close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

part 8

код для вставкиСкачать
342
Глава
8
ГЛАВА 8
Возбуждение
волноводов и
резонаторов
8.1. Ортогональность собственных функций краевых задач для экранированных волноводов ...................................................................................................................................................................... 343
8.2. Ортогональность собственных волн в волноводах .................................................................... 344
8.3. Возбуждение волн в волноводах ................................................................................................................. 350
8.4(*). Ортогональность собственных колебаний объемных
резонаторов ............................................................................................................................................................................... 355
8.5(*). Возбуждение колебаний в объемных экранированных
резонаторах ............................................................................................................................................................................... 357
8.6(*). Возбуждение волн в рупорах ................................................................................................................... 360
8.7(*). О возбуждении колебаний, описываемых соленоидальными
функциями .................................................................................................................................................................................. 365
8.8(*). О возбуждении открытых направляющих структур ....................................................... 366
*) Символом «*» отмечены разделы и параграфы для самостоятельного и углубленного изучения материала.
Возбуждение волноводов и резонаторов
343
Глава 8. Возбуждение волноводов и резонаторов
Свободные волны волноводов и свободные колебания резонаторов — это
возможные поля в этих структурах при отсутствии внешних источников энергии.
В реальных ситуациях электромагнитные поля в объемных резонаторах и направляющих структурах бывают вынужденными, возбуждаемыми конкретными
источниками, играющими роль антенн. Вынужденные поля, таким образом, выступают как следствие действия источников. При определенных условиях (при слабой
связи электродинамической структуры с источником энергии) вынужденные поля
могут быть по своему строению близки к свободным полям соответствующих типов, однако амплитуды их вполне конкретны и определяются мощностью и параметрами источников. В общем случае вынужденные поля конструируются математически как суперпозиции свободных полей, то есть представляются в виде разложений по полям собственных волн и собственных колебаний, которые обладают
свойством ортогональности, поскольку описываются решениями однородных краевых задач.
8.1. Ортогональность собственных функций краевых задач для
экранированных волноводов
Поля собственных волн однородно заполненного регулярного экранированного
волновода, в принципе любого поперечного сечения (рис. 8.1), описываются решениями краевых задач на уравнении Гельмгольца
’ X F X
(8.1.1)
с граничными условиями вида
wX
(8.1.2)
EX wQ
/
где / — контур поперечного сечения внутренней идеально проводящей поверхности
G
экрана, Q — нормаль к ней; под X можно понимать потенциальные (мембранные)
функции; F — поперечное волновое число.
В случае волн электрического типа, когда в (8.1.1) X < H , в (8.1.2) D ; в
случае волн магнитного типа, когда X < P , в (8.1.2) E .
Не нарушая общности рассуждений, можно положить D и записать тождество
D
wX
wY
Y G X G
wQ
wQ
wY
§ wX
·
Y Ё G E X ё X §Ё G E Y ·ё © wQ
№
© wQ
№
где Y — также решение краевой задачи (8.1.1), (8.1.2.).
Используя формулу Грина
G
§ Y w XG X w YG · G O Y 'X X 'Y G6
Ё
ё
wQ №
© wQ
і
6
і
/
(8.1.3)
(8.1.4)
344
ГЛАВА 8
/
/
а)
б)
Рис. 8.1
с учетом (8.1.3) получаем
Є § wX
·
§ wY
·є
і Y 'X X 'Y G6 і ««¬Y ЁЁ© w QG E X ёё№ X ЁЁ© w QG E Y ёё№»»ј GO 6
(8.1.5)
/
где 6 — площадь поперечного сечения волновода, ограниченная контуром / .
Если X X P Y YN — собственные функции краевой задачи (8.1.1), (8.1.2), то
уравнение (8.1.5) можно переписать в виде
G
ЄY § w XG E X · X § w YG E Y · є G O FN FP X P XN G6
Ё
ё
Ё
ё
(8.1.6)
«¬ © w Q
№
© wQ
№ »ј
і
і
6
/
где FN и F P — собственные значения краевой задачи.
В силу граничного условия (8.1.2) правая часть (8.1.6) равна нулю, в результате
чего имеем
FN FP і X P XN G6 6
отсюда следует, что
і XP XN G6
6
1 G PN
­ P z N ®
Ї 1 P N (8.1.7)
где G PN — символ Кронекера. При этом собственные функции могут быть отнормированы таким образом, что 1 .
Условие (8.1.7) называется условием ортогональности собственных функций
краевой задачи для однородного волновода с идеально проводящей внутренней
поверхностью. Оно используется при решении различных дифракционных задач, в
частности, задач о стыковке направляющих структур различных поперечных сечений.
8.2. Ортогональность собственных волн в волноводах
Рассмотрим волновод, понимая под последним любую направляющую структуру,
электромагнитное поле в которой ограничено экраном (рис. 8.2). Если внутренняя
поверхность S экрана идеально проводящая, на ней выполняется граничное условие
G
> QG ( @ 6 (8.2.1)
G
где Q — нормаль к поверхности 6 . Если внутренняя поверхность экрана имеет
конечную проводимость, поле проникает за ее пределы на глубину порядка толщины
Возбуждение волноводов и резонаторов
345
H P H P 6
6
Рис. 8.2
скин-слоя G . При этом на поверхности 6 внутри экрана, расположенной на глубине, значительно превышающей толщину скин-слоя, можно полагать выполненным условие
G
G
( + 6
(8.2.2)
говорящее о том, что электромагнитное поле не выходит за пределы поверхности
6 (рис. 8.2).
Будем считать волновод бесконечным и регулярным по оси 2= . Последнее
означает, что его параметры (заполнение, конфигурация и размеры поперечного
сечения) не зависят от продольной координаты. В этом случае решения однородной
системы уравнений Максвелла имеют продольную зависимость вида
G G
(8.2.3)
( + a H r L J] где J Z Y — продольное волновое число, и описывают собственные волны
рассматриваемой направляющей структуры, образующие дискретный спектр.
Продольное волновое число в (8.2.3) при наличии потерь (внутренняя поверхность экрана не идеально проводящая; H и P среды, заполняющей волновод,
комплексные величины) является комплексной величиной. Приписывая каждой
собственной волне указанного дискретного спектра номер Q , ее продольное волновое число будем обозначать как J Q . При этом прямым волнам (распространяющимся вдоль оси 2= ) будут соответствовать индексы n и ,P J Q , обратным
волнам (распространяющимся навстречу оси OZ) будут соответствовать индексы
Q и ,P J Q ! .
Общее решение краевых задач на однородных уравнениях Максвелла с граничными условиями (8.2.1) или (8.2.2) можно представить в виде
G
G
G
G
G
G
(
&Q (Q & Q ( Q +
&Q +Q & Q + Q (8.2.4)
¦
Q
¦
Q
то есть бесконечными суммами полей собственных волн с произвольными, не
связанными между собой коэффициентами &Q и & Q . Связь между этими коэффициентами возникает либо при представлении в виде (8.2.4) решения краевых
346
ГЛАВА 8
6
2
G
Q
6
6
]
]
=
G
Q
Рис. 8.3
задач на неоднородной системе уравнений Максвелла (то есть фактически при
решении задачи о возбуждении), либо в том случае, когда нарушается регулярность волновода и решается задача дифракции. Запись (8.2.4) соответствует представлению поля в направляющей структуре в виде бесконечных наборов полей
прямых и обратных собственных волн, описываемых решениями однородных краевых задач. Индекс Q в этой записи объединяет группу индексов, используемых
при классификации волн в направляющих структурах. При продольной зависимости поля (8.2.3) волновые числа волн с индексами Q и Q связаны соотношением
J Q J Q .
Поля любых двух собственных волн из наборов (8.2.4) согласно лемме Лоренца
связаны уравнением
G
G G
G G
> ( Q + Qc @ > ( Q c + Q @ G6 (8.2.5)
і
6
где 6 6 6 6 — поверхность, ограничивающая поле в участке волновода,
заключенном между сечениями 6 и 6 (рис. 8.3). На поверхности 6 выполняется
граничное условие (8.2.2). Если внутренняя поверхность волновода идеально
проводящая, то с 6 в (8.2.5) отождествляется эта поверхность с граничным условием
на ней (8.2.1).
Поскольку подинтегральные функции в (8.2.5) могут быть представлены в виде
G
G G G
G
G G
G G
> (Q +Qc @ G6 > G6 (Q @ +Qc (QW +Qc G6 G
G G
G
G G
G
G
G
> (Qc +Q @ G6 > G6 (Qc @ +Q (QcW +Q G6
при любом варианте граничного условия на экранирующей поверхности волновода
интеграл по поверхности 6 в (8.2.5) равен нулю. В результате имеем
G
G G
G G
> (Q +Qc @ > (Qc +Q @ G6 і
6 6
или
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
і > (Q +Qc @ > (Qc +Q @ G6 і > (Q +Qc @ > (Qc +Q @ G6 6
6
(8.2.6)
Возбуждение волноводов и резонаторов
347
Поскольку сечения 6 были выбраны произвольно, можно утверждать, что интеграл
G
G G
G G
> ( Q + Q c @ > ( Q c + Q @ G6 , Q Qc
(8.2.7)
і
6S
исходя из (8.2.6), не зависит от продольной координаты ] , то есть имеет одно и то
же значение в любом поперечном сечении 6S рассматриваемого волновода.
При продольной зависимости поля (8.2.3) интеграл (8.2.7) можно представить в виде
, Q Qc
, QQc H L J Q J Qc ] (8.2.8)
Запись (8.2.8) соответствует подстановке в (8.2.7) полей прямых волн.
Из (8.2.8) следует, что интеграл , QQc не будет зависеть от ] только при
выполнении одного из двух условий
, QQc { либо J Qc J Q (8.2.9)
J Q при отсутствии вырождения выполняется лишь в случае
Равенство J Qc
Qc Q .
Независимость интеграла (8.2.7) от продольной координаты ] с учетом (8.2.9)
приводит к условию ортогональности собственных волн волновода:
G
G G
G G
Qc z Q > (Q +Qc @ > (Qc +Q @ G6 ­® 1
(8.2.10)
Qc Q Ї Q
і
6S
Из уравнений Максвелла
G
G
G
G
URW ( LZP D + URW + LZH D (
следует, что компоненты электромагнитных полей прямой и обратный собственных
волн в любой ортогональной системе координат ^ T T T ` связаны соотношениями
( QT r (QT ( QT r (QT ( QT B (QT (8.2.11)
+ QT B +QT + QT B +QT + QT r +QT получаемыми с учетом того, что для прямой волны w w ]
w w] L J Q .
Соотношения (8.2.11) позволяют уравнение
G
G G
G
G
> ( Q + Q c @ > ( Q c + Q @ G6 L J Q , для обратной
і
6S
являющееся частным вариантом (8.2.10), переписать в виде
G
G G
G G
> ( Q + Q c @ > ( Q c + Q @ G6 і
6S
(8.2.12)
при Qc z Q .
Объединяя соотношения (8.2.10) и (8.2.12), получаем запись условия ортогональности собственных волн в виде
G
G G
Qc z Q > (Q +Qc @ G6 ­®
(8.2.13)
Qc Q Ї 1Q
і
6S
где величина 1 Q называется нормой n-й собственной волны волновода.
348
ГЛАВА 8
В волноводах с идеально проводящими стенками, заполненных средой без потерь ( H и P действительные величины), когда потенциальные функции < H P ,
входящие в запись векторов Герца
< H P T T H r L J T – H] P
( T T T — обобщённые координаты) являются действительными функциями поперечных координат, справедливы соотношения
+QT
KQ ] +QT
+QT
KQ ] +QT
(8.2.14)
где KQ ] — функция продольной координаты, соответствующая n-й собственной
волне волновода.
При выполнении равенств (8.2.14) условие ортогональности можно переписать в
виде
G
G G
Qc z Q (8.2.15)
> (Q +Q c @ G6 ­®
Qc Q Ї 1Q
і
6S
В (8.2.15) норма 1 Q имеет вполне определенный физический смысл: 5H ^ 1 Q ` —
средний за период поток мощности, переносимой n-й собственной волной через
поперечное сечение волновода.
Условие ортогональности в форме (8.2.15) указывает на то, что собственные
волны в направляющих структурах без диссипации энергии являются не связанными
между собой, ибо их взаимные потоки мощности, как следует из (8.2.15) равны
нулю. Запись условия ортогональности собственных волн в виде (8.2.15) иногда
называется энергетической.
Вычислим комплексную мощность, переносимую суммарным полем
G
G
G
G
(
&Q (Q +
&Qc (Qc
¦
¦
Qc
Q
в волноводе без диссипации энергии.
Получаем выражение
G
G G
> ( + @ G6
G
G
G
¦¦ &Q&Qc і > (Q +Q c @ G6
і
Q
6S
¦
Q
&Q і
Qc
G
G G
> (Q +Q @ G6 6S
(8.2.16)
6S
из которого следует, что мощность, переносимая суммой волн через поперечное
сечение волновода, равна сумме мощностей, переносимых каждой волной. Поскольку
формула для вычисления общего потока мощности получилась в виде (8.2.16)
благодаря тому, что все интегралы с Qc z Q обратились в нуль, можно сказать,
что условие ортогональности (8.2.15) физически отражает факт независимости мощностей, переносимых различными собственными волнами.
Условие ортогональности собственных волн играет основополагающую роль при
решении задач дифракции для экранированных направляющих структур. Общий
подход к решению таких задач рассмотрим на примере стыка двух регулярных
волноводов с различными поперечными сечениями (рис. 8.4).
Возбуждение волноводов и резонаторов
,
,,
6
349
=
6
Рис. 8.4
G G G Поля
собственных
волн
стыкуемых
волноводов
обозначим
как
(
,
+
и
(
Q
Q
Q ,
G
+Q соответственно. Стык может возбуждаться со стороны любого волновода как
одной волной, так и, в общем случае, их произвольной суперпозицией.
В плоскости ] должны выполняться условия непрерывности тангенциальных компонент поля
G
G
G
G
( W ( W + W + W (8.2.17)
Первое из них в развернутом виде выглядит следующим образом:
G
G ­ ( W
T Џ 6 (W
®
T Џ 6 6 Ї
(8.2.18)
где T — обобщенные поперечные координаты; 6 — площади поперечных
сечений соответствующих волноводов (рис. 8.4).
Перепишем первое граничное условие (8.2.17) в виде
G G
G G
(8.2.19)
> Q ( @ > Q ( @ G
где Q — нормаль к плоскости ] .
G
Умножим равенство (8.2.19) скалярно на +Q и проинтегрируем в соответствии
с (8.2.18) по поперечным сечениям волноводов:
G
G
G G
G G
(8.2.20)
> Q ( @ +Q G6
> Q ( @ +Q G6 і
і
6
6
Сделав соответствующие перестановки, переписываем (8.2.20) в виде
G
G
G
G
G
G
> ( +Q @ G6
> ( +Q @ G6 і
і
6
С учетом того, что
G
( ¦ &Q (Q G
( Q
уравнение (8.2.21) переписываем в виде
G
G G
&Q > (Q +N @ G6
¦
Q
(8.2.21)
6
і
6
¦ &N (N (8.2.22)
N
&N
G
G
G
і > (N +N @ G6 (8.2.23)
6
В (8.2.23) благодаря использованию условия ортогональности собственных волн
второго волновода в правой части из всей суммы осталось лишь одно слагаемое.
350
ГЛАВА 8
Второе граничное условие (8.2.17) переписываем в виде
G G
G G
> Q + @ > Q + @ G
Умножая его на (Q скалярно и интегрируя по поперечному сечению первого
волновода (именно в пределах этого сечения согласуются магнитные поля
волноводов), получаем
G G G @ (Q G6
G G G @ (Q G6 і>Q +
і>Q +
6
6
Делая соответствующие перестановки в подинтегральных выражениях, приходим
к уравнению
G
G
G
G
і > (Q + @ G6
6
которое с учетом того, что
G
+ 6
G
G
+ ¦ &Q +Q G
¦ &N +N Q
переписываем в виде
G
G
6
(8.2.24)
N
G
¦ &N і > (Q +N @ G6
N
G
G
і > (Q + @ G6 &Q
G
G
G
і > (Q +Q @ G6 (8.2.25)
6
Уравнения (8.2.23), (8.2.25) образуют систему линейных алгебраических уравнений
относительно коэффициентов &Q и &N . Система неоднородная и, в общем случае,
бесконечная. Неоднородность объясняется тем, что стык волноводов возбуждается
ограниченным спектром волн с заданными амплитудами. Система бесконечная потому, что на стыке, вообще говоря, возбуждается весь спектр отраженных волн
волновода, со стороны которого происходит возбуждение стыка, и весь спектр
прошедших волн волновода, в который передается энергия. В общем случае Q и N
в (8.2.22) и (8.2.24) могут принимать как положительные, так и отрицательные
значения.
8.3. Возбуждение волн в волноводах
При рассмотрении задачи о возбуждении волн в волноводе обратимся к рис. 8.3.
Предположим, что все источники поля находятся в выделенном участке волновода ] Џ > ] ] @ . Полагая волновод бесконечным по оси 2= , поле справа от
источников записываем как сумму полей прямых собственных волн (волн, распространяющихся вдоль оси 2= ):
G
G
G
G
(
&Q (Q +
&Q +Q (8.3.1)
¦
Q
¦
Q
Возбуждение волноводов и резонаторов
351
поле слева от источников — как сумму полей обратных собственных волн (волн,
распространяющихся навстречу оси 2= ):
G
(
G
G
+
¦ & Q ( Q G
¦ & Q + Q Q
(8.3.2)
Q
В записи леммы Лоренца
G G
G
G G
і > ( + @ > ( [email protected] G6
6
GH G
GH G
GP G
GP G
M
(
M
(
M
+
M
+ G9 і
(8.3.3)
9
где 6 6 6 6 , сечения 6 находятся за пределами области источников;
MHP — объемные плотностиG электрического
и магнитного токов.
G
G G
В (8.3.3) в качестве
поля
(
,
+
возьмем
искомое
поле возбуждения ( , + , в
G
G
качестве поля ( , + будем брать поля собственныхG волн
G волновода, входящие в
источников
разложения: (8.3.1), (8.3.2). Таким образом, поле ( , + вG области
G
удовлетворяет неоднородным уравнениям Максвелла; поля ( r Q , + r Q — решения
однородной краевой
G
G задачи.
G
G
Так как ( , + в (8.3.3) — поля собственных волн, MH MP . В результате
уравнение (8.3.3) перепишется в виде
G
G G
G
G
G G
G G
> ( + Q @ > ( Q + @ G6
M H ( Q M P + Q G9 і
і
6
і
G
G G
G G
> ( +Q @ > (Q + @ G6
6
9
і
G G
G G
M H (Q M P + Q G9 (8.3.4)
9
G
G G
где M H P — источники, создающие поле ( , + .
Интегралы по поверхности 6 обращаются в нуль, поскольку это либо идеально
проводящая внутренняя поверхность, либо поверхность, расположенная на достаточной глубине в стенках волновода. Поэтому все интегрирование в (8.3.4) сводится
к интегрированию по поперечным сечениям 6 . При этом в сечении 6 поле
представляется разложениями (8.3.2), в сечении 6 — разложениями (8.3.1).
С использованием условия ортогональности (8.2.10) получаем
G
G G
G
G
( + Q ( Q + G6
& Q , QQ і>
6
@ >
@
G G
G
G
( + Q ( Q +
і >
6
@ >
@
¦
G
G
G G
G G
( +Q (Q +
G
G6
G G
G
Q
G
G6
¦ &Q ,QQ
і >( +Q @ >(Q + @ G6 ¦ & Q ,QQ
6
і >
6
@ >
@
&Q 1Q Q
& Q 1 Q Q
¦ &Q ,QQ
Q
(8.3.5)
352
ГЛАВА 8
Из (8.3.4) и (8.3.5) получаем следующие выражения
&Q
& Q
1Q
іM
GH G
G G
( Q M P + Q G9 9
1Q
і
G G
G G
M H (Q M P + Q G9
(8.3.6)
9
для коэффициентов разложений (8.3.1) и (8.3.2), в которых
интегрирование произвоG G
дится по объему источников, создающих поле ( , + . Зная эти коэффициенты,
можем рассчитать поле возбуждения слева и справа от источников, однако соотношения (8.3.1), (8.3.2) и (8.3.6) не позволяют определить поле в области ] Џ > ] ] @ ,
занятой источниками. Для нахождения поля в произвольной точке G] указанной
области будем мысленно из ' ] окрестности этой точки удалять токи M H P . Тогда в
слое ' ] , свободном от источников, будут справедливы формулы (8.3.6) и представления полей (8.3.1), (8.3.2).
С учетом этого источники, расположенные слева от выделенного слоя ' ] , при
'] o создадут в сечении ] поле, представляемое разложением (8.3.1) с
коэффициентами, определяемыми как
&Q
1Q
]
GH G
G G
( Q M P + Q G9 іM
(8.3.7)
]
Источники, расположенные справа от слоя ' ] , создадут при '] o в сечении ]
поле, представляемое разложением (8.3.2) с коэффициентами
& Q
1Q
]
GH G
G G
(Q M P + Q G9 іM
(8.3.8)
]
Пределы в интегралах (8.3.7), (8.3.8) показывают, что интегрирование производится
по всему объему источников, заключенному между соответствующими сечениями
волновода.
Необходимо заметить, что определяя указанным образом поле в сечении ] ,
мы не учитываем возникающих при этом разрывов на слое ' ] электрического
и магнитного токов. В результате этих разрывов на границах слоя возникают
поверхностные заряды [ H P . Изменяющиеся во времени с частотой Z
поверхностные заряды создают эквивалентные токи
MH
L Z[ H M P L Z[ P которые, являясь токами смещения, создают соответствующие поля
G
G
L GH
L GP
([ M +[ M (8.3.9)
HDZ
PDZ
Результирующее поле в сечении ] будет суперпозицией полей, определяемых разложениями (8.2.4) с коэффициентами (8.3.7) и (8.3.8), и полей (8.3.9),
создаваемых токами смещения. Поскольку в реальной ситуации разрывов
электрического и магнитного токов в сечении ] не происходит, поля (8.3.9)
необходимо вычесть из полей, определяемых разложениями (8.2.4), поскольку
последние учитывают вышеуказанные разрывы токов в сечении ] . В результате
Возбуждение волноводов и резонаторов
<
353
экран
E
G
MP
G
MP
O
[
D
;
=
Рис. 8.5
имеем
G
( ]
G
G
L G
¦ &Q (Q & Q ( Q H D Z M H
Q
G
+ ]
G
G
L G
¦ &Q +Q & Q + Q P D Z M P Q
где коэффициенты &Q и & Q вычисляются по формулам (8.3.7), (8.3.8), а аргумент z
указывает на принадлежность поля произвольному сечению ] из интервала
] Џ > ] ] @ .
Вне указанного интервала поля определяются разложениями (8.3.1) и (8.3.2) с
коэффициентами, вычисляемыми по формулам (8.3.6). В качестве сторонних
магнитных токов в этих формулах выступают различные рамочные вибраторы,
щели и отверстия в стенках волновода.
В качестве примера рассмотрим задачу о возбуждении волн в прямоугольном
волноводе источником в виде тонкого линейного тока (рис. 8.5), ориентированного
вдоль оси 2< с комплексной амплитудой
G
G
M H , G [ [ G ] ] H (8.3.10)
G
где H — единичный вектор, направленный вдоль оси 2< .
В общем случае такой источник возбуждает весь спектр H- и E-волн,
описываемых, соответственно, магнитным и электрическим векторами Герца
§ SP ·
§ SQ · r L J]
$ FRV Ё
[ ё FRV Ё
\ё H
D
©
№
© E №
(8.3.11)
§ SP ·
§ SQ · r L J]
H
– ] % VLQ Ё
[ ё VLQ Ё
\ё H
© D №
© E №
G
G
где
«–» соответствует обратным волнам ( Q + Q , знак «+» — прямым
G знак
G
(Q +Q .
Амплитудные коэффициенты волн, возбуждаемых источником (8.3.10), вычисляем
по формулам (8.3.6), которые в данном случае записываются в виде
GH G
GH G
( +
( +
&Q &PQ
M ( Q G9 & Q & PQ
M (Q G9 (8.3.12)
1Q
1Q
– ]P
і
9
і
9
354
ГЛАВА 8
где
G
G
G
G
G
і > (Q + Q @ > ( Q +Q @ G6 1Q
(8.3.13)
6
6 — площадь поперечного сечения волновода; индексы ( и + указывают на
принадлежность коэффициента волне соответствующего типа.
Подставляя компоненты поля, выраженные через векторы Герца (8.3.11), по
формулам:
G
G
( JUDG GLY 3 H] Z H D P D 3 H] + L ZH D URW 3 H]
для волн типа E и
G
(
G
L ZP D URW 3 ]P +
JUDG GLY 3 ]P Z H D P D 3 ]P
для волн типа H в формулу (8.3.13), получаем:
DE Є § SP ·
§ SQ · є «Ё
ё »$ ё Ё
«© D №
© E № »ј
¬
(8.3.14)
DE Є § SP ·
§ SQ · є (
«Ё
1 Q( 1 PQ
ZH D J
ё »% ё Ё
«© D №
© E № »ј
¬
Значения интегралов в (8.3.12) для H- и E-волн после подстановки в них плотности
тока (8.3.10) и компоненты ( \ , выраженной через соответствующий вектор Герца
(8.3.11), записываем как
1 Q+
+
1 PQ
, r+Q
L ZP D
, r(Q
r L J ,P
ZP D J
EP
§ SP
·
§ SQ · r L J]
, P $ VLQ Ё
[ ё VLQ Ё
Oё H
D Q
D
©
№
© E №
§ SP
·
§ SQ · r L J]
% VLQ Ё
[ ё VLQЁ
Oё H
© D
№
© E №
(8.3.15)
Подставляя (8.3.14) и (8.3.15) в формулу (8.3.12), получаем коэффициенты
&r+PQ
&r+PQ
§ SP
·
§ SQO ·
[ ё VLQЁ
S PO , P VLQЁ
ё
© D
№
© E № H r L J ] SQO
Є § SP · § SQ · є
D E J « Ё
ё Ё
ё »$
E
© E № »ј
«¬ © D №
§ SP
·
§ SQO ·
[ ё VLQЁ
, P VLQЁ
ё
© D
№
© E № H r L J ] Є § SP · § SP · є
ZH D DE « Ё
ё Ё
ё »%
© E № »ј
«¬ © D №
(8.3.16)
входящие в представление поля возбуждения в области вне источников в виде
(8.3.1), (8.3.2). В (8.3.16) обозначено: $ L $ % L % , где $ и % — амплитудные
коэффициенты в (8.3.11). Как видно из (8.3.16), амплитуда возбуждаемой волны
зависит от места расположения тока, его амплитуды и типа волны.
Возбуждение волноводов и резонаторов
355
6
6
Рис. 8.6
8.4(*). Ортогональность собственных колебаний
объемных резонаторов
Поля собственных колебаний объемов, ограниченных металлическими экранами (рис. 8.6), описываются решениями однородной краевой задачи на уравнениях
Максвелла для комплексных амплитуд
G
G
G
G
(8.4.1)
URW ( L ZP D + URW + L ZH D (
с граничным условием
G
(W
6
(8.4.2)
на поверхности 6 , ограничивающей резонансный объем 9 . При этом под поверхностью 6 в (8.4.2) понимается либо внутренняя поверхность экрана резонатора, если она идеально проводящая, либо поверхность 6 в толще экрана, на
которой за счет скин-эффекта поле практически
G равно нулю (рис. 8.6). В этом
(
случае в нуль обращается все
поле,
а
не
только
W.
G
G
Запишем для колебания (Q , +Q систему однородных уравнений Максвелла
G
G
(8.4.3)
URW (Q L Z Q P D +Q G
G
(8.4.4)
URW +Q L Z Q H D (Q G
G
а для колебания (Qc , +Qc систему, комплексно сопряженную (8.4.3), (8.4.4):
G
G
URW (Q c L ZQc P D + Q c (8.4.5)
G
G
(8.4.6)
URW +Qc L Z Qc H D (Qc В выше приведенных уравнениях частоты собственных колебаний Z Q и Z Qc
являются комплексными величинами, когда граничное условие (8.4.2) выполняется
в толще экранирующей поверхности. В том случае, когда условие (8.4.2)
соответствует идеально проводящей внутренней поверхности, частоты являются
действительными величинами, и знак комплексной сопряженности над ними в
уравнениях (8.4.5), (8.4.6) можно не ставить.
G
G
Уравнение (8.4.3) умножим скалярно на +Q c , а уравнение (8.4.6) на (Q и вычтем
из первого второе. В результате получаем
G G
G G
G G
(8.4.7)
GLY > (Q + Q c @ L ZQc H D (Q (Q c L Z Q P D +Q +Q c 356
ГЛАВА 8
G
G
Аналогичным образом уравнение (8.4.4) умножим на (Q c , а (8.4.5) на +Q и также
вычтем из первого уравнения второе
G G
G G
G G
(8.4.8)
GLY > (Q c + Q @ L ZQc P D + Q + Q c L Z Q H D (Q (Q c Проинтегрируем уравнения (8.4.7), (8.4.8) по всему объему резонатора и с учётом
теоремы Остроградского-Гаусса получим:
G
G G
G G
G G
> (Q +Q c @ G6 L ZQc H D (Q (Q c G9 L ZQ P D +Q +Q c G9 і
6
і
і
9
G
G G
> (Q c +Q @ G6
L ZQc
6
і
і
9
G G
G G
P D + Q + Q c G9 L ZQ H D (Q (Q c G9 і
9
(8.4.9)
9
где 6 — внутренняя поверхность экрана резонатора, если она идеально проводящая, и 6 6 (рис. 8.6), если поле обращается в нуль в толще экрана.
В первом случае поверхностные интегралы в (8.4.9) обращаются
в нуль ввиду
G
того, что подинтегральные выражения пропорциональны ( W :
G
G G
G G G
> (Q +Q c @ G6 > Q (Q @ +Q c G6 G
G G
G
G
> (Q c +Q @ G6 > Q (Q c @ +Q G6 во втором — ввиду того, что электромагнитное поле в толще экрана к поверхности
6 спадает до нуля.
В результате получаем систему уравнений относительно частот ZQ и ZQc
G G
G G
ZQc і H D (Q (Q c G9 Z Q і PD +Q +Q c G9 9
9
G G
G G
ZQc і PD +Q +Q c G9 Z Q і HD (Q (Q c G9 9
9
из которой следуют равенства
G G
> ZQ ZQc @ і H D (Q (Q c G9
>
9
ZQ
(8.4.10)
ZQc @і
G G
P D + Q +Q c G9
(8.4.11)
9
приводящие к условию ортогональности собственных колебаний резонатора
G
­ H D (Q G9
Qc Q G G
°
H D (Q (Qc G9 ® 9
(8.4.12)
°
9
c
z
Q
Q
Ї
і
і
9
G G
P D +Q + Q c G9
і
G
­ P D +Q G9
°
®9
°
Ї
і
Qc
Q
(8.4.13)
Qc z Q Условия ортогональности (8.4.12), (8.4.13) являются следствием равенств (8.4.11) при
отсутствии вырождения, когда (при вырождении) различным колебаниям
соответствуют одинаковые собственные частоты.
Возбуждение волноводов и резонаторов
357
Из уравнений (8.4.10) следует, что при Qc Q
G G H D (Q G9
P D +Q G9 і
9
і
(8.4.14)
9
Соотношение (8.4.14) свидетельствует о равенстве в среднем за период запасенных в
резонаторе энергий электрического и магнитных полей.
Условия ортогональности (8.4.12), (8.4.13) являются общими для всех
электродинамически замкнутых резонансных объемов. При этом объемы могут иметь
как однородное, так и неоднородное заполнение. Приведенные соотношения
ортогональности собственных колебаний позволяют решать задачи о вынужденных
колебаниях, то есть задачи возбуждения резонаторов заданными источниками.
8.5(*). Возбуждение колебаний в объемных
экранированных резонаторах
В реальной ситуации резонаторы всегда связаны с источниками электромагнитной энергии. Колебания в резонаторах могут быть возбуждены сторонними
источниками электрического и магнитного типов. В качестве первых выступают
штыри, проводники с током различной конфигурации; в качестве вторых —
отверстия в стенках, петлевые зонды, диафрагмы. Кроме того, резонаторы могут
возбуждаться электронными потоками. Петлю связи, возбуждающую резонатор,
можно трактовать двояко: и как сторонний электрический ток, и как эквивалентный источник магнитного типа. Щели и отверстия в стенках резонаторов в задачах
о возбуждении обычно трактуются как поверхностные магнитные токи.
Таким образом, так или иначе задача о возбуждении резонатора каким-то
внешним источником электромагнитной энергии сводится к введению в резонатор
G
G
сторонних электрического M H или магнитного M P (или того и другого) токов. При
введении сторонних токов резонатор предполагается изолированным от внешнего
пространства электродинамически непроницаемой оболочкой. В задачах о возбуждении в резонаторах монохроматических электромагнитных колебаний производится интегрирование неоднородных уравнений Максвелла относительно комплексных амплитуд
G
G
G
(8.5.1)
URW ( M P L Z P D + G G
G
(8.5.2)
URW + M H L Z H D ( GH
GP
в которых сторонние источники MG и MG полагаются заданными. В (8.5.1), (8.5.2) Z —
частота сторонних источников; ( и + — поля, создаваемые этими источниками.
Запишем для собственного колебания с индексом Q однородную систему
уравнений Максвелла:
G
G
(8.5.3)
URW (Q L ZQ P D +Q G
G
(8.5.4)
URW +Q L Z Q H D (Q 358
ГЛАВА 8
и ей комплексно сопряженную
G
G
(8.5.5)
URW (Q L ZQ P D + Q G
G
(8.5.6)
URW + Q L ZQ H D (Q Комплексная сопряженность частоты подчеркивает тот факт, что в общем случае
внутренняя поверхность оболочки, экранирующей резонансный объем, не является
идеально проводящей, в результате чего собственные колебания, будучи
затухающими, имеют комплексную частоту.G
G
Умножим уравнение (8.5.1) скалярно на +Q , а уравнение (8.5.6) на ( и вычтем
из первого полученного уравнения второе:
G
G G
G
G G
G G
G G
(8.5.7)
+Q URW ( ( URW + Q M P + Q GL Z P D + +Q L ZQ H D (Q ( G
Уравнение (8.5.5) умножим скалярно на + , уравнение (8.5.2) — на (Q и вычтем
из первого полученного уравнения второе:
G
G
G
G
G G
G G
GG
(8.5.8)
+ URW (Q (Q URW + M H (Q L ZQ P D +Q + L Z H D ((Q С использованием известных формул векторного анализа уравнения (8.5.7), (8.5.8)
переписываем в виде
G G
G G
G G
G G
GLY ( + Q
M P + Q L Z P D + + Q L Z Q H D ( Q ( (8.5.9)
G G
G G
G G
GG
GLY ( Q + M H ( Q L ZQ P D + Q + L Z H D ( ( Q Проинтегрировав уравнения (8.5.9) по всему резонансному объему, с учётом теоремы
Остроградского-Гаусса получим:
G
G G
G G
( +Q G6 M P +Q G9 >
>
@
@
і>
@
і
6
9
GG
G G
L Z P D ++Q G9 L ZQ H D (Q ( G9 і
і
9
G
G G
і > (Q + @G6
6
L ZQ
і
9
(8.5.10)
G G
M H (Q G9 і
9
G G
GG
P D +Q + G9 L Z H D ((Q G9 і
9
9
Если внутренняя поверхность экрана идеально проводящая, поверхностные
интегралы в (8.5.10) зануляются в силу того, что
G
G G
G G
G G G
( + Q G6
Q ( + Q G6 ( W + Q G6
6
G G G
G
G
G
G
G
( Q + G6
Q (Q + G6 (QW + G6
>
>
@
@
> @
>
@
6
Если внутренняя поверхность имеет конечную проводимость, под 6 в (8.5.10) понимается поверхность 6 (рис. 8.6), на которой электромагнитное поле обращается в нуль. При
этом поверхностные интегралы в (8.5.10) также равны нулю. В результате получаем:
G G
G G
G G
L ZQ H D (Q ( G9 L Z P D + + Q G9
M P +Q G9 9
9
9
(8.5.11)
G G
G G
GH G
L ZQ P D + Q + G9 L Z H D ( (Q G9
M (Q G9 і
і
9
і
і
9
і
і
9
Возбуждение волноводов и резонаторов
359
Возбуждаемое в резонаторе поле представляем как сумму полей собственных
колебаний:
G
G
G
G
(
&Q (Q +
&Q + Q (8.5.12)
¦
¦
Q
Q
удовлетворяющих уравнениям (8.5.3), (8.5.4). Подставляя разложения (8.5.12) в
уравнения (8.5.11) с использованием условий ортогональности (8.4.12), (8.4.13) получаем:
G G LZQ &Q H D (Q G9 L Z &Q P D +Q G9
і
9
LZQ &Q
і
і
9
G G P D + Q G9 L Z &Q H D (Q G9
і
9
і
9
і
G G
M P +Q G9 G G
M H (Q G9 (8.5.13)
9
9
Умножая первое уравнение (8.5.13) на ZQ , второе на Z и складывая полученные
уравнения, имеем:
G G L ZQ &Q H D (Q G9 L Z &Q H D (Q G9
і
і
9
9
G G
G G
Z M H (Q G9 ZQ M P + Q G9 і
і
9
9
откуда
G G
Z M H (Q G9 ZQ
&Q
і
9
L>
ZQ GP G +Q G9
іM
9
Z
G
@ і H D (Q G9
(8.5.14)
9
Из выражения (8.5.14) видно, что величина амплитудных коэффициентов
собственных колебаний,
возбуждаемых в резонаторе, определяется амплитудами
G
источников M H P . При этом в случае идеальной проводимости внутренней
поверхности резонатора совпадение частоты источника Z с одной из собственных
частот резонансного объема, как и следовало ожидать, приводит к возбуждению
соответствующего этой частоте собственного колебания с бесконечно большой
амплитудой. Если внутренняя поверхность резонатора имеет конечную
проводимость, собственные частоты являются комплексными величинами. В результате, как видно из (8.5.14), амплитуды собственных колебаний, возбуждаемых
в резонаторе, в силу его конечной добротности всегда являются ограниченными
величинами.
Таким образом, в соответствии с (8.5.12) сторонние источники любого типа
возбуждают, в общем случае, в резонаторе весь спектр собственных колебаний,
амплитуды которых определяются по формуле (8.5.14). При совпадении частоты
стороннего источника с одной из собственных частот резонатора одно из собственных
колебаний оказывается доминирующим.
360
ГЛАВА 8
=
M
G
U
M
а)
U
6
6
U
6
=
б)
Рис. 8.7
8.6(*). Возбуждение волн в рупорах
Для создания направленного излучения в СВЧ диапазоне широко применяют
рупорные антенны — рупоры, представляющие собой направляющую структуру
с расширяющимся поперечным сечением вдоль ее направляющей оси. Помимо того,
что рупоры по сравнению, например, с открытыми концами волноводов создают
более направленное излучение, они, благодаря плавному уменьшению к плоскости
раскрыва фазовой скорости электромагнитного поля, обеспечивают хорошее
согласование с окружающим пространством. Рупоры, как правило, сочетаются с
волноводами тех или иных сечений, то есть их возбуждение осуществляется со
стороны регулярных волноводов. В качестве примера рассмотрим задачу о
возбуждении секториального рупора прямоугольным волноводом.
Секториальный рупор расширяется лишь в одном поперечном измерении (рис.
8.7а), поэтому при постановке для него краевой электродинамической задачи
целесообразно использовать цилиндрическую систему координат ^ M ] ` .
Рассматривая секториальный рупор как нерегулярную вдоль оси направляющую
структуру, для области, ограниченной сечениями 6 (рис. 8.7б), так же, как в
разделе 8.2, исходя из леммы Лоренца, можно получить соотношение:
G
G G
G G
^ (Q +Qc (Qc +Q `G6 (8.6.1)
і>
@ >
@
6
где 6 6 6 6 (рис. 8.7б); 6 — либо внутренняя поверхность рупора, если
она идеально проводящая, либо поверхность в толще стенок, где поле в силу
скин-эффекта практически равно нулю.
Из (8.6.1) следует равенство, подобное (8.2.6), на основании которого можно
утверждать, что интеграл
G
G G
G G
^ (Q +Qc (Qc +Q `G6
, Q Q
(8.6.2)
і>
@ >
@
6S
не зависит от радиальной координаты, то есть имеет одно и то же значение в
любом поперечном сечении 6S секториального волновода. Независимость интеграла
(8.6.2) от координаты
приводит к условию ортогональности собственных волн
секториального волновода, подобному (8.2.10).
Возбуждение волноводов и резонаторов
361
Полагая отрезок секториального волновода идеально согласованным на концах,
поле справа от источников записываем как сумму полей прямых собственных волн
(волн, распространяющихся вдоль координаты ):
G
G
G
G
(
&Q (Q +
&Q +Q (8.6.3)
¦
¦
Q
поле слева от источников — как сумму полей обратных собственных волн (волн,
распространяющихся навстречу ):
G
G
G
G
(
& Q ( Q +
& Q + Q (8.6.4)
¦
¦
Q
Q
Формулы для вычисления коэффициентов разложений (8.6.3), (8.6.4) получаются
по методике, описанной в разделе 8.3, и совпадают с (8.3.6). Разложения (8.6.3),
(8.6.4) с коэффициентами, вычисленными по указанным формулам, позволяют
определять поля возбуждения в областях вне источников. Рассмотрим процедуру
определения полей в области, занимаемой
G
G источниками.
Џ > @
Предположим, источники M H и M P находятся в области
секториального рупора (рис. 8.7б). Для нахождения поля в произвольной точке
указанной области мысленно освободим ' окрестность этой точки от источников.
Тогда в слое ' , свободном от источников, будут справедливы формулы (8.3.6) и
представления полей (8.6.3), (8.6.4).
С учетом этого источники, расположенные слева от выделенного слоя ' , при
' o создадут в сечении
поле, представляемое разложением (8.6.3) с
коэффициентами, определяемыми как
1Q
&Q
U
GH G
G G
( Q M P + Q G9 іM
(8.6.5)
U
Источники, расположенные справа от слоя ' , создадут при ' o в сечении
поле, представляемое разложением (8.6.4) с коэффициентами
1Q
& Q
U
GH G
G G
(Q M P +Q G9 і M
(8.6.6)
U
Определяя коэффициенты разложений таким образом, в представлениях полей
(8.6.3), (8.6.4) не учитываем возникающих при этом на слое ' разрывов
электрического и магнитных токов. В результате этих разрывов возникают токи
смещения, создающие поля (8.3.9), дополняющие поля, представляемые
разложениями (8.6.3), (8.6.4). Чтобы их скомпенсировать, поле в области источников
записываем как
G
G
G
G
&Q (Q & Q ( Q L M H ( HD Z
¦
G
+ Q
G
G
L
G
¦ &Q +Q & Q + Q P D Z M P Q
362
ГЛАВА 8
где коэффициенты &Q и & Q вычисляются по формулам (8.6.5), (8.6.6), а аргумент
указывает на принадлежность поля произвольной поверхности U FRQVW в области
Џ > @ , занимаемой источниками. Вне указанного интервала поля определяются
разложениями (8.6.3), (8.6.4) с коэффициентами, вычисляемыми по формулам (8.3.6).
Рупоры чаще всего возбуждаются полями открытых концов волноводов, с
которыми эти рупоры сочленяются. В частности, секториальный рупор возбуждается
прямоугольным волноводом (рис. 8.7а). В этом случае сторонние источники
электромагнитного поля в рупоре расположены в плоскости ] (рис. 8.7б) открытого
конца волновода и приближенно вычисляются согласно принципу Гюйгенса-Френеля
как
G
G
G G
G G
M H > ] + @ M P > ] ( @ (8.6.7)
G
G
где ( и + — поля в раскрыве прямоугольного волновода.
При этом поля в рупоре представляются разложениями (8.6.3) с коэффициентами, вычисляемыми по формуле:
G G
G G
&Q
M H ( Q M P + Q G6 (8.6.8)
1Q
і
6
G
G
G
где токи M H P определяются выражениями (8.6.7), а поля ( Q и + Q — поля
собственных волн секториального волновода.
Нестрогость описанного подхода к расчету поля, возбуждаемого в рупоре
заданными источниками, заключается в том, что не учитывается обратное влияние
этого поля на поле в раскрыве волновода. При строгой постановке дифракционной
задачи о возбуждении электромагнитного поля в рупоре поля в стыкуемых
направляющих структурах представляются в виде
G
G
G
G
G
G
( E (N $ P ( P + E +N $ P + P
(8.6.9)
¦
¦
P
P
в прямоугольном волноводе, возбуждающем рупор, и
G
G
G
G
(S
&Q (Q +S
&Q + Q
¦
Q
¦
Q
(8.6.10)
в секториальном
волноводе,
образующем рупор.
G
G
В (8.6.9) (N , +N — поле волны, падающей со стороны прямоугольного
волновода (одна из волн прямоугольного волновода, входящая в спектр его
собственных
записи падающая волна имеет единичную амплитуG волн). В такой
G
ду, $ P ( P и $ P + P — поля отраженных
Gот стыка собственных волн
G
прямоугольного волновода. В (8.6.10) &Q (Q и &Q +Q — поля собственных волн
секториального волновода, либо бесконечного, либо согласованного на конце.
Амплитуды полей собственных волн в разложениях (8.6.9), (8.6.10) полагаются
неизвестными.
На границе ] записываются условия непрерывности тангенциальных
компонент поля:
G
G
G
G
(EW ] (SW ] +EW ] +SW ] (8.6.11)
G
G
G
G
где (SW ] (S M +SW ] +S M Возбуждение волноводов и резонаторов
363
Подставляя поля в виде разложений (8.6.9), (8.6.10) в граничные условия (8.6.11),
получаем систему функциональных уравнений, G содержащих
неизвестные
G
коэффициенты указанных разложений. Поля (SW +SW в плоскости ] раскладываются в ряды Фурье по полям собственных волн прямоугольного
волновода. Использование условий ортогональности полей собственных волн в
плоскости ] поперечного сечения прямоугольного волновода позволяет перейти
от системы функциональных уравнений к системе линейных неоднородных
алгебраических уравнений бесконечно высокого порядка относительно
коэффициентов разложения
G
G(8.6.9), (8.6.10). Указанные разложения дают поля,
возбуждаемые полем (N +N падающей волны в секториальном рупоре,
согласованном на конце, и в прямоугольном волноводе.
Для того, чтобы решить тем или иным из описанных методов задачу о
возбуждении секториального рупора, необходимо иметь полный набор его
собственных волн. То есть решение задачи о возбуждении требует
предварительного решения соответствующих краевых электродинамических задач
для секториального волновода. Рассмотр??м их.
Поля волн секториального волновода, вписанного в цилиндрическую систему
координат (рис. 8.7), определяются продольными (направленными вдоль оси 2= )
компонентами электрического и магнитного векторов Герца, комплексные
амплитуды – H] P которых удовлетворяют уравнениям Гельмгольца:
w – H] P
w w – H] P
w ]
w – H] P
w – H] P
w
w M
HD PDZ
– H] P
(8.6.12)
решаемому (в приближении идеальной проводимости стенок волновода) при
граничном условии
G
(W 6 (8.6.13)
где 6 — внутренняя поверхность секториального волновода.
С учетом соотношений
G
G
G
G
G
( JUDG GLY – H H D P D Z – H ( L Z P D URW – P
из граничного условия (8.8.13) получаем граничные условия двух краевых задач:
w – H]
]
w]
– ]P ]
E
E
– H] M
w – ]P
M
wM
M M (8.6.14)
(8.6.15)
Краевая задача на уравнении (8.6.12) с граничными условиями (8.6.14) соответствует
собственным волнам типа ( , с граничными условиями (8.6.15) — волнам типа +
секториального волновода. Такая классификация выбрана условно на том основании,
что секториальный волновод можно рассматривать как отрезок цилиндрического
волновода, ограниченный радиальными и торцевыми идеально проводящими плоскостями.
364
ГЛАВА 8
G
Q
(
9
+
G
MH
Рис. 8.8
6
Рис. 8.9
Поскольку в радиальном направлении имеем бегущую волну, зависимость поля
от координаты должна описываться (у прямой в направлении волны) функцией
Ханкеля второго рода +Q D как являющейся решением уравнения Бесселя, к
которому приводит разделение переменных в уравнении (8.6.12). В результате
решение краевой задачи для волн ( PQ записывается как
– H]
$ + Q D VLQQM FRV F ] (8.6.16)
соответственно для волн + PQ как
– ]P
% +Q D
FRVQM VLQ F ] (8.6.17)
где величину D
ZH D P D SQ E следует рассматривать как продольное
волновое число волны, распространяющееся в радиальном направлении; величины
Q SP M и F S Q E можно рассматривать как поперечные волновые числа;
значения P и Q определяют число вариаций поля по соответствующим координатам.
В решении (8.6.16): P Q . В решении (8.6.17):
P Q . При больших значениях D радиальная зависимость решений (8.6.16), (8.6.17) имеет асимптотический вид
+Q DU |
L DU QS S H
SDU
показывающий, что при больших значениях D волна, распространяющаяся в
секториальном рупоре, имеет признаки цилиндрической.
Из записи электрического вектора Герца (8.6.16) видно, что волны ( P
секториального волновода по своей структуре подобны волнам + P прямоугольного волновода. Действительно, исходя из (8.6.16), имеем:
(]
Z H D P D $ +Q D VLQQM +M
L Z H D D $ +Qc D VLQQM (штрих над функцией Ханкеля означает в данном случае дифференцирование по
всему аргументу), то есть распределение электромагнитного поля в поперечном
Возбуждение волноводов и резонаторов
365
сечении секториального волновода совпадает, например, при P с распределением поля волны + — основной волны прямоугольного волновода (рис. 8.8). Указанное подобие, как можно видеть из представлений (8.6.16), (8.6.17), распространяется на все волны секториального волновода. В результате в секториальном
рупоре при возбуждении его прямоугольным волноводом доминирующей оказывается волна, по своей структуре соответствующая падающей на стык волне
прямоугольного волновода. Для создания заданных электрически управляемых
диаграмм направленности рупорных антенн практикуют и многоволновое возбуждение рупоров.
8.7(*). О возбуждении колебаний, описываемых
соленоидальными функциями
Соленоидальными называют поля, удовлетворяющие условиям
G
G
URW ( z URW + z G
G
GLY ( GLY + (8.7.1)
Рассмотрим задачу о возбуждении колебаний с соленоидальными полями. Будем
при формулировке краевой задачи для электродинамически замкнутого объема 9
отправляться от системы уравнений Максвелла, записанной в виде:
G
G
G G
G
(8.7.2)
URW ( L Z P D + URW + M H L ZH D ( GH
где M — сторонний источник, находящийся внутри объема 9 (рис. 8.9).
Для колебаний, поля которых удовлетворяют условиям (8.7.1), в случае
однородной среды от уравнений (8.7.2) переходим к неоднородному уравнению
Гельмгольца
G
G
G
'( Z H D P D ( L Z P D M H (8.7.3)
G
Рассмотрим совместно два уравнения Гельмгольца относительно векторной X
и скалярной X функций
G
G
G
' X N X I (8.7.4)
' X N X I где N Z H D P D .
G
Первое уравнение (8.7.4) умножим на X , второе на X ; полученные
уравнения сложим. В результате имеем
G
G
G
G
(8.7.5)
X ' X X ' X X I X I Используя формулу Грина
G
G
§ XG w XG X ’XG · G6G X ' X X ' X G9
Ё ё
wQ
©
№
і
9
і
6
G
где Q — нормаль к поверхности 6 , ограничивающей объем 9 (рис. 8.9), из
366
ГЛАВА 8
уравнения (8.7.5) получаем
G
G
§ XG w XG X ’XG · G6G
X I X I G9 Ё (8.7.6)
ё
wQ
©
№
6
9
G
В качестве функции X возьмем решение уравнения (8.7.3), в качестве X возьмем
функцию Грина g, удовлетворяющую уравнению
G G
' J N J G U U (8.7.7)
и граничному условию
wJ
G
(8.7.8)
wQ 6
і
і
Тогда уравнение (8.7.6) запишется как
G wJ
G
G
і §Ё© ( w QG J ’( ·ё№ G6
6
G G G
GH
G G
і > ( G U U J U U L Z P D M @ G9 9
С учетом (8.7.1) и (8.7.8) полученное уравнение приобретает вид
G
G
> ( G UG UG J UG UG L Z P D M H @ G9 і
9
Используя свойство G - функции, из
G G
( U L Z P D
і
уравнения (8.7.9) получаем
GH G
G G
M U J U U G9 (8.7.9)
(8.7.10)
9
G
G
где под U следует понимать радиус-вектор точки наблюдения, под U —радиусвектор точки источника.
Формула (8.7.10) позволяет рассчитывать поля колебаний, удовлетворяющие
условиям (8.7.1),
возбуждаемых в замкнутом однородно заполненном объеме
G
источником M H . При этом, естественно, необходимо знать для этого объема функцию
Грина, удовлетворяющую условию (8.7.8).
Формула (8.7.10) может быть распространена на задачу о возбуждении
колебаний заданными источниками в неограниченном пространстве. В этом случае
получение уравнения (8.7.9) не требует выполнения условий (8.7.1)
соленоидальности полей, а функция Грина имеет вид
G G
J U U G G
H L N U U
G G S U U
(8.7.11)
Формула (8.7.10) с функцией Грина (8.7.11) используется в приближенной теории
антенн, когда поле излучения рассчитывается по заданным токам.
8.8(*). О возбуждении открытых направляющих структур
Задачи о возбуждении открытых направляющих структур, вообще говоря, не
могут быть решены в рамках изложенной выше теории, в основе которой заложено
Возбуждение волноводов и резонаторов
367
использование условий ортогональности либо собственных функций соответствующих краевых задач, либо полей собственных волн. Дело в том, что краевые задачи
для открытых направляющих структур в общем случае не являются однородными.
Их решение дает сумму волн, соответствующую дискретному спектру (поверхностные волны), и поле, представляемое интегралом по одному из волновых чисел,
соответствующее непрерывному спектру. Непрерывный спектр включает в себя
вытекающие и медленные несобственные волны, поля которых нарастают при удалении от направляющей структуры, что не позволяет их использовать при представлении поля возбуждения суммой волн с амплитудными коэффициентами, определяемыми из соответствующих условий ортогональности.
Применить к решению задач о возбуждении открытых направляющих структур
вышеизложенную теорию можно лишь в случае, когда имеют место потери, в
частности, например, когда направляющая структура находится в диссипативной
среде. В этом случае комплексные волновые числа вышеуказанных вытекающих и
медленных несобственных волн могут стать такими, что их поля будут экспоненциально убывать при удалении от направляющей структуры, что позволит их
включить в дискретный спектр волн, формирующих поле возбуждения. Сохраняя
свои основные свойства, эти волны в плане зависимости их полей от поперечных
координат приобретают признак поверхностной волны. С точки зрения практики,
как показывают результаты экспериментальных исследований, волны с экспоненциально нарастающим при удалении от направляющей структуры полем
возбуждаются и их поля реально существуют вблизи источников.
Теорию возбуждения, использующую ортогональность волн, направляемых
структурой, можно также применять при условии импедансности поверхности
последней. Импедансные граничные условия на поверхности, являющиеся следствием
её конечной проводимости, могут приводить к образованию дискретного спектра
волн, имеющих поверхностный характер и соответствующих решениям однородной
краевой задачи, то есть задачи на собственные функции и собственные значения.
Примерами открытых направляющих структур с импедансными поверхностями
являются круглый диэлектрический волновод, покрытый тонкой резистивной пленкой,
поддерживающий распространение как медленных, так и быстрых поверхностных
волн, и металлический цилиндр с конечной проводимостью, способный направлять
поверхностные волны, радиальная протяженность поля которых в диапазоне
дециметровых-сантиметровых волн не превышает нескольких длин волн.
Вариантом формального применения принципов теории возбуждения, изложенных
в настоящей главе, является использование математической модели, в которой
открытая направляющая структура мысленно заключается в идеально проводящую
трубу большого поперечного сечения. К такой структуре уже применима теория
возбуждения волноводов, использующая условия ортогональности собственных волн.
Собственные волны такой структуры при удалении экранирующей поверхности в
бесконечность разбиваются на поверхностные, поля которых экспоненциально убывают в поперечном направлении и на которые экранирующая труба не оказывает
заметного воздействия, и волны дискретного спектра, переходящего при удалении
экранирующей поверхности в бесконечность в непрерывный спектр.
?я (8.2.10) и (8.2.12), получаем запись условия ортогональности собственных волн в виде
G
G G
Qc z Q > (Q +Qc @ G6 ­®
(8.2.13)
Qc Q Ї 1Q
і
6S
где величина 1 Q называется нормой n-й собственной волны волновода.
348
ГЛАВА 8
В волноводах с идеально проводящими стенками, заполненных средой без потерь ( H и P действительные величины), когда потенциальные функции < H P ,
входящие в запись векторов Герца
< H P T T H r L J T – H] P
( T T T — обобщённые координаты) являются действительными функциями поперечных координат, справедливы соотношения
+QT
KQ ] +QT
+QT
KQ ] +QT
(8.2.14)
где KQ ] — функция продольной координаты, соответствующая n-й собственной
волне волновода.
При выполнении равенств (8.2.14) условие ортогональности можно переписать в
виде
G
G G
Qc z Q (8.2.15)
> (Q +Q c @ G6 ­®
Qc Q Ї 1Q
і
6S
В (8.2.15) норма 1 Q имеет вполне определенный физический смысл: 5H ^ 1 Q ` —
средний за период поток мощности, переносимой n-й собственной волной через
поперечное сечение волновода.
Условие ортогональности в форме (8.2.15) указывает на то, что собственные
волны в направляющих структурах без диссипации энергии являются не связанными
между собой, ибо их взаимные потоки мощности, как следует из (8.2.15) равны
нулю. Запись условия ортогональности собственных волн в виде (8.2.15) иногда
называется энергетической.
Вычислим комплексную мощность, переносимую суммарным полем
G
G
G
G
(
&Q (Q +
&Qc (Qc
¦
¦
Qc
Q
в волноводе без диссипации энергии.
Получаем выражение
G
G G
> ( + @ G6
G
G
G
¦¦ &Q&Qc і > (Q +Q c @ G6
і
Q
6S
¦
Q
&Q і
Qc
G
G G
> (Q +Q @ G6 6S
(8.2.16)
6S
из которого следует, что мощность, переносимая суммой волн через поперечное
сечение волновода, равна сумме мощностей, переносимых каждой волной. Поскольку
формула для вычисления общего потока мощности получилась в виде (8.2.16)
благодаря тому, что все интегралы с Qc z Q обратились в нуль, можно сказать,
что условие ортогональности (8.2.15) физически отражает факт независимости мощностей, переносимых различными собственными волнами.
Условие ортогональности собственных волн играет основополагающую роль при
решении задач дифракции для экранированных направляющих структур. Общий
подход к решению таких задач рассмотрим на примере стыка двух регулярных
волноводов с различными поперечными сечениями (рис. 8.4).
Возбуждение волноводов и резонаторов
,
,,
6
349
=
6
Рис. 8.4
G G G Поля
собственных
волн
стыкуемых
волноводов
обозначим
как
(
,
+
и
(
Q
Q
Q ,
G
+Q соответственно. Стык может возбуждаться со стороны любого волновода как
одной волной, так и, в общем случае, их произвольной суперпозицией.
В плоскости ] должны выполняться условия непрерывности тангенциальных компонент поля
G
G
G
G
( W ( W + W + W (8.2.17)
Первое из них в развернутом виде выглядит следующим образом:
G
G ­ ( W
T Џ 6 (W
®
T Џ 6 6 Ї
(8.2.18)
где T — обобщенные поперечные координаты; 6 — площади поперечных
сечений соответствующих волноводов (рис. 8.4).
Перепишем первое граничное условие (8.2.17) в виде
G G
G G
(8.2.19)
> Q ( @ > Q ( @ G
где Q — нормаль к плоскости ] .
G
Умножим равенство (8.2.19) скалярно на +Q и проинтегрируем в соответствии
с (8.2.18) по поперечным сечениям волноводов:
G
G
G G
G G
(8.2.20)
> Q ( @ +Q G6
> Q ( @ +Q G6 і
і
6
6
Сделав соответствующие перестановки, переписываем (8.2.20) в виде
G
G
G
G
G
G
> ( +Q @ G6
> ( +Q @ G6 і
і
6
С учетом того, что
G
( ¦ &Q (Q G
( Q
уравнение (8.2.21) переписываем в виде
G
G G
&Q > (Q +N @ G6
¦
Q
(8.2.21)
6
і
6
¦ &N (N (8.2.22)
N
&N
G
G
G
і > (N +N @ G6 (8.2.23)
6
В (8.2.23) благодаря использованию условия ортогональности собственных волн
второго волновода в правой части из всей суммы осталось лишь одно слагаемое.
350
ГЛАВА 8
Второе граничное условие (8.2.17) переписываем в виде
G G
G G
> Q + @ > Q + @ G
Умножая его на (Q скалярно и интегрируя по поперечному сечению первого
волновода (именно в пределах этого сечения согласуются магнитные поля
волноводов), получаем
G G G @ (Q G6
G G G @ (Q G6 і>Q +
і>Q +
6
6
Делая соответствующие перестановки в подинтегральных выражениях, приходим
к уравнению
G
G
G
G
і > (Q + @ G6
6
которое с учетом того, что
G
+ 6
G
G
+ ¦ &Q +Q G
¦ &N +N Q
переписываем в виде
G
G
6
(8.2.24)
N
G
¦ &N і > (Q +N @ G6
N
G
G
і > (Q + @ G6 &Q
G
G
G
і > (Q +Q @ G6 (8.2.25)
6
Уравнения (8.2.23), (8.2.25) образуют систему линейных алгебраических уравнений
относительно коэффициентов &Q и &N . Система неоднородная и, в общем случае,
бесконечная. Неоднородность объясняется тем, что стык волноводов возбуждается
ограниченным спектром волн с заданными амплитудами. Система бесконечная потому, что на стыке, вообще говоря, возбуждается весь спектр отраженных волн
волновода, со стороны которого происходит возбуждение стыка, и весь спектр
прошедших волн волновода, в который передается энергия. В общем случае Q и N
в (8.2.22) и (8.2.24) могут принимать как положительные, так и отрицательные
значения.
8.3. Возбуждение волн в волноводах
При рассмотрении задачи о возбуждении волн в волноводе обратимся к рис. 8.3.
Предположим, что все источники поля находятся в выделенном участке волновода ] Џ > ] ] @ . Полагая волновод бесконечным по оси 2= , поле справа от
источников записываем как сумму полей прямых собственных волн (волн, распространяющихся вдоль оси 2= ):
G
G
G
G
(
&Q (Q +
&Q +Q (8.3.1)
¦
Q
¦
Q
Возбуждение волноводов и резонаторов
351
поле слева от источников — как сумму полей обратных собственных волн (волн,
распространяющихся навстречу оси 2= ):
G
(
G
G
+
¦ & Q ( Q G
¦ & Q + Q Q
(8.3.2)
Q
В записи леммы Лоренца
G G
G
G G
і > ( + @ > ( [email protected] G6
6
GH G
GH G
GP G
GP G
M
(
M
(
M
+
M
+ G9 і
(8.3.3)
9
где 6 6 6 6 , сечения 6 находятся за пределами области источников;
MHP — объемные плотностиG электрического
и магнитного токов.
G
G G
В (8.3.3) в качестве
поля
(
,
+
возьмем
искомое
поле возбуждения ( , + , в
G
G
качестве поля ( , + будем брать поля собственныхG волн
G волновода, входящие в
источников
разложения: (8.3.1), (8.3.2). Таким образом, поле ( , + вG области
G
удовлетворяет неоднородным уравнениям Максвелла; поля ( r Q , + r Q — решения
однородной краевой
G
G задачи.
G
G
Так как ( , + в (8.3.3) — поля собственных волн, MH MP . В результате
уравнение (8.3.3) перепишется в виде
G
G G
G
G
G G
G G
> ( + Q @ > ( Q + @ G6
M H ( Q M P + Q G9 і
і
6
і
G
G G
G G
> ( +Q @ > (Q + @ G6
6
9
і
G G
G G
M H (Q M P + Q G9 (8.3.4)
9
G
G G
где M H P — источники, создающие поле ( , + .
Интегралы по поверхности 6 обращаются в нуль, поскольку это либо идеально
проводящая внутренняя поверхность, либо поверхность, расположенная на достаточной глубине в стенках волновода. Поэтому все интегрирование в (8.3.4) сводится
к интегрированию по поперечным сечениям 6 . При этом в сечении 6 поле
представляется разложениями (8.3.2), в сечении 6 — разложениями (8.3.1).
С использованием условия ортогональности (8.2.10) получаем
G
G G
G
G
( + Q ( Q + G6
& Q , QQ і>
6
@ >
@
G G
G
G
( + Q ( Q +
і >
6
@ >
@
¦
G
G
G G
G G
( +Q (Q +
G
G6
G G
G
Q
G
G6
¦ &Q ,QQ
і >( +Q @ >(Q + @ G6 ¦ & Q ,QQ
6
і >
6
@ >
@
&Q 1Q Q
& Q 1 Q Q
¦ &Q ,QQ
Q
(8.3.5)
352
ГЛАВА 8
Из (8.3.4) и (8.3.5) получаем следующие выражения
&Q
& Q
1Q
іM
GH G
G G
( Q M P + Q G9 9
1Q
і
G G
G G
M H (Q M P + Q G9
(8.3.6)
9
для коэффициентов разложений (8.3.1) и (8.3.2), в которых
интегрирование произвоG G
дится по объему источников, создающих поле ( , + . Зная эти коэффициенты,
можем рассчитать поле возбуждения слева и справа от источников, однако соотношения (8.3.1), (8.3.2) и (8.3.6) не позволяют определить поле в области ] Џ > ] ] @ ,
занятой источниками. Для нахождения поля в произвольной точке G] указанной
области будем мысленно из ' ] окрестности этой точки удалять токи M H P . Тогда в
слое ' ] , свободном от источников, будут справедливы формулы (8.3.6) и представления полей (8.3.1), (8.3.2).
С учетом этого источники, расположенные слева от выделенного слоя ' ] , при
'] o создадут в сечении ] поле, представляемое разложением (8.3.1) с
коэффициентами, определяемыми как
&Q
1Q
]
GH G
G G
( Q M P + Q G9 іM
(8.3.7)
]
Источники, расположенные справа от слоя ' ] , создадут при '] o в сечении ]
поле, представляемое разложением (8.3.2) с коэффициентами
& Q
1Q
]
GH G
G G
(Q M P + Q G9 іM
(8.3.8)
]
Пределы в интегралах (8.3.7), (8.3.8) показывают, что интегрирование производится
по всему объему источников, заключенному между соответствующими сечениями
волновода.
Необходимо заметить, что определяя указанным образом поле в сечении ] ,
мы не учитываем возникающих при этом разрывов на слое ' ] электрического
и магнитного токов. В результате этих разрывов на границах слоя возникают
поверхностные заряды [ H P . Изменяющиеся во времени с частотой Z
поверхностные заряды создают эквивалентные токи
MH
L Z[ H M P L Z[ P которые, являясь токами смещения, создают соответствующие поля
G
G
L GH
L GP
([ M +[ M (8.3.9)
HDZ
PDZ
Результирующее поле в сечении ] будет суперпозицией полей, определяемых разложениями (8.2.4) с коэффициентами (8.3.7) и (8.3.8), и полей (8.3.9),
создаваемых токами смещения. Поскольку в реальной ситуации разрывов
электрического и магнитного токов в сечении ] не происходит, поля (8.3.9)
необходимо вычесть из полей, определяемых разложениями (8.2.4), поскольку
последние учитывают вышеуказанные разрывы токов в сечении ] . В результате
Возбуждение волноводов и резонаторов
<
353
экран
E
G
MP
G
MP
O
[
D
;
=
Рис. 8.5
имеем
G
( ]
G
G
L G
¦ &Q (Q & Q ( Q H D Z M H
Q
G
+ ]
G
G
L G
¦ &Q +Q & Q + Q P D Z M P Q
где коэффициенты &Q и & Q вычисляются по формулам (8.3.7), (8.3.8), а аргумент z
указывает на принадлежность поля произвольному сечению ] из интервала
] Џ > ] ] @ .
Вне указанного интервала поля определяются разложениями (8.3.1) и (8.3.2) с
коэффициентами, вычисляемыми по формулам (8.3.6). В качестве сторонних
магнитных токов в этих формулах выступают различные рамочные вибраторы,
щели и отверстия в стенках волновода.
В качестве примера рассмотрим задачу о возбуждении волн в прямоугольном
волноводе источником в виде тонкого линейного тока (рис. 8.5), ориентированного
вдоль оси 2< с комплексной амплитудой
G
G
M H , G [ [ G ] ] H (8.3.10)
G
где H — единичный вектор, направленный вдоль оси 2< .
В общем случае такой источник возбуждает весь спектр H- и E-волн,
описываемых, соответственно, магнитным и электрическим векторами Герца
§ SP ·
§ SQ · r L J]
$ FRV Ё
[ ё FRV Ё
\ё H
D
©
№
© E №
(8.3.11)
§ SP ·
§ SQ · r L J]
H
– ] % VLQ Ё
[ ё VLQ Ё
\ё H
© D №
© E №
G
G
где
«–» соответствует обратным волнам ( Q + Q , знак «+» — прямым
G знак
G
(Q +Q .
Амплитудные коэффициенты волн, возбуждаемых источником (8.3.10), вычисляем
по формулам (8.3.6), которые в данном случае записываются в виде
GH G
GH G
( +
( +
&Q &PQ
M ( Q G9 & Q & PQ
M (Q G9 (8.3.12)
1Q
1Q
– ]P
і
9
і
9
354
ГЛАВА 8
где
G
G
G
G
G
і > (Q + Q @ > ( Q +Q @ G6 1Q
(8.3.13)
6
6 — площадь поперечного сечения волновода; индексы ( и + указывают на
принадлежность коэффициента волне соответствующего типа.
Подставляя компоненты поля, выраженные через векторы Герца (8.3.11), по
формулам:
G
G
( JUDG GLY 3 H] Z H D P D 3 H] + L ZH D URW 3 H]
для волн типа E и
G
(
G
L ZP D URW 3 ]P +
JUDG GLY 3 ]P Z H D P D 3 ]P
для волн типа H в формулу (8.3.13), получаем:
DE Є § SP ·
§ SQ · є «Ё
ё »$ ё Ё
«© D №
© E № »ј
¬
(8.3.14)
DE Є § SP ·
§ SQ · є (
«Ё
1 Q( 1 PQ
ZH D J
ё »% ё Ё
«© D №
© E № »ј
¬
Значения интегралов в (8.3.12) для H- и E-волн после подстановки в них плотности
тока (8.3.10) и компоненты ( \ , выраженной через соответствующий вектор Герца
(8.3.11), записываем как
1 Q+
+
1 PQ
, r+Q
L ZP D
, r(Q
r L J ,P
ZP D J
EP
§ SP
·
§ SQ · r L J]
, P $ VLQ Ё
[ ё VLQ Ё
Oё H
D Q
D
©
№
© E №
§ SP
·
§ SQ · r L J]
% VLQ Ё
[ ё VLQЁ
Oё H
© D
№
© E №
(8.3.15)
Подставляя (8.3.14) и (8.3.15) в формулу (8.3.12), получаем коэффициенты
&r+PQ
&r+PQ
§ SP
·
§ SQO ·
[ ё VLQЁ
S PO , P VLQЁ
ё
© D
№
© E № H r L J ] SQO
Є § SP · § SQ · є
D E J « Ё
ё Ё
ё »$
E
© E № »ј
«¬ © D №
§ SP
·
§ SQO ·
[ ё VLQЁ
, P VLQЁ
ё
© D
№
© E № H r L J ] Є § SP · § SP · є
ZH D DE « Ё
ё Ё
ё »%
© E № »ј
«¬ © D №
(8.3.16)
входящие в представление поля возбуждения в области вне источников в виде
(8.3.1), (8.3.2). В (8.3.16) обозначено: $ L $ % L % , где $ и % — амплитудные
коэффициенты в (8.3.11). Как видно из (8.3.16), амплитуда возбуждаемой волны
зависит от места расположения тока, его амплитуды и типа волны.
Возбуждение волноводов и резонаторов
355
6
6
Рис. 8.6
8.4(*). Ортогональность собственных колебаний
объемных резонаторов
Поля собственных колебаний объемов, ограниченных металлическими экранами (рис. 8.6), описываются решениями однородной краевой задачи на уравнениях
Максвелла для комплексных амплитуд
G
G
G
G
(8.4.1)
URW ( L ZP D + URW + L ZH D (
с граничным условием
G
(W
6
(8.4.2)
на поверхности 6 , ограничивающей резонансный объем 9 . При этом под поверхностью 6 в (8.4.2) понимается либо внутренняя поверхность экрана резонатора, если она идеально проводящая, либо поверхность 6 в толще экрана, на
которой за счет скин-эффекта поле практически
G равно нулю (рис. 8.6). В этом
(
случае в нуль обращается все
поле,
а
не
только
W.
G
G
Запишем для колебания (Q , +Q систему однородных уравнений Максвелла
G
G
(8.4.3)
URW (Q L Z Q P D +Q G
G
(8.4.4)
URW +Q L Z Q H D (Q G
G
а для колебания (Qc , +Qc систему, комплексно сопряженную (8.4.3), (8.4.4):
G
G
URW (Q c L ZQc P D + Q c (8.4.5)
G
G
(8.4.6)
URW +Qc L Z Qc H D (Qc В выше приведенных уравнениях частоты собственных колебаний Z Q и Z Qc
являются комплексными величинами, когда граничное условие (8.4.2) выполняется
в толще экранирующей поверхности. В том случае, когда условие (8.4.2)
соответствует идеально проводящей внутренней поверхности, частоты являются
действительными величинами, и знак комплексной сопряженности над ними в
уравнениях (8.4.5), (8.4.6) можно не ставить.
G
G
Уравнение (8.4.3) умножим скалярно на +Q c , а уравнение (8.4.6) на (Q и вычтем
из первого второе. В результате получаем
G G
G G
G G
(8.4.7)
GLY > (Q + Q c @ L ZQc H D (Q (Q c L Z Q P D +Q +Q c 356
ГЛАВА 8
G
G
Аналогичным образом уравнение (8.4.4) умножим на (Q c , а (8.4.5) на +Q и также
вычтем из первого уравнения второе
G G
G G
G G
(8.4.8)
GLY > (Q c + Q @ L ZQc P D + Q + Q c L Z Q H D (Q (Q c Проинтегрируем уравнения (8.4.7), (8.4.8) по всему объему резонатора и с учётом
теоремы Остроградского-Гаусса получим:
G
G G
G G
G G
> (Q +Q c @ G6 L ZQc H D (Q (Q c G9 L ZQ P D +Q +Q c G9 і
6
і
і
9
G
G G
> (Q c +Q @ G6
L ZQc
6
і
і
9
G G
G G
P D + Q + Q c G9 L ZQ H D (Q (Q c G9 і
9
(8.4.9)
9
где 6 — внутренняя поверхность экрана резонатора, если она идеально проводящая, и 6 6 (рис. 8.6), если поле обращается в нуль в толще экрана.
В первом случае поверхностные интегралы в (8.4.9) обращаются
в нуль ввиду
G
того, что подинтегральные выражения пропорциональны ( W :
G
G G
G G G
> (Q +Q c @ G6 > Q (Q @ +Q c G6 G
G G
G
G
> (Q c +Q @ G6 > Q (Q c @ +Q G6 во втором — ввиду того, что электромагнитное поле в толще экрана к поверхности
6 спадает до нуля.
В результате получаем систему уравнений относительно частот ZQ и ZQc
G G
G G
ZQc і H D (Q (Q c G9 Z Q і PD +Q +Q c G9 9
9
G G
G G
ZQc і PD +Q +Q c G9 Z Q і HD (Q (Q c G9 9
9
из которой следуют равенства
G G
> ZQ ZQc @ і H D (Q (Q c G9
>
9
ZQ
(8.4.10)
ZQc @і
G G
P D + Q +Q c G9
(8.4.11)
9
приводящие к условию ортогональности собственных колебаний резонатора
G
­ H D (Q G9
Qc Q G G
°
H D (Q (Qc G9 ® 9
(8.4.12)
°
9
c
z
Q
Q
Ї
і
і
9
G G
P D +Q + Q c G9
і
G
­ P D +Q G9
°
®9
°
Ї
і
Qc
Q
(8.4.13)
Qc z Q Условия ортогональности (8.4.12), (8.4.13) являются следствием равенств (8.4.11) при
отсутствии вырождения, когда (при вырождении) различным колебаниям
соответствуют одинаковые собственные частоты.
Возбуждение волноводов и резонаторов
357
Из уравнений (8.4.10) следует, что при Qc Q
G G H D (Q G9
P D +Q G9 і
9
і
(8.4.14)
9
Соотношение (8.4.14) свидетельствует о равенстве в среднем за период запасенных в
резонаторе энергий электрического и магнитных полей.
Условия ортогональности (8.4.12), (8.4.13) являются общими для всех
электродинамически замкнутых резонансных объемов. При этом объемы могут иметь
как однородное, так и неоднородное заполнение. Приведенные соотношения
ортогональности собственных колебаний позволяют решать задачи о вынужденных
колебаниях, то есть задачи возбуждения резонаторов заданными источниками.
8.5(*). Возбуждение колебаний в объемных
экранированных резонаторах
В реальной ситуации резонаторы всегда связаны с источниками электромагнитной энергии. Колебания в резонаторах могут быть возбуждены сторонними
источниками электрического и магнитного типов. В качестве первых выступают
штыри, проводники с током различной конфигурации; в качестве вторых —
отверстия в стенках, петлевые зонды, диафрагмы. Кроме того, резонаторы могут
возбуждаться электронными потоками. Петлю связи, возбуждающую резонатор,
можно трактовать двояко: и как сторонний электрический ток, и как эквивалентный источник магнитного типа. Щели и отверстия в стенках резонаторов в задачах
о возбуждении обычно трактуются как поверхностные магнитные токи.
Таким образом, так или иначе задача о возбуждении резонатора каким-то
внешним источником электромагнитной энергии сводится к введению в резонатор
G
G
сторонних электрического M H или магнитного M P (или того и другого) токов. При
введении сторонних токов резонатор предполагается изолированным от внешнего
пространства электродинамически непроницаемой оболочкой. В задачах о возбуждении в резонаторах монохроматических электромагнитных колебаний производится интегрирование неоднородных уравнений Максвелла относительно комплексных амплитуд
G
G
G
(8.5.1)
URW ( M P L Z P D + G G
G
(8.5.2)
URW + M H L Z H D ( GH
GP
в которых сторонние источники MG и MG полагаются заданными. В (8.5.1), (8.5.2) Z —
частота сторонних источников; ( и + — поля, создаваемые этими источниками.
Запишем для собственного колебания с индексом Q однородную систему
уравнений Максвелла:
G
G
(8.5.3)
URW (Q L ZQ P D +Q G
G
(8.5.4)
URW +Q L Z Q H D (Q 358
ГЛАВА 8
и ей комплексно сопряженную
G
G
(8.5.5)
URW (Q L ZQ P D + Q G
G
(8.5.6)
URW + Q L ZQ H D (Q Комплексная сопряженность частоты подчеркивает тот факт, что в общем случае
внутренняя поверхность оболочки, экранирующей резонансный объем, не является
идеально проводящей, в результате чего собственные колебания, будучи
затухающими, имеют комплексную частоту.G
G
Умножим уравнение (8.5.1) скалярно на +Q , а уравнение (8.5.6) на ( и вычтем
из первого полученного уравнения второе:
G
G G
G
G G
G G
G G
(8.5.7)
+Q URW ( ( URW + Q M P + Q GL Z P D + +Q L ZQ H D (Q ( G
Уравнение (8.5.5) умножим скалярно на + , уравнение (8.5.2) — на (Q и вычтем
из первого полученного уравнения второе:
G
G
G
G
G G
G G
GG
(8.5.8)
+ URW (Q (Q URW + M H (Q L ZQ P D +Q + L Z H D ((Q С использованием известных формул векторного анализа уравнения (8.5.7), (8.5.8)
переписываем в виде
G G
G G
G G
G G
GLY ( + Q
M P + Q L Z P D + + Q L Z Q H D ( Q ( (8.5.9)
G G
G G
G G
GG
GLY ( Q + M H ( Q L ZQ P D + Q + L Z H D ( ( Q Проинтегрировав уравнения (8.5.9) по всему резонансному объему, с учётом теоремы
Остроградского-Гаусса получим:
G
G G
G G
( +Q G6 M P +Q G9 >
>
@
@
і>
@
і
6
9
GG
G G
L Z P D ++Q G9 L ZQ H D (Q ( G9 і
і
9
G
G G
і > (Q + @G6
6
L ZQ
і
9
(8.5.10)
G G
M H (Q G9 і
9
G G
GG
P D +Q + G9 L Z H D ((Q G9 і
9
9
Если внутренняя поверхность экрана идеально проводящая, поверхностные
интегралы в (8.5.10) зануляются в силу того, что
G
G G
G G
G G G
( + Q G6
Q ( + Q G6 ( W + Q G6
6
G G G
G
G
G
G
G
( Q + G6
Q (Q + G6 (QW + G6
>
>
@
@
> @
>
@
6
Если внутренняя поверхность имеет конечную проводимость, под 6 в (8.5.10) понимается поверхность 6 (рис. 8.6), на которой электромагнитное поле обращается в нуль. При
этом поверхностные интегралы в (8.5.10) также равны нулю. В результате получаем:
G G
G G
G G
L ZQ H D (Q ( G9 L Z P D + + Q G9
M P +Q G9 9
9
9
(8.5.11)
G G
G G
GH G
L ZQ P D + Q + G9 L Z H D ( (Q G9
M (Q G9 і
і
9
і
і
9
і
і
9
Возбуждение волноводов и резонаторов
359
Возбуждаемое в резонаторе поле представляем как сумму полей собственных
колебаний:
G
G
G
G
(
&Q (Q +
&Q + Q (8.5.12)
¦
¦
Q
Q
удовлетворяющих уравнениям (8.5.3), (8.5.4). Подставляя разложения (8.5.12) в
уравнения (8.5.11) с использованием условий ортогональности (8.4.12), (8.4.13) получаем:
G G LZQ &Q H D (Q G9 L Z &Q P D +Q G9
і
9
LZQ &Q
і
і
9
G G P D + Q G9 L Z &Q H D (Q G9
і
9
і
9
і
G G
M P +Q G9 G G
M H (Q G9 (8.5.13)
9
9
Умножая первое уравнение (8.5.13) на ZQ , второе на Z и складывая полученные
уравнения, имеем:
G G L ZQ &Q H D (Q G9 L Z &Q H D (Q G9
і
і
9
9
G G
G G
Z M H (Q G9 ZQ M P + Q G9 і
і
9
9
откуда
G G
Z M H (Q G9 ZQ
&Q
і
9
L>
ZQ GP G +Q G9
іM
9
Z
G
@ і H D (Q G9
(8.5.14)
9
Из выражения (8.5.14) видно, что величина амплитудных коэффициентов
собственных колебаний,
возбуждаемых в резонаторе, определяется амплитудами
G
источников M H P . При этом в случае идеальной проводимости внутренней
поверхности резонатора совпадение частоты источника Z с одной из собственных
частот резонансного объема, как и следовало ожидать, приводит к возбуждению
соответствующего этой частоте собственного колебания с бесконечно большой
амплитудой. Если внутренняя поверхность резонатора имеет конечную
проводимость, собственные частоты являются комплексными величинами. В результате, как видно из (8.5.14), амплитуды собственных колебаний, возбуждаемых
в резонаторе, в силу его конечной добротности всегда являются ограниченными
величинами.
Таким образом, в соответствии с (8.5.12) сторонние источники любого типа
возбуждают, в общем случае, в резонаторе весь спектр собственных колебаний,
амплитуды которых определяются по формуле (8.5.14). При совпадении частоты
стороннего источника с одной из собственных частот резонатора одно из собственных
колебаний оказывается доминирующим.
360
ГЛАВА 8
=
M
G
U
M
а)
U
6
6
U
6
=
б)
Рис. 8.7
8.6(*). Возбуждение волн в рупорах
Для создания направленного излучения в СВЧ диапазоне широко применяют
рупорные антенны — рупоры, представляющие собой направляющую структуру
с расширяющимся поперечным сечением вдоль ее направляющей оси. Помимо того,
что рупоры по сравнению, например, с открытыми концами волноводов создают
более направленное излучение, они, благодаря плавному уменьшению к плоскости
раскрыва фазовой скорости электромагнитного поля, обеспечивают хорошее
согласование с окружающим пространством. Рупоры, как правило, сочетаются с
волноводами тех или иных сечений, то есть их возбуждение осуществляется со
стороны регулярных волноводов. В качестве примера рассмотрим задачу о
возбуждении секториального рупора прямоугольным волноводом.
Секториальный рупор расширяется лишь в одном поперечном измерении (рис.
8.7а), поэтому при постановке для него краевой электродинамической задачи
целесообразно использовать цилиндрическую систему координат ^ M ] ` .
Рассматривая секториальный рупор как нерегулярную вдоль оси направляющую
структуру, для области, ограниченной сечениями 6 (рис. 8.7б), так же, как в
разделе 8.2, исходя из леммы Лоренца, можно получить соотношение:
G
G G
G G
^ (Q +Qc (Qc +Q `G6 (8.6.1)
і>
@ >
@
6
где 6 6 6 6 (рис. 8.7б); 6 — либо внутренняя поверхность рупора, если
она идеально проводящая, либо поверхность в толще стенок, где поле в силу
скин-эффекта практически равно нулю.
Из (8.6.1) следует равенство, подобное (8.2.6), на основании которого можно
утверждать, что интеграл
G
G G
G G
^ (Q +Qc (Qc +Q `G6
, Q Q
(8.6.2)
і>
@ >
@
6S
не зависит от радиальной координаты, то есть имеет одно и то же значение в
любом поперечном сечении 6S секториального волновода. Независимость интеграла
(8.6.2) от координаты
приводит к условию ортогональности собственных волн
секториального волновода, подобному (8.2.10).
Возбуждение волноводов и резонаторов
361
Полагая отрезок секториального волновода идеально согласованным на концах,
поле справа от источников записываем как сумму полей прямых собственных волн
(волн, распространяющихся вдоль координаты ):
G
G
G
G
(
&Q (Q +
&Q +Q (8.6.3)
¦
¦
Q
поле слева от источников — как сумму полей обратных собственных волн (волн,
распространяющихся навстречу ):
G
G
G
G
(
& Q ( Q +
& Q + Q (8.6.4)
¦
¦
Q
Q
Формулы для вычисления коэффициентов разложений (8.6.3), (8.6.4) получаются
по методике, описанной в разделе 8.3, и совпадают с (8.3.6). Разложения (8.6.3),
(8.6.4) с коэффициентами, вычисленными по указанным формулам, позволяют
определять поля возбуждения в областях вне источников. Рассмотрим процедуру
определения полей в области, занимаемой
G
G источниками.
Џ > @
Предположим, источники M H и M P находятся в области
секториального рупора (рис. 8.7б). Для нахождения поля в произвольной точке
указанной области мысленно освободим ' окрестность этой точки от источников.
Тогда в слое ' , свободном от источников, будут справедливы формулы (8.3.6) и
представления полей (8.6.3), (8.6.4).
С учетом этого источники, расположенные слева от выделенного слоя ' , при
' o создадут в сечении
поле, представляемое разложением (8.6.3) с
коэффициентами, определяемыми как
1Q
&Q
U
GH G
G G
( Q M P + Q G9 іM
(8.6.5)
U
Источники, расположенные справа от слоя ' , создадут при ' o в сечении
поле, представляемое разложением (8.6.4) с коэффициентами
1Q
& Q
U
GH G
G G
(Q M P +Q G9 і M
(8.6.6)
U
Определяя коэффициенты разложений таким образом, в представлениях полей
(8.6.3), (8.6.4) не учитываем возникающих при этом на слое ' разрывов
электрического и магнитных токов. В результате этих разрывов возникают токи
смещения, создающие поля (8.3.9), дополняющие поля, представляемые
разложениями (8.6.3), (8.6.4). Чтобы их скомпенсировать, поле в области источников
записываем как
G
G
G
G
&Q (Q & Q ( Q L M H ( HD Z
¦
G
+ Q
G
G
L
G
¦ &Q +Q & Q + Q P D Z M P Q
362
ГЛАВА 8
где коэффициенты &Q и & Q вычисляются по формулам (8.6.5), (8.6.6), а аргумент
указывает на принадлежность поля произвольной поверхности U FRQVW в области
Џ > @ , занимаемой источниками. Вне указанного интервала поля определяются
разложениями (8.6.3), (8.6.4) с коэффициентами, вычисляемыми по формулам (8.3.6).
Рупоры чаще всего возбуждаются полями открытых концов волноводов, с
которыми эти рупоры сочленяются. В частности, секториальный рупор возбуждается
прямоугольным волноводом (рис. 8.7а). В этом случае сторонние источники
электромагнитного поля в рупоре расположены в плоскости ] (рис. 8.7б) открытого
конца волновода и приближенно вычисляются согласно принципу Гюйгенса-Френеля
как
G
G
G G
G G
M H > ] + @ M P > ] ( @ (8.6.7)
G
G
где ( и + — поля в раскрыве прямоугольного волновода.
При этом поля в рупоре представляются разложениями (8.6.3) с коэффициентами, вычисляемыми по формуле:
G G
G G
&Q
M H ( Q M P + Q G6 (8.6.8)
1Q
і
6
G
G
G
где токи M H P определяются выражениями (8.6.7), а поля ( Q и + Q — поля
собственных волн секториального волновода.
Нестрогость описанного подхода к расчету поля, возбуждаемого в рупоре
заданными источниками, заключается в том, что не учитывается обратное влияние
этого поля на поле в раскрыве волновода. При строгой постановке дифракционной
задачи о возбуждении электромагнитного поля в рупоре поля в стыкуемых
направляющих структурах представляются в виде
G
G
G
G
G
G
( E (N $ P ( P + E +N $ P + P
(8.6.9)
¦
¦
P
P
в прямоугольном волноводе, возбуждающем рупор, и
G
G
G
G
(S
&Q (Q +S
&Q + Q
¦
Q
¦
Q
(8.6.10)
в секториальном
волноводе,
образующем рупор.
G
G
В (8.6.9) (N , +N — поле волны, падающей со стороны прямоугольного
волновода (одна из волн прямоугольного волновода, входящая в спектр его
собственных
записи падающая волна имеет единичную амплитуG волн). В такой
G
ду, $ P ( P и $ P + P — поля отраженных
Gот стыка собственных волн
G
прямоугольного волновода. В (8.6.10) &Q (Q и &Q +Q — поля собственных волн
секториального волновода, либо бесконечного, либо согласованного на конце.
Амплитуды полей собственных волн в разложениях (8.6.9), (8.6.10) полагаются
неизвестными.
На границе ] записываются условия непрерывности тангенциальных
компонент поля:
G
G
G
G
(EW ] (SW ] +EW ] +SW ] (8.6.11)
G
G
G
G
где (SW ] (S M +SW ] +S M Возбуждение волноводов и резонаторов
363
Подставляя поля в виде разложений (8.6.9), (8.6.10) в граничные условия (8.6.11),
получаем систему функциональных уравнений, G содержащих
неизвестные
G
коэффициенты указанных разложений. Поля (SW +SW в плоскости ] раскладываются в ряды Фурье по полям собственных волн прямоугольного
волновода. Использование условий ортогональности полей собственных волн в
плоскости ] поперечного сечения прямоугольного волновода позволяет перейти
от системы функциональных уравнений к системе линейных неоднородных
алгебраических уравнений бесконечно высокого порядка относительно
коэффициентов разложения
G
G(8.6.9), (8.6.10). Указанные разложения дают поля,
возбуждаемые полем (N +N падающей волны в секториальном рупоре,
согласованном на конце, и в прямоугольном волноводе.
Для того, чтобы решить тем или иным из описанных методов задачу о
возбуждении секториального рупора, необходимо иметь полный набор его
собственных волн. То есть решение задачи о возбуждении требует
предварительного решения соответствующих краевых электродинамических задач
для секториального волновода. Рассмотр?
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
1 908 Кб
Теги
part
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа