close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Karakazian Predel i argum

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
С. А. КАРАКАЗЬЯН, О. В. СОЛОВЬЁВА
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2013
УДК 517.5(075.8)
Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доцент Е. К. Ершов (СПбГАСУ);
канд. физ.-мат. наук, доцент А. А. Моисеев (СПбГПУ)
Караказьян, С. А.
Предел и непрерывность функции одного аргумента: учеб. пособие / С. А. Караказьян, О. В. Соловьёва; СПбГАСУ. − СПб.,
2013. − 80 с.
ISBN 978-5-9227-0422-9
Пособие предназначено для самостоятельного изучения студентами
раздела «Предел и непрерывность функции одного аргумента». Приводятся
основные определения и теоремы. Рассматривается методика решения типовых задач и приводятся варианты с заданиями для самостоятельной работы.
Рассчитано для студентов всех специальностей и всех форм обучения.
Табл. 1. Ил. 11. Библиогр.: 4 назв.
Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия.
ISBN 978-5-9227-0422-9
© С. А. Караказьян, О. В. Соловьёва, 2013
© Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2013
2
§ 1. ФУНКЦИЯ, БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ В ТОЧКЕ
Определение. Пусть функция y   ( x ) определена в некоторой окрестности точки x0 или в некоторых точках этой окрестности. Функция y   ( x ) называется бесконечно малой в точке x0 ,
если для каждого положительного числа  , как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число , что для всех x ,
отличных от x0 и удовлетворяющих неравенству x  x0   , имеет
место неравенство (x)   .
(  0    0 : x : x  x0  , x  x0 )  ( x)   .
Если  ( x ) − бесконечно малая в точке x0 , то пишут
lim  ( x )  0 или α ( x)  0 при x  x0 .
xx 0
Свойства функций, бесконечно малых в точке
Теорема 1.1. Сумма или разность двух функций, бесконечно
малых в точке x0 , есть функция, бесконечно малая в точке x0 .
Доказательство. Пусть ( x)  0 при x  x0 и ( x)  0 при
x  x0 . Выберем сколь угодно малое   0 .
По условию

(  0  1  0 : x : x  x0  1 , x  x0 )  ( x) 
2

и (  0   2  0 : x : x  x0   2 , x  x0 )  ( x)  .
2
Возьмем , равное наименьшему из 1 и  2 .
Для всех x , отличных от x0 и удовлетворяющих неравенству
x  x0   , будут выполняться оба равенства.
 
Берем α ( x )   ( x )   ( x )   ( x )     .
2 2
Замечание. Свойство распространяется на любое конечное
число слагаемых.
Теорема 1.2. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую в точке x0 функцию есть функция, бесконечно малая
в точке x0 .
3
Доказательство. Пусть y  f  x  − ограниченная функция, т. е.
f  x   M , y   x  – бесконечно малая в точке x0 функция, т. е.

(  0    0 : x : x  x0  , x  x0 )  ( x)  . Тогда для всех
M
x , отличных от x0 и удовлетворяющих неравенству x  x0   ,

f  x   ( x )  f  x    ( x )  M 
 .
M
Следствие 1. Очевидно, что бесконечно малая функция является ограниченной, следовательно, произведение двух функций,
бесконечно малых в точке x0 , есть функция, бесконечно малая
в точке x0 .
Следствие 2. Так как постоянная величина является ограниченной функцией, то произведение постоянной на функцию, бесконечно малую в точке x0 , есть функция, бесконечно малая в точке
x0 .
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Определение. Пусть функция y  f (x ) определена в некоторой
окрестности точки x0 или в некоторых точках этой окрестности.
Функция y  f (x) стремится к пределу A ( y  A) при x , стремящемся к x0 ( x  x0 ) , если для каждого положительного числа  ,
как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число  , что для всех x , отличных от x0 и удовлетворяющих неравенству x  x0   , имеет место неравенство f ( x)  A   .
(  0    0 : x : x  x0  , x  x0  f ( x)  A  )  lim f ( x)  A.
x  x0
Если A есть предел функции f ( x) при x  x0 , то пишут:
lim f ( x )  A или f ( x )  A при x  x0 .
x  x0
Пример 1. lim (3 x  2)  4 .
x2
Пример 2. lim tg x  1 .
x

4
4
Теорема 2.1. Если функция f ( x) имеет предел, равный A , то
ее можно представить как сумму числа A и бесконечно малой
функции   ( x) , т. е. если lim f ( x )  A , то f ( x)  A  ( x) .
x  x0
Доказательство. Пусть lim f ( x)  A . Следовательно,
x  x0
(  0    0 : x : x  x0  , x  x0 )  f ( x)  A  ,
т. е. f ( x)  A  0   . Это означает, что функция f ( x)  A имеет предел, равный нулю, т. е. является бесконечно малой функцией, которую обозначим через (x) : f ( x)  A  ( x) . Отсюда f ( x)  A  ( x) .
Теорема 2.2 (обратная). Если функцию f (x) можно представить в виде суммы числа A и бесконечно малой функции (б.м.ф.)
  (x) , то число A является пределом функции f (x) , т. е. если f ( x)  A  ( x) , то lim f ( x)  A .
x  x0
Доказательство. Пусть f ( x)  A  ( x) , где (x) − б.м.ф. при
x  x0 , т. е. lim ( x)  0 . Тогда
x  x0
(  0    0 : x : x  x0  , x  x0 )  ( x)  .
А так как по условию f ( x)  A  ( x) , то ( x)  f ( x)  A . Получаем
(  0    0 : x : 0  x  x0.  , x  x0 )  f ( x)  A  .
А это и означает, что lim f ( x)  A .
x  x0
Напомним основные теоремы о пределах.
Теорема 2.3. Предел суммы (разности) двух функций равен
сумме (разности) их пределов:
lim ( f 1 ( x )  f 2 ( x )) 
x x 0
 lim f1 ( x)  lim f 2 ( x) .
x  x0
x
x  x0
Доказательство. Пусть lim f1 ( x)  A , lim f 2 ( x)  B . Тогда
x  x0
x  x0
по теореме 1 о связи функции, ее предела и б.м.ф. запишем
f1 ( x)  A  ( x) и f 2 ( x)  B  ( x) . Тогда f1 ( x)  f 2 ( x)  A  B 
 (  ( x )   ( x )) ( x)  ( x) − бесконечно малая функция как сумма бесконечно малых. По теореме 2 запишем f1 ( x)  f 2 ( x)  A  B ,
т. е. lim ( f1 ( x)  f 2 ( x))  lim f1 ( x)  lim f 2 ( x) . В случае разности
x  x0
x  x0
x  x0
функций доказательство аналогично.
5
Теорема 2.4. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:
lim ( f1 ( x)  f 2 ( x))  lim f1 ( x)  lim f 2 ( x) .
x  x0
x  x0
x  x0
Доказательство. Так как lim f1 ( x)  A , lim f 2 ( x)  B , то
x  x0
x  x0
f1 ( x)  A  ( x) и f 2 ( x)  B  ( x) , где (x) и (x) − б.м.ф. Следовательно, f1 ( x)  f 2 ( x)  ( A  ( x))  ( B  ( x)) , т. е. f1 ( x)  f 2 ( x)  AB 
 ( A  ( x)  B( x)  ( x)( x)) . Выражение в скобках есть б.м.ф. Поэтому lim ( f1 ( x )  f 2 ( x ))  A  B , т. е. lim ( f 1 ( x )  f 2 ( x )) lim f 1 ( x )
x  x0
 lim f
x  x0
2
xx0
xx0
( x ).
Теорема 2.5. Постоянный множитель можно выносить за знак
предела: lim (с  f ( x))  с  lim f ( x) .
x  x0
x  x0
Доказательство.
lim (с  f ( x))  lim с  lim f ( x)  c  lim f ( x).
x  x0
x  x0
x  x0
x  x0
Теорема 2.6. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, предел знаменателя не равен нулю:
lim f ( x)
f1 ( x) x  x0 1

( lim f 2 ( x)  0) .
lim
x  x0 f 2 ( x)
lim f 2 ( x) x  x0
x  x0
Доказательство. Пусть lim f1 ( x)  A и lim f 2 ( x )  B, B  0.
x  x0
x  x0
Следовательно, f1 ( x)  A  ( x) и f 2 ( x)  B  ( x) . Рассмотрим отношение
f1 ( x) A   x  A  A   x  A  A AB  B x   AB  A x 

  
 

f 2 ( x) B   x  B  B   x  B  B
BB   x 
A
1
1
 
  B x   A x  .
B B   x  B
1
Покажем, что
является ограниченной функцией. Будем расB   x 
сматривать такие значения функции B   x  , для которых
B
x  
(так как  x  является бесконечно малой). Тогда,
2
6
B x   B   x   B 
B
2

B
.
Но
в
этом
случае
2
1
2
1
 , а это значит, что
является ограниченной
B   x 
B   x  B
функцией.
1
По свойствам б.м.ф.  B x   A x  − б.м.ф.
B
Произведение ограниченной функции на б.м.ф. есть б.м.ф. Обозна1
1
чим
  B x   A x     x  .   x  − б.м.ф.
B   x  B
lim f ( x)
f1 ( x) x  x0 1
f1 ( x) A
Тогда

.
    x  , следовательно, lim
x  x0 f 2 ( x)
lim f 2 ( x)
f 2 ( x) B
x  x0
Теорема 2.7 (о трех функциях, связанных неравенствами).
Если три функции f (x ) , (x) и  (x) связаны неравенствами
f ( x)  ( x)   ( x) и lim f ( x)  lim  ( x)  A ,
то lim ( x)  A .
x  x0
x  x0
x  x0
Доказательство. Вычтем из всех частей неравенства A .
Тогда f ( x)  A  ( x)  A   ( x)  A .
По условию:
(  0  1  0 : x : x  x0.  1 , x  x0 )  f ( x)  A   ,
(  0   2  0 : x : x  x0.   2 , x  x0 )   ( x)  A   .
Пусть  − наименьшее из 1 и  2 .
Тогда для всех x , отличных от x0 и удовлетворяющих неравенству
x  x0   , будут выполняться неравенства
f ( x)  A   и  ( x)  A   , т. е.
   f ( x)  A   и     ( x)  A   .
Следовательно,    f ( x)  A  ( x)  A   ( x)  A   ,
т. е.    ( x)  A   или ( x)  A   .
Получили (  0    0 : x : x  x0.  , x  x0 )  ( x)  A   ,
а это и означает, что lim ( x)  A .
x  x0
7
§ 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И ОБЛАСТИ
Определение 1. Пусть функция y  f (x) определена в точке x0
и в некоторой окрестности этой точки. Функция y  f (x) называется непрерывной в точке x0 , если существует lim f ( x)  f ( x0 ) .
x  x0
Замечание. Из определения непрерывности функции, т. е. из
равенства lim f ( x )  f ( x0 )  f ( lim x ) (предел функции равен
x  x0
x  x0
функции предела аргумента) следует, что в случае непрерывной
функции знак функции и знак предела можно переставлять. Этот
результат имеет большое практическое значение, он используется
при нахождении пределов непрерывных функций.
Рассмотрим непрерывную функцию y  f (x) .
Закрепим произвольное значение x0 (рис. 1) и найдем соответствующее ему значение функции y  f ( x0 ) . Дадим аргументу x0
произвольное приращение x , в результате чего получим новое
значение аргумента x  x0  x , которому соответствует новое значение функции f ( x )  f ( x0  x ) . Разность между новым значением
функции f (x ) и старым ее значением f ( x0 ) называется приращением функции, соответствующим приращению аргумента x , и обозначается y , т. е. y  f ( x 0  x )  f ( x 0 ) .
y
f (x )
y  f (x )
y
f ( x0 )
x
0
x  x0  x x
x0
Рис. 1
Определение 2. Функция y  f (x) называется непрерывной в
точке x0 , если бесконечно малому приращению аргумента x со8
ответствует бесконечно малое приращение функции y , т. е. если
lim y  0 .
x  0
Покажем, что это определение эквивалентно определению 1.
Действительно, lim y  lim ( f ( x)  f ( x0 ))  lim f ( x)  f ( x0 )  0 ,
x 0
т. е. lim f ( x )  f ( x0 ) .
x  x0 0
x  x0
x  x0
Функция y  f (x) называется непрерывной в интервале
(a, b) , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция y  f (x) называется непрерывной на отрезке [a, b] ,
если она непрерывна в интервале (a, b) и в точке x  a непрерывна
справа (т. е. lim f ( x)  f (a) ), а в точке x  b непрерывна слева
xa 0
(т. е. lim f ( x)  f (b) ).
x b  0
Определение 3. Пусть функция y  f ( x) определена в некоторой окрестности точки x0 , кроме, быть может, самой точки x0 . Тогда x0 называется точкой разрыва функции y  f (x) , либо если
функция y  f (x) не определена в самой точке x0 , либо если она
определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.
Если в точке разрыва существуют конечные пределы
lim f ( x)  a1 и lim f ( x)  a2 , то она называется точкой разрыx x0 0
x  x0  0
ва первого рода, а величина a1  a2 − скачком функции y  f (x)
в точке x0 .
Если скачок функции y  f (x) в точке x0 равен нулю, то точка
x0 называется точкой устранимого разрыва.
Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва первого рода,
называется точкой разрыва второго рода.
Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно
из соответствующих теорем о пределах.
Теорема 3.1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть непрерывная (для частного за исключением тех
значений аргумента, в которых делитель равен нулю).
Доказательство. Пусть функции f1 ( x) и f 2 ( x) непрерывны
в точке x0 , а ( x)  f1 ( x)  f 2 ( x) , тогда lim f1 ( x)  f1 ( x0 )
x  x0
и lim f 2 ( x)  f 2 ( x0 ) . На основании теоремы 2.3 о пределах имеем
x  x0
9
lim  ( x )  lim [ f 1 ( x )  f 2 ( x )]  lim f 1 ( x )  lim f 2 ( x )  f 1 ( x0 )  f 2 ( x0 )
x x0
x x0
x x0
x x0
. Итак, сумма ( x)  f1 ( x)  f 2 ( x) есть непрерывная функция. Ана-
логично доказывается непрерывность произведения и частного непрерывных функций.
Теорема 3.2. Пусть функция u  ( x) непрерывна в точке x0 ,
а функция y  f (u ) непрерывна в точке u0  ( x0 ) . Тогда сложная
функция f (( x)) , состоящая из непрерывных функций, непрерывна
в точке x0 .
Доказательство. В силу непрерывности функции u  ( x) ,
lim ( x)  ( x0 )  u0 , т. е. при x  x0 имеем u  u0 . Поэтому из
x  x0
непрерывности функции y  f (u ) имеем: lim f (( x))  lim f (u ) 
x  x0
 f (u0 )  f (( x0 )) .
u u0
Это и доказывает, что сложная функция y  f (( x)) непрерывна в точке x0 .
Теорема 3.3. Если функция y  f ( x) непрерывна и строго монотонна на [a, b] оси Ox , то обратная функция y  ( x) также непрерывна и монотонна на соответствующем [c; d ] отрезке оси Oy .
Все основные элементарные функции непрерывны при всех
значениях x , для которых они определены.
Как известно, элементарной называется такая функция, которую можно задать одной формулой, содержащей конечное число
арифметических действий и суперпозиций (операции взятия функции от функции) основных элементарных функций. Поэтому из
приведенных выше теорем вытекает: всякая элементарная функция
непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств.
Теорема 3.4 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на
отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего
и наименьшего значений.
Функция y  f ( x) на рис. 2 непрерывна на [a; b] , принимает
свое наибольшее значение M в точке x1 , а наименьшее m − в точке
x2 . Для любого x  [a; b] имеет место неравенство m  f ( x )  M .
10
y
M
m
0
a
x1
x
b
x2
Рис. 2
Следствие. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
Теорема 3.5 (Больцано – Коши). Если функция y  f ( x) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах неравные значения f (a )  A и f (b)  B , то на этом отрезке она принимает и все
промежуточные значения между A и B .
Геометрически теорему иллюстрирует рис. 3. Для любого числа С , заключенного между A и B , найдется точка c внутри этого
отрезка такая, что f (c)  C . Прямая y  C пересечет график функции по крайней мере в одной точке.
y
y  f ( x)
B
C
f (с )
A
0
f (b)
f (a)
a
c
b
Рис. 3
11
x
Следствие. Если функция y  f ( x) непрерывна на отрезке
[a; b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри
отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка c , в которой данная
функция f ( x) обращается в нуль: f (c)  0 .
Геометрический смысл: если график непрерывной функции
переходит с одной стороны оси Ox на другую, то он пересекает ось
Ox (рис. 4).
y
f (b)  0
y  f ( x)
0
a
c
b
x
f (a)  0
Рис. 4
 
§ 4. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ВИДА   ,
 
и [   ]
0
 0 
 
Рассмотрим раскрытие неопределенностей вида   . Необхо 
димо определить наивысшую степень переменной под знаком предела. Затем числитель и знаменатель дроби поделить на переменную в наивысшей степени.
5n 2  8
Пример 1.1. lim 2
.
n   3n  2n
 
Решение. Имеет место неопределенность вида   . Наивыс 
шая степень n − вторая, делим числитель и знаменатель на n2. Получим
12
8
n 2  5 , так как lim 8  0 и lim 2  0 .
lim
2 3
n
n  n 2
n n
3
n
5
3n 3  2n 2  n
Пример 1.2. lim
.
n   ( n  2)( n 3  1)
 
Решение. Имеет место неопределенность вида   . Наивыс 
шая степень n − четвертая, делим числитель и знаменатель на n 4 .
Получим
3 2
1


n n2 n3
0
  0,
lim
n  
2 
1  1
 1  1 3 
n 

n 
1
3 2
2
 1
так как lim   2  3   0  0  0  0 , lim    0 и lim  3   0 .
n   n
n   n 
n   n 
n
n 
2n 6  5n 2  3n
Пример 1.3. lim
.
n   7 n 4  3n 3  9
Решение. Наивысшая степень n − шестая, делим числитель
и знаменатель на n 6 . Получим
5
3
2 4  5
n
n  2   ,
lim
3
9  0 
n 7


n 2 n3 n 4
3
9 
5
3
 7

lim  2  3  4  
так
как
lim  2  4  5   2  0  0 ,
n  
n   n
n
n 
n
n 
 0  0  0  0.
(2 x  3) 30 (3x  2) 20
Пример 1.4. lim
.
x
(2 x  1) 50
13
Решение. Наивысшая степень x − пятидесятая. Получим
30
20
3 
2

 2   3 
20
x 
x

2 30  3 20  3 
lim

  .
50
50
x 
2
2
1

 2 
x

x 2  15 x  3
Пример 1.5. lim
.
x  x  9 x 4  1
Решение. Наивысшая степень x − вторая. Разделив на x 2 чис15 3
1  2
x x  1.
литель и знаменатель, получим lim
x  1
3
1
 9 4
x
x
( x  1)( x  3)( x  2)
Пример 1.6. lim
.
2
6
x 
x  2x  1
Решение. Наивысшая степень x − третья. Разделив на x 3 чис 1  3  2 
1  1  1  
1
x  x  x 

.
литель и знаменатель, получим lim 
x 
1
1
2
 2 6
x
x
0
Для раскрытия неопределенности вида   необходимо выде0
лить в числителе и знаменателе дроби под знаком предела множитель, равный нулю, чтобы его сократить.
x 2  x  12
Пример 2.1. lim
.
x4
x 2  16
0
Решение. Имеет место неопределенность вида   . Разложим
0
числитель и знаменатель дроби на множители. Квадратный трехчлен x 2  x  12 имеет корни x1  4 и x2  3 . Тогда он раскладывается на множители: x 2  x  12  ( x  4)( x  3) . Получим
x 2  x  12
( x  4)( x  3)
x3 43 7



 .
lim
lim
lim
x  4 x 2  16
x  4 ( x  4)( x  4)
x 4 x  4
44 8
14
x 4  3x  2
Пример 2.2. lim 5
.
x 1 x  4 x  3
Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на множитель x  1.
4
3
2
x 1
x 0 x 0 x 3 x 2
x
4
x
3
x 3  x 2  x2
x
3
3 x 2
x
3
x
2
x
2
3 x  2
x
2
x
.
2 x2
2x2
0
Аналогично получим x 5  4 x  3  ( x  1)( x 4  x 3  x 2  x  3) .
x 4  3x  2
( x  1)( x 3  x 2  x  2)
 lim
 1.
Тогда lim 5
x 1 x  4 x  3
x 1 ( x  1)( x 4  x 3  x 2  x  3)
9  2x  5
Пример 2.3. lim 3
.
x 8
x 2
0
Решение. Имеет место неопределенность вида   . Под зна0
ком предела в числителе и знаменателе надо выделить множитель
x  8 . Для этого умножим и поделим числитель и знаменатель на
сопряженное числителю выражение: 9  2 x  5 . Затем умножим и
поделим знаменатель и числитель на выражение, приводящее к раз-
ности кубов в знаменателе,
lim
x 8
3
x 2  23 x  4 . Получим
( 9  2 x  5)( 9  2 x  5)(3 x 2  23 x  4)
3
2
( 9  2 x  5)( x  2)( x  2 x  4)
3
3
15

(9  2 x  25)(3 x 2  23 x  4)
2( x  8)(3 x 2  23 x  4)
 lim
 lim

x 8
x

8
( 9  2 x  5)( x  8)
( 9  2 x  5)( x  8)
2(3 x 2  23 x  4) 24

 2,4 .
 lim
x 8
10
9  2x  5
3
x6 2
Пример 2.4. lim
.
x  2
x3  8
Решение. Под знаком предела в числителе и знаменателе надо
выделить множитель x  2 . Для этого умножим и поделим числитель и знаменатель на выражение, приводящее к сумме кубов в чис-
лителе: 3 ( x  6) 2  23 x  6  4 . Знаменатель разложим на множители. Получим
(3 x  6  2)(3 ( x  6) 2  23 x  6  4)
lim
x  2 ( x
2
 2)( x  2 x 
 lim
x  2 ( x 
2
( x  6)  2 x  6  4)
x68
4)(3
2
2)( x  2 x 
2

( x  6)  2 x  6  4)
x2
4)(3
 lim
3
3


1
.
144
2)( x 2  2 x  4)(3 ( x  6) 2  23 x  6  4)
Рассмотрим раскрытие неопределенностей вида [  ] . Для
этого надо сделать преобразования под знаком предела, приводя 
щие к неопределенности вида   .
 
x  2 ( x 
Пример 2.5. lim
x 
x
2

 3x  x 2  9 .
Решение. Имеет место неопределенность вида [  ] . Преобразуем функцию под знаком предела, умножив и поделив на сопряженное выражение.
x 2 3 x  x 2  9 x 2 3 x  x 2  9
2
2

lim x  3 x  x  9  lim
2
2
x
x
x 3 x  x  9

 lim
x 

( x 2  3 x )  ( x 2  9)
2
2
x  3x  x  9

 lim
x 


3x  9
2
2
x  3x  x  9
16

.

Таким образом, получили предел, в котором имеет место не 
определенность вида   . Наибольшая степень x − первая, поэто 
му, поделив числитель и знаменатель на x , получим
9
3
3 0
3
x
lim

 .
x
3
9
1 0  1 0 2
1  1 2
x
x
 x3
x2 
.

Пример 2.6. lim  2
x 2x  1 2x  1


Решение. Приведем дроби под знаком предела к общему знаменателю. Имеем
 x 3 (2 x  1)  x 2 (2 x 2  1) 
x3  x 2
  lim
lim 
2
 x   (2 x 2  1)(2 x  1) .
x  
(
2
x
1
)(
2
x
1
)




 
Неопределенность вида   . Наибольшая степень x − третья, по 
этому, поделив числитель и знаменатель на x 3 , получим
1
lim
1
x
x  
1 
1
 2
 2 
x

x 2 

1 0
1
 .
( 2  0 )( 2  0 ) 4
Пример 2.7. lim x 4 / 3 (3 x 2  1  3 x 2  1).
x 
Решение. Умножим и разделим функцию под знаком предела
на следующее выражение: 3 ( x 2  1) 2  3 ( x 2  1)( x 2  1)  3 ( x 2  1) 2 .
Получим
x 4 / 3 (3 x 2  1  3 x 2  1)(3 ( x 2  1) 2  3 ( x 2  1)( x 2  1)  3 ( x 2 1) 2 )
lim
.
3 ( x 2  1) 2  3 ( x 2  1)( x 2  1)  3 ( x 2 1) 2
x 
Применим в числителе формулу разности кубов:
x 4 / 3 ( x 2  1  x 2  1)
lim

x   3 ( x 2  1) 2  3 ( x 2  1)( x 2  1)  3 ( x 2 1) 2
17
 lim
x  3
2x4 / 3
2
3
2
( x  1)  x
4
1  3
2
( x 1)
2
.
 
Неопределенность вида   . Поделим числитель и знаменатель на
 
x4/3:
lim
x 
2
2
1 
1 3

3  1

  3 1
2
4

x 
x
1
1
так как lim 2  0 и lim 4  0 .
x  x
x  x
1 

 1


x2 
2

2
2
 ,
111 3
§ 5. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
Рассмотрим некоторые пределы, имеющие большое практическое значение для раскрытия неопределенностей.
ln ( 1  z )
Теорема 5.1. lim
 1.
z 0
z
Доказательство.
Рассмотрим график функции у  ln x (рис. 5). Возьмем на нем
точки M с абсциссой 1 и N с абсциссой 1  z (точка K на оси OX ).
В прямоугольном треугольнике MNK имеем NK  ln ( 1  z ) ,
MK  z .
y
N
ln ( 1  z )
M
0

1
Рис. 5
Следовательно, tg  
ln (1  z)
z
.
18
K
1 z
y  ln x
x
Если z  0 , то N  M и секущая имеет своим пределом касательную. Известно, что касательная к графику функции у  ln x , прове
денная в точке с абсциссой 1, образует с осью OX угол, равный .
4

Отсюда следует, что при z  0   . Далее находим
4
ln ( 1  z )
ln ( 1  z )
lim
 lim tg   1 . Получили lim
 1.
z 0

z

0
z
z

4
sin z
 1.
z 0 z
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда z  0 .

Так как z  0 , то, начиная с некоторого значения, z  .
2
Геометрически очевидно, что AD   AD  ACD (рис. 6).
Теорема 5.2. lim
y
A
1
0
.
zD
B
C x
Рис. 6
Находим AD  2 sin z ,  AD  2 z , ACD  2 tg z .
Значит, 2 sin z  2 z  2 tg z .
Разделим полученное неравенство на 2 sin z  0 .
sin z
z
1

или cos z 
 1.
Получим 1 
sin z cos z
z
sin z
 1 (по теореме о трех
Так как lim cos z  cos 0  1 , то имеем lim
z 0
z 0 z
функциях, связанных неравенствами).
Рассмотрим теперь случай, когда z  0 . Тогда z   z .
sin(  z )
sin z
sin z
lim
 lim
 lim
 1.
z 0 z
z 0
z 0 z
z
19
Теорема 5.3. lim (1 
z 0
1
z) z
 e.
Доказательство. По основному логарифмическому тождеству получим
1
z) z
e
lim (1 
1
z) z
(1 
z 0
1
ln((1 z ) z


1
ln((1 z )
ez

ln(1 z )
e z .
ln((1 z )
lim e z .
z 0
В силу непрерывности показательной функции y  e x имеем
ln((1 z )
lim e z
z 0

ln((1 z )
e z 0 z
lim
 e1  e (по теореме 5.1).
z
 1
Следствие. lim 1    e .
z  
z
1
Доказательство. Введем новую переменную y  .
z
Так как z   , то y  0 .
1
z
 1
lim 1    lim (1  y ) y  e (по теореме 5.3).
z  
y 0
z
a z 1
Теорема 5.4. lim
 ln a .
z 0
z
Доказательство. Обозначим a z 1  y . Так как z  0 , то,
очевидно, y  0 . Выразим бесконечно малую z через бесконечно
малую y.
ln ( 1  y )
a z  1  y , z ln a  ln ( 1  y ) , z 
.
ln a
Далее находим
z
y
y
a 1
 lim
 ln a lim

lim
z 0
y

0
y

0
z
ln ( 1  y )
ln ( 1  y )
ln a
1
 ln a
y 0 ln ( 1  y )
ln a
 ln a lim
y
lim
y 0
1
 ln a (по теореме 5.1).
ln ( 1  y )
y
20
a z 1
Получили lim
 ln a .
z 0
z
(1  z ) m  1
Теорема 5.5. lim
 m.
z 0
z
Доказательство. Обозначим (1  z ) m  1  y .
Так как z  0 , то, очевидно, y  0 . Далее находим (1  z )m  1  y ,
ln ( 1  y )
m ln ( 1  z )  ln ( 1  y ) , т. е. m 
.
ln ( 1  z )
lim
( 1 z ) m 1
z
z 0
lim
m
z 0
lim
y 0
ln( 1  z )
y m ln( 1  z )
1
 lim 
 m lim


z 0 z
z

0
ln( 1  y )
ln ( 1  y )
z
y 0
y 0
y
ln ( 1  z )
z
 m (используя свойство пределов и теорему 5.1).
ln ( 1  y )
y
(1  z ) m  1
 m.
Получили lim
z 0
z
§ 6. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ
Определение. Если отношение двух бесконечно малых функ( x)
ций  /  стремится к единице, т. е. если lim
 1 , то  и  наx  x0 ( x )
зывают эквивалентными бесконечно малыми (при x  x0 ) и пишут
 ~ .
Теорема 6.1. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной бесконечно малой.
Доказательство. Пусть  ~ 1 и  ~ 1 при x  x0 . Тогда
  1 1 





  lim
lim 1 lim 1  1  1  lim 1 , т. е.
 lim 
x  x0 
x  x 0   1 1 
x  x 0 1 x  x 0  x  x 0 1
x  x 0 1





lim  lim 1 . Очевидно также, что lim  lim 1  lim
.
x  x0 
x  x 0 1
x  x0 
x  x0 
x  x 0 1
lim
21
Из теорем о замечательных пределах получена следующая таблица основных эквивалентностей.
1
sin x
( x  0)
x
6
ex 1
2
tg x
( x  0)
x
7
3
4
arcsin x ( x  0)
arctg x
( x  0)
1 cos x ( x  0)
x
x
8
9
a x 1
( x  0)
ln ( 1  x ) ( x  0)
log a (1  x) ( x  0)
x2
2
10 (1  x ) n  1 ( x  0)
5
11
n
1 x 1
( x  0)
( x  0)
x
Таблица
x ln a
x
x log a e
nx
x
n
Приведем несколько простых примеров:
ln ( 1  3 x )
3 x
3
Пример 1. lim
 lim
 .
x 0 x 2  5 x
x 0 x ( x  5 )
5
ln ( 1  2 x )
2x 1
Пример 2. lim
 lim
 .
x 0
x 0 4 x
sin 4 x
2
sin 2 3x
9x2 9
Пример 3. lim
 lim 2  .
x  0 1  cos 2 x
x 0 4 x
2
2
tg x
x
1
 lim

.
Пример 4. lim
x0 2 x  1
x  0 x ln 2
ln 2
5 x 25
e5 x  1
Пример 5. lim 5
 lim
 .
x 0 1  4 x  1
x 0 4 x
4
5
Рассмотрим нахождение пределов с помощью замены эквивалентных бесконечно малых.
4x
7
1
x 2 x6
Пример 3.1. lim
.
2
x2
ln ( 5  x )
0
Решение 1. Имеет место неопределенность вида   . Пред0
4x


ставим числитель следующим образом 7 1   2
 1  1, при
x x6 
22
2
1
4x
  x  5x  6
x  2 он эквивалентен  2
. Знаменатель
 1 
7  x  x  6  7 ( x 2  x  6)
дроби представим ln ( 5  x 2 )  ln ( 1  ( 4  x 2 )) . При x  2 знаменатель эквивалентен 4  x 2 . Имеем
 ( x 2  5 x  6)
1
1
( x  2)( x  3)
 lim



lim
2
2
x

2
x

2
7
56
(2  x)(2  x)
(4  x )( x  x  6)
1
( x  2)( x  3)
1
lim
.


224
56 x  2 ( x  2)(2  x)
Решение 2. Сделаем замену переменной x  2  t.
Тогда x  t  2, t  0.
4(t 2)
4x
1
7
7
1
2
2
t  2   t  2  6
x x6
lim

 lim
2
2
x2
t 0
ln ( 5   t  2  )
ln ( 5  x )
4t 8
7
t
 lim
t 0
t 0
 4t  4t 26
ln ( 5  t
7
 lim
2
2
4t 4)
4t 8t 2 3t 8
t
2
 3t 8
ln ( 1  t
t t 2
2
4t )
1
4t 8
7
 lim
t 0
1 1
t
2
ln ( 5  t
2
t
2
 3t 8
t
t 0
2

4t 4)
t t 2
7
 lim
 3t 8
1 1 1
1 1
4t

t (1 t )
1 t 2  3t 8
1
 lim 
 lim 

t 0 7  t ( t  4 )
t 0 7  t  t  4  ( t 2  3 t  8 )
(1 t )
1
1
1
   lim


.
7 t  0 ( t  4 )( t 2  3 t  8 )
7  4 8
224
Пример 3.2. lim
x 2 5
7 x  49
2
5
3
.
x 2 x x
Решение 1. Числитель дроби 7 x  49  7 x  72  72 (7 x  2  1) .
Выражение 7 x2  1 эквивалентно ( x  2) ln 7 при x  2 . Знаменатель дроби представим:
23
5
2

 x 2 2 

x
 2  
3
5




5
1  ( x  x ) 5 1 
1  1 .
x 2  x  x  ( x  x)
3


 x3 x 
 x x  



5
2
3
3
5
 x2  2 
1  x2  2 
Выражение 5 1   3
 1  1 эквивалентно  3
 1 при
5
x x 
x x 
x  2 . Тогда
49 ( x  2 ) ln 7 ( x 3  x ) 5
7 x  49
lim
.
 lim
5
x2 5
x2 5
2
3
3
2
3
x 2 x x
x  x ( x 2 x  x)
3
2
Выражение x  x  x  2 разделим на множитель x  2 , получим
x2
x3  x 2  x  2
x3  2 x 2
x2  x  1
x2  x  2
x2  2x
.
x2
x2
0
Значит x 3  x 2  x  2  ( x  2)( x 2  x  1) .
245( x  2) ln 7(8  2)
1470 ln 7( x  2)
1470 ln 7
lim


 lim 5


x  2 8  2 ( x  2)( x 2  x  1)
x  2 5 6 ( x  2)( x 2  x  1)
75 6
.
Решение 2. Сделаем замену переменной x  2  t.
Тогда x  t  2, t  0.
7 x  49
7t  2  49
lim
 lim

x2 5 x 2  2  5 x3  x
t  0 5 t  2 2  2  5 t  2 3  t  2 
 lim
t 0 5 t 2


49 7t  1
5 3

2
 4t  6  t  6t  11t  6
49 7t  1
 lim

2
t 0


t  4t  6
5 2
 1
t  4t  6   5 3
2
 t  6t  11t  6 




24
49  t  ln 7
 lim

2


t  4t  6
5 2
t  4t  6   5 3
 1  1  1

 t  6t 2  11t  6


49  t  ln 7
 lim

3
2
t 0


 t  5t  7t
5 2
t  4t  6   5 3
 1  1
2

 t  6t  11t  6


5  49  t  ln 7
 lim

3
2
t 0 5 2
 t  5t  7t
t  4t  6  3
t  6t 2  11t  6
245  t  ln 7  t 3  6t 2  11t  6
1470 ln 7

.
  lim 5
5
2
2
t 0
7
6
t  4t  6  t  t  5t  7
cos x  cos 1
Пример 3.3. lim
.
x 1
x2
e
e
Решение 1. В числителе дроби под знаком предела имеем
x 1
x 1
x 1
. Функция sin
эквивалентна
cos x  cos1  2 sin
sin
2
2
2
x 1
при
x  1.
Преобразуем
знаменатель
дроби:
2
2
2
e x  e  e(e x 1  1) ~ e( x 2  1) при x  1. Поэтому
2 ( x 1)
x 1
sin

sin 1
sin 1
x 1
2
2
lim

lim

.
2
x 1
x

1


e
(
x
1
)(
x
1
)
2
e
e ( x 1)
Решение 2. Сделаем замену переменной x  1  t .
Тогда x  t  1 , t  0.
t
t2
 2 sin  sin
cos x  cos 1
cos  t  1   cos 1
2
2


lim
lim
lim

2
2
x 1
t 0
t 0
x2




t

1
t

1

1
e
e
e
1
e
e e
t2
t2
 t  sin
 t  sin
sin 1
2
2
 lim
 lim

.
t 0 e ( t 2  2 t )
t 0 e  t   t  2 
2e
sin x
Пример 3.4. lim
.
x 1 ln( x  1)  ln 2
t 0





25

Решение 1. Числитель дроби sin x  sin (  ( x  1  1 )) 
 sin (    ( x  1 )) . По формулам приведения sin (    )   sin  ,
тогда sin (    ( x  1 ))   sin (  ( x  1 )) , а это эквивалентно
 ( x  1)
при
x  1.
Знаменатель
дроби
ln ( x  1 )  ln 2 
x 1
x 1 
x 1

 ln  1 
, при x  1.
 эквивалентен
2
2
2 

 2  ( x 1 )
sin x
lim
 2  .
 lim
x 1 ln ( x  1 )  ln 2
x 1
x 1
Решение 2. Сделаем замену переменной x  1  t .
Тогда x  t  1 , t  0.
sin   t  1 
sin  t   
sin x
 sin t
lim
 lim
 lim
 lim

x 1 ln ( x  1 )  ln 2
t  0 ln ( t  2 )  ln 2
t 0
t 0
t2
t


ln
ln   1 
2
2

 ln
 t
 2t
 lim
 2.
t 0 t
t 0
t
2
2 cos x  1
Пример 3.5. lim
.
 1  tg 2 x
x
 lim
4
Решение 1. Преобразуем числитель следующим образом, учи
1
тывая, что cos 
4
2


x
x
1 



4 sin
4.
2  cos x 
  2  cos x  cos   2 2 sin
4
2
2
2




x
x

4~
4 . ЗнаменаПри x  бесконечно малая функция sin
4
2
2
тель дроби разложим на множители


1  tg 2 x  ( 1  tg x )( 1  tg x )  ( tg  tg x )( 1  tg x ) , так как 1  tg .
4
4
26


sin   x 
4



Далее получим tg  tg x 
. При x  бесконечно ма4

4
cos cos x
4

 
лая функция sin   x  ~  x .
4
 4
В результате имеем



x
x
x
4
4
4
sin
sin
2 2
2
2
2

 0 , 5.
 2 2 lim
 2 lim


1

tg
2

2
x



x
x
x
4 ( 1  tg x ) 
4
4

Решение 2. Сделаем замену переменной x    t .

Тогда x  t  , t  0.
4
lim

x
4
 lim
t 0
 lim
2 cos x  1
2
1  tg x
 lim
t 0

2 cos t  cos 
4



 1  tg  t 
4


4


2 cos  t 
4



t 
4


2 sin t  sin  1
4
1  tg

2

 

   1  tg  t 
4
 

cos t  sin t  1
tg t  1  
 
  1  tg  t   
 1 
4 

 1  tg t  
t 0 

 1





 2 sin 2
 lim
tg t  1  
 
  1  tg  t   
 1 
4 

 1  tg t  
t 0 
27
t
t
t
 2 sin  cos
2
2
2

t
t
t 
 2 sin  sin  cos 
2
2
2
 lim
t 0  1  tg t


 lim
 tg t  1  
 
  1  tg  t   
1  tg t
 4 

t
t
t 
 2  sin  cos 
2
2
2
 2 tg t  
 

  1  tg  t   
4 

 1  tg t  
t
t 

 sin  cos   1  tg t 
2
 2
 lim
 0 , 5.
t 0

 
2  1  tg  t   
 4 

t 0 
Пример 3.6. lim
x 3
 lim
 lim
t
t
t 
 2  sin  cos 
2
2
2
 2 tg t

 1  tg t
t 0 
t
t 

 t  sin  cos 
2
2

t 0 
2t

 1  tg t
ln ( x 2  8 ) sin x
2 x 3

 
  1  tg  t   
 4 


 
  1  tg  t   
4 


.

3
 27
Решение 1. Бесконечно малая функция
ln ( x 2  8 )  ln ( 1  ( x 2  9 )) эквивалентна x 2  9  ( x  3)( x  3)
при x  3 . Знаменатель дроби
3 2 x  3  27  3 3 ( 3 2 x  3  3  1 ) ~ 3 3 ( 2 x  6 ) ln 3 при x  3 . Тогда
( x  3 ) 6 sin 3 sin 3
( x  3 )( x  3 ) sin x
 lim

.
lim
3
x 3
x  3 54 ln 3 ( x  3 )
9 ln 3
3 ( 2 x  6 ) ln 3
Решение 2. Сделаем замену переменной x  3  t .
Тогда x  t  3, t  0.
ln ( x 2  8) sin x
ln t  32  8 sin t  3
lim

 lim
x 3
t 0
32 x  3  27
32t  3 3  27
t 2  6t sin t  3
ln (t 2  6t  1) sin t  3
 lim
 lim

t 0
t 0
32t  3  27
27 32t  1
t t  6  sin t  3
t  6 sin t  3  sin 3 .
 lim
 lim
t 0
t 0
27  2t  ln 3
54 ln 3
9 ln 3



28




cos
Пример 3.7. lim
x 1
3 x
1 x 2
2
x3
.
(9
– 9 ) tg x
Решение 1. В числителе и знаменателе дроби под знаком предела надо выделить множитель x  1. Преобразуем числитель
3 x
 3 3

 3

cos
 cos 
( x  1  1 )   cos 

( x 1) .
Воспользо2
2
 2

 2

 3

вавшись формулой приведения cos 
    sin  , имеем
 2

3
3
3x
cos
 sin ( x  1) ~ ( x  1) при x  1. Знаменатель предста2
2
2
3
3
9 x  9  9(9 x 1  1) ~ 9( x 3  1) ln 9
при
вим
x  1. Отсюда
3
( x 1) 1 x 2
( x 1) 1 x 2

 2
2
.
 lim

lim
3
2
x 1
x 1
18
tg
1
6
9 ( x  1 ) tg x
( x  1 )( x  x  1 ) tg x
Решение 2. Сделаем замену переменной x  1  t .
Тогда x  t  1, t  0.
3   t 1 
3 x
cos
1 x 2
cos
1  t 1  2
2
2
lim
lim


3
x 1
t 0
 t 1  3
x
 9 ) tg  t  1 
(9
(9
 9 ) tg x
 3 t 3  
2
3 t
2
cos 

 t 2t 2
sin
t 2t 2
2 
 2
2


lim
 lim
3
t 0
t 0
 t 1  3 1
9  t  1   1 tg  t  1 
 1 ) tg  t  1 
9(9
3 t
3 t
2
2
t 2t 2
t 2t 2
2
2
 lim
 lim

3
2
2
t 0
t 0
9 t  3 t  3 t tg  t  1 
9 t t  3 t  3 tg  t  1 


= lim
t 0



t 2 2t 2

6 t 2  3 t  3 tg  t  1 


 2
.
18 tg 1
29


§ 7. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
Две бесконечно малые функции сравниваются между собой
с помощью их отношения.
( x)
1. Если lim
 a  0 (a  R ) , то  и  называются бесx  x 0 ( x )
конечно малыми одного порядка.
( x)
2. Если lim
 0 , то  называется бесконечно малой боx  x0 ( x )
лее высокого порядка, чем .
( x)
  , то  называется бесконечно малой бо3. Если lim
x  x 0 ( x )
лее низкого порядка, чем .
( x)
4. Если lim
не существует, то  и  называются неx  x 0 ( x )
сравнимыми бесконечно малыми.
Пример 4.1. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно
малые в точке x0 :
2
 ( x )  tg ( x  5 x  6 );  ( x )  sin x ( e
 e 4 x6 ); x 0  3.
Решение.
2
2
( x)
tg ( x  5 x  6 )
x 5 x 6
1
lim
,
 lim

lim
2
x x 0  ( x )
x 3
sin 3 x 3 e 4 x  6 ( 2 x 2  4 x  6 )
2x
4 x6
e
sin x ( e
)
2
2x
так как tg ( x 2  5 x  6 ) эквивалентен x 2  5 x  6  ( x  3)( x  2) , а
выражение
2
e 2 x  e 4 x  6  e 4 x  6 (e 2 x
2
 4 x 6
 1) эквивалентно e 4 x  6 (2 x 2  4 x  6)
при x  3 , а 2 x 2  4 x  6  2( x  3)( x  1) . Тогда получим
1
( x  3)( x  2)
1

.
lim
2e18 sin 3 x  3 ( x  3)( x  1) 4e18 sin 3
Значит, (x) и (x) – бесконечно малые одного порядка.
Пример 4.2. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно
малые в точке x0 :
30
2
 ( x )  sin ( 2 x  1 )  sin ( x  2 );  ( x )  2 2 x 1  8 ; x 0  1.
sin ( 2 x  1 )  sin ( x  2 )
(x)
Решение. lim
 lim
.
2
x x 0  ( x )
x 1
2 x 1
2
8
Под знаком предела преобразуем числитель
2 x 1 x  2
2 x 1 x  2
sin ( 2 x  1 )  sin ( x  2 )  2 sin
cos

2
2
3x  3
3x  3
x 1
 x 1
при x  1, так как бескоcos
~ 2
 2 sin
 cos
2
2
2
2


x 1
x 1
эквивалентна
(при x  1).
нечно малая функция sin
2
2
2
2
( x)  2 2 x 1  8  23 (2 2 x 1 3  1) ~ 23 (2 x 2  2) ln 2 при x  1.
3x  3
 x 1
3x  3
2
 cos
( x  1) cos
cos 3
2
2
2
 lim

.
Получим lim  3 2
x 1 2 ( 2 x  2) ln 2
x 1 16( x  1)( x  1) ln 2
32 ln 2
Значит, (x) и (x) – бесконечно малые одного порядка.
Пример 4.3. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно
малые в точке x0 :
 ( x )  ( 5 x  2  1 )( e
Решение. lim
x x 0
tg x
e
(x)
( x)
tg 3
2
);  ( x )  ln ( 1  x  3 x ); x 0  3.
 lim
( 5 x  2  1 )( e
2
x 3
tg x
e
tg 3
)
.
ln ( 1  x  3 x )
Преобразуем бесконечно малую функцию
 ( x )  ( 5 x  2  1 )( e tg x  e tg 3 ) .
x3
при x  3 , а
Множитель 5 x  2  1  5 1  ( x  3)  1 ~
5
e tg x  e tg 3  e tg 3 ( e tg x  tg 3  1 ) ~ e tg 3 ( tg x  tg 3 ) при x  3 . Далее получим
sin ( x  3 )
x3
при x  3 . Преобразуем бескоtg x  tg 3 
~
cos x cos 3 cos x cos 3
нечно малую функцию  ( x )  ln ( 1  x 2  3 x ) ~ ( x 2  3 x ) при
x  3.
Подставляем полученные эквивалентные функции в исходный
предел
31
x  3 tg 3
e
( x 3)
e tg 3 ( x  3 ) 2
5
lim
 lim

x  3 cos x cos 3 ( x 2  3 x )
x  3 5 cos x cos 3  x ( x  3 )
 lim
e tg 3 ( x  3 )
2
x 3
 0.
15 cos 3
Тогда (x) бесконечно малая более высокого порядка, чем (x) .
§ 8. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ФУНКЦИИ
Пример 5.1. Дана функция
2
, x0
x
y (x) 
4, 0  x  2
6  x, x  2
Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции (рис. 7).
y
4
0
6
2
x
Рис. 7
Решение. На интервалах (0; 2), ( 2 ; ) функция непрерывна.
Проверке подлежат только точки x  0 и x  2 . Для того чтобы убедиться, что функция непрерывна в точке, требуется проверить, равны ли между собой односторонние пределы и равны ли они значению функции в этой точке. Рассмотрим точку x  0 .
2
lim y ( x)  lim   , lim y ( x)  lim 4  4 .
x  0
x  0
x  0
x  0 x
32
Значит, x  0 − точка разрыва функции второго рода.
Рассмотрим точку x  2 .
lim y ( x)  lim 4  4 , lim y ( x)  lim (6  x)  4 , y (2)  4 , значит,
x 20
x  2 0
x20
x20
в точке x  2 функция непрерывна.
Ответ. Функция непрерывна на интервалах
( 0;  ),
x  0 − точка разрыва функции второго рода.
(  ; 0 ) ,
Пример 5.2. Дана функция
 x, x  0

y ( x)  sin x, 0  x  
2, x  .

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции (рис. 8).
Решение. На интервалах (  ; 0 ) , ( 0 ;  ) , (  ;  ) функция непрерывна. Проверке подлежат точки x  0 и x   . Рассмотрим односторонние пределы функции в точке x  0 .
lim y ( x )  lim x  0 ,
x  0
x  0
lim y ( x )  lim sin x  0 , y ( 0 )  sin 0  0 .
x  0
x  0
Односторонние пределы в точке x  0 равны между собой и
совпадают со значением функции, значит, в точке x  0 функция непрерывна.
Рассмотрим точку x   .
lim y ( x)  lim sin x  0 , lim y ( x)  lim 2  2 , значит, x   −
x0
x0
x0
x0
точка разрыва функции первого рода.
y
2
0

x
Рис. 8
33
Ответ. Функция непрерывна на интервалах ( ; ) , (;) ,
x   − точка разрыва функции первого рода.
Пример 5.3. Дана функция
 x  2, x  1

y ( x )   x 2 ,  1  x  2
 4, x  2.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции (рис. 9).
Решение. На интервалах ( ;1) , (1;2) , ( 2 ;  ) функция непрерывна.
Рассмотрим односторонние пределы функции в точке x  1.
lim y ( x )  lim ( x  2)  1 , lim y ( x )  lim (  x 2 )  1.
x  1 0
x  1 0
x  1 0
x  1 0
Односторонние пределы в точке x  0 конечны и не совпадают, значит, x  1 − точка разрыва функции первого рода.
Рассмотрим точку x  2 .
lim y ( x )  lim (  x 2 )  4 , lim y ( x )  lim ( 4)  4 ,
x 20
2
x 2 0
x 20
x 2  0
y ( 2)  2  4 , значит, в точке x  2 функция непрерывна.
y
1
1
0
2
x
4
Рис. 9
Ответ.
Функция
непрерывна
(  ; 1 ) , ( 1 ;  ) ,
x  1 − точка разрыва функции первого рода.
34
на
интервалах
2x  5
.
x  10
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
Решение.
Функция
непрерывна
при
x  (  ; 10 )  ( 10 ;  ) .
Пример 6.1. Дана функция y ( x) 
5
5
2
2x  5
x  2 , lim 2 x  5  lim
x  2.
lim
 lim
10
10
x   x  10
x  
x   x  10
x  
1
1
x
x
Точка разрыва x  10 − второго рода. Найдем односторонние пределы
2
2x  5
2x  5
  ; lim
  . Знак предела зависит от
x  10  0 x  10
x  10  0 x  10
знаков числителя и знаменателя дроби. В обоих случаях числитель
стремится к –15, но знаменатель в пределе слева остается отрицательным, а в пределе справа – положительным (рис. 10).
lim
y
2
x
–10
Рис. 10
1
.
( x  1)( x  2)
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка (рис. 11).
Решение. Функция непрерывна при
x  (  ; 2 )  ( 2 ; 1 )  ( 1 ;  ) .
Пример 6.2. Дана функция y ( x) 
35
1
1
 0 , lim
 0.
x   ( x  1)( x  2)
x   ( x  1)( x  2)
Рассмотрим точку x  2 − это разрыв второго рода.
lim
Найдем односторонние пределы
1
1
  ; lim
  . Знак предела
x  2  0 ( x  1)( x  2)
x  2  0 ( x  1)( x  2)
зависит от знаменателя дроби.
lim
y
–2
x
1
Рис. 11
2
 3 x 1.
Пример 6.3. Дана функция y ( x)
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
Решение. Функция непрерывна при x  (,1)  (1,) .
lim
x  
2
3 x 1
 30  1, lim
x  
2
3 x 1
 30  1.
2
  , показаx 1 0 x  1
тель степени стремится в минус бесконечность, когда x  1  0
Точка разрыва x  1 . Рассмотрим предел
(слева), тогда
lim
x 1 0
2
3 x 1
lim
x 1 0
2
3 x 1
lim
 [3  ]  0 . Аналогично предел справа
 [3  ]   .
36
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Вариант № 1
1. Найти пределы:
3n 2  5n  4
;
а) lim 3
n   2n  6n 2  3
3x 4  2
.
б) lim
x   x8  3x  4
2. Найти пределы функций:
1 2 x  3
;
а) lim
x4
x 2
б) lim (
x 
x
x
x
x).
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
cos x
а) lim
;
x   / 2 (   2 x )(1  4 x )
x  tg ( 3 x )
б) lim
.
1 x
x0
2
2
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке
x0 :
 ( x )  ln ( x 2  3 x  1 );  ( x )  ( x  3 )( x  1  2 ); x 0  3.
5. Дана функция
x, x0

y ( x )   x 2 , 0  x 1
 2 , x  1.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
x3
.
6. Дана функция y ( x) 
x2
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
37
Вариант № 2
1. Найти пределы:
5n 4  7 n 3  8
а) lim
;
n   3n 2  2n  1
3x 2  x 3  2
б) lim
.
2
x 
x  x 1
2. Найти пределы функций:
x  13  2 x  1
;
а) lim
2
x 3
x 9
1
б) lim ( 5 x 2  8 x  3  3 x 2  4 x  3 ).
x  x
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
(1  cos 5 x)(2  x 2 )
а) lim
;
x 0
x2
ln(1  x)(sin x  sin 1)
б) lim
.
x 1
sin x ln x
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке
x0 :
( x)  e x
5. Дана функция
2
2x
 e3 ; ( x)  3 5 x  4  1;
x0  1.
2
 x , x  0

y ( x )   2  x, 0  x  2
0,
x  2.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер.
Построить график функции.
1
5 x  3.
6. Дана функция y ( x) 
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
38
Вариант № 3
1. Найти пределы:
6n 5  7 n 4  3
а) lim 6
;
n   7 n  5n 2  4
x x x
.
x 
x 1
2. Найти пределы функции:
3
x6 2
а) lim
;
3
x  2
x 8
б) lim x( x 2  1  x 2  1).
б) lim
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
tg x  tg x 0
а) lim
;
x x 0
xx0
5
б) lim
(1 x ) 3 1
.
x ln ( 1  x )
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке x0 :
2
x 0
2
( x)  3 x  3 x  2 ; ( x)  x 2  3x  2; x0  1.
5. Дана функция
2  x , x  0

y ( x)   x 2  1, 0  x  1
3  x, x  1.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
1
1
6. Дана функция y ( x)  
.
x x2
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
39
Вариант № 4
1. Найти пределы:
4n 3  2n 2  n
а) lim
;
n   3n 3  2n  1
3 2
x x
.
б) lim
x  x  2
2. Найти пределы функций:
x  a  xa
;
а) lim
2
2
xa
x a
б) lim ( x  3 1  x 3 ).
x
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
sin x  cos x
а) lim
;
x / 4
  4x
esin 2 x  esin 4 x
.
б) lim
x 0 3 1  x 2  3 1  x
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке x0 :
( x)  5  x  5  x ; ( x)  ln( x 2  4 x  1); x0  0.
5. Дана функция
x0
 x 1,

y ( x )   ( x 1 ) 2 , 0  x  2
3,
x  2.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
1
e 2 x .
6. Дана функция y ( x) 
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
40
Вариант № 5
1. Найти пределы:
а) lim
x  4
x2  1  x
3
;
x xx
5n 2  3n  2
б) lim 4
.
n   6n  2n  1
2. Найти пределы функций:
2x  7  5
а) lim
;
x 9
3 x
б) lim (3 1  x  3 x ).
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
( 2 x 2  5 x  2 ) tg ( x  2 )
;
а) lim
x2
cos x  cos 2
x
x2
5 5
.
б) lim
x  0 (1  e x ) sin 3 x
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке x0 :
 ( x )  5 1  8 x  1 ;  ( x )  ln ( 3 x  1 ); x 0  0.
5. Дана функция
x0
 x 1,

y(x)x3 ,
0  x 1
  2 x  4 , x  1.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
x2
.
6. Дана функция y ( x) 
( x  2) 2
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
41
Вариант № 6
1. Найти пределы:
3n8  8n  1
а) lim
;
3
n
8n  1
x 2  3x
.
б) lim
x  3 x3  2 x 2
2. Найти пределы функций:
x2  x  1  1  x  x2
а) lim
;
x 0
x2  x
б) lim x( x 2  1  x).
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
(1  cos 5 x) arcsin x
а) lim
;
x 0
1  cos 3 x
ln ( 3  x )( 2 sin x  2 sin 2 )
б) lim
.
2
x2
( x  2 ) ln ( 3  x  3 x )
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке x0 :
( x)  5 x  1  5 1  5 x ; ( x)  sin x( 1  2 x  1); x0  0.
5. Дана функция
 3  x , x  1

y ( x )   x 2 1 , 1  x  1
x,
x  1.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
x2  8
6. Дана функция y ( x) 
.
x4
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
42
Вариант № 7
1. Найти пределы:
10 6 n
а) lim 2
;
n  n  1
x 3 x 4 x
б) lim
.
x
2x  1
2. Найти пределы функций:
4  x  x2  2
а) lim
;
x  1
x 1
б) lim ( x 3  x  1  x 3  x  1).
x
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
tg x  sin x
;
а) lim
3
x 0
x
3
x 3 2 x
б) lim
.
x 2 1
x  1
9
3
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке x0 :
 ( x )  ( x  3 ) ln ( 2  x );  ( x )  3 3 x  2 1; x 0  1.
5. Дана функция
 x  2, x  1

y ( x)   x , 1  x  4
 x  6, x  4.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
6. Дана функция y ( x)  21 / x .
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
43
Вариант № 8
1. Найти пределы:
3n 2  5
а) lim 2
;
n   2n  3n  1
x  3 6x4
.
б) lim
2
x 
3x  1
2. Найти пределы функций:
1  x  x2  7  2x  x2
а) lim
;
x2
x2  2x
б) lim (( x  1) 2 / 3  ( x  1) 2 / 3 ).
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
ln( 1  3 x sin x )
;
а) lim
x
2
x 0
( 2  1 ) tg x
8x  7 x
б) lim x
.
x0 6  5x
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке x0 :


 ( x )  1  2 cos x ;  ( x )  tg ( x  ); x 0  .
3
3
5. Дана функция
x  3, x  0
y(x)
x , 0  x 1
1
, x 1
x
Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
2
.
6. Дана функция y ( x)  2
x 4
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
44
Вариант № 9
1. Найти пределы:
3n 3  2n  1
;
а) lim
n   ( n  1)(n 2  1) 2
б) lim
x  3
2x2  1
3
.
2x  1
2. Найти пределы функций:
4
x 1
а) lim
;
x 1 x  1
б) lim ( x 4 / 3  ( x 2  1) 2 / 3 ).
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
ln( x  2)  ln 2
;
а) lim
x 0
x
5
1 2 x 1
.
б) lim
x 0 ( e x  1 ) tg 3 x
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке x0 :
( x)  sin x  sin 2; ( x)  2 x 2  5 x  2; x0  2.
5. Дана функция
sin x, x   / 2

y ( x)  1,
/2  x  4
 x  4 , x  4.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
x 1
6. Дана функция y ( x) 
.
x( x  2)
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
45
Вариант № 10
1. Найти пределы:
5n 2  10
;
а) lim
n   ( n  2)(n 3  1)
б) lim
3x  1  3 x 4
2
x 
.
3x  1
2. Найти пределы функций:
3 x
а) lim
;
x 9 3x  2  5
б) lim x 4 / 3 (3 x 2  1  3 x 2  1).
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
ln cos x
а) lim
;
2
x 0
ln ( 1  x )
2
e x  x  e4x
.
б) lim 4
x  3 1  2 x  4 10  x
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке x0 :
( x)  x sin 2 x; ( x)  3x  1  1; x0  0.
5. Дана функция
cos x, x  0

y ( x)  1  x, 0  x  2
1,
x  2.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
sin x
6. Дана функция y ( x) 
.
x
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
46
Вариант № 11
1. Найти пределы:
5n 3  9n 2  4
;
а) lim
n   ( n  1) 3 ( n  2)
4
б) lim
x 4  3x 2
x  3
3
.
x  10
2. Найти пределы функций:
а) lim
x 0
x  1  x2  1
;
x 1 1
б) lim ( 4 x 2  x  1  x 2  x ).
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
cos ( x  1 )  cos ( 5 x  1 )
а) lim
;
x  0 ln ( 1  x )  ln ( 2 x  1 )
5
3x5 2
б) lim
.
x 9 ( 3 
x ) sin ( x  9 )
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке x0 :
2
2
 ( x )  tg ( x  2 x  3 );  ( x )  ( e
1)( e
 e 2 x5 ); x 0  1.
5. Дана функция
 cos x , x  0

y ( x )   (1 x ) 2 , 0  x  2
0,
x  2.

2
x
7x
Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
x
.
6. Дана функция y ( x) 
( x  3)( x  8)
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
47
Вариант № 12
1. Найти пределы:
(n  4) 2 (n  3) 2
;
а) lim
n   ( 2n  1) 3 (3n  1)
б) lim
2 x 2  3x  4
x 
4
.
x 1
2. Найти пределы функций:
3
3x 2  1  1
а) lim
;
x 0
x3  x 2
1
б) lim ( 6 x 2  1  5 x 2  4 x ).
x  x
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
7
x 1 1
а) lim
;
x
x 0
( 2  3 ) tg x
б) lim
sin ( e x 1  1 )
.
ln x
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке x0 :
x 1
 ( x )  sin ( 3 x  1 )  sin ( x
5. Дана функция
2
 3 );  ( x )  3
2 x 1
 27 ;
x 0  2.
 x 2  1, x  0

y ( x )   cos x , 0  x   / 2
x,
x   / 2.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
1
6 5 x .
6. Дана функция y ( x) 
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
48
Вариант № 13
1. Найти пределы:
5n 7  8n 6  2n 2  1
;
а) lim
n   ( n  1) 4 ( 2n 2  1)
5
x5  2 x  3 x3  1
б) lim
.
x 
x3 x
2. Найти пределы функций:
3
а) lim
x  1
2x  1  1
;
3
x2x
б) lim ( x  x 2  ax  b ).
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
1  cos 3 x
;
а) lim
x  0 x sin x
ln ( x  2 ) arcsin ( x  3 )
.
б) lim
x 3
ln cos ( x  3 )
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке x0 :
( x)  e x 1  e x 1 ; ( x)  sin x ; x0  0.
5. Дана функция
 x , x  0

y ( x)  sin x, 0  x  
 x  2, x  .

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
2
6. Дана функция y ( x)  x  2 .
x
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
49
Вариант № 14
1. Найти пределы:
( n 1) 3 ( n 1) 2
а) lim
;
n  5 n 4  4 n 3  3 n
x2
б) lim
.
x   10  x 3 x
2. Найти пределы функций:
3
1  3x  1  2 x
а) lim
;
x 0
x  x2
б) lim ( x 2  a 2  x 2  b 2 ).
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
ln ( 2 x 2  4 x  15 )
;
а) lim
2
x2
x  3 x  10
2 cos x  1
б) lim
.
x / 4 1  tg 2 x
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке x0 :
( x)  3 x  1  1; ( x)  sin 3 x  sin 7 x; x0  0.
5. Дана функция
x0
0,

y ( x )   tg x ,  0  x   / 2
 x  1 , x   / 2.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
x2
.
6. Дана функция y ( x) 
x3
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
50
Вариант № 15
1. Найти пределы:
1000n 2  100n  10
;
а) lim
2
n 
(n  1) n
3
x 2  1  x3  1
б) lim
.
x 
x 1
2. Найти пределы функций:
2x  1  3
;
а) lim
x4 x  2  2
б) lim ( 4 x 2  7 x  4  x).
x
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
x cos
2
x
x
e
e
а) lim
;
x  0 tg ( 1  x )  tg ( x  1 )
ln x  1
б) lim
.
x e x  e
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке x0 :
3
 ( x )  ( x  1 ) ln ( 2  x 2 );  ( x )  3 x  2  2 x 2  1 ; x 0  1.
5. Дана функция
 x , x  0

y ( x)  1 / x, 0  x  2
1 / 2, x  2.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
ex 1
6. Дана функция y ( x) 
.
x
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
51
Вариант № 16
1. Найти пределы:
n 5  2n 3  1
;
а) lim
n   n( n  1) 3 ( 2n  1) 2
14 x  1
б) lim
.
x  2 x  3 x 2  x  x
2. Найти пределы функций:
а) lim
3 x 6
x 3
1 4  x
;
б) lim x 3 / 2 ( x 3  2  x 3  2 ).
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
1
);
а) lim ( ctg x 
x 0
sin x
2
ln ( x  1 )  ln ( 3 x  1 )
.
б) lim
4
x 0
16  x  2
4. Сравнить две функции ( x) и ( x) , бесконечно малые в точке x0 :
3
( x)  3 3  x  5  x 2 ; ( x)  tg 2 ( x  2); x0  2.
5. Дана функция
x 1
x,

y ( x )   ( x  2 ) 2 , 1 x  4
4,
x  4.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
1 2 x
6. Дана функция y ( x ) 
.
x4
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
52
Вариант № 17
1. Найти пределы:
n8 (n  1)
;
а) lim
n   (3n  1) 3
б) lim
x 
5x6  1
12
7
4
x  6 x  5x  2
2. Найти пределы функций:
4
mx  1  1
;
а) lim
x 0
x
б) lim ( x 3  1  x 2  1).
.
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:

tg  tg x
3
а) lim
;
x   / 3 1  2 cos x
x2  x  1  x  1
б) lim
.
x0
2  2cos x
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке x0 :
( x)  ( 6 x  1  5) sin 2 ( x  4); ( x)  ln( x 2  x  11); x0  4.
5. Дана функция
  x , x  1

y ( x)  1,
1  x  2
 x  2, x  2.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
x2
6. Дана функция y ( x) 
.
x3
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
53
Вариант № 18
1. Найти пределы:
(2n  3) 4
а) lim 4
;
n   3n  2n 3  2n  1
9x2  1  3 x2  1
.
б) lim
5 4
4
x 
x 1  x 1
2. Найти пределы функций:
2  3 x 1
;
а) lim 2
x  7 x  49
б) lim ( ( x  a)( x  b)  x) .
x
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
ln tg x
;
а) lim
x   / 4 1  ctg x
23 x  2 x
.
б) lim
x0 x  1  x 2  1
4. Сравнить две функции ( x) и ( x) , бесконечно малые в точке
x0 :
5
( x)  5 x  1  x 2  1; ( x)  (3 x  1) arcsin x; x0  0.
5. Дана функция
1 / x, x  0

y ( x)  sin x, 0  x  
 x  , x  .

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
x
6. Дана функция y ( x)  x 
.
2x 1
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
54
Вариант № 19
1. Найти пределы:
(2n  3) 3 (3n  1) 2
;
а) lim
n   ( n  4) 4 (5n  6) 2
б) lim
x  3
5x 2  4  4 x5  1
3
6
7
.
x 2 x 4
2. Найти пределы функций:
( x  1  3)( x  6  2)
;
а) lim
x 10
x  10
б) lim (3 x 3  x 2  1  3 x 3  x 2  1) .
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
( 2 cos x  2 ) sin x
а) lim
;
x / 4
tg x  1
ln(5 x 3  1)
.
б) lim
x  0 x sin 5 x
4. Сравнить две функции ( x) и ( x) , бесконечно малые в точке
x0 :
2
( x)  4 x  1  4 5  x ; ( x)  2 x  2 x  2 ; x0  2.
5. Дана функция
  2, x 1

y ( x )  1, 1  x  3

2
 ( x  4 ) , x  3.
Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
x 2  3x  8
6. Дана функция y ( x) 
.
( x  1)( x  5)
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
55
Вариант № 20
1. Найти пределы:
(4n) 4 (5n  3) 2
а) lim
;
n   7 n 3  5n  4
4
2 x 2  3x  x
.
б) lim
3 3
x 
x 1
2. Найти пределы функций:
x2  4  2
а) lim
2
x0
x 9 3
;
б) lim ( x 3  3 x 2  x 2  2 x ) .
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
cos x  cos 3 x
;
а) lim
2
x 0
x  1 ln ( x  x  1 )
5x
2
2x
 125
.
x 1
sin x
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке
x0 :
б) lim
 ( x )  ( 6 x 1  5 )sin 2 ( x 2  4 );  ( x )  ln( 3 x  2 )  ln 8 ; x 0  2.
5. Дана функция
 x , x  0

y ( x)   x  1, 0  x  4

 x  3, x  4.
Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
x2
.
6. Дана функция y ( x)  2
x 9
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
56
Вариант № 21
1. Найти пределы:
n 3 (3n  4) 3
;
а) lim
n   ( 2n 2  1)( 4n  7) 5
5
б) lim
x4  4x  2  3 x2
3
x 
4
.
x 4
2. Найти пределы функций:
x2  2 x
;
а) lim 3
x0 x  2  3 2  x
б) lim x1 / 3 (( x  1) 2 / 3  ( x  1) 2 / 3 ) .
x
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
1  cos x
а) lim
;
x2
x 0
1 2
б) lim
x
2
1 ( e
x
2
2
e 2 )
.
ln ( 3  x )  ln ( x  1 )
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке
x0 :
( x)  4 2 x  5  1; ( x)  cos x  cos 3; x0  3.
5. Дана функция
 2 x , x  1
x2
y(x)
2,
1  x  0
1
,
x  0.
x
Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
x2
.
6. Дана функция y ( x) 
( x  1) 2
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
57
Вариант № 22
1. Найти пределы:
2n 3  1
а) lim 4
;
n   4n  2n 3  7 n 2  n  1
4 5
x  4x  x
.
б) lim
3 4
x 
x 1
2. Найти пределы функций:
x  13  2 x  1
;
а) lim
x  3 ( x 2  9)( x 2  1)
б) lim ( x 2  x  1  x 2  x  1) .
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
2
e x  2 x  5  e3
а) lim 3
;
x2 x  4  3 8  x
tg ( x 2  3 x )
б) lim
.
x  0 x sin ( x   / 2 )
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке
x0 :
 ( x )  x 2  16  4 ;  ( x )  ln ( x  3 )  ln 3 ; x 0  0.
5. Дана функция
 x 2  2, x 1

y ( x)   x  2, 1 x  3
  4 , x  3.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
1
6. Дана функция y ( x) 
.
x( x  1)
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
58
Вариант № 23
1. Найти пределы:
5n 4  4n 2  4
;
а) lim
n 
(n 4  1) 2
3
б) lim
x 4  3x 3  3 x 2  2
4
x 
3
x  3x
2. Найти пределы функций:
4
x 2
;
а) lim
x 16 x  4
б) lim ( x( x  a )  x) .
.
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
а) lim
x 0
ex
2
 2 x 1
( x  1 ) ln ( x
2
 e 1
 3 x 1)
;
3 x 2 6 x9
.
б) lim
x 1 cos x  cos ( 3  2 x )
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке
x0 :
 ( x )  sin x ;  ( x )  ln ( x 2  2 x  7 ); x 0  2.
5. Дана функция
 x 1 , x  0

y ( x )   x 1, 1  x  4
 2
 x  8 x  21 , x  4.
Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
x2  2
.
6. Дана функция y ( x) 
x3
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
59
Вариант № 24
1. Найти пределы:
5(n  4) 4 (3n  1)3
а) lim
;
n   3( 4n  1) 3 ( n  3) 4
б) lim
x 
3x 2  x 4  4 x
2
3
4
.
x  3x  x
2. Найти пределы функций:
2x  9  5
а) lim 3
;
x 8
x 2
б) lim ( 3 x 2  5 x  6  x) .
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
1
1

sin x sin 2
;
а) lim
x  2 ( x  2 ) arcsin ( x  2 )
ln ( x  a )  ln a
.
б) lim
x 0
x
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке
x0 :
 ( x )  2 x2  8 ;  ( x )  tg 2 x ( 4 x 2  2 x  2 1 ); x 0  1.
5. Дана функция
1
,x0
x
y ( x )  1 x , 0  x  1
x  1 , x  1.
Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
x
6. Дана функция y ( x)  2
.
( x  4)( x  3)
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
60
Вариант № 25
1. Найти пределы:
4n 4  5n 3  7
а) lim
;
n   3n 2  6n  1
x4  3 2x2  1
б) lim
.
x  x 2  5 3x 3  4
2. Найти пределы функций:
3
3x  8  x 2  2
а) lim
;
2
x 0
x x
б) lim ( x 4  2 x 2  1  x 4  2 x 2  1) .
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
а) lim
x2
б) lim
e x  4  e6  x
3
;
x
ln(2 x  3) sin
4
sin ( 3 x  x 2 )
.
x  16  4 )( x  9  1 )
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке
x0 :
1 3


 ( x )  cos(  x );  ( x )  tg x  tg x ; x 0  .
6
3
3
5. Дана функция
 x 3 , x 1

y ( x )  1, 1  x  3
 x  3 , x  3.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
x 1
.
6. Дана функция y ( x) 
(3  x)
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
x 0 (
61
Вариант № 26
1. Найти пределы:
4n 6  8n 4  3
а) lim
;
n   6n 4  3n 3  1
x4  4  3 x5  3
б) lim
.
5
x
x 5
2. Найти пределы функций:
3
x  27  3 27  x
а) lim
;
3 4
x 0
2 x x
б) lim ( 4 x 4  13 x 2  7  3 x 2 ) .
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
2  cos x  1
;
а) lim
x  0 (1  2 cos x ) sin 2 x
e x  sin x  1
.
б) lim
x  0 ln ( x  1 )
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке
x0 :
( x)  2 x
5. Дана функция
2
 2 ;  ( x )  ctg x  ctg 1; x 0  1.
  x , x  0

y ( x)   x  2, 0  x  1
 x,
x  1.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
x2 1
6. Дана функция y ( x) 
.
x2
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
62
Вариант № 27
1. Найти пределы:
7 n 4  4n 2  4
;
а) lim
n   8( 2n  1) 3 (3n  1)
3
б) lim
5 x 4  3x  2
4
x 
3
x  1  x  4x  1
2. Найти пределы функций:
x 1  1 x
а) lim 3
;
x 0 x  1  3 1  x
.
б) lim (3 x 3  3 x 2  4 x  3 x 3  3 x 2  4 ) .
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
( 2  x ) cos ( x  1 )
а) lim
;
x  2 sin ( 3  x )  sin ( x  1 )
4
2
x  x 1  4 x 1
б) lim
.
x  0 ln ( x  1 )  ln ( 1  x )
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке
x0 :
2
( x)  ( 3  x  x  3 )3 ; ( x)  e x  3  e3 ;
5. Дана функция
2
 ,x0
x
y(x)
x2 , 0 x2
7,
x0  0.
x  2.
Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
x 3
6. Дана функция y ( x)   .
2 x
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
63
Вариант № 28
1. Найти пределы:
(3n  4) 4 (5n  1)
;
а) lim
n   (5n  3) 3 ( 2n  1) 2
x 4  4x  x5  6x3  1
б) lim
3
x 
6
x  4x
2. Найти пределы функций:
x2
;
а) lim 3
x  0 3 x  1  ( x  1)
.
б) lim ( 2 x 4  8 x 2  3  x 4  x 2 ) .
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
3
а) lim
x 0
б) lim
x 2 1
1
1 x
2
ln ( 1  x ) tg x
1  cos ( 3 x  3 )
;
.
x  3 )( x  1 ) 2
4. Сравнить две функции ( x) и ( x) , бесконечно малые в точке
x0 :
x 1 (
( x)  x 2  2 x  x; ( x)  5 x 1  5; x0  0.
5. Дана функция
  ( x 1 ) 2 , x  1

y ( x )   4  x 2 , 1 x  2
0,
x  2.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
1  3x
6. Дана функция y ( x) 
.
2  x2
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
64
Вариант № 29
1. Найти пределы:
8n 9  9n8  n
а) lim 10
;
n   6n  3n 5  1
3
2 x 2  4 x  5 x 5  3x 3  4
б) lim
.
3 4
x 
x  x
2. Найти пределы функций:
3 x 5
;
а) lim
x4 1  5  x
б) lim ( x 2  2 x  2 x 2  x ) .
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
2 x
4 sin
2
;
а) lim
x  0 sin x  tg x
6
3x  8  6 4  x
.
б) lim
x 3
cos x  cos 3
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке
x0 :
( x) e x
5. Дана функция
2
 x 1
 e ;  ( x )  ( 2 x 1) ln ( x 2  x 1); x 0  0.
  x 1, x  0

0 x2
y ( x )   1,

2
 ( x  3 ) , x  2.
Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
1
.
6. Дана функция y ( x)  2 x 
2
( x  1)
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
65
Вариант № 30
1. Найти пределы:
10n8  1
;
а) lim 4
n   ( n  1)(2n 4  1)
3
3x  2
.
б) lim 3
x  x  5x
2. Найти пределы функций:
x2  x  1 1
а) lim
;
x 0
x
3/ 2
б) lim x ( x  2  2 x  1) .
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
4x
7
1
2
;
а) lim x  x  26
x2
ln(5  x )
e x x sin x
.
б) lim 5
x  0 x  3x 2
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке
x0 :
2
( x)  1  cos3 x; ( x)  x(3 x 1  3); x0  0.
5. Дана функция
x, x0

y ( x )   ctg x , 0  x   / 2
 0 , x   / 2.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
x2
6. Дана функция y ( x)  2
.
x 9
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
66
Вариант № 31
1. Найти пределы:
n 4  5n  1
а) lim
;
n   10n 3  2n 2  3
x2  2x  3
б) lim
.
x  4 x  3 x 2
2. Найти пределы функций:
2x  3  3
;
а) lim
x 3
x  2 1
3
б) lim ( x 3  4 x 2  x) .
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
ctg x
а) lim
;
x   / 2 arcsin x ( 2 x   )
( 6 1  x  6 4 x  1 ) tg 2 x
б) lim
.
x 0
ln cos 5 x
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке
x0 :
3
 ( x )  sin x  sin1;  ( x )  tg x ( e x  e ); x 0  1.
5. Дана функция
x  1
1,

y ( x )    x 3 , 1  x  1
 x  1 , x  1.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
x
6. Дана функция y ( x) 
.
1  x2
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
67
Вариант № 32
1. Найти пределы:
1  n  n4
а) lim 4
;
n   5n  4 n 3  n  1
3 3
x 1
б) lim
.
2
x 
x  3x  x
2. Найти пределы функций:
x2  2x
;
а) lim
x2 x2  6x  4
3
б) lim ( x 3  x  x) .
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
2
ex 1
а) lim
;
x  0 ln cos 2 x
sin x ( 4 cos x  4 cos 5 )
б) lim
.
2
x 5
ln ( x  24 ) ( x  4  1 )
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке
x0 :
( x)  sin x(2 x  4); ( x)  4 x 2  1  4 7  x ; x0  2.
5. Дана функция
x2 , x0
y(x)
sin x , 0  x 

2

x .
2
Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
x2
6. Дана функция y ( x) 
.
x(4  x)
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
2,
68
Вариант № 33
1. Найти пределы:
(n  2) 2  (n  1) 2
а) lim
;
n 
6n  1
x3  x  x
.
б) lim 3
4
x 
x xx
2. Найти пределы функций:
x  24  5
а) lim
;
x 1
x3  1
3
3
б) lim ( x 3  2 x 2  x 3  x 2  1) .
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
x  32
5
2
2
1 x
а) lim
;
x  0 tg 3 x  tg x
tg x ln ( x  1 )
б) lim
.
2
x2
x
 16
2
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке
x0 :
 ( x )  cosx  cos3;  ( x )  ( e x 1) ln( x 2  3 x 1); x 0  3.
5. Дана функция
 2 , x  2
y(x)
x, 2 x0
1
,
x  0.
x
Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
x3
6. Дана функция y ( x)  2
.
x 3
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
69
Вариант № 34
1. Найти пределы:
(n  1)3  (n  1)3
а) lim
;
n 
n2  2
4 8
x  4x
б) lim 3
.
x  8x 6  5x  2 x
2. Найти пределы функций:
2x2  x 1
а) lim 3
;
1  8 x  12  2
x
2
б) lim ( x  1  1  2 x 2 ) .
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
2
e x 3x  e x 3
а) lim x
;
x  3 ( 2  1) ln(2 x  5)
cos 2 x  1
.
б) lim
2
x
x 3
x 0
(5  5 )( 1  x  1)
4. Сравнить две функции ( x) и ( x) , бесконечно малые в точке
x0 :
 ( x )  tg x ( 3 x  81);  ( x )  ln( x  1) sinx ; x 0  4.
5. Дана функция
 x 2 , x  0

y(x)   x, 0 x  4
 5  x , x  4.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
x2
.
6. Дана функция y ( x) 
x3
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
70
Вариант № 35
1. Найти пределы:
(2n  1)3 (n 2  1) 2
а) lim 7
;
n   n  5n 6  n  2
3
8 x9  1  3x 2
б) lim
.
x   4 x12  x  x 4
2. Найти пределы функций:
2 x 2  32
;
а) lim 3
x4 5  x  3 x  3
б) lim ( x 2  4 x  1  x) .
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
а) lim
( 8 1  2 x 2  1 )(
x 1 )
.
cos 4 x  cos x
3 x
cos
arcsin ( x  1 )
2
б) lim
.
x 1
( tg x  tg 1 ) ln x
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке
x0 :
x 0
x
 ( x )  sin x ( 2  32);  ( x )  1 cos( x  5 ); x 0  5.
5. Дана функция
x0
1,
y(x)
2
x , 0  x 1
2
, x  1.
x
Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
1
.
6. Дана функция y ( x)  2
x  3x
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
71
Вариант № 36
1. Найти пределы:
5n 2  1
;
а) lim
n   4n(3  n)
x  x 1
б) lim
x  4
2
.
x  x 1
2. Найти пределы функций:
x3  x 2  4 x  4
;
а) lim 3
x2 x2  x  3 x  4
3
3
б) lim ( x 2  3x  1  x 2 ) .
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
cos 3x  1
.
а) lim x
x  0 ( 2  1) sin x
x
cos
б) lim sin x 2 sin 1 .
x 1 e
e
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке
x0 :
 ( x )  ctgx ln ( 4  x );  ( x )  5 tg x  5 tg 3 ; x 0  3.
5. Дана функция
 1
 , x0
 x
y ( x )   2 x , 0  x 1

2
 ( x  3 ) , x  1.

2
Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
3
2x .
6. Дана функция y ( x) 
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
72
Вариант № 37
1. Найти пределы:
(n  3) 2 (2n  5)3
а) lim 5
;
n   n  3n 2  2n  7
4 8
x  1  3x  2
б) lim
.
x  4 x 2  x  x
2. Найти пределы функций:
3
x2  4x  3  3 x  1
;
а) lim
3
x  2
x 8
б) lim ( x 2  2 x  x 2  x  3 ) .
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
(ln( x  2)  ln 2)(4 x  1  1)
.
а) lim
x 0
arcsin x 2
5
б) lim
x  1
x 5 2 x
x
2
.
(e
 e ) tg x
4. Сравнить две функции ( x) и ( x) , бесконечно малые в точке x0 :
 ( x )  tg 4 x ;  ( x )  x ( 1 cosx ); x 0  0.
5. Дана функция
 x 1, x  0

y ( x )   1 x 2 , 0  x  1
1,
x  1.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
x
6. Дана функция y ( x)  2
.
x 1
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
73
Вариант № 38
1. Найти пределы:
(3n  1) 2 (n 2  1)
а) lim
;
n 
n4  n  2
3
x  1  4 x2
б) lim 4
.
x 
x 2 x
2. Найти пределы функций:
x 3 1
а) lim
;
3
x  1 3
2
x  2 x 1
б) lim ( x 2  1  x 2  x ) .
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
2 sin x  1
.
а) lim
x   tg x  tg 
cos x  cos 2
.
б) lim
2
x2
ln ( x  5 x  7 )
4. Сравнить две функции ( x) и ( x) , бесконечно малые в точке
x0 :
 ( x )  ln x ( 4 ctg x  4 ctg1 );  ( x )  cos ( x 1) 1; x 0  1.
5. Дана функция
x0
x,

y ( x )    1 x 2 , 0  x  1
 x 1,
x  1.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
x2  1
.
6. Дана функция y ( x)  2
x 4
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
74
Вариант № 39
1. Найти пределы:
(n  1)(n  1) 2
а) lim
;
n 
n6  n  1
x2  x  x
б) lim
.
x 
2x 1
2. Найти пределы функций:
x2  x
а) lim
;
x 1 x 2  x  1  x 2  2 x
б) lim ( x  ( x  2)( x  3) ) .
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
2
(e x  1)( 3 x  2  1)
а) lim
.
x 0
cos 2 x  cos x
sin( x 2 1) ln x
.
б) lim
2
x1
( x 1)
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке
x0 :
 ( x )  tg x ( 2 x 16);  ( x ) 1 cos( x  4 ); x 0  4.
5. Дана функция
1
 ,
x0
x
y ( x )  1 x , 0  x 1
x 2 1 ,
x 1
Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
1
2 x 1 .
6. Дана функция y ( x) 
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
75
Вариант № 40
1. Найти пределы:
(3n  3)(2n 2  1)
;
а) lim
n 
n5  5n  4
3 ( x  1)( x  2) x  11
.
б) lim
x 
3x  1
2. Найти пределы функций:
2 x 2  32
а) lim
;
x4 5  x  x  3
б) lim ( x  x 2  2 x  5 ) .
x 
3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно
малых:
sin( x 2  25)
.
а) lim
x  5 x 2  2 x  36
7
1
x6
ctg x  ctg 1
б) lim
.
x 1 arcsin( x  1 )
4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке
x0 :
 ( x )  sin x ( 2  x 3  1 );  ( x )  sin x  sin 1; x 0  1.
5. Дана функция
0, x  0
 3
y ( x)   , 0  x  3
x
 2, x  3.
Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.
1
 51 x
.
6. Дана функция y ( x)
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
76
Рекомендуемая литература
1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 1 /
Н. С. Пискунов. – М.: Интеграл-Пресс, 2008. – 416 с.
2. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1 /
Л. Д. Кудрявцев. – М.: ФМЛ, 2005. – 400 с.
3. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. Ч. 1 /
Д. Письменный. – М.: Айрис-Пресс, 2006. – 288 с.
4. Ильин В. А. Основы математического анализа. Ч. 1 / В. А. Ильин,
Э. Г. Позняк. – М.: ФМЛ, 2005. – 648 с.
77
Оглавление
§ 1. Функция, бесконечно малая в точке …………………………………
§ 2. Предел функции ………..……………………………………………....
§ 3. Непрерывность функции в точке и области …………………………
§ 4. Раскрытие неопределенностей вида
 
   ,
0
 0  и [  ] ...……....
§ 5. Замечательные пределы.……………………………………………….
§ 6.Эквивалентные бесконечно малые функции………………………….
§ 7. Сравнение бесконечно малых……………………………….…………
§ 8. Примеры решения задач на непрерывность функции………………..
Варианты индивидуальных заданий ………………………………..……
Рекомендуемая литература….…………………………………………………
78
Учебное издание
Караказьян Светлана Ардаваздовна
Соловьёва Ольга Валентиновна
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
ОДНОГО АРГУМЕНТА
Учебное пособие
Редактор В. А. Преснова
Корректор М. А. Молчанова
Компьютерная верстка И. А. Яблоковой
Подписано к печати 26.08.2013. Формат 6084 1/8. Бумага офсетная.
Усл. печ. л. 4,7. Тираж 1000 экз. Заказ 71. «С» 32.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.
79
ДЛЯ ЗАПИСЕЙ
80
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
524 Кб
Теги
argue, karakazian, predel
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа