close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

part 2

код для вставкиСкачать
72
Глава
2
ГЛАВА 2
Общие сведения о
волновых
процессах
2.1. Волновые процессы ..................................................................................................................................................... 73
2.2. Волновые уравнения для однородной изотропной среды ..................................................... 77
2.3. Электродинамические потенциалы и вектор Герца .................................................................. 78
2.4. Метод комплексных амплитуд ......................................................................................................................... 86
2.5. Плоские однородные электромагнитные волны в однородной
изотропной среде .................................................................................................................................................................... 90
2.6. Плоские однородные электромагнитные волны в однородной
изотропной среде с потерями .................................................................................................................................... 96
2.7. Поляризация электромагнитных волн ................................................................................................... 100
2.8. Стоячая электромагнитная волна ............................................................................................................... 104
2.9. Электромагнитные процессы на границе раздела сред ...................................................... 106
2.10. Падение электромагнитной волны на плоскую
проводящую среду .............................................................................................................................................................. 115
2.11(*). Распространение сигналов (волновых пакетов) в
диспергирующей среде .................................................................................................................................................. 116
2.12(*). Цилиндрические волны ................................................................................................................................ 122
2.13(*). Сферические волны ......................................................................................................................................... 133
*) Символом «*» отмечены разделы и параграфы для самостоятельного и углубленного изучения материала.
Общие сведения о волновых процессах
73
Глава 2. Общие сведения о
волновых процессах
2.1. Волновые процессы
2.1.1. Общие определения. С понятием волнового процесса тесно связано понятие колебания. Под колебаниями понимаются движения или в более общем случае
процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. При
колебаниях обычно происходит периодическое чередование во времени максимумов и минимумов какой-либо физической величины (температуры, плотности вещества, плотности тока, напряженностей электрического или магнитного полей и
т.д.). Волна представляет собой пространственно-временной процесс, описывающий распространение колебаний в пространстве. При волновом процессе происходит изменение состояния среды, возникает возмущение, распространяющееся в
этой среде и несущее с собой энергию.
Волны различаются между собой ориентацией колебаний величины, определяющей возмущение по отношению к направлению распространения волны. Если
колебание этой величины происходит вдоль направления распространения волны,
такая волна называется продольной. Так, например, акустическая волна распространяется в том же направлении, в каком происходит смещение плотности частиц.
У поперечной волны колебание величины, характеризующей возмущение, происходит перпендикулярно к направлению ее распространения. Примером поперечной волны служит электромагнитная волна, распространяющаяся в неограниченной изотропной среде. В этом случае векторы напряженностей электрического и
магнитного полей совершают колебания в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения волны.
Математическое описание волновых процессов основывается на следующих соображениях. Пусть, наблюдая некоторый, например, электромагнитный процесс,
G
мы
характеризовать
его в точке 0 U векторными функциями
G G можем
G G
G
G
G
( U W M W + U W MGW . GВ другой достаточно отдалённой точке 0 U процесс
не будет наблюдаться ( ( + ) до тех пор, пока он не будет передан средой.
G
Через некоторое
время W вG точке 0 U будут наблюдаться значения векторных
G G
G
G
G
функций ( U W \ W и + U W \ W . В этом случае говорят, что в основе процесса распространения волн лежит принцип близкодействия, согласно которому
взаимодействие осуществляется посредствам среды (в частности, вакуума), являющейся «вместилищем» электромагнитного процесса.
В соответствии с этим принципом распространение электромагнитной волны в
любой среде происходит с конечной скоростью. Распространение электромагнитных волн происходит вследствие того, что появляющееся в какой-либо точке про-
74
ГЛАВА 2
странства переменное электрическое поле возбуждает в соседних точках магнитное поле и наоборот. Данное утверждение следует из уравнений Максвелла: слагаемые, находящиеся в правых частях первых двух уравнений системы, являются
источниками величин, находящихся в левых частях соответствующих
уравнений. В
G
w
'
w
W
z
) возникнет
частности, при изменении
во
времени
электрического
поля
(
G
величина, равная URW + , что эквивалентно появлению магнитного поля.
Критерием перехода от колебательного процесса к волновому служит, так
называемое, условие квазистационарности: если линейные размеры системы
/ Y7 (v — скорость распространения возмущения, T — время его заметного
изменения), о процессе в системе с сосредоточенными параметрами можно
говорить как о колебательном. В случае / ! Y7 процесс нужно считать волновым, а систему — распределённой.
Волновой процесс — это одна из важнейших форм движения материи. В той
или иной мере волновые процессы присущи всем без исключения объектам материального мира. Как показали экспериментальные исследования дифракции и рассеяния микрочастиц, корпускулярно-волновой дуализм есть фундаментальное свойство материи, вследствие чего для описания состояния квантовых систем необходимо пользоваться волновыми функциями.
Волновые процессы бывают линейными и нелинейными. Механизмы распространения различных волн, естественно, сильно отличаются друг от друга, но несмотря на их большое разнообразие, в протекании волновых процессов различной
физической природы можно выделить много общего.
2.1.2. Волновые уравнения. В теории электромагнитных волн фундаментальное
значение имеют линейные уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа:
G
G
G w (
G w +
’ ( ’ + (2.1.1)
Y wW
Y wW
записанные относительно напряжённостей электрического или магнитного полей. Уравнения (2.1.1) называются однородными волновыми уравнениями. Посредством ’ обозначен оператор Лапласа; постоянная v характеризует свойства среды. Волновые уравнения (2.1.1) справедливы для линейной однородной изотропной среды.
Подобно тому, как усложняя модель гармонического осциллятора, описываемого в теории колебаний уравнением:
G [
GW Z [
(2.1.2)
где x — смещение какой-либо величины, совершающей колебательные движения,
от некоторого положения равновесия, можно вводить в (2.1.2) дополнительные слагаемые, ответственные за нелинейность, затухание, влияние внешних сил (вынужденные колебания) и т.д., соответствующие обобщения для волновых процессов можно
сделать и на основе уравнений (2.1.1).
Общие сведения о волновых процессах
75
В присутствии источников процесс возбуждения и распространения электромагнитных волн описывается неоднородными волновыми уравнениями:
G
G
G w ( G G
G w + G G
’ ( I U W ’ + I U W (2.1.3)
Y wW
Y wW
G
G
где I и I — некоторые функции, характеризующие распределённые внешние
воздействия.
В линейной диспергирующей и диссипативной средах могут происходить необратимые процессы передачи энергии волн частицам среды. При этом скорость
распространения волны становится функцией частоты. Эти процессы должны учитываться введением в волновые уравнения (2.1.1) дополнительных линейных членов:
G
G
G w (
G
G w +
G
’ ( / ( ’ + / + (2.1.4)
Y
W
Y
w
W
w
G
G
где / ( / + — линейные операторы (в общем случае интегро-дифференциальные), описывающие дисперсию и диссипацию среды. Диссипативность среды
может быть также учтена введением в v комплексных значений H и P .
Решения волновых уравнений (2.1.1), (2.1.3), (2.1.4) должны находиться с учётом
начальных и граничных условий, отвечающих физической постановке задачи.
Если среда является анизотропной, процесс распространения электромагнитных волн описывается волновыми уравнениями не второго, а более высокого порядка. Такого типа задачи встречаются при исследовании распространения электромагнитных волн в плазме или феррите, находящихся во внешних постоянных
магнитных полях.
Если среда — неоднородная, то есть её параметры зависят от координат,
уравнение, описывающее волновой процесс, имеет, сравнительно с (2.1.1), (2.1.3),
(2.1.4), более сложный вид. При этом параметр v2 не является постоянной величиG
ной, а становится функцией координат: Y YU .
2.1.3. Гармонические волны. Большое место в теории волновых процессов занимают гармонические волны. Электромагнитное поле, соответствующее гармонической волне, может быть представлено в виде:
G G G L ZW G G L ZW
(
( U H
( U H
(2.1.5)
G G G L ZW G G L ZW
+
+U H
+ U H
G
G
где ( и +
G —G комплексные амплитуды полей. Подставляя (2.1.5) в (2.1.1), для
функций ( и + получаем уравнения
G
G
G
G
’ ( NHP ( ’ + NHP + (2.1.6)
где N ZG F . GЕсли подставить (2.1.5) в уравнения (2.1.4), то также получим для
векторов ( и + уравнения вида (2.1.6), но N в этом случае более сложным
образом зависит от частоты и, вообще говоря, является комплексной величиной:
>
@
>
N Z
@
> N cZ LN ccZ @ (2.1.7)
76
ГЛАВА 2
Уравнения (2.1.6) называются однородными уравнениями Гельмгольца. В диспергирующих линейных средах, для которых справедлив принцип суперпозиции,
возмущения, зависящие от времени сложным образом, представляют в виде совокупности гармонических волн, что обеспечивает переход от волнового уравнения к
уравнению Гельмгольца, относящегося к уравнениям эллиптического типа.
Если волновой процесс описывается одной скалярной величиной, этот процесс
называется скалярной волной. Если волновой процесс описывается векторной функцией, говорят о векторной волне. С этой точки зрения процесс распространения
электромагнитного поля представляет собой векторную волну.
2.1.4. Плоские, цилиндрические и сферические волны. Волновые процессы
G в
и
(
однородной
изотропной
среде
в
зависимости
от
характера
изменения
векторов
G
+ разделяют на плоские, цилиндрические и сферические волны. Дадим им определения. Рассмотрим гармоническую
электромагнитную волну. Пусть \ — любая из
G
G
компонент векторов ( и + . Тогда для гармонического процесса (с учётом соотношений (2.1.5)) можно записать
\ [ \ ] W
\ P [ \ ] FRV > Z W M[ \ ] @ (2.1.8)
где M [ \ ] — фаза соответствующей компоненты поля, которая определяет фронт
волны. Под фронтом волны будем понимать поверхность с фиксированной (постоянной) фазой, то есть фаза на этой поверхности в данный момент времени в
любой её точке одинакова.
Для плоских волн характерно перемещение фронта вдоль одного выбранного
направления. Таким образом, у плоской волны, распространяющейся вдоль оси
2= , фаза будет зависеть только от координаты ] : M N ] , то есть уравнение
поверхности фронта определяется как ] FRQVW . Следовательно, фронтом плоской
волны является плоскость, перпендикулярная направлению распространения.
Поверхности постоянной фазы гармонического процесса, описываемого соотношением (2.1.8), определяются уравнением
M [ \ ] FRQVW (2.1.9)
то есть в общем случае поверхности постоянной фазы не обязательно являются
параллельными плоскостями, как для плоской волны. Если на этих поверхностях амплитуда \ P [ \ ] не принимает постоянного значения, волна называется неоднородной. То есть неоднородной называют волну, для которой поверхности равных фаз и амплитуд не совпадают.
Форма поверхности постоянной фазы зависит от условий возникновения и распространения волн. Если, например,
M [ \ ]
NU (2.1.10)
где U — координата цилиндрической или сферической системы координат, мы,
соответственно, имеем цилиндрическую и сферическую волны. На рис. 2.1а показаны последовательные положения фронта цилиндрической (сферической) волны,
распространяющейся от источника 4 (расходящаяся от источника волна). У сходящейся волны последовательные положения поверхностей постоянной фазы стремятся к точке U (рис. 2.1б). Заметим также, что цилиндрические и сферические волны
в случае диссипативной среды являются неоднородными.
Общие сведения о волновых процессах
4
77
4
а)
б)
Рис. 2.1
2.2. Волновые уравнения для однородной
изотропной среды
Процесс распространения электромагнитных волн в однородной изотропной
среде описывается системой уравнений Максвелла:
G
G
G
G w' G
w%
URW +
- URW ( (2.2.1)
wW
wW
и материальными уравнениями:
G
G G
G
G
G G
' HD( % PD+ - V ( - Из системы векторных уравнений (2.2.1) можно получить векторные дифференциальные
уравнения второго
порядка относительно напряжённостей электричесG
G
кого ( и магнитного + полей.
Применим к первому уравнению системы (2.2.1) операцию rot:
G
G
G
w
URW H D URW +
URW ( URW H D - (2.2.2)
wW
G
Подставим в соотношение (2.2.2) выражение для URW
G ( изGвторого уравнения системы
%
PD+ :
(2.2.1) и воспользуемся материальным уравнением
G
G
G
w +
URW H D URW + P D
URW H D - (2.2.3)
wW
Для однородной среды материальные параметры H D и P D не зависят от
пространственных координат, поэтому величину H D можно вынести из-под знака операции rot. Тогда, с учётом тождества (П.3.6), получаем векторное дифференциальное уравнение второго порядка относительно напряжённости магнитного
поля:
G
G
G
w +
URW
’ + H D P D
(2.2.4)
w W
Аналогично, рассматривая второе уравнение системы (2.2.1) и применяя к нему
операцию rot, несложно получить уравнение относительно напряжённости электрического поля:
G
G
G
ww (
’ ( HDPD JUDG 5 P D
(2.2.5)
HD
wW
wW
78
ГЛАВА 2
ПриGвыводе уравнения (2.2.5) было учтено, что для однородной изотропной среды:
GLY ( H D 5 .
Уравнения (2.2.4) и (2.2.5) получили названия векторных неоднородных волновых уравнений (уравнений д‘Аламбера). В них перед второй производной по времени присутствует параметр H D P D , имеющий размерность [сек2/м2]. Этот множитель определяет скорость распространения фазового фронта волны. Поэтому можно ввести следующее определение фазовой скорости:
Y
(2.2.6)
H P
D D
Очевидно, что фазовая скорость определяется свойствами среды, в которой происходит распространение волны и равна скорости света в этой среде.
Сравнивая уравнения д‘Аламбера (2.2.4) и (2.2.5) с уравнениями (2.1.3), можно
заметить, что векторные функции
G G
G G
G G
G G
G
w - U W I U W H D JUDG 5U W P D
I U W URW -U W
wW
описывают источники электромагнитного поля волны.
При рассмотрении процесса
распространения электромагнитных волн в области
G
вне источников ( 5 { - { ) неоднородные уравнения (2.2.4) и (2.2.5) переходят в
однородные волновые уравнения (2.1.1).
2.3. Электродинамические потенциалы и вектор Герца
G
GLY % с
2.3.1. Электродинамические потенциалы. Из уравнения Максвелла
G
учётом формулы (П.3.4) следует, что вектор магнитной индукции % можно представить в виде:
G
G
% URW $ (2.3.1)
Подставляя (2.3.1) во второе уравнение системы (2.2.1), получаем:
G
­° G w $ Ѕ°
URW ®( (2.3.2)
ѕ w W °ї
°?
G
Известно, что если для произвольного вектора D справедливо равенство
G
URW D , то этот вектор может быть представлен в виде градиента некоторой
скалярной функции. Вследствие этого из соотношения (2.3.2) получаем выражение
для вектора напряжённости электрического поля:
G
G
w$
( JUDG ) (2.3.3)
wW
скалярная функция координат и времени.
где ) — некоторая
G G произвольная
G
Функции $ U W и ) U W в электродинамике получили названия векторного и скалярного электродинамических потенциалов, соответственно. Напомним, что ранее для электростатического поля
G был введён электростатический
потенциал с помощью соотношения (1.15.5): ( JUDG ) . Из (2.3.3) следует, что
для описания нестационарного электромагнитного поля уже недостаточно использовать только скалярный потенциал, а необходимо знать также закон из-
Общие сведения о волновых процессах
79
менения
G векторного электродинамического потенциала во времени, то есть вектора $ . Отмеченный факт ещё раз поясняет процесс возникновения и распространения электромагнитных волн: переменное электрическое поле порождает
магнитное и наоборот.
Из соотношений (2.3.1) и (2.3.3) можно сделать вывод о равноправииG описания
электромагнитного
поля парой электродинамических потенциалов ) $ и парой
G G
векторов ( % . Поэтому имеет смысл записать дифференциальные уравнения второго порядка для электродинамических потенциалов. С этой целью в первое уравнение системы (2.2.1) подставим выражения (2.3.1) и (2.3.3). В результате имеем:
G
G
§
w$ · G
w
ё -
H D Ё JUDG ) URW P D URW $ (2.3.4)
w W Ё©
w W ё№
Воспользовавшись формулой (П.3.6), для однородной среды ( P D FRQVW ) получим
следующее уравнение:
G
G
G
G
§
w)·
w $
ЁЁ GLY $ H D P D
ёё P D - ’ $ HDPD
JUDG
(2.3.5)
wW №
wW
©
Наложим на электродинамические потенциалы дополнительное условие:
G
w)
GLY $ H D P D
(2.3.6)
wW
называемое калибровкой Лоренца. Возможность
G GвведенияG дополнительной связи
между электродинамическими потенциалами $ U W и ) U W обосновывается неоднозначностью их определения формулами
(2.3.1)
и (2.3.3). Действительно, из (2.3.1)
G
G
%
не изменятся при заменах
и (2.3.3) видно, что значения векторов ( и
G
G
wD
$ џ $ JUDG D ) џ ) (2.3.7)
wW
где D — произвольная скалярная величина. Дополнительная связь между электродинамическими потенциалами в виде (2.3.6) выбрана из соображений математического упрощения уравнения (2.3.5), которое в этом случае переходит в неоднородное векторное уравнение д‘Аламбера:
G
G
G
w $
’ $ HDP D
PD - (2.3.8)
wW
Для скалярного электродинамического потенциала из второго уравнения системы
(2.2.1) получается скалярное уравнение д‘Аламбера:
w )
5
HD
wW
В электродинамике вводят оператор д‘Аламбера (волновой оператор):
’ ) H D P D
’ H D P D
w
wW
’ w
Y w W (2.3.9)
(2.3.10)
80
ГЛАВА 2
с помощью которого уравнения (2.3.8), (2.3.9) для электродинамических потенциалов
записываются в более компактной форме:
G
G
5
$ PD - ) (2.3.11)
HD
G
В области, свободной от источников ( 5 { - { ), электродинамические потенциалы описываются однородными уравнениями д‘Аламбера:
G
(2.3.12)
$ ) Заметим, что вместо калибровки Лоренца (2.3.6) на электродинамические
потенциалы можно наложить и другие условия. Например, часто встречается
условие кулоновской или поперечной калибровки:
G
(2.3.13)
GLY $ В этом случае вместо (2.3.8) и (2.3.9) для потенциалов получаются другие уравнения:
G
$
G w)
P D - JUDG
')
wW
Y
5
HD
(2.3.14)
Как видно из (2.3.14), уравнение для скалярного электродинамического потенциала
) совпадает с уравнением Пуассона (1.15.6) для электростатического потенциала,
откуда и вытекает первое название калибровки
— кулоновская.
Второе название
G
GG
показывает, что для плоских волн, когда $ a H[S ^ L NU ` , калибровка (2.3.13) эквивалентна Gусловию
G G поперечности векторного потенциала по отношению к волновому
вектору N : N $ Запишем наиболее часто используемую в электродинамике систему уравнений
для электродинамических потенциалов, получающуюся при наложении на них
калибровки Лоренца:
G
G
G
w)
5
$ PD - ) HDPD
GLY $ (2.3.15)
HD
wW
Решение второго уравнения (2.3.15) в соответствии с методом Коши представим
в виде:
)[ \ ] W
¦G ) N W MN [ \ ] (2.3.16)
N
Правую часть второго уравнения (2.3.15) запишем в виде разложения:
5[ \ ] W
¦G 5N W MN [ \ ] (2.3.17)
N
В (2.3.16), (2.3.17) MN [ \ ] — система ортонормированных функций, удовлетворяющих условию:
­ N z Nc MN MN c G9 GNNc ®
(2.3.18)
Ї N Nc 9
і
где k является номером.
Представления (2.3.16), (2.3.17) справедливы в том случае, когда функции
MN образуют полный набор собственных функций краевой задачи для рас-
Общие сведения о волновых процессах
81
сматриваемого объёма V. Они (представления) являются разложениями по пространственным гармоникам, период
и ориентация которых в пространстве (x,
G
y, z) определяются вектором N :
G
G
G
G
N L Q [ M Q\ N Q] D (2.3.19)
G G G
где Q[ Q\ Q] — целые числа; L M N — единичные орты вдоль соответствующих
осей декартовой системы координат; a — коэффициент пропорциональности, имеющий размерность [м]–1.
Таким образом, разложения (2.3.16), (2.3.17) — представления функций
) [ \ ] W 5 [ \ ] W в пространстве собственных функций MN .
В качестве функций MN выберем:
MN
GG
где NU
/ GG
H L NU (2.3.20)
N [ [ N \ \ N] ] N[
SQ [ / N\
SQ \ / N]
SQ] / (2.3.21)
L — параметр, определяющий линейные размеры рассматриваемого объёма V.
В результате коэффициент a, входящий в (2.3.19), определяется как D S / .
Нетрудно видеть, что функции (2.3.20) являются собственными функциями краевой задачи на уравнении Гельмгольца:
' MN N M N
где N (2.3.22)
N[ N\ N] с граничными условиями:
MN [ \ ]
MN [ / \ / ] / (2.3.23)
В виде (2.3.21) N[ , N\ и N] определяют спектр собственных значений краевой
задачи: (2.3.22), (2.3.23). Решения этой краевой задачи образуют полную систему
собственных функций, по которой можно производить разложение произвольной
функции ) , удовлетворяющей условию:
і))
G9 f /
Подставляя ) [ \ ] W и 5 [ \ ] W в виде (2.3.16), (2.3.17) в уравнение (2.3.15),
получаем:
¦ ) N NF)N MN
N
HD
¦ F5N MN N
где F H D P D — скорость света в среде с параметрами H D P D .
Умножив полученное уравнение на MNc и проинтегрировав по объёму 9
использованием условия ортогональности (2.3.18), получаем:
N F)
)
N
N
F
5 HD N
/ , с
(2.3.24)
82
ГЛАВА 2
Уравнения (2.3.24) образуют бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных амплитудных коэффициентов ) N W
разложения (2.3.16).
В результате определение потенциала ) [ \ ] W , создаваемого переменным
во времени зарядом, распределённым с плотностью 5 [ \ ] W в конечной области, свелось к решению краевой задачи: (2.3.22), (2.3.23) и определению функций
) N W , являющихся решениями уравнений (2.3.24), каждое из которых представляет собой уравнение осциллятора с внешним воздействием. Собственные частоты
осцилляторов определяются как
S
Q [ Q \ Q ] F /
Таким образом, результирующий потенциал в произвольной точке в произвольный момент времени ) [ \ ] W представляет собой, в соответствии с законом (2.3.16), бесконечную сумму потенциалов с амплитудами MN , создаваемых
бесконечным набором источников. Функции 5N W в (2.3.24) играют роль внешней
силы. Уравнения (2.3.24) могут иметь различные решения в зависимости от начальных условий. Последние определяются начальными условиями, при которых решается уравнение (2.3.15).
Решение уравнения (2.3.24) при каждом фиксированном k записывается как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения
неоднородного уравнения (2.3.24). Указанное частное решение находится методом Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной) и имеет вид:
ZN
) N W
F
H D ZN
W
і 5N W VLQ >ZN W [email protected] GW (2.3.25)
W
Решение в виде (2.3.25) соответствует начальным условиям:
) N W ) cN W Таким образом, общее решение уравнения (2.3.24) записывается в виде:
)N W
$N FRV ZN W %N VLQ ZN W F
HD
W
і 5N W
W
VLQ > ZN W [email protected]
GW ZN
(2.3.26)
Рассмотрим частный случай — общее решение удовлетворяет нулевым начальным условиям:
)Nc W ) N W Как следует из (2.3.25), в этом случае
$N
%N
Подставив ) N W в виде (2.3.25) в (2.3.16), имеем:
W
) [ \ ] W
F
¦ і HD 5N W
N
MN
W
VLQ > ZN W [email protected]
GW ZN
(2.3.27)
Общие сведения о волновых процессах
83
Обозначая координаты точек размещения объёмного заряда как [ c \c ]c , в
соответствии с (2.3.17), записываем:
¦ 5N W MN [c \c ]c 5 [ c \c ]c W
N
MNc [c \c ]c
Умножим записанное равенство на
и проинтегрируем по всему рассматриваемому объёму V. С учётом условия ортонормированности функций MN
(2.3.18) получаем:
і 5[c \c ]c MN [c \c ]c G[cG\cG]c 5N W
9
G
Поскольку приращение вектора N :
§Ё S ·ё 'Q 'Q 'Q
[
\
]
© / №
'N[ 'N\ 'N]
при минимальных 'Q [ 'Q \ 'Q] и / o f (то есть, фактически, при переходе к свободному пространству) переходит в элементарное приращение:
GN[ GN\ GN]
GN от суммирования в (2.3.27) можно перейти к интегрированию.
Подставляя в (2.3.27) 5N W и учитывая (2.3.20), получаем:
) [ \ ] W
і
u H
GG
L NU c
f
F
S H D
і
GG G W
VLQ >ZN W [email protected]
H L NU GN
GW u
ZN
і
W
(2.3.28)
5[ c \c ]c W G[ c G\c G]c 9
G
G
где U c U [c \c ]c — координата точки источника.
Производя в (2.3.28) интегрирование, получаем:
)[ \ ] W
SHD
і
5 [ c \c ]c W r
9
'U
F
'U
G[cG\cG]c (2.3.29)
где 'U
[ [c \ \c ] ]c ; знак «+» соответствует полю, распространяющемуся к области источников, по которой в (2.3.29) производится интегрирование; знак «–» соответствует полю, распространяющемуся от указанной области.
Аналогичным образом находится решение первого уравнения (2.3.15), которое
записывается в виде:
G
$ [ \ ] W
PD
S
і
9
G
'U
- [ c \c ]c W r F
'U
G[ c G\ c G] c (2.3.30)
Выражения (2.3.29), (2.3.30), взятые со знаком «–», носят названия запаздывающих потенциалов, со знаком «+» — опережающих.
84
ГЛАВА 2
Отметим, что наличие двух типов равноправных решений (запаздывающих и
опережающих) у системы уравнений (2.3.15) связано с инвариантностью оператора
д‘Аламбера относительно времени. Выбор запаздывающего решения выделяет направление течения времени, что неизбежно при описании макроскопических электромагнитных процессов. Однако в ряде случаев не исключена возможность существования опережающих решений. Действительно, при наличии в среде различного рода неоднородностей, появляются отражённые волны, которые математически
и описываются опережающими решениями. Таким образом, наличие двух типов
равноправных решений у системы уравнений (2.3.15) физически связано с возможностью существования прямых и отражённых волн в среде с неоднородностями.
2.3.2. Векторы Герца. Наряду с векторным и скалярным потенциалами в электродинамике вводят также электрический и магнитный векторы Герца.
Представим скалярный потенциал ) в виде
G
(2.3.31)
) GLY Q H G
погде вектор Q H называют электрическим вектором Герца (поляризационным
G
тенциалом). Для установления
G связи между векторным потенциалом $ и электрическим вектором Герца Q H воспользуемся калибровкой Лоренца (2.3.6), которая
с учётом (2.3.31) принимает вид:
G
§ G
wQ H ·
ё GLY Ё $ H D P D
Ё
w W ё№
©
Откуда следует, что
G
w H
(2.3.32)
$ HD PD
wW
G
G
G
Следовательно, векторы ( и + могут быть выражены через вектор Герца QH
(см. соотношения (2.3.1) и (2.3.3)) следующим образом:
G
Q
G
+
G
Q
­°
w H
URW ®HD PD
PD
wW
°Ї
Ѕ° G
ѕ (
°ї
G
GH
w Q H
JUDG GLYQ HD PD
wW
G
Для областейG пространства, свободных от электрических источников ( вектор Герца Q H удовлетворяет однородному волновому уравнению:
G
GH
w Q H
’ Q HD PD
wW
которое следует из соотношений:
w H
w §
Ё JUDG GLY
URW URW
wW
wW Ё
©
G
Q
G
Q H HD PD
(2.3.33)
5
),
(2.3.34)
G
w Q H ·
ё
w W ё№
G
G
G
w §
w Q H ·
Ё URW URW Q H JUDG GLY Q H HD PD
ё ё
wW Ё
W
w
©
№
Общие сведения о волновых процессах
85
G
получающихся подстановкой (2.3.33) в уравнения Максвелла (2.2.1) при - . При
выводе (2.3.34) полагалось, что диэлектрическая и магнитная проницаемости H D и
P D не зависят от координат ( H D FRQVW , P D FRQVW ).
Строго говоря, из последних равенств следует, что
G
GH
w Q H
’ Q HD PD
wW
(2.3.35)
FRQVW Поскольку значение константы в правой части (2.3.35) не влияет на определение
поля, её можно положить равной нулю, что и приведёт к уравнению (2.3.34).
В том случае, когда электромагнитное поле создаётся источником электрического типа (электрическим моментом), скалярный и векторный потенциал удовлетворяют уравнениям:
G
w )
GLY 3 ’ ) H D P D (2.3.36)
HD
wW
G
G
G
w3
w $
PD
’ $ HDPD
(2.3.37)
wW
w W
G
где 3 — вектор поляризации.
С использованием (2.3.31) и (2.3.32) уравнения (2.3.36) и (2.3.37) сводятся к
одному уравнению относительно электрического вектора Герца:
G
w H
3
’ H HD PD
(2.3.38)
HD
w W
Когда электромагнитное поле создаётся источником магнитного Gтипа (магнитG
ным Gмоментом, характеризуемым плотностью магнитного тока -u P URW 0 ,
где 0 — вектор намагничивания), из двух уравнений (2.3.36), (2.3.37), поскольку
в этом случае ) { , остаётся только одно:
G
G
G
w $
URW
0
’ $ H D P D
(2.3.39)
w W
G
Вводя магнитный вектор Герца Q P соотношением:
G
Q
G
Q
G
$
G
Q
PD URW P получаем относительно него из (2.3.39) уравнение:
G
GP
wQ P
’ Q HD PD
wW
G
0
PD
G
G
Соответственно векторы ( и + выражаются через
G
(в (2.2.1) - ):
G
(
G
Q
Є HP w P є G
URW « » +
HD
wW »ј
«¬ F
G
QP
(2.3.40)
следующим образом
G P HP wQG P
JUDG GLY Q wW
F
(2.3.41)
86
ГЛАВА 2
G Для областей пространства, свободных от источников, магнитный вектор Герца
Q P также удовлетворяет однородному волновому уравнению:
G HP wQG P
P
(2.3.42)
’ Q F wW
В силу линейности уравнений Максвелла с электрическими и магнитными токами (2.2.1) общее их решение через электрический и магнитный вектор Герца
будет определяться суперпозицией решений (2.3.33) и (2.3.41):
G
(
G
+
G HP wQG Є HP wQG P є
JUDG GLY Q URW « »
HD
wW »ј
F wW
«¬ F
G HP wQG P Є HP wQG є
JUDG GLY Q P URW « »
wW
P
wW
(2.3.43)
F
«¬ F
»ј
D
Таким образом, уравнения для электрического (2.3.38) и магнитного (2.3.40) векторов Герца имеют один и тот же вид (одинаковые по форме), отличаются лишь
функциями, стоящими в правой части, поскольку поля, описываемые этими уравнениями, создаются различными источниками. Благодаря тому, что уравнения для
электрического и магнитного векторов Герца имеют одинаковый вид, при их решении используют принцип двойственности.
Допустим, нашли решение
(2.3.38). По нему с использованием форG уравнения
G
мул (2.3.33) находим поля ( и + . Поля, создаваемые источником магнитного типа
и описываемые уравнением (2.3.40), получаются простой заменой:
G
G
G
G
3 o 0 HD њ PD ( њ + Решения уравнений (2.3.38), (2.3.40), получаемые по методике, описанной в п. 2.3.1,
записываются в виде:
G
QH [ \ ] W
G
Q P [ \ ] W
SHD
і
G
3 [c \c ]c W r
9
SPD
і
9
'U
F
'U
G
0 [c \c ]c W r
'U
G[cG\cG]c
'U
F
G[cG\cG]c
2.4. Метод комплексных амплитуд
При исследовании электромагнитных колебаний и волн чаще всего имеют дело
с полями, изменяющимися во времени по гармоническому закону, то есть колеблющимися с определённой частотой. Такие поля называют монохроматическими
или гармоническими. Математически гармонические колебания составляющих электромагнитного поля определяются законами ( M [ \ ] ):
G
G
( M U W ( PM U FRV ZW D M (2.4.1)
G
G
+ M U W + PM U FRV ZW E M Общие сведения о волновых процессах
87
где ( PM + PM — действительные амплитуды; Z — круговая частота; ZW D M ZW E M —
полные фазы колебаний составляющих; D M E M — начальные фазы колебаний составляющих.
Периодом колебания T называется наименьший отрезок времени, для которого
G G
G G
G G
G G
( U W 7 ( U W + U W 7 + U W Период и частота колебаний связаны соотношением
7 S Z I (2.4.2)
где f — частота колебаний, определяемая как число колебаний в секунду.
Аналогичным образом (с другими в общем
G G G случае значениями начальных фаз)
записываются составляющие векторов ' % - .
Интерес к гармоническим процессам определён тремя факторами. Во-первых,
большинство излучающих устройств создаёт поля, зависимость от времени которых
близка к гармонической, что обусловлено свойствами резонансных систем, применяемых в радиотехнике. Во-вторых, любой процесс с произвольной зависимостью от
времени в линейной среде может быть представлен в виде интеграла или ряда
Фурье, то есть в виде суперпозиции гармонических колебаний. В-третьих, существует удобный и простой математический метод (метод комплексных амплитуд),
позволяющий при анализе гармонических колебаний исключать из уравнений Максвелла время и тем самым существенно их упрощать. Метод комплексных амплитуд
является общим для всех линейных гармонических процессов. В данном разделе он
рассматривается применительно к описанию электромагнитных процессов.
Запишем выражения (2.4.1) в виде:
G G
G G
G G
G G
( U W 5H >(U H LZW @ + U W 5H >+U H LZW @ (2.4.3)
где
G
G LD
G
G LE
( M U ( PM U H M + M U + PM U H M M [ \ ] G G
G G
G
G
Векторы (U и +U с составляющими ( M U + M U называются комплексными
амплитудами векторов напряженности электрического
полей,
G Gи магнитного
G G
соответственно. Определив комплексные амплитуды (U +U в результате
решения какой-либо
G G электродинамической задачи, для получения мгновенных
значений полей ( + , умножаем соответствующие комплексные амплитуды
на временной множитель H L ZW и берём вещественные части от произведений.
Аналогично (2.4.3) можно записать выражения и для других векторов электромагнитного поля:
G G
G G
G G
G G
' U W 5H >'U H LZW @ % U W 5H >%U H LZW @ (2.4.4)
G G
G G
G
G
- U W 5H > M U H LZW @ 5 U W 5H >UU H LZW @ G G G G G G
G
где 'U %U M U UU — комплексные амплитуды соответствующих величин.
Очевидно, что операция дифференцирования по времени от функций (2.4.3),
(2.4.4) в методе комплексных амплитуд сводится к простому умножению этих функций на величину L Z , то есть
w
(2.4.5)
џ LZ wW
88
ГЛАВА 2
Используя переход (2.4.5), получаем систему уравнений Максвелла (1.13.1) для
комплексных амплитуд векторов электромагнитного поля:
G
G
G
G G G
URW ( LZ % URW + LZ ' M M (2.4.6)
G
G
GLY ' U U GLY % При этом уравнение непрерывности имеет вид:
G
(2.4.7)
U L GLYM Z Запишем систему уравнений Максвелла (2.4.6) для комплексных амплитуд векторов электромагнитного поля в однородной изотропной среде, описываемой материальными уравнениями (1.11.2). Подставляя (1.11.2) в систему (2.4.6), получаем:
G
G
G
V · G G
URW ( L ZP D + URW + LZH §Ё H L
ё( M ZH
©
№
(2.4.8)
G
G
H D GLY ( U U GLY + При рассмотрении монохроматических полей в материальных проводящих
средах вводят комплексную диэлектрическую проницаемость среды:
V
.
H
HL
(2.4.9)
ZH Диэлектрическая проницаемость среды может быть комплексной величиной и
при условии V G , то
G есть в непроводящей среде. Это имеет место в том случае,
когда векторы ' и ( сдвинуты друг относительно друга по фазе на угол J , когда
H H Z . Действительно, если
G
G
' H H( H L J можно записать:
G
G
' H H FRV J L VLQ J ( Тогда под диэлектрической проницаемостью следует понимать величину:
H
Hc L Hcc H FRV J L H VLQ J G
G
Запаздывание по фазе вектора ' W относительно вектора ( W наблюдается на
достаточно высоких частотах, когда проявляются инерционные свойства среды. Это
явление называется диэлектрическим гистерезисом.
Если в среде одновременно протекают токи проводимости и наблюдается диэлектрический гистерезис, составляющие комплексной диэлектрической проницаемости вычисляются как
Hc
H FRV J Hcc
H VLQ J V H Z
Таким образом, комплексная диэлектрическая проницаемость, входящая в уравнения Максвелла для комплексных амплитуд, характеризует электрические свойства вещества при данной частоте. Её мнимая часть может быть обусловлена как
проводимостью среды, так и высокочастотным диэлектрическим гистерезисом. Оба
фактора приводят к потерям энергии высокочастотного электромагнитного поля,
распространяющегося в среде. С чисто макроскопической точки зрения они (оба
фактора) не различимы; в частности, и тот, и другой приводят к выделению
тепла.
Общие сведения о волновых процессах
89
По аналогии с комплексной диэлектрической проницаемостью вводится комплексная магнитная проницаемость P Z , зависящая от частоты:
G
G
%Z PPZ +Z ВG записи P PG H[S L J величина J характеризует отставание по фазе вектора
% от вектора + .
Таким образом, в общем случае, в рамках метода комплексных амплитуд вводят комплексные диэлектрическую и магнитную проницаемости следующим формальным образом:
H
Hc LHcc P
Pc LPcc (2.4.10)
С физической точки зрения, наличие мнимых частей у диэлектрической и магнитной проницаемостей свидетельствует о наличии потерь в среде.
Для количественной оценки потерь в среде в электродинамике вводят параметры:
Hcc
Pcc
WJ G
WJ G
(2.4.11)
Hc
Pc
где величина G называется углом диэлектрических потерь, а величина G —
углом магнитных потерь. Обычно под параметром тангенс угла диэлектрических
потерь ( WJ G ) понимают величину: Hcc Hc .
С учетом (2.4.11) соотношения (2.4.10) можно переписать в более компактной
форме:
H
Hc L WJ G _ H _ H L G P
Pc L WJ G _ P _ H L G P
(2.4.12)
Величину параметра WJ G можно рассматривать в качестве одного из критериев классификации материальных сред. Если WJ G !! при V !! ZH D , среда является проводником, если WJ G при V ZH D , то среда относится к классу диэлектриков.
Запишем волновые
G уравнения (2.2.4) и (2.2.5) относительно комплексных амплиG
туд векторов + и ( для среды с электрическими потерями ( Pcc ). С учётом
(2.4.7) и (2.4.9) волновые уравнения (2.2.4), (2.2.5) переходят в неоднородные уравнения Гельмгольца:
G
G
G
’+ N + URW M G
G
G
(2.4.13)
’( N ( H D JUDG U LZP D M Z H H P D — волновое число для среды с потерями, относительно компгде N
лексных амплитуд поля.
Волновое число для проводящей среды ( V z ) является комплексным:
§
V ·
ё
(2.4.14)
Z H P P ЁЁ H L
H Z ё№
©
Вещественная часть волнового числа называется фазовой постоянной и определяет изменение фазы волны на единице длины; мнимая часть N , называемая коэффициентом затухания, показывает уменьшение амплитуды волны на единице
длины.
N
90
ГЛАВА 2
G
Если в среде отсутствуют токи проводимости ( M ), что соответствует случаю
V , и можно пренебречь диэлектрическим гистерезисом, то волновое число является действительным:
N
N
Z HD PD .
(2.4.15)
G
При отсутствии внешних сторонних источников M U неоднородные уравнения Гельмгольца (2.4.13) переходят в однородные:
G
G
G
G
(2.4.16)
’ + N + ’ ( N ( Уравнения (2.4.16) описывают процессы распространения электромагнитных волн в
области вне источников.
По аналогии с комплексными амплитудами векторов электромагнитного Gполя
можно ввести комплексные амплитуды для электродинамических потенциалов $ ) :
G G
G G
$ U W 5H >$U H L ZW @ (2.4.17)
G
G
)U W 5H >MU H L ZW @ G G
G
где функции $U MU называются комплексными амплитудами векторного и
скалярного электродинамических
потенциалов
соответственно.
G
G
G
Комплексные амплитуды + и ( выражаются с учётом (2.3.1) и (2.3.3) через $ и
M следующим образом:
G
G
G
G
(2.4.18)
+ PDURW$ ( JUDG M LZ$
G
При этом комплексные амплитуды $ и M связаны уравнением:
G
(2.4.19)
GLY$ LZH P M Комплексные амплитуды электродинамических потенциалов обычно определяются из неоднородных уравнений Гельмгольца:
G
G
G
’ $ N $ P M (2.4.20)
’M NM H U 2.5. Плоские электромагнитные волны в
однородной изотропной среде
Перейдём к рассмотрению электромагнитных волн в однородном изотропном
пространстве с постоянными e и m, в котором отсутствуют сторонние токи и заряды. Система уравнений Максвелла в этом случае имеет вид:
G
G
G
G w'
w%
URW +
URW ( wW
wW
(2.5.1)
G
G
'
%
GLY
GLY
G G
G
G
где ' H H ( % P P + Дифференцируя первое уравнение системы (2.5.1) по времени, с учётом второго
уравнения имеем:
G
G
w (
URW URW ( H H (2.5.2)
P P
wW
Общие сведения о волновых процессах
G
Так как в данном случае GLY (
91
G
G
G
URW URW ( ’ GLY ( ’ (
G
G w (
' ( Y wW
G
’ ( то
(2.5.3)
где Y F HP .
G
Нетрудно убедиться, что вектор + подчиняется такому же дифференциальному уравнению второго порядка:
G
G w +
(2.5.4)
'+ Y wW
G
G
Отсюда следует, что все компоненты векторов ( и + подчиняются скалярному
волновому уравнению:
w <
(2.5.5)
Y w W G
G
где под < понимается любая из компонент векторов ( или + .
Простейшими решениями волнового уравнения (2.5.5) являются решения, описывающие плоские волны. Плоской электромагнитной волной называется волна со следующими характеристиками:
1. Чисто поперечная волна (TEM) — векторы поля лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения.
2. Фронт волны — плоскость.
3. Волна распространяется со скоростью света в данной среде.
поля связаны через волновое сопротивление среды
G 4. Векторы
G
_( __+ _
PD HD = .
волны,
в
Таким образом, если выбрать ось 2= перпендикулярной фронту
G
G
монохроматической плоской волне комплексные амплитуды полей ( и + будут
зависеть только от координаты z. Для плоских волн оператор Лапласа преобразуется к виду ’ w w ] , а волновое уравнение (2.5.5) становится пространственно
одномерным:
'< w <
w<
(2.5.6)
w ] Y w W Запись (2.5.6) является одной из двух канонических форм волнового уравнения.
Если от переменных ] и W перейти к характеристическим переменным x и h:
]
]
[ W K W Y
Y
уравнение (2.5.6) преобразуется ко второй канонической форме уравнений гиперболического типа:
w <
(2.5.7)
w[ wK
Общее решение уравнения (2.5.7), получаемое методом характеристик [Л2.11],
имеет вид:
<
< [ < K
< W ] Y < W ] Y где < [ и < K — произвольные функции.
(2.5.8)
92
ГЛАВА 2
<
G
+
G
6
G
N
G
(
=
;
Рис. 2.2
Функция < W ] Y описывает плоскую волну, бегущую в направлении оси
2= . Плоскость, на которой фаза волны постоянна, передвигается в пространстве
со скоростью Y . Функция < W ] Y описывает волну, бегущую в противоположном направлении.
Возмущения, бегущие только в одну сторону (например, в положительном
направлении оси OZ), могут быть описаны дифференциальным уравнением первого порядка:
w< w<
(2.5.9)
w] Y wW
Если вместо W ввести «локальное время» W W ] Y , то есть наблюдать за
волной, двигаясь вместе с ней со скоростью её распространения, то в новых переменных W и ] уравнение (2.5.9) примет вид
w <] W
(2.5.10)
w]
Решением этого уравнения является волна, не изменяющая формы своего профиля
при изменении ] , то есть стационарная волна: < <W .
Рассмотрим плоскую гармоническую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси OZ в однородной изотропной среде с параметрами H P . Будем
считать, что в области распространения волны отсутствуют источники электромагнитного поля. Тогда комплексная амплитуда вектора напряжённости электрического поля удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца (2.4.16):
G
G
(2.5.11)
’ ( N ( Поскольку
у плоской волны, распространяющейся вдоль оси OZ, напряжённость
G
поля ( не зависит от координат x и y: ’ G G] .
Рассмотрим структуру поля плоской электромагнитнойG волны. Направление распространения волны определяется волновым вектором GN . Так
G как плоская волна
является чисто поперечной, векторы напряжённостей ( и + будут колебаться в
плоскости, перпендикулярной
направлению распространения волны, определяемоG
рис.
2.2
изображено
расположение векторов плоской
волны, при
му вектором N . На
G
G
котором вектор ( совершает колебания вдоль оси OX, а вектор + — вдоль оси OY.
Общие сведения о волновых процессах
( [ ]
93
W
W
W
FRQVW
$
]
Y W W O
Рис. 2.3
Так как направление переноса волной
энергии
электромагнитного поля опредеG
G G
ляется вектором Умова–Пойнтинга 6 G> ( + @ , то очевидно, что для однородной
изотропной
среды направление вектора 6 будет совпадать с направлением вектоG
ра N (рис. 2.2).
С учётом вышесказанного решение однородного уравнения Гельмгольца (2.5.11)
можно записать в виде:
G G
( [ $P H LN ] %P H LN ] (2.5.12)
>
@
где $P %P — постоянные, определяемые из краевых условий.
В решении (2.5.12) присутствуют два слагаемых: первое описывает плоскую
волну, распространяющуюся в положительном направлении оси OZ; второе — в
LM
и %P % H L \ представляпротивоположном направлении. Величины $P $ H
ют собой амплитуды этих волн, а M \ — начальные фазы.
G
Мгновенное значение вектора напряжённости электрического поля ( с учётом
(2.4.3) определяется следующим образом:
G
G
G
( ] W 5H >(] H L ZW @ [ ^$ FRV ZW N ] M % FRV ZW N ] \`
На рис. 2.3 представлены распределения составляющей ( [ вектора напряженности электрического поля плоской волны, распространяющейся вдоль оси OZ, для
двух различных моментов времени W и W . На рисунке показан период пространственного изменения поля вдоль координаты z, называемый длиной волны: O S N .
Рассмотрим характеристики плоской электромагнитной волны.
1. Длина волны — это расстояние между двумя точками, колеблющимися в одинаковой фазе. Из этого определения следует, что если расстояние между двумя
точками волны ] ] O , в фиксированный момент времени t фазы в этих точках должны отличаться на S :
>ZW N ] @ >ZW N ] @
S В результате получаем связь между длиной волны и волновым числом:
S
O
(2.5.13)
N
2. Фазовая скорость волны v — скорость распространения фазы вдоль оси OZ,
94
ГЛАВА 2
то есть скорость распространения фазового фронта ( Z W N ] FRQVW ) может быть
определена из уравнения:
G
^Z W N ]` GW
Проводя дифференцирование, приходим к выражению для фазовой скорости:
G] Z
(2.5.14)
Y
GW N
Фазовая скорость электромагнитной волны определяется свойствами среды, в
которой она распространяется. Так как N Z H D P D , то для фазовой скорости справедлива и другая формула:
Y
F
HDP D
HP
(2.5.15)
где F H P | � [м/с] — скорость распространения электромагнитной
волны в вакууме (скорость света).
Из соотношения (2.5.15) следует, что скорость электромагнитной волны в среде
в HP раз меньше, чем скорость света в вакууме. Величина HP Q получила
название относительного показателя преломления.
Рассмотрим теперь структуру электромагнитного поля плоской гармонической
электромагнитной волны в однородной изотропной среде. Для этого запишем систему уравнений Максвелла относительно комплексных амплитуд векторов для
области, в которой отсутствуют сторонние токи и заряды:
G
G
G
G
(2.5.16)
URW + LZ H D ( URW ( LZ P D + При записи системы уравнений (2.5.16) были использованы материальные уравнения (1.11.2) для однородной изотропной среды.
В предположении, что плоская волна распространяется вдоль (против) оси OZ,
запишем систему (2.5.16) в проекциях на оси декартовой системы координат:
G+ \
G]
G(\
G]
G+ [
LZH D ( \ +]
G]
G([
LZP D + [ LZP D + \ (]
G]
LZH D ( [ (2.5.17)
Из (2.5.17) сразу следует вывод о поперечности электромагнитного поля плоской
волны, так как продольные составляющие (] +] . Кроме того, видим, что
G
G сис+
и
:
тема
(2.5.17)
допускает
два
возможных
варианта
ориентации
векторов
(
G G
G G
G G
G
G
( [ ( [ + \ + \ и ( \ ( \ + [ + [ . Рис. 2.2 соответствует направлению
распространения волны вдоль оси OZ.
Из системы (2.5.17) для составляющей ([ нетрудно получить уравнение Гельмгольца:
G ( [
G]
N ( [
(2.5.18)
Как уже отмечалось, решение данного уравнения представляет собой суперпози-
Общие сведения о волновых процессах
95
цию (2.5.12) двух плоских волн, бегущих в противоположных направлениях по
отношению к оси OZ.
Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси OZ. В этом случае
в решении (2.5.12) необходимо положить %P . Определим составляющую + \ из
пятого уравнения системы (2.5.17):
N
$ H L N]
Z PD P
+\
N
( Z PD [
(2.5.19)
Из (2.5.19) следует, что отношение ( [ + \ не зависит от продольной координаты z и определяется только параметрами среды. Поэтому естественно ввести
параметр
=
([
+\
Z PD
N
PD
HD
(2.5.20)
>
(2.5.21)
G
G
который устанавливает связь между амплитудами векторов ( и + плоской
электромагнитной волны. Параметр Z называется импедансом, или характеристическим сопротивлением среды. Волновое сопротивление для среды без потерь
( H D P D — вещественны) является вещественной величиной, из чего следует, что
электрическое и магнитное поля в такой среде колеблются в фазе.
Для вакуума волновое сопротивление определяется следующим образом:
=
P
H
S
@
G
G
Таким образом, комплексные амплитуды полей ( и + плоской гармонической
электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси OZ, определяются следующим образом:
G G
G G $
( [ $P H L N] + \ P H L N] (2.5.22)
=
Соответственно, мгновенные значения напряженностей электрического и магнитного полей плоской гармонической волны запишутся как
G
G
G
( ] W 5H ^(] H L ZW ` [ $ FRV ZW N ] M
(2.5.23)
G
G
G $
+ ] W 5H ^+] H L ZW ` \ FRV ZW N ] M =
На рис. 2.4 приведены распределения мгновенных значений напряженностей
электрического и магнитного полей плоской гармонической электромагнитной волны вдоль координаты z в некоторый фиксированный момент времени. Как видно из
рис. 2.4, распределения электрического и магнитного полей совпадают по фазе.
Рассмотренная в этом разделе плоская гармоническая электромагнитная волна
называется однородной, так как электромагнитное поле такой волны не зависит от
поперечных координат x и y, и поэтому для неё в любой момент времени поверхности равных фаз и поверхности равных амплитуд совпадают между собой. Они представляют собой плоскости, перпендикулярные направлению распространения волны. Другим типом плоских волн являются неоднородные волны, у которых плоскости
96
ГЛАВА 2
$
$=
([]+\]
([]
W
FRQVW
+\]
]
O
Рис. 2.4
равных фаз и плоскости равных амплитуд расположены под углом друг к другу.
Такие волны, в частности, возникают при распространении плоских волн вблизи
границы раздела двух сред. Они будут рассмотрены в дальнейшем.
2.6. Плоские однородные электромагнитные волны в однородной
изотропной среде с потерями
Рассмотрим распространение плоской гармонической электромагнитной волны в среде с потерями (диссипацией энергии). Как уже отмечалось, потери в
материальной среде можно учесть путем введения в относительные диэлектрическую и магнитную проницаемости мнимых частей:
Hc L Hcc P
Pc L Pcc H
(2.6.1)
Волновое число для такой среды также становится комплексным:
N
N c L N cc (2.6.2)
С учётом (2.4.12) комплексное волновое число можно представить в следующем
виде:
N
r N
r N
_ H _ _ P _ H LG H LG
^
P
`
_ H _ _ P _ FRV ЄG G P є L VLQ ЄG GP є ¬
ј
¬
ј
(2.6.3)
G
Однородное уравнение Гельмгольца для комплексной амплитуды ( электромагнитной волны, распространяющейся вдоль (против) оси OZ в среде с потерями,
имеет вид:
G
G
G (
c L N cc ( N
(2.6.4)
G ]
Решение уравнения (2.6.4) представляет собой суперпозицию двух плоских электромагнитных волн, распространяющихся в противоположных направлениях:
G
G
(2.6.5)
(] [ ^$P H Ncc] H L Nc] %P H Ncc] H L Nc] ` Вектор напряженности электрического поля противоположно бегущих волн опре-
Общие сведения о волновых процессах
деляется следующим выражением:
G
G
( ] W 5H >(] H L ZW @
G
[ ^ $ H Ncc] FRV ZW N c ] M % H Ncc] FRV ZW N c ] \ ` 97
(2.6.6)
Рассмотрим подробнее решение (2.6.6). Первое слагаемое описывает плоскую
затухающую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси OZ.
Множитель $ H[S N cc ] называется амплитудным, а FRV ZW N c ] M — фазовым.
Амплитуда этой волны уменьшается по закону H[S N cc ] . Так как амплитуда
уменьшается при распространении волны вдоль оси OZ, волна является затухающей. Второе слагаемое в решении (2.6.6) определяет плоскую затухающую волну,
распространяющуюся против оси OZ.
Таким образом, в материальной среде с диссипацией энергии плоские электромагнитные волны всегда являются затухающими.
Рассмотрим характеристики плоской электромагнитной волны в среде с потерями.
1. Длина волны O представляет собой расстояние, на котором происходит изменение фазы волны на S , однако пространственным периодом поля она уже не является, как это имело место для волн в однородных средах без потерь.
2. Фазовая постоянная плоской волны — вещественная часть комплексного
волнового числа, показывает изменение фазы волны при прохождении её фронтом
расстояния z = 1м (в системе СИ). Фазовая постоянная является аналогом волнового
числа для среды без потерь и определяется следующим образом:
Z S
(2.6.7)
Y
O
В литературе часто фазовая постоянная называется постоянной распространения и обозначается буквами E или J .
3. Фазовая скорость плоской волны в среде с потерями определяется как
F
Y
(2.6.8)
5H ^ H P `
4. Коэффициент затухания D — мнимая часть комплексного волнового числа ( D { N cc ). Он показывает уменьшение амплитуды волны при прохождении ее
фронтом расстояния z = 1м в среде с потерями. Физический смысл коэффициента затухания: величина, обратная D , определяет расстояние, на котором амплитуда плоской волны уменьшается в e раз.
В электродинамике очень часто используют параметр / N ccO (l — расстояние,
пройденное фазовым фронтом волны), называемый затуханием. Причём существуют два способа определения указанного параметра:
1. / N ccO [непер];
NccO
2. / OJ H | N ccO [дБ].
Nc
Рассмотрим структуру электромагнитного поля плоской затухающей волны. Из
решения (2.6.5) выделим плоскую волну, распространяющуюся в положительном
направлении оси OZ:
G
G
(2.6.9)
(] [ $P H Ncc] H L Nc] 98
ГЛАВА 2
Составляющая напряжённости магнитного поля + \ может быть определена из
выражения (2.5.19), в котором необходимо заменить k на N и P D на PP :
N
N
(2.6.10)
+\
$P H L N ]
( Z P P
Z P P [
По аналогии со случаем среды без потерь введем комплексное волновое сопротивление среды:
([
+\
=
Z P P
N
=
P
H
(2.6.11)
С учётом (2.4.12) формулу (2.6.11) для комплексного волнового сопротивления
можно переписать в другом виде:
=
=
P
H
§ G GP ·
_P _
ё
H[S ЁЁ L
_H _
ё№
©
=
P
=
_ P _ L M=
H
_H _
(2.6.12)
где M = G G Выражения для комплексных амплитуд составляющих электромагнитного поля
плоской затухающей волны в однородной среде записываются как
G
G
G
G $
(] [ $P H Ncc] H LNc ] +] \ P H Ncc] H LNc ] (2.6.13)
=
Мгновенные значения напряжённостей электрического и магнитного полей плоской
гармонической волны в среде с потерями определяются следующим образом:
G
G
G
( ] W 5H ^(] H L ZW ` [ $ H Ncc] FRV ZW N c ] M (2.6.14)
G
G
G $ Ncc]
H
FRV ZW N c ] M M = + ] W 5H ^+] H L ZW ` \
=
G
G
В отличие от незатухающей плоской волны в среде с потерями векторы ( и +
сдвинуты между собой по фазе на угол M = .
На рис. 2.5 приведены распределения мгновенных значений напряженностей электрического и магнитного полей плоской затухающей электромагнитной волны вдоль
координаты z в некоторый фиксированный момент времени.
В заключение раздела получим явные выражения для вещественной и мнимой частей комплексного волнового числа N и выявим некоторые особенности
распространения плоских волн в диэлектриках и проводниках.
Предположим, что в среде отсутствуют магнитные потери:
P
P H
Hc L Hcc Hcc
В такой среде:
N
Nc L Ncc
V
HZ
N HcP L WJ G После разделения вещественной и мнимой частей имеем:
Nc
N
Hc P
N cc
N
Hc P
WJ G WJ G (2.6.15)
Общие сведения о волновых процессах
$
([]+\]
99
([]
W
FRQVW
+\]
]
O
Рис. 2.5
Выражения (2.6.15) удобно рассмотреть в двух предельных случаях.
1. Диэлектрик ( WJ G ). В этом случае комплексное волновое число можно
разложить в степенной ряд по малому параметру WJ G :
^
`
Hc P L WJ G Из разложения (2.6.16) с учётом того, что WJ G V ZHHc , следует:
N | N
(2.6.16)
V = P
N
(2.6.17)
N N cc | WJ G
Hc
Очевидно, что фазовые постоянные плоских волн в диэлектрике практически
совпадают с волновым числом для среды без потерь. Затухание волны, определяемое параметром N cc , также является незначительным в силу малости WJ G .
Другой отличительной особенностью электромагнитных волн в диэлектрике является отсутствие зависимости скорости распространения от частоты (нет дисперсии).
N c | N
Hc P
2. Проводники ( WJ G !! ). В этом случае:
WJ G
L N N HcP (2.6.18)
Из выражения (2.6.18) находим вещественную и мнимую части комплексного волнового числа:
N | N L WJ G
N
WJ G
ZP D V
(2.6.19)
В проводниках, как видно из формулы (2.6.19), затухание является значительным вследствие большой величины удельной проводимости V . Поскольку N c возрастает с увеличением V , то значительно уменьшается длина волны. Из соотношения (2.6.19) следует, что фазовая постоянная зависит от частоты по закону
N c a Z ; G это является проявлением
дисперсионных свойств проводящей среды.
G
Вектор + отстает от вектора ( по фазе на S .
При падении плоской волны на поверхность проводника, которой соответствует координата ] (волна распространяется вдоль оси OZ), как следует из
N c | N cc | N
100
ГЛАВА 2
<
=
G G
6 N
<
G
+
G
(
2
=
G
6
G
N
G
+
2
G
(
;
;
а)
б)
Рис. 2.6
(2.6.9) и (2.6.19), поле убывает в e раз на расстоянии от поверхности:
] '
ZP D V
Величина ' — глубина проникновения поля в проводник, называемая толщиной
скин-слоя; P D — абсолютная магнитная проницаемость проводника.
Таким образом, проводящая среда всегда является диспергирующей, в результате чего при распространении электромагнитной волны произвольной формы происходит искажение ее профиля, поскольку фазовая скорость и коэффициент затухания для различных спектральных составляющих волны разные.
2.7. Поляризация электромагнитных волн
G
Поляризация — это направление колебаний вектора ( электромагнитного поля
волны в пространстве. Электромагнитное поле, у которого в точке наблюдения GP
пространства в любой момент времени можно установить направление вектора ( ,
называется
поляризованным. Электромагнитное поле, у которого направление векG
тора ( в точке P меняется случайным образом, называется неполяризованным.
G
Плоскость, проходящая через направление распространения поля и вектор ( , называют плоскостью поляризации. Если положение плоскости поляризации в точке
P не меняется во времени, поле имеет линейную поляризацию. Если же плоскость
поляризации в точке P с течением времени вращается, то поляризация называется
вращающейся.
2.7.1. Линейная поляризация. Для описания распространения плоской гармонической электромагнитной волны выберем декартову систему координат ^; < =`
таким образом, чтобы ось OZ совпадала с направлением распространения волны. В
этом случае выражения для напряжённостей электрического и магнитного полей
плоской электромагнитной волны имеют вид (рис. 2.6а):
Общие сведения о волновых процессах
G
(
G
G
[ $P H LN ] +
101
G $
\ P H LN ] =
(2.7.1)
G
G
G
то есть векторы ( и + колеблются в плоскости ^;2<` . Вектор ( лежит в
плоскости {XOZ}, и поэтому
G говорят, что электромагнитная волна поляризована в
плоскости {XOZ}. Вектор N на рис. 2.6а характеризует направление распространения волны. Так как плоскость поляризации в любой точке пространства во времени не изменяется, такой тип поляризации электромагнитной волны называется
линейным.
У другой плоской волны, поляризованной в плоскости ^<2=` и распространяющейся также вдоль оси OZ (рис. 2.6б), векторы напряженности электрического и
магнитного поля имеют вид:
G
(
G
G
G %
\ %P H LN ] + [ P H LN ] (2.7.2)
=
G G G
G
Наличие знака «–» в выражении для + следует из того, что векторы ( + 6
должны образовывать правую тройку.
Рассмотрим суперпозицию двух плоских электромагнитных волн с линейными
поляризациями, поля которых определяются соотношениями (2.7.1) и (2.7.2):
G G
G
G
G
(2.7.3)
( ( ( [ $P \ %P H LN ] LM
Пусть начальные фазы обеих волн совпадают, то есть $P $ H L M %P % H .
Тогда мгновенные значения напряжённости электрического поля суммарной волны могут быть определены следующим образом:
G
G
G
( ] W [ $ \ % H Ncc] FRV ZW N c ] M
(2.7.4)
G
[c & H Ncc] FRV ZW N c ] M G
где [c
G
G
[ FRV T \ VLQ T WJ T
% $ &
$ % В результате суммарная волна будет поляризована в плоскости ^ ; c2=` , расположенной под углом T к плоскости ^;2=` — плоскости поляри<
зации первой волны (рис. 2.7). Задавая различные амплитуды
;c
G
волн A и B, можно получать различные наклоны плоскости
(\
(
поляризации ^ ; c2= ` .
Таким образом, в результате сложения двух плоских волн,
линейно-поляризованных в перпендикулярных плоскостях,
обладающих одинаковыми фазами и различными амплитуT ([
;
дами, получается также линейно-поляризованная волна с плоскостью поляризации, повернутой на некоторый угол отРис. 2.7
носительно плоскостей поляризации исходных плоских волн.
2.7.2. Круговая и эллиптическая поляризация волн. Рассмотрим теперь суперпозицию двух плоских волн, линейно-поляризованных в перпендикулярных плоскостях, обладающих одинаковыми амплитудами и разностью начальных фаз,
102
ГЛАВА 2
<
]
Z
<
FRQVW
G
(
G
N
FRQVW
;
;
W
G
(
ZW M
=
а)
б)
Рис. 2.8
G
S . Пусть вектор ( второй волны отстаёт по начальной фазе от векторавной
G
ра ( первой волны на S :
G
G
( [ $P H LN ] $P $ H L M (2.7.5)
G
G
( \ %P H LN ] %P $ H L M S Найдём их суперпозицию:
G G
G
G
G
(2.7.6)
( ( ( [ $P \ %P H L N ] Мгновенные значения напряженности электрического поля определяются следующим образом:
G
G
G
(2.7.7)
( ] W $ H Ncc] ^[ FRV ZW N c ] M \ VLQ ZW N c ] M` в
пространстве
и
во
времени.
Угол
Компоненты ( [ и ( \ не остаются постоянными
G
c
T ZW N ] M определяет ориентацию вектора ( по отношению
к оси OX. Наличие в
G
выражении для T слагаемого ZW говорит о том, что вектор ( вращается с частотой Z
вокруг направления распространения волны, а его конец движется по поверхности
G
кругового цилиндра, ось которого совпадает с осью OZ. Вращение вектора ( осуществляется по часовой стрелке относительно наблюдателя, смотрящего в направлении распространения волны (против часовой стрелки,
если смотреть навстречу волне). В моG
мент времени W FRQVW конец вектора ( движется поGлевовинтовой круговой спирали.
На рис. 2.8а показана траектория движения вектора ( в плоскости ] FRQVW ; на рис.
2.8б представлено пространственное распределение вектора
напряженности электриG
ческого поля при W FRQVW . Волна, у которой вектор ( вращается по окружности по
часовой стрелке относительно наблюдателя, смотрящего в направлении распространения волны, называется
волной круговой поляризации с левым направлением вращения.
G
Если вектор (G второй линейно-поляризованной волны опережает по начальной фазе вектор ( первой волны на S :
G
G
( [ $P H LN ] $P $ H L M (2.7.8)
G
G
( \ %P H LN ] %P $ H L M S G
то мгновенные значения вектора ( суммарной волны будут определяться выраже-
Общие сведения о волновых процессах
нием:
103
G
( ] W
G
G
(2.7.9)
$ H Ncc] ^[ FRV ZW N c ] M \ VLQ ZW N c ] M` G
У такой волны конец вектора ( вращается по поверхности кругового цилиндра
против часовой стрелки относительно наблюдателя, смотрящего в направлении
распространения волны. Такая волна называется волной круговой поляризации с
правым направлением вращения.
В электродинамике существует теорема, согласно которой любая линейно-поляризованная волна может быть разложена на сумму двух волн круговых поляризаций с противоположными направлениями вращения. Данное утверждение может
быть легко доказано:
G
(
G
[ $P H LN
G
G
G
$P G
$
[ L \ H LN ] P [ L \ H LN
G
G
G
$P G
$
[ H L S \ H LN ] P [ H L S \ H LN ] ]
]
При сложении двух линейно-поляризованных в перпендикулярных плоскостях плоских волн с различными амплитудами и начальными фазами:
G
(
G
(
G
[ $P H LN ] G
\ %P H LN ] $P
$ HL M %P
% HL \ получается волна эллиптической поляризации, конец вектора напряженности электрического поля
которой движется по эллипсу. При этом
изменяетG
ся не только направление вектора ( в пространстве, но и его величина
(рис. 2.9). Направление враG
щения вектора ( может быть как по часовой стрелке (левое направление вращения), так и против
часовой стрелки (правое направление вращения)
относительно наблюдателя, смотрящего в направлении распространения волны. Волну эллиптической поляризации можно получить при помощи двух
элементарных излучателей, которые расположены перпендикулярно друг к другу и запитаны синфазно.
(2.7.10)
<
]
FRQVW
G
( W
;
Рис. 2.9
2.7.3. Вертикальная и горизонтальная поляризация. В заключение раздела
приведём ещё два общепринятых определения
типа линейной поляризации
G
электромагнитных волн. Если вектор ( изменяется в плоскости, параллельной земной поверхности, такая поляризация носит название горизонтальной.
Если же вектор напряженности электрического поля изменяется в плоскости,
перпендикулярной земной поверхности, то считается, что волна обладает вертикальной поляризацией.
104
ГЛАВА 2
;
G
+
;
G
(
G
(
G
6
G
6
=
<
G
+
=
<
Рис. 2.10
2.8. Стоячая электромагнитная волна
Рассмотрим две плоские электромагнитные волны одной и той же линейной
поляризации, распространяющиеся
в противоположных направлениях (рис. 2.10).
G G
Комплексные амплитуды (L +L L этих волн с учётом (2.6.13) представим в
следующем виде:
G
G
G
G $
( [ $P H LN ] + \ P H LN ] =
(2.8.1)
G
G
G
G %P LN ]
LN ]
( [ %P H
+ \
H
=
где $P %P — амплитуды первой и второй волн соответственно.
Полагаем, что плоские волны обладают одинаковыми амплитудами ( $
различными начальными фазами ( M z \ ):
$P
$ H L M %P
$ HL \ Найдем суперпозицию этих волн:
G G
G
G
( ( ( [ $P H LN ] %P H LN ] G
[ $ H LM H LN ] H L\ H LN ] G
M\·
§
[ $ H L M \ FRV Ё N ] ё
№
©
G
G
G
G
\
+ + +
$P H LN ] %P H LN ] =
G
\
$ H LM H LN ] H L\ H LN ] =
G
\
M\·
§
$ L H L M \ VLQ Ё N ] ё
=
№
©
%) и
(2.8.2)
(2.8.3)
(2.8.4)
Для упрощения выражений (2.8.3) и (2.8.4) сделаем некоторые допущения. Вопервых, предположим, что волны распространяются в среде без потерь ( N
N ).
Во-вторых, будем считать, что начальные фазы волн равны нулю ( M \ ). В
Общие сведения о волновых процессах
( [ ]
$
105
W
W
FRQVW
]
W
O
+ \ ]
$
=
W
]
W
Рис. 2.11
G
G
этом случае выражения для мгновенных значений векторов ( и + принимают
вид:
G
G
( ] W [ $ FRV N] FRV ZW (2.8.5)
G
G $
+ ] W \
VLQ N] VLQ ZW =
PD HD где =
Заметим, что в выражениях (2.8.5) отсутствует фазовый множитель вида
FRV Z W B N] , отвечающий за процесс распространения плоских монохроматических волн
вдоль (против) координаты z. Следовательно, волна, поле которой описывается выражениями (2.8.5), не является бегущей. G Очевидно, что множитель Acos(kz) описывает распределение амплитуды поля ( волны вдольG координаты z. Из (2.8.5) также
следует, что в любой момент времени распределение ( ] представляет собой гармоническую функцию, координаты нулей и максимумов которой с течением времени не
изменяются (рис. 2.11).
Такой электромагнитный процесс в теории волновых процессов получил название стоячей электромагнитной волны. Нули в распределении поля называются
узлами стоячей волны, а максимумы — пучностями. В каждой точке пространства, в которой существует стоячая волна, во времени происходит гармонический
процесс.
Пространственные распределения электрических и магнитных полей стоячей
волны сдвинуты друг относительно друга на l/4, а разность фаз полей — p/2.
Поэтому электромагнитное поле стоячей волны представляет собой чисто реактивный процесс без переноса в среднем за период колебаний энергии. На рис. 2.11
приведены пространственные распределения напряженностей электрического и магнитного полей стоячей волны в среде без потерь в различные моменты времени.
106
ГЛАВА 2
=
граница раздела
T
среда 2
T
H P V
;
Tc
H P V
среда 1
Рис. 2.12
2.9. Электромагнитные процессы на
границе раздела сред
Рассмотрим задачу о падении плоской электромагнитной волны линейной поляризации на границу раздела двух однородных сред, обладающих различными материальными параметрами H L P L V L L . Следует отметить, что электромагнитное поле в виде одной плоской однородной волны не будет представлять собой
решение данной задачи, так как напряженности электрического и магнитного полей, удовлетворяющие уравнениям Максвелла в каждом из двух полупространств,
должны также удовлетворять граничным условиям на границе раздела сред.
2.9.1. Законы отражения и преломления. Если на границу двух однородных сред с
разными физическими свойствами падает плоская гармоническая волна, она разделяется на две волны: проходящую во вторую среду (преломленную) и отраженную.
Существование двух волн вытекает из граничных условий, так как легко видеть,
что их невозможно удовлетворить, если не постулировать наличия как проходящей, так и отраженной волн.
Пусть граница раздела между двумя полубесконечными однородными средами
совпадает с плоскостью ] декартовой системы координат. Среды, расположенные снизу ( ] ) и сверху ] ! от границы ] , характеризуются соответственно материальными параметрами H P V и H P V . Пусть на эту границу
волна
из первой среды падает под углом T к оси OZ плоская
G монохроматическая
G
(рис. 2.12) с круговой частотой Z и волновым вектором N
N P ( N Z H DP D G
P — единичный вектор
нормали к фронту падающей волны). Плоскость падения,
G
содержащую вектор N
и ось OZ, совместим с плоскостью
G XOZ. G
N P , преломленОбозначим
вектор отраженной волны через N
G волновой
G
G
G
ной через N
N P , где P P — единичные векторы, определяющие направления распространения отраженной и преломленной волн; N Z H DP D . Через
G
G
G
T T T обозначим углы, которые векторы P P P образуют с осью OZ
(рис. 2.12).
Общие сведения о волновых процессах
107
Запишем выражения для комплексных амплитуд напряженностей электрического и магнитного полей падающей, отражённой и прошедшей волн.
Для падающей волны:
G
G
G G
(
( H[S > LN P U @ (2.9.1)
G
G
G
> P u ( @
G G
H[S> L N P U @ +
=
для отраженной волны:
G
G
G G
(
( H[S> LN P U @ G
G
(2.9.2)
G
G G
>P u ( @
+
H[S> LN P U @ =
для преломленной волны:
G
G
G G
(
( H[S> LN P U @ G
G
(2.9.3)
G
G G
>P u ( @
+
H[S> LN P U @ =
G
Здесь U ^ [ ] ` — радиус-вектор, описывающий пространственные координаты
сопротивление
волн в плоскости G XOZ; =L = P L H L — характеристическое
G
G
i-среды L ; ( — амплитуда падающей волны; ( и ( — неизвестные
амплитуды отражённой и преломленной волн соответственно.
к требованию
При ] должны выполняться граничные условия, сводящиеся
G
G
непрерывности тангенциальных составляющих векторов ( и + суммарного поля:
G
G
G
G
G
G
( W ( W ( W + W + W + W G
G
Следовательно, при ] неизвестные амплитуды ( и ( должны удовлетворять следующим уравнениям:
G G
G G
G G
G
G
G
> ]G ( @HLNPU > ]G (@HLNPU > ]G ( @HLNPU
(2.9.4)
G G
G G
G G
G
G
G
> ]G >PG ( @@ HLNPU > ]G >PG (@@ HLNPU == > ]G >PG ( @@ HLNPU Поскольку равенства (2.9.4) должны выполняться для любых значений [ и \ на
границе ] то можно приравнять фазовые множители:
G G
G G
G G
N P U N P U N P U С учетом того, что (см. рис. 2.12)
G
G
P ^ VLQT FRVT` P
G
^ VLQT FRVT` P
^ VLQT FRVT` имеем
N VLQ T
N VLQ T
(2.9.5)
N VLQ T Если волна распространяется из первой среды во вторую:
P ]
FRV T t P]
FRV T d P]
FRV T t 108
ГЛАВА 2
Q ! Q
Q
T Q ! Q
Q ! Q
T T
T T T ! T
а)
б)
в)
Рис. 2.13
Из соотношений (2.9.5) следуют закон отражения для электромагнитной волны
от границы раздела сред
Tc
S T
(2.9.6)
T
и закон Снеллиуса:
VLQ T N Y
(2.9.7)
VLQ T N
Y
где Y — фазовые скорости волн в первой и второй средах.
Формулировка закона Снеллиуса: при падении плоской электромагнитной
волны на плоскую границу раздела двух однородных изотропных сред синусы
углов падения и преломления относятся как фазовые скорости плоских волн в
соответствующих (непоглощающих) средах.
Рассмотрим выражение (2.9.7) подробнее. Так как N Z H DP D , можно записать:
VLQ T
VLQ T
H P
H P
Q
Q
где Q
H P — относительные показатели преломления первой и второй
сред соответственно.
Если N ! N (то есть Q ! Q ), считается, что первая среда является «оптически
более плотной средой», чем вторая. Из соотношения (2.9.7) следует, что в этом
случае угол преломления больше угла падения ( T ! T ) (рис. 2.13а). Поэтому при
некотором остром угле T T окажется, что угол преломления T — прямой и
луч во второй среде направлен вдоль границы раздела (рис. 2.13б). Согласно (2.9.7),
условием возникновения такой ситуации является равенство ( T S ):
Q
VLQ T
Q
Если теперь увеличить угол падения T ! T , то придём к неравенству
Q Q VLQ T ! , при котором вещественные углы преломления T отсутствуют, в результате чего преломленной волны не будет. В этом случае падающая
волна будет порождать только отражённую (рис. 2.13в) и поле, экспоненциально
убывающее во второй среде в направлении OZ и распространяющееся в этой
Общие сведения о волновых процессах
109
среде вдоль границы раздела. Данное явление получило название полного внутреннего отражения от непоглощающей среды. При этом, например, компонента
([ прошедшего поля будет иметь координатную зависимость:
([
( FRV T H
L
Z
HP VLQ T [
F
Z
H F
HP
Q
VLQ T ]
где F HP Q Q Q из которой видно, что коэффициент затухания поля
во второй среде в направлении оси OZ вычисляется как
Z
HP Q
VLQ T F
а постоянная распространения поля во второй среде вдоль границы раздела:
D
Z
HP VLQ T .
F
Соответственно, скорость распространения поля во второй среде вдоль оси OX
будет:
N[
F
HP VLQ T
При условии Q VLQ T волна во второй среде оказывается замедленной.
Рассмотрим теперь другой случай. Пусть вторая среда значительно оптически
более плотная по сравнению с первой, то есть Q !! Q (или N !! N ). В этом
случае из соотношения (2.9.7) следует, что независимо от величины угла падения
T угол преломления T o , то есть при любом угле падения на среду с большим показателем преломления n, плоская электромагнитная волна входит в неё
почти по нормали.
Y[
2.9.2. Преломление волн при наличии поглощения в среде. Рассмотрим случай,
когда вторая среда является поглощающей ( N Nc LNcc ). В этом случае закон
Снеллиуса (2.9.7) необходимо переписать в комплексном виде:
N
VLQ T
VLQ T Nc LNcc
Реально угол падения может быть только вещественным и принимать значения
в пределах y S ( d VLQ T d ). Однако, так как правая часть выражения, интерпретирующего закон Снеллиуса является комплексной, то величина, обозначенная как VLQ T также будет комплексной.
G
Комплексная амплитуда поля ( преломленной волны, исходя из (2.9.3), описывается выражением:
G
G
(2.9.8)
(
( H L N [ VLQ T ] FRV T Так как величина N VLQ T является всегда вещественной, то произведение
N[ N VLQ T также должно быть вещественным. Это утверждение следует из
закона Снеллиуса (2.9.7). Вместе с тем величина
N FRV T
N VLQ T
N N VLQ T
является комплексной и представима в виде N FRV T
N] L D , где N] D
— веще-
110
ГЛАВА 2
=
]
N [ [ N] ]
T
среда 2
FRQVW
FRQVW
T
T
;
среда 1
T
Рис. 2.14
ственные функции. Поэтому выражение (2.9.8) можно переписать в следующем виде:
G
(2.9.9)
(
(H D ] H L N[ [ N] ] Так как параметр D ! , выражение (2.9.9) описывает поле, затухающее вдоль
координаты z. Поэтому поверхности равных амплитуд плоской электромагнитной
волны во второй (поглощающей) среде будут описываться уравнением
] FRQVW Величина N [ [ N] ] в фазовом множителе H[S ^ L N[ [ N] ] ` выражения (2.9.9)
представляет собой фазу прошедшей электромагнитной волны, поэтому равенство
N [ [ N] ]
FRQVW
представляет собой уравнение плоскостей равных фаз. Очевидно, что в данном случае плоскости равных амплитуд и фаз не совпадают между собой, а ориентированы
друг относительно друга под углом T (рис. 2.14). Поверхность равных фаз представляет собой фронт волны. Следовательно, в различных точках волнового фронта
волна будет иметь различные амплитуды. Плоские электромагнитные волны, для
которых поверхности равных фаз и амплитуд не совпадают, называют неоднородными.
Угол T между плоскостями равных фаз и амплитуд в данном случае определяется равенством:
WJ T
N[
N]
N VLQ T
5H ^ N N VLQ T `
Очевидно, что T является также истинным углом преломления.
2.9.3. Формулы Френеля и структура электромагнитного поля. Для определения
амплитуд отраженной и преломленной волн необходимо обратиться к системе уравнений (2.9.4), полученной из записи граничных условий. При этом необходимо рассмотреть два случая падения плоских линейно-поляризованных волн, поскольку
на коG
нечный результат большое влияние оказывает ориентация вектора ( падающей
Общие сведения о волновых процессах
111
волны — лежит ли он в плоскости падения волны или же перпендикулярен данной плоскости, то есть лежит в плоскости границы раздела двух сред. Поэтому
при рассмотрении процессов на границе раздела двух сред выделяют два типа
линейной поляризации волн:
1. H-поляризация (перпендикулярная поляризация). Электрическое поле перпендикулярно плоскости падения и, соответственно, параллельно плоскости раздела сред, имеет только составляющую ( \ (рис. 2.12). Магнитное поле параллельно плоскости падения и имеет составляющие + [ и +] . В оптике такую поляризацию называют S-поляризацией.
2. E-поляризация (параллельная поляризация). Магнитное поле падающей волны
перпендикулярно плоскости падения и, следовательно, параллельно границе раздела сред, имеет только составляющую + \ (рис. 2.12). Электрическое поле лежит в
плоскости падения и имеет составляющие ( [ и ( ] . В оптике такую поляризацию
называют P-поляризацией.
Электромагнитные процессы на границе раздела двух сред для волны с произвольной эллиптической поляризацией можно рассмотреть как результат суперпозиции двух волн указанных поляризаций.
Падение волны H-поляризации.
Рассмотрим сначала падение плоской волны H-поляризации. В этом случае, как
отмечено выше, электрическое поле имеет только составляющую ( \ , а магнитное — + [ и +] . Запишем выражения для полей всех волн.
Электромагнитное поле падающей волны:
G
G
(
\ ( H L N [ VLQ T ] FRV T G
( G
G
+
[ FRV T ] VLQ T H L N [ VLQ T ] FRV T =
Электромагнитное поле преломленной волны:
G
(
G
+
Электромагнитное
G
(
G
+
G
\ ( H L N [ VLQ T ] FRV T G
( G
[ FRV T ] VLQ T H L N [ VLQ T ] FRV T =
поле отражённой волны:
G
\ ( H L N [ VLQ T ] FRV T G
( G
[ FRV T ] VLQ T H L N [ VLQ T ] FRV T =
Потребуем, чтобы на границе раздела сред выполнялись условия непрерывносG
ти
G касательных к границе раздела сред (тангенциальных) компонент векторов ( и
+ . В данном случае такими компонентами являются ( \ и + [ . Граничные условия
п??и z = 0 имеют вид:
112
ГЛАВА 2
(\
(\
(\ +[
+[
+[ Подставляя в эти условия составляющие полей, получаем систему линейных
алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд ( и ( (амплитуда падающей волны ( считается заданной):
( (
( ( FRV T ( FRV T =
(2.9.10)
( FRV T =
Решая систему (2.9.10), находим коэффициенты Френеля U A и W A , связывающие амплитуды отраженной и прошедшей волн с амплитудой падающей волны:
UA
(
(
WA
(
(
= FRV T = FRV T
= FRV T = FRV T
= FRV T
= FRV T = FRV T
U A H L MA WA H
L MA
(2.9.11)
отражения U A и прохождения W A указываНижний индекс « A » у коэффициентов
G
ет на то, что падающее поле ( перпендикулярно плоскости падения (плоскости
XOZ).
Падение волны E-поляризации.
В случае E-поляризации, как отмечено выше, поле имеет составляющие + \ ,
( [ и (] . Запишем выражения для поля в данном случае.
Электромагнитное поле падающей волны:
G
G
G
(
( [ FRV T ] VLQ T H LN[ VLQ T ] FRV T G
G (
\ H LN[ VLQ T ] FRV T +
=
Электромагнитное поле преломленной волны:
G
G
G
(
( [ FRV T ] VLQ T H LN [ VLQ T ] FRV T G
G (
\ H LN [ VLQ T ] FRV T +
=
Электромагнитное поле отражённой волны:
G
G
G
(
( [ FRV T ] VLQ T H LN [ VLQ T ] FRV T G
G (
+
\ H LN [ VLQ T ] FRV T =
Воспользовавшись граничными условиями при z = 0:
([
([
([ +\
+\
+\ Общие сведения о волновых процессах
113
получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных
амплитуд ( и ( :
( ( FRV T
= ( ( ( FRV T = ( В случае E-поляризации расчёт коэффициентов
отражения U_ _ и прохождения
G
W_ _ целесообразно проводить через вектор + , определяя их следующим образом:
U_ _
+ \ ]
+ \ ]
(
(
W_ _
+ \ ]
( =
( =
+ \ ] G
где нижний индекс «| | » указывает на то, что поле ( падающей волны параллельно
плоскости падения (плоскости XOZ).
Коэффициенты Френеля, связывающие амплитуды отраженной и прошедшей
волн с амплитудой падающей волны, найденные из приведённой выше системы
уравнений, записываются как:
U_ _
= FRV T = FRV T
= FRV T = FRV T
W_ _
= FRV T
= FRV T = FRV T
_ U __ _ H
_ W __ _ H
LM _ _
LM _ _
(2.9.12)
Соотношения (2.9.11) и (2.9.12) называются формулами Френеля. Запишем их для
случая немагнитных сред P P . Так как в этом случае
VLQ T
VLQ T
H
H
=
=
WA
VLQ T FRV T
VLQ T T то
UA
U __
VLQ T T VLQ T T WJ T T WJ T T W __
VLQ T FRV T
VLQ T T FRV T T (2.9.13)
(2.9.14)
Будем считать, что в средах 1 и 2 (см. рис. 2.12) отсутствуют потери, то есть
проницаемости сред H и H — чисто действительные величины. В этом случае
углы T и T — вещественны (случай полного внутреннего отражения пока исключаем) и тригонометрические функции, стоящие в правых частях формул (2.9.13)
и (2.9.14), также вещественны. Следовательно, фаза каждой из компонент поля
отраженной и прошедшей волн либо равна фазе соответствующей компоненты
падающей волны, либо отличается от неё на S . Так как знаки коэффициентов W A
и W_ _ соответственно совпадают со знаками ( и + , то фазы преломленных волн
равны фазам падающих волн. Для отраженной волны фаза будет зависеть от отношения T и T . Если оптическая плотность второй среды больше, чем первой
( H ! H ), то T T . Поэтому, согласно формулам (2.9.13), U A и фазы отражённой и прошедшей волн отличаются друг от друга на S . При тех же обстоятельствах значение WJ T T в U_ _ положительно, но знаменатель WJ T T при
T T ! S становится отрицательным. В этом случае фазы + и + отличают-
114
ГЛАВА 2
_ UA _
MA _ U _
__
MA
_ UA _
M_ _
U
S T
S
S
S
_U__ _
M_ _
T
а)
M __
T
S
б)
Рис. 2.15
ся друг от друга на S . Аналогичное рассуждение можно провести для случая,
когда вторая среда оптически менее плотная по сравнению с первой.
Для нормального падения T и из закона Снеллиуса следует, что T .
Тогда соотношения (2.9.11) и (2.9.12) принимают более простой вид:
UA
= =
=
WA
= =
= =
U _ _ UA W _ _ WA (2.9.15)
(2.9.16)
2.9.4. Поляризация волн при отражении и преломлении. Угол Брюстера. Рассмотрим зависимости коэффициентов Френеля (2.9.13) и (2.9.14) от параметров сред.
Поведение коэффициента U A для волны H-поляризации не имеет каких-либо особенностей. В частности, обращение U A в нуль возможно лишь при одинаковых H
и H , когда отражение исчезает естественным образом вместе с исчезновением
границы раздела. Коэффициент U _ _ для E-поляризованной волны обращается в
нуль при T T S . Угол T , как легко видеть, в этом случае ( P P ) определяется из равенства
H
(2.9.17)
H
Угол T T , определяемый равенством (2.9.17), называется углом Брюстера,
или углом полной поляризации. Второе название связано с тем, что при падении
произвольно поляризованной волны на границу под углом T отраженная волна
оказывается H-поляризованной.
При изменении угла падения в интервале d T d T модуль U _ _ убывает от
величины
WJ T
U_ _
UA
H H H
H
U
(2.9.18)
при T до нуля при T T ; при изменении T от T до S коэффициент U_ _
вырастает от 0 до 1. Фаза коэффициента U _ _ при d T d T равна нулю; при
T d T d S она равна S , то есть изменяется скачком при переходе T через угол
Общие сведения о волновых процессах
115
T . Сдвиг фазы коэффициента U A для волны с перпендикулярной поляризацией
равен S . На рис. 2.15 приведены графики зависимостей модулей и фаз коэффициентов Френеля от угла падения для двух поляризаций волны при изменении угла
падения T от 0 до S .
2.10. Падение электромагнитной волны на
плоскую проводящую среду
Рассмотрим отражение и преломление плоской электромагнитной волны на
границе раздела «диэлектрик-проводник», изображенной на рис. 2.14. Пусть на
границу раздела из первой среды падает плоская волна под углом T к оси OZ.
Для определенности будем считать что первая среда — воздух, то есть
P H V Свойства второй среды (проводника) будем характеризовать
некоторой диэлектрической проницаемостью H и удельной проводимостью V Положим P , что справедливо для большинства металлов.
Как известно, для проводника вследствие потерь, вызываемых проводимостью
V , при рассмотрении гармонических процессов вводят относительную комплексную диэлектрическую проницаемость:
LV
H Hc (2.10.1)
ZH
В этом случае волновое число в проводнике будет комплексным:
N
N
H
N Hc L V
ZH Nc L Ncc (2.10.2)
С учётом п. 2.9.2, волна в проводнике (преломленная) является плоской неоднородной волной.
2.10.1. Приближенные граничные условия Щукина-Леонтовича. Как было отмечено выше для проводящей среды выполняется условие V ZH !! . Поэтому
при падении плоской гармонической волны из воздуха на проводник, оптическая
плотность которого во много раз больше оптической плотности воздуха, вне зависимости от угла падения T волны преломленная волна будет распространяться
фактически по нормали к поверхности проводиника ( T o ). Поэтому в качестве
поверхностей равных фаз в проводнике можно брать плоскости ] FRQVW , которые будут совпадать с поверхностями равных амплитуд. Это значит, что любые
поля в первой среде (воздухе) создают во второй волну, близкую к плоской однородной волне, фронт которой параллелен границе. Когда вторая среда — проводник, волновой процесс относительно быстро затухает. Расстояние ' , на котором
поле в проводнике уменьшается в e раз, определяется как
'
ZP P V
и называется глубиной проникновения. Из формулы (2.6.19) следует, что глубина
глубина пропроникновения ' Ncc . Например, для меди на частоте I — уже порядка � мм.
никновения ' a 0.2 мм, а на I 116
ГЛАВА 2
Если размеры проводящего тела значительно превосходят глубину проникновения ' , можно считать, что поле в нём сосредоточено вблизи поверхности. Это
явление получило название поверхностного эффекта. В зарубежной литературе
чаще упоминается другое название — скин-эффект (от англ. skin — «кожа»).
Наличие скин-эффекта приводит к тому, что глубокие слои проводника не окаG
зывают
никакого влияния на электромагнитные процессы у его границы. Векторы (
G
и + внутри проводника всегда являются параллельными к границе раздела слоев,
так как волна плоская и распространяется нормально к поверхности раздела. Поэтому, вообще говоря, у электромагнитного поля волны в проводнике вблизи границы
раздела сред ( ] ) будут присутствовать только тангенциальные составляющие,
то есть
G G
G
G
(2.10.3)
( ( W + G + W G
Во второй (проводящей) среде векторы ( и + связаны соотношением:
G
G G
(2.10.4)
( = >] + @ G
где ] — единичный вектор, направленный вдоль оси OZ (внутрь проводящей
среды);
=
P
H
HH Hc LV Z H
Точные граничные условия в плоскости ] (граница «воздух-проводник») занисываются как
G
G
G
G
(2.10.5)
( W ( W + W + W G G
G
G G
G G
где (
(
( (
( +
+ С учетом (2.10.3) и граничных условий (2.10.5) соотношением (2.10.4) можно связать
поля в первой области:
G
G G
(2.10.6)
( = >] + @ G G Равенство (2.10.6) устанавливает связь между полями ( и + в первой (непроводящей) среде на границе с проводником через волновое сопротивление второй
среды. Оно (равенство) называется приближенным граничным условием ЩукинаЛеонтовича. Заметим, что соотношение (2.10.6) для случая нормального падения
является точным.
В заключение запишем граничное условие Щукина-Леонтовича (2.10.6) в проекциях на оси декартовой системы координат для геометрии, показанной на рис. 2.12:
( [
= + \ ( \
= + [ (2.10.6)
2.11(*). Распространение сигналов (волновых пакетов)
в диспергирующей среде
В предыдущих разделах рассматривалось распространение монохроматических волн.
Однако строго монохроматических волн в природе не существует. Более того, чтобы
передать посредством волны какую-либо информацию, необходимо её промодулиро-
Общие сведения о волновых процессах
117
вать. В линейном приближении модулированную волну можно представить в виде
суперпозиции гармонических плоских волн.
Математически проблема распространения сигнала вдоль оси 2= в диспергирующей изотропной среде сводится к решению уравнения
w \
w \
/ \ (2.11.1)
w ] Y w W описывающий
дисперсию срегде / — действующий на \ линейный оператор,
G
G
ды; \ — какая-либо составляющая векторов ( или + .
Для изотропной однородной среды [Л.8]
/ \
w
f
і
FW \ W W GW Y w W где c — электрическая восприимчивость среды.
Перейдем к изучению закономерностей распространения в диспергирующей среде
плоских немонохроматических волн, бегущих в направлении оси 2= . Такие волны
могут возбуждаться либо на границе среды (например, источником, расположенным
при ] ), либо путём создания в начальный момент времени, скажем при W ,
некоторого пространственно-распределенного возмущения. Ниже рассмотрим только первый случай.
2.11.1. Краевая задача для распространения волнового пакета. Пусть диспергирующая среда занимает полупространство ] t и на ее границе задан входной
сигнал
\ W ] \ W (2.11.2)
G
G
где под \ понимается какая-либо составляющая векторов ( и + . Представим
\ W в виде интеграла Фурье:
f
і )Z H
\ W L ZW
GZ (2.11.3)
f
где её частотный спектр определяется функцией
S
)Z
f
і \ W H
L ZW
GW (2.11.4)
f
Для линейной среды спектральные составляющие )Z распространяются независимо друг от друга, поэтому решение уравнения (2.11.1) можно представить в
виде набора гармонических волн*)
f
\ W ]
Ѕ°
­°
5H ® )Z H[S^L >ZW N Z ]@ ` GZѕ °ї
°? f
і
(2.11.5)
Подставив выражение (2.11.5) в уравнение (2.11.1), можно установить закон дис*)
В дальнейшем символ реальной части от комплексной функции при записи мгновенных
значений полей в этом разделе будем опускать
118
ГЛАВА 2
персии, определяемый видом оператора /\ . Искомое решение можно представить через падающую на границу волну. Подставляя в решение (2.11.5) выражение
(2.11.4), получаем
S
\ W ]
f f
і і \ W H[S ^L >ZW Wc N Z]@ ` GZ GWc (2.11.6)
f f
Наибольший практический интерес представляют сигналы с узким спектром
частот, называемые квазимонохроматическими сигналами или волновыми пакетами. Для такого пакета высокочастотный импульс можно описать функцией
\ W $ W H L ZW (2.11.7)
где $ W — комплексная, медленно изменяющаяся во времени амплитуда, Z —
некоторая средняя частота.
Выражение (2.11.6) с учетом (2.11.7) принимает вид
\ W ]
S
f f
і і $Wc H[S^L >ZZ W Wc NZ ] ZW @ ` GZGWc f f
Положив в выражении (2.11.8) ]
$ W
S
(2.11.8)
и сравнив его с соотношением (2.11.7), получим
f f
і і $ Wc H[S ^ L >Z Z W Wc @ ` GZ GWc (2.11.9)
f f
Пользуясь тем, что частотный спектр волнового пакета является узким
'Z Z , разложим функцию N Z в ряд Тейлора в окрестности точки Z Z :
N Z
N Z GN
§ G N ·
Z Z ЁЁ ёё Z Z © GZ №
GZ Z
Z
(2.11.10)
Выражение для поля волнового пакета получим, подставив разложение (2.11.10)
в (2.11.8):
\ W ] $W ] H[S > L Z W N ] @ (2.11.11)
где
$ W ]
S
­ Є
є
°
$ W c H[S ® L «W W c §Ё GN ·ё ] » Z Z © GZ № Z »
° «¬
f f
ј
Ї
f f
і і
§ G N ·
°Ѕ
L Ё ё ] Z Z ѕ GZ GW c G
Z
©
№ Z
°ї
N
(2.11.11а)
NZ При решении конкретных задач точность результата зависит от того, сколько
учитывается членов в разложении (2.11.10). Число учтенных членов в (2.11.10)
определяет номер приближения теории дисперсии. Так, в первом приближении,
когда
GN ·
N Z N §Ё
ё Z Z (2.11.12)
© G Z № Z
получаем выражение
Общие сведения о волновых процессах
H L ZW N] u
\ W ]
u
S
119
f f
­° Є
Ѕ°
є
·
$ W c H[S ® L «W W c §Ё GN ё ] » Z Z ѕ GZ GW c © GZ № Z »ј
°? «¬
°ї
f f
і і
которое, с использованием соотношения (2.11.9), можно записать в виде
Є
є L Z W N ] GN ·
\ W ] $ «W §Ё
ё ]» H ¬ © GZ № Z ј
(2.11.13)
Таким образом, в первом дисперсионном приближении волновой пакет (2.11.7)
распространяется без изменений формы с групповой скоростью X GZ GN Z .
Волновой пакет только в первом приближении распространяется без изменения
формы.
Для определения изменения его формы достаточно учесть в разложении (2.11.10)
квадратичный член. Поскольку плоские волны зависят от t и z и в каждой точке z
в принципе своя временная форма импульса, рассмотрим зависимость поля только от времени. В выражении для поля \ W ] заменим величины N ] GN GZ Z ]
и G N G Z Z ] соответственно на M Z McZ MccZ , где M Z — набег фазы
для монохроматической волны с частотой Z . Тогда с учетом квадратичного члена
в разложении (2.11.10) имеем
\W
где :
H
L >ZW MZ @
S
f f
і і
c
$ W c H L : > W W McZ @ L :
Mcc Z GW cG: f f
Z Z . Делая замену переменных
W c W Mc · ё
Mcc
№
Mcc §Ё : ©
и учитывая, что
f
і H[S L SD
GD
S D
L
f
получаем
\W
L L > ZW MZ @
H
S
f
і
$ W c
f
Є W c W Mc є
S
H[S « L
» GW c Mcc
Mcc
ј
¬
Вводя обозначение
W c W Mc
Mcc
S [
(2.11.14)
окончательно имеем
\ W
L L >ZW M Z @
H
f
і
$ W Mc [ SMccZ H
f
S
L [
G[ (2.11.15)
120
ГЛАВА 2
)Z
'Z
)
Z
Z
Рис. 2.16
Если величина MccZ мала, то выражение (2.11.15) переходит в (2.11.13), поскольку
f
і H[S L S[
G[
L
f
Таким образом, искажение сигнала определяется выражением (2.11.15), которое может быть конкретизировано при задании формы начального сигнала, то
есть функции $ W .
2.11.2. Распространение волнового пакета. В представлении (2.11.5) дисперсионные
свойства среды определяются зависимостью N NZ . На практике спектр электромагнитного сигнала (волнового пакета) является ограниченным в некоторых пределах
частот >Z 'Z Z '[email protected] , где Z — центральная частота спектра; 'Z — полоса
частот, в которой лежат значения всех спектральных составляющих сигнала. Обычно
спектр электромагнитного сигнала является узким 'Z Z . Обозначим N NZ и в выражении (2.11.5) перейдём от интегрирования по частоте к интегрированию
по волновому числу:
N 'N
\W ]
і )N H
5H
L >ZNW N ]@
(2.11.16)
GN N 'N
где через )N обозначено значение амплитуды поля спектральной составляющей
) ZN .
В случае узкой полосы частот ( 'Z Z 'N N ) функцию Z ZN можно
разложить в ряд Тейлора по степеням ( N N ) в окрестности точки N :
Z
Z GZ
GN
N N
N N G Z
GN
N N (2.11.17)
N N
Подставляя (2.11.17) в выражение (2.11.16) и удерживая только два первых члена разложения, получаем:
N 'N
­
L Є« G Z
°
GN
\W ] | 5H ® H L >ZW N ]@
)N H ¬
°?
N 'N
і
N N
W ] є» N N ј
Ѕ
°
GN ѕ °ї
(2.11.18)
Общие сведения о волновых процессах
121
В качестве примера рассмотрим электромагнитный сигнал с прямоугольной
спектральной функцией (рис. 2.16). В данном случае амплитуда )N ) при
N 'N d N d N 'N является постоянной в выражении (2.11.18) и её можно вынести за знак интеграла. Кроме того, в этом выражении перейдём от интегрирования
по переменной k к новой переменной N N . Тогда получим:
'N L Є G Z
­
« GN
°
\ W ] | 5H ® ) H L >ZW N ]@ H ¬ N
°?
'N
і
N
W ]є» N N ј
GN N Ѕ
°
ѕ
°ї
(2.11.19)
После интегрирования можно записать выражение для эволюции импульса:
\ W ] | )
VLQ Є §Ё
«¬ ©
GZ
GN
N N
GZ
GN
N N
W ] ·ё 'N є
»ј
№
FRV Z W N ] M W]
(2.11.20)
Распределение поля сигнала, описываемого выражением (2.11.20), представлено на рис. 2.17. Заметим, что соотношение (2.11.20) описывает модулированную
гармоническую волну. Сомножитель вида
Є§
VLQ « Ё
©
GZ
GN
GZ
GN
N N
N N
· є
W ] ё 'N »
№ ј
W]
описывает распространение огибающей волнового пакета, а выражение
FRV Z W N ] M соответствует гармонической волне частоты Z и описывает
распространение высокочастотной составляющей сигнала (заполнения). Величина
Y Z N — скорость, с которой высокочастотная составляющая сигнала распространяется внутри огибающей. Эта скорость не является скоростью распространения
электромагнитного сигнала, так как не описывает движение огибающей волнового
пакета.
2.11.3. Групповая скорость. Скорость распространения сигнала — скорость движения огибающей, которая вычисляется как
G] GZ
X
(2.11.21)
GW GN
и называется групповой скоростью.
Таким образом, групповая скорость — это скорость распространения огибающей волнового пакета.
Определим связь между фазовой и групповой скоростями:
GY
GZ
G
(2.11.22)
X
> Y [email protected] Y N GN GN GN
В зависимости от знака производной GY GN групповая скорость может быть либо
больше, либо меньше фазовой. Если GY GN , то X Y и такая дисперсия называется нормальной, если GY GN ! , то X ! Y и дисперсия называется аномальной. Условие GY GN свидетельствует об отсутствии дисперсии ( X Y ).
122
ГЛАВА 2
\ ]
W
FRQVW
X
GZ
GN
]
Y
Z
N
Рис. 2.17
2.12(*). Цилиндрические волны
2.12.1. Решение волнового уравнения в цилиндрических координатах. Большое
практическое применение находит система цилиндрических координат. Она применима к случаю осевой симметрии поля или среды, в которой распространяются
волны. При решении задач в цилиндрической системе координат обычно используют электрический и магнитный векторы Герца (см. п.2.3.2). Ниже рассмотрим простейшую цилиндрическую систему координат, в которой переменные разделяются, как систему, образованную семейством круговых цилиндров, т.е. систему координат с независимыми, непрерывными и однозначными координатами U M ] .
В электродинамике
часто для удобства расчетов вводят магнитные заряды UP
GP
и токи M , через которые определяется магнитный вектор Герца. Запишем
G
G решения уравнений Максвелла с магнитными токами (7.2.1) через векторы Ѓ и Ѓ P для
комплексных амплитуд:
G G
G G
G G
G G
Ѓ H U W 5H Є Ѓ H U H LZW є , Ѓ P U W 5H Є Ѓ P U H LZW є .
(2.12.1)
¬
ј
¬
ј
Они имеют следующий вид ( P FRQVW H FRQVW ):
G
G
G
G
( JUDG GLY Ѓ H NHPЃ H LZPP URW Ѓ P (2.12.2)
G
G
G
G
+ JUDG GLY Ѓ P NHPЃ P LZPP URW Ѓ H С Gучетом
G того, что для комплексных амплитуд электродинамических потенциалов $H и $ P справедливы соотношения
G
LZHP G H G P LZHP G P
(2.12.3)
$H
Ѓ $
Ѓ F
F
G G
нетрудно, исходя из (7.2.23), получить для векторов Ѓ H Ѓ P неоднородные уравнения Гельмгольца:
G
G
G
G
L G
L GP
(2.12.4)
’Ѓ H NHPЃ H
M ’Ѓ P NHPЃ P
M ZHH
ZHH
Общие сведения о волновых процессах
123
Выбор уравнений (7.2.23) или (2.12.4) (выбор тех или иных потенциалов) для
решения конкретных задач электродинамики является делом привычки.G
Для выяснения физического смысла электрического вектора Герца Ѓ H , описывающего волны
в диэлектрической
среде, рассмотрим его связь с вектором поляG G
G
G
ризации 3 . Так как ' H( 3 , то
G
H GLY ( 5 5c (2.12.5)
G
где 5c GLY 3 — объёмная плотность связанных зарядов, 5 — объемная плотность зарядов проводимости. Рассмотрим чисто поляризационные явления, то есть
положим 5 .
Для скалярного электрического потенциала в случае статического поля имеем
(см. соотношения (2.3.14)):
’ )
5c
HH
(2.12.6)
G
GLY Ѓ H , то из (2.12.6) следует, что
G
§ GH
3 ·
GLY ЁЁ ’ Ѓ (2.12.7)
ё HH ё№
©
Решение этого уравнения в виде интеграла (запаздывающее решение) записывается как
Так как )
G
ЃH
SHH
і
9
G§
'U G ·
U c ёё
3 ЁЁ W Y
©
№G9 c
'U
(2.12.8)
G G
где 'U U U c Выражение (2.12.8) определяет физический смысл вектора Герца и объясняет,
почему его иногда называют «поляризационным потенциалом»: он непосредственно связан с вектором электрической поляризации. Аналогичные рассуждения приводят к интегральному соотношению для магнитного вектора Герца:
G
ЃP
SPP
і
9
G §
'U G ·
U c ёё
0 ЁЁ W Y
©
№G9 c
'U
(2.12.9)
G
где 0 — вектор намагниченности.
Волновым уравнениям могут удовлетворять поля различных типов волн. Одна
из основных задач электродинамики состоит в решении волнового уравнения при
заданных граничных условиях. Однако далеко не для любых граничных условий
можно подобрать систему координат, в которой уравнение разрешимо. В этой
связи большое практическое значение имеет система цилиндрических координат.
Наиболее типичным случаем, охватывающим большое число электродинамических задач, является случай,
поле, описывается одной составляющей вектоG
G когда
G
ра Герца, например, Ѓ H Ѓ ]H ] Как следует из соотношений (2.12.4) и (2.12.8), эта
124
ГЛАВА 2
ситуация соответствует случаю линейных электрических (магнитных) токов или
постоянного в пространстве направления векторов электрической поляризации и
намагничивания.
Запишем
первое уравнение из (2.12.4) для случая, когда линейный ток проводиGH
мости M ориентирован вдоль оси ] (рассматриваем гармонические процессы):
G
G
L GH
'Ѓ]H NHPЃ]H
M] .
(2.12.10)
ZHH
С учетом выражения для оператора Лапласа в цилиндрической системе координат последнее уравнение переписываем как (с M]H ):
wЃ]H
wU
wЃ]H
wЃ]H wЃ]H
NHPЃ]H
U wU
U wM
w]
.
(2.12.11)
Подставим в (2.12.11) функцию
Ѓ]H
(2.12.12)
I U M\]
тем самым будем использовать метод разделения переменных в цилиндрической
системе координат.
В результате получаем
°­ w § wI · w § wI · °Ѕ
®
ЁU ё Ё
ё ѕ N HP
U °Ї U wU © wU № U wM © U wM № °ї
w \
\ w]
J где J — некоторая постоянная.
Откуда
­° w § wI · w § wI · Ѕ°
® ЁU ё Ё
ё ѕ N HP J I
U °Ї wU © wU № U wM © U wM № °ї
w \
w]
J \
(2.12.13)
Так как решение второго уравнения из (2.12.13) есть функция:
\
$H L J] $H L J] (2.12.14)
где $ $ — постоянные, то с учётом принятой в книге гармонической зависимости от времени H[S ^LZW` составляющую Ѓ]H можно представить в виде:
Ѓ]H
I U M $H LK] $H LK] H LZW (2.12.15)
Первое слагаемое в (2.12.15) определяет собственную волну, распространяющую против оси ] , второе слагаемое — волну по оси ] .
Знание вида ] -ой составляющей комплексной амплитуды вектора Герца в цилиндрической
системе
координат позволяет определеить взаимную ориентацию
G
G
векторов ( и % в плоскости ] FRQVW . Нетрудно доказать с помощью соотношлений (2.3.33), что для изотропной среды ( H P — скаляры):
(U +U (M +M
(2.12.16)
Общие сведения о волновых процессах
125
G
G
Следовательно, векторы ( и % в плоскости ] FRQVW перпендикулярны друг
другу. Аналогично, доказывается
G
G G соотношение (2.12.16) для случая линейных магнитных токов, когда Ѓ P Ѓ ]P ] G
G G
G
G G
Поля, найденные для случаев Ѓ H Ѓ ]H ] и Ѓ P Ѓ ]P ] в цилиндрической системе координат, образуют совокупность волн типа ( и типа + . Как уже было
упомянуто, ими можно удовлетворить большое число граничных условий для различных цилиндрических поверхностей. Однако для этого необходимо, чтобы в первом из уравнений (2.12.13) переменные разделялись, т.е. чтобы можно было функцию I U M представить в виде:
I U M
(2.12.12а)
I U I M
и получить два уравнения (для I и I ).
Подставив (2.12.12а) в первое уравнение из (2.12.13) после разделения переменных получим два уравнения:
G I
S I
GM
I
H LSM G § GI · Є є
U
ЁU
ё N J U S ј» I
GU © GU № ¬«
(2.12.17)
где S — постоянная разделения.
Решение для I имеет вид
Второе уравнение из (2.12.17) после замены
N J U
(2.12.18)
U дает
§
·
GI
G Ё
U
N J ё N J Є U S є I
¬
ј
ё
N J GU Ё© N J GU
№
U
или
U
Отсюда
U
G § GI · Є U
U S є I
ј
GU Ё© GU ё№ ¬
G I
GU
U
GI
GU
Є U S є I
¬
ј
(2.12.19)
или
G I
GU GI Є
S є
« » I
U GU ¬«
U »ј
(2.12.20)
Это уравнение Бесселя, решениями которого являются цилиндрические функции. Частный вид цилиндрических функций представляют функции Бесселя -S U и <S U , где -S U — функция Бесселя 1-го рода, порядка S , конечная при U ,
тогда как <S U — функция Бесселя 2-го рода, порядка S , которая при U 126
ГЛАВА 2
обращается в бесконечность, а поэтому поля, конечные на оси цилиндрической системы, она представлять не может. Между функциями -S U и <S U существует связь
Є -S U FRV SS - S U є <S U ј
VLQ SS ¬
При достаточно больших U таких, что U и U S функции -S U и <S U конечны, а их асимптотическое представление имеет вид:
-S U S ·
§
S ё (2.12.21)
FRV Ё U SU
©
№
S ·
§
S ё (2.12.22)
VLQ Ё U SU
©
№
При очень больших расстояниях от оси цилиндрической системы функции -S U <S U и <S U относятся друг к другу как cos и sin и затухают пропорционально
Такие функции удобны для представления стоячих цилиндрических волн.
Построим бегущие цилиндрические волны.
В случае плоских волн бегущую волну можно выразить так:
U .
H r LN] LZW FRV N] r L VLQ N]H LZW (2.12.23)
Выбор знака перед членом LN] в показателе экспоненты соответствует выбору
направления распространения волны в положительном или отрицательном направлении оси 2= .
Аналогично (2.12.23) строятся и цилиндрические бегущие волны: -S U соответствует косинусу, а <S U — синусу этого равенства, то очевидно, что координатные
части бегущей волны будут иметь вид:
-S U L<S U +S U -S U L<S U +S U (2.12.24)
где функции +S U и +S U , называемые функциями Ханкеля первого и второго
родов соответственно, описывают бегущие цилиндрические волны, причем +S U соответствует волне, бегущей в сторону убывающих U , а +S U описывает волну, распространяющуюся в обратном направлении (при временной зависимости
H LZW ). Для выполнения физических условий задачи в области, лишенной источников поля, в качестве решений нужно брать различные цилиндрические функции. В
области U o , физический смысл для электромагнитных полей имеет -S U , в
области бегущих волн — +S U .
Таким образом, цилиндрической волной будем называть электромагнитное поле,
векторы которого в каждый момент времени на системе замкнутых цилиндрических поверхностях U FRQVW , зависят только от азимутальной координаты M . Для
любого выбранного направления M FRQVW (в цилиндрической системе координат)
поле цилиндрической волны зависят только от координаты U . Для цилиндрической волны характерна зависимость от двух координат U и M . Для сравнения,
электромагнитное поле плоской волны зависит только от одной координаты, вдоль
которой происходит ее распространение.
Общие сведения о волновых процессах
127
Теперь можно написать решение для Ѓ] в случае изотропной и однородной
среды
Ѓ]H
\S
Зная Ѓ]H , можно найти поля:
H LSM +S §Ё N J U ·ё H r L J] LZW ©
№
wЃ]H
w]wU
(U
rLJ
w\ S
wU
(2.12.25)
G
Для поперечно-электрического поля (то есть при введении вектора Ѓ P
получаем другую формулу:
(U
P
w ­° w\ S °Ѕ
®
ѕ
UF wW °Ї wM °ї
P
LU\ S
UF
^
`
LPS w\ S
UF wW
PZ
S\ S UF
(2.12.26)
G G
Ѓ ]P ] )
(2.12.27)
При заданных Z (или N ) и J общее решение для (U можно получить как
суперпозицию частных решений (2.12.27):
(U
L J
f
¦
DS
w\ S
S f
wU
PZ
UF
f
¦
SES \ S (2.12.28)
S f
где постоянные DS и ES определяются из граничных условий задачи. Аналогичные
суммы можно составить и для других компонент поля.
2.12.2. Построение цилиндрических
волн из плоских. Плоская волна, распростраG
няющаяся в направлении [ (рис. 2.18), фиксированном в пространстве, имеет вид
H LN[ LZW (2.12.29)
G
G
[ есть расстояние в направлении [ от начала отсчёта. Но (рис. 2.18)
\
Здесь [
[
Q[ [ Q\ \ Q] ]
где
Q[
VLQ D FRV E Q\
VLQ D VLQ E Q] FRV D
G
представляют направляющие косинусы вектора [ , а [ \ ] — проекции радиусаG
вектора U плоскости равных фаз на оси декартовой системы координат.
Поэтому
H LN[ VLQ D FRV E \ VLQ D VLQ E ] FRV D LZW G
Соответствующим выбором D и E вектору нормали [ к волновому фронту
можно придать любую пространственную ориентацию. Сопоставим каждому направлению амплитуду JD E и построим суперпозицию плоских волн, которая
возможна вследствие линейности уравнений поля:
\
\[ \ ] W
H
L ZW
S S
і і JD EGEGD H
LN [ VLQ D FRV E \ VLQ D VLQ E ] FRV D
(2.12.29)
128
ГЛАВА 2
Рис. 2.18
Для цилиндрических волн, как это следует из (2.12.14), зависимость от ] выражается экспонентой H r L J] , то есть
N] FRV D
rJ] .
(2.12.30)
Это означает, что в случае цилиндрических волн угол D , образованный направлением распространением составляющих плоских волн с осью ] , постоянен.
Он определяется волновым числом и Gпостоянной распространения. Иными словами, возможные направления вектора [ образуют конус с углом D при вершине.
Следовательно, цилиндрическая волна будет выражаться через совокупность плоских волн формулой:
\[ \ ] W
H
r L J] LZW
S
і GEJEH
LN VLQ D [ FRV E \ VLQ E
(2.12.31)
G
Для того, чтобы построить цилиндрическую волну, нужно знать N и Z , то
есть четыре величины; но уравнение Гельмгольца дает связь между этими величинами, поэтому заданию подлежат толькоGтри из них.
Действительно, составляющие вектора N будут
NU
Подставив \
H
N VLQ D FRV E NM
LN[ N\ N] LZW
N VLQ D VLQ E N]
N FRV D
J
в уравнение
’ \ HP w\
F wW
получим
NU NM N]
PHZ
F
то есть
NU NM N]
N ,
(2.12.32)
Общие сведения о волновых процессах
129
Следовательно, для построения волны нужно задать три параметра, например
NU NM и Z , а N] найдем из (2.12.32). Поэтому волну \[ \ ] W можно представить
в виде следующего интеграла:
\[ \ ] W
§ ·
Ё ё
© S №
f
і і і JNU NM ZH
LNU [ NM \ N] ] ZW GNU GNM GZ
(2.12.33)
f
Здесь NU NM и Z действительны, а N] комплексно:
PHZ
N]
NU NM F
Если задан начальный вид функции (или при ] или при W в первом
случае задается вид функции в сечении ] для каждого момента времени, а во
втором — вид функции во всем пространстве в данный момент времени W ),
например
\[ \ W I[ \ W
то
I [ \ W
§ ·
Ё ё
© S №
f
і і і JN N ZH
LNU [ NM \ ZW GNU GNM GZ
(2.12.34)
f
Амплитудная функция может быть определена как обратное представление
Фурье:
JN N Z
§ ·
Ё ё
© S №
f
і і і I[ \ WH
LNU [ NM \ ZW G[G\GW
f
Заметим, что при V (отсутствие диссипации) фазовая скорость каждой компоненты цилиндрической волны в направлении оси ] определяется величиной
Y]
PHZ
N]
F
Z
N]
(2.12.35)
NU NM
то есть она зависит от Z NU NM :
Y]
Y] Z NU NM (2.12.36)
Следовательно, каждой составляющей (плоской волне) соответствует своя фазовая скорость в направлении оси ] . Это означает искажение фронта (в сечении
] FRQVW ), то есть общего решения для фронта волны (если задан фронт в сечении
] в виде функции I [ \ W ) типа I [ \ W ] Y не существует.
2.12.3. Интегральные представления цилиндрических функций. Цилиндрическая
волна, представляемая в виде суперпозиции плоских волн, имеет вид (2.12.31):
\[ \ ] W
і
H r L J] LZW GE JEH LN VLQ D[ FRV E \ VLQ E 130
ГЛАВА 2
Подставляя вместо функции \ ее выражение
I U MH r L J] LZW
\
получим
і GEJEH
I U M
LN VLQ D [ FRV E \ VLQ E
Введя полярные координаты и в показатель экспоненты [
обозначая NU VLQ D U , получим
I U M
I U I M
і GEJEH
LU FRVME
U FRV T \
U FRV T и
(2.12.37)
где
I M
H LSM S
і GEJEH
I UH LSM
LU FRVME
Произведем замену
EM
T GE
I U H
GT JE
M S
і
LSM
JM M
GTJT MH LU FRV T Предположим, что I U имеет вид:
і JTH
I U LU FRV T
GT
(2.12.38)
Далее учтем, что I U должна быть решением уравнения Бесселя (2.12.20).
Поэтому подстановка интеграла (2.12.38) в уравнение Бесселя приводит к условиям (приводим без доказательства):
1. Функция J должна быть решением уравнения
GJ
2. Выражение
GT
SJ
U VLQ T SH LU FRV T ST
(2.12.39)
при подстановке пределов должно давать нуль. Отсюда следует, что функция J
должна иметь вид:
J H LST Оказывается, что для того, чтобы I U была тождественна с цилиндрической
функцией, J надо положить равной
S
J
LS LST
H
�H S
(2.12.40)
Общие сведения о волновых процессах
131
Подставив (2.12.40) в (2.12.38), получим интегральное представление цилиндрических функций
H
=U LS
S
іH
S
L U FRV T SM
GT
(2.12.41)
&
Здесь контур & нужно подобрать так, чтобы удовлетворить условиям (2.12.39).
Возможны следующие интегральные представления для функций Ханкеля первого и второго родов:
+S U SL
f SL
і
H
UVKT ST
SL
+S U GT
f
f SL
і
H UVKT ST GT
(2.12.42)
f
Функция Бесселя -S U определится как
Є +S +S є ј
¬
При S целом ( S Q ) условие (2.12.39) выполняется при интегрировании по любому отрезку длиной S по действительной оси U . Величина H[S LQ S переходит в L Q .
Для функций Бесселя 1-го рода целого индекса получаем
-S U -S U S
VLQ SS
FRV U VLQ T ST GT S
S
і
f
іH
U VK W SW
GW
DUJ U
S (2.12.43)
В частном случае целого индекса S S { Q :
S
FRVQM U VLQ MGM
S
і
-Q U (2.12.43а)
2.12.4. Представление плоской волны через цилиндрические функции. Отбрасывая зависимость от ] и Z , для плоской волны имеем выражение (см. 2.12.31):
\[ \ H LN VLQ D[ FRV E \ VLQ E В полярных координатах получим
H LU FRVME \U M
где U NU VLQ D
Это функция, периодическая по M . Представим ее по координате M в виде ряда
Фурье:
f
¦
\U M
\ Q U HH
LQT
Q f
Коэффициенты Фурье \ Q U определятся формулой
\ Q U
S
S
і \U MH
LQM
GM
(2.12.44)
132
ГЛАВА 2
Подставим в последнюю формулу значение \U M :
S
\ Q U
Заменив E M
S
іH
LU FRVME LQM
GM
T (при этом интервал интегрирования не изменится), получим
S
\ Q U
S
іH
LU FRV T LQE LQT
S
S S
LQE LQ LQ H
H
H
S
\ Q U
GT
іH
LU FRV T QT
GT
или
\ Q U
L Q H LQE
H
LQ
S
S
іH
S
LU FRV T QT
GT
L Q H LQE -Q U Полученное значение \ Q U подставим в сумму (2.12.44):
\U M
H LNU VLQ D FRVEM
¦ LQ HLQEHLQM -Q NU VLQ D
(2.12.45)
Q
Таким образом, мы получили разложение плоской волны в ряд по цилиндрическим функциям.
Из формулы (2.12.45) получаем полезные формулы:
¦ LQ HLQME -Q U
H LU FRVME
¦ LQ HLQT -Q U
H LU FRV T
Положив
T
получим
H
LU VLQ \
Откуда
¦L
f
FRVU VLQ \
при Q
GQ
S
H LQ\ - U Q
¦
¦
-Q U VLQ Q\
Q f
где GQ
H
LQ
-Q U FRV Q\
Q f
f
VLQU VLQ \
Q
S
\
f
¦ HLQ\ -Q U
¦ GQ -Q U FRV Q\
Q f
¦ -Q VLQ ^Q \` Q при Q ! , т.к. -Q [
Q -Q [
(2.12.46)
Общие сведения о волновых процессах
133
2.12.5. Преобразование Фурье-Бесселя. Рассмотрим интеграл Фурье для двух
переменных:
S
I [ \
f
іfі JN N H
LN[ N\
GNGN (2.12.47)
Произведем замену переменных
[
U FRV M
N
O FRV E
\
U VLQ M
N
O VLQ E
(2.12.48)
то есть замену одинаковым способом как для пространства [ \ так и для пространства N . В последнем случае O играет роль радиуса-вектора, E — роль азимута.
Подставив (2.12.45) в (2.12.44), получим
f
OG O
S
і
I U M
S
і GEH
LOU FRVEM
JO E
(2.12.49)
LOU FRVEP
(2.12.50)
Обратное преобразование имеет вид
f
UGU
S
і
JO E
S
і GPIU PH
Применив соотношения (2.12.46) и (2.12.47) для цилиндрических функций IQ UH LQM получим пару преобразований Фурье Бесселя:
f
IQ U
і JQ O-Q OUOGO
(2.12.51)
f
і IQ U-Q OUUGU
JQ O
(2.12.52)
Решение волнового уравнения в цилиндрических координатах для заданных N и
Z будет иметь вид
\
J
H LZW
N] ¦ HLQM IQ UHr LJ] Q
NU
NM N]
(2.12.53)
N С учетом (2.12.48) вместо (2.12.53) можно записать:
\
H
LZW
f
¦ H і JQ O-Q OUHr L
Q
LQM
N O
OGO
(2.12.54)
2.13(*). Сферические волны
Рассмотрим решение скалярного уравнения Гельмгольца в сферических координатах относительно функции \ U T M , представляющей собой какую-либо со-
134
ГЛАВА 2
G
G
ставляющую векторов ( или + :
w
U wU
w Є
w\ є
Є w\ є
VLQ T
« U wU » «
wT »ј
¬
ј U VLQ T wT ¬
w\
U VLQ T wM
N \
(2.13.1)
Уравнение (2.13.1) решается методом разделения переменных, в соответствии с
которым представим функцию \ U T M в виде:
\ U T M 5 U ) T ) M (2.13.2)
Подставив выражение (2.13.2) в уравнение Гельмгольца (2.13.1), получаем:
G
5 U U GU
G Є
G) є
Є G5 є
« U GU » ) T « VLQ T GT » G
T
¬
ј
¬
ј
U VLQ T
(2.13.3)
G)
N ) M U VLQ T GM
Из уравнения (2.13.3) следуют соотношения:
VLQ T G
5 U GU
G Є
G) є
Є G5 є
« U GU » N U VLQ T ) T VLQ T GT « VLQ T GT »
¬
ј
¬
ј
G)
) M GM
P (2.13.4)
P где P — постоянная разделения переменных.
Разделяя переменные в первом уравнении (2.13.4), получаем:
G Є G5 є
U
N U 5 U GU «¬ GU »ј
P
VLQ T
G Є
G) є
VLQ T
«
GT »ј
) T VLQ T GT ¬
Q Q где Q — постоянная разделения переменных.
В результате получаем три несвязанных дифференциальных уравнения относительно функций 5 U , ) T и ) M :
G ) M GM
P) M G) T є Є
G Є
P є
» ) T
«VLQ T
» « Q Q VLQ T GT ¬«
GT ј» «¬
VLQ T »ј
G
GU
Є G5 U є
«U
» Є¬N U Q Q єј 5 U GU
¬«
ј»
(2.13.5)
Первое уравнение имеет два линейно независимых решения:
)F M
где P
FRV PM ) V M — целое положительное число.
VLQ PM (2.13.6)
Общие сведения о волновых процессах
135
Решения ) T второго уравнения (2.13.5) должны принимать конечные значения
при T S и записываются в виде присоединенных полиномов Лежандра первого
рода 3QP FRV T ( P — порядок полинома; Q — его степень):
) T
3QP FRV T (2.13.7)
При P присоединенные полиномы Лежандра называют полиномами Лежандра
и обозначают через 3Q FRV T .
Произвольная поверхностная сферическая гармоническая функция может быть
представлена в виде суммы:
f
¦ DQP FRV PM EQP VLQ PM 3QP FRV T
1 T M (2.13.8)
Q где DQP EQP — коэффициенты разложения.
В ряд по сферическим поверхностным функциям 1 T M (2.13.8) можно разложить произвольную функцию * T M :
* T M f
¦ Є¬DQ3Q FRV T Q f
¦ DQP FRV PM EQP VLQ PM
P 3QP
є
FRV T » »ј
В третьем уравнении (2.13.5) перейдем к безразмерной переменной U
дем функцию * 5 U и перепишем его следующим образом:
U
G Є G* U є Є ·є
§
«U
» «U Q Ё Q ё » * U GU «¬
GU »ј ¬
№ј
©
(2.13.9)
NU , вве-
(2.13.10)
Линейно независимые решения уравнения (2.13.10) представляют собой сферические функции Бесселя первого и второго родов вида:
MQ U S
-Q U 1Q U U
S
<Q U U
где -Q U и <Q U — цилиндрические функции Бесселя и Неймана порядка Q .
Зачастую удобно использовать функции Риккати-Бесселя, которые определяются следующими выражениями:
SU
-Q U \ Q U UMQ U (2.13.11)
SU
<Q U FQ U U1Q U Любая линейная комбинация \ Q U и FQ U является решением уравнения
(2.13.10). Кроме того, решением также являются функции Риккати-Ханкеля:
[Q U \ Q U LFQ U [Q U \ Q U LFQ U (2.13.12)
136
ГЛАВА 2
Таким образом, было найдено решение скалярного уравнения Гельмгольца (2.13.1),
которое с учетом (2.13.6), (2.13.7) принимает вид:
\ F PQ
]Q NU 3QP FRV T FRV PM \ V PQ
]Q NU 3QP FRV T VLQ PM (2.13.13)
где ]Q NU — любая из четырех сферических бесселевых функций \ Q U , FQ U ,
[Q U или [Q U .
Суммируя решения (2.13.13) с учетом (2.13.9), получаем общее решение уравнения Гельмгольца (2.13.1):
\ U T M f
¦ ]Q NU ^DQ3Q FRV T Q (2.13.14)
Ѕ°
DQP FRV PM EQP VLQ PM 3QP FRV T ѕ °ї
P Соотношение (2.13.14) представляет собой разложение функции \ по элементарным сферическим волнам. Рассмотрим случай, когда функция \ представляет
плоскую волну. Используя соотношение (2.13.14) и учитывая независимость от координаты M , получаем следующее разложение:
f
¦
H LNU
f
¦ DQ ]Q NU 3Q FRV T
(2.13.15)
Q где DQ — неизвестные коэффициенты.
Разложение волн на элементарные сферические волны используется при решении задач дифракции плоских электромагнитных волн на сферических телах вращения и т.п. Читателей, интересующихся строгим решением задачи дифракции
плоской электромагнитной волны на сфере с идеально проводящей поверхностью,
отсылаем к [Л9.3, Л.38].
?изации, как отмечено выше, поле имеет составляющие + \ ,
( [ и (] . Запишем выражения для поля в данном случае.
Электромагнитное поле падающей волны:
G
G
G
(
( [ FRV T ] VLQ T H LN[ VLQ T ] FRV T G
G (
\ H LN[ VLQ T ] FRV T +
=
Электромагнитное поле преломленной волны:
G
G
G
(
( [ FRV T ] VLQ T H LN [ VLQ T ] FRV T G
G (
\ H LN [ VLQ T ] FRV T +
=
Электромагнитное поле отражённой волны:
G
G
G
(
( [ FRV T ] VLQ T H LN [ VLQ T ] FRV T G
G (
+
\ H LN [ VLQ T ] FRV T =
Воспользовавшись граничными условиями при z = 0:
([
([
([ +\
+\
+\ Общие сведения о волновых процессах
113
получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных
амплитуд ( и ( :
( ( FRV T
= ( ( ( FRV T = ( В случае E-поляризации расчёт коэффициентов
отражения U_ _ и прохождения
G
W_ _ целесообразно проводить через вектор + , определяя их следующим образом:
U_ _
+ \ ]
+ \ ]
(
(
W_ _
+ \ ]
( =
( =
+ \ ] G
где нижний индекс «| | » указывает на то, что поле ( падающей волны параллельно
плоскости падения (плоскости XOZ).
Коэффициенты Френеля, связывающие амплитуды отраженной и прошедшей
волн с амплитудой падающей волны, найденные из приведённой выше системы
уравнений, записываются как:
U_ _
= FRV T = FRV T
= FRV T = FRV T
W_ _
= FRV T
= FRV T = FRV T
_ U __ _ H
_ W __ _ H
LM _ _
LM _ _
(2.9.12)
Соотношения (2.9.11) и (2.9.12) называются формулами Френеля. Запишем их для
случая немагнитных сред P P . Так как в этом случае
VLQ T
VLQ T
H
H
=
=
WA
VLQ T FRV T
VLQ T T то
UA
U __
VLQ T T VLQ T T WJ T T WJ T T W __
VLQ T FRV T
VLQ T T FRV T T (2.9.13)
(2.9.14)
Будем считать, что в средах 1 и 2 (см. рис. 2.12) отсутствуют потери, то есть
проницаемости сред H и H — чисто действительные величины. В этом случае
углы T и T — вещественны (случай полного внутреннего отражения пока исключаем) и тригонометрические функции, стоящие в правых частях формул (2.9.13)
и (2.9.14), также вещественны. Следовательно, фаза каждой из компонент поля
отраженной и прошедшей волн либо равна фазе соответствующей компоненты
падающей волны, либо отличается от неё на S . Так как знаки коэффициентов W A
и W_ _ соответственно совпадают со знаками ( и + , то фазы преломленных волн
равны фазам падающих волн. Для отраженной волны фаза будет зависеть от отношения T и T . Если оптическая плотность второй среды больше, чем первой
( H ! H ), то T T . Поэтому, согласно формулам (2.9.13), U A и фазы отражённой и прошедшей волн отличаются друг от друга на S . При тех же обстоятельствах значение WJ T T в U_ _ положительно, но знаменатель WJ T T при
T T ! S становится отрицательным. В этом случае фазы + и + отличают-
114
ГЛАВА 2
_ UA _
MA _ U _
__
MA
_ UA _
M_ _
U
S T
S
S
S
_U__ _
M_ _
T
а)
M __
T
S
б)
Рис. 2.15
ся друг от друга на S . Аналогичное рассуждение можно провести для случая,
когда вторая среда оптически менее плотная по сравнению с первой.
Для нормального падения T и из закона Снеллиуса следует, что T .
Тогда соотношения (2.9.11) и (2.9.12) принимают более простой вид:
UA
= =
=
WA
= =
= =
U _ _ UA W _ _ WA (2.9.15)
(2.9.16)
2.9.4. Поляризация волн при отражении и преломлении. Угол Брюстера. Рассмотрим зависимости коэффициентов Френеля (2.9.13) и (2.9.14) от параметров сред.
Поведение коэффициента U A для волны H-поляризации не имеет каких-либо особенностей. В частности, обращение U A в нуль возможно лишь при одинаковых H
и H , когда отражение исчезает естественным образом вместе с исчезновением
границы раздела. Коэффициент U _ _ для E-поляризованной волны обращается в
нуль при T T S . Угол T , как легко видеть, в этом случае ( P P ) определяется из равенства
H
(2.9.17)
H
Угол T T , определяемый равенством (2.9.17), называется углом Брюстера,
или углом полной поляризации. Второе название связано с тем, что при падении
произвольно поляризованной волны на границу под углом T отраженная волна
оказывается H-поляризованной.
При изменении угла падения в интервале d T d T модуль U _ _ убывает от
величины
WJ T
U_ _
UA
H H H
H
U
(2.9.18)
при T до нуля при T T ; при изменении T от T до S коэффициент U_ _
вырастает от 0 до 1. Фаза коэффициента U _ _ при d T d T равна нулю; при
T d T d S она равна S , то есть изменяется скачком при переходе T через угол
Общие сведения о волновых процессах
115
T . Сдвиг фазы коэффициента U A для волны с перпендикулярной поляризацией
равен S . На рис. 2.15 приведены графики зависимостей модулей и фаз коэффициентов Френеля от угла падения для двух поляризаций волны при изменении угла
падения T от 0 до S .
2.10. Падение электромагнитной волны на
плоскую проводящую среду
Рассмотрим отражение и преломление плоской электромагнитной волны на
границе раздела «диэлектрик-проводник», изображенной на рис. 2.14. Пусть на
границу раздела из первой среды падает плоская волна под углом T к оси OZ.
Для определенности будем считать что первая среда — воздух, то есть
P H V Свойства второй среды (проводника) будем характеризовать
некоторой диэлектрической проницаемостью H и удельной проводимостью V Положим P , что справедливо для большинства металлов.
Как известно, для проводника вследствие потерь, вызываемых проводимостью
V , при рассмотрении гармонических процессов вводят относительную комплексную диэлектрическую проницаемость:
LV
H Hc (2.10.1)
ZH
В этом случае волновое число в проводнике будет комплексным:
N
N
H
N Hc L V
ZH Nc L Ncc (2.10.2)
С учётом п. 2.9.2, волна в проводнике (преломленная) является плоской неоднородной волной.
2.10.1. Приближенные граничные условия Щукина-Леонтовича. Как было отмечено выше для проводящей среды выполняется условие V ZH !! . Поэтому
при падении плоской гармонической волны из воздуха на проводник, оптическая
плотность которого во много раз больше оптической плотности воздуха, вне зависимости от угла падения T волны преломленная волна будет распространяться
фактически по нормали к поверхности проводиника ( T o ). Поэтому в качестве
поверхностей равных фаз в проводнике можно брать плоскости ] FRQVW , которые будут совпадать с поверхностями равных амплитуд. Это значит, что любые
поля в первой среде (воздухе) создают во второй волну, близкую к плоской однородной волне, фронт которой параллелен границе. Когда вторая среда — проводник, волновой процесс относительно быстро затухает. Расстояние ' , на котором
поле в проводнике уменьшается в e раз, определяется как
'
ZP P V
и называется глубиной проникновения. Из формулы (2.6.19) следует, что глубина
глубина пропроникновения ' Ncc . Например, для меди на частоте I — уже порядка � мм.
никновения ' a 0.2 мм, а на I 116
ГЛАВА 2
Если размеры проводящего тела значительно превосходят глубину проникновения ' , можно считать, что поле в нём сосредоточено вблизи поверхности. Это
явление получило название поверхностного эффекта. В зарубежной литературе
чаще упоминается другое название — скин-эффект (от англ. skin — «кожа»).
Наличие скин-эффекта приводит к тому, что глубокие слои проводника не окаG
зывают
никакого влияния на электромагнитные процессы у его границы. Векторы (
G
и + внутри проводника всегда являются параллельными к границе раздела слоев,
так как волна плоская и распространяется нормально к поверхности раздела. Поэтому, вообще говоря, у электромагнитного поля волны в проводнике вблизи границы
раздела сред ( ] ) будут присутствовать только тангенциальные составляющие,
то есть
G G
G
G
(2.10.3)
( ( W + G + W G
Во второй (проводящей) среде векторы ( и + связаны соотношением:
G
G G
(2.10.4)
( = >] + @ G
где ] — единичный вектор, направленный вдоль оси OZ (внутрь проводящей
среды);
=
P
H
HH Hc LV Z H
Точные граничные условия в плоскости ] (граница «воздух-проводник») занисываются как
G
G
G
G
(2.10.5)
( W ( W + W + W G G
G
G G
G G
где (
(
( (
( +
+ С учетом (2.10.3) и граничных условий (2.10.5) соотношением (2.10.4) можно связать
поля в первой области:
G
G G
(2.10.6)
( = >] + @ G G Равенство (2.10.6) устанавливает связь между полями ( и + в первой (непроводящей) среде на границе с проводником через волновое сопротивление второй
среды. Оно (равенство) называется приближенным граничным условием ЩукинаЛеонтовича. Заметим, что соотношение (2.10.6) для случая нормального падения
является точным.
В заключение запишем граничное условие Щукина-Леонтовича (2.10.6) в проекциях на оси декартовой системы координат для геометрии, показанной на рис. 2.12:
( [
= + \ ( \
= + [ (2.10.6)
2.11(*). Распространение сигналов (волновых пакетов)
в диспергирующей среде
В предыдущих разделах рассматривалось распространение монохроматических волн.
Однако строго монохроматических волн в природе не существует. Более того, чтобы
передать посредством волны какую-либо информацию, необходимо её промодулиро-
Общие сведения о волновых процессах
117
вать. В линейном приближении модулированную волну можно представить в виде
суперпозиции гармонических плоских волн.
Математически проблема распространения сигнала вдоль оси 2= в диспергирующей изотропной среде сводится к решению уравнения
w \
w \
/ \ (2.11.1)
w ] Y w W описывающий
дисперсию срегде / — действующий на \ линейный оператор,
G
G
ды; \ — какая-либо составляющая векторов ( или + .
Для изотропной однородной среды [Л.8]
/ \
w
f
і
FW \ W W GW Y w W где c — электрическая восприимчивость среды.
Перейдем к изучению закономерностей распространения в диспергирующей среде
плоских немонохроматических волн, бегущих в направлении оси 2= . Такие волны
могут возбуждаться либо на границе среды (например, источником, расположенным
при ] ), либо путём создания в начальный момент времени, скажем при W ,
некоторого пространственно-распределенного возмущения. Ниже рассмотрим только первый случай.
2.11.1. Краевая задача для распространения волнового пакета. Пусть диспергирующая среда занимает полупространство ] t и на ее границе задан входной
сигнал
\ W ] \ W (2.11.2)
G
G
где под \ понимается какая-либо составляющая векторов ( и + . Представим
\ W в виде интеграла Фурье:
f
і )Z H
\ W L ZW
GZ (2.11.3)
f
где её частотный спектр определяется функцией
S
)Z
f
і \ W H
L ZW
GW (2.11.4)
f
Для линейной среды спектральные составляющие )Z распространяются независимо друг от друга, поэтому решение уравнения (2.11.1) можно представить в
виде набора гармонических волн*)
f
\ W ]
Ѕ°
­°
5H ® )Z H[S^L >ZW N Z ]@ ` GZѕ °ї
°? f
і
(2.11.5)
Подставив выражение (2.11.5) в уравнение (2.11.1), можно установить закон дис*)
В дальнейшем символ реальной части от комплексной функции при записи мгновенных
значений полей в этом разделе будем опускать
118
ГЛАВА 2
персии, определяемый видом оператора /\ . Искомое решение можно представить через падающую на границу волну. Подставляя в решение (2.11.5) выражение
(2.11.4), получаем
S
\ W ]
f f
і і \ W H[S ^L >ZW Wc N Z]@ ` GZ GWc (2.11.6)
f f
Наибольший практический интерес представляют сигналы с узким спектром
частот, называемые квазимонохроматическими сигналами или волновыми пакетами. Для такого пакета высокочастотный импульс можно описать функцией
\ W $ W H L ZW (2.11.7)
где $ W — комплексная, медленно изменяющаяся во времени амплитуда, Z —
некоторая средняя частота.
Выражение (2.11.6) с учетом (2.11.7) принимает вид
\ W ]
S
f f
і і $Wc H[S^L >ZZ W Wc NZ ] ZW @ ` GZGWc f f
Положив в выражении (2.11.8) ]
$ W
S
(2.11.8)
и сравнив его с соотношением (2.11.7), получим
f f
і і $ Wc H[S ^ L >Z Z W Wc @ ` GZ GWc (2.11.9)
f f
Пользуясь тем, что частотный спектр волнового пакета является узким
'Z Z , разложим функцию N Z в ряд Тейлора в окрестности точки Z Z :
N Z
N Z GN
§ G N ·
Z Z ЁЁ ёё Z Z © GZ №
GZ Z
Z
(2.11.10)
Выражение для поля волнового пакета получим, подставив разложение (2.11.10)
в (2.11.8):
\ W ] $W ] H[S > L Z W N ] @ (2.11.11)
где
$ W ]
S
­ Є
є
°
$ W c H[S ® L «W W c §Ё GN ·ё ] » Z Z © GZ № Z »
° «¬
f f
ј
Ї
f f
і і
§ G N ·
°Ѕ
L Ё ё ] Z Z ѕ GZ GW c G
Z
©
№ Z
°ї
N
(2.11.11а)
NZ При решении конкретных задач точность результата зависит от того, сколько
учитывается членов в разложении (2.11.10). Число учтенных членов в (2.11.10)
определяет номер приближения теории дисперсии. Так, в первом приближении,
когда
GN ·
N Z N §Ё
ё Z Z (2.11.12)
© G Z № Z
получаем выражение
Общие сведения о волновых процессах
H L ZW N] u
\ W ]
u
S
119
f f
­° Є
Ѕ°
є
·
$ W c H[S ® L «W W c §Ё GN ё ] » Z Z ѕ GZ GW c © GZ № Z »ј
°? «¬
°ї
f f
і і
которое, с использованием соотношения (2.11.9), можно записать в виде
Є
є L Z W N ] GN ·
\ W ] $ «W §Ё
ё ]» H ¬ © GZ № Z ј
(2.11.13)
Таким образом, в первом дисперсионном приближении волновой пакет (2.11.7)
распространяется без изменений формы с групповой скоростью X GZ GN Z .
Волновой пакет только в первом приближении распространяется без изменения
формы.
Для определения изменения его формы достаточно учесть в разложении (2.11.10)
квадратичный член. Поскольку плоские волны зависят от t и z и в каждой точке z
в принципе своя временная форма импульса, рассмотрим зависимость поля только от времени. В выражении для поля \ W ] заменим величины N ] GN GZ Z ]
и G N G Z Z ] соответственно на M Z McZ MccZ , где M Z — набег фазы
для монохроматической волны с частотой Z . Тогда с учетом квадратичного члена
в разложении (2.11.10) имеем
\W
где :
H
L >ZW MZ @
S
f f
і і
c
$ W c H L : > W W McZ @ L :
Mcc Z GW cG: f f
Z Z . Делая замену переменных
W c W Mc · ё
Mcc
№
Mcc §Ё : ©
и учитывая, что
f
і H[S L SD
GD
S D
L
f
получаем
\W
L L > ZW MZ @
H
S
f
і
$ W c
f
Є W c W Mc є
S
H[S « L
» GW c Mcc
Mcc
ј
¬
Вводя обозначение
W c W Mc
Mcc
S [
(2.11.14)
окончательно имеем
\ W
L L >ZW M Z @
H
f
і
$ W Mc [ SMccZ H
f
S
L [
G[ (2.11.15)
120
ГЛАВА 2
)Z
'Z
)
Z
Z
Рис. 2.16
Если величина MccZ мала, то выражение (2.11.15) переходит в (2.11.13), поскольку
f
і H[S L S[
G[
L
f
Таким образом, искажение сигнала определяется выражением (2.11.15), которое может быть конкретизировано при задании формы начального сигнала, то
есть функции $ W .
2.11.2. Распространение волнового пакета. В представлении (2.11.5) дисперсионные
свойства среды определяются зависимостью N NZ . На практике спектр электромагнитного сигнала (волнового пакета) является ограниченным в некоторых пределах
частот >Z 'Z Z '[email protected] , где Z — центральная частота спектра; 'Z — полоса
частот, в которой лежат значения всех спектральных составляющих сигнала. Обычно
спектр электромагнитного сигнала является узким 'Z Z . Обозначим N NZ и в выражении (2.11.5) перейдём от интегрирования по частоте к интегрированию
по волновому числу:
N 'N
\W ]
і )N H
5H
L >ZNW N ]@
(2.11.16)
GN N 'N
где через )N обозначено значение амплитуды поля спектральной составляющей
) ZN .
В случае узкой полосы частот ( 'Z Z 'N N ) функцию Z ZN можно
разложить в ряд Тейлора по степеням ( N N ) в окрестности точки N :
Z
Z GZ
GN
N N
N N G Z
GN
N N (2.11.17)
N N
Подставляя (2.11.17) в выражение (2.11.16) и удерживая только два первых члена разложения, получаем:
N 'N
­
L Є« G Z
°
GN
\W ] | 5H ® H L >ZW N ]@
)N H ¬
°?
N 'N
і
N N
W ] є» N N ј
Ѕ
°
GN ѕ °ї
(2.11.18)
Общие сведения о волновых процессах
121
В качестве примера рассмотрим электромагнитный сигнал с прямоугольной
спектральной функцией (рис. 2.16). В данном случае амплитуда )N ) при
N 'N d N d N 'N является постоянной в выражении (2.11.18) и её можно вынести за знак интеграла. Кроме того, в этом выражении перейдём от интегрирования
по переменной k к новой переменной N N . Тогда получим:
'N L Є G Z
­
« GN
°
\ W ] | 5H ® ) H L >ZW N ]@ H ¬ N
°?
'N
і
N
W ]є» N N ј
GN N Ѕ
°
ѕ
°ї
(2.11.19)
После интегрирования можно записать выражение для эволюции импульса:
\ W ] | )
VLQ Є §Ё
«¬ ©
GZ
GN
N N
GZ
GN
N N
W ] ·ё 'N є
»ј
№
FRV Z W N ] M W]
(2.11.20)
Распределение поля сигнала, описываемого выражением (2.11.20), представлено на рис. 2.17. Заметим, что соотношение (2.11.20) описывает модулированную
гармоническую волну. Сомножитель вида
Є§
VLQ « Ё
©
GZ
GN
GZ
GN
N N
N N
· є
W ] ё 'N »
№ ј
W]
описывает распространение огибающей волнового пакета, а выражение
FRV Z W N ] M соответствует гармонической волне частоты Z и описывает
распространение высокочастотной составляющей сигнала (заполнения). Величина
Y Z N — скорость, с которой высокочастотная составляющая сигнала распространяется внутри огибающей. Эта скорость не является скоростью распространения
электромагнитного сигнала, так как не описывает движение огибающей волнового
пакета.
2.11.3. Групповая скорость. Скорость распространения сигнала — скорость движения огибающей, которая вычисляется как
G] GZ
X
(2.11.21)
GW GN
и называется групповой скоростью.
Таким образом, групповая скорость — это скорость распространения огибающей волнового пакета.
Определим связь между фазовой и групповой скоростями:
GY
GZ
G
(2.11.22)
X
> Y [email protected] Y N GN GN GN
В зависимости от знака производной GY GN групповая скорость может быть либо
больше, либо меньше фазовой. Если GY GN , то X Y и такая дисперсия называется нормальной, если GY GN ! , то X ! Y и дисперсия называется аномальной. Условие GY GN свидетельствует об отсутствии дисперсии ( X Y ).
122
ГЛАВА 2
\ ]
W
FRQVW
X
GZ
GN
]
Y
Z
N
Рис. 2.17
2.12(*). Цилиндрические волны
2.12.1. Решение волнового уравнения в цилиндрических координатах. Большое
практическое применение находит система цилиндрических координат. Она применима к случаю осевой симметрии поля или среды, в которой распространяются
волны. При решении задач в цилиндрической системе координат обычно используют электрический и магнитный векторы Герца (см. п.2.3.2). Ниже рассмотрим простейшую цилиндрическую систему координат, в которой переменные разделяются, как систему, образованную семейством круговых цилиндров, т.е. систему координат с независимыми, непрерывными и однозначными координатами U M ] .
В электродинамике
часто для удобства расчетов вводят магнитные заряды UP
GP
и токи M , через которые определяется магнитный вектор Герца. Запишем
G
G решения уравнений Максвелла с магнитными токами (7.2.1) через векторы Ѓ и Ѓ P для
комплексных амплитуд:
G G
G G
G G
G G
Ѓ H U W 5H Є Ѓ H U H LZW є , Ѓ P U W 5H Є Ѓ P U H LZW є .
(2.12.1)
¬
ј
¬
ј
Они имеют следующий вид ( P FRQVW H FRQVW ):
G
G
G
G
( JUDG GLY Ѓ H NHPЃ H LZPP URW Ѓ P (2.12.2)
G
G
G
G
+ JUDG GLY Ѓ P NHPЃ P LZPP URW Ѓ H С Gучетом
G того, что для комплексных амплитуд электродинамических потенциалов $H и $ P справедливы соотношения
G
LZHP G H G P LZHP G P
(2.12.3)
$H
Ѓ $
Ѓ F
F
G G
нетрудно, исходя из (7.2.23), получить для векторов Ѓ H Ѓ P неоднородные уравнения Гельмгольца:
G
G
G
G
L G
L GP
(2.12.4)
’Ѓ H NHPЃ H
M ’Ѓ P NHPЃ P
M ZHH
ZHH
Общие сведения о волновых процессах
123
Выбор уравнений (7.2.23) или (2.12.4) (выбор тех или иных потенциалов) для
решения конкретных задач электродинамики является делом привычки.G
Для выяснения физического смысла электрического вектора Герца Ѓ H , описывающего волны
в диэлектрической
среде, рассмотрим его связь с вектором поляG G
G
G
ризации 3 . Так как ' H( 3 , то
G
H GLY ( 5 5c (2.12.5)
G
где 5c GLY 3 — объёмная плотность связанных зарядов, 5 — объемная плотность зарядов проводимости. Рассмотрим чисто поляризационные явления, то есть
положим 5 .
Для скалярного электрического потенциала в случае статического поля имеем
(см. соотношения (2.3.14)):
’ )
5c
HH
(2.12.6)
G
GLY Ѓ H , то из (2.12.6) следует, что
G
§ GH
3 ·
GLY ЁЁ ’ Ѓ (2.12.7)
ё HH ё№
©
Решение этого уравнения в виде интеграла (запаздывающее решение) записывается как
Так как )
G
ЃH
SHH
і
9
G§
'U G ·
U c ёё
3 ЁЁ W Y
©
№G9 c
'U
(2.12.8)
G G
где 'U U U c Выражение (2.12.8) определяет физический смысл вектора Герца и объясняет,
почему его иногда называют «поляризационным потенциалом»: он непосредственно связан с вектором электрической поляризации. Аналогичные рассуждения приводят к интегральному соотношению для магнитного вектора Герца:
G
ЃP
SPP
і
9
G §
'U G ·
U c ёё
0 ЁЁ W Y
©
№G9 c
'U
(2.12.9)
G
где 0 — вектор намагниченности.
Волновым уравнениям могут удовлетворять поля различных типов волн. Одна
из основных задач электродинамики состоит в решении волнового уравнения при
заданных граничных условиях. Однако далеко не для любых граничных условий
можно подобрать систему координат, в которой уравнение разрешимо. В этой
связи большое практическое значение имеет система цилиндрических координат.
Наиболее типичным случаем, охватывающим большое число электродинамических задач, является случай,
поле, описывается одной составляющей вектоG
G когда
G
ра Герца, например, Ѓ H Ѓ ]H ] Как следует из соотношений (2.12.4) и (2.12.8), эта
124
ГЛАВА 2
ситуация соответствует случаю линейных электрических (магнитных) токов или
постоянного в пространстве направления векторов электрической поляризации и
намагничивания.
Запишем
первое уравнение из (2.12.4) для случая, когда линейный ток проводиGH
мости M ориентирован вдоль оси ] (рассматриваем гармонические процессы):
G
G
L GH
'Ѓ]H NHPЃ]H
M] .
(2.12.10)
ZHH
С учетом выражения для оператора Лапласа в цилиндрической системе координат последнее уравнение переписываем как (с M]H ):
wЃ]H
wU
wЃ]H
wЃ]H wЃ]H
NHPЃ]H
U wU
U wM
w]
.
(2.12.11)
Подставим в (2.12.11) функцию
Ѓ]H
(2.12.12)
I U M\]
тем самым будем использовать метод разделения переменных в цилиндрической
системе координат.
В результате получаем
°­ w § wI · w § wI · °Ѕ
®
ЁU ё Ё
ё ѕ N HP
U °Ї U wU © wU № U wM © U wM № °ї
w \
\ w]
J где J — некоторая постоянная.
Откуда
­° w § wI · w § wI · Ѕ°
® ЁU ё Ё
ё ѕ N HP J I
U °Ї wU © wU № U wM © U wM № °ї
w \
w]
J \
(2.12.13)
Так как решение второго уравнения из (2.12.13) есть функция:
\
$H L J] $H L J] (2.12.14)
где $ $ — постоянные, то с учётом принятой в книге гармонической зависимости от времени H[S ^LZW` составляющую Ѓ]H можно представить в виде:
Ѓ]H
I U M $H LK] $H LK] H LZW (2.12.15)
Первое слагаемое в (2.12.15) определяет собственную волну, распространяющую против оси ] , второе слагаемое — волну по оси ] .
Знание вида ] -ой составляющей комплексной амплитуды вектора Герца в цилиндрической
системе
координат позволяет определеить взаимную ориентацию
G
G
векторов ( и % в плоскости ] FRQVW . Нетрудно доказать с помощью соотношлений (2.3.33), что для изотропной среды ( H P — скаляры):
(U +U (M +M
(2.12.16)
Общие сведения о волновых процессах
125
G
G
Следовательно, векторы ( и % в плоскости ] FRQVW перпендикулярны друг
другу. Аналогично, доказывается
G
G G соотношение (2.12.16) для случая линейных магнитных токов, когда Ѓ P Ѓ ]P ] G
G G
G
G G
Поля, найденные для случаев Ѓ H Ѓ ]H ] и Ѓ P Ѓ ]P ] в цилиндрической системе координат, образуют совокупность волн типа ( и типа + . Как уже было
упомянуто, ими можно удовлетворить большое число граничных условий для различных цилиндрических поверхностей. Однако для этого необходимо, чтобы в первом из уравнений (2.12.13) переменные разделялись, т.е. чтобы можно было функцию I U M представить в виде:
I U M
(2.12.12а)
I U I M
и получить два уравнения (для I и I ).
Подставив (2.12.12а) в первое уравнение из (2.12.13) после разделения переменных получим два уравнения:
G I
S I
GM
I
H LSM G § GI · Є є
U
ЁU
ё N J U S ј» I
GU © GU № ¬«
(2.12.17)
где S — постоянная разделения.
Решение для I имеет вид
Второе уравнение из (2.12.17) после замены
N J U
(2.12.18)
U дает
§
·
GI
G Ё
U
N J ё N J Є U S є I
¬
ј
ё
N J GU Ё© N J GU
№
U
или
U
Отсюда
U
G § GI · Є U
U S є I
ј
GU Ё© GU ё№ ¬
G I
GU
U
GI
GU
Є U S є I
¬
ј
(2.12.19)
или
G I
GU GI Є
S є
« » I
U GU ¬«
U »ј
(2.12.20)
Это уравнение Бесселя, решениями которого являются цилиндрические функции. Частный вид цилиндрических функций представляют функции Бесселя -S U и <S U , где -S U — функция Бесселя 1-го рода, порядка S , конечная при U ,
тогда как <S U — функция Бесселя 2-го рода, порядка S , которая при U 126
ГЛАВА 2
обращается в бесконечность, а поэтому поля, конечные на оси цилиндрической системы, она представлять не может. Между функциями -S U и <S U существует связь
Є -S U FRV SS - S U є <S U ј
VLQ SS ¬
При достаточно больших U таких, что U и U S функции -S U и <S U конечны, а их асимптотическое представление имеет вид:
-S U S ·
§
S ё (2.12.21)
FRV Ё U SU
©
№
S ·
§
S ё (2.12.22)
VLQ Ё U SU
©
№
При очень больших расстояниях от оси цилиндрической системы функции -S U <S U и <S U относятся друг к другу как cos и sin и затухают пропорционально
Такие функции удобны для представления стоячих цилиндрических волн.
Построим бегущие цилиндрические волны.
В случае плоских волн бегущую волну можно выразить так:
U .
H r LN] LZW FRV N] r L VLQ N]H LZW (2.12.23)
Выбор знака перед членом LN] в показателе экспоненты соответствует выбору
направления распространения волны в положительном или отрицательном направлении оси 2= .
Аналогично (2.12.23) строятся и цилиндрические бегущие волны: -S U соответствует косинусу, а <S U — синусу этого равенства, то очевидно, что координатные
части бегущей волны будут иметь вид:
-S U L<S U +S U -S U L<S U +S U (2.12.24)
где функции +S U и +S U , называемые функциями Ханкеля первого и второго
родов соответственно, описывают бегущие цилиндрические волны, причем +S U соответствует волне, бегущей в сторону убывающих U , а +S U описывает волну, распространяющуюся в обратном направлении (при временной зависимости
H LZW ). Для выполнения физических условий задачи в области, лишенной источников поля, в качестве решений нужно брать различные цилиндрические функции. В
области U o , физический смысл для электромагнитных полей имеет -S U , в
области бегущих волн — +S U .
Таким образом, цилиндрической волной будем называть электромагнитное поле,
векторы которого в каждый момент времени на системе замкнутых цилиндрических поверхностях U FRQVW , зависят только от азимутальной координаты M . Для
любого выбранного направления M FRQVW (в цилиндрической системе координат)
поле цилиндрической волны зависят только от координаты U . Для цилиндрической волны характерна зависимость от двух координат U и M . Для сравнения,
электромагнитное поле плоской волны зависит только от одной координаты, вдоль
которой происходит ее распространение.
Общие сведения о волновых процессах
127
Теперь можно написать решение для Ѓ] в случае изотропной и однородной
среды
Ѓ]H
\S
Зная Ѓ]H , можно найти поля:
H LSM +S §Ё N J U ·ё H r L J] LZW ©
№
wЃ]H
w]wU
(U
rLJ
w\ S
wU
(2.12.25)
G
Для поперечно-электрического поля (то есть при введении вектора Ѓ P
получаем другую формулу:
(U
P
w ­° w\ S °Ѕ
®
ѕ
UF wW °Ї wM °ї
P
LU\ S
UF
^
`
LPS w\ S
UF wW
PZ
S\ S UF
(2.12.26)
G G
Ѓ ]P ] )
(2.12.27)
При заданных Z (или N ) и J общее решение для (U можно получить как
суперпозицию частных решений (2.12.27):
(U
L J
f
¦
DS
w\ S
S f
wU
PZ
UF
f
¦
SES \ S (2.12.28)
S f
где постоянные DS и ES определяются из граничных условий задачи. Аналогичные
суммы можно составить и для других компонент поля.
2.12.2. Построение цилиндрических
волн из плоских. Плоская волна, распростраG
няющаяся в направлении [ (рис. 2.18), фиксированном в пространстве, имеет вид
H LN[ LZW (2.12.29)
G
G
[ есть расстояние в направлении [ от начала отсчёта. Но (рис. 2.18)
\
Здесь [
[
Q[ [ Q\ \ Q] ]
где
Q[
VLQ D FRV E Q\
VLQ D VLQ E Q] FRV D
G
представляют направляющие косинусы вектора [ , а [ \ ] — проекции радиусаG
вектора U плоскости равных фаз на оси декартовой системы координат.
Поэтому
H LN[ VLQ D FRV E \ VLQ D VLQ E ] FRV D LZW G
Соответствующим выбором D и E вектору нормали [ к волновому фронту
можно придать любую пространственную ориентацию. Сопоставим каждому направлению амплитуду JD E и построим суперпозицию плоских волн, которая
возможна вследствие линейности уравнений поля:
\
\[ \ ] W
H
L ZW
S S
і і JD EGEGD H
LN [ VLQ D FRV E \ VLQ D VLQ E ] FRV D
(2.12.29)
128
ГЛАВА 2
Рис. 2.18
Для цилиндрических волн, как это следует из (2.12.14), зависимость от ] выражается экспонентой H r L J] , то есть
N] FRV D
rJ] .
(2.12.30)
Это означает, что в случае цилиндрических волн угол D , образованный направлением распространением составляющих плоских волн с осью ] , постоянен.
Он определяется волновым числом и Gпостоянной распространения. Иными словами, возможные направления вектора [ образуют конус с углом D при вершине.
Следовательно, цилиндрическая волна будет выражаться через совокупность плоских волн формулой:
\[ \ ] W
H
r L J] LZW
S
і GEJEH
LN VLQ D [ FRV E \ VLQ E
(2.12.31)
G
Для того, чтобы построить цилиндрическую волну, нужно знать N и Z , то
есть четыре величины; но уравнение Гельмгольца дает связь между этими величинами, поэтому заданию подлежат толькоGтри из них.
Действительно, составляющие вектора N будут
NU
Подставив \
H
N VLQ D FRV E NM
LN[ N\ N] LZW
N VLQ D VLQ E N]
N FRV D
J
в уравнение
’ \ HP w\
F wW
получим
NU NM N]
PHZ
F
то есть
NU NM N]
N ,
(2.12.32)
Общие сведения о волновых процессах
129
Следовательно, для построения волны нужно задать три параметра, например
NU NM и Z , а N] найдем из (2.12.32). Поэтому волну \[ \ ] W можно представить
в виде следующего интеграла:
\[ \ ] W
§ ·
Ё ё
© S №
f
і і і JNU NM ZH
LNU [ NM \ N] ] ZW GNU GNM GZ
(2.12.33)
f
Здесь NU NM и Z действительны, а N] комплексно:
PHZ
N]
NU NM F
Если задан начальный вид функции (или при ] или при W в первом
случае задается вид функции в сечении ] для каждого момента времени, а во
втором — вид функции во всем пространстве в данный момент времени W ),
например
\[ \ W I[ \ W
то
I [ \ W
§ ·
Ё ё
© S №
f
і і і JN N ZH
LNU [ NM \ ZW GNU GNM GZ
(2.12.34)
f
Амплитудная функция может быть определена как обратное представление
Фурье:
JN N Z
§ ·
Ё ё
© S №
f
і і і I[ \ WH
LNU [ NM \ ZW G[G\GW
f
Заметим, что при V (отсутствие диссипации) фазовая скорость каждой компоненты цилиндрической волны в направлении оси ] определяется величиной
Y]
PHZ
N]
F
Z
N]
(2.12.35)
NU NM
то есть она зависит от Z NU NM :
Y]
Y] Z NU NM (2.12.36)
Следовательно, каждой составляющей (плоской волне) соответствует своя фазовая скорость в направлении оси ] . Это означает искажение фронта (в сечении
] FRQVW ), то есть общего решения для фронта волны (если задан фронт в сечении
] в виде функции I [ \ W ) типа I [ \ W ] Y не существует.
2.12.3. Интегральные представления цилиндрических функций. Цилиндрическая
волна, представляемая в виде суперпозиции плоских волн, имеет вид (2.12.31):
\[ \ ] W
і
H r L J] LZW GE JEH LN VLQ D[ FRV E \ VLQ E 130
ГЛАВА 2
Подставляя вместо функции \ ее выражение
I U MH r L J] LZW
\
получим
і GEJEH
I U M
LN VLQ D [ FRV E \ VLQ E
Введя полярные координаты и в показатель экспоненты [
обозначая NU VLQ D U , получим
I U M
I U I M
і GEJEH
LU FRVME
U FRV T \
U FRV T и
(2.12.37)
где
I M
H LSM S
і GEJEH
I UH LSM
LU FRVME
Произведем замену
EM
T GE
I U H
GT JE
M S
і
LSM
JM M
GTJT MH LU FRV T Предположим, что I U имеет вид:
і JTH
I U LU FRV T
GT
(2.12.38)
Далее учтем, что I U должна быть решением уравнения Бесселя (2.12.20).
Поэтому подстановка интеграла (2.12.38) в уравнение Бесселя приводит к условиям (приводим без доказательства):
1. Функция J должна быть решением уравнения
GJ
2. Выражение
GT
SJ
U VLQ T SH LU FRV T ST
(2.12.39)
при подстановке пределов должно давать нуль. Отсюда следует, что функция J
должна иметь вид:
J H LST Оказывается, что для того, чтобы I U была тождественна с цилиндрической
функцией, J надо положить равной
S
J
LS LST
H
�H S
(2.12.40)
Общие сведения о волновых процессах
131
Подставив (2.12.40) в (2.12.38), получим интегральное представление цилиндрических функций
H
=U LS
S
іH
S
L U FRV T SM
GT
(2.12.41)
&
Здесь контур & нужно подобрать так, чтобы удовлетворить условиям (2.12.39).
Возможны следующие интегральные представления для функций Ханкеля первого и второго родов:
+S U SL
f SL
і
H
UVKT ST
SL
+S U GT
f
f SL
і
H UVKT ST GT
(2.12.42)
f
Функция Бесселя -S U определится как
Є +S +S є ј
¬
При S целом ( S Q ) условие (2.12.39) выполняется при интегрировании по любому отрезку длиной S по действительной оси U . Величина H[S LQ S переходит в L Q .
Для функций Бесселя 1-го рода целого индекса получаем
-S U -S U S
VLQ SS
FRV U VLQ T ST GT S
S
і
f
іH
U VK W SW
GW
DUJ U
S (2.12.43)
В частном случае целого индекса S S { Q :
S
FRVQM U VLQ MGM
S
і
-Q U (2.12.43а)
2.12.4. Представление плоской волны через цилиндрические функции. Отбрасывая зависимость от ] и Z , для плоской волны имеем выражение (см. 2.12.31):
\[ \ H LN VLQ D[ FRV E \ VLQ E В полярных координатах получим
H LU FRVME \U M
где U NU VLQ D
Это функция, периодическая по M . Представим ее по координате M в виде ряда
Фурье:
f
¦
\U M
\ Q U HH
LQT
Q f
Коэффициенты Фурье \ Q U определятся формулой
\ Q U
S
S
і \U MH
LQM
GM
(2.12.44)
132
ГЛАВА 2
Подставим в последнюю формулу значение \U M :
S
\ Q U
Заменив E M
S
іH
LU FRVME LQM
GM
T (при этом интервал интегрирования не изменится), получим
S
\ Q U
S
іH
LU FRV T LQE LQT
S
S S
LQE LQ LQ H
H
H
S
\ Q U
GT
іH
LU FRV T QT
GT
или
\ Q U
L Q H LQE
H
LQ
S
S
іH
S
LU FRV T QT
GT
L Q H LQE -Q U Полученное значение \ Q U подставим в сумму (2.12.44):
\U M
H LNU VLQ D FRVEM
¦ LQ HLQEHLQM -Q NU VLQ D
(2.12.45)
Q
Таким образом, мы получили разложение плоской волны в ряд по цилиндрическим функциям.
Из формулы (2.12.45) получаем полезные формулы:
¦ LQ HLQME -Q U
H LU FRVME
¦ LQ HLQT -Q U
H LU FRV T
Положив
T
получим
H
LU VLQ \
Откуда
¦L
f
FRVU VLQ \
при Q
GQ
S
H LQ\ - U Q
¦
¦
-Q U VLQ Q\
Q f
где GQ
H
LQ
-Q U FRV Q\
Q f
f
VLQU VLQ \
Q
S
\
f
¦ HLQ\ -Q U
¦ GQ -Q U FRV Q\
Q f
¦ -Q VLQ ^Q \` Q при Q ! , т.к. -Q [
Q -Q [
(2.12.46)
Общие сведения о волновых процессах
133
2.12.5. Преобразование Фурье-Бесселя. Рассмотрим интеграл Фурье для двух
переменных:
S
I [ \
f
іfі JN N H
LN[ N\
GNGN (2.12.47)
Произведем замену переменных
[
U FRV M
N
O FRV E
\
U VLQ M
N
O VLQ E
(2.12.48)
то есть замену одинаковым способом как для пространства [ \ так и для пространства N . В последнем случае O играет роль радиуса-вектора, E — роль азимута.
Подставив (2.12.45) в (2.12.44), получим
f
OG O
S
і
I U M
S
і GEH
LOU FRVEM
JO E
(2.12.49)
LOU FRVEP
(2.12.50)
Обратное преобразование имеет вид
f
UGU
S
і
JO E
S
і GPIU PH
Применив соотношения (2.12.46) и (2.12.47) для цилиндрических функций IQ UH LQM получим пару преобразований Фурье Бесселя:
f
IQ U
і JQ O-Q OUOGO
(2.12.51)
f
і IQ U-Q OUUGU
JQ O
(2.12.52)
Решение волнового уравнения в цилиндрических координатах для заданных N и
Z будет иметь вид
\
J
H LZW
N] ¦ HLQM IQ UHr LJ] Q
NU
NM N]
(2.12.53)
N С учетом (2.12.48) вместо (2.12.53) можно записать:
\
H
LZW
f
¦ H і JQ O-Q OUHr L
Q
LQM
N O
OGO
(2.12.54)
2.13(*). Сферические волны
Рассмотрим решение скалярного уравнения Гельмгольца в сферических координатах относительно функции \ U T M , представляющей собой какую-либо со-
134
ГЛАВА 2
G
G
ставляющую векторов ( или + :
w
U wU
w Є
w\ є
Є w\ є
VLQ T
« U wU » «
wT »ј
¬
ј U VLQ T wT ¬
w\
U VLQ T wM
N \
(2.13.1)
Уравнение (2.13.1) решается методом разделения переменных, в соответствии с
которым представим функцию \ U T M в виде:
\ U T M 5 U ) T ) M (2.13.2)
Подставив выражение (2.13.2) в уравнение Гельмгольца (2.13.1), получаем:
G
5 U U GU
G Є
G) є
Є G5 є
« U GU » ) T « VLQ T GT » G
T
¬
ј
¬
ј
U VLQ T
(2.13.3)
G)
N ) M U VLQ T GM
Из уравнения (2.13.3) следуют соотношения:
VLQ T G
5 U GU
G Є
G) є
Є G5 є
« U GU » N U VLQ T ) T VLQ T GT « VLQ T GT »
¬
ј
¬
ј
G)
) M GM
P (2.13.4)
P где P — постоянная разделения переменных.
Разделяя переменные в первом уравнении (2.13.4), получаем:
G Є G5 є
U
N U 5 U GU «¬ GU »ј
P
VLQ T
G Є
G) є
VLQ T
«
GT »ј
) T VLQ T GT ¬
Q Q где Q — постоянная разделения переменных.
В результате получаем три несвязанных дифференциальных уравнения относительно функций 5 U , ) T и ) M :
G ) M GM
P) M G) T є Є
G Є
P є
» ) T
«VLQ T
» « Q Q VLQ T GT ¬«
GT ј» «¬
VLQ T »ј
G
GU
Є G5 U є
«U
» Є¬N U Q Q єј 5 U GU
¬«
ј»
(2.13.5)
Первое уравнение имеет два линейно независимых решения:
)F M
где P
FRV PM ) V M — целое положительное число.
VLQ PM (2.13.6)
Общие сведения о волновых процессах
135
Решения ) T второго уравнения (2.13.5) должны принимать конечные значения
при T S и записываются в виде присоединенных полиномов Лежандра первого
рода 3QP FRV T ( P — порядок полинома; Q — его степень):
) T
3QP FRV T (2.13.7)
При P присоединенные полиномы Лежандра называют полиномами Лежандра
и обозначают через 3Q FRV T .
Произвольная поверхностная сферическая гармоническая функция может быть
представлена в виде суммы:
f
¦ DQP FRV PM EQP VLQ PM 3QP FRV T
1 T M (2.13.8)
Q где DQP EQP — коэффициенты разложения.
В ряд по сферическим поверхностным функциям 1 T M (2.13.8) можно разложить произвольную функцию * T M :
* T M f
¦ Є¬DQ3Q FRV T Q f
¦ DQP FRV PM EQP VLQ PM
P 3QP
є
FRV T » »ј
В третьем уравнении (2.13.5) перейдем к безразмерной переменной U
дем функцию * 5 U и перепишем его следующим образом:
U
G Є G* U є Є ·є
§
«U
» «U Q Ё Q ё » * U GU «¬
GU »ј ¬
№ј
©
(2.13.9)
NU , вве-
(2.13.10)
Линейно независимые решения уравнения (2.13.10) представляют собой сферические функции Бесселя первого и второго родов вида:
MQ U S
-Q U 1Q U U
S
<Q U U
где -Q U и <Q U — цилиндрические функции Бесселя и Неймана порядка Q .
Зачастую удобно использовать функции Риккати-Бесселя, которые определяются следующими выражениями:
SU
-Q U \ Q U UMQ U (2.13.11)
SU
<Q U FQ U U1Q U Любая линейная комбинация \ Q U и FQ U является решением уравнения
(2.13.10). Кроме того, решением также являются функции Риккати-Ханкеля:
[Q U \ Q U LFQ U [Q U \ Q U LFQ U (2.13.12)
136
ГЛАВА 2
Таким образом, было найдено решение скалярного уравнения Гельмгольца (2.13.1),
которое с учетом (2.13.6), (2.13.7) принимает вид:
\ F PQ
]Q NU 3QP FRV T FRV PM \ V PQ
]Q NU 3QP FRV T VLQ PM (2.13.13)
где ]Q NU — любая из четырех сферических бесселевых функций \ Q U , FQ U ,
[Q U или [Q U .
Суммируя решения (2.13.13) с учетом (2.13.9), получаем общее решение уравнения Гельмгольца (2.13.1):
\ U T M f
¦ ]Q NU ^DQ3Q FRV T Q (2.13.14)
Ѕ°
DQP 
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
2 527 Кб
Теги
part
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа