
о
2.3 неравенство
Пуанкаре для функций из Я ' (По):
j и^йц<С j p{Vuf dp.,
Ua
По
где с не зависит от от и.
Глава 3 посвящена разрешимости задачи Дирихле для эллиптиче­
ского уравнения четвёртого порядка на П. Эта глава состоит из трёх
пунктов.
В ц.
3.1 вьгеодятся уравнения равновесия нагруженной механи­
ческой системы, составленной из стержней и пластины.
Деформа­
ция системы описывается с помощью дифференциального оператора
четвёртого порядка на стратифицированном множестве П С R^- Пока­
зано, что этот оператор является итерацией оператора, описывающего
деформацию струнно-мембранной системы в п. 1.1.
13
в п. 3.2 в пространстве Н^ (По) (^о С R " ) ищется слабое решение
задачи
1
Си{х) - f{x),
X е По
и{х) = {Vu)p{x) = О, а; G дПо
где Си = (Др(г Др) - Д , + к)щ kj
е ЬЦПа),
k>0;q>l3>0-
слабо дифференцируема, а г > а > О и р - дважды слабо дифферен­
цируемые на fio функции. Используемая схема полностью повторяет
схему, приведённую в главе 2 для оператора L,. При этом скалярное
произведение имеет вид
< u,v >= [{ApUrApV + qVu4v + kuv)dfi,
fto
a первая формула Грина немного более громоздка:
Теорема 4 Пусть
w € С^(По), и € ^ (По) тогда
} V Cw dfi= } {kvw + qVvVw
По
+ гДрУДрги) d/i+
QQ
+ / t;(gVw)i7d/i - / [v{pV{rApw))p
dUa
-
rApw(pVv)ff]dfi.
duo
В пункте 3.3 на 5По накладываются некоторые требования глад­
кости, позволяющие пояснить, в каком смысле обобщённые решения
задачи Дирихле удовлетворяют граничным условиям.
Глава 4 посвящена рассмотрению вопроса об адекватности началь­
ных отрезков спектра задач о колебаниях пластины и аппроксимирую­
щей её треугольной решётки стержней (для мембраны и сетки иэ струн
с квадратными ячейками подобный вопрос был детгшьно изучен А . В .
Комаровым, О.М. Пенкиным, Ю.В. Покорным^').
Глава состоит из трёх пунктов. Математическая модель собствен­
ных колебаний решётки G/, задается в п. 4.2 уравнениями
DhU^'^^ = Xph^ на стержнях
" К о м а р о в А . в , Пенкин О М , Покорный Ю В. О спектре частот собствеавых колебаний сетки иэ
струн // Изв. В У З о в Математика, 2000 № 4. С.23-27
14
(4)
6
Dh Yl "Г(<*) = Атпли,(а)
1=1
во внутренних узлах
(5)
" I - . = "|а=. = О-
(6)
где Ph, rrih - плотность массы; отношение массы в узле к массе ре­
бра постоянно: - — = К\ dGh - множество концов звеньев, в которых
при
решетка закреплена. Заметим, что оператор, объединяюшдй левые ча­
сти выражений (4)-(5) является бигармоническим оператором на мно­
жестве Gh, узловые точки которого наделены единичной мерой (см.
главу 3, п. 3.1).
Предпологается, что при {h -+ 0) dGh стремится к границе некото­
рой области П.
В п. 4.3 устанавливается, что первые собственные значения задачи
(4)-(6) в качественном отношении близки к соответствующим собствен­
ным значениям задачи о колебаниях пластины:
DA^v = pAv на П
о
г.
!
'^■^л
Здесь D — —у=-
г, = и " = О н а ди,
6hph-\-2mh
- жесткость пластины; р —
/iv^(l Л-а)
-—?=
масса
/i2</3
её единичной площади. Столь сложная зависимость между р. ph и
тп/, обусловлена тем, что в процессе препельного перехода необходимо
удерживать массу решётки Gh постоянной: соотношение же между D
и Dh получается при перераспределении напряжения шестиугольного
участка пластины через напряжение стержней из пучка, делящего этот
участок на треугольники из решётки GhВ качестве итоговой в главе 4 доказывается следующая
Теорема 5 Пусть
О < Aj < Лг < . •. - спектр пластины
из задачи
(7), О < A J < Aj < ... - спектр соответствующей региётки. Тогда
V(no € N)3(£ > 0)Щ0 < /i< е =► |А? - 6(1 -Ь <т)Л.| <е, i= Т7щ\.
Метод доказательства теоремы 5 по существу основан, каж и в работе
А.В. Комарова, О.М. Пенкина, Ю.В. Покорного, на использовании
15
конечно-разностного аналога оператора Лапласа, но не опирается на
явное вычисление частот колебаний сетки (решётки) и является по­
этому несколько менее конструктивным.
В главе 5 центральной является
Теорема 6 Спектральная задача
1
Си{х) = Хи{х),
Z € По
и{х) = ( V « ) ^ ( i ) ~0,х
е д0.о
о
в пространстве
Н^ (QQ) имеет
Ajt,u = uiiix), к = 1,2,
счётное множество
решений А =
Собственные значенг1Я At
и имеют, конечную кратност,ь.
вещественны
Их можно располскжить в порядке
возрастания :
О < Ai < Аа < ... А„ < . . . , А„ -^ оо.
о
Собственные функции {uk{x)}
образуют базис в Lj(fio) ^ Н^ (^о)>
ортонормированный в Ь^(По) ^ орт.огональный в смтлсле скалярного
произведения ( , ).
Она доказывается по известной схеме, использующей теорему Реллиха
о
о компактности в i^(flo) ограниченного в Я ^ (По) множества.
В заключение автор выражает признательность своим научным
руководителям О.М.
Пенкину и Ю.В.
Покорному за поддержку и
помощь в работе.
Основные р е з у л ь т а т ы диссертации о п у б л и к о в а н ы в работах:
1. Пенкин С М . , Богатов Е.М., Кашкаров Ю . М . О слабой разрешимо­
сти задачи Дирихле на двумерном клеточном комплексе / Воро­
нежский госуниверситет.- Воронеж, 1996.- 15с.- Деп. в В И Н И Т И ,
17.04.96, № 1261-В96.
2. Пенкин С М . , Богатов Е.М., Кашкаров Ю . М .
О разрешимости
эллиптических краевых задач на стратифицированных множе16
ствах // Дифференциальные уравнения. 1998. Т.34, 3Ve 9, С. 12891290.
3. Богатов Е.М., Пенкин О.М. О слабой разрешимости эллиптическо­
го уравнения 4-го порядка на стратифицированных множествах //
Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чте­
ния - I X . Тезисы докладов. - Воронеж, 1998 - С.31.
4. Богатов Е . М .
О разрешимости одной задачи линейной теории
упругости // Сборник статей гьспирантов и студентов математи­
ческого факультета В Г У . - Воронеж, 1999, С.9-15.
5. Богатов Е.М. О разрешимости задачи Дирихле для эллиптическо­
го уравнения 4-го порядка на стратифицированных множествах //
Сборник статей молодых учёных ВГУ, Выпуск 1. - Воронеж, 1999.
С. 48-53.
6. Богатов Е . М . О спектре частот собственных колебаний решётки
стержней // Современные методы в теории краевых задач. Пон­
трягинские чтения - X I . Тезисы докладов. - Воронеж, 2000 - С.22.
^ Ь ^ ^ ^
Заказ JfeJJ^f <пй2.В
2000 г Тир 7^:^Э1а Лаборатория оперативной полиграфии В Г У
17
•*г
\-
t
f^*
ri /
л > л\П
РНБ Русский фонд
2006-4
19851
-./
пиюлгооо
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
667 Кб
Теги
bd000100979
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа