close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Karpov Matem model09

код для вставкиСкачать
Федеральное агентство по образованию
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
Кафедра прикладной математики
и информатики
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Методические указания по выполнению курсового проекта
и курсовой работы для студентов специальности
230401 – прикладная математика
Санкт-Петербург
2009
1
УДК 539.3
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры прикладной математики ПГУПС
Т. В. Рябикова
Математическое моделирование: метод. указания по выполнению
курсового проекта и курсовой работы для студентов специальности
230401 – прикладная математика / сост.: В. В. Карпов, А. Ю. Сальников;
СПб. гос. архит.-строит. ун-т. – СПб., 2009. – 36 с.
Методические указания предназначены для студентов, изучающих курс
«Математическое моделирование» по специальности «Прикладная математика»
направления «Строительство». Изложена методика построения математической
модели деформирования оболочек, выбора вычислительного алгоритма и проведения вычислительного эксперимента.
Табл. 3. Ил. 9. Библиогр.: 1 назв.
Введение
По курсу «Математическое моделирование» студенты выполняют
курсовой проект и курсовую работу, которые включают разработку математической модели деформирования оболочечных конструкций, разработку вычислительного алгоритма, составление программы расчета и
проведение вычислительного эксперимента. Каждый студент получает
свой вариант оболочки. Оболочки могут быть упругими, нелинейно-упругими или допускать ползучесть материала.
Все этапы выполнения задания описаны в представленной работе.
Целью данных указаний является оказание методической помощи при
выполнении студентами курсовой работы и курсового проекта, которые
практически закрепляют теоретический курс «Математическое моделирование».
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет,
2009
2
3
1. Варианты заданий на выполнение курсового проекта
и курсовой работы
По дисциплине «Математическое моделирование» студенты в 6-м
семестре выполняют курсовой проект «Математические модели расчета
оболочечных конструкций», а в 7-м семестре курсовую работу «Расчеты
оболочек – покрытия строительных сооружений».
Курсовая работа является продолжением курсового проекта.
Каждый студент получает индивидуальное задание по проведению
расчетов напряженно-деформированного состояния (НДС) определенных видов оболочек или с применением метода Ритца к функционалу
полной энергии деформации оболочки, или метода Бубнова – Галеркина
к уравнениям в смешанной форме.
Рассматриваются шесть видов оболочек:
пологие оболочки прямоугольного плана (I);
цилиндрические панели (II);
панели конических оболочек (III);
сферические купола (IV);
панели торообразных оболочек (V);
панели торообразных оболочек со смещенной осью вращения (VI).
У каждого из рассматриваемых видов оболочек могут проявиться различные свойства материала, и они могут быть подкреплены ребрами при
учете различных подходов к их введению. Таким образом, для каждого вида
оболочки могут быть поставлены пять вариантов задания исследования.
Рис. 1. Пологие оболочки двоякой кривизны
1
1
, ky
;
R1
R2
цилиндрические панели (рис. 2)
A 1,
B 1, k x
1.1. Варианты оболочек исследования
Рассматриваются следующие варианты оболочек:
пологие оболочки двоякой кривизны (рис.1) и их параметры.
Рис. 2. Цилиндрические панели
и их параметры
1
;
r
панели конических оболочек (рис. 3)
A 1,
4
B
r, k x
0, k y
5
T
Рис. 3. Панели конических оболочек
и их параметры
A 1,
B
x sin T, k x
0, k y
ctg T
;
x
Рис. 5. Панели торообразных оболочек
сферические купола (рис. 4)
и их параметры
1
sin x
;
, ky
r
d r sin x
панели торообразных оболочек со смещенной осью вращения
(см. рис. 5) и их параметры
A r,
B
d r sin x, k x
A r,
B
d r sin x α sin α , k x
ky
1
,
r
sin x α .
d r sin x α sin α 1.2. Варианты задач исследования
Рис. 4. Сферические купола
и их параметры
1
;
r
панели торообразных оболочек (рис. 5)
A r,
B
r sin x, k x
ky
6
Рассматриваются следующие варианты задач:
1) упругое решение (дискретное введение ребер);
2) упругое решение (жесткость ребер «размазана»);
3) упругопластическое решение (без ребер);
4) решение с учетом ползучести материала (без ребер);
5) решение уравнений в смешанной форме (упругое решение, без
ребер).
7
1.3. Последовательность выполнения заданий
Курсовой проект (первая часть работы) должен содержать:
1) постановку задачи исследования для конкретного вида оболочки;
2) запись основных соотношений:
геометрических;
физических;
усилий и моментов;
функционал полной энергии деформации;
уравнения равновесия или уравнения в смешанной форме
(вывод);
переход к безразмерным параметрам;
4) запись функционала полной энергии деформации в безразмерных параметрах относительно функций перемещений или уравнения
в смешанной форме относительно функций W x, y и Ф x, y ;
5) описание краевых условий;
6) описание входных данных задачи;
7) описание выходных данных (перемещений W x, y , напряжений
σ x , интенсивности напряжений σi ).
Для курсовой работы в продолжение перечисленного необходимо
выполнить следующее:
8) разработать вычислительный алгоритм;
9) составить программу на ЭВМ;
10) провести отладку программы;
11) провести расчеты НДС при различных значениях входных параметров (кривизны, жесткости ребер, размеров оболочки);
12) для вывода выходных данных использовать графические пакеты программ.
2. Основные соотношения теории оболочек
Рассматривается геометрически линейный вариант оболочки (модель Кирхгофа – Лява).
Геометрические соотношения в срединной поверхности оболочки
имеют вид
1 wu
εx
k x w,
A wx
8
εy
1 wv 1 wB
u k y w,
B wy AB wx
γ xy
1 wv 1 wu 1 wB
v.
A wx B wy AB wx
(1)
В слое, отстоящем на z от срединной поверхности оболочки, они
примут вид
ε zx
ε x z χ1 , ε zy
ε y z χ 2 , γ zxy
γ xy 2 z χ12 ,
(2)
где
1 w § 1 ww ·
¸;
¨
A wx © A wx ¹
1 w § 1 ww ·
1 wB ww
;
¨¨
¸¸ 2
B wy © B wy ¹ A B wx wx
F1
F2
2χ12
(3)
2 w2w
2 wB ww
.
AB wx wy AB 2 wx wx
2.1. Линейно-упругие задачи
Функционал полной энергии деформации для упругих ребристых
оболочек будет иметь вид
Э
&
>
ε
h
F
³³
a b
E
2
2
x
ε 2y 2μ ε x ε y μ1 γ 2xy 0 0
2 1 μ
&
2 S χ1ε x χ 2 ε y μ χ 2 ε x μ χ 1 ε y 2μ1 γ xy χ 12 § h3 & ·
q º
2
¨¨ J ¸¸ χ 12 χ 22 2μ χ 1χ 2 4μ1 χ 12
2 1 μ 2 w» ABdxdy. (4)
E ¼»
© 12
¹
Неизвестными функциями являются u x, y , v x, y , w x, y .
Напряжения для линейно-упругой задачи принимают вид (физические соотношения)
σx
E
1 μ
2
>ε
9
z
x
@
μ ε zy ;
E
σy
1 μ
τ xy
2
>ε
z
y
@
μ ε zx ;
(5)
 (x x j )
δ( x x j )
E
γ zxy .
2 1 μ Безразмерные параметры с размерными связаны соотношениями
ξ
x
, η
a
y
, kξ
b
Aau
, v
h2
u
h k x , kη
Bbv
, w
h2
h ky ,
w
,
h
J
S
a 4q
F
Aa
,p
,F
,S
,J
,Ф
4
2
h
Bb
h
h3
Eh
Жесткостные параметры ребер имеют вид
&
m
n
2
, bj
Ф
.
Eh3
&
m
&
&
&
&
&
&
i 1 j 1
&
j
i
ij
¦ S G x x j ¦ S G y yi ¦ ¦ S G x x j G y y j , (7)
m
n
n
i 1
&
m
i 1 j 1
&
j
i
ij
¦ J G x x j ¦ J G y yi ¦ ¦ J G x x j G y y j ,
m
n
j 1
где
Fi
n
i 1
j 1
&
J
rj
j
i
ij
¦ F G x x j ¦ F G y yi ¦ ¦ F G x x j G y y j ,
j 1
&
S
&
xj (6)
λ
&
F
aj
hi ; S i
n
i 1
m
i 1 j 1
Ji
hi h hi
;
2
2 13 hi 3;
0,25 h 2 h i 0,5 h h i
Fj
hj; S j
hj hhj
;
2
J
F ij
hij ; S ij
hij h h ij
;
2
J ij
j
2 13 h j 3; (8)
0,25 h 2 h j 0,5 h h j
0,25 h 2 hij 0,5 h hij 2 1 ij 3
h .
3
Будем рассматривать следующие расположения ребер по оболочке
(рис. 6).
Рис. 6. Расположение ребер по оболочке
10
11
xj rj
2
При «размазывании» жесткости ребер усилия и моменты принимают вид
Nx
E
> h Fx ε1 S x ψ1 @,
1 μ2
>
@
E
h Fy ε 2 S y ψ 2 ,
1 μ2
Ny
ª
§ h3
· º
¨ J x ¸ ψ1 » ,
S
ε
2 « x 1 ¨ 12
¸
1 μ «¬
©
¹ »¼
ª
§ h3
· º
¨ J y ¸ ψ2 » ,
S
ε
«
y
2
¨ 12
¸
1 μ 2 «¬
©
¹ »¼
E
My
>
@
N xy
E
h Fy γ xy 2 S y χ12 ,
2 1 μ N yx
E
h Fx γ xy 2S x χ12 ,
2 1 μ >
@
M xy
§ h3
· º
E ª
« S y γ xy 2 ¨¨ J y ¸¸ χ12 » ,
2 1 μ ¬«
© 12
¹ ¼»
M yx
§h
· º
E ª
« S x γ xy 2 ¨¨ J x ¸¸ χ12 » ,
2 1 μ «¬
© 12
¹ »¼
(9)
Здесь a
w2w
; \1
wxwy
H1
Fx
Fy
F1 PF 2 ; \ 2
H x PH y ; H 2
F 2 PF1 ;
H y PH x ;
j
ij
hi ri m §¨ h r j n h ri r j ·¸ r j
;
¦
¦
¨ a
a
j 1©
i 1 ab ¸
1 b
¹
n
¦
i
§ hi r m h ri r j · r
¸ i;
¦ ¨ i ¦
¦
¨
¸b
a
b
a
b
j 1
i 1©
j 1
¹
m
j
h rj
ij
n
12
(10)
n § S ir
m S ij ri r j · r
¸ i;
¦¨ i ¦
¨
¸b
a
b
a
b
i 1©
j 1
¹
S j rj
j 1
Jx
Jy
§ J i r m J ij ri r j · r
i
¨
¸ i.
¦
¦
¦
¨
¸b
a
b
a
b
j 1
i 1©
j 1
¹
n
m
J j rj
n
§a·
bB ¨ ¸ .
© 2¹
Функционал полной энергии деформации при «размазывании» жесткости ребер имеет вид
1 ab
³ ³ N xε x N y ε y N xy γ xy M x χ1 M y χ 2 2b0
^
Э
2 M xy F12 2qw` ABdxdy .
где
m
¦
j
ij
J i ri m ¨§ J r j n J ri r j ·¸ r j
;
¦
¦
¦
a
ab ¸ a
i 1 b
j 1¨
i
1
©
¹
aA; b
3
F12
i
Sy
E
Mx
j
ij
S i ri m ¨§ S r j n S ri r j ·¸ r j
;
¦
¦
a
ab ¸ a
j 1¨
j
1 b
1
©
¹
n
¦
Sx
(11)
Этот функционал можно записать в виде
Э
2 1 μ
³ ³ ^c1ε x c2ε y c3ε xε y c4 γ xy c5hε x χ1 c6hε x χ 2 ab
Eh
2
00
2
2
2
c7 hε y χ 1 c8 hε y χ 2 c9 hγ xy χ 12 c10 h 2 χ 12 c11h 2 χ 22 c12 χ 1χ 2 2
c13h 2F12
2 1 P2
13
Ehq w½¾¿ ABdxdy ,
(12)
где
c1
h Fy
h Fx
; c2
h
c5
h
Sx
2
h2
c9
c12
P
; c6
2μ1
; c3
Sx S y
h2
S y Sx
h
2
P
, c10
2h Fx Fy
h
; c7
P
h2
; c8
h3
Jx
12
, c11
h3
h3
Jx Jy
μ 6
, c13
h3
1 2h Fx Fy
;
P1
h
2
; c4
S y Sx
2
Sy
h2
h3
Jy
12
,
h3
Mx
Ny
M xу M xc , M y
N xy
у
с
M xy
M xy
.
(15)
Эс
³ ³ ³ ^>
t1 a b
&
h F H 2x H 2y 2PH xH y 2 1 P 2 t0 0 0
&
2 S χ1ε x χ 2ε y μχ 2ε x μχ1ε y 14
σy
t
º
E ª z
z
z
z
R
t
,
d
H
PH
H
W
PH
W
W
W
»,
«
³
1
y
x
y
x
1 P 2 ¬«
t0
¼»
W xy
(17)
t
º
ª z
z
« J xy ³ J xy W R2 t , W dW » .
21 P ¬«
t0
¼»
E
2.3. Упругопластические задачи
При учете физической нелинейности (нелинейно-упругие задачи)
усилия и моменты можно записать в виде
Nx
где Э л имеет вид (4), а
E
t
º
E ª z
z
z
z
R
t
,
d
H
PH
H
W
PH
W
W
W
»,
«
³
1
x
y
x
y
1 P 2 ¬«
»¼
t0
(14)
Функционал полной энергии деформации для ребристых оболочек
имеет вид
Э Э л Эс ,
(16)
Vx
у
с
,
N xy
N xy
M yу M yс , M xy
½°
º
» R2 t , W ¾ ABdxdydW .
°¿
»¼
& & &
Если оболочка постоянной толщины, то F S J 0 ; R1 t , τ ,
R2 t , τ – функции влияния, определяемые экспериментально для материала оболочки. Функционал (16) получен с использованием линейной
теории наследственной ползучести.
Напряжения при учете ползучести материала принимают вид (физические соотношения)
h3
Jx Jy
2μ1 6
.
h3
N yу N yс ,
§ h3 & ·
2
¨¨ J ¸¸ 4P1F12
12
©
¹
(13)
При учете ползучести материала усилия и моменты можно представить в виде
N xу N xс ,
>
;
2.2. Задачи ползучести
Nx
º
§ h3 & ·
¨¨ J ¸¸ χ12 χ 22 2μχ1χ 2 » R1t , τ © 12
¹
¼»
&
&
h F μ1γ 2xy 2S 2μ1γ xy χ12 Mx
N xу N xп ,
Ny
M xу M xп , M y
N yу N yп ,
N xy
M yу M yп , M xy
у
п
,
N xy
N xy
у
п
.
M xy
M xy
(18)
Функционал полной энергии деформации ребристой оболочки
(19)
Э Э л Эп ,
15
где Э л имеет вид (4), а
Эп
2 1 P
2
2
2
2
00
2 I 2 χ 1ε x χ 2 ε y μχ 2 ε x μχ 1ε y 2μ1γ xy χ 12 2
I 3 χ 12 χ 22 2μχ 1χ 2 4μ1χ 12
@
ABdxdy.
εi
(20)
Vi
.
Hi
b2
Ik
для Vi
Z Hi h
2
где Rпр = 30 МПа;
k 1
³ Z Hi z dz k 1,2,3,
(21)
h
2
где
2
2 1
2
2
ε zx ε zxε zy ε zy γ zxy .
(22)
3
4
Напряжения для нелинейно-упругой задачи принимают вид (физические соотношения)
εi
>
@
>
@
Vx
E
H zx PH zy Z Hi H zx PH zy ,
2
1 P
Vy
E
H zy PH zx Z Hi H zy PH zx ,
2
1 P
16
m
E ˜ 105 ,
(25)
2
2
2
χ 12 χ 1χ 2 χ 22 χ 12
.
Z H i m H i2
m 2 k 1
³ Hi z dz k 1,2,3,
hE
E 1 Z Hi ,
Ik
(24)
Будем рассматривать следующие виды ω ε i :
h
2
1
H 2x H x H y H 2y J 2xy ;
4
2H x F1 H x F 2 H y F1 2H y F 2 J xy F12 ;
b3
E 1 mHi2 ,
2
b1 b2 z b3 z 2 ,
3
b1
Для некоторых аппроксимаций они имеют следующий вид:
для Vi
@
ω ε i γ zxy .
где
Здесь I1, I 2 , I 3 – жесткостные характеристики, зависящие от аппроксимации секущего модуля Ec
z
xy
2 1 μ Интенсивность деформаций ε i представим в виде
³ ³ > I1 H x H y 2P H x H y P1J xy ab
E
>γ
E
τ xy
§ E · 2
¸ H
K¨
¨R ¸ i ,
пр
©
¹
(26)
= 0,111;
§ E ·§ H ·
ZHi ¨1 т ¸ ¨¨1 т ¸¸ .
(27)
E ¹ © Hi ¹
©
Здесь E т , H т – модуль упрочнения и деформация текучести, соответствующая пределу текучести V т .
3. Вывод уравнений равновесия
Уравнения равновесия можно получить из условия минимума функционала полной энергии деформации.
Условие min Э – первая вариация функционала равна нулю:
(23)
ab
δЭ
³ ³ > N xδε x N y δε y N xy δγ xy 00
17
M x GF1 M y GF 2 2M xy GF12 qG w
@
Для рассматриваемых оболочек A const, B
выражения
ABH x
B
ABγ xy
ABχ 2
wu
k x wAB , ABε y
wx
B
A
0.
ABdxdy
(28)
B x . Подготовим
wv wB
u k y wAB ,
wy wx
wv
wu wB
A v , ABχ 1
wx
wy wx
A w 2 w 1 wB ww
, ABχ12
B wy 2 A wx wx
B
w2w
wx 2
,
w § 1 wB
w2 § A
w2 § B
·
·
·
2 ¨ M x ¸δ w 2 ¨ M y ¸δ w ¨
M y ¸δ w wx © A wx
¹
¹
¹
wy © B
wx © A
2
½
w
w § 1 wB
·
2
M xy δ w 2 ¨
M xy ¸ δ w ABq δ w¾ dxdy wxwy
wy © B wx
¹
¿
b
w §B
B
ww 1 wB
ª
·
³ « BN x δ u BN xy δ v ¨ M x ¸ δ w M x δ
M yδ w wx © A
A
wx A wx
¹
0¬
2
w 2 w 1 wB ww
.
wxwy B wx wy
º
w
M xy δ w »
wy
¼
x a
x 0 dy δЭ
ª
wv
wu
wB
ab
w
wB
­w
³ ³ ® BN x δ u AB k x N x δ w AN y δ v N y
δu wy
wx
0 0 ¯ wx
w
w
wB
BN xy δ v AN xy δ u N xy
δv wx
wy
wx
18
y b
y 0 dx 0.
w BN x wB w AN xy
Ny
wx
wx
wy
wB
wu
wv
δv AN xy δ N xy
wx
wy
wx
º
wB 1 ww
δ
2M xy
ABqδ w» dxdy 0.
(29)
wx B wy
¼
Преобразуем (29) таким образом, чтобы под знаком двойного интеграла не было производных от вариаций искомых функций перемещений.
В результате получим
a b
0 0
A
(30)
Собрав в двойном интеграле члены при δ u , δ v , δ w и приравняв их
к нулю, получим уравнения равновесия
w AN y
B
w2w A
w 2 w 1 wB
ww
w 2w
M xδ 2 M yδ 2 M yδ
2M xy δ
A
B
A wx
wx
wxwy
wx
wy
AB k y N y δ w w
2 M xy δ w
³ ³ « BN x δ wx ABk x N x δw AN y δ wy N y wx δ u 00¬
ABk y N y δ w BN xy δ
ª
§
·
³ « AN y δ v AN xy δ u wy ¨© B M y ¸¹ δ w 0¬
º
A
ww
1 wB
w
M yδ
2
M xyδ w 2 M xy δ w »
B
wy
B wx
wx
¼
Теперь (28) запишем в виде
ab
a
wy
AB k x N x k y N y w BN xy N
wx
xy
wB
wx
0,
0,
(31)
2
w2 § B
w2
· w §A
·
M
M
2
M xy ¨
¸
¨
¸
x
y
wxwy
¹
wx 2 © A
¹ wy 2 © B
w § 1 wB
w § 1 wB
·
·
My¸2 ¨
M xy ¸ ABq 0 .
¨
wx © A wx
wy © B wx
¹
¹
Из равенства нулю одномерных интегралов получим краевые усло
вия.
Например, при x 0 , x a
BN x 0 или u 0 ; BN xy 0 или v
wM xy
w § B
· 1 wB
My 2
¨ Mx ¸ wx © A
wy
¹ A wx
B
Mx
A
0 или
ww
wx
0.
19
0,
0 или w 0 ,
В этом случае граничные условия имеют вид
4. Вывод уравнений в смешанной форме
при x 0, x
Введем функцию напряжений Ф x, y по правилу
Nx
1 w § 1 wФ ·
1 wB wФ
¨¨
¸¸ 2
B wy © B wy ¹ A B wx wx
Ny
N xy
2
1 w Ф
1 wB wФ
2
2
2
B wy
A B wx wx
1 w § 1 wФ ·
¸
¨
A wx © A wx ¹
1 § 1 wB wФ w 2Ф ·
¨
¸
AB ¨© B wx wy wxwy ¸¹
1 w 2Ф
A2 wx 2
F1 Ф ,
F2 Ф ,
(32)
2
1 wB wФ 1 w Ф
AB 2 wx wy AB wxwy
Деформации H x , H y , J xy выразим через усилия (без ребер):
Hx
1
N x P N y , H y
Eh
1
N y P N x , J xy
Eh
2 1 P N xy .
Eh
M xy
(33)
Уравнения в смешанной форме относительно w x, y и Ф x, y выводятся при использовании уравнений совместности деформаций и третьего уравнения равновесия.
1 wγ xy wAε x
w ª 1 § wB
γ xy B
AB k x χ 2 k y χ1 « ¨¨
2 wx
wy ¬ B © wx
wy
wBε y
w ª 1 § 1 wγ xy wB
εx « ¨¨ A
wx ¬ A © 2 wy
wx
wx
Третье уравнение равновесия имеет вид
AB k x N x k y N y Eh3
12 1 μ Eh 3
12 1 μ 2
χ 2 μχ 1 ,
χ12
1
F1 Ф μ F2 Ф , ε y
Eh
1
F2 Ф μ F1 Ф ,
Eh
(34)
5. Методика решения вариационной задачи
0.
После перехода к безразмерным параметрам записываем функционал в безразмерных параметрах.
(35)
Уравнения в смешанной форме используются, когда по контуру оболочка закреплена шарнирно-подвижно.
20
My
γ xy
2
w2 § B
w2
· w §A
·
M
M
2
M xy ¨
¸
¨
¸
x
y
wxwy
¹
wx 2 © A
¹ wy 2 © B
w § 1 wB
w § 1 wB
·
·
¨
My ¸2 ¨
M xy ¸ ABq
wx © A wx
wy © B wx
¹
¹
12 1 μ 2
χ 1 μχ 2 ,
2 1 μ
F12 Ф Eh
подставим в (34). Для решения системы уравнений в смешанной форме
применяется метод Бубнова – Галеркина.
·º
¸¸ » ¹¼
·º
¸¸ » 0 .
¹¼
Eh 3
и усилий в виде (32) подставляем в (35).
В результате получим первое уравнение в смешанной форме. Для
получения второго уравнения в смешанной форме выражения деформаций с учетом
εx
Уравнение совместности деформаций имеет вид
w 2Ф
w 2w
0
,
Ф
0,
0.
wx 2
wx 2
Для w и Ф аппроксимирующие функции одинаковые и являются
ся
синусами различных аргументов.
Соотношения для моментов
w 0,
Mx
F12 Ф .
a
&
Э
11
& & &
³ ³ Ф u , v , w d[ dK.
00
(36)
Для минимизации этого функционала применяем метод Ритца при
&
&
&
аппроксимации неизвестных функций u [, K , v [, K, w[, K в виде
21
&
u
>
I 1
&
v
2
4 2
2
³ ³ ³ ^ 1 F > ε x λ ε y 2μλ ε x ε y @ Эc
(37)
0 0 t0
>
@
N
2 S F1H x O4 F2 H y PO2 F2 H x PO2 F1H y I 1
·
·
§1
¨ J ¸ χ12 λ4χ 22 2μλ2χ1χ 2 ¸ R1 t , τ 1 F μ1λ2 γ 2xy ¹
© 12
¹
¦ W ( I ) X 3( I )Y 3( I ).
Здесь U ( I ), V ( I ), W ( I ) – неизвестные числовые параметры;
X 1 X 3 – известные аппроксимирующие функции переменной ξ ,
удовлетворяющие при ξ 0, ξ 1 заданным краевым условиям.
Y 1 Y 3 – известные аппроксимирующие функции переменной η ,
удовлетворяющие при η 0, η 1 заданным краевым условиям.
Подставив (37) в (36) и выполнив
& интегрирование по известным
функциям, найдем производные от Э по U ( I ), V ( I ), W ( I ) и, приравняв
их нулю, получим систему линейных алгебраических уравнений
&
&
&
wЭ
wЭ
wЭ
0;
0;
0.
(38)
wW l wV l wU l Система линейных алгебраических уравнений решается методом
Гаусса.
При шарнирно-неподвижном закреплении краев оболочки, например, при N 1 аппроксимирующими функциями будут следующие:
X 1 sin 2S[ , X 2 sin S[ , X 3 sin S[ ;
Y 1 sin SK , Y 2 sin 2SK , Y 3 sin SK .
Рассмотрим подробнее формирование системы (38).
Если
11 t
N
¦ V ( I ) X 2( I )Y 2( I ) ,
I 1
&
w
@ ½
·
§1
2
2 1 P 2 P w ¾ d[dK ; (41)
¨ J ¸ F12 O4 F22 2PO2 F1F2 4P1O2 F12
© 12
¹
¿
N
¦ U ( I ) X 1( I )Y 1( I ) ,
Э
Э л Эп Эс ,
(39)
>
@
½
§ 1
·
2 ·
2S 2P1O2 J xy F12 ¨ J ¸ 4P1O2 F12
¸ R2 t , W ¾ d[ dK dW ;
© 12
¹
¹
¿
(42)
2
4 2
2
2 2
³ ³ >I1 H x O H y 2PO H x H y P1O J xy 11
Эп
00
2 I 2 F1H x O4 F2 H y PO2 F2 H x PO2 F1H y 2P1O2 J xy F12 2
I 3 F12 O4 F 22 2PO2 F1F 2 4P1O2 F12
@ d[dK.
(43)
Распишем отдельно каждую часть уравнения (40)
&
11­
wJ xy º
ª
wH x
wЭ л
2
2P1O2 J xy
³ ³ ® 1 F « 2H x 2PO H y
wU (l ) 0 0 ¯
wU (l )
wU (l ) »¼
¬
wJ xy º ½
ª
wH x
2 S « F1 PO2 F2
2P1O2 F12
¾ d[dK .
wU (l ) »¼ ¿
wU (l )
¬
то, например,
&
&
&
&
wЭ
w Эл
w Эп
w Эс
0.
(40)
wU l wU l wU l wU l Здесь, например, для пологих оболочек прямоугольного плана
(A = 1, B = 1)
11
^
>
@
Э л ³ ³ 1 F H x2 O4 H y 2 2PO2 H x H y P1O2 J 2xy >
00
@
2S F1H x O4 F2 H y PO2 F2 H x PO2 F1H y 2P1O2 J xy F12 22
Учитывая, что
Hx
Hy
J xy
¦ >U ( I ) X 1c( I )Y 1( I ) W ( I )k[ X 3( I )Y 3( I )@,
N
I 1
¦ >V ( I ) X 2( I )Y 2c( I ) W ( I )kK X 3( I )Y 3( I )@,
N
I 1
N
¦ > U ( I ) X 1( I )Y 1c( I ) V ( I ) X 2c( I )Y 2( I )@,
I 1
23
(44)
F1
N
¦ W ( I ) X 3( I )Y 3cc( I ) ,
I 1
F12
wH x
wU (l )
получим
&
wЭ л
wU (l )
# >Ф11 ( X (ti 1 )) R1 (tk , ti 1 ) Ф 21 ( X (ti 1 )) R2 (tk , ti 1 )@ 't.
Введя обозначение R1 (tk , ti 1 )Δt R1 , R2 (tk , ti 1 )Δt R2 , получим
при t tk
N
¦ W ( I ) X 3cc( I )Y 3( I ) ; F2
I 1
N
¦ W ( I ) X 3c( I )Y 3c( I ) ,
I 1
wJ xy
X 1c(l )Y 1(l ) ;
wU (l )
wЭc
wU (l )
X 1(l )Y 1c(l ) ,
N
¦ (U ( I )C1( I , l ) V ( I )C 2( I , l ) W ( I )C 3( I , l )).
I 1
w Эc
wU (l )
(45)
­ª
0 0 t0
¯¬
2 S χ 1 μλ2 χ 2
2
wЭ п
wU (l )
wε
wwUε(xl ) º» R1 (t, τ) ª«1 F 2μ1λ2 γ xy wwUγ xy(l ) 2 S 2P1O2 F12
¼
¬
0
>U ( I )CC 4( I , l ) V ( I )CC 5( I , l ) W ( I )CC 6( I , l ) @ R2 (t , τ) ` dτ.
Если ввести обозначение U ( I ), V ( I ), W ( I ) T
переменной τ кратко можно записать в виде
X ( τ) , то интеграл по
t
³ >Ф11 ( X (W)) R1 (t , W) Ф 21 ( X (W)) R2 (t , W)@dW.
t0
Разобьем отрезок интегрирования >t 0 , t @ на k частей точками
t1 , t 2 , ... , t k . На частичном отрезке >ti 1 , ti @ интеграл вычислим приближенно по формуле прямоугольников:
ti
³ >Ф11 ( X (W)) R1 (t , W) Ф 21 ( X (W)) R2 (t , W)@dW #
I 1i 1
2
4 2
2
2 2
1
³ ³ « wU (l ) ε x λ ε y 2μλ ε x ε y μ1λ γ xy 11
ª wI
00
¬
2
wI 2
χ 1ε x λ4 χ 2 ε y μλ2 χ 2 ε x μλ2 χ 1ε y 2μ1λ2 γ xy χ 12 wU (l )
wγ xy ·
§
wε x
¸¸ 2 I 2 ¨¨ χ 1 μλ2 χ 2
2μ1λ2 χ 12
(
)
(
)
w
U
l
U
l
w
©
¹
wI 3
2
χ 12 λ4 χ 22 2μλ2 χ 1χ 2 4μλ2 χ 12
wU (l )
º» dξdη
П1 (l ).
(47)
¼
Начальным условием для решения физически нелинейной задачи
является при заданном параметре нагрузки решение линейно-упругой
задачи U ( I ), V ( I ), W ( I ). Так что значение П1 (l ) будет известно из предыдущей итерации.
Таким образом, расписав выражения для
wЭ
wЭ
,
, получим
wV (l ) wW (l )
следующую систему линейных алгебраических уравнений:
N
¦ >U ( I )C1( I , l ) V ( I )C 2( I , l ) W ( I )C 3( I , l )@ П1 (l ) F1 (l ) ,
I 1
N
¦ >U ( I )C 4( I , l ) V ( I )C 5( I , l ) W ( I )C 6( I , l )@ П 2 (l ) F2 (l ) ,
I 1
ti 1
24
(46)
wγ xy ·
§
wε x
¸
I1 ¨¨ 2ε x 2μλ2 εY
2μ1λ2 γ xy
wU (l )
wU (l ) ¸¹
©
wJ xy º
½
R2 (t , W)¾ d[ dK dW .
»
wU (l ) ¼
¿
Учитывая (44), получим
&
N t
wЭc
¦
³ ^ >U ( I )CC1( I , l ) V ( I )CC 2( I , l ) W ( I )CC 3( I , l )@R1 (t , τ) wU (l ) I 1 t
k
При t t0 параметры U ( I ), V ( I ), W ( I ) находятся из решения линейно-упругой задачи. Таким образом, при t ti значения F1 (l ) будут
известны из предыдущей итерации (при t ti 1).
x
³ ³ ³ ® «1 F 2ε x 2μλ ε y wU (l ) 11 t
N
¦ ¦ >Ф11 ( X (ti 1 )) R1 Ф 21 ( X (ti 1 )) R2 @ F1 (l ) .
25
(48)
N
¦ >U ( I )C 7( I , l ) V ( I )C8( I , l ) W ( I )C 9( I , l )@ cp ˜ P П 3 (l ) F3 (l ).
НАЧАЛО
I 1
Систему (48) кратко запишем в виде
Fл ( X ) cp ˜ P
где X
Fп ( X ) Fс ( X ),
Ввод входных данных,
по признаку дополнительно
IP = 1 – для физически нелинейных задач,
IP = 2 – для задач ползучести
(49)
(U ( I ), V ( I ), W ( I )) Т ; Fл ( X ) cp ˜ P – левые части системы (48);
т
Fп ( X ) (П1 (l ), П 2 (l ), П 3 (l )) т ; Fс ( X ) ( F1 (l ), F2 (l ), F3 (l )) т .
Если решается линейно-упругая задача, то при заданном параметре
нагрузки P находится решение системы
Fл ( X ) cp ˜ P
0.
Вычисление коэффициента
СK для выражения
Fл ( X ) CP (l ) P Fн ( X )
(50)
Если решается нелинейно-упругая задача, то в начале решается система (50). Найденное решение подставляется в Fп ( X ) и решается итерационная задача
(51)
Fл ( X i ) cp ˜ P Fп ( X i 1 ),
P
Решение системы уравнений
Fл ( X ) CP ( l ) P
т. е. решается система линейных алгебраических уравнений с известной
правой частью.
Процесс итераций заканчивается, когда последующее решение от
предыдущего отличается меньше, чем на ε .
Если решается задача ползучести, то в начале решается линейноупругая или нелинейно-упругая задача. Полученное решение, соответствующее t t 0 , подставляется в Fс ( X ) и решается при изменении t отт
ча
t0 до tk итерационная задача
X i 1
Fп ( X i 1 ) Fс ( X i 1 ).
(52)
Процесс итераций заканчивается, когда прогибы начинают резко
расти (в 10–15 раз больше начального значения).
6. Блок-схемы алгоритмов
На рис. 7–9 представлены блок-схемы алгоритмов решения соответственно упругих, нелинейно-упругих задач и задач ползучести для
рассматриваемых оболочек.
26
Xi
0
Вычисление Fн ( X i 1 )
Решение системы уравнений
Fл ( X i ) CP (l ) P
Нет
Fл ( X i ) cp ˜ P
Pнач
X i 1
Fн ( X i 1 )
Да
X i X i 1
H
Xi
Да
Запись в файл 1
X i , Pi
P >Pкон
Вычисление выходных данных
при Pi Pн d Pi d Pк ,
«P – w», w, σ из файла 1
Pi
нет
Pi 'Pi
1
Рис. 7. Блок-схема решения линейно-упругой задачи
27
Xi
1
Нет
2
Да
IP = 1
P
Pнач
Нет
Выбор из файла 1
X i для Pi
X i1
Xi
X i 1
t0
X i 1
Xi
Решение системы уравнений
Fн ( X i 1 ) Fп ( X i 1 )
Да
ti
Xi
Fн ( X i 1 ), Fс ( X i1 )
Решение системы уравнений
X i X i 1
H
Xi
Pнач
Вычисление выражения
Fн ( X i1 ), Fп ( X i1)
Нет
P
Выбор из файла 1
X i для Pi
Вычисление выражения
Fл ( X i ) CP( l ) P
Да
IP = 2
Fл ( X i ) CP( l ) P
Fн ( X i 1 ) Fс ( X i 1 )
Запись в файл 3
Запись в файл 2
t > t кон
X i , Pi , t i
X i , Pi
Нет
ti
t i ' ti
Да
Да
P >Pкон
Нет
Pi
Вычисление выходных данных
«P – w», w, σi
при P i из файла 2
Pi 'Pi
Pi
Pi 'Pi
Нет
P >Pкон
Да
Конец
Вычисление выходных данных
«w – t» для Pi , w, σi, σ
из файла 3
2
Рис. 8 . Блок-схема решения нелинейно-упругой задачи
28
Рис. 9. Блок-схема решения задачи ползучести
29
7. Входные данные
Входными данными являются:
ƒ задание входных данных о размерах, форме конструкции,
подкрепляющих ребрах и материале (табл. 1);
Конические
оболочки
Сферические
оболочки
Тороидальные
оболочки
0
0
a 1 (м)
0
0
Конечное значение
координаты x
a (м)
a (м)
a (м)
a (рад)
a (рад)
Конечное значение
координаты y
b (м)
b (рад)
b (рад)
b (рад)
b (рад)
Радиус кривизны в
направлении x
R1 (м)
–
–
R1 (м)
R1 (м)
Радиус кривизны в
направлении y
R2 (м)
R2 (м)
–
–
–
Толщина обшивки
h (м)
h (м)
h (м)
h (м)
h (м)
Высота ребер, параллельных оси y
h j (м)
h j (м)
h j (м)
h j (м)
h j (м)
Ширина ребер, параллельных оси y
r j (м)
r j (м)
r j (м)
r j (м)
r j (м)
Число ребер, параллельных оси y
m
m
m
m
m
Высота ребер, параллельных оси x
hi (м)
hi (м)
hi (м)
hi (м)
hi (м)
Ширина ребер, параллельных оси x
ri (м)
ri (м)
ri (м)
ri (м)
ri (м)
Число ребер, параллельных оси x
n
n
n
n
n
–
–
–
–
d (м)
–
–
–
–
α (рад)
Модуль упругости
E(МПа)
E(МПа)
E(МПа)
E(МПа)
E(МПа)
Коэффициент Пуассона
μ
μ
μ
μ
μ
30
(53)
Виды нагрузок вдоль оси x
Цилиндрические
оболочки
Отступ вращающегося сектора от оси
вращения
Угол поворота вращающегося сектора
от оси вращения
q0 (a11 a21x a31x 2 )(a12 a22 y a32 y 2 ) qсв ,
ес
где q0 – величина поперечной нагрузки, МПа; qсв – собственный вес
оболочки, МПа.
Пологие оболочки прямоугольного плана
Задаваемые параметры
Начальное значение
координаты x
q
Таблица 1
Перечень входных данных (м – метры)
Вид оболочки
ƒ
задание вида нагрузки (табл. 2 и 3).
Нагрузка задается в виде
Таблица 2
31
Таблица 3
Виды нагрузок вдоль оси y
задаются
, Rпр Rc ;
пластичного материала, когда
§ § E ·§ H · ·
E ¨¨1 ¨1 т ¸¨¨1 т ¸¸ ¸¸ ,
E ¹© Hi ¹ ¹
© ©
(55)
задаются E т (МПа) (модуль упрочнения материала), H т
Vт
(деформация
E
Ec
текучести, соответствующая пределу текучести V т ).
Для исследования ползучести материала:
хрупкого материала (старый бетон), когда
R1 t W J ECf e J 1 ECf t W , R2 t W 2 R1
задаются J
0,01
1
, ECf
сут
1 ˜10 4
3, Cf
1
,E
МПа
G
,
E
(56)
3 ˜ 10 4 МПа ;
пластичных материалов (оргстекло), когда
Ai e Ei t W t W
Ri t W
D i 1
(57)
,
задаются A1 , A2 , D1 , D 2 , E1 , E 2 .
8. Выходные данные
ƒ задание дополнительных данных о материале конструкции.
k – коэффициент запаса прочности.
Для анализа прочности:
хрупкого материала – Rp (МПа), Rc (МПа) призменная
прочность бетона при растяжении и сжатии;
пластичного материала – V т (МПа) (предел текучести).
Для исследования упругопластических деформаций:
хрупкого материала, когда
2
§ §
··
¨ ¨ §¨ E ·¸ 2 ¸ ¸
( Ec E ¨1 ¨ K
˜ H i ¸ ¸,
(54)
¸¸
¨ ¨ ¨© Rпр ¸¹
¹¹
© ©
32
Выходными данными при заданном значении нагрузки являются:
графики по полю оболочки:
прогибов W;
интенсивности напряжений σ i (МПа ) при z
изгибающего момента M x ;
напряжения σ x (при z
33
h
).
2
h
;
2
При исследовании прочности для хрупкого материала (бетон) может быть использован критерий Кулона – Мора, по которому:
V1 Rp
Rc
V3 d
Rp
k
,
(58)
2) ω(ε i )
где O
где σ1 , σ 2 , σ 3 – главные напряжения, вычисляемые из уравнения
σ 2 σ x σ y σ σ x σ y τ 2xy
причем σ1 ! σ 2 ! σ 3 (одно σ
Здесь Rp
2 МПа, Rc
0,
§ Eт ·
¨1 ¸; O 2
E¹
©
O ˜ Hт ˜
,
(63)
λ 3 b1 b2 z b3 z 2 ,
(64)
b1 b2 z b3 z 2
3
;
2
3) ω(ε i )
(59)
λ2
λ
2
0 ).
30 МПа – призменная прочность бетона
где λ 3
4 §¨ E ·¸
η
.
3 ©¨ Rпр ¸¹
соответственно на растяжение и на сжатие; k – коэффициент запаса
прочности ( k 2 4 ).
Для пластичных материалов может быть использован следующий
критерий
Здесь b1 , b2 , b3 имеют вид (24).
При учете ползучести материала напряжения вычисляются по формулам (17). В этом случае при t tk
V
V1 V3 d т ,
k
где V т – предел текучести материала,
или критерий Мизеса
³ Ф( X ( τ)) R1 (t , τ)dτ
(60)
t0
где R1
ti
k
k
¦ ³ Ф( X ( τ)) R1 (t , τ)dτ # ¦
i 1 t i 1
R1 (t k , ti 1 )Δt , Δt
i 1
ti ti 1 1 сут .
(61)
σ 2x σ x σ y σ 2y 3τ 2xy .
Карпов, В.В. Математическое моделирование, алгоритмы исследования
модели, вычислительный эксперимент в теории оболочек / В. В. Карпов. СПб.:
СПбГАСУ, 2006. – 330 с.
Напряжения σ x , σ y , τ xy при заданной нагрузке вычисляются при
z
h
.
2
Для линейно-упругого материала они имеют вид (5).
Для нелинейно-упругого материала они имеют вид (23),
где ω(ε i ) вычисляется по соответствующим формулам с учетом (22),
например:
1) ω(ε i )
4
m b1 b2 z b3 z 2 ;
3
34
Ф( X (ti 1 )) R1 ,
Рекомендуемая литература
V
Vi d т ,
k
где σ i
t
(62)
35
Оглавление
Введение........................................................................................................................3
1. Варианты заданий на выполнение курсового проекта
и курсовой работы........................................................................................................4
1.1. Варианты оболочек исследования..................................................................4
1.2. Варианты задач исследования.........................................................................7
1.3. Последовательность выполнения заданий.....................................................8
2. Основные соотношения теории оболочек.................................................................8
2.1. Линейно-упругие задачи..................................................................................9
2.2. Задачи ползучести............................................................................................14
2.3. Упругопластические задачи............................................................................15
3. Вывод уравнений равновесия.................................................................................17
4. Вывод уравнений в смешанной форме....................................................................20
5. Методика решения вариационной задачи...............................................................21
6. Блок-схемы алгоритмов..........................................................................................26
7. Входные данные........................................................................................................30
8. Выходные данные......................................................................................................33
Рекомендуемая литература......................................................................................35
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Составители: Карпов Владимир Васильевич
Сальников Антон Юрьевич
Редактор А. В. Афанасьева
Корректор К. И. Бойкова
Компьютерная верстка И. А. Яблоковой
Подписано к печати 07.05.09. Формат 60 84 1/16. Бум. офсетная.
Усл. печ. л. 2,1. Уч.-изд. л. 2,6. Тираж 100 экз. Заказ 50. «С» 13.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., 4.
Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., 5.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
535 Кб
Теги
matem, model09, karpova
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа