close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Balabaeva Enbom kompleksnye chisla elementy teorii funkcij kompleksnoj peremennoj uchebnoe posobie 2018

код для вставкиСкачать
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ»
Кафедра высшей математики
Н.П. Балабаева, Е.А. Энбом
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Учебное пособие
Самара
2018
УДК 517.51
Б 20
Рекомендовано к изданию методическим советом ПГУТИ
протокол № 59 от 14 мая 2018 года
Рецензент
Кандидат физико–математических наук,
доцент кафедры прикладных математики и физики ФГАОУ ВО
«Самарский национальный исследовательский университет
им. академика С.П. Королева» Барова Е.А.
Балабаева, Н.П.
Б 20 Комплексные числа. Элементы теории функций комплексной
переменной: учебное пособие / Н.П. Балабаева, Е.А. Энбом. –
Самара : ПГУТИ, 2018. – 96 с.
Учебное пособие содержит теоретический и практический материал
по разделам высшей математики «Комплексные числа» и «Элементы теории функций комплексной переменной». Излагаемые основы теории сопровождаются достаточным количеством типовых задач с подробным решением. В пособии приведено большое количество заданий для проведения аудиторных практических занятий и организации и контроля самостоятельной работы студентов, а также вопросы для самоконтроля.
Учебное пособие разработано в соответствии с ФГОС ВО по
специальности 10.05.02 – Информационная безопасность телекоммуникационных систем и по направлениям подготовки бакалавриата 10.03.01 –
Информационная безопасность, 11.03.02 – Инфокоммуникационные
технологии и системы связи, 02.03.03 – Математическое обеспечение и администрирование информационных систем.
Предназначается для студентов первого курса очной и заочной форм
обучения.
© Балабаева Н.П., Энбом Е.А., 2018
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ..................................................................................... 5
§ 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ............................................................. 7
1.1 Алгебраическая форма комплексного числа ......................... 8
1.2 Арифметические действия над комплексными числами в
алгебраической форме .................................................................. 10
1.2.1 Сложение и вычитание комплексных чисел в
алгебраической форме ............................................................10
1.2.2 Умножение и деление комплексных чисел в
алгебраической форме ............................................................12
1.3 Тригонометрическая форма комплексного числа ............... 13
1.4 Свойства модуля и аргумента комплексного числа ............ 17
1.5 Возведение в степень и извлечение корня из
комплексного числа....................................................................... 19
1.5.1 Степень комплексного числа с натуральным
показателем ..............................................................................19
1.5.2 Корень степени n из комплексного числа ..................20
1.5.3 Степень числа e с комплексным показателем.
Формулы Эйлера .....................................................................23
1.6 Показательная форма комплексного числа .......................... 24
Задания для аудиторной и самостоятельной работы................. 28
§ 2. ОСНОВНЫЕ МНОЖЕСТВА НА КОМПЛЕКСНОЙ
ПЛОСКОСТИ ........................................................................................ 35
2.1 Окружность и круг на комплексной плоскости ................... 35
2.1.1 Уравнение окружности в комплексной форме ...........35
2.1.2 Открытый и замкнутый круг. Окрестность точки на
комплексной плоскости ..........................................................37
2.2 Лучи и прямые на комплексной плоскости .......................... 41
2.2.1 Прямые, параллельные осям координат. .....................41
Полуплоскости .........................................................................41
2.2.2 Уравнение луча с началом в нулевой точке ................43
2.3 Бесконечно удаленная точка. Понятие расширенной
комплексной плоскости ................................................................ 44
Задания для аудиторной и самостоятельной работы................. 47
3
§ 3. ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОЙ ФУНКЦИИ ................................ 51
3.1 Последовательность комплексных чисел и ее предел ........ 51
3.2 Комплексная функция действительной переменной ........... 52
3.2.1 Понятие комплексной функции действительной
переменой (КФДП)..................................................................52
3.2.2 Геометрический смысл КФДП .....................................53
3.3 Комплексная функция комплексной переменной ............... 54
3.3.1 Понятие комплексной функции комплексной
переменой (КФКП) ..................................................................54
3.3.2 Геометрический смысл КФКП .....................................55
3.3.3 Действительная и мнимая части КФКП ......................57
3.3.4 Предел комплексной функции комплексной
переменной ...............................................................................57
3.3.5 Непрерывность комплексной функции комплексной
переменной ...............................................................................58
3.4 Аналитические функции ......................................................... 60
3.4.1 Понятие производной комплексной функции
комплексной переменной .......................................................60
3.4.2 Понятие аналитической функции и ее свойства .........61
3.4.3 Особые точки аналитической функции и
их
классификация .........................................................................62
3.4.4 Условия аналитичности функции.................................65
3.4.5 Геометрический смысл модуля и аргумента
производной аналитической функции ..................................70
3.5 Основные элементарные функции комплексного
аргумента и их свойства ............................................................... 73
3.5.1 Показательная функция комплексной переменной ...73
3.5.2
Логарифмическая
функция
комплексной
переменной ...............................................................................77
3.5.3 Тригонометрические функции комплексной ..............80
переменной ...............................................................................80
Задания для аудиторной и самостоятельной работы................. 84
ГЛОССАРИЙ ........................................................................................ 89
Приложение Таблица производных элементарных функций .......... 95
ЛИТЕРАТУРА ...................................................................................... 96
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Разделы высшей математики «Комплексные числа» и «Элементы теории функций комплексной переменной» имеют очень
важные приложения в различных областях математического
естествознания. Основной целью их изучения является формирование у студентов систематических знаний по теории данного
раздела и умений применить аппарат комплексных чисел к решению практических задач. Освоение теории комплексных чисел и
теории комплексных функций комплексных переменных необходимо студентам для дальнейшего успешного изучения математических и технических дисциплин.
Согласно Федеральному государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования по специальности 10.05.02 – Информационная безопасность телекоммуникационных систем и по направлениям подготовки бакалавриата 10.03.01– Информационная безопасность, 11.03.02 – Инфокоммуникационные технологии и системы связи, 02.03.03 – Математическое обеспечение и администрирование информационных систем, в процессе освоения дисциплины «Математический
анализ» у студента должны быть сформированы следующие общие и специальные компетенции: владеть культурой мышления,
способностью к обобщению, анализу, постановке цели и выбору
путей ее достижения; логически верно выстраивать устную и
письменную речь; владеть основами фундаментальных математических теорий, видеть их взаимосвязь и специфику каждой из
них; формулировать математическую гипотезу в контексте изучаемых математических дисциплин, подтвердить ее или опровергнуть; применять основной аппарат фундаментальных и прикладных математических теорий к решению разнообразных теоретических и практических задач; строить и исследовать математическую модель прикладной задачи, процесса, явления.
5
Цель настоящего учебного пособия – помочь студентам
усвоить основные определения и теоремы раздела «Комплексные
числа. Теория функций комплексной переменной», научиться
выполнять действия над комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной формах, изучить новые комплексные функции комплексного аргумента, их основные
свойства, правила дифференцирования. Кроме того, пособие может помочь учащимся приобрести навыки в решении прикладных
задач, требующих применения теории комплексных чисел и комплексных функций комплексной переменной.
В разработанном учебном пособии предлагается систематизация теоретических сведений, которые сопровождаются достаточным количеством примеров, подборка задачного материала
выстроена по принципу «от простого к сложному». Причем пособие составлено так, что студенту с любым уровнем математической подготовки будет полезно рассмотреть предложенный теоретический и задачный материал в процессе обучения и использовать в будущей профессиональной инженерной деятельности.
Учебное пособие имеет следующую структуру. В начале каждого
параграфа представлен теоретический материал, который содержит определения с геометрическими иллюстрациями и основные
теоремы. Здесь же приведен разбор типовых задач, которые систематизированы и расположены в порядке возрастания сложности. Далее предлагаются материалы для проведения аудиторных
практических занятий; задачи для самостоятельного решения,
подбор и количество которых достаточны для закрепления теоретических знаний, разнообразные задания для контроля самостоятельной работы студентов под руководством преподавателя, вопросы для самоконтроля, цель которых – проверить прочность
усвоения изученных основ теории и практики. Приложения содержат основные формулы раздела.
6
§ 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Исторически комплексные числа впервые были введены в
связи с выведением формулы вычисления корней кубического
уравнения x 3  p x  q. В XIX веке после появления трудов
немецкого математика, механика, физика, астронома и геодезиста
Карла Фридриха Гаусса (1777–1855) существование комплексных
чисел стало общепризнанным.
Символ i для обозначения мнимой единицы предложил
швейцарский, немецкий и российский математик и механик Леонардо Эйлер в 1777 году, взявший для этого первую букву латинского слова «imaginarius» – мнимый. Он же распространил все
стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Термин “комплексные числа” был введен Гауссом в 1831
году. Слово «комплекс» (от латинского «complexus») означает
связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений, образующих единое целое.
После того как в XIX веке появилось наглядное геометрическое изображение комплексных чисел с помощью точек плоскости и векторов на плоскости, стало возможным сводить к комплексным числам многие задачи естествознания, особенно гидро– и аэродинамики, электротехники, теории упругости и прочности, а также геодезии и картографии. С этого времени существование «мнимых», или комплексных чисел стало общепризнанным фактом и они получили такое же реальное содержание,
как и числа действительные. К настоящему времени изучение
комплексных чисел развилось в важнейший раздел современной
математики – теорию функций комплексной переменной
(ТФКП).
Большой вклад в развитие теории функций комплексной переменной внесли русские и советские ученые: Н.И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М.В. Келдыш и М.А.
Лаврентьев – к аэро– и гидродинамике, Н.Н. Богомолов и В.С.
Владимиров – к проблемам квантовой теории поля.
7
1.1 Алгебраическая форма комплексного числа
Определение. Комплексным числом  называется символ
вида   a  i b , где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица – символ, обладающий свойством:
i 2  i  i   1. Число a называется действительной частью комплексного числа  и обозначается Re  a ; число b называется
мнимой частью числа  и обозначается Im   b .
Множество всех комплексных чисел обозначается C .
Если b  0 , то   a  i  0  a – действительное число, то
есть множество всех действительных чисел содержится во множестве всех комплексных чисел. Если a  0 , то   0  i b  i b ,
число i b называется чисто мнимым.
Комплексные числа   a  i b и   c  i d считаются равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно, то есть если a  c , b  d .
Роль нуля во множестве комплексных чисел играет число
0  i 0 , таким образом, a  i b  0 тогда и только тогда, когда
a  0 и b  0.
Определение. Комплексные числа   a  i b и   a  i b
называются комплексно–сопряженными.
Вид комплексного числа   a  i b называется алгебраической формой комплексного числа.
Рассмотрим геометрическую иллюстрацию комплексного
числа. Пусть   a  i b – комплексное число.
Возьмем на плоскости декартову систему координат и построим точку M  a , b  . Точка M и служит изображением комплексного числа  (рис. 1.1 (а)).
Плоскость, которая служит изображением комплексных чисел, называется комплексно–числовой плоскостью. Начало ко-
8
ординат, которому соответствует комплексное число 0 , называется нулевой точкой.
Рис. 1.1 (а)
Рис. 1.1 (б)
При таком изображении комплексных чисел действительные числа изображаются точками вида  a , 0  , то есть точками
оси абсцисс, а чисто мнимые числа изображаются точками  0, b 
оси ординат. Поэтому ось абсцисс называется действительной
осью, а ось ординат – мнимой осью.
Комплексное число   a  i b можно изображать также
вектором OM , начало которого находится в нулевой точке, а конец в точке M  a , b  (рис. 1.1 (б)). Числа a и b являются проекциями изображающего вектора на действительную и мнимую
оси.
Замечания: 1. Во множестве комплексных чисел нет понятия «больше» и «меньше». Это множество является неупорядоченным. Таким образом, комплексные числа сравниваются между
собой только в том смысле, что    или    .
2. Исторически сложилось так, что обычно под мнимой единицей понимают одно из значений квадратного корня из 1 , то
есть i   1 . Такое понимание является не совсем верным, так
как операция извлечения квадратного корня выполняется неоднозначно.
9
3. Мнимую единицу можно возвести в любую натуральную
степень: i 3  i 2  i   1  i  i, i 4  i3  i    i   i  i 2    1  1,
i 5  i 4  i  1 i  i и так далее.
1.2 Арифметические действия над комплексными
числами в алгебраической форме
1.2.1 Сложение и вычитание комплексных чисел
в алгебраической форме
Определение. Суммой комплексных чисел   a  i b и
  c  i d называется число      a  b   i  c  d  .
Например,  5  6 i    9  4i   14  2 i .
Свойства сложения
1) Коммутативность:  ,   C         . .
2) Ассоциативность:  ,  ,   C                . .
Определение. Разностью комплексных чисел   a  i b и
  c  i d называется такое число z , что   z   . Обозначается z     .
Пусть z  x  i y , тогда из того, что   z   следует, что
 c  i d    x  i y   a  ib ,
или
 x  c   i  y  d   a  ib .
По
определению равенства комплексных чисел x  c  a , y  d  b ,
отсюда x  a  c , y  b  d , стало быть z   a  c   i  b  d  .
Таким образом, при вычитании комплексных чисел вычитаются
их действительные и мнимые части соответственно.
Например,  5  6 i    9  4 i    4  10 i .
Сложению и вычитанию комплексных чисел можно дать
геометрическое истолкование. Изобразим числа   a  i b и
  c  i d векторами OA и OB . Так как по определению
     a  b   i  c  d  , то сумма изобразится вектором, координаты которого равны сумме соответствующих координат век10
торов OA и OB , то есть число    изобразится вектором
OC  OA  OB (рис. 1.2).
Рис. 1.2
Аналогично, разность    изобразится разностью векторов OA  OB  BA (рис. 1.3). Итак, комплексные числа складываются и вычитаются по правилам сложения и вычитания векторов.
Рис. 1.3
11
1.2.2 Умножение и деление комплексных чисел
в алгебраической форме
Определение.
Произведением
комплексных
  a  i b и   c  i d называется комплексное
чисел
число
    a c  b d   i  a d  bc  .
Нет надобности запоминать выражение для произведения
комплексных чисел. Умножать их можно по обычным правилам
умножения двучленов, с учетом того, что i 2   1:
    a  ib  c  i d   ac  ibc  i a d  i 2 bd 
  a c  b d   i  bc  a d  .
Свойства умножения
1) Коммутативность:  ,   C         .
2) Ассоциативность:  ,  ,   C                .
3) Дистрибутивность:  ,  ,   C                 .
4)   a  ib      a 2  b2 .
Доказательство.      a  bi    a  bi  
 a2  abi  abi  b2  i 2  a 2  b2   1  a 2  b2 .

комплексных чисел   a  i b и

  c  id
называется
комплексное
число
 ac bd
bc  a d
 2

i
.
2
2
2
 c d
c d
 a  ib

Чтобы найти частное двух комплексных чисел
,
 c  id
нужно умножить числитель и знаменатель дроби на число
  c  id , сопряженное знаменателю:
  a  ib   c  i d   a c  b d   i  bc  a d 



 c  i d  c  i d 
c2  d 2
Определение. Частным
12
ac  bd
bc  a d

i
.
c2  d 2
c2  d 2
Например,   5  6i ,   2  4i ,
 5  6 i  5  6 i   2  4 i  10  12 i  20 i  24 i 2




 2  4i 2  4i 2  4i 
4  16 i 2


 14  32 i
  0,7  1,6 i .
20
1.3 Тригонометрическая форма комплексного числа
Пусть дано комплексное число   a  i b в алгебраической
форме. Изобразим его вектором OM  a , b  . Обозначим через 
угол между OM и положительным направлением оси O x , а длину вектора OM – через r (рис. 1.4).
Тогда a  r cos , b  r sin  . Следовательно,   a  ib 
 r cos   i r sin   r  cos   i sin  .
  r  cos   i sin   – тригонометрическая форма комплексного числа.
Рис. 1.4
Число r называется модулем комплексного числа  и обозначается r   . Ясно, что r  a 2  b 2 .
13
Число  называется аргументом комплексного числа  и
обозначается   A rg  . Аргумент комплексного числа может
принимать любые действительные значения – как положительные, так и отрицательные. Положительные углы отсчитываются
против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке.
Однако если углы отличаются на 2  или на число, кратное 2  ,
то соответствующие точки плоскости совпадают и изображают
одно и то же комплексное число, следовательно, аргумент комплексного числа  имеет бесконечное значений, отличающихся
друг от друга на 2  k , где k – любое целое число. Значение аргумента из промежутка   ;   называется его главным значением и обозначается arg , то есть Arg   arg   2 k , k  Z .
Два комплексных числа, заданные в тригонометрической
форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на слагаемые, кратные 2  .
Из равенств a  r cos , b  r sin  следует, что
a

cos



b
r
 tg   .

a
sin   b

r
Отсюда получаем, что главное значение аргумента комплексного числа можно найти по формулам:
b

arctg
, если a  0   I или IV четверти  ,

a

b

arg     arctg   , если a  0, b  0   II четверти  ,
a

b

arctg
  , если a  0, b  0   III четверти  .

a

Пример 1. Записать в тригонометрической форме число   1  i .
14
Решение. Задана алгебраическая форма комплексного числа
  1  i  a  b  i. Значит, a  1, b   1. Найдем модуль комплексного числа: r  a 2  b 2  1 2    1  2.
2
Так как a  0 и b  0 , то угол  принадлежит IV координатной четверти. Следовательно, аргумент можно найти по формуле:
b

  arctg  arctg  1   arctg 1   .
a
4
   
  
Тогда   2 cos     i sin     – тригонометриче 4 
  4 
ская форма заданного комплексного числа.
Пример 2. Найти аргументы комплексных чисел:  1   i ,
 2  1,  3   1  i ,  4   1  3 i .
Решение. Аргументы чисел  1 ,  2 ,  3 можно найти, исходя из их геометрического представления на комплексно–
числовой плоскости (рис. 1.5).
Рис. 1.5
Число  1   i  0   1  i можно изобразить на комплексно–числовой плоскости либо точкой M 1  0,  1 , лежащей на
15
мнимой
оси,
либо
соответствующим
радиус–вектором
OM 1  0,  1 . Аргумент комплексного числа  1 будет равен углу
между этим вектором и положительным направлением оси абсцисс. Очевидно, что главное значение аргумента arg  1  
гда A rg  1  


. То2
 2 k .
2
Число  2  1  1  0  i можно изобразить на комплексно–
числовой плоскости точкой M 2 1, 0  , лежащей на действительной оси. Вектор OM 2 1, 0  сонаправлен с осью Ox . Поэтому
arg  2  0 и A rg  2  2  k.
Точка M 3  1, 1 , изображающая число  3   1  i , лежит на
биссектрисе третьего координатного угла. Значит, arg  3 
A rg  3 
3
 2 k .
4
Для числа  4   1  3 i найдем tg  
3
и
4
b  3

 3 . Так
a
1
как a  1  0 и b   3  0 , то угол  принадлежит III координатной четверти. Следовательно, аргумент можно найти по форb

2
муле: arg  4  arctg    arctg 3        . Тогда
a
3
3
2
A rg  4  
 2 k .
3
Замечание. Для чисто мнимого числа   0  b  i главное

 2 , если b  0,
значение аргумента arg   arg  b  i   
Для дей
 , если b  0.
 2
16
ствительного числа   a  0  i главное значение аргумента
0, если a  0,
arg   arg  a   
 , если a  0.
1.4 Свойства модуля и аргумента комплексного числа
Пусть комплексное число  задано в тригонометрической
форме:   r  cos   i  sin   . Тогда модуль r   и аргумент
  arg этого числа обладают следующими свойствами.
1.    a 2  b 2  
2
 r2.
2. Для любых двух комплексных чисел  и  имеют место
неравенства        ,        ; эти неравенства легко следуют из геометрического истолкования сложения и вычитания комплексных чисел.
3. Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей; аргумент произведения равен
сумме аргументов сомножителей.
Доказательство.
Пусть  1  r1  cos 1  i sin  1  ,  2  r2  cos  2  i sin  2  .
Найдем произведение этих чисел:
 1  2  r1 r2  cos 1  i sin  1   cos 2  i sin  2  
 r1 r2  cos 1 cos  2  i sin  1 cos  2  i cos  1 sin  2  sin  1 sin  2  
 r1 r2  cos 1 cos 2  sin  1 sin  2   i  sin  1 cos 2  cos 1 sin  2   
 r1 r2 cos  1   2   i sin  1   2   .
Получили комплексное число в тригонометрической форме.
Отсюда
 1  2  r1  r2   1   2 ,
arg  1   2    1   2  arg  1   arg  2  .
Методом математической индукции нетрудно показать, что
17
 1   2   3  ...   n   1   2   3 ...   n ,
arg  1   2  ...   n   arg  1   arg  2   ... arg  n  .
4. Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя; аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Доказательство. Пусть z  , тогда     z .

По свойству (3)     z
откуда
модуль
частного
и arg   arg    z   arg   arg z ,
z 

, а аргумент частного

arg z  arg   arg  .
1
; arg     arg  .
 
 
Пользуясь свойствами модуля и аргумента, можно дать геометрическое истолкование умножению и делению комплексных
чисел. Так, например, чтобы получить вектор произведения   ,
Следствие.   C :   0 
1

1
надо вектор  растянуть в  раз и повернуть на угол arg  .
В частности, при умножении на i происходит поворот на
90 0 , так как arg i  90 0 , а растяжения нет, т.к. i  1.
Замечания: 1. Сопряженные комплексные числа   a  i b
и   a  i b имеют равные модули    , а их аргументы
равны по абсолютной величине, но отличаются знаком:
arg    arg  .
2. Действительное число A так же может быть записано в
тригонометрической форме: A  A  cos0  i sin 0  при A  0 и
A  A  cos   i sin   при A  0 .
3. Модуль комплексного числа 0 равняется нулю: 0  0 , в
качестве аргумента нуля можно принять любой угол  . Действи18
тельно,
для
любого

угла
имеет
место
равенство
0  0  cos   i sin   .
1.5 Возведение в степень и извлечение корня
из комплексного числа
1.5.1 Степень комплексного числа с натуральным
показателем
Пусть задано комплексное число в тригонометрической
форме:   r  cos   i sin   .
По
свойству
модуля
и
n  
аргумента
n
 r n,
arg  n  n  arg   n   .
Поэтому имеем:  n  r n  cos n  i sin n  или
 n   r  cos   i sin     r n  cos n   i sin n   .
n
(1.1)
Формула (1.1) возведения комплексного числа в натуральную
степень называется формулой Муавра.

Пример 3. Записать число z  i  3

13
в алгебраической
форме.
Решение. Обозначим z   13 , где   i  3. Для того, чтобы воспользоваться формулой Муавра для возведения комплексного числа в натуральную степень, переведем данное число в
тригонометрическую форму.
Задана алгебраическая форма комплексного числа
  i  3   3  i  a  b  i. Значит, a   3 , b  1. Найдем
модуль комплексного числа: r  a 2  b 2 
 
3
2
 1 2  2.
Так как a  0 и b  0 , то угол  принадлежит II координатной четверти. Следовательно, аргумент можно найти по формуле:
b
1
 5
 1 
  arctg    arctg  





arctg




.

a
6
6
3
3


19
5
5 

Тогда   r  cos   i sin    2  cos   i sin   .
6
6 

По формуле Муавра:
13
 
5
5 
z  i  3   2  cos   i sin    
6
6 
 
5
5 

 2 13  cos 13   i sin13   
6
6 



13
65
65 

60  5
5 


 2 13  cos   i sin    2 13  cos
  i sin 10      
6
6 
6
6 




5
5 
3
1 

 2 13  cos   i sin    2 13  
 i    2 12  3  2 12  i .
6
6 
2 

 2
1.5.2 Корень степени n из комплексного числа
Определение. Корнем степени n
n  N 
из комплексного
числа  называется такое комплексное число  , что  n   .
Обозначается   n  .
Пусть число 
задано в тригонометрической форме
  r  cos   i sin   . Предположим, что
n
 существует, обо-
значим его через  и запишем в тригонометрической форме:
  r1  cos   i sin  . По определению корня n –ой степени
имеем:  n   , или  r1  cos   i sin     r  cos   i sin   .
Применяя формулу Муавра, получаем
r1 n  cos n  i sin n   r  cos   i sin   .
n
Имеем равенство комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме. Они равны тогда и только тогда, когда их
модули равны, а аргументы отличаются на слагаемые, кратные
2  , то есть можно записать:
r1 n  r ,
20
n     2 k , k  Z .
Откуда выразим модуль и аргумент числа  :
  2 k
r1  n r ,  
.
n
  2 k
  2 k 

 i sin
Тогда   n r  cos
 , k  Z.
n
n


Если полученное значение  возвести в степень n , то результатом будет число  . Таким образом, существование n 
доказано. Если k принимает значения 0, 1, 2, 3, ... , n  1 , то получаются n различных значений корня. При k  n, n  1, ... значения корня будут повторяться.
Таким образом, корень n –ой степени из комплексного числа
 имеет ровно n различных значений, которые вычисляются по
формуле:
  2 k
  2 k 

 k  n r  cos   i sin    n r  cos
 i sin
,
n
n


где k  0, 1, 2, ... , n  1, n r берется арифметический.
Заметим, что все n корней имеют один и тот же модуль,
равный
n
r , поэтому все они расположены на окружности радиу-
са n r с центром в нулевой точке и делят эту окружность на n
равных частей.
Пример 4. Вычислить 3  , если    4 2  4 2 i .
Решение. Запишем    4 2  4 2 i в тригонометрической форме. Так как a   4 2 , b  4 2 , то модуль комплексного числа: r  a 2  b 2  8. Поскольку a  0 и b  0 , то угол 
принадлежит II координатной четверти. Следовательно, аргумент
можно найти по формуле:
b
 3
  arctg    arctg  1    arctg 1     .
a
4 4
21
3
3 

Тогда   8  cos   i sin   .
4
4 

Запишем общую формулу для вычисления корня:
3
3




2

k


2

k


 k  3 8  cos 4
 i sin 4
 , k  0, 1, 2.
3
3




Найдем все возможные различные значения корня:
3
3 

 


k  0,  0  2  cos
 i sin
  2  cos  i sin  ,
12
12 
4
4


11 
11  

k  1,  1  2  cos
 i sin
,
12
12


19 
19  

k  2,  2  2  cos
 i sin
.
12
12


Рис. 1.6
22
При вычислении значения  2 мы нашли значение аргумента
A rg   2  
19 
, которое не является главным значением, так как
12
19 
   ,  . Запишем этот аргумент в виде
12
19  24  5 
5
A rg   2  

 2 
 2  arg   2  .
12
12
12
5
.И
Тогда главное значение аргумента равно arg   2   
12
окончательно можно записать

 5 
 5  
 2  2  cos  

i
sin


 .
12
12





Найденные значения  0 ,  1 и  2 располагаются в вершинах
правильного треугольника, вписанного в окружность с центром в
начале координат и радиусом R  2 (рис. 1.6).
1.5.3 Степень числа e с комплексным показателем.
Формулы Эйлера
Определение. Степенью числа e с комплексным показателем z  x  i y называется комплексное число
e z  e x  i y  e x   cos y  i sin y  .
1  2 i
2

i
Пример 5. Вычислить: e
, e 2 , e 3  2i .
Решение. e 1  2 i  e 1   cos2  i sin 2   e ;




 e 2   cos  i sin   i  e 2 ; e 3  2i  e 3   cos2  i sin 2  .
2
2

Рассмотрим два комплексно–сопряженных числа z  i y и
z   i y . Возведем число e в степень z и z :
e
2
2
i
e z  e i y  e 0  i y  e 0   cos y  i sin y   cos y  i sin y,
e z  e  i y  e 0  i y  e 0   cos   y   i sin   y    cos y  i sin y.
Таким образом, справедливы формулы:
23
e i y  cos y  i sin y ,
(1.2)
(1.3)
e  i y  cos y  i sin y .
Формулы (1.2) и (1.3) носят общее название формул Эйлера.
Складывая почленно равенства (1.2) и (1.3), найдем:
eiy  e iy
.
(1.4)
cos y 
2
Вычитая почленно из равенства (1.2) равенство (1.3), найдем
eiy  eiy
sin y 
.
(1.5)
2i
Формулы (1.4) и (1.5) также называются формулами Эйлера.
1.6 Показательная форма комплексного числа
Пусть   a  i b – комплексное число, заданное в алгебраической форме. Данное комплексное число можно записать в
  r  cos   i sin   ,
тригонометрической
форме
где
r    a 2  b 2 ,   arg   arctg
b
.
a
Полагая в формуле Эйлера (1.2) y   , получим:
e i   cos   i sin  .
Подставляя e i  вместо выражения  cos   i sin   в тригонометрическую форму комплексного числа, получим
  r ei .
Это и есть показательная форма комплексного числа  .
Здесь r   ,   arg  .
Пример 6. Записать в показательной форме комплексное
число    1  i 3 .
Решение. Число  задано в алгебраической форме. Чтобы
записать его в показательной форме   r  e i  , нужно найти модуль и аргумент этого числа.
24
Алгебраическая
a   1, b 
   1  i 3  a  b  i,
форма
 1 
3. Тогда r  a 2  b 2 
2
 
2
3
значит,
 2.
Так как a  0 и b  0 , то угол  принадлежит второй четверти и его можно найти по формуле:
b
 2
  arctg    arctg  3      arctg 3    
.
a
3 3


2
i
3 .
Тогда в показательной форме   2  e
Таким образом, данное комплексное число можно представить в трех различных формах:
2
2 

   1  i 3  2   cos
 i  sin

3
3


алгебраическая
форма
тригонометрическая
форма
2
i
3
2e
.
показательная
форма
Пример 7. Записать в тригонометрической и алгебраической
формах число   10 e
1

i    arctg 
3

.
Решение. Комплексное число задано в показательной форме
  10  e
1

i    arctg 
3

r ei .
Значит,
модуль
данного
числа
1
r  10 , а аргумент     arctg .
3
Тогда в тригонометрической форме число  будет иметь
вид:



1


1 
  10  cos    arctg   i  sin    arctg   .
3
3



Чтобы записать это число в алгебраической форме, нужно в
полученной формуле вычислить значения тригонометрических
функций от аргумента и раскрыть скобки.
25
По формулам приведения



1


1 
  10  cos    arctg   i sin    arctg   
3
3




1
1 


 10    cos  arctg   i  sin  arctg   .
3
3 



Вычислим отдельно:
1
 2

cos
x

2


1  tg x



1 
1
1
1
3

cos  arctg   cos x 



;

2
2
10
3 
1  tg x
10

1

1  
9

1
1
3
 x  arctg  tg x  
3
3

 2

tg 2 x
sin
x



2
2
1

tg
x


1
1


2


1 
tg x
1


3
sin  arctg   sin x 
 9 
.

2
2
10
3
1

tg
x
10

 
1

1  
9

1
1
3
 x  arctg  tg x  
3
3


3
1 

i
Итак,   10   
   3  i – алгебраическая форма
10
10 

данного комплексного числа.
Пример 8. Записать в алгебраической форме число
i arcctg
 e
3
2.
Решение. Комплексное число задано в показательной форме
iarcctg
3
2
 r  e i  . Значит, модуль данного числа r 1, а аргу3
мент   arcctg .
2
 e
26
Тогда в тригонометрической форме число будет иметь вид
3
3


  cos  arcctg   i  sin  arcctg  .
2
2


Вычислим отдельно:
 2

ctg 2 x
cos
x



2
1  ctg 2 x


3
9


2


3 
ctg x


2
4  3 ;
cos  arcctg   cos x 



2
13
2 
1  ctg 2 x
13

3

1  
4

3
3
2
x

arcctg

ctg
x



2
2


1
 2

sin
x

2


1  ctg x




3
1
1
1
2

sin  arcctg   sin x 



.

2
13
2 
1  ctg 2 x
13

3
 

1  
4

3
3
2
 x  arcctg  ctg x  
2
2

3
3
3
2


Итак,   cos  arcctg   i  sin  arcctg  
i
.
2
2
13
13




Умножение, деление, возведение в целую положительную
степень и извлечение корня целой положительной степени для
комплексных чисел, заданных в показательной форме
 1  r1 e
i 1
,  2  r2 e
1)  1   2  r1 e
2)
1
2
3)   
4)
n

n
i 1
r1  e
i 1
r2  e
i2

 r  e i
n
  r e
i 2
i
, выполняются по следующим формулам:
 r2 e


n
r1
r2
i2
e
 r1r2  e

i 1   2

i 1   2
.
.
 r n  e i n .
 r e
n
i
  2k
n
, k  0, n  1.
27
Пример 9. Представив числа z 1  1  i и z 1  1  i 3 в показательной форме, вычислить: а) z 1  z 2 ; б)
z1
z2
; в)
4
z1 .
Решение. Для числа z 1  1  i имеем: r  1 2  1 2  2 ,

i

i
  , то есть z 1  r e  2 e 4 .
4

Для числа z 1  1  i 3 имеем: r  1 2   3

2
 2,

i

i
   , то есть z 2  r e  2 e 3 .
3
а) z 1  z 2  2 e
б)
z1
z2

2e
в) z k 
z0 
2e
8
4
i
i

4

3
z1 
2e
i

16
i
4

4
2e
i

3
 2 2e
i

12
.
2 i 712

e .
2
2e
, z1 

i
4
8
 2e
2e
8
i
9
16

 2k
i 4
4
, z2 
8
, k  0, 3, тогда
2e
i
17 
16
, z3 
8
2e
i
25 
16
.
Задания для аудиторной и самостоятельной работы
1. Изобразить на комплексной плоскости числа:
z 3  2i ;
z 2  1  i;
z1  2  3i ;
z 4   5;
z 5   5  6 i;
2. Найти z 1  z 2 , z 1  z 2 , z 1  z 2 ,
а) z 1  2  7 i ;
z 2  3  i.
б) z 1  15  8 i ;
z 2  4  3 i.
в) z 1  2  3 i , z 2  2  3 i.
28
z6   3i .
z1
z2
, если:
3. Выполнить действия:
1  i  3  2 i 
а)
;
3  4 i 
в)
 5  2 i 1  3i  ;
 3  i  4  3i 
б)
2i
;
 7  i  4  7 i 
д)
1
.
  6  5 i  2  i 
4. Решить уравнения:


а)  2  3 i   z   4  i ;
б) 5  i  z  3  2 i ;
в)  2  i  x  i y   3  i ;
г) z 1  i   3  i ;
д) z  z  3 z  z  4  3i ;
е) z  z  3 z  z  3i .



5. Выполнить действия:
а) i 3 , i 4 , i 5 , i 6 ,   i  ,   2 i  ;
3
в)
i  4  5i 
 2  i  3  4 i 
;
4  5i 4  5i
е)
;

4i
4i
5



б)  i 3  4 i 4   i 2  3   i  ;
11  i 1  2 i   i
г)
;
4

3
i
2

i



3
3
 i5  2 
д)  7
 ;
i

1


2 i 4  3i 5
ж)
.
 2  3i 8  i 
6. Решить уравнения:
а) x 2  9  0 ;
б) z 2  3 z  3  0 ;
в) x 2  x  1  0 .
7. Составьте приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
а) i и  i ;
б) 7  2i и 7  2i .


  i4;
  i 5.
2
8. Найти: а) Re  z  , Im  z  , z , если z   3  i ;
б) Im   , если   i 3 ;
9. Найти
z , если z  z 1  z 2 ;
z 1  13  5 i ; z 2  1  21i .
10. Найти действительную часть Re  z  , если
z  z 1  z 2 , z 1  2  cos60 0  i sin 60 0  , z 2  3 cos120 0  i sin120 0 .
29
11. Найти Im  z  и z , если
z  z1  z 2 ;
z 1  8  15 i ; z 2   6  8 i .
12. Выполнить:
а) Найти
z , если z   3  i ;
б) Найти (в градусах)   arg z , если z   3  i ,
180 0    180 0 .
в) Найти
z , если z  z 1  z 2 ;
z 1  13  5 i ; z 2  1  21i .
г) Найти действительную часть Re  z  , если
z  z 1  z 2 , z 1  2  cos60 0  i sin 60 0  , z 2  3 cos120 0  i sin120 0 .
д) Найти
z , если z  z 1  z 2 ;
z 1  8  15 i ; z 2   6  8 i .
13. Представить в тригонометрической форме данные комплексные числа:
z1  1  i 3 ;
z 2  3;
z5   2  2 i ;
z6  2  3 3i;
z 7   2i ;
z 8   12 ;
z9   3  i ;
z 10  2  i 2 .
14. Найти z 1  z 2 ;
z1
z2
z 3  5i ;
z 4  1  i;
, если
z 1  2  cos30 0  i sin 30 0  ; z 2  3 cos 45 0  i sin 45 0  .
15. Найти z 1  z 2 ,
z1  z 2 ,
z1  z 2 ,
z1
z2
, если
z 1  2  3 i , z 2  2  3 i . Записать тригонометрическую
форму этих чисел.
16. Представить в алгебраической форме комплексные числа:
11
11 




а) z 1  4  cos  i sin  ;
б) z 2  2  cos   i sin   ;
6
6 
6
6


3
3 

в) z 3  4  cos 210 0  i sin 210 0  ; г) z 4  7  cos   i sin   ;
2
2 

30
1  2 i   1  i  .
7
7 

д) z 5  2  cos   i sin   ; е) z 4 
3
2
4
4 

3  2 i    2  i 
2
3
17. Представить в тригонометрической форме комплексные числа
z1
, если z 1  1  i ; z 2   3  i .
z 1 и z 2 и найти z 1  z 2 ;
z2
18. Записать z 
1 i 3
в тригонометрической
0
0
2 i  cos 60  i sin 60 
форме.
19. Найти произведение и частное комплексных чисел:
13
13 
3
3 


z 1  3  cos   i sin   , z 2  7  cos   i sin   .
4
4 
8
8 


20. Найти комплексное число z , удовлетворяющее уравнению:
 i  z 1  2 i   1  i z  3  4 i   1  7 i , и записать его в алгебраической и тригонометрической формах.
21. Записать в алгебраической форме комплексные числа:
 2 i  1
2
1 3 i
13  12 i
z1 

; z2  
 ;
2
i
6i  8
i2



 

i  3  cos  i sin 
12
12 

z3 
.
1 i
22. Запишите в алгебраической форме комплексное число:
1
13
13 

а) 2  cos   i sin   ;
б)
.


6
6






cos     i sin   
 3
 3
23. Запишите в тригонометрической форме комплексные числа:





 
а) cos  i sin ;
б)  cos  i sin ; в) 3 sin  i cos  .
5
5
7
7
5
 5
24. Выполните действия и запишите результат в алгебраической
форме:

2

31

 
3
3 

а) 4  cos  i sin   cos
 i sin  ;
10
10  
20
20 




б) 3 3  i  cos  i sin  ;
12
12 

i
в)
;


cos  i sin
4
4
3
3 



г)  1  i   cos
 i sin  cos  i sin  .
8
8 
8
8



25. Найти z , если z    8  6 i  .
6

26. Найти (в градусах)   arg z , если z  1  i 3

27. Найти модуль и аргумент комплексного числа
1  i  .
z
7
1  i 
20
.
13

28. Записать число z  i  3

в алгебраической форме.
16
29. Представить z в алгебраической форме:



13
cos  i sin  1  3 i


3 i
3
3
б) z  
а) z   
  ;
2
i5
 2


7
.
30. Записать число z в тригонометрической и алгебраической
форме, если: а) z 
1  i 

 1  i
100
3i

50
б) z 
,
50

3i
в)
1  i  ;
4
1  i 

25
.
31. Вычислить:

г) 1  i 3
32


б) 1  i  1  3 ;
а) 1  i  ;
8
25
 
7

7
 1 i 3 ;
д)
6

5
1  i 3
1  i 

20
15


1  i 3
1  i 

20
15
;

 
16 i  sin  i cos 
3
3

е)
.
4
3i


32. Найти все значения корней и дать геометрическую иллюстрацию на окружности:
1)
3
 4  48 i ;
2) 8 1  i ;
3)
6
 64;
4)
4
1  i 3 ;
5)
5
 8  8i 3 ;
6) 3 8 ;
7)
6
 1;
8)
6
1;
9)
3
2  2i ;
10)
6
27; 11)
8
1 i
;
3i
12)
6
1 i
.
1 i 3
33. Решить уравнения:
1) 4 z 2  5  0;
2) z 2  6 z  16  0;
3) z 2  10 z  28  0;
4) z 2   81 ;
5) 9 z 2  125  0 ;
6) z 2  6 z  13  0 ;
7) z 4  81  0;
8) z 4  81  0;
9) z 2  20 z  92  6 i  0;
12) z 6  1  0.
10) z 5  125  0; 11) z 4  64  0;
34. Из всех десяти значений
10
 1 взято комплексное число,
имеющее наибольший аргумент arg z  
  180
0
   180 0  .
Найти  .
35. Комплексные числа z 1  1  i и z 2   3  i представить в
показательной форме и найти:
z1
а) z 1  z 2 ; б ) ; в ) z 1 28 ; г )
z2
3
z2.
36. Комплексные числа z 1   2 3  2 i и z 2  3  3i представить в показательной форме и найти:
z1
а) z 1  z 2 ; б ) ; в ) z 110 ;
г ) z 1 3  z 26 ;
z2
д) 3 z 1 2 .
33
Вопросы для самоконтроля
1. Что называется комплексным числом?
2. Охарактеризуйте множество комплексных чисел.
3. Как можно сравнить два комплексных числа?
4. Запишите комплексное число в алгебраической форме.
Какие действия можно производить над комплексными числами
в алгебраической форме? Охарактеризуйте каждое действие.
5. Запишите комплексное число в тригонометрической форме. Какие действия можно производить над комплексными числами в тригонометрической форме? Сформулируйте правила перехода из алгебраической формы в тригонометрическую и из
тригонометрической формы в алгебраическую.
6. Запишите комплексное число в показательной форме. Какие действия можно производить над комплексными числами в
показательной форме? Охарактеризуйте каждое действие.
Задания для контроля самостоятельной работы
Вариант Ι.
1. Выполнить действия:
8  2i
а)
;
2

4
i
13

4
i



б)
1  2 i 11  2 i  .
3  2i
2. Комплексные числа z 1  1  i и z 2  2 6  5 i представить в
тригонометрической форме.
Вариант ΙΙ.
1. Выполнить действия:
5  5i
а)
;
 2  3i  3  6 i 
2. Комплексные числа z 1 
тригонометрической форме.
34
б)
10  i 1  5 i  .
9 i
3  i и z 2   2 i  8 представить в
§ 2. ОСНОВНЫЕ МНОЖЕСТВА НА КОМПЛЕКСНОЙ
ПЛОСКОСТИ
Как известно, комплексные числа изображаются точками на
комплексной числовой плоскости, при этом каждому комплексному числу z  x  i y , соответствует единственная точка
M  x , y  на комплексной числовой плоскости, и обратно, каждой
точке M  x , y  на комплексной числовой плоскости соответствует единственное комплексное число z  x  i y , изображением
которого служит точка M . Таким образом, если дано некоторое
множество комплексных чисел E , то его изображением на плоскости будет некоторое точечное множество.
В дальнейшем мы будем отождествлять понятия комплексного числа и точки на комплексной числовой плоскости, множества комплексных чисел и точечного множества на плоскости.
2.1 Окружность и круг на комплексной плоскости
2.1.1 Уравнение окружности в комплексной форме
Пусть z 1 и z 2 – две точки на комплексной числовой плоскости.
Обозначим расстояние между этими точками через
  z 1 , z 2  . Покажем, что   z 1 , z 2   z 1  z 2 .
В самом деле, пусть z 1  x1  i y1 , z 2  x 2  i y 2 . Найдем раз-
ность этих чисел:
z 1  z 2   x1  x 2   i  y 1  y 2  .
Тогда модуль разности будет равен
z1  z 2 
x
 x 2    y1  y 2  ,
2
1
2


а это есть расстояние между точками с координатами x1 , y1 и
 x , y  , то есть между точками
2
2
z 1 и z 2 на комплексной число-
вой плоскости. Итак,
35
  z1, z 2   z1  z 2 .
(2.1)
Рассмотрим окружность с центром в точке z 0  x 0  i y 0 радиуса R . Пусть z  x  i y – произвольная точка окружности.
Рис. 2.1
По определению окружности как геометрического места точек, расстояние от которых до заданной точки z 0 постоянно и
равно R, имеем   z, z 0   R (рис. 2.1).
С другой стороны, расстояние между двумя точками на
комплексной плоскости по формуле (2.1)   z, z 0   z  z0 .
Отсюда получим равенство
z  z0  R.
(2.2)
Это уравнение окружности в комплексной форме.
Пример 10. Выяснить, какая линия определяется заданным
уравнением, и построить эту линию:
1) z  3  i  2 ;
2) z  3 .
Решение. 1) Уравнение
z  3  i  2 запишем в виде
z    3  i   2 . Это уравнение окружности в комплексной
форме вида (2.2) с центром в точке z 0   3  i и радиусом R  2
(рис. 2.2 (а)).
36
Рис. 2.2 (а)
Рис. 2.2 (б)
2) Уравнение z  3 можно записать в виде z  0  3 . Это
уравнение вида (2.2), где z 0  0 , а R  3 . Следовательно, искомая линия – это окружность радиуса R  3 с центром в начале координат (рис. 2.2 (б)).
2.1.2 Открытый и замкнутый круг. Окрестность точки
на комплексной плоскости
Выясним, какое множество задается неравенством
z  z0  R.
(2.3)
Рассмотрим z  x  i y – переменную точку комплексной
плоскости; x и y – переменные величины. В этом случае
z  x  i y – комплексная переменная, z 0  x 0  i y 0 – фиксированная точка.

 
Рассмотрим разность z  z 0  x  x 0  i y  y 0

и найдем
модуль этой разности:
z  z0 
 x  x0    y  y0  .
2
2
Тогда
z  z0  R

 x  x0    y  y 0   R.
2
2
Возведем обе части последнего неравенства в квадрат:
37
x  x    y  y 
2
0
2
0
 R2.
Это неравенство определяет на плоскости xOy открытый
круг с центром в точке  x 0 , y 0  радиуса R .
Этот же результат можно получить из геометрических соображений. Неравенство z  z 0  R означает, что расстояние от
произвольной точки z данного множества до точки z 0 меньше
числа R , то есть все точки, удовлетворяющие данному неравенству, лежат внутри окружности радиуса R и центром в точке z 0 .
При этом точки окружности не принадлежат данному множеству.
Множество точек, определяемое неравенством z  z 0  R
называется открытым кругом на комплексной плоскости с
центром в точке z 0 и радиусом R (рис. 2.3(а)).
Рис. 2.3 (а)
Рис. 2.3 (б)
Рассмотрим теперь аналогичное нестрогое неравенство:
(2.4)
z  z0  R.
В этом случае неравенству удовлетворяют как точки, лежащие внутри окружности с центром в точке z 0 и радиусом R , так
и точки самой этой окружности.
38
Множество точек, определяемое неравенством z  z 0  R
называется замкнутым кругом на комплексной плоскости с
центром в точке z 0 и радиусом R (рис. 2.3(б)).
Окрестностью точки z 0 радиуса  (или  – окрестностью) называется геометрическое место точек z , удовлетворяющих неравенству z  z 0   .
Таким образом, окрестностью точки на комплексной плоскости является любой открытый круг с центром в этой точке.
Если неравенство z  z 0  R задает множество точек лежащих внутри окружности, то неравенство z  z 0  R будет
определять множество точек плоскости, лежащих вне окружности.
Таким образом, множество z  z 0  R – часть плоскости
вне круга с центром в точке z 0 и радиусом R (так называемая
внешность круга) (рис. 2.4 (а)).
Рис. 2.4 (а)
Рис. 2.4 (б)
Если неравенство нестрогое z  z 0  R , то точки окружности также принадлежат данному множеству (рис. 2.4 (б)).
Пример 11. Изобразите на комплексной плоскости множества точек, удовлетворяющим следующим условиям:
39
 z  1  3
2) 
.
z

2

1
Решение. 1) Условие z  1  i  
определяет множество то2
чек z  x  i y, удаленных от точки 1  i  на расстояние, мень-
1
1) z  1  i   ;
2
1
. Все такие точки заполняют круг с центром в точке 1  i 
2
1
и радиусом .
2
 z  1  3
2) В данной системе 
первое неравенство z  1  3
 z  2
представляет геометрически внутреннюю часть круга с центром в
точке z 1  1 радиуса R1  3 , причем сама окружность не включашее
ется в область, так как неравенство строгое. А второе неравенство
z  2 представляет внешность круга с центром в точке z 2  0
радиуса R 2  2 , причем сама окружность включается в область,
так как неравенство нестрогое.
Решение изображено графически на рис. 2.5.
Рис. 2.5
40
2.2 Лучи и прямые на комплексной плоскости
2.2.1 Прямые, параллельные осям координат.
Полуплоскости
Рассмотрим уравнение
(2.5)
Re z  a , a  const .
Так как z  x  i y , то Re z  x и данное уравнение можно
записать в виде x  a. Это уравнение прямой, параллельной оси
Oy .
Таким образом, уравнение (2.5) – это уравнение прямой, параллельной мнимой оси.
Тогда неравенство
(2.6)
Re z  a , a  const
можно записать в виде x  a , то есть это неравенство определяет
множество точек, лежащих в полуплоскости правее прямой x  a ,
причем точки прямой не входят в это множество (рис. 2.6 (а)).
Аналогично, неравенство Re z  a , a  const определяет
множество точек, лежащих в полуплоскости левее прямой x  a ,
причем точки прямой не входят в это множество (рис. 2.6 (б)).
Рис. 2.6 (а)
Рассмотрим теперь уравнение
Im z  b , b  const .
Рис. 2.6 (б)
(2.7)
41
Так как z  x  i y , то Im z  y и данное уравнение можно
записать в виде y  b. Это уравнение прямой, параллельной оси
Ox .
Таким образом, уравнение (2.7) – это уравнение прямой, параллельной действительной оси.
Тогда неравенство
Im z  b , b  const
(2.8)
можно записать в виде y  b , то есть это неравенство определяет
множество точек, лежащих в полуплоскости выше прямой y  b ,
причем точки прямой не входят в это множество (рис. 2.7 (а)).
Неравенство Im z  b , b  const определяет множество точек, лежащих в полуплоскости ниже прямой y  b , причем точки
прямой не входят в это множество (рис. 2.7 (б)).
Рис. 2.7 (а)
Рис. 2.7 (б)
Пример 12. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющее условию 0  Im z  2.
Решение. Пусть z  x  i y. Так как Im z  y , то неравенство
0  Im z  2 можно записать так: 0  y  2 . Множество, определяемое данным неравенством, представляет собой бесконечную
горизонтальную полосу между прямыми y  0 и y  2 . При этом
точки, лежащие на прямой y  2 не принадлежат данному множеству (рис. 2.8).
42
Рис. 2.8
2.2.2 Уравнение луча с началом в нулевой точке
Рассмотрим луч, начало которого находится в нулевой точке
(рис. 2.9). Пусть z – произвольная точка этого луча. Известно,
что аргумент комплексного числа z геометрически означает угол
между вектором, изображающим число z , и положительным
направлением оси O x . А так как для любой точки луча этот угол
один и тот же, то уравнение луча имеет вид
arg z   0 .
(2.9)
Рис. 2.9
Рис. 2.10
Пример 13. Какое множество задается неравенством


2
 arg z 

4
?
43
Решение. Построим границы этого множества. Чтобы получить уравнения границ, заменим в каждой части данного неравенства знак "  " на знак "  " .
1) arg z  
под углом 

2
– это луч, выходящий из начала координат

к положительному направлению оси абсцисс, то
2
есть луч, совпадающий с отрицательной частью мнимой оси.
2) arg z 
углом

4
– это луч, выходящий из начала координат под

к положительному направлению оси абсцисс, то есть
4
луч, совпадающий с биссектрисой первого координатного угла.
Так как неравенства строгие, то точки, лежащие на этих лучах, не принадлежат данному множеству.
Значение аргумента любой точки z искомого множества
находится между значениями аргументов точек, лежащих на граничных лучах. Значит, искомое множество – это часть плоскости,
заключенная между лучами arg z  

2
и arg z 

4
(рис. 2.10).
2.3 Бесконечно удаленная точка. Понятие расширенной
комплексной плоскости
В теории функций комплексной переменной вводится так
называемое несобственное число:  . Этому числу на комплексной плоскости ставится в соответствие некоторая воображаемая
точка, которую называют бесконечно удаленной точкой. В теории функций комплексной переменной бесконечно удаленная
точка считается единственной. Предполагается, что в этой точке
пересекаются все прямые комплексной плоскости.
Множество комплексных чисел C , дополненное бесконечно
удаленной точкой, называется расширенной комплексной плос44
костью и обозначается C .
Окрестностью бесконечно удаленной точки называется
внешность круга с центром в начале координат (то есть в точке
z 0  0 ) радиуса R . Эта окрестность записывается в виде неравенства z  R .
С бесконечно удаленной точкой можно производить следующие действия:
     ;         0  ;          ;

 0;

 ;


  0  .


0
Действия    , 0   не определяются.
Пусть E – некоторое множество точек на расширенной
комплексной плоскости.
Точка z  x  i y называется внутренней точкой множества
E , если она принадлежит этому множеству вместе с некоторой
своей окрестностью.
Множество E называется открытым, если каждая его точка – внутренняя.
Множество E называется связным, если любые две его точки можно соединить ломаной, целиком состоящей из точек этого
множества.
Областью на комплексной числовой плоскости называется
открытое связное множество.
Примером области является окрестность точки.
Точка z 1 называется граничной точкой множества E , если
в любой ее окрестности содержатся как точки, принадлежащие
множеству E , так и точки, не принадлежащие этому множеству.
Совокупность всех граничных точек множества E называется границей этого множества.
Область E с присоединенной к ней границей называется
замкнутой областью и обозначается E .
45
Множество E называется ограниченным, если существует
круг конечного радиуса z  R , целиком содержащий в себе это
множество.
Пример 14. Постройте и охарактеризуйте множества точек
на комплексно–числовой плоскости, которые определяются усло2  z  3,
виями: 1) 
2) Im z 2  2.
  4  arg z   2;
Решение. 1) Первому неравенству системы удовлетворяют
те и только те точки плоскости, расстояние от которых до начала
координат больше двух и меньше трех, то есть точки открытого
кольца между двумя окружностями с центром в нулевой точке и
радиусами 2 и 3 соответственно. Второе неравенство определяет
часть плоскости между двумя лучами: биссектрисой четвертого
координатного угла и положительной частью мнимой оси.
Рис. 2.11
Решением системы будет множество точек, одновременно
принадлежащих двум полученным множествам (рис. 2.11).
Построенное множество открытое, ограниченное, связное и
является областью.
2) Пусть z  x  i y.
46


Тогда z 2   x  i y   x 2  y 2  i 2 x y. Следовательно, Im z 2  2 xy.
2
По условию, 2 x y  2 или x y  1. Это неравенство определяет
множество точек в первой и третьей четвертях, соответственно
над и под гиперболой x y  1 (рис. 2.12).
Рис. 2.12
Полученное множество является открытым, несвязным и
неограниченным. Областью данное множество не является, так
как оно несвязное.
Задания для аудиторной и самостоятельной работы
1. Выяснить геометрический смысл данных соотношений и
изобразить множества, определяемые этими соотношениями.
1) z  2  1;
2) z  3i  2;
3) z  1  4i  4;
4) Re z  3;
5) Im z   1;
6) Im z  5;
7) z  5;
8) z  4 i  4;
9) z  1  i 3  2;
10) z  i  4;
11) 1  z  3  2;
12) 1  z  1  i  3;
13) 2 i  z  12;
14) i  z  1;
15) 1  Re z  3;
16) 0  Im z  2,5;
17) 0  z  i  1;
18) arg z   ;
19) arg z 

;
4
20) 

4
 arg z 

4
; 21)
2
4
 arg z 
.
3
3
47
2. Запишите посредством неравенств с комплексной переменной определение областей:
1) кольцо, заключенное между окружностями радиуса 1 и 2 с
центром в точке 2i ;
2) правая полуплоскость относительно оси ординат, ось не входит в область;
3) область между лучами: отрицательная часть мнимой оси и
биссектриса третьего координатного угла;
4) полукруг в нижней полуплоскости с центром в точке ноль, радиуса 3.
5) область между лучами: биссектрисы третьего и четвертого координатных углов;
6) внешность круга с центром в точке 3i радиуса 1;
7) область между лучами: положительная часть мнимой оси и
биссектриса второго координатного угла;
8) кольцо, заключенное между окружностями радиуса 1 и 3 с
центром в точке  4  2i  ;
9) область между биссектрисами третьего и четвертого координатных углов.
3. Определите, какое множество точек определяется неравенствами:
 z  1,


 z  3

0  arg z 
2) 
3) 
1) 
4
1
 Re z  1,5
 Re z  
Im z  2

2
2



 z 4
 0  arg z 
  arg z 
5) 
6)  6
4) 
3
4
Im
z

1

 Re z  2
Im z  5
4. Изобразите на комплексной плоскости числа z 1  2  3 i и
z 2   5  2 i , а также числа:
1) z 1 ;
48
2)  3 z 2 ;
3) z 1  z 2 ;
4) z 1  3 z 2 .
5. Изобразите на комплексной плоскости числа z 1  1  i и
z 2   1  3 i , а также числа:
2) z 1  z 2 ;
1) 3 z 1 ;
3)  2 z 2 ;
4) 3 z 1  2 z 2 .
6. Изобразите на комплексной плоскости множество всех
чисел z, у которых:


3
1) arg z  и z  2.
2)  arg z 
и
2
4
4
5
3
2

 arg z 
 arg z  и z  8. 4) 
3) 
и 1  z  2.
6
4
3
6
7. На комплексной плоскости найти все точки, изображающие комплексные числа z, удовлетворяющие следующим условиям:
1) Re z   Im z  ;
2
3) arg  z  i  

3
;
2) Re z  Im z  0;
4)  Re z    Im z   1.
1
;
3i
5) Re z  Im z ;
6) z  z 
7) z  i  z  2  3i ;
8) z  1  z  1
9) z  2 
z
;
2
2
2
 4;
10) Re z  4 или Im z  4;
1
12) z  Re z  1.
 1;
z
8. Изобразите на комплексной плоскости множество всех
чисел z, у которых аргумент:
3

1) больше чем 
, но меньше чем ;
4
6

3
2) больше чем
или меньше чем ;
6
4
2

3) отличается от 
не более чем на .
3
6
11) Re
49
9. Используя геометрическое истолкование действий над
комплексными числами, найдите длины сторон и внутренние углы треугольника, вершинами которого являются точки z 1  3  i,


z 2  5  3 i, z 3  7  2 3  3 i.
10. Среди комплексных чисел, удовлетворяющих условию,
z  25 i  15, найдите число, имеющее наименьший положительный аргумент.
Вопросы для самоконтроля
1. Запишите уравнение окружности в комплексной форме.
2. Запишите уравнение луча в комплексной форме.
3. Что называется окрестностью точки на комплексно–числовой
плоскости?
4. Что называется расширенной комплексно–числовой плоскостью?
5. Что называется окрестностью бесконечно удаленной точки на
комплексно–числовой плоскости?
6. Какая точка z  x  i y называется внутренней точкой множества. Какое множество точек комплексно–числовой плоскости
называется открытым?
7. Какое множество называется связным, какое множество называется открытым связным? Проведите сравнительный анализ подобных множеств.
8. Что называется областью на комплексной числовой плоскости?
Приведите примеры области. Что называется замкнутой областью на комплексной числовой плоскости? Приведите примеры
замкнутой области.
9. Какая точка называется граничной точкой области? Что представляет собой совокупность всех граничных точек области?
10. Какое множество называется ограниченным? Приведите примеры ограниченных и неограниченных множеств на комплексной
плоскости.
50
§ 3. ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОЙ ФУНКЦИИ
3.1 Последовательность комплексных чисел и ее предел
Рассмотрим последовательность комплексных чисел
z 1 , z 2 , z 3 , ... z n , ...
Комплексное число z 0 называется пределом последовательности  z n  , если    0  N     N :  n  N    , выполняется z n  z 0   . Обозначается lim z n  z 0 .
n
Неравенство z n  z 0   . означает, что z n находится внутри окружности с центром z 0 и радиусом  . То есть, начиная с
некоторого номера, все члены последовательности должны попадать в  – окрестность точки z 0 .
Бесконечно удаленная точка является пределом последовательности
z  ,
n
если
E0
 N E  N :
 n  N  
 z n  E. Обозначается lim z n   .
n
Неравенство z n  E означает, что все члены последовательности с номерами n  N находятся вне окружности с центром в точке  0, 0  и радиусом E , то есть попадают в окрестность бесконечно удаленной точки радиуса E .
Рассмотрим последовательность комплексных чисел
z 1 , z 2 , z 3 , ... z n , ... ,
где z 1  a1  i b1 ,
z 2  a 2  i b2 ,
(3.1)
z 3  a 3  i b3 , и так далее,
z n  a n  i b n ,... Пусть эта последовательность сходится к ком-
плексному числу z 0  a 0  ib0 , то есть lim z n  z 0 .
n
Составим последовательности из действительных и мнимых
частей членов последовательности (3.1):
(3.2)
a1 , a 2 ,... a n ,...
51
b1 , b 2 ,... b n ,...
(3.3)
Последовательности (3.2) и (3.3) – это последовательности
действительных чисел.
Теорема (о связи между пределом последовательности
комплексных чисел и пределами ее действительной и мнимой
частей). Для того чтобы последовательность (3.1) имела своим
пределом число z 0 , необходимо и достаточно, чтобы последовательность действительных частей членов данной последовательности сходилась к действительной части числа z 0 , а последовательность мнимых частей – к мнимой части числа z 0 .
Или кратко: Для того чтобы lim z n  z 0 , необходимо и доn
статочно, чтобы lim a n  a 0 , lim b n  b0 .
n
n
3.2 Комплексная функция действительной переменной
3.2.1 Понятие комплексной функции действительной
переменой (КФДП)
Рассмотрим множество T  R .
Определение. Если каждому t  T ставится в соответствие
единственное комплексное число z , то такое соответствие называется комплексной функцией действительной переменной,
заданной на множестве T .
Обозначение: z  f  t  , z  z  t  .
Кратко на языке кванторов математики записывают это
определение так: z  z  t :  t  T ! z  С.
Так как числу t соответствует комплексное число z , а
z  x  i y , то получается, что каждому t  T ставится в соответствие единственное число x  R и единственное число y  R . То
есть действительная и мнимая части числа z тоже являются
функциями от переменной t :
52

 x   t  ,
t T .
(3.4)

y


t



И обратно, если задать пару действительных функций вида
(3.4) и составить сумму z    t   i   t  , то получим комплексную функцию действительной переменой t .
Таким образом, задание комплексной функции действительной переменной z  z  t  на множестве T равносильно заданию
функций (3.4) на множестве
z  z t    t   i  t  .
T
и
можно
писать
Определение. Комплексная функция действительной переменной называется непрерывной на множестве, если на этом
множестве непрерывны действительная и мнимая части этой
функции.
Пример 15. Найти область непрерывности функции
z  t 2  i ln t , z  x  i y .
Решение.
2

 x  t  непрерывна на R  непрерывна на  0,   
.


 y  ln t  непрерывна на  0,   
Следовательно, z  t 2  i ln t непрерывна на  0,    .
3.2.2 Геометрический смысл КФДП
Пусть функция z    t   i   t  непрерывна на множестве
T , то есть функции x    t  , y    t  непрерывны на множестве

 x   t  ,
T . Пусть T   ,   . тогда функции 
задают непреy


t




рывную кривую, причем различным t   ,   соответствуют
различные точки плоскости. Если при этом концам t   и t  
соответствует одна точка, то кривая замкнутая.
53
Итак, z    t   i   t  задает на плоскости непрерывную
кривую, поэтому
z    t   i   t  – уравнение кривой в ком-
плексно–параметрической форме.
Пример 16. Выяснить, какая кривая задана уравнением
z  t  1  i t 2 ,  1  t  1 2.
Решение. Кривая задана комплексно–параметрическим
уравнением. Перейдем к параметрическому заданию кривой:
 x  t  1,
 1  t  1 2.

2
y

t


t  x  1,
Исключим параметр t : 
1 t 1 2.
2
y

x

1




x  t  1 – непрерывная, возрастающая функция, следовательно,
большему значению аргумента соответствует большее значение
функции, значит из неравенства
 1  t  1 2 следует
1 x 11 2 
Итак,
 2  x   1 2.
получили
уравнение
кривой
y   x  1 ,
2
где
 2  x   1 2.
Это парабола с вершиной в точке   1, 0  , ветвями вверх.
3.3 Комплексная функция комплексной переменной
3.3.1 Понятие комплексной функции комплексной
переменой (КФКП)
Пусть E – множество комплексных чисел.
Определение. Если каждому комплексному числу z  x  i y
из множества E поставлено в соответствие определенное комплексное число w  u  i v , то говорят, что на множестве E
определена комплексная функция комплексной переменой, и
обозначают этот факт так: w  f  z  . Множество E называется
областью определения функции.
54
Когда точка z пробегает все множество E , значения функции w пробегают некоторое множество H , которое называется
областью изменения функции.
3.3.2 Геометрический смысл КФКП
Рассмотрим две комплексные числовые плоскости
 w.
На плоскости
z
z
и
(система координат xO y ) изобразим
множество E , а на плоскости
 w
(система координат uOv )
изобразим множество H (рис. 3.1).
Рис. 3.1
Пусть z 0 – произвольная точка множества E . Вычислив в
точке z 0 значение функции, мы получим число w0  f  z 0  –
точка w0 на множестве H . Точка w0 называется образом точки
z 0 . В силу произвольности z 0 все точки множества H являются
образами точек множества E .
Итак, геометрический смысл комплексной функции комплексной переменной состоит в том, что она отображает множество E плоскости  z  на множество H плоскости  w  . Поэтому
иногда саму функцию w  f  z  называют отображением множества E на множество H .
Пример 17. Рассмотрим функцию w  z 2 на множестве E ,
где E – мнимая ось O y . Найдем множество H , на которое отоб55
ражает множество E данная функция. Для любого z мнимой оси
x  0 , отсюда z  i y ,    y    – это уравнение оси O y .
Подставим уравнение прямой в функцию w  z 2 , осуществляющую отображение, и найдем уравнение образа:
E: z  i y ,

H : w  i y    y 2 .
2
u   y 2    u  0
Так как w  u  i v , то 
,
– отрицательv

0
v

0


ная часть действительной оси (рис. 3.2).
Рис. 3.2
Функция w  f  z  называется однолистной на множестве E , если различным значениям z из этого множества соответствуют различные значения w . При этом множество E называется множеством однолистности функции.
В теории функций комплексной переменной наряду с однозначными функциями, когда каждому z ставится в соответствие
единственное w , рассматривают и многозначные функции, когда
хотя бы одному z ставится в соответствие несколько значений w.
Например, w  n z – это многозначная функция, так как  z  0
соответствует n различных значений w . В дальнейшем, если не
будет оговорено противное, функция понимается как однозначная.
56
3.3.3 Действительная и мнимая части КФКП
КФКП можно представить с помощью пары действительных
функций двух действительных переменных. Пусть функция
w  f  z  определена на множестве E . Это значит, что каждому
комплексному числу z  x  i y из множества E соответствует
определенное комплексное число w  u  i v . Это означает, что
каждой точке M  x , y  из множества E соответствует определенное значение u и определенное значение v , следовательно, u
и v являются функциями от переменных x и y :
u  u  x , y ,
v  v  x , y  , определенными на множестве E , и мы
можем написать: w  f  z   u  x , y   i v  x , y  .
Итак, каждая комплексная функция комплексного переменного определяет пару действительных функций двух действительных переменных. Верно и обратное утверждение: любая пара
действительных функций двух действительных переменных
u  u  x , y  и v  v  x , y  определяет комплексную функцию
комплексной переменной w  u  x , y   i v  x , y  .
3.3.4 Предел комплексной функции комплексной
переменной
Комплексное число A называется пределом функции f  z 
при
z  z0,
если
  0
     0 :  z : z  z 0  
z  z 0  f  z   A   . Обозначается lim f  z   A .
z  z0
Неравенство z  z 0   означает, что z принадлежит  –
окрестности точки z 0 , неравенство f  z   A   означает, что
f  z  попадает в  – окрестность точки A .
Комплексное число A называется пределом функции f  z 
при z  z 0 , если какова бы ни была  –окрестность точки A ,
57
найдется  –окрестность точки z 0 такая, что  z из этой окрестности соответствующие значения функции w  f  z  попадают в
 – окрестность точки A .
Бесконечно удаленная точка  называется пределом функции
при
если
z  z0 ,
f  z
 E  0   E  0:
 z : z  z0   , z  z0  f  z  E .
Обозначается lim f  z    .
z  z0
Замечание 1. Во всех определениях пределов числа  ,  ,
E , D – действительные, z 0 , A – комплексные.
Замечание 2. Остаются в силе все теоремы о пределах, известные для действительной функции действительной переменной, кроме тех, которые связаны с неравенствами.
Теорема (о связи между пределом КФКП и пределами ее
действительной и мнимой частей). Для того чтобы
lim
f  z   A  a  i b , необходимо и достаточно, чтобы
z  z0
xi y  x0  i y0
lim u  x, y   a ,
x  x0
y  y0
lim v  x, y   b , где u  x, y  , v  x, y  – дей-
x  x0
y  y0
ствительная и мнимая части функции f  z   u  x, y   i v  x , y  .
3.3.5 Непрерывность комплексной функции
комплексной переменной
Функция f  z  называется непрерывной в точке z 0 , если
lim f  z   f  z 0  .
z  z0
Для непрерывных функций комплексной переменной остаются в силе все теоремы о непрерывных функциях, известные для
действительных функций действительной переменной, кроме тех,
которые связаны с неравенствами. То есть сохраняются теоремы
о непрерывности суммы, произведения, частного функций, слож58
ной функции. Например, сформулируем теорема о непрерывности сложной функции.
Теорема. Если w  f   непрерывна на множестве D1 , а
    z  непрерывна на множестве D , причем функция  отображает множество D во множество D1 , то сложная функция
w  f   z   непрерывна на множестве D .
Теорема.
Для
того
чтобы
функция
f  z   u  x, y   i v  x , y  была непрерывна в точке z 0  x 0  i y 0 ,
необходимо и достаточно, чтобы функции u  x, y  и v  x, y  были непрерывны в точке  x 0 , y 0  .
Пример 18. Найти множество, на котором непрерывна заданная функция:
1)
w  z2
или
w   x  i y   x 2  y 2  i 2 x y,
2
u  x 2  y 2 , v  2 x y – целые рациональные функции двух пере-
менных, непрерывны на R 2 . Следовательно, функция w  z 2 непрерывна
 z  x2  i y.
Аналогично
доказывается,
что
w  z n , n  N , непрерывна на множестве C .
2) w  c , где c  const , c  a  i b . w  a  i b, a, b  R .
u  x, y   a, v  x, y   b – постоянные функции двух переменных,
непрерывны на R 2 , то есть   x, y : x R, y  R  w  c непрерывна  z  C .
3) Целая рациональная функция
w  a 0 z n  a1 z n  1  a 2 z n  2  ...  a n  1 z  a n , где a i  C , непрерывна на C , что следует из примеров 1) и 2) и теорем о непрерывности произведения и суммы.
4) Дробно–рациональная функция
59
w
a 0 z n  a1 z n  1  a 2 z n  2  ...  a n  1 z  a n
b0 z  b1 z
m
m 1
 b2 z
m2
 ...  b m  1 z  b m
непрерывна
во
множестве C , кроме корней знаменателя, по теореме о непрерывности частного двух функций.
z 2  2 i z  1  3i
Например, w 
– непрерывна в C , кроме тех тоz2  4
чек, для которых z 2  4  0, z   2 i .
3.4 Аналитические функции
3.4.1 Понятие производной комплексной функции
комплексной переменной
Пусть функция w  f  z  определена в области D и точка
z 0  D . Так как z 0 – внутренняя точка области, то существует
окрестность этой точки U  z 0 ,   , целиком лежащая в области D .
Рассмотрим другую точку z  z 0 , z  U  z 0 ,   .
Обозначим
 z  z  z 0 и назовем эту разность приращением аргумента z в
точке z 0 . Геометрически  z – это вектор, направленный из точки
z 0 в точку z  z 0   z . Обозначим  w  f  z 0   z   f  z 0  –
приращение функции в точке z 0 .
Производной функции
lim
z  0
f  z
в точке
z0
называется
w
 f   z 0  , если он существует (конечный или бесконечz
ный).
Для КФКП известно, что предел при z  z 0 не зависит от
того пути, по которому z  z 0 . В определении производной если
 z  0 , то z  z 0   z  z 0 , а тогда если  f   z 0  , то lim
z  0
60
w
z
не зависит от пути, по которому точка z  z 0   z стремиться к
точке z 0 .
3.4.2 Понятие аналитической функции и ее свойства
Пусть функция w  f  z  определена w  f  z  в области D.
Определение. Функция w  f  z  называется аналитической в области D , если она имеет в каждой точке области конечную производную.
Определение. Функция w  f  z  называется аналитической в точке z 0 , если она является аналитической в некоторой
окрестности этой точки.
Для КФКП остаются в силе теоремы о производной суммы,
произведения, частного, сложной функции для ДФДП. При этом
слова «имеет конечную производную» заменяются на слова
«функция, аналитическая в области D ». Таким образом, справедливы теоремы:
Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного числа функций, каждая из которых аналитическая в области D , есть функция аналитическая в этой области.
Теорема 2. Произведение конечного числа функций, аналитических в области D , есть функция аналитическая в этой области.
Теорема 3. Частное двух функций, аналитических в области
D , есть функция аналитическая в этой области, при условии, что
делитель не обращается в ноль в области D .
Теорема 4 (об аналитичности сложной функции). Если
w  f   аналитична в области D1 , а     z  аналитична в области D , причем функция  отображает D в D1 , то сложная
функция w  f   z   является аналитической в области D , и
при этом w  f        z  .
61
Пример 19. 1) w  z n .  z  C   z n   n z n  1 (доказательство проводится, как для y  x n ). То есть конечная производная
существует а всей комплексной плоскости, а вся плоскость является областью. Следовательно, функция w  z n является аналитической на всей комплексной плоскости.
2) w  c , где c  const , c  C . c  0 , то есть существует конечная производная. А так как w  c при всех z  C , то эта
функция будет аналитической на всей комплексной плоскости.
3) w  a 0 z n  a1 z n  1  a 2 z n  2  ...  a n  1 z  a n – целая рациональная функция является аналитической на всей комплексной плоскости, по теореме об аналитичности произведения и
суммы.
a 0 z n  a1 z n  1  a 2 z n  2  ...  a n  1 z  a n
4) w 
– дробно–
b0 z m  b1 z m  1  b 2 z m  2  ...  b m  1 z  b m
рациональная функция является аналитической на всей комплексной плоскости, кроме корней знаменателя, по теореме об
аналитичности частного.
3.4.3 Особые точки аналитической функции и
их классификация
Точки, в которых функция не является аналитической,
называются особыми точками данной функции.
z1 i
Например, функция w  2
– дробно–рациональная,
z 1
следовательно, она является аналитической на всей комплексной
плоскости, кроме нулей знаменателя – точек z   i . Для данной
функции особыми точками являются z  i и z   i .
Особые точки функции бывают предельными и изолированными.
62
Особая точка a функции f  z  называется предельной, если
в любой ее окрестности содержится хотя бы одна особая точка
данной функции, отличная от a .
Особая точка a функции f  z  называется изолированной,
если существует окрестность точки a , в которой нет ни одной
особой точки функции f  z  , отличной от a .
Выделяют три типа изолированных особых точек:
1. Устранимая особая точка.
Изолированная особая точка a функции f  z  называется
устранимой, если lim f  z  существует и конечен.
za
1 z2
Пример 20. Найти особые точки функции f  z  
и
1 z
определить их тип.
Решение. Данная функция дробно–рациональная и является
аналитической на всей комплексной плоскости, кроме нулей знаменателя. Знаменатель обращается в ноль только в точке z  1 .
Следовательно, функция f  z  имеет одну изолированную особую точку z  1 .
1  z 1  z   lim 1  z  2.
1  z2
lim f  z   lim
 lim
 
z 1
z 1 1 z
z 1
z 1
1 z
Так как предел существует и конечен, то точка z  1 является устранимой особой точкой.
2. Полюс.
Изолированная особая точка a функции f  z  называется
полюсом, если lim f  z    .
za
При этом если в некоторой окрестности точки a функция
f  z  представима в виде:
f z 
f0 z
 z  a
n
,
(3.5)
63
где f 0  a   0 , n – натуральное число, то точка a называется полюсом n–го порядка. Число n называется порядком или кратностью полюса. При n  1 полюс называется простым.
Кратность полюса можно определить, не записывая функцию в виде (3.5). Пусть функция f  z  представима в виде отношения двух аналитических функций
f  z 
P z
Q z
.
(3.6)
Если функции P  z  и Q  z  аналитические в окрестности
точки a , причем Q  a   0 и P  a   0 , то точка a является полюсом функции f  z  . Если при этом Q  a   0 , то точка a является
простым полюсом. Если же Q  a   0 , Q  a   0 , Q  a   0 , …,
Q( n1)  a   0 , Q( n)  a   0 , то точка a является полюсом n–го порядка.
Пример 21. Найти особые точки функции f  z  
zi
и
1  z2
определить их тип.
Решение. Данная функция дробно–рациональная и является
аналитической на всей комплексной плоскости, кроме нулей знаменателя. Знаменатель обращается в ноль в двух точках z   i .
Следовательно, функция f  z  имеет две изолированные особые
точки z  i и z   i .
Рассмотрим особую точку z  i :
lim z  i  2i 
z  i z  i

lim f  z   lim


  .
2
z i
z  i 1  z2
lim
1

z

0
 z  i

Следовательно, точка z  i является полюсом. Определим
порядок этого полюса.
Данную функцию можно представить в виде (3.5):
64
f  z 
z i
z i
1


.
2
1 z
 z  i  z  i  z  i
В знаменателе разность  z  i  находится в первой степени,
следовательно, z  i – простой полюс.
Рассмотрим вторую особую точку z  i :
z i
1
1
lim f  z   lim

lim

.
z  i
z  i 1  z 2
z  i z  i
2i
Так как предел существует и конечен, то точка z   i является устранимой особой точкой.
3. Существенно особая точка.
Изолированная особая точка a для функции f  z  называется существенно особой, если lim f  z  не существует.
za
Чаще всего существенно особыми точками являются изолированные особые точки трансцендентных функций дробнорационального или трансцендентного аргумента. Пример таких
точек приведем после рассмотрения свойств основных элементарных функций комплексного аргумента.
3.4.4 Условия аналитичности функции
Аналитичность связана с существованием конечной производной. Как и для функции действительной переменной, из существования конечной производной функции f  z  следует непрерывность этой функции.
Теорема. Если функция f  z  аналитическая в области D ,
то она непрерывна в области D .
Теорема (Необходимое и достаточное условие аналитичности
функции).
Для
того,
чтобы
функция
w  f  z   u  x, y   i v  x , y  была аналитической в области D ,
необходимо, а в случае непрерывности частных производных
65
функций u и v достаточно, чтобы всюду в области D имели меu v
v
u


сто равенства:
,
.
x y
x
y
Доказательство.
Необходимость. Пусть функция w  f  z  является аналитической в области D . Возьмем в этой области произвольную
точку z 0 . По определению аналитической функции, в точке z 0
существует производная f   z 0   lim
z  0
f z0   z  f z0 
z
. При
этом заметим, что в определении производной ничего не сказано,
по какому направлению точка z 0   z стремится к точке z 0 при
 z  0 ; это направление можно выбирать произвольно. Пользуясь этим обстоятельством, возьмем направления, параллельные
координатным осям. Далее заметим, что, если z  x  i y ,
z 0  x 0  i y 0 , то  z  z  z 0   x  x 0   i  y  y 0    x  i  y .
Аналогично найдем  w   u  i  v . Пусть точка z 0   z  z 0
по прямой, параллельной оси O x . Тогда  y  0,  z   x , и мы
w
u  i  v
 lim

z  0  z
x  0
x
u
v
u
v
 lim
 i lim

i
.
x  0  x
x  0  x
x
x
Итак, мы получили равенство:
u
v
f  z 0  
i
.
(3.7)
x
x
Пусть теперь точка z 0   z  z 0 по прямой, параллельной
 
имеем: f  z 0  lim
оси O y . Тогда  x  0,  z  i  y , следовательно:
i u  i  v
w
u  i  v
f   z 0   lim
 lim
 lim

z  0  z
y0
y0
i y
i2  y
66
i  u  i 2 v
v  i v
v
u
 lim
 lim
 lim
 i lim

y 0
y 0
y0  y
x  0  y
 y
y
v
u
i
.
y
y
Таким образом, производную можно записать в виде
v
u
f  z 0  
i
.
(3.8)
y
y
Сопоставляя
равенства
(3.7)
и
(3.8),
находим:
u
v v
u
i

i
. Отсюда, по определению равенства комx
x y
y
плексных чисел, получаем:
u v
v
u


,
.
(3.9)
x
x y
y
Необходимость доказана. Равенства (3.9) называются условиями Коши – Римана.
Достаточность. Пусть функции u и v имеют непрерывные частные производные в области D и выполняются условия
u v v
u


Коши–Римана:
,
. Требуется доказать, что в
x  y x
y
каждой точке области D существует конечная производная
f   z .

Возьмем в области D произвольную точку z 0 и запишем в
ней отношение приращения функции к приращению аргумента:
 w u  i v

.
(3.10)
z x  i y
Функции u и v имеют непрерывные частные производные в
точке  x 0 , y 0  ; но тогда, как известно из теории функций многих
переменных, они дифференцируемы в точке  x 0 , y 0  и их полные
приращения в этой точке представимы в виде:
67
v
u
v
u
x 
x 
 y   , (3.11)
 y   , v 
x
x
y
y
где  и  – бесконечно малые при  x  0,  y  0 , высшего
u 
порядка по сравнению с   
 x
2
  y .
2
Пользуясь равенствами (3.11), равенство (3.10) перепишем
так:
u
u
v
v
x 
y i
x  i
y  i 
w  x
y
x
y
.

z
x  i y
v
u v
u


,
, то
x y
x
y
группируя в числителе дроби первое слагаемое с четвертым, а
второе с третьим, получим:
u
v
 x  i  y  i  x  i  y    i 
w x
x


z
x  i y
u
v
  i

i

.
x
x x  i y
  i
 0 , при  x  0,  y  0.
Покажем, что дробь
x  i  y
Так как, по условию теоремы,
Воспользуемся элементарным неравенством  2   2     .
Имеем: 0 
  i
x  i y

2  2
 x
2
  y
2

  
 x
2
  y
2
.
Так как  и  – бесконечно малые при  x  0,  y  0 ,
высшего порядка по сравнению с
 x
2
   y  , то последняя
дробь стремиться к нулю, откуда следует, что
68
2
  i
x  i y
 0, а
  i
 0 . Переходя к пределу при  z  0,
x  i y
u
v
i
получим: f   z 0  
.
x
x
Итак, производная в точке z 0 существует и представляет
стало быть, и
собой комплексное число. В силу произвольности z 0 , f  z  –
аналитическая в области D . Теорема доказана.
Пример 22. Является ли функция w  z 2 аналитической. В
случае аналитичности функции, найти ее производную.
Решение. w  z 2   x  i y   x 2  y 2  i 2 x y .
2
u
v
 2 x,
 2x;
x
y
v
v
u
 2 y,

  2 y , следовательно,
x
x
y
u  x 2  y 2 , v  2 x y,
u v

.
x y
u
. Условия Коши
y
– Римана выполняются, значит, w  z 2 – аналитическая при люu
v
i

бом z . Вычислим производную: f   z   z 2  
x
x
 
 2 x  i 2 y  2  x  i y   2 z . Итак, z 2   2 z .
 
Пример 23. Выяснить, является ли функция w  z 3 аналитической. В случае аналитичности функции, найти ее производную.
Решение. w  z 3   x  i y   x 3  3x 2i y  3 x  i y    i y  
3
2
3
2

i  1

3
2
2
3
 3
   x  3 x y   i 3 x y  y  .

i  i 

u  x3  3x y 2, v  3x 2 y  y 3.
u
v
u v
 3 x 2 3 y 2,
 3 x 2 3 y 2 

.
x
y
x y
v
u
v
u
 6 x y,
  6x y 

.
x
y
x
y
69
Условия Коши – Римана выполняются, значит, w  z 3 – аналитическая при любом z . Вычислим производную:
u
v
f  z   z 3  
i
 3 x 2  3 y 2  i 6 x y  3 x 2  2i x y  y 2 
x
x
2
2
 3 x 2  2 x iy  i y
 3 x  i y  3 z 2 . Итак, z 3   3 z 2 .
 

   







 
Пример
24.
Проверить,
является
ли
функция
f  z   x 2  y 2  2 x  i  2 x y  2 y  аналитической. Найти производную f   z  , если это возможно.
u
v
 2 x  2,
 2 x  2,
x
y
v
u v v
u
u

 2 y,


  2y 
.
.
x
x y x
y
y
Условия Коши – Римана выполняются, значит, функция
f  z   x 2  y 2  2 x  i  2 x y  2 y  – аналитическая при любом z .
u  x 2  y 2  2 x, v  2 x y  2 y ,
Вычислим производную: f   z  
u
v
i
  2 x  2  i  2 y  
x
x
 2  x  yi   2  2 z  2.
3.4.5 Геометрический смысл модуля и аргумента
производной аналитической функции
Пусть функция w  f  z  является аналитической в области
D , причем отображает область D на область H взаимно–
однозначно.
Пусть z 0  D , тогда w 0  H .
Рассмотрим произвольную кривую   D , выходящую из
точки z 0 . Функция f  z  отображает кривую  в некоторую кривую  области H , выходящую из точки w0 . Пусть f   z 0   0 .
Это комплексное число, а значит, оно имеет вполне определенный модуль и аргумент, и его можно записать в тригонометриче70
ской
форме
f   z 0   r0  cos 0  i sin  0  ,
r0  f   z 0  ,
где
 0  arg f   z 0  .
Рис. 3.3
Рассмотрим другую точку на кривой  : z 0   z   .
Функция
w  f z
отобразит
эту
точку
в
точку
w 0   w   .  z – это вектор из точки z 0 в точку z 0   z ;  w
– вектор из точки w0 в точку w 0   w . Найдем:
r0  f   z 0   lim
z  0
w
w
w
 lim
 lim
 z z  0  z z  0  z
 0  arg f   z 0   arg lim
z  0

w
w
 lim  arg

 z z  0 
z 
Рассмотрим равенство (3.12): r0  lim
z  0
w
z
(3.12)
(3.13)
.  z – длина
вектора  z ;  w – длина вектора  w . Следовательно,
w
z
по-
казывает, во сколько раз изменилась длина вектора  z с помощью преобразования w  f  z  .
71
Если  z  0 , то  z 0   z   z 0 по кривой  . Тогда секущая, проходящая через точки z 0 и z 0   z , будет стремиться занять положение касательной к кривой  в точке z 0 . Аналогично,
w
0
  w  w0 по кривой  , и секущая стремится занять поло-
жение касательной к кривой  в точке w0 .
Число lim
z  0
w
z
называется коэффициентом растяжения
в точке z 0 в направлении кривой  (или в направлении касательной к кривой  в точке z 0 ).
Таким образом, модуль
f   z 0  равен коэффициенту рас-
тяжения, показывающему, во сколько раз изменится длина вектора  z в направлении кривой  (или в направлении касательной
к кривой  в точке z 0 ) при преобразовании с помощью аналитической функции w  f  z  .
Рассмотрим теперь равенство (3.13):

w
 0  lim  arg
 arg  w  arg  z  .
  lim
z  0
z0

z


Пусть  1 – угол наклона касательной к кривой  в точке z 0
к оси O x ;  2 – угол наклона касательной к кривой  в точке w0
к оси Ou. Если  z  0 , то arg  z   1 , arg  w   2 . То есть
 0   2  1 .
Итак, аргумент f   z 0  показывает, на какой угол повернулась касательная к кривой  в точке z 0 при преобразовании с
помощью аналитической функции
f  z 0   0 .
72
w  f  z  , при условии, что
3.5 Основные элементарные функции комплексного
аргумента и их свойства
3.5.1 Показательная функция комплексной переменной
Введем функцию w  f  z  так, чтобы при z  x  0· i , f  x 
совпадало с действительной функцией e x и чтобы сохранялись ее
основные свойства:
1º.  e x    e x , то есть f   z   f  z  z  C ;
2º.
e 1e
x
x1
e
x1  x 2
,
то
есть
f  z1  f  z 2   f  z1  z 2  ,
 z1, z 2  C .
Показательной функцией комплексного аргумента
z  x  i y называется функция, определяемая равенством:
f  z   e x  cos y  i sin y  .
Пример 25. Вычислить: e
1
3  i
4
.
Решение.
 2


2
2
2

 e  3  cos  i sin   e3 
i


i
.

3
3
4
4
2
2
2
e
2
e




Покажем, что введенная таким образом функция при
z  x  0· i совпадает с e x и обладает свойствами 1º и 2º.
e
1
3  i
4
Пусть z  x  0· i ; f  z   e x  cos y  i sin y  .
f  z
z  x  0i
 e x  cos0  i sin 0   e x .
Чтобы f  z   f   z  z  C необходимо, чтобы функция
была аналитической на всей комплексной плоскости.
f  z   e x  cos y  i sin y   e x cos y  i e x sin y , значит,
u  x, y   e x cos y , v  x, y   e x sin y.
u
 e x cos y,
x
u
  e x sin y ;
y
73
v
v
 e x sin y,
 e x cos y.
x
y
u u v v
Функции
непрерывны на множестве
,
,
,
x y x y
комплексных чисел C , при этом:
u
v
v
u
,
 e x cos y 
,
 e x sin y  
x
y
x
y
то есть выполняются условия Коши – Римана. По достаточному
условию рассматриваемая функция является аналитической на
всей комплексно–числовой плоскости. Производную f   z  можно найти, например, по формуле: f   z  
u
v
i
, то есть
x
x
f   z   e x cos y  i e x sin y  e x  cos y  i sin y   f  z  . Таким образом, f   z   f  z  z  C , следовательно, свойство 1º выполняется.
Докажем теперь, что f  z 1   f  z 2   f  z 1  z 2  .
Пусть z 1  x1  i y1 , тогда f  z 1   e
z 2  x 2  i y 2 , тогда f  z 2   e
f  z1   f  z 2   e 1  e
x
e
x1  x 2
e
x1  x 2
x2
 cos y
1
x1
 cos y
2
1
 cos y  i sin y  .
 i sin y    cos y  i sin y  
2
2
1
1
2
2
 i sin y1  ;
x2
2
 cos y cos y  sin y sin y  i sin y cos y
 cos  y  y   i sin  y  y 
1
1
1
1
2
2

 sin y 2 cos y1  
(3.14)
2
Найдем z 1  z 2   x1  x 2   i  y1  y 2  . Тогда
f  z1  z 2   e
Из
x1  x 2
равенств
 cos  y
1
 y 2   i sin  y1  y 2 
(3.14)
и
(3.15)

следует,
(3.15)
что
f  z 1   f  z 2   f  z 1  z 2  ,  z 1 , z 2  C . Значит, свойство 2º вы-
полняется.
74
В дальнейшем показательную функцию комплексного аргумента будем обозначать e z : e z  e x  i y  e x  cos y  i sin y  .
Свойства показательной функции комплексной переменной
1. Показательная функция комплексного аргумента совпадает с показательной функцией действительного аргумента при
действительных значениях z , то есть при z  x  0· i
e z  e x  0 i  e x .
2. Показательная функция комплексного аргумента является
аналитической на всей комплексной плоскости, и при этом
 e   e
z
 z C.
z
3. Характеристическое свойство показательной функции
e
z1  z 2
 e 1e
z
z2
 z1, z 2  C .
Доказательства этих свойств приведены выше, при введении
функции e z .
4. Показательная функция комплексного аргумента не обращается в ноль ни при каком значении аргумента, то есть
ez  0  z C .
Доказательство. Показательная функция действительного
аргумента никогда не обращается в ноль, то есть
e x  0  x  R . Функции sin y и cos y ни при каком y  R не
обращается
в
ноль
одновременно,
следовательно,
e z  e x cos y  i e x sin y  0  z  x  i y .
5. Показательная функция комплексного аргумента является
периодической с периодом 2 i .
Доказательство. Функция e z определена  z  C .
1)  z C  z  2 i  C .
2) e z  2 i  e z  e 2 i  e z  e 0  cos2  i sin 2   e z ,  z  C .
75
Следовательно, число 2 i является периодом функции. Так
же периодом является любое число вида 2  k i , где
k   1,  2,...
6. Показательная функция комплексного аргумента e z может принимать любое комплексное значение отличное от нуля.
7. Каково бы ни было комплексное число А (конечное или
бесконечное) существует последовательность комплексных чисел
z 1 , z 2 , ... , z n  z 0 , такая, что e 1 , e 2 , ... e n , ...  A.
z
z
z
Следствие. lim e z не существует.
z
Пример 26. Найти особые точки функции f ( z )  e
определить их тип.
1
z i
и
Решение. Показательная функция f ( )  e  аналитическая
на всей комплексной плоскости; дробно–рациональная функция
1
аналитическая на всей комплексной плоскости за исz i
ключением нуля знаменателя – точки z  i . По теореме об анали-
 ( z) 
1
z i
тичности сложной функции, данная функция f ( z )  e
будет
аналитической на всей комплексной плоскости за исключением
точки z  i . Значит, z  i – изолированная особая точка. Определим тип этой точки. Рассмотрим предел:
 1

1




lim f ( z )  lim e z i   z  i
 lim e  .

zi
zi
z  i       


Согласно следствию из свойства 7, этот предел не существует, следовательно, z  i – существенно особая точка.
Пользуясь показательной формой комплексного числа,
можно записать уравнения окружности в новой форме. Окружность с центром в точке a и радиусом R :
76
z  a  R  cos   i R  sin   R  cos   i sin   , 0    2  , 
z  a  R  e i  , 0    2
Это уравнение окружности с центром в точке a радиусом R
в комплексно–параметрической форме.
В частном случае, z  e i – уравнение единичной окружно-
сти с центром в начале координат.
3.5.2 Логарифмическая функция комплексной переменной
Логарифмом
комплексного числа z 0 называется такое
комплексное число w0 , для которого выполняется равенство
e
w0
 z 0 . Обозначение w 0  Ln z 0 .
Теорема (существования логарифма комплексного числа).
Каково бы ни было комплексное число z  0 , существует логарифм этого числа.
Доказательство. Так как показательная функция никогда
не обращается в ноль, то и логарифм от нуля не существует.
Пусть z 0 – произвольное комплексное число, отличное от
нуля. По свойству 6 показательной функции известно, что она
может принимать любые комплексные значения  0 . Значит, если дано z 0  0 , то  w 0 : e
w0
 z 0 . Это означает, что w0 является
логарифмом комплексного числа z 0 , что и требовалось доказать.
Выведем формулу для вычисления логарифма любого комплексного числа.
Пусть z 0  x 0  i y 0 – произвольное комплексное число. По
теореме существования логарифма, существует комплексное
число w0 , для которого e
e
w0
 z0  e
u0
 cos v
0
w0
 z 0 . Пусть w0  u 0  i v 0 . Тогда из
 i sin v 0   z 0  e
u0
 z 0 , v 0  arg z 0 .
77
Так как z 0  0 , то u 0  ln z 0 , v 0   0  2 k , где  0 – одно
из значений arg z 0 , k  0,  1,  2, ... Найденные u 0 и v 0 подставим в w0 :
w0  Ln z 0  u 0  i v 0  ln z 0  i  0  2 k  , k  0,  1,  2, ...
Логарифм комплексного числа имеет бесконечное множество значений.
Возьмем  0  arg z 0 , то есть     0   . Значение логарифма будет: w0  ln z 0   0  i – это главное значение логарифма, обозначается  Ln z  0  ln z   0  i . Тогда общая формула для
вычисления логарифма примет вид:
Ln z  ln z  i   0  2  k   ln z   0  i  2  k  i   Ln z  0  2  k  i.
Ln z  ln z  i   0  2  k    Ln z  0  2  k  i , где k  0,  1,  2, ...
Функция w  Ln z называется логарифмической функцией
комплексного аргумента.
Свойства логарифмической функции
1. Логарифмическая функция определена на всей комплексной плоскости, кроме точки 0 .
2. Логарифмическая функция многозначная.
3. Ln  z 1  z 2   Ln z 1  Ln z 2
z
1
 0, z 2  0  .
Доказательство. Обозначим w1  Ln z 1 , w 2  Ln z 2 . Значит,
z 1  e 1 , z 2  e 2 . Тогда z 1  z 2  e 1  e
w
w
w
w2
e
w1  w 2
, по свойству
показательной функции. Следовательно, по определению логарифма, w1  w2  Ln  z 1  z 2   Ln z 1  Ln z 2  Ln  z 1  z 2  . Это
равенство аналогично соответствующему свойству логарифмов
действительных чисел, но понимать его нужно в несколько расширенном смысле. Это равенство верно с точностью до чисел вида 2 k  i  k  0,  1,  2, ... , то есть множество всевозмож78
ных чисел, выражающих левую часть, совпадает с множеством
всевозможных чисел, выражающих правую часть.
Пример 27. Найти Ln   1 .
z 1 и arg z   . Тогда
Решение. Для числа z   1
 Ln   1 
0
 ln1    i    i . Следовательно,
Ln   1   i  2  k i    i  2 k  1 , k  0,  1,  2, ...
Понятие степени комплексного числа
с комплексным показателем
Степенью числа e с комплексным показателем  ( e  )
называется значение показательной функции e z при значении
z   :   a  i  b, e   e a  cos b  i sin b  .
Для любого действительного числа понятие степени с произвольным действительным показателем введено, и при этом

справедливо равенство: a   e ln a  e   ln a . Введем понятие степени любого комплексного числа с любым комплексным показателем так, чтобы эта формула сохраняла силу.
Степенью комплексного числа   0 с комплексным показателем  называется комплексное число   , определяемое
равенством:    e   Ln  .
Так как Ln  имеет бесконечное множество значений, то и
  имеет бесконечное множество значений.
Пример 28. Вычислить  i 
Решение.  i 
e
e
1  i  


 2 k   i
2


2
1 i
 2 k
 e
e
1  i   Ln i
1 i
e

 

  2 k   i   2 k 
2
 2

.



2
1  i    ln1  i  

 2 k  




 2 k





  cos   2  k   i sin   2  k    i  e 2
.
2
2





79
3.5.3 Тригонометрические функции комплексной
переменной
По формулам Эйлера можно записать функции синус и косинус действительного аргумента через показательную функцию
eiy  eiy
eiy  eiy
, sin y 
в виде: cos y 
.
2
2i
Распространим тригонометрические функции sin x и cos x
действительного аргумента на множество комплексных чисел.
Введем новые функции так, чтобы:
1º. При действительном значении z они совпадали с соответствующими функциями действительного аргумента.
2º. Функции комплексного аргумента являлись аналитическими.
Косинусом и синусом комплексного аргумента z называются функции, определяемые формулами:
ezi  e zi
ezi  e zi
cos z 
, sin z 
.
2
2i
Найдем действительную и мнимую часть функций:
e z i  e z i e
cos z 

2



x  i y i
e
2
  x  i y i

e
 y xi
e  y  cos x  i sin x   e y  cos   x   i sin   x  
2

 e
2
2
y
 e  y   cos x  i   e y  e  y   sin x 
2
80

ch x   e x  e  x  2 




x
x
sh
x

e

e
2

 

 cos x  ch y  i  sin x sh y .
Итак,


e  y  cos x  i  e  y sin x  e y cos   x   i e y sin   x 
e
y  i x
cos z  cos x  ch y  i  sin x sh y .
Аналогично,
sin z  sin x  ch y  i  cos x sh y .
Свойства тригонометрических функций
1. Функции sin z и cos z определены на C , так как число e
можно возводить в любую комплексную степень.
2. При действительном z эти функции совпадают с sin x и
cos x : z  x  0  i, cos z
sin z
z  x  0i
z  x  0i
  e x i  e  x i  2  cos x ;
exi  e xi

 sin x по формулам Эйлера.
2 i
3. Функции sin z и cos z являются аналитическими на всей
комплексной плоскости, при этом:
 cos z    sin z,  sin z   cos z .
Доказательство. Показательная функция e z – аналитическая на всей комплексной плоскости. Тогда сложные функции e i z
и e  i z так же являются аналитическими на всей комплексной
плоскости. ( w  e  – аналитическая на C ;   z i – аналитическая
на C ;   z i – переводит C в C ; следовательно, сложная функция w  e z i – аналитическая на C ). Сумма и разность этих функций тоже являются аналитическими на C , следовательно, sin z и
cos z – аналитические на всей комплексной плоскости.
Так как  e    e     , то
1
1
i
  e z i  e  z i     e z i  i  e  z i    i     e z i  e  z i  
2
2
2
zi
 e
  sin z ;
2i
 cos z  

ezi
 sin z  
1
1
i
  e z i  e  z i     e z i  i  e  z i    i     e z i  e  z i  
2i
2i
2i
ezi  e zi

 cos z .
2
81
4. cos  z 1  z 2   cos z 1 cos z 2
sin z 1 sin z 2 .
sin  z 1  z 2   sin z 1 cos z 2  cos z 1 sin z 2 .
Доказательство. 1) cos  z 1  z 2  

 


e
 z1  z 2  i
e
2


 z1  z 2 i
;

1 z1 i
1 zi
z i
z i
e e 1  e 2 e 2 
2
2
1 z  z  i
 z  z  i
z  z  i
z  z  i
 e 1 2  e 1 2  e 2 1  e 1 2  ;

4 
1
1
z i
z i
z i
z i
e1  e 1 
e 2 e 2 
3) sin z 1 sin z 2 
2i
2i
1   z1  z 2  i
  z1  z 2  i 
 z1  z 2  i
 z 2  z1  i

e

e

e

e
.

4 i 2 
2) cos z 1 cos z 2 


Тогда, cos z 1 cos z 2  sin z 1 sin z 2 


1   z1  z 2  i
 z  z  i
z  z  i
z  z  i
e
e 1 2  e 2 1 e 1 2 
4 
 z  z  i
z  z  i
z  z  i
z  z  i
 e 1 2  e 1 2  e 2 1  e 1 2 

 z  z  i
z  z  i
1
e 1 2 e 1 2
  z1  z 2  i
 z1  z 2  i

2e
 2e

 cos  z 1  z 2  .
4 
2
Все остальные формулы доказываются аналогично.
5. cos z – четная функция; sin z – нечетная функция.





e z i e z i
e z i e z i
  sin z.
cos   z  
 cos z, sin   z  
2
i
2
6. Справедливы формулы:
cos 2 z  sin 2 z  1, cos 2 z  cos 2 z  sin 2 z, sin 2 z  2 sin z  cos z .
Доказательство формул аналогично свойству 4; например:
2
2
 ezi  e zi 
 ezi  e zi 
cos z  sin z  
  
 
2
2
i




2
82
2
1 2zi
1
e  2 e zi e  zi  e  2 zi  
e 2 zi  2 e zi e  zi  e  2 zi  

2 
4
4i
1
  e 2 z i  2  e  2 z i  e 2 z i  2  e  2 z i  1, что и требовалось доказать.
4
7. Для функций sin z и cos z на комплексной числовой плоскости справедливы все формулы приведения, известные из тригонометрии.
8. Функции sin z и cos z могут принимать любые комплексные значения, то есть, каково бы ни было комплексное число w0 ,

всегда найдется z 0 такое, что cos z 0  w 0 и найдется z 0 такое,
что sin z 0  w 0 .
9. Функции sin z и cos z обращаются в ноль лишь при тех
значениях z , при которых обращаются в ноль sin x и cos x вещественного аргумента.
10. Функции sin z и cos z – периодические функции с периодом 2  .
Покажем для функции cos z :
e
z  2  i

e 
e z i  2 i  e z i  2 i
cos  z  2   

.
2
2
Функция e z периодическая с периодом T  2 i , поэтому:
 z  2 i
ez i  e z i
cos  z  2  
 cos z .
2
11. Каково бы ни было комплексное число A , существует
последовательность z 1 , z 2 , ... , z n , ...   такая, что последовательность
соответствующих
значений
функции
cos z 1 , cos z 2 , ... , cos z n , ...  A (аналогично для функции sin z ).
Тангенсом и котангенсом комплексного аргумента называются функции, определяемые равенствами:
83
tg z 
sin z

cos z
, z    k , ctg z 
, z   k.
cos z
2
sin z
eiz  e iz
e  i z  e 2 z i  1
sin z
1 eiz  e iz
2i
tg z 

 
  i   i z 2zi

cos z e i z  e  i z i e i z  e  i z
e  e  1
2
e 2zi  1
  i  2zi
.
e 1
eiz  e iz
cos z
eiz  e iz
2
Аналогично, ctg z 
 iz
 i  iz

 iz
 iz
sin z e  e
e e
2i
i
e  i z  e 2 z i  1
e  i z e 2zi
e 2zi  1
.
 i  2zi
e 1
 1
e 2zi  1
Итак, tg z   i  2 z i
,
e 1
e 2zi  1
ctg z  i  2 z i
.
e 1
Эти функции являются аналитическими на множестве C ,
кроме нулей знаменателя.
Задания для аудиторной и самостоятельной работы
1. Найти вещественную и мнимую часть функций:
1) w  z 3 ;
2) w  z ;
z
3) w 
;
z 1
i z2
4) w 
.
zi
2. Найти геометрические образы, определяемые соотношениями:
1) z  t   3t  i  t 2  2 t  ,  2  t  1;
2) 0  Re
84
2z
 1;
z 1
3) z  t   t  2i  sin t , 0  t 

;
2
4) z  t   1  2i   2  5i   t ,   t   
3. Доказать, что функция f  z  является аналитической и
вычислить f   z  :
1) f  z   5 x 2  5 y 2  3 x  10 x y  3 y  i ;
2) f  z   7 x  4 x 2  4 y 2   7 y  8 x y  i ;
3) f  z   2 x  3 x 2  3 y 2   2 y  6 x y  i ;
4) f  z   x 3  3 x y 2  i  3 x 2 y  y 3  .
4. Доказать, что функция f  z   x 3  3 x y 2  i  3 x 2 y  y 3 
является аналитической и найти f   z  .
5. Проверить, являются ли данные функции аналитическими
и в какой области:
1) f  z    e x  e y   i  e x  e y  ;
2) f  z   1  x 2  y 2  i  sin x  sin y  ;
x3  x y2  x y3  x2 y  y

i;
3) f  z  
x2  y2
x2  y2
4) f  z   e  y  x cos x  y sin x   i  x sin x  y cos x  ;
5) f  z   z ;
6) f  z   z ;
z2
z
;
8)
.
f
z



z2 1
z2  i
6. При каких значениях параметров a, b, c функция
7) f  z  
f  z   x  a y  i  b x  c y  будет аналитической?
7. При каких значениях параметров a
и b функция
f  z   cos x  ch y  a sh y   i sin x  ch y  b sh y  является аналитической?
85
8. Найти аналитическую функцию f  z   u  x , y   i  v  x , y 
по заданной ее действительной или мнимой части:
1) v  x, y   ln  x 2  y 2   x  2 y ;
2) u  x , y   2  4 x  3 x 2  3 y 2 ;
3) v  x , y   2 x y  3 y .
4) v  x , y   4  5 y  4 x y ;
5) u  x , y   2 x 2  2 y 2  5 x ;
y
;
x2  y2
y
7) v  x, y   3  x 2  y 2 
;
2
2
2 x  y 
6) u  x, y   x 2  y 2  5 x  y 
8) u  x, y   e x  x  cos y  y  cos y   2sin x  sh y  x 3  3 xy 2  y;
9) u  x , y   x 3  3x y 2 ,
f (0)  i ;
10) u  x , y   x 2  y 2  2 x,
f (i )  1  2i .
9. Проверить, является ли данная функция аналитической:
f  z    x 2  y 2  2 x   i   2 x y  2 y  . Если это возможно, найти
производную f   z  .
10. Проверить, является ли данная функция аналитической:
f  z   e  y  cos x  i sin x  . Если это возможно, найти производную f   z  .
11. Вычислить значения функции e z в точках:
3
1
z 1  3 i, z 2    i, z 3   1   i, z 4  2   i .
2
2
12. Вычислить значения логарифмической функции:
L n 1  i  ;
L n   1 ;
L n   5i ;
L n   e 2  i ;
86
1 
 1
Ln
3 i .
2 
 2
2i
1  5  i
13. Вычислить: e
; e
; e
14. Вычислить значение функций:

1) i i ;
2) 1  i  ;
3)   2  i 
5) sin i ;
6) sin 3i ;
7) sin 1  3 i  ;
9)  1
i
5
10)  3

i
2
2  3i
 
11) L n i 1i ;
; e 7 i .
; 4) cos i ;
8)  3  2 i 
1  2i
;
12) L n  2  2i  .
i
15. Найти особые точки функции, определить их тип и исследовать поведение функции на бесконечности:
z 1
2z  1
1
3)
;
;
;
1)
2)
3
2
z2  4z  3
z  z2
z  4  z  2

1  cos z
ez
;
5)
;
z2
1  z2
1
z
8) sin
;
7) z ;
z 3
e 1
1
11) tg z;
10) sh ;
z
16. Решить уравнение:
1) cos z  5 ;
2) sin z  3 .
4)

1  z2
6)
;
ez
9)
1
e1 z ;
12) tg 2 z.
Вопросы для самоконтроля
1. Сформулируйте определение комплексной функции действительной переменной. В чем состоит геометрический смысл
этой функции?
2. Сформулируйте определение комплексной функции комплексной переменной. В чем состоит геометрический смысл этой
функции?
3. Сформулируйте определение конечного и бесконечного
пределов комплексной функции комплексной переменной «на
языке    ». Как можно сформулировать общее определение для
этих пределов «на языке окрестностей»?
87
4. Как связан предел комплексной функции комплексной
переменной с пределами ее действительной и мнимой частей?
5. Сформулируйте определение производной комплексной
функции комплексной переменной.
6. Какая функция называется аналитической на множестве?
Перечислите свойства аналитической функции.
7. Какие точки называются особыми точками аналитической функции? Какие типы особых точек вы знаете?
8. Сформулируйте необходимое и достаточное условие
аналитичности функции?
9. В чем состоит геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции?
10. Дайте определение показательной функции комплексного аргумента. Перечислите свойства этой функции. Какие из
этих свойств аналогичны свойствам показательной функции действительной переменной, а какие отличаются?
11. Что называется логарифмом комплексного числа? Перечислите свойства логарифмической функции.
12. Сформулируйте определения тригонометрических
функций комплексного аргумента (синуса, косинуса, тангенса и
котангенса). Перечислите свойства синуса и косинуса комплексного аргумента. Какие из этих свойств аналогичны свойствам
тригонометрических функций действительной переменной, а какие отличаются?
88
ГЛОССАРИЙ
Алгебраическая форма комплексного числа   a  i b .
Аналитической функцией в области D называется функция w  f  z  , если она имеет в каждой точке области конечную
производную.
Аналитической функцией в точке z 0 называется функция
w  f  z  , если она является аналитической в некоторой окрест-
ности этой точки.
Внутренней точкой множества E называется точка, которая принадлежит множеству E вместе с некоторой своей окрестностью.
Граничной точкой называется точка z множества E , если
в любой ее окрестности содержатся как точки, принадлежащие
множеству E , так и точки, не принадлежащие этому множеству.
Границей множества E называется совокупность всех граничных точек этого множества.
Действительной осью называется ось абсцисс комплексно–числовой плоскости.
Замкнутым кругом на комплексной плоскости с центром
в точке z 0 и радиусом R называется множество точек, определяемое неравенством z  z 0  R .
Замкнутой областью E называется область E с присоединенной к ней границей.
Изолированной особой точкой аналитической функции
f  z  называется особая точка a , если существует окрестность
точки a , в которой нет ни одной особой точки функции f  z  ,
отличной от a .
89
Комплексно–сопряженными
числа   a  i b и   a  i b .
называются
комплексные
Комплексной функцией действительной переменной, заданной на множестве T , называется соответствие, при котором
каждому t  T  R ставится в соответствие единственное комплексное число z .
Комплексной функцией комплексной переменной, заданной на множестве E , называется соответствие, при котором каждому комплексному числу z  x  i y из множества E поставлено
в соответствие определенное комплексное число w  u  i v .
Комплексно–числовой плоскостью называется плоскость,
которая служит изображением комплексных чисел.
Комплексным числом  называется символ вида
  a  i b , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица. Число a называется действительной частью комплексного числа  и обозначается Re  a ; число b называется мнимой частью числа  и обозначается Im   b .
Корнем степени n  n 
 из комплексного числа 
назы-
вается такое комплексное число  , что  n   . Обозначается
  n .
Косинусом комплексного аргумента z называется функez i  e z i
ция, определяемая формулой cos z 
.
2
Котангенсом комплексного аргумента z называется
cos z
, z   k.
функция, определяемая формулой ctg z 
sin z
90
Коэффициентом растяжения в точке z 0 в направлении
кривой  (или в направлении касательной к кривой  в точке z 0 )
называется число lim
z  0
Логарифмом
w
z
.
комплексного числа z 0 называется такое
комплексное число w0 , для которого выполняется равенство
e
w0
 z 0 . Обозначение w 0  Ln z 0 .
Логарифмической функцией комплексного аргумента
называется функция w  Ln z .
Мнимой единицей (обозначается i ) называется символ, обладающий свойством: i 2  i  i   1.
Мнимой осью
числовой плоскости.
называется
ось
ординат
комплексно–
Непрерывной функцией в точке z 0 называется функция
f  z  , если lim f  z   f  z 0  .
z  z0
Областью на комплексной числовой плоскости называется
открытое связное множество.
Ограниченным множеством называется множество E , если существует круг конечного радиуса z  R , целиком содержащий в себе это множество.
Однолистной функцией на множестве E называется
функция w  f  z  , если различным значениям z из множества
E соответствуют различные значения w . При этом множество E
называется множеством однолистности функции.
91
Окрестностью бесконечно удаленной точки называется
внешность круга с центром в нулевой точке радиуса R . Эта
окрестность записывается в виде неравенства z  R .
Окрестностью точки z 0 радиуса  (или  – окрестностью) называется геометрическое место точек z , удовлетворяющих неравенству z  z 0   , то есть это открытый круг с центром в точке z 0 и радиусом R .
Особыми точками функции w  f  z  называются точки, в
которых функция не является аналитической.
Открытым кругом на комплексной плоскости с центром
в точке z 0 и радиусом R называется множество точек, определяемое неравенством z  z 0  R .
Открытым множеством называется множество E , у которого каждая его точка – внутренняя.
Показательная форма комплексного числа   r e i  .
Показательной функцией комплексного аргумента
z  x  i y называется функция, определяемая равенством:
f  z   e x  cos y  i sin y  .
Полюсом аналитической функции f  z  называется изолированная особая точка a , если lim f  z    .
za
Пределом последовательности  z n  называется комплексное число z 0 , если    0  N    
z n  z 0   . Обозначается lim z n  z 0 .
n
92
:  n  N , выполняется
Предельной особой точкой аналитической функции f  z 
называется особая точка a , если в любой ее окрестности содержится хотя бы одна особая точка данной функции, отличная от a .
Производной функции f  z  в точке z 0 называется
w
 f   z 0  , если он существует (конечный или бесконечz
lim
z  0
ный).
Простым полюсом аналитической функции называется ее
полюс первого порядка.
Связным множеством называется множество E , у которого любые две точки можно соединить ломаной, целиком состоящей из точек этого множества.
Синусом комплексного аргумента z называется функция,
ezi  e zi
.
определяемая формулой sin z 
2i
Степенью комплексного числа   0 с комплексным показателем  называется комплексное число   , определяемое
равенством:    e   Ln  .
Степенью числа е с комплексным показателем z  x  i y
называется комплексное число e z  e x  i y  e x   cos y  i sin y  .
Существенно особой точкой аналитической функции f  z 
называется изолированная особая точка a , если lim f  z  не суza
ществует.
Тангенсом комплексного аргумента z называется функ
sin z
, z    k.
ция, определяемая формулой tg z 
2
cos z
93
Тригонометрическая форма комплексного числа
  r   cos   i  sin   .
Уравнение кривой в комплексно–параметрической форме
z   t   i  t  .
Уравнение окружности в комплексной форме z  z 0  R .
Уравнение окружности в комплексно–параметрической
форме z  a  R  e i , 0    2 .
Условия Коши – Римана (условия аналитичности функции)
u v

;
x y
v
u

x
y
Устранимой особой точкой аналитической функции f  z 
называется изолированная особая точка a , если lim f  z  сущеza
ствует и конечен.
Формула для вычисления корня степени n из комплексного числа, записанного в тригонометрической форме:
 k  n r  cos   i sin   
  2 k
  2 k 

 n r  cos
 i sin
,
n
n


k  1, n.
Формула Муавра (формула для возведения комплексного
числа в натуральную степень):
 r  cos   i sin     r n  cos n   i sin n   .
n
eiy  eiy
eiy  e iy
Формулы Эйлера: cos y 
, sin y 
.
2i
2
Чисто мнимым число называется число вида   i b.
94
Приложение
Таблица производных элементарных функций
Пусть u    x  – некоторая дифференцируемая функция,
C – постоянная.
1.  C   0 .
2.  x   1 .
    u 
3. u 
1
 u .
4.
Частные случаи:
1

u 
 u .
2 u
1
 1 


 u .
 
2
u
u
 a   a
u
u
 ln a  u
   e
Частный случай: e u
 
5.  log a u  
6.  sin u   cos u  u .
1
 u .
8.  tg u  
2
cos u
1
10.  arcsin u  
 u .
2
1 u
1
 u .
12.  arctg u  
1 u2
14.  sh u   ch u  u .
u
 u
1
 u .
u  ln a
1
Частный случай:  ln u    u .
u
7.  cos u    sin u  u .
9.  ctg u   
1
 u .
2
sin u
1
11.  arccos u   
 u .
2
1 u
1
 u .
13.  arcctg u   
1 u2
15.  ch u   sh u  u
1
1
16.  th u   2  u .
17.  cth u    2  u .
ch u
sh u
Правила дифференцирования
1.  u  v   u   v
 u  v  w  u  v  w .
2.  u  v   u  v  u  v .
 u  v  w  u v  w  u  v  w  u  v  w .
3.  C u   C u  , C – const .
 u  u  v  u  v
4.   
.
2
v
v
 
95
ЛИТЕРАТУРА
1. Волковыский, Л.И. Сборник задач по теории функций
комплексного переменного [Текст] : учеб. для вузов / Л.И. Волковыский, Г.Л. Лунц, И.Г. Араманович – М.: ФИЗМАТЛИТ,
2002. – 312 с.
2. Маркушевич, А.И. Теория аналитических функций. Начала теории [Текст] : учеб. для вузов / А.И. Маркушевич – СПб. :
Лань, 2009. – 496 с.
3. Петрушко, И.М. Курс высшей математики. Лекции и
практикум [Текст] : учеб. для вузов / И.М. Петрушко – СПб. :
Лань, 2010. – 608 с.
4. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления [Текст] : учеб. для вузов / Н.С. Пискунов – М. : Интеграл–Пресс, 2012. – 560 с.
5. Посицельская, Л.Н. Теория функций комплексного переменного [Текст] : учеб. для вузов / Л.Н. Посицельская – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 136 с.
6. Привалов, И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного [Текст] : учеб. для вузов / И.И. Привалов – М.:
Издательство URSS, 2015. – 440 с.
7. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа
[Текст] : учеб. для вузов / Г.М. Фихтенгольц – СПб. : Лань, 2010.
– 464 с.
96
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
10
Размер файла
2 382 Кб
Теги
kompleksnyj, posobie, elements, peremennoy, funkcii, teoria, balabaeva, uchebnoy, 2018, kompleksnogo, enbom, chisla
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа