close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

bd000102929

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
'://о<^и^<^4-
Полынцева Светлана Владимировна
ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ
МНОГОМЕРНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С УСЛОВИЯМИ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЯ,
З А Д А Н Н Ы М И НА Р А З Л И Ч Н Ы Х Г И П Е Р П Л О С К О С Т Я Х
Специа/хыюсть 01 01.02 — дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Красноярск-2005
Работа выполнена в Красноярском государственном упиверситете
Научный руководитель
доктор физико-математических наук
профессор Белов Ю . Я .
Официальные оппоненты
доктор физико-математич<х:ких наук
профессор Лаврентьев М М.,
кандидат физико-математических наук
доцент Любанова А . Ш .
Ведущая организация
Новосибирский государственный
университет
Защита состоится 23 декабря 2005г в 15:00 часов на заседании
диссертационного совета К 212.099 03 в Красноярском государственном
университете по адресу 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского госу­
дарственного университета.
Автореферат разослан <(.-^Р..> ноября 2005г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
доктор физико-математических наук
/////'*'
#
"
Шлапунов А.А
2006:1
111 то
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
Актуальность темы.
РАБОТЫ
Обратными задачами для дифференциалг.ных
урав(геиий принято называть задачи определения коэффициентов дифферопциальиых урнвпепий, границы области, граничных или начальных усло­
вий по той или иной информации о решениях этих уравнений. Многие
важные прикладные вопросы, касающиеся упругих смещений, электромаг­
нитных колебаний, диффузионных процессов и др. приводят к обратным
задачам.
Интерес к обратным задачам особенно интенсивен в последние 30-40 лет
п спязи с их важным прикладным значением. Они находят приложения при
решении задач мониторинга окружающей среды, управления процессами,
планирования разработки нефтяных месторождений, при созданнии новых
приборов, аппаратов и др.
Одним из сложных для исследования классов обратных задач явля­
ются коэффициентные. Коэффициентные обратные задачи
задачи об
определении коэффициентов дифференциальных операторов (обыкновен­
ных или в частных производных) по некоторой информации о решении.
Задачи идентификации коэффициентов (коэффициент(гые обратные за­
дами) ураиисний и систем уравнений в частных производных исследовались
М.М Лаврентьевым, В Г. Романовым, Ю . Е . Аниконовым, И.А
Васиным,
Л И Прилепко, А Б Костиным, А Лоренци, А М. Денисовым, А.Д. Искепдеровым, В Л . Камыниным, А . И Кожановым, В.В. Соловьевым, В . М . Иса­
ковым, Н Я Безнощенко, Н.И Иванчовым, Ю . Я . Беловым, Т.Н Шипиной,
Г.А. Кирилловой, С Н. Барановым и другими.
Обратные задачи для дифференциально-операторных уравнений иссле­
дованы в работах Д. Г. Орловско1-о.
РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ j
БИБЛИОТЕКА . . [
^."■sw^f
I
-
<•
Цедь работы.
Исследование на разрешимость задач идентификации
нескольких коэффициентов многомерных параболических уравнений с
условиями переопределения, заданными на различных гиперплоскостях.
М е т о д и к а исследования.
На огнове преобразования Фурье и усло­
вий переопределения огуществляется переход от обратных задач к прямым
вспомогательным задачам Копти для нелинейных интегродифференциальных параболических уравнений Д л я доказательства разрешимости
прямых задач используется мегод слабой аппроксимации.
О с н о в н ы е р е з у л ь т а т ы . В диссертации решены задачи одновремен­
ной идентификации нескольких коэффициентов многомерных параболиче­
ских уравнений с условиями переопределения, заданными на различных
гиггерплоскостях В peiyjTbTaTC прове;|,енных исследований доказаны тео­
ремы существования и едипствениости классических решений
1. задачи определения функции источника и коэффициента при младшей
производной,
2. задачи идентификации коэффициентов при младших производных;
3. задачи идентификации двух старших коэффициентов,
4. задачи идентификации трех младших коэффициентов,
5 задачи определения функции источника и коэффициентов при млад­
шей и второй производных;
6 задачи определения функции источника и коэффициентов при первой
и второй производных;
7. задачи идентификации трех старших коэффициентов;
8 задачи идентификации четырех коэффициентов,
9 задачи определения коэс]эфициентоБ при производных по нремепи и
пространс'гвегнюй переменной.
Н а у ч н а я н о в и з н а и п р а к т и ч е с к а я ценность. Все результаты, полу­
ченные в диссертации, являются новыми, имеют теоретическое значение и
могут быть HCiioj ьзоваиы при построении общей теории обратных задач.
А п п р о б а ц и я р а б о т ы . Основные результат1,1 диссертации докладыва­
лись и обсуждались на
семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных
уравнений Красноярского госуниверситета, руководитель — д.ф.-м.н.
Ю . Я . Белов (2001-2005гг);
I I Всесибирском конгрессе женщин-математиков, посвященном
С.В Ковалснской (г Красноярск, 15-17 января 2002г.),
I I I Мсждунлродной конференции "Симметрия и дифференциальные
уравнения"(гКрасноярск, 25-29 августа 2002 г ) ;
I I I Всесибирском конгрессе женщин-математиков, посвященном
С В Ковалевской (['Красноярск, 15-17 января 2004г.);
Международной конференции "Вычислительные и информационные
тexнoJЮГии в пауке, технике и образовании ВИТ-2004" (г Алматы,
Казахстан, 6-10 октября 2004г.);
Международной конференции "Информационные технологии и обрат­
ные задачи рационального природопользования" (г Ханты-Мансийск, 12 13
апреля 2005 г.).
П у б л и к а ц и и . По теме диссертации опубликовано шесть работ, в кото­
рых отражено се основное содержание Список работ приведен в конце
автореферата.
С т р у к т у р а диссертации. Диcce)Jтaциoннaя работа состоит из введе­
ния, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 95
наименований. Общий объем диссерта1;ии составляет 155 страниц.
СОДЕРЖАНИЕ
РАБОТЫ
В в е д е н и е содержит обоснование актуальности рассматриваемых в дис­
сертации задач Сформулированы цели, задачи исследования и методы их
решения Дано краткое содержание работы по главам.
В
главе 1 приведены известные определения и теоремы из области
функционального анализа и дифференциальных уравнений, используемые
в диссертации.
В главе 2 исследованы три задачи идентификации двух коэффициен­
тов многомерных параболических уравнений с условиями переопределе
ния, заданными на двух различных гиперплоскостях.
В
разделе 2 1 показана разрешимость задачи определения функции
источника и коэффициента при младшей производной.
В полосе С[о,г) = {{t,x,z)'\0
^ t ^ Т, х G Е2, z е Ei}
рассматривается
уравнение
ои
д и
— = L^{u)+ai{t)-^+a{t,
x)u+g{t, x)f{t, х, z)
(1)
с двумя неизвестными коэффициентами a ( i , ж), g{t,x), с начальным усло­
вием
и(0,ж,г) = ио(ж,г),
Здесь
{x,z)eE3.
, , ,
,,ч^^и
1,{и)=^аг1{1)-^ +
(2)
,,ч9^ы
а2{Ь)щ,
функции f{t,x,z),
UQ{X,Z)
заданы n Gfo.y] и Ез соответственно, коэффи­
циенты a,{t), г = 1,2, 3, - непрерывные действительнозначные функции
переменной t, Q ^ t ^Т,
причем аз(<) > 0. Z7„ - действительное п-мерное
евклидово пространство, п ^ 1, п - целое.
Предполагается, что выполняются услония переопределения на двух
различных с'инергглоскостях z — О и z = b [Ь ^ 0):
u(t, X, 0) = ip(t, х),
u(t, х, Ъ) = ^ ( i , х),
где rijo^T-] = {{<, x)\Q ^t ^Т,х
[t, х) е П[о,т),
G Е г } , b £ Ei, а (p{t, ж), ^{t, х)
(3)
заданные
функции, удовлетворяющие условиям согласования
(р[0,х) ~ щ{х,0),
^{0,x)
= Uo(x,b),
X G Е2
(4)
Ниже мы рассматриваем классические (достаточно гладкие) регнсния
Под решением обратной задачи (1)-(3) в полосе G[o,t.i, О < t» ^ Т", по­
нимается тройка функций a(t, х), g(t, х), u{t, х, г ) , удовлетворяющая соот­
ношениям (1)-(3)
Предполагая, что решение u{t,x,z)
задачи (1)-(3) допускает прямое и
обратное преобразование Фурье по переменной z:
+00
y{t,x,y)
"=1^ I
u{t,x,z)e~"'-'dz
=
F{u)(t,x,y),
-00
+ 00
u{t, x, z)=
I
v{t,X, y)e"^' dy -= F'^u^t,
x, z),
-00
приводим задачу (l)-(3) к прямой задаче для интсгродифферен1^иального
уравнения
ди
dt
^,.
, , ,
_Яеуд-ФР]
Re{Pf{t,x,b)-Q}{t,x,Q)}
^pf{t,x,b)--фf{t,x,0)
(^)
';(0, X, у) = vo{x, у),
{Х; у) е Ез,
(G)
где
+ 30
Q = V-, - ЬЛФ)
+ аз(*) I
+00
dy
y've''" dy, Р = ч>^ - ЬАч>) + (^г{t) f У'У
Здесь и далее /?еФ - действительная часть Ф ; v{t,x,y)
Уа{х,у) = F ( u o ) ( x , y ) , F{t,x,y)
= F{f){t,x,y)
=
F{u){t,x,y),
преобразования Фурье по
переменной z соответственно функн,ий и, щ, /•
Пусть функции v ' ( t , z ) , V ' ( i , ж ) , Ф = ipf-Lj{ip),
/|г=л, Р{^!з;,у)
Ф = ф1-Ь^{-ф),Уо, f\z^o,
непрерывные по t, достаточно гладкие по а;, г/ в С?[о,т] и
удовлетворяют следующим соотношениям:
pS|+pf^^|+|z?f/UI+|£''i/U=ьl+|Dfф|+|Г'fф|+
+\ОРМ + \О^.Ф\^С, и ^ 4 ;
(7)
||^D>o| + | | ^ i ? ? F K A r , | 7 К 2 ;
(8)
\УГ'\0%\ + \УГЖ^\^М,
(9)
т<^;
\yr'\^Dlvo\ + \yri^DlF\^R,
|7K2;
(10)
(f, ar,j/) £ <?(о,т]; e = const > 0; J / ^ 3 - целое, С, N, М, R- неотрицатель­
ные постоянные.
Здесь и далее 0 = (/3i,.. ,/3„), у - ( 7 ь •. ■ ,7.0 - мультииндексы, |/?| =
п
52/Зг, и О ^ = 91^1/9а;?'...аз:^".
1=1
Предпо:южим также выполнение в П[о,г] условия
\(pf{t,x,b)~ipf{t,x,0)\^
S > О, 6 = const.
(11)
Отмстим, что условие ( П ) есть условие однозначной разрешимосги
линейной алгебраической сиг гсм"ы из которой находятся а и д.
Имеет место
Теорема 1. Пусть выполняются соотно1и.ения (7) (11) Тогда в клас'^'''^t^j-i^ioi.]) сущехтвуе.т peuiewie v{t,x,y) задачи {Ъ). (6), удовлетворяю­
щее неравенству
|#|£>>((,х,г/)(<С, (t,x,y)€Gio.t.]> P = 0 , - - , f , t / + £ , | а | < 2 .
(12)
Погтояннал i,, О < <* ^ Т, зависит от постоянпыт С, N, М, R, 6 из
соотно'шений (7)-(11).
Здесь и далее в диссертации через С обозначены различные неотрица­
тельные постоянные, а через ^('^((^[о,;.]) обозначено пространство функций
/, имеющих непрерывные производные в G[o,(.] по t до порядка / и по х, до
порядка т включительно.
Доказано, что классическое решение u{t,x,z), g{t,x), a{t,x) задачи (1)(3) задается формулами
+ОС
uit,x,z)=
v(t,x,y)e""dy,
(13)
-00
9(t,x)
tpQ-фР
ipf{Ux,b)-i>f{t,x,Qy
Pfit,x,b)-Qfit,x,0)
"('•^)=^/(.,.,6)-^/(.,x.O)'
^''^
где v{t, x,y) является решением задачи (5), (6).
Согласно (12) из представлений (13), (14) следует, что тройка функций
и, д, а принадлежит классу
f/(t.) = {A(t, х, z), (i{t, х), (iiit, х)\-^е
C ° f (G(o,<.]). k = 0,u-l,
^* e C(G[o,<.j), ^i.w еС*^'(П[о,д)}
10
и имеют место иераиенстна
V-1
ЕЕ
|^i)?«(t,x.z] ^ с,
к-О \а\<2
J2
\D"Mt,x)\-\ Y.
\D'Mt,x)\
(t,x,2) е G(o/.),
(1■о
< с,
(16)
{t,x) £ П[о,,.].
Имеет место
Т е о р е м а 2.
r/(i,) существует
Пу<ть вг>толн^ются условия (4), (7)-(11)
Тогда в к пассе
ссклитвспное решение и, д, а .wdauv (1)-(3), удовиетво-
ряю1цее соотношениям
(15), (16)
В разделе 2 2 проведено исследование однозначной р£1зрешимости зада­
чи идентификации коэффициентов при младших производных.
В полосе С[о,'г] ~ {{t,x,z)\0
^ t ^Т,
х £ Е„. z G Ei]
рассматривается
уравнение
ди
д и
ди
— = L^{u)^K{t)^+a{t,x)~+g{t,x)u+f{t,x,z)
(17)
с двумя неизвестными коэффициентами a{t,x), g{t,x), с начальным усло­
вием
м(0, X, z) = uo(x, z),
(ж, z) е E„+i.
(18)
Здесь
г / л
V^
lj=l
9^'^^
^
J
V^
t=l
9'^^
"
функции / ( t , a;, z), щ{х, z) заданы в G[O,T] И ^,+1 соответственно, коэффи­
циенты K(f), a!y(t), a,(i), ) , i = l , n ,
непрерывные действительнозначные
функции неременной t, О ^ t ^ Т, Т > О, Т — const, причем к{1) > О
Здесь и ниже считаем, что a,j{t) = a;j,(f) и выполняется соотношение
п
Е
«■^^'•fj > о ^^ е ^'" <е[о,т]
u
Предполагается, что выполняются услогжя переопределения на двух
различных гиперплоскостях:
u{t,x,0)
= ip(t,x),
где П(о,г] =^ {{t,x)\0
иЦ,х,Ь)
= ф{г,х),
(<,х)еП[о,г),
(19)
< i < Т",а; g £ „ } , и ip{t,x), 4'{t,x) - заданные функ­
ции, удовле-падряютцие условиям согласования
1^(0, х) - щ{х, 0), V'(0, х) — щ(х, Ь), X е £^„, 6 7^ О, 6 = const.
(20)
Под решением обратной задачи (17)-(19) в полосе C?[o,«.j, О < t^ ^ Т,
понимается тройка функций a{t,x),
g{t,x),
u{t,x,z),
которые удовлетво­
ряют соотношениям (17)-(19).
Предполагая, что решение u{t,x,z)
задачи (17)-(19) допускает прямое
и обратное преобразование Фурье но переменной z, перейдем от задачи
(17)-(19) к прямой вспомогательпой задаче
+
Re{QifV^yv(p,x^)dy-Pift.^yv{t,x,y)e''^dy}
, ^.
^
_
_
, + F{t, X, у),
(21)
v{0, X, у) ^ vo{x,у),
[х, у) е Еп+1,
(22)
где
+00
dt
L^{>fi) 4- K{t) I y\{t, X, у) dy - /(i, x, 0),
+0O
Q = ^-L,W
+ K{t) J y\{t, X, y)e'^ dy - f{t, X, b),
—oo
Д = Д(й, x) - определитель системы алгебраических уравнений, из которой
12
определяются о и р
г+оо
д =
'^f-.ZУ^'i*^^'У)^^У
'Р
7^0,
Д|, ~ ДеД; Ss{e) - срозаюи^ая функция класса C'*(JBI), Й > О, J = const,
удовлетворяющая следуюи1,им соотношениям.
Зб{в) ^ 3 при ^ е ■^ь
в,
Sj(^) = <
л
U'
б;»5-
(23)
< а
Сделаем предположение относительно входных данных.
П у с т ь ф у н к ц и и ip{t, Х), ФИ, Х),Ф
f\z-b, F{t,x,y)
= 1Р1- Lj.{(p),
<lf = ^t-
Ь:г{Ф), Vo, f\z=0,
- непрерывные no t, достаточно гладкие по переменным х,
у в С(о,г] и удовлетворяют неравенствам
|^?%|+|z?fFi+|pf/|,=„|+|pf/u=^|+|^^^Ф|+|^?fФ|+
+\01,р\ + \0Чф\^С,
Щ^А;
\^D:VO\ + \^^^DIF\ ^ N,
(24)
(25)
Ы<2;
\yf+^-l?\^^lD%\ + \yr*-^^\^'\D^^F\ ^ М, Щ ^ 4;
(26)
|^|Р+2-|,|+.,|_^,^^| M y r ' - ' ^ ' ^ ^ | ^ D ] F | ^ R, Ь\ < 2;
(27)
{t,x,y)
е G|o,T], £ = const > О, р ^ 3, р - целое, С, N, М, R -
неотрицательные постоянные.
Предположим выполнение в П[о,г] условий
|Д(0,а:)|
5мо(а;,0)
«о(а;,Ь)—^
ал
_.9ио(а;,Ь)
^'-M(i(x,0)
"^ ' '
^z
¥'(| + |i/'t| < С , (t.s) бП[о,т]
^ (5 > О, (5 = const,
(28)
13
Имеет место
Т е о р е м а 3.
Пусть
выполняют,с.я соотношения
в K/inrre C'('^(G[o,/.]) сун1,ествует региенис v{t,x,y)
летворяющее
(23), (24)-(27) Тогда
lodavu (21), (22), удов­
неравенству
\у\''\ОуЦ,х,у)\^С,
{t,x,y)eG\o,,.],
(29)
9-=0,--- , р + 2 - | а | , р + 2 - | а | + £ ,
Постоянная
t,, О < tt ^ Т, зависит, от погтоянныг
соотношений
\а\^2.
С
N, М, R, S из
(23), (24)-(27).
Доказано, что классическое решение u{t, х, z) g{t, т), a{t, х) задачи (17)(19) задается соотношениями
100
u{t,x,z)-
/
v{t,x,y)e'"'dy,
—00
/. ч
<3J/!^2/'^(<.^.2/)^?/--P«/!^2/«(*,a;,)/)e'''"'rf3/
g{t, Х) —
—
—,
a{t,x)
=
где v{t,x,y)
РФ-
~
Qip
,
является решением задачи (21), (22)
Согласно (29) из представлений (30) следует, что тройка функций
u{t,x, z), g{t,x), a{t,x)
UiQ
= {\{t,x,z),
р^З,
принадлежит классу
,x{t,x), ^lгit,x)\ ^
€ C^;f{G^,,t,^), к ^0,1,
■.,p,
| а | < 2 . А, 6 C ( G ( o , . , ) , м,^ti £ Cf,f ( % , , . ] ) }
и выполняются неравенства
Р
ЕЕ
gk
^^,.Z?>,(i,x,z] < С ' ,
к-П |rt|<2
J2
|rt|^2
\^>it, ^)l+ E
H^2
((,a;,2)eG(o,g,
\^"9{i, x)\^C,
{t, x) e П[о,д.
(31)
(32)
14
Имеет место
Теорема 4.
Пусть
выполняются
у(лоаия (20), (24)-(28). Тогда в клас­
се U{t*) cyiu,ecTn,eyem единственное решение и, д, а задачи (17)-(19), удов­
летворяющее соотношениям
(31), (32). Постоянная
t*, О < t* ^ Т, зави­
сит от постоянных С, N, М, R, S из (24)-(28).
В pa3ACjtc 2 3 доказана однозначная разрсншмость задачи идентифика­
ции двух старших коэффициентов многомерного параболического уравне­
ния.
В полосе G[o,7] = {{t,x,z)\Q
^ I ^ Т, х & S „ , z £ Ei}
рассматривается
уравнение
д 11
dti
OIL
di " ^■'("^+«(*' ^)5?^^^*' ^^aJ^^^*^""''-''^*' ^' ^^
^^^^
с двумя неизвестными коэффициентами a{t,x), q{t,x), с начальным усло­
вием
м(0, X, z) - щ{х, z),
(х, z) g En+i
(34)
Здесь
г / \
V^
^^"
^
^"
^^^")=^,"'^^^:5^+>-"'^'
i,j-i
•'
1=1
функции f(t,x,z),
uo(x,z) заданы в G[o,r| и E„^i
соответственно, коэффи­
циенты g{t), a,j{t), a,(t), i,j = l , n , - непрерывные действительнозначные
функции переменной t, 0 < f < T , Т > 0 - const.
Предполагается, что выполняются условия 11ереонределения на двух
различных гиперплоскостях:
u{t,X,0)
= f{t, х),
u{t, X, b) = ■ф{1, х),
{t,х) е П(о,г],
(35)
где П[о,т] - {{t, ж)! О ^ f ^ Т, X е Еп), и ip[t, х), i){t, х) - заданные функ-
15
НИИ, у/|,ог!летворя!От,ие условиям согмасовапия
'^{0,х) — щ{т,0),
^/j{0,x) = ио{х,Ь),
X е Е,„
Ь^О—const.
(36)
Под решением обратной задачи (33)-(35) в пологе С[о,/.), О < <, ^ Г, по­
нимается тройка функций a{t, х), q{t, ж), и(/, х, z), которые удовлетворяют
соотношениям (33)-(35)
Предполагая cyuj,erj'BOBauH0 преобразованкя Фу1)1,е по переменной z,
)фиисдем задачу (33)-(35) к прямой BCHOMoraT('jn,Hofi задаче
,
Re{P I^_Z vMt, X, у) dy - Q / : ^ y'vjt, X, y)e^^> dy)
,,y
+
Щ ^
.+
,.^.
^'<^
g{t)v+F{t,x,y),
v{0,^,y) == vo{x,y),
{x,y) e En+i-
(38)
Здесь
P = ^
A
- Ьг{ф) - gm
- f{t,x,b),
Q - ^
- L.{<fi) - g{t)ip - f(t,x,0),
определитель системы алгебраических уравнений, из которой опреде­
ляются коэффициенты a{t,x) и q{t,x)'
Д ^ A{t,x) =
I*-ZyMi^x,y)dy
rZ
vMt, ^, УУ^ dy -г / : ~ yv{t, X, j/)e'^-' dy
+0O
A i = ReA,
By = ReB,
-ij^'^yv{t,x,y)dy
R = Pi
7^0,
+00
yv{t, x, y) dy - Qi f yv{t, x, j/)e''"' dy.
-CXI
~fX}
Сделаем предположение относительно входных данных.
Пусть функции <pit,x), i>{t,x), Ф = ip,~L^(tp), Ф = ф(-1^{ф), F{t,x,y),
f\z={), f\z ь, щ{х, у)
непрерывные но t, досгаточио гладкие по переменным
16
*j 2/ " (^[о,т] и удовлетворяю г неранегютвам (24) (25) и
\УГ~'^'^^'\0Ы
+ \УГ'-'^'^П0'.Р\
(39)
^ М, \0\ ^ 4;
(40)
\УГ'^'^'^^'\~01У,\
+ \УГ'-'\-'^^'\^О1Р\
< R, Ь\ < 2;
^0>о| +
|г/|'
5у
{t,x,y)
е С[о,г), е = const > О, р ^ 4
целое, М , Д - константы.
Предположим выполнение условий
l*<l+|*.|+l^(^)| + lV'f|+|¥'<i+|/tU|+|/,|.=ol ^ С,
|Д(0,а.)| =
\В{0,х)\ =
где 5 = const,
дщ{х, 0) д^ио{х, Ь)
dz
дио{х,0)
дио{х, Ь) д^щ{х, 0)
дг^
dz
dz^
дщ){х,Ь)\ ^ , , „
{t,x) е П[о,г1,
^6>0,
р
(41)
dz
dz
-п)—J——Уо—5—
^ о > и, же й„,
Ро - —
^
- /^Дио(а;, 6)) - г(0)«„(х, Ь) - /(О, X, Ь),
Qo = ^ ^ ^ ^ - Ь^Ых,
0)) - 5(0)«о(х, 0) - /(О, х, 0).
Имеет место
Теорема 5.
Пусть
выполняются
соотношения (23)-(25),(39),(40).
Тогда в классе С",'^.(Gp,*.]) существует
решение v{t, х, у) задачи (37), (38),
удовлетворяюш,ее неравенству
\у\'>\пуЦ,х,у)\^С,
{t,x,y)€Gio,.],
(42)
g = О, ■ • - ,р + 4 - 2 Н , р + 4 - 2|а| + е, \а\ ^ 2.
Постоянная
<,, О < f, ^ Т , зависит
от постоянных
С, N, М, R, 5 из
соотношений (23)-(25), (39), (40).
Доказано, чго классическое ppuieiiHe u[t,x,z),
(33)-(35) эадается формулами
+00
u{t,x,z)
= /
v{t,x,y)e"^dy,
a{t,x), q(t,x)
задачи
17
а(*.а;) = д ,
,,
,
q{t,x)
Р f-Z vMt,
x,y)dy-Q
-
1ДР v{t,x,y)
j : ^ yMt,
X, y)e^^ dy
Д
^^^^
,
является решением задачи (37), (38)
В силу (42) из предстанлсний (43) следует, что т]юйка функций u{t, х, г),
(?(/, х), a{t,x)
принадлежит классу U{t,)
с постоянной р ^ 4, вып0JH^ЯI0тcя
неравенства (31) и
J2\Dy(t,x)\
+ Y,\D^.Q{t,x)\^C,
\а\^2
{1,х)€Що,ц.
(44)
Н<2
Имеет место
Т е о р е м а 6.
Пусгт, выполняются
Тогда в классе U{t*)
условия (24), (25), (36), (39)-(41)
сухцествует, единственное решение и, q, а задачи
(33)-(35), удовлет,воряющее соотношениям
f
^ Т , зависит
(31), (44) Постоянная
t*, О <
от пост.оянных С, N, М, R, S из соотношений (24), (25),
(39)-(41)
Г л а в а 3 диссертации посвящена исследованию задач идентификации
трех и четырех кoэc}5фиt^иeнтoв многомерного параболического уравнения
с условиями переопределения, заданными на трех и чегырех различных
гиперплоскостях.
В ргшделе 3.1 дана общая постановка задач.
В полосе G(o,T) = {{t,x, z)\0 ^t
^Т,
х е Е„, z £ Ei)
рассматривается
= L^{u)+q^{t,x)^+q2{t,x)—+q3{t,x)u+q4it,x)f{t,x,z)
(45)
многомерное параболическое уравнение
ди
—
и и
ои
с данными Коши
и(0,х, z) = ио{х, z),
{х, z) е Е„+1.
(46)
Здесь
п
п2
п
„
М « ) = 1 ^ а . ^ - + Х,а.^,
функции f{t,x,z),
И()(ж, г) заданы в Gio.r) и -En+i соотиетсгвенно, коэф­
фициенты С1г,(<), o,{t), i,j
— I,п.
функции неременной t, х Е Е„,
непрерывные действительнозначные
O^i^T, Т >О
const.
R настоящей главе проводится исследование.
1 Задач идентификации трех коэффициентов ураинения (45), когда три
к о э ф ф и ц и е н т а q2, дз, qi и л и ^ i , q^, q.i, и л и qi, 92, 44, и л и qi, q-2, qz
нeи^nefтиы и определяются одноиремеино с функцией г/ при условии
дополнительной информации, заданной на трех различных гиперплос­
костях.
.(,,.,0, = .«,«,, .(м,Ч^*(м),
u(t, X, с) = x{t, х),
где П[о,г1 = {{t,x)\0
j„j
(t, х) е П[о,т1,
^ t ^ Т,х
е Е„},
и ф,х),
ф{1,х), xit,x)
~
!аданные функг(ии, удовлетворяюн1,ир условиям согласования
>p{Q,x)^uo{x,0),
x{Q,x) = uo{x,c),
ф{0,х)^щ{х,Ь),
X G Е„,
Ь у^ c,b ^0,с^0
— const.
Под решением задач (45)-(47) в полосе G[o,t,\> О < t, ^Т,
понимается
четверка функций и, дг, Яз, Qi или и, q\, qs, 94, или и, qi, 92, 94, или и,
9ь 92) 93i KOTopi.re удовлетворяют соотношениям (45)-(47).
2. Задачи идентис{)икации четырех коэффициентов 9», г = 1) 2,3,4, когда
все они неи!вегтны и определяются одновременно с функцией и при
условии дополнительной информап,ии (47) и условия
u{t,x,d)
^Xiit,3;),
{t,x)enioT],
(48)
10
где xi{t,x)
" заданная функция удонлетворяющая условию согласо­
вания
Xi(0,a;) = ио(ж,сг), х G £ „ ,
Ь^^с,сфд.,Ьфй,Ь^<:^,сф<д,6.ф^-
canst.
Под решением задачи (45)-(47),(48) п полосе Gjo,!.]! О < t* ^ Т , пони­
мается пятерка функций и, gj, 92, 931 94- удовлетворяющая соотно­
шениям (45)-(47),(48).
В разделе 3.2 показана однозначная разрешимость задачи (45)-(47) с
тремя неизвестными коэффициентами q2{t^x)^ 53(^^)1 94(t,x). Коэффи­
циент gi(f, х) уравнения (45) является непрерывной действительнозначной
функцией в П[о,т] и q\[t, х) > О
В разделе 3.3 иссле/дуется однозначная разрепшмость задачи идентифи­
кации трех коэффициентов уравнения (45), когда три коэффициента
q\[t,x), qz{t,x), qi{t,x)
неизвестны и определяются одновременно с функ­
цией и при условии дополнительной информации (47). Коэффициент
q2{t, х) является непрерывной действительнозначной функцией П[о,г)В разделе 3.4 рассматривается задача идентификации трех коэффициен­
тов уравнения (45), когда три коэффициента qx{t,x), q2{t,x), qi{t,x)
неиз­
вестны и определяют'ся одновременно с функцией и при условии дополни4'ejn>M0fi информации (47) Коэффициент 5з(*, ^) является заданной непре­
рывной действительнозначной функцией в Що,т]В разделе 3 5 рассматривается задача идентификации трех старших
коэффициентов уравнения (45), когда три коэффициента q:{t,x), q2{t,x),
q3{t,x) неизвестны и определяются одновременно с функцией и при усло­
вии дополнительной информации (47) Коэффициент q4{t, х) является
20
меирерывмой дейсч'цительнозначиой функцией в П^д-]
В разделе 3 С рассматривается задача идентификации четырех коэффи­
циентов qi, 92- (/3, 94 уравнения (45)
Г л а в а 4 посвящена доказательс!isy однозначной разрешимости зада­
чи идентис(5икаг(ии козфс{)ициентов при производных по времени и нространствсппой переменной для параболического уравнения в случае задачи
Коши и у(Л()1!ий переопределения, зада1нплх на двух различных гиперплос­
костях.
З а к л ю ч е н и е содержит выводы и результаты проделанной работы.
Работа Bi.niojnieira при частичной по;у(ержке Российского Фонда ФундаMeirrajHH№ix Исследований (проект 01-01-00848) и Федерального агентства
по образованию (грант А04-2.8-625).
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю
Ю Я Белову за помощь и ценные советы при работе над диссертацией.
21
О с н о в н о е с о д е р ж а н и е диссертации опубликовано в работах:
1 Белов Ю Я , Полынцсва С В О задаче идентификации трех коэффи­
циентов многомерного параболического ураниепия // Совместный вы­
пуск, часть I
Вычислительные технологии, т. 9 Вестник КазНУ,
N3(42). - Алматы-Новосибирск. 2004 С 273-280.
2 Белов Ю . Я . , Полынцева С.В Об одной задаче идентификации двух
коэффициентов многомерного параболического уравнения // Д А Н .
2004. Т.396. N5. С.583-586
3. Белов Ю . Я . , Полынцева С В Об одной обратной задаче с двумя неиз­
вестными коэффициентами // Т р П1 меж/унар. конф "Симметрия и
дифференциальные уравнения" - Красноярск: И В М СО Р А Н . 2002
С.60-65.
4. Польпщева С В . О задаче идентификации двух старших коэффициен­
тов параболического уравнения с условиями переопределения, задан­
ными на различных гиперплоскостях // Вестник КрасГУ: физикоматематические науки
Красноярск 2004. В ы п 3 С 107-112
5 Полынцева С.В О задаче идентификации коэффициентов в параболи­
ческом уравнении с условиями нереопределегшя на двух различных
гиперплоскостях // П Всесибирский конгресс женщин-математиков.
Сб статей/Под ред. О.Г Проворовой. Красноярск' К Г У 2002. С.94-99
6. Полынцева С В Обратная задача определения коэффициентов в пара­
болическом уравнении с условиями переопределения на двух различньгх гиперплоскостях ' ' П Всесибирский конгресс женщин-математи­
ков. Тезисы докладов / Под ред. О.Г Проворовой
2002. С.164-165.
Красноярск' К Г У
Подписано в печать «/У» ноября 2005г.
Формат 60 х 84 1/16
Бумага офсет. N1
Печать офсет
Ус. печат. пист. 1,25
Ус. изд. лист 1,0
Тираж 100
Заказ .ЛЧ(>.
Издательский центр Красноярского государстпенного университета,
660041, г.Красноярск, пр.Свободный, 79
«??3 5 79
РНБ Русский фонд
2006-4
23343
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
587 Кб
Теги
bd000102929
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа